1. Modelos Estáticos de Oligopolio - Rgc

Ral Garca Carpio Organizacin Industrial

Pontificia Universidad Catlica del Per

Maestra en Economa

Modelos Estticos de Oligopolio

Ral Garca Carpio

Lima, 2014


2

Contenido

El Modelo de Cournot

Duopolio con costos simtricos

Caso de N empresas

Duopolio con costos asimtricos

Duopolio con costos cuadrticos

Liderazgo en cantidades: El Modelo de Stackelberg y Cartel

El Modelo de Cournot y la Medicin del Poder de Mercado

Competencia en Precios y la Paradoja de Bertrand

El Anlisis de Conjeturas y el parmetro de conducta

Modelo de Empresa Dominante y Franja Competitiva


3

En mercados oligoplicos la principal caracterstica es que existe interaccin entre las

conductas de las empresas que participan del mercado y cada una de ellas lo saben.

Ello implica que la funcin de demanda que enfrenta la empresa tenga que considerar lo

que hacen los rivales:

1 2 N i iQ q q q q Q

( )i iP P q Q

iQ

( )iP Q

( )D Q ( )R iD q( )R iIMg q

CMgLP

( )IMg Q

CMgLP

( )iP q

iq

Demanda

residual

Poder de Mercado Oligopolio (I)

Cada agente tendr una demanda residual que depender de las decisiones de los otros

agentes.


4

Equilibrio Nash-Cournot

2

C

M

Demanda del Mercado: P A - bQ

A - cCantidad de Competencia: Q

b

A - cCantidad de Monopolio: Q

b

En el caso de dos empresas, las empresas tendrn una Curva de Reaccin que les

indicar el nivel de produccin ptimo para cada nivel de produccin de la otra

empresa.

Poder de Mercado Oligopolio (II)

'

1

1 1 1

'' ' ''

q2 = constante

tres curvas isobeneficio para la empresa 1

Funcin de Reaccin de la empresa 1

q2

q1

A c

b

2

A c

b


5

Poder de Mercado Oligopolio (III)

1q

2q

1q

A c

2b

A c

b

'

2 '' '' '2 2 2

Curva de reaccin de la empresa 2


6

Equilibrio Nash-Cournot

El equilibrio de mercado se logra cuando ambas funciones de reaccin se crucen, punto E.

En este punto se definir el nivel de produccin de equilibrio que le corresponde a cada

empresa.

Para el caso analizado, de costos iguales, el nivel de produccin ser el mismo en el

ptimo, para ambas empresas, y por lo tanto tendrn la misma participacin de mercado.

Poder de Mercado Oligopolio (IV)

A cCantidad Total de Cournot = 2

3b

2R

1R

1q

2q

E 1 1 1

'' '' '

'

1

*

1

A cq =

3b

*

2

A cq =

3b


7

Nota : Equilibrio de Nash

Sean 2 firmas, 1 y 2, cuyas acciones son a1 y a2 (por ejemplo, producir a un nivel determinado).

Un par de acciones a1* y a2

* es un equilibrio de Nash, si para cada accin factible a1 y a2 se cumple que:

1 (a1*, a2

*) 1 (a1, a2

*)

Beneficios con la accin a1* son mayores a los que obtendra con cualquier otra

accin dado un nivel de produccin de la rival a2*

2 (a1*, a2

*) 2 (a1*, a2)

Beneficios con la accin a2* son mayores a los que obtendra con cualquier otra

accin dado un nivel de produccin de la rival a1*

Poder de Mercado Oligopolio (V)


8

En un juego a lo Cournot cada empresa escoge el nivel de produccin que maximiza sus

ganancias, dado el nivel de produccin de las empresas rivales.

= i iMax P Q q C q

Condicin de primer orden:

Expresando en funcin de la elasticidad y reordenando:

Poder de Mercado Oligopolio (VI)

0 dado que 0 entonces 1 se obtiene:ji ii i i

qP Q Qq P Q C' q , , ,

Q q q q

0i iP

q P Q C' qQ

Margen por una

unidad adicional Efecto sobre el precio para

las unidades ya producidas


9

Reordenando para obtener una expresin en funcin a la diferencia entre el precio y

el costo marginal:

Expresando en funcin de la elasticidad y reordenando:

0i iP QP Q

q P Q C' qQ P Q Q

1 i

i

qP Q C' q P Q

Q

1

0i iq

P Q P Q C' qQ

1i iP Q C' q q

P Q Q

Poder de Mercado Oligopolio (VII)


10

Si llamamos i is q / Q, tenemos :

1

1

i ii

i

X

q qs

Q Nq N

P C'Li

P N

En el caso de n firmas idnticas tenemos:

X iIndice de Lerner( Li ) s /

Es decir, en un mercado donde las empresas compiten a lo Cournot, la diferencia entre

el precio y el costo marginal estar en proporcin directa a su participacin de

mercado y ser inversamente proporcional a la elasticidad de la demanda del mercado.

