ELEMENTOS PARA EL ANLISIS DIDCTICO DE SITUACIONES PROBLEMA EN LA FORMACIN MATEMTICA DE MAESTROS

Juan D. Godino. Universidad de Granada

Mauro Rivas. Universidad de los Andes. Venezuela

Walter F. Castro. Universidad de Antioquia. Colombia

Patricia Konic. Universidad de Ro Cuarto. Argentina

Resumen

El presente documento trata de ejemplificar, a travs de tres situaciones-problema que

involucran conocimientos referidos a proporcionalidad, fracciones y nmeros decimales, el

uso de la Gua para la identificacin de objetos y significados matemticos, como un

recurso potencialmente til para el desarrollo de competencias de anlisis didctico en la

formacin de futuros profesores de primaria. Se describe una experiencia en curso en la que

se aplica la herramienta mencionada a tres situaciones problemas usadas en una de las fases

de los ciclos formativos experimentados.

Abstract

This paper intends to exemplifies, through three problems about proportionality, fractions and

decimal numbers, the use of the instrument Guide for the identification of objects and

mathematical meanings, as a mean to develop primary student teachers` didactic

competencies. It is described an experience where the Guide is applied to three different

problems.

Competencias de anlisis didctico1

Teniendo en cuenta algunos aspectos del enfoque ontosemitico del conocimiento y la

instruccin matemtica desarrollado por Godino y colaboradores (Godino, Batanero y Font,

2007), presentamos un esquema de clasificacin de las competencias especficas para la

formacin didctica de los profesores.

1 Consideramos como anlisis didctico el estudio sistemtico de los factores que condicionan los

procesos de enseanza y aprendizaje de un contenido curricular o de aspectos parciales del mismo con unas

herramientas tericas y metodolgicas especficas. Gallardo y Gonzlez (2006) describen dicho anlisis como

una metodologa de investigacin educativa (bsqueda de fuentes y tipos de informacin de las distintas reas de

conocimiento implicadas, meta-anlisis de las investigaciones previas, delimitacin de cuestiones abiertas y

formulacin de conjeturas). Por su parte, Gmez (2002) llama anlisis didctico a una metodologa de diseo,

implementacin y evaluacin de programaciones curriculares de aula en el contexto de la formacin de

profesores de matemticas.

2

1. Competencias referidas al diseo e implementacin de procesos de estudio matemtico:

- Seleccionar y reelaborar los problemas matemticos idneos para los alumnos de los

distintos niveles, usando los recursos lingsticos y medios apropiados en cada

circunstancia.

- Definir, enunciar y justificar los conceptos, procedimientos y propiedades matemticas,

teniendo en cuenta las nociones previas necesarias y los procesos implicados en su

generacin.

- Implementar configuraciones didcticas que permitan identificar y resolver los conflictos

semiticos en la interaccin didctica y optimizar el aprendizaje matemtico de los

alumnos.

- Reconocer el sistema de normas sociales y disciplinares que restringen y hacen posible el

desarrollo de los procesos de estudio matemtico y aportan explicaciones plausibles de los

fenmenos didcticos.

2. Competencias referidas a conocimientos didcticos especficos y valoracin de la

idoneidad didctica:

- Conocer las aportaciones de la Didctica de la Matemtica a la enseanza y aprendizaje de

los bloques de contenidos y procesos matemticos tratados en educacin primaria

(secundaria), y referidas a: desarrollo histrico (desde una perspectiva epistemolgica) de

los contenidos a ensear, orientaciones curriculares, etapas de aprendizaje, tipos de errores

y dificultades, patrones de interaccin didctica y sus efectos en el aprendizaje, uso de

recursos tecnolgicos y materiales manipulativos, propuestas de enseanza

experimentadas previamente, instrumentos de evaluacin, etc. Estos conocimientos le van

a permitir reconstruir un significado de referencia matemtica y didctica para los

procesos de estudio pretendidos o implementados, y en consecuencia emitir un juicio

valorativo sobre los mismos que oriente el incremento de la idoneidad didctica de tales

procesos.

- Valorar la idoneidad didctica de los procesos de estudio planificados o implementados en

sus distintas dimensiones (epistmica, cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y

3

ecolgica). Esta competencia supone desarrollar en el profesor una actitud positiva hacia

la enseanza de las matemticas, valorando su papel formativo y utilidad en la educacin

de los ciudadanos y profesionales.

