1. Matrices. Operaciones con matrices

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MATEMÀTIQUES I GRAU en ADE curs 2012-13 Professor: Josep E. Peris Ferrando 1 BLOQUE IV: ÁLGEBRA LINEAL 1. Matrices. Operaciones con matrices 2. Determinante de una matriz cuadrada 3. Desarrollo por adjuntos 4. Propiedades de los determinantes 5. Inversa de una matriz cuadrada 6. Dependencia lineal. Rango 7. Sistemas de ecuaciones lineales 8. Teorema de Rouché-Frobenius 9. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 1. Matrices. Operaciones con matrices 1.1. Definición de matriz de orden m×n; vector fila, vector columna Una matriz de números reales de orden m ×n es un conjunto de m·n números reales ordenados en m filas y n columnas. Se representan por letras mayúsculas A, B, M, N, … El elemento ij a de la matriz A representa al número que está en la fila i, columna j. por ejemplo, una matriz 3×4 es un conjunto de 12 (= 3·4) números reales ordenados en tres filas y cuatro columnas) A A = = = = = = 11 11 12 13 14 14 21 22 23 24 23 31 32 33 34 32 a 9 a a a a 9 0 5 8 a 8 a a a a 3 4 1 2 ... a 1 a a a a 6 1 0 7 a 1 Cuando sólo hay una columna (matriz m ×1 ) se denomina vector columna (de orden m, en este caso). Cuando sólo hay una fila (matriz 1 ×n ) se denomina vector fila (de orden n, en este caso) vector columna: ( ) 1 0 2 6 8 1 2 : vector fila 1.2. Matrices cuadradas, matriz nula, matriz identidad, matriz diagonal Una matriz se llama cuadrada si tiene tantas filas como columnas (m = n ). Por ejemplo, la siguiente matriz es cuadrada de orden 3 (sólo hace falta decir el número de filas) 1 2 1 9 6 4 7 4 1

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BLOQUE IV: ÁLGEBRA LINEAL 1. Matrices. Operaciones con matrices 2. Determinante de una matriz cuadrada 3. Desarrollo por adjuntos 4. Propiedades de los determinantes 5. Inversa de una matriz cuadrada 6. Dependencia lineal. Rango 7. Sistemas de ecuaciones lineales 8. Teorema de Rouché-Frobenius 9. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

1. Matrices. Operaciones con matrices

1.1. Definición de matriz de orden m×n; vector fila, vector columna Una matriz de números reales de orden m×n es un conjunto de m·n números reales ordenados en m filas y n columnas. Se representan por letras mayúsculas A, B, M, N, … El elemento ija de la matriz A representa al número que está en la fila i, columna j.

por ejemplo, una matriz 3×4 es un conjunto de 12 (= 3·4) números reales ordenados en tres filas y cuatro columnas)

A A

=⎛ ⎞ −⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠⎝ ⎠ = −

1111 12 13 14

1421 22 23 24

2331 32 33 34

32

a 9a a a a 9 0 5 8

a 8a a a a 3 4 1 2 ...

a 1a a a a 6 1 0 7

a 1

Cuando sólo hay una columna (matriz m×1 ) se denomina vector columna (de orden m, en este caso). Cuando sólo hay una fila (matriz 1×n) se denomina vector fila (de orden n, en este caso)

vector columna: ( )10 2 6 8 12

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

: vector fila

1.2. Matrices cuadradas, matriz nula, matriz identidad, matriz diagonal Una matriz se llama cuadrada si tiene tantas filas como columnas (m = n). Por ejemplo, la siguiente matriz es cuadrada de orden 3 (sólo hace falta decir el número de filas)

1 2 19 6 47 4 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

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La matriz nula es una matriz cuyos números son todo ceros (las matrices nulas también podrían ser rectangulares, con distinto número de filas que de columnas)

0 0 00 0 00 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Dada una matriz cuadrada, se llama diagonal principal a los elementos que están en la misma fila que columna: 11 22 33 44a , a , a , a ,...

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a23 18 4

a a a a7 9 1

a a a a11 31 15

a a a a

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal: tr(A) = + + + +11 22 33 44a a a a ... En el ejemplo: tr(A) = 23 + (-9) + 15 =29 Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos fuera de la diagonal principal son igual a cero. La matriz nula (cuadrada) es un ejemplo de matriz diagonal, y también los siguientes ejemplos:

1 0 0 0 01 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0

0 3 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1

0 0 0 0 1

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Estas últimas matrices (con los elementos en la diagonal igual a 1, y el resto igual a 0) se denominan matriz identidad (de orden 3, 4, 5 respectivamente). Del mismo modo se puede definir para cualquier orden. 1.3. Operaciones con matrices: qué operaciones y cuando se pueden realizar

suma y resta de matrices: sólo pueden sumarse o restarse matrices del mismo orden (cuadradas o no), y se suman/restan los elementos que están en el mismo lugar

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11 12 1n 11 12 1n 11 11 12 12 1n 1n

21 22 2n 21 22 2n 21 21 22 22 2n 2n

m1 m2 mn m1 m2 mn m1 m2 m2 m2

a a ... a b b ... b a b a b ... a ba a ... a b b ... b a b a b ... a b... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...a a ... a b b ... b a b a b

+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ mn mn... a b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(lo mismo para la resta). Ejemplos: − − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − − = − − − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 0 2 1 1 3 3 1 1 2 0 2 1 1 1 1 15 3 4 3 0 1 2 3 5 ; 5 3 4 3 0 1 8 3 30 2 7 2 2 0 2 4 7 0 2 7 2 2 0 2 0 7

Dada una matriz A, la matriz (–A) se obtiene cambiando el signo a todos los elementos de A. Propiedades:

a) A + B = B + A b) A + [0] = A c) A + (-A) = [0]

multiplicación por un escalar: toda matriz puede multiplicarse por un número real (al que se denomina escalar y se representa con letras griegas α β, ,...), y se hace multiplicando cada elemento de la matriz por dicho número.

