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419� MATEMÁTICAS 2.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Números enteros

CONTENIDOS: hechos, conceptos y sistemas conceptuales

NÚMEROS: Números enteros

• Divisibilidad. El m.c.d. y el m.c.m. de varios números. Números primos.

• Números enteros negativos, enteros positivos y el cero.

• Número natural como número entero.

• Representación de los números enteros en la recta numérica.

• El orden en �.

• Operaciones con números enteros: suma, resta y multiplicación. Interpretación. Regla de los signos. División exacta. Propiedades de las operaciones.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN

PRUEBA INICIAL

Se trata de una serie de actividades respecto a los cono-cimientos que ya deberían poseer los alumnos. En funciónde las deficiencias que se perciban en los alumnos, se ten-drían que proponer ejercicios de refuerzo: cálculo de múl-tiplos y divisores, criterios de divisibilidad, interpretación yrepresentación de números enteros.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las dos primeras preguntas se refieren a estimaciones.Conviene que los alumnos sepan trabajar con los númerosy hacer estimaciones sencillas para aproximar operacio-nes, sin necesidad de utilizar siempre la calculadora. Losejercicios 3 y 4 son de cálculo del m.c.d. y el m.c.m.Los ejercicios restantes trabajan la manipulación de los nú-meros enteros: valor absoluto, orden en la recta y opera-ciones. Hay que tener cuidado con las operaciones entreparéntesis y corchetes, siendo necesario revisar el ordenjerárquico de las operaciones hasta que este sea asimila-do por los alumnos. También requiere especial atención laregla de los signos, que suele provocar muchos errores.

1INTRODUCCIÓN

El núcleo central de esta unidad consiste en el trabajocon los números enteros. Estos números se trabajaronen el curso anterior y, por ello, los alumnos los conocen,aunque su manipulación no es fácil. Las reglas de los signos en las diferentes operaciones suelenconfundirse y aplicarse incorrectamente. Hay que insistiren ello, puesto que se usan constantemente en las Matemáticas. La manera de aprender a utilizarlas es realizando numerosos ejercicios, especialmenteaquellos que combinen todas las operaciones con paréntesis y corchetes.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Esta unidad enlaza directamente con el curso anterior;por tanto, los contenidos y los procedimientos estudiadosson fundamentales, sobre todo los conceptos de múltiplo, divisor y número primo, dado que el cálculodel m.c.d. y el m.c.m. se vuelve a repasar. Respecto a los números enteros, los conceptos básicos son lainterpretación, la representación y la ordenación de estosnúmeros, ya que las operaciones se revisan de nuevo.

• Conceptos de múltiplo y divisor.

• Concepto de número primo. Conjunto de divisores de un número. Conjunto de múltiplos de un número.

• Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 y 10n.

• Lectura, interpretación y representación de númerosenteros.

• Operaciones sencillas con números enteros.

PR

OP

UE

STA

S D

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VALU

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EVALUACIÓN INICIAL

Aplica los criterios de divisibilidad y comprueba cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5 y 11.

Calcula todos los divisores de los números 72 y 150.

D (72) =

D (150) =

Descompón los números 84 y 120 en factores primos y escribe sus divisores comunes.

84 120

Divisores comunes de 84 y 120 →

Calcula múltiplos comunes de los números 12 y 18.

Desde la planta cuarta de un edificio hemos subido tres plantas en ascensor y luego hemos bajado ocho. ¿En qué planta nos encontramos?

Representa en la siguiente recta los números enteros: A → −4, B → +3, C → −1, D → +1.

Escribe el símbolo < o >, según corresponda.

a) −5 +4 b) +3 +5 c) +3 −4 d) −5 −4

7

6

5

4

3

2

1

NÚMEROS ENTEROS1

Números 2 3 5 11

16.760

12.852

112.574

48.762

0

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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Aplica los criterios de divisibilidad y comprueba cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5 y 11.

Calcula todos los divisores de los números 72 y 150.

D (72) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±9, ±12, ±18, ±24, ±36, ±72}

D (150) = {±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±25, ±30, ±50, ±75, ±150}

Descompón los números 84 y 120 en factores primos y escribe sus divisores comunes.

84 2 120 2 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 742 2 60 2 D(84) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±7, ±12, ±14, ±21, ±28, ±42, ±84}21 3 30 27 7 15 3 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 51 5 5 D(120) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±10, ±12, ±15, ±20, ±24, ±30,

1 ±40, ±60, ±120}

Divisores comunes de 84 y 120 → {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}

Calcula múltiplos comunes de los números 12 y 18.

M(12) = {±12, ±24, ±36, ±48, ±60, ±72, ±84, ±108, ...} M(±12, ±18) = {±36, ±72, ±108, ...}

M(18) = {±18, ±36, ±54, ±72, ±90, ±108, ...}

Desde la planta cuarta de un edificio hemos subido tres plantas en ascensor y luego hemos bajado ocho. ¿En qué planta nos encontramos?

+4 ⎯→ +7 ⎯→ −1, es decir, nos encontramos en la planta −1.

Representa en la siguiente recta los números enteros: A → −4, B → +3, C → −1, D → +1.

Escribe el símbolo < o >, según corresponda.

a) −5 +4 b) +3 +5 c) +3 −4 d) −5 −4<><<

7

6

5

4

3

2

1

421

Números 2 3 5

16.760

12.852

112.574

48.762

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

No

Sí

Sí

No

No

No

11

No

No

Sí

No

0 �1�4

A C D B

�1 �3

}

+3 −8

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EVALUACIÓN DE LA UNIDADcontenidos

Haz una estimación de las siguientes operaciones, redondeando o truncandocada número al valor indicado, y calcula el error cometido.

a) Redondeo a las centenas: 1.210 + 3.076 + 4.249 →b) Redondeo a las decenas: 237 ⋅ 308 →c) Truncamiento a los millares: 87.321 : 7.892 →

Calcula la división de 60 entre 13, redondeando el resultado de dos maneras: a las centésimas y a las milésimas.

Encuentra el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números: 42 y 315.Comprueba que el producto de ambos números es igual que el producto del m.c.d. por el m.c.m.

Dos ciclistas dan vueltas en un velódromo. El primero da una vuelta cada 108 segundos, y el segundo, cada 72 segundos. Si mantienen el mismo ritmo,calcula al cabo de cuánto tiempo vuelven a coincidir y cuántas vueltas ha dadocada uno en ese momento.

Completa la siguiente tabla.

Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros y represéntalos sobre la recta: −2, 3, −1, 2, 0 y −3.

6

5

4

3

2

1Redondeo y truncamiento de operaciones, dando

cuenta del error cometido.

Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de dos números.

Cálculo del valor absoluto de un número entero.

Ordenación de un conjunto de números enteros.

• Enumerar e identificar elementos ....................................................................................................... 6

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................. 5, 9

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .................................................... 6

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................... 3

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................... 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11

CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS

NÚMEROS ENTEROS1

0

a b c ⏐a⏐ a ⋅ ⏐b + c⏐ ⏐a⏐⋅ ⏐b + c⏐

−2 4 3

−4 −3 6

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Haz las siguientes operaciones.

a) 3 − 15 − 6 + 12 − 5 − 4 =b) −2 − (−5) + (3 − 2) − (2 − 4) =c) 8 − (5 − 3 − 6) + (4 + 3) =

Realiza los cálculos.

a) (+5) ⋅ (−3) =b) (+3) ⋅ (−2) ⋅ (−5) =c) (−1.001) : 13 ⋅ (−2) : 7 : (−11) ⋅ 3 =d) 18 ⋅ 4 − (10 − 3) : 7 − (5 ⋅ 2) =


Completa los datos que faltan en el extracto bancario.

Un barco pesquero ha capturado una gran cantidad de calamares y se dispone a congelarlos. En el interior de su cámara frigorífica, la temperatura desciende 2 ºC cada diez minutos. Si al principio la cámara se encontraba a 4 ºC:

a) ¿Qué temperatura habrá después de una hora y media de funcionamiento?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en encontrarse a −30 ºC?

11

10

9

8

7Realización de operacionescombinadas de sumas

y restas de números enteroscon y sin paréntesis.

Cálculo de productos y cocientes exactos

de números enteros,aplicando la regla

de los signos.

Resolución de problemas en los que aparecen

números enteros.

• Clasificar y discriminar según criterios.................................................................................................

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................................. 3, 9, 10

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ...........................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................


PR

OP

UE

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S D

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423

a b a ⋅ b Signo (a ⋅ b) a : b Signo (a : b) ⏐a ⋅ b⏐

8 2

12 −4

−15 −5

Fecha Concepto Pagos Ingresos Saldo

7 enero Saldo − − +53.500

7 enero Recibo de teléfono +2.300 −

9 enero Transferencia − +5.000

12 enero Ingreso − +60.000

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NÚMEROS ENTEROS1EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Estimaciones:

a) Redondeo a las centenas: 1.200 + 3.100 + 4.200 = 8.500. Error: 8.535 − 8.500 = 35b) Redondeo a las decenas: 240 ⋅ 300 = 72.000. Error: 72.996 − 72.000 = 996c) Truncamiento a los millares: 87.000 : 7.000 = 12,428. Error: 12,428 − 11,064 = 1,364

La división tiene de cociente: 4,615384615384… → Redondeo: 4,62 y 4,615

El m.c.d. y el m.c.m.:

42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7 → m.c.d. (42, 315) = 21m.c.m. (42, 315) = 630

42 ⋅ 315 = 21 ⋅ 630 = 13.230

Se calcula el m.c.m. de los números 108 y 72, que es 216; es decir, coinciden cada 216 segundos y el primer ciclista habrá dado dos vueltas, mientras que el segundo llevará tres.

Tabla con valores absolutos:

Orden en la recta:

Sumas de números enteros: a) −15 b) +60 c) +19

Multiplicaciones y divisiones: a) −15 b) +30 c) −6 d) 61

Tabla con signos:

Extracto bancario:

Barco pesquero: a) −14 °C b) 2 h 50 min11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

{ }

−3 −2 −1 0 2 3−3 < −2 < −1 < 0 < 2 < 3

a b c ⏐a⏐ a ⋅ ⏐b + c⏐ ⏐a⏐⋅ ⏐b + c⏐

−2 4 3 2 −14 14

−4 −3 6 4 −12 12

a b a ⋅ b Signo (a ⋅ b) a : b Signo (a : b) ⏐a ⋅ b⏐

8 2 16 + 4 + 16

12 −4 −48 − −3 − 48

−15 −5 75 + 3 + 75

Fecha Concepto Pagos Ingresos Saldo

7 enero Saldo − − +53.500

7 enero Recibo de teléfono −2.300 − +51.200

9 enero Transferencia − +5.000 +56.200

12 enero Ingreso − +3.800 +60.000

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Fracciones


NÚMEROS: Números fraccionarios

• Concepto de fracción positiva.

• Noción de equivalencia en las fracciones positivas. Criterios de equivalencia.

• Adición de fracciones positivas: concepto, algoritmo y propiedades.

• Sustracción de fracciones positivas: concepto y algoritmo.

• Producto de fracciones positivas: concepto, algoritmo y propiedades.

• Cociente de fracciones positivas: concepto y algoritmo.

• Orden y representación de fracciones.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial consiste en un resumen de los conte-nidos del curso anterior, incidiendo en estos aspectos:representar gráficamente una fracción; averiguar quéfracción representa una parte de un gráfico; represen-tar fracciones sencillas en la recta; conocer el concep-to de fracción equivalente y las operaciones básicas: su-ma, resta, multiplicación y división, así como calcularel m.c.d. y el m.c.m. y la simplificación de fracciones.

Estos conceptos son fundamentales y habrá que repasar-los con aquellos alumnos en los que se observen deficien-cias en cuanto a la representación gráfica, el cálculo delm.c.m. y las operaciones con fracciones.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado trabaja todos los objetivosprevistos para la unidad. Según los niveles de asimilaciónque los alumnos hayan alcanzado, hay preguntas que pue-den resultar más o menos complicadas. En este sentido,las primeras preguntas son sencillas, dado que se trata decontenidos ya conocidos por los alumnos.

2INTRODUCCIÓN

En esta unidad hay que fijar definitivamente la manipulación de fracciones que ya se ha estudiadoen el curso anterior. De hecho, los contenidosprocedimentales de la unidad son conocidos por los alumnos y se refuerza el método para operarcon fracciones mediante el uso del m.c.m.

A lo largo de la unidad conviene ir señalando las propiedades de las operaciones con fracciones, con el fin de establecer la idea de operación abstracta.En la misma línea, hay que trabajar el concepto de número racional, teniendo cuidado de no sobrepasar la capacidad de abstracción de los alumnos.

Por otro lado, el resto de contenidos de esta unidad son esencialmente procedimentales, y se profundiza en conceptos ya estudiados durante el curso anterior.Los conceptos más importantes son las fracciones con términos negativos y la representación gráficade fracciones.


Conviene empezar la unidad comprobando el nivel de conocimiento de los alumnos. Al terminar la unidad,los alumnos deberían presentar agilidad al operar con fracciones, no siendo tan importante la resoluciónde problemas como la realización de los cálculos. Los conocimientos previos para esta unidad lospodemos resumir como sigue:

• Interpretación y uso de los símbolos, las expresionesy las reglas del lenguaje aritmético con fracciones.

• Comparación y operaciones con fracciones de términos positivos.

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EVALUACIÓN INICIAL

Indica la fracción que representa la parte sombreada de la forma más simplificada posible.

Observa las siguientes fracciones y señala las que sean equivalentes a .

Ordena las siguientes fracciones, de mayor a menor: .

Representa las fracciones en la recta.

Al comprar se emplean medidas intermedias del gramo o del kilogramo. Si el siguiente rectángulorepresenta un kilo de carne, representa en cada caso la fracción correspondiente.

kg kg kg

Reduce a común denominador las fracciones: .

Haz las operaciones entre fracciones y simplifica los resultados.

a) b) c)

De los goles conseguidos por un equipo de fútbol, Pedro ha marcado la mitad, Juan ha marcado un tercioy el resto lo han marcado los otros delanteros. ¿Qué fracción de goles han marcado estos últimos?

8

1

7

1

8: =

16

3

3

5: =

2

5

8

12

3

5+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =:

7

3670

,5084

,42

1056

2

3

1

4

1

2

5

310

45

32

, y4

412

310

615

518

, , ,3

37

2

1

FRACCIONES2

621

921

1228

1535

1841

2149

2465

0 1 2

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PR

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Indica la fracción que representa la parte sombreada de la forma más simplificada posible.

Observa las siguientes fracciones y señala las que sean equivalentes a .

Ordena las siguientes fracciones, de mayor a menor: .

Representa las fracciones en la recta.

Al comprar se emplean medidas intermedias del gramo o del kilogramo. Si el siguiente rectángulorepresenta un kilo de carne, representa en cada caso la fracción correspondiente.

kg kg kg

Reduce a común denominador las fracciones: .

m.c.m. (70, 84, 105) = 420

Haz las operaciones entre fracciones y simplifica los resultados.

a) b) c)

De los goles conseguidos por un equipo de fútbol, Pedro ha marcado la mitad, Juan ha marcado un tercioy el resto lo han marcado los otros delanteros. ¿Qué fracción de goles han marcado estos últimos?

Goles marcados por Pedro y Juan: .12

13

56

156

16

+ = − =→ Resto:

8

17

81

87

⋅ =1

7

1

8: =

163

53

809

⋅ =16

3

3

5: =

25

109

6845

+ =2

5

8

12

3

5+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =:

7

42105

168420

→5084

250420

→3670

216420

→

3670

,5084

,42

1056

2

3

1

4

1

2

5

310

45

32

, y4

518

310

412

615

< < <

412

310

615

518

, , ,3

37

2

1

427

621

921

1228

1535

1841

2149

2465

35

0 1 2310

45

32

25

12

25

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Representa mediante una fracción las siguientes expresiones.

a) Tres cuartos de hora.

b) De los 30 alumnos de la clase, los dos quintos son niños.

Dibuja un cuadrado de 2 centímetros de lado y construye los tres quintos de este cuadrado.

Señala las fracciones equivalentes a la fracción .

Calcula la fracción irreducible de las siguientes fracciones.

→ →

Encuentra la fracción irreducible de estas fracciones, dividiéndolas sucesivamente entre sus divisores comunes.

→

→

Reduce las fracciones a común denominador.

a)

b)2

22

7

39y

3

8

5

12y

6

168

126

105

360

5

264

1 001.

90

60

4

515

3

2

1Interpretación de fraccionessegún su significado

y aplicación en varioscontextos.

Determinación de si dosfracciones son equivalentes

y búsqueda de fraccionesequivalentes a una

fracción dada.

Amplificación y simplificaciónde fracciones y obtención de

la fracción irreducible de una fracción dada.

