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1

Tema 1: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Carlos Alberola López

Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación

Despacho 2D014

[email protected], [email protected],http://www.lpi.tel.uva.es/sar

1. ¿Para qué estudiar esto?• Se pretende describir y utilizar una herramienta

que nos proporcione capacidad de decisión en problemas donde existe incertidumbre.

• ¿A qué nos estamos refiriendo? Por ejemplo

• Dejar caer una piedra

• Dejar caer una pluma

• No podemos predecir dónde va caer la pluma, pero si que podemos tratar de saber:

• Cómo de probable es que se aleje un radio de más de 5 unidades de distancia respecto del punto (0,0)

• Sabiendo la desviación horizontal, tratar de predecir la desviación vertical

¿Para qué estudiar esto?• Los problemas de comunicaciones tienen

elevados componentes de aleatoriedad

• Señales que transportan información: son señales no modelables mediante un conjunto finito de parámetros. Pero tiene que haber “algo” que permita caracterizar este tipo de señales para garantizar que puedan pasar sin distorsión a través de un determinado medio de transmisión.




2




• Las señales de comunicaciones están afectadas por “ruido” (señal superpuesta indeseada que disvirtúa el contenido de éstas).

3

2. Álgebra de conjuntos• Conjuntos denotados por letras mayúsculas: A, B, C

• Elementos denotados por letras minúsculas: a, b, c

• Los conjuntos se definen en base a una relación de pertenencia, la cual es binaria ( , )

• Conjuntos notables: S y

• Los conjuntos se pueden describir de forma enumerativa o partir de una ley que defina pertenencia.

• Cardinal

• Finito

• Infinito

• Numerable

• No numerable

Aa∈ Ab∉

∅

Álgebra de conjuntos• De la relación de pertenencia surge la relación de

inclusión.

• Si un conjunto está incluido en otro se dice que el primero es subconjunto del segundo, y se denota mediante

• A es subconjunto→

• A es superconjunto →

• A no está incluido en B →

BA⊂

BA⊂AB ⊂

BA⊄

AB

BA B

A

Operaciones con conjuntos• Igualdad de conjuntos: dos conjuntos son iguales si

tienen los mismos elementos.

• Conjunto diferencia: : conjunto formado por los elementos de A que NO están en B.

BAC −=

Operaciones con conjuntos• Unión de conjuntos :conjunto formado por

los elementos de A y los de B

• Intersección de conjuntos :conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos

BAC U=

BAC I=

4

Operaciones con conjuntos• Es interesante reparar en que

• y en que:

• La intersección, por ello, crea un conjunto más “pequeño” y la unión un conjunto más “grande”.

• Conjuntos disjuntos:

BBAABA

⊃

⊃

U

U

BBAABA

⊂

⊂

I

I

∅=BAI

Aplicación sucesiva de operadores• Si las operaciones se aplican repetidamente

escribiremos para abreviar

• Y por razones derivadas de los axiomas de la Probabilidad es habitual escribir (aunque sea un “abuso” de notación):

I

U

ILII

ULUU

N

iiN

N

iiN

AAAA

AAAA

121

121

=

=

=

=

∏

∑

==

==

=

=

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

AA

AA

11

11

I

U

Propiedades de unión e intersec.• Estos operadores satisfacen tres útiles propiedades:

• Conmutativa

• Asociativa

• Distributiva

ABBAABBA

II

UU

=

=

( ) ( )( ) ( )CBACBA

CBACBAIIII

UUUU

=

=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CABACBA

CABACBAIUIUI

UIUIU

=

=

Otras cuestiones adicionales• Conjunto complementario de un conjunto A:

• Se denota por

• Y se define mediante el conjunto diferencia

• Es interesante notar que

• Leyes de Morgan

BABABABA

UI

IU

=

=

AASA −=

∅=

=

AASAA

I

U

5

( )BBA UI=

( ) ( )BABA UUU

Ejercicio: Demostrar que ( ) ( ) ABABA =UUU

( ) ( )BABA IUI=

( ) ASA == I

( ) ( )BABA IUI=

Ejercicio: Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( )ABBABABA IUIIIU =

( ) ( )BABA IIU

[ ]( ) [ ]( )BABBAA UIUUI=

( ) ( )BABA UIU=

( ) ( )321UIU

C

BABA=

( ) ( )CBCA IUI=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )BBABBAAA IUIUIUI=

( )( ) ( )( )∅∅= UIUIU ABBA

( ) ( )ABBA IUI=

Sumas y productos!!

