TÉCNICAS ESTADÍSTICAS UNIVARIADAS

BLOQUE A: PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.

Hemos recogido los siguientes datos, correspondientes a las puntuaciones obtenidas por 25 alumnos en un test de inteligencia. Organízalos en una distribución de frecuencias sin agrupar en intervalos.

105, 99, 109, 100, 94, 100, 97, 120, 99, 107, 96, 107, 100, 109, 105, 97, 100, 105, 96, 99,

100, 97, 105, 107, 99. Solución

Para realizar la distribución de frecuencias debemos, en primer lugar, ordenar los datos (de mayor a menor o de menor a mayor), representarlos en una tabla y realizar el recuento correspondiente a cada uno de los valores (las "marcas" facilitan dicha labor), tal y como se expresa en la tabla siguiente:

Puntuaciones

Marcas

Frecuencias

120 109 107 105 100 99 97 96 94

/ // /// //// ///// //// /// // /

1 2 3 4 5 4 3 2 1

PROBLEMA 2.

Construye la distribución de frecuencias absolutas y relativas, tanto individuales como acumuladas, para las siguientes puntuaciones. Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5.

3, 6, 7, 9, 9, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 20, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 28, 35, 37.

Solución

En primer lugar, calculamos la amplitud total para la serie de puntuaciones con las que vamos a

trabajar.

A.T. = PMAYOR - PMENOR + 1 = 37 - 3 + 1 = 35

A continuación determinamos el número de intervalos necesarios. Teniendo en cuenta que la amplitud del intervalo debe ser igual a 5, de acuerdo con el enunciado del problema, el número de intervalos vendrá dado por la relación (cociente) entre la amplitud total y la de cada intervalo: 37/5 = 7.4.

Este valor nos indica que necesitamos un número superior a 7 intervalos para distribuir todas nuestras

puntuaciones en intervalos de amplitud 5. El número de intervalos mínimo necesario sería 8. Una vez construidos los intervalos, determinamos la frecuencia absoluta individual (f) en cada uno de ellos, la proporción (p), el porcentaje (P) y los correspondientes valores acumulados para todos ellos (fa, pa y Pa).

Intervalos

Marcas f

p

P

fa

pa

Pa

36 - 40 31 - 35 26 - 30 21 - 25 16 - 20 11 - 15 6 - 10 1 - 5

/ / /

///// // ///// // ///// ///

//// /

1 1 1 7 7 8 4 1

0.0333 0.0333 0.0333 0.2333 0.2333 0.2667 0.1333 0.0333

3.33 3.33 3.33 23.33 23.33 26.67 13.33 3.33

30 29 28 27 20 13 5 1

1.0000 0.9667 0.9333 0.9000 0.6667 0.4333 0.1667 0.3333

100.00 96.67 93.33 90.00 66.67 43.33 16.67 33.33

No obstante, podríamos haber organizado los datos comenzando el primer intervalo con un límite aparente inferior distinto (por ejemplo, 2 ó 3). En ese caso, la distribución resultante diferirá algo de la aquí construida. PROBLEMA 3.

Señala la escala de medida utilizada y construye la distribución de frecuencias agrupadas para el total de las puntuaciones que se expresan a continuación, correspondientes a los resultados obtenidos en una prueba de conceptos básicos y prerrequisitos para la lectoescritura administrada a los alumnos del Primer Ciclo de Educación Primaria (1º y 2º cursos), de un colegio público de la provincia de Sevilla. Determina tanto las frecuencias absolutas individuales como las frecuencias absolutas acumuladas. Solución

Estamos trabajando con una escala a nivel ordinal: podemos decir si dos alumnos son iguales o diferentes (escala nominal) y, además, ordenarlos en función de las puntuaciones obtenidas, sabiendo qué alumno posee más o menos conceptos básicos (prerrequisitos para la lectoescritura), pero no podemos afirmar que exista igualdad de distancias entre las puntuaciones obtenidas, lo cual nos llevaría a una escala de intervalos. Este tipo de escalas son muy habituales en educación, donde resulta bastante difícil llegar a trabajar en escalas de intervalos. Aunque aquí seamos ortodoxos a la hora de establecer el nivel de medida, en la práctica suelen tratarse este tipo de puntuaciones como si estuvieran medidas en escala de intervalos.

Para construir la distribución de frecuencias procedemos de acuerdo con los siguientes pasos:

1º. Determinamos la amplitud total. A.T. = PMAYOR - PMENOR + 1 = 48 - 3 + 1 = 46

2º. Dividir la amplitud total por los valores 12 y 15, para determinar la amplitud de cada intervalo en el caso de que la distribucióncontara con este número de ellos. 46/12 = 3.83 46/15 = 3.Tomando como amplitud del intervalo el valor 3, no vamos a obtener un número de intervalos entre 12 y 15, por lo que la amplitud del intervalo deberá ser 4. Conviene tener en cuenta que siempre que se pueda es 2

171121152631232737 9

2024192512 325 83624

28 29 47 19 20 30 39 45 27 44

38 44 39 29 44 22 37 41 41 40

44393848264535393148

444738231443332843

3

preferible que la amplitud del intervalo sea un valor impar, para que el punto medio del mismo no presente decimales. En nuestro caso, respetando la recomendación de elegir entre 12 y 15 intervalos continuaremos el proceso con la amplitud 4, aunque tengamos que trabajar con decimales.

3º. Determinar los límites de las clases. Con amplitud 4 necesitamos 12 intervalos para recoger todos nuestros datos, sobrando dos valores (4⋅12=48 y A.T.=46) que repartimos entre los intervalos superior e inferior. Por tanto, el límite inferior del intervalo menor se situará un punto por debajo de la menor puntuación. Paralelamente, el límite superior del intervalo mayor estará un punto por encima de la mayor puntuación. A partir de aquí podemos construir la totalidad de intervalos.

4º. Efectuar la tabulación (recuento de frecuencias). Una vez establecidos los intervalos iríamos contando los valores incluidos en cada uno de ellos. Esta labor resulta más sencilla si utilizamos marcas de clases, tal y como aparece en el cuadro que se presenta más adelante. Ccada marca de clase indica un valor correspondiente al intervalo, con lo que la frecuencia será el recuento de las marcas de clase obtenidas.

5º. Cálculo de las frecuencias acumuladas. Como nos piden también las frecuencias acumuladas, éstas se establecen una vez hecho el recuento de frecuencias, incluyendo en cada intervalo su frecuencia más la de los intervalos anteriores (dicha labor debe empezarse por el intervalo menor). Así, para el primer intervalo la frecuencia acumulada será igual a su frecuencia sin acumular, para el segundo intervalo será su frecuencia más la del primero, para el tercero su frecuencia más la correspondiente a los dos intervalos anteriores, o lo que es lo mismo, su frecuencia más la frecuencia acumulada del intervalo anterior, y así sucesivamente.

Siguiendo todos los pasos hasta aquí señalados, llegaríamos a construir una distribución de frecuencias como la que recogemos en la tabla siguiente, donde aparecen los intervalos, las marcas y las frecuencias absolutas, tanto individuales como acumuladas.

Interva-los

Marcas

f

fa

46 - 49 42 - 45 38 - 41 34 - 37 30 - 33 26 - 29 22 - 25 18 - 21 14 - 17 10 - 13 6 - 9 2 - 5

//// ///// //// ///// ///// //// //// ///// /// ///// // ///// /// // // /

4 9 10 4 4 8 7 5 3 2 2 1

59 55 46 36 32 28 20 13 8 5 3 1

PROBLEMA 4.

Los 31 profesores de un Centro de Educación Primaria se agrupan, en función de su situación administrativa, de la forma que recogemos a continuación. Representa dichos datos en un diagrama de barras.

Situación Administrativa

Nº Profesores

Definitivos

Provisionales En comisión de servicios

Interinos

15 10 4 2

4

Solución

Se trata de representar por

medio de barras o rectángulos, separados entre sí (de lo contrario tendríamos un histograma) las puntuaciones correspon-dientes a cada una de las situaciones administrativas en las que se encuentra el profesorado de este Centro. El ancho de la base de las barras debe ser igual para todas, variando la altura, que es la que refleja la frecuencia correspondiente a cada una de las categorías de la variable situación administrativa.

PROBLEMA 5.

Representa los datos correspondientes a la variable situación administrativa, utilizados en el problema 5, mediante un ciclograma. Solución

En este caso la superficie del círculo (360o) se reparte proporcionalmente a las frecuencias de cada categoría. Los profesores definitivos ocuparán un sector circular que representa el 48.39% de los 360o, es decir, 360⋅48.39/100=174o que suponen algo menos de un ángulo llano. Los profesores provisionales estarán representados por un sector de 360⋅3226/100=116o, es decir, algo más que un ángulo recto. Cálculos análogos determinan un sector circular de 47o para los profesores en comisión de servicios y 23o para los interinos.

PROBLEMA 6.

Representa mediante un histograma las edades (en meses) de los 60 alumnos del segundo ciclo de Educación Infantil de un Centro, cuya distribución de frecuencias es la siguiente:

Edades

Nº Alumnos

55 - 59 50 - 54

16 10

5

45 - 49 40 - 44 35 - 39 30 - 34 25 - 29

8 7 8 6 5

Solución

El histograma es similar a un diagrama de barras en el que dichas barras se levantan sobre los límites reales de los intervalos, apareciendo, por tanto, unidas lateralmente entre si.

PROBLEMA 7.

Representa en un polígono de frecuencias los siguientes datos, correspondientes a los C.I. de un grupo de 25 alumnos de 6º curso de Educación Primaria.

C.I.