Poder de Mercado Oligopolio (VIII)


11

Obtencin de la Curva de Reaccin de la Empresa 1 en un caso lineal:

1

1

1

1 1 1

1 1 2 1 1

2

1 1 1 1 2 1

=

= A-b q

=A

q

q

q

Max P Q q C q

Max q q cq

Max q bq bq q cq


Poder de Mercado Oligopolio (IX)

11 2

1

2 1

21

2 1

2 0

2

2

1

2

A bq bq cq

A c bq bq

A c bqq

b

S q q


12

Sabiendo que la curva de reaccin de la empresa 2 es simtrica, podemos

despejar las cantidades de equilibrio de la siguiente ecuacin:

Poder de Mercado Oligopolio (X)

2 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 2

1

2

1 1

2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1

4 4

1 3

4 4 3 3

S q q

S S q q

S S q q

S q q

S q q

S SS q q q


13

Ejemplo del Modelo de Cournot (I)

Consideremos dos empresas (1 y 2), la demanda de mercado viene dada por:

QAPPAQ (1)

Donde:

Asumimos que costo marginal de ambas empresas es el mismo e igual a cero (CMg=0) y

que A =1.

1 2Q q q


14

Ejemplo del Modelo de Cournot (II)

Paso 1

En un primer momento, la empresa 1 se comporta como un monopolista, por lo que decidir cunto

producir igualando su ingreso marginal con su costo marginal (IMg = CMg).

Maximizacin de beneficios (q1 = Q):

(1 ) PQ CMgQ Q Q CMgQ

1 2 1 2 0 0Q CMg QQ

1

12

q

Reemplazando en la ecuacin 1 despejamos el precio:

1 1 1P A 12 2 2


15

Ejemplo del Modelo de Cournot (III)

Modelo de Cournot - Empresa 1 como monopolista

IMg D

CMg = 0

q1

P

q1=1/2

P=1/2


16

Ejemplo del Modelo de Cournot (IV)

IMg2

Demanda residual para

2

D: Q = A - P

q1 + q2 = A - P

P = A - q1 - q2

P = 1 - q1 - q2

CMg=0

q2

P

q1 = 1/2

P = 1/4

q2 = 1/4

Q = 3/4

Demanda Residual 1 2 21

= A- q - q = 1- - q2

( )2 21

Demanda Residual = P q = - q2

2 2 2 2 2 2 2

1( ) . ( ) .

2P q q CMg q q q CMg q

22

2

12 0 0

2q

q

2

1

4q 4

1)( 2 qP

Modelo de Cournot - Entrada de la empresa 2

Paso 2

En un segundo momento entrar una nueva empresa, que tomar como dada la produccin de

la primera, y maximizar sus beneficios como monopolista sobre su demanda residual.

Maximizacin de beneficios:


17

Ejemplo del Modelo de Cournot (V)

1 1 1 1( ) .P q q CMg q

1 1 1 1

3( ) .4

q q CMg q

11

1

32 0

4q

q

1

3

8q

8

3

8

3

4

3)( 1 qP

IMg1

Demanda residual para 1

Q = A - P

P= A - q2 - q1

P= 1 - - q1 P= - q1

CMg =0

q

P

q2 = 1/4

P = 3/8

q1 = 3/8

Q = 5/8

Paso 3

Este nuevo nivel de precios har que la empresa 1 realice una reevaluacin de su primera decisin.

Modelo de Cournot - Reaccin de la empresa 1 Mximo beneficio para la firma 1:


18

Ejemplo del Modelo de Cournot (VI)

2 2 2 2( ) .P q q CMg q

2 2 2 2

5( ) .8

q q CMg q

22

2

52 0

8q

q

2

5

16q

16

5

16

5

8

5)( 2 qP

Paso 4 La empresa 2 debe reevaluar su decisin teniendo en cuenta el nuevo nivel de produccin de la empresa 1:

Mximo beneficio para la firma 2:

q1=3/8

IMg2

Demanda

residual para 2

D: Q = A - P

q1 + q2 = A - P

P = A - q1 - q2

P = 1 - 3/8 - q2

P(q2) = 5/8 - q2

CMg=0

P

q2 = 5/16 q

P=5/16

Q = 11/16

Modelo de Cournot - Reaccin de la empresa 2


19

Ejemplo del Modelo de Cournot (VII)

En base a estas decisiones se puede ir construyendo una relacin entre los niveles de

produccin ptimos de cada empresa, dado el nivel escogido por la empresa rival,

relacin que se conoce como Funcin de Reaccin.

Se puede mostrar que las cantidades

convergen a un equilibrio cuando

ambas empresas producen 1/3.

Funcin de

Reaccin de 1

Funcin de

Reaccin de 2

1/3, 1/3

3/8, 1/4

3/8, 5/16

1/2, 1/4

1/2, 0

0

1/6

1/3

1/2

2/3

4/5

1

0 1/6 1/3 1/2 2/3 4/5 1 q 1

q 2


20

Caso Cournot para n empresas:

En equilibrio para el caso de empresas simtricas se cumplir:

2

1

1

2 1 0

i i i

i i j i i

i i i j i i

ii j

i

p( Q )q cq

A b q ( N )q q cq

Aq bq b( N )q q cq

A bq b( N )q cq

1 1j i( N )q ( N )q

Cournot para n empresas (I)


21

Reemplazando:

Reemplazando se obtienen los precios y beneficios:

2 1 0

2 1

1

1

1

1

1

i i

i

i

i

i

i

i

A bq b( N )q c

A c b b( N ) q

A c b bN q

A c b( N ) q

A c b N q

A cq

b ( N )

Sq

( N )

Cournot para n empresas (II)


22

Recordando que:

1

1

1

1

1

p A bQ

A cp A b N

b ( N )

A( N ) N( A c )p

( N )

A Ncp

( N )

A cS

b

A Sb c

1

Sp c b

( N )

Obtenemos:

Cournot para n empresas (III)


23

2

1 1 1

1 1

1 1

1

1

i i i

i

i

i

i

p( Q )q cq

A c A c A cc c

N b( N ) b( N )

A c A cc c

b( N ) N

A c A c

b( N ) N

A c

b N

Obteniendo unos beneficios de:

Cournot para n empresas (IV)


24

1 1 1 1

2

1 1 1 2 1 1 1

1 1 21 2 1 1

1

2 02

p( Q )q c q

Aq bq bq q c q

A c bqA bq bq c q

q b

1 2 2 11 2

2 2

3 3

c c( s s ) ( s s )q , q

1 21 2

A c A cs , s

b b

Cournot con costos asimtricos (I)

En el caso de costos diferenciados para dos empresas que enfrentan una demanda lineal

y tienen costos marginales constantes, tenemos:

Tomando en cuenta que:

Obtenemos las funciones de reaccin: 1 1 2 2 2 11 1

2 2q ( s q ) ( i ) y q ( s q ) ( ii )

Y reemplazando (i) en (ii) hallamos

las cantidades de Cournot:


25

1

2

2 15 4 5 2 10 2 101 67

3 3 6

2 5 2 15 4 5 4 50 42

3 3 12

c

c

( / ) / /q . ,

( / ) / /q .

Si la funcin inversa de demanda es P=100-20Q, con c1=25 y c2=50 reemplazando

obtenemos:

11

22

100 25 153 75

20 4

100 50 52 5

20 2

A cs .

b

A cs .

b

Obtenemos las cantidades de Cournot para ambas empresas:

Vemos que la firma que posee una tecnologa con costos menores produce una mayor

cantidad de la produccin a lo Cournot, alrededor del 80% del total.

Cournot con costos asimtricos (II)


26

Si las dos empresas enfrentaran la funcin de demanda ya descrita y tuvieran el mismo

coste marginal, por ejemplo igual a 20, la produccin de cada una seria de 1.33.

Al poseer la primera empresa menores costes que la segunda empresa, provee una

mayor proporcin de la demanda de mercado.

Cournot con costos asimtricos (III)

q1

q2

1.33

1.33

Curva de reaccin de la

Firma 2: q2=1/2( S2 - q1)

1.67

0.42

A

B

Curva de reaccin de la Firma 1

(con un costo marginal menor)


27

Cournot con Costos Cuadrticos (I)

Y se enfrentan a la siguiente funcin de demanda inversa:

2 2C q q CMg q

2 2

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1

11 2 1 2 1

1

21

2 2 0 2 2

2

A b q q q C q Aq bq bq q q q

A bq bq q A bq b qq

A bqq ( i )

b

El problema de maximizacin de beneficios a resolver sera el siguiente:

1

22

A bqq ( ii )

b

En el caso de empresas simtricas sabemos que tambin debe cumplirse:

p A bQ

Supongamos que existen dos empresas que compiten a lo Cournot, y muestran las

siguientes funciones de costos :


28

Cournot con Costos Cuadrticos (II)

11

1

21 2

1 1 12

2 2

1 1 12 2 2 22

1 2 2

2

2 2

2 2

24 2

4

2 24 2

4 24

2

3 4 2

b A b A bqA bqA b

b bq

b b

b A b A bqq b q b A b A b q

b

A b A bb b q A b q q

b b bb b

A bq

b b

Reemplazando (ii) en (i) tenemos:


29

La empresa Lder juega primero y sabe que la empresa Seguidora tiene

conjeturas a lo Cournot. Esta informacin es incorporada por la empresa Lder

en su propia funcin objetivo. Se asumen productos homogneos.

La empresa lder se mueve a lo largo de curva

de reaccin del seguidor

Liderb S

2 2

2

;2

Lider Sq

Seguidorb S

4 2

2

El Modelo de Stackelberg - Liderazgo en cantidades (I)

4

Seguidor Sq Stackelberg

qL

qS

S/3

CR1

CR2

S/2

S/4

Cournot

S/3


30

1( )

2L S L LP A bq bq A bq b S q

1 1

2 2LP A bq bS

El Modelo de Stackelberg - Liderazgo en cantidades (II)

Para tener el precio de mercado en funcin de qL, se reemplaza qS por su funcin

de reaccin a lo Cournot:

Usando la definicin de S para reemplazar A tenemos:

1 1

2 2

1 1

2 2

L

L

P c bS bq bS

P c bq bS


31

1 1

2 2Lq L L L LMax ( c bS bq )q cq

Liderb S

2 2

2

;

La maximizacin de beneficios de la empresa lder (qL) se puede plantear como:

El Modelo de Stackelberg - Liderazgo en cantidades (III)

La condicin de primer orden es la siguiente:

10

2

2

L

Lider

c bS bq c

Sq


32

( )

2 4

LS

S q Sq

P c bS bS

P c bS

1

2

1

2 2

1

4

2

4 2S

b S

Sabiendo que la empresa seguidora opera a lo Cournot podemos calcular la cantidad a

producir de la siguiente forma:

El Modelo de Stackelberg - Liderazgo en cantidades (IV)

El precio de mercado ser el siguiente:


33

Se dice que cuando el aumento del valor de la

variable estratgica del rival hace que se reduzcan

(aumenten) los beneficios de la empresa, las

variables son sustitutos (complementarios)

estratgicos.

