1. Multiplicación algebraica.docx

8/18/2019 1. Multiplicación algebraica.docx

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Signo

coefciente

Exponente

Parte literal

2.1. Término algebraico

Es un conjunto de variables y números enlazados entre sí solo por las operaciones de

multiplicación, división, potenciación y radicación, o una combinación de éstas.

Ejem:

2.1.1. Términos semejantes

Son aquellos términos que tienen iguales variables aectadas de iguales e!ponentes.

Ejemplo:

2.2. Expresión algebraica

Es el conjunto de números y letras, unidos entre sí por cualquiera de las operaciones

matem"ticas o una combinación de éstas.

Ejemplos:

#!y $ %!&y ' (!#y)*&

2.2.1. Clasificación de las expresiones algebraicas

I) Atendiendo a s forma

A. Expresión Algebraica !acional

Es aquella que se caracteriza porque las variables tienen e!ponentes enteros o no

tiene e!ponente raccionario

Ejemplo:

+ su vez las e!presiones racionales se clasiican en enteras y raccionarias.

Algebraica racional entera: Es aquella que se caracteriza porque tiene

e!ponentes enteros y positivos o no tienen letras en su denominador.

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Y

− 95x

−5 3 5 3 5 31

6x y ; x y ; 7x y2

3 25 2x y

7x +Z



Expresiones algebraicas

Clasifcan atendiendo a

Racionales Irracionales

Entera

Fraccionaria

MonomiosPolinomios

su orma

"e

número detérminos

#!# ' y& $ -!y

Algebraica racional fraccionaria Se caracteriza porque los e!ponentes de las

variables son enteros negativos o tienen letras en su denominador.

Expresión algebraica irracional. Se caracteriza porque tienen e!ponentes

raccionarios o tienen letras en su cantidad subradical

Ejemplo:

II. Atendiendo a s n"mero de términos

#onomios: n solo término

$olinomio: E!presión +lgebraica de dos o m"s términos, estos son racionales

enteros.

Ejemplos:

!& ' &!y ' / trinomio

%!

' #!

/

$ 0!

#

' !

&

$ ! '( 1olinomio de % términos

−

+ −

2 365y 4xy

5x

1/ 2 42 x 5y 6 z+ −

( )2 297x y binomio

5−



2.%. &e'es de los signos en las operaciones algebraicas

#ltiplicación (iisión2'3 2'3 4 '

2'3 253 4 253

253 2'3 4 253

253 253 4 '

$otenciación !adicación

2Signo ' 3 4 2 ' 3

1ar o impar

2Signo 5 3 4 2 5 3

6mpar

2Signo 5 3 4 2 ' 3

1ar

Ejemplos:

25-!3& 4 /(!&

25#!32&y3 4 5%!y

2.%.1. !egla para sprimir signos de agrpación

63 1ara suprimir signos de agrupación procedidos del signo 2'3, se deja el mismosigno que tengan cada uno de los término que se 7allen dentro de él.

' 2-! $ &y ' #3 4 -! $ &y ' #

663 1ara suprimir signos de agrupación procedidos del signo 253, se cambia de signo,

a cada uno de los términos que se 7allan dentro de el.

Ejemplo: 5 2/! 5 #y ' 03 4 5/! ' #y 5 0

2.%.2. !egla para introdcir signos de agrpación

1ara introducir un signo de agrupación procedido del signo 253, los términos quese encierra dentro de él se escriben con el signo cambiado.

( )

( ) ( )

+= +

+

( )

( ) ( )

−= +

−

( ) ( );+ − = − = − ÷ ÷− +

por + + = ÷−

( )impar + = +

( )impar − = −

par cant. imag.− =

3 38 2 ; 8 2= − = −

( ) ( )3

2 214x7x ; 8x 2x 16x

2x

−= − − − =

+



Ejemplo 1.

50! ' (y $ )& 4 5 20! $ (y ' )&3

Ejemplo 2. Simpliicar:

M =3−4 x4 x−3

= (3−4 x)−(3−4 x)

=−1

2.*. +peraciones con monomios

Adición ' sstracción

1ara sumar o restar monomios, basta reducir los términos semejantes que se

presenten.

Ejemplo:

8educir:

9 4 )0! ' (y $ #z $2&! $ y ' %z3

9 4 )0! ' (y $ #z $ &! ' y 5 %z3

9 4 )%! ' )/y $ (z

2.,. $rodcto de monomios

ebemos tener en cuenta:

;a regla de los signos, multiplicar los coeicientes y sumar los e!ponentes de cada

monomio.

