1 Preliminar Curso Calculo Rapido

CAPITULO I

PRELIMINAR

Sección 1.

1

FUNCIONES

A pesar de su formidable nombre, el Cálculo no es una materia muydifícil. Claro que usted no se convertirá de la noche a la mañana en unmaestro de ella, pero con dedicación puede aprender las ideas básicas rápi-damente.

Este libro lo iniciará en el estudio del cálculo. Después de trabajar conél, estará en posibilidad de resolver muchos problemas y de abordar el estu-dio de técnicas más elaboradas si las necesita. Lo importante es trabajar,aunque a veces más que trabajo será diversión.

Su trabajo consistirá en contestar preguntas y resolver problemas. Elcamino a seguir dependerá de sus respuestas.

El premio por resolver un problema correctamente, es seguir adelante.Si no puede resolver correctamente el problema, la solución está general-mente explicada y resolviendo problemas adicionales se dará cuenta de silo ha entendido o no. De cualquier manera, siempre podrá comprobar susrespuestas de inmediato después de resolver el problema.

Muchos de los problemas tienen varias soluciones posibles. Estas estánagrupadas así: [a I b I e I dJ. Para contestar encierre dentro de un círculola respuesta escogida.

La respuesta correcta siempre se encuentra en la parte inferior de lapágina siguiente. Algunas preguntas deben contestarse escribiendo la res-puesta. Para ello hay espacios en blanco y se indica donde se encuentrala respuesta correcta.

Si usted contesta bien, pero cree que necesita practicar más, simple-mente siga las instrucciones en caso de haber contestado mal.

No hay prisa por entender este libro en poco tiempo.

Pase al párrafo 2.

12 Preliminar

2Aquí damos una somera descripción del libro por si se desea saber qué

es 10 que sigue: El primer capítulo es una síntesis que nos será muy útilmás adelante; el capítulo II es sobre Cálculo Diferencial y el capítulo IIIes sobre Cálculo Integral. El último capítulo contiene un· resumen de loscapítulos anteriores. Hay dos apéndices, uno de las demostraciones de algu-nas relaciones usadas en el libro y el otro presenta discusiones sobre temascomplementarios. Además, hay una lista de problemas con respuestas, y unasección de Tablas que serán de mucha utilidad.

Damos una recomendación para los párrafos siguientes.

Debido a que empezamos con definiciones, la primera sección debe tra-tarse con más atención que las demás partes del libro.

Primero revisaremos la definición de función.

Si ya tiene antecedentes de ella y de las ideas de variables dependientee independiente, se podrá pasar a la sección 2 (párrafo 14). (En este ca-pítulo hay muchos temas que pueden saltarse, si ya se estudiaron con ante-rioridad). Por otra parte, algún material puede ser nuevo para usted; y si10 estudia un poco le será útil.

PaJe a 3.

3

4

5

Funciones 13

La definición de una función emplea la idea de un con;unto.

¿Sabe usted qué es un conjunto? Si es así, entonces pase al párrafo 4.

Si no lea lo siguiente:

Un con;unto es una colección de objetos -no necesariamente mate-riales- descritos de tal manera que no se tenga duda si un objeto en par-ticular pertenece o no al conjunto.

Un conjunto se puede describir enlistando sus elementos.

Ejemplo: El conjunto de números 23, 7, 5, 10. Otro ejemplo: Marte,Roma y Francia.

También se puede describir un conjunto mediante una regla, por ejem-plo; todos los números pares enteros (este conjunto tiene un númeroinfinito de objetos). Otro conjunto definido por una regla es, todos losplanetas de nuestro sistema Solar.

Un conjunto particularmente útil es el conjunto de todos los númerosreales, el cual incluye todos los números positivos y negativos, tales como,5, -4, 0,1/2, -3.482, y'2";pero excluye a los números que contienenv=r

El uso matemático de la palabra conjunto es parecido al uso comúnde esa palabra como "un conjunto de clubes de Golf".

Pase a 4.

En el espacio en blanco de abajo, ponga los elementos del conjuntoque consiste en todos los números nones enteros y positivos, menores de 10.

Pase a 5 para ver la respuesta correcta.

Estos son los elementos del conjunto de todos los números nones ente-ros y positivos menores de 10:

1, 3, 5, 7, 9.Pase a 6.

14 Preliminar

6

Ahora estamos preparados para hablar de funciones. Aunque la defini-ción debe ser precisa, empezaremos con una simple ilustración.

En algunos periódicos se puede encontrar una lista de las temperatu-ras de cada hora del día. Con esa lista, una temperatura particular se puedeasociar con cada hora del día. En matemáticas, una asociación entre dosobjetos o cantidades diferentes se llama una función.

Usaremos la siguiente definición formal de una función. (Si se quiereaprender otra definición diferente, vea el apéndice B 1, páginas 272·273).

Si cada elemento de un conjunto A se asociaexactamente con un elemento del conjunto B,entonces esta asociación se llama una función deA a B. El conjunto A se llama el dominio de lafunción.

Pase a 7.

7

Frecuentemente se usa un símbolo, tal como x, para representar cual-quier elemento del conjunto A (el dominio de la función). El símbolo x sellama entonces variable independiente. Si el símbolo)' representa el elemen-to del conjunto B asociado mediante la función con el elemento x, y se llamala variable dependiente. Estas definiciones son muy razonables: en unuso común de la función, se selecciona arbitraria y libremente primeroun valor específico para la variable independiente x y el uso de la funciónnos da el valor de la variable dependiente y, el cual está determinado por(o depende de) x.

Pase a 8.

8

9

Funciones 15

Veamos si estas definiciones quedaron claras, volviendo a nuestro ejem-plo del párrafo 6 de la lista de temperaturas de cada hora del día. Escribalas palabras correctas en los espacios en blanco de la siguiente oración.

La asociación entre la temperatura y el tiempo en la lista es una---------- de las horas a la temperatura. Si el símbolo hse emplea para representar la hora del día y el símbolo T para representarla temperatura, la variable independiente es -----------

y la variable dependiente es -------------_

Para la respllesta correcta, pase a 9.

Usted debe haber escrito que la asociación es una función de las horasa la temperatura. La variable independiente es h y la variable depen-diente es T.

Si sus respuestas fueron correctas, entonces ha comprendido las defini-ciones y puede pasar al párrafo 11. Si se equivocó en alguna, debe pasaral párrafo 10.

16 Preliminar

10

De la definición del párrafo 6, la asociación es una función de la horadel día a la temperatura, ya que a cada hora del día está asociada exacta-mente una temperatura. El conjunto cuyos elementos son las horas deldía corresponde al conjunto A en la definición. Así h, que representa unelemento de ese conjunto, es la variable independiente. La temperatura Tes la variable dependiente. Esta terminología es lógica puesto que se puedeseleccionar libremente cualquier hora h, del día y usar la función paraencontrar la temperatura T, que depende de la hora escogida.

Si cree que ha entendido esta explicación, pase a 11. Si todavía tienedudas, debe volver a leer los párrafos del 3 al 10 y después pasar al 11.

