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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Un sistema constituye un oscilador armónico cuando <<oscila>> entre dos puntos A1 y A2 equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio

Al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima

Al alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento, a la velocidad máxima

A

A

A 2

A 1

Posición de equilibrio

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P0

o A A

x1 x2

P

P’

A

A

A A

P

o P’t2+0

x = A cos (t+0)

La ecuación de un m.v.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre una recta

- Si la proyección se realiza sobre el eje x, resulta: x = A cos (t+0)

- Si la proyección se realiza sobre el eje y, resulta: y = A sen (t+0)

Elongación x: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio

Amplitud A: Elongación máxima. El valor de x varía entre A y +A

Fase : Describe el movimiento angular en el punto P

Fase inicial 0: Determina la elongación inicial: x0 = x (t = 0) = A cos 0

t1+0

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P

o

A

El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s)

Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se denominan periódicos

Dado que: cos = cos ( + 2)

x = A cos t = A cos (t + 2)

2

tcosAx

El m.v.a.s. se repite cada período:

2

T

La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)

2T

1

2

La frecuencia angular o pulsación se mide en (radianes/segundo)

+ 2

x1 P’

A

A

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Derivando la ecuación general del m.v.a.s., x = A cos (t + 0) resulta:

)t(senAdt

dxv 0

)t(cosAA)t(cos1Av 002222

sen2 + cos2 = 1 sen (t+0) = )t(cos1 02

Como x = A cos (t+0) x2 = A2 cos2 (t+0)

xAv 22

La velocidad es máxima cuando x = 0

Vmáx = A El columpio se detiene en los extremos. En

el centro alcanza su máxima velocidad

La ecuación más general del m.v.a.s. : x = A cos (t+0)

Dependiendo de la fase inicial, la función que define este movimiento puede ser un seno o un coseno

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Derivando la ecuación de la velocidad: v = A sen (t + 0) resulta:

)t(cosAtdxd

dt

dva 0

22

2

Como x = A cos (t + 0)

a = 2 x

El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x = A amáx = 2 A

Es proporcional a la elongación, máxima en los extremos y nula en el centro

X=A

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

X=0

X=Aa >0

x >0v >0a <0

x >0v =0a <0

x >0v <0a <0

x =0v <0a =0 x <0

v <0a >0

x <0v >0a >0

x =0v >0a =0

x <0v =0

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Según la ley de Hooke: F = kx

Por la segunda ley de Newton: F = m a = m 2 x k = m 2

Si x = 0 F = 0 (no aparecen fuerzas)

Si el móvil se encuentra fuera de la posición de equilibrio, la fuerza que actúa sobre él está dirigida desde el punto en que se encuentra a la posición de equilibrio

La fuerza tiene el sentido contrario al desplazamiento

2

T

m

k

m

k

2

1

T

1

k

m2T

O

x

x

F

F

8

Aplicando la definición de energía cinética:

)t(senAm2

1vm

2

1E 0

2222c

Por las relaciones trigonométricas:

xAm2

1E 222

c

Si x = 0 energía cinética máxima

Am2

1E 22

máx,c

Am21 22

ω

9

Por tratarse de fuerzas centrales:

Integrando entre dos posiciones A y B:

dEp = F dx = kx dx

xk2

1xk

2

1dxxkEE

2A

2BB,PB,P

x

x

B

A

Para cada posición, la Ep es de la forma:

)t(cosAm2

1E 0

222P

Es máxima cuando cos (t + 0) = 1

Am2

1E

22máx,P

Aωm21 22

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La energía total que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial

Sacando factor común:

E = Ep + Ec )t(cosAm2

10

222 )t(senAm2

10

222

)t(sen)t(cosAm2

1E 00

2222

Simplificando:

Am2

1EEE 22

cp

En el oscilador armónico, la energía mecánica permanece constante en cualquier instante

)xA(ωm2

1E 222

c

22

c xωm2

1E

Aω22

m2

1

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EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICOEL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICO

Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual

Eje Y: T – Py = m an

Eje X: Px = m ax – mg sen = m ax

Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de A del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria

ax = – g Para ángulos pequeños, sen =

Simplificando resulta: – g sen = ax

Sustituyendo el ángulo por el arco:

L = x xL

gax

xa 2L

g2

g

L2T

m

y

P= mg

T

Py= mg cos

L

x

Px = – mg sen

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Cuando el péndulo está parado en uno de los extremos de su trayectoria, toda la energía almacenada es Ep = mgh

Al pasar por el punto más bajo de su trayec-toria, toda la energía almacenada es EC

La suma de ambas indica el valor de su energía en cualquier punto intermedio de su trayectoria

vm2

1E 2

c

vm2

1hgmEEE 2

cP

La relación entre su altura máxima y la velocidad es:

hg2vvm2

1hgm 2

h

mghEE p

v

vm2

1EE 2

c

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AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO

En movimientos reales intervienen fuerzas de rozamiento, lo que origina una pérdida de energía mecánica que se transforma en calor, la pérdida de energía mecánica en el sistema va disminuyendo la amplitud de la oscilación hasta que se para, entonces se dice que es una oscilación amortiguada

El amortiguamiento se debe a la resistencia del aire y al rozamiento interno del sistema.

RESONANCIARESONANCIA

Para evitar la amortiguación hay que aportar continuamente energía al sistema que vibra, pero esta energía debe llegar con la misma frecuencia que vibra el sistema.

Dos sistemas se dice que entran en resonancia cuando vibran con la misma frecuencia.

Para que haya resonancia hay que comunicarle al sistema energía con la misma frecuencia que está vibrando, de esta forma se logra un gran aumento de la amplitud de oscilación.

Por resonancia se puede llegar a aumentar tanto la amplitud de oscilación de un sistema que este puede incluso llegar a romperse, como cuando por ejemplo un sonido determinado rompe una copa de cristal.