TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO ACLEMENCIA ALAVA VITERI

PORANGELA TATIANA FLOREZ

COD. 1023868082HERNANDO BALLEN

COD. 79826693JUAN DAVID ROMERO

COD. 1016008520MAYULIS ESTHER SUAREZ

COD. OSCAR RANGEL SABOGAL

COD.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIEIRIA

BOGOTA D.C.2015

INTRODUCCIÓN

El cálculo es una de las áreas de la Matemática dedicada al estudio de los cambios que se dan en las diferentes funciones, es por este motivo que su estudio esta relacionado con la pendiente de una curva, la recta tangente, la velocidad de cambio, entre otros.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y a su vez del análisis matemático, básicamente es una generalización de la suma de infinitos sumandos infinitamente pequeños. El uso de este es común en la ingeniería y en la ciencia se emplea para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones.

A partir del siguiente trabajo se da solución a los problemas propuestos teniendo en cuenta para llegar a la solución de los mismos las propiedades de las integrales indefinidas y haciendo uso del teorema teniendo en cuenta la relación existente entre la hipótesis y la tesis o conclusión.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

La antiderivada de una función es otra derivada g(x) cuya derivada es f(x). en algunos textos la antiderivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. la anti diferenciación es el proceso inverso a la diferenciación.

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

1.

ʃx5+3 x−2

x3 dx

Por la regla de la suma:

ʃ f ( x )± g ( x ) dx= ʃf (x ) dx ± ʃg ( x ) dx

Al aplicarla:

¿ ʃx5

x3 dx+ ʃ3 xx3 dx− ʃ

2x3 dx

ʃx5

x3 dx= x3

3

ʃ3 x

x3dx=−3

x

ʃ2

x3dx=−1

x2

¿ x3

3−3

x−(−1

x2 )

Simplificando:

¿ x3

3+ 1

x2 −3x

Se agrega una constante a la solución:

¿ x3

3+ 1

x2 −3x+C

2.

ʃ (sen (x )+3 sec2 ( x ) )dx

Aplicando la regla de la suma:

ʃ f ( x )± g ( x ) dx= ʃf (x ) dx ± ʃg ( x ) dx

ʃ sen ( x ) dx+ ʃ 3 sec 2 ( x ) dx

ʃ sen ( x ) dx=−cos (x )

ʃ 3 sec2 (x ) dx=3 tan (x )

¿−cos ( x )+3 tan ( x )

Al agregar la constante a la solución:

¿−cos ( x )+3 tan ( x )+C

3.

ʃ√ t−t+t 3

3√tdt

¿ ʃ√ t3√ t

dt− t3√t

dt + t 3

3√t

√t3√t

dt= t 1/6+116+1

=6 t 7 /6

7

t3√t

dt= t 2/3+123+1

=3 t 5/3

5

t 3

3√tdt= t 8/3+1

83+1

=3 t 11/3

11

6 t7 /6

7−

3 t53

5+

3 t 11/3

11

6 t7 /6

7−

3 t53

5+

3 t113

11+C

4.

ʃ tan3 ( x )dx

t an3 ( x )=tan2 ( x ) tan (x )

¿ ʃt an2 (x ) tan ( x ) dx

Haciendo uso de la siguiente identidad:

t an2 ( x )=−1−sec 2 ( x )

ʃ (−1+sec2 ( x ) ) tan ( x ) dx

Se aplica la integración por sustitución:

ʃf ( g ( x ) ) . g ( x ) dx= ʃ f (u ) du ,u=g ( x )

sec ( x )=u : dx= 1tan ( x ) sec (x )

du

¿ ʃ (−1+u2 ) tan ( x ) 1tan ( x ) u

du

¿ ʃu2−1

udu

Simplificando:

ʃ u−1u

du

Al aplicar la regla de la suma:

ʃ f ( x )± g ( x ) dx= ʃf (x ) dx ± ʃg ( x ) dx

ʃ udu− ʃ1u

du

ʃ udu=u2

2

ʃ1u

du=ln (u )

¿ u2

2−ln (u )

Al sustituir en la ecuación:

u=sec ( x )

¿sec2 ( x )

2−ln ¿¿

Simplificando:

¿sec2 ( x )

2−ln ¿¿)

Agregando una constante a la solución:

¿sec2 ( x )

2−ln( 1

cos ( x ) ¿)+C ¿

El conjunto de todas las antiderivadas de f (x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ʃ f (x) dx = F (x) + C. Resolver las siguientes integrales indefinidas.

5.