11

Funciones 17

Veamos como se debe especificar una función. Una manera es anotardetalladamente la asociación entre los elementos correspondientes de losdos conjuntos. Otra consiste en dar una regla para encontrar la variabledependiente en términos de la variable independiente. Frecuentemente estaregla se expresa en la forma de una ecuación. Por ejemplo una funciónasociando la variable independiente 1 con la variable dependiente S puedeespecificarse mediante la ecuación.

s = 212 + 6/.

Esta ecuación define la función, ya que asocia exactamente un valor de lavariable S con cada valor de la variable l.

Estrictamente hablando; la función no está completamente especificadaa menos que se den los valores permitidos (el dominio) de la variableindependiente. Hay una convención simple que seguiremos aquí: a menosque otra cosa se especifique, la variable independiente puede ser cualquiernúmero real para el cual la variable dependiente sea también un númeroreal. Por lo tanto, en el ejemplo de arriba, la 1 puede tener cualquier valorreal. Por otra parte, si tenemos una función definida por y = yx, enton-ces la x está restringida a todos los números reales no negativos.

En la mayoría de las discusiones matemáticas, las dos variables son ge-neralmente números sin dimensión, tales como 5.1 Y 'liT Sin embargo,en las aplicaciones las variables a menudo tienen dimensiones ó unidadesde medida, tales como 5.1 segundos, V7 kilómetros.

Pase a 12.

18 Preliminar

12

Generalmente representamos una función por una letra, tal como f. Sila variable independiente es x, la variable dependiente asociada por la fun-ción f se escribe frecuentemente como f(x) y se lee "f de x". Los paréntesisen f(x) son parte de la notación y sirven para indicar que la cantidad ence-rrada por ellos, representa la variable independiente. Así, f (x) no significaf veces x, aunque el paréntesis tenga ese significado en 5 (3 + 2) = 25.

Ese doble uso del paréntesis puede ser causa de confusión al principio,pero después no habrá problema, sabiendo que el paréntesis es parte delsímbolo f(x). Una ventaja de esta notación, es que el valor de la variabledependiente, digamos para x = 3, se escribe f(3).

Pase a 13.

13

En matemáticas el símbolo x se emplea frecuentemente para la variableindependiente; f a menudo se usa para representar la función; y = f(x)indica la variable dependiente. Sin embargo, cualquier otro símbolo puedeemplearse para la función, la variable independiente y la variable depen-diente. Por ejemplo, podemos tener z = H (r), que se lee "z igual a Hde r". Del ejemplo del párrafo 11, S = 2t2 + 6t, se puede escribirtambién

F(t)=2t2+6t,

en donde

s = F (t)

Ya que sabemos lo que significa en forma abstracta una función, discu-támosla utilizando las gráficas.

Pase a la sección siguiente párrafo 14.

Sección 2.

14

GRAFICAS

Gráficas 19

eje y

15

Si sabe graficar funciones, brínquese hasta el párrafo 19. Si no sabe,entonces,

Pase a 15.

Una manera muy conveniente para representar una función definidapor y = f (x) es trazar una gráfica. Para ello recordemos como se construyeun sistema de ejes coordenados. Primero trazamos un par de líneas per-pendiculares entre sí y consideramos una de las líneas para el desplaza-miento vertical y la otra para el desplazamiento horizontal. La línea hori-zontal se llama comúnmente eje horizontal o eje x, y la línea vertical ejevertical o eje y. El punto de intersección se llama origen y los ejes se deno-minan ejes coordenados.

10

5

eje %

-4 -3 -2 -1 O 2 3 4

-5

-10

Fig. 1

A continuación escojamos una unidad de longitud apropiada y colo-cando el cero en el origen, marcamos una escala numérica sobre el eje x,positiva hacia la derecha y negativa hacia la izquierda. Del mismo modomarcamos una escala sobre el eje y, positiva hacia arriba y negativa haciaabajo. La escala sobre el eje y no necesita ser igual a la escala sobre el ejex. De hecho, y y x pueden tener unidades distintas, tal como distancia ytiempo.

Pase a 16.

20 Preliminar

16

ejey

IIP

1--------1(;;,b)b 1

a ~:

B

Podemos representar un par de valores específicos asociados por lafunción de la manera siguiente: sean, a un cierto valor particular de la va-riable independiente x, y b el valor correspondiente para y = f (x). Asíb = f(a). Sobre el eje x localizamos el punto que corresponde a el nú-mero a, usando nuestra escala numé-rica. Este punto se muestra en lafigura por el punto A. Sobre el ejey localizamos el punto correspon-diente al número b, que se indica enla figura por el punto B.

Aeje x

Una vez hecho esto, trazamos Fig. 2.perpendiculares a los ejes que pasenpor los puntos A y B. El punto P donde las perpendiculares se intersectan,representa el par de valores (a, b) para x y y respectivamente.

El número a se Bama comúnmente el valor x de P o su abscisa y elnúmero b se Barna el valor y de P o su ordenada. En la designación comúnde un punto mediante la notación (x, y), siempre se pone primero dentrodel paréntesis la abscisa x, luego la coma y después la ordenada y.

Como un repaso para la terminología anterior, encierre en un círculolas respuestas correctas. Para el punto designado por (5, - 3) :

La abscisa esLa ordenada es

[-5 I -3[-5 I -3

3 I 5]3 I 5]

(Recuerde que la respuesta para las pregun-tas de varias soluciones posibles se da en laparte de abajo de la página siguiente. Com-pruebe siempre sus respuestas antes de seguiradelante).

Pase a 17.

17

18

Gráficas 21

La forma más apropiada de trazar la gráfica de una función y = f(x)es haciendo una tabla de valores convenientes de x y los correspondientesde y = f(x). Entonces cada par de valores (x,y), puede representarse porun punto en un sistema de ejes coordenados. La gráfica de la función seobtiene uniendo los puntos por una curva continua. Por supuesto, los pun-tos sobre la curva pueden tener únicamente valores aproximados. Si sequiere un trazo más exacto, debemos ser cuidadosos y usar muchos puntos.(Si no se necesita exactitud, un trazo imperfecto es suficiente para muchasaplicaciones. )

Pase a 18.

Como ejemplo, aquí tenemos la gráfi-ca de la función y = 3x2. La tabla con losvalores de x y y está a la izquierda y lospuntos correspondientes están marcadossobre la gráfica.

x

-3-2-1

O123

y

27123O3

1227

eje y

Fig. 3

eje x

Como ejercicio, encierre dentro de un círculo, el par de coordenadascorrespondientes al punto P de la figura.

[(3,27) I (27,3) I ninguno de ésos}

Compruebe su respuesta. Si acertó, pase a 19. Si no, estudie el párrafo16 otra vez y después pase a 19.

Respuestas: (16) 5, -3

22 Preliminar

19

Aquí tenemos una función muy especial. Posiblemente no la haya vistoantes. La función se llama función constante y asocia un número fijo, e,con todos los valores de la variable independiente x. Por tanto, tenemosf(x) = c.