11 12 1n 11 12 1n

21 22 2n 21 22 2n

m1 m2 mn m1 m2 mn

a a ... a a a ... aa a ... a a a ... a... ... ... ... ... ... ... ...a a ... a a a ... a

α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α⎜ ⎟ ⎜ ⎟α =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplos:

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 0 2 4 0 2 1 1 10 5 52 5 3 4 10 6 8 ; ( 5) 3 0 1 15 0 50 2 7 0 4 14 2 2 0 10 10 0

Producto de una matriz m×n por un vector columna n×1: se realiza del siguiente modo

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11 12 1n 11 11 11 12 21 1n n1

21 22 2n 21 21 11 22 21 2n n1

m1 m2 mn n1 m1 11 m2 21 mn n1

a a ... a v a v a v ... a va a ... a v a v a v ... a v... ... ... ... ... ...a a ... a v a v a v ... a v

+ + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplos:

⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

12 1 1 2 4

1 2 3 4 1 113 0 1 1 5 ;

2 1 1 2 0 52 2 0 1 6

3

producto de una matriz m×n por otra matriz n×p: se realiza del siguiente modo

AB

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

+ + +

+ + +=

+ + +

11 12 1p11 12 1n

21 22 2p21 22 2n

m1 m2 mn n1 n2 np

11 11 12 21 1n n1

21 11 22 21 2n n1

m1 11 m2 21 mn

b b ... ba a ... ab b ... ba a ... a

... ... ... ... ... ... ... ...a a ... a b b ... b

a b a b ... a ba b a b ... a b

...a b a b ... a b

+ + +⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

+ + ++ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

11 1p 12 2p 1n np11 12 12 22 1n n2

21 1p 22 2p 2n np21 12 22 22 2n n2

n1 m1 12 m2 22 mn n2 m1 1p m2 2 mn np

a b a b ... a ba b a b ... a ba b a b ... a ba b a b ... a b

....... ...

a b a b ... a b a b a b ... a b

primera

A columnade B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6 44 7 4 48

segunda

A columnade B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6 44 7 4 48

última

A columnade B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6 44 7 4 48

NOTAS:

1. sólo pueden multiplicarse matrices que cumplan que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda

2. el resultado es una matriz de orden m×p: el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda

3. si la matriz A es de orden 3×5 y la matriz B es de orden 5×3, el resultado de multiplicar estas matrices nos da una matriz [AB] de orden 3×3.

4. pero si multiplicamos en sentido contrario, el resultado es una matriz [BA] cuyo orden es 5×5

5. por tanto, el resultado de hacer [AB] y de hacer [BA] es (en general) distinto.

Ejemplos:

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− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − = − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 13 0 1 1 2 1 0 4 2 5 62 2 0 1 1 2 3 4 6 0 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 5 7 51 1 1 2 2 0 1 55 0 1 1 3 5 10 103 1 4 7 3

MUY IMPORTANTE: NO conmutatividad del producto, en general

Ejemplo con matrices cuadradas del mismo orden: probad dos matrices de orden 2 con números elegidos al azar.

transpuesta de una matriz:

la transpuesta de una matriz A de orden m×n es una nueva matriz de orden n×m obtenida de A cambiando las filas por las columnas.

A A

A A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 1n 11 21 m1

21 22 2n 12 22 m2

m1 m2 mn 1n 2n mn

a a ... a a a ... aa a ... a a a ... a

'... ... ... ... ... ... ... ...a a ... a a a ... a

1 5 31 2 1 0 9 2 1 23 1 7 1 4 ' 1 7 25 2 2 8 6 0 1 8

9 4 6

si transponemos un vector fila, obtenemos un vector columna (y viceversa) una matriz cuadrada se dice que es simétrica si A = A' . Por ejemplo, las matrices diagonales son simétricas (imagen gráfica del concepto). Otros ejemplos:

A B−⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 2 11 3

2 0 53 6

1 5 2

Propiedades:

1. transpuesta de la suma (resta) de matrices = suma (resta) de transpuestas

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2. transpuesta del producto de matrices = producto de transpuestas con el orden cambiado

Ejemplo:

3 2 2 5

2 3 5 2

5 2 2 3

M A B M es de orden 3 5 M' es de orden 5 3

A' B ' no se pueden multiplicarB ' A' es de orden 5 3 y coincide con M'

× ×

× ×

× ×

= × ⇒ ×

×

2. Determinante de una matriz cuadrada

2.1. Determinante de una matriz 2×2

11 1211 22 12 21

21 22

a adet a a a aa a⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 4

det 10 ( 12) 223 5

−⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2.2. Determinante de una matriz 3×3

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31 12 21 33 11 23 32

31 32 33

a a adet a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a

Ejemplo:

[ ] [ ]⎛ ⎞⎜ ⎟− = − + + − − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 2det 0 1 1 1 0 2 4 1 0 42 1 1

Un modo gráfico de ver un determinante 3×3 sumando restando

⎛ ⎞⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 11 12 13 11 12 11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 23 21 22 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 33 31 32 31 32 33 31 32

11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31 11 23 32 12 21 33

a a a a a a a a a a a a adet a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

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sumando: diagonal principal + las otras dos paralelas restando: diagonal contraria + las otras dos paralelas Ejemplo:

[ ] [ ]

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

= − − − − − − − =

3 1 2 3 1 2 3 1det 1 1 4 1 1 4 1 12 1 3 2 1 3 2 1

9 8 2 4 12 3 0

3. Desarrollo por adjuntos

3.1. Determinante de una matriz 3×3

El determinante de una matriz 3x3 lo podemos calcular a partir de determinantes 2x2, usando una fila (o columna) elegida como queramos. Si se observa este determinante, tenemos que:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31 12 21 33 11 23 32

31 32 33

22 23 21 23 21 221 1 1 2 1 311 12 13

32 33 31 33 31 32

a a adet a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a a aa ( 1) det a ( 1) det a ( 1) det

a a a a a a+ + +

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 23 12 13 12 131 1 2 1 3 111 21 31

32 33 32 33 22 23

a a a a a aa ( 1) det a ( 1) det a ( 1) det ...

a a a a a a+ + +

⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Y lo mismo podríamos hacer con otras filas o columnas. Por ejemplo,

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( ) ( ) ( ) como ya sabíamos

+ + +

−⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = − + − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

= − − − + − + − − − = − + =

1 1 1 2 1 3

3 1 21 4 1 4 1 1

det 1 1 4 3·( 1) det ( 1)·( 1) det 2·( 1) det1 3 2 3 2 1

2 1 3

3· 3 ( 4) 1· 3 8 2· 1 ( 2) 3 5 2 0 ( )

3.2. El caso general: concepto de adjunto y regla

Dada un matriz cuadrada A de orden nxn, se llama:

menor asociado al elemento ija : determinante de la matriz que se obtiene a partir de

A, eliminando la fila i, y la columna j se representa por Mijdet( )

adjunto del elemento ija : A M+= − i j

ij ij( 1) det( ) Aunque, para el cálculo del determinante, no es necesario calcular toda la matriz de adjuntos, esta matriz luego será útil:

A A AA A A

A

A A A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

...

