100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

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MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Libro 3 http://matemelga.wordpress.com/

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MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

Libro 3

http://matemelga.wordpress.com/

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Compré una gabardina, un gorro y unas zapatillas y pagué, por todo, 140 euros.

La gabardina me costó 90 euros más que el gorro, y la gabardina y el gorro juntos me costaron 120 euros más que las zapatillas.

¿Cuánto me costó cada prenda?

SOLUCIÓN

Si el gorro y la gabardina me costaron 120 euros más que las zapatillas y todo me costó 140 euros, gorro y

gabardina me costaron 130 euros en total y las zapatillas 10 euros.

Por otro lado, como la gabardina me costó 90 más que el gorro y las dos prendas juntas costaron 130 euros,

el gorro me costó 20 euros y la gabardina 110 euros.

En resumen,

la gabardina costó 110 euros, el gorro costó 20 euros y las zapatillas costaron 10 euros

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En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra.

¿De cuántas maneras diferentes pueden ponerse ambas fichas?

SOLUCIÓN

Como hay 64 escaques, hay 64 maneras de colocar una de las fichas. La otra ficha tendrá 63 posiciones libres

para ponerla por cada situación de la anterior: en total, 64 x 63.

En conclusión,

se pueden colocar las dos fichas de 4032 maneras diferentes

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En una ciudad, cuyo plano es el de la figura, se desea ir de la casa situada en la parte superior a la otra.

¿Cuántos caminos diferentes posibles, con la misma longitud que el marcado, pueden llevar de una casa a la otra?

SOLUCIÓN

Numeremos la posibilidad de caminos en cada intersección (desde la casa inicial) y veremos, rápidamente, el

número de ellos:

Puede observarse que para llegar a cada cruce, el número de caminos distintos es la suma del número de

caminos distintos de los cruces colocados en su lado superior y en su lado izquierdo.

Las sucesivas diagonales de la trama forman el triángulo de Tartaglia (o de Pascal), por lo que sería sencillo

ampliar el resultado a un plano de n x n parcelas. En este ejercicio, la cantidad es 35354

7

3

7+=

+

.

Por tanto,

hay 70 caminos distintos para llegar de una casa a otra

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Tres cazadores disparan, a la vez, a un conejo.

El primer cazador suele acertar 3 veces de cada 5 disparos, el segundo lo consigue 3 veces de cada 10 y el último solamente una vez de cada 10.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cazadores le de al conejo?

SOLUCIÓN

Las probabilidades de acierto de cada uno son, sucesivamente 5

3,

10

3 y

10

1, por lo que las probabilidades

individuales de fallo son 5

2,

10

7 y

10

9.

Según esto, la probabilidad de que fallen los tres será 250

63

10

9

10

7

5

2 =×× . En conclusión, la probabilidad de

que acierte alguno será la contraria: 748,0250

187

250

631 ==−

Por tanto,

la probabilidad de que algún cazador acierte al conejo es 0,748

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Un equipo ciclista está entrenando para la Vuelta a España yendo todos los corredores con una velocidad constante de 35 kilómetros por hora.

En un momento dado, uno de ellos se escapa a una velocidad de 45 kilómetros por hora y recorre 10 kilómetros. Inmediatamente, y siempre a la misma velocidad, regresa y se reintegra en el grupo.

¿Qué tiempo ha transcurrido desde que se fue hasta que volvió con los demás corredores?

SOLUCIÓN

Llamamos t al tiempo, en horas, buscado.

Durante ese tiempo, el grupo ha recorrido t35 kilómetros, y el corredor t45 kilómetros.

Los la suma de esos kilómetros son los que ha hecho el pelotón más los que ha hecho el ciclista solitario en

su ida y en su vuelta: 20 kilómetros exactamente, pues en el regreso el corredor llega hasta el complemento,

que ha hecho el grupo, a los 10 kilómetros de la ida.

Obtenemos entonces que 4

12080201024535 =⇒=⇒=×=+ tttt

Es decir,

el corredor marcha en solitario un cuarto de hora

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Dos limpiaparabrisas articulados de 50 cm de longitud tienen sus centros de giro a 50 cm de distancia.

¿Qué superficie del parabrisas barren en total si sus giros abarcan exactamente 180º cada uno?

SOLUCIÓN

Dibujamos el gráfico:

Observamos que la superficie que cubren los parabrisas será la suma de las áreas de los dos semicírculos

menos la zona limitada por los arcos OM y MP y el segmento OP .

Es decir, la superficie será AS ×−×= 2502π cm2

Se trata, entonces, de calcular el área de la zona A . Esta será la diferencia entre las áreas del sector OMP y

del triángulo rectángulo OMN

El sector OMP abarca un ángulo de º60 , pues el triángulo OMP es equilátero de 50 cm de lado. Su área

será, por tanto, 2506

1 ××π cm2

El triángulo rectángulo OMN tiene de altura, aplicando el teorema de Pitágoras, 3252550 22 ×=− cm

por lo que su área es 2

3625

2

32525 ×=×× cm

2

De lo anterior, la superficie de la zona coloreada es 2

362550

6

1 2 ×−××= πA cm2, y la superficie pedida

52,631836255032

23625

5061

250250 2222 =×+××=

×−×××−×=×−×= ππππ AS cm2

O sea,

La superficie barrida es (aproximadamente) 0,63 m2

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Un abuelo reparte 26 caramelos entre sus cuatro nietos. Se ponen a comerlos y todos toman unos cuantos. Al cabo de una hora, comprueba que a todos les queda el mismo número de caramelos.

Sabiendo que el mayor ha comido tantos como el tercero, que el segundo ha comido la mitad de los que tenía inicialmente y que el cuarto se ha comido tantos como los otros tres juntos, ¿Cómo ha hecho el abuelo el reparto?

SOLUCIÓN

Sea x el número de caramelos que se han comido tanto el mayor como el tercero, e y los que se ha comido

el segundo.

Según el enunciado, si llamamos 4321 ,,, nnnn al reparto original tendremos:

264321 =+++ nnnn ; ( )xyxnxnynxn ++−=−=−=− 4321 ; ⇒= yn 22

⇒=+⇒=++++++⇒+=+==+=⇒ 26642622222,,2, 4321 yxyxxyyxyyxnxynynxyn

1332 =+⇒ yx , y los únicos valores enteros positivos que satisfacen la ecuación son 3,2 == yx o

1,5 == yx , siendo esta última solución no válida para el problema porque todos comen más de un

caramelo.

En suma, 10,5,6,5 4321 ==== nnnn

Es decir,

el mayor y el tercero reciben 5 caramelos cada uno, el segundo recibe 6 y el cuarto recibe 10 caramelos

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Isidro me comentó un día: “mi madre hubiese querido tener, al menos, 19 hijos pero no lo pudo conseguir. No obstante, mis hermanas eran tres veces más numerosas que mis primas y yo he tenido dos veces menos hermanos que hermanas”.

¿Cuántos hijos e hijas tuvo la madre de Isidro?

SOLUCIÓN

Sea x el número de hijos e hijas pedido. El número de hermanas de Isidro es múltiplo de 3 : n3 , siendo n

(número natural) el número de primas.

Por tanto, el número de hermanos de Isidro es 13 −− nx , porque a él lo exceptuamos.

Según el enunciado, ( )2

142923132n

nxnxnnx ++=⇒+=⇒=−−×

Si 102 =⇒= xn y, para valores mayores admisibles de n se obtiene que 19≥x , lo cual contradice el

enunciado.

De ahí,

la madre de Isidro tuvo 10 descendientes:

6 hijas y 4 hijos

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Una compañía de aviación tiene todas las rutas directas posibles entre un número determinado de ciudades.

Próximamente va a aumentar la red con 76 nuevos vuelos añadiendo nuevas ciudades y conectándolas entre sí y con las anteriores de manera directa también.

¿Cuántas ciudades tiene, en este momento, interconectadas?, ¿cuántas va a añadir?

SOLUCIÓN

Sea x el número de ciudades actuales e y el de las que añadirá próximamente.

Según las reglas de la Combinatoria, el número de rutas diferentes actuales es ( )12, −×= xxVx y el nuevo

número de rutas diferentes posterior sería ( ) ( )12, −+×+=+ yxyxV yx

Según las condiciones del problema, ( ) ( ) ( ) ⇒+−×=−+×+⇒+=+ 7611762,2, xxyxyxVV xyx

( ) ( ) ( ) ( ) 1921276276 222 ×=−+×⇒=−+×⇒=++−−+⇒ yxyyyxyxyxxyx

Evidentemente, y en el contexto del problema, 421122 oyyyxx =⇒>>−+⇒≥

Si 38122 =+⇒= xy , imposible, pues no se obtiene, de la expresión, un número entero.

Si 819324 =⇒=+⇒= xxy

Por lo tanto,

hay 8 ciudades interconectadas y se van a añadir 4 más

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Un número de tres cifras aumenta en 45 unidades si se permutan las dos cifras de la derecha, y disminuye en 270 si se permutan las dos cifras de la izquierda.

¿Qué sucede cuando se permutan las cifras de los extremos?

SOLUCIÓN

Sea abc el número. Según el enunciado se cumple:

1. 5459910100451010045 =−⇒=−⇒++=+++⇒=+ bcbcbcacbaacbabc

2. 327090901010027010100270 =−⇒=−⇒++=−++⇒=− babacabcbabacabc

De ambas afirmaciones podemos deducir que 2=− ac

Supongamos un incremento de valor k al permutar la cifra de los extremos:

( ) 1982999999991010010100 =×=−×=−=⇒++=+++⇒=+ acackabckcbacbakabc

De ahí,

se produce un incremento de 198 unidades

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Las edades de tres hermanos cumplen que

1. El producto de la edad del mayor por la del menor es igual al cuadrado de la edad del otro

2. La suma de las tres edades es 35

3. La suma de los logaritmos decimales de sus edades es 3

¿Cuáles con las edades de los tres hermanos?

SOLUCIÓN

Sean zyx ,, las tres edades, ordenadas del mayor al menor.

Del enunciado se deduce:

1. 2yxz =

2. 35=++ zyx

3. 3logloglog =++ zyx

De la última ecuación, 10003log3logloglog =⇒=⇒=++ xyzxyzzyx y, con la primera ecuación,

10100032 =⇒==⇒= yyxyzyxz y 100=xz . Además, por la segunda, 25=+ zx

Las edades del mayor y del menor son las raíces de la ecuación 20,50100252 ==⇒=+− pppp por lo

que

los hermanos tienen 20, 10 y 5 años

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Hace tiempo se casó una pareja de distinta nacionalidad: francesa y belga.

En la boda, el novio tenía la edad actual de la novia y el producto de las edades de ambos y los años que llevan casados es igual a la edad de quien tiene nacionalidad belga más 1539.

¿Cuántos años llevan casados?, ¿cuál es la edad y la nacionalidad de la novia?

SOLUCIÓN

Sean a la edad del componente del matrimonio que tiene nacionalidad belga y b del de nacionalidad

francesa. Sea x los años que llevan casados

Según el enunciado, se verifica que xba =− y que 1539+= aabx . De esta ecuación se deduce que

( ) 1931539115391539 4 ×==−××⇒=−××⇒+=×× xbaaxbaaxba

Las posibilidades (razonables) que se deducen son:

1.

====

⇒×==×⇒=−×⇒=182

2414128281119

xyb

xybxbxba

2.

