1

1. Regulador PID 1. Regulador PID ____________________________________________________1

1.1. Introducción ____________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Discretización ___________________________________________________________________________________________________________ 4

1.2.1. Operador Derivada ________________________________________________________________________________________________________________4 1.2.2. Discretización por Partes____________________________________________________________________________________________________________5

1.3. Efecto Windup___________________________________________________________________________________________________________ 6 1.4. Efecto Bumpless _________________________________________________________________________________________________________ 8 1.5. Ajuste del PID__________________________________________________________________________________________________________ 10

1.5.1. Relación entre ambos métodos:______________________________________________________________________________________________________12 1.5.2. Método de Asignación de Polos._____________________________________________________________________________________________________16 1.5.3. Realimentación con Relé___________________________________________________________________________________________________________21

1.6. Control con Modelo Interno (IMC)_________________________________________________________________________________________ 22 1.6.1. Paradigma de diseño para IMC ______________________________________________________________________________________________________28 1.6.2. Diseño de F _____________________________________________________________________________________________________________________30 1.6.3. Realización del Controlador IMC ____________________________________________________________________________________________________34 1.6.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden ________________________________________________________________________________________36

2

1.1. Introducción

El regulador más usado es el PID

di t

1 de(t)u(t) = K [ e(t) + e(s) ds + ]TdT

∫ (1.1)

La acción proporcional es el control por realimentación más simple Por ejemplo

AY(s) = U(s)1 + sT

(1.2)

Si se lo realimenta con un regulador P resulta K A K A

1 + s 1 + K AY(s) = R(s) = R(s)K A1 + 1 + s1 + s 1 + K A

ττ

τ

(1.3)

El segundo término de la ecuación (1.1) muestra que esta acción es proporcional a la integral del error.

3

Este factor dejará de integrar solo cuando el error sea nulo que es el objetivo buscado. El término D es utilizado para mejorar los transitorios del sistema y el comportamiento

frente a perturbaciones. En muchos controladores comerciales se hace una modificación a este aporte

definiéndolo como:

ddy(t)D = - K T dt

(1.4)

Otra modificación

1d

dd

sTsT sTN

≈+

(1.5)

con 3 20N ≈ , que limita el efecto en altas frecuencias En definitiva, el regulador resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

1d

di

sTU s K bR s Y s R s Y s Y ssTsTN

= − + − − +

(1.6)

4

1.2. Discretización

1.2.1. Operador Derivada

( )10

kd

k k j k kji

T T = K e e e e u T T −=

+ + −

∑ (1.7)

( )k-1

k-1 k-2j dk-1 p k-1 ij=0

= + e eu k e k e k + -

∑ (1.8)

( )k k-1 p k k-1 i k d k k-1 k-2 - = - + + - 2 + u u k e e k e k e e e (1.9)

( ) ( )k k-1 p i d k d k-1 d k-2 - = 1 + + - 1 + 2 + u u k k k e k e k e (1.10)

-1 -2

-1

U(z) + + z z = E(z) 1 - z

α β γ (1.11)

5

1.2.2. Discretización por Partes

( ) ( ) ( )( )P t K br t y t= − (1.12)

( ) ( ) ( )( )P kT K br kT y kT= − (1.13)

( )( ) ( ) ( )1i

KTI k T I kT e kTT

+ = + (1.14)

( )dd

dy tT dD D KTN dt dt

+ = − (1.15)

diferencia hacia atrás

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1d d

d d

T KT ND kT D k T y kT y kT NT T NT

= − − − −+ +

(1.16)

Esta aproximación es siempre estable y el polo derivativo tiende a cero con 0dT →

El control total es la suma de los tres términos

( ) ( ) ( ) ( )u kT P kT I kT D kT= + + (1.17)

6

1.3. Efecto Windup Antireset wind up. satura el término integral

u

KTds-y

es

u

K

K/Ti 1/s

Actuador

1

iT

-

+

+

+

e v

+

+

+

7

u

KTds-y

es

u

K

K/Ti 1/s

1

iT

-

+

+

+

e v

+

+

+

ActuadorModelo

8

1.4. Efecto Bumpless efecto Bumpless evita acciones bruscas de control al pasar de manual a automático.

Manual

u

PDy

es1

rT

-

+

e

+

r

Actuaciónmanual

1

rT1s

1s

1

rT

1

mT

Auto

-

Ilustración 1-1 Pid con Efecto Bumpless

9

( )k k k-1-1

k k k

= k + u e u1 - 1 - z

z - 1 + = k 1 + = k u e ez - 1 z - 1

αα

α α

(1.18)

