ASIGNATURA: TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICAGUÍA DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD IV.

1. Se supone que el consumo de medicamentos depende de la edad de las personas, para verificar esta suposición, se eligió una muestra de 100 individuos, cuyas edades, junto con las cantidades, en dólares, que gastan en medicamentos durante un año, se presentan en la siguiente tabla:

EdadGasto

0 - < 15 15 - < 30 30 - < 60 60 - < 100

0 - < 30 5 7 5 330 - < 90 12 2 15 2190 - < 180 3 1 10 16

a) Obténgase la distribución de frecuencias.b) Hállese la distribución de frecuencias de la variable edadc) ¿Cuál es la distribución de frecuencias de la edad condicionada a un nivel de gasto

comprendido entre 30 y 90 dólares?d) Calcúlese la distribución de frecuencias del gasto para una edad comprendida entre

60 y 100 años2. La siguiente tabla recoge los ingresos y los gastos en alimentación semanales, en

dólares, de 12 familias. GastosIngresos

30 - < 60 60 - < 90

120 -< 300 4 2300 - < 480 1 5

Determínese el gasto medio por familia en alimentación de las familias con ingresos comprendidos entre 300 y 480 dólares semanales.

3. La siguiente tabla recoge la clasificación de 50 trabajadores de una empresa según el salario anual, en miles de dólares, y el número de días de baja por enfermedad en un determinado año:

SalarioDías de trabajo

15- < 25 25 - < 35 35 - < 55

0 - < 10 7 23 510 - < 40 10 0 040 - < 90 3 2 0

a) ¿Cuál es el número de días de trabajo esperado para un trabajador cuyo salario anual es de 20,000 dólares?

b) Obténgase el número de días de baja más frecuente de los trabajados con salarios anuales comprendido entre 15 y 25 mil dólares.

4. En una empresa de limpieza, se cuenta con 100 trabajadores, se ha realizado un estudio sobre la relación entre el salario y el absentismo laboral, obteniéndose,

entre otros, los resultados que aparecen en la siguientes tablas de distribuciones condicionas:

5 15 50

20 10 0 La variable Y representa el número mensual de días de ausencia al trabajo y está distribuida en los intervalos 0 -< 4, 4 -< 10; la variable X representa el salario mensual, en miles de dólares, y está distribuida en los intervalos 0.6 -< 1.2, 1.2 -< 1.8 y 1.8 -< 2.6.a) Hállese la distribución bidimensional correspondiente.

b) Calcúlese el número medio mensual de días de absentismo por trabajador de los trabajadores con salario comprendidos entre 1200 y 1800 dólares.

c) Obténgase la varianza de la distribución del salario mensual de los trabajadores que se han ausentado del trabajo entre 4 y 10 días.

5. Una constructora considera que las familias adquieren viviendas de mayor tamaño según sus ingresos. Para confirmar este hecho se han considerado los datos correspondientes a su última construcción de 210 viviendas, analizándose el nivel de ingresos anuales de las familias que han adquirido una vivienda de esta construcción, X, en miles de dólares, así como el tamaño de la vivienda comprada, Y, en metros cuadrados.

TamañoIngresos

40 - < 100 100 - < 200

12 - < 24 90 1024 - < 30 15 2030 - < 40 5 70

¿Confirma esta información la hipótesis de la constructora?

6. Dada una distribución de frecuencias bidimensional , pruébese que la condición necesaria y suficiente para que las variables X e Y sean independientes es que, para cualesquiera i y j:

.

7. La siguiente tabla refleja el salario mensual, X, en miles de dólares, y el gasto médico al mes en odontólogos, Y, en dólares, de un grupo de 200 familias.

GastoSalario

0 - < 50 50 - < 100 100 - < 200

1 - < 2 15 24 212 - < 4 35 56 49

¿Son las variables X e Y independientes?

8. Sobre una población de N familias se ha realizado un estudio sobre la relación entre el número mensual de llamadas telefónicas nacionales (urbanas e interurbanas), X, y las internacionales, Y, y se han obtenido, entre otros resultados, las dos distribuciones de Y condicionadas por valores de X, tal y como se refleja en la siguiente tabla del mes de diciembre del pasado año:

12 10

24 a

36 ba) Suponiendo que X está distribuida en los intervalos 0 - < 60 y 60 - < 240, y

la variable Y en 0 - < 20, 20 - < 40, y 40 - < 60, calcúlese el número medio por familia de llamadas internacionales de las familias que han realizado 30 llamadas nacionales.

b) Si las variables X e Y son independientes, ¿Cuánto valen a y b?

9. Sea una distribución de frecuencias bidimensional. Demuéstrese que las

variables X e Y sean independientes si, y solamente si, para cualesquiera i y l, el

cociente es constante para todo j.

10. Dado una distribución de frecuencias bidimensional , cuya covarianza es S,

obténgase la covarianza de la distribución de frecuencias , S’,

siendo a y b número reales positivos.

11. El Departamento de Marketing de un grupo financiero ha realizado un estudio sobre la influencia de la renta de las decisiones de inversión de sus clientes. Para

ello eligió una muestra de 20 clientes, cuya renta anual, junto con las cantidades invertidas en un cierto año, en miles de dólares, aparecen recogidas en la siguiente tabla:

InversiónRenta

0 - < 4 4 - < 8 8 - < 12

6 - < 14 4 2 014 - < 26 2 2 326 - < 34 0 1 6

a) Hállese las medias y las varianzas de las variables consideradas

b) ¿Cuál es la covarianza entre la inversión y la renta?

c) ¿Cuál será el valor de la covarianza si cada cliente aumenta su inversión en mil dólares? ¿Qué valor tendrá la covarianza si la renta de cada cliente se incrementara en un 6 por ciento?

12. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de personas en un test para medir la habilidad verbal X y el razonamiento abstracto Y son:

XY (25,35] (35,45] (45,55] (55,65]20 6 3 0 030 4 6 2 140 0 1 5 250 0 0 3 7

a) Obtenga las tablas de las distribuciones marginalesb) La media y la desviación típica de las distribuciones marginalesc) Calcula las medias , y gráfica los pares y analice si

estos puntos pueden ser representados por un modelo lineal de la forma

13. La siguiente tabla recoge las calificaciones de 40 alumnos en las asignaturas deMatemáticas y Física:

a) Convierte la tabla simple en una de doble entrada, llamando X=MAT y Y=FISb) Obtén las distribuciones marginales; obtén sus medias y desviaciones típicasc) Realice un diagrama de dispersión de “Y” vrs “X”d) ¿Cómo piensa que será positivo o negativo, más cerca de 1 ó -1 que de cero? e) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación lineal.

14. Se toma una muestra de 50 empresas, observando el número de trabajadores “X” y la producción “Y”.

X 5 15 20 30 70 Y 4 10 15 20 40ni 15 10 10 5 10

Determine la recta de regresión de “Y” sobre “X” , el coeficiente de correlación lineal y la varianza residual. Realice un contraste de hipótesis para verificar la significancia de los estimadores de los coeficientes de regresión.

15. Hacer lo mismo que en el problema (1) con los siguientes datos:

X 5 7 9 10 Y 2 3 5 5ni 1 2 2 3

16. La evolución temporal de la masa salarial de una empresa se recoge en el siguiente cuadro:

Año 0 1 2 3 4 5Masa salarial 2.5 3.5 4 4.2 4.3 4.6

a) Determine la recta que explica el salario en función del tiempo, calculando el coeficiente de correlación lineal y la varianza residual.

b) Estime la masa salarial del sexto año.c) Realice un contraste de hipótesis para verificar la significancia de los estimadores

de los coeficientes de regresión.

17. De un sector productivo formado por 7 empresas se recogen los siguientes datos:

Empresa A B C D E F GProducción 15 20 30 50 80 100 150Empleados(x100) 3 3.2 3.5 4 5 6 8

Determine la recta que explica la producción en función del número de empleados, calculando el coeficiente de determinación y la varianza residual.a) Realice un contraste de hipótesis para verificar la significancia de los estimadores

de los coeficientes de regresión.b) Calcule la productividad marginal del sector por semana empleada.c) Estime la producción de una empresa con 1000 empleados.

18. Se recogen los siguientes datos relativos a 5 familias:

Renta 50 120 200 400 600 Gasto alimentario 30 40 60 100 120

a) Estime el gasto alimentario mediante una función lineal de la renta, calculando el coeficiente de determinación y la varianza residual.

b) Realice un contraste de hipótesis para verificar la significancia de los estimadores de los coeficientes de regresión.

c) Estime el gasto alimentario para una renta de 250.d) Calcule la propensión (Razón de cambio por unidad de variable independiente)

marginal al gasto para una renta de 700.

19. Datos sobre la renta “X” de 100 contribuyentes y los impuestos “Y” que pagan:

X/Y 0 – 2 2 – 4 4 - 6 6 - 10 20 0 010 - 20 5 30 520 - 40 0 20 20

a) Si el modelo impositivo es , determine el impuesto fijo “C” y el tipo

impositivo “t” . ¿Es bueno el modelo propuesto?b) Determine la varianza explicada por la regresión y la varianza residual.c) Si las rentas aumentan 0.1, ¿Cuál es el aumento previsto en la cantidad pagada?

20. Datos sobre antigüedad “X” y salario “Y” de los trabajadores de una empresa:

Antigüedad “X” Salario “Y” Trabajadoresa L0 - 6 bc 6 - 8 22 8 - 14 41 14 - 18 4

a) Halle L0 , a,b y c sabiendo que , que las rectas de regresión se cortan en el punto (3,9.5) y que la distribución de frecuencias relativas de “Y” es

Salario L0 - 6 6 - 8 8 - 14 14 - 18fi d 0.125 0.25 0.25

b) Si se prescinde del 15% de los empleados con salarios más bajos y el 10% con salarios más altos, ¿Entre qué valores están los salarios del 75% restante?

c) Halle la recta de regresión de “Y” sobre “X” y el coeficiente de determinación.21. La recta de regresión expresa la relación estadística entre un número “X” de unidades vendidas diariamente de un bien y el gasto mensual “Y” en hacerle publicidad. Se sabe que la covarianza es 22.5 y que la distribución marginal de “X” es la siguiente:

Xi 5 7 10 12Frecuencia abs 2 5 3 2

a) Determine las respectivas medias de “X” e “Y” , y la varianza de “Y”.b) Determine la recta de regresión de “Y” sobre “X” , su coeficente de determinación y

la varianza residual.

22. De una distribución se conoce la distribución marginal de “X”

Xi 3 5 8 9Frecuencia abs 5 1 2 1

Si y la recta de regresión de “Y” sobre “X” es , determine

la recta de regresión de “X” sobre “Y”, su coeficiente de determinación y la varianza residual.

23. Se sabe que la recta de regresión de “Y” sobre “X” para un conjunto de 10 datos es , siendo la correspondiente varianza residual. También se

sabe que y .Determine la recta de regresión de “X” sobre “Y” , y el coeficiente de determinación.

24. Se conocen los siguientes datos relativos a 5 observaciones de la producción “X” y el coste total “Y” de una industria:

; ; ; ;

a) Determine la recta de regresión de “Y” sobre “X”b) Estímese el coste si la producción es 15, valorando su bondad.

25. En un mercado municipal se hacen 6 observaciones relativas al precio “X” de los melocotones y a la cantidad “Y” vendida de éstos, resultando:

a) Determine la recta de regresión de “Y” sobre “X”b) Calcule la varianza de “Y”, descomponiéndola en suma de la varianza explicada por

la regresión y la varianza residual.c) Calcule el coeficiente de determinación d) Estime la cantidad vendida si el precio es 10, valorando su bondad.

26. De una distribución bidimensional de frecuencias se sabe que:

a) Determine la regresión de “Y” sobre “X” y el coeficiente de correlación lineal.b) Calcule la varianza residual de la anterior regresión de dos formas distintas.

27. De una distribución bidimensional de frecuencias se sabe que:

a) Determine la media y la varianza de “Y”.b) Determine kc) Calcule la regresión de “Y” sobre “X” y la correspondiente varianza residual.

28. Determine la recta de regresión de “Y” sobre “X” sabiendo que:

29. Las rectas de regresión de dos variables son

Calcule las medias de dichas variables y el coeficiente de determinación.

30. Analice si son posibles las siguientes situaciones:a)

b)

c)

d)31. Demuestre que si es el valor teórico obtenido mediante la recta de regresión de “Y”

sobre “X”, sucede que

32. Analice si son posibles las siguientes situaciones:a)b)c)d)

33. Analice lo siguiente:a) ¿Es posible que ?b) ¿Si en una recta de regresión, puede ser negativo “r”?c) Si son rectas de regresión, calcule d) Si entre “X” e “Y” hay correlación positiva, ¿Cómo es la correlación entre

?e) ¿Es cierto que ?

34. Se sabe que la recta de regresión de “Y” sobre “X” es , y su coeficiente de determinación es 0.8; además, y las rectas de regresión se cortan en el punto (1,2). Determine las varianzas de “X” y de “Y”, y la covarianza. Estime el valor de “X” si Y=2.

35. A partir de la regresión lineal de Y, ahorro anual, sobre X, renta mensual de un grupo de familias (ambas variables en miles de dólares) se ha estimado que el ahorro correspondiente a una renta de 3 mil dólares es de 0.4 miles de dólares, mientras que, si la renta es de 2.5 miles de dólares, el ahorro es de 0.3 miles de dólares. Con estos datos, hállese la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.