Esta es una función muy particular, ya que el valor de la variable de-pendiente es el mismo para todos los valores de la variable independiente.No obstante, la relación f(x) = e asocia exactamente un valor de f(x)para cada valor de x como se requiere en la definición de función. Lo quepasa es que todos los valores de f(x) son los mismos.

Convénzase de que la gráfica de la función constante y = f(x) = 3 esuna línea recta paralela al eje x, que pasa por el punto (0,3), como seve en la figura.

ejey

4

----32

1

-4-3 -2-1-1

-2-3

(0,3)

1 2 3 4eje x

Fig. 4

Respuestas: (18) (3,27).

Pase a 20.

20

21

Gráficas 23

Otra función simple es la función valor absoluto. El valor absoluto de xse indica por el símbolo Ixl. El valor absoluto de un número x, determinasu tamaño o magnitud, sin hacer caso de ~u signo. Por tanto,

I -3 I = I 3 I = 3.Definamos ahora Ixl en términos generales. Pero recordemos antes los

símbolos de desigualdad:

a>b significa a es mayor que b.a'2b significa a es mayor o igual que b.a<b significa a es menor que b.a5:.b significa a es menor o igual queb.

Con esta notación podemos definir la función valor absoluto, IxI. me-diante las dos reglas que siguen:

Ixl = x, si x '2 O= -x, si x < O.

Pase a 21.

Una manera de observar el comportamiento de una función es graficán-dola. Como ejercicio, trace la gráfica de la función y = Ixl en la figura deabajo.

eje y

54

32)

-5 -4 -3 -2 -) O ) 2 3 4 5---r-r-t1I I I I I Ieje r

Fig. 5

Para comprobar su respuesta pase a 22.

24 Preliminar

22La gráfica correcta para .Ixl es

y

-5 -4 -3 -2 -1 O

Fig. 6

2 3 4 5 x

Esto es evidente de la tabla de valores de x y y siguiente:

x y = Ixl-4 +4-2 +2

O O+2 +2+4 +4

Los puntos se trazan como se indicó en los párrafos 16 y 18 Y resultanlas líneas de la figura de arriba.

Con esta introducción sobre funciones y gráficas, trataremos de familia-rizamos con algunas funciones elementales que son muy importantes.

Estas funciones son: lineales, cuadráticas, trigonométricas, exponencia-les y logarítmicas.

Pase a la sección 3, párrafo 23.

Funciones Lineales y Cuadráticas 25

Sección 3. FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS

23

Una función definida por una ecuación de la forma y = mx + b, don-de m y b son constantes, se llama función lineal debido a que su gráficaes una línea recta. Esta es una función muy útil y sencilla, conviene quese familiarice usted con ella.

Si no es así, pase a 25.

ejer5

encierre dentro de un círculo la letra queidentifique la gráfica de

y = 3x - 3.[AIBje]

La respuesta correctaestá en la siguiente páginaen la parte de abajo. Si seequivocó o no está segurode su respuesta, pase a 24.

Fig. 7

Aquí tenemos un ejemplo:

ejey

24

La tabla de abajo contiene unos

Fig. 8

-5-4-3-2-1-1-2-3-4,

ejer

Pase a 25.

eje y

54321

x y

-2 -9-1 -6

O -31 O2 3

Se le dió la función y = 3 x - 3.cuantos valores de x y y.

Algunos de esos puntos se han mar-cado en la gráfica y se ha trazado unalínea recta a través de ellos. Esta rectaes la línea B de la figura del párrafo 23.

26 Preliminar

25Aquí tenemos la gráfica de una

ecuación lineal típiGl. Tomemos dospuntos cualesquiera sobre la línea(X2' )'2) y (xv )'1)' Se define la pen-diente de la línea en la forma si·guiente:

)'2- Y1pendiente = _X2 - Xl

ejey

eje x

Fig. 9

26

Si multiplicamos numerador y denominador de la expresión anteriorpor -1 nos damos cuenta de que la pendiente también es igual a(y¡ - )'2) / (X 1 - X2)' La idea de pendiente será muy importante másadelante, de tal manera que nos detendremos un poco para aprender algomás al respecto.

Pase a 26.

horizontal e %2-%1

Distancia

vertical= Y2-Y1

Si las escalas sobre el eje X y eleje)' son iguales, entonces la pen-diente es la razón de la distanciavertical a la distancia horizontalruando uno se mueve de un puntoa otro sobre la línea, considerandoque se toma el signo del segmentolineal como se hizo en el párrafo 25.Si la línea es vertical, la pendientees infinita (o mejor dicho indefini·da). Debe entenderse claramenteque la pendiente es la misma paracualesquiera dos puntos separadossobre la recta.

ejey

87

65

4

3(XhY¡)

2

1

o 567

Fig. 10

ejex

Pase a 27.

Respuesta: (23) B


27Si las escalas vertical y horizontal no son iguales, la pendiente tiene aún

la definición:

d'. distancia verticalpen lente = .,

distancia horizontal

15 20 ejex10eje x

pero ahora las distancias deben medirse usando las escalas apropiadas.

Por ejemplo, las dos figuras de abajo se parecen, pero las pendientesson muy diferentes. En la primera figura las escalas sobre los ejes soniguales, y la pendiente es 1/2. En la segunda figura la escala para y se hacambiado por un factor de 100, y la pendiente es entonces igual a 50.

~y ~y

10 1000

Fig. 11 Fig. 12

Ya que la pendiente es la razón de dos longitudes, la pendiente esun número sin dimensiones si las longitudes representan números sin di-mensiones. Sin embargo, si las variables tienen dimensiones, entonces lapendiente también tendrá dimensiones.

'Cil 50e~ 40E:S! 30~••• 20'üe 10~i5 00 ~ 1~ 2

Gasolina (litros)

En la figura se ha trazado la dis-tancia recorrida por un automóvilcontra la cantidad de gasolina con-sumida. Por lo tanto, la pendientetiene las unidades de kilómetros/li-tros (kilómetros por litro). ¿Cuál esla pendiente de la línea en la figura?

pendiente = [10 I 20 I 30 I 40] kilómetros/litros.

Si acertó, pase a 29.Si no, pase a 2R.

28 Preliminar

28

2

litro.

-;;¡-e 50~ 40-o~ 30

'"20'ü~ 10'l;;o 00 1~

Gasolina (litros)

30 kilómetros . ,_____ = 20 kl10metros por3/2 litros

(40 - 10) kilómetros

(2 - 1/2) litros

Para encontrar el valor de lapendiente necesitamos conocer lascoordenadas de dos puntos sobre lalínea. Por ejemplo, el punto A tienepor coordenadas (2 litros, 40 kiló-metros) y el punto B tiene por coor-denadas (1/2 litro, 10 kilómetros).Por lo tanto, la pendiente es

Claro que hubiéramos obtenido el mismo valor de la pendiente, cuales-quiera que fueran los puntos escogidos, ya que la razón de la distanciavertical a la distancia horizontal, es la misma en cualquier pacte de la recta.

Pase a 29.

29

Hay otra manera de encontrar la pendiente de una línea recta, si seconoce su ecuación. Nuestra ecuación lineal es de la forma y = mx + b.