====

⇒×==×⇒=−×⇒=158

2292925857127

xyb

xybxbxba

3. 128722827157 2 ==⇒×==×⇒=−×⇒= xybxbxba

4. 120522019181 2 ==⇒×==×⇒=−×⇒= xybxbxba

De todas ellas, solamente la primera posibilidad de la segunda cumple la primera condición: xba =−

De ahí,

llevan 2 años casados y la novia, belga, tiene 27 años

Page 14: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Cuatro amigos quieren comprar un libro, que interesa a todos.

Uno de ellos dice a los demás: “Solo tengo 1 euro. Si me prestáseis la mitad de todo vuestro dinero podría comprarlo”.

Otro le contesta: “También lo compraría yo con lo que tengo y un tercio del dinero que tenéis”.

El tercero apunta: “Yo podría comprarlo con mi dinero y una cuarta parte del vuestro.”

El último apostilla: “Si me dáis la quinta parte de vuestro dinero, con lo que tengo podría comprarlo”.

¿Cuánto cuesta el libro? ¿Cuánto dinero lleva cada uno de los amigos?

SOLUCIÓN

Llamamos tzyx ,,, al dinero que lleva cada uno y p al precio del libro. Está claro que 1=x

Según el enunciado,

=+−=−

=−−

=+++

=+−−=−+−

=−−

=+++

+++=+++

+++=+++

+++=+++

=+++

=+++

=+++

=+++

=+++

3

1345

432

1

8533

32

432

1

21

5

12

14

12

13

12

1

5

14

13

12

1

tz

tz

tzy

ptzy

tzy

tzy

tzy

ptzy

tzyzyt

tzytyz

tzytzy

ptzy

pzy

t

pty

z

ptz

y

ptzy

====

==−

=−−

=+++

28

25

19

37

28

1345

432

1

t

z

y

p

t

tz

tzy

ptzy

Por lo tanto,

el libro cuesta 37 euros

y los amigos llevan 1, 19, 25 y 28 euros

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Encuentra el número xy0yx que es producto de cuatro números consecutivos.

SOLUCIÓN

Si yxxy0 es producto de cuatro números consecutivos debe ser múltiplo de 8 y, por tanto, sus tres últimas

cifras también: •

= 8yx

Además, también será múltiplo de 3 , por lo que es evidente que •

= 3yx

En conclusión, 9672,48,2424 oyxyx =⇒=•

Los cuatro números consecutivos no deben tener, como cifras finales, ni 5 ni 0 porque el número buscado

acabaría en 0 por lo que, en cuanto a cifras finales, sólo pueden ser 9,8,7,64,3,2,1 o .

En ambos casos, el producto de las cuatro cifras acaba en 44 =⇒ x por lo que,

el número es 42024 (= 11 x 12 x 13 x 14)

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Coloca los números de 1 a 8 en cada vértice del cubo de manera que los vértices de cada cara sumen lo mismo.

SOLUCIÓN

Como cada vértice pertenece a tres caras y 3687654321 =+++++++ la suma total de las caras será

108336 =× y, al haber 6 caras, la suma de los vértices de cada cara será 186

108 =

También debe pensarse que los números deben ir equilibrados, por lo que podemos ir preparando parejas de

números que sumen 9 y combinarlas ( 54,63,72,81 −−−− )

Teniendo cuatro caras juntando esos pares, es cuestión, de probar las posibilidades de las otras dos.

Así, enseguida se llega a una de las posibles soluciones:

Page 17: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Identifica todos los números de 1 a 9 en este criptograma que se compone de un producto y una suma y construye estas operaciones, sabiendo que a letra distinta le corresponde un número diferente.

SOLUCIÓN

Evidentemente, 1≠C , por lo que 4≤A .

Si 1≠A debe cumplirse que 6≥D lo que determinaría que 3≤F y 7≥H y las posibilidades factibles, en

este caso, no existirían: pueden ir comprobándose partiendo (en principio) de que si

...132 ⇒=⇒ FysonAyC

Por tanto 1=A . Desde aquí, con 5≥H y CDH >>−1 , podemos llegar sin problemas a la solución:

Page 18: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Una millonaria sin familia, en su lecho de muerte, decide hacer testamento repartiendo entre sus sirvientes el dinero que tiene.

Siguiendo un orden de antigüedad en la casa, al más veterano le otorga un millón de euros más un séptimo de la cantidad restante, al siguiente dos millones más un séptimo del resto, al tercero tres millones más un séptimo de lo que queda y así sucesivamente hasta que todos recibieran su parte.

El notario, asombrado, se da cuenta de que todos recibían la misma cantidad de dinero.

¿Cuánto dinero reparte la millonaria?, ¿cuántos sirvientes tiene?

SOLUCIÓN

Si llamamos x a la cantidad que reparte los dos primeros sirvientes van a obtener la misma cantidad, por lo

que ( ) ( )

−×+−×+=−×+ 200000010000007

11000000

7

120000001000000

7

11000000 xxx

Simplificando obtenemos que ⇒−×+=+

7

200000006

7

12000000

7

6000000 xx

3600000067800000074200000049

678000000

7

6000000 =⇒+=+⇒+=+

⇒ xxxxx

El reparto, entonces, fue de 6000000350000007

11000000 =×+ para cada persona, por lo que había

66000000

36000000 = sirvientes.

Repartió 36 millones de euros entre 6 sirvientes

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Un comerciante de productos audiovisuales decide subir el precio de sus televisores, ¡en esta época de crisis!, un 10% de su valor.

Al cabo de dos meses, y viendo que sus ventas han descendido notablemente, decide bajar su precio el 10%.

¿El precio es el mismo que antes de subirlos?, ¿cuál es la diferencia, si la hay?

SOLUCIÓN

Sea T el precio inicial de un televisor.

Al aumentar un %10 , su precio es 1,1×T

Si después disminuye el precio de ese momento en un %10 el nuevo precio será 99,09,01,1 ×=×× TT

Por tanto,

el precio ha bajado en un 1% respecto a su valor original

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En un círculo se inscribe un rectángulo y, en éste, un rombo con sus vértices en los puntos medios de los lados del rectángulo.

¿Cuál es el perímetro del rombo si el diámetro del círculo es de 10 centímetros?

SOLUCIÓN

Está claro, dibujando el problema, que los lados del rombo equivalen a los

radios del círculo, por lo que

el perímetro del rombo es de 20 centímetros

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Un constructor quiere dar una cantidad extra a sus operarios.

Con la cantidad que ha pensado distribuir, si da 50 euros a cada uno le sobran 5 euros y si da 51 euros a cada uno le faltarán 3 euros.

¿Cuántos son los operarios?, ¿cuánto pensaba repartir?

SOLUCIÓN

Sea x el número de operarios e y la cantidad que piensa repartir.

De ahí, 8550351 =⇒+=− xxx

Además, 4055850550 =+×=+= xy

En conclusión,

son 8 operarios y pensaba repartir 405 euros

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Un chico, que vive en el último piso de su casa, baja la escalera de tres en tres peldaños y la sube de dos en dos, dando un total de 100 saltos.

¿Cuántos peldaños tiene la escalera?

SOLUCIÓN

Llamamos n al número de peldaños de la escalera. Según el enunciado da 3

n saltos al bajar y

2

n saltos al

subir, por lo que 1205

6006005100

23==⇒=⇒=+ nn

nn y

la escalera tiene 120 peldaños

Page 23: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un monte hay desperdigadas varias casetas de manera que cada una de ellas está unida a las demás por un camino.

Si hay 36 caminos, ¿cuántas casetas están en el monte?

SOLUCIÓN

Sea n el número de casetas. Como cada camino une un par de casetas y es el mismo para ir de una a otra o

viceversa, el número de caminos será el número de combinaciones de las casetas tomadas dos a dos:

( )97236

2

136

22 =⇒=−⇒=−×

⇒=

nnn

nnn (la otra solución de la ecuación es negativa, lo que no

tiene sentido en el contexto del problema).

Hay 9 casetas

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Un amigo tiene tres hijos: uno tiene la misma edad que la cifra de las decenas de la edad del padre y otro tiene la misma edad que la cifra de las unidades de la edad de su padre. La edad del restante es, casualmente, la suma de las cifras de la edad del padre.

Si ninguno de los niños tiene la misma edad y la suma de todas las edades es 45, ¿qué edades tienen cada uno de los cuatro integrantes de la familia?

SOLUCIÓN

Llamamos p y q a las edades de los dos primeros hijos. qp + es la edad del tercer hijo y, la edad del padre

es qppq += 10

En estas condiciones, ( ) 154453124510 =+⇒=+⇒=+++++ qpqpqpqpqp

Como las dos incógnitas planteadas son cifras y distintas, se deduce que la única solución válida se produce

cuando 2=p y 7=q

Por lo tanto,

el padre tiene 27 años y los hijos tienen 2, 7 y 9 años

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El uno de enero de 1886 la población de cierta ciudad europea era de P habitantes.

Durante ese año el número de defunciones se elevó a 1/42 de la población y el de nacimientos a 1/35.

Si hubiera ocurrido lo mismo en todos los años sucesivos, ¿en qué año la población se incrementaría en su mitad?

SOLUCIÓN

La proyección de incremento para la población es, para el año siguiente, de PPP

P210211

3542=+− habitantes

y, en años sucesivos, de un incremento geométrico de razón 210

211=r .

Por tanto, la época en la que se incrementa la mitad la población inicial corresponderá a n años después en

donde 23

210211

23

210211

11

=

⇒=

×−− nn

PP , según la relación de términos de una progresión geométrica.

De ahí, aplicando logaritmos, 35,86135,851

210211

ln

23

ln

210211

ln

23

ln1 =+=+

=⇒

=− nn

En conclusión,

la población de 1886 se incrementaría en su mitad a lo largo del año 1972

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Calcula la superficie del círculo naranja tangente a los lados del cuadrado y a la semicircunferencia dibujada en la figura sabiendo que el lado del cuadrado mide 2 centímetros.

SOLUCIÓN

Sea x el radio del círculo y construimos el triángulo rectángulo ABC

Según se ve en la figura, tenemos que

xAB −= 1

xAC −= 2

xBC += 1

Aplicando el teorema de Pitágoras,

( ) ( ) ( ) ⇒+=−+−⇒=+ 222222121 xxxBCACAB

⇒=+−⇒++=+−++−⇒ 048124412 2222 xxxxxxxx

124 ±=⇒ x , y se desecha el valor mayor que el lado del cuadrado, luego el radio es 324 ×−=⇒ x cm

El área es, por tanto, ( ) 902224817,032422 =×−×=× ππ x

Es decir,

la superficie del círculo es 0,9022 cm2

Page 27: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

La siembra de un kilo de patatas produce tres kilos al año.

Una familia de granjeros consume 600 kilos al año y el jefe de familia debe comprar la cantidad inicial de patatas suficiente para que la familia tenga, a partir de ese momento, un consumo indefinido.

¿Cuántas patatas, como mínimo, debe comprar?

SOLUCIÓN

Si x es el número mínimo de kilos que deben sembrar al año para mantenerse, deberá cumplirse que la

producción de cada año sirva para la el consumo y para sembrar para el próximo año: 6003 += xx

De ahí, 30060026003 =⇒=⇒+= xxxx

Como el primer año no se ha producido nada, deberá comprar para sembrar y para el consumo de ese

primer año, por lo que

deberá comprar, al menos, 900 kilos de patatas

Page 28: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Calcula las medidas de un rectángulo tal que sus lados, diagonal y área estén en progresión aritmética.

