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MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMTICAS

Libro 2

http://matemelga.wordpress.com/

En un pas remoto dos ladrones, Pat y Pot, intentaron robar en el palacio del rey, siendo capturados y encerrados en dos mazmorras totalmente incomunicadas.

El rey (gran aficionado a las matemticas), al cabo de unos das, les ofreci una posibilidad de salvacin. Introdujo piedras en dos bolsas y les plante la condicin de conseguir la libertad: averiguar la cantidad de piedras que haba en cada bolsa sabiendo que en cada una haba ms de una, admitiendo una sola respuesta.

A Pot le dio, como pista, el producto de las dos cantidades. Al momento, Pot dio la respuesta correcta y sali libre.

A Pat le desvel la suma de las dos cantidades: 15. Cavil y cavil Pat durante un tiempo sin dar con una solucin adecuada hasta que el rey, compadecido, le dijo que Pot haba resuelto el problema inmediatamente. Al saber esto, Pat razon y dio la respuesta correcta y tambin consigui la libertad.

Cuntas piedras haba en cada bolsa?

SOLUCIN

Como Pot resolvi inmediatamente el problema, el producto de ambas cantidades deba ser el de dos

nmeros primos, Por lo que Pat, al recibir la ltima informacin del rey, pens en qu par de nmeros

primos sumaran 15 y dio rpidamente con la solucin:

Las bolsas tenan 2 y 13 piedras

Se define un nmero como autobiogrfico si su primera cifra (empezando por la izquierda) indica el nmero de ceros que tiene el nmero, su segunda cifra, el nmero de unos, su tercera cifra el nmero de doses, y as sucesivamente.

Cul es el nmero autobiogrfico ms pequeo?

SOLUCIN

Probando, probando, y usando la lgica fundamentalmente, puedes obtener que

el nmero autobiogrfico ms pequeo es 1210

PostData.- Los dems nmeros autobiogrficos son:

2020

21200

3211000

42101000

521001000

6210001000

y, parece ser, que no hay ms ?

Por qu nmero, distinto de 1, hay que dividir a 313, 364, 449 y 670 para que quede siempre el mismo resto?

SOLUCIN

Si el nmero buscado a da el mismo resto al dividir a los cuatro nmeros citados, se cumplir que

313 = axc1 + r

364 = axc2 + r

449 = axc3 + r

670 = axc4 + r

y a dividir exactamente a 364 313 = 51 y a 670 449 = 221. Entonces, como 51 = 3x17 y 221 = 13x17, el nmero buscado es a = MCD(51 , 221)

el 17

Un avin parte desde Anchita hacia Bechita. En el mismo instante otro parte con destino inverso y los dos hacen el mismo recorrido.

Cuando se cruzan, el que va desde Anchita hacia Bechita ha recorrido 100 km ms que el otro y, desde ese momento, un avin tarda 8 minutos en llegar hasta Bechita mientras que el otro tarda 32 minutos en llegar hasta Anchita.

Qu distancia hay entre Anchita y Bechita?

SOLUCIN

Llamamos x a la distancia de Anchita al punto de encuentro de los aviones y d a la distancia entre Anchita y Bechita. Sea, tambin, t el tiempo transcurrido, en minutos, desde que empiezan sus recorridos hasta que se cruzan.

Teniendo en cuenta de que las velocidades de ambos aviones son constantes, 8

xdt

x = y

( ) dxdxxdxxd

x

xdx

x

xdxd

xt

x

t

xd32232224

832328

32

2

====

==

=

==

Segn el enunciado, ( ) =+= 1002100 xdxdx 30030043100322 === ddddd

Entre Anchita y Bechita hay 300 kilmetros

Un cura se acerca a un templo con un ramillete de flores en la mano. Encuentra una bandeja mgica en la puerta del templo y, al colocar las flores, se multiplican por 2. Recoge todas, hace una ofrenda de un nmero determinado de flores y contina. Se acerca a un segundo templo y esta vez encuentra dos bandejas mgicas en la puerta. Coloca todas las flores que tiene en la primera y se multiplican tambin por dos. Luego recoge todas para depositarlas en la segunda bandeja, que tambin es mgica, y vuelve a duplicar el nmero de flores. Recoge todas, hace la misma ofrenda que hiciera antes, el mismo nmero de flores, y contina. Por fin llega a su destino, otro templo, donde encuentra esta vez tres bandejas mgicas. Repite la misma operacin en cada una de ellas (se duplican en cada bandeja), recoge el resultado y ofrece el mismo nmero de flores (que en las anteriores ofrendas) en el altar. Cuando acaba, vuelve a su parroquia con una sola en la mano. Cul es la mnima cantidad de flores que tena al principio?, qu ofrenda haca en cada templo?