La pendiente está dada por

Y2 - Ylpendiente = o

X2 -Xl

Substituyendo en la expresión de la tangente el valor de y, tenemos pen-

diente = mx? + b - (mXl + b) = mX2 - mXl _ m(X2 - Xl) = ID.

¿Cuál es la pendiente de la recta y = 7x - 5?

[5/7 I 7/5 I -5 I -7 I 5 I 7J

Si acertó, pase a 31.si no, pase a 30.

Respuesta: (27) 20 kilómetros/litro.


30

La ecuaCIon y = 7x - 5 puede escribirse en la forma normaly = mx + b si m = 7 Y b = -5. Ya que la pendiente = m, la líneatiene una pendiente igual a 7.

Pase a 31.

31

La pendiente de una línea puede ser: pOSItiva (mayor que O), nega-tiva (menor que O) ó O. En la figura están trazados ejemplos de cada caso.

y y y

% %

a) pendiente positiva b) pendiente negativa

Fig. 15c) pendiente cero

x

Nótese que una línea con pendiente positiva, se levanta a medida queuno la recorre de izquierda a derecha, mientras que una línea con pendientenegativa, baja si se recorre de izquierda a derecha.

Diga si la pendiente de la gráfica de cada una de las ecuaciones si-guientes es: positiva, negativa o cero, encerrando dentro de un círculo surespuesta.

Ecuación Pendiente

1) y = 2x - 5 [+ 1- I OJ2) Y = - 3x [+ 1 - I OJ3) p=q-2 [+ 1- 10J4) y=4 [+ I - I OJ

Si contestó todas bien, pase a 33. Si tiene algún error, pase a 32.

Respuesta: (29) 7

30 Preliminar

32Esta es la explicación para las preguntas del párrafo 31.

En el párrafo 29 vimos que si escribíamos la ecuación lineal en su formanormal y = mx + b, la pendiente es igual a m.

1) y =2x- 5. Tenemos m= 2 Y la pendiente es 2. Se ve que esun número positivo. Vea la figura 16a.

2) Y = - 3x. Aquí se tiene m = - 3. La pendiente es - 3, que es unnúmero negativo. Vea la figura 16b.

3) P = q - 2. En esta ecuación las variables son p y q, en lugar dex y y. Por lo tanto, la forma normal queda p = mq + b. Enton-

ces m = 1, que es un número positivo. Vea la figura 16c.

4) y = 4. Este es un ejemplo de una función constante. En él, m = OY b = 4, por lo tanto, la pendiente es cero. Vea la figura 16d.

-;4.-~. -,L;q -;i;.~ .5'~~t\"5.~ '5'~Pendiente

positiva

(a)

y = 2x - 5

Pendientenegativa

(b)

Y = - 3x

Fig. 16

Pendientepositiva

(e)

p=q-2

Pendientecero

(el)

y=4

Pase a 33.

Respuesta: (31) +, -, +, O

33

En este ejemplo, tene-mos una ecuación lineal,cuya pendiente tiene unsignificado conocido. Lagráfica da la posición, S,de un automóvil a distin-tos tiempos, sobre una ca-rretera recta. La posiciónS = O, indica el automóvilen el punto de partida.


40-¡;;-.§Q)

E-o~ 20

V)

Figura 17

34

Usted está en condiciones de saber que palabra escribir en el espacioen blanco de abajo.

La pendiente de la línea, tiene el mismo valor que la ------del automóvil.

Para la respriesta correcta, pase a 34.

La pendiente de la línea tiene el mismo valor que la velocidad delautomóvil (o SIl velocidad).

La razón de ello es que la pendiente está dada por la relación de ladistancia recorrida al tiempo empleado en recorrerla. Por definición, lavelocidad es también la distancia recorrida entre el tiempo. Por lo tanto,el valor de la pendiente de la línea es igual a la velocidad.

Pase a 35.

32 Preliminar

35Ahora veamos otro tipo de ecuaClon. Una ecuaClon de la forma

y = ax2 + bx + e, donde a, b, y e son constantes, se llama ecuación CIIa-drátiea y su gráfica se llama parábola. Dos parábolas típicas se muestranen la figura. Los valores de x para)' = 0, dados por Xl y X2, correspondena valores de x que satisfacen la ecuación ax2 + bx + e = ° y se llamanlas raíees de la ecuación. Están indicadas en la figura 18a. No todas lasecuaciones cuadráticas tienen raíces reales, por ejemplo, la gráfica 18b.,representa una ecuación que no tiene valores reales de x, para y = O.

36

eje y

eje x

Fig. 18

eje y

(b)

eje"

Pase a 36.

Aunque no vamos a necesitar encontrar las raíces de ecuaciones cua-dráticas más adelante, quizá quiera usted saber la fórmula que se usa. Siasí es, pase al párrafo 37, si no, pase hasta el 39.

37


La ecuación ax2 + bx + e = O tiene dos raíces que están dadas por

-b +..,¡ b2 -4acxl=-------

2a

-b - ..,¡ b2 -4acx2=-------

2a

Los subíndices 1 y 2 sirven para identificar las dos raíces. Pueden supri-mirse y las dos fórmulas se convierten en

-b ± ..,¡ b2 -4acx=-------

2a

No se hará la demostración de esos resultados, ya que pueden com-probarse, substituyendo los valores de x encontrados, en la ecuación ori-ginal.

Aquí tenemos un ejercicio para encontrar las raíces: ¿Cuál de lasrespuestas da las raíces correctas de la ecuación 3x - 2x2 = 1?

b) -1;

d) 1; 12

14

12

Encierre dentro de un círculo, la letra de la respuesta correcta.

[a lb le I dJSi acert6, pase a 39.

Si no, pase a 38.

X¡=

34 Preliminar

38

Esta es la solución al problema del párrafo 37.

La ecuación 3x - 2x2 = 1puede escribirse en la forma

2x2- 3x + 1= o.

En donde, a = 2, b = - 3, e = 1.

x = ~ [- b ± V b2 - 4ac ] = !-- [ - (- 3) ± V 32- 4 x 2 xl]2a 41-(3±l)4

1-x4=14

1 1x2=-x2=-

4 2

Pase a 39.

39Con esto terminamos nuestra breve discusión sobre funciones lineales

y cuadráticas. Si quiere hacer algunos ejercicios de estas funciones antesde seguir adelante, trate de resolver los problemas de repaso, del 1 al 5,que están al final del libro. En el capítulo IV hay un resumen de todolo visto hasta aquí, que le será muy útil.

Cuando esté listo para seguirpase, a la sección 4, párrafo 40.

Respuesta: (37) d

Sección 4.

40

TRIGONOMETRIA

Trigonometría 35

La trigonometría trata sobre los ángulos, por ello haremos un repasorápido de las unidades que se usan para medidos. Hay dos unidadesimportantes: grados y radianes.

