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7/18/2019 10-Modelo

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Unidad didactica 4:El modelo de funcion aleatoria

Eduardo [email protected]

Grupo de HidrogeologıaDepartamento de Ingenierıa Hidraulica y Medio Ambiente

Universidad Politecnica de Valencia

Master en Ingenierıa Hidraulica y Medio Ambiente

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Geoestadıstica Unidad didactica 4: El modelo de funcion aleatoria

Contenidos

1 Introduccion.

2 Algunas definiciones preliminares.

3 Tipos de modelos.

4 El modelo de funcion aleatoria.

5 La decision de estacionariedad.

6 Resumen.

Master en Ingenierıa Hidraulica y Medio Ambiente 1

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1 Introduccion

• La descripcion de la informacion raramente es el ultimo objetivo de un estudio

estadıstico.

• El principal interes esta generalmente en las inferencias acerca de las caracterısticas dela poblacion que podamos hacer a partir de la muestra que hemos registrado.

• El analisis estadıstico descriptivo es un primer paso que nos permite obtener una serie

de estadısticos, incluyendo los espaciales, a partir de los cuales podemos construir unmodelo (una representacion) acerca de la poblacion (la realidad) que desconocemos yque queremos investigar.

• Todas las aplicaciones geoestadısticas, por ejemplo las predicciones acerca de losvalores de una variable, requieren de la construccion de un modelo.

• La geoestadıstica pone mucho enfasis en dejar bien claro el modelo subyacente a suaproximacion.


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2 Algunas definiciones preliminares

V a l o r

Coordenada

Datos

Muestra: es el conjunto S n de n me-diciones del atributo z sobre el area deestudio A, esto es:

S n = {z(uα), α = 1,...,n}

Poblacion: es el conjunto de todas lamedidas que podrıan registrarse sobre elarea de estudio A, esto es:

{z(u), ∀ u ∈ A}

¿Que sucede con el atributo en las localizaciones donde no ha sido medido?


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Algunas definiciones preliminares

• La necesidad de modelizar la distribucion espacial de z sobre A surge del hecho de que

la informacion disponible, S n, no es exhaustiva.

• Sin un modelo, no podemos realizar ninguna inferencia acerca del fenomeno en laslocalizaciones donde este no ha sido muestreado.

• Un modelo es una representacion de la realidad (desconocida).

• La realidad es unica pero tiene muchas representaciones posibles dependiendo de lainformacion disponible y del objetivo del estudio a realizar.

• La informacion mas deseable a la hora de construir un modelo es una descripcion delfenomeno a partir del cual fueron generados los datos.

• En la mayorıa de los casos debemos admitir que existe una gran incertidumbre acercade como trabaja el fenomeno que genero nuestra informacion.


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3 Tipos de modelos

• Modelos determinısticos:

• Suelen basarse en la fısica del problema.• Asocian a cada localizacion no muestreada un solo valor estimado.• Reflejan un conocimiento perfecto del fenomeno estudiado.

• Modelos probabilısticos:

• Mucha de la informacion utilizada para construirlos proviene de los datos.• Asocian a cada localizacion no muestreada un conjunto de posibles valores con sus

correspondientes probabilidades de ocurrencia.• Reflejan un conocimiento imperfecto del fenomeno estudiado.


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Ejemplo de modelos determinısticos

A l t u r a

Distancia

Modelo 1

Los 7 datos son medidas de la altura deuna pelota que bota sobre una superfi-

cie. Conocemos tambien la componentehorizontal de su velocidad inicial.

T a s a

Tiempo

Modelo 2

Los 7 datos son medidas de la tasa deinteres de un banco tomadas los jueves

de cada semana. El banco ajusta su tasauna vez por semana cada viernes.


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Ejemplo de modelos probabilısticos

Z i n c

Distancia

Datos

¿ ?

Los 7 datos son medidas de la concen-tracion de un metal pesado (zinc) a unos

pocos decımetros de la superficie de latierra.

P r o b a b i l i d a d

Zinc

Modelo 3

Un aproximacion probabilıstica constru-ye en cada localizacion no muestreada,

una funcion de distribucion para los posi-bles valores que puede tomar la variable.


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4 El modelo de funcion aleatoria

• La geoestadıstica se basa en el concepto de funcion aleatoria: el conjunto de valores

desconocidos de un determinado atributo es considerado como proveniente de variablesaleatorias, una para cada localizacion espacial, dependientes espacialmente.

• Tal modelo permite:

1 Tener en cuenta la estructura espacial (funciones de continuidad espacial).2 Modelizar la incertidumbre local acerca del atributo (conjunto de realizaciones del

atributo en cada localizacion).3 Modelizar la incertidumbre espacial acerca del atributo (conjunto de realizaciones del

atributo sobre el area completa de estudio).


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El modelo de funcion aleatoria

• Una variable aleatoria es una variable cuyos valores son generados aleatoriamente de

acuerdo a algun mecanismo probabilıstico.

• Un atributo continuo es modelizado a traves de una variable aleatoria continua, porejemplo Z (u), caracterizada completamente por su funcion de distribucion acumuladaque se escribe:

F (u; z) = Prob{Z (u) ≤ z} ∀ z

la cual da la probabilidad de que la variable Z en la localizacion u sea menor o igual queun determinado umbral z.


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• Una funcion aleatoria es un conjunto de variables aleatorias Z (u), generalmente

correlacionadas entre sı, definidas para cada localizacion u sobre el area de estudio A talque {Z (u), ∀ u ∈ A}.