( ) k

-1

k m-1

z = b u1 - 1 - z

αα

(1.19)

k k-1 k k-1

k m

= + - u u e e= en manualu u

α

(1.20)

10

1.5. Ajuste del PID Ziegler-Nichols (1942) en frecuencia

Controlador

Kp Ti Td

P 0,5 cK

PI 0,45 cK 0,833 ct

PID 0,6 cK 0,5 ct 0,125 ct Tabla 5-II Regulador PID en cadena cerrada

amortiguamiento ¼

11

Ziegler-Nichols de lazo abierto

Ilustración 1-2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto

Controlador

Kp Ti Td

P 1a

PI 0,9a 3L

PID 1,2a 2L 0,5L

Tabla 5-II Regulador PID en cadena abierta

12

Estos valores se obtienen de los de la 1ª regla haciendo

c

c

2K a

= 4 Lt

= (1.21)

El criterio de optimización es el mismo que para la 1ª regla.

1.5.1. Relación entre ambos métodos:

-sTbG(s) = es (1.22)

respuesta al escalón: L = T

a = bT (1.23)

de acuerdo a la segunda tabla el regulador PID será

i d1.2 TK = = 2T = T TbT 2

(1.24)

método de respuesta en frecuencia

13

c

c

= 4Tt

= k 2bTπ (1.25)

De acuerdo a esto, el regulador PID será:

i d0.6 0.94 TK = = 2T = T T2bT bT 2

π≈ (1.26)

14

- Interpretación

( )

dr c c cic

cc c

c c

c

1(i ) = 0.6 1 + j - G k TT

2 2t = 0.6 1 + j 0.12 - k t2t t

= 0.6 + 0.26 j k

ω ωω

ππ

(1.27)

es un avance de 23

- Generalización sea la función de transferencia en lazo abierto

pj( + )pp(j ) = G er π φω (1.28)

queremos ubicar esta respuesta a una determinada frecuencia en un punto sj( + )

sB = er π φ (1.29)

mediante un regulador rj

rr(j ) = G er φω (1.30)

15

Podríamos hacer el diseño por el método de margen de amplitud es decir que para Φs= 0 la amplitud sea rs= 1 / Am siendo ésta un margen de amplitud dado. Por lo tanto se debe cumplir:

s p rj( + ) j( + + )s p r = e er r rπ πφ φ φ

(1.31)

entonces el regulador será:

sr

p

r s p

r = rr

= - φ φ φ

(1.32)

la ganancia proporcional es la parte real del regulador coss s p

pp

( - )r = kr

φ φ (1.33)

el ángulo estará dado por

tand s pi

1 - = ( - )T Tω φ φ

ω (1.34)

16

1.5.2. Método de Asignación de Polos. sistema de primer órden

pp

1

k = G 1 + s T (1.35)

regulador PI

ri

1 = K 1 + GsT

(1.36)

resultando un sistema de segundo órden en lazo cerrado

p rc

p r

G G = G 1 + G G (1.37)

la ecuación característica será

p p2

1 1 1 i

K K1 k k + s + + = 0s T T T T

(1.38)

y nuestra condición de diseño dice

17

2 2 + 2 s + = 0s ξ ω ω (1.39)

el regulador PI resulta

1

p

1i 2

1

2 - 1TK = k

2 - 1T = T T

ξ ω

ξ ωω

(1.40)

se puede hacer algo parecido para un sistema de 2do órden

- Caso Discreto del Método de Asignación de Polos. sistema de segundo orden

21 2

1 2

A(z) = + z + a azB(z) = z + b b

(1.41)

regulador PI

18

r

1

S(z)(z) = H R(z)R(z) = ( z - 1 ) (z)R

(1.42)

una forma genérica sería 2

0 1 2

1

S(z) = + z + s s szR(z) = ( z - 1 ) ( z + )r

(1.43)

la ecuación característica será 2

11 2

21 2 0 1 2

( + z + )( z - 1 )( z + ) +a az r ( z + )( + z + ) = 0b b s s sz

(1.44)

que es de cuarto órden. Se podría especificar un denominador como,

2- h 21 2P(z) = ( z - ( + z + )) p pe zαω

(1.45)

donde

19

cos 2- h1

-2 h2

= - 2 ( h 1 - )p e = p e

ξω

ξω

ω ξ (1.46)

Ejemplo:

p1(s) = G

( 1 + s )( 1 + 0.26 s ) (1.47)

si el período de muestreo es h = 0.1 seg.

p 2

0.0164 z + 0.0140(z) = H - 1.583 z + 0.616z (1.48)

condición de diseño:

= 0.5 = 4 = 1ξ ω α (1.49)

P será 2 2P(z) = ( z - 0.670 ( - 1.54 z + 0.670 )) z (1.50)

reemplazando

20

1

0

1

2

= -0.407r = 6.74s

= - 9.89s = 3.61s

(1.51)

21

1.5.3. Realimentación con Relé Desarrollando en serie de Fourier la salida de un relé, su primer armónico tiene una

amplitud de:

r4d = Aπ

(1.52)

si la amplitud de la salida es a, la ganancia a esa frecuencia será

c

2 aG j = -4dt

π π

(1.53)

22

1.6. Control con Modelo Interno (IMC) Se puede plantear el siguiente esquema

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

la salida es

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d

Q G G Q G G−

= ++ − + −

[1.54]

si el modelo es perfecto,

23

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.55]

el IMC se puede mostrar como

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

24

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+++

C

u

ˆ1QCQG

=−

r G

y

od

e+

−

+

+

El control es diseñado en base al modelo de la planta

( )ˆC C G= [1.56]"

25

Es muy intuitivo

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

está relacionado con el concepto de predictor de Smith

26

Si la planta es estable, ¿cómo elegir Q?

¿Si probamos con 1ˆQ G−= ?

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.57]

( )1 1ˆ ˆ ˆ1 oy G Gr G G d− −= + − [1.58]

ˆ1ˆ ˆ o

G Gy r dG G

= + −

[1.59]

1ˆG y rG≈ ⇒ ≈ [1.60]

con 1ˆQ G−= se obtiene el control perfecto

27

Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables

28

1.6.1. Paradigma de diseño para IMC Se elige

ˆinvQ FG= [1.61]

siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G

y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.

ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)

Si se toma esta condición de diseño se obtiene

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1 oQG QGy r d

Q G G Q G G−

= ++ − + −

[1.62]

( ) ( )ˆ ˆ ˆ1

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv inv

oinv inv

FG G FG Gy r dFG G G FG G G

−= +

+ − + − [1.63]

suponiendo que

29

ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.64]

resulta

( )1 oy Fr F d≈ + − [1.65]

recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G

si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=

si no es el caso se hace una separación

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆe iB s B s B s

G sA s A s

= = [1.66]

( )ˆeB s contiene los ceros estables y

( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase

se elige

( ) ( )( ) ( )( )

0

ˆˆ

ˆ ˆinv

e is

A sG s

B s B s=

= [1.67]

30

se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s

no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego)

1.6.2. Diseño de F

( )1 oy Fr F d≈ + − [1.68]

F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias:

- F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta

Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre

31

Generalmente F se elige de la forma

( )1

1 pFsβ

=+

[1.69]

se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual número

de polos y ceros. Por ejemplo

( ) 1ˆ2 1

G ss

=+

, 1

1F

sβ=

+,

2 1ˆ1inv

sQ FGsβ+

= =+

[1.70]

( ) 2

5ˆ2 1

sG ss s

−=

+ +, ( )

2 2 1ˆ5inv

s sG s + +=

−,

( )21

1F

sβ=

+,

( )

2

22 1ˆ

5 1inv

s sQ FGsβ

+ += =

− + [1.71]

32

β pequeño => F rápido

β grande => F lenta

Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición

β se convierte en un potenciómetro de diseño

Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.

33

step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1]))

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To: Y

(1)

34

1.6.3. Realización del Controlador IMC en la forma IMC

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

en la forma "PID" clásica

u

PIDCr G

y

od

e+

−

+

+

35

de donde se deduce que

ˆ1PIDQCQG

=−

[1.72]

Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo

Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β

- se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropiadas.

36

1.6.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta

ˆˆˆ 1

KGsτ

=+

[1.73]

el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.74]

ˆ 1ˆˆinv

sGK

τ += ,

11

Fsβ

=+

[1.75]

ˆinvQ FG= [1.76]

el controlador según IMC es ˆ ˆ 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv

inv

FGQ sCsK sQG FG G G

τββ

+= = = =

− − [1.77]

en el caso de un PI paralelo

37

pp i

PI pKC C Ks

= = + [1.78]

eligiendo ˆ

ˆppK

Kτβ

= ,1ˆ

piK

Kβ= [1.79]

dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆPIsC

K K s K sτ τβ β β

+= + = [1.80]

Resumen:

- encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β

Recordar que con β pequeños se obtiene

- rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia

38

- actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo

% Control PI IMC Sistema de Primer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1;

39

% PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Euler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1);

40

for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);

41

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4