En el caso de Cournot las cantidades producidas

son sustitutos estratgicos.

El Modelo de Stackelberg - Liderazgo en cantidades (V)

En este caso, el lder se mueve a lo largo de Curva de Reaccin del seguidor

qL

qS

S/3

CRL

CRS

S/2

S/4

a b

qL)

L> L

qL)


34

0

1

1

1

L LL

L L L

SL L LL

L L L L

S LL

L L

S LL

L L

SL L

L

C( q )p( Q ) Qq p( Q )

q Q q q

qq C( q )p( Q )q p( Q )

q Q q q q

q C( q )p( Q )q p( Q )

Q q q

q C( q )p( Q ) Q pq p( Q )

Q p Q q q

qp pq q p( Q ) CMg

Q Q q

L

L SQ q q

El ndice de Lerner en el Modelo de Stackelberg (I)

La empresa lder maximizar sus beneficios: L L Lp(Q )q C( q )

En donde:


35

1

1

1 1

SL L L

L

SL LL

L

SLL L L

L

S sL L

L LLL

qp pp( Q ) CMg q q

Q Q q

qq qpp( Q ) CMg

Q Q q

qp( Q ) CMgIL S S

p q

q CRS S

q qp( Q ) CMgIL

p

Sabemos que la participacin de mercado del lder es: LLq

SQ

El ndice de Lerner en el Modelo de Stackelberg (II)


36

El Modelo de Stackelberg Ejemplo

Retomando la funcin inversa de demanda igual a P = A Q y costos marginales iguales a

cero (c = 0), y por lo tanto sabiendo que S = 1. podemos plantear el problema de

maximizacin de la empresa lder:

1

1

1

1

1 1 1 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1 1

2

1 1 1

11 1

1

1

11 1

2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 10

2 2

q

q

q

q

Max q q q

Max q q q

Max q q q q

Max q q

q qq

Reemplazando en la funcin de reaccin de q2 tenemos:

2

1 1 11

2 2 4q


37

Liderazgo mediante la formacin de un cartel (I)

1

2j K F Jq S Q Q ,

Cada empresa de la franja selecciona su produccin de acuerdo a la curva de reaccin:

donde: :es la produccin total del grupo restringido.

:es la produccin conjunta de toda la franja excepto la empresa j .

K

F J

Q

Q

El liderazgo en cantidades puede ser extendido de una sola empresa lder a un conjunto de

empresas que decide formar un cartel restringiendo la produccin e incrementando el precio. Si

los acuerdos para restringir la produccin no pueden imponerse mediante algn mecanismo de

sancin, el conjunto de la produccin restringida es internamente estable solo si cada empresa del

grupo restringido obtiene un mayor beneficio restringiendo la produccin que operando en el

grupo de la franja que acta siguiendo estrategias a lo Cournot, teniendo en cuenta la forma en

que las otras empresas ajustarn su comportamiento despus de su traslado.

A su vez, si existen empresas fuera del cartel, entonces la restriccin externamente estable solo

si cada empresa de la franja obtiene una mayor ganancia por permanecer en la franja que por

unirse al primer grupo, teniendo en cuenta la forma en que las otras empresas ajustarn su

comportamiento despus de su traslado.


38

2 0

f f f K F

F

f K fr f f f

fr f

Ff

K fr f

fr ff

p( Q )q cq , donde : Q Q Q

A b Q q q q cq

A bQ b q bq cq

1 1fr f( F )q ( F )q En equilibrio, para el caso de empresas simtricas, se cumplir:

2 0

1 2 0

1 21 1

F

K fr f

fr f

K f f

K KK f f f

A bQ b q bq c

A c bQ b F q bq

A c bQ S QA c bQ b F q q q ( i )

b F F

Liderazgo mediante la formacin de un cartel (II)

La produccin de una empresa de la franja estar dado por la siguiente maximizacin:


39

1

1

1 1

1

1 1 1

1

1

1

K F

KK

K K K K K

KK K

K

K

p A bQ p A b Q Q

S Qp A b Q F

F

F Q F S Q FQ Q FS FQp A b A b

F F

F A b Q FSQ FS AF A bQ ( A c )Fp A b

F F F

A bQ cFp y dado que : A Sb c

F

c FSb c bQ cFp

F

1 1

K

K

Sb bQ bp c S Q ( ii )

F F

Y la produccin total de la franja ser: 1

KF

S QQ F .

