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1. Modelos Matemáticos y Experimentales 1. Modelos Matemáticos y Experimentales _____________________________ 1
1.1. Definición _________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Tipos de Procesos __________________________________________________________________________________________________ 2 1.3. Tipos de Modelos ___________________________________________________________________________________________________ 3 1.4. Transformada de Laplace ____________________________________________________________________________________________ 4 1.5. Función de Transferencia ____________________________________________________________________________________________ 7 1.6. Función transferencia y ecuaciones de estado ___________________________________________________________________________ 8 1.7. Linealización ______________________________________________________________________________________________________ 12 1.8. Retardos de Trasporte ______________________________________________________________________________________________ 13 1.9. Escalado _________________________________________________________________________________________________________ 17 1.10. Diagramas de bloques _____________________________________________________________________________________________ 18
1.10.1. Álgebra de bloques ____________________________________________________________________________________________________________ 20 1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros____________________________________________________________________________________ 21 1.12. Resumen ________________________________________________________________________________________________________ 32
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1.1. Definición un modelo es una descripción y reproducción de un proceso determinado para ana-lizar su comportamiento.
1.2. Tipos de Procesos Hay muchas formas de clasificar los procesos y sus modelos, de acuerdo a su función: válvulas, tanques, hornos por industria: metalurgia, automotriz, alimentos por sus características físicas: térmicos, químicos Los ingenieros de control los clasifican de acuerdo a sus características dinámicas: linealidad estabilidad resonancia retardos adelanto o retraso de fase
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1.3. Tipos de Modelos Atributo Atributo antagónico Determina si. . . SISO MIMO . . . las ecuaciones del modelo tienen
una entrada y una salida. Lineal No lineal . . . las ecuaciones del modelo son li-
neales en las variables del sistema. Estacionario No Estacionario . . . los parámetros del modelo son
constantes. Continuo Discreto . . . las ecuaciones describen su com-
portamiento en cada instante de tiem-po, o sólo en muestras discretas.
Entrada-salida Espacio de estados . . . las ecuaciones dependen sólo de las entradas y las salidas, o también de variables de estado.
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1.4. Transformaciones
u tG
y t
Lo que se busca es encontrar una descripción del sistema de modo que exista una relación algebraica entre entrada y salida: Y G U [1.1]
En el dominio tiempo, lo más cercano a esto es el producto de convolución
y t g t u t g u t d
[1.2]
donde g t es la respuesta del sistema cuando es excitado por una delta de Dirac
Es un poco complejo para resolver Se buscan transformaciones,
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En el dominio frecuencial y mediante la Transformada de Fourier se logra que
Y G U [1.3]
en donde Y y U son las transformadas de Fourier de la salida y la entrada y G e la respuesta en frecuencia de la planta.
Pero esta transformada no es cómoda para trabajar con señales no periódicas.
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1.4.1. Transformada de Laplace
0
-stsX( s ) x(t) x(t) dte
s = + j
[1.4]
La propiedad fundamental es:
g t u t G s U s Y s [1.6]
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1.5. Función de Transferencia Relación entre entrada y salida en transformada de Laplace con condiciones inicia-les nulas. Generalmente incluye la dinámica de los actuadores y sensores. Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo
( ( 1 ( ( 10 1 1 0 1 1
n n m mn n m ma y a y a y a y b u b u b u b u [1.7]
11 1 0
11 1 0
m mm m
n nn n
B s b s b s b s bG sA s a s a s a s a
[1.9]
con m n se puede factorizar
1
1
m
n
K s z s zG s
s p s p
[1.10]
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1.6. Función transferencia y ecuaciones de estado Un sistema podría describirse en forma de ecuaciones de estado
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
[1.11]
... si aplicamos Transformada de Laplace obtenemos las ecuaciones algebraicas
0sX s x AX s BU s
Y s CX s DU s
[1.12]
1 10X s sI A x sI A BU s [1.13]
1 1 0Y s C sI A B D U s C sI A x [1.14]
la función de transferencia será
1G s C sI A B D [1.15]
(no contempla las condiciones iniciales) Terminología
iz ceros de G s
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ip polos de G s
0
0
0 bK Ga
ganancia estática de G s
0
0
0 bK Ga
ganancia estática de G s
n m grado relativo de G s
cuandon m , mb es la ganancia de alta frecuencia de G s
cuandon m , G s es estrictamente propia
cuandon m , G s es bi propia
Los polos complejos de la Función de Transferencia aparecen con su conjugado
2
10 106 10 3 3
G ss s s j s j
[1.16]
La función de transferencia se puede expresar como suma de fracciones simples:
2
15 7,5 7,58 15 3 5
G ss s s s
[1.17]
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Diferentes sistemas físicos pueden tener igual Función de Transferencia Orden del Sistema: potencia en S más alta del denominador
