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Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

TÓPICOS DE MATEMATICA 1 (E.P.E.)

MA112 (EPE)

UPC

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Competencias:

1. Define el espacio Rn y sus propiedades

2. Explica el concepto de combinación lineal de vectores de Rn.

3. Define base de un E.V., conjunto LI y LD.

4. Explica el concepto de coordenadas de un vector respecto a una base B de Rn.

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ESPACIO VECTORIAL Rn

INTRODUCCIÓN

Se dá este nombre por que el conjunto de vectores

de Rn ( en particular R2 o R3 ) junto con las

operaciones de adición y multiplicación por un

escalar satisfacen una serie de axiomas. Así todo

conjunto de entes matemáticos que cumplan estos

axiomas se dice que es un espacio vectorial , esto

permite extender muchas propiedades a una gran

variedad de elementos matemáticos.

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1. x+y está en Rn.

2. .x está en Rn.

3 . x + y = y + x

4 . (x + y) +z = x+ (y + z)

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

Sean x,y,z vectores de Rn ; , escalares.

Rn es un espacio vectorial, ya que satisface

los sigientes axiomas

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5 . Existe un vector 0 de Rn tal que : 0 + x= x+ 0= x

6 . Para todo x de Rn existe un elemento –x en Rn tal que: x +(-x)= 0

7. 1. x= x

8 . (. x)= ( ).x

9 . ( + ).x=.x+ . x

10 . (x + y)= .x +.y

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V

V

Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.

Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.

P

Q

Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)

VECTORES

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A

B

R = A+B

B

R = A+B

A

Método del triángulo

OPERACIONES CON VECTORES

Adición de vectores

x

z

y

Método del

paralelogramo.

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Definición:A los n números reales

ordenados le llamaremos n-upla o vector n-dimensional.

),...,,( 21 naaa

VECTOR n - DIMENSIONAL

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IGUALDAD

v (b , b , ... , b )n21

u (a , a , ... , a )21 n

u v

a = ba = b

a = bn n

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2 2{

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SUMA

(b , b , ... , b )n21 (a , a , ... , a )21 n +

(a + b , a + b , ... , a + b )21 n1 2 n

PRODUCTO POR UN ESCALAR

21 nC CCC (a , a , ... , a )21 n ( a , a , ... , a )

c

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u (a ,a ,... ,a )

v (b , b ,..., b )n21

n21

2 n n1 21u.v a b + a b + ... + a b

PRODUCTO ESCALAR

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PRODUCTO ESCALAR

cosvuvu

u

v

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1. El producto escalar de dos vectores es un

número real.

2. El producto escalar es positivo si

y negativo si2

0

2

OBSERVACIONES:

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4. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa.

5. a . a = a2

3. Si tienen la misma dirección y sentidovy

u

0 y a . b = a b

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Módulo de un vector en R3

Dado el vector a = (a1,a2,a3) de R3 sedefine a la norma o módulo de a :

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22

21 aaaa

p(a1,a2,a3)z

x

y

a

a1

a2

a3

16)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i

Vectores unitarios:Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

1u

Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

aaaa

aa

ua ),,( 321

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VECTORES UNITARIOS I, J , K

x

z

y

i

jk

Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

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Paralelismo de vectores

Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definición

),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:

vu // kb

a

ba

ba

3

3

2

2

1

1

vku

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COMBINACION LINEAL

Se llama combinación lineal de V , V ,.. , V

Dados los vectores V , V ,..., V de R

y sean a , a ,..,a escalares .

La expresión1 2 n

2

n

1

1 n2

a V + a V +... + a V2 n11 2 n

n

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EJEMPLOS:

1. Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2)

y b=(3;1).

Solución: Se quiere que u = ma +n b

es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1)

de donde: m=3 , n =-2

luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)

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x

y

b

3 a

a

u

-2 b

u = 3 a - 2 b

NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.

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INDEPENDENCIA LINEAl

Antes de dar la definición, veamos los siguientes ejemplos geométricos.

1. Dados los vectores paralelos a y b

Se tiene : a = t b

Como a es una combinación lineal de b es decir a depende de b luego el conjunto { a , b} se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.

b

a

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2. Dados dos vectores no paralelos a y b

Como ninguno de ellos puede estar en terminos del otro como combinación lineal ,es decir, son independientes cada uno , se dice que el conjunto {a,b} es LINEALMENTE INDEPENDIENTE

b

a

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3. Dados los vectores a , b y c

Donde:

c = 3 a + 2 b ó

a = - 2/3b+1/3c ó

b =- 3/2a+1/2c

b

3 aa

c2 b

Como cualquiera de los vectores se puede expresar en terminos del los otros como combinación lineal se dice que el conjunto {a,b,c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE

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4. Dado el conjunto de vectores {a,b,c} contenido en el plano P

a

b

c

x

z

y

¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ?

P

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4.

¿Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ?

z

a

b

c

x

y

P

¿Se podra expresar el vector b en terminos de a y c ?

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INDEPENDENCIA LINEAL

INDEPENDIENTE si dada la ecuación

{v , v ,..., v }1 2 k

a v + a v +...+ a v 1 2 2 k k1

= 0

v , v ,..., v 1 2 k

: VECTORES DE R , El conjunto n

1 2a = a = ... = a = 0k1 2

se llama LINEALMENTE

y se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE

si en al menosa v + a v +...+ a v 1 2 2 k k1

= 0

entonces

un a i no es cero.

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PROPIEDADES

1. Si {v , v ,..., v } 1 2 k es un conjunto L.I. de

a v + a v +...+ a v 1 2 2 k k1u =

vectores de Rn, y si u Rn entonces

existe un conjunto único de escalares

{a1,a 2,...,a k} tales que

Es decir el vector u se expresa de forma única

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2. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto

de vectores en Rn, donde k > n.

Entonces V es linealmente dependiente.

Nota :Un conjunto S de vectores linealmente

independientes de Rn contine a lo sumo n

vectores.

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3. k=n y det(v1,v2, ...vk ) = 0 { v1,v2, ...vk } es LI

4. 0 V Rn V es LD

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Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk}

de vectores de Rn se llama base de Rn, si cada elemento de Rn se puede expresar de manera única comocombinación lineal de v1, v2 ,..., vk.

PROPIEDAD:Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn es una base de Rn.

BASE DE Rn

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Un conjunto finito de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn } de Rn es una BASE de Rn si:

1. {V1 ,V2 ,..,Vn} es linealmente

independiente.

2. {V1 ,V2 ,..,Vn} genera a Rn.

TEOREMA

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PROPIEDAD:

Un conjunto de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn}

de Rn es una BASE si y sólo si

det(v1,v2, ...vk ) = 0

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Definición: El número de elementosde cualquier base de Rn se llamadimensión del espacio vectorial Rn.

NOTA: En un espacio Rn su dimensión es n.

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COORDENADAS DE UN VECTOR EN Rn

Sea B = { v , v ,..., v } una BASE de Rn

SEA U Rn donde U = c V + c V +... +c V

COORDENADAS DE U EN BASE B

UB = ( c1, c2, ... , cn )

n21

11 nn22