Fig.20

Grados: Un círculo se divide en 360 ángulos igua-les, cada uno de esos ángulos es 10 (un grado).(Cada grado está además subdividido en 60 mi-nutos [60'], Y cada minuto en 60 segundos [60"].Nosotros no usaremos estas subdivisiones.) De loanterior se ve que un semicírculo tiene 180 grados.¿Cuál de los siguientes ángulos es igual al ángulo() (letra griega teta), indicado en la figura?

41

Si acertó pase a 42.Si no, pase a 41.

Para encontrar el ángulo O, veamos primero un

El ángulo de la figura es un ángulo recto. Yaque en un círculo hay cuatro ángulos rectos, en-tonces, este ángulo es igual a

El ángulo O, del párrafo 40, es exactamentela mitad de un recto, por lo tanto es de 45°.

Aquí tenemos un círculo dividido en segmen-tos iguales por tres líneas. ¿Cuál de los ángulosindicados es igual a 2400?

[a I b I eJ

ejemplo.

LFig. 21

Pase a 42.

36 Preliminar

42La segunda unidad angular de medida y la que más utilizaremos pos-

teriormente, es e! radián.

Fig. 22

Para encontrar e! valor de un ángulo en radia-nes, tracemos una circunferencia de radio r, concentro sobre el vértice O, del ángulo, de tal mane-ra que los lados de dicho ángulo, corten a la cir-cunferencia en dos puntos, indicados en la figurapor A y B. La longitud de! arco entre A y B la lla-maremos s. Entonces,

s longitud de arco() (en radianes) =- = d'r ra 10

Para ver si entendió lo anterior, conteste esta pregunta: Un círculotiene 360 grados. ¿Cuántos radianes tiene?

43

[1 I 2 I TT I 2TT I 360/TTJSi acertó, pase a 44.

Si no, pase a 43.

La circunferencia de un círculo está dada por c = 271"r.La longitudde un arco que comprenda todo e! círculo, es 271"r,y el ángulo comprendidopor ese arco es de 271"r/r = 271"radianes, como se indica en la figura 23a.En la figura 23b., el ángulo subtiende un arco s = r. Encierre dentro deun círculo la respuesta que dé el valor de teta ().

[1 rad I 14 rad I Y2 rad I 71"rad I ninguno de éstos]

Fig.23

(a) (h) Pase a 44.

Respuesta: (40) 45°; (41) c

Trigonometría 37

44Debido a que muchas de las fórmulas que usaremos posteriormente,

son mucho más simples cuando los ángulos se miden en radianes, obser-varemos la regla de que todos los ángulos estarán dados en radianes, amenos que se les especifique en grados.

Algunas veces la palabra radián se escribirá completa, otras, estaráabreviada como rad, pero la mayoría de las veces no se pondrá. Así,8 = 0.6 significa 0.6 radianes; 27° significa 27 grados; 7f/3 rad significa7r/3 radianes.

Pase a 45.

45

Ya que 27Trad = 360°, la fórmula para convertir radianes a grados es

360°1rad =--

2"71"

y27T rad1 grado =__

360

Con esto, está en condiciones de hacer los problemas siguientes (encie-rre dentro de un círculo la respuesta correcta):

60° = [2 TT/3 I TT/3 1 TT/4 I TT/6Jrad

TT/8 = [22 1/2° I 45° I 60° I 900J

¿Cuál de losl ángulos siguientes es el más cercano a 1 rad?Recuerde que 7T = 3.14 ... )

Si contestó todo bien, pase a 47.Si cometió errores, pase a 46.

Respuestas: (42) 27f

(43) 1 rad

38 Preliminar

46

Fig. 24

17 17 3600 3600 1°-rad =- x --=-- = 22-.8 8 217 16 2

360°1 rad = --o Ya que 277" es ligeramente

271"

mayor que 6, 1 rad, es ligeramente menor360°

que -6- = 60°. (Realmente, 1 rad = 57°

18'.) En la figura se muestran todos los án-gulos de los problemas.

Estas son las soluciones a los problemas del párrafo 45. De las fórmu-las qu(' se vieron en él, es fácil ver que

600 =60 x 217rad=217rad=!!. rad360 6 3

Pase a 47.

47

En el círculo de la figura 25 CG es perpen-dicular a AEarco AB = arco BC = arco AHarco AD = arco DF = arco FA(arco AB significa la longitud del arco a lo largodel círculo, entre A y B, por el camino más corto)

Designaremos ángulo por tres letras, como en elejemplo: L AOB (se lee "ángulo AOBJ})

Usted debe ser capaz de resolver los siguientes problemas:

L AOD = [600 I 90° I 1200 I 1500 I 1800J

L FOH = [150 I 300 I 450 I 600 I 750\ 900J

LBOH = [1/4 I 1 \17/2 117/4 \ 17/8J

\Si los resolvió bien todos, pase a 49.

Si cometió algún error, pase a 48.

Respuestas: (45) 7r/3, 22V2°, 600

Trigonometría 39

48

Estudiando la figura del párrafo anterior, y las definiciones de lospárrafos 40 y 42 se dará cuenta cual fue su error al contestar las pregun-tas del párrafo 47. Una vez hecho esto, trate de resolver los siguientesproblemas.

90° [217 I 17/6 I 17/2 I 17/8 I 1/4]

49

17/6Pase a 49.

Revisemos ahora las funciones trigonométricas. Una de sus aplica-ciones es la de relacionar los lados de los triángulos, especialmente triángu-los rectángulos, y sus ángulos. Pronto daremos una l.igera aplicación. Sinembargo, aquí mismo definiremos las funciones trigonométricas en unamanera más útil y más general.

ejey

Fig. 26

eje x

En la figura el círculo de radio r, tie-ne su centro en el origen de los ejes coor-denados. Escogeremos el sentido positivodel eje de las equis, como línea de refe-rencia, a partir de la cual diremos losángulos, en los ejercicios de esta sección.Un ángulo formado girando en sentidocontrario al de las manecillas del reloj, loconsideraremos positivo, un ángulo for-mado en sentido de las agujas del relojlo consideraremos negativo. En la figurael ángulo A es positivo y el B negativo.

Pase a 50.

Respuesta: (47) 120°, 75°, -rr/2

40 Preliminar

50¿Recuerda las definicion(ls generales

de las funciones trigonométricas de un án-gulo ()? Si es así, entonces conteste laspreguntas de abajo. Si no lo recuerda, pa-se al párrafo 51.

las funciones trigonométricas de 6pueden expresarse en términos de las coor-denadas x y )', y el radio del círculor = Vx2 + )'2. la relación entre ellosse indica en la figura. llene los espaciosen blanco (las respuestas están en el pá-rrafo 51):sen e = eot e =

eje y

Fig. 27

eje x

eos e = ---------tan e = ---------

see e = ---------ese e = ---------

Pase al párrafo 51 paracomprobar las respuestas.

Respuestas: (48) 7(/2, 540°, 30°

51

Trigonometría 41

Estas son las definiciones de lasfunciones trigonométricas.

yseno: sen ()=-

r

xcoseno: cos ()= -

r

ytangente: tan ()= -

x

xcotangente: cot ()= l/tan ()=-

y

rsecante: sec ()= l/cos ()=-

x

rcosecante: csc ()= l/sen ()=-

y

ejey

Fig. 28

eje x

52

Para el ángulo de la fiígura, x es negativo y y es positivo (r = V x2 + y2es siempre positivo), de tal manera que el cos (), la tangente (), la co-tangente (), y la sec de () son negativos.