Reducción de fracciones a común denominador.

• Enumerar e identificar elementos .....................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ...........................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .................................................. 1, 2, 3, 6, 7, 12, 13

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .........................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................... 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13


FRACCIONES2

6

21

7

21

11

30

15

45

18

55

20

60

23

65

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Señala cuál es la fracción mayor.

a)

b)

c)

Calcula.

Efectúa las operaciones.

Calcula.

Calcula y simplifica.

Escribe los inversos de los siguientes números.

→ → →

Representa las fracciones , y en la recta.75

32−

−710

13

−5

7−

3

2

4

5

12

4

5

3

2

1

61

2

7⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

11

4

3

4

5

2

3⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =:

10

23

4

2

5− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

9

11

15

3

4

2

5

4

15+ − − =

8

8

15y

11

22

22

7y

10

3

5

9

7

10y

7Comparación de dosfracciones cualesquiera.

Operaciones con fracciones y resolución de operaciones

combinadas.

Trabajo con fraccionesnegativas y representación

de una fracción enteracualquiera.

Representación en la rectade fracciones y de sus

números decimalesasociados.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

429

• Clasificar y discriminar según criterios .............................................................................................. 4, 5, 6

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ...........................................................................................

• Combinar, componer datos, resumir, etc. .........................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ....................................................................................


−1 1 20

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FRACCIONES2EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Interpretación: a) b)

Dibujo: Se divide en cinco rectángulos verticales y se toman tres.

Fracciones equivalentes:

Fracción irreducible:

Fracción irreducible (divisiones sucesivas):

Reducción a común denominador:

a) m.c.m. (8, 12) = 24 →

b) m.c.m. (22, 39) = 858 →

Comparación: a) b) c)

Sumas:

Cálculo:

Producto y cociente:

Cálculo:

Inversos: → → →

Representación de fracciones en la recta:13

− 75

−5

7− 2

3−

3

2

54

4

512

45

86

57

3230

57

224 150210

74210

37105

⋅ − = − = − = =4

5

3

2

1

61

2

7⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =11

43

45

32

1610

85

⋅ ⋅ = =4

3

4

5

2

3⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =:10

234

25

4020

1520

820

40 15 820

3320

− + = − + = − + =23

4

2

5− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =9

4460

4560

2460

1660

44 45 24 1660

4960

+ − − = + − − =11

15

3

4

2

5

4

15+ − − =8

815

1122

>227

103

<59

710

<7

739

154858

=222

78858

=

512

1024

=38

924

=

6

168

126→ 84 2

63 228 321 3

4 73 7

43

⋅⋅= ⋅

⋅= ⋅

⋅=

105

360→ 35 3

120 37 524 5

724

⋅⋅= ⋅

⋅=5

90

60

264

1 001→ →3

22491.

4

3

2

25

3025

30605

12de = ⋅ = =34

1

−1 1 2032−

−710

75

6

21

721

11

30

1545

18

55

2060

23

65

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Números decimales


NÚMEROS: Números decimales

• Números expresados en forma decimal finita.

• Ordenación de números expresados en forma decimal.

• Tipos de números decimales.

• Operaciones con números decimales: suma, resta, multiplicación y división.

• Aproximaciones decimales: redondeo y truncamiento.


PRUEBA INICIAL

La prueba consiste en una serie de ejercicios sobre losprocedimientos básicos que hay que realizar con núme-ros decimales: comparación de números; operacionesbásicas: suma, resta, producto y división; un ejercicio deredondeo y problemas reales con números decimales.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La primera parte de la prueba (los ejercicios 1 a 5) se re-fiere a la transformación de fracciones en números de-cimales. Más adelante se estudiará la suma de términosde una progresión geométrica ilimitada. Así, será nece-sario reforzar esta idea, respecto al uso de la calcula-dora y el número de decimales que cada modelo utili-za. Los siguientes ejercicios prosiguen con aspectos deaproximación y, por tanto, será conveniente un trabajoconstante y que los alumnos perciban las característicasde cada modelo.

3INTRODUCCIÓN

En esta unidad se continúa con el estudio de lasfracciones y los números decimales. Los contenidos son esencialmente procedimentales y, básicamente,profundizan conceptos introducidos durante el cursoanterior.

Se practicarán las diferentes conversiones de fraccionesa números decimales, pero conviene también que los alumnos vean su sentido y su aplicaciónpráctica. Así, no pueden obviarse las operaciones con números decimales periódicos.

Las estimaciones numéricas constituyen una herramienta básica de cálculo. Los alumnos ya las han trabajado a lo largo de los cursos anteriores,pero esta vez se añade la dificultad de los decimales.Conviene incidir en el análisis crítico de las estimaciones,valorando los errores y determinando el tipo de aproximación más adecuado en cada caso.


Esta unidad se relaciona con los contenidos del cursoanterior. En consecuencia, será necesario repasar los conceptos y procedimientos de las dos unidadesprecedentes. Los conocimientos básicos son:

• Lectura, escritura y representación de númerosdecimales.

• Operaciones sencillas con números decimales.

• Aproximaciones con números decimales.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Ordena los siguientes números, de mayor a menor.

2,01 20,01 2,101 0,2001 0,0201 20,1

Haz estas operaciones con números decimales.

123,055 406,535

+ 306,112 − 251,273

Efectúa la siguiente división, redondeando el resultado a las milésimas.

12,4587 32,45

Divide los números del 1 al 6 con la calculadora y observa cuáles son las cifras que aparecen. ¿Sucede esto siempre que efectuamos una división?

Para elaborar la sopa, el cocinero del colegio necesita 0,25 litros de agua por alumno. Si 132 alumnos se quedan a comer, ¿qué cantidad de agua necesita para hacer la sopa?

5

4

3

2

1

NÚMEROS DECIMALES3

20,1 > > > > >

829485 _ 0419-0448.qxd 12/9/07 15:29 Página 432



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Ordena los siguientes números, de mayor a menor.

2,01 20,01 2,101 0,2001 0,0201 20,1

Haz estas operaciones con números decimales.

123,055 406,535

+ 306,112 − 251,273

429,162 155,257

Efectúa la siguiente división, redondeando el resultado a las milésimas.

12,4587 32,45 C = 0,3839... ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C = 0,384

Divide los números del 1 al 6 con la calculadora y observa cuáles son las cifras que aparecen. ¿Sucede esto siempre que efectuamos una división?

0,142857142857...

= 0,285714285714...

= 0,428571428571...

= 0,571428571428...

= 0,714285714285...

= 0,857142857142...

Son las mismas cifras periódicas, pero en diferente orden.

Esto no sucede siempre. Por ejemplo, si dividimos entre 2 o 5, no hay cifras periódicas.

Para elaborar la sopa, el cocinero del colegio necesita 0,25 litros de agua por alumno. Si 132 alumnos se quedan a comer, ¿qué cantidad de agua necesita para hacer la sopa?

Multiplicando 132 por 0,25, se obtiene que son necesarios 33 litros de agua.

5

67

57

47

37

27

17

4

3

2

1

433

20,1 20,01 2,101 2,01 0,2001 0,0201> > > > >

redondeo

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Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor.

a) 3 décimas b) 31 centésimas c) 307 milésimas d) 0,305 unidades

Indica el tipo de número decimal que resulta de estas fracciones y, con la ayuda de la calculadora, expresa en forma decimal las fracciones.

Pedro compra 1,125 kg de peras, 2,05 kg de naranjas y 1,872 kg de melocotones. Por último, compra un melón de 3 kg y medio. ¿Cuál es el peso total de la fruta?

Completa la siguiente tabla, transformando las fracciones en númerosdecimales, y redondea a las centésimas.

4

3

2

1Ordenación de un conjunto de números decimales.

Reconocimiento y cálculo de los tipos de expresióndecimal de una fracción

(exacta o periódica).

Suma y resta de númerosdecimales.

Redondeo y truncamiento de números decimales hasta

un nivel de aproximacióndeterminado.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................................. 2, 10

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 1, 2

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................................... 3, 4, 5, 6, 7, 8


NÚMEROS DECIMALES3

Fracción Tipo de número decimal Expresión decimal

Fracción

Decimal

4

2517

665

843

4089

30

7

6

74

13

11

3

35

2

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Calcula y trunca el resultado con tres decimales.

a) ⋅ 3

b)

c) 0,16 ⋅

Halla el resultado de las siguientes sumas y restas.

a) 324,654 + 126,057 + 32,005

b) 54,904 − 13,047 + 98,218

Luego aproxima cada cifra a las centésimas mediante truncamiento y redondeo,realiza de nuevo las operaciones y calcula el error cometido.

Estima estos productos y cocientes redondeando a las unidades, y halla el error cometido.

a) 32,87 ⋅ 10,2

b) 130,24 : 8,945

Calcula estas raíces cuadradas con dos decimales.

a)

b) 4 325.

83

8

7

6

7

3

23

10

5

7:

7

9

5Estimación del resultado de operaciones

con decimales mediante el redondeo en las unidades.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

435

• Clasificar y discriminar según criterios ...............................................................................................................

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................................. 5, 6, 7

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... 2

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................


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NÚMEROS DECIMALES3EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Ordenación: a) 0,3 b) 0,31 c) 0,307 d) 0,305 0,3 < 0,305 < 0,307 < 0,31

Tabla:

Báscula: 1,125 + 2,05 + 1,872 + 3,5 = 8,547 kg

Redondeo:

Truncamiento:

a) ⋅ 3

b)

c) 0,16 ⋅

Aproximaciones y errores:

a) Valor exacto: 324,654 + 126,057 + 32,005 = 482,716

Redondeo: 324,65 + 126,06 + 32,01 = 482,72 → Error: 0,004

Truncamiento: 324,65 + 126,05 + 32 = 482,7 → Error: 0,016

b) Valor exacto: 54,904 − 13,047 + 98,218 = 140,075

Redondeo: 54,90 − 13,05 + 98,22 = 140,07 → Error: 0,005

Truncamiento: 54,90 − 13,04 + 98,21 = 140,07 → Error: 0,005

Estimaciones: a) 33 ⋅ 10 = 330 → Error: 5,274 b) 130 : 9 = 14,4 → Error: 0,160089

Raíces: a) = 9,11 b) = 65,764 325.838

7

6

= 112300

0 373→→ ,7

3

= =16150

3 220,23

10

5

7:

= 219

2 333→→ ,7

9

5

4

3

2

1

Exacto

Exacto

Exacto

Periódico

Periódico

0,16

8,125

1,075

2,83�

2,96�

Fracción Tipo de número decimal Expresión decimal

1,17 5,69 3,67 17,50

Fracción

Decimal

7

6

74

13

11

3

35

2

4

2517

665

843

4089

30

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Sistema sexagesimal


SISTEMA SEXAGESIMAL

• Medida de la amplitud de ángulos. Unidades: grado, minuto y segundo. Relaciones entre las distintas unidades.

• Medida del tiempo. Unidades: hora, minuto y segundo. Relaciones entre ellas.

• Expresión decimal y compleja de una medida de ángulos o de tiempo. Reglas de conversión.

• Operaciones en el sistema sexagesimal.


PRUEBA INICIAL

La prueba se compone de una serie de ejercicios relati-vos a la transformación de unidades de medida de tiem-po y de ángulos. Con esta prueba se pretende que losalumnos recuerden las equivalencias entre las distintasunidades y el procedimiento para pasar de unas a otras.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba se basa en los contenidos fundamentales dela unidad. Comienza con transformaciones entre las dis-tintas unidades de medida de tiempo y ángulos. Los si-guientes ejercicios trabajan la expresión de medidas enforma compleja e incompleja. Los ejercicios 5 y 6 serefieren a las operaciones que se pueden realizar en elsistema sexagesimal.

La prueba concluye con algunos problemas en los quees necesario utilizar estas operaciones.

4INTRODUCCIÓN

El sistema sexagesimal puede suponer una dificultadimportante para los alumnos, ya que se trata de un sistema de numeración mixto. Su aplicación en el mundo real hace que su estudio sea fundamental. Por tanto, será necesario efectuar un gran número de ejercicios con el objetivo de asegurar una correctacomprensión.


El concepto de ángulo ya es conocido por los alumnos,por lo que las operaciones gráficas con los ángulos no deberían suponer ningún problema, dado su carácter manual. Así pues, los conocimientos que tendríamos que revisar son:

• Operaciones gráficas con ángulos.

• Transformaciones de unidades de medida de ángulos.

• Trabajo de ángulos con el transportador.

PR

OP

UE

STA

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E E

VALU

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IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Completa las siguientes tablas.

¿Cuántas horas son 72.000 segundos?

Expresa en grados, en minutos y en segundos la medida de estos ángulos.

a) Un ángulo llano (180°).

b) Un ángulo completo (360°).

Expresa las siguientes medidas de tiempo en las unidades que se indican.

a) 46.080 min en meses de 30 días.

b) 8 días y medio en segundos.

c) 3 años y 2 meses en minutos.

d) 47.304.000 s en años.

Trabajando 8 horas diarias, de lunes a viernes, ¿cuántos segundos son?5

4

3

2

1

SISTEMA SEXAGESIMAL4

Grados (°) 15 25 60 100 125 278 360

Minutos (’)

Segundos (’’)

Horas (h) 7 10 12 24 48 72

Minutos (min)

Segundos (s)

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PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Completa las siguientes tablas.

¿Cuántas horas son 72.000 segundos?

72.000 : 60 = 1.200 min → 1.200 : 60 = 20 h

Expresa en grados, en minutos y en segundos la medida de estos ángulos.

a) Grados ⎯→ 180°Minutos ⎯→ 180 ⋅ 60 = 10.800’Segundos → 180 ⋅ 3.600 = 648.000’’

b) Grados ⎯→ 360°Minutos ⎯→ 360 ⋅ 60 = 21.600’Segundos → 360 ⋅ 3.600 = 1.296.000’’

Expresa las siguientes medidas de tiempo en las unidades que se indican.

a) 46.080 : 60 = 768 h → 768 : 24 = 32 días → 1 mes y 2 días

b) 8,5 ⋅ 24 = 204 h → 204 ⋅ 3.600 = 734.400 s

c) 1.095 + 60 = 1.155 días → 1.155 ⋅ 24 = 27.720 h →→ 27.720 ⋅ 60 = 1.633.200 min

d) 47.304.000 : 3.600 = 13.140 h → 13.140 : 24 = 547,5 días → 547,5 : 365 = 1,5 años

Trabajando 8 horas diarias, de lunes a viernes, ¿cuántos segundos son?

8 ⋅ 5 = 40 h → 40 ⋅ 3.600 = 144.000 s

5

3 365 1 0952 30 60⋅ =⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

. díasdías

4

3

2

1

439

Grados (°) 15 25 60 100 125 278 360

Minutos (’) 900 1.500 3.600 6.000 7.500 16.680 21.600

Segundos (’’) 54.000 90.000 216.000 360.000 450.000 1.000.800 1.296.000

Horas (h) 7 10 12 24 48 72

Minutos (min) 420 600 720 1.440 2.880 4.320

Segundos (s) 25.200 36.000 43.200 86.400 172.800 259.200

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Expresa estas medidas de tiempo en segundos.

a) 3 h 19 min 26 s

b) 1 h 42 min 33 s

Expresa de forma compleja.

a) 2.300 s c) 17,5 min

b) 4.042 s d) 4,25 h

Efectúa las siguientes operaciones.

a) 15° 22’ 30’’ + 8° 27’ 41’’ d) 4° 11’ 17’’ − 1° 16’ 32’’

b) 1° 44’ 11’’ + 5° 16’ 9’’ e) 50’ 43’’ − 3’ 50’’

c) 50° 43’’ + 13° 10’’ f) 11° 44’ 11’’ − 5° 16’ 39’’

5

4

3

2

1Expresión y transformación,en el sistema sexagesimal,de amplitudes de ángulos

y tiempos.

Sumas y restas de amplitudes de ángulos

y tiempos en el sistemasexagesimal.

• Enumerar e identificar elementos .......................................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 1, 2, 3, 4


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 9


4 SISTEMA SEXAGESIMAL

Grados (°) Minutos (’) Segundos (’’)

32.400

600

3.600

300

Horas (h) Minutos (min) Segundos (s)

30

10.800

600

43.200

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Calcula el resultado de:

a) (14° 21’ 7’’) ⋅ 5 c) (44° 21’ 37’’) : 5

b) (50° 43’’) ⋅ 6 d) (39° 3’ 40’’) : 3

Un ciclista ha empleado, en las dos etapas de contrarreloj, los siguientes tiempos.

1.ª contrarreloj: 2 h 41 min 44 s2.ª contrarreloj: 1 h 20 min 18 s

a) ¿Cuánto tiempo ha empleado en total?

b) ¿Cuánto tiempo ha tardado más en la primera etapa?

