10 Ejercicios

5/21/2018 10 Ejercicios

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Macroeconometra

Ejercicios

Nikolas A. Mller-Plantenberg

Marzo junio 2006

1 Ecuaciones en diferencias

1. (a) Deriva las formulas de Euler:

cos =ei +ei

2 ,

sin = ei

ei

2i .

(b) Deriva la siguiente ecuacin:

ei = 1.

(c) Deriva la frmula de de Moivre, utilizando la forma polar de un nmero complejo, z=u+vi.

(d) Deriva la frmula de de Moivre, sin utilizar la forma polar de un nmero complejo, z=

u+vi.

2. Considera la siguiente ecuacin en diferencias:

yt =0+1yt1.

(a) Deriva la solucin homognea, particular y general, suponiendo que el valor inicial deyt,y0, es y

0.

(b) Suponemos que tienes inicialmente 1000 euros en una cuenta bancaria y que aades cada

ao 200 euros. La cuenta bancaria lleva un tipo de inters de 5%. Escriba la ecuacin de

acumulacin de tus ahorros.

E-mail: [email protected]. Address: Room 15.1.08, Department of Economics, Universidad Carlos III de

Madrid, Calle Madrid 126, 28903 Getafe (Madrid), Spain. Phone: +34 91 624-8669.

1
mailto:[email protected]://econ.mullerpl.net/


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Universidad Carlos III de Madrid

Departamento de Economa

Macroeconometra

Segundo trimestre de 20052006

3. Considera el siguiente modelo del mercado monetario de Cagan (1956):

md

t :=pt+ (pt+1 pt),mst :=mt,

mdt =mst ,

donde

mdt :=logaritmo de la demanda monetaria (nominal),

mst :=logaritmo de la oferta monetaria (nominal),

pt:=logaritmo del nivel de precios,

>0,

>0.

(a) Interpreta la funcin de demanda real de dinero sugerido por Cagan.

(b) Deriva una solucin particular para pt en trminos de los pasados valores de {mt}, uti-lizando el mtodo de iteracin. Demuestra que esta solucin es divergente.

(c) Deriva el mismo resultado que la solucin es divergente utilizando el operador de

retardo.

(d) Deriva una solucin particular para pt en trminos de los futuros valores de {mt}, uti-lizando el mtodo de iteracin. Deriva la solucin general y interpretala.

(e) Deriva la misma solucin utilizando el operador de retardo.(f) Deriva la funcin impulso-respuesta, es decir, la derivada de pt con respeto amt+i,i =

1, 2 . . .. Comenta sobre la intuicin de esta funcin.

4. Busca una solucin a la siguiente ecuacin, utilizando los operadores de retardo:

yt =0+1yt1+t+1t1, donde |1| 0,

>0.

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Macroeconometra


No hay otras transacciones en la cuenta corriente que exportaciones y importaciones. Las

exportaciones y las importaciones se pagan enseguida, es decir en el mismo periodo, y no

hay otras transacciones en las cuentas de capital y financieras de la balanza de pagos.

i. Interpreta las ecuaciones del modelo.

ii. De las ecuaciones del modelo, forma una ecuacin en diferencias en zt como nicavariable.

iii. Deriva la ecuacin caracterstica, mostrando todos los pasos. Cuales son las races

caractersticas?

iv. Deriva las soluciones homogneas, yht , una solucin particular, ypt , y la solucin

general,ygt , de la ecuacin en diferencias.

v. Deriva la condicin bajo la que la solucin oscile.

vi. Calcula la frecuencia y el perodo de la oscilacin.vii. Deriva la condicin bajo la que el proceso explota.