SOLUCIÓN

Sean a , b , 22 bad += , abA = las medidas lado menor, lado mayor, diagonal, área del rectángulo que

están en progresión aritmética y todos los términos no nulos.

Se deberá cumplir que la diferencia de dos consecutivos es la misma:

−+=+−−=−+

bbabaab

abbba2222

22

De ahí, ( )

+=−

−=+⇒

+=+

−=+

⇒−+=+−

−=−+

22

2

2

2222

22

22

2222

22

babab

abbabab

ba

abba

bbabaab

abbba

=

=⇒=

=−⇒

=−

=⇒

−=

=⇒

=−=

+=−+−=+

⇒223

34

326

3

432

34

3

23

4

23

43

24

44 22222

b

aab

a

ab

a

aa

a

ab

ab

aabb

abb

babab

aabbba

En resumen,

los lados del rectángulo miden 3/2 y 2

Page 29: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En una división entera la suma del dividendo y del divisor es 328, y la suma del cociente y el resto es 19. Calcula el dividendo y el divisor.

SOLUCIÓN

Sea la división entera rdcDdD +=⇒:

Se sabe que

=+=+

19

328

rc

dD, cumpliéndose que Ddr << . Por tanto 164>D , 16419 << d , 19<r [*]

Despejando en las condiciones y sustituyendo en la primera expresión tenemos

( )rr

rdrdrdrrdd

−+=

−−=⇒−=−⇒+−=−

20

3081

20

3283282019328

Como 1172328 2 ××= y es divisible por r−20 , estudiamos los posibles valores según las condiciones [*]

a) 155220 =⇒=− dr , 173118 =⇒=⇒= Dcr

b) 78420 =⇒=− dr , 250316 =⇒=⇒= Dcr

c) 45720 =⇒=− dr , 283613 =⇒=⇒= Dcr

d) 291120 =⇒=− dr , 299109 =⇒=⇒= Dcr

e) 231420 =⇒=− dr , 305136 =⇒=⇒= Dcr

Por tanto, hay cinco posibilidades:

Dividendo: 173; divisor: 155

Dividendo: 250; divisor: 78

Dividendo: 283; divisor: 45

Dividendo: 299; divisor: 29

Dividendo: 305; divisor: 23

Page 30: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Agustín, Gustavo y Félix tienen una especial relación entre sus edades.

La suma de dos cualquiera de las tres edades da siempre un número que resulta de invertir las cifras de la tercera edad, y todas suman menos de 100 años.

¿Cuál es la suma de las tres edades?, ¿qué edad tiene el menor?

SOLUCIÓN

Según los datos del problema sean ab , cd y ef las tres edades.

Así,

+=+++⇒=++=+++⇒=++=+++⇒=+

abfedcbaefcd

cdfebadcefab

efdcbafecdab

101010

101010

101010. Sumando todo obtenemos que

( ) ( )fdbecafedcbafedcba ++×=++×⇒+++++=+++++ 819101010220220220 , por lo que s

deduce que

=++=++

nfdb

meca

19

8 al ser 8 y 19 números primos entre sí.

Sumando las tres edades, ( ) nmfdbecaefcdab 198010 +=+++++×=++ , siendo m y n números

naturales. Como la suma es menor de 100 años, deberá ser 1== nm y 99=++ efcdab , suma de las tres

edades

Además, 99911119999

=+⇒=+⇒=+⇒

=++=+

fefeeffeefcdab

fecdab y, de la misma manera, 9=+ ba

y 9=+ dc

Todas las edades son múltiplos de 9 y

=++=++

19

8

fdb

eca por lo que las únicas posibilidades de edades son 18 ,

27 y 54 o 18 , 36 y 45

En conclusión,

la suma de las tres edades es 99 y el menor tiene 18 años

Page 31: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Halla el resultado de la suma

SOLUCIÓN

Racionalizando la expresión, =+

+++

++

++ 10099

1......

43

1

32

1

21

1

=−−++

−−+

−−+

−−=

99100

99100......

34

34

23

23

12

12

9110110099100......342312 =−=−=−++−+−+−=

En resumen,

la suma vale 9

Page 32: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

El dueño de una fábrica con grandes beneficios decide repartir una paga extraordinaria entre sus tres empleados más antiguos.

Esa paga será proporcional a los años que cada uno lleva en la empresa.

Sabe que uno lleva tantas semanas como días lleva otro y éste tantos meses como años lleva el tercero.

Si entre todos suman 60 años trabajando allí, ¿cuántos años lleva cada uno de ellos?

SOLUCIÓN

Según el enunciado, el primero último llevará 7 veces los años del segundo y el tercero, a su vez, 12 veces

los años del segundo.

Si llamamos x a los años que lleva el segundo, se cumplirá que 3602060127 =⇒=⇒=++ xxxxx

Por tanto,

los empleados llevan 21, 3 y 36 años en la empresa

Page 33: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tiene un lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos son iguales a 505, 233 y 52 hectáreas.

¿Cuál es la superficie del campo triangular?

SOLUCIÓN

El triángulo tiene de lados 505=a , 233=b y 52=c , medidos en

hectómetros.

Llamando h a la altura del triángulo y x al elemento auxiliar en la base,

aplicamos a los dos triángulos rectángulos, creados con la altura, el teorema

de Pitágoras:

22 52 xh −= ; ( ) ⇒−×+−=−−= 222 5052272505233 xxxh

505

450516

505162

52505

1623245052

22 =⇒=−=⇒=⇒=× hhxx

Entonces, la superficie del triángulo es 2505

4505

21

21 =××=×× ha ha

Es decir,

la superficie del campo triangular es de 2 hectáreas

Page 34: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Una persona decide invitar a una caña a dos amigos si averiguan, sin comunicarse ningún dato, dos números cuyo producto está comprendido entre 32 y 40.

Al primero le dice el producto de los números y éste, inmediatamente, le dice al oido cuáles son. Al segundo le da después la suma de ambos y también le dice los números de manera inmediata. De esta manera, los tres se toman las cañas prometidas.

¿Cuáles son los dos números?

SOLUCIÓN

Si el producto está comprendido entre 32 y 40 y el amigo que lo conoce da la respuesta inmediata, esto

quiere decir que dicho producto debe tener una descomposición única en dos factores, por lo que debe ser

primo. Y el único primo, entre los límites dados, es el 37137 ×=

Por eso el primer amigo lo sabe enseguida.

El segundo amigo, según el razonamiento dado y conociendo la suma (habrá recibido 38 como dato), da

también la respuesta correcta.

Los números son 1 y 37

Page 35: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Expresa, mediante una fórmula, el resultado de la suma

en donde cada sumando tiene un dígito 1 más que el anterior hasta llegar al último, que tiene n dígitos 1.

SOLUCIÓN

Tendremos en cuenta, en el desarrollo, la suma de los m términos de una progresión geométrica:

111

−−×=

r

araS

n

m

Observando detenidamente la expresión se deduce que

( ) ( ) ( )=+++++++++++=++++ −− 110......1010......11010110111111...1111111......111111 212 nn

( ) ( ) ( ) =++++++++++++= −− 101010......10......101010......1010 22212 nnn

=−

−×+−

−×++−

−×+−

−×+=−−

110

101010

110

101010......

110

101010

110

101010 221 nn

n

( ) ( ) =−

−××+−=++++×+−×−=−

−−

110

101010

9

10

9

101010......1010

9

10

9

110 1221

nnn nn

n

81

10910

9

10010990 1

2

1 −−=−+−=++ nn nn

Por lo tanto, la fórmula pedida es

81109110 −−+ nn

Page 36: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

¿Para qué valores positivos de a el producto

es un valor múltiplo de 15?

SOLUCIÓN

Es evidente que el primer factor no puede ser múltiplo de 5 ni el segundo factor múltiplo de 3 , por lo que

deberá cumplirse que el primer factor debe ser múltiplo de 3 y el segundo de 5 :

=+=+

na

ma

523

315, siendo m y n números naturales.

De ahí, ( )9

172

9

725102539

3

25

5

13 −×+=⇒−=⇒−=−⇒

−=−= nnm

nmnm

nma , por lo que 1−n

debe ser múltiplo de 199 +=⇒ xn , siendo ...,3,2,1,0=x

Sustituyendo en una de las igualdades anteriores, ( )

1153

345

3

2195

3

25 +=⇒+=−+×=−= xa

xxna

En resumen,

a = 15x + 1, siendo x = 0, 1, 2, 3, …:

a = 1, 16, 31, 46, …

Page 37: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Estamos en una habitación cuadrada. El piso de la habitación está cubierto con losetas iguales a las de la imagen, formando una cuadrícula de 30 x 30.

Si trazamos una recta que vaya de una esquina de la habitación a la esquina opuesta y pintamos de azul la mitad inferior del piso determinada por la diagonal, ¿cuántas losetas tenemos que por lo menos tengan un pedazo pintado de azul?

SOLUCIÓN

De las 900 losetas existentes, 30 estarán bajo la diagonal que tracemos, pues la cantidad es la misma que

las que hay en cada lado de la habitación.

De las restantes, la mitad

=−435

230900

estarán a un lado de la diagonal y la otra mitad al otro.

Las losetas de una de esas mitades más las losetas de la diagonal serán las que tengan todo o algún pedazo

pintado de azul, por lo que el total será

465 losetas

Page 38: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Sea la sucesión 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, …

¿Qué valor tiene el término 2000?

SOLUCIÓN

Si llamamos a la sucesión ( )na , observamos que

• 11 =a es el último término de valor 1… y el orden del término es 1

• 23 =a es el último término de valor 2 … y el orden del término es 321 =+

• 36 =a es el último término de valor 3 … y el orden del término es 6321 =++

• 410 =a es el último término de valor 4 … y el orden del término es 104321 =+++

• …

De lo anterior se deduce que man = es el último término de valor m … y el orden del término es

( )22

1...4321

2 mmmmmn

+=×+=+++++= , según la fórmula que da la suma de los términos de una

progresión aritmética.

Buscamos ahora el último término del valor m más próximo y anterior al orden 2000 .

Si 20002

20002

≤+⇒≤ mm

n

Resolvemos la ecuación 7475,620400020002

22

=⇒=−+⇒=+xxx

xx desechando el valor negativo.

Determinamos entonces el orden del último término de valor 62=m : 19532

62622

=+=n y los 63

siguientes tendrán de valor 63 , entre ellos el que ocupa el lugar 2000 , pues 20002016631953 >=+

En conclusión,

a2000 = 63

Page 39: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Halla el número natural que es el producto de los primos p, q, r, sabiendo que r – q = 2p y rq + p

2 = 676

SOLUCIÓN

Si ( ) ( )

⇒=+−+⇒−=−⇒−=

=−

⇒=+

=−20744242074

420744

4

676

2 222

2

22

2 rqrqqrrqqrrqp

pqr

prq

pqr

( ) 5220742 =+⇒=+⇒ qrqr

Según todos los primos inferiores a 52 y sabiendo que 2

qrp

−= también debe ser primo, encontramos las

siguientes posibilidades:

47=r , 215 =⇒= pq , imposible porque no es primo

41=r , 1511 =⇒= pq , imposible porque no es primo

29=r , 323 =⇒= pq

En suma, el número buscado es =×× 29233

2001

Page 40: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

La iglesia de San Pedro de Fraga (Huesca) tiene ascendencia visigótica.