Elena habla por teléfono 25 minutos y 30 segundos cada día. ¿Cuánto tiempo habla por teléfono de lunes a viernes?

Luisa ha utilizado el ordenador un total de 8 h 37 min durante 5 días. Si cada día lo ha mantenido encendido el mismo tiempo, ¿cuánto ha estadofuncionando a diario?

9

8

7

6Multiplicaciones y divisionespor un número cualquiera.

Resolución de problemas de la vida real

que impliquen operar con ángulos y tiempos.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

441

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................................................. 5, 6, 7, 8

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... 1, 2

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................


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SISTEMA SEXAGESIMAL4EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Conversión de unidades:

Conversión de unidades:

Medidas de tiempo:

a)

b)

Medidas de tiempo:

a) 2.300 : 3.600 = 0,638�= 38 min 20 s c) 17 min + 0,5 min = 17 min 30 s

b) 4.042 : 3.600 = 1,1227�= 1 h 7 min 22 s d) 4 h + 0,25 h = 4 h 15 min

Operaciones:

a) 15° 22’ 30’’ + 8° 27’ 41’’ = 23° 50’ 11’’ d) 4° 11’ 17’’ − 1° 16’ 32’’ = 2° 54’ 45’’b) 1° 44’ 11’’ + 5° 16’ 9’’ = 7° 20’’ e) 50’ 43’’ − 3’ 50’’ = 46’ 53’’c) 50° 43’’ + 13° 10’’ = 63° 53’’ f) 11° 44’ 11’’ − 5° 16’ 39’’ = 6° 27’ 32’’

Operaciones:

a) (14° 21’ 7’’) ⋅ 5 = 70° 105’ 35’’ = 71° 45’ 36’’ c) (44° 21’ 37’’) : 5 = 8° 52’ 19’’b) (50° 43’’) ⋅ 6 = 300° 258’’ = 304° 18’’ d) (39° 3’ 40’’) : 3 = 13° 1’ 13’’

Etapas contrarreloj:a) 2 h 41 min 44 s + 1 h 20 min 18 s = 3 h 61 min 62 s = 4 h 2 min 2 sb) 2 h 41 min 44 s − 1 h 20 min 18 s = 1 h 21 min 26 s

Consumo telefónico: Utilización del ordenador:

(25 min 30 s) · 5 = 2 h 7 min 30 s (8 h 37 min) : 5 = 1 h 43 min 24 s

98

7

6

5

4

1 3 600 3 60042 60 2 520

3 600 2⋅ =⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+. ..

. .ss

5520 33 6 153+ = . s

3 3 600 10 80019 60 1 140

10 800⋅ =⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+. ..

.ss

11 140 26 11 996. .+ = s

3

2

1

Grados (°) Minutos (’) Segundos (’’)

9 540 32.400

10 600 36.000

1 60 3.600

5 300 18.000

Horas (h) Minutos (min) Segundos (s)

0,5 30 1.800

3 180 10.800

10 600 36.000

12 720 43.200

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Expresiones algebraicas


ÁLGEBRA: Expresiones algebraicas

• Concepto de monomio y polinomio.

• Operaciones con polinomios: suma, resta y producto de un polinomio por un monomio.

• Igualdades notables.

• Cálculo con expresiones polinómicas: supresiones de paréntesis y agrupación de términos.

• Cálculo de valores numéricos en expresiones polinómicas.


5INTRODUCCIÓN

El estudio de las expresiones algebraicas representa la culminación de los conocimientos adquiridos en esta parte del libro y constituye una herramientabásica de las Matemáticas.

La utilización del lenguaje algebraico para expresarrelaciones entre cantidades es un procedimiento quesupone el paso a un nivel superior de abstracción que ya se inició durante el curso anterior. Este procesode abstracción puede resultar difícil para los alumnos.Hay que tener en cuenta que a veces la comprensión de las Matemáticas requiere un proceso de maduraciónsubconsciente, que necesita de un trabajo constante y continuo. El aprendizaje del lenguaje algebraicoresultará esencial para el estudio de la asignatura.

Conviene incidir en el estudio de las igualdades notables,ya que se utilizan constantemente.


En el curso anterior se inició a los alumnos en el manejode las expresiones algebraicas, que en esta unidaddeberán repasar. Los aspectos que se tendrían que revisar son:

• Planteamiento, manejo y cálculo de expresionesalgebraicas.

• Cálculo de valores numéricos en expresionespolinómicas.

• Operaciones con expresiones polinómicas.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

PRUEBA INICIAL

Los primeros ejercicios de la prueba tratan sobre los di-ferentes tipos de transformaciones del lenguaje usual enlenguaje algebraico. En el ejercicio 1 se tiene que rela-cionar el enunciado con la solución, mientras que los dossiguientes ejercicios presentan ejemplos cercanos a losalumnos: preguntas sobre edades y geométricas. Los úl-timos ejercicios se refieren al cálculo del valor numéricode una expresión y a una ecuación que los alumnos pue-den resolver atribuyendo valores a x.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Los primeros ejercicios resaltan la importancia de la tra-ducción del lenguaje usual al algebraico y las operacio-nes con expresiones algebraicas.

La segunda parte consiste en una serie de operacionescon monomios y polinomios que en el curso siguientetendrán un tratamiento más profundo. Es importante quelos alumnos vean, de forma algebraica o de forma geo-métrica, las igualdades notables para que en el futuro noexista posibilidad de errores. Los errores más frecuentesson: no elevar al cuadrado los coeficientes de los mono-mios, confundir los signos en el cuadrado de la dife-rencia y no saber qué hacer con el producto de la sumapor la diferencia.

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EVALUACIÓN INICIAL

Relaciona las siguientes expresiones con los enunciados de la otra columna.

Expresión Enunciado

2(a + 7) A un número le sumamos siete y multiplicamos el resultado por dos.

2a + 7 A la mitad de un número le restamos siete.

− 7 A siete le restamos el doble de un número.

7 − 2a Multiplicamos un número por dos y le sumamos siete.

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico:

a) La edad que tenía hace 5 años →

b) La edad que tendrá dentro de 7 años →

c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años →

d) Los años que tendrá cuando tenga el doble de los años que tiene ahora →

Averigua la expresión algebraica para los siguientes enunciados.

a) El área de un triángulo de base b y altura h →

b) El perímetro de un hexágono regular de lado x cm →

c) El coste de z bolsas de chicles que cuestan 30 céntimos cada una →

d) El área de un rectángulo de base b y altura 3 cm más que la base →

e) El resto de la división entre 18 y 5 si el cociente es x →

Calcula el valor de las siguientes expresiones, según el valor de x.

e(x) = 4x + 3, si x = 3 → e(3) =

f (x) = −3x + 3x2, si x = 2 → f (2) =

g(x) = (x 2 − 4 )2, si x = −2 → g(−2) =

Si la expresión algebraica del área de un rectángulo de base x es A = x (x − 2) y sabemos que el área mide 24 m2, ¿cuánto mide la base del rectángulo? ¿Y su altura?

5

4

3

2

a

2

1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 5829485 _ 0419-0448.qxd 12/9/07 15:29 Página 444



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Relaciona las siguientes expresiones con los enunciados de la otra columna.

Expresión Enunciado

2(a + 7) A un número le sumamos siete y multiplicamos el resultado por dos.

2a + 7 A la mitad de un número le restamos siete.

− 7 A siete le restamos el doble de un número.

7 − 2a Multiplicamos un número por dos y le sumamos siete.

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico:

a) La edad que tenía hace 5 años → x − 5

b) La edad que tendrá dentro de 7 años → x + 7

c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años → 65 − x

d) Los años que tendrá cuando tenga el doble de los años que tiene ahora → 2x

Averigua la expresión algebraica para los siguientes enunciados.

a) El área de un triángulo de base b y altura h →

b) El perímetro de un hexágono regular de lado x cm → P = 6 ⋅ x

c) El coste de z bolsas de chicles que cuestan 30 céntimos cada una → C = 30 ⋅ z

d) El área de un rectángulo de base b y altura 3 cm más que la base → A = b(b + 3)

e) El resto de la división entre 18 y 5 si el cociente es x → r = 18 − 5x

Calcula el valor de las siguientes expresiones, según el valor de x.

e(x) = 4x + 3, si x = 3 → e(3) = 15

f (x) = −3x + 3x2, si x = 2 → f (2) = 6

g(x) = (x 2 − 4 )2, si x = −2 → g(−2) = 0

Si la expresión algebraica del área de un rectángulo de base x es A = x (x − 2) y sabemos que el área mide 24 m2, ¿cuánto mide la base del rectángulo? ¿Y su altura?

A = x(x − 2) = 24 → x = 6 cm

Altura: 6 − 2 = 4 cm

5

4

Ab h= ⋅

2

3

2

a

2

1

445

F

F

F

F

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En una granja hay 200 pollos y 300 conejos.

a) ¿Cuántas patas hay en total?

b) Si fueran 300 pollos y 400 conejos, ¿cuántas patas habría?

c) Y si el número de pollos fuese a y el de conejos fuese b, ¿cuántas patas habría?

Expresa mediante lenguaje algebraico.

a) Un conjunto de múltiplos de 7 →

b) Un conjunto de cuadrados →

c) Un conjunto de múltiplos comunes de 3 y 5 →

Opera y simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) n(n + 3) − (2n + 1) =

b) z(3 − z) + 3z2 − 5 (z + 4) =

c) =

Calcula el área del recinto de la figura si sabemos que a = 3 cm.4

x x x

2

1

3

2 4

4+

−−

+( )

3

2

1Expresión en lenguajealgebraico de enunciados dados en lenguaje usual.

Operaciones con númerosdesconocidos mediante el lenguaje algebraico.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 6


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 1, 2


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 4, 5 7, 8, 9


EXPRESIONES ALGEBRAICAS 5

a

4a

a

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Sabiendo que la base de un triángulo mide el doble que su altura, halla el área si la base mide 6 cm.

Determina el coeficiente, la parte literal y el grado de cada uno de estos monomios.

Dados los siguientes monomios:

a(x) = −3x2 b(x) = 4x c(x)= 5x2 d(x) = 7 e(x) = −6x

calcula.

a) a(x) + c(x) =

b) b(x) − e(x) =

c) a(x) + d(x) =

d) a(x) · e(x) =

Dados los siguientes polinomios:

a(x) = −3x2 + 5x3 + 2 b(x) = 4x − 3 c(x) = 5x3 + 4x − 1 d(x) = −4x2

calcula.

a) a(x) + c(x) =

b) c(x) − b(x) =

c) b(x) · d(x) =

Opera.

a) (2a + b)2 =

b) (3x − 4y)(3x + 4y) =

c) (1 − 2z)2 =

d) (3c − 2d)2 =

9

8

7

6

5Determinación del valornumérico de una expresión

algebraica.

Distinción entre coeficiente,parte literal y grado

de un monomio.

Cálculo de sumas, restas y productos de monomios.

Cálculo de sumas y restas de polinomios, y producto

de un monomio por un binomio.

Trabajo con las igualdadesnotables.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

447

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 4

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5, 9

• Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 6

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


Monomio Coeficiente Parte literal Grado

−5xz2 −5 xz2 3

8x2y4

17x9

−10,7a3b4

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS 5EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Granja:

a) 200 ⋅ 2 + 300 ⋅ 4 = 400 + 1.200 = 1.600 patas

b) 300 ⋅ 2 + 400 ⋅ 4 = 600 + 1.600 = 2.200 patas

c) Patas = 2a + 4b

Lenguaje algebraico: en todos los casos, n es un número natural.

a) Múltiplos de 7 → 7n b) Cuadrados → n2 c) Múltiplos comunes de 3 y 5 → 15n

Cálculo y simplificación:

a) n(n + 3) − (2n + 1) = n2 + 3n − 2n − 1 = n2 + n − 1

b) z(3 − z) + 3z2 − 5(z + 4) = 3z − z2 + 3z2 − 5z − 20 = 2z2 − 2z − 20

c) =

Área de un recinto:

Dividimos el recinto en 5 partes, calculamos el área de cada una de las partes y las sumamos:

A1 = 4a ⋅ 2a = 8a2

A2 = πa2 A = a2

A3 = A4 = A5 = 2a2

Por tanto, si a = 3 cm → A = cm2

Área de un triángulo:

base → 6 cm; base = 2 ⋅ altura → altura = = 3 cm; A = = 9 cm2

Tabla:

Cálculo: a) −3x2 + 5x2 = 2x2 b) 4x − (−6x) = 10x c) −3x2 + 7 d) (−3x2) ⋅ (−6x) = 18x3

Operaciones con polinomios:

a) −3x2 + 5x3 + 2 + 5x3 + 4x − 1 = 10x3 − 3x2 + 4x + 1 c) (4x − 3) ⋅ (−4x2 ) = −16x3 + 12x2

b) 5x3 + 4x − 1 − (4x − 3) = 5x3 + 2

Binomios notables:

a) (2a + b)2 = 4a2 + 4ab + b2 c) (1 − 2z)2 = 1 − 4z + 4z2

b) (3x − 4y)(3x + 4y) = (3x)2 − (4y)2 = 9x2 − 16y2 d) (3c − 2d)2 = 9c2 − 12cd + 4d2

9

8

7

6

base altura⋅ = ⋅2

6 32

base2

5

12692

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟π

142

+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

π12

4

6 4 1 6 412

4 2812

73

x x x x x+ − − + = − = −( ) ( )x x x

2

1

3

2 4

4+

−−

+( )

3

2

1

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

−5xz2 −5 xz2 3

8x2y4 8 x2 y4 2 + 4 = 6

17x9 17 x9 9

−10,7a3b4 −10,7 a3 b4 3 + 4 = 7

a

A3

A2

A5

A1

A4

4a⎛⎜⎜⎜⎨⎜⎜⎜⎝

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Ecuaciones de 1.er y 2.o grado


ÁLGEBRA: Ecuaciones

• Concepto de ecuación.

• Elementos del lenguaje algebraico: miembros, términos, coeficientes, grado, incógnitas y soluciones.

• Diferentes tipos de ecuaciones según el grado, los tipos de números que intervienen, el número de incógnitas,el número de soluciones y las operaciones.

• Equivalencia de ecuaciones.

• Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolución. Aplicaciones.

• Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Resolución.


PRUEBA INICIAL

Los ejercicios que se plantean en la prueba se dirigen acomprobar hasta qué punto los alumnos han asimiladolos conceptos básicos de una ecuación y la forma de re-solverla. Así, en el ejercicio 1 el alumno debe distinguirentre los datos y la incógnita. Los ejercicios 2, 3 y 4 pro-ponen ecuaciones que se pueden resolver sin plantearuna ecuación. Sería conveniente que el método para so-lucionarlas sea: prever el resultado, ordenar los datos deforma correcta, explicar los pasos que se tienen que se-guir, comprobar la solución, etc.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene todos los tipos de ejercicios que seproponen en los objetivos: distinguir entre una identidad yuna ecuación (ejercicio 1) y operar con los elementospropios del lenguaje algebraico (ejercicios 2, 3 y 4).

Se prosigue con varias formas de resolver una ecuación:transposición, ensayo y error (ejercicio 5), y con la resolu-ción de ecuaciones de primer grado y de segundo gradoincompletas por los métodos generales. Hay un par deproblemas de tipo numérico, aunque la elección puedeser más amplia: de mezclas, geométricos, de edades,etcétera.

6INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son esenciales en el áreade Matemáticas, puesto que las ecuaciones representanuna herramienta fundamental de esta materia. Las ecuaciones se presentaron en el curso anterior, por lo que no tendrían que suponer grandes dificultadespara los alumnos, dado que se trata de procesosmecánicos efectuados ya con los números.

Las dificultades en esta unidad pueden surgir a la horade resolver problemas con ecuaciones y, concretamente,en el planteamiento de las ecuaciones y la manipulaciónde expresiones algebraicas. Convendría plantearproblemas de enunciados cercanos a los alumnos y evitar, siempre que sea posible, los problemas clásicosde grifos, móviles que se cruzan, etc.


Será necesario repasar los conceptos estudiados en 1.º ESO, así como las cuestiones básicas sobre la resolución de problemas.

• Distinción entre lo que se conoce (datos) y lo que sedesconoce (incógnitas), y asignación de los símbolosadecuados a estas últimas.

• Realización de diagramas, figuras descriptivas, o esquemas, según el problema que se deba resolver.

• Cálculo del resultado de un problema por tanteo,mediante algoritmos, métodos o fórmulas porsuposiciones razonadas de valores concretos, etc.

• Capacidad para contrastar el resultado obtenido con la situación planteada.

• Cálculo con expresiones algebraicas.