3.- Definición de probabilidad• Se trata de formalizar la noción intuitiva de “qué

cosas son más probables” y “cuáles más improbables”.

• Definición mediante frecuencia relativa:

• con el número de veces que sale el resultado A en las N realizaciones del experimento llevadas a cabo.

• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, se experimenta 1000 veces; cuéntese cuántas (dentro de esas 1000) sale un 2, un 4 ó un 6 y divídase por N=1000.

( )NNAf A

Nr ∞→= lim

AN

• Se trata de formalizar la noción intuitiva de “qué cosas son más probables” y “cuáles más improbables”.

• Definición mediante frecuencia relativa:

• con el número de veces que sale el resultado A en las N realizaciones del experimento llevadas a cabo.

• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, se experimenta 1000 veces; cuéntese cuántas (dentro de esas 1000) sale un 2, un 4 o un seis y divídase.

3.- Definición de probabilidad

( )NNAf A

Nr ∞→= lim

AN

Inconvenientes:

• Para saber la probabilidad de “algo” se requiere experimentar.

•Cada vez que se realice el experimento se obtiene un número distinto de la frecuencia relativa (diremos, en breve, que ésta es una variable aleatoria)

•Crear un cuerpo de doctrina en base a operaciones en el límite es poco cómodo.

6

Definición de probabilidad

• Definición clásica de la probabilidad:

• con el número de formas de darse el resultado A (número de casos favorables) y N el número de resultados (casos posibles).

• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, y .

( )NNAP A

C =

AN

3=AN 6=N


• Definición clásica de la probabilidad:

• con el número de formas de darse el resultado A (número de casos favorables) y N el número de resultados (casos posibles).

• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, y .

( )NNAP A

C =

AN

3=AN 6=N

Inconvenientes:

• Se asume de forma implícita equiprobabilidad de los resultados.

•El número de casos favorables y posibles podría ser infinito; ello produce un problema en la definición.


• Se trata de ampliar el marco de definición de probabilidad para que:

• Dé cabida a la frecuencia relativa pero no nos veamos obligados a experimentar.

• Dé cabida a la probabilidad clásica, pero obviando los problemas de la misma.

• Tal ampliación es la definición axiomática de la probabilidad.

• Para tal fin, cambiemos un poco la terminología:

Definición axiomática de probabilidad

• La probabilidad se define sobre sucesos, en particular

• Conjunto universal S: espacio muestral (suceso seguro)

• Conjunto vacío : suceso imposible

• Axiomas de la probabilidad: la probabilidad es una función definida sobre sucesos que debe cumplir:

∅

( )( ) ( ) ( ) ∅=+=

=

≥

BAsiBPAPBAPSPAP

IU

10)(

7


• Consecuencias inmediatas de los axiomas, obtenidas a partir del álgebra de sucesos:

• Nótese que debe verificarse que:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) BAsiBPAP

BAsiBAPBPAPBAPP

APAP

⊂≤

∅≠−+=

=∅

−=

IIU

01)(

( ) SAAP ⊂∀≤≤ ,10


• La definición axiomática incluye la definición clásica: supongamos que es el número de casos favorables al suceso A, lo propio para el suceso B y N el número de casos posibles. Es claro pues que

• Y si A y B no pueden darse simultáneamente

ANAN

( ) 0≥=NNAP A

C ( ) 1==NNSPC


• La definición basada en frecuencia relativa está también incluída dentro de la teoría axiomática de la probabilidad.

• Se demuestra mediante la Ley de los Grandes Números, teorema asintótico que veremos en la sección 4.5.3 (variable N-dimensional)

• Y es la base teórica de las prácticas de la asignatura.

Ejercicio: Se desea validar un sistema automático de medición de alturas de edificaciones. Con el objetivo de reducircostes en el proceso de validación se descarta la medición directade los edificios para contrastar con la automática, de formaque se recurre a la medición por parte de n expertos, los cualesemplean sus propios sistemas de medida y que, naturalmente,no están exentos de errores. El sistema a validar se consideraráapto para su uso si la medición que proporciona no seencuentra en ninguno de los dos extremos, esto es, no es ni lamayor ni la menor de las n+1 mediciones. Bajo la hipótesis deque los n + 1 equipos de medida proporcionen medidas similares(es decir, que todos funcionen correctamente, afectados porerrores similares), obtenga la probabilidad de que el sistema seavalidado.