Datos

V a l o r

Coordenada

V(u )

V(u )

V(u )

V(u )

V(u )

V(u )

V(u )

1

2

3

4

5

6

7

Variable aleatoria

Funcion aleatoria


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• Para cualquier conjunto de N localizaciones uk, k = 1,...,N corresponde un vector

de N variables aleatorias {Z (u1),...,Z (uN )}, que esta caracterizado por la funcion dedistribucion acumulada N -variada siguiente:

F (u1, ...,uN ; z1,...,zN ) = Prob{Z (u1) ≤ z1,...,Z (uN ) ≤ zN }

• La ecuacion anterior caracteriza la incertidumbre conjunta acerca de los N valoresz(u1),...,z(uN ).

• El conjunto de todas las N -variadas funciones de distribucion acumuladas para algunentero positivo N y para alguna eleccion de las localizaciones uk, constituye la leyespacial de la funcion aleatoria Z (u).

• En la practica, el analisis se limita a calcular las funciones de distribucion acumulada ylos momentos para no mas que dos localizaciones.


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• La funcion de distribucion acumulada univariada

F (u; z) = Prob{Z (u) ≤ z}

• La funcion de distribucion acumulada bivariada

F (u1, u2; z1, z2) = Prob{Z (u1) ≤ z1, Z (u2) ≤ z2}

• El valor esperado

m(u) = E {Z (u)}

• La covarianza

C (u1,u2) = E {Z (u1) · Z (u2)} − E {Z (u1)} · E {Z (u2)}

• El correlograma

ρ(u1, u2) = C (u1,u2)

C (u1, u1) · C (u2, u2)

• El variograma2 γ (u1,u2) = V ar{Z (u1) − Z (u2)}


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5 La decision de estacionariedad

• Las funciones de distribucion acumulada univariadas y bivariadas y sus correspondientes

momentos son dependientes de la localizacion, por lo que su inferencia requerirıamuchas realizaciones para cada localizacion u.

• Ejemplo: la inferencia de la C (u1,u2) entre las dos variables aleatorias Z (u1) y Z (u2)separadas por un vector h = u2 − u1, exigirıa un conjunto de medidas repetidas en cadalocalizacion u1 y u2 que es imposible realizar.

• En su lugar, la idea es utilizar todas las medidas separadas un vector h = u2 −u1 dentrodel area de estudio A.

• Esto exige que el fenomeno estudiado sea “homogeneo” dentro del area de estudio o, enterminos probabilısticos, el modelo de funcion aleatoria Z (u) debe ser estacionario

dentro de A.


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La decision de estacionariedad

• Una funcion aleatoria Z (u) se dice ser estacionaria dentro de un area A si su funcion de

distribucion acumulada es invariante bajo traslacion, esto es, cualquier par de vectoresde variables aleatorias

{Z (u1),...,Z (uN )} y {Z (u1 + h),...,Z (uN + h)}

tienen la misma funcion de distribucion acumulada cualquiera sea el vector de traslacion

h, lo que se escribe:

F (u1, ...,uN ; z1,...,zN ) = F (u1 + h, ...,uN + h; z1,...,zN )

∀ u1, ...,uN y h

• La decision de estacionariedad es limitada a las funciones de distribucion acumuladaunivariada y bivariada y a sus primeros dos momentos.


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• Las funciones de distribucion acumulada univariadas y bivariadas y los momentos de

primer y segundo orden del modelo de funcion aleatoria se pueden expresar ahoradependiendo solo del vector separacion h, esto es:

• F (z) = Prob{Z (u) ≤ z}

• F (h; z1, z2) = Prob{Z (u) ≤ z1, Z (u + h) ≤ z2}

• m = E {Z (u)}

• C (h) = E {Z (u) · Z (u + h)} − E {Z (u)} · E {Z (u + h)}

• ρ(h) = C (h)C (0)

• 2 γ (h) = V ar{Z (u) − Z (u + h)} = E

[Z (u) − Z (u + h)]2


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• Un modelo de funcion aleatoria se dice que es estacionario de segundo orden cuando:

1 El valor esperado E {Z (u)} existe y es invariante dentro del area A2 La funcion de covarianza C (h) existe y solo depende del vector separacion h

• La funcion de covarianza, el correlograma yel variograma de una funcion aleatoria esta-

cionaria estan relacionados de la siguientemanera:

γ (h) = C (0) − C (h)

ρ(h) = 1 − γ (h)

C (0)

C (h) → 0 para |h| → ∞

γ (h) → C (0) para |h| → ∞

γ

C

Distancia

Función de covarianza y variograma

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.20


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6 Resumen

• La solucion geoestadıstica consiste en interpretar cada valor z(u) como una realizacionparticular de una variable aleatoria Z (u) en la localizacion u.

• El conjunto de estas variables aleatorias {Z (u), ∀ u ∈ A}, constituye una funcionaleatoria.

• El problema de caracterizar la variabilidad espacial de z(u) se reduce a caracterizar

las correlaciones entre las varias variables aleatorias Z (ui) y Z (

uj) que constituyen lafuncion aleatoria.

• Una funcion aleatoria Z (u) se dice ser estacionaria dentro de un area A si su funcionde distribucion acumulada es invariante bajo traslacion.

• Un modelo de funcion aleatoria se dice que es estacionario de segundo orden cuando:

1 El valor esperado E {Z (u)} existe y es invariante dentro del area A.2 La funcion de covarianza C (h) existe y solo es funcion del vector separacion h.


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Bibliografıa

• Isaaks, E. y Srivastava, R. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics, Oxford

University Press, New York.

• Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford Uni-versity Press, New York.


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Para leer en casa...

• Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation (Capıtulo 3),

Oxford University Press, New York. (5-Lectura-Capıtulo3-Goovaerts.pdf )


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