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EVALUACIÓN INICIAL

Andrés tiene varias monedas de 20 céntimos, que hacen un total de 3,40 €. ¿Qué pregunta le plantearías a Andrés, cuánto vale cada moneda o cuántas monedas tiene? En cualquier caso, ¿cuál sería la respuesta?

Unos amigos preparan una fiesta y quieren confeccionar banderolas de 20 × 25 cm. Cada palo de la banderola cuesta 20 céntimos y cada metro cuadrado del tejido para hacer las banderolas cuesta 9 €. Si entre todos tienen 22,75 €, ¿cuántas banderolas pueden fabricar? Resuelve el problemaayudándote de un diagrama o un esquema, y explícalo.

Si un coche consume 8 litros de gasolina cada 100 kilómetros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer con 1 litro? Efectúa varias pruebas hasta obtener el resultado.

Un amigo plantea a Enrique la siguiente cuestión: «Mi madre tiene el triple de edad que yo, mi padretiene 3 años más que mi madre, y entre los tres tenemos 101 años». ¿Cuál de las siguientes expresionesdará como resultado la edad del amigo?

a) x + (x + 3) + [(x + 3) + 3] = 101

b) x + (x ⋅ 3) + [(x ⋅ 3) ⋅ 3] = 101

c) x + (x ⋅ 3) + [(x ⋅ 3) + 3] = 101

En estas ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas de forma mental o por el método de ensayo y error.

Resuelve las siguientes ecuaciones de forma algebraica.

a) 2x + 4 = 3x − 8 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x =

b) 3(3x + 4) = 5(x − 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ x =

c) ⎯⎯⎯→ x =x x x−

=−

−−1

2

2

3

3

4

6

5

4

3

2

1

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO6

Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución

x + 4 = 7

2x = 8 3z − 2 = 10

y

52=

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Andrés tiene varias monedas de 20 céntimos, que hacen un total de 3,40 €. ¿Qué pregunta le plantearías a Andrés, cuánto vale cada moneda o cuántas monedas tiene? En cualquier caso, ¿cuál sería la respuesta?

Le plantearíamos la segunda pregunta: ¿Cuántas monedas tiene? Para calcularlo tendremos que dividir

la cantidad total entre el valor de cada moneda: = 17 monedas.

Unos amigos preparan una fiesta y quieren confeccionar banderolas de 20 × 25 cm. Cada palo de la banderola cuesta 20 céntimos y cada metro cuadrado del tejido para hacer las banderolas cuesta 9 €. Si entre todos tienen 22,75 €, ¿cuántas banderolas pueden fabricar? Resuelve el problemaayudándote de un diagrama o un esquema, y explícalo.

• Área de cada banderola: 20 ⋅ 25 = 500 cm2 → 0,05 m2

• Precio del tejido de una banderola: 0,05 m2 ⋅ 900 = 45 céntimos

• Precio total de la banderola: 45 + 20 = 65 céntimos

• Número de banderolas: 2.275 : 65 = 35

Si un coche consume 8 litros de gasolina cada 100 kilómetros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer con 1 litro? Efectúa varias pruebas hasta obtener el resultado.

• Podemos anticipar el resultado aproximado: 10 kilómetros. Si esta fuera la solución, con 1 litropodríamos recorrer 10 kilómetros, y con 8 litros podríamos recorrer: 8 ⋅ 10 = 80 km; por tanto, podremos recorrer más de 10 km.

• Aproximamos 15 km con 1 litro; así, con 8 litros serían: 8 ⋅ 15 = 120 km.

• La aproximación tiene que estar entre 10 y 15 km: 12,5 km, ya que 12,5 ⋅ 8 = 100 km.

Un amigo plantea a Enrique la siguiente cuestión: «Mi madre tiene el triple de edad que yo, mi padretiene 3 años más que mi madre, y entre los tres tenemos 101 años». ¿Cuál de las siguientes expresionesdará como resultado la edad del amigo?

c) x + (x ⋅ 3) + [(x ⋅ 3) + 3] = 101 → x + 3x + 3x + 3 = 101 → 7x = 101 − 3 → x = = 14

Amigo: 14 años, madre: 14 ⋅ 3 = 42 años y padre: 42 + 3 = 45 años. Comprobamos el resultado: 14 + 42 + 45 = 101.

En estas ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas de forma mental o por el método de ensayo y error.

Resuelve las siguientes ecuaciones de forma algebraica.

a) 2x + 4 = 3x − 8 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 4 + 8 = 3x − 2x → x = 12

b) 3(3x + 4) = 5(x − 1) ⎯⎯⎯→ 9x + 12 = 5x − 5 → 4x = −17 → x =

c) ⎯→ → 6x −6 = 4x −8 −9 + 3x → x = 116 6

124 8

129 3

12x x x− = − − −x x x−

=−

−−1

2

2

3

3

4

−174

6

5

987

4

3

2

34020

1



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451

Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución

x + 4 = 7 x 3 y 10

2x = 8 x 4 3z − 2 = 10 z 4

y

52=

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Comprueba si la siguiente expresión es una identidad.

7(4 − 2x) − 4(5 − 3x) = 2(5 − x) − 2

Di si las afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de que sean falsas,indica por qué.

a) Una ecuación siempre tiene dos términos.

b) La ecuación 2x3 + 3x − 2 = 0 es una ecuación de segundo grado.

c) La ecuación 2x + 3y = 0 es una ecuación de segundo grado.

d) La incógnita de la ecuación 2x = −8 es 2.

Relaciona las ecuaciones de la izquierda con las soluciones de la derecha(puede ocurrir que algún valor sea solución de más de una ecuación).

Ecuación Solución

x + 2 = 0 −2

2x − 8 = 6 2

x2 − 4 = 0 4

2(x − 3) = 7

En estas columnas hay ecuaciones que son equivalentes. Relaciona cadaecuación de la columna izquierda con su ecuación equivalente de la derecha.

Ecuación (1) Ecuación (2)

a) 2(2 −x) = 8 + 2x 1) 6 − 3 = 3x − 2x

b) 4(2x + 2) = 14 − (2 − 6x) 2) 8x − 6x = 12 − 8

c) 2(x + 3) = 3 + 3x 3) x − 2 = 2x − 6

d) = x − 3 4) 4x = −4x − 2

2

4

x

2

3

2

1Distinción de si una igualdades una identidad o una ecuación.

Identificación de loselementos del lenguajealgebraico: miembros,términos, coeficientes,

grado, incógnitas y soluciones.

Comprobación de si un número es o no

solución de una ecuación.

Obtención de ecuacionesequivalentes

a una ecuación dada.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 3, 4


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 6, 7, 8, 9, 10


ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO6829485 _ 0449-0478.qxd 12/9/07 15:17 Página 452


Resuelve la ecuación 2x + 8 = 18 mediante los métodos de ensayo y error, por transposición de términos y comenzando por el final.

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método general.

a)

b) 4(x − 2) + = 8(1 − x)

Encuentra dos números consecutivos cuya suma sea 77.

Tenemos 50 € en monedas de 20 y 50 céntimos y hay el triple de monedas de 20 céntimos que de 50. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 4x2 + 9 = 25

b) 2x2 − 32x = 0

Encuentra dos números naturales cuyo producto sea 90 y su diferencia 9.10

9

8

7

x + 7

2

x x x−−

−=

−1

4

12 2

5

2

5

6

5Resolución de ecuacionesde primer grado por el

método de ensayo y error,comenzando por el final y por

transposición de términos.

Resolución de problemasreales, planteando

y resolviendo ecuaciones de primer grado

con una incógnita.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas por métodos intuitivos.

Resolución de ecuacionesde segundo grado

completas e incompletas.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 7, 8, 10

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................



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ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO6EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Comprobación: Es una identidad.

7(4 − 2x) − 4(5 − 3x) = 28 −14x −20 + 12x = 8 −2x2(5 − x) − 2 = 10 −2x −2 = 8 −2x

Verdadero o falso:

a) Falso. Siempre tiene dos miembros.b) Falso. Es de tercer grado.c) Falso. Es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. d) Falso. La incógnita es x y el coeficiente es 2.

Ecuaciones y soluciones:

Ecuación Solución

x + 2 = 0 −2

2x − 8 = 6 2

x2 − 4 = 0 4

2(x − 3) = 7

Equivalencia de ecuaciones:

Métodos:

Ensayo y error:

→ Solución: x = 5

Comenzando por el final: ⎯→⋅ 2 ⎯→+ 8

←⎯: 2 ←⎯− 8

Transposición: 2x + 8 = 18 ⎯→− 82x + 8 − 8 = 18 − 8 ⎯→ 2x = 10 ⎯→⋅ 2 ⎯→ x = 5

Método general: a) x = 5 b) x = 1

Números consecutivos: x + (x + 1) = 77 → 2x + 1 = 77 → x = 38. La solución es 38 y 39.

Monedas: Hay 40 monedas de 50 céntimos y 150 monedas de 20 céntimos.

Ecuaciones de segundo grado incompletas: a) x = ± = ±2 b) x = 0 y x = 16

Dos números: Números naturales: x ⋅ y = 90 → 1 ⋅ 90; 2 ⋅ 45; 3 ⋅ 30; 6 ⋅ 15; 9 ⋅ 10.La solución es 6 y 15.

10

49

8

7

6

22

102

x =

18105

182xx

5

4

x

2

3

2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1

x 1 2 ... 5 6

2x 2 4 ... 10 12

2x + 8 10 12 ... 18 20

Ecuación (1) a) b) c) d)

Ecuación (2) 4 2 1 3

F

F

F

F

F

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Sistemas de ecuaciones


ÁLGEBRA: Sistemas de ecuaciones lineales

• Resolución de sistemas. Número de soluciones de un sistema de ecuaciones.

• Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: igualación, sustitución y reducción.

• Reglas prácticas para resolver sistemas.

• Resolución de problemas mediante sistemas.


PRUEBA INICIAL

Las cuestiones planteadas en la prueba están dirigidasa comprobar que los alumnos tienen asimilados losconceptos básicos sobre la resolución de ecuaciones ysistemas por el método de ensayo-error.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado contiene actividades deprocedimientos estudiados en la unidad: resoluciónde sistemas de ecuaciones por diferentes métodos y unpar de problemas para resolver con sistemas. No esconveniente utilizar sistemas incompatibles y, aunquelos problemas son sencillos, se podría realizar una se-lección más amplia y compleja.

7INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son continuación de la unidad anterior y, por tanto, es necesario que los alumnos sepan resolver las ecuaciones de primer grado.

La resolución de problemas es uno de losfundamentos de las Matemáticas y, a la hora deresolver problemas reales, hay que utilizar sistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnos puedenplanteárseles distintos problemas reales, cuya soluciónno sea fácil de intuir, y que precisen del planteamientoy resolución de un sistema.

Mediante un trabajo por ensayo y error, primero, y suresolución mediante sistemas, después, los alumnospueden apreciar la sencillez y utilidad de los sistemaspara resolver problemas.


Se pueden considerar básicos los conceptosestudiados en la unidad anterior y todos los aspectostrabajados en otros cursos sobre la resolución de problemas.

• Distinción entre lo que se conoce (dato) y lo que se desconoce (incógnita).

• Realización de diagramas, figuras o esquemas,según el problema planteado.

• Cálculo con expresiones algebraicas.

• Resolución de ecuaciones de primer grado.

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EVALUACIÓN INICIAL

Expresa las siguientes frases con lenguaje numérico.

Lenguaje usual Lenguaje numérico

a) El triple de dos es seis.

b) Veinte dividido entre cinco da cuatro.

c) Quince menos ocho es siete.

d) El cubo de dos es ocho.

e) La cuarta parte de doce es tres.

Utiliza expresiones algebraicas para expresar estos enunciados.

Halla el valor numérico de la expresión algebraica cuando x toma el valor:

a) x = 6 c) x = 0

b) x = −8 d) x = −2

Calcula mentalmente el valor x en las siguientes ecuaciones.4

x2

1+3

2

1

SISTEMAS DE ECUACIONES7

Expresión escrita Expresión algebraica

El doble de la suma de dos números.

El cuadrado de un número más cuatrounidades.

El perímetro de un pentágono regularde lado l.

La suma de tres númerosconsecutivos.

La mitad de un número.

El perímetro de un triángulo equiláterode lado x.

Ecuación Valor de x

4 + x = 10

20 − x = 6

1 = 9 − x

−x + 5 = 10

1 = x + 1

10 − 2x = 4

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Expresa las siguientes frases con lenguaje numérico.

Lenguaje usual Lenguaje numérico

a) El triple de dos es seis. 3 ⋅ 2 = 6

b) Veinte dividido entre cinco da cuatro. 20 : 5 = 4

c) Quince menos ocho es siete. 15 −8 = 7

d) El cubo de dos es ocho. 23 = 8

e) La cuarta parte de doce es tres.

Utiliza expresiones algebraicas para expresar estos enunciados.

Halla el valor numérico de la expresión algebraica cuando x toma el valor:

a) x = 6 → c) x = 0 →

b) x = −8 → d) x = −2 →

Calcula mentalmente el valor x en las siguientes ecuaciones.4

− + =22

1 0x =−2⎯⎯→

x2

1+− + = −82

1 3x =−8⎯⎯→

x2

1+

02

1 1+ =x = 0⎯⎯→x2

1+62

1 4+ =x = 6⎯⎯→x2

1+

x2

1+3

2

124

3=

1

457

Expresión escrita Expresión algebraica

El doble de la suma de dos números. 2(x + y)

El cuadrado de un número más cuatrounidades. x2 + 4

El perímetro de un pentágono regularde lado l. 5l

La suma de tres númerosconsecutivos. x + (x + 1) + (x + 2)

La mitad de un número.x2

El perímetro de un triángulo equiláterode lado x. 3x

Ecuación Valor de x

4 + x = 10 6

20 − x = 6 14

1 = 9 − x 8

−x + 5 = 10 −5

1 = x + 1 0

10 − 2x = 4 3

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En el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

comprueba si son o no solución los pares de valores.

a) x = 0, y = 5

b) x = 2, y = 3

c) x = 3, y = 2

Comprueba que los dos sistemas son equivalentes y resuélvelos.

Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución.

Resuelve el sistema por el método de igualación.

223 8

2 5x yx y+ = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪+

4

2 2 63 6 6

x yx y− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−

3

x yx y

x yx

− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− =+

−2 63 6 6

2 4 125 2yy =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪66

2

2 3 1253

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1Comprobación de si un parde valores es solución

de un sistema de ecuaciones.

Comprobación de sistemasequivalentes.

Búsqueda de la solución de un sistema

de dos ecuaciones con dos incógnitas

por los métodos de sustitución, igualación

y reducción.





• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 4, 5, 6, 7, 8


SISTEMAS DE ECUACIONES7829485 _ 0449-0478.qxd 12/9/07 15:17 Página 458


Resuelve el sistema por el método de reducción.

Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado.

La suma de dos números es 24, y el triple del primero menos la mitad del segundo da como resultado 23. ¿De qué números se trata?

Las edades de un padre y un hijo suman 48 años, y dentro de 8 años, la edad del padre triplicará a la del hijo. ¿Cuáles son sus respectivas edades?

8

7

3 16 9 32

4 4x yx y+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−

6

2 4 33 84x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5

Resolución de sistemas de ecuaciones de forma

analítica.

Resolución de problemasreales, planteando

y resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.

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459

• Clasificar y discriminar según criterios ...................................................................................................................





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SISTEMAS DE ECUACIONES7EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Comprobación de las soluciones de un sistema:

a) 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 5 � 12 → No es solución.

b) 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 � 12 → No es solución.

c)

Equivalencia de sistemas:

La solución de los dos sistemas es: x = 2, y = −2. Por tanto, los sistemas son equivalentes.El segundo sistema tiene: 1.ª ecuación = (1.ª ecuación) ⋅ 2

2.ª ecuación = 2.ª ecuación − 2 ⋅ (1.ª ecuación)

Sistema:

Sistema:

Sistema:

Sistema:

Suma de dos números:

x → primer número y → segundo número

Edades de un padre y un hijo:

x → edad del padre y → edad del hijo

x yx y

x y+ =+ = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= =488 3 8

40 8( )

→ ,

8

3 24

32

2310 14

x y

xy x y

+ =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= =→ ,

7

→→+ =

+ − = −= −

+ −

+ −

( )

( )( )

27 9 96 9 32

33 2

33

9

x yx yx y 33

2333

3411

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= − =→ x y,Reducción⎯⎯⎯⎯⎯→2.ª ec ⋅ 9

3 16 9 32

9 3x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−

6

( )

( )( )+

+ −

+ =+ − =

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

1 3

4

2 4 312 4 3214 35

x yx yx y

⎪⎪⎪⎪⎪

= = = −→ x y3514

52

12

,Reducción⎯⎯⎯⎯⎯⎯→2.ª ec ⋅ 4

2 4 33 84

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5

y− − =8 355

23 1

+ = − =yy x→ ,Igualación⎯⎯⎯⎯⎯⎯→x y

x y+ = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪+

3 82 53

4

x = 66 2 3 6 2 6 6 2 2+ + + = − = − =y y y y x→ →( ) ,Sustitución⎯⎯⎯⎯⎯⎯→1.ª

x yx y

− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−2 63 6 6

3

2

→ Es solución.⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 123 + 2 = 5

x = 3, y = 2⎯⎯⎯⎯→x = 3, y = 2⎯⎯⎯⎯→

2 3 1252 2 1

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x = 2, y = 3⎯⎯⎯⎯→2 3 1252 2 1

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x = 0, y = 5⎯⎯⎯⎯→2 3 1252 2 1

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1

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Proporcionalidad numérica


PROPORCIONALIDAD: Proporcionalidad directa e inversa• Razón de proporcionalidad. Proporción. Propiedades de las proporciones.