(b) Ahora considera el siguiente modelo de una economa abierta:

st = ct,

qt=st,

zt+dt+ct = 0,

dt =d1t d

1t1,

ct=d1t1,

zt=zt1 qt1,

donde

d1t :=flujo de deuda, creada en t, a devolver ent+ 1.

i. Interpreta las ecuaciones del modelo.

ii. De las ecuaciones del modelo, forma una ecuacin en diferencias en zt como nicavariable.

iii. Deriva la ecuacin caracterstica, mostrando todos los pasos. Cuales son las races

caractersticas?

iv. Deriva las soluciones homogneas, yht , una solucin particular, ypt , y la solucin

general,ygt , de la ecuacin en diferencias.

v. Deriva la condicin bajo la que la solucin oscile. Es ms o menos probable que en

el modelo anterior que la cuenta corriente,zt, oscile?

vi. Calcula la frecuencia y el perodo de la oscilacin. En este modelo, la frecuencia es mayor o menor que en modelo anterior?

vii. Deriva la condicin bajo la que el proceso explota.

viii. En los grficos 1 y 2 vemos la evolucin de las cuentas corrientes en Japn y Ale-

mania. Las series temporales confirman nuestro modelo en el sentido de que se ven

ciclos de la cuenta corriente y del tipo de cambio en ambos pases. Sin embargo,

en el caso de Alemania, la frecuencia de los ciclos es ms grande. Es posible ex-

plicar esta observacin en trminos de nuestro modelo? (Recuerda que el comerciointernacional, como fraccin del PIB, es ms grande en Alemania que en Japn.)

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Macroeconometra


2 Modelos de series temporales estacionarios

1. Cuales de los siguientes series temporales {yt : t = 0,1,2, . . .} son estacionarios? Ex-plica tu respuesta.

(a) ytson variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, cada una con unadistribucin exponencial negativa.

(b) yt = yt1 + t, donde los t son variables aleatorias independientes e idnticamentedistribuidas, con una distribucin N(0, 1).

(c) yt = 0,7yt2+ t, donde lost son variables aleatorias independientes e idnticamentedistribuidas, con una distribucin N(0, 1).

(d) yt=A cos t, dondeA y son constantes reales.

(e) yt =A cos(t+), dondeA y son constantes reales y es una variable aleatoria conuna distribucin uniformees decir, rectangularen el intervalo[, ]. (Recuerda que2cos 1cos 2 = cos(1+2) + cos(1 2).)

(f) yt = t +t, donde las variables t yt son independientes entre ellas y cada una esestacionaria.

(g) yt = tt, donde las variablest yt son independientes entre ellas y cada una es esta-cionaria.

(h) yt=x, t, dondex N(0, 1).

(i) yt = x, t, dondex tiene una distribucin de Cauchy, es decir, la funcin de densidad deprobabilidad dex es:

f(x) 1

1 +y2, < x < .

(j) yt=xt, t, dondextes estacionario.

2. Explica porque ninguna de las siguientes funciones puede ser la funcin de autocorrelacin,

(), = 0,1,2, . . ., de una serie temporal estacionaria.

(a) (0) = 1,(1) = 0,5,(1) = 0,5,() = 0 cuando= 2,3, . . .

(b) () = 1,1|| cuando= 0,1,2, . . .

3. Determina la esperanza y la funcin de autocorrelacin del siguiente proceso estocstico:

yt = 12 +t+ 0,3t1 0,2t2, (0, 2).

Cmo cambiara la funcin de autocorrelacin si se sustituyera el nmero 12 por 6?

4. Demuestra que en un modelo MA(1), |1| 1/2. Cul es la condicin para que |1| = 1/2?

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5. Para cada uno de los siguientes modelos, determina los ordenes p y q de su representacinARMA. Adems determina si los modelos son sobreparametrizados, no estacionarios, no in-

vertibles o si tienen una raz unitaria.

(a)

yt 1,2yt1+ 0,2yt2=t 1,4t1.

(b)

yt= 0,1yt1+ 0,42yt2+t+ 0,9t1+ 0,14t2.

(c)

yt= 1,44yt2+t 0,64t2.

(d)

yt+ 0,5yt1+ 0,125yt2 = t.

6. (a) Deriva una expresin general para la funcin de autocorrelacin de un proceso AR(2) de

media cero:

yt=1yt1+2yt2+t,

donde

t WN(0, 2).

