1 Vectores Aleatorios 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio 2 Distribuciones marginales y...
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1
Vectores Aleatorios
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
2 Distribuciones marginales y condicionadas
3 Independencia entre variables aleatorias
4 Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
5 Transformaciones de vectores aleatorios
6 Distribución Normal multivariante
Estadística. Profesora: María Durbán2
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para unavariable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar más deuna variable en un experimento aleatorio.
Por ejemplo, en la clasificación de señales emitidas y recibidas, cada señalse clasifica como de baja, media o alta calidad. Podemos definir X=númerode señales de baja calidad recibida, e Y=número de señales de alta calidad
En general, si X e Y son dos variables aleatorias la distribución de probabilidad que define simultáneamente su comportamiento se llama distribución de probabilidad conjunta
Estadística. Profesora: María Durbán3
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables discretas
Dadas dos v.a. discretas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de probabilidad conjunta:
( , ) Pr( , )p x y X x Y y
,X Y
Como en el caso unidimensional está función debe verificar:
( , ) 0
( , ) 1x y
p x y
p x y
La función de distribución conjunta:
0 0
0 0 0 0( , ) Pr( , ) Pr( , )x x y y
F x y X x Y y X x Y y
Estadística. Profesora: María Durbán4
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
Estadística. Profesora: María Durbán5
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
( , ) 0
( , ) 1x y
p x y
p x y
X
Y
Estadística. Profesora: María Durbán6
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
Pr( 1, 2)X Y
X
Y
Estadística. Profesora: María Durbán7
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
Dadas dos v.a. continuas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de densidad conjunta:
( , )f x y
,X Y
Como en el caso unidimensional está función debe verificar:
( , ) 0
( , ) 1
f x y
f x y dxdy
La función de distribución conjunta:
0 0
0 0 0 0( , ) Pr( , ) ( , )y x
F x y X x Y y f x y dxdy
2 ( , )( , )
d F x yf x y
dxdy
Estadística. Profesora: María Durbán8
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
La probabilidad ahora se calcula como un volumen:
Pr( , ) ( , )b d
a ca X b c Y d f x y dxdy
Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y
Estadística. Profesora: María Durbán9
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por:
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
¿Pr( 1000, 2000)?X Y
Estadística. Profesora: María Durbán10
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
¿Pr( 1000, 2000)?X Y
X
Y
Recinto donde la función dedensidad no es 0
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Estadística. Profesora: María Durbán11
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
¿Pr( 1000, 2000)?X Y
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Recinto de integración para el cálculode esa probabilidad
Estadística. Profesora: María Durbán12
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
1000
0 0Pr( 1000, 2000) ( , )
yX Y f x y dxdy
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
x=y
Estadística. Profesora: María Durbán13
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
1000 2000 1000
0 0 1000 0Pr( 1000, 2000) ( , ) ( , )
0.915
yX Y f x y dxdy f x y dxdy
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
x=y
Estadística. Profesora: María Durbán14
2 Distribuciones marginales
Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importantedistinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribuciónde probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de cada variable se le denomina distribución marginal.
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son:
,X Y( , )p x y
( ) Pr( ) Pr( , )
( ) Pr( ) Pr( , )
Xy
Yx
p x X x X x Y y
p y Y y X x Y y
Son funciones de probabilidad
Se puede calcular su esperanza,varianza, etc.
Estadística. Profesora: María Durbán15
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
X
Y
La función de probabilidadmarginales se obtendríansumando en ambas direcciones
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán16
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4 0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561
X
Y
La función de probabilidadmarginales se obtendríansumando en ambas direcciones
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán17
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
X
Y
La función de probabilidadmarginales se obtendríansumando en ambas direcciones
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán18
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
4 0.00004
3 0.00188
2 0.03250
1 0.24925
0 0.71637
X
Y
La función de probabilidadmarginales se obtendríansumando en ambas direcciones
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán19
2 Distribuciones marginales
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjuntalas funciones de densidad marginales de ambas variables son:
,X Y ( , )f x y
( ) ( , )
( ) ( , )
X
Y
f x f x y dy
f y f x y dx
Son funciones de densidad
Se puede calcular su esperanza,varianza, etc.