F

Liderazgo mediante la formacin de un cartel (III)


40

Dada esta funcin de demanda residual, la maximizacin del beneficio por empresa y

la produccin total del cartel ser:

1 1 1

2 2k Kq S y Q S ( iii )

K

Si se enfrenta a una franja de empresas a lo Cournot, un grupo de empresas que han

formado un cartel maximiza su rentabilidad produciendo una cantidad como si fuera un

lder a lo Stackelberg.

Sustituyendo (iii) en (i) y en (ii) obtenemos la produccin de una firma de la franja y el

precio de equilibrio:

1 1 1 1

1 2 1 2fq S , p c bS .

F F

Los beneficios por empresa, de las empresas dentro y fuera del cartel son los siguientes:

Liderazgo mediante la formacin de un cartel (IV)


41

2 2

2

1 1

1 2 21k f

b bF ,K S y F S ( iv )

K F F

respectivamente

Si analizamos el caso donde todas las empresas restringen la produccin (K=N), slo tenemos que

considerar la condicin para la estabilidad interna. La produccin restringida por todas las firmas es

estable solo si cada firma gana por lo menos lo mismo restringiendo la produccin como si se

desviara actuando a lo Cournot y formando una franja.

Utilizando (iv) al reemplazar y simplificar se obtiene que esta condicin se cumple slo si N es

menor que 4. Si cinco o ms firmas abastecen el mercado y producen restringidamente, cada

firma compartir los beneficios de monopolio que son tan pequeos que es ms rentable para la

empresa desviarse y actuar como una empresa independiente a lo Cournot dentro de la franja.

0 1k f,N

Liderazgo mediante la formacin de un cartel (V)


42

2 2

2

2 2

2

2

1 1

1 2 21

1 10 1

1 2 21 1

1 1 1

1 1

4

4

k f

k f

b bF ,K S F S

K F F

b b,N S S

N

b b

N

N

N

Liderazgo mediante la formacin de un cartel (VI)

Con la misma lgica se puede analizar la sostenibilidad de otros posibles crteles con

un nmero menor que N.


43

El resultado anterior sirve para relacionar la concentracin del mercado con la posibilidad

de un mayor markup a travs del denominado ndice de Herfindahl Hirchman (HHI).

Medidas de Poder de Mercado (III)

N N2

i=1 i=1

N

i=1

Multiplicando ambos lados por s y sumando para todos los ofertantes:

i X i

i X

X

s Li ( I ) s /

s Li ( I ) HHI /

L Indice de Lerner Pr omedio HHI /

Este indicador es la suma de las participaciones de mercado al cuadrado, aunque

tradicionalmente se le multiplica por 10,000 con la finalidad de tener un indicador de mejor

comparacin.

Internacionalmente se considera que un mercado competitivo debera tener un indicador de

concentracin menor a 1,000, lo cual es similar a 10 empresas con participaciones similares.

Ello implica un mark-up de 10% en el caso de elasticidad unitaria.


44

1000 1800

50

100

X X

X

X

X

X

Clasificacin de operaciones de concentracin en funcin a

nivel y variacin del IHH

Mercado

desconcentrado

Mercado

moderadamente

concentrado

Mercado

altamente

concentrado

Nivel

IHH

Variacin

IHH

Fuente: FTC


45

Limitaciones de las Medidas de Poder de Mercado

Las Medidas de Poder de Mercado tradicionales como el HHI ignoran algunos factores que en el sector elctrico son particularmente importantes: - La elasticidad de la demanda. Una demanda extremadamente inelstica en el corto plazo implicar que el margen entre los precios y los costos marginales crezcan en una proporcin importante. - El estilo de Competencia. El HHI es consistente con un tipo de competencia a lo Cournot (cantidades). Sin embargo, en mercados elctricos puede ser que la decisin de producir menos genere incentivos en los otros generadores a producir ms. Adicionalmente, en las subastas muchas veces se tienen que ofrecer funciones de oferta ante diferentes niveles de demanda. Por ltimo, en algunos casos puede haber competencia en precios (Bertrand). - Existencia de Mercados de Contratos. Estos pueden reducir el efecto de la baja elasticidad y el poder de mercado en el mercado spot; reduce los incentivos a abusar del poder de mercado (Green; 1999), lo cual debe tenerse en cuenta en la elaboracin del HHI. - La Extensin Geogrfica del Mercado. El tamao del mercado en los sistemas elctricos depender muchas veces de las restricciones de transmisin existentes.


46

El Modelo de Bertrand (I)

En el oligopolio de Bertrand, donde las empresas compiten en precios, en el caso de un

bien homogneo y tomando el caso sencillo de un juego en una sola etapa, bastan dos

empresas para que se obtenga el resultado de competencia perfecta (conocido en la

literatura como paradoja de Bertrand), pues ofreciendo un precio ligeramente menor

que las otras, una empresa se quedara con todo el mercado (en ausencia de restricciones

de capacidad)

Ello implica que la demanda en el caso de la empresa 1 tendr la siguiente forma:

1 1 2

1 1 2 1 1 2

1 2

d( p ) si p < p

d ( p , p ) d( p ) / 2 si p p

0 si p > p

En este modelo las empresas ofrecern precios iguales a su costo marginal pues de lo

contrario podran quedarse sin vender nada en el mercado.