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1.7. Linealización Todo sistema es no lineal Consideración: Desviación pequeña del punto de trabajo Desarrollo en serie de Taylor
2
22
12!x x x x
y f x
df d ff x x x x xdx dx
[1.18]
en forma aproximada,
y y K x x [1.19]
x x
dfKdx
[1.20]
y K x [1.21]
es lineal en y y x
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1.8. Retardos de Trasporte
Transformada de un Impulso
0
1-sts L t t dte
[1.22]
Impulso Desplazado en un tiempo T
-sTs L t T e [1.23]
No es racional
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Aproximación: 2 3
2 32
2 32 32
1 112 2! 2 3! 2
1 112 2! 2 3! 2
T- s
-sTT s
T T Ts s se e
T T Te s s s
[1.24]
Limitando términos se obtienen distintas aproximaciones Primer orden
212
212
-sT
T s sT e T s sT
[1.25]
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Segundo orden: 2
2
22
1 2 212 2! 2
2 2112 2! 2
-sT
T Ts s s jT T e
T T s js s T T
[1.26]
2T
2T
2 2jT T
2 2jT T2 2j
T T
2 2jT T
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Aproximación menos precisa:
1sTe Ts [1.27]
1 11
sTsTe
e Ts
[1.28]
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1.9. Escalado Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena selección de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo. Un buen escalamiento hará los cálculos más simples y más precisos y disminuirá enormemente los problemas de simulación en computador.
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1.10. Diagramas de bloques Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abstracto de simple mani-pulación. Representan el flujo y procesamiento de las señales dentro del sistema.
Los diagramas de bloques permiten ver la similitud esencial entre distintos tipos de sistemas (independizan del dominio físico). Bomba
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Sistema físico
señal de velocidad
Caudal de salida
Bomba
Diagrama de Bloques
u Función de transferencia
G
y
Caudal de SalidaSeñal de Velocidad
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1.10.1. Álgebra de bloques
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1.11. Efecto temporal de Polos y Ceros "Hoy es fácil y muy didáctico calcular polos, ceros, respuesta al escalón y división en fracciones simples" g=tf(1,poly([-1]));[y,t]=step(g);plot(t,y);grid;axis([0 6 0 1.5]) pzmap(g);sgrid;axis([-2 1 -1 1])
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole-zero map
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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02 02 Modelos.doc 22
g=tf(.5,poly([-.5]))
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole-zero map
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
g=tf(.5,poly([.5]))
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole-zero map
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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02 02 Modelos.doc 23
g=tf(1,poly([0]))
0 500 1000 15000
500
1000
1500
Pole-Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
10.240.460.640.780.87
0.93
0.97
0.992
0.240.460.640.780.87
0.93
0.97
0.992
0.250.50.7511.251.51.752
Para una función de transferencia de Primer Orden,
11
KY s KG sU s s s
La respuesta temporal a un escalón es,
1 1 11
tKy t L K es s
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02 02 Modelos.doc 24
g=tf(5,poly([-.4+2.2i -.4-2.2i])) (85 grados)
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole-zero map
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
g=tf(5,poly([-.87+2.06i -.87-2.06i])) (75 grados)
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole-zero map
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
g=tf(5,poly([-1.9-1.17i -1.9+1.17i]))
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02 02 Modelos.doc 25
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole-zero map
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
g=tf(20,poly([-.8-4.4i -.8+4.4i]))
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Real Axis
Imag
Axi
s
Pole-zero map
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
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02 02 Modelos.doc 26
Para una función de transferencia de Segundo Orden,
2 2
2 2 2 22 1 1n n
n n n n n n
Y s K KG sU s s s s j s j
La respuesta temporal a un escalón es,
21 1
2 22 2 2 2 2 2
12 1 1
nn n
n n n n n n
K sK KKy t L Ls s s s s s
2
2
2
11 11
nt
ney t K sen t arctg
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Ceros g=tf(2/3*poly([-3]),poly([-1 -2]))
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Las plantas con ceros en el semiplano positivo se llaman plantas de fase no mínima o de respuesta inversa (péndulo invertido, grúas)
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1.12. Resumen Para poder diseñar en forma sistemática un controlador para un sistema es necesa-rio disponer de una descripción formal — aunque posiblemente simple — del mis-mo. Esta descripción es el modelo matemático del sistema. Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos. En general, los modelos matemáticos involucran un conjunto de ecuaciones diferen-ciales no lineales. En muchos casos, estas ecuaciones pueden linearizarse alrede-dor de un punto de operación, con lo que se obtiene un modelo incremental lineal mucho más tratable. La elección de unidades adecuadas (escalado) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelos desde el punto de vista computacional. Las funciones transferencia describen las propiedades entrada-salida de los siste-mas en forma algebraica en el dominio Laplace.