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MODULO IVEstadística

Programa de Capacitación Docente

MODULO IVEstadística - Probabilidad

José Luis MorónJosé Luis Moró[email protected]

ConceptosConceptosTeorema de BayesTeorema de BayesCombinatoriaCombinatoria

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ConceptosLa probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables

Experimento aleatorio: es todo proceso que se puede repetir indefi nidamente con resultados imprevisibles.

Ejm: Lanzamiento de una moneda, de un dado, la extracción de una bola de bingo.

Blaise Pascal 1623-1662

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Conceptos

Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama espacio muestral Ω de E al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.

Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω={1; 2; 3; 4; 5; 6} Pierre de Fermat

1601-1665

Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio E a cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento.Evento A: Obtener cara. A = {c}

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Conceptos

Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos A y B son mutuamenteexcluyentes si A y B son conjuntos disjuntos, es decir si:

A ∩ B = { } o A ∩ B = ø

Los eventos A (que salga número par) y B (que salga número impar), son mutuamente excluyentes, en el lanzamiento de un dado.

A={1; 3; 5} B={ 2; 4; 6}

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Propiedades de la ProbabilidadProbabilidad: dado el espacio muestral Ω de un

experimento aleatorio E, la probabilidad de un evento A se define como el número que satisface las

siguientes propiedades:

1. P(A) >=02. P(Ω) =13. P(A U B) = P(A) + P(B), A,B mutuamente excluyentesLuego1. P(ø) =02. Si A B, entonces, P (A) ≤ P(B)⊂3. 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P(Complemento A) = 1 – P(A)

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Sucesos Compatibles - EjemploConsideremos el experimento de lanzar un dado. El espacio

muestral es Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o no menor

que 4?A : “Obtener un número par” A = {2; 4; 6 }B : “Obtener un número no menor que 4” B = {4; 5; 6}

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Probabilidad CondicionalSea B un evento cuya probabilidad es distinta de cero,y sea A cualquier evento. La posibilidad condicional

del evento A, dado el evento B, se define como:

Independencia

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Teorema de Bayes

Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

Thomas Bayes1702-1761

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Teorema de Bayes

Tres máquinas A, B y C producen respectivamente el 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. El porcentaje de desperfectos de producción de estas máquinas son, respectivamente, 2%, 4% y 5%. Se seleccionó un artículo y resulto bueno.

Determina la probabilidad que el artículo haya sido producido por la máquina C.

P(C / Bueno) = ?

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Teorema de Bayes

P(C/Bueno) = P(C). P(Bueno/C) P(Bueno)

P(Bueno) = 0.5 0.98 + 0.3 0.96 + 0.2 0.95 = 0.968

P(Bueno/C) = 0.95

Reemplazando:P(C/Bueno) = 0.2 0.95 / 0.968 = 0.19

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CombinatoriaEn las aplicaciones de las probabilidades, a veces es

necesario recurrir a procedimientos matemáticos que nos permiten realizar conteos de casos complejos a partir de procesos simples. A este conjunto de procedimientos se le conoce como Análisis Combinatorio o Combinatoria

Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles. (El orden es importante)

)!(

!Pr

rn

nn

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Permutación - Combinación

Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles.

(El orden es importante)

Combinación: el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos

(El orden es importante)

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