El desarrollo de las competencias didcticas es un desafo complejo para los formadores de

profesores por la diversidad de dimensiones y componentes a tener en cuenta. Una de tales

dimensiones se refiere al anlisis de los propios conocimientos matemticos, para los cuales

ser necesario adoptar una visin amplia que reconozca el papel central de la actividad de

resolver problemas en la generacin del conocimiento.

Desarrollo de competencias de anlisis didctico

Situados en el contexto anterior, con el objeto de fomentar el desarrollo de competencias de

anlisis didctico en la formacin de futuros profesores de primaria, estamos experimentando

la aplicacin de ciclos formativos sobre las matemticas y su didctica, los cuales comprenden

los siguientes tipos de situaciones:

1) Resolucin de problemas de acuerdo a un modelo didctico socio-constructivo-

instruccional.

2) Reflexin epistmico-cognitiva sobre los objetos y significados2 puestos en juego en

la resolucin de problemas.

3) Anlisis de las interacciones en la clase de matemticas.

4) Reconocimiento del sistema de normas que condicionan y soportan la actividad de

estudio matemtico.

5) Valoracin de la idoneidad didctica del proceso de estudio matemtico

experimentado.

En estos procesos de estudio se implementa una trayectoria didctica que contempla las

siguientes fases o momentos:

2 Los objetos y significados matemticos sobre los que se orienta la reflexin se describen en Godino,

Batanero y Font (2007), as como los supuestos antropolgicos que sirven de base al enfoque ontosemitico.

Los estudiantes son introducidos progresivamente en el reconocimiento de tales objetos y procesos, as como a la

perspectiva plural y relativista del significado de los objetos matemticos.

4

1) Presentacin de las consignas.

2) Exploracin personal

3) Trabajo cooperativo en equipos para elaborar una respuesta compartida.

4) Presentacin y discusin

5) Institucionalizacin por el formador, explicitando los conocimientos pretendidos

6) Estudio personal de documentos de trabajo seleccionados, apoyado por las tutoras

individuales y grupales.

Un ciclo formativo de este tipo se describe en Godino, Batanero, Roa y Wilhelmi (2008)3

basado en el estudio de nociones elementales de estadstica a partir de un proyecto de anlisis

de datos.

Herramientas para el anlisis didctico

El proceso de estudio propuesto y el desarrollo de la trayectoria didctica referida contemplan

la realizacin de un conjunto de actividades de anlisis didctico de la propia prctica

docente. El anlisis se basa en la aplicacin de algunas herramientas tericas desarrolladas en

el marco del Enfoque Ontosemitico del conocimiento y la instruccin matemtica

(Godino, Batanero y Font, 2007), en particular las nocin de configuraciones epistmicas y

cognitivas.

El estudio de las configuraciones epistmicas y cognitivas en la resolucin de problemas, se

realiza utilizando la Gua para la identificacin de objetos y significados matemticos. Para

llevar a efecto este anlisis se realizan las siguientes actividades:

a) Seleccin de una situacin problema.

b) Bsqueda de soluciones.

3 Las publicaciones donde se desarrolla el Enfoque Ontosemitico estn disponibles en Internet:

http://www.ugr.es/local/jgodino

5

c) Elaboracin de las configuraciones epistmicas de los objetos y significados puestos

en juego en las soluciones.

d) Resolucin de la situacin problema por parte de los estudiantes.

e) Revisin de respuestas de los estudiantes al problema y elaboracin de las

configuraciones cognitivas correspondientes.

El uso de la gua de identificacin de objetos y significados permite reflexionar sobre la

naturaleza de la actividad matemtica puesta en juego en la resolucin de la situacin

problema correspondiente.

En las siguientes secciones presentamos el desarrollo de lo concerniente al apartado c) de las

actividades anteriormente mencionadas, en la resolucin de tres situaciones-problema

diferentes. Tales situaciones-problema fueron propuestas en diferentes momentos a un grupo

de estudiantes de magisterio, como situaciones introductorias al estudio de los temas a los

cuales estn referidas, en el marco de una asignatura dirigida a completar su formacin

matemtica desde la perspectiva de la enseanza. Otro ejemplo de este tipo de anlisis

epistmico/cognitivo se ha realizado en Godino, Rivas, Castro y Konic (2008b).

Anlisis didctico de problemas matemticos

4.1. Una situacin introductoria para el estudio de la proporcionalidad

Como situacin introductoria al tema de la proporcionalidad se ha realizado con un grupo de

60 estudiantes del curso Matemticas y su Didctica del primer ao de la carrera de

magisterio, una exploracin inicial de los conocimientos de estos estudiantes sobre el tema.