SOLUCIN

Llamamos n al nmero inicial de flores y a al nmero de flores que, permanentemente, dejaba como

ofrenda.

En el primer templo se duplicaron las flores y dej la ofrenda. Al salir, por tanto, tena an 2 flores.

Lleg al segundo templo y, al fin, cuadruplic el nmero de flores y hace la ofrenda. Sali, por tanto, con

( ) anaan 5824 = flores. En el tercer templo repiti tres veces la duplicacin de las flores que llevaba y dej la ofrenda. Se fue con

( ) anaan 4164588 = flores, que result ser una nica flor. Por tanto,

41123

4116414164 +=== nnnaan

Hacemos ;18

1518

12323

118;

23118

23141

41123

+=

=+

=

++=

+=

=

yyyxxyxxnxnnx

312

315

513

;5

1335

11818

15 +=

=+

=

++=

+=

=

ww

wz

zw

zz

zyyz

Como todos los valores deben ser enteros haciendo 3925141132 ====== anxyzw , por lo que

El cura llevaba, inicialmente, 25 flores y siempre haca una ofrenda de 39 flores

Halla dos nmeros de tres cifras cuyo producto sea

SOLUCIN

Factorizamos el nmero y resulta que 371311753555555 = La nica manera de agrupar estos factores para obtener dos nmeros de tres cifras es 7773773 = y

71513115 = . Por lo tanto,

555555 = 715 x 777

Joaqun y Enrique son dos vecinos que no se llevan muy bien. Tienen dos fincas pegadas y, en su afn de molestar al otro, Joaqun compr 8 postes y doscientos cuarenta metros de alambre de espinos. Coloc los postes a distancias iguales y el alambre dando tres vueltas alrededor de su finca, perfectamente cuadrada, sin dejar ninguna puerta.

Enrique, ms avispado, esper a que Joaqun terminase su obra. Compr, entonces, nueve postes y alambre. Coloc los postes a la misma distancia que los colocados por Joaqun y rode con tres vueltas de alambre su finca, tambin cuadrada, sin dejar, tampoco, ninguna puerta. Cules son las dimensiones del terreno de Enrique?, cuntos metros de alambre compr Enrique para completar su faena?

SOLUCIN

Con 240 metros de alambre, si Joaqun le dio tres vueltas al terreno, cuadrado, obtenemos 240/3 = 80 metros por vuelta, 80/4 = 20 metros por lado.

Al poner ocho postes hay 8 unidades de medida (distancia entre los postes), y esa unidad vale 80/8 = 10 metros. [Vase la figura]

En resumen, Joaqun tena un terreno cuadrado de 20 metros de lado con una distancia entre postes de 10 metros.

Enrique aprovech un lateral del terreno de Joaqun (3 postes) y, con 9 postes ms, delimit su terreno, tambin cuadrado. Esto hacen 12 postes, 12 unidades de medida con 3 unidades por lado: 30 metros.

Adems, tuvo que alambrar 10 unidades (dos comunes ya las tena alambradas Joaqun) por partida triple, por lo que necesit 10x10x3 = 300 metros de alambre.

Enrique compr 300 metros de alambre para completar el alambrado de su

terreno cuadrado, de 900 metros cuadrados

El director de una empresa tiene la duda de a quin ascender, pues se acaba de jubilar el jefe de un departamento.

Tiene tres candidatas a las que convoca y les dice:

- Tengo que ascender a una de vosotras y, como quiero ser imparcial, quien sea la primera en contestarme esta pregunta ser ascendida: cul es la suma de vuestras edades, sabiendo que el producto es 63700?

Como la edad es un tema tab, las mujeres no tienen ni idea de cul es la edad de las dems. Lo nico que saben es que tienen entre 16 y 65 aos, edades en las que se puede trabajar.

Al dia siguiente, el jefe las rene para desayunar y se entabla esta conversacin:

- Alguna sabe ya cul es la suma de vuestras edades? empieza el director

- Tras pensarlo toda la noche creo que es imposible dice una

- Nos hacen falta ms datos aade la segunda

- La prxima vez que quieras ascendernos pregntanos algo que no sea imposible apostilla la ltima

- Bueno, pensadlo un poco ms y ya me diris contesta el director

A los diez minutos, una de ellas se presenta ante l y le dice:

- Ya tengo la suma!

El director escucha su razonamiento y la solucin del problema planteado, otorgndole el puesto tan deseado.

Cunto vale la suma de las tres edades?