-4 -2 0 2 4x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
f(x)
Estadística. Profesora: María Durbán20
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
¿Pr( 2000)?Y
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán21
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
¿Pr( 2000)?Y
Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado
Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán22
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
¿Pr( 2000)?Y
Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado
2000 0Pr( 2000) ( , ) 0.05
yY f x y dxdy
Y
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán23
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
¿Pr( 2000)?Y
Podemos resolverlo de dos formas:
3 0.002 0.001
0( ) ( , ) 6 10 (1 ) 0
y y yYf y f x y dx e e y
Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad
Y
0
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán24
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
Y
1000
2000
3000
¿Pr( 2000)?Y
Podemos resolverlo de dos formas:
2000Pr( 2000) ( ) 0.05YY f y dy
Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad
Y
0
2 Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán25
2 Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimientode una de las variables puede afectar las probabilidades que se asociancon los valores de la otra variable
Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
ABA
ABPr
PrPr
Mide el tamañode uno conrespecto al otro
Estadística. Profesora: María Durbán26
2 Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimientode una de las variables puede afectar las probabilidades que se asociancon los valores de la otra variable
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta la funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x0:
,X Y( , )p x y
0 00
0 0
( , ) Pr( , )( | )
( ) Pr( )X
p y x Y y X xp y x
p x X x
( , ) Pr( , )( | )
( ) Pr( )X
p y x Y y X xp y x
p x X x
Para un valor genérico de x
( , ) ( | ) ( )Xp y x p y x p x
A B
Podemos calcular su esperanza,varianza, etc.
0( ) 0Xp x A
Estadística. Profesora: María Durbán27
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0 si X=3, Y=0 ó 1
Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y
2 Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán28
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1 Pr( 0, 3) 0.05832
Pr( 0 | 3) 0.2Pr( 3) 0.2916
Pr( 1, 3) 0.2333Pr( 1| 3) 0.8
Pr( 3) 0.2916
Y XY X
X
Y XY X
X
Pr( 0 | 3) Pr( 1| 3) 1Y X Y X
[ | 3] 0 0.2 1 0.8 0.8E Y X
Número esperado de bits sospechosos cuando en número de aceptables es 3
2 Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán29
2 Distribuciones condicionadas
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjuntala función de densidad de Y condicionada a X
,X Y ( , )f x y
( , )( | )
( )X
f x yf y x
f x
Es función de densidad
Se puede calcular su esperanza,varianza, etc.
( , ) ( | ) ( )Xf x y f y x f x
Estadística. Profesora: María Durbán30
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado elservidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos?
¿Pr( 2000 | 1500)?Y X
2 Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán31
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
( , )( | )
( )X
f x yf y x
f x
Y
0
¿Pr( 2000 | 1500)?Y X
0.003( ) ( , ) 0.003 x 0xX xf x f x y dy e
0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y
2 Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán32
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Y
0
¿Pr( 2000 | 1500)?Y X
0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y
2000
3 0.002
2000
Pr( 2000 | 1500) ( | 1500)
0.002
0.368
y
Y X f y X dy
e dy
2 Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán33
3 Independencia entre variables aleatorias
En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable
Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
)Pr()|Pr(
)Pr()|Pr(
PrPrPr
BAB
ABA
BABA
Estadística. Profesora: María Durbán34
3 Independencia entre variables aleatorias
Variables Discretas
,X YDiremos que dos variables son independientes si:
( | ) ( ) ( | ) ( ) Y Xp y x p y p x y p x
( , ) ( | ) ( ) ( ) ( ) , Y X Yp x y p x y p y p x p y x y
Estadística. Profesora: María Durbán35
3 Independencia entre variables aleatorias
Variables Continua
,X YDiremos que dos variables son independientes si:
( | ) ( ) f ( | ) ( ) Y Xf y x f y x y f x
( , ) ( | ) ( ) ( ) ( ) , Y X Yf x y f x y f y f x f y x y
Estadística. Profesora: María Durbán36
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y
3 Independencia entre variables aleatorias
0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y
3 0.002 0.001( ) 6 10 (1 ) 0y yYf y e e y
Para todos los valores de x
Estadística. Profesora: María Durbán37
4 Características de un vector aleatorio
Esperanza
Dadas n v.a. definimos el vector n-dimensional 1 2, , , nX X X
1
2
n
X
X
X
X
La función de probabilidad/densidad del vector es la función deprobabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector.
Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son las medias o esperanzas de cada componente.
1
2
n
E X
E XE
E X
μ X
Estadística. Profesora: María Durbán38
4 Características de un vector aleatorio
Covarianza
Primero comenzamos por definir la covarianza entre dos variables:
Es una medida de la relación lineal entre dos variables
( , )Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y
Propiedades
Si son independientes ya que
Si sean independientes
Si hacemos un cambio de origen y escala:
,X Y ( , ) 0Cov X Y E XY E X E Y
( , ) 0 ,Cov X Y X Y
( , ) ( , )
Z aX b
Cov Z W abCov X Y
W cY d
Estadística. Profesora: María Durbán39
4 Características de un vector aleatorio
Covarianza
( , )Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y
¿Cómo lo calculamos?
Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variablesaleatorias:
( , )E h X Y ( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y
h x y p x y
h x y f x y dxdy
Estadística. Profesora: María Durbán40
4 Características de un vector aleatorio
´Covarianza positiva Covarianza cero
Covarianza negativa Covarianza cero
Hay relaciónpero nolineal
Estadística. Profesora: María Durbán41
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
¿Es la covarianza entre X e Y positiva o negativa?
Sabemos que cuando Y se acerca a 4, X se acerca a 0Por lo tanto la covarianza el negativa
4X Y
4 Características de un vector aleatorio
Estadística. Profesora: María Durbán42
4 Características de un vector aleatorio
Correlación
La correlación entre dos variables también es una medida de la relación linear entre dos variables
( , )
( , )Cov X Y
X YVar X Var Y
Si son independientes ya que
Si
,X Y ( , ) 0X Y , 0Cov X Y
| ( , ) | 1X Y
| ( , ) | 1Y aX b X Y
Estadística. Profesora: María Durbán43
4 Características de un vector aleatorio
Matriz de Varianzas y Covarianzas
Dadas n v.a. llamamos matriz de varianzas y covarianzasdel vector a la matriz cuadrada de orden n:
1 2, , , nX X XX
1 1 2 1
1 2 2
1
, ,
,
,
n
X
n n
Var X Cov X X Cov X X
Cov X X Var XE
Cov X X Var X
M X - μ X - μ
Propiedades
SimétricaSemidefinida positiva
Estadística. Profesora: María Durbán44
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Al igual que en el caso univariante, hay ocasiones en que es necesariocalcular la distribución de probabilidad de una función de dos o más v.a.
Dado un vector aleatorio con función de densidad conjuntay lo transformamos en otro vector aleatorio de la misma dimensiónmediante una función
X ( )f XY
g1 1 1
2 2 1
1
( , , )
( , , )
( , , )
n
n
n n n
y g x x
y g x x
y g x x
Existen lastransformacionesinversas
1( ) ( ( ))d
f f gd
X
Y YY
1 1
1
1
n
n n
n
dx dx
dy dyd
ddx dx
dy dy
X
Y
Estadística. Profesora: María Durbán45
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Si tiene menor dimensión que , completamos con elementos de hasta completar la misma dimensión.
XY YX
Ejemplo
1
1 2 1 21 22
4 0 , 1( , )
0 en el resto X X
x x x xf x x
Calcular la función de densidad de
1. Definimos
2. Buscamos la distribución conjunta de
3. Calculamos la marginal de
1 1 2Y X X
2 2Y X
1 2( , )Y YY
1Y
Estadística. Profesora: María Durbán46
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1
1 2 1 21 22
4 0 , 1( , )
0 en el resto X X
x x x xf x x
1( ) ( ( ))d
f f gd
X
Y YY
Buscamos la distribución conjunta de1 2( , )Y YY
21
11 2 2 1 2 2( ) ( , ) ( ) ( , )
YY
g X X X g Y Y Y X Y
1 11
0 1
d
d
X
Y1
1 2 2( ( )) 4( )f g y y y Y
1 2 2( ) 4( )f y y y Y ¿En qué recinto está definida?
Estadística. Profesora: María Durbán47
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1 20 , 1x x
1 1 2 1
2 2 2 1 2 2 1 2
0 2
0 1 0 1
Y X X y
Y X y Y Y X y y
2
1
1 2 0y y 1 2 1y y
Estadística. Profesora: María Durbán48
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1 20 , 1x x
1 1 2 1
2 2 2 1 2 2 1 2
0 2
0 1 0 1
Y X X y
Y X y Y Y X y y
2
11 2 1
1 1 2
0 1 0
1 2 -1 1
y y y
y y y
1 2 2
1 2 1
1 1 2
( ) 4( )
0 1 0
1 2 -1 1
f y y y
y y y
y y y
Y
1 2 0y y 1 2 1y y
Estadística. Profesora: María Durbán49
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Calculamos la marginal de 1Y
1
1
1
31 2 2 2 1 1
01 1
31 2 2 2 1 1 1
1
34( ) 0 1
2( )
8 34( ) 4 1 2
3 2
y
Y
y
y y y y y y
f y
y y y y y y y
Estadística. Profesora: María Durbán50
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Convolución de X1 y X2
Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con funciones de densidad y , la función de densidad de es 1 1( )Xf x
2 2( )Xf x 1 2Y X X
1 2( ) ( ) ( )Y X Xf y f y x f x x
Se utiliza en casos como la transformada de Fourier
Estadística. Profesora: María Durbán51
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas yvarianzas de transformaciones lineales:
1 1 m m n n m n Y A X
E E
Var M
X
Y A X
Y A A
Ejemplo
11 2
2
1 1
XY X X Y
X
1 2
1 1 21 2 1 2
1 2 2
( , ) 11 1 2 ( , )
( , ) 1
E E E
Var CovVar Var Var Cov
Cov Var
Y X X
X X XY X X X X
X X X
Estadística. Profesora: María Durbán52
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas yvarianzas de transformaciones lineales:
1 1 m m n n m n Y A X
E E
Var M
X
Y A X
Y A A
Ejemplo
11 2
2
1 1
XY X X Y
X
1 2
1 1 21 2 1 2
1 2 2
( , ) 11 1 2 ( , )
( , ) 1
E E E
Var CovVar Var Var Cov
Cov Var
Y X X
X X XY X X X X
X X X
Estadística. Profesora: María Durbán53
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas yvarianzas de transformaciones lineales:
1 1 m m n n m n Y A X
E E
Var M
X
Y A X
Y A A
Caso particular: Distribución Normal
1 1 2 2
~ , 1, , independientesi i i
n n
X N i n
Y a X a X a X
2 2
1 1
n n
i i i ii i
E Y a Var Y a
Normal
Estadística. Profesora: María Durbán54
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Una pieza en forma de U está formada por tres partes, A, B y C. La longitudde A sigue una distribución Normal con media 10mm y desviación típica 0.1mm. El grosor de las partes B y C se distribuye normalmente con media2mm y desviación típica 0.05mm.Suponiendo que las dimensiones de las partes son independientes:
1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza de esta forma sea inservible?