...adj( )

... ... ... ......

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A

A A A

A A A

A

+ + +

+ + +

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = − = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = − = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −

1 1 1 2 1 311 12 13

2 1 2 2 2 321 22 23

31

3 1 21 1 42 1 3

1 4 1 4 1 1( 1) det 1 ; ( 1) det 5 ; ( 1) det 1

1 3 2 3 2 1

1 2 3 2 3 1( 1) det 1 ; ( 1) det 5 ; ( 1) det 1

1 3 2 3 2 1

( 1) A A

A

+ + +− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

3 1 3 2 3 332 33

1 2 3 2 3 1det 2 ; ( 1) det 10 ; ( 1) det 2

1 4 1 4 1 1

1 5 1adj( ) 1 5 1

2 10 2

determinante de la matriz cuadrada A usando la fila i-ésima: A A A A= + + +i1 i1 i2 i2 in indet( ) a a ... a determinante de la matriz cuadrada A usando la columna j-ésima: A A A A= + + +1 j 1 j 2 j 2 j nj njdet( ) a a ... a

Ejemplos:

( ) ( ) ( ) usando la primera fila

+ + +

−⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− = − + − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

= − − − + − + − − − = − + = −

1 1 1 2 1 3

1 1 21 4 1 4 1 1

det 1 1 4 1·( 1) det ( 1)·( 1) det 2·( 1) det1 1 2 1 2 1

2 1 1

1· 1 ( 4) 1· 1 8 2· 1 ( 2) 3 7 2 2 ( )

usando la tercera fila

+ + +

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + + − = − + =

3 1 3 2 3 3

6 1 21 2 6 2 6 1

det 3 5 4 2·( 1) det 0·( 1) det 1·( 1) det5 4 3 4 3 5

2 0 1

2·(4 10) 0 1·(30 3) 12 27 15 ( )

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NOTA: observemos que si una fila o columna tiene varios ceros, esa es la que conviene elegir para aplicar la fórmula anterior, ya que al tener que multiplicarlo por cero, no hará falta que calculemos el valor del correspondiente adjunto.

Ejercicio: el cálculo del determinante (o de la matriz de adjuntos) en el siguiente ejemplo os ayudará a aprender a calcular determinantes.

M

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 0 -13 1 -1 12 0 -2 11 4 1 1

SOLUCIÓN:

(M) (M)

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 4 -5 -1214 -7 14 0

adj det 21-9 6 -18 3-4 5 -1 6

4. Propiedades de los determinantes (idea intuitiva de algunas pruebas; importante recordarlas y manejarlas)

(P1) una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante

como para hacer un determinante lo podemos calcular usando una fila o una columna, y las filas de A son las columnas de A ' , el resultado es el mismo

(P2) si una fila (o columna) es nula, el determinante es cero

usando la fila (o columna) toda de ceros para calcular el determinante, el resultado que nos da la fórmula es cero, no importando el valor de los adjuntos

(P3) si multiplicamos una fila (o columna) por un número k, el determinante queda

multiplicado por dicho número

usando dicha fila, vemos que todo queda multiplicado por k (P4) el determinante de la matriz identidad vale 1

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si usamos la primera fila para calcular el determinante, vemos que el resultado es 1·(adjunto del elemento (1,1)); pero este adjunto es el determinante de otra matriz identidad de un orden menos; siguiendo el proceso llegamos a un producto de 1·1·1·…·1 = 1

(P5) el determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos

de la diagonal el razonamiento es totalmente análogo al de la propiedad anterior, solo que

ahora no tenemos ‘unos’ sino los elementos de la diagonal principal (P6) si cambiamos dos filas (o columnas) de orden, el determinante cambia de

signo, aunque mantiene el mismo valor absoluto si cambiamos la primera por la segunda fila, y comparamos lo que obtenemos

al calcular el determinante de la matriz inicial usando la primera fila, y el determinante de la matriz cambiada usando la segunda fila, tanto los elementos como los menores son iguales; sólo cambian los exponentes de (-1) que, en el primer caso serán 2, 3, 4, …, mientras que en el segundo empezarán con 3, 4, 5, …; es decir, van siempre con el signo cambiado

(P7) si dos filas (o columnas) son iguales, el determinante es cero

al cambiar las dos filas iguales de orden, aplicando la propiedad anterior, el determinante debería cambiar de signo; sin embargo permanece igual, ya que la matriz no ha cambiado; el único número que no cambia al cambiarle el signo es el cero

(P8) si dos filas (o columnas) son proporcionales (una fila es igual a k multiplicada

por la otra) el determinante vale cero por un lado el k lo podemos sacar fuera aplicando (P3); pero entonces quedan

dos filas iguales, luego el determinante es cero (P9) si los elementos de una fila (o columna) los ponemos como suma de dos

números ; ; ... ;i1 i1 i1 i2 i2 i2 in in ina = b +c a = b +c a = b +c

entonces el determinante de la matriz A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices, una con los ijb y otra con los ijc