SOLUCIN

Factorizando 63700 obtenemos que 63700 = 2x2x5x5x7x7x13

Con las limitaciones para las edades slo podemos obtener estas combinaciones:

20 49 65

25 49 52

26 49 50

28 35 65

35 35 52

Si tenemos en cuenta que cada una de ellas sabe su edad pero no la de las dems, la imposibilidad de

conocer la suma se debe a que su edad est en ms de una combinacin por lo que las edades solo pueden

ser 35, 49, 52 o 65 aos.

Al reflexionar sobre la conversacin en el desayuno, la avispada ganadora comprende que la nica solucin

es la suma de las edades de la combinacin que tenga tres de las cuatro edades vlidas: 52, 35 y 35

Por eso,

La suma de las edades es 122

Se define una nueva operacin de suma entre cifras de acuerdo con los ejemplos que se ven:

Cul es el resultado de la ltima operacin?

SOLUCIN

La suma se construye escribiendo el valor absoluto de la diferencia entre ambas cifras seguido del valor de

su suma tradicional.

En consecuencia, el valor de la suma es,

410

Resuelve la ecuacin

SOLUCIN

Aplicando logaritmos, 2lnln2ln.21ln2ln.22lnln.2lnln

......

===== xxxxxxx

xx

x xx . luego

2=x

El abuelo de Juan (un seor que ya cumpli los 70 pero que an no es octogenario) y la madre de Laura (que es cuarentona) viven en la misma calle, en la acera de los pares y en nmeros contiguos.

Laura dice a Juan: "el producto de la edad de mi madre por el nmero del portal de la casa en que vive es igual al producto de la edad de tu abuelo por el nmero de su portal".

Calcula las edades de ambos y el nmero de las casas en que viven.

SOLUCIN

Vamos a considerar x7 la edad del abuelo de Juan y y4 la edad de la madre de Laura, siendo x e y dos cifras del sistema decimal.

Si n , nmero par, es el portal del abuelo de Juan y 2+n el portal de la madre de Laura se cumple que

( ) ( ) ( ) ( ) nnnyx

n

nnxnynxny

Calcula los valores de las cifras x, y, z en la expresin yyy + xxx = yyyz

SOLUCIN

y = 1 por tener la suma una cifra ms. Entonces, 111z 111 = xxx, luego x = 9 y z = 0 siendo la expresin 111 + 999 = 1110

En resumen,

x=9, y = 1, z = 0

Luca tiene cuatro fichas. Observa que sobre cada una de las ocho caras est indicado un nmero distinto, del 1 al 8. Ella lanza sus cuatro fichas una primera vez y ve aparecer 7, 2, 4 y 1, como est representado en el dibujo.

Luca lanza sus fichas una segunda vez y obtiene 6, 4, 5 y 2. Despus una tercera vez y obtiene 8, 2, 6 y 5. Finalmente, la cuarta vez, obtiene 7, 4, 3 y 5.

Cules son los nmeros dibujados en cada ficha, uno sobre una cara y el otro sobre la opuesta?

SOLUCIN

Cada ficha tiene dos caras y cada una de las ocho caras contiene uno de los nmeros del 1 al 8. Cada

nmero visible slo puede estar combinado con las cifras que no se ven en cada uno de los lanzamientos:

1. 7 2 4 1

2. 6 4 5 2

3. 8 2 6 5

4. 7 4 3 5

Razonando, a partir de los nmeros que ms veces salen, se deduce que el 2 (que aparece en los tres

primeros lanzamientos) solo puede ir en la misma ficha que el 3.

Observando el segundo y el tercer lanzamiento, el 4 y el 8 deben estar en la misma ficha.

Y con los cuatro nmeros que quedan y los lanzamientos, el 7 solo puede ir con el 6 en la ficha y el 1 con el

5.

Se concluye que

las fichas son (cara y envs) 1-5, 2-3, 4-8. 6-7

Halla los dgitos A, B, C y D tales que AA BAB BACD y AAAC sean nmeros primos.

SOLUCIN

Segn los nmeros planteados, las cifras pedidas deben ser todas impares, no nulas

y distintas de 5 por lo que slo queda la posibilidad de que sean 1, 3, 7 y 9.

Como AA es primo, necesariamente A = 1. En caso contrario sera mltiplo de 11.

717 es mltiplo de 3, por lo que B solo puede ser 3 o 9. En ambos casos, BAB es primo.

Tambin, considerando que AAAC es primo, C = 7, pues en los dems casos (1111, 1113, 1119) es compuesto al ser mltiplo de 3.

Si BACD = B17D es primo y B es 3 o 9, D no puede ser ni 1 ni 7 (los nmeros resultantes seran todos mltiplos de 3), por lo que solo puede ser 3 o 9.

Hay, entonces, cuatro posibles nmeros que pueden ser BACD: 3173, 3179, 9173 y 9179.