Nº Alumnos

116 - 120 111 - 115 106 - 110 101 - 105 96 - 100 91 - 95

1 3 7 11 2 1

Solución

Para trazar el polígono de frecuencias se señala el punto medio de cada intervalo en el eje de abcisas (horizontal), se marca la altura correspondiente, de acuerdo con las frecuencias y se unen los puntos marcados con líneas rectas. El gráfico cortará el eje de abcisas en los puntos medios de los intervalos inmediatamente superior al intervalo mayor e inferior al menor (ambos con frecuencia cero).

6

PROBLEMA 8.

Representa mediante un polígono de frecuencias acumuladas los datos relativos al C.I. de un grupo de 25 alumnos de 6º de Educación Primaria utilizados en el problema anterior. Solución

El polígono de frecuencias acumuladas se construye de forma muy parecida al polígono de frecuencias, con la diferencia de que aquí la altura viene dada por las frecuencias acumuladas (frecuencia de cada intervalo más frecuencias de los intervalos anteriores). Además, la línea comienza en el eje de abcisas en el límite inferior real del primer intervalo, y une los puntos situados sobre cada límite superior real, a una altura igual a la frecuencia acumulada en cada intervalo.

PROBLEMA 9.

Las puntuaciones obtenidas por 6 alumnos en una prueba de matemáticas han sido 4, 6, 3, 5, 7 y 9. Calcula la media aritmética, mediana y moda de dichas puntuaciones. ¿Cuál es la medida de tendencia central más adecuada? Solución

Calculamos, en primer lugar, la media:

7

Para calcular la mediana es necesario ordenar las puntuaciones: 3, 4, 5, 6, 7, 9

Como el número de puntuaciones es par, la mediana es la media aritmética de las dos puntuaciones centrales, es decir,

5.5 = 211 =

26 + 5 = Md

La moda es la puntuación con frecuencia máxima (puntuación que más se repite). En este caso todas

las puntuaciones tienen igual frecuencia por lo que no tiene sentido calcular la moda. La medida de tendencia central más adecuada, en este caso, no puede ser la moda, pues ya hemos

dicho que no tiene sentido su cálculo. Entre la media y la mediana no hay muchas diferencias, por lo que ambas medidas pueden sernos igualmente útiles. Si bien ambas pueden ser representativas, posiblemente la media sea la más utilizada en estos casos en los que no existe una acusada asimetría. PROBLEMA 10.

Las puntuaciones obtenidas por un grupo de 38 alumnos en una prueba valorada de 0 a 100, las cuales se suponen medidas en escala de intervalos, son las que se presentan en la tabla.

a) Calcula la media aritmética, mediana y moda. b) ¿Qué puntuación deja por debajo de sí el 75% de los casos? ¿Y el 25%? ¿Cómo se denominan dichas puntuaciones? c) Calcula el percentil 90. d) Calcula el decil 2. e) En este caso, ¿es mayor la mediana que el decil 5? f) Si hubiésemos tomado intervalos de amplitud 5, ¿cuáles de las medidas calculadas variarían? ¿Serían más o menos exactas?

Intervalos

f

91 - 100 81 - 90 71 - 80 61 - 70 51 - 60 41 - 50 31 - 40 21 - 30 11 - 20 1 - 10

2 0 3 6 7 9 4 5 1 1

5.67 = 634 =

69+5+7+3+6+4 =

nX = X i∑

8

Solución

a) La moda, valor más sencillo de calcular, es la puntuación con frecuencia máxima o puntuación que más se repite. Al estar los datos agrupados en intervalos, la moda será el punto medio del intervalo con frecuencia máxima, es decir Mo=45.5.

Para calcular la media aritmética necesitamos los puntos medios de los intervalos y los productos de dichos puntos medios por las frecuencias. Dichos cálculos se expresan en la tabla que mostramos seguidamente.

Intervalos

f

Xi

fi⋅Xi

91 - 100 81 - 90 71 - 80 61 - 70 51 - 60 41 - 50 31 - 40 21 - 30 11 - 20 1 - 10

2 0 3 6 7 9 4 5 1 1

95.5 85.5 75.5 65.5 55.5 45.5 35.5 25.5 15.5 5.5

191

0 226.5

393 388.5 409.5

142 127.5 15.5 5.5

n = 38

1899

49.97 = 38

1899 = n

f X = X ii ·∑

La mediana es la puntuación que deja por encima y por debajo de sí el 50% de los casos. Como

tenemos 38 sujetos, la mediana será la puntuación que deje por encima y por debajo de sí 38/2=19 sujetos. Su fórmula de cálculo, para datos agrupados en intervalos, es la siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − f 2n

fI+L=Md a

ii

Como n/2=38/2=19 es una frecuencia acumulada que se alcanza dentro del intervalo 41-50 (intervalo

crítico), sustituyendo en la fórmula anterior los valores del límite inferior de ese intervalo (Linfer), la amplitud de los intervalos (I), la frecuencia en el intervalo crítico (fi) y la frecuencia acumulada en el intervalo anterior al crítico (fa) tendremos

49.39 = 11 - 2

38 9

10 + 40.5 = Md ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Tenemos, por tanto, tres medidas de tendencia central:

45.5 = Mo 49.39; = Md 49.97; = X

b) Las puntuaciones que dejan por debajo de sí el 25 y el 75% de los casos se conocen con el nombre de cuartil 1 (Q1) y cuartil 3 (Q3), respectivamente. Dichas puntuaciones se corresponden, igualmente, con los percentiles 25 y 75. Su cálculo viene dado por la fórmula

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅f

4n m

fI+L=Q a

iim

9

Cada uno de ellos se sitúa en los siguientes intervalos críticos:

Q3 : (3⋅38)/4=28.5 (intervalo 61 - 70) Q1 : (1⋅38)/4=9.4 (intervalo 31 - 40) Sustituyendo los distintos valores en la fórmula, obtendremos

36.75 = 7 -438 1

410+ 30.5 = Q

63 = 27 - 438) (3

610+ 60.5 = Q

1

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

c) El percentil 90 (centil 90) es la puntuación que deja por debajo de sí el 90% de los casos. Su

fórmula de cálculo es la siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅f

100n m

fI+L=P a

iim

Como en los casos anteriores, en primer lugar determinamos el intervalo en el que se encuentra dicho percentil: (90⋅38)/100=34.2 (intervalo 71 - 80). Sustituyendo los distintos valores en la expresión de cálculo, tendremos:

74.5 =33 - 100

3890 3

10 + 70.5 = P90 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

d) El decil 2 es la puntuación que deja por debajo de sí el 20% de los casos (por encima el 80%). Su

fórmula de cálculo es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅f

10n m

fI+L=D a

iim

El segundo decil se encuentra en el intervalo 31-40, pues (2⋅38)/10=7.6. Sustituyendo en la fórmula, tendremos:

32 = 7 - 10

38) (2 4

10 + 30.5 = D2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

e) Ni en éste ni en ningún caso posible la mediana puede ser mayor ni menor que el decil 5 pues, por

definición, ambos valores son la puntuación que deja por encima y por debajo de sí el 50% de los casos.

f) Si la amplitud del intervalo fuese 5 posiblemente variarían todas las puntuaciones calculadas, ya

que todas ellas son función del intervalo elegido. Cuanto menor es la amplitud del intervalo más precisas son las medidas calculadas, por lo que si hubiésemos elegido como amplitud del intervalo 5, en lugar de 10, las medidas serían más precisas. PROBLEMA 11

Las puntuaciones obtenidas por 59 alumnos en una prueba de prerrequisitos para la lectura son las que se recogen en la tabla siguiente.

a) Señala la escala de medida utilizada. b) Calcula P25,, P50, P75, P90, moda y mediana. c) ¿Qué percentil corresponde a una alumna que ha obtenido una puntuación directa de 40 puntos? ¿Y a un alumno que obtuvo 34 puntos?

10

Intervalos

f

fa

47 - 49 44 - 46 41 - 43 38 - 40 35 - 37 32 - 34 29 - 31 26 - 28 23 - 25 20 - 22 17 - 19 14 - 16 11 - 13 8 - 10 5 - 7 2 - 4

4 7 4 8 4 1 5 6 6 4 3 2 2 2 0 1

59 55 48 44 36 32 31 26 20 14 10 7 5 3 1 1

Solución

a) Escala de medida ordinal. Podemos ordenar a los alumnos en función de que necesiten más o menos prerrequisitos lectoescritores, pero no podemos decir que un alumno esté doblemente preparado que otro para aprender a leer, ya que, por lo general, no tendremos una unidad constante que establezca dichas diferencias; lo más probable es que unos prerrequisitos sean más importantes que otros.

b) Cálculo de los percentiles:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f

100nm_

fI+L=P a

iim

22.88 =14 100

59 25 63+22.5=P25 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

·

30.60 =26 100

59 50 53+28.5=P50 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

·

40.69 =44 100

5975 43+40.5=P75 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

·

Se pide también el cálculo de la mediana y de la moda. La mediana ya está calculada, pues coincide

con el percentil 50 (Md=P50=30.6). La moda es el punto medio del intervalo con frecuencia máxima, es decir Mo=39.

c) Se trata del problema inverso al apartado anterior, que podemos resolver aplicando la misma fórmula. El valor que buscamos no es, como ocurría anteriormente, Pm sino el valor m.

11

53.96 = m donde de 31 - 100

59 m 13 + 31.5 = 34

72.32 = m donde de 36 - 100

59 m 83 + 37.5 = 40

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

·

·

PROBLEMA 12

Calcula la Moda para cada uno de los siguientes conjuntos de datos obtenidos tras medir una determinada variable:

a) 2, 3, 3, 5, 7, 9, 9, 9, 13, 14, 3, 2, 3, 9 b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 c) 2, 4, 7, 7, 2, 4, 7, 9, 9, 9, 9, 7, 9 d) 1, 3, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 3, 1 e) 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 6, 6, 6, 6, 7, 9, 11, 15.