(b) Calcula y dibuja en un grfico las primeras cinco autocorrelaciones con los siguientes

parmetros:

i. 1= 0.6, 2 = 0.2,

ii. 1= 0.6, 2= 0.2.

7. (a) Calcula las autocovarianzas del siguiente proceso ARMA(1,1):

yt= 0,6yt1+t 0,8t1.

(b) Cuales son los coeficientes, j , en la representacin de medias mviles infinita de esteproceso?

8. Cmo se pueden estimar y en un modelo ARMA(1,1), utilizando las primeras dos auto-correlaciones? Las primeras dos autocorrelaciones son:

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3 Tendencias y estacionalidad en series temporales

1. Dada una condicin inicial para y0, busca la solucin parayt y la previsin en origen t ahorizontet+s,Et(yt+s).

(a) yt =yt1+t+ 0,5t1.

(b) yt = 1,1yt1+t.Se puede transformar este modelo en un modelo estacionario?

(c) yt =yt1+ 1 +t.

(d) yt =yt1+t+t.Se puede transformar este modelo en un modelo estacionario?

(e) yt =t+t+ 0,5t1, dondet = t1+t.

Hay una representacin ARIMA(p,1,q) de este modelo?(f) yt =t+t+ 0,5t1, dondet = 0,5t1+t.

[Enders (2003, exercise 4.1).]

2. Hemos visto que con una muestra limitada, puede ser imposible de distinguir un modelo

estacionario de un modelo con raz unitaria. Considera ahora un ejemplo donde el mod-

elo verdadero es estacionario y donde hay un proceso de raz unitaria con caractersticas

estadsticas prcticamente idnticas.

Suponemos que el modelo estacionario es simplemente:

yt = t, (13)

donde

t (0, 2).

Ahora intenta distinguir este modelo del siguiente modelo:

(1 L)yt= (1 +L)t, (14)

donde

t (0, 2),

||


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4 Modelos multivariantes de series temporales

1. Considera el siguiente modelo de vectores autoregresivos:ytzt

=

0,8 0,20,2 0,8

yt1zt1

+

e1te2t

. (15)

(a) Calcula la ecuacin univariante en diferencias de {yt} que corresponda al modelo enecuacin (15).

(b) Determina si {yt} es estacionario.

(c) Caracteriza la funcin impulso-respuesta deyt para un shock de magnitud unitariadee1ty para un shock de magnitud unitaria dee2t.

(d) Suponemos quee1t = yt+ 0,5zt y quee2t = zt. Caracteriza la funcin impulso-respuesta de ytpara un shock de magnitud unitaria de yty para un shock de magnitudunitaria dezt.

(e) Suponemos quee1t = yt y quee2t = 0,5yt + zt. Caracteriza la funcin impulso-respuesta de ytpara un shock de magnitud unitaria de yty para un shock de magnitudunitaria dezt.

(f) Considerando las ltimas dos respuestas, explica por qu el orden de la descomposi-

cin Choleski es importante.

(g) Si estable, un proceso de vectores autoregresivos como l en ecuacin (15) tiene la

siguiente representacin:

xt =i=0

Ai1et,

donde

xt =

ytzt

, A1=

0,8 0,20,2 0,8

, et =

e1te2t

.

CalculaA21y A31para determinar siA

i1se acerca a la matriz nula o no.


2. Considera el siguiente modelo de vectores autoregresivos:ytzt

=

0,8 0,20,4 0,1

yt1zt1

+

e1te2t

. (16)

(a) Calcula la ecuacin univariante en diferencias de {yt} que corresponda al modelo enecuacin (16).

(b) Determina si {yt} es estacionario.

(c) Caracteriza la funcin impulso-respuesta deyt para un shock de magnitud unitariadee1ty para un shock de magnitud unitaria dee2t.

(d) Suponemos quee1t = yt+ 0,5zt y quee2t = zt. Caracteriza la funcin impulso-respuesta de ytpara un shock de magnitud unitaria de eyty para un shock de magnitudunitaria deezt.