Ahora bien, 3173 = 19 x 167, 3179 = 11 x 289 y 9179 = 67 x 137 y 9173 es primo.

Por tanto,

A = 1, B = 9, C = 7, D = 3

Un mono tena una bolsa con bastantes cacahuetes y, cada maana, su dueo le aada 100 cacahuetes exactamente en la bolsa. Luego, durante el da, el mono se coma la mitad de los cacahuetes que encontraba en el saco y dejaba la otra mitad.

Una noche, despus de muchos aos comportndose as, el dueo del mono cont el nmero de cacahuetes que el mono haba ahorrado en la bolsa. Cuntos, aproximadamente, haba?

SOLUCIN

Suponemos n el nmero inicial de cacahuetes. Al final del primer da, el mono conservaba 2100

1+

=

nn .

Al acabar el segundo da, el mono tena =+

=

+=

++

=

+= 2

12 2

10034300

2

1002100

2100 nn

n

nn

( )2

2

210012 +

=n

. Al finalizar el tercer da, =+

=

+=

++

=

+= 3

23 2

10078700

2

1004300

2100 nn

n

nn

( )2

3

210012 +

=n

Al fin del cuarto da, ( )

4

4

43

4 210012

210015

161500

2

1008700

2100 +

=

+=

+=

++

=

+=

nnn

n

nn

Siguiendo la pauta, al terminar el da x tenda ( )

x

x

x

nn

210012 +

=

Suponiendo que son muchos ( x ) das (las potencias de 2 hacen que n y el valor 100 , a los pocos das, sean cantidades sean mucho menores que aquellas), el nmero aproximado que cont el hombre es

( ) 100010002

100lim2

1002lim2

lim2

10012limlim =+=+=+= xxx

x

xx

xx

x

xx

x

nnn

Por lo que

el dueo del mono cont 100 cacahuetes, ms o menos

Un abuelo ha cumplido 91 aos y esta edad es la diferencia entre los cuadrados del nmero de nietos y del de las nietas que tiene. En total, son menos de veinte.

Cuntos nietos tiene en total?, cuntas son mujeres?

SOLUCIN

Suponemos que x es el nmero de nietos e y el nmero de nietas. Segn el enunciado, 9122 = yx .

Como estamos trabajando con nmeros naturales. ( ) ( ) 1379119122 ===+= yxyxyx Por lo que tenemos dos posibilidades:

a) 45;46911

==

=+

=

yxyxyx

b) 3;10137

==

=+

=

yxyxyx

Rechazando, por las condiciones del problema, la primera posibilidad, se concluye que

el abuelo tiene 13 nietos, de las que 3 son mujeres

Siete granjeros tienen en total 2879 gallinas en sus respectivas granjas. No hay dos con la misma cantidad.

Si dividimos la cantidad de gallinas de una cualquiera de esas granjas por la cantidad de gallinas de cualquier otra granja menor el resultado es siempre un nmero entero.

Cuntas gallinas hay en cada una de las granjas?

SOLUCIN

Sean 1n , 2n , 3n , 4n , 5n , 6n , 7n el nmero de gallinas de cada granja, ordenados de mayor a menor. Como

todos son mltiplos del ltimo, se cumple que 7nmn ii = , 6,...,1=i

Por tanto, ( ) 28791 76543217654321 =++++++=++++++ nmmmmmmnnnnnnn Pero 2879 es un nmero primo, por lo que 17 =n y 2878654321 =+++++ nnnnnn

Siguiendo el razonamiento, todos los nmeros desconocidos son mltiplos de 6n : 6npn ii = , 5,...,1=i

Entonces, ( ) 1439228781 654321654321 ==+++++=+++++ npppppnnnnnn , nica factorizacin posible. Por tanto, 26 =n y 287654321 =++++ nnnnn

Igualmente, 5nqn ii = , = 4,...,1i ( ) 719428761 5432154321 ==++++=++++ nppppnnnnn , luego 45 =n y 28724321 =+++ nnnn

4nqn ii = , = 3,2,1i ( ) ==+++=+++ 359828721 43214321 nqqqnnnn 84 =n y 2864321 =++ nnn

3nrn ii = , = 2,1i ( ) ==++=++ 1791628641 321321 nrrnnn 163 =n y 284821 =+ nn Y, por fin, = 21 nsn ( ) ==+=+ 893228481 221 nsnn 322 =n y 28161 =n En resumen,

las granjas poseen 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 2816 gallinas

En un club de baile estaban siete parejas ensayando para los prximos campeonatos. Cada uno de los bailarines tena su nmero en la espalda. Los nmeros eran todos diferentes e iban de 1 a 14.