47

El Modelo de Bertrand (II)

Sin embargo, este resultado se modifica si se introducen restricciones de capacidad, es decir, que

ambas empresas no puedan cubrir todo el mercado por s solas, se incorpora la posibilidad de

diferenciar productos entre ellas, lo cual reduce la intensidad de la competencia en precios, o se

incluyen aspectos dinmicos en el juego (lo cual puede dar lugar a conductas como la colusin

tcita y el sostenimiento de beneficios extraordinarios).

A bQ

2

p

1 2p >p

1q

1 2p p

A bQ

1 2p


48

El Modelo de Bertrand (III)

2 1p p

1 2p p

CMg

CMg

Mp

2p

1p

Mp

2

1 2 2 2

2

M M

M

p si p p

p p p si c p p

c si p c

Curvas de Reaccin de las empresas compitiendo a lo Bertrand


49

Soluciones a la paradoja de Bertrand (I)

iq

iq

1 2q q bD

Existen tres posibles formas de resolver la paradoja de Bertrand. Una primera forma de

resolver la Paradoja de Bertrand es introducir la existencia de restricciones de

capacidad tal como sugiri Edgeworth. Si suponemos que las firmas tienen una

capacidad limitada. Esto significa que no pueden producir ms que una cantidad tope

Si incorporamos esta restriccin en el modelo de Bertrand, lo que vemos es que, si

D > , entonces la firma i no puede satisfacer a toda la demanda cuando el precio es

igual al costo marginal. Por lo tanto, la amenaza de bajar el precio y abastecer toda la

cantidad demandada a ese precio no es creble.

Este hecho modifica el equilibrio en el mercado. Supongamos que ambas firmas

conocen la capacidad de la otra y que con b < 1.

Entonces, p1 = p2 = c no puede ser un equilibrio, pues si la firma 2 elige p2 = c, la firma

1 puede vender algo y ganar un beneficio positivo con un precio p1 > c (les vende a todos

aquellos que no pueden comprarle a la firma 2). Es decir que hay incentivos a desviarse

de este potencial equilibrio.


50

Soluciones a la paradoja de Bertrand (II)

El nuevo equilibrio depender de la regla de racionamiento (es decir quienes son los

consumidores que consiguen comprar al precio de la firma ms barata).

En el modelo de Kreps y Scheinkman 1983, las firmas primero eligen su capacidad y

despus eligen los precios. La conclusin que se obtiene es que si los consumidores con

mayor disposicin a pagar compran de la firma ms barata, entonces el equilibrio de

este juego de dos etapas coincide con el equilibrio de Cournot.

Las empresas eligen una capacidad menor a la que les permite satisfacer a toda la

demanda cuando el precio es igual al costo marginal como una forma de comprometerse

a no bajar los precios y llevar los beneficios a 0 en el siguiente perodo.

Otras formas de obtener resultados diferentes a los predichos por el modelo sencillo de

Bertrand es introducir la posibilidad de diferenciacin de producto o hacer el juego

dinmico, aspectos que se vern en las siguientes secciones ms adelante.


( )P q

P

* P CMg

1

CPq1CPq

n

1q

1 1q k

1q

1( ) P q CMg

CMg

Si la empresa 1 tiene una restriccin de

capacidad: debido al elevado costo de la

capacidad instalada ociosa, tiene una

capacidad productiva menor que la

requerida bajo competencia perfecta.

Por tanto, la amenaza de producir todo

lo que la demanda requiere si el precio

de la empresa 1 es menor que el de la

empresa 2 no es creble, cuando el nivel

de cantidad demandada supera su

capacidad productiva mxima.

Cuando hay restricciones de capacidad

la rivalidad en precios no conduce a

igualar el precio con el costo marginal.

Esto resuelve en parte la paradoja de

Bertrand.

El modelo de oligopolio con rivalidad

en precios y restricciones de capacidad

dan un resultado de equilibrio con poder

de mercado. (P>CMg)

Rivalidad en precios con restricciones de capacidad

Ral Prez-Reyes E., 2009.

Organizacin Industrial.

i i

i i i

k Max q , i 1,2, , N

k q CMg


Dado el costo marginal de la empresa 1,

con restricciones de capacidad (lnea azul),

la empresa 2 determina su demanda

residual en el tramo inferior de la demanda

no satisfecha.

El comportamiento optimizador de 2 har

que iguale su CMg con su IMg residual.

La empresa 1 ganara ms dinero si

subiera el precio, pero el entrante

restringira dicha conducta. Pero perdera

dinero si decide bajar el precio. Por lo

tanto la empresa 1 no tiene incentivo a

moverse, dada la decisin de la empresa 2

de cubrir la demanda residual. ( )P q

P

* P CMg

1

CPq1

q1q

1( ) P q CMg

CMg

( )RP q

RIMg

1 2( )P q q

1 2q q

* *

1 2 1 1 1 2 2 2 1

* *

1 2 2 2 2 1 1 1 2

1 1 1* *

1 2 1 2 1 2 1 1 2

Si P P ,q Min q ,D P y q Min q ,Max 0,D P q

Si P P ,q Min q ,D P y q Min q ,Max 0,D P q

D P D P D PSi P P , q q Min q , Max 0, q Min q ,Max ,D P q

2 2 2

Rivalidad en precios con restricciones de capacidad


Durante muchos aos se ha discutido sobre la dimensin en la que rivalizan

las empresas en un mercado oligoplico: en precios (a la Bertrand) o en

cantidades (a la Cournot).