• Aplicaciones de la proporcionalidad: regla de tres simple directa.

• Magnitudes inversamente proporcionales.

• Regla de tres simple inversa.


PRUEBA INICIAL

La prueba consiste en una serie de ejercicios sobre pro-porcionalidad ya vistos en el curso anterior: averiguar sidos razones se encuentran o no en proporción, calcularel medio y el cuarto proporcional, ejercicios de porcenta-jes, etc. Esta unidad es extensa y abarca aspectos numé-ricos y geométricos, por lo que será importante que lascuestiones básicas sean dominadas por los alumnos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Se trata de una unidad que contiene conceptos muy dife-rentes. En el ejercicio 2, los alumnos tendrían que distin-guir entre la escala y el principio de la escala. Los ejerci-cios 3, 4, 5 y 6 son ejemplos de la vida real para calcularun determinado valor que hace que cuatro valores se en-cuentren en proporción de dos maneras diferentes; ade-más, conviene que los alumnos entiendan el concepto dereducción a la unidad, que luego volverán a utilizar.

Los últimos ejercicios trabajan la proporcionalidad inversay resultan más difíciles para los alumnos. Por ello, se ten-drá que prestar especial cuidado al concepto.

8INTRODUCCIÓN

Esta es una unidad eminentemente práctica. Los conceptos de proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa son naturales e intuitivos,aunque el segundo es más difícil de asimilar que el primero. Se debería intentar que los propiosalumnos los descubran, motivándolos medianteejemplos de la vida real, que en este caso sonabundantes. Así, convendría implicar a los alumnos en el aprendizaje de la unidad, proponiéndoles temasque ellos mismos hayan podido plantearse en algunaocasión, con el fin de conseguir que estos conceptosles resulten cercanos.

En cuanto a las reglas de tres directas, se harán en función de cada alumno; aunque se revisarán de nuevo en los cursos siguientes, convendría efectuaruna primera aproximación. Se trata de procedimientosaritméticos sencillos, es decir, algoritmos de cálculo que se aplican en situaciones de la vida real, y en elloreside su importancia.


Esta unidad se trabajó en el curso anterior; por tanto, conviene repasarlo. Dado que la mayor parte de los conceptos se vuelven a estudiar, insistiremos en estos aspectos básicos.

• Análisis de si dos razones forman proporción.

• Elaboración de tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.

• Cálculo del cuarto y el medio proporcional.

• Uso de las razones entre cantidades en contextosreales para resolver problemas.

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EVALUACIÓN INICIAL

Averigua si las razones forman proporción.

Averigua qué números faltan para completar las siguientes proporciones.

a) Medio proporcional:

b) Cuarto proporcional:

Completa con el número apropiado en cada caso.

a) El % de 45 es 36.

b) El 25 % de es 225.

c) El 37 % de 65 es .

En rebajas se hace el 15 % de descuento. ¿Cuál era el precio de venta de un artículo por el que se han pagado 24,65 €?

En la tabla se muestra la receta de un pastel para 8 personas. Calcula los ingredientes necesarios para hacer el pastel para 10 personas.

Durante un partido de baloncesto, un jugador ha obtenido los siguientes resultados.

a) De 20 intentos ha realizado 13 canastas de 2 puntos →

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 3 →

c) De 11 tiros libres ha encestado 9 →

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 →

Calcula y escribe los porcentajes de cada resultado.

6

5

4

3

3

12=

6

8 4=

8

16

2=

2

38

y3596

1

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA8

Bizcocho 8 personas 10 personas

Huevos 4

Harina 125 g

Azúcar 150 g

Levadura 10 g

Crema 8 personas 10 personas

Leche 375 cm3

Yemas de huevo 3

Azúcar 200 g

Fécula 30 g

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Las razones no forman proporción, puesto que 3 ⋅ 96 ≠ 8 ⋅ 35.

Averigua qué números faltan para completar las siguientes proporciones.

a) Medio proporcional: b) Cuarto proporcional:

Completa con el número apropiado en cada caso.

a) Se divide = 0,8 y se multiplica por 100 ⎯→ El % de 45 es 36.

b) Se divide = 9 y se multiplica por 100 ⎯→ El 25 % de es 225.

c) Se multiplica 37 por 65 y se divide entre 100 → El 37 % de 65 es .

En rebajas se hace el 15 % de descuento. ¿Cuál era el precio de venta de un artículo por el que se han pagado 24,65 €?

Hemos pagado el 85 % del artículo y cuesta 24,65 €. Por tanto, dividimos esta cantidad entre 85 y multiplicamos por 100, obteniendo como resultado 29 €.

En la tabla se muestra la receta de un pastel para 8 personas. Calcula los ingredientes necesarios para hacer el pastel para 10 personas.

Durante un partido de baloncesto, un jugador ha obtenido los siguientes resultados.

a) De 20 intentos ha realizado 13 canastas de 2 puntos → = 65 %

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 3 → = 37,5 %

c) De 11 tiros libres ha encestado 9 → = 81,8 %

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 → = 90 %

Calcula y escribe los porcentajes de cada resultado.

18 10020⋅

9 10011⋅

3 1008⋅

13 10020⋅

6

5

4

24,05

90022525

803645

3

3

12=

6

8 4=

8

16

2=

2

38

y3596

38

y3596

1

463

Bizcocho 8 personas 10 personas

Huevos 4 5

Harina 125 g 156,25 g

Azúcar 150 g 187,5 g

Levadura 10 g 12,5 g

Crema 8 personas 10 personas

Leche 375 cm3 468,75 cm3

Yemas de huevo 3 3,75

Azúcar 200 g 250 g

Fécula 30 g 37,5 g

3

4

6

6

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En un examen, Enrique ha contestado correctamente 6 de 10 preguntas y, en otro, de 25 preguntas ha respondido bien a 14. ¿Obtendrá en ambosexámenes la misma calificación?

Silvia observa en un periódico americano las temperaturas en la escalacentígrada y en la escala Farenheit. Un día ve que 10 ºC coincide con 50 ºF y otro día observa que 15 ºC equivalen a 59 ºF. ¿Son las escalas proporcionales?Si la equivalencia de las escalas es: 0 ºC = 32 ºF y 100 ºC = 212 ºF, ¿qué se podría hacer para que fueran proporcionales? Si tenemos una temperatura de 20 ºC, ¿a qué temperatura en la escala Farenheit equivale?

Si por 3 kilos de manzanas he pagado 4,32 €, ¿cuánto me costarán 8 kilos?

En un tarro de yogur de 125 gramos hay los siguientes componentes: proteínas: 3,5 gramos; hidratos de carbono: 16,25 gramos; grasas: 2,25 gramos,y calcio: 140 miligramos. Si el tarro pesara 1 gramo, ¿qué cantidades de cadacomponente habría? ¿Y si fuera de 100 gramos?

4

3

2

1Determinación de si dosrazones forman proporción.

Distinción de si dosmagnitudes son

directamenteproporcionales.

Resolución de problemasreales que impliquen el uso

de la regla de tres simple.

Resolución de problemasreales utilizando la regla

de tres simple y el métodode reducción a la unidad.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2


• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2



PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA8829485 _ 0449-0478.qxd 12/9/07 15:18 Página 464


Si una caja con 22 rosquillas cuesta 12,50 €, ¿cuánto costará una caja de 12 rosquillas?

Si como 3 yogures diarios, en 8 días habré acabado todos los que tengo. ¿Para cuántos días tengo yogures si como 4 yogures diarios?

Indica si existe o no proporcionalidad entre estos pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales.

a) El lado de un cuadrado y su área →

b) El número de obreros de una empresa de construcción y el número de edificios que pueden realizar en un año →

c) La edad de una persona y la de su padre →

La velocidad que lleva un coche y el tiempo que tarda en hacer un determinadorecorrido son magnitudes inversamente proporcionales. Completa la tabla. ¿Qué espacio recorre el coche en cada caso?

Laura ha empezado a leer una novela de 600 páginas y cada día lee 10 páginas.¿Cuántos días tardará en acabarla? Y si leyera 15 páginas cada día, ¿cuántos días tardaría en acabarla?

9

8

7

6

5

Determinación de si dosmagnitudes son

inversamenteproporcionales.

Utilización de la regla de tresinversa para resolverproblemas de la vida

cotidiana.

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Velocidad (km/h) 60 100 120 150

Tiempo (h) 5

Espacio ( )

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PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA8EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Exámenes: 0,6 → → 0,56. No forman proporción.

Escalas de temperatura: Estas escalas no son proporcionales. Sabiendo que los principios de la escala son diferentes, podemos afirmar que si (100 −0) = 100 ºC equivalen a (212 −32) = 180 ºF,

entonces 1 ºC equivale a x → x = = 1,8 ºF. Por tanto, 20 ºC equivaldrán a 20 ⋅ 1,8 = 36 ºF,

siendo la solución 68 ºF.

Manzanas: = → x = = 11,52 €

Tarro de yogur:

⎯⎯→ x = 0,028 g de proteínas/1 g de yogur → 2,8 g de proteínas/100 g de yogur

→ x = 0,13 g de hidratos/1 g de yogur ⎯⎯→ 13 g de hidratos/100 g de yogur

⎯→ x = 0,018 g de grasas/1 g de yogur ⎯⎯→ 1,8 g de grasas/100 g de yogur

⎯→ x = 0,00112 g de calcio/1 g de yogur ⎯→ 0,112 g de calcio/100 g de yogur

Rosquillas:

€

Yogures:

Tendré yogures para 6 días.

Proporcionalidad: a) No son proporcionales. b) Son directamente proporcionales.c) No son proporcionales.

Tabla velocidad-tiempo:

Novela: 600 = 10x → x = 60 días 600 = 15x → x = 40 días9

8

7

6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= = ⋅ =→ →2212

1222

12,50 12,506,82

xx12,50 €

x €

cuestan⎯⎯⎯⎯→costarán⎯⎯⎯⎯→

Si 22 rosquillas12 rosquillas

5

1251

0 14= ,x

1251

2 25= ,x

1251

16 25= ,x

1251

3 5= ,x

4

8 kg ⋅ 4,32 €3 kg

8 kgx €

3 kg4,32 €

3

180100

2

610

1425

�1

Velocidad (km/h) 60 100 120 150

Tiempo (h) 5 3 2,5 2

Espacio (km) 300 300 300 300

Yogures 3 6 12 4

Días 8 4 2 6

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Proporcionalidad geométrica


PROPORCIONALIDAD: Semejanza en el plano

• Concepto y razón de semejanza.

• Teorema de Tales. Aplicaciones.

• Relación entre polígonos semejantes: lados proporcionales y ángulos iguales.

• Criterios de semejanza de triángulos.

• Figuras semejantes. Aplicaciones. Escalas.


PRUEBA INICIAL

Se trata de ejercicios que tienen como base averiguarqué significa que dos razones se encuentren o no en pro-porción, ya sea numéricamente (ejercicio 1) o geométri-camente (ejercicio 3); hallar qué números faltan paracompletar una proporción (ejercicio 2), y determinar quémagnitudes son directa o inversamente proporcionales.Conviene que estos conceptos sean dominados por losalumnos, ya que constituyen la base de la unidad, tantoa nivel analítico como gráfico.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Se incide en la aplicación del teorema de Tales (ejerci-cios 1, 2 y 3) para calcular o construir. Estos ejerciciosllevan al concepto de semejanza, ya que los alumnos de-ben conocer los criterios de semejanza entre dos trián-gulos y entre dos polígonos (ejercicios 4 y 5). El ejerci-cio 6 puede ayudar a los alumnos a superar errores alconfundir la razón de semejanza de dos polígonos y larazón de sus áreas. Se termina con tres ejercicios desemejanza y escalas, que se tendrían que hacer tam-bién con otros ejemplos diferentes.

9INTRODUCCIÓN

Seguimos en esta unidad con el estudio de aspectosde Geometría, en este caso la proporcionalidadgeométrica y la semejanza en el plano. La visualizaciónde las figuras tiene que ser empleada con el objeto de que los alumnos comprendan los conceptos que se explican.

El teorema de Tales es fundamental en la Geometría y representa una herramienta esencial para el dibujo,por lo que conviene insistir en su correcta aplicación.

La proporcionalidad tiene una aplicación inmediata en la vida diaria: los dibujos a escala. Este hecho debeutilizarse, por una parte, para motivar a los alumnos y, por la otra, para interesarlos por el estudio de los contenidos de la unidad.


Esta unidad enlaza con aspectos ya estudiados de laproporcionalidad o, al menos, con algunos contenidosdel curso anterior, así como con cuestiones referidas a las construcciones geométricas. Se trata de revisarestos puntos, que se pueden resumir como sigue:

• Realización de construcciones geométricas: rectas paralelas a una recta dada, perpendicular a una recta dada por un punto exterior, etc.

• Determinación de si dos razones forman proporción.

• Comprobación de si dos magnitudes dependenentre sí y si son directamente proporcionales.

• Aplicación de la regla de tres simple directa,obtención del cuarto y el medio proporcional,repartos proporcionales y uso de los porcentajes en distintas situaciones.

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EVALUACIÓN INICIAL

Averigua si las dos razones forman proporción.

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones.

a) Medio proporcional:

b) Cuarto proporcional:

Observa los siguientes pares de segmentos y calcula la razón entre ellos. ¿Forman proporción?

Determina si las magnitudes son o no directamente proporcionales.

a) El lado de un cuadrado y su perímetro →b) El lado de un cuadrado y su área →c) La longitud de una circunferencia y su radio →d) La longitud de un arco de circunferencia y la amplitud del ángulo →

Tenemos una fotografía que mide 15 cm de largo por 10 cm de ancho. Deseamos hacer una ampliaciónde esta fotografía, de manera que el ancho sea 24 cm. ¿Cuánto tiene que medir de largo?

En la siguiente figura, traza con la regla y la escuadra una recta paralela a BC, que pase por el punto D, y traza la altura desde el punto A al lado BC.

6

5

4

3

4

25=

9

16

18 5

6 24= =

2

65

y128

1

PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA9

A

D

CB

6 cm

6 cm

4 cm 8 cm

12 cm8 cm

a) b) c)

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AC

IÓN


No forman proporción, ya que 6 ⋅ 8 � 5 ⋅ 12.

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones.

a) Medio proporcional: = = b) Cuarto proporcional: =

Observa los siguientes pares de segmentos y calcula la razón entre ellos. ¿Forman proporción?

a) b) c) → Los segmentos de los apartados b) y c) forman proporción.

Determina si las magnitudes son o no directamente proporcionales.

a) El lado de un cuadrado y su perímetro → Sí.b) El lado de un cuadrado y su área → No. A doble lado le corresponde un área cuatro veces mayor.c) La longitud de una circunferencia y su radio → Sí.d) La longitud de un arco de circunferencia y la amplitud del ángulo → Sí.

Tenemos una fotografía que mide 15 cm de largo por 10 cm de ancho. Deseamos hacer una ampliaciónde esta fotografía, de manera que el ancho sea 24 cm. ¿Cuánto tiene que medir de largo?

Se tiene que cumplir que: = 36 cm.

En la siguiente figura, traza con la regla y la escuadra una recta paralela a BC, que pase por el punto D, y traza la altura desde el punto A al lado BC.

En el primer caso, colocamos la regla y la escuadra perpendiculares hasta que la escuadra coincide con el lado BC (1), y luego trasladamos la escuadra hasta el punto D (2) y trazamos la paralela. En el segundo caso, con la regla coincidiendo con el lado BC, colocamos la escuadra hasta que coincida con el punto A, y trazamos la altura.