El primer baile depar un hecho curioso: en cada pareja, la suma de los dos nmeros era un cuadrado perfecto. Para el segundo baile hubo un cambio de parejas y se dio una nueva coincidencia: las tres parejas de la derecha tenan una suma que era un mismo nmero primo y las tres de la izquierda tambin sumaban cada una un nmero primo, el mismo y distinto del anterior. El par que danzaba en el centro tena una suma diferente de las anteriores y tambin determinaba otro primo.

Isabel tena el nmero 1 en la espalda. Cules son los nmeros de las otras seis bailarinas?

SOLUCIN

Hacemos unas tablas de doble entrada para ver las posibilidades en cada caso:

Parejas que suman un cuadrado perfecto razonable en el contexto (4-9-16-25)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Del cuadro se deduce que los pares (1,8), (7,9), (6,10) son tres de las parejas.

De ah se sigue entonces que tambin son parejas

(2,14), (3, 13), (4,12) y (5,11)

1 x x

2 x x

3 x x

4 x x

5 x

6 x

7 x

8

9

10

11 x

12 x

13

14

Parejas que forman nmeros primos razonables en el contexto (3-5-7-11-13-17-19-23)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Como la suma de todos los nmeros es 105, se cumple 3xprimo_izquierda+primo_central+3xprimo_derecha=105, por lo que el primo_central debe ser mltiplo de 3, cosa que solo sucede con primo_central =3.

Entonces, la pareja central debe ser (1,2).

De ah, 3xprimo_izquierda+3xprimo_derecha=102 y ambos distintos.

Por tanto, primo_izquierda+primo_derecha=34, y esto solo se produce cuando los primos son 11 y 23

1 x x x x x

2 x x x x

3 x x x x

4 x x x

5 x x x x

6 x x x

7 x x

8 x x

9 x x

10 x

11 x

12

13

14

Entonces, pueden hacerse los siguientes pares: (9,14), (10,13) y (11,12), que suman 23, y (3,8), (4,7) y (5,6) que suman 11.

Analizando ambos resultados, se puede esperar una reaccin en cadena: si Isabel es la dama 1, 8 es hombre3 es dama13 es hombre10 es dama6 es hombre5 es dama11 es hombre 12 es dama4 es hombre7 es dama9 es hombre14 es dama2 es hombre

En conclusin,

las bailarinas tenan los nmeros 1, 3, 5, 7, 10, 12 y 14

El permetro del tringulo ABC suma 15. La bisectriz del ngulo A divide al lado opuesto BC en 2 y 3.

Cunto mide cada lado?

SOLUCIN

Evidentemente, si el permetro es 15 , y 10523 =+=+= cba Consideramos ahora los tres tringulos ( ABT , ATC , ABC ) que se forman al trazar la bisectriz t y aplicamos, en ellos, el teorema de los senos:

En ABT , sensen

t 3= , y en ATC ,

sensent 2

= , por lo que

3223 ===

sen

sensensensent

Por ltimo, en ABC , cbc

bsen

sen

c

bsen

c

sen

b====

32

32

Sustituyendo ahora en la expresin inicial, 432610

3510

3210 =====+=+ cbcccccb

En conclusin

los lados del tringulo miden 5, 4 y 6

Alguien est tratando de matar a uno de los Caballeros de la Mesa Redonda! Seis caballeros se encuentran sentados a la mesa; cada uno sostiene una copa con vino y una de las seis copas est envenenada.

Sir Galahad est sentado entre Sir Lancelot y el Rey Arturo. El Caballero Negro est dos lugares a la derecha del Rey Arturo. Sir Lancelot se encuentra sentado en el sitio opuesto al de Sir Kay. La copa envenenada est dos lugares a la izquierda de Sir Gawain. Quin sostiene la copa envenenada?

SOLUCIN

Segn las condiciones que se dan en el enunciado, se pueden asignar

rpidamente los puestos en la mesa. En la figura se muestra como estn

colocados.

Por lo tanto,

el caballero que sostiene la copa envenenada es Sir Kay

El capitn del barco recorre su nave acompaado por su hijo. Al pasar por un camarote le dice al hijo: "En este camarote viajan la seora Garca y sus dos hijas. Al multiplicar las edades de las tres resulta 2450. Si las sumamos resulta 4 veces tu edad. Qu edades tienen las tres mujeres?"

El hijo piensa un momento y le responde: "Necesito saber algo ms"

Su padre, el capitn, le dice: "Debes saber que yo soy mayor que la seora Garca", con lo que el hijo sabe ya la edades.

Qu edad tienen las cinco personas que aparecen en la historia?