En 1983 Kreps y Scheinkman desarrollaron un modelo de oligopolio en 2

periodos. En el primer periodo, las empresas rivalizan en cantidades y en la

segunda etapa rivalizan en precios.

El resultado de este modelo es que en la primera etapa el nivel de produccin

que maximiza ganancias es igual al equilibrio Nash-Cournot, luego las

empresas determinan su capacidad de produccin sobre la base de las

cantidades que resultan de dicho equilibrio.

Dada la capacidad mxima de planta, determinada por el nivel de produccin

Nash-Cournot, las empresas rivalizan en precios pero con las restricciones de

capacidad Nash-Cournot, con lo que el resultado en trminos de precios, en la

segunda etapa, es el de un equilibrio Nash-Cournot, en precios y cantidades.

Este modelo concluye, que al margen de la dimensin de la rivalidad, los

resultados de mercado son consistentes con los resultados del modelo de

Nash-Cournot.

Modelo de Kreps-Scheinkman (1983)


Se modela como un juego en 2 periodos: juegos dinmico finito.

Primera Etapa:

Las empresas determinan su capacidad productiva a la Cournot.

Decisin de mediano plazo: bajo nivel de reversibilidad de la inversin.

Segunda Etapa:

Las empresas rivalizan en precios, dada la capacidad determinada en el

primer periodo.

Decisin de corto plazo: precios se ajustan a mayor velocidad.

Se resuelve por induccin hacia atrs: primero las condiciones de optimalidad

del segundo periodo y luego las condiciones de optimalidad del primer

periodo.

Las condiciones de optimalidad en el segundo periodo consisten en determinar

cual de los diversos subjuegos le permite a la empresa maximizar sus

beneficios.

La solucin de equilibrio perfecto de subjuegos muestra que los precios en el

segundo periodo son consistentes con los precios que resultan de un modelo

de equilibrio a la Cournot.

Modelo de Kreps-Scheinkman (1983)


55

Se tiene la curva de costos marginales de la empresa i:

it i itMC MC ( q )

Por lo tanto el beneficio de la empresa i vendr dado por:

it t it i itP(Q )q C ( q )

El Anlisis de Conjeturas (I)

1jt

Q it t i

it

dqP q P MC

dq

it

La condicin de primer orden:

t i it it it Q tP MC ( q ) q P (Q )


56

Utilizando la definicin de la elasticidad-precio de la demanda se puede

despejar una expresin del ndice de Lerner ms general:

Para lo cual, multiplicamos y dividimos el tercer trmino por :

t i it it QP MC q P

1. .

1

t itt i it it Q t i t it

t

P qQP MC q P P MC P

P Q Q

si

t

Q

P

El Anlisis de Conjeturas (II)


57

es igual a 1 si las empresas actan como Cournot e igual a cero si las empresas actan competitivamente (Bertrand).

En el caso de N empresas simtricas que se hayan coludido, el valor

de ser igual a N, puesto que todas variarn su produccin en el

mismo sentido y las empresas obtendran un mark-up igual al del

monopolista.

t i iit

t

P MC s

P

it i t it

sP MC P

it

it

El Anlisis de Conjeturas (III)


58

Lo anterior se obtiene de:

Como el ndice de Lerner de cada firma (Li) resulta igual al ndice de

Lerner en monopolio, entonces el mark-up que obtendra cada firma (vi)

sera igual al mark-up que obtendra el monopolista.

Dada la relacin entre vi y Li para N firmas iguales, tenemos:

11t i i

i it

t

P MC s NL NP

1

1 1

ii

i

Lv

L

El Anlisis de Conjeturas (IV)


59

Modelo de Empresa Dominante y Franja Competitiva (I)

Este modelo se usa cuando en un mercado existe una firma dominante y un grupo de firmas

que actan como seguidoras y compiten entre ellas. En este caso existe un liderazgo de

precios, pues la empresa dominante fija el precio que maximiza sus ganancias, pero

sabiendo que la franja competitiva producir hasta igualar este precio a su costo marginal.

Se pueden agrupar a las diferentes empresas de la franja con una curva de costos marginales

que represente sus ofertas ordenadas de menor a mayor costo marginal.

La demanda de la empresa dominante se puede representar como una demanda residual:

D M F

Demanda Dominante DemandaMercado Demanda Franja

Q ( p ) Q ( p ) Q ( p )

D D DpQ ( p ) C(Q ( p ))

Beneficio de la empresa dominante:


60

Modelo de Empresa Dominante y Franja Competitiva (II)

A travs de un grfico podemos observar como se construye la demanda residual:

CMg Franja

CMg Dominante

q q

P P

Lq 'fq '

p'''

DRD: Demanda Residual Dominante

IMg DRD

Lq '

DDM: Demanda Mercado

f Mq '' q

p'

p''

p'

0Lq''

p''

L Mq ''' q

p'''


61

Modelo de Empresa Dominante y Franja Competitiva (III)

0D D D DD DD D

Q Q QC CQ p Q p

p p Q p Q p


Reordenando tenemos:

Dividiendo entre p a ambos lados:

Esta expresin se puede reordenar para obtener una relacin entre ndice de Lerner de la

empresa dominante y las elasticidades de la demanda, de la oferta de la franja competitiva

y las participaciones de mercado.