6

15 1024

24 1510x

x= = ⋅→

5

4

812

46

68

3

25

104

1024

205

6

18

32

9

16

2

65

y128

1

469

6 cm

6 cm

4 cm 8 cm

12 cm8 cm

a) b) c)

A

D

C(1)

(2)

B

A

D

CB

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Observa la siguiente figura y calcula.

a) ¿Qué triángulos se encuentran en posición de Tales?

b) ¿Cuánto mide el lado CN?

c) ¿Y cuánto mide el lado CM?

Divide el segmento OA en cuatro partes iguales, considerando que la semirrecta Or te servirá de ayuda. Explica cómo lo has hecho.

Observa la siguiente figura y calcula el valor de los segmentos AB, BC y CD.

Dibuja un triángulo rectángulo ABC (A = 90º) cuyos lados sean 3 cm, 4 cm y 5 cm, y después traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AM), obteniendo dos nuevos triángulos, AMB y AMC.

a) ¿Cómo son los triángulos?

b) ¿Son semejantes ABC y AMB? Di el criterio utilizado.

c) ¿Son semejantes ABC y AMC? Di el criterio utilizado.

d) ¿Son semejantes AMB y AMC? Di el criterio utilizado.

Dado el polígono de la figura, construye otro de manera que la razón de semejanza

sea .13

5

4

3

2

1Aplicación del teorema de Tales para resolver

problemas en contextosgeométricos

y situaciones reales.

División de un segmento en partes iguales y en partes

proporcionales a otrossegmentos dados.

Determinación de si dostriángulos son semejantes,aplicando los tres criterios

de semejanza.

Distinción de si dospolígonos son semejantes

y construcción de un polígono semejante

a un polígono dado.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...........................................................................


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9


PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA9

B

C

A

10 cm8 cm

12 cm

4 cmM N

O A

r

3 cm

A12 cm

B C D

2,5 cm

3,5 cm

F

G

H

829485 _ 0449-0478.qxd 12/9/07 15:18 Página 470


Los polígonos de la figura son semejantes y la razón de semejanza

es . Si el área del hexágono menor

es 12,5 cm2, calcula el área del hexágono mayor.

Silvia mide 1,68 m y produce una sombra de 1,45 m. ¿Cuánto mide la sombra de Miguel en ese mismo instante, si su altura es 1,72 m?

El plano de la figura representa el salón de una casa. La escala a la que estárepresentado es 1 : 150. ¿Cuáles son las dimensiones reales?

Ayudándote de la escala gráficadel siguiente mapa, calcula la distancia en línea recta entre los puntos señalados: B-Z, B-BI, B-V.

9

8

7

47

6Resolución de problemasgeométricos y reales que

impliquen el uso de la razónde semejanza.

Trabajo con planos y mapas a escala y cálculo

de distancias a partir de distancias reales,

y viceversa.

Interpretación de escalasgráficas y obtención de laescala gráfica equivalente

a una escala numéricadada.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

471


• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 3, 8, 9




AF'

F

E

D

C

B

B'

C'

D'

E'

0 150 300 450

B I

BZ

V

km

829485 _ 0449-0478.qxd 12/9/07 15:18 Página 471


PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA9EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Triángulos en posición de Tales:

a) Los triángulos ABC y MNC (los ángulos son iguales y los lados proporcionales).

b) Se cumple que:

c)

División de un segmento en cuatro partes iguales:

Desde el punto O, y con la punta del compás, trazamos un arcoOB, y desde B, y con el mismo arco, obtenemos B', B'' y B'''.Unimos este punto y el punto A, trazamos paralelas a la rectaAB''' por B'', B' y B, y obtenemos los puntos E, D y C.

Aplicación del teorema de Tales:

La razón entre los segmentos es: .

Triángulos semejantes:

a) Son triángulos rectángulos.b) Sí, son semejantes. Tienen los ángulos iguales.c) Sí, son semejantes. Tienen los ángulos iguales.d) Sí, ya que dos triángulos semejantes a un tercero

son semejantes entre sí.

Dibujo de un polígono semejante:

Tomamos un vértice como referencia, por ejemplo A, y trazamos las diagonales. Luego dividimos los segmentos AB, AC, AD y AEen tres partes iguales, y obtenemos los puntos B', C', D' y E', que forman los vértices del nuevo polígono.

Áreas de figuras semejantes: = 38,28 cm2

Dos triángulos semejantes: Las alturas son semejantes a las sombras:

Plano de una casa:

Las medidas son, en el plano: 3,3 cm de ancho y 7,3 cm de largo; por tanto, las medidas reales son:

3,3 495 cm = 4,95 m 7,3 1.095 cm = 10,95 m

Escala gráfica:

Las medidas aproximadas llevadas a la escala gráfica son: B-Z → 260 km, B-BI → 420 km y B-V → 310 km.

9

⋅ 150⎯⎯→⋅ 150⎯⎯→

8

1,681,45

1,721,48 m.= =

xx→7

AA

KAA

A' '

'= =⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = = ⋅2

247

1649

49 12 516

→ → ,6

5

4

CD = ⋅ =43

3 5143

, cm

AB BC= ⋅ = = ⋅ =43

3 443

2 5103

cm cm,

ADAH= =12

943

3

2

ABMN

ACCM

CMAC MN

AB= = ⋅ = ⋅ =→ 10 4

12103

cm

ABMN

BCCN

CNBC MN

AB= = ⋅ = ⋅ =→ 8 4

1283

cm.

1

O A

r

B

B'

B''

B'''

C D E

A

12 cm

B C D

F

G

H

4 cm 103

cm

143

cm3 cm

2,5 cm

3,5 cm

B

M

CA

B'

B

CD

E

E'A

C'D'

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Figuras planas. Áreas


GEOMETRÍA: Figuras planas

• Teorema de Pitágoras. Demostración gráfica. Aplicaciones.

• Triángulos. Área de un triángulo.

• Cuadriláteros. Área de un cuadrilátero.

• Otros polígonos. Área de un polígono.

• Circunferencia y círculo. Longitud de la circunferencia y área del círculo.

• Arcos de circunferencia y sectores circulares.


PRUEBA INICIAL

La prueba consiste en una serie de preguntas sobre elteorema de Pitágoras (ejercicios 1 y 2) y sobre períme-tros y áreas de los polígonos básicos: cuadrado, trián-gulo, rectángulo, circunferencia y círculo. Se suponeque estas cuestiones son ya conocidas por los alum-nos, aunque en algunos casos se han efectuado algu-nas variaciones: averiguar primero la longitud del cua-drado (ejercicio 4), determinar la relación entre loslados (ejercicio 5), etc.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Esta unidad se basa sobre todo en aspectos de aplica-ción del teorema de Pitágoras (ejercicios 2 y 3), antesde calcular el área de un determinado polígono; en eltrabajo con formas más o menos irregulares, que sepueden realizar de maneras diferentes y que, por ello,interesarán a los alumnos (en el ejercicio 7 hay figurascon cierta simetría), y en el trabajo con ángulos en figu-ras realizadas a partir de las figuras circulares.

10INTRODUCCIÓN

Esta unidad completa los contenidos estudiados en el curso anterior. En consecuencia, se deberá evitarla mera memorización de fórmulas e insistir en sudeducción, con el fin de conseguir que los alumnossean capaces de deducirlas en cualquier momento.

También es necesario el aprendizaje de la aplicacióndel teorema de Pitágoras que, junto con el teorema deTales, es uno de los teoremas básicos de la Geometría elemental.

El cálculo de áreas de figuras compuestas no debecomenzarse hasta que los alumnos no dominen lasfórmulas básicas. Dada la complejidad de las figurascompuestas, se pueden determinar de maneraindividualizada para cada alumno.

Asimismo, el cálculo de las dimensiones de una figuraa partir de su área debe aprovecharse para practicar la resolución de ecuaciones.


Se inicia esta unidad con el estudio del teorema dePitágoras. Como ya hemos explicado, se trata de unarevisión ampliada de contenidos de otras unidades.Por tanto, conviene hacer una selección de los contenidos más importantes que aparecen:

• Conocimiento del teorema de Pitágoras y aplicacióndel mismo en la resolución de determinadosproblemas geométricos.

• Cálculo de las áreas de los polígonos regulares más sencillos: cuadrado, rectángulo y rombo.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Tenemos una caja rectangular de 1,1 m de largo y 0,8 m de ancho, así como un bastón que tiene una longitud de 1 m y 40 cm. ¿Es posible introducir el bastón en el fondo de la caja?

Calcula la altura del triángulo isósceles de la figura.

Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus respectivas longitudes. Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

Dibuja un cuadrado de 6 cm de perímetro y halla su área.

Se ha delimitado una parcela de forma rectangular mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, di cuál es su área.

Calcula el área de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.

Determina el área de un octágono regular, si su lado mide 4 m y su apotema 4,83 m.7

6

5

4

3

2

1

FIGURAS PLANAS. ÁREAS10

13 cm

10 cm

829485 _ 0449-0478.qxd 12/9/07 15:18 Página 474



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Tenemos una caja rectangular de 1,1 m de largo y 0,8 m de ancho, así como un bastón que tiene una longitud de 1 m y 40 cm. ¿Es posible introducir el bastón en el fondo de la caja?

Calcula la altura del triángulo isósceles de la figura.

Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus respectivas longitudes. Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

Dibuja un cuadrado de 6 cm de perímetro y halla su área.

Se ha delimitado una parcela de forma rectangular mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, di cuál es su área.

Calcula el área de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.

Área del rombo: A = = 10 cm2

Determina el área de un octágono regular, si su lado mide 4 m y su apotema 4,83 m.

Área del polígono regular: A = = 77,28 m2P a⋅ = ⋅ ⋅2

4 8 4 832

,

7

D d⋅ = ⋅2

4 52

6

5

4

3

2

1

475

13 cm

10 cm

D 0,8 m

1,1 m

r = 2C

R = 4C'

2xx

L (bastón) >D (caja) → No se puede introducir el bastón en la caja.D = + =1 1 0 8 1 36012 2, , , m

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

h = − =13 5 122 2 cm

l(C) = 2π r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 = 12,56 cmL(C') = 2πR = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 = 25,12 cm

P = 6 cm → l = = 1,5 cm → A = l2 = 1,52 = 2,25 cm264

P = 2(x + 2x) = 6x = 600 → x = 100 m → A = 100 ⋅ 200 = 20.000 m2

→ L(C') = 2l(C)⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

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Completa la siguiente tabla, sabiendo que son los valores de los lados de varios triángulos rectángulos.

Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles inscrito en una circunferencia de radio 3 cm, y calcula cuánto miden sus catetos.

Dibuja un hexágono regular de 3 cm de lado, y halla su apotema y su área.

Con cinco cuadrados de 1 cm de lado, dibuja dos superficies diferentes que tengan 5 cm2 de área y midan 10 cm y 12 cm de perímetro.

Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado es 4 cm.5

4

3

2

1Conocimiento del teorema de Pitágoras y aplicación

en la resolución de problemas reales.

Cálculo de la longitud de segmentos desconocidos

en contextos matemáticos.

Distinción de los conceptos de área y superficie.

Búsqueda del área de rectángulos, cuadrados,

rombos, romboides,triángulos y trapecios.







FIGURAS PLANAS. ÁREAS10

C

BA

h

D4 cm

Cateto (1) 3 6 5

Cateto (2) 4 12 15

Hipotenusa 5 10 17

829485 _ 0449-0478.qxd 12/9/07 15:18 Página 476


Dibuja un rombo cuyas semidiagonales midan 3 cm y 4 cm, y calcula su área y su perímetro.

Determina el área de la siguiente figura.

Halla la longitud del arco ABCD, sabiendo que el lado del cuadrado mide 16 cm.

Obtén el área sombreada si los radios de las circunferencias son R = 8 cm y R' = 6 cm.

9

8

7

6

Cálculo del área de polígonos irregulares

descomponiéndolos en otrosmás sencillos.

Determinación de la longitudde una circunferencia

y de un arco de circunferencia.

Búsqueda del área de círculos y coronas

circulares.P

RO

PU

ES

TAS

DE

EVA

LUA

CIÓ

N

477






(1) (2)

(3) (4)(5)

(6)

4 cm

1,8 cm

3,6 cm

4 cm

C

B

AD l = 16 cm

S

S'

45°

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FIGURAS PLANAS. ÁREAS10EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Tabla: Teorema de Pitágoras:

x2 + x2 = 62

2x2 = 36 → x2 = 18x = 4,24 cm

Teorema de Pitágoras en un hexágono:

h2 = 32 −1,52 = 9 −2,25 = 6,75 → h = ≅2,6 cmPerímetro = 6 ⋅ l = 6 ⋅ 3 = 18 cm

A = = 23,4 cm2

Superficies y áreas: A = 5 cm2 A' = 5 cm2

Una posible solución sería: P = 10 cm P' = 12 cm

Área de un triángulo: En el triángulo rectángulo ACD, la hipotenusa es AC = 4 cm y los catetos son AD = 2 cm y CD = h.

Aplicamos el teorema de Pitágoras: h2 = 42 −2 2 = 12 → h = ≅3,46 cm.

Por tanto, el área del triángulo es: A = = 6,92 cm2.

Rombo:D = 4 cm d = 3 cm

x = = 5 cm → P = 4 ⋅ 5 = 20 cm. Y el área es: A = = 24 cm2.

Área de una figura irregular:

Las superficies (1), (2), (3) y (4) son iguales: A1 = b ⋅ h = 4 ⋅ 3,6 = 14,4 cm2, la superficie (5)

es un triángulo: A5 = = 3,6 cm2, y la superficie (6) es un rectángulo cuya área es:

A6 = b ⋅ h = 4 ⋅ 1,8 = 7,2 cm2. El área total de la figura será la suma de las áreas, que es 68,4 cm2.

Longitud de un arco: LABC = ⋅ (2 ⋅ π ⋅ r) ≅ ⋅ (2 ⋅ 3,14 ⋅ 8) = 25,12 cm

LCD = ⋅ (2 ⋅ π ⋅ r) ≅ ⋅ (2 ⋅ 3,14 ⋅ 16) = 25,12 cm LABCD = 50,24 cm

Áreas: Establecemos que S es la octava parte de una corona circular y S' es la diferencia entre dos triángulos:

S = ⋅ 45 ≅25,13 −14,13 = 11 cm2 S' = = 32 −18 = 14 cm2

El área total es: A = S + S' = 25 cm2.

8 82

6 62

⋅ − ⋅π π⋅ ⋅ − ⋅8360

456

360

2 2

9

14

14

12

12

8

4 1 82⋅ ,

7

6 82⋅3 42 2+

6

b h AB h⋅ = ⋅ = ⋅2 2

4 3 462,

12

5

4

P a⋅ = ⋅2

18 2 62

,

6 75,

3

21

6 cm

xx

D

d

x

3 cm

A BC

h

O

Cateto (1) 3 6 5 8

Cateto (2) 4 8 12 15

Hipotenusa 5 10 13 17

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Cuerpos geométricos


GEOMETRÍA: Poliedros

• Elementos y relaciones.

• Poliedros regulares. Áreas.

• Esfera, cilindro y cono. Elementos. Áreas.


PRUEBA INICIAL

Las cuestiones que se plantean como prueba inicial co-rresponden a aspectos que se consideran básicos: fór-mula de Euler, clasificación de un prisma, distinción deelementos de una pirámide, dibujo de un cono y repasodel teorema de Pitágoras. Estos aspectos se vuelven a re-visar, pero la corrección de la prueba nos puede dar unaidea de qué puntos se tendrán que trabajar con mayordetenimiento.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Se empieza la prueba con preguntas sobre la posición derectas y planos en el espacio (es conveniente hacer ejerci-cios similares al ejercicio 1). Los primeros ejercicios pro-porcionan una visión fundamental del espacio y de losdesarrollos planos de poliedros y cuerpos de revolución.El resto son ejercicios de cálculo de áreas de determina-dos cuerpos, en alguno de los cuales debe aplicarse elteorema de Pitágoras.

11INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son mayoritariamenteconceptuales. Además, muchos de los conceptos que intervienen ya han aparecido a lo largo del currículum de Matemáticas.

En esta unidad se revisan los conceptos relativos a poliedros: conocer los diferentes poliedros, prismas, pirámides regulares y cuerpos de revolución, y calcular sus áreas. Como en las anteriores unidades, la visualización constituirá la herramienta básica en el estudio de los poliedros. La construcción en cartulina de poliedros puede ser especialmente útil; por una parte,sirve para comprender los desarrollos planos de los poliedros y, por otra, sirve para calcular sus áreas.La fórmula de Euler ya se trabajó durante el cursoanterior, pero su importancia hace recomendable que también se repase en este curso.


Esta unidad revisa y completa los conceptos, elementosy organización del espacio, ya estudiados en 1.o ESO.Convendrá efectuar un repaso en sus aspectos másbásicos. Aunque todos los contenidos se vuelven a revisar, esta prueba permite advertir qué aspectosdeben ser revisados con más cuidado. También setrabaja el teorema de Pitágoras en el espacio. Estos aspectos se pueden resumir en:

• Representación de elementos en el espacio y diferenciación de sus posiciones.