Dando lugar al desarrollo del primer momento del ciclo formativo correspondiente. Se inicia

la experiencia proponiendo a los estudiantes la resolucin de cuatro situaciones-problema,

relacionadas con el contenido matemtico proporcionalidad directa y simple. La ltima

situacin-problema se considera asociada al conocimiento para ensear la proporcionalidad.

El anlisis epistmico que aqu se presenta se realiza sobre esta ltima situacin problema.

Las situaciones-problema, referidas se presentan a continuacin:

6

1) Un coche consume 8,4 litros de gasolina cada 100 km. Cuntos kilmetros puede

recorrer con 25,2 litros?

2) Cules de las siguientes tablas expresan magnitudes proporcionales? (Los nmeros

expresan las medidas de las cantidades correspondientes)

A 1 2 3 4 5

B 7 14 21 28 35

L 4 8 12 16 20

S 36 72 108 144 180

T 1 2 3 4 5

E 100 200 300 400 500

Comprueba tus respuestas, representando grficamente cada tabla en diagramas

cartesianos.

3) De los siguientes pares de magnitudes, cules son directamente proporcionales?

a) Lado del cuadrado y su superficie

b) Lado del cuadrado y su permetro

c) Edad y altura de las personas

Justifica tu respuesta usando una tabla para cada uno

4) Explica con tus propias palabras cundo dos magnitudes son directamente

proporcionales. Pon un ejemplo, construye su tabla y represntala grficamente.

4.1.1. Anlisis previo de la situacin-problema

A continuacin se presentan algunos de los tipos de objetos y significados puestos en juego en

la solucin de uno de los problemas del instrumento (por razones de espacio se omiten los

anlisis de los otros tres problemas). El anlisis se realiza sobre el problema 4, siguiendo la

metodologa desarrollada en Godino, Rivas, Castro y Konic (2008a).

7

Situaciones-problema

Objetos Significados

Explicacin Proporcionar una definicin de magnitudes

directamente proporcionales.

Ejemplo de proporcionalidad

directa

Situacin particular que cumple con las reglas que

caracterizan una relacin de proporcionalidad entre

magnitudes.

Elaboracin de la tabla con

pares de nmeros

proporcionales

Mostrar el conocimiento de que la proporcionalidad

involucra una secuencia de pares de nmeros que

cumplen la regla que caracteriza una relacin de

proporcionalidad.

Elaboracin del grfico

cartesiano correspondiente

Mostrar competencia para traducir la expresin

tabular a una representacin grfica cartesiana en la

que se manifiesta una disposicin lineal de los pares

de nmeros proporcionales.

Elementos lingsticos

Objetos Significados

Explica con tus propias palabras

cundo dos magnitudes son

directamente proporcionales

Enunciado de la definicin de magnitudes

directamente proporcionales

Secuencia de pares de nmeros

proporcionales

Relacin de proporcionalidad directa

Conjunto de puntos linealmente

dispuestos en el grfico cartesiano

Relacin de proporcionalidad directa

Conflictos potenciales:

Uso de las expresiones mayor (menor) en A implica mayor (menor) en B para

caracterizar la proporcionalidad directa. Uso de reglas intuitivas (Tirosh y Stavy, 1999).

Ubicacin incorrecta de la secuencia de pares de nmeros proporcionales en el grfico

cartesiano.

8

Conceptos/definiciones

Objetos Significados

Magnitudes proporcionales Las magnitudes son proporcionales si la razn de las

cantidades correspondientes es constante.

Sucesin de pares de nmeros

proporcionales

La razn de los pares de nmeros correspondientes

es constante.

Constante de proporcionalidad Razn entre dos medidas de cantidades

correspondientes cualesquiera.

Conflictos potenciales:

No reconoce la relacin constante entre las razones de los pares de nmeros proporcionales.

Propiedades

Objetos Significados

P1: Si se multiplican las cantidades de una magnitud

por un nmero, las cantidades de la otra magnitud se

multiplican por el mismo nmero.

Permite obtener trminos de la

secuencia de pares de nmeros

proporcionales.

Conflictos potenciales:

- No encontrar la propiedad P1.

Procedimientos

Objetos Significados

Generacin de pares de nmeros

proporcionales

Obtener los pares que constituyen los

trminos de las sucesiones de magnitudes

proporcionales.

Construccin de la tabla Representar la relacin de

proporcionalidad de manera extensiva

(numrica).