SOLUCIN

Descomponiendo factorialmente se obtiene 22 7522450 = , por lo que las edades aceptables y

razonables para las mujeres son:

2 , 25 , 49 . La suma es 7649252 =++ , mltiplo de 4 , y da 19476 = aos para el hijo del capitn.


5 , 14 , 35 . La suma es 5435145 =++ , que no es mltiplo de 4



7 , 14 , 25 . La suma es 4625147 =++ , que no es mltiplo de 4 De los seis casos razonables, cuatro cumplen las condiciones del problema (la suma es mltiplo de 4 ) y dos de ellos obligan al hijo del capitn a dudar sobre la respuesta pues en ambos casos su edad (igual en ellos:

16 ) dar lugar a dicha duda. En conclusin, las edades de las seoras son 5 , 10 , 49 o 7 , 7 , 50 La respuesta del capitn a su hijo desecha la posibilidad de que tenga 49 aos o menos y de que tenga ms de 50 , pues en este caso su hijo no podra discriminar. Por lo tanto, el capitn debe tener, exactamente, 50 aos y la seora 49 aos. En resumen,

La seora tiene 49 aos, las hijas 5 y 10 aos, el capitn tiene 50 aos y su hijo 16 aos

Con todos los dgitos del sistema decimal (del 0 al 9), apareciendo cada uno una sola vez y en su orden numrico, y las cuatro operaciones bsicas de la aritmtica escribe una operacin cuyo resultado sea 100, como

SOLUCIN

Hay, adems de las mostradas, muchas posibilidades:

0+1+2+3+4+5+6+7+8x9=100 0+1+2+34-5+67-8+9=100

..

Un mercader tena una pesa de 40 kg (para su uso en una tpica balanza) que se le cay, rompindose en cuatro pedazos cuyos pesos respectivos eran nmeros exactos de kilos.

Por medio de esos pedazos poda pesar cualquier objeto que resultara un nmero exacto de kilos comprendido entre 1 y 40, ambos inclusive.

Cuales eran los pesos de cada uno de los cuatro trozos?

SOLUCIN

Vamos a considerar siempre que las pesadas y los pesos son valores enteros.

Si tenemos un conjunto de pesas que permiten pesar de 1 a n kilos, al aadir un nuevo peso de 12 +n kilos podremos pesar de 1 hasta 13 +n kilos, pues para las pesadas superiores a n podremos aadir al nuevo peso cualquiera de los primeros.

Entonces, como la mxima pesada debe ser de 40 kg, 134013 ==+ nn , luego el trozo de mayor peso es de 27113212 =+=+n kg Iterando el proceso 41313 ==+ pp , por lo que otro trozo ser de 914212 =+=+p kg

Y ms: 1413 ==+ qq , con lo que el tercer trozo ser de 311212 =+=+q kg y, evidentemente, el ltimo ser de 1=q kg

Por tanto,

los pesos de los trozos son de 1, 3, 9 y 27 kg

Reconstruye el producto

Sustituyendo cada letra por un dgito y sabiendo que a letras distintas les corresponden dgitos distintos.

SOLUCIN

Como el nmero de cifras del producto es igual al del factor desconocido, A debe ser 1 o 2... y A no puede ser 1 porque es la ltima cifra de un nmero que tiene al 4 como factor, por lo que A = 2.

Por lo tanto, E es 8 o 9 y como E x 4 acaba en 2, E = 8. En principio, pues:

De lo anterior se deduce que B debe ser 0 o 1. Se debe descartar el 0 porque D x 4 no puede resultar un valor acabado en 7, ya que se arrastra y se aade 3 del producto 4 x 8. En conclusin B = 1 y entonces, necesariamente, D = 7 y C = 9:

La edad de una persona al morir era 1/31 del ao de su nacimiento. Qu edad tena en 1921?

SOLUCIN

Designamos n como el ao de su nacimiento y m como el ao de su

muerte.

La condicin del problema establece que nmn =311

Al ser 31 un nmero primo, n debe ser mltiplo de 31 y relativamente prximo a 1921 pues en este ao viva esa persona.

Como ,...6131

1921= , hallamos los mltiplos prximos a ese ao para las

posibilidades del ao de nacimiento:

18295931 = 591829311

= , por lo que hubiese muerto en

1888591829 =+ . Imposible: haba muerto antes de 1921

18606031 = 601860311

= , por lo que hubiese muerto en 1920601860 =+ . Imposible: haba

muerto antes de 1921

18916131 = 611891311

= , por lo que hubiese muerto en 1952611891 =+ y tendra, en

1921, 3018911921 = aos

19226231 = Imposible: an no viva en 1921 En conclusin,

en 1921 tena 30 aos

El gerente de una empresa dedicada a la comercializacin de frigorficos estaba revisando las ventas habidas, de un determinado modelo, en dos sucursales.

