100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 2

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  • 1. MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMTICAS Libro 2 http://matemelga.wordpress.com/

2. En un pas remoto dos ladrones, Pat y Pot, intentaron robar en el palacio del rey, siendo capturados y encerrados en dos mazmorras totalmente incomunicadas. El rey (gran aficionado a las matemticas), al cabo de unos das, les ofreci una posibilidad de salvacin. Introdujo piedras en dos bolsas y les plante la condicin de conseguir la libertad: averiguar la cantidad de piedras que haba en cada bolsa sabiendo que en cada una haba ms de una, admitiendo una sola respuesta. A Pot le dio, como pista, el producto de las dos cantidades. Al momento, Pot dio la respuesta correcta y sali libre. A Pat le desvel la suma de las dos cantidades: 15. Cavil y cavil Pat durante un tiempo sin dar con una solucin adecuada hasta que el rey, compadecido, le dijo que Pot haba resuelto el problema inmediatamente. Al saber esto, Pat razon y dio la respuesta correcta y tambin consigui la libertad. Cuntas piedras haba en cada bolsa? SOLUCIN Como Pot resolvi inmediatamente el problema, el producto de ambas cantidades deba ser el de dos nmeros primos, Por lo que Pat, al recibir la ltima informacin del rey, pens en qu par de nmeros primos sumaran 15 y dio rpidamente con la solucin: Las bolsas tenan 2 y 13 piedras 3. Se define un nmero como autobiogrfico si su primera cifra (empezando por la izquierda) indica el nmero de ceros que tiene el nmero, su segunda cifra, el nmero de unos, su tercera cifra el nmero de doses, y as sucesivamente. Cul es el nmero autobiogrfico ms pequeo? SOLUCIN Probando, probando, y usando la lgica fundamentalmente, puedes obtener que el nmero autobiogrfico ms pequeo es 1210 PostData.- Los dems nmeros autobiogrficos son: 2020 21200 3211000 42101000 521001000 6210001000 y, parece ser, que no hay ms ? 4. Por qu nmero, distinto de 1, hay que dividir a 313, 364, 449 y 670 para que quede siempre el mismo resto? SOLUCIN Si el nmero buscado a da el mismo resto al dividir a los cuatro nmeros citados, se cumplir que 313 = axc1 + r 364 = axc2 + r 449 = axc3 + r 670 = axc4 + r y a dividir exactamente a 364 313 = 51 y a 670 449 = 221. Entonces, como 51 = 3x17 y 221 = 13x17, el nmero buscado es a = MCD(51 , 221) el 17 5. Un avin parte desde Anchita hacia Bechita. En el mismo instante otro parte con destino inverso y los dos hacen el mismo recorrido. Cuando se cruzan, el que va desde Anchita hacia Bechita ha recorrido 100 km ms que el otro y, desde ese momento, un avin tarda 8 minutos en llegar hasta Bechita mientras que el otro tarda 32 minutos en llegar hasta Anchita. Qu distancia hay entre Anchita y Bechita? SOLUCIN Llamamos x a la distancia de Anchita al punto de encuentro de los aviones y d a la distancia entre Anchita y Bechita. Sea, tambin, t el tiempo transcurrido, en minutos, desde que empiezan sus recorridos hasta que se cruzan. Teniendo en cuenta de que las velocidades de ambos aviones son constantes, 8 xd t x = y ( ) dxdxxdx xd x xd x x xd xd x t x t xd 3 2 232224 8 32328 32 2 ==== == = == Segn el enunciado, ( ) =+= 1002100 xdxdx 30030043100 3 2 2 === ddddd Entre Anchita y Bechita hay 300 kilmetros 6. Un cura se acerca a un templo con un ramillete de flores en la mano. Encuentra una bandeja mgica en la puerta del templo y, al colocar las flores, se multiplican por 2. Recoge todas, hace una ofrenda de un nmero determinado de flores y contina. Se acerca a un segundo templo y esta vez encuentra dos bandejas mgicas en la puerta. Coloca todas las flores que tiene en la primera y se multiplican tambin por dos. Luego recoge todas para depositarlas en la segunda bandeja, que tambin es mgica, y vuelve a duplicar el nmero de flores. Recoge todas, hace la misma ofrenda que hiciera antes, el mismo nmero de flores, y contina. Por fin llega a su destino, otro templo, donde encuentra esta vez tres bandejas mgicas. Repite la misma operacin en cada una de ellas (se duplican en cada bandeja), recoge el resultado y ofrece el mismo nmero de flores (que en las anteriores ofrendas) en el altar. Cuando acaba, vuelve a su parroquia con una sola en la mano. Cul es la mnima cantidad de flores que tena al principio?, qu ofrenda haca en cada templo? SOLUCIN Llamamos n al nmero inicial de flores y a al nmero de flores que, permanentemente, dejaba como ofrenda. En el primer templo se duplicaron las flores y dej la ofrenda. Al salir, por tanto, tena an 2 flores. Lleg al segundo templo y, al fin, cuadruplic el nmero de flores y hace la ofrenda. Sali, por tanto, con ( ) anaan 5824 = flores. En el tercer templo repiti tres veces la duplicacin de las flores que llevaba y dej la ofrenda. Se fue con ( ) anaan 4164588 = flores, que result ser una nica flor. Por tanto, 41 123 41 164 14164 += == n n n aan Hacemos ; 18 15 18 123 23 118 ; 23 118 23 141 41 123 += = + = + += + = = y y y x x y x xn x n n x 3 12 3 15 5 13 ; 5 13 3 5 118 18 15 += = + = + += + = = w w