Los árabes la convirtieron en mezquita y el 24 de octubre de 1149 fue consagrada al cristianismo durante la conquista de la ciudad. Si multiplicas las cifras de ese año se obtiene 36.

¿Cuántos años pasaron hasta que el producto de las cifras del año volvió a dar 36?

SOLUCIÓN

Factorizando 36 obtenemos 22 3236 ×= y los divisores son, ordenados,

36,24,12,9,6,4,3,2,1

Está claro que el año siguiente tendrá, en su tercer dígito, el 6

Por lo tanto el año en el que volvió a obtenerse 36 como el producto de sus cifras fue 1166 y pasaron

1166 – 1149 = 17 años

Page 41: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En cinco garajes hay aparcados cinco automóviles, uno en cada garaje, siendo todos los coches de distinto color y los garajes están numerados, de izquierda a derecha, de 1 a 5

Indica la situación de los coches según su color, y mirando de frente los garajes, si se sabe que

1. El coche blanco no está ni al lado del azul, ni al lado del rojo, ni al lado del gris.

2. El coche verde no está ni al lado del azul ni al lado del gris.

3. El coche azul no está al lado del rojo.

4. El coche gris está a la izquierda del rojo.

SOLUCIÓN

Llamamos B, A, R, G y V a los coches respectivos de color blanco, azul, rojo, gris y verde.

Por la primera condición el coche B debe estar en uno de los extremos, ocupando el garaje 1 o el 5, y el

coche V debe ocupar el puesto de al lado, el 2 o el 4.

Por la segunda condición el coche R debe ocupar, obligatoriamente, el garaje 3 al ser adyacente a la posición

del coche V.

Y la tercera condición, considerando las anteriores, nos indica que el coche A ocupa otro de los extremos: el

garaje 1 o el 5.

La última condición nos indica que el coche G debe ocupar el garaje 2, por lo que el V debe ocupar el garaje

4, B el 5 y A el 1.

Concluyendo, las posiciones de los coches, de izquierda a derecha, son

Azul – Gris – Rojo – Verde – Blanco

Page 42: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Jugando al Mastermind numérico se obtienen las siguientes combinaciones:

3 8 9 5 R R

9 4 5 7 R R

1 2 9 0 R B

7 6 8 0 B

4 6 8 7 R

Averigua el número secreto teniendo en cuenta que R significa número acertado pero no su colocación, y B acertado en su lugar correspondiente.

SOLUCIÓN

Por el cuarto y quinto resultado desechamos los dígitos 6 y 8, y puede ser que

a) 0 está en la última posición y el 4 está en otra y el 7 no está

Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición y el 4 debe

estar en tercera posición

Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición, por lo tanto su posición correcta

es la segunda

Por el tercer resultado, debe estar el 9 y su posición correcta será la primera, lo cual se

contradice con el segundo resultado

Por tanto, es imposible la suposición inicial

b) 7 está en la primera posición y el 0 y el 4 no están

Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición

Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición

Por el tercer resultado, debe estar el 9 (fuera de su posición) y debe estar el 2 en su posición

correcta.

El número es, por tanto,

7239

Page 43: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

A un cliente, en un bar, le sirven un vermut en una copa de forma cónica.

Ha indicado al camarero que le llene la copa hasta la mitad de la altura del recipiente.

¿Qué parte del volumen total de la copa beberá?

SOLUCIÓN

Siendo el recipiente un cono, su volumen es hrV ×××= 2

3

1 π , siendo r el radio de la

boca de la copa y h la altura del recipiente.

Si el camarero rellena h×2

1, el radio de la superficie de la bebida será proporcional, por

el teorema de Thales: r×2

1

El volumen será, en este caso, VhrhrV ×=×××=××

×××=8

1

8

1

3

1

2

1

2

1

3

1' 2

2

π

Es decir,

beberá 1/8 del volumen total de la copa

Page 44: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Se ha realizado un torneo de ajedrez en el que han participado 30 niños divididos, de acuerdo con su edad, en dos grupos.

En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás del grupo. Se jugaron, en total, 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero.

El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7,5 puntos.

Teniendo en cuenta que se puntúa 1 por partida ganada y 0,5 por tablas, ¿en cuántas partidas hizo tablas el ganador?

SOLUCIÓN

Llamamos n al número de jugadores del primer grupo. n−30 es el número de jugadores del segundo grupo.

Según el enunciado, ( ) ( ) ( )

⇒+−×=−×−⇒+

=

−87

2

1

2

293087

22

30 nnnnnn

126965817487059 22 =⇒=⇒+−=+−⇒ nnnnnn

Fueron 12 los componentes del primer grupo, por lo que el ganador jugó 11 partidas.

Entones no pudo ganar 7 partidas y empatar 1 ( 1117 ≠+ ), no pudo ganar 6 partidas y empatar 3

( 1136 ≠+ ), no pudo ganar 5 partidas y empatar 5 ( 1155 ≠+ ), …

Si no perdió ninguna partida, teniendo en cuenta las puntuaciones y el número de juegos, el campeón del

primer grupo ganó 4 partidas e

hizo tablas en 7 partidas

Page 45: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un convento hay un fantasma bastante especial. Aparece cuando las campanas de la iglesia del convento empiezan a tocar las 12 campanadas de la medianoche y desaparece con la última campanada.

Si las campanas tardan 6 segundos en dar 6 campanadas, ¿cuánto dura la aparición del fantasma?

SOLUCIÓN

Según el enunciado las seis primeras campanadas suenan en un periodo de 6 segundos. Al haber cinco

intervalos entre cada par de campanadas, cada intervalo será de 2,15

6 = segundos.

Las 12 campanadas, que se producen en 11 intervalos, tocarán en 2,13112,1 =× segundos

O sea,

la aparición del fantasma dura 13,2 segundos

Page 46: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Entre los antiguos papeles en el desván de una casa se ha encontrado una nota de una venta realizada en el año 1952. La nota dice asi:

“Por la venta de 72 pollos he recibido la cantidad de _67,9_ pesetas”

Parece ser que la primera y la última cifra de la nota no están legibles, seguramente por deficiencias de la conservación, y se han sustituido por guiones.

¿Qué precio tenía cada pollo?

SOLUCIÓN

Llamamos yx679 al precio total multiplicado por 100 para evitar decimales. Éste valor debe ser divisible por

8972 ×=

Para que sea divisible por 8 las tres últimas cifras deben formar un número divisible por 8 : ⇒=•879y

28686898678479 =⇒=+⇒=++×=++=⇒

••yyyyy

Para que sea divisible por 9 la suma de todas sus cifras debe ser divisible por 9 : ⇒=++++•9976 yx

39692494 =⇒=+⇒=++⇒=++⇒

•••xxxyx

El precio total de los pollos es de 92,367 pesetas, por lo que =72

92,367

5,11 pesetas costaba cada pollo

Page 47: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Nevó abundantemente y, debido a las bajas temperaturas, la nieve se heló.

Un vecino quería atravesar la plaza en donde vive, desde el portal nº 26 al portal nº 2. Cada vez que daba un paso (50 cm) se deslizaba 25 cm en el sentido de la pendiente.

Aproximadamente hay 24 m desde el portal nº 26 hasta el centro de la calzada y 10,5 m desde el centro de la calzada hasta el portal nº 2, como se indica en el dibujo.

¿Cuántos pasos debe dar para llegar de un portal a otro?

SOLUCIÓN

Desde el comienzo de la caminata, y hasta el centro de la calzada, cada paso (con el correspondiente

deslizamiento) supone 752550 =+ centímetros por lo que hará 3275

2400 = pasos.

Del centro de la calzada hasta su destino, cada paso supone 252550 =− centímetros por lo que serían (en

teoría) 4225

1050 = pasos, aunque en el penúltimo ya llegaría con los 50 centímetros y no retrocedería. En

este caso, por tanto, hace 41 pasos.

En resumen, hará en total

73 pasos

Page 48: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En el parque infantil hay un arenero rectangular, con una valla de madera, que mide 4,07 por 2,30 metros.

Con la nueva remodelación se quiere transformar en un arenero cuadrado que tenga el triple de superficie que el anterior.

¿Cuántos metros de valla son necesarios?

SOLUCIÓN

La superficie del arenero actual es 361,930,207,4 =× m2

El triple de esta superficie es 083,28361,93 =× m2

El lado de la nueva superficie cuadrada debe ser 3,5083,28 = m

Por tanto, la valla necesaria medirá el cuádruple del lado:

21,2 metros

Page 49: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Para favorecer la venta de un tipo de bocadillo, en cierto bar fijaron un precio muy económico. Y al cabo de 2 meses se duplicó el precio.

Cuando el dueño vio que la venta de esos bocadillos disminuía, bajó el precio un 20%. El precio final del bocadillo quedó en 1,92 €

¿Cuál era el precio inicial?

SOLUCIÓN

Consideramos x euros el precio inicial del bocadillo. Cuando lo duplicaron costaba x2 euros.

Al bajar el precio el porcentaje citado quedó 20,1160

19292,12

100

802%80 ==⇒=×= xxxde

El precio inicial era

1,20 €

Page 50: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Para celebrar el fin de temporada de un club deportivo se hizo una comida.

Cada cuatro asistentes compartieron una plato de jamón, cada tres una ración de calamares y cada dos una pata de ternasco.

Si en total se sirvieron 65 platos, ¿cuánta gente participó en la comida?

SOLUCIÓN

Si llamamos n al número de asistentes, hubo 4

n platos de jamón,

3

n platos de calamares y

2

n platos de

ternasco.

De ahí, 6013

651265

12

1365

234=×=⇒=⇒=++ n

nnnn por lo que

hubo 60 asistentes a la comida

Page 51: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Encuentra un número hexadecimal de tres dígitos que tenga los mismos dígitos que en base 10 en orden invertido y que represente el mismo número.

SOLUCIÓN

Sea abc el número en base decimal.

Según el enunciado, ⇒++=++⇒++=++= abccbaabccbaabc 162561010016161010 22

cabbca 85332625599 −=⇒+=⇒ , por lo que a y c tienen la misma paridad: son a la vez pares o a la

vez impares.

Además, como cacab 8533085332 ≥⇒≥−= , luego 4<c porque a331033340485 >×>=× y también

ca >

Por último, 2

5

33

858533 >>⇒≥

c

aca

En resumen, se debe cumplir que 4<c ; 2

5>c

a; a y c tienen la misma paridad; 085332 ≥−= cab

Los casos posibles son, entonces,

a) 1=c , 714859923 =⇒=−=⇒= bba

b) 1=c , 940808516525 >=⇒=−=⇒= bba … ¡imposible!, y también para valores de 5>a

c) 2=c , 9142817019826 >=⇒=−=⇒= bba … ¡imposible!, y también para valores de 6>a

d) 3=c , 9214225529729 >=⇒=−=⇒= bba … ¡imposible!

En conclusión,

371 = 173(16

Page 52: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

La profesora escribe en la pizarra un número natural menor que 50000.

Un estudiante afirma que el número es múltiplo de 2; un segundo estudiante dice que es múltiplo de 3; y así sucesivamente, hasta que el decimosegundo estudiante dice que es múltiplo de 13.

La profesora observa que todos excepto dos de sus estudiantes están en lo cierto y que los dos estudiantes que se equivocan han hablado uno enseguida del otro.

¿Qué número está escrito la pizarra?