Después de que haya estudiadolas funciones, pase a 52.

En la figura, el radio del círculo es iguala 5. El punto que se muestra es (-3, -4).Haciendo uso de las definiciones del párrafoanterior conteste lo siguiente:

sen e = 0/5 I 5/3 I 3/4 I -4/5 I -3/5 1 4/3]

cos e = 0/5 1 5/3 I 3/4 1 -4/5 I -3/5 I 4/3J

tan e = 0/5 I 5/3 I 3/4 I -4/5 I -3/5 1 4/3J

Fig. 29

Si contestó todo bien, pase a 55.Si no, pase a 53.

42 Preliminar

53Posiblemente haya tenido dificultades, si no se ha dado cuenta de que

x y y tienen diferentes signos en los distintos cuadrantes (cuartos decírculo), mientras que el radio r, siempre es positivo. Veamos este pro-blema.

Fig. 30

Diga si las funciones indicadas son positivas o negativas, para cadacaso, marcando el cuadro correspondiente.

A B e+ + +

sen e E§cos etan e

Fig. 31

54

Vea en el párrafo 54 las respuestas correctas.

Estas son las respuestas a las preguntas del párrafo anterior.A R e

+senemcos e vtan e v

+

Fig. 32

+

Pase a 55.

Respuestas: (52) -4/5, -3/5, 4/3

55

Trigonometría 43

56

En la figura se muestran los ángulos O y -O.Las funciones trigonométricas de estos dos ángu-los tienen relaciones sencillas entre sí. ¿Puede ha-cer estos problemas? Encierre dentro de un círculoel signo correcto.

sen (-O) = [+ I -J sen O

cos (-O) = [+ I -J cos O

tan (-O) = [+ I -J tan O Fig. 33

Pase a 56.

Hay muchas relaciones entre las funciones trigonométricas. Por ejem-plo, usando x2 + y2 = r2, tenemos

Trate de resolver lo siguiente:

1) sen2 0+ cos2 0= [sec2 0111 tan2 01 cot2 OJ

2) 1+ tan 2 O = [1 I tan 2 O I cot 2 O I sec 2 OJ Fig. 34

Si tiene errores, pase a 57.Si no, pase a 58.

44 Preliminar

57Estas son las soluciones a los problemas del párrafo 56.

Es una identidad importante que se debe aprender bien.

(2) 1 + tan2 () = 1 + ~= eos2() + sen

2() = __1_= see2().

eos 2() eos 2() eos 2()

Pase a J8.

58

Fig. 35

Las funciones trigonométricas son muy útiles cuando se aplican ala solución de triángulos rectángulos (triángulos con un ángulo recto). Eneste caso O siempre es agudo (menor de 90° ó 7r/2). Con esto, usted podráescribir las funciones trigonométricas en términos de los lados a, b y e deltriángulo de la figura. Llene los espacios en blanco.

sen () = _

eos () = _

tan () = _

eot () = _

see () = _

ese () =

Compruebe sus respuestas en 59.

Respuestas: (55) +, -; (56) 1, sec20, 1 -2 cos20

Trigonometría 45

59a cateto opuesto

sen ()---- e - hipotenusa

b cateto adyacentecos ()---

- e - hipotenusa

a cateto opuestotan ()---

- b - cateto adyacente

cotb cateto adyacente

()---- -a cateto opuesto

e hipotenusa Fig. 36sec ()--- -

- b - cateto adyacente

esee hipotenusa

()---- -a cateto opuesto.

Si no conoce los términos: cateto opuesto, cateto adyacente e hipote-nusa, su significado se aprecia claramente de la figura.

Pase a 60.

60

Los siguientes problemas se refieren a la figura. (<p es la lerta griega"fi") .

Fig. 37

cos () = [b/e I a/c I cla I e/b I b/a I a/b]

tan ep = [b/e I a/c I e/a I clb I b/a I a/b]

Si contest6 bien, pase a 62.Si cometi6 errores, pase a 61.

Estos resultados provienen de las definiciones del párrafo 51, con talque a, b y e correspondan respectivamente a y, x y r. (Recuerde que aquí() es menor que 90°.)

46 Preliminar

61

Posiblemente se haya confundido debido a que el triángulo se cambióde posición. Repase las definiciones del párrafo 51 y resuelva los proble-mas siguientes:

sen e = [fIn I ni! I mln I mi! Inlm ll/mJ

tan c/>= [fIn I ni! I mln I mi! Inlm ll/mJ

Fig. 38

Si cometió algún error, debe tratar de aprender mejor las definiciones.Desgraciadamente, con las definiciom:s no se puede hacer cosa que estu-diarIas y aprenderIas de memoria.

Mientras tanto, pase a 62.

62Usted debe conocer los triángulm rectángulos con ángulos de 45° y

30°-60°, cuyos lados son proporcionales a los números marcados en lafigura.

-§fi.]l~

Resuelva estos problemas:

cos 45° = D/2 11/l21 2viTI 2J

sen 30° = D I y3/2 I 213 11/2J

sen 45° = D/2 I 1/y2 I 2y2 I 2J

tan 30° = D I y311/yTI 2J

Asegtírese de que los entendió,después, pase a 63.

Respuesta: (60) blc, bla

Trigonometría 47

63

Ya que el ángulo 2-,r+ B es equivalentea B como se ve en la figura, podemos agregar2-,ra cualquier ángulo sin cambiar el valor desus funciones trigonométricas. Como las fun-ciones seno y coseno repiten sus valores cadavez que B aumenta su valor en 2-,r, decimosque son funciones periódicas en B con un pe-riódo igual a 2-,r. Las funciones tangente ycotangente de B también son periódicas, perosu período es igual a -,r.

Fig. 40

Pase a 64.

64Pronto conocerá las gráficas de las funciones trigonométricas. Por ejem-

plo, esta gráfica representa la función sen B.

sen 11

Fig.41

8

Pase a 65.

Respuestas: (61) l/n, mil(62) 1/yT: 1/2, 1/V2, 1/V3

d e

o

f

66

Fig.42

Encuentre la gráfica que representa la función indicada.

cos e: [a 1 b I cid I e 1 f 1 ninguno de éstosJ

tan e: [a I b I cid I e I f I ninguno de éstosJ

sen (-e): [a I b I cid 1 e I f I ninguno de éstosJ

tan (-e): [a 1 b I cid I e I f I ninguno de éstosJ


Conociendo los valores de las funciones trigonométricas en algunospuntos importantes les será más fácil identificarlas. Resuelva lo siguiente(00 es el símbolo de infinito) :

sen (0°)= [O 111-11-00 I +ooJ

cos (90°)= [O 111-11-00 I +ooJ

tan (45°)= [O 111-11-00 I +ooJPase a 67.

