1. Sucesiones y series num ericas - Universidad de...

I.T.INFORMATICA GESTION BOLETIN DE PROBLEMAS

CALCULO INFINITESIMAL CURSO 2010-11

1. Sucesiones y series numericas

1. Escribir una expresion para el n-esimo termino de la sucesion:

a) 1 +1

2, 1 +

3

4, 1 +

7

8, 1 +

15

16, · · ·

b)1

2 · 3,

2

3 · 4,

3

4 · 5, · · ·

c) 1,1

2,1

6,1

24,

1

120, · · ·

d) 1,1

1 · 3,

1

1 · 3 · 5,

1

1 · 3 · 5 · 7, · · ·

e) 2, −4, 6, −8, 10, . . .

f) 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, . . .

2. Determinar la convergencia o divergencia de la sucesion cuyo termino n-esimo se da. En caso deconvergencia, determinar el lımite.

a) an =1

n3/2

b) an =n− 1

n− n

n− 1

c) an =3n2 − n+ 4

2n2 + 1

d) an =ln(n2)

n

e) an = cosnπ

2

f) an =n!

nn

g) an =np

en, (p > 0)

h) an =n

2n+2

i) an = n√n

j) an =1 + 2

√2 + 3 3

√3 + · · ·+ n n

√n

n2

3. En el estudio de la procreacion de conejos, Fibonacci (hacia 1175-1250) encontro la hoy famosa sucesionque lleva su nombre, definida por recurrencia como

an+2 = an + an+1, a1 = 1, a2 = 1 .

a) Escribir sus 12 primeros terminos.

b) Escribir los 10 primeros terminos de la sucesion definida por

bn =an+1

an, para n ≥ 1.

Calculo Infinitesimal – I.T.Informatica Gestion Curso 2010-11 2

c) Usando la definicion del apartado anterior, probar que

bn = 1 +1

bn−1

d) Si lim bn = α usar los apartados anteriores para verificar que α = 1 + 1α . Resolver esta ecuacion

en α (α se conoce como la seccion aurea).

4. a) Si (an) es una sucesion de numeros reales que tiene lımite, lim an = l (finito o infinito). Probar

que lima1 + a2 + . . .+ an

n= l.

b) Hallar el valor del siguiente lımite: limln(

√2 · 3

√3 · · · n

√n)

n.

5. a) Si (an) es una sucesion de numeros reales que tiene lımite, lim an = l (finito o infinito). Probarque lim n

√a1a2 · · · an = l (se supone an > 0).

b) Hallar el valor del siguiente lımite: limn√n!.

6. Verificar que la serie dada es divergente.

a)∞∑

n=1

n√n2 + 1

.

b)

∞∑n=20

3

(3

2

)n

.

c)∞∑

n=0

1000(1, 055)n.

d)

∞∑n=1

2n + 1

2n+1.

e)∞∑

n=1

n!

2n.

7. Comprobar que las series siguientes son convergentes y calcular su suma.

a)∞∑

n=0

(0, 9)n

b)

∞∑n=1

(−1

2

)n

.

c)∞∑

n=1

1

n(n+ 1). (Usar fracciones simples).

d)

∞∑n=1

4

n(n+ 2).

e)∞∑

n=1

1

(2n+ 1)(2n+ 3).

f)∞∑

n=1

(1

2n− 1

3n

).

g)∞∑

n=1

(−1)n+1 n

4n.


h)

∞∑n=1

2n+ 3

2n.

8. Expresar cada decimal periodico como una serie geometrica y escribir su suma en forma de cocientede dos numeros enteros.

a) 0, 07575

b) 0, 21515

9. Hallar dos series divergente∑

an y∑

bn tales que∑

(an + bn) sea convergente. Si∑

an converge y∑bn diverge, demostrar que

∑(an + bn) diverge.

10. Usar el criterio de comparacion directa para saber si la serie converge o no.

a)∞∑

n=1

1

n2 + 1.

b)

∞∑n=0

1

3n + 1.

c)∞∑

n=2

lnn

n+ 1.

d)

∞∑n=0

1

n!.

e)∞∑

n=0

e−n2

.

f)∞∑

n=1

4n

3n − 1.

11. Usar el criterio de comparacion en el lımite para determinar si la serie es convergente o divergente.

a)

∞∑n=2

1√n2 − 1

.

b)∞∑

n=1

2n2 − 1

3n5 + 2n+ 1.

c)∞∑

n=1

1

n(n2 + 1).

d)

∞∑n=1

nk−1

nk + 1, k > 2.

e)∞∑

n=1

tg

(1

n

).