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 21 22 22 23 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

a a a a a a a a adet b c b c b c det b b b det c c c

a a a a a a a a a

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usando dicha fila para calcular el determinante, el resultado es inmediato (P10) si a una fila (o columna) se le suma otra multiplicada por un número k, el

determinante de la nueva matriz que se obtiene tiene el mismo valor que el inicial

aplicando la propiedad anterior, el determinante de la nueva matriz será la

suma del determinante de la matriz inicial más el determinante de otra matriz que tendrá dos filas proporcionales, por lo que el determinante de esta segunda matriz vale cero

(P11) si multiplicamos los elementos de una fila por los adjuntos de otra el

resultado es cero

si nos fijamos, es como si hubiera en este caso dos filas iguales, y entonces el determinante vale cero por la propiedad anterior

(P12) el determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de los

determinantes de cada una de ellas

(ésta es una propiedad útil, pero difícil de demostrar; nos quedamos con el

resultado)

Ejemplos de aplicación de las anteriores propiedades para calcular determinantes:

(1) si nos fijamos en el siguiente determinante, la última fila es suma de las dos primeras; por tanto restando a la tercera fila las dos primeras el determinante no cambia; pero en ese caso hay una fila de ceros, con lo que el determinante vale cero

⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1det 3 0 -2 0

4 2 -1

(2) el siguiente ejemplo vemos una matriz que se denomina triangular superior

(los elementos por debajo de la diagonal principal son todos cero); razonando como el las propiedades (P4), (P5), su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal

4

⎛ ⎞⎜ ⎟ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 1det 0 2 -2

0 0 -2

de modo análogo, esta propiedad se cumple para matrices triangulares inferiores (los elementos por encima de la diagonal principal son todos cero)

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(3) en el siguiente ejemplo, las propiedades ayudan a calcular el determinante

(*) (**)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 1 2 1 1 2 1det -1 0 -2 det 0 2 -1 det 0 2 -1 2

-1 2 -1 0 2 0 0 0 1

(en el paso (*) he sumado la primera fila a la segunda, y también a la tercera, y el determinante no cambia; en el paso (**) a la tercera fila le he restado la segunda, y tampoco cambia; ahora nos queda una matriz triangular superior cuyo determinante se calcula muy fácilmente)

5. Inversa de una matriz cuadrada

Si A es una matriz cuadrada de orden n, se llama inversa de A a una matriz cuadra B de orden n manera que: AB = BA = I [I : matriz identidad] Cuando hay inversa de una matriz A, se representa por A−1

NOTA: NO siempre existe: Ejemplo

A B AB

(1a fila de A) (1a columna de B) =

(2a fila de A) (1a columna de B) =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 12

21 22

11 21

11 21

1 1 b b 1 01 1 b b 0 1

1 b + b = 10 b + b = 0

que no puede ser.

una condición necesaria y suficiente para que exista la inversa de una matriz es que el determinante sea distinto de cero: si AB = I, entonces

det(AB) = det(A) det(B) = det(I) = 1 A B BA

⎡ ⎤⇒ ≠ ≠ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

1det( ) 0 det( ) 0 det( )

det( )

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cálculo de la inversa mediante adjuntos; regla y ejemplos

[ ]A AA

− =11

adj( ) 'det( )

(razona por qué es así: usando (P11))

(transpuesta de la matriz de adjuntos, dividida por el determinante de A) Ejemplos: estudia si tiene inversa y, en caso afirmativo, calcula la inversa:

(1) A (2) A (3) A− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2 1 5 11 2

2 1 1 0 2 11 1

3 3 1 0 0 1

SOLUCIÓN:

(1)

[ ]

A

A AA

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

-1

det( ) = 3

1 2-'1 1 3 31 1

= adj( ) ' = =-2 1 1 1det( ) 3

3 3

(2)

A no tiene inversa⇒det( )=0

(3)

[ ]

A

A AA

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-1

det( ) = -2'-2 0 0 1 -2'5 -3'5

1 1= adj( ) ' = 5 -1 0 = 0 0'5 0'5det( ) -2

7 -1 2 0 0 -1

Propiedades:

o la inversa del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de las inversas cambiado de orden

1 1 1(AB) B A− − −=

o la inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa

( )1 1(A ') A '− −=

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o ( ) 1 11si 0 y A es una matriz invertible A A− −α ≠ α =α

o la inversa de una matriz triangular superior, si existe, es también triangular

superior. La misma propiedad se cumple para triangular inferior o si A es una matriz diagonal que tiene inversa (¿cuándo una matriz de este

tipo tendrá inversa?) entonces su inversa es también diagonal (¿cuál será su forma?)

6. Dependencia lineal. Rango 6.1. Dependencia e independencia lineal de vectores

dos vectores columna (o fila) son dependientes si uno es proporcional al otro; en caso contrario se dice que son independientes

, : dependientes⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 -3 -3 1-3

1 -3 -3 1

si denominamos a, b a los vectores, serán dependientes si: a b= β

esta expresión se puede poner de otro modo: a b 0− +β = y llamando 1α = − , tenemos que los vectores a, b son dependientes si existen números reales ,α β no siendo los dos cero, tales que

a b 0α +β = observa que si uno de los vectores es el cero (todo ceros) entonces esos vectores son dependientes: 0 = 0 b saber si dos vectores 2x2 son dependientes o independientes es muy fácil: basta que calculemos el determinante de la matriz cuadrada de orden 2 que podemos formar poniéndolos en columna:

o si el determinante es cero, son dependientes o si el determinante es distinto de cero, son independientes

, : dependientes

, : independientes

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 -3 1 -3det 0

1 -3 1 -3

1 -3 1 -3det -6 0

-1 -3 -1 -3

¿qué ocurre cuando tenemos tres vectores, o más, con 2 componentes (de 2° )?