• Trabajo con los poliedros regulares: dibujo, distinciónde sus elementos, reconocimiento de los tipos depoliedros y aplicación de la fórmula de Euler.

• Trabajo con los cuerpos de revolución: dibujo y distinción de sus elementos.

• Conocimiento del teorema de Pitágoras y aplicacióndel mismo en la resolución de problemas geométricos.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Sabiendo que el número de aristas de un poliedro es 20 y que tiene 12 caras, ¿cuántos vértices tiene el poliedro?

Clasifica el prisma según el tipo de base y la relación entre las aristas laterales y básicas. Señala con letras los siguientes elementos: base inferior y cara anterior.

Tipo de prisma(según la base)

Tipo de prisma (segúnla relación entre las aristas)

Base inferior

Cara anterior

Averigua el polígono de la base de una pirámide en los siguientes casos, y dibújalo.

a) 8 aristas y 5 vértices. b) 6 caras triangulares y 7 vértices. c) 4 caras triangulares.

Dibuja un cono y señala su vértice, generatriz y altura.

Calcula el valor del lado del triángulo rectángulo isósceles de la figura.5

4

3

2

1

CUERPOS GEOMÉTRICOS11

4 cm

AB

C

DE

F

J I

H

G

F

F

F

F

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PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Sabiendo que el número de aristas de un poliedro es 20 y que tiene 12 caras, ¿cuántos vértices tiene el poliedro?

Aplicamos la fórmula de Euler: C + V = A + 2 → V = A + 2 −C = 20 + 2 −12 = 10 vértices.

Clasifica el prisma según el tipo de base y la relación entre las aristas laterales y básicas. Señala con letras los siguientes elementos: base inferior y cara anterior.

Tipo de prisma Pentagonal(según la base)

Tipo de prisma (según Rectola relación entre las aristas)

Base inferior FGHIJ

Cara anterior EDIJ

Averigua el polígono de la base de una pirámide en los siguientes casos, y dibújalo.

a) 8 aristas y 5 vértices. b) 6 caras triangulares y 7 vértices. c) 4 caras triangulares.

Pirámide cuadrangular Pirámide hexagonal Pirámide triangular

Dibuja un cono y señala su vértice, generatriz y altura.

Calcula el valor del lado del triángulo rectángulo isósceles de la figura.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

x2 + x2 = 42 = 16 → x2 = 8 → x = ≅2,83 cm8

5

4

3

2

1

481

h (altura)

v (vértice)

g (generatriz)

AB

C

DE

F

J I

H

G

4 cm

x

x

F

F

F

F

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¿Cuál es el polígono de la base de una pirámide con 12 aristas? Dibújala.¿Cuántas caras tiene? ¿Y vértices?

Observa el prisma de la figura y responde.

a) ¿Qué tipo de polígono hay en la base?

b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales?

c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A?

d) ¿Cuál es la arista opuesta a CD?

Indica si son verdaderas o falsas (V o F) las siguientes afirmaciones.

a) La suma de las caras y los vértices del octaedro es 16.

b) El menor número de caras de un poliedro es 4.

c) El dodecaedro tiene 12 caras, que son triángulos equiláteros.

d) En un poliedro regular, todas las caras son iguales.

e) El número de aristas del cubo y del octaedro es el mismo.

f) En un icosaedro se cumple que: C + V = A + 2 → 20 + 12 = 30 + 2.

Rodea las figuras que sean el desarrollo de un cilindro.

Señala con qué desarrollo es posible construir un tetraedro.

a) b) c)

5

4

3

2

1Distinción de los elementosprincipales de poliedros

regulares, prismas,pirámides y cuerpos

de revolución.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 3

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 4, 5


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 7, 8


CUERPOS GEOMÉTRICOS11

D'

A'C'

B'

B

C

A

829485 _ 0479-0504.qxd 12/9/07 15:39 Página 482


Juan quiere guardar una caña de pescar de 1,8 m en una caja en forma de ortoedro de dimensiones 1 ×1,5 ×0,5 m. ¿Es posible hacerlo?

El radio y la altura de un cilindro miden 4 cm y 7 cm. Calcula el área del cilindro y el área de un cono con las mismas medidas. Dibújalos.

La pirámide de Keops tiene la base cuadrada, 233 m de lado y 148 m de altura. Determina el área lateral y el área total de esta pirámide.

8

7

6Resolución de problemas,empleando el teorema de

Pitágoras en el espacio.

Cálculo del área de prismas,pirámides, cilindros y conos, y aplicación en la resolución

de problemas geométricos y de la vida cotidiana.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 4, 5





PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

483

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CUERPOS GEOMÉTRICOS11EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Polígono de la base de una pirámide:

a) Polígono: hexágono.b) Caras: 7.c) Vértices: 7.

Prisma: a) Un rectángulo. b) Romboides. c) C' d) A'B'

Verdadero o falso:

a) La suma de las caras y los vértices del octaedro es 16. Falso.b) El menor número de caras de un poliedro es 4. Falso.c) El dodecaedro tiene 12 caras, que son triángulos equiláteros. Falso.d) En un poliedro regular, todas las caras son iguales. Verdadero.e) El número de aristas del cubo y del octaedro es el mismo. Verdadero.f) En un icosaedro: C + V = A + 2 → 20 + 12 = 30 + 2. Verdadero.

Desarrollo del cilindro:

Desarrollo del tetraedro:

Es posible construirlo con los desarrollos de los apartados a) y c).

Caña de pescar: La diagonal de la caja mide: D = =1,87 m.

Por tanto, podrá hacerlo si coloca la caña siguiendo la diagonal del octaedro.

Cilindro y cono:

a) Cilindro: A = 2 ⋅ π ⋅ (R2 + R ⋅ h) = 2 ⋅ π ⋅ (16 + 28) = 276,46 cm2

b) Cono: g = = 8,062 cm; A = π ⋅ (16 + 4 ⋅8,06) = 151,58 cm2

Pirámide: Primero calculamos la apotema:

a = = 188,35 m → AL = 4 ⋅ = 87.771,7 m2

A = AB+ AL = 2332+ 87.771,7 = 142.060,7 m2

233 138 352⋅ ,148 116 5 35 476 252 2+ =, . ,

8

4 72 2+

7

1 1 5 0 52 2 2+ +, ,6

5

4

3

2

1

h=

7 cm

R = 4 cm

h'=

7 cm

R' = 4 cm

g = 8,06 cm

F F

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Volumen de cuerpos geométricos


GEOMETRÍA: Medida de volúmenes

• Unidades de volumen. Múltiplos y submúltiplos. Relaciones.

• Relación entre las unidades de volumen y capacidad.

• Relación entre las unidades de masa y volumen mediante la densidad.

• Algoritmos para el cálculo del volumen:

– De un ortoedro, un cubo, un prisma y una pirámide.

– De un cilindro, un cono y una esfera.


PRUEBA INICIAL

La prueba consiste en una serie de preguntas referidasal concepto de volumen y a la relación del volumen conla capacidad y la masa mediante la densidad. La Geo-metría espacial resulta complicada para los alumnos,por lo que convendrá hacer ejercicios sobre desarrollosplanos de cuerpos geométricos a medida que se avan-za en el estudio de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Los seis primeros ejercicios se refieren a la primera par-te de la unidad: el volumen como unidad de medida ysu relación con la masa y la capacidad.

La segunda parte de la prueba consiste en ejercicios so-bre el cálculo de volumen de prismas, pirámides y cuer-pos de revolución. También se trabaja el volumen de unasemiesfera y el de una pieza que consta de dos cilindros.

12INTRODUCCIÓN

La primera parte de la unidad estudia la relación entrevolumen, capacidad y masa, lo cual nos permitedesarrollar las relaciones entre las unidades de mediday el Sistema Métrico Decimal, ya visto en 1.o ESO.

La segunda parte contiene fórmulas que los alumnosdeben memorizar. Hay que indicar, sin embargo, quela mayoría de estas fórmulas son similares entre sí, y algunas constituyen relaciones procedimentales,puesto que expresan los volúmenes de determinadoscuerpos (pirámides, conos...) a partir de los volúmenesde otros cuerpos. Estas relaciones son fundamentalesy deben ser conocidas por los alumnos.

Al terminar la unidad, los alumnos dominarán los conceptos relativos a los poliedros: prismas y pirámides regulares y los cuerpos de revolución(estudiados en la unidad anterior), así como el cálculode sus volúmenes.


Esta unidad se relaciona con el Sistema MétricoDecimal y con la unidad donde se tratan los cuerposgeométricos. Considerando que muchos de estosaspectos se volverán a revisar, los contenidosnecesarios para el desarrollo de esta unidad son:

• Trabajo con volúmenes y cálculo del volumen de un cuerpo mediante diferentes procedimientos:contando directamente, indirectamente o de formaexperimental.

• Relación entre las unidades de volumen, capacidady masa.

• Reconocimiento de los poliedros y los cuerpos de revolución, sus elementos y propiedades.

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EVALUACIÓN INICIAL

Calcula el volumen del siguiente cuerpo tomando el cubo U como unidad.

Tenemos un depósito de 1,5 m3 de agua. ¿Cuántas botellas de un litro y medio podemos llenar?

La masa de un cubo de oro puro de 2 cm de arista es 154,5 g. Calcula la densidad del oro.

Dibuja una pirámide regular recta de base cuadrada y obtén el número de vértices, aristas y caras.

Haz el desarrollo plano de la pirámide que has dibujado en el ejercicio anterior.

Dibuja un cilindro y su desarrollo plano.6

5

4

3

2

1

VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS12

U

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PR

OP

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Calcula el volumen del siguiente cuerpo tomando el cubo U como unidad.

Si consideramos la base tenemos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cubos; en la segunda capa de cubos, tenemos: 1 + 2 + 3 = 6 cubos; en la tercera capa, tenemos: 1 + 2 = 3 cubos, y en la última,hay 1 cubo. Por tanto, habrá: 10 + 6 + 3 + 1 = 20 cubos.

Tenemos un depósito de 1,5 m3 de agua. ¿Cuántas botellas de un litro y medio podemos llenar?

1,5 m3 ⋅ = 1.000 botellas

La masa de un cubo de oro puro de 2 cm de arista es 154,5 g. Calcula la densidad del oro.

V = 23 = 8 cm3 → d = = 19,31 g/cm3

Dibuja una pirámide regular recta de base cuadrada y obtén el número de vértices, aristas y caras.

Dibuja un cilindro y su desarrollo plano.6

4

154 5, g8 cm3

3

1 000.1 m

1 botella1,53

¬¬

⋅

2

1

487

Haz el desarrollo plano de la pirámide que has dibujado en el ejercicio anterior.

5

Aristas: 8.Vértices: 5.Caras: 5.

U

F

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Sabiendo que a = 2 ⋅ U, di cuál de los siguientes cuerpos tiene mayor volumen.

Completa la tabla de equivalencias entre unidades de volumen.

Ordena, de mayor a menor, los siguientes volúmenes.

213,97 dm3 20.000 cm3 0,021 dam3 0,0000022 hm3

Transforma en volumen estas medidas de capacidad, y viceversa.

a) 210 dm3 b) 2.000 cm3 c) 150 dl d) 450.000 kl

Tenemos un pequeño cubo de arista 22 mm de un material que pesa 58,6 g. Calcula la densidad de este material.

¿Qué volumen ocupa un líquido cuya densidad es 13,6 g/cm3

y que pesa 34 kg?6

5

4

3

2

1



Cálculo del volumen de un cuerpo, utilizando

diferentes unidades de medida.

Paso de unas unidades de volumen a otras.

Expresión del volumen en la unidad adecuada

al contexto en el que se trabaja.

Transformación de unidades de volumen en unidades

de capacidad, y viceversa.

Resolución de problemas en los que aparezcanunidades de volumen

y masa con sustancias de diferentes densidades.

• Enumerar e identificar elementos .......................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................. 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .......................................................... 1, 2, 4

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ..........................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11


VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS12

Ua

1 mm3 1 cm3 1 dm3 1 m3 1 dam3

1 cm3 103

1 dm3 1

1 m3 0,001

1 dam3

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Calcula el volumen del siguiente prisma.

Obtén el volumen de una pirámide hexagonal que tiene 5 cm de arista de la base y 12 cm de altura.

Determina el volumen de la siguiente figura.

Esta pieza industrial está formada por dos cilindros. El cilindro mayor tiene un radio de 8 cm y 10 cm de altura, mientras que el menor tiene 2 cm de radio y una altura de 4 cm. Calcula su volumen total.

Halla el volumen de una semiesfera de 4 cm de radio, y dibújala. 11

10

9

8

7Cálculo del volumen de ortoedros, cubos, prismas,

pirámides, cilindros, conos y esferas, planteando yresolviendo problemas

reales.

PR

OP

UE

STA

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489

• Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................. 3

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................. 10

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ........................................................................................


5 cm

5 cm

4 cm

3 cm

3 cm 10 cm

10 cm

5 cm10 cm

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VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS12EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Comparación de dos cuerpos:

El volumen del primer cuerpo es: V1 = (3U)3 = 27 · U3 y el del segundo es: V2 = 4 · a3 = 4 · (2U)3 = 32 · U3. Por tanto, el volumen del segundo cuerpo es mayor.

Tabla de equivalencias:

Ordenación de volúmenes:

213,97 dm3 → 213.970 cm3 20.000 cm3

0,021 dam3 → 21.000.000 cm3 0,0000022 hm3 → 2.200.000 cm3

0,021 dam3 > 0,0000022 hm3 > 213,97 dm3 > 20.000 cm3

Volumen y capacidad:

a) 210 dm3 → 210 ¬ c) 150 dl → 15 ¬ → 15 dm3

b) 2.000 cm3 → 2.000 ml → 2 ¬ d) 450.000 kl → 4,5 ⋅ 105 dam3 → 0,45 km3

Densidad: d =

Densidad: d = = 250 cm3

Volumen de un prisma:

Se trata de un prisma de base un triángulo equilátero, de 5 cm de lado y 10 cm de altura. Primero hay que calcular, con el teorema de Pitágoras, la altura del triángulo, que es 4,33 cm.

V = AB · hPrisma = ⋅ 10 = 108,3 cm3

Pirámide hexagonal: V = AB ⋅ h = ⋅ 12 = 259,8 cm3

Volumen de la figura:

Se trata de un ortoedro de dimensiones 13 × 3 × 10 cm, más un prisma triangular de altura 10 cm, que tiene como base un triángulo rectángulo, cuya base mide 4 cm y altura de 3 cm.

V = (10 ⋅ 3 ⋅ 13) + ⋅ 10 = 390 + 60 = 450 cm3

Pieza industrial: V = π ⋅ r2 ⋅ h + π ⋅ R2 ⋅ H = π · (22 ⋅ 4 + 8 2 ⋅ 10) = 2.660,89 cm3

Volumen de una semiesfera:

El volumen es la mitad del volumen de la esfera:

V = π ⋅ R3 = π · 43 = 134,04 cm323

23

11

10

3 42⋅

9

13

13

30 4 332

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅P ah

2,1

38

52

5 4 332

⋅ ⋅ = ⋅hhTriángulo

Prisma,

7

mV

Vmd

→ = = 3 400. g13,6 g/cm3

6

mV

= =58 62 2

5 50,

,,

33g/cm5

4

3

2

1

1 mm3 1 cm3 1 dm3 1 m3 1 dam3

1 cm3 103 1 0,001 0,000001 0,000000001

1 dm3 10 6 10 3 1 0,001 0,000001

1 m3 10 9 10 6 10 3 1 0,001

1 dam3 10 12 10 9 10 6 10 3 1

R

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Funciones


FUNCIONES: Dependencia entre magnitudes

• Dependencia y conceptos asociados.

• Concepto de variable y dependencia funcional.

• Expresión de la dependencia funcional: fórmulas, tablas de valores, enunciados, etc.

• Representación gráfica de una función en coordenadas cartesianas.

• Interpretación de la gráfica de una función.

• Función de proporcionalidad directa. Variables en función de proporcionalidad directa. Expresión analítica de las funciones de proporcionalidad directa. Representación gráfica.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba consta de ejercicios sobre coordenadas y si-metrías en el plano, expresiones numéricas y expresionesalgebraicas y proporcionalidad. Todos estos aspectos sonbásicos para entender el concepto de función.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La parte más importante de la unidad corresponde a losúltimos ejercicios; así, en los ejercicios 4 y 7 aparece ungráfico de proporcionalidad directa, y aunque se podríanefectuar también mediante gráficos de proporcionalidadinversa, estos resultan difíciles para los alumnos. Lo mis-mo sucede con el ejercicio 6, que permite comparar dosgráficas.