Construccin de la representacin grfica Representar la relacin de

proporcionalidad de manera extensiva

(grfica).

Conflictos potenciales:

9

- Obtener pares de nmeros no proporcionales.

- Elaborar una tabla o grfico incorrecto o incompleto.

Argumentos

Objetos Significados

A1: La razn de las cantidades

multiplicadas por el mismo nmero es la

misma constante de las magnitudes

previas.

Justifica la propiedad P1

Conflictos potenciales:

- No identificar la propiedad P1.

4.2. Una situacin introductoria al estudio de las fracciones

A continuacin presentamos el enunciado de una situacin-problema numrico-algebraico.

Cuando lanzamos una pelota desde una cierta altura, rebota hasta un quinto de la altura a

la que se lanz. Si despus de tres botes la altura alcanzada es de 6 cm., a qu altura

inicial se lanzo la pelota? 1) Resuelve el problema; 2) Explica la solucin utilizando

alguna representacin grfica; 3) Explica la solucin usando notacin algebraica.

4.2.1. Anlisis previo de la situacin-problema

Presentamos a continuacin el anlisis a priori de los objetos y significados matemticos que

se ponen en juego durante la actividad de solucin del problema anterior, e identificamos los

potenciales conflictos de significado, siguiendo la metodologa desarrollada en Godino y cols.

(2008a).

1

Elementos lingsticos

Tipos de objetos Significados

Lanzamos una pelota desde una

cierta altura

Refiere a una experiencia fsica y el valor

desconocido (incgnita) de una cantidad.

Rebota hasta un quinto de la

altura a la que se lanz

Establece la relacin numrica entre la altura desde

la que cae y la altura a la cual rebota; fraccin 1/5.

Si despus de tres rebotes la altura

alcanzada es 6 cm.

La relacin numrica se compone tres veces

consigo misma, fraccin de fraccin, asigna una

medida a la altura final alcanzada.

6))5

1(

5

1(

5

1=x

Uso de la letra x para indicar la incgnita,

expresin de la relacin entre los datos, las

condiciones y la incgnita.

Conflictos potenciales:

La fraccin (1/5) acta sobre una cantidad desconocida, se puede pensar que no es posible

resolver el problema, dado que la altura desde la cual cae no se conoce.

No se obtiene una equivalencia procedimental para la expresin rebote que en este caso

equivale a 1/5.

No se interpreta la expresin si despus de tres rebotes como una composicin

multiplicativa del operador consigo mismo.

La altura alcanzada es de 6 cm. no se interpreta como la ltima altura despus de tres

rebotes.

La solucin algebraica, expresada mediante la ecuacin, presupone la puesta en acto de

conceptos, propiedades y procedimientos, enmarcados en un juego de lenguaje y

articulados para hallar el valor de la incgnita. Lo cual es un reto para los estudiantes por la

coordinacin entre las diferentes entidades primarias.

Conceptos

Tipos de objetos Significados

Fraccin Modo de expresar una parte de un todo dividido en

partes iguales.

1

Incgnita Letra que se le asigna a un valor desconocido.

Igualdad Expresin matemtica que relaciona dos nmeros

Conflictos potenciales:

No se utiliza la fraccin como un todo dividido en partes iguales dado que no se conoce el

todo inicial.

Se identifica una cantidad desconocida pero no se opera sobre ella.

No se identifican las dos cantidades que son iguales y no se plantea una relacin entre ellas.

Propiedades

Tipos de objetos Significados

Dada una cantidad que es el

resultado de una reduccin (a/b)

de un nmero desconocido,

podemos conocer el nmero.

La suma de las partes da el total.

La multiplicacin de un nmero,

diferente de cero, por su inverso

multiplicativo da uno. Ponerlos en

correspondencia con los

conflictos potenciales.

Despejar la incgnita.

Conflictos potenciales:

No se identifican las dos cantidades que son iguales.

La fraccin como operador no se usa cuando no se conoce el nmero sobre el cual se aplica

el operador.

Procedimientos

Tipos de objetos Significados

Hallar la fraccin de una cantidad Dada la altura a la cual rebota, encontrar la altura

desde donde se lanz.

Multiplicar el valor 6 por 5x5x5 Procedimiento numrico que permite encontrar la

altura inicial a partir de la ltima altura, despus de

tres rebotes.

1

Conflictos potenciales:

No se identifica que 6 cm. es el ltimo rebote, que corresponde a un quinto de una cantidad

puede encontrarse, al multiplicar por cinco, revertiendo la operacin inicialmente aplicada

de fraccionar entre cinco. Tensin entre dos enfoques del nmero racional:

duplicador/particin y el amplificador/reductor (Behr, Khoury, Harel, Post y Lesh, 1997).