12. a) Usar el criterio de comparacion en el lımite con la serie armonica para demostrar que la serie∑an (con an ≥ 0) diverge si limnan = 0.

b) Probar que la serie∞∑

n=1

sen(1

n) diverge. Ayuda: Usa el apartado anterior


13. Probar que si P (n) y Q(n) son polinomios de grados respectivos j y k, la serie

∞∑n=1

P (n)

Q(n)

converge si j < k − 1 y diverge si j ≥ k − 1.

14. Analizar si la serie dada es convergente o divergente, usando el criterio de series alternadas.

a)∞∑

n=1

(−1)n+1

n.

b)

∞∑n=1

(−1)nn2

n2 + 1.

c)∞∑

n=1

(−1)n+1 ln(n+ 1)

n+ 1.

d)

∞∑n=1

sen(2n+ 1)π

2.

e)∞∑

n=1

(−1)n

(2n)!.

f)∞∑

n=1

2(−1)n+1

en − e−n.

15. Determinar si la serie dada es condicional o absolutamente convergente.

a)

∞∑n=1

(−1)n+1

(n+ 1)2.

b)∞∑

n=1

(−1)n+1

n+ 1.

c)

∞∑n=2

(−1)n

lnn.

d)∞∑

n=2

(−1)nn

n3 − 1.

e)∞∑

n=1

cosn

n2.

f)

∞∑n=1

sen[(2n− 1)π/2]

n.

16. Demostrar que la serie armonica alternada generalizada

∞∑n=1

(−1)n(

1

np

)converge si p > 0.

17. Probar que si∑

|an| converge, entonces∑

a2n converge. Utiliza la serie∑ (−1)n

n3/4 para probar que elrecıproco no es cierto.


18. Identificar de que tipo de serie se trata y, aplicando el criterio adecuado, determinar si la serie dadaes convergente o divergente.

a)∞∑

n=1

n2n

3n.

b)∞∑

n=1

(n

2n+ 1

)n

.

c)∞∑

n=1

n

2n.

d)∞∑

n=1

(−1)n+1(n+ 2)

n(n+ 1).

e)∞∑

n=1

(−2n

3n+ 1

)3n

.

f)∞∑

n=1

n!

n3n.

g)∞∑

n=1

nn

n!.

h)∞∑

n=1

3n

(n+ 1)n.

i)∞∑

n=1

(−1)n+1n!

1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1).

j)∞∑

n=0

e−n.

k)

∞∑n=1

(−1)n3n−1

n!.

l)

∞∑n=1

cosn

n2.

m)

∞∑n=1

(−3)n

3 · 5 · 7 · · · (2n+ 1).

n)

∞∑n=0

a(a+ 1)(a+ 2) · · · (a+ n+ 1)

b(b+ 1)(b+ 2) · · · (b+ n+ 1), a, b > 0.

19. Estudiar la convergencia de la serie siguiente y, en caso de ser convergente, aproximar su suma conun error menor que ϵ

a)∞∑

n=1

(−1)n+1

2n3 − 1con ϵ = 0.001.

b)∞∑

n=0

(−1)n

n!con ϵ = 0.001.

c)∞∑

n=1

1

2nncon ϵ = 0.1.

d)∞∑

n=1

1

n5con ϵ = 0.001.


e)

∞∑n=1

3n

n!con ϵ = 0.01.

20. a) Calcular el siguiente lımite: lim2 + 22

√2 + 33 3

√3 + · · ·+ nn n

√n

2n.

b) Aproximar la suma de la serie convergente

∞∑n=1

n

(2n+ 1)3ncon un error menor que 0.001.

21. a) Calcular el siguiente lımite en funcion del parametro a : lim n√a, a ≥ 0.

b) Aproximar la suma de la serie convergente

∞∑n=1

1

n!con un error menor que 0.01.

22. a) Determinar si la serie∞∑

n=0

an · n!(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+ n+ 1)

, a > 0 es convergente o divergente en

funcion del parametro a.

b) Aproximar la suma de la serie convergente∞∑

n=1

(−1)n+1

n4con un error menor que 0.01.