Ejemplo:

). 25-!3 25#!&3 4 &)!# &. 25(!y&3 2'&!#y3 4 5)0!/y#

2.-. #ltiplicación de polinomios

ebemos tener en cuenta

63 &e' de los signos ;a 9ultiplicación de dos signos iguales resulta '

;a multiplicación de signos dierentes resulta 253

II) $ropiedades de los exponentes

!m . !n 4 ! m'n < 2!y3n 4 !n yn

III) $ropiedad distribtia

! 2y ' z3 4 !y ' !z

Ejemplo:

2! 5 y32#! ' &3 4 #!& ' &! $ #!y $ &y

implificar:

2! ' -32&! ' /3 $ 2! ' #3 2! 5 )3

2&!& ' /! ' )/! ' &03 $ 2!& $! ' #! 5 #3

&!& ' )0! ' &0 $ 2!& ' &! 5 #3

&!& ' )0! ' &0 $ !& 5 &! ' #



!& ' )%! ' #)

Ejercicios Propuestos

)3 Si 1 2!< y3 4 #! ' /y $

= 2!< y3 4 (! 5 &y ' -

>allar 12!< y3 ' = 2!<y3

&3 Eectuar

/! 5 [! ' y $ 2#! $ &y3]

#3 8estar 2!& $ ! ' 03 de

25!& ' )?! 5 #?3

/3 . Si a ' b ' c 4 ?. @alcular:

E 4a3+b3+c3

9 abc

a3 # b3 )*# c3 5# d3 $ )*#

e3 )

3 Simpliicar:

2!5)3 2! ' )3 2!& ' ! ' )3 2!& $ ! ' )3,

si ! 46

√ 2

a3 5) b3 ? c3 ) d3 &

e3 5& 3 #

%3 Si √ x '1

√ x 4 &. @alcula el

valor de !/ ' !5/

a3 & b3 5& c3 / d3 5/

e3 ?

-3 espués de eectuar:

(m+√ m2−n

2 ) (√ m+n−√ m−n)2

se

obtiene:

a3 m b3&m c3 n d3 &n

e3 m*n 3 n&

03 Si se cumple que: ! ' y 4 %, !.y 4 -.

>allar el valor de !# ' y#

a3 %? b3 -? c3 0? d3 (?

e3 )??

(3 . Si 2! $ &3 2! ' &3 2!& ' /3 2!/ ' )%3

es idéntico a 9!0 $ A, 7alla el valor

de √ N −√ M

a3 ( b3 )? c3 )) d3 )#

e3 )

)?3 Si ! ' y ' z 4 ?. @alcula el valor de:

( x+ y−2 z )3+( y+ z−2 x )3+( x+ z−2 y )3

xyz

a3 &- b3 50) c3 ( d3 &

e3 0)

))3 >allar el producto de

2#! 5 /3 2! ' -3

#2! 5 &3 $ &2)5 #!3

#! $ [- $ 2!5 ' &!] 5 #?

)&3 Simpliicar

a% & '% &c%

1 1 1 1x x

4 2 2 3

− − − ÷ ÷



a3 2#! '&y $ /z3 2&! ' #y 5 #z3

b3 /2! 5 #3 ' 02)5!3

2/! 5 )3 2!5&3 ' 2! '%32!5&3



2./. $rodctos notables o identidades algebraicas

Son productos indicados que tienen una orma determinada. Sin necesidad de

eectuar la operación.

;os principales productos son:

I) Trinomio cadrado perfecto o binomio al cadrado

(a + b)2 a2 + 2ab + b2

Ejemplo:

2#! ' )3& 4 2#!3& ' &2#!32)3 ' 2)3& 4 (!& '%!')

2a 5 b3& 4 a& $ &ab ' b&

Ejemplo:

2&! 5 3& 4 2&!3& $ &2&!3 23 ' 23&

4 /!& $ &?! ' &

Identidades de &egendre

2a ' b3& ' 2a $ b3& 4 &2a& ' b&3

2a ' b3& 5 2a $ b3& 4 /ab

Ejemplo:

2! ' #3& ' 2! 5#3& 4 &2!& ' (3

2&! ' -3& 5 2&! 5 -3& 4 /2&!3 2-3 4 %!

II) (iferencia de cadrados

0a b)0a b) 3 a2 4 b2

Ejemplo:

2#! ' &3 2#! 5&3 4 2#!3& $ 2&3&

4 (!&

$ /

III) 5inomio al cbo

2a ' b3# 4 a# ' #a& b ' #ab& ' b#

Ejemplo:

2!'&y3# 4 !# '#!&2&y3 ' #!2&y3& ' 2&y3#

4 !# '%!&y ' )&!y& ' 0y#

2a 5 b3# 4 a# 5 #a& b ' #ab& 5 b#

Ejemplo:

a'a'a2 &) & '2a2a''2a'



2#! 5&3# 4 2#!3# $ #2#!3&2&3 ' #2#!32&3& $ 2&3#

4 &-!# $ /!& ' #%! $ 0

6+!#A I#$&I6ICA(A

2a ' b3# 4 a# ' #ab 2a ' b3' b#

2a 5 b3# 4 a# 5 #ab 2a 5 b35 b#

I7) $rodcto de binomios con n término com"n

2! ' a3 2! 'b3 4 !& ' 2a 'b3! ' ab

Ejemplo:

2! ' #32! ' -3 4 !& ' )?! ' &)

7) ma ' diferencia de cbos

a# ' b# 4 2a'b3 2a& $ ab ' b&3 a# $ b# 4 2a 5 b3 2a& 'ab ' b&3 4 a# $ b#3

Ejemplo:

2! ' #3 2!& $ #! ' (3 4 !# ' &-

2! 5 3 2!