8

n-1

Solución:

iA “Medida automática cae en posición i (i=1,…,n+1)”

B “El sistema es validado”U

n

2iiAB

=

=

Espacio de probabilidad• La definición de un experimento probabilístico precisa

de la definición de una terna:

cuyos componentes son:

Espacio muestral

-Cardinal finito

-Card. Infinito

-Numerable

-No numerable

Clase de sucesos (cerrada con respecto a cantidad numerable de uniones e intersecciones)

Ley de asignación de probabilidades

- Discreta

- Continua

Ejemplo: lanzamiento de dos dados, con simetría en la construcción de los mismos, y sin relación entre ellos. Analicemos los elementos que integran el espacio de probabilidad:

Espacio muestral: 36 elementosSucesos: cualquier subconjunto del mismo (236 posibles sucesos)Ley asignación: equiprobabilidad (prob. clásica) por simetría

Suceso B: “la suma de las caras es igual a 7”. Hallar P(B)

Ai j: suceso sale cara i en primer dado y cara j en segundo

U7ji

ijAB=+

= 162534435261 AAAAAA UUUUU=

9

Suceso B: la suma de las caras es igual a 7. Hallar P(B)

Ai j: suceso sale cara i en primer dado y cara j en segundo

Prop. asociativa

Probabilidad Condicionada

• Se plantea cómo actualizar nuestro conocimiento probabilístico sobre un experimento una vez que sabemos algo más de él.

• Concretamente, se asume que un suceso B (de probabilidad no nula) se ha verificado:

• La nueva probabilidad en este espacio se define (y denota)


• ¿Es esta definición axiomática? Es fácil comprobar que sí:

Prop. distributiva

A CB

Suceso A: la suma de las caras es igual a 7. Suceso B: “ha salido al menos un 6”. Hallar P(A|B)

Solución en espacio condicionado: 2 casos favorables frente a 11 posibles.


10

Solución en espacio original:

Probabilidad Condicionada Independencia de pares de sucesos

• Supongamos los sucesos A y B, ambos de probabilidad no nula. Estos sucesos son independientes si se verifica que:

• Nótese que dado que

• entonces

( ) ( )APBAP =|

• Como consecuencia de lo dicho anteriormente

• se puede escribir de forma alternativa la definición de independencia de la manera

• lo cual permite abordar el casos de sucesos de probabilidad nula. Nótese que si uno de los dos sucesos tiene probabilidad nula, éstos son independientes

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00

0==⇒=≤

=

BPAPBAPAPBAPAP

II

Independencia de pares de sucesosEjemplo: baraja española (40 cartas, 4 palos, 10 cartas por palo). Se extrae una carta. Defínase A: “as”; B: “rey”;C: “oro”. Hallar P(A|B) y P(A|C). ¿Son los sucesos B y C independientes de A?

( ) ( )( )

( )( ) 0BP

PBP

BAPB|AP =∅

==I

Sucesos

mutuamente

excluyentes

Sucesos

independientes

( ) ( )( ) ( )AP

101

4010401

CPCAPC|AP ====

I

11

• Para el caso de N sucesos se deben cumplir las condiciones siguientes de forma simultánea:

Independencia de múltiples sucesos• Por ejemplo, los sucesos de la figura podrían ser

independientes por pares pero no lo serían por tríos:

Independencia de múltiples sucesos

A

B

C

Intersecciones no vacías por parejas

Pero ∅=CBA II

• Si no son independientes se puede recurrir a aplicar repetidamente la definición de probabilidad condicionada; ello se basa en las propiedades asociativa y conmutativa de los sucesos


( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )BPBAPBAP

AAAAP

AAAAPAAAP

NN

B

NN

NNN

==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

=

−

−

I

444 3444 21IILII

IILIIILII

121

12121

• Entonces obtenemos

• Cabe preguntarse … ¿estamos mejor o estamos peor?


12

Ejercicio (Septiembre de 2005): En un juego de cartas de baraja española (40 cartas, 4 palos, 10 cartas por palo) se reparte una única carta a cada jugador, siendo 7 el numero de éstos. Se pide que calcule la probabilidad de que no salga un determinado palo (porejemplo, que no salgan copas) en tal reparto

iA “Al jugador i-ésimo no le sale copa (i=1,…,7)”

B “A ningún jugador le sale copa”

Solución:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=I

7

1iiAPBP

¿independientes?