SOLUCIÓN

El primer estudiante dice la verdad pues hay más de dos números, del 2 al 13 , que son múltiplos de 2

Por la misma razón, los que dicen que es múltiplo de 3 y de 4 también están en lo cierto, por lo que igualmente

dice la verdad el que dice que es múltiplo de 12

Si es múltiplo de 12 también lo será de 6 . Además, debe ser múltiplo de 13 teniendo en cuenta que los que

mienten están diciendo dos números consecutivos.

Como es múltiplo de 4 y de 6 también lo será de 5 al estar entre dos correctos. Por tanto será múltiplo de 10 y

también de 11, éste último al estar también entre dos correctos.

Por ahora hemos visto que el número es múltiplo de 2 , de 3 , de 4 , de 5 , de 6 , de 10 , de 11, de 12 y de 13

Queda por averiguar si es de 7 , de 8 y de 9

Si los erróneos son 8 y 9 el número es múltiplo de 7 . El menor número con esa condición será

( ) 50000600601311753213,12,11,10,7,6,5,4,3,2 2 >=×××××=mcm

que no cumple las condiciones del problema, por lo que no puede ser múltiplo de 7 ni de 8 y sí es múltiplo de 9

El menor es, entonces,

( ) 5000025740131153213,12,11,10,9,6,5,4,3,2 22 <=××××=mcm

y está claro que es el único que cumple las condiciones.

El número buscado es

25740

Page 53: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Tomando los números

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

calcula la suma de las 100 fracciones que se obtienen al tomar dos números de la lista, incluso si denominador y numerador son iguales.

SOLUCIÓN

Consideramos primero la suma de las fracciones de denominador 2 :

=+++++++++=+++++++++2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1024

2

512

2

256

2

128

2

64

2

32

2

16

2

8

2

4

2

2 1098765432

1212

222

2

1 1010

−=−

−××= al formar los numeradores una progresión geométrica de razón 2

Si tomamos la suma de las fracciones de denominador 4 :

=+++++++++=+++++++++2

10

2

9

2

8

2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

1024

4

512

4

256

4

128

4

64

4

32

4

16

4

8

4

4

4

2

( )122

1

12

222

2

1 1010

2−×=

−−××= por la misma razón que antes.

Sucesivamente, y de la misma manera, obtenemos las sumas hasta las fracciones de denominador 1024 :

=+++++++++1024

1024

1024

512

1024

256

1024

128

1024

64

1024

32

1024

16

1024

8

1024

4

1024

2

( )122

1

12

222

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 109

10

1010

10

10

9

10

8

10

7

10

6

10

5

10

4

10

3

10

2

10−×=

−−××=+++++++++=

La suma total, entonces, será la suma de las diez sumas construidas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−×++−×++−×+−×+−×+−×+− 122

112

2

1......12

2

112

2

112

2

112

2

112 10

910

810

410

310

21010

( ) ( ) ( )9

1010

910

9876543210

2

1212

12

1

12

1

2

1

122

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1112

−×−=−

−××−=

+++++++++×−=

La suma es, por tanto,

5121046529

92

21102

=

Page 54: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En la figura, a, b, c, d, e y f son las áreas de las regiones correspondientes y todos esos valores son números naturales diferentes entre sí y menores que 10.

Cada triángulo formado por tres regiones tiene área par y el área de la estrella completa es 31.

Calcula el valor de f.

SOLUCIÓN

Como dfa ++ y dfb ++ son pares, a y b tienen la misma paridad: son ambos pares o ambos impares.

Razonando de la misma forma llegamos a que a , b , c , d y e tienen la misma paridad.

Como a y d tienen la misma paridad da + es par y como dfa ++ es par, f debe ser también par.

Si todos suman 31, a , b , c , d y e deben ser todos impares: 1, 3 , 5 , 7 y 9 (no necesariamente en el mismo

orden).

En resumen, 63197531 =⇒=+++++ ff

f mide 6 unidades cuadradas

Page 55: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un triángulo rectángulo dibujamos la altura CH correspondiente a la hipotenusa.

Halla los ángulos x e y sabiendo que el área del triángulo AHC es la cuarta parte del área del triángulo BCA.

SOLUCIÓN

Evidentemente, º90=+ yx

Los triángulos AHC y BCA son semejantes al ser ambos rectángulos y con los mismos ángulos por lo

que, si sus áreas están en proporción 4/1 , sus lados estarán en proporción 2/14/1 =

Según lo anterior, los lados del triángulo AHC miden la mitad de los lados homólogos en el triángulo

BCA , por lo que la relación entre las respectivas hipotenusas es bCAABc 22 ===

De ahí, en el triángulo BCA , º30º602

1

2cos =⇒=⇒=== yx

b

b

c

bx

x = 60o; y = 30o

Page 56: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Calcula el resultado de la suma

1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + …

SOLUCIÓN

Llamamos ...!5

4

!4

3

!3

2

!2

1 ++++=S

Tomando =

++++++

+++++=+⇒++++= ...!6

1

!5

1

!4

1

!3

1

!2

1...

!6

5

!5

4

!4

3

!3

2

!2

1...

!5

1

!4

1

!3

1

!2

1TST

TTST +=+⇒+=+++++=+++++= 11...!5

1

!4

1

!3

1

!2

11...

!6

6

!5

5

!4

4

!3

3

!2

2

por lo que

la suma vale 1

Page 57: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Como cada domingo, la familia de Lisa desayuna junta. Un domingo cada uno de los miembros de la familia de tomó una mezcla de café con leche, y todos la misma cantidad de mezcla.

Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero siempre había de ambos. Lisa se tomó una cuarta parte de la cantidad total de leche y una sexta parte de la cantidad total de café.

¿Cuántas personas hay en la familia?

SOLUCIÓN

Llamamos TyLC, a las cantidades totales de café, leche y tazas (mezcla) que consumió la familia.

Lisa tomó TLC =+64

Llamando n al número de familiares de Lisa, éstos consumieron nTLC =+6

54

3

Operando,

( )

( )

>⇒>−⇒−=⇒−=

+−

+⇒=+

<⇒>−⇒−=⇒−=

+−

+⇒=+

30336

23

6

3

4

3

6

5

4

33

6

3

4

3

50554

25

65

43

65

45

56

54

5

nnTnL

TnTLCLC

TLC

nnTnC

nTTLCLC

TLC

Por tanto, el resto de la familia de Lisa es de 4=n miembros y

hay 5 personas en la familia

Page 58: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Halla el valor de la expresión

SOLUCIÓN

Sea ...111111 +++=a y ...111111 −−−=b . Se trata de hallar ba −

Está claro que aa += 11 y bb −= 11

Entonces, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒+=+−−=−−+=−−+=−=−×+ bababababababa 1111111111112222

1=−⇒ ba

O sea, el valor pedido es

1

Page 59: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3
Page 60: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3
Page 61: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3
Page 62: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

SOLUCIÓN

Según los datos que nos indican las dos últimas

viñetas, el triángulo rectángulo construido tiene

los dos catetos iguales, pues es isósceles

(ángulos de º90,º45,º45 ) y, además, los

catetos miden 200 metros, pues la altura de

vuelo es de 1000 metros y la altura del cono es

de 800 metros.

Llamamos m a los metros que recorre

Margarita en su caída y h a los metros que

recorre el helicóptero desde que Ramón simula el fallo hasta que tira a su mujer.

Al llevar el helicóptero una trayectoria bisectriz, ésta con la horizontal forma un ángulo de º5,222

º45 = .

Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la bisectriz citada, se verifica que:

1. ( ) 16,117º5,22tan1200º5,22tan200200200

200º5,22tan =−×=⇒×=−⇒

−= mmm

metros.

2. 48,216º5,22cos

200200º5,22cos =⇒=⇒= hh

h metros.

3. Obsérvese penúltima viñeta, que da la pista.

Concluyendo,

1. Margarita recorre 117,6 metros en su caída

2. El helicóptero recorre 216,48 metros desde la simulación del fallo hasta que Ramón tira a Margarita

3. Los zapatos que deja Margarita en la repisa del helicóptero es una prueba de la implicación de Ramón en su muerte

Page 63: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Un número de 9 cifras acaba en 4.

Si multiplicamos el número por 2 y le borramos la primera cifra resulta el mismo valor que si lo multiplicamos por 3 y le borramos la última cifra.

¿Qué número es?

SOLUCIÓN

Sea el número 4abcdefgh

Si lo multiplicamos por 2 su última cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le

quitamos la última cifra acabará ahora en la cifra de las unidades de 13 +h

Por tanto 813 =+h , 1813 =+h o 2813 =+h y la única posibilidad es que 92813 =⇒=+ hh . El

número buscado es 94abcdefg

Si lo multiplicamos por 2 la penúltima cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la

penúltima cifra coincidirá con la de las unidades de 23 +g

La única posibilidad es que 2823 =⇒=+ hg . El número buscado es 294abcdef

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas es 5 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última

cifra, la cifra de las centenas coincidirá con la de las unidades de f3

La única posibilidad es que 5153 =⇒= ff . El número buscado es 5294abcde

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millar es 0 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la

última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 13 +e

La única posibilidad es que 31013 =⇒=+ ee . El número buscado es 35294abcd

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millar es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la

última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 13 +d

La única posibilidad es que 2713 =⇒=+ dd . El número buscado es 235294abc

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas de millar es 4 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la

última cifra, la cifra de las centenas de millar coincidirá con la de las unidades de c3

La única posibilidad es que 8243 =⇒= cc . El número buscado es 8235294ab

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millón es 6 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos

la última cifra, la cifra de las unidades de millón coincidirá con la de las unidades de 23 +b

La única posibilidad es que 82623 =⇒=+ bb . El número buscado es 88235294a

Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millón es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la

última cifra, la cifra de las decenas de millón coincidirá con la de las unidades de 23 +a

La única posibilidad es que 51723 =⇒=+ aa . El número buscado es 588235294

En efecto, porque 1767058811764705882588235294 ⇒=× quitándole la primera cifra, y

1767058817647058823588235294 ⇒=× quitándole la última cifra.

El número buscado es

588235294

Page 64: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer viernes del mes que viene da 37.

Si todas las fechas suceden en el presente año, ¿en qué mes estamos?

SOLUCIÓN

Si ambas suman fechas suman 37 y el primer viernes no va más allá del día 7, el último lunes es, al menos,

30.

Tenemos dos casos: 31 y 6 o 30 y 7.

Si el último lunes del mes anterior es 31, el mes en curso puede tener 28, 29, 30 o 31 días y acabará en

lunes, miércoles o jueves, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 4, 3, 2 o 1 y no podrá ser 6.

Si el último lunes del mes anterior es 30 puede suceder

a) que tenga 30 días. El mes en curso tendrá 31 días por lo que acabará en jueves, por lo que el

primer viernes del mes siguiente será 1 y no podrá ser 7.

b) que tenga 31 días y el mes en curso tenga 28, 29, 30 o 31 días por lo que acabará en martes,

miércoles, jueves o viernes, por lo que el primer viernes del mes siguiente será 3, 2, 1 o 7.

Por lo tanto el mes anterior y en el que nos encontramos deben tener, ambos, 31 días.

Esto sólo puede suceder si el mes anterior es julio y estamos en

agosto

Page 65: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

¿Qué porcentaje del área total representa la región roja?