2. Series de potencias

23. Obtener el campo de convergencia de las series de potencias siguientes:

a)∞∑

n=1

(−3)nxn

√n+ 1

b)∞∑

n=1

n(x+ 3)n

5n+1

24. Desarrollar en serie de potencias las siguientes funciones, calculando el radio y el intervalo de conver-gencia, e indicar donde el valor de la funcion coincide con el de la serie.

a) f(x) = (1 + ex)2 b) f(x) = (1 + x)e1+x c) f(x) = Chx

d) f(x) = Ch2 x e) f(x) =1

(1− x2)√1− x2

f) f(x) = xe−x

g) f(x) =√x2 + 3x4 h) f(x) =

x10

1− xi) f(x) =

4x

3 + x2

25. Usando la derivacion y la integracion termino a termino, desarrollar en serie de potencias las siguientesfunciones, justificando lo que se haga:

a) f(x) = arcsenx b) f(x) = arctg x

c) f(x) = ln

√1 + x

1− xd) f(x) = arctg

2x

2− x2

26. Utilizando los desarrollos en serie de potencias, calcular las integrales siguientes, con la cota de errorε que se indica en cada caso:

a)

∫ 1

0

senx

x, ε < 10−5 b)

∫ 1

0

1 + x

ex, ε < 10−3 c)

∫ 1

0

e−x2

, ε < 10−4

27. Sumar las siguientes series:

a)∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · (2n)· 1

2n+ 1usando el desarrollo de arcsenx.

b)

∞∑n=0

(2n+ 1)

2nusando el desarrollo de f(x) =

1− x

(1 + x)2

28. Dada la serie de potencias∞∑

n=1

(−1)n+1xn

n, hallar su campo de convergencia, ası como el valor de la

suma de la serie en los extremos en que converja.

29. Desarrollar en serie de potencias y calcular el campo de convergencia de las funciones:

a) f(x) = arctg1− 2x

1 + 2xb) f(x) = x ln

√1 + x2 − x+ arctg x


30. Hallar los campos de convergencia y las sumas de las series siguientes:

a) 1 +x2

4+

x4

16+

x6

64+ · · · b) x+

x3

3 · 4+

x5

5 · 16+

x7

7 · 64+ · · ·

31. a) Desarrollar en serie de potencias la funcion f(x) = (1+2x) ln (1 + 2x)−2x hallando su campode convergencia.

b) A partir del desarrollo anterior, justificar la convergencia y calcular la suma de la serie numericasiguiente:

∞∑0

(−1)n

3n(n+ 1)(n+ 2)

32. Sea (an) la sucesion de termino general an =1

n ln(1 + n)

a) Probar que la serie∞∑1

an diverge. ¿Que caracter tiene la serie∞∑1

(−1)nan ?

b) Hallar los campos de convergencia de las series de potencias:

∞∑1

anxn y

∞∑1

(−3)nanx2n

c) Estudiar el caracter de la serie∞∑1

1

2n ln(2 + n). y, si es posible, expresar el valor de su suma

en funcion de f(x) =∞∑1

anxn.

33. a) Hallar el campo de convergencia y la suma de la serie de potencias:

S1(x) = 1 +x

2+

x2

3+

x3

4+ ....

b) Calcular la suma de la serie S2(x) =

∞∑0

n

n+ 1xn

c) Encontrar el valor de:

S =2

3· 12+

3

4· 1

22+

4

5· 1

23+ · · ·

34. a) Desarrollar en serie de potencias la funcion f(x) = arctg1 + x

1− x, indicando donde hay conver-

gencia puntual.

b) Utilizando el desarrollo anterior, sumar la serie

1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·

35. Dada la serie de potencias:

S(x) =x2

2+

x3

2 · 3+

x4

3 · 4+ · · ·

se pide:


a) Estudiar la convergencia puntual.

b) Hallar la suma S, cuando sea posible.

c) Es convergente la serie1

2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ · · · ? En caso afirmativo, hallar su suma.

36. Dada la serie de potencias:

1− x3

4+

x7

8− x11

12+ · · ·

se pide:

a) Calcular el radio de convergencia y el valor de la suma de la serie.

b) Indicar donde hay convergencia puntual.

c) Estudiar el caracter de las series

S1 =23

4− 27

8+

211

12− 215

16+ · · ·

S2 = 1− 1

334+

1

378− 1

31112+ · · ·

y calcular su suma en caso de ser convergentes.

37. a) Calcular los desarrollos en series enteras de McLaurin de Shx y de Chx a partir del desarrollode ex. Calcular sus radios de convergencia.

b) Probar que la serie∞∑

n=1

n2

(2n)!es convergente y calcular su suma probando que

n2

(2n)!puede

escribirse comoA

(2n)!+

B

(2n− 1)!+

C

(2n− 2)!.

Ayuda: Recordar que Sh x =ex − e−x

2y Chx =

ex + e−x

2.

38. Estudiar la convergencia puntual de la serie de funciones:

1

x+

2

x2+

3

x3+ · · ·+ n

xn+ · · ·

y sumarla cuando sea posible.