( )∏==

7

1

??

iiAP

Los sucesos no pueden ser independientes pues, por ejemplo, si salen copas a los primeros jugadores el hecho de que salgan copas a los últimos es cada vez más difícil (más improbable). Pero podemos escribir, de forma alternativa:

( )

( ) ( ) ( ) ( )1121231234

4

1ii5

5

1ii6

6

1ii7

7

1ii

APAAPAAAPAAAAP

AAPAAPAAPAPBP

III

IIII ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

====

y ahora

( ) =1AP

( )12 AAP

30 cartas, no copas

10 cartas, copas

3929

=

4030

( )4030

1 =AP 30 cartas, no copas

10 cartas, copas

( )12 AAP3929

=

( )213 AAAP I3828

=

Continuando con este razonamiento

4030

3929

3828

3727

3626

3525

3424

=

( )

( ) ( ) ( ) ( )1121231234

4

15

5

16

6

17

7

1

APAAPAAAPAAAAP

AAPAAPAAPAPBPi

ii

ii

ii

i

III

IIII=

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

====

S

• Concepto de partición

Teorema de Prob. Total y Bayes

2AS

3A

4A1A

Condiciones a cumplir por los N sucesos para constituir partición

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S

• Teorema de la Probabilidad Total

Podemos escribir el suceso B de la forma


2AS

3A

4A1A B

• Entonces, dado que los elementos de la partición son disjuntos:

• lo cual se puede reescribir de la forma

que es la expresión del teorema.


• Teorema de Bayes: se obtiene de intercambiar el orden de los condicionantes:

• y empleando el Teorema de la Prob. Total

que es la expresión del teorema.


1A

2A

3A


1S

2S

3S

( )ji ASP Probabilidad de recibir Si cuando se ha transmitido Aj.

( )iAP Probabilidad de transmitir símbolo Ai.

E “suceso error en la transmisión”

DATOS

14

1A

2A

3A


1S

2S

3S

( ) ( ) ( )ii

i APAEPEP ∑=

=3

1

( )( ) ( )ii

i APAEP∑=

−=3

1

1

( )( ) ( )ii

ii APASP∑=

−=3

1

1

1A

2A

3A


( ) { }3,2,1, ∈jABP j

B: “La tensión observada X

cae en intervalo I”

(supongamos valores medibles, esto es, esta probabilidad es un dato)

Si observamos que la tensión observada ha caído en el intervalo I, ¿qué símbolo diríamos que se ha enviado?

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

∑=

3

1jjj

ii

iii

APABP

APABPBP

APABPBAP

( )BAP iimaxarg⇒

Experimentos compuestos

A

B

Necesitamos información adicional

Lanzamiento de un dado


A: primer número cae entre 0,3 y 0,9

B: segundo número cae entre 0,5 y 0.7 B

Generación de dos númsaleatorios entre 0 y 1

A

AxS2

S1xB

0,5 0,7

0,3

0,9

0

1

1

AxB

15

Experimentos compuestos• El suceso sería, representado

gráficamente,

por lo que se puede escribir de forma alternativaB

S1xBA

AxS2

0,5 0,7

0,3

0,9

0

1

1

AxB

Experimentos compuestos• No obstante es práctica habitual escribirlo de la forma

Aunque sea un abuso en la notación pues, como hemos dicho, los sucesos A y B pertenecen a espacios muestrales distintos, luego no ha lugar hablar de la intersección de los mismos.

1

B

A

0,5 0,7

0,3

0,9

01

BAI

Experimentos compuestos• Respecto de la ley para asignar probabilidades en el

experimento compuesto Pc,

• Como norma general no es conocida a partir del conocimiento exclusivo de P1 y P2.

• En el caso en que los subexperimentos sean independientes se verifica que:

• Lo cual escribiremos sin hacer explícito el experimento en cuestión, esto es,

( ) ( )[ ] ( ) ( )BPAPBAPBAP ==× I

Experimentos compuestos• Dos leyes de asignación de probabilidades en el

experimento compuesto pueden dar lugar a las mismas leyes en cada uno de los subexperimentos. Volvamos al ejemplo de los dados

iA “Sale cara i en primer dado (i=1,…,6)”

jB “Sale cara j en segundo dado (i=1,…,6)”

( )iAP¿ ?