Trigonometría 49

67

Es muy útil conocer el seno y el coseno dela suma y la diferencia de dos ángulos.

¿Recuerda las fórmulas que estudió en trigo-nometría? Si no, pase a 68. Si las recuerda,trate de resolver las preguntas que siguen:sen «(J + 'P) =

cos «(J + 'P) =

Fig. 43

Pase al párrafo 68 para verla respttesta correcta

68

Estas son las fórmulas pedidas. En el apéndice A 1 está la forma enque se obtienen.

sen (O + 1J) = sen O cos 1J + cos Osen 1J

cos (O + 1J) = cos O cos 1J - sen Osen 1J

(Observe que tan «(J + cf» Y cot «(J + cf» pueden obtenerse de lasfórmulas anteriores, sabiendo que tan (J = sen (J/ cos (J.).

Utilizando lo que ha aprendido hasta aquí, encierre dentro de uncírculo el signo correcto en las expresiones siguientes:

(a) sen ce - 1J) = [+ I -J sen O cos 1J [+ I -J cos O sen1J

(b) cos ce - 1J) = [+ I -J cos O cos 1J [+ I -J sen O sen1J

Si acertó, pase a 70.Si no, pase a 69.

Respuestas: (65) b, e, di ninguno de éstos(66) O, O, 1

50 Preliminar

69

Si tuvo algún error al resolver el ejercicio en el párrafo 68, debe re-cordar que de acuerdo con lo visto en el párrafo 55:

sen (-ep) = - sen (ep)Por lo tanto cos (-ep) = + cos (ep)

sen (O - e/» = sen (O) cos (- e/» + cos (O) sen (-e/»= sen (O) cos ( e/> ) - cos (O) sen ( e/> )

cos (O - e/» = cos (O) cos (-e/» - sen (O) sen(-e/»= cos (O) cos ( e/> ) + sen (O) sen ( e/> )

Pase a 70.

70Mediante el uso de las relaciones para sen (() + ep) y cos (() + ep) po-

demos obtener las fórmulas para sen 2() y cos 2(). Unicamente ponemos()= ep. Resuelva lo siguiente:

seo 2() =cos 2() =

Pase a 71 para ver larespuesta correcta.

71

sen 20 = 2 sen O cos O

Pase a 72.

Respuesta: (68a) +, -; (68b) +, +

72

73

Trigonometría 51

Freruentemente es conveniente usar la función trigo no métrica inversa,la cual designa el ángulo para el que la función trigonométrica tiene unvalor dado. Así, la función trigonométrica inversa de y = sen () es ()=angsen y, que se lee "ángulo seno de y" y significa el ángulo cuyo senoes y. El angcos y, angtan y, etc., se definen en forma análoga. Resuelvaeste problema.

Angsen (1/2) =

Pase al párrafo 73 paraver la respuesta correcta.

Angnsen (1/2) = 30°, ya que sen (30°) = 1/2 (según 62) yangseny se definió como el ángulo cuyo seno es y.

Pasemos ahora a la próxima sección, que es la última de nuestro repaso.

Pase al párrafo 74.

52 Preliminar

Sección 5.

74

LOGARITMOS y EXPONENCIALES

¿Ha trabajado con exponenciales anteriormente? Si no, pase a 75. Siya lo ha hecho, trate de resolver lo siguiente.

aS = Da I 5 lag a I a lag 5 ¡ninguno de ésto~

a o = [O I 1 I a ¡ninguno de ésto]

(ab)C = [ab x aC I a(b+c) I a(bc) Ininguno de ést~

Si tuvo errores, pase a 75.Si no, pase a 76.

75

Por definición a"' es el producto de In factores iguales a a. De aquí que,

23 = 2 X 2 X 2 =8, Y 102 = 10 X 10 = 100.

Además, por definición a--'" = l/a"'.

De lo anterior, es fácil ver que:

a o = am / am = 1 (m puede ser cualquier entero)

Pase a 76.

Logaritmos y Exponenciales 53

76


3 2 = [6 I 8 I 9 Ininguno de ésto]

13= [1 I 3 I 1/3 I ninguno de ésto]

r 3 = [-6 I 1/8 I -9 I ninguno de ésto]

Si resolvió todo bien, pase a 78.Si no, pase a 77.

77

A continuación están las soluciones a los problemas del párrafo 76,Debe repasar las reglas dadas en el párrafo 75 si no entendió los problemas.

13 = 1 x 1 x 1 = 1 (1m = 1 para cualquier m)

Trate de resolver estos:

43 = [12 I 16 1 26 I ninguno de ésto~

Compruebe sus respuestas y fíjese si no tiene errores, después pasea 78.

Respuestas: (74) ninguno de éstos. ab X aC, a(f--g), 1, a(bc)

54 Preliminar

78

Aquí tenemos más problemas.

10o = [O I 1 I 10J

10- 1 = [-1 I 1 I O.1J

.00003 = [1/3 x 10-3 I 10-3 I 3 x 10-5]

0.4 x 10-4 = [4 X 10-5 I 4 x 10- 3 I 2.5 x 10-5]

3 x 10-7

= [1/2 X 1010 I 5 X 104 10.5 x 10-"]6 x 10-3


79Estas son las soluciones para los problemas del párrafo 78.

100 = 1 (xo = 1, Para cualquier número, excepto O)

10-1 = 1/10 = 0.1

.00003 = .00001 x 3 = 3 X 10-5

0.4 X 10-4 = (4 X 10-1) x 10-4 = 4 X 10-5

3 X 10-7

_ 2 X 10-7 =.!. x 10(-7+3) = 0.5 x 10-4

6xlO-3 6 10-3 2

Pase a 80.

Respuestas: (76) 9, 1, 1/8, 16-1(77) 3-9, (5/3)2, 26


80

Hagamos un breve repaso de los exponentes fraccionarios. Si bn = a,entonces b se llama la raíz enésima de a y se escribe b = al/no De aquí161/4 = (raíz cuarta de 16) = 2. Esto es, 24 = 16.

Si Y = am/n, donde m y n son enteros, se puede escribir y = [al/n]m.Por ejemplo:

Resuelva este problema:

2r 2/3 = [1/18 I 1/81 I 1/9 I -18 I niguno de ésto~


81

1 - 3/ 2 1 - 3Para comprobar esto, recuerde que ["9] = ["3] = 27.

Aquí está otro problema:

163/4 = [12 I 8 I 6 I 6{]

Pase a 82.

82 Resuelva estos problemas:

253/2= [125 I 5 I 15 I ninguno de ésto~

(.00000-3/5= ['00111000 110-15/10-25]

8-4/3= [1/6 I 16 I 1/8 I 1/16]

Si resolvió todos bien, pase a 84.Si no, pase a 83.

Respuestas: (78) 1,0.1,3 X 10-5,4 X 10-5,0.5 ,x 10-4

56 Preliminar

83

Estas son las soluciones a los problemas del párrafo 82:

[.00001]-3/5 = [10-5]-3/5 = 1015/5 = 103= 1000

8-4/3 = [8-1/3]4 = 0/2)4 = 1/16

Resuelva estos problemas: Encierre en un círculo la respuesta correcta.