SOLUCIÓN

Tomando L como la longitud del lado de los cuadraditos, el área total del rectángulo es 22464 LLL =×

La superficie ‘no roja’ está formada por regiones que conforman un círculo de radio L2 (las suma de las

esquinas) y otro círculo de radio L (las dos regiones restantes). Por tanto, la superficie de la parte roja

será ( )( ) ( ) 222222 524524224 LLLLLL ππππ −=−=+−

El porcentaje es ( )

%10024

524%100

24

5242

2

×−=×− ππL

L, y su valor concreto es

34,55 %

Page 66: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Si hacemos la “simplificación” obtenemos un resultado cierto, pues

Halla todas las fracciones que poseen esa propiedad si el numerador y denominador son números de dos dígitos y todos los dígitos que intervienen en la fracción son distintos.

SOLUCIÓN

Para que se cumpla la propuesta anterior, debe verificarse que c

a

bc

ab = , siendo cba ,, cifras.

Es decir, ca

acbacbcabbcacacab

c

a

cb

ba

−=⇒=−⇒+=+⇒=

++

10

99101010

10

10

Entonces se dan dos casos

a) 91

10109

10

99 <

+=⇒−=⇒=

−⇒=

a

accaac

ca

acb

• Si 51 =⇒= ca : la fracción es

=5

1

95

19

• Si 84 =⇒= ca : la fracción es

==21

84

9849

b) aaccab +=+=⇒=−⇒≠•••31033109

• Si 641 =⇒=⇒= bca : la fracción es

=41

6416

• Si 1071 >⇒=⇒= bca : imposible

• Si 652 =⇒=⇒= bca : la fracción es

=52

6526

• Si 882 =⇒=⇒= bca : imposible

• Si 4

27

24

16263 ==⇒=⇒= bca : imposible

• Si 7

81

21

24393 ==⇒=⇒= bca : imposible

• Si 11

84

33

25274 ==⇒=⇒= bca : imposible

• Si 7

60

42

36085 ==⇒=⇒= bca : imposible

• Si 17

162

51

48696 ==⇒=⇒= bca : imposible

Las fracciones son

19/95, 49/98, 16/64, 26/65

Page 67: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Un agricultor deja en herencia a sus dos hijos una parcela rectangular dividida en un muro en dos partes, como muestra la figura.

Recibida la herencia a los hijos no les gusta el muro y lo eliminan, dividiendo la finca con una valla recta desde el punto P hasta un punto Q del lado opuesto del rectángulo.

¿A qué distancia está el punto Q del punto X para que las dos partes tengan la misma superficie?

SOLUCIÓN

Llamamos x a la longitud pedida, y a la dimensión desconocida de

la parcela original y z a la menor altura de los trapecios de la nueva

distribución, ambos necesariamente iguales al tener la misma

longitud en la base.

En la herencia original, las dos superficies son iguales, por lo que

( ) ⇒=−⇒×−−=×+ 784032016040981604098160 zyzyz

492 =−⇒ zy

En el nuevo reparto, los lados laterales serán iguales dos a dos, por

lo que ( ) 98298 =+−⇒=−−− xzyzxzy

De ambas igualdades generadas se obtiene que 49=x :

la distancia de Q a X es de 49 metros

Page 68: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En una habitación de planta rectangular hay dos alfombras triangulares, una rosa y otra verde, colocadas como se muestra en la figura.

Se sabe que el área de la parte no cubierta por las alfombras (coloreada en amarillo) mide 4,2 m2.

¿Cuánto mide el área del cuadrilátero determinado por la superposición de las dos alfombras (sombreado en negro)?

SOLUCIÓN

Las dos alfombras tienen, cada una, como base y altura a los lados de la habitación, por lo que tendrán

una superficie igual a la mitad de la habitación y la suma será la superficie de la habitación.

Por tanto el área de la superficie negra común a ambas alfombras debe coincidir con el área de la

superficie que no cubren (sombreada en amarillo) pues la que cubren tiene de área la suma de las áreas

de las dos menos la de la superficie negra, al estar ésta contada dos veces en la citada suma.

En resumen, la superficie negra tiene un área de

4,2 m2

Page 69: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Si 141

22 =+

xx halla el valor de la suma

66 1

xx + sin calcular x , número positivo.

SOLUCIÓN

Calculamos 41

162142111

21

22

22

2

=+⇒=+=++=+××+=

+x

xx

xxx

xxx

x por ser x positivo.

Entonces, ⇒++=×⇒+++=+++=

+ 41

414111111

33

33

33

22

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx

5244141

33 =−×=+⇒

xx

De ahí, 2521

522111

21 2

662

66

6336

2

33 −=+⇒=++=+××+=

+x

xx

xxx

xxx

x

Por lo tanto,

2702616 =+

xx

Page 70: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un círculo se dibujan cuatro interiores de 1 cm de radio todos tangentes a él y, a la vez, tangentes entre sí dos a dos.

¿Qué porcentaje de superficie está coloreada de naranja respecto a la total del círculo original?

SOLUCIÓN

Dibujamos el cuadrado ABCD formado por los segmentos que unen los centros de los cuatro círculos

interiores y trazamos sus diagonales, que se cortan en el centro O del círculo grande.

Llamamos T al área del círculo grande, cuyo radio es la mitad de la diagonal del

cuadrado más el radio de uno de los círculos interiores. Es decir, su radio es

(teniendo en cuenta que el lado del cuadrado mide 2 cm)

1212

22122

2

1 22 +=+×=++×=radio cm usando el teorema de

Pitágoras en el triángulo rectángulo isósceles ABC .

De lo anterior, ( ) ( ) ππ ××+=+×= 223122

T cm2

Vamos a deducir dicha área de otra forma, teniendo en cuenta que es la suma de las áreas de la superficie

verde (Ve ), de las de los círculos interiores ( Am , cada una) y de las de las cuatro superficies iguales a la roja

( Ro , cada una): RoAmVeT ×+×+= 44

El área de cada círculo interior es ππ =×= 21Am cm2

El área de la superficie verde es la diferencia entre el área del cuadrado y el área de uno de los círculos

interiores (obsérvese la figura que engloba el cuadrado: cuatro cuartos de un círculo interior más la parte

verde). ππ −=−= 422Ve cm2

En conclusión, ( ) 12

2223444 −×=⇒××+=×+×+−= ππππ RoRoT cm

2

Como la superficie naranja es ( )

12

221

2

2 −×+=−×+=+ πππRoAm cm2 y ( ) π××+= 223T cm

2, el

porcentaje pedido es

( )( ) =×

××+

−×+

=×+%100

223

1222

%100π

π

T

RoAm

23,828%

Page 71: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Al dividir por siete un número de cuatro cifras resulta el que se obtiene al tachar, del original, la cifra de las centenas.

¿Cuál es el número?

SOLUCIÓN

Sea el número abcd y hay que tener en cuenta que dcba ,,, son cifras y 0≠a

Al dividirlo por 7 se obtiene acd por lo que ⇒×= acdabcd 7

⇒=−+⇒++=+++⇒ dcbadcadcba 660100300770700101001000

cb

adcbad 103

505030501503 −+=⇒−+=⇒

Para que d sea una cifra debe ser nb 3= , siendo 0≥n entero.

Entonces, ( )cnadcnad −+×=⇒−+= 5510105050 por lo que

( )nanaccnad +×=+=⇒=−+⇒= 5550550

Como 0≠a , sólo puede darse el caso que ( ) 5,00,1 ==== cbna

Es decir, el único número que cumple la condición es

1050

Page 72: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Una persona compró doce botellas de vino, blanco y tinto, por 99 euros.

Si el vino tinto cuesta 3 euros más que el blanco y compró más vino blanco que tinto, ¿cuántas botellas de cada una compró si ambos precios son valores enteros?

SOLUCIÓN

Llamamos x al número de botellas de tinto e y al número de botellas de blanco que compró.

Según el enunciado, xyyx −=⇒=+ 1212 siendo yx << 6

Llamando p al precio del vino blanco, tenemos que ( ) ( ) ⇒=+⇒=×−++× 9912399123 pxpxpx

pxpx 43312993 −=⇒−=⇒

Como 6<x , el valor de la botella de vino blanco puede ser

• 8=p euros 111 =⇒=⇒ yx

• 7=p euros 75 =⇒=⇒ yx

por lo que

compró 1 botella de vino tinto y 11 de vino blanco

o

compró 5 botellas de vino tinto y 7 de vino blanco

Page 73: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un cuadrado de 1 cm de lado construimos un hexágono regular como indica la figura.

¿Cuánto vale el área de la zona coloreada?

SOLUCIÓN

Obsérvese que el triángulo ABC es rectángulo y con el ángulo º60=C , pues es

suplementario a uno interior del hexágono.

Por ello, uniendo el triángulo ABC con el triángulo ''' CBA obtenemos un

triángulo equilátero de lado x2 . Igual efecto surge haciendo lo mismo con los

triángulos superiores.

El área pedida será la diferencia entre el área del cuadrado y el doble del área

del triángulo equilátero de lado x2

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa OC

obtenemos que 3

3

3

1

3

1

4

1

4

3

4

1

42

222 ==⇒=⇒=⇒+= aa

aaa cm, lado del hexágono regular.

Entonces 3

311212 −=−=⇒=+ axxa cm, lado del triángulo equilátero construido anteriormente.

La altura de ese triángulo es, por el teorema de Pitágoras, ( ) 32 2222×=−=−= xxxACBCAB cm y

el área es 21

33

332

34

43

33

143

434

232

22

−=

×−×=

−×=×=×× xxx

cm2

El área de la superficie coloreada es 3

322

21

33

21×−=

−×− cm

2

es decir,

0,8453 cm2

Page 74: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Representamos por P(n) y S(n) el producto y la suma, respectivamente, de las cifras del número natural n. Por ejemplo: P(23) = 6 y S(23) = 5.

¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un número natural, de entre los de dos cifras, que verifique que P(n) + S(n) = n?

SOLUCIÓN

Sea el número abn = : ( ) ( ) ⇒=+×⇒=+⇒+=++⇒=+ abaaaabbabaabnnSnP 1011010)()(

abb ∀=⇒=+⇒ ,9101 cifra.

Por tanto, todos los números de dos cifras que poseen la cifra de las unidades igual a 9 verifican la

condición.

Hay 90 números de dos cifras (: de 10 a 99 ) y, de ellos, 9 acaban en 9 (: 19 , 29 , …, 99 )

Entonces, la probabilidad es 10

1

90

9 = . Es decir,

0,1

No hay más números naturales de las características citadas salvo los indicados aquí.

Page 75: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Un rectángulo de 22 cm de perímetro, se divide en 5 rectángulos iguales.

¿Cuál es el perímetro de cada uno de estos 5 rectángulos?

SOLUCIÓN

Llamamos a y b a los lados de cada uno de los 5 rectángulos interiores.

Se observa que ba 23 =

El perímetro del rectángulo grande es

( ) 22211223822282232 =⇒=⇒=+⇒=+⇒=++× aaaababaa cm

Entonces, el perímetro de cada uno de los 5 rectángulos es

=×==+=+ 2553222 aaaba

10 cm

Page 76: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un triángulo rectángulo ABC se toma un punto D sobre la hipotenusa AC y resulta que el triángulo BCD tiene todos sus lados iguales a 1 cm

¿Cuánto mide AB?