ʃx2

1+x6 dx

Se aplica la integración por sustitución:

ʃ f ( g ( x )) . g ( x )dx= ʃ f (u )du , u=g (x)

u=x3 :du=3 x2dx , dx= 1

3 x2dx

ʃx2

1+x6

13 x2 du

ʃ1

3 x6+3du

u=x3

ʃ1

3 u2+3du

Factorizando:

1

3u2+3

ʃ1

3(u¿¿2+1)du¿

Al sacar la constante:

ʃ a . f ( x )dx=a . ʃ f ( x ) dx

¿ 13

ʃ1

u2+1du

Aplicando la regla de integración:

ʃ1

u2+1du=arctan (u)

¿ 13

arctan (u )

Se sustituye en la ecuación

u=x3

¿ 13

arctan ( x3 )

Simplificando:

¿arctan ( x3 )

3

Agregando una constante a la solución:

¿arctan ( x3 )

3+C

6.

ʃ ¿ – (5/ √1−x2¿¿+2 sen ( x ) ¿dx

La integral de ex es ex, sacamos las constantes de sus integrales:

ex−5∫ 1

√1−x2dx+2∫ sen (x)dx

Encontramos la integral inmediata de la forma 1

√1−x2 que es arcsen(x), y la integral de sen(x) es –

cos(x) y finalmente agregamos la constante:

ex−5 arcsen (x )−2cos ( x )+C

7.

ʃ cos4 ( x ) . Sen ( x ) dx

Por sustitución: u=cos(x )

−du=sin ( x ) dx

¿ ʃ u4 (−du )=− ʃ u4 du

¿ 15

u5+C

¿−15

cos5 x+C

8.

ʃcos3 (t )+1

cos2(t)dt

Al aplicar la regla de la suma:

ʃ f ( x )± g ( x ) dx= ʃf (x ) dx ± ʃg ( x ) dx

ʃcos3 (t )cos2(t)

dt + ʃ1

cos2(t)dt

ʃcos3 (t )cos2 (t )

dt=sin (t )

ʃ1

cos2 (t )=tan ( t )

¿ sin ( t )+ tan ( t )

Agregando la constante a la solución:

¿ sin ( t )+ tan ( t )+C

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

9. Encuentre el valor promedio de:

g ( x )=x2√1+x3

En el intervalo [1, 2]

F prom=12∫

0

2

x2√1+x3 d x

Resolvemos la integral definida usando sustitución:

u=1+ x3

dudx

=3 x2=¿dx= du

3 x2

12∫ x2√u

du

3 x2

19

u32

Sustituimos de nuevo y evaluamos:

19¿

19[( 1+23 )

32−(1 )

32 ]

F prom=269

10. Halle el valor medio de la función g (x) = 2x – 2x2 en el intervalo [0, 1]

∫1

0

2 x−2 x2dx=∫ 2 xdx−∫2 x2 dx

∫1

0

2 x−2 x2dx=2x∫ dx−2 x2∫dx

(2 x∗x )−(2 x2∗x )=2 x2−2 x3+C

Reemplazamos el valor de x por los correspondientes al intervalo:

(2 (0 )2−2 (0 )3 )−¿−2−24

El valor medio de la función es 4.

11. Sea H (x) = ∫1

x2

(2 t−4 ) dt Hallar H´ (x)

¿ [ t 2−4 t ] ¿)

¿ x4−4 x2−1+4

¿ x4−4 x2+3

¿(x−3)(x−1)

¿3 ,1

12. Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver ∫0

π /4

sen3 (2 x ) cos (2 x ) dx

∫0

π4

se n3 (2 x )cos (2x ) dx

Se hace sustitución:

u=2 x

dudx

=2=¿dx=du2

∫0

π4

se n3 (u )cos (u ) du2

Se saca la integral y se nota una función a la n por su derivada, que podemos resolver así:

12

(se n4 (u ) )4

Sustituimos u=2x y aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo:

12

(se n4 (2 x ) )4 0

π4

12¿¿

18−0

¿ 18

CONCLUSIONES

Las antiderivadas resultan del proceso inverso de la derivación la cual consiste en encontrar una función que al ser derivada produce una función dada.

Para llegar a la solución de las mismas de ha de hacer a través de las propiedades de las derivadas.

La antiderivada de una función también puede recibir el nombre de integral indefinida o primitiva de una función; cada uno tiene su razón de ser, antiderivada viene dado porque se hace una operación contraria para llegar a la función original; integral indefinida porque existe una constante C que puede dar como resultado una infinidad de trazados y primitiva porque es una operación que busca el génesis de la función. Todas aunque tienen diferentes nombre relativamente significan lo mismo.

Una antiderivada se diferencia de una derivada por la existencia de un símbolo llamado integración ʃ.

REFERENCIAS

Bonnet, J (2003). Calculo infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Alicante, España: Universidad de Alicante.

Instituto ISIV. (1 de diciembre de 2010). Integrales Indefinidad: Definición – Matematicas II.

Rios, J. (20 de agosto de 2011). Solución de una integral definida.