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sólo podrá haber, como mucho, dos independientes; los encontraremos construyendo un determinante 2x2 distinto de cero, si lo hay

si ahora tenemos vectores con m componentes, la definición y modo de estudiar si son dependientes o independientes es la misma:

los vectores 1 2 na , a ,..., a son dependientes si existen números reales no todos nulos tales que:

1 2 n

1 2 na a a 0α +α +α =

o saber si tres vectores 3x1 son dependientes, como antes, se sabe calculando el determinante de la matriz cuadrada de orden 3 formada por estos vectores: si vale cero son dependientes, y si no es cero (toma cualquier otro valor), son independientes

o como antes, si tenemos más de tres vectores con tres componentes (de 3° ) no podrán ser independientes y, como mucho, habrá tres independientes

6.2. Rango de una matriz

el rango de una matriz (cuadrada o no cuadrada) se define como el número de vectores columna (o fila) linealmente independientes que hay en la matriz; este número coincide con orden de la submatriz cuadrada mayor con determinante distinto de cero. Se representa con el símbolo rg(A). NOTA: por tanto, si nos dan unos vectores y nos preguntan cuántos hay independientes, se trata del mismo problema que calcular el rango de la matriz construida con estos vectores De la definición se deduce que si la matriz es de orden m×n el rango, como mucho, será el número más pequeño entre m y n. Si, por ejemplo, la matriz es de orden 3×5, el rango como mucho es 3. ejemplos de cálculo de rango: pasos a seguir

(1) elige una fila (o columna) con un elemento no nulo (si hay; en caso contrario

se tratará de la matriz nula que tiene rango igual a 0 (2) con el paso anterior, ya se tiene que el rango será, al menos, 1 (3) busca ahora otra fila (o columna) de modo que con la anterior contenga una

matriz 2×2 con determinante distinto de cero (si hay; en caso contrario el rango será igual a 1)

(4) con el paso anterior, ya se tiene que el rango será, al menos, 2 (5) repite el proceso, buscando ahora una nueva fila (o columna) que junto a las

otras dos ya seleccionadas contenga una matriz 3×3 con determinante distinto de cero (si hay; en caso contrario el rango será igual a 2)

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(6) con el paso anterior, ya se tiene que el rango será, al menos, 3 (7) ...

SUGERENCIA: trabaja con filas o columnas, dependiendo de cuál sea el menor

número: si la matriz es 3×5 trabaja con filas; si la matriz es 4×2 trabaja con columnas

Ejemplo:

0 1 1 0 12 1 1 1 02 1 1 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

: rg (A) 1≥ 0 1 1 0 12 1 1 1 02 1 1 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

: rg (A) 2≥

0 1 1 0 12 1 1 1 02 1 1 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

rg(A) = 3

Ejemplos: calcula el rango de las siguientes matrices

A rg(A ) 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 -1 01 2 1 12 1 0 -14 5 0 0

rg(A ) 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 13 2 1-1 -0'75 -0'52 1'5 1

NOTA: para calcular el rango de una matriz (o para ver cuántos vectores independientes tenemos), en ocasiones, resulta útil aplicar el método de triangulación de la matriz (conocido como método de Gauss): con este método lo que hacemos es pasar a otra matriz equivalente pero que es más sencilla (más fácil calcular sus determinantes) Lo veremos al final del tema en la resolución de sistemas, pero vamos a aplicarlo al último ejemplo:

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queremos poner ceros en la primera columna por debajo diagonal ppal.(-3)·∙primera fila + segunda fila

primera fila + tercera fila(-2)·∙primera fila + cuarta fila

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 13 2 1-1 -0'75 -0'52 1'5 1

1 1 10 -1 -2

queremos poner ceros en la segunda columna por debajo diagonal ppal.(0'25)·∙segunda fila + tercera fila(-0'5)·∙segunda fila + cuarta fila

ahora ya es

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 0'25 0'50 -0'5 -1

1 1 10 -1 -20 0 00 0 0

muy fácil calcular el rango rg(A ) 2⇒ =

7. Sistemas de ecuaciones lineales 7.1. Concepto de sistema de m ecuaciones con n incógnitas Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de relaciones de la forma

ecuaciónecuación

[S]

ecuación

+ + + = ⎫⎪+ + + = ⎪⎬⎪⎪+ + + = ⎭

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x ... a x b (1ª )a x a x ... a x b (2ª )

... ...a x a x ... a x b (mª )

o Los elementos ija son los coeficientes del sistema (son números reales

conocidos) o Los elementos jb son los términos independientes (también conocidos)

o Las incógnitas son los elementos ix a calcular para que se cumplan las m ecuaciones

El sistema [S] se puede escribir de forma fácil usando matrices y vectores:

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A b x

Ax = b [S]

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

111 12 1n 1

221 22 2n 2

m1 m2 mn nm

ba a ... a x

ba a ... a x

...... ... ... ... ...

...a a ... a x

b

La matriz A se denomina matriz del sistema, y el vector b se llama vector de términos independientes. En el caso en que los términos independientes son todos cero (el vector b = 0), se dice que [S] es un sistema homogéneo.

Una solución del sistema [S] es un conjunto de valores para las incógnitas

1 1 2 2 n nx , x , ...,x=α =α =α

de modo que al sustituirlas en el sistema hacen que se cumplan todas las ecuaciones. Ejemplo: considera el sistema [S]; escribe su matriz; calcula el rango de dicha matriz; ¿es un sistema homogéneo?; indica si alguno de los siguientes conjuntos de valores es solución del sistema. La matriz del sistema y el vector de términos independientes son:

A b

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 12 1 1 24 0 2 100 1 1 0

Para saber si un vector x es solución del sistema, simplemente hay que comprobar si se cumple que Ax b= . Vamos a comprobar todos los casos: a)

Ax b

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ≠ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 3 11

2 1 1 0 22

4 0 2 8 100

0 1 1 2 0

NO ES SOLUCIÓN DEL

SISTEMA b) No se puede multiplicar Ax (sólo hay tres incógnitas) luego NO ES SOLUCIÓN

1 2 3

1 2 3

1 3

2 3

x 2x x 12x x x 2

[S]4x 2x 10x x 0

− + = − ⎫⎪− + − = − ⎪⎬− = ⎪⎪+ = ⎭

a) x b) x c) x d) x

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

11 2 1

22 1 1

100 1 1

0

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c)

Ax = b

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 1 12

2 1 1 2 21

4 0 2 10 101

0 1 1 0 0

SÍ ES SOLUCIÓN DEL

SISTEMA d)

Ax b

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ≠ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 0 11