SOLUCIÓN

El triángulo BCD es equilátero, por lo que todos sus ángulos

valen º60

Entonces, en el triángulo ABD se verifica: el ángulo º30=B

por ser complementario a uno de º60 y el ángulo º120=D

por ser suplementario a otro de º60 . Por lo tanto, el tercer

ángulo vale BA ==−−= º30º120º30º180 , por lo que el

triángulo ABD es isósceles y 1== BDAD cm

De ahí 211 =+=+= DCADAC y como 1=BC cm,

aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC y obtenemos:

312 2222=−=−= BCACAB cm

En resumen,

AB = √3 cm

Page 77: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Si 3a = 4, 4b = 5, 5c = 6, 6d = 7, 7e = 8 y 8f = 9, halla el valor del producto

SOLUCIÓN

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) abcdef

fedcba

fedcbfedcdef

fedfef 33456678932 =

=

=

====== , por lo que

= 2

Page 78: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Cada una de las afirmaciones siguientes puede ser cierta o falsa.

1. Las afirmaciones 3 y 4 son ambas ciertas.

2. Las afirmaciones 4 y 5 no son ambas falsas.

3. La afirmación 1 es cierta.

4. La afirmación 3 es falsa.

5. Las afirmaciones 1 y 3 son ambas falsas.

¿Qué afirmaciones de estas cinco son ciertas?

SOLUCIÓN

Supongamos que la afirmación 3 es cierta. Entonces la afirmación 1 también lo es y la 4 igualmente, luego la

afirmación 3 es falsa: ¡contradicción!

En conclusión, 3 es FALSA.

Por tanto, 1 es FALSA y 4 es CIERTA.

De lo anterior, la afirmación 5 es CIERTA y la 2 es CIERTA.

Son ciertas las afirmaciones 2, 4 y 5

Page 79: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

De regreso a casa, Tomás conducía su coche a velocidad constante. A las 6 de la tarde estaba a abc km de su casa, donde a, b, c son dígitos tales que a ≥ 1 y b = 0.

A las 6 y 18 minutos estaba a ca km de casa y a las 7 horas a ac km de casa.

¿A qué hora llegó a casa?

SOLUCIÓN

A las 6 estaba a caabc += 100 km de su casa.

18 minutos más tarde estaba a acca +=10 km, por lo que en 18 minutos recorre ( ) =+−+ acca 10100

ca 999 −= km

A las 7 de la tarde estaba a caac += 10 km, por lo que en 60 minutos recorre ( ) =+−+ caca 10100

a90= km

Como lleva velocidad constante, acacaa

ca

a

ca8311

10

3

10

11

60

18

90

999 =⇒=−⇒=−⇒=−

Como ambos son dígitos, deberá ser 1=a y 8=c

O sea, a las 6 estaba a 108 km y a las 7 a 18 km de casa por lo que lleva una velocidad de 90 km/h

Hace 90 km cada hora y le faltan 18 km para llegar, por lo que le falta 5

1

90

18 = de hora para llegar:

12605

1 =× minutos.

Llegó a casa a las 7 horas 12 minutos

Page 80: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Si f es una función que verifica f(xy) = f(x)/y para cualesquiera números positivos x e y y f(500) = 3, ¿cuál es el valor de f(600)?

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( ) ( ) 1510035

1005100500 =⇒==×= f

fff

Entonces, ( ) ( ) ( )2

5

6

15

6

1006100600 ===×= f

ff

f (600) = 5/2

Page 81: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un cuadrado de 36 cm2 de área se marca el punto punto medio M de uno de los lados.

¿Cuánto vale el área de la zona roja?

SOLUCIÓN

Es evidente que los lados del cuadrado miden 6 cm y que el lado vertical del

triángulo rojo mide 3 cm según el enunciado.

Se trata de calcular la superficie del triángulo A

Se puede observar que, por el teorema de Thales, los triángulos A y C

son semejantes al tener sus tres ángulos iguales. Además, su razón de

semejanza entre sus lados es 2 y, por tanto, la razón entre sus áreas

es 4

Esto es, AC 4=

Además, observemos que el triángulo BA + tiene de superficie

9=+ BA cm2 y el triángulo CB + tiene de superficie 18=+ CB cm

2

Restando los dos valores obtenidos tendremos que 9=− AC cm2 y

como 9344 ==−⇒= AAAAC cm2

La superficie roja tiene un área de 3 cm2

Page 82: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Una persona dispuso en su testamento que, al morir, se repartiesen cada año 66000 euros entre los jóvenes de su pueblo, pero sólo se podía continuar otro año con la donación mientras se diera, cada vez, a una cantidad diferente de mujeres y hombres (al menos uno en cada caso) a la que se había dado en cada uno de los años anteriores.

Obligatoriamente debían entregarse 1800 euros a cada hombre y 3000 euros a cada mujer.

¿Cuántos años duraron las donaciones?

SOLUCIÓN

Llamamos x al número de mujeres e y al número de hombres de cada donación.

Se sigue, de lo anterior y del enunciado, que 110356600018003000 =+⇒=+ yxyx

Despejando, 5

322

5

311011035

yx

yxyx −=⇒

−=⇒=+ , siendo 5

3y un valor entero positivo.

Las únicas posibilidades son, entonces,

1. 195 =⇒= xy : 19 mujeres y 5 hombres

2. 1610 =⇒= xy : 16 mujeres y 10 hombres

3. 1315 =⇒= xy : 13 mujeres y 15 hombres

4. 1020 =⇒= xy : 10 mujeres y 20 hombres

5. 725 =⇒= xy : 7 mujeres y 25 hombres

6. 430 =⇒= xy : 4 mujeres y 30 hombres

7. 135 =⇒= xy : 1 mujer y 35 hombres

En conclusión,

el reparto duró 7 años

Page 83: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Halla el valor de

SOLUCIÓN

( )3

5

153

515

153

553

153

553

15

532014

2014

2014

2014

2014

20142014

2014

20152013

×=×

××=×

××=×

el valor de la expresión es 5/3

Page 84: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

La media aritmética de los nueve números del conjunto {9, 99, 999, 9999, ...., 999999999} es un número M de nueve cifras, todas distintas. ¿Cuál es la cifra que no está en M?

SOLUCIÓN

Como todos los números del conjunto son múltiplos de 9 , su media aritmética M debe ser múltiplo de 9

La suma de las 10 cifras significativas es 459876543210 =+++++++++ , múltiplo de 9 y como la

suma de nueve de esas cifras es también un número M múltiplo de 9 la cifra que falta debe ser 0 o 9

Ahora bien, la suma de los nueve números del conjunto acaba en 1 (pues todos acaban en 9 ) y su cociente

entre 9 deberá tener esta última cifra, precisamente, al final, por lo que

la cifra que no está en M es 0

Page 85: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

¿Para qué enteros positivos n resulta que n2 – 3n + 2 es un número primo?

SOLUCIÓN

Como ( ) ( )21232 −×−=+− nnnn , pues basta hacer la elemental descomposición

factorial de este trinomio por el método de Ruffini, dicho número será siempre

compuesto salvo que uno de los factores de la descomposición (positivo, por

supuesto) sea 1.

Esto sólo ocurre si 211 =⇒=− nn y 0232 =+− nn , que no es primo, ó 312 =⇒=− nn y

2232 =+− nn , evidentemente primo.

Sólo para n = 3, n2 - 3n + 2 ( = 2) es un número primo

Page 86: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Una persona compra, en una carnicería, piezas de cordero lechal: cierta cantidad exacta de kilos de chuletas a 24 euros el kilo y otra cantidad exacta de kilos de paletilla a 18 euros el kilo.

Si hubiera dividido equitativamente el mismo dinero entre las chuletas y la paletilla habría ganado dos kilos en el peso total.

¿Cuánta es la mínima cantidad de dinero que pudo gastar?

SOLUCIÓN

Llamamos x e y a los kilos respectivos que compró de chuletas y de paletilla.

Le costó todo yx 1824 + euros, por lo que si hubiera gastado la mitad de ese dinero ( yxyx

9122

1824 +=+)

en cada producto habría comprado 8

3224

912 yxyx +=+ kilos de chuletas y

23

2

18

912 yxyx +=+ kilos de

paletilla.

Es decir, 8

76

723

28

32

yxyxyx +=+++ kilos en total, siendo yx + los kilos que compró realmente.

Entonces, según el enunciado, 4834224

21282

87

67 =−⇒++=+

⇒++=+ yxyxyx

yxyx

Ecuación diofántica que resolvemos: 3

163

48448434834

xx

xyxyyx +−=−=⇒−=⇒=− , siendo x e

y valores enteros positivos. Los mínimos valores que cumplen esas condiciones son 415 =⇒= yx

Compró 15 kilos de chuletas y 4 kilos de paletilla. Si hubiera repartido el dinero que gastó en partes iguales,

habría comprado 2 kilos más: 9 kilos de chuletas y 12 kilos de paletilla.

En conclusión, gastó =×+× 4181524

432 euros

Page 87: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Se quiere construir una carretera de 4 metros de ancha que atraviese, atraviesa como indica la figura, una plantación de girasoles de forma rectangular.

¿Cuántos m2 de plantación se perderán como consecuencia de la existencia de la carretera?

SOLUCIÓN

La superficie del tramo de carretera que atraviesa la

plantación (el paralelogramo ABDE es h5 m2

Debemos hallar, por tanto la longitud h , medida de un

lado del campo de girasoles.

Si observamos, es bastante evidente que los triángulos

EFA y ECD son, ambos, rectángulos y semejantes

entre si, por lo que podemos establecer la proporción

entre sus catetos correspondientes: CD

EC

FE

AF =

Por otro lado, y aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ECD , obtenemos:

39162545 22222=⇒=−=−=−= CDECDECD metros.

Entonces, 203

4

15=⇒=⇒= h

h

CD

EC

FE

AF metros.

En resumen, la superficie perdida será =×= 2055h

100 m2

Page 88: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Preparando el milagro de los panes y los peces, Jesús llevó a cuatro de sus discípulos (Juan, Santiago, Pedro y Judas) al río y les pidió que pescasen un pez y se lo entregasen.

Una vez cumplida la solicitud Jesús hizo una invocación y, de repente y con el original, apareció un montón de 108 peces en total.

Satisfecho por el éxito, decidió repartir todos los peces, sin trocearlos, a cada uno de sus acompañantes dando a Juan a+b peces, a Santiago axb peces, a Pedro a-b peces y a Judas a/b peces.

Si dio más de un pez a cada discípulo, ¿cuál es la mayor cantidad de peces que pudo recibir Pedro?

SOLUCIÓN

Según el enunciado, ( )

10812

1082

10822

=++×⇒=++

⇒=+×+−++b

bba

b

aabab

b

abababa

Teniendo en cuenta que 32 32108 ×= ,

( ) ( ) ( ) 32222

321

108112 ×=+×

⇒=+×=++×b

ba

b

ba

b

bba

Si debe ser 1>b , solo caben estas posibilidades:

1. 2432322

32 332

2

=×=⇒×=×⇒= a

ab , valor factible al ser entero positivo como b : 22=− ba

2. 1535325

65 32

2

=×=⇒×=×⇒= a

ab , valor factible al ser entero positivo como b : 10=− ba

Otros valores superiores para b no dan soluciones enteras para a

Entonces, el valor de ba − es 22224 =− (lo cual ya debe ser evidente en el primer intento, pues si b es

mínimo, a y ba − son máximos) , por lo que

Pedro recibió, como máximo, 22 peces

Page 89: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En la imagen aparece una matrícula doblemente capicúa: de números y de secuencia literal. Además, el capicúa numérico es múltiplo de 11.

Evidentemente, cualquier número de cuatro cifras del tipo ABBA es capicúa y múltiplo de 11 pero, ¿cuántos números capicúas de tres cifras son múltiplos de 11?