w z z w z z z y y z Como todos los valores deben ser enteros haciendo 3925141132 ====== anxyzw , por lo que El cura llevaba, inicialmente, 25 flores y siempre haca una ofrenda de 39 flores 7. Halla dos nmeros de tres cifras cuyo producto sea SOLUCIN Factorizamos el nmero y resulta que 371311753555555 = La nica manera de agrupar estos factores para obtener dos nmeros de tres cifras es 7773773 = y 71513115 = . Por lo tanto, 555555 = 715 x 777 8. Joaqun y Enrique son dos vecinos que no se llevan muy bien. Tienen dos fincas pegadas y, en su afn de molestar al otro, Joaqun compr 8 postes y doscientos cuarenta metros de alambre de espinos. Coloc los postes a distancias iguales y el alambre dando tres vueltas alrededor de su finca, perfectamente cuadrada, sin dejar ninguna puerta. Enrique, ms avispado, esper a que Joaqun terminase su obra. Compr, entonces, nueve postes y alambre. Coloc los postes a la misma distancia que los colocados por Joaqun y rode con tres vueltas de alambre su finca, tambin cuadrada, sin dejar, tampoco, ninguna puerta. Cules son las dimensiones del terreno de Enrique?, cuntos metros de alambre compr Enrique para completar su faena? SOLUCIN Con 240 metros de alambre, si Joaqun le dio tres vueltas al terreno, cuadrado, obtenemos 240/3 = 80 metros por vuelta, 80/4 = 20 metros por lado. Al poner ocho postes hay 8 unidades de medida (distancia entre los postes), y esa unidad vale 80/8 = 10 metros. [Vase la figura] En resumen, Joaqun tena un terreno cuadrado de 20 metros de lado con una distancia entre postes de 10 metros. Enrique aprovech un lateral del terreno de Joaqun (3 postes) y, con 9 postes ms, delimit su terreno, tambin cuadrado. Esto hacen 12 postes, 12 unidades de medida con 3 unidades por lado: 30 metros. Adems, tuvo que alambrar 10 unidades (dos comunes ya las tena alambradas Joaqun) por partida triple, por lo que necesit 10x10x3 = 300 metros de alambre. Enrique compr 300 metros de alambre para completar el alambrado de su terreno cuadrado, de 900 metros cuadrados 9. El director de una empresa tiene la duda de a quin ascender, pues se acaba de jubilar el jefe de un departamento. Tiene tres candidatas a las que convoca y les dice: - Tengo que ascender a una de vosotras y, como quiero ser imparcial, quien sea la primera en contestarme esta pregunta ser ascendida: cul es la suma de vuestras edades, sabiendo que el producto es 63700? Como la edad es un tema tab, las mujeres no tienen ni idea de cul es la edad de las dems. Lo nico que saben es que tienen entre 16 y 65 aos, edades en las que se puede trabajar. Al dia siguiente, el jefe las rene para desayunar y se entabla esta conversacin: - Alguna sabe ya cul es la suma de vuestras edades? empieza el director - Tras pensarlo toda la noche creo que es imposible dice una - Nos hacen falta ms datos aade la segunda - La prxima vez que quieras ascendernos pregntanos algo que no sea imposible apostilla la ltima - Bueno, pensadlo un poco ms y ya me diris contesta el director A los diez minutos, una de ellas se presenta ante l y le dice: - Ya tengo la suma! El director escucha su razonamiento y la solucin del problema planteado, otorgndole el puesto tan deseado. Cunto vale la suma de las tres edades? SOLUCIN Factorizando 63700 obtenemos que 63700 = 2x2x5x5x7x7x13 Con las limitaciones para las edades slo podemos obtener estas combinaciones: 20 49 65 25 49 52 26 49 50 28 35 65 35 35 52 Si tenemos en cuenta que cada una de ellas sabe su edad pero no la de las dems, la imposibilidad de conocer la suma se debe a que su edad est en ms de una combinacin por lo que las edades solo pueden ser 35, 49, 52 o 65 aos. Al reflexionar sobre la conversacin en el desayuno, la avispada ganadora comprende que la nica solucin es la suma de las edades de la combinacin que tenga tres de las cuatro edades vlidas: 52, 35 y 35 Por eso, La suma de las edades es 122 10. Se define una nueva operacin de suma entre cifras de acuerdo con los ejemplos que se ven: Cul es el resultado de la ltima operacin? SOLUCIN La suma se construye escribiendo el valor absoluto de la diferencia entre ambas cifras seguido del valor de su suma tradicional. En consecuencia, el valor de la suma es, 410 11. Resuelve la ecuacin SOLUCIN Aplicando logaritmos, 2lnln2ln. 2 1 ln2ln.22lnln.2lnln ...... ===== xxxxxx xxxx xx . luego 2=x 12. El abuelo de Juan (un seor que ya cumpli los 70 pero que an no es octogenario) y la madre de Laura (que es cuarentona) viven en la misma calle, en la acera de los pares y en nmeros contiguos. Laura dice a Juan: "el producto de la edad de mi madre por el nmero del portal de la casa en que vive es igual al producto de la edad de tu abuelo por el nmero de su portal". Calcula las edades de ambos y el nmero de las casas en que viven. SOLUCIN Vamos a considerar x7 la edad del abuelo de Juan y y4 la edad de la madre de Laura, siendo x e y dos cifras del sistema decimal. Si n , nmero par, es el portal del abuelo de Juan y 2+n el portal de la madre de Laura se cumple que ( ) ( ) ( ) ( ) nnn y x n n nxnynxn