Argumentos

Tipos de objetos Significados

Si 6 es la quinta parte de una

cantidad desconocida, entonces

podemos encontrar la cantidad

desconocida.

Relacin entre el antecedente y el consecuente de

la fraccin, interpretada como operador.

Si x es la altura inicial

desconocida y cada vez que la

pelota rebota, la altura se reduce

en un quinto, y si rebota tres

veces, entonces la altura final

alcanzada ser:

x

5

1

5

1

5

1

Se relaciona la altura desconocida con el

procedimiento que la transforma al reducir la altura

cada vez en un quinto de la altura previa.

Si la altura final alcanzada es de 6

cm. y la altura final corresponde a

la expresin algebraica del

rengln anterior, entonces

tenemos la relacin:

65

1

5

1

5

1=

x

Se vinculan dos cantidades, que de acuerdo con el

enunciado del problema, son iguales.

Conflictos potenciales:

No proponer la argumentacin: si la pelota rebot un quinto cada vez y si la altura

alcanzada es de 6 cm. entonces la altura desde la cual rebot fue 6x5.

1

No vincular las dos cantidades que se relacionan y que son iguales, la altura inicial que se

reduce en un quinto cada vez que rebota y el valor final de la altura alcanzada en el tercer

rebote.

4.3. Una situacin introductoria al estudio de los nmeros decimales

A continuacin presentamos el enunciado de un problema sobre nmeros decimales.

Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Son decimales los nmeros 13456789 y 27454545 (45 repetido

indefinidamente)? Justifica la respuesta.

b) Cul es la fraccin que es igual a 27454545 (45 repetidamente)?

c) Es un nmero decimal el nmero cuya expresin decimal es 458999 (una

infinidad de 9)? Justifica la respuesta.

d) Explica la diferencia entre nmero decimal y expresin decimal de un nmero

real.

4.3.1. Anlisis previo de la situacin-problema

Similar a lo expuesto anteriormente, a continuacin se muestra un anlisis epistmico previo

(objetos y significados) de una posible solucin al problema anterior.

Elementos lingsticos

Objetos Significados

Son decimales los nmeros.? Concepto de nmero decimal

45 repetido indefinidamente Periodicidad e infinitud de cifras decimales

una infinidad de 9 Periodicidad e infinitud de cifras decimales

13456789

27454545

458999

Expresiones decimales de nmeros racionales:

Racional decimal

Racional no decimal

Racional decimal con expresin decimal

peridica

Cual es la fraccin que Fraccin generatriz de un nmero racional

Explica la diferencia entre nmero

decimal y expresin decimal.

Distincin conceptual entre ambas nociones

Expresin del procedimiento para Procedimiento de clculo de la fraccin generatriz

1

hallar la fraccin generatriz

Expresin de las justificaciones en

los incisos a) y c)

Argumentos que establecen la verdad de las

proposiciones

Conceptos/definiciones

Objetos Significados

Fraccin Representante de un nmero racional

Nmero decimal Nmero racional que tiene como representante

una fraccin decimal

Nmero racional Clase de fracciones equivalentes

Expresin decimal de un nmero

real

Representacin de un nmero real en la forma:

abcd, donde a,b,c,d,. Son nmeros naturales

Nmero decimal cuya expresin

decimal tiene infinitas cifras.

Expresin del nmero decimal a,bc(d+1) en la

forma: a,bcd99999

Fraccin generatriz de la expresin

decimal peridica de un nmero

racional

Fraccin que interpretada, al dividir numerador y

denominador genera la expresin decimal del

racional correspondiente

Propiedades/Proposiciones

Objetos Significados

P1: Para toda expresin decimal

peridica existe una fraccin

generatriz

Permite decidir si el racional correspondiente es

un nmero decimal

P2: Si la expresin con comas de un

nmero racional se puede convertir

en fraccin decimal, entonces el

racional es un nmero decimal.

Permite decidir si el racional correspondiente es

un nmero decimal

P3:

a) 1456789 es decimal

b) 27454545no es decimal

c) La fraccin generatriz de b) es:

11

302

a) Establece que 1456789 pertenece a la clase

de los nmeros decimales.

b) Determina que el nmero 27454545 no

pertenece a la clase de los decimales.

c) Justifica que el nmero 27454545., no

1

11

302

d) El nmero 4589999., es el

decimal 459

pertenece a la clase de los decimales.

d) Caracteriza a los nmeros decimales con

expresin decimal infinita.