[E X 10-6] 1/3 = 0/4001.2 x 10-2 I ~ x 10-"]64 16 64

[49 x 10-4] 1/4 = [y7/10 I (lO x 7)-2 I y7/1000]

Pase a 84 después de comprobarsus contestaciO/tes.

84

Aunque nuestra definición original de a1n era aplicable solamente paravalores enteros de m definimos también (a1n) l/n = a1n/n donde m y 11 eranenteros. De esa manera, tenemos ya el significado de aP, donde p puede serun entero o una fracción( razón de enteros). Todavía no sabemos comoencontrar el valor de aP si p es un número irracional, como por ejemplo,.". Ó "\f2. Sin embargo, podemos evitamos este problema en la siguienteforma. Podemos aproximamos al valor de un número irracional, tancerca como se desee, por medio de una fracción. Por ejemplo, 7T es aproxi-madamente igual a 314159/100000.Pero este número es de forma m/n,donde m y 11 son enteros y ya sabemos como hallar el valor de a1n/n. Porlo tanto, y = a" donde x es cualquier número real, es una expresión muysignificativa, ya que podemos encontrar su valor, con tanta exactitud comose qUiera.

Para ver si entendió esto, resuelva este problema:

Si acertó pase a 86.Si no, pase a 85.

Respuestas: (80) 1/9; (81) 8; (82) 125,1000,1/16


85

Las reglas dadas en el párrafo 75, las aplicaremos aquí, como si todoslos exponentes fueran enteros.

Aquí está este problema:

772 x 277 = D I (277)277 I 277(2+77) I ninguno de éstos)


86

71"2 X 2" es el producto de dos números diferentes con distintos expo-nentes. Ninguna de nuestras reglas se aplica en este caso y, de hecho, no sepuede simplificar esa expresión.

Pase a 87.

87Si no se acuerda muy bien de los logaritmos, pase a 88. Si los recuero

da, trate de hacer lo siguiente.

Sea x cualquier número positivo, y log x nos represente el log de xde base 10.

Entonces: 10logx = _

Pase a 88 para ver laresp¡¡esta correcta.

Respuestas: (83) 3/400, -.../7/10(84) a" +X -3

58 Preliminar

88

La respuesta al problema anterior es x; de hecho, el lag de x de base10 está definido por:

( 1OIop = X )

Esto es, el logaritmo de un número x es la potencia a la que hay queelevar el número 10, para obtener el número dado. Esta definición sólose aplica para x > o. Aquí tenemos dos ejemplos:

100= 10'2,así lag (100) = 2

.001= 10- 3, asi lag (.001) = - 3

Trate de hacer estos problemas:

log 0,000,000) = [1,000,000 I 6 I 60 I 600J

log (1) = [O I 1 I 10 I 100J

Si acertó, pase a 90.Si 110, pase a 89.

890,000,000) = log 106 = 6

(compruebe, 106 = 1,000,000)

lag 1 = log 10° = O(compruebe, 10° = 1)

Ya debe ser capaz de resolver lo siguiente:

log 004/10- 3) = [107 I 1 I la I 7 I 70J

log (la") = [IOn I n I la" I 10/nJ

log 00-") = [-IOn I -n I _10" I -1O/n]

Si tuvo alguna dificultad con estos problemas, debe repasar desdeel principio de esta sección. Asegúrese de que los entendió y pase a 90.

Respuestas: (85) ninguno de éstos.


90

Si recuerda como se manejan los logaritmos, trate de resolver estosproblemas, dOrr8e a y b son números positivos.

log (ab) = [log a x log b I log a + log b I a x log bJ

log (a/b) = Oog a/log b I - b x log a Ilog a - log bJ

91

log (an) = [n x log a I [log a]" I [log a] + nJSi acertó, pase a 92.

Si no, pase a 91.

Podemos obtener las reglas necesarias empleando la definición de logde x y las propiedades de los exponenciales. Recuerde que:

a = 10log a, b = 10log b.

Por tanto

Tomando fogarítmos de ambos miembros y sabiendo que log (10%) = xnos queda

log (ab) = log 10log a + log b = log a + log b.

Análogamente,

a/b = 10log a 10-log b = 10log a - log b

así log (a/b) = log a - log b.

También; a" = [lOlog a]" = 10" log a

y ¡log (a") = n x log a.

Pase a 92.

Respuestas: (88) 6, O; (89) 7, n, -n

60 Preliminar

92Resuelva estos problemas:

Si lag n = - 3, n = [1/3 I 1/300 I 1/1000J

10log100 = [1010 I 20 I 100 [ninguno de ésto~

_la_g_1_00_0= D/2 1 1 1 - 1 I 10Jlag 100

93


10log n = n, asi sí lag n = - 3, n = 10-3 = 1/1000.

Por la misma razón,

10log 100 = 100.

lag 1000

lag 100lag (103) 3lag (102) 2

94


1- lag (16) [2 I 4 I 8 I lag 2 I lag 4]2

lag [lag (10)] = [10 I 1 I O I -1 I - 10J

Pase a 94.

Aquí tenemos un problema con truco matemático. Necesita aplicar unartificio para resolverIo.

Si 1 + lag (n) = n, entonces n = [o I 1 I lOJ

Si no consiguió la respuesta, compruebe que la solución dada satisfacela ecuación.

Pase a 95.

Respuestas: (90) lag a + lag b, lag a -lag b, n X lag a

[r10g,x=x]

95

96


En esta sección solamente hemos discutido logaritmos de base 10. Sinembargo, cualquier número positivo puede usarse como base. Las basesdiferentes de 10, se indican generalmente por un subíndice. Por ejemplo,en log de 8 de base 2 se escribe log 28. Este log tiene el valor de 3 yaque 23 = 8. Si la base la representamos por r, entonces la ecuación quedefine log r x es

Todas las relaciones explicadas en el párrafo 91 de esta seCClon sonválidas para logaritmos de cualquier base (asegurándose que se use la mis-ma base para todos los logaritmos en cada ecuación).

Pase a 96.

Aquí termina nuestro repaso. Para hacer cálculos reales de funcionestrigonométricas y de logaritmos usted necesitará sus valores numéricos.Esas tablas se encuentran en muchos libros, por ejemplo: The Handbook ofChemistry and Physics (Chemical Rubber Publishing Co.) contiene lastablas necesarias y las instrucciones para usarIas.

Antes de seguir adelante hay varios aspectos de este libro que usteddebe conocer. El último capítulo, IV, contiene un resumen de los tresprimeros capítulos, de manera que puede repasar lo que ha aprendidosin necesidad de hacer todos los problemas. Vea este capítulo antes deseguir adelante si cree que le hace falta. Además, hay una lista de proble-mas de repaso que empieza en la página 285 con sus respuestas y ordena-dos por secciones. Estos problemas son para que los haga en caso de quequiera practicar más.

Tan pronto como esté listo,pase al capítulo II

Respuestas: (92) 1/1000, 100, 3/2(93) log 4, O(94) 1

1 Preliminar Curso Calculo Rapido

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