2 1 1 2 21

4 0 2 2 101

0 1 1 2 0

NO ES SOLUCIÓN DEL

SISTEMA 7.2. Sistemas compatibles y no compatibles Un sistema se dice que es compatible si tiene alguna solución. Si no tiene ninguna solución se dice que es incompatible. Dependiendo del número de soluciones que tiene un sistema se habla de compatible determinado (sólo tiene una solución), o de compatible indeterminado (tiene muchas, infinitas, soluciones) Ejemplos: (discusión de la compatibilidad; representación gráfica de los dos primeros: rectas en el plano)

[S1] [S2] [S3]+ + = ⎫

+ = + =⎫ ⎫ ⎪− − =⎬ ⎬ ⎬

− − = − =⎭ ⎭ ⎪+ + = ⎭

x y z 1x y 4 x y 5

x y 2z 4x y 1 2x y 1

2x 2y 2z 1

[S4] [S5]

− + = − ⎫ − + − = ⎫⎪ ⎪− + − = − + − =⎪ ⎪⎬ ⎬− = − + − − =⎪ ⎪⎪ ⎪+ = + + = ⎭⎭

1 2 3

1 2 3

1 3

2 3

x 2x x 1 x y z t 02x x x 2 2x 3y t 04x 2x 10 x y z t 0x x 0 y z y 0

Este último sistema [S5] es homogéneo. ¿Por qué podemos asegurar siempre que los sistemas homogéneos son compatibles? Notemos que, en los sistemas homogéneos, una solución se obtiene tomando todas las variables (todos los ix ) igual a cero. Luego siempre hay, al menos, una solución. Por tanto el sistema es compatible. [S1] – [S2]

Vemos gráficamente lo que nos dice el sistema: nos da dos rectas y nos pide los puntos que están en las dos rectas (cumplen las dos ecuaciones); luego nos están preguntando sobre la intersección de dos rectas. Recordemos que dos

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rectas distintas pueden cortarse en un punto (lo que nos lleva a un sistema compatible determinado) o ser paralelas (lo que nos lleva a un sistema incompatible)

[S1]: las rectas son paralelas (tienen la misma pendiente p = -1) y el sistema es incompatible

[S2]: las rectas tienen distinta pendiente y se cortarán en un único punto: sistema compatible determinado

La solución del sistema es el punto donde se cortan las dos rectas: x = 2;y = 3 [S3]: se trata, en este momento, de ver si este sistema puede tener solución o no;

si nos fijamos en la primera ecuación, nos dice que la suma de las tres incógnitas vale 1; mientras que la tercera ecuación, nos dice que la suma del doble de esas incógnitas vale también 1, es decir que la suma de las incógnitas vale 0’5; y esto no puede ser; luego el sistema es incompatible

[S4]: este sistema ya no es tan fácil de discutir a simple vista; habría que intentar

resolverlo; si lo hacemos, tenemos que 1 2 3x = 2;x = 1;x = -1 cumple todas las

ecuaciones, luego el sistema es compatible

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7.3. matriz del sistema y matriz ampliada Dado el sistema de m ecuaciones con n incógnitas, Ax = b, se llama matriz ampliada del sistema a la matriz de orden m×(n+1) formada añadiendo la columna de términos independientes al final de matriz A

[ ]A |b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 1n 1

21 22 2n 2

m1 m2 mn m

a a ... a ba a ... a b... ... ... ... ...a a ... a b

Ejemplo: calcula la matriz ampliada en los anteriores sistemas.

[ ]

[ ]

[ ]

[S1] A A |b

[S2] A A |b

[S3] A A |b

⎛ ⎞+ = ⎫ ⎛ ⎞= =⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − = − − − −⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ = ⎫ ⎛ ⎞= =⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟− = − −⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + = ⎫ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟− − = = − − = − −⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + = ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + = −

− +1 2 3

1

x y 4 1 1 1 1 4x y 1 1 1 1 1 1

x y 5 1 1 1 1 52x y 1 2 1 2 1 1

x y z 1 1 1 1 1 1 1 1x y 2z 4 1 1 2 1 1 2 4

2x 2y 2z 1 2 2 2 2 2 2 1

x 2x x 12x

[ ][S4] A A |b

⎛ ⎞⎫ − − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟− = − − − − − −⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟− = − −⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪+ = ⎝ ⎠⎭ ⎝ ⎠

2 3

1 3

2 3

1 2 1 1 2 1 1x x 2 2 1 1 2 1 1 2

4x 2x 10 4 0 2 4 0 2 10x x 0 0 1 1 0 1 1 0

[ ][S5] A A |b

⎛ ⎞− + − = − − − −⎫ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎪+ − = − −⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − = − − − − − −⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪+ + = ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x y z t 0 1 1 1 1 1 1 1 1 02x 3y t 0 2 3 0 1 2 3 0 1 0x y z t 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0y z y 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOTA: En la discusión de sistemas de ecuaciones, juega un papel muy importante el rango de la matriz A y el de su matriz ampliada. Hay que observar que el rango de la ampliada [ ]A |b siempre será mayor o igual al rango de la matriz A, ya que todas las columnas de la matriz están también en la ampliada y en esta hay una columna más. Por tanto, podría darse el caso en que el rango de la ampliada fuera mayor que el rango de la matriz. Es el caso del sistema [S1]

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[ ]

[ ]( )

[S1] A A |b

rg (A) = 1; rg A |b = 2

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1 41 1 1 1 1

8. Teorema de Rouché-Frobenius El teorema de Rouche-Frobenius nos dice cuando hay solución y cuántas hay:

Ejemplos de discusión de sistemas de ecuaciones: [S1] Ya hemos visto (gráficamente) que este sistema no tiene solución (las rectas son

paralelas. Además, el rango de A es 1, mientras que el rango de la ampliada es 2, según acabamos de ver: por tanto, el Tª Rouché-Frobenius indica que este sistema es incompatible, no tiene solución.

[S2] La discusión de este sistema es muy fácil, ya que la matriz A tiene rango 2 (su

determinante vale ≠-3 0 ) y la ampliada no puede tener más, ya que es una matriz 2x3. Por tanto, se trata de un sistema compatible determinado (tiene solución única: el punto donde se cortan las dos rectas)

[S3] El rango de A es 2 (observa que la tercera fila es proporcional a la primera y, por

tanto, su determinante vale cero. Sin embargo, el rango de la ampliada es 3 (cogiendo la primera, segunda y cuarta columna es determinante es igual a 2, distinto de cero). Entonces es un sistema incompatible, no tiene solución.