En la sucursal A se haban ingresado 393427 euros, y en la sucursal B 360079 euros.

Le indic a su secretaria que mirase el precio por unidad para averiguar los frigorficos vendidos en cada sucursal.

Ella hizo unos clculos rpidos y dijo no hace falta. Acto seguido dio el nmero de ventas de cada sucursal.

Cuntos frigorficos se vendieron en cada sucursal?

SOLUCIN

La solucin pasa por averiguar el precio cada frigorfico y, para ello, calculamos el mximo comn divisor de

los dos valores que se dan.

Lo hacemos por el algoritmo de Euclides:

1 10 1 3 1 16

393427 360079 33348 26599 6749 6352 397

33348 26599 6749 6353 397 0

Por tanto, MCD(393427 , 360079) = 397

Como 397 es un nmero primo, ste ser, necesariamente, el valor de cada unidad. Entonces, el nmero de ventas en cada sucursal se obtiene dividiendo cada ingreso por dicho precio:

Sucursal A: 393427 : 397 = 991

Sucursal B: 360079 : 397 = 907

Podemos decir que

en la sucursal A se vendieron 991 frigorficos y en la sucursal B se vendieron 907 frigorficos

Consideremos, en el plano, un sistema de coordenadas cartesianas y sealamos todos los puntos determinados por coordenadas enteras.

Trazando una recta, al azar, que pase por el origen de coordenadas, cul es la probabilidad de que pase por alguno de esos puntos?

SOLUCIN

Para que la recta pase por uno de esos puntos, por ejemplo ( )ba, siendo ba, nmeros enteros, su pendiente deber ser un nmero racional

a

bm = .

Pero la pendiente de una recta puede ser cualquier valor real por lo que, como el conjunto de los nmeros

reales tiene un orden de infinitud ?)( 1=c mayor que el de los nmeros racionales 0 ,

la probabilidad es cero

En un determinado instante, el reloj tiene las dos saetas formando el mismo ngulo con las 12. La que marca los minutos a la izquierda y la que marca las horas a la derecha.

Qu hora, exactamente, marca el reloj?

SOLUCIN

Llamamos x al nmero de minutos que seala el minutero y, as, escribimos la igualdad

38461538,5536006560360055

1260

==== xxxxxx

minutos

55 minutos 078,23 segundos

Por tanto,

son las 12 horas 55 minutos 23,078 segundos

Desde lo alto de un edificio de 20 metros de altura se deja caer una pelota de goma

Despus de cada rebote contra el suelo, la pelota se eleva una dcima parte de la altura alcanzada antes.

Cuntos metros ha recorrido la pelota, en su vaivn, hasta que se para?

SOLUCIN

El recorrido total de la pelota es

++++=

++++=++++=

...101

101

1012120...

102

102

102120...

1000202

100202

1020220 3232R

El contenido del parntesis interior es la suma de una progresin geomtrica de razn 101

=r , menor que

la unidad, y cuyo primer trmino es 101

. Recordemos que, en esos casos, la suma vale r

aS

=

11

Por tanto, 44,249

1120912120

1011

101

2120...10

110

11012120 32 ==

+=

+=

++++=R

En resumen,

La pelota recorre 24,44 metros

La isla Tiki-Taka est habitada por dos tribus: los tikis, que mienten siempre, y los takas, que siempre dicen la verdad.

Un explorador, al llegar a la isla, se encuentra con tres indgenas y les pregunta a qu tribu pertenecen.

El primero le contesta en voz tan baja que no llega a escuchar su respuesta. El segundo, sealando al primero, le aclara: dice que es un taka. El tercer indgena interpela al segundo: eres un mentiroso!.

De qu tribu es el ltimo que habla?

SOLUCIN

El primer indgena le dir, tanto si miente como si dice la verdad, que es taka, por lo que el segundo est

diciendo la verdad y el tercero miente.

Concluyendo,

el ltimo que habla es tiki

Compr, para Navidad, un dcimo de lotera. El nmero empieza por 0 y le sigue un nmero de cuatro cifras.

Si la primera cifra de ese nmero de cuatro cifras la pongo en ltimo lugar, el nmero que obtengo son los del nmero original ms una unidad.

Qu nmero tiene mi dcimo?