SOLUCIÓN

Llamamos aba a un número capicúa de tres cifras, 0>a

Si debe ser múltiplo de 11, nbanbaa 11211 =−⇒=−+ , siendo ...,3,2,1,0=n

Desglosamos los casos admisibles, sabiendo que a y b son cifras:

a)

⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

⇒=⇒=−⇒=

48484

36363

24242

12121

2020

ba

ba

ba

ba

abban

b)

⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

⇒−=⇒=−⇒=

97979

85858

73737

61616

1121121

ba

ba

ba

ba

abban

Por tanto,

hay 8 capicúas de tres cifras y múltiplos de 11

Page 90: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En una de las habituales conversaciones con su amiga, una dama apuntó: la edad de mi esposo se representa invirtiendo los números de mi propia edad. Él es mayor que yo y la diferencia de nuestras edades equivale a la undécima parte de la suma de ambas.

La amiga, después de reflexionar breves instantes, dedujo las edades de ambos miembros del matrimonio…. y siguieron conversando de sus cuitas…

¿Qué edades tenían marido y mujer?

SOLUCIÓN

Llamamos xy a la edad de la mujer, por lo que yx será la edad del esposo.

Y, según las condiciones, ( ) ( )⇒−−+×=+++⇒−×=+ yxxyyxxyxyyxxyyx 101011101011

( ) yxxyxyxyxy 459999111111 =⇒−=+⇒−×=+⇒

Como x e y son cifras, los únicos valores válidos son 4=x e 5=y

Es decir,

el marido tenía 54 años y la dama tenía 45 años

Page 91: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Halla el número de parejas de enteros (a, b) que verifican la ecuación

SOLUCIÓN

( )b

aabaabaabaa

b

2110

10210251051

5101

−=⇒=−⇒+=⇒+×=⇒+=

Al ser a y b enteros debe cumplirse que 10210 ≤−< b

Posibilidades

1. 100 =⇒= ab … ( )0,10

2. 101 −=⇒= ab … ( )1,10−

3. 23 −=⇒= ab … ( )2,3 −

4. 22 =⇒−= ab … ( )2,2−

¡y no hay más!

Hay 4 parejas de enteros, soluciones de la ecuación

Page 92: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

¿Cuántos números de tres cifras abc, con la última no nula, verifican que abc – cba = de4 ?

SOLUCIÓN

( ) 499410100101004 decadecbccbadecbaabc =−×⇒=−−−++⇒=−

La única posibilidad de un producto ( )ca −×99 acabe en 4 es que 6=− ca

Como 0≠c , las posibilidades son:

1. 1,7 == ca y los números son 17b con 109...,,1,0 ⇒=b números

2. 2,8 == ca y los números son 28b con 109...,,1,0 ⇒=b números

3. 3,9 == ca y los números son 39b con 109...,,1,0 ⇒=b números

Hay 30 números de tres cifras cumpliendo las condiciones

Page 93: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Decimos que un número es de libro si es igual a la suma de un número de dos cifras diferentes y del número que se obtiene invirtiendo estas dos cifras.

Por ejemplo: 143 es un número de libro porque 143 = 58 + 85

¿Cuántos números de libro son múltiplos de 7?

SOLUCIÓN

Un número de libro cumple es igual a baabN += , siendo a y b cifras: con valores entre 0 y 9

Pero ( )babaabbabaabN +×=+=+++=+= 1111111010 por lo que, para que sea múltiplo de 7 , debe

cumplirse que 7=+ ba o 14=+ ba y, así, 77711 =×=N o 1541411 =×=N

Hay 2 números de libro múltiplos de 7

Page 94: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Un hombre despistado preguntó a su mujer, aficionada a los acertijos lógicos, “¿qué día de la semana es hoy?”

La mujer le respondió: “Cuando pasado mañana sea ayer, hoy estará tan lejos del domingo como hoy lo estaba del domingo cuando anteayer era mañana”.

¿En qué día de la semana estaba el caballero?

SOLUCIÓN

Llamamos x al día de la semana en el que estamos y traducimos la frase de la mujer:

Cuando pasado mañana (x+2) sea ayer: hoy es x+3… estaremos tan lejos del domingo como hoy lo estaba del

domingo cuando anteayer (x-2) era mañana: hoy es x-3

Evidentemente, las equidistancias para x-3 y x+3 se refieren precisamente a x por lo que

el día de la semana era domingo

Page 95: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En la figura adjunta, donde EA es perpendicular a AC, sabemos la medida de los siguientes segmentos: AB = 8, AC = 18, AE = 16 y AF = 6

¿Cuál es el área del cuadrilátero ABDF sombreado?

SOLUCIÓN

Trazamos una paralela, por D, a AC que corta a AE en H

Llamamos x = HD e y = HF

Como los triángulos rectángulos ABE y HDE son semejantes, se cumple que

xyx

y

AB

AE

x

yAFAE

AB

AE

HD

HE2102

8

1610 =+⇒==+⇒=+−

⇒=

Como los triángulos rectángulos ACF y HDF son semejantes, se cumple que

yxy

x

AF

AC

HF

HD33

618 =⇒==⇒=

De ambas igualdades obtenemos que 2610 =⇒=+ yyy y 63 == yx

El área solicitada es la suma de las áreas del triángulo rectángulo HDF y del trapecio rectángulo ABDH

Por tanto, el valor de la superficie será ( ) 34476262

68

2

26

22=×+=−×++×=×++ AH

xABxy

El área vale 34 unidades cuadradas

Page 96: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Si 1>≥ ba , ¿cuál es el mayor valor posible de a

b

b

aba loglog + ?

SOLUCIÓN

Llamamos 0log >= ax b porque 1>≥ ba

( )x

x

x

xxx

xa

aabba

a

b

b

ab

bbbaaba

22 11212log1

log

11loglogloglogloglog

−−=−−=−−=−+−=−+−=+

Como ( )

01

02

≤−−⇒>x

xx , por lo que el mayor valor se producirá para

( )⇒=−⇒=−− 010

1 2

xx

x

baax b =⇒=⇒=⇒ 1log1

En conclusión,

el mayor valor que puede tomar la expresión es 0

Page 97: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

En un aula hay un cierto número de alumnos. Curiosamente la media de edad de esos alumnos coincide con el número de alumnos que hay.

Entra entonces en la habitación un alumno de 17 años y vuelve a coincidir la edad media de los que hay con el número de alumnos.

¿Cuántos alumnos había en el aula al principio?

SOLUCIÓN

Llamamos n al número original de alumnos.

Según la hipótesis inicial, el número de alumnos coincide con la media aritmética de sus edades:

nn

xx

n

ii

=∑

= =1 por lo la suma de esas edades será 2

1nx

n

ii =∑

=

Al entrar un nuevo alumno de 17 años se verifica que, según la segunda condición, 11

171 +=

+

∑ += n

n

xn

ii

Por tanto, ( ) ( ) 8162171217111711

17 22222

=⇒=⇒=+⇒=−+⇒+=+⇒+=++

nnnnnnnnn

n y

el número original de alumnos en el aula es 8

Page 98: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Halla el mayor número posible de nueve cifras, distintas entre sí, que sea múltiplo de 11.

SOLUCIÓN

Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y suma de

las cifras que ocupan lugar par es 0 o múltiplo de 11

En el número faltará una cifra de las diez que existen.

Tomando como número abcd98765 debemos considerar que debe cumplirse que

( ) ( ) cadbcadb −−++=+++−++++ 768579 sea 0 o múltiplo de 11, siendo los dígitos desconocidos

algunos de los cinco menores.

Si hacemos 4=b , 3=d , 2=a y 1=c , obtenemos que ( ) ( ) 111728126834579 =−=+++−++++

Por ello,

el mayor número múltiplo de 11 con nueve cifras y distintas es 987652413

Page 99: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

¿Cuál es el perímetro de la estrella si el del pentágono central es de 60 centímetros y el de cada uno de los triángulos es de 40 centímetros?

SOLUCIÓN

La suma de todos los perímetros de los triángulos es 200405 =× centímetros.

En esa suma se incluyen los lados de la estrella y los lados del pentágono. Por eso, restando a ese valor el

perímetro del pentágono tendremos la solución: 14060200 =− centímetros

el perímetro de la estrella mide 140 centímetros

Page 100: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

El resto de la división de un número de dos cifras ab entre 7 es 2

¿Cuál es el resto de dividir abab entre 7?

SOLUCIÓN

27 += cab según el enunciado.

Entonces, ( ) ( ) 628101762871017202101727101101 ++×=+×+×=+×=+×=×= ccccababab

Por lo tanto,

el resto de la división de abab entre 7 es 6

Page 101: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Preguntado un número si era múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, de 6 y de 8, respondió cinco veces que sí y una que no.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es, con seguridad, falsa?

a) Es múltiplo de 24

b) Es múltiplo de 30

c) Es múltiplo de 40

d) Es múltiplo de 50

e) Es múltiplo de 60

SOLUCIÓN

Debe ser múltiplo de 2 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 4 ni de 8 , y sólo una respuesta es

negativa.

Debe ser múltiplo de 3 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 6 , y sólo una respuesta es negativa.

Debe ser múltiplo de 4 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 8 , y sólo una respuesta es negativa.

Es múltiplo de 6 , porque lo es de 2 y de 3

Por tanto, o no es múltiplo de 5 o no lo es de 8 , por lo que nunca lo será de 8540 ×=

La afirmación c) es falsa con seguridad

Page 102: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Siete amigos van un fin de semana a un sitio de playa y se gastan 120 euros cada uno excepto Roberto, que es el más derrochador y gasta 36 euros más que el promedio de gasto de todo el grupo.

¿Cuánto gasta Roberto?

SOLUCIÓN

Sea p el promedio de gasto del grupo. Roberto gasta 36+p euros, por lo que pp =++×

7361206

De ahí, 16236126361267566736720 =+=+⇒=⇒=⇒=++ ppppp euros

En conclusión,

Roberto gasta 162 euros

Page 103: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

Dos cuadrados iguales, de 4 cm de lado, se cortan perpendicularmente en los puntos medios de los lados correspondientes como indica la figura.

Si el diámetro del círculo construido es el segmento cuyos extremos son los puntos de corte de los cuadrados, ¿cuál es el área de la región sombreada?

SOLUCIÓN

Vamos a calcular la mitad del área sombreada pedida, que se ve en la figura de la

derecha.

El área de todo el contorno es el área del cuadrado menos el área del triángulo

azul, que es la misma superficie que le falta.

Como el triángulo azul tiene ambos catetos de 2 cm, su área es de 22

22 =× cm

2,

por lo que el área del contorno es de 14242 =− cm2

Por otro lado el semicírculo tiene, de radio, la mitad de la hipotenusa del triángulo

rectángulo azul: 22

22

2

22 22

==+ cm

Por tanto, el área de la figura que estamos tratando es ππ −=×− 142

214

2

cm2

… y el área de toda la figura pedida es

28 – 2π π π π cm2

Page 104: 100 Maravillosos Problemas de Matematicas Tomo 3

El número m = 999… 9 consta de 999 nueves. ¿Cuánto vale la suma de las cifras de m²?

SOLUCIÓN

( ) 10...00089...9991102101101109...999999998

100020002100021000999 cerosnuevesnueves

mm =+×−=−=⇒−==

Entonces, la suma de sus cifras es 89911088982110999819998 =+++=×+×+×+×

La suma de las cifras de m2 es 8991