&

' ! ' &3 4 !

#

5 )&

Trinomio al cbo

2a'b'c3# 4 a# ' b# 'c# ' # 2a ' b32b'c32a'c3

Trinomio al cadrado

2a'b'c3& 4 a& ' b& 'c& ' & 2ab 'bc 'ac3

Si a 'b 'c 4 ? ⇒ a3 + b3 +c3 3abc

)3

>allar el equivalente reducido de

a3

2B# 5 &3& ' 2B# ' &3&4

b32! ' #3 2# $ !3 4

c3

2!& $ y&3& $ 2!& ' y&3& 4

&3

+l calcular

2#! ' )3& $ 2! 5#32(! ' &3 ' %



8esulta:

a3 -2&! ' #3 b3 -2#! ' )3 c3 %2!

')3

d3 %2! 5 )3

#3

@alcular

C 4 /!& $ /!y ' /y&

a3 &? b3 &/ c3 )0 d3 )%

/3

Si !& ' &! ' 4 ?

@alcule el valor de:

2! 5 &32! ' #32! ' /32! 5 )3

a3 &?? b3 )?% c3 )?/ d3 &?/ e3

&?%

3

@alcular

a3 #?? b3 #&? c3 #/? d3 %??

e3 %/?

%3

etermina el valor de:

a3 ? b3 5) c3 ) d3 & e3 #

-3 Si !# $y# 4 )&/<

! $ y 4 /

@alcule el valor

2! ' y3& $ 2! 5 y3&

a3 &? b3 )0 c3 &/ d3 & e3 &-

03 Si !#

' ) 4 ? ∧ ! ≠ 5)

@alcular

a3 & b3 ? c3 ) d3 5) e3 5&

(3 Simpliicar

a3 ) b3 & c3 ? d3 # e3 5&

)?3 Sabiendo que:

a ' /b ' (c 4 ?

8educir:

= + = −!i x 2 1 y 2 1

1!i a 4

a+ =

2 2

2

2

1 1a a

a a

− + + ÷ ÷

1 1 4!i

x y x y+ =

+

3

y 2

x x y−

+

( ) ( )3 3

2

x 1 x 1 "

x x

− −−

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2a b b c c a

b c c a c a a b a b b c

− − −+ +

− − − − − −



a3 5#? b3 5&? c3 5#% d3 /? e3 ?

) Simpliicar

E 4

a3 ) b3 # c3 & d3 5)

& Si ! 4 < y 4 , reducir

a3 ) b3 D c3 & d3 ?

# Si

a3 ? b3 ) c3 & d3 D

/ Si: !& ' ! ' 4 ?

>allar el valor de:

9 4 2! ' )32! ' &32! ' #32! ' /3 '

-

a3 ( b3 % c3 - d3 0

Si: ! ' & 4 &#

>allar el valor de:

a3 b3 c3 d3 )

% Si: !/ ' !5/ 4 -

>allar el valor de:

C 4 !$ !5) ' )

a3 ? b3 5) c3 & d3 &

- @alcular:

4

0 Si: ! ' y ' z 4 %

>allar el valor de:

a3 ? b3 ) c3 # d3 5#

( Si:

>allar:

E 4 !% ' y% ' !/y& ' !&y/ 5 )#)

a3 & b3 ) c3 d3

)? Si !# 4 y#< ! ≠ y

>allar:

a3 5& b3 5) c3 & d3 #

)) Si: ! '

>allar:

a3 )% b3 )/ c3 &? d3 )0

)& eterminar el grado del producto

9 4 2!& ' )3 2!)& ' )3 2!#% ' )3 '

2!0?')3 F )? actores

( ) ( ) ( )2 2 2

a 2b 2b 3c 3c a

ab bc ac

− − −+ +

( ) ( )+ + + − − +1 2 3 6 1 2 3 6

2 1 2+

( ) ( ) ( )2 2 4x y x y x y y

#16

− + + +

=

m n2 $a%%ar &% 'a%or (& x &n )

n m+ =

m / n n/ mx x 1+ =

2x

8

x 2*

2x

+=

5 4 5

x 6 x 9 x 9+ − − −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 3x 1 y 2 z 3

+x 1 y 2 z 3

− + − + −=

− − −

x 3 2 ; y 3 2= − = +

2 2 2

∀

( ) 2

3xy#

x y=

−

13

x=

( )1

x 1/ x xx, x x x x− − = + + ÷

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