Utilizar el resultado obtenido para estudiar la convergencia y, en su caso, hallar la suma de la serie:

∞∑n=1

(−1)nn2n

3n

39. Probar que la serie ∑n≥0

(−1)nx2n+1

2n+ 1

converge en [−1, 1]. Obtener la funcion suma a la que converge, donde sea posible. Como aplicacionde lo anterior, obtener la suma de la serie numerica∑

n≥0

(−1)n

2n+ 1

40. Sea la serie de potencias S(x) =∞∑

n=1

n2nxn.


a) Calcular el campo de convergencia de S(x).

b) Comprobar que su suma es S(x) =2x

(1− 2x)2en el intervalo de convergencia.

Ayuda: Usar el desarrollo 11−2x

=

∞∑n=0

2nxn valido para x ∈(− 1

2, 12

)y derivar.

41. Sea la serie de potencias T (x) =

∞∑n=0

anxn, cuyos coeficientes verifican la recurrencia

an − 4an−1 + 4an−2 = 0, n ≥ 2a1 = 2a0 = 0

a) Deducir que (1− 2x)2T (x) = 2x para cualquier x en el campo de convergencia de T (x).

b) Calcular la funcion suma de la serie de potencias T (x).

c) Determinar la formula general del termino an.

42. Sea la serie de potencias S(x) =

∞∑n=0

anxn tal que

an = (−1)n(2n+ 1)

a) Calcular su radio y campo de convergencia.

b) Calcular λ y µ que hace que los coeficientes an verifiquen la siguiente identidad

an + λan−1 + µan−2 = 0 siendo n ≥ 2

c) Considerar la serie de potencias que resulta del producto S(x)(1 + 2x+ x2) y comprobar que esun polinomio de primer grado.

d) Deducir la expresion de la suma de la serie S(x) en el campo de convergencia. Calcular la suma

de la serie numerica∞∑

n=0

(−1)n2n+ 1

2n.


3. Series de Fourier

43. Obtener la serie de Fourier de las siguientes funciones, en los intervalos que se indican:

a) f(x) = x, −π ≤ x ≤ π b) f(x) =

0 si − π ≤ x < 0

π si 0 ≤ x ≤ π

c) f(x) =

−π2 si − π ≤ x < 0

π2 si 0 ≤ x ≤ π

d) f(x) =

−π2 − x

2 si − π ≤ x < 0

π2 − x

2 si 0 ≤ x ≤ π

e) f(x) =

0 si − π ≤ x < 0

senx si 0 ≤ x ≤ πf) f(x) = |x|, π ≤ x ≤ π

44. Hallar la serie de Fourier de tipo coseno de f definida en [0, 1], por f(x) = x2 − x+ 16

45. a) Obtener la serie de Fourier de f(x) =

0 si − π ≤ x < 0

x si 0 ≤ x < π

b) Calcular a partir de dicho desarrollo,

∞∑1

1

(2n− 1)2y

∞∑1

1

n2

46. Obtener los desarrollos en serie de Fourier de f(x) = x

a) en (0, π), en senos.

b) en (0, π), en cosenos.

47. Desarrollar la funcion f(x) = cos x en serie de Fourier de senos en el intervalo (0, π).

48. Desarrollar en serie de Fourier f(x) =

0 si − L ≤ x < L2

1 si L2 ≤ x < L

Obtener como consecuencia que,π

4=

∞∑0

(−1)n

2n+ 1

49. Sea la funcion 2π-periodica definida por

f(x) =

x+ π −π ≤ x < 0

π − x 0 ≤ x < π

a) Probar que es una funcion par y obtener su serie de Fourier.

b) Estudiar la convergencia de la serie y probar la igualdadπ2

8= 1 +

1

32+

1

52+ . . .

50. Sea la funcion f(x) =

{1 0 ≤ x ≤ 1

−1 −1 < x < 0, extendida por periodicidad a todo IR.


a) Hallar la serie de Fourier de esta funcion y comprobar que f(x) satisface las condiciones deDirichlet.

b) Haciendo uso de la serie de Fourier anterior, calcular la suma de la serie numerica

∞∑n=1

(−1)n+1 4

(2n− 1)π.

51. Sea S(f)(x) = 3 +∞∑

n=1

1

n!cosnx+ bn sennx, el desarrollo en serie de Fourier de una funcion f(x). Se

pide:

a) Calcular

∫ π

−π

f(x)dx.

b) Sabiendo que f es continua en π, calcular el valor numerico de f(π).