16

( ) ( )[ ]

( )∑=

=

×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=×=

6

1

6

12

jji

jjiii

BAP

BAPSAPAP U


Suma de probabilidades de resultados elementales en esa línea


• Dos posibles leyes del experimento compuesto que dan lugar a equiprobabilidad en cada experimento simple:

• Equiprobabilidad de cada resultado

• Otra posibilidad

( ) ( )61

3616

1

6

1

==×= ∑∑== jj

jii BAPAP

Composición de Ensayos deBernoulli

• Un experimento aleatorio se dice que es un ensayo de Bernoulli si puede dar uno de dos posibles resultados

• Por convenio diremos que

• Nótese que cualquier experimento aleatorio se puede interpretar como un ensayo de Bernoulli.

( )( ) 1, =+

⎭⎬⎫

=

=qp

qAPpAP

⎩⎨⎧

AA


• Nos centraremos en la composición de ensayos de Bernoulliindependientes. Concretamente, supondremos que un determinado ensayo de Bernoulli se realiza N veces, y trataremos de encontrar la probabilidad de que el suceso A se verifique k veces (de las N posibles).

• Para ello definimos

kB “Sale k veces (de N posibles) el resultado A”

jkB “Forma j-ésima (j=1,…,M) de verificarse el suceso Bk”

iA “Sale resultado A en ensayo i-ésimo”

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• Por ejemplo

• Bien entendido que estamos usando notación abreviada pues en sentido estricto deberíamos escribir

( ) ( ) ( )NNNk ASSSASSSAB ×××××××××= LILILIL 2121211


• Por lo dicho está claro que

• Pero hay que resolver algunas cuestiones previas:

1. ¿Son los sucesos de la unión disjuntos?

2. ¿Podemos hallar la probabilidad de cada uno como función de los parámetros del problema (p,q,k y N)?

3. ¿Es importante ser exhaustivos en la enumeración de los sucesos ?

4. ¿Cuál es el valor de M?

jkB


• Vayamos por cada una de las preguntas

1. Los sucesos son disjuntos: cada uno representa una ordenación distinta (y exclusiva) de los resultados de cada ensayo de Bernoulli. Alternativamente

Y esto sucede para cada pareja de sucesos

Consecuencia de esto es:

jkB


2. La composición consiste en ensayos independientes. Por ello, por ejemplo:

3. Nótese que tal probabilidad es función de cuántos resultados hay de cada tipo, no de la ordenación de los mismos en una determinado secuencia. Por ello todos los sucesos son equiprobables, luego no hay por qué ser exhaustivos en la lista de los mismos, sino que nos basta saber cuántos hay, es decir, cuánto vale M.

jkB

+1

18


4. Valor de M:

Cada línea expresa k índices extraídos de un conjunto de N índices. Por ello, todas ellas constituyen los subconjuntos de k elementos que pueden extraerse de un conjunto de N. Por ello

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kN

M

Permutaciones de 4 elementos

4!=24

Permutaciones de 4 elementos: rojo, verde y amarillo iguales

iguales!!!

iguales!!!

iguales!!!

iguales!!!

!3!4


En nuestro caso tenemos

• k veces el resultado

• N-k veces el resultado

Luego de las permutaciones de N resultados, tenemos k valores iguales y otros N-k valores iguales. Por ello tenemos en total

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

kN

kNkNM

)!(!!

AA

19


• Así pues

• Esta expresión puede aproximarse por otras más sencillas. En particular, si entonces

(aproximación de Poisson)

5,1,1 <=<<>> aNppN

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

Ejercicio 3:


• Otra aproximación útil es:( )

NpqNpk

k eNpq

BP 2

2

21)(

−−

≈π

1>>Npq

NpqNpkNpqNp 33 +≤≤−

Válido si:

1.0150

=

=

pN


• Esta aproximación permite abordar el caso de probabilidades calculadas sobre unión de varios valores del suceso . Concretamente:

o bien

Esto quedará claro cuando veamos variables gaussianas …

kB

Ejercicio:Un sistema de control de calidad de productosquímicos decide, para cada producto que inspecciona, si éstecumple los requisitos normativos para su aceptación. Supongamosque el protocolo de inspección rechaza los productos conuna probabilidad pr y el proceso de fabricación es tal que permiteaceptar independencia entre productos. Se pide:

a) Si se dispone de N productos, probabilidad de queuna fracción no superior al 10% de ellos sea rechazada.

b) Probabilidad de que k productos sean rechazados antesde aceptar un número s de éstos.