13INTRODUCCIÓN

Esta unidad constituye una introducción a larepresentación gráfica de funciones. No se pretendehacer un tratamiento demasiado profundo, sino unaprimera aproximación de tipo intuitivo. Se trata,básicamente, de que los alumnos se familiaricen con lossistemas de coordenadas y la interpretación de gráficas de proporcionalidad directa e inversa.

La interpretación de gráficas es importante, por lo que podrán utilizarse algunas gráficas extraídas de los periódicos. Los alumnos deben conocer el pasodel lenguaje usual al algebraico y gráfico, según las características del problema. La elaboración de gráficos sencillos es esencial, sobre todo en el caso de las funciones de proporcionalidad directa.


Antes de comenzar la unidad hay que revisar las coordenadas en el plano, los conceptos de proporcionalidad directa e inversa, y la traducción del lenguaje cotidiano o algebraico al lenguaje gráfico.

• Localización de puntos y representación de puntos en unos ejes de coordenadas.

• Determinación de si dos magnitudes dependen entre sí y si son directamente proporcionales.

• Expresión de relaciones aritméticas o geométricasempleando el lenguaje algebraico.

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EVALUACIÓN INICIAL

Escribe las coordenadas del pentágono de la figura.

En unos ejes de coordenadas, dibuja un hexágono cuyos vértices sean los puntos A(2, 3), B(5, −1)y C(1, −5) y que sea simétrico respecto del eje Y.

Escribe algebraicamente las siguientes afirmaciones, y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3 →b) El triple de la diferencia de 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3 →c) La tercera parte de la suma de los números 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble

de 6, 7 y 5 →

Escribe una expresión algebraica que represente estos enunciados.

a) El precio de la camisa A es el triple del precio de la camisa B →b) Juan tiene tres años más que Enrique →c) El área del triángulo es la mitad de la base por la altura →

Indica si existe o no proporcionalidad entre los pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales.

a) El lado de un rombo y su área →b) El número de pintores de una cuadrilla y el tiempo que tardan en pintar una casa →c) La edad de dos hermanos →

Esta tabla relaciona directamente el peso (en kg) de melocotones y su precio (en €).Determina los valores que faltan.

6

5

4

3

2

1

FUNCIONES13

Peso (kg) 1,5 2,8 12

Precio (€) 3 4,20

A

E

D

CB

Y

X2 4

4

2

−2

−4

−4 −2

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PR

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Escribe las coordenadas del pentágono de la figura.

En unos ejes de coordenadas, dibuja un hexágono cuyos vértices sean los puntos A(2, 3), B(5, −1) y C(1, −5)y que sea simétrico respecto del eje Y.

Escribe algebraicamente las siguientes afirmaciones, y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3 → 2 ⋅ 15 − 3 = 30 − 3 = 27b) El triple de la diferencia de 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3 → 3 ⋅ (8 − 5) − 3 ⋅ (4 + 3) = −12c) La tercera parte de la suma de los números 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble

de 6, 7 y 5 → ⋅ (5 + 4) + ⋅ (2 ⋅ 6 + 7 + 5) = 3 + ⋅ 24 = 3 + 6 = 9

Escribe una expresión algebraica que represente estos enunciados.

a) El precio de la camisa A es el triple del precio de la camisa B → y = 3x, donde y es el precio de la camisa A y x es el precio de la camisa B.

b) Juan tiene tres años más que Enrique → y = x + 3, donde y es la edad de Juan y x es la edad de Enrique.

c) El área del triángulo es la mitad de la base por la altura → A =

Indica si existe o no proporcionalidad entre los pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales.

a) El lado de un rombo y su área → No son proporcionales.b) El número de pintores de una cuadrilla y el tiempo que tardan en pintar una casa → Son inversamente

proporcionales.c) La edad de dos hermanos → No son proporcionales.

Esta tabla relaciona directamente el peso (en kg) de melocotones y su precio (en €). Determina los valores que faltan.

6

5

b h⋅2

4

14

14

13

3

2

1

493

Peso (kg) 1,5 2,8 2,1 12

Precio (€) 3 5,60 4,20 24

A

E

D

CB

Y

X2 4

4

2

−2

−4

−4 −2

Y

X

2 4

4

2

−2

−4

−4 −2B

CC'

A'

B'

A

A(3, 0)B(2, 4)C(−3, 3)D(−5, −2)E(2, −4)

A(2, 3) → A'(−2, 3)B(5, −1) → B'(−5, −1)C(1, −4) → C'(−1, −4)

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Dibuja un sistema de coordenadas y representa los puntos A(4, 0), B(3, 3), C (0, 5), D(−3, 3), E (−4, 0), F (−4, −4) y G(4, −4), y únelos entre sí en orden alfabético. ¿Qué figura se obtiene?

Escribe las coordenadas de los puntos del gráfico y responde.

a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante?

b) ¿Cuál es el punto simétrico de A respectodel eje X?

c) ¿Cuál es el punto simétrico de C respectodel origen?

d) ¿Y el punto simétrico de D respectodel eje Y?

En el gráfico se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras.

(1) Un cuadrado de 1 cm de lado.

(2) Un círculo de 1 cm de radio.

(3) Un triángulo equilátero de 1 cm de lado.

(4) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales.

(5) Un hexágono de 1 cm de lado.

Señala a qué figura corresponde cada punto.

Disponemos de 60 cm de alambre y queremos construir un rectángulo de diferentes dimensiones, sabiendo que si es muy largo tendrá que ser muyestrecho, y viceversa. Haz una tabla en la que se indique la base, la altura y el perímetro en cada caso, y representa estos datos en un gráfico.

4

3

2

1Localización de puntos y representación en el plano,

utilizando las coordenadascartesianas.

Determinación de lascoordenadas de los puntos

simétricos de un punto dadorespecto de los ejes

y respecto del origen.

Interpretación de gráficos de puntos y líneas,

analizando la informaciónque contienen.

Trabajo con la expresiónalgebraica, la tabla

y la gráfica de una función, y paso de unas a otras.







FUNCIONES13

A

E

D

CB

Y

X

X

Y

Áre

a

Perímetro1 2 3 4 5 6

3

2

1

0

AB

CD

E

2 4

4

2

−2

−4

−4 −2

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En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas a lo largo de un día. Se representan en el siguiente gráfico.

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura por debajo de 0 ºC?

b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esa temperatura?

c) ¿En qué tramo decrece la temperatura?

En la siguiente tabla se reproduce la temperatura (en °C) de un enfermo a lo largo de la mañana de dos días consecutivos.

a) Haz un gráfico que recoja las temperaturas de ambos días.

b) ¿Cuál es el máximo de cada día? →

c) ¿En qué momento mantiene la misma temperatura? →

El precio de un billete de tren desde la estación A hasta la estación B es de 3 €por persona. Si consideramos las variables x = número de personas e y = costede los billetes, haz un gráfico de esta función y escribe su expresión algebraica.

7

6

5Reconocimientode los tramos crecientes

y decrecientes y de los máximos y mínimos

de una gráfica.

Comparación de gráficasrepresentadas sobre

los mismos ejes y contraste de su información.

Representación,reconocimiento y trabajo

con funciones de proporcionalidad.

PR

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S D

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VALU

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IÓN

495



• Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 6, 7

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... 7


Horas 6 7 8 9 10 11 12

Día 1 37,6 37,8 38,5 38,8 38,9 39,5 38,4

Día 2 37,5 37,8 38,6 38,4 38,3 38 37,6

Tem

pera

tura

Horas

3 6 9 12 15 18 21 24

6 °C

4 °C

2 °C

−2 °C

−4 °C

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Plano y figura: Se trata de un heptágono.

Coordenadas de un gráfico:

a) B(1, −3) b) A(3, 2) → A'(3, −2) c) C(−4, −2) → C'(4, 2) d) D(−2, 4) → D'(2, 4)

Gráfico de perímetros y áreas: (1) → D (2) → A (3) → E (4) → C (5) → B

Alambre:

Registro de las temperaturas:

a) De 0 a 2 horas y de 22 a 24 horas hay 4 horas.b) Máxima: a las 13 horas, cuando la temperatura es de 6 °C. c) La temperatura decrece desde las 13 hasta las 24 horas.

Comparación de gráficos:

Coste de los billetes en función del número de personas:

Función: y = 3x

7

6

5

4

3

2

1


FUNCIONES13EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Base (x)

12351015202528

Altura (y)

2928272520151052

Perímetro

606060606060606060

Día 1 Día 2Máximo día 1

5

30

25

20

15

10

5

10 15 20 25 30

Máximo día 2

Y

Y

Y

X

X

X

6 7 8 9

1 5N.º de personas

Cos

te (

€)

10

10 11 12

39,5

39

38,5

38

37,5

30

15

3

a) b) Máximo del 1.er día →

Máximo del 2.o día ⎯→

c) Igual temperatura ⎯→A las 7 h y a las 8 h 15 m (aprox.)

38,6 °C

39,5 °C

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Estadística


ESTADÍSTICA: Tablas de frecuencias. Parámetros

• Conceptos básicos de la Estadística.

• Conceptos de población y de variable estadística.

• Tipos de variables: cualitativas y cuantitativas.

• Muestras.

• Frecuencias absolutas y relativas.

• Tablas de frecuencias.

• Gráficos de una distribución de frecuencias: diagrama de barras, polígono de frecuencias, diagrama de sectores y pictograma.

• Medidas de centralización. Media aritmética: algoritmo e interpretación. Mediana y moda.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial consiste en una serie de preguntasque sirven de introducción a la Estadística descriptiva.En todos los ejercicios se tiene que calcular la mediaaritmética y la moda. Se trata de unos parámetros intui-tivos, que no resultan difíciles para los alumnos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

El ejercicio 1 podría trabajarse sobre una encuestarealizada por los alumnos. Los ejercicios 2 y 3 utilizandatos cualitativos y cuantitativos, y la elaboración degráficos. También sería interesante trabajar con gráfi-cos obtenidos de la prensa. En el ejercicio 4 se rea-lizan cálculos con datos de carácter discreto.

14INTRODUCCIÓN

Esta unidad no se relaciona directamente con el restode contenidos del libro, por lo que se puede trabajar a conveniencia del profesor y en función de la clase.

La Estadística es actualmente la rama más aplicadadel ámbito de las Matemáticas. Los periódicoscontienen encuestas, datos y gráficos estadísticos, lo que debe potenciarse, dado que esto puede resultaratractivo para los alumnos y permite realizar una experimentación directa.

Además de estudiar los conceptos estadísticos,convendría que los alumnos aprendieran a efectuaruna valoración crítica de las encuestas, ya sea de las que aparecen en los periódicos u otras realizadas por los propios alumnos.


Los contenidos de la unidad han sido tratados en la anterior etapa educativa. Podemos resumirlos en los siguientes puntos.

• Representación gráfica de datos estadísticos.

• Cálculo de la media aritmética, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Jorge celebra una fiesta a la que asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad (en años), y se anotan los siguientes datos.

13 15 12 16 12 15 12 16 12 12 13 13 15 13 16 16 13 12

14 15 12 14 15 12 14 16 17 16 16 15 14 16 15 12 13

a) Haz un recuento de los datos y recógelos en una tabla donde se incluyan sus frecuencias absolutas y relativas.

b) Dibuja un gráfico de sectores con estos datos.

c) Haz un gráfico de barras con los datos.

Con los datos del ejercicio anterior, calcula.

a) La media aritmética.

b) La mediana de este conjunto de datos.

c) La moda del conjunto de datos.

El profesor de Matemáticas ha puesto una prueba a sus alumnos y las calificaciones que estos han obtenido han sido:

5 6 7 6 4 5 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 7 5 4 5 5 4 4 6 8

a) Elabora una tabla con las calificaciones y sus frecuencias.

b) Calcula la media aritmética.

c) Determina la moda.

3

2

1

ESTADÍSTICA14829485 _ 0479-0504.qxd 12/9/07 15:39 Página 498



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Jorge celebra una fiesta a la que asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad (en años), y se anotan los siguientes datos.

13 15 12 16 12 15 12 16 12 12 13 13 15 13 16 16 13 12

14 15 12 14 15 12 14 16 17 16 16 15 14 16 15 12 13

a)

b) c)

Con los datos del ejercicio anterior, calcula.

a) Media aritmética: x = 14,06 años

b) Mediana: Me = 14 años c) Moda: Mo = 12 años

El profesor de Matemáticas ha puesto una prueba a sus alumnos y las calificaciones que estos han obtenido han sido:

5 6 7 6 4 5 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 7 5 4 5 5 4 4 6 8

a)

b) x = 5,84

c) La moda es 5.

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + + + +

=2 1 4 5 5 6 6 4 7 4 8 3 9 21 5 6 4 4 3 2

144625

3

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =12 9 13 6 14 4 15 7 16 8 17 135

49235

2

1

499

Frec. relativa

9/35

6/35

4/35

7/35

8/35

1/35

Frec. absoluta

9

6

4

7

8

1

17 años

12 añ

os

13 añ

os

14 añ

os

15 añ

os

16 añ

os

17 añ

os

98

6

4

2

12 años

13 años

14 años

15 años

16 años

Edad

12

13

14

15

16

17

Datos (calif.) 2 3 4 5 6 7 8 9

Frec. (alumnos) 1 0 5 6 4 4 3 2

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Queremos encargar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es la población y si es necesario escoger una muestra o no.

a) La asignatura preferida por los alumnos de la clase de 2.º A.

b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de Cataluña.

c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 2.º ESO de toda la población (hay 5 centros y 310 alumnos).

d) Las marcas de los coches más vendidos en Asturias.

Un profesor pregunta a 30 alumnos sobre el mes de su nacimiento, y obtiene estos resultados.

Ene Jun Mar Abr May FebJul May Sep Oct Nov DicJun May Sep Oct Jul DicJun May Feb Feb May FebAgo Sep Mar May May Jun

a) ¿Sobre qué población se ha hecho el estudio?

b) ¿Cuál es la variable estudiada?

c) Elabora el recuento y una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de esta variable.

d) Dibuja un gráfico de barras con estos datos.

2

1Realización de encuestas sencillas.

Interpretación y elaboración de tablas de frecuencias.

Elaboración de gráficosestadísticos (diagrama de barras, pictograma

y diagrama de sectores)para representar

un conjunto de datos.Distinción entre frecuencia

absoluta y relativa, y expresión de esta últimaen forma decimal y como

porcentaje.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 4

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2, 3



ESTADÍSTICA14829485 _ 0479-0504.qxd 12/9/07 15:39 Página 500


Según los datos de un organismo internacional, la población mundial en el año 2007 (en millones de personas) es:

a) ¿Qué porcentaje de la población corresponde a Europa?

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de la población de Asia?

c) Elabora un diagrama de sectores.

El profesor de Matemáticas da a los alumnos los resultados del último examen.

a) Calcula qué porcentaje de alumnos ha aprobado.

b) Halla la media aritmética, la mediana y la moda de este conjunto de datos.

4

3

Comprensión del significadoy cálculo de la media, la mediana y la moda

de un conjunto de datos.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

501






Continente África América Asia Europa Oceanía Total

Población 728 775 3.458 727 28

Datos (calif.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frec. (alumnos) 1 3 5 5 7 4 3 0 1 1

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ESTADÍSTICA14EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Encuesta:

a) Población: los alumnos de 2.º A. No es necesario escoger ninguna muestra.b) Población: todos los jóvenes catalanes de 13 años. Se tendrá que realizar el estudio sobre una muestra.c) Población: los 310 alumnos de 2.º ESO. Se tendría que escoger una muestra.d) Población: todos los coches de Asturias. Se tendría que escoger una muestra.

Encuesta:

a) Los alumnos de la clase.

b) Los meses de nacimiento.

c)

d)

Población mundial:

a) 12,72%b) La suma del total de habitantes es 5.716 millones.

La frecuencia relativa de Asia es: = 0,605.

Prueba de Matemáticas:

a) Alumnos que han aprobado: 16 de 30 alumnos → 53,33%

b) Media aritmética:

x = 4,7

Mediana = 5 Moda = 5

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 1 2 3 3 5 4 5 5 7 6 4 7 3 9 1 10 130

141330

4

3 4585 716..

3

2

1

Meses Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Frec. absoluta 1 4 2 1 7 4 2 1 3 2 1 2

Frec. relativa1

304

30230

130

730

430

230

130

330

230

130

230

Ene

Feb

Mar Abr

May Ju

n Jul

Ago Sep

OctNov Dic

Meses

Alu

mno

s

8

6

4

2

Oceanía0,49 % África

12,74 %

América13,56 %

Asia60,5 %

Europa12,72 %

c)

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