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(e) Suponemos quee1t = yt y quee2t = 0,5yt + zt. Caracteriza la funcin impulso-respuesta de ytpara un shock de magnitud unitaria de eyty para un shock de magnitud

unitaria deezt.(f) Considerando las ltimas dos respuestas, explica por qu el orden de la descomposi-

cin Choleski es importante.

(g) Si estable, un proceso de vectores autoregresivos como l en ecuacin (16) tiene la

siguiente representacin:

xt =i=0

Ai1et,

donde

xt =

ytzt

, A1=

0,8 0,20,4 0,1

, et =

e1te2t

.

CalculaA21y A31para determinar siA

i1se acerca a la matriz nula o no.


3. Suponemos que los residuos de un modelo de vectores autoregresivos tienen una matriz

varianza-covarianza con Var(e1) = 0,75, Var(e2) = 0,5y Cov(e1, e2) = 0,25.

(a) Utilizando una descomposicin Choleski con b12 = 0, identifica los valores de b21,Var(yt)y Var(zt).

(b) Utilizando una descomposicin Choleski con b21 = 0, identifica los valores de b12,Var(zt)y Var(yt).

(c) Suponemos que los tres primeros valores estimadas dee1tson1,0, 1y que los tresprimeros valores estimadas dee2t son 1,0, 1. Busca los tres primeros valores deyt y zt, utilizando cada una de las descomposiciones de las partes anteriores.


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5 Cointegracin y modelos de correccin de error

1. (a) Hay una variableytque esI(1). Se cree queyt es una funcin de un regresorxt quetambin esI(1). Cul es la condicin para que yt sea cointegrada conxt? Explicaen breve cmo se puede determinar si hay cointegracin entreyty xt.

(b) Las variablesytyxtson los logartmos de los variables originales y las dos son I(1).Se obtienen las siguientes estimaciones:

yt = 0,105(0,05)yt1+ 0,096(0,04)xt1+ 0,54(0,04)xt+ut.

donde los errores estndar estn en parntesis. Interpreta este modelo en trminos de

un modelo de correccin de error. Cul es la relacin a largo plazo? Las variables

se mueven uno por uno a largo plazo? Hay cointegracin entre yty xt?

2. Considera la siguiente regresin de cointegracin:

yt = +xt+ut,

ut = ut1+t,

donde lostson innovaciones independientes y idnticamente distribuidas con media ceroy varianza2 y las series temporales xt yyt sonI(1). El modelo se puede escribir entrminos de un modelo de correccin de error:

yt = +(yt1 xt1) +xt+t. (18)

(a) Determina,,,en trminos de los parmetros del problema original.

(b) Cul es la interpretacin del modelo en el caso en que0 <


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1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

2.5

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

17.5

Current account

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

Nominal effective exchange rateNominal effective exchange rate (counterfactual)

Figure 1: Japanese current account and counterfactual exchange rate. Japanese current account (leftscale, in trillions of yen, transformed from biannual to quarterly frequency using a natural cubic spline

smooth) and nominal effective exchange rate (right scale, in logarithms), period from 1968Q1 to 1999Q4.

The exchange rate is plotted along with counterfactual estimates during the periods 1980Q11981Q4 and

1984Q21986Q2 when measures to liberalize Japans capital account took effect, inducing capital inflows in

the early 1980s and capital outflows in the mid-1980s. The counterfactual series was calculated by removing

the exchange rate observations during the years of increased capital in- or outflows and filling the missing

values with the estimates from a natural cubic spline smooth based on all remaining observations. Source:

Economic Outlook (OECD), IFS (IMF), own calculations.

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5

0

5

10

15

20

25

4.15

4.20

4.25

4.30

4.35

4.40

4.45

4.50

1980 1985 1990

Current accountNominal effective exchange rate

Figure 2: German current account and nominal exchange rate in the 1980s.German current account(left scale, in German mark) and nominal effective exchange rate (right scale, in logarithms), period from

1977Q1 to 1990Q4. Source: International Financial Statistics (IMF).

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