20

Solución: a)

B “Se descarta una fracción no superior al 10% de N”

kB “Se descartan k productos de N posibles”

Supongamos que kr es el primer número entero menor que 0.1N. Entonces:

Por lo que:

b) C “Se rechazan k productos antes de aceptar s”

s-1 aceptaciones, k rechazos Última aceptación

[ ] skk AksBC +−+= I1

kA “El producto es rechazado en inspección k-ésima”

[ ]NBk “Se rechazan k productos de N posibles”

Entonces:

Al ser composición de ensayos independientes:

Y teniendo en cuenta que son s+k-1 casos posibles:

Ejercicio:

a): b): c):

21

Solución: a)

mA “El primer generador da lugar al número m”

mB “El segundo generador da lugar al número m”

Nos dicen que:3521)( =mm BAP U

( ) ( ) 3521)()( =−+= mmmmmm BAPBPAPBAP IU

353636 21)(

21

21

=−+= mm BAP I

Pero:

Luego: ⇒= 0)( mm BAP I no son independientes, por ser disjuntos

b)

kB “Se han generado k números (de N posibles) iguales a m”

Está claro que:

UN

kkBB

1=

=

0BB =Pero:

Luego: ( ) ( ) ( )011 BPBPBP −=−=

B “Al menos uno de los N números generados es igual a m”

NN qqpN

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= − 1

01 00

con:362111 −=−= pq

b) Solución numérica alternativa

La expresión :

se puede aproximar mediante la expresión de Poisson

Luego:

( )N

NqBP ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−= 362

1111

ya que: 54552.1 <== Npa

( ) ( ) 766.01!

121111

0360 =−=−≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−= −

=

− a

k

akN

eekaBPBP

c)

kB “Se han generado k números (de N posibles) iguales a m”

Está claro que: UN

kkBB

1501=

=

Por lo que:

De forma alternativa:

( ) ( ) ∑∑=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

N

k

kNkN

kk qp

kN

BPBP15011501

B “Más de 1500 de los N números generados son iguales a m”

( ) ( ) ( ) ∑∑=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=

1500

0

1500

0111

k

kNk

kk qp

kN

BPBPBP

( ) 119.018.1115.3814551500115001 =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−≈ GG

NpqNpG

22

Solución: d)

ijA “Resultado del experimento j es i (i=1,2,X),(j=1,…,N)”

21kkB “Salen k1 1’s y k2 2’s”

jkkB

21“Forma j-ésima (j=1,…,M) de verificarse el suceso ”

21kkB

( ) ( )∑===

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

M

1j

jkk

M

1j

jkkkk

M

1j

jkkkk 2121212121

BPBPBPBB UU

( )444 3444 21

L44 344 21

L43421

L

21

2121

2

2111

1

121 2122

22

111

211

kkN

XN

Xkk

Xkk

k

kkkk

k

kjkk AAAAAAAAAB

+−

+++++++=

( ) ( )( )2121

21212111121 2122

22

111

211

kkNkk

XN

Xkk

Xkkkkkkk

jkk

qrpAAAAAAAAAPBP

+−+++++++

=

= LLL

Permutaciones de 4 elementos

4!=24

Permutaciones de 4 elementos: rojo, verde y amarillo iguales

iguales!!!

iguales!!!

iguales!!!

iguales!!!

23

k1k2

N-(k1+ k2)

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−=

2

1

12121 kkN

kN

!kkN!k!k!NM

¿Cuánto vale ? M

Entonces:

( ) ( )2121

212

1

1

kkNkkkk qrp

kkN

kN

BP +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

S

2AS

3A

4A1A

Solución: a)

13B

11B

12B

C

UiM

jiji BA

1=

=

( ) ( )( ) ( ) ( )i

M

jij

i

M

jij

i

ii AP

BCP

AP

BCP

APACPACP

ii

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

== ==UU II

I 11

Entonces:

( ) ( )( )

( ) ( )( )i

ijij

M

j

i

ii AP

BPBCP

APACPACP

i

∑=== 1I

Al ser sucesos disjuntos:

ijiijiij BABAB =⇒⊂ IY dado que :

Entonces podemos escribir que :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )∑∑==

==ii M

j i

iijij

M

j i

ijiji AP

ABPBCP

APBP

BCPACP11

I

( ) ( )∑=

=iM

jiijij ABPBCP

1

Teorema de la Probabilidad Total para probabilidades condicionadas!!!!

24

b)

( ) ( )( )∑∑

==

=ii M

j i

iijM

jiij AP

ABPABP

11

I

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )∑ ∑= =

====i iM

j

M

j i

iij

ii

ij

APAPBP

APAPBP

1 1

11

1. ¿Para qué estudiar esto? Tema 1: TEORÍA DE LA ... · 2 ¿Para qué estudiar esto? • Los...

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