D

D D

C pp Q

Q Q

1D D

D D

Cp

Q Q p

p p Q


62

Modelo de Empresa Dominante y Franja Competitiva (IV)

Para ello partimos de lo siguiente:

D M FQ ( p ) Q ( p ) Q ( p )

D M FQ Q Q

p p p

Derivando obtenemos:

D

D M F

D D D

Q Q Qp p p

p p pQ Q Q

Multiplicando por a ambos lados: D

pQ

M FM F M F

D M F

D D D

Q QQ Q

Q Q Q

Multiplicando y dividiendo por el primer y segundo trmino del lado

derecho respectivamente : yM FQ Q


63

Modelo de Empresa Dominante y Franja Competitiva (V)

Reemplazando el valor de la elasticidad tenemos:

D D

M M F F

Cp

Q Q

P Q Q

Dividiendo numerador y denominador entre QM:

D

D M D

M F M F FM F

M M

C Qp

Q Q s

Q QP s

Q Q


64

Modelo de Empresa Dominante y Franja Competitiva (VI)

Reordenando obtenemos la siguiente relacin:

DD

F F M

sp CMg(Q )L

p s

Donde:

D

D

F

F

M

L :ndice de Lerner de empresa do min ante

s :Participacin de mercado de empresa do min ante

s :Participacin de mercado de la franja competitiva

:Elasticidad de la oferta de la franja competitiva

: Elasticidad de la demanda de merc

ado

La empresa tendr un mayor margen si: i) la elasticidad de mercado no es tan alta, ii) la

elasticidad de la oferta de la franja es baja o tiene un lmite y iii) que tan eficiente es en

costos la empresa dominante versus la franja competitiva


65

En un contexto esttico y sin regulaciones internacionales, la OPEP constituye un cartel

dominante en el mercado internacional de petrleo estableciendo precios a travs de la fijacin

de las cuotas de produccin de sus miembros.

Los productores no afiliados al cartel fijan sus precios en base a los movimientos de la cuota

exportable de la OPEP, constituyndose en una franja de empresas competitivas.

Por ejemplo, se puede considerar que la OPEP tenga un costo marginal constante de US$ 15

por barril y que la franja competitiva tenga un costo marginal igual a:

Ejemplo - Empresa Dominante y Franja Competitiva (I)

15 0 75 FCMg Franja . Q

Si se considera una funcin inversa de demanda igual a P(Q)= 165 0.75Q, usando las

definiciones anteriores y sabiendo que la OPEP tendr en cuenta que la cantidad de la franja se

despejar cuando P = CMg Franja, se puede plantear la funcin de beneficios de la OPEP como

sigue:

15

OPEP OPEP OPEP OPEP

OPEP FRANJA FRANJA

pQ CMg Q

p(Q Q ) (Q Q )


66

Ejemplo -Empresa Dominante y Franja Competitiva (II)

165165 0 75

0 75

pp . Q Q

.

1515 0 75

0 75FRANJA FRANJA FRANJA

pp CMg . Q Q

.

Despejamos el Q y QFRANJA:

165 15 165 1515

0 75 0 75 0 75 0 75OPEP

p p p pp

. . . .

2180 2 180 2 180 2 15 180 3015

0 75 0 75 0 75

180 4 300

0 75

210 4 52 5

OPEP

OPEP

p p p p pp

. . .

p

P .

p p .

Reemplazando:

Simplificando y maximizando:


67

Ejemplo -Empresa Dominante y Franja Competitiva (III)

Reemplazando p en las demandas obtenemos:

165 52 5150

0 75

52 5 1550

0 75

100

FRANJA FRANJA

OPEP FRANJA

.Q Q

.

.Q Q

.

Q Q Q

Se puede ver que en equilibrio el precio ser 3.5 veces el costo marginal de la empresa

dominante. La elasticidad de la demanda de mercado es igual a 0.47.

La cantidad que producir la OPEP ser entonces de 100 MMBPD, la cantidad de la

franja 50 MMBPD y la cantidad de mercado 150 MMBPD, con un precio de mercado

igual a US$ 52.5 por barril.


68

Ejemplo - Empresa Dominante y Franja Competitiva (IV)

Millones debarriles por da

US$ por

barril

52.5

15010050

D p Demanda Mundial de Petrleo

Imag Residual

Cmg OPEP

D r Demanda Residual OPEP

S p OfertadelosProductores fueradelaOPEP

15


69

Comparacin de las soluciones

1 2Demanda y costos lineales: P=A bQ , A,b>0 ,C cq ,C cq

A

b

A c /2

A

P

A c

b

c

QA c

2b

3 A c4b

2 A c3b

A 2c /3

A 3c /4

Crtel

Cournot

Stackelberg

Bertrand, solucin competitiva

1. Modelos Estáticos de Oligopolio - Rgc

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