Solución

En el caso a) encontramos dos valores con frecuencia máxima. Por tanto la distribución es bimodal, siendo ambas modas los valores 3 y 9. En el caso b) no tiene sentido hablar de moda, ya que todos los valores tienen la misma frecuencia. En c) sólo hay un valor con frecuencia máxima, el 9. Para el conjunto d) también hay una única moda, que es el valor 3. En e) encontramos los valores 1, 2 y 6 con frecuencia máxima; se trata de un conjunto de datos trimodal. PROBLEMA 13

Calcula la medida de tendencia central más adecuada para las 66 puntuaciones de la siguiente distribución de frecuencias. Solución.

En este caso la distribución es asimétrica, por lo que parece más aconsejable el cálculo de la mediana. Como tenemos 66 puntuaciones, la que ocupa el lugar central será aquélla que deja por encima 33 valores y por debajo otros 33. Esta puntuación se sitúa en el intervalo de frecuencia 15, pues hasta ese intervalo contabilizamos 27 puntuaciones y, como en dicho intervalo hay 15, en él estará comprendida la puntuación cuya frecuencia es 33. Para saber a qué puntuación corresponde la frecuencia 33 aplicamos la fórmula de cálculo de la mediana. PROBLEMA 14

Los 25 alumnos de un aula de Educación Infantil han sido evaluados para determinar el nivel que presentan en ciertas variables relevantes para el aprendizaje de las matemáticas. Teniendo en cuenta que los resultados obtenidos en una prueba de discriminación de formas son los que aparecen a continuación,

Puntuaciones f 90 - 99 80 - 89 70 - 79 60 - 69 50 - 59 40 - 49 30 - 39 20 - 29 10 - 19 0 - 9

5 9 10 15 12 7 5 1 1 1

63.5 = 27-2

66 1510 + 59.5 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛f -

2n

fI + L = Md a

ii ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

12

determina la tendencia central del grupo mediante la media, la mediana y la moda, así como el grado de dispersión que presentan las puntuaciones, expresado a partir de su rango y su desviación típica.

27, 35, 40, 26, 32, 31, 35, 28, 29, 25, 36, 31, 27, 29, 25, 32, 34, 28, 33, 35, 29, 30, 39, 27, 25. Solución

En primer lugar organizamos las puntuaciones dadas en una distribución de frecuencias, lo cual aunque no es necesario resulta conveniente, ya que facilita los cálculos. En la tabla que se presenta a continuación incluimos, además de la distribución de frecuencias, los cálculos previos necesarios para resolver las cuestiones planteadas.

El cálculo de la media aritmética resulta sencillo teniendo en cuenta los cálculos previos:

30.72 = 25

768 = n

f X = X ii ·∑

La mediana es la puntuación que ocupa el

lugar central. Puesto que contamos con 25 puntuacio-nes, la mediana será el valor que ocupe el lugar 13 (deja 12 por debajo y 12 por encima), es decir Md=30.

La moda es la puntuación o puntuaciones que más se repiten (las que tienen mayor frecuencia). En este caso, la distribución es multimodal, contando con cuatro modas que son 25, 27, 29 y 35.

El rango o amplitud total para la distribución es: A.T. = Pmayor - Pmenor + 1 = 40 - 25 + 1 = 16

La desviación típica se obtiene a partir de su expresión de cálculo:

4.21 = )(30.72 - 25

24036 = s

X - nf X = s

2x

2i2i

x·∑

PROBLEMA 15

Calcula el coeficiente de variación para los datos correspondientes a una prueba de discriminación de formas administrada a 25 alumnos de un aula de Educación Infantil, que utilizamos en el problema anterior. Solución

Xi

Marcas

fi Xi⋅fi

X2

i X2i⋅fi

25

///

3

75

625

1875

26

/

1

26

676

676

27

///

3

81

729

2187

28

//

2

56

784

1568

29

///

3

87

841

2523

30

/

1

30

900

900

31

//

2

62

961

1922

32

//

2

64

1024

2048

33

/

1

33

1089

1089

34

/

1

34

1156

1156

35

///

3

105

1225

3675

36

/

1

36

1296

1296

39

/

1

39

1521

1521

40

/

1

40

1600

1600

n=25

768

24036

13

El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media, normalmente expresado en porcentajes. Por tanto,

13.70 = 100 30.724.21 =100

Xs = C.V. x −·

PROBLEMA 16.

Tras aplicar una prueba de memoria a 70 alumnos de Educación Primaria, pretendemos describir la dispersión del conjunto de puntuaciones obtenidas. Determina el valor del rango, la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

I

fi

19 - 21 16 - 18 13 - 15 10 - 12 7 - 9 4 - 6 1 - 3

5 9 12 25 13 4 2

Solución

En la tabla siguiente se incluyen los cálculos previos para hallar las medidas de variabilidad solicitadas. En la primera columna se presentan los intervalos, en la segunda las frecuencias, en la tercera los puntos medios de cada uno de los intervalos, en la cuarta el producto de los puntos medios de cada uno de los intervalos por su frecuencia, en la quinta las diferencias en valor absoluto de cada punto medio de los intervalos con respecto a la media aritmética (x, por tanto, representa puntuaciones diferenciales), en la sexta la columna anterior multiplicada por la frecuencia de cada intervalo, en la séptima los valores de los puntos medios de cada uno de los intervalos elevados al cuadrado y, en la octava y última el valor de la columna anterior multiplicado por la frecuencia de cada intervalo.

I

fi

Xi

Xi⋅fi

│x│

fi⋅│x│

X2

i

X2

i⋅fi 19 - 21 16 - 18 13 - 15 10 - 12 7 - 9 4 - 6 1 - 3

5 9 12 25 13 4 2

20 17 14 11 8 5 2

100 153 168 275 104 20 4

8.23 5.23 2.23 0.77 3.77 6.77 9.77

41.15 47.07 26.76 19.25 49.01 27.08 19.54

400 289 196 121 64 25 4

2000 2601 2352 3025 832 100 8

70

824

229.86

10918

21) = 0.5 - 21.5 ( 21 = 1 + 1 - 21 = A.T.

14

35.51% = 100 11.774.18 = 100

Xs = C.V. x

4.18 = 17.44 = s = s

17.44 = 7711. - 70

10918 = X - nf X = s

2xx

22i2i2

x∑

PROBLEMA 17.

Una empresa dedicada a la selección de personal utiliza determinada prueba con la que mide la aptitud de los candidatos para desempeñar cierto puesto de trabajo. El total de aspirantes es de 190 y los resultados alcanzados por cada uno de ellos en la prueba son los que mostramos seguidamente.

Aptitud

fi

125-129 120-124 115-119 110-114 105-109 100-104 95-99 90-94 85-89 80-84

7 8 12 20 27 41 32 30 11 2

a) Si pretendemos seleccionar a sólo 38 de los candidatos, ¿cuál es la puntuación mínima que habría de obtenerse para ser seleccionado? b) ¿Qué porcentaje de sujetos quedaron por debajo de un aspirante que consiguió una puntuación de 105.5? b) Determina la amplitud semiintercuartil para la distribución.

3.28 = 70

229.86

11.77 = 70824 =

nf X = ii∑

= D.M.

X ;n

f | X - X | = D.M. i∑

15

Solución

a) Si de los 190 sólo pretendemos seleccionar a 38, de 100 seleccionaríamos 38⋅100/190=20. Por tanto, se nos pide la puntuación que deje por encima de sí el 20% de los casos, es decir el percentil 80 (puntuación que deja por debajo de sí el 80% y por encima el 20%).

111.75 = )143 - 152( 205 + 109.5 = P

152 = 100

190 80 = 100

n m ; f - 100

n m fI + L = P

80

ai

inferm···

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Es decir, la puntuación mínima que hay que alcanzar es 111.75 puntos.

b) Se trata en este caso de un problema inverso al anterior. Utilizamos la misma expresión analítica de

los percentiles, pero el elemento desconocido ahora es m.

63.89=m

116 - 100

190 m 275 + 104.5 = 105.5

f - 100

n m fI + L = P a

ainferm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

·

·

Por debajo de la puntuación 105.5 quedan el 63.89% de los sujetos.

c) Amplitud semiintercuartil.

Para calcular cada uno de los cuartiles debemos previamente determinar el intervalo en el que se encuentran.

Para Q3: 3·n/4=3⋅190/4=142.5 (intervalo 105-109) Para Q1: 1·n/4=1⋅190/4=47.5 (intervalo 95-99)

PROBLEMA 18.

A continuación se presentan datos correspondientes al número de horas que diferentes muestras de profesores de Educación Secundaria invirtieron durante el último sexenio en cursos de formación.

n

Media

sx

Definitivos

50

100

10

Provisionales

40

120

20

Interinos

30

140

30

⎟⎠⎞f -

4n

a·

⎜⎝⎛ m

fI +L = Q ;

2Q - Q

= Qi

inferm13

16

¿Cuál de los tres grupos de profesores puede considerarse más homogéneo en la variable estudiada? Solución

Para saber cuál de los tres grupos es más homogéneo, determinaremos en cual de ellos el coeficiente de variación es menor.

21.43 = 100 14030=.C.V

16.67 = 100 12020=.C.V

10 = 100 10010=.C.V

Interinos

lesProvisiona

sDefinitivo

·

·

·

Por tanto, el grupo más homogéneo en cuanto a horas de formación en el último sexenio es el grupo constituido por los profesores definitivos. Problema 19.

En una muestra de alumnos de segundo curso de Ciencias de la Educación, elegida al azar, se preguntó por el número de problemas que realizaban para preparar el primer examen parcial de la asignatura Estadística.

Intervalos

f

51-60 41-50 31-40 21-30 11-20 1-10

1 4 50 40 20 10

a) Calcula el rango, varianza, desviación típica y amplitud semiintercuartil. b) Calcula la distancia entre los deciles 9 y 1.

Solución

a) Rango: A.T.= 60.5 - 0.5 + 1 = 61. Cálculo de la media.

nf X = X ii·∑

1251) (55.5+...+ 20) (15.5 + 10) (5.5 = X ···

27.18 = 125

3397.5 = X

17

Cálculo de la varianza.

105.18 = 125

13147.20 = s

125

)27.18-(55.5 1+...+)27.18-(15.5 20 +)27.18-(5.5 10 = s

n

) X - (X f = s

2x

2222x

2i2

x

···

·∑

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, por tanto,

10.26 = 105.18 = s = s 2

xx

Amplitud semiintercuartil. Para calcular los distintos cuartiles, debemos previamente determinar el intervalo en el que se sitúa cada uno de ellos.

Para Q3 : (3⋅125)/4=93.75 (en el intervalo 31-40) Para Q1 : (1⋅125)/4=31.25 (en el intervalo 21-30)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − f

4n m

fI+L=Q a

iim

·

7.22 = 2

20.81 - 35.25 = Q

20.81 = ) 30 - 31.25 ( 4010 + 20.5 = Q

35.25 = ) 70 - 93.75 ( 5010 + 30.5 = Q

1

3

b) Para calcular la distancia entre los deciles D9 y D1 calculamos primero cada uno de dichos deciles

y, posteriormente, la diferencia entre ellos. Al igual que en el caso anterior, necesitamos saber en qué intervalo crítico se sitúa cada uno de los deciles.

Para D9 : (9⋅125)/10=112.5 (en el intervalo 31-40) Para D1 : (1⋅125)/10=12.5 (en el intervalo 11-20)

Aplicando la fórmula de cálculo para los deciles, ya utilizada en problemas anteriores,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − f

10n m

fI+L=D a

iim

·

11.75 = 10) - (12.5 2010 + 10.5 = D1

27.25 = 11.75 - 39 = D - D 19

18

PROBLEMA 20.

En una autoescuela que lleva funcionando sólo tres meses han sacado el carnet de conducir, hasta el momento, 10 alumnos, presentándose a examen, para obtenerlo, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2 y 3 veces respectivamente. Sabiendo que en una conocida autoescuela, con cierto prestigio en la localidad, la desviación media con respecto al número de veces que los alumnos se presentan a examen es 1.5. ¿Podemos afirmar que en la nueva autoescuela ha menores diferencias entre los alumnos en cuanto al número de veces que se presentan a examen? Solución

Se tratará de comparar, para las dos autoescuelas, la dispersión del número de veces que los alumnos se presentan a examen. Disponemos de la desviación media en la autoescuela que lleva funcionando más tiempo, por lo que para establecer algún tipo de comparaciones tenemos que calcular la desviación media de la nueva autoescuela.

n| X - X | = D.M. ∑

2.6 = 1026 =

103...++3+2 =

nX = X ∑

1 = 1010 =

100.4...++0.4+0.6 = D.M.

De acuerdo con el resultado, parece que en la nueva autoescuela existen menos diferencias entre los alumnos. PROBLEMA 21.

En un Centro de Educación Secundaria, la calificación media de los alumnos de 2º A en una prueba de educación artística (valorada de 0 a 10), fue de 7.25 puntos y su desviación típica de 1.25. Los alumnos de 2º B obtuvieron una calificación media de 6.50 y una desviación típica de 0.75.

a) ¿Qué grupo puede considerarse más homogéneo en el área estudiada? b) ¿Qué puntuación diferencial le corresponde a un alumno de 2º A que obtuvo 6 puntos en la prueba? c) ¿Qué puntuación típica le corresponde a un alumno de 2ºB que obtuvo 7.25 puntos en la prueba? d) ¿Qué eneatipo corresponde a un alumno de 2º A cuya puntuación diferencial fue de 1 punto? e) ¿Qué eneatipo corresponde a un alumno de 2º B cuya puntuación típica fue de 1 punto?

Solución

a) Para ver qué grupo es más homogéneo calculamos el coeficiente de variación de ambos grupos. Será más homogéneo el que menor coeficiente de variación tenga.

17.24% = 100 7.251.25 = 100

Xs = .C.V

2”A

2”A2”A

11.54% = 100 6.500.75 = 100

Xs = .C.V

2”B

2”B2”B

Por tanto, en lo que respecta a las calificaciones obtenidas en educación artística, es más homogéneo

el grupo de 2º B.

b) La puntuación diferencial es la puntuación directa menos la media. P. Diferencial = 6 - 7.25 = -1.25

c) La puntuación típica correspondiente a 7.25 (2ºB) será

19

1 = 0.75

6.50 - 7.25 = s

X - X =z x

d) La escala de eneatipos resulta de la transformación 5 + 2z, por lo que tendremos que calcular

previamente la z correspondiente a la puntuación dada.

0.80 = 1.25

1 = s

X - X =z x

De donde: E = 5 + 2z = 5 + 2 (0.8) = 6.6

e) De forma similar al caso anterior, E = 5 + 2z = 5 + 2⋅(1) = 7

PROBLEMA 22.

Administrada a un grupo de alumnos de Educación Infantil de determinado Centro una prueba de fluidez verbal, supuestamente medida en escala de intervalos, se han obtenido las siguientes puntuaciones.

50604441363222657335

64 41 52 56 20 35 50 48 74 62

71 53 24 36 44 50 60 70 67 42

60 40 35 45 50 41 31 24 28 30

26 40 23 24 21 31 62 73 61 50

a) Agrupa dichos datos en intervalos de amplitud 5 tomando como límite aparente del intervalo menor la puntuación más pequeña. Expresa las frecuencias absolutas y acumuladas. b) ¿Cuál es la amplitud de las puntuaciones obtenidas? ¿Y de la distribución resultante tras agrupar los datos por intervalos? c) Calcula las medidas de tendencia central antes y después de agrupar los datos. ¿Cuáles son más precisas? ¿Qué medida de tendencia central consideras más adecuada?

A partir de aquí trabaja con la distribución de datos agrupados. d) Calcula las medidas de variabilidad que conozcas. e) ¿Cuál es el percentil 90? f) ¿Qué porcentaje de sujetos deja por encima de si un alumno que obtuvo en la prueba 50 puntos? g) Calcula los cuartiles 1, 2 y 3. h) ¿Cuál es el decil 1? j) ¿Qué puntuación típica le corresponde a un alumno que obtuvo 50 puntos en la prueba? k) ¿Qué puntuación diferencial le corresponde a un alumno que obtuvo 60 puntos en la prueba? l) ¿Qué eneatipo le corresponde a un alumno que obtuvo 65 puntos en la prueba? m) Realiza una representación gráfica de los datos.

Solución

a) La puntuación más pequeña es 20 y como la amplitud del intervalo ha de ser 5, el intervalo menor será 20-24. A partir de aquí construiríamos el resto de los intervalos.

20

X

Marcas

f

fa

70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24

///// // ///// // / ///// // // ///// /// ///// //// // ///// //

5 2 7 1 7 2 8 5 4 2 7

50 45 43 36 35 28 26 18 13 9 7

b) A.T. = Puntuación mayor - Puntuación menor + 1 Para los datos sin agrupar: A.T. = 73 - 20 + 1 = 54 Para los datos agrupados: A.T. = 74 - 20 + 1 = 55.

c) Medidas de tendencia central antes de agrupar los datos:

45.44 = 50

2300 = 50

50...++60+50 = nX = X i∑

Como el número de puntuaciones es par, la mediana será el valor promedio entre las dos puntuaciones

que ocupan los lugares centrales una vez ordenados los datos.

44 = 2

44 + 44 = Md

La moda es la puntuación que más se repite, es decir Mo = 50.

Medidas de tendencia central después de agrupar los datos. Es recomendable que los cálculos para

éstos y otros estadísticos obtenidos a partir de distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos se realicen a partir de una tabla como la presentada a continuación.

X

fi

Xi

Xi⋅fi

70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24

5 2 7 1 7 2 8 5 4 2 7

72 67 62 57 52 47 42 37 32 27 22

360 134 434 57 364 94 336 185 128 54 154

2300

21

Por tanto, la media aritmética será:

46 = 50

2300 = n

f X = X ii ·∑

A continuación, procedemos al cálculo de la mediana, sabiendo que la mitad de las puntuaciones es 25, y el intervalo crítico será por tanto 40-44.

43.875 = 18 - 2

50 85 + 39.5 = Md ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

La moda es el punto medio del intervalo con frecuencia máxima, es decir Mo = 42. Son más precisas las medidas calculadas con los datos sin agrupar, pues trabajan con las puntuaciones

reales (en las puntuaciones agrupadas se trabaja con el punto medio de cada intervalo, como una aproximación, pero no son las puntuaciones reales). El empleo de estas últimas está justificado no por la precisión sino por la facilidad de cálculo y la comodidad en el manejo de los datos.

La medida de tendencia central más adecuada, al trabajar en una escala de intervalos, sería la media. No obstante, hay que tener en cuenta que si la distribución es muy asimétrica es preferible la mediana. Como la asimetría la calcularemos más adelante, en función de lo que resulte decidiríamos qué medida es la más adecuada: si la distribución no es muy asimétrica la media, y si lo es, la mediana. La moda queda descartada por ser la medida de tendencia central menos sensible a las variaciones de las puntuaciones.

d) Medidas de variabilidad. Las más utilizadas habitualmente son: amplitud o rango (ya calculado), desviación media, varianza, desviación típica, amplitud semiintercuartil y coeficiente de variación.

Conviene hacer una precisión respecto a la desviación media. Podemos calcular la desviación media respecto a la media, a la mediana y a la moda. Normalmente, si no se especifica, suele calcularse la desviación media con respecto a la media, que es la que aquí calcularemos (si deseamos calcularla con respecto a la mediana o a la moda, bastaría sustituir el valor de la media por el de la medida de tendencia central correspondiente).

Al igual que en el caso anterior, es recomendable presentar los cálculos previos en una tabla como la mostrada a continuación.

X

fi

│Xi-X│

│Xi-X│⋅ fi

(Xi-X)2⋅ fi

70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24

5 2 7 1 7 2 8 5 4 2 7

26 21 16 11 6 1 4 9 14 19 24

130 42 112 11 42 2 32 45 56 38 168

3380 882 1792 121 252 2

128 405 784 722 4032

678

12500

12.36 = 50

678 = n

f | X - X | = D.M. ii ·∑

250 = 50

12500 = n

) X - X( f = s

2ii2

x·∑

22

15.81 = 250 = s = s 2

xx

34.37% = 100 46

15.81 = 100 Xs = C.V. x

Para el cálculo de la amplitud semiintercuartil determinaremos previamente el valor de los cuartiles

Q1 y Q3, sabiendo que para el primero de ellos, el intervalo crítico es 30-34, pues aquí se alcanza la frecuencia acumulada (1⋅50)/4, y para el segundo de ellos, la frecuencia acumulada (3⋅50)/4 se alcanza en el intervalo 60-64.

23

33.875 = 9 - 450 1

45 + 29.5 = Q1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ··

60.57 =36 - 450 3

75 + 59.5 = Q3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ··

13.35 = 2

26.695 = 233.875 - 60.57 =

2Q - Q = Q 13

e) El percentil 90 es la puntuación que deja por debajo de si el 90% de los casos. En primer lugar

determinamos cuál es el 90% de los casos, para saber en qué intervalo se encuentra dicho percentil.

45 = 50 10090 ·

En este caso, el percentil 90 se encontraría exactamente en el límite real superior del intervalo 65-69,

o lo que es lo mismo, en el límite real inferior del intervalo 70-74. Por tanto, P90=69.5.

f) Se trata de proceder de manera inversa al caso anterior. En la expresión de cálculo de los percentiles sustituiremos todos los elmentos conocidos para determinar el valor de m.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − f

100n m

fI+L=P a

iim

·

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 28 -

10050 m

75 + 49. = 50 ··5

Y despejando, obtenemos m=57.4. Es decir, un 57.4% de los sujetos obtuvieron puntuaciones más

altas que el alumno que alcanzó los 50 puntos. g) Los cuartiles Q1 y Q3 ya fueron calculados para determinar la amplitud semiintercuartil (Q1

=33.875 y Q3 =60.57). El cuartil Q2 también es conocido, pues coincide con la mediana (Q2 =Md=43.875).

h) El decil 1 es la puntuación que deja por debajo de si el 10% de los casos. Se calcula de forma similar a los cuartiles. El intervalo crítico es aquel en el que se alcanza una frecuencia acumulada de (1⋅50)/10=5, es decir, el intervalo 20-24. Aplicando la fórmula de cálculo ya conocida, tendremos

23.07 = 0 - 10

50 1 75 + 19.5 = D1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ··

j) Puntuación típica correspondiente a X=50.

0.25 = 15.81

46 - 50 = s

X - X =z x

k) Una puntuación diferencial es igual a la puntuación directa menos la media, por tanto para la

puntuación 60, tendremos 60 - 46 = 14.

l) Para conocer el eneatipo que corresponde a un determinada puntuación la transformamos, en primer lugar, en puntuación típica.

1.20 = 15.81

46 - 65 = s

X - X =z x

El eneatipo resulta de la transformación 5 + 2z. Para nuestro caso, será E=5 + 2⋅(1.20) = 7.40.

24

m) Teniendo en cuenta que la variable está medida en escala de intervalos y suponiendo que dicha variable sea continua, el polígono de frecuencias puede resultar una representación gráfica adecuada.

25

BLOQUE B: PROBLEMAS PROPUESTOS 23. Calcula media aritmética, mediana y moda en cada uno de los casos siguientes:

a) 2, 8, 3, 5, 4, 7, 9. b) 2, 3, 2, 4, 5, 8, 6, 2. c) 100, 200, 200, 100, 300, 100, 200. d) 984, 894, 498, 849, 948, 894.

24.Calcula rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación en cada uno de los casos siguientes:

a) 1, 3, 2, 5, 9, 4, 7, 6, 8. b) 9, 5, 9, 4, 9, 3, 9, 2, 9, 1. c) 8, 17, 8, 4, 24, 29. d) 1, 60, 75, 15, 99.

25. Las puntuaciones obtenidas en un test de inteligencia, supuestamente bien construido, por 25 alumnos de 6º A de un determinado Centro de Educación Primaria son las siguientes:

a) Determina la escala de medida. b) Calcula media, mediana y moda. ¿Cuál es la medida de tendencia central más adecuada? c) Calcula rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. d) Si las puntuaciones obtenidas en 6ºB (n = 24 alumnos) tienen por media 106 y varianza 7.22, ¿qué grupo es más homogéneo en lo que se refiere a los resultados obtenidos en dicho test? e) ¿Qué desviación típica corresponde a un alumno que ha obtenido una puntuación directa de 100 puntos?

26. A partir de las calificaciones escolares de 30 alumnos de Enseñanza Secundaria Obligatoria en el área de matemáticas:

a) Determina la escala de medida. b) Calcula la medida de tendencia central más adecuada. c) Calcula el rango intercuartil.

27. A continuación se presentan algunos datos correspondientes al C.I. de los distintos grupos de alumnos del primer ciclo de Educación Secundaria Obligatoria de un Centro.

Grupo

N

Media

sx

1º A 1º B 2º

30 29 26

103.5 102.5 105.5

16 15 17

¿Qué grupo es más homogéneo?

Intervalos f 106 - 110 101 - 105 96 - 100 91 - 95

4 15 4 2

Punt. f 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

26

28. Los años de experiencia de 50 profesores, elegidos al azar, son los que se presentan a continuación.

a) Construye la distribución de frecuencias agrupadas para el total de las puntuaciones. b) ¿Qué puntuación delimita el 30% de las puntuaciones superiores? c) Porcentaje de profesores con menos de 10 años de experiencia. d) ¿Qué porcentaje tienen entre 5 y 10 años de experiencia?

29. En un estudio realizado sobre la discriminación de la mujer en los libros de texto, se ha contabilizado el número de páginas en las que se da dicha circunstan-cia. Analizados 160 libros de texto se han encontrado los siguientes resultados:

a) Señala la escala de medida utilizada. b) ¿En cuántas páginas, por término medio, se ve discriminada la mujer? c) ¿Cuál es la variabilidad de dicha discriminación? d) Sabiendo que en un estudio paralelo con respecto a los hombres se ha encontrado una media de 60 y una desviación típica de 45, ¿qué grupo es más homogéneo en lo que al trato discriminatorio en los libros de texto se refiere?

30. Se ha evaluado la atención de un grupo de 25 alumnos de 6º de Educación Primaria, utilizando la prueba de Toulouse-Pieron.

a) Alberto ha obtenido en la prueba una puntuación de 100 puntos. ¿Cuántos alumnos muestran mayor atención que Alberto? b) Determina la amplitud semiintercuartil de la distribución.

31. Determina los límites reales y los puntos medios de cada uno de los siguientes intervalos.

a) 9 - 15. b) 7.5 - 10.5. c) 6.34 - 8.45. d) 9.718 - 11.736.

32. La media de las calificaciones obtenidas por los alumnos de Ciencias de la Educación del turno de la mañana en Estadística es de 6.2 y su desviación típica de 1.2, mientras que en el grupo de la tarde son 5.7 y 1.3 respectivamente. ¿Qué grupo es más homogéneo en lo que se refiere a sus calificaciones en Estadística?

1 2 5 8 7 9

10 3 9

10

15 20 14 7 2 1 3 7 9 4

2

25 16 1

28 30 32 16 14 15

19 17 16 14 12 35 3 5 2 4

7 12 9

16 28 39 16 14 22 7

Páginas f 275 - 299 250 - 274 225 - 249 200 - 224 175 - 199 150 - 174 125 - 149 100 - 124 75 - 99 50 - 74 25 - 49 0 - 24

2 3 9 10 16 15 22 22 20 16 15 10

Intervalo f 126 - 150 101 - 125 76 - 100 51 - 75 26 - 50 1 - 25

1 1 9 7 5 2

27

33. Los ingresos mensuales, en miles de pesetas, de las 120 familias de un Centro de Educación Primaria son los recogidos en la tabla.

a) ¿Cuáles son los ingresos medios por familia en dicho Centro? b) Si se concede gratuidad de libros de texto al 25% de las familias con menores ingresos, ¿a partir de qué ingresos familiares se accede a dicha gratuidad? c) ¿Cuántas familias poseen unos ingresos medios superiores a las 175000 pesetas/mes? d) ¿Cuál es la variabilidad de ingresos de las familias del Centro? e) Realiza una representación gráfica adecuada.

34. Un Centro comarcal de profesores ha desarrollado un programa de formación en centros para los profesores de colegios de la zona. EL total de 94 profesores participantes ha opinado sobre este tipo de estrategias de formación, expresando una valoración de 1 a 10. Los datos recogidos han permitido elaborar la siguiente distribución de frecuencias, a partir de la cual se pretenden llevar a cabo diferentes estudios descriptivos:

a) Calcula la media, mediana y moda para la distribución. b) Determina el valor de la desviación media y la desviación típica.

35. Dos entrenadores de equipos universitarios de fútbol se ven atraídos por el conocimiento de la estadística como posible herramienta para el análisis de su trabajo. Tras la lectura del primer capítulo de un libro relacionado con el tema y cuyo título es: «medidas de tendencia central para datos sin agrupar», discuten sobre la moda de goles por partido en la última temporada de sus respectivos equipos, señalando uno de ellos que en su equipo fue de 1.5 goles y el otro que de 5 goles. ¿Qué opinas de los valores barajados en dicha discusión? 36. El límite inferior real del intervalo menor en una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de amplitud 10 es 0.5. ¿Cuáles son los límites aparentes de dicho intervalo? ¿Cuál es su punto medio? Si el límite superior real del intervalo mayor es 25.5, ¿cuál es el rango de la distribución? 37. Teniendo en cuenta la forma de las siguientes distribuciones de frecuencias, indica si sería más acertado calcular la media o la mediana como medida de tendencia central para los siguientes casos:

a) b) c) X

fi

X

fi

X

fi

9-10 7-8 5-6 3-4 1-2

2 12 23 11 3

95-99 90-94 85-89 80-84 75-79

18 21 25 20 12

20-23 16-19 12-15 8-11 4-7

21 16 9 5 2

Intervalo f 301 - 350 251 - 300 201 - 250 151 - 200 101 - 150 51 - 100 1 - 50

1 4 15 20 40 30 10

Valoración fi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 5 7 12 24 17 16 7 3 1

28

38. Para conocer la aceptación que las actividades culturales realizadas en una Universidad española tiene entre los alumnos de las distintas facultades, se registra la carrera cursada por cada uno de los estudiantes que participan en las actividades programadas durante un curso académico. Indica la tendencia central de la distribución a partir del índice adecuado y representa gráficamente dicha distribución. 39. Deseamos agrupar 200 puntuaciones en intervalos de amplitud 5. Si las puntuaciones mayor y menor son 450 y 254 respectivamente, ¿cuántos intervalos necesitamos? ¿Consideras adecuada la agrupación realizada? 40. Queremos utilizar 15 intervalos para agrupar 500 puntuaciones que van desde 300 a 599. ¿Cuál es el rango de las puntuaciones? ¿Cuál será la amplitud de los intervalos? Determina el intervalo menor. 41. Administrada una prueba de habilidad manual a 120 alumnos de Formación Profesional comprobamos que las puntuaciones oscilan entre 57 y 95 puntos. ¿Cuál es el rango de las puntuaciones obtenidas? ¿Cuántos intervalos podrían ser adecuados (entre 12 y 15) para agrupar dichas puntuaciones? ¿Cuál sería el intervalo menor? 42. Un profesor interesado en estudiar el tiempo requerido para resolver tareas de resolución de problemas, recoge datos acerca del número de segundos que tarda un grupo de 36 alumnos en encontrar la solución a un interrogante. Ordena los datos presentándolos agrupados por intervalos de amplitud 2 y comenzando por el valor más pequeño de todos los obtenidos.

89, 89, 85, 83, 92, 91, 81, 88, 94, 81, 85, 87, 93, 92, 84, 87, 88, 90, 86, 80, 93, 95, 89, 87, 91,

88, 90, 93, 88, 83, 91, 87, 85, 83, 89, 90. 43. Comenta si las siguientes distribuciones de frecuencias han sido o no adecuadamente construidas y en caso afirmativo calcula su rango.

a) b) c) X

fi

X

fi

X

fi

62-63 61-62 59-60

23 14 24

45-49 40-44 35-39

58 24 65

90-100 80-90

1 6 29

Carrera fi

Arquitectura Bellas Artes Biología Económicas Enfermería Farmacia Filosofía Físicas Geografía e Hª Matemáticas Medicina Pedagogía Psicología Químicas

45 88 90 120 29 45 37 42 108 56 102 89 76 34

29

57-58 55-56

11 55

30-34 25-29

90 17

70-80 60-70 50-60

54 25

44. Para los datos del problema anterior, calcula la media, la mediana y la moda con los datos antes y después de ser agrupados por intervalos. 45. Un día elegido al azar se contabilizaron las marcas de coches aparcados en el parking de una Facultad universitaria. A partir de los datos obtenidos, señala la medida de tendencia central más adecuada, justificando las razones de su uso. 46. En la siguiente distribución hemos perdido los datos correspondientes a las frecuencias pero sabemos que la moda era uno de los siguientes valores: 45, 55, 66, 77, 80 ó 90. ¿Podemos saber cuál es la moda? ¿Es posible conocer el rango de la distribución sin tener las frecuencias? 47. El orientador de un Centro aplica una prueba de percepción figura-fondo a 5 alumnos, obteniendo como resultado 25, 26, 30, 31 y 33. Calcula los siguientes estadísticos que nos servirán para informar de los resultados al profesor-tutor: rango de las puntuaciones, desviación media, varianza y coeficiente de variación. Si la media de dicha prueba en la población de alumnos de la misma edad y nivel sociocultural es de 35 y la desviación típica de 3, ¿qué puedes afirmar sobre la media alcanzada por los 5 alumnos evaluados? 48. Las calificaciones medias en Estadística de los alumnos de una Facultad, medidas en una escala de 0 a 10, son de 6 puntos y su varianza de 1.44. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones es normal y sabiendo que 12 alumnos han obtenido la calificación de sobresaliente (a partir de 9), responde:

a) ¿Cuántos alumnos cursan Estadística en dicha Facultad? b) Calcula las puntuaciones correspondientes a los deciles 10 y 90. c) ¿Qué puntuación diferencial corresponde al cuartil tercero? d) Expresa el eneatipo del alumno que deja por debajo de sí al 40% de los sujetos.

49. Se ha realizado un estudio de los reflejos básicos en 75 alumnos del primer Ciclo de Educación Infantil de un Centro. A partir de los datos recogidos,

a) Representa gráficamente la distribución. b) Realiza los cálculos necesarios para determinar si dicha distribu-ción es más plana o más apuntada que la distribución normal unitaria. c) Calcule la amplitud semiintercuartil. d) En un estudio paralelo realizado en otro Centro se ha obtenido la misma puntuación media, pero en este caso la varianza fue de 10. ¿Qué Centro es más homogéneo en lo que se refiere a los reflejos básicos de los alumnos?

Marcas fi

Seat Peugeot Ford Renault Otros

62 75 60 45 20

Puntuación fi

90-99 80-89 70-79 60-69 50-59

? ? ? ? ?

X fi

29-35 22-28 15-21 8-14 1-7

10 20 25 15 5

30

50. Un profesor de Educación Infantil ha registrado el número de conductas agresivas manifestadas por sus alumnos de 5 años en el último trimestre, obteniendo los resultados recogidos a continuación. ¿Cuál es la desviación media de frecuencias agresivas en el grupo? 51. Dadas las puntuaciones 71, 72, 73, 74 y 75, obtenidas por 5 alumnos en una prueba de razonamiento abstracto cuya media es 50, ¿qué opinión tendrías de dichos alumnos? 52. Las calificaciones obtenidas en una prueba de literatura, calificada con números enteros de 0 a 10, por los 25 alumnos de 2º de Bachillerato de un Centro, son 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8 y 9.

a) ¿Qué puntuación ocupa el decil cuarto? ¿Qué nos indica dicha puntuación? b) Dicho profesor nunca otorga la calificación máxima (10) pero, no obstante, desea dar sobresaliente al menos al 10% de los alumnos. ¿A partir de qué puntuación calificará con sobresaliente? ¿A cuántos alumnos?

53. El conserje de una Facultad universitaria ha ido anotando los días no lectivos de los últimos 10 años, encontrando los siguientes resultados:

a) Realiza una representación gráfica que consideres adecuada para los datos obtenidos. b) ¿Cuál es el rango de días no lectivos en los últimos 10 años? c) ¿Cuál es la moda?

X

fi

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

3 2 1 4 2 3 1 2 5 1

Años Días

1995 1994 1993 1992 1991 1990 1989 1988 1987 1986

160 165 164 160 162 140 143 144 155 160

31

54. A continuación se presentan datos relativos al absentismo escolar de los alumnos de un Centro de Educación Primaria.

a) Determina la desviación media del absentismo. b) Calcula la distancia entre los deciles 20 y 80. c) ¿Cuál es la amplitud semiintercuartil de la distribución? d) ¿Cuál es el porcentaje de absentismo por debajo del cual se sitúan el 70% de los alumnos del Centro? e) Halla la varianza. f) Si consideramos que en un Centro de estas características el absentismo que puede considerarse hasta cierto punto lógico es del 25%, ¿cuántos alumnos se situarían por debajo de dicho valor? ¿Qué porcentaje superaría el valor indicado (25% de absentismo)?

55. La ratio media en los últimos 5 años en un Centro de Educación Primaria es la recogida en la siguiente tabla.

a) ¿En qué escala de medida estamos trabajando? b) Realiza una representación gráfica adecuada. c) ¿Cuál es la desviación media de dicha ratio en el Centro? d) ¿Y su varianza? e) La ratio media del Centro más próximo al indicado es 22 y la desviación típica 3. ¿Qué Centro puede considerarse más homogéneo con respecto a su ratio?

56. Un jugador del equipo de la Facultad de Ciencias Económicas y otro del equipo de la Facultad de Ciencias de la Educación, habitualmente reservas en cuando sus respectivos equipos juegan en la liga universitaria de fútbol, discuten sobre su regularidad goleadora en el último curso. El primero ha jugado 6 partidos marcando 0, 1, 0, 2, 1 y 2 goles, mientras que el segundo, que ha jugado 3 partidos, marcó 0, 1 y 2 goles respectivamente. ¿Qué jugador es más regular? 57. El número de alumnos de raza gitana en un Centro de integración, agrupados en función de la edad, es el que se presenta en la tabla siguiente:

a) Calcula los deciles 1 y 9. b) Determina los cuartiles 1, 2 y 3.

58. A continuación se presentan las puntuaciones obtenidas por los alumnos de una clase de Formación Profesional en una prueba de aptitud espacial.

a) Agrupa dichos datos en una distribución de frecuencias que comience por el intervalo 30-32. b) ¿Cuál es el rango de la distribución resultante? ¿Y de las puntuaciones sin agrupar? c) Calcula la desviación media, varianza y amplitud semiintercuartil. f) Calcula el decil 3 y el percentil 70.

% Absentis-mo

Nº Alumnos

91-100 81-90 71-80 61-70 51-60 41-50 31-40 21-30 11-20 1-10

44 18 14 35 26 26 30 70 220 17

Cursos Ratio

1º A 1º B 2º A 2º B 3º A 3º B 4º A 4º B 5º A 5º B 6º A 6º B

20 21 22 23 25 24 22 22 23 22 22 23

Edades Nº

15-16 13-14 11-12 9-10 7-8 5-6 3-4

5 15 20 25 35 48 50

32

40 45 42 36 38 30

36 38 38 40 42 44

32 35 31 33 36 30

35 37 39 32 36 38

31 33 34 36 38 33

59. En la tabla que se presenta a continuación se incluyen datos correspondientes a dos grupos de alumnos que han sido valorados en velocidad (variable X) y comprensión lectora (variable Y).

n

Media X

Sx

Media Y

Sy

Grupo 1

25

50

5

9

1.25

Grupo 2

30

40

4

8

1.10

¿Qué grupo es más homogéneo en velocidad lectora? ¿Y en comprensión lectora?

60. Los 700 alumnos de una Facultad universitaria han valorado la claridad expositiva de sus profesores en general, utilizando una escala de 0 a 5, con la que se obtuvieron los siguientes resultados:

a) ¿En qué escala de medida se trabaja? b) ¿Cuál es la desviación media de las valoraciones obtenidas? c) Calcula la distancia entre los deciles 8 y 2. d) Calcula el percentil 75 y señala qué indica dicho valor.

61. Elegida una muestra al azar de 450 alumnos universitarios, se ha estudiado el número de días que asisten a clase en un curso escolar. Procesamos los datos obtenidos con un programa informático, con el que, dado que no somos expertos en su manejo. sólo sabemos calcular la suma total de las puntuaciones, que resulta igual a 30000 y la suma total de dichas puntuaciones elevadas al cuadrado, la cual nos da 2050000. Calcula la varianza y desviación típica de la muestra teniendo en cuenta que dichos valores los utilizaremos en posteriores estudios para realizar inferencias sobre la población. 62. Los datos sobre número de hijos por familia en un Centro de Educación Primaria son los siguientes:

Calcula el decil 3 y los cuartiles 1, 2 y 3.

Valoración f

5 4 3 2 1 0

50 100 200 200 100 50

Nº hijos f

9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 12 15 20 22 40 60 50 21

33

63. En la tabla adjunta se presentan las calificaciones obtenidas por 5 alumnos de primero de Educación Secundaria Obligatoria en matemáticas y en lenguaje.

a) Calcula la desviación media, varianza y desviación típica del grupo compuesto por los 5 alumnos, en cada área. b) ¿En cuál de las dos áreas el grupo es más homogéneo? c) Si la media global de la clase en el área de matemáticas es 6 y la varianza 4, ¿Qué podemos decir del alumno 5?

64. Los errores ortográficos medios cometidos por los alumnos del segundo Ciclo de Educación Primaria, en un texto de 1000 palabras, son:

Curso

Nº Alum.

Media Errores

Sx

3º A 3º B 4º A 4º B

25 24 24 23

40 38 25 24

5 5 4 4

¿Qué grupo es más homogéneo en cuanto al aspecto analizado?

65. En una distribución normal N(25,5), transforma en puntuaciones diferenciales y eneatipos las puntuaciones directas 20, 25 y 30. ¿Cuál es la varianza de dicha distribución? ¿Y su coeficiente de variación? 66. En una prueba de conceptos espaciales, administrada a alumnos de Formación Profesional, la menor puntuación obtenida fue de 20 puntos y la mayor de 30, siendo la media 24 y la desviación típica 2. Los resultados obtenidos con alumnos de Bachillerato fueron: amplitud total 15; media 26 y varianza 4. ¿Qué grupo puede considerarse más homogéneo en el manejo de conceptos espaciales? ¿En cuál de los dos grupos el rango de puntuaciones es más amplio? Si la mediana en ambos grupos es 25, ¿cuál de los dos grupos se distribuye normalmente? 67. Valorada, mediante una prueba diseñada para tal fin, la capacidad de liderazgo de 130 directores escolares elegidos al azar, se obtuvieron los siguientes resultados:

a) Determina el rango de la distribución. b) ¿Cuál es la desviación media? c) Calcula la varianza. d) ¿Cuál es la amplitud semiintercuartil?

68. Suponiendo que la velocidad lectora, medida con una determinada prueba, se distribuye según el modelo de la curva normal, en la población de alumnos universitarios, con media 60 y varianza 8.

a) Calcula la mediana y la moda de dicha distribución.

Alum. Matem. Leng.

1 2 3 4 5

7 5 2 4 2

6 4 4 5 2

Intervalos f

31-35 26-30 21-25 16-20 11-15 6-10 1-5

20 30 40 20 10 5 5

34

b) ¿Qué porcentaje de alumnos universitarios obtiene puntuaciones inferiores a 60? ¿Y mayores que 80? c) ¿Qué eneatipo corresponde a un alumno cuya puntuación diferencial es -10?

69. Dado un conjunto de puntuaciones cuya distribución sigue el modelo de la curva normal N(100,15), calcula:

a) Cuartil 1. b) Decil 2. c) Centil 30. d) Amplitud semiintercuartil.

70. Evaluada la habilidad psicomotora de los alumnos de un Centro de Educación Infantil, se han obtenido los siguientes resultados:

a) Calcula la desviación media. b) ¿Cuál es el rango de la distribución dada? c) Calcula el cuartil 3. d) Calcula el decil 1. e) En un Centro próximo al anterior, se ha evaluado también la habilidad psicomotora utilizando las mismas pruebas. Si hemos obtenido en este caso una media de 20 puntos y una desviación típica de 5, ¿qué centro puede considerarse más homogéneo en cuanto al aspecto estudiado?

71. Calcula la media, mediana y moda para el conjunto de datos formado por las puntuaciones 404, 406, 400, 401, 400, 403, 400, 405, 407 y 410. 72. Calcula la medida de tendencia central más adecuada en la siguiente distribución de frecuencias para datos medidos en escala de intervalos. 73. En una clase de Estadística hay un total de 41 alumnos a los que se les ha aplicado una prueba de matemáticas, que arrojó las puntuaciones

76, 82, 75, 44, 55, 46, 61, 55, 74, 70, 80, 72, 74, 60, 79, 67, 52, 69, 63, 64, 77, 66, 69, 86, 59, 68, 85, 75, 68, 60, 48, 42, 68, 75, 84, 56, 47, 53, 61, 61, 74. Con el fin de analizar el nivel medio alcanzado por los alumnos en la prueba de matemáticas, realiza

las siguientes tareas: a) Construye una distribución de frecuencias con intervalos de amplitud cinco, comenzando por la puntuación 42. b) Calcula media, mediana y moda, a partir de la distribución construida.

X f

27-29 24-26 21-23 18-20 15-17 12-14 9-11

5 10 12 20 22 8 3

Puntuaciones f

22 - 24 19 - 21 16 - 18 13 - 15 10 - 12 7 - 9 4 - 6 1 - 3

1 2 3 4 4 3 2 1

35

74. Las puntuaciones obtenidas por 28 alumnos en una prueba de veloci-dad lectora son las que se expresan en la tabla siguiente. Calcula la media, mediana y moda de dichas puntuaciones. 75. Un profesor desea conocer el tiempo medio, medido en segundos, que tarda un grupo de alumnos de 4º de Educación Primaria en resolver mentalmente una operación matemática. Plantea dicha operación a 12 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: 2, 6, 11, 12, 12, 14, 15, 15, 16, 19, 20, 22

Además del tiempo medio, para disponer de información sobre la homogeneidad del grupo, calcula la desviación típica. 76. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de 20 alumnos de 6º de Educa-ción Primaria en una prueba de inglés (calificada de 0 a 10) son las que se presentan en la tabla siguiente. ¿Cuál es la desviación típica de dicho grupo? 77. El tiempo en segundos empleado por 10 alumnos en una prueba de velocidad es el que se presenta en la tabla siguiente. Calcula rango excluyente, rango incluyente, moda, mediana, media, amplitud entre los percentiles 90 y 10, varianza y desviación típica.

Puntuaciones f

60 - 64 55 - 59 50 - 54 45 - 49 40 - 44 35 - 39 30 - 34 25 - 29 20 - 24 15 - 19 10 - 14 5 - 9

1 2 3 4 4 4 3 2 2 1 1 1

Puntuaciones fi 7 6 5 4 3 2 1

1 2 4 6 4 2 1

Intervalos fi 50 - 54 45 - 49 40 - 44 35 - 39 30 - 34 25 - 29 20 - 24

2 1 1 3 2 0 1

36

78. Con los últimos cambios educativos, los centros concertados que hasta ahora atendían sólo niños o sólo niñas se han ido convirtiendo en mixtos. La directora de uno de estos centros observa que en los recreos, en unos casos los juegos se organizan entre niños del mismo sexo y, en otros, se dan de forma conjunta. Pensando que los juegos mixtos son más propios de los alumnos mayores, anota durante un período de varios días el número de juegos de este tipo en alumnos de diferentes edades.

a) Calcula la desviación media de los juegos mixtos en función de la edad.

Edades Juegos

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

20 10 8 6 4 7 9 11 15 18

37

b) Sin realizar cálculo alguno, señale si la distribución resultante podría ser normal. 79. Administrado un test de inteligencia a los 205 alumnos de Bachiller de un Centro, se han obtenido las puntuaciones que se recogen en la tabla.

a) Señala la escala de medida utilizada y comenta si es habitual en educación. b) Organiza dichas puntuaciones en una distribución de frecuencias de amplitud 5, repartiendo las puntuaciones sobrantes entre los intervalos mayor y menor. c) Calcula la media, mediana y moda de la distribución resultante. ¿Cómo se denominan estas medidas? ¿Cuál considera más adecuada? d) Calcula el rango, desviación media, desviación típica, amplitud semiintercuartil y coeficiente de variación. ¿Cómo se denominan dichas medidas? ¿Cuál utilizaría para comparar la homogeneidad del grupo estudiado con otro grupo correspondiente a Formación Profesional? e) Calcula el percentil 65 el cuartil 3 y el decil 7. ¿Cómo se denominan estas medidas? f) Sabiendo que Marta, alumna del mencionado instituto, ha obtenido una puntuación directa de 115 puntos, expresa qué puntuación típica, diferencial y eneatipo le corresponden. g) Determina la proporción, porcentaje y número de alumnos que obtienen mejores resultados en la prueba que Marta. h) Si Blanca, también alumna del mencionado Centro, obtuvo una puntuación de 120 puntos, ¿cuántos alumnos se sitúan entre Blanca y Marta? i) Representar, utilizando el gráfico que resulte más adecuado, los datos obtenidos tras la agrupación por intervalos.

Puntuación f Puntuación f

100 5 101 6 102 7 103 8 104 9 105 10 106 11 107 12 108 13 109 14 110 15

111 14 112 13 113 12 114 11 115 10 116 9 117 8 118 7 119 6 120 5

38

SOLUCIONES 23. a) Media: 5.43; Mediana: 5; Moda: no existe. b) Media: 4; Mediana: 3.5; Moda: 2. c) Media: 171.43; Mediana: 200; Moda: 100 y 200. d) Media: 844.5; Mediana: 894; Moda: 894. 24. a) A.T.= 9; D.M. = 2.11; s2

x = 6.67; sx = 2.58; C.V.= 51.6%. b) A.T.= 9; D.M. = 3; s2

x = 10; sx = 3.16; C.V.= 52.67%. c) A.T.= 21; D.M. = 8.33; s2

x = 83.33; sx = 9.13; C.V.= 60.87%. d) A.T.= 99; D.M. = 33.6; s2

x = 1350.4; sx = 36.75; C.V.= 73.5%. 25. a) De intervalos. b) Media= 102.2; Md= 102.67; Mo= 103. Las tres son similares. c) A.T.= 17; D.M.= 3.84; s2

x =33.79; sx = 5.81; C.V.= 5.68%. d) 6ºB (tiene menor C.V.: 2.53% < 5.68%). e) Un sujeto no puede tener una desviación típica (un grupo sí). 26. a) Ordinal. b) Md= 5.5. c) Q= 0.125. 27. 1º B (tiene menor C.V.: 14.63%). 28. a) Intervalos: 1 - 3; 4 -6; ... 37 - 39. b) 16. c) 49.33%. d) 25.33%. 29. a) De razón. b) 124.5. c) sx = 67.20. d) El grupo de mujeres (tiene menor C.V.: 53.98% < 75%). 30. a) 2. b) Q= 20.97. 31. a) 8.5 - 15.5; 12. b) 7.45 - 10.55; 9. c) 6.335 - 8.455; 7.395. d) 9.7175 - 11.7365; 10.727. 32. El grupo de la mañana, su C.V. es menor (19.35% < 22.81%). 33. a) 132.17. b) A partir de 83830 pesetas/mes. c) 89. d) sx = 64.52. e) Por ejemplo, polígono de frecuencias. 34. a) 5.40; 5; 5. b) 1.47; 1.84. c) -0.12; -0.15. 35. Ambos están equivocados: el primero porque al trabajar con números enteros (goles), la moda no puede ser un número decimal. El segundo, aunque estadísticamente es un valor posible, 5 goles de "moda" en la

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última temporada son muchos goles. Posiblemente el primer entrenador confunda la moda con la media y el segundo el resultado más amplio con el más frecuente. 36. 1-10. 5.5. 25. 37. a) Media. b) Media. c) Mediana. 38. Económicas. Diagrama de barras. 39. 39 intervalos. No parece lo más adecuado ya que son muchos intervalos. 40. A.T. = 300; A.I. = 25; Intervalo menor: 300-324. 41. A.T.= 39. 13 intervalos. El menor sería: 57-59. 42. Intervalos: 80-81, 82-83, 84-85, 86-87, 88-89, 90-91, 92-93 y 94-95. Frecuencias: 3, 3, 4, 5, 8, 6, 5, 2. 43. a) No, el último intervalo repite el valor 62 del anterior. b) Sí. A.T.= 25. c) No, hay varias puntuaciones que se repiten (90, 80, 70 y 60). 44. Antes de agrupar: 87.97; 88; 88 y 89 (bimodal). Datos agrupados: 87.83; 88.25; 88.5. 45. Mo= Peugeot (porque se trata de una escala nominal). 46. 55 (el resto de valores no son puntos medios de los intervalos dados). Sí, 50. 47. A.T.= 9; D.M.= 2.8; s2

x = 9.2; C.V.= 60.6%. Que es muy baja, se aparta 3 desviaciones típicas de la media poblacional. 48. a) 1935. b) 3.2 y 8.8. c) 0.8. d) 4.5. 49. a) Histograma o polígono de frecuencias. b) Platicúrtica. c) 5.82. d) El Centro estudiado en el problema. 50. D.M.= 2.5. 51. Que superan la media, pero no mucho más. 52. a) D4 = 3, es decir que por debajo de 3 están el 40% de los alumnos/as. b) A partir de 8, a 3 alumnos/as. 53. a) Histograma. b) 26. c) Mo= años 1986, 1992 y 1995. 54. a) 23.89

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b) 49.37 c) 19.86 d) 45.5%. e) 763.61. f) 268 alumnos/as. 46.4%. 55. a) Intervalos/razón. b) Histograma. c) 0.99. d) 1.58. e) El Centro del problema (C.V.= 5.62% < 13.64%). 56. Ambos son igual de regulares. 57. a) 3.29 y 12.53. b) 4.48, 6.56 y 9.74. 58. a) Intervalos: 30-32; 33-35; 36-38; 39-41; 42-44 y 45-47. Frecuencias: 6, 6, 11, 3, 3, 1. b) 18 y sin agrupar 16. c) 3.12; 15.84; 2.56. d) 34; 37.95. 59. Más homogéneo el grupo 2 (C.V.= 13.75% < 13.89%). 60. a) Ordinal. b) 1.07. c) Distancia: 2.2. Alumnos/as: 60%, es decir 420 alumnos/as. d) 3.375. Deja por debajo de sí el 75% de los casos. 61. 111.36; 10.55. 62. 2.57 (3 hijos/as); 1.705 (2 hijos/as); 3.4 (3 hijos/as); 5.25 (5 hijos/as). 63. a) Matemáticas: 1.6; 3.6 y 1.90. Lenguaje: 1; 3.4 y 1.84. b) En Lenguaje (C.V.= 46% < 47.5%). c) Que obtiene una puntuación muy baja, pues se aparta de la media en 3 desviaciones típicas. 64. 3º A (C.V.= 12.5%). 65. Puntuaciones diferenciales: -5; 0; 5. Eneatipos: 3; 5; 7. Varianza: 25. Coeficiente de variación: 20%. 66. Más homogéneo el grupo de F.Profesional (C.V.=7.69% < 8.33%). Rango más amplio en el grupo de Bachiller (15 > 11). Ninguno de los dos grupos se distribuye normalmente (media ╪ mediana). 67. a) 35. b) 5.65. c) 56.69. d) 4.90. 68. a) Media = Mediana = Moda = 60 (distribución normal). b) Inferiores a 60: 50%. Superiores a 80: 0.62%. c) 7.5.

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69. a) 70.6. b) 69.25. c) 92.2. d) 29.40. 70. a) 3.525. b) 21. c) 22.25; d) 12.86. e) Son prácticamente iguales (C.V.= 25.26% en uno y 25% en el otro). 71. Media:403.6; Mediana:403.5; Moda:400. 72. Media: 12.5 73. a) Intervalos 42-46, 47-51,...,82-86. b) Media:65.71; Mediana:67.57; Moda:74. 74. Media:38.07; Mediana:39.5; Modas:=37, 42 y 47. 75. Media:13.67; Desviación típica:5.43. 76. 1.45 77. Rango excluyente:34; Rango incluyente:35; Moda:37; Mediana:37.83; Media:39; Amplitud entre P90 y P10:27.5; varianza:81; desviación típica:9. 78. a) 3.07 b) No, pues las frecuencias más altas se dan en los extremos. 79. a) Escala de intervalos. No es muy habitual lograr medidas a este nivel. b) Intervalos: 98-102; 103-107; 108-112; 113-117; 118-122. Frecuencias: 18; 50; 69; 50; 18. c) Media: 111.76. Mediana: 110. Moda: 110. Son medidas de tendencia central. Más adecuada la media. d) A.T.= 25; D.M.= 4.79; sx = 5.73; Q= 4.175. C.V.= 5.13%. Son medidas de variabilidad. El coeficiente de variación. e) P65 = 112.23. Q3 = 114.175. D7 = 113.15. Son medidas de posición. f) Típica: 0.57. Diferencial: 3.24. Eneatipo: 6.14. g) 0.2843; 28.43%; 58 alumnos/as. h) 42. i) Polígono de frecuencias.