A
B CD
Estadística. Profesora: María Durbán55
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.
A
B CD
D A B C ~ (10,0.1)
~ (2,0.05) ~ (2,0.05)
A N
B N C N
2 2 2
10 2 2 6
0.1 0.05 0.05 0.015
. 0.122
E D
Var D
DT D
Estadística. Profesora: María Durbán56
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza de esa forma sea inservible?
A
B CD
~ (6,0.015)D N
5.9 6Pr( 5.9) Pr
0.122
Pr( 0.82) 1 Pr( 0.82)
D Z
Z Z
1 0.7939 0.2061
El 20% de laspiezas fabricadases inservible
Estadística. Profesora: María Durbán57
Si vector aleatorio sigue una distribución Normal bivariante
con vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas
tiene función de densidad:
2
1
μ
)()'(
2
1exp
2
1 12/1 μXμXX
f
2
1
X
XX
2221
2121
6 Distribución Normal multivariante
Estadística. Profesora: María Durbán58
6 Distribución Normal multivariante
)()'(
2
1exp
2
1 12/1 μXμXX
f
2 2 21 2 (1 )
21 1 21
2
21 2 2
1
1
1(1 )
2 2
1 1 2 2 1 1 2 21 2 22
1 2 1 21 2
1 1, exp 2
2(1 )2 (1 )
x x x xf x x
2221
2121
x
y
f(x,y)
x
y
f(x,y)
x
y
f(x,y)
The Bivariate Normal Distribution
x
y y y
x x1
2
1 1
2 2
Contour Plots of the Bivariate Normal Distribution
x
y y y
x x1
2
1 1
2 2
Scatter Plots of data from the Bivariate Normal Distribution
1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 21 2
1 2
Función de densidad
Diagrama de dispersión
Estadística. Profesora: María Durbán60
2
1
μ
2221
2121
2
1
X
XX
6 Distribución Normal multivariante
Propiedades
1 2
1 1 1 2 1 1
1 2 2 1
0 , independientes
X ~ , X ~ ,
X | X X | X son normales
X X
N N
y
Estadística. Profesora: María Durbán61
6 Distribución Normal multivariante
Ejemplo
En el proceso de fabricación de lámparas electroluminiscentes (luz negra), se depositan capas de tinta en una base de plástico. El grosor de esas capas es determinarte a la hora de satisfacer las especificaciones relativas al color e intensidadde la luz.Sean X e Y el grosor de dos capas de tinta, se sabe que ambas siguen una distribución Normal, con medias 0.1mm y 0.23mm y desviaciones típicas 0.00031mmy 0.00017mm respectivamente. La correlación entre ambas es 0.Las especificaciones de grosor son las siguientes:
0.099535 0.100465
0.22966 0.23039
X
Y
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegidaal azar satisfaga las especificaciones?
Estadística. Profesora: María Durbán62
6 Distribución Normal multivariante
Ejemplo
0.099535 0.100465
0.22966 0.23039
X
Y
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones?
~ (0.1,0.00031)
~ (0.23,0.00017)
X N
Y N
Pr(0.099535 0.100465,0.22966 0.23039)X Y
0 independientes
Pr(0.099535 0.100465) Pr(0.22966 0.23039)
Pr( 1.5 1.5) Pr( 2 2)
2Pr( 1.5) 1 2Pr( 2) 1
X Y
Z Z
Z Z
0.827