Si g : [−π, π) → R es una funcion satisfaciendo las condiciones de Dirichlet entonces se tiene que:

1

π

∫ π

−π

g(x)2dx =a202

+∞∑

n=1

a2n + b2n , (1)

donde a0, y an, bn con n ≥ 1 son los coeficientes de Fourier de g.

c) Calcular la serie de Fourier de g(x) =

{1 si − π < x < 0−2 si 0 < x < π

d) Calcular la suma exacta de∞∑

n=1

1

(2n− 1)2usando la igualdad (1).

52. a) Suma la serie∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1usando el desarrollo de f(x) =

1

1 + x2.

b) Partiendo del desarrollo en serie de Fourier de f(x) = x2 en [−π, π], obtener:

∞∑1

1

n2y

∞∑1

(−1)n1

n2


n=1

n

2nusando la serie

∞∑n=1

n · xn−1

2n.

b) Demostrar queπ

2− x =

∞∑n=1

1

nsen(2nx), para 0 < x < π.


n=0

(−1)n

(2n+ 1)(√3)2n+1

usando el desarrollo de f(x) =1

1 + x2.

b) Obtener la serie de Fourier de la funcion

f(x) =

−π4 si − π < x < 00 si x = −π, 0, ππ4 si 0 < x < π

Usando la condicion de Dirichlet, justificar hacia que funcion converge la serie anterior.


55. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcion

f(x) =

{x si x ∈ [−π

2 , π2 ]

0 si x ∈ [−π, −π2 ) ∪ (π2 , π]

¿A que valor converge la serie para x = π2 ?. ¿Coincide con el valor de f(π2 )?. Si hay otros puntos en

los que ocurra la misma situacion determınalos y razona la respuesta.

Usando el desarrollo anterior, obtener la suma de la serie numerica∞∑

n=1

1

(2n− 1))2.

56. Sea la funcion f : IR → IR definida por f(x) = cosx

2y extendida periodicamente fuera del intervalo

−π < x < π.

a) Comprobar que esta funcion satisface las condiciones de Dirichlet y obtener su serie de Fourier.

Ayuda: Hacer uso de la propiedad cos(mx) cos(nx) = cos(m+ n)x+ cos(m− n)x

b) Hallar la suma exacta de la serie numerica

∞∑n=1

1

4n2 − 1

57. Dada la funcion

g(x) =

{0 −5 < x < 03 0 < x < 5

a) Calcular la serie de Fourier de g(t) =

{0 −π < t < 03 0 < t < π

.

b) Calcular la serie de Fourier de g(x), sustituyendo t porπx

5en la serie de Fourier obtenida en el

apartado anterior.

c) ¿Como debe definirse g(x) en x = −5, x = 0 y x = 5 para que la serie de Fourier converja a g(x)para −5 ≤ x ≤ 5?

58. Sea la funcion f : R → R definida por

f(x) =

1 −π ≤ x < −112 x = −10 −1 < x < 112 x = 11 1 < x ≤ π

y extendida periodicamente fuera del intervalo [−π, π]. Se pide:

a) Obtener la serie de Fourier de f(x) y estudiar su convergencia puntual.

b) Calcular la suma exacta de la serie numerica∞∑

n=1

sen 2n

n. Ayuda: sen 2a = 2sen a cos a.


4. Introduccion a las ecuaciones diferenciales: EDOs de primer orden

59. Verifica si las funciones que se dan son solucion de la ecuacion diferencial indicada en cada apartado:

Ecuacion Solucionesa) xy′ − 2y = x3ex y1(x) = x2 y2(x) = x2(2 + ex)b) y′′ + 2y′ − 3y = 0 y1(x) = e−3x y2(x) = ex

c) y + xy′ = x4(y′)2 y1(x) = c2 + cx y2(x) = 2ln(x)

60. Determina el valor de k para que y = ekx sea solucion de la ecuacion diferencial y′′ + y′ − 6y = 0.

61. Se sabe que y = Asen bx es una solucion de la ecuacion diferencial y′′+16y = 0. Encontrar los valoresde b.

62. Comprueba que las funciones y1(x) = e2x e y2(x) = e3x son soluciones de la ecuacion diferencialy′′ − 5y′ + 6y = 0. ¿Es y(x) = c1e

2x + c2e3x solucion de dicha ecuacion diferencial, para cualquier

valor real de las constantes c1 y c2?

63. Demuestra que y = c1x + c2x2 es la solucion general de x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0 , y halla la solucion

particular para la cual y(1) = 3, y′(1) = 5.

64. Halla la solucion particular de las siguientes ecuaciones diferenciales que satisfacen la condicion inicialindicada.

(a) y(x+ 1) + y′ = 0 y(−2) = 1. (d) y2 dx− x2 dy = 0 y(1) = 2.

(b)dy

dx+

1 + y3

xy2= 0 y(1) = 2. (e) y′ = x ex

2

y(0) = 1.

(c) y′ sen y = x2 y(1) = 0. (f) y ln y dx− x dy = 0 y(2) = e.

65. La cantidad de radio que se desintegra es proporcional a la cantidad total de radio presente en uninstante cualquiera t. Si la mitad de una cierta cantidad de radio desapareciera en 1590 anos. ¿Quefraccion se desintegrara durante el primer siglo?. ¿Y durante el decimo siglo?

66. Supongamos que el ritmo propagacion de un rumor(velocidad de propagacion del rumor) es propor-cional a la cantidad de personas que lo conocen en cada momento. Se sabe que habıa 100 personasque conocıan el rumor tras el segundo dıa y 300 tras el cuarto. Estimar cuantas personas conoceranel rumor pasados 10 dıas.

67. Segun la Ley de Newton, la velocidad a que se enfrıa una sustancia al aire libre es proporcional a ladiferencia entre la temperatura de dicha sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire es 30, y lasustancia se enfrıa de 100 a 70 en 15 minutos, hallar el instante en que su temperatura es de 40.

68. Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a)dy

dx+

1

xy = 3x (b) y′ + y =

1

1 + e2x(c) (2y − x3)dx = xdy

(d) (1 + x2)dy

dx+ 2xy = cotg x (e)xy′ + 2y = sen x (f) dy = (x2e2x + 2y)dx

(Ayuda:∫

cotgxdx = ln(senx) + C)

69. Hallar la solucion particular de las ecuaciones siguientes, que pasan por el punto indicado:

a)dy

dx= 6x3 − 2y

x(1, 2)


b) y′ + 2xy = 4x (0, 1)

c) y′ + 2y = e−x (0, 0.75)

70. Integrar mediante desarrollos en series de potencias:

a) y′ = y b) y′ − 2xy = 0

71. Resolver, mediante desarrollos en series de potencias, la solucion particular de (1 + x)y′ = py sujetaa la condicion y(0) = 1.

72. Examen 25-1-00. Dada la ecuacion diferencial (1 + x)y′ = py, donde p es una constante realcualquiera. Se pide:

(a) Comprobar que la serie de potencias

1 + p x+p(p− 1)

2!x2 + . . .+

p(p− 1) . . . (p− n+ 1)

n!xn + . . .

es la solucion particular, valida en el intervalo (−1, 1), de la ecuacion de (1 + x)y′ = py sujeta ala condicion y(0) = 1.

(b) Hallar, razonadamente (sin usar la tabla), la suma de la serie de potencias del apartado anterior.

73. Examen 14-02-01. A partir de la serie de potencias f(x) =

∞∑n=2

anxn (se supone a0 = a1 = 0 ) y

con radio de convergencia R finito, definamos la serie

g(x) =∞∑

n=2

1

n− 1anx

n. (2)

a) Hallar el radio de convergencia de g(x).

b) Comprobar que g(x) satisface la ecuacion diferencial g′(x)− g(x)

x=

1

xf(x).

c) Suponiendo que f(x) =x2

1− x, resolver la ecuacion diferencial anterior y calcular la solucion

particular que pasa por (−1, log 2).

d) Demostrar que el desarrollo (2), cuando an = 1 para todo n ≥ 2, coincide con el desarrollo enserie de potencias de la solucion obtenida en el apartado c) en un determinado intervalo.

Ayuda: log(1 + x) =

∞∑n=1

(−1)n+1

nxn para todo x ∈ (−1, 1].


5. Metodos numericos de resolucion de EDOs de primer orden

74. Examen 11-2-04.Consideremos el problema de valores iniciales

y′ − 1

2 + x2= 0, y(0) = 0

aplicar el metodo de Heun con paso h = 1, en el intervalo [0, 1], para aproximar el valor de la solucionen x = 1. Justificar, previamente, que este P.V.I posee solucion unica para x ∈ [0, 1].

75. Dado el P.V.Iy′(1 + x)− 1 = 0, y(0) = 0

a) Justifica que este problema tiene solucion unica en el intervalo [0, 1].

b) Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Euler con paso h = 0.5.

c) Aproxima el valor de la solucion en x = 1 utilizando el metodo de Heun con paso h = 0.5.

d) Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 1.

76. Consideremos el P.V.I

y′ +x2

x+ 1y = x ex, y(0) = 1.

a) Justifica que este problema tiene solucion unica en el intervalo [0, 1].

b) Estima el valor de y(1) utilizando el metodo de Euler con paso h = 12 y el metodo de Heun con

paso h = 1.

77. Utiliza un paso del metodo de Heun para aproximar en x = 2 la solucion de la ecuacion

y′ +1

2xy =

x2

2− 1

que pasa por el punto P (1, 2), justificando previamente que este problema posee solucion unica en elintervalo que nos interesa.

78. Consideremos el P.V.Ixy′ − y = 0, y(1) = 1.

Justifica que este problema tiene solucion unica en el intervalo [1, 2] y aplica el metodo de Heun en

dicho intervalo, tomando h =1

2, para aproximar el valor de la solucion, y(x), en x = 2.

79. Dada la ecuacion diferencial xy′ = y − 1:

a) Encuentra su solucion general.

b) Comprueba que el resultado obtenido en el apartado anterior es solucion de la ecuacion dada.

c) Resuelve el P.V.I. xy′ = y − 1 con y = −1 cuando x = 2.

d) Justifica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [2, 3].

e) Encuentra el valor exacto de la solucion en x = 3.

f) Aproxima el valor de la solucion en x = 3 utilizando el metodo de Euler con paso h = 1.

g) Aproxima el valor de la solucion en x = 3 utilizando el metodo de Heun con paso h = 1.

80. Dada la ecuacion diferencial y′ − y(x+ 2) = 0:




c) Resuelve el P.V.I. y′ − y(x+ 2) = 0 con y = 12 cuando x = 0.





81. Dada la ecuacion diferencialy′

e−x3 = 5x2:



c) Resuelve el P.V.I.y′

e−x3 = 5x2 con y = 1 cuando x = 0.





82. Dada la ecuacion diferencialdy

dx+

1 + 2x2

xy = 0:



c) Resuelve el P.V.I.dy

dx+

1 + 2x2

xy = 0 con y = e cuando x = 1.

d) Justifica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [1,3

2].

e) Encuentra el valor exacto de la solucion en x =3

2.

f) Aproxima el valor de la solucion en x =3

2utilizando el metodo de Euler con paso h =

1

2.

g) Aproxima el valor de la solucion en x =3

2utilizando el metodo de Heun con paso h =

1

2.

83. Dada la ecuacion diferencial y′ + y =1

1 + e2x:



c) Resuelve el P.V.I. y′ + y =1

1 + e2xcon y = 4 cuando x = 0.





84. Dada la ecuacion diferencial y′sen x+ ycos x = xsen x:




c) Resuelve el P.V.I. y′sen x+ ycos x = xsen x con y = 2 cuando x =π

2.

d) Justifica que el problema anterior tiene solucion unica para x perteneciente al intervalo [π

2,3π

4].

e) Encuentra el valor exacto de la solucion en x =3π

4.

f) Aproxima el valor de la solucion en x =3π

4utilizando el metodo de Euler con paso h =

π

4.

g) Aproxima el valor de la solucion en x =3π

4utilizando el metodo de Heun con paso h =

π

4.

85. Dada la ecuacion diferencial x dy = (y − 2xy − x2) dx:



c) Resuelve el P.V.I. x dy = (y − 2xy − x2) dx con y = −1

2cuando x = 1.





86. Dada la ecuacion diferencial dy = (6xex2

+ 2xy) dx:



c) Resuelve el P.V.I. dy = (6xex2

+ 2xy) dx con y = 5 cuando x = 0.






6. EDOs de segundo orden

87. Encuentra la solucion general de las siguientes ecuaciones homogeneas:

(a) y′′ − 2y′ + 2y = 0 (b) 3y′′ − 8y′ + 4y = 0 (c) y′′ + 2y′ + y = 0

(d) y′′ − y′ − 6y = 0 (e) 3y′′ + 4y′ = 0 (f) 2y′′ + 2y′ + y = 0

88. Halla la solucion del problema con valor inicial dado:

a) y′′ + y′ − 2y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 1

b) y′′ − 2y′ + 5y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0

c) y′′ + 6y′ + 9y = 0 y(0) = 0 y′(0) = 2

89. Obten la solucion del problema de valores iniciales

y′′ +1

α2y = x2, y(0) = −2α4 + 1, y′(0) = 0,

siendo α = 0.