P4: Si en la descomposicin en

factores primos del denominador de

una fraccin irreducible solo existen

las potencias de 2 y 5, entonces el

racional respectivo es un nmero

decimal.

Permite decidir si el racional correspondiente es

un nmero decimal.

Procedimientos

Objetos Significados

Tcnica para hallar la fraccin

generatriz de un nmero racional

Obtencin de fracciones generatrices par decidir

si el nmero es decimal

Comparacin conceptual entre

nmero y expresin decimal de un

nmero

Establecer diferencias entre ambos conceptos

Argumentos

Objetos Significados

A1: Deductivos, considerando los casos expresin

decimal finita, peridica pura o mixta.

A2: Del cambio de representacin se cumple la

definicin de nmero decimal

A3: De la forma de representacin, con coma, que

tenga un nmero y la aplicacin de la propiedad P2,

se determina si un nmero es decimal

A4: Teorema directo: multiplicando numerador y

denominador por potencias de 2 y/o 5

convenientemente.

Teorema recproco: Reduccin al absurdo (Godino y

cols, 2004, p. 129)

Establecen la verdad de la

proposicin

Correspondiente

1

Reflexiones finales

Consideramos que la realizacin de este tipo de anlisis es potencialmente til para los

profesores de matemticas, pudindose aplicar tanto a las soluciones esperadas desde el punto

de vista del profesor, como a las soluciones dadas por los estudiantes. El anlisis de la

matemtica en accin que realizamos en este trabajo se considera una competencia

instrumental del profesor de matemticas al permitirle reconocer la complejidad de objetos y

procesos matemticos puestos en juego en las actividades matemticas, prever potenciales

conflictos, adaptarlas a las capacidades de sus estudiantes y a los objetivos de aprendizaje.

Esta nueva situacin-problema de anlisis epistmico-cognitivo que comprende tanto

anlisis previos de las posibles soluciones, as como de las soluciones dadas por los alumnos,

la estamos experimentando con diversos grupos de estudiantes y diferentes problemas

matemticos elementales. Como primeras conclusiones de estas experiencias podemos decir

que la actividad es un reto para los futuros profesores; resulta conflictiva la identificacin y

discriminacin de los tipos de objetos y significados, ya que usualmente supone un cierto

nivel de actividad metacognitiva a la que no estn habituados.

Se considera vlido el esfuerzo que comprende la realizacin de estas actividades de anlisis

porque, entre otras cosas, permitir hacer conscientes a los profesores en formacin, en los

trminos propuestos por Mason y Spencer (1999), del conocimiento necesario, puesto en

juego, en la resolucin de una situacin-problema. Tal conciencia potenciara las

posibilidades de saber para actuar en el momento (knowing-to act in the moment) de quien

ms tarde orientar el proceso de enseanza y aprendizaje.

Aunque este tipo de anlisis se revela til para el formador de profesores, consideramos que

es posible y deseable capacitar a los futuros profesores para realizar anlisis similares de sus

propias experiencias de enseanza y aprendizaje. La actividad de resolucin se complementa

con la reflexin epistmico cognitiva provocada por las consignas: Qu matemticas se

pone en juego en la resolucin del problema? Qu matemtica ha puesto en juego el

alumno?; estas preguntas se apoyan en el uso de las herramientas tericas del enfoque

ontosemitico, concretadas en este caso en los ejemplos presentados.

Referencias

1

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pre-service elementary school teachers strategies on a rational-number-as operador

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Zaragoza.

Godino, J. D. Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in

mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39

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Godino, J. D., Batanero, C., Font , V. y Wilhelmi, M. R. (2007). Anlisis didctico de

procesos de estudio matemtico basado en el enfoque ontosemitico. Conferencia

invitada en el IV Congresso Internacional de Ensino da Matematica. ULBRA, Brasil,

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Godino, J. D., Rivas, M., Castro, W. F. y Konic, P. (2008a). Desarrollo de competencias para

el anlisis didctico del profesor de matemticas. VI Jornadas de Educacin

Matemtica Regin Murcia. (pp. 25-49). Murcia: Centro de Profesores y Recursos de

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Godino, J. D., Rivas, M., Castro, W. F. y Konic, P. (2008b). Epistemic and cognitive analysis

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Gmez, P. (2002). Anlisis didctico y diseo curricular en matemticas. Revista EMA, 7 (3):

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Botn1: