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10 – Análisis de láminas con elementos planos

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asociado

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Clasificación de los cascarones

● De acuerdo a la forma de su superficie media:– Cascarones planos

– Cascarones curvos

– Cascarones axisimétricos

– Cascarones prismáticos

● De acuerdo con la teoría usada:– Reissner-Mindlin (cascarones gruesos y delgados)

– Kirchhoff (cascarones delgados)

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Resistencia de los cascarones

● La resistencia de los cascarones está dado por la mezcla de– El estado resistente típico de flexión (soporta

fuerzas de flexión y fuerzas cortantes)

– El estado resistente de membrana (soporta las fuerzas axiales)

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Elemento finito rectangular de lámina plana

Las direcciones de los ejes x' y y' coinciden usualmente con las de los lados del elemento finito, sin embargo, pueden ser arbitrarias

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Desplazamientos (en coordenadas locales)

8Desplazamientos de un punto de un elemento de cascarón plano en los planos locales x'z' y y'z', de acuerdo con la teoría de RM.

Desplazamientos

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Campo vectorial de movimientos en coordenadas locales

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Campo vectorial de deformaciones (en coordenadas locales)

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Vector de deformacionesgeneralizadas de membrana (alargamiento)

Vector de deformacionesgeneralizadas de flexión (curvaturas)

Vector de deformacionesgeneralizadas de cortante

(x',y',z')

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Vector de deformaciones generalizadas (en coordenadas locales)

Tenga en cuenta que:

donde

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Campo de esfuerzos (en coord. locales)

Observe que aquí no se está teniendo en cuenta σ'

z ya que

según la tercera hipótesis de RM su valor es despreciable.

vector de esfuerzos debidos a efectos de flexión

vector de esfuerzos debidos a efectos de cortantetransversal

Nota: esta no es la representación verdadera de los esfuerzos (ver más adelante)

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Ley de Hooke (relación entre esfuerzos y deformaciones)

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Matrices constitutivas

Esta es la misma matriz constitutiva utilizada en tensión plana y en la teoría de Kirchhoff

Esta es la misma matriz constitutiva la teoría de R-M, la cual incluye el coeficiente de distorsión transversal α=5/6

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Ley de Hooke (relación entre esfuerzos y deformaciones)

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Distribución de

esfuerzos en el

espesor del cascarón

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Vector de esfuerzos generalizados locales

x

y

NOTA: El libro de Oñate en inglés usa una convención de momentos flectores y torsores contraria a la aquí mostrada

Los momentos y fuerzas que aquí mostradas son por unidad de longitud

fuerza

momento

cortante

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En el caso que se tengan esfuerzos iniciales debidos a temperatura, el incremento de temperatura se asume que varía linealmente a lo largo del espesor de la cáscara a partir de su definición en ambas caras de la cáscara. Error de Oñate? Serían deformaciones iniciales.

Los momentos y fuerzas que aquí mostradas son por unidad de longitud

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Relaciones entre esfuerzos y deformaciones generalizadas locales

MCG de acoplamiento membrana-flexión

Todas las matrices D son simétricas

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Si las propiedades del material no varían con el espesor o si existe simetría dedichas propiedades con respecto a z'=0, tenemos que:

Ya que:

Se anula para un material homogéneo

MCG de acoplamiento membrana-flexión

Son las mismas matrices que en la teoría de RM

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PTV para láminas planas

Aquí las cargas están expresadas en coordenadas locales:

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PTV para láminas planas

Aquí las cargas están expresadas en coordenadas locales.

De donde se deduce que el trabajo de deformación virtual puede obtenerse como suma directa de las contribuciones de membrana, flexión y cortante.

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PTV para láminas planas

Observe que todas las derivadas que aparecen en los integrandos son de primer grado, lo que permite utilizar elementos finitos de clase C0

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Formulación de EFs de cascarón planos de Reissner-Mindlin

Considere un elemento finito isoparamétrico de clase C0 de n nodos. El campo de movimientos en coordenadas locales se discretiza así:

Vector de movimientos locales del nodo i

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Conveniode signosEste es el mismo convenio de signos para los giros que se empleó en el capítulo de placas.

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Discretización del campo de deformaciones generalizadas

Vector de deformacionesgeneralizadas de membrana (alargamiento)

Vector de deformacionesgeneralizadas de flexión (curvaturas)

Vector de deformacionesgeneralizadas de cortante

(x',y',z')

Recuerde que:

28Matriz de deformaciones generalizadas locales delnodo i

Matriz de deformaciones generalizadas localesdel elemento

Vector de deformaciones generalizadas locales del elemento

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Matriz de deformaciones generalizadas locales delnodo i

Matriz de deformaciones generalizadas locales demembrana del nodo i

Matriz de deformaciones generalizadas locales deflexión del nodo i

Matriz de deformaciones generalizadas locales decortante del nodo i

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Obtención de la matriz de rigidez y del vector de fuerzas nodales equivalentes local

Operando de la forma usual se obtiene que:

donde la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales equivalentes expresados en coordenadas locales está dado por:

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Matriz de rigidezde membrana

Matriz de rigidezde flexión

Matriz de rigidezde cortante

MdR de acopla-miento flexión-membrana

Matriz de rigidez local

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Es posible de mostrar que la matriz de rigidez local del elemento puede escribirse como:

donde K'PS

y K'PB

son las matrices de rigidez correspondientes al

problema de "tensión plana" y de “análisis de losas por Reissner-Mindlin” respectivamente; se asume que ambas matrices K'

PS y K'

PB se

calcularon para el mismo número de nodos y la misma tipología que el elemento de lámina plana utilizado.

Por consiguiente, si no existe acoplamiento membrana-flexión, la matriz de rigidez local de un elemento de lámina plana puede obtenerse directamente ampliando la matriz de rigidez para el caso de flexión de placas con la del elemento de tensión plana correspondiente.

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Se podría decir que a nivel local los esfuerzos de membrana equilibran las acciones contenidas en el plano de elemento, mientras que las acciones normales a dicho plano provocan un estado de flexión independiente, pudiendo obtenerse, siempre a nivel local, los movimientos, deformaciones y esfuerzos de ambos estados de manera totalmente desacoplada. El acoplamiento entre los estados de membrana y flexión se produce al ensamblar en ejes globales la matriz K(e) y el vector f(e).

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Cambio de ejes de coordenadas

Convención de signos para las rotaciones locales y globales

5 variables

6 variables: incluye θz

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Recuerdo de cambio de base

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Y como el elemento es plano:

Se incluyen θz y Mz

Matriz de transformaciónde desplazamientos nodales

Matriz de transformación de giros

38Producto cruz

Cálculo de los cosenos directores

locales

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Cálculo de los cosenos directores locales

41donde,

Matriz de rigidez y vector de fuerzas nodales equivalentes en coord. globales

El uso de la matriz B reduce significativamente el número de cálculos

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Cálculo de K(e) y f(e)

Primero que todo se debe definir la coordenadas de los nodos del elemento con respecto a los ejes locales x' y' z'. Suponiendo que los orígenes de los sistemas local y global coinciden:

Basta esta transformación por que K(e) es independiente del origen de coordenadas del elemento.

A partir de aquí se procede como un elemento isoparamétrico 2D.

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Cálculo de K(e) y f(e)

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Cálculo de fuerzas de membrana, momentos flectores y fuerzas cortantes

en el elementoEstas se realizan en coordenadas locales al elemento, por lo que:

Tenga en cuenta que se pueden utilizar las matrices:

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Elementos de cascarón plano de RM más usuales

Un elemento de cascarón puede considerarse como una simple superposición de un elemento de tensión plana y otro de flexión de placas, que en el caso más usual (D'

mf = 0)

contribuyen de forma totalmente desacoplada a la matriz de rigidez local del elemento. Desde este punto de vista, se puede afirmar que cualquiera de los elementos de tensión plana y de placa de RM podrían combinarse para formar un elemento de cascarón plano.

Como regla general, es conveniente seleccionar elementos de la misma familia y con el mismo número de nodos. Así mismo el elemento de placa no puede tener bloqueo de la solución por efecto del cortante y ni puede tener mecanismos propagables.

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Bloqueo de la solución

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Métodos para evitar el bloqueo de la solución

1.Métodos de integración reducida y selectiva: son métodos que subintegran la matriz K'c + K'm.

2.Métodos que utilizan campos de deformación por cortante impuestos.

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Integración con cuadraturas de Gauss-Legendre y singularidad de la matriz K

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Singularidad de la matriz de rigidez

Cuando K es singular se tiene que j-kp>0. Esta es una condición necesaria pero no suficiente.

Si j-kp>0, muy probablemente K es singularSi j-kp≤0, K es invertible

El criterio j-kp>0 es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad. Es aplicable individualmente a la matriz K, a la matriz K

r o

donde r = m, f, c.

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Ejemplo:subintegrando K

f

Numnodos

#gld/nodo #gdlrestringidos

Puntos de integración de Gauss-Legendre

En este caso en particular se debe usar la estrategia de integración c, para subintegrar la matriz Kf

El criterio j-pk>0 es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad.

probablemente es

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29 nodos

j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres

k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)

p = 6 (puntos de integración)

j – kp = 55 – 3x6 = 27 > 0 (Kdd

probablemente

es singular)

29 nodos

j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres

k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)

p = 24 (puntos de integración)

j – kp = 55 – 3x24 = -17 < 0 (Kdd

es invertible)

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Métodos de integración reducida/selectiva

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Bordeapoyado

Bordeempotrado

Prueba de singularidad

Se deduce que el EF de 8 nodos no satisface la prueba de singularidad para ciertas configuraciones de malla, lo que pone en entredicho su buen comportamiento como elemento de lámina delgada. De otro lado los EFs de 4 y 9 nodos siempre satisfacen la prueba de singularidad.

FALTA ENTENDER DE DONDE SALEN ESTOS NUMEROS

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Teorías de láminas planas de Kirchhoff

● Requiere elementos de continuidad C0 para discretizar los movimientos de membrana (u', v') y elementos de continuidad C1 para discretizar los movimientos de flexión. Esto obliga a formulaciones más complicadas.

● Presentan incompatibilidades de desplazamientos a lo largo de lados comunes de elementos no coplanares. Dicha incompatiblidad se traduce en una rigidización de la estructura y sólo puede evitarse utilizando mallas más tupidas o utilizando elementos de tensión plana especiales en lo que el campo de desplazamientos tenga una variación polinómica del mismo grado que las flechas en el EF de placa.

● Las dificultades anteriores no se presentan en elementos de láminas planas de Reissner-Mindlin, por lo que es preferible la segunda teoría.

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Tratamiento de nodos coplanares: evitando la singularidad de K

● Ver Sección 10.8

58

Problemas de cuasi-coplanaridad

● Ver Sección 10.8.5

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Elementos de lámina plana rebajada