90. Halla la solucion general de:

(a) y′′ + 9y = 2x2 + 4x+ 7 (b) y′′ + 2y′ + 10y = 3x2 (c) y′′ + 4y′ + 5y = 3e−2x

(d) y′′ + 4y′ + 13y = 0 (e) y′′ + y′ = x+ 2 (f) y′′ − y = ex + 2e2x

91. Demuestra que si y1 e y2 son dos soluciones de la ecuacion no homogenea y′′+P (x)y′+Q(x)y = R(x),entonces y = y1 + y2 nunca es una solucion de esta ecuacion. Ası mismo, demuestra que si y1 e y2 sonsoluciones respectivamente de las ecuaciones

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = R1(x) e y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = R2(x)

y = y1 + y2 es siempre solucion de y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R1(x) + R2(x). Esto se conoce comoprincipio de superposicion. Utiliza este principio para hallar la solucion general de:

a) y′′ + 4y = 4 cos 2x+ 6 cosx+ 8x2 − 4x

b) y′′ + 9y = 2sen3x+ 4senx− 26e−2x + 27x3

92. Examen 25-1-00. Dada la ecuacion lineal homogenea con coeficientes constantes y′′ + py′ + qy = 0.Se pide:

(a) Calcular los coeficientes p y q de la ecuacion anterior sabiendo que una solucion particular de lamisma es e2x, y que las raıces de su ecuacion caracterıstica son reales e iguales.

(b) En las condiciones del apartado anterior, obtener la solucion particular de la ecuacion que sat-isfaga las condiciones iniciales siguientes y(0) = 0, y′(0) = 2.

93. a) Hallar la familia de curvas f(x) que son solucion de la ED y′′ − y′ = 0 y ademas verifican

limx→−∞

f(x) = 2 .

¿Que comportamiento tienen dichas curvas cuando x tiende a +∞?.

b) Calcular la solucion general de y′′−y′ = x2 usando el metodo de los coeficientes indeterminados.


c) Resolver el problema de valores iniciales:

y′′ − y′ = x2, y(0) = 0, y′(0) = 0

94. Examen 27-9-02 Hallar la solucion general de la e.d.o y′′ − 4y′ + 3y = 10e−2x y analizar su compor-tamiento cuando cuando x → 0.

95. Hallar la solucion general de (1 + x2)y′′ + 2xy′ − 2y = 0 en terminos de series de potencias en x. ¿Sepuede expresar esta solucion mediante funciones elementales?.

96. La ecuacion de Hermite es y′′ − 2xy′ + 2py = 0, donde p es una constante.

a) Demostrar que su solucion general es y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), donde:

y1(x) = 1− 2p

2!x2 +

22p(p− 2)

4!x4 − 23p(p− 2)(p− 4)

6!x6 + . . .

y2(x) = x− 2(p− 1)

3!x3 +

22(p− 1)(p− 3)

5!x5 − 23(p− 1)(p− 3)(p− 5)

7!x7 + . . .

b) ¿Donde son convergentes estas series?

c) Obtener los desarrollos limitados de Hermite para p = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

97. Sea k una constante real k > 0. Se define la sucesion (un) por las relaciones u0 = 0, u1 = 1 ykun+2 − (1 + k2)un+1 + kun = 0, para todo n ≥ 0. Se considera la serie de potencias

S(x) =

∞∑0

un

n!xn.

a) Probar que S(x) satisface la ecuacion diferencial de segundo orden

kS′′(x)− (1 + k2)S′(x) + kS(x) = 0,

con S(0) = 0 y S′(0) = 1.

b) Resolver la ecuacion diferencial del apartado anterior para todo valor de k.

c) Deducir del apartado anterior el valor del termino general un en el caso k = 1.

98. Examen 29-1-03. Dada la serie de potencias f(x) =∞∑

n=2

bn xn donde b0 = b1 = 0, para n ≥ 2, bn =

(n− 1)2n.

a) Calcular su campo de convergencia y su funcion suma.

b) Calcular el radio de convergencia de la serie

F (x) =∞∑

n=2

((n+ 1)(n+ 2)bn+2 − (n− 1)(n+ 2)bn)xn

c) Encontrar una funcion que sea solucion de

(1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 2b2 + 6b3x+ F (x) (3)

Ayuda: Usa desarrollos en series de potencias. El punto x0 = 0 es un punto ordinario para (3).

d) Hallar la solucion general de la ecuacion homogenea asociada a (3), sabiendo que y = x es unasolucion de esta ecuacion homogenea.

Ayuda:4x2 − 2

x(1− x2)= −

2

x+

2x

1− x2,

1

x2(1− x2)=

1

x2+

1/2

1− x+

1/2

1 + x


e) Hallar la solucion general de (3).

f) Teniendo en cuenta que x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuacion homogenea asociada a (3),resolver mediante desarrollos en series de potencias el problema de valores iniciales:

(1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. (4)

Obtener el radio de convergencia de dicha serie solucion o dar, justificadamente, una cota inferiorsignificativa del mismo.

g) Calcular la suma de la serie de potencias que es solucion de (4).

1. Sucesiones y series num ericas - Universidad de...

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