[S4] Tanto el rango de la matriz A como el de ampliada vale 3, que coincide con el

número de incógnitas. Por tanto, se trata de un sistema compatible determinado, con solución única.

[S5] Se trata de un sistema homogéneo que es siempre compatible (tiene solución).

Falta ver si la solución es única o tiene infinitas. Para saberlo hay que calcular

(1) (1) si rg (A) rg ([A |b])≠ ⇒ sistema incompatible (no hay solución) (2) (2) si rg (A) = rg ([A |b]) ⇒ sistema compatible (hay solución) (2a) si rg (A) = rg ([A |b]) = n ⇒ sistema compatible determinado (2b) si rg (A) = rg ([A |b])< n ⇒ sistema compatible indeterminado

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el rango y compararlo con el número de incógnitas. Como el determinante de la matriz A es distinto de cero (vale 14), el rango es 4, igual al número de incógnitas y se trata de un sistema compatible determinado. Como sólo tiene una solución, tiene que ser:

= = = =x 0; y 0; z 0; t 0

9. Resolución de sistemas (compatibles) de ecuaciones lineales

9.1. Sistemas de Cramer (sistemas con igual número de ecuaciones que de incógnitas y rango completo) En este caso, la matriz del sistema es cuadrada y además tiene inversa. Entonces, 1 1 1Ax b A Ax A b x A b− − −= ⇔ = ⇔ = Este tipo de sistemas siempre son compatibles determinados (solución única) ya que el rango de la matriz es n, y el rango de la ampliada también es n: es siempre mayor o igual, y aquí no puede ser mayor ya que sólo tiene n filas. 9.2. La solución usando la inversa: Dado un sistema de Cramer, para resolverlo basta calcular la inversa de la matriz del sistema y multiplicarla por el vector de términos independientes: solución del sistema de Cramer: 1x A b−= Ejemplos:

-1

-1

A b A x = A b

A b A x = A b

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

1

1 1 1 5 0.5 0.5 1 51 1 1 3 0.5 0.5 0 12 0 1 1 1 1 1 9

5 2 1 1 0 0.5 0.5 0.50 1 1 0 1 3.5 2.5 3.52 1 1 1 1 4.5 2.5 3.5

-1A b A x = A b−

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

3 0 3 6 1/6 1/2 1/2 12 1 2 2 2/3 1 0 21 1 1 2 1/2 1/2 1/2 3

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9.3. La solución usando la regla de Cramer: El resultado obtenido es el mismo que si aplicamos la fórmula:

( )i

i

[A(c ,b)]x

A=det

det( )

donde i[A(c ,b)] es la matriz obtenida sustituyendo en A la columna i por el vector b. Ejemplos: resolver los ejemplos anteriores aplicando esta fórmula Veamos el primero de ellos para entender mejor la fórmula:

( )

( )

( )

( )

i

i

1

1

2

2

3

3

[A(c ,b)]A b x

A

[A(c ,b)]x

A A

[A(c ,b)]x

A A

[A(c ,b)]x

A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠= = = −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠= = =

= =

1 1 1 5det

1 1 1 3det( )

2 0 1 1

5 1 1det 3 1 1

det 1 0 15

det( ) det( )

1 5 1det 1 3 1

det 2 1 11

det( ) det( )

1 1 5det 1 1 3

det 2det( ) A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ =

0 19

det( )

9.4. Sistemas generales (1): transformación en un sistema de Cramer

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Tenemos un sistema compatible, luego [ ]( )rango(A ) rango A |b= : pueden ocurrir

varios casos:

o si rango(A) es igual al número de ecuaciones, entonces tenemos más incógnitas que ecuaciones (si no, es que sería un sistema de Cramer). Pasando las incógnitas que sobran al otro lado, nos quedamos con un sistema con matriz B cuadrada que tiene inversa (ya será un sistema de Cramer) que se resuelve como en el apartado 9.2, o 9.3.

Ejemplo:

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1

31 1 13

32

2x x x 2 2x x x 2

x 2x x 0 x 2x x

2 1 0 '4 0 '2B B

1 2 0 '2 0 '4

xx 2 0 '2 0 '8B B x

xx 0 0 '6 0 '4

− −

+ − = + = +⎫ ⎫⇒⎬ ⎬

− + = − = −⎭ ⎭

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Por ejemplo, si

3 1 2x 1 x 1, x 1= ⇒ = =

o si rango(A) es menor que el número de ecuaciones, es que sobran ecuaciones: hay que quedarse con tantas como indique el rango, y que sean independientes (el rango de la nueva matriz M tiene que ser el mismo que el de A). Ahora actuamos como en el caso anterior.

Ejemplo:

1

1 1

x y z 2x y z 2 x y z 2

2x 2y z 32x 2y z 3 2x 2y z 3

3x y 2z 5

1 1 0 '5 0 '25B B

2 2 0 '5 0 '25

x z 2 0 '75 1'75B B z

y z 3 0 '25 0 '25

− −

+ + = ⎫+ + = + = − +⎫ ⎫⎪

− + = ⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬− + = − = − +⎭ ⎭⎪− + = ⎭

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por ejemplo, si z 1 x 1, y 0= ⇒ = =

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9.5. Sistemas generales (2): método de triangulación (Gauss) En la resolución de un sistema de ecuaciones, muchas veces resulta muy útil realizar simplificaciones en el mismo que dan lugar a que el cálculo del rango (y la discusión) sea más sencilla, así como la obtención del valor de las incógnitas. Veamos el último ejemplo: su matriz ampliada es

1 1 1 2

2 2 1 3

3 1 2 5

⎛ ⎞⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Si ahora hacemos las siguientes operaciones:

o a la segunda fila le sumo la primera multiplicada por (-2) o a la tercera fila le sumo la primera multiplicada por (-3)

obtenemos la siguiente matriz de un sistema equivalente:

1 1 1 2

0 4 1 1

0 4 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟

− − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

que es más sencilla; aún la podemos simplificar si

o a la tercera fila le sumo la segunda multiplicada por (-1) quedando

1 1 1 2

0 4 1 1

0 0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟

− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se ve muy fácil ahora que tanto el rango de la matriz como el de la ampliada es igual a 2. Si escribimos el nuevo sistema se tiene x y z 2 x y z 2 x 0 '75z 1'75

4y z 1 4y z 1 y 0 '25z 0 '25

+ + = = − − + ⇒ = − +⎫⇒ ⇒⎬

− − = − − = − ⇒ = − +⎭ (obviamente es la misma solución anterior, pero ahora la hemos obtenido más fácilmente) Lo que hemos hecho ha sido conseguir un sistema equivalente con una matriz triangular. Una vez tenemos esto, se resuelve de abajo hacia arriba. Para hacer esto bien sin errores, es necesario actuar de forma ordenada, y es conveniente anotar las operaciones que hacemos para poder repasar los cálculos (anotar qué fila sumamos a qué fila, y multiplicada por cuánto).

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Ejemplo: discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x 1

x x x x 1

x x 2x 4x 1

x x 2x 3x 2

+ + α + = ⎫⎪+ α + α + α = ⎪⎬

+ α + + = ⎪⎪+ α + + = ⎭

ESCENARIO 1: Si nos damos cuenta de que restando las dos últimas ecuaciones (tercera menos cuarta) obtenemos el valor de 4x 1= − ; sustituyendo este valor, hace que el sistema se simplifique y nos quede de tres ecuaciones con tres incógnitas:

4x 1= − 1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 2

x x x 1

x x 2x 5

+ + α = ⎫⎪

+ α + α = α + ⎬⎪+ α + = ⎭

Y ahora la discusión del rango de la matriz y su matriz ampliada puede hacerse por determinantes, o aplicando triangulación para simplificar. Si lo hacemos por determinantes, tenemos

[ ]1 1 1 1 2

A 1 A |b 1 1

1 2 1 2 5

α α⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= α α = α α α +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para que el rango de A sea 3, su determinante debe ser distinto de cero. Vamos a ver cuánto vale el determinante y para qué valores de α vale cero, o distinto de cero: 2 2 2 2det(A) 2 2 3 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤= α+α +α − α +α + = −α + α−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Buscamos los valores deα para que sea cero:

21

3 2 02

=⎧−α + α − = ⇒ α = ⎨

=⎩

Entonces, si 1, 2α ≠ α ≠ el rango de A es 3, y también el de la ampliada (no puede ser más de 3), luego el sistema es de Cramer: compatible determinado. La solución es:

3 2 2

1 22 2

2 1 1 2

det 1 det 1 1

5 2 1 5 26 5 2 3 2x ; x 1det(A ) 3 2 det(A ) 3 2

α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟α + α α α + α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α − α + α − −α + α −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = =

−α + α − −α + α −

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2

3 42

1 1 2

det 1 1

1 5 5 4x ; x 1det(A ) 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟α α +⎜ ⎟⎜ ⎟α −α + α −⎝ ⎠= = = −

−α + α −

Si 1α = tenemos el sistema:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 2

x x x 2

x x 2x 5

+ + = ⎫⎪

+ + = ⎬⎪+ + = ⎭

que es compatible indeterminado (notemos que ahora ya no hay parámetro y se trata de un sistema ‘normal’), con solución

1 2 2 2 3 4x 1 x ; x x (cualquier valor); x 3; x 1= − − = = = Por último, si 2α = tenemos el sistema:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x 2x 2

x 2x 2x 3

x 2x 2x 5

+ + = ⎫⎪

+ + = ⎬⎪+ + = ⎭

que es incompatible (se ve claramente que las dos últimas ecuaciones no pueden cumplirse a la vez: o vale 3, o vale 5) ESCENARIO 2: Si no nos damos cuenta de la simplificación, debemos trabajar con un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Para calcular el rango de A y de la ampliada es engorroso hacerlo con determinantes. Es mejor hacer primero triangulación:

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[ ]

1 1 1 1segunda fila + (-1)·∙primera fila

1 1A |b tercera fila + (-1)·∙primera fila

1 2 4 1cuarta fila + (-1)·∙primera fila

1 2 3 2

1 1 1 1

0 1 0 1 0 tercera fila + (-1)·∙s0 1 2 3 0

0 1 2 2 1

α⎛ ⎞⎜ ⎟

α α α⎜ ⎟=⎜ ⎟α⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠

α⎛ ⎞⎜ ⎟

α − α −⎜ ⎟⎜ ⎟α − − α⎜ ⎟⎜ ⎟α − − α⎝ ⎠

egunda filacuarta fila + (-1)·∙segunda fila

1 1 1 1

0 1 0 1 0cuarta fila + (-1)·∙tercera fila

0 0 2 4 0

0 0 2 3 1

α⎛ ⎞⎜ ⎟

α − α −⎜ ⎟⎜ ⎟− α − α⎜ ⎟⎜ ⎟− α − α⎝ ⎠

1 1 1 1

0 1 0 1 0

0 0 2 4 0

0 0 0 1 1

α⎛ ⎞⎜ ⎟

α − α −⎜ ⎟⎜ ⎟− α − α⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Trabajando con esta matriz (y la ampliada) ya es más fácil la discusión, pues al ser una matriz triangular superior, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: det(A ) ( 1) (2 ) ( 1) ( 2)= − α − −α = α − α − Tenemos entonces los casos: a) 1, 2α ≠ α ≠

el rango de la matriz y el de la ampliada son 4, igual al número de incógnitas, luego es un sistema compatible determinado: solución única

b) 1α =

el rango de la matriz y el de la ampliada son 3, luego es un sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones

c) 2α =

el rango de la matriz es 3, pero el de la ampliada es 4, luego es un sistema incompatible. No tiene solución

Las soluciones, en los casos que existen, coinciden con las obtenidas anteriormente y se obtienen fácilmente resolviendo el sistema de abajo hacia arriba.

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