SOLUCIN

Tomamos el nmero con las cuatro cifras relevantes: abcd

Segn las condiciones, ( ) =++++=+= adcbabcdbcdaabcdbcda 1010010004434143

( ) ( )37

17494101004299637370370041010010003 +=+++=++++++= adcbadcbdcba

Como 4 no es divisible por 37 deber serlo 1749 +a , siendo a un dgito. Entonces, haciendo

914

9137

3719

;37

192037

1749 +=

=+

=

++=

+=

ss

sa

as

aa

at

Como a es un dgito, para 41 == as , por lo que ( ) 32437

14749410100 =+=++= dcbbcd

y el nmero del billete es

04324

En un prado cuadrado de 100 metros de lado haba cuatro cabras. Cada una, atada a una esquina diferente del prado con una cuerda de 50 metros, coma cierta parte de la hierba del prado, quedando en el centro un trozo que ninguna de ellas alcanzaba.

El propietario, tras vender a tres de sus cabras, alarg la cuerda de la que quedaba en una de las esquinas de manera que el rea sobre la que poda pastar era igual a la que abarcaban las cuatro anteriormente.

Qu longitud le dio el dueo del prado a la cuerda?

SOLUCIN

El rea que cubren las cuatro cabras coincide con la de un crculo de 50 metros de radio, pues cada una abarca un cuadrante. Por lo tanto, el rea total que comen es de

250pi metros cuadrados. Si r es la longitud de la cuerda para la cabra que queda sola, el cuadrante que abarque debe tener esa

misma superficie, por lo que 100450504

2222

===

rrr

pipi

. Es decir,

la cuerda mide 100 metros

Halla tres nmeros naturales consecutivos tales que cuando se forman todas las fracciones posibles, tomndolos de dos en dos, la suma de esas seis fracciones es un nmero natural.

SOLUCIN

Consideramos los nmeros naturales consecutivos 1x , x , 1+x y construimos la suma propuesta:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x 111

111

11 +

++

+

++

+

+

+

. Sumando todas las fracciones queda

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )11

2221211

11111111 232222222

+

+++=

+

+++++++++

xxx

xxxxx

xxx

xxxxxxxxxxxx

Habiendo sumado, en el numerador, por parejas: primer con sexto trminos, segundo con quinto y tercero

con cuarto. Siguiendo la simplificacin del numerador,

( ) ( )( )( ) ( )( ) 1

6)1(

611

2222211

222122

2

2

3333232

=

=

+

+++=

+

+++

x

x

xx

x

xxx

xxxxx

xxx

xxxxx, nmero natural.

Como 12 x nunca puede dividir a 2x al diferenciarse en una unidad y 1>x , 12 x debe dividir a 6 y esto sucede nicamente para 2=x por lo que los nmeros son

1 , 2 y 3

Con tres dgitos 2 exclusivamente, y las operaciones matemticas que se deseen, obtn todos los nmeros enteros de 1 a 9, ambos inclusive.

SOLUCIN

= 2...loglog 22n siendo n el nmero de races cuadradas encajadas, pues

nnnnn

n

====

=

=

2log2log

21log2log

21log2loglog2...loglog 222222

1

2222 , por

lo que cualquier nmero entero positivo puede ponerse en funcin de tres doses.

Por lo tanto, podemos escribir:

2221 =

2222 +=

2223 +=

2224 +=

= 2loglog5 22

2226 ++=

= 2loglog7 22

2228 =

= 2loglog9 22

Una persona comentaba a otra, en la taberna del pueblo, que le haban dicho que un tesoro se hallaba escondido en una parcela cuadrada, de manera que trazando un crculo de 2 metros de radio desde una de las esquinas, otro crculo de 3 metros de radio desde una esquina contgua y, finalmente, un tercer crculo de 4 metros de radio desde una tercera esquina contgua a la anterior, la interseccin de los tres crculos determinaba el punto exacto en el que se encontraba el tesoro.

En el pueblo todas las parcelas eran cuadradas, por lo que hubiera sido muy costoso encontrar la que contena el tesoro.

Cavilando la persona que escuch esto, determin cul deba ser la superficie de la parcela del tesoro.

Cuntos metros cuadrados tena dicha superficie?

SOLUCIN

Ante todo, se debe considerar que los tres crculos se

cortan en un solo punto. En la figura adjunta,

tenemos un esquema de la situacin.

E es el punto en donde se encuentra el tesoro, lugar de interseccin de los tres crculos.

Llamamos p al lado de la parcela, xEH = y yEF =

Entonces, trabajando con los tringulos rectngulos

EGA , EHB y EFC ,

( ) 422 =+ ypx 922 =+ yx

( ) 1622 =+ yxp Restando las dos primeras,

( )p

pypypyyp2

55252

222 +===

Restando las dos ltimas,

( )p

pxpxpxxp

27727

2222

===

Y, sustituyendo en la segunda,

=+=++++

=

+

+=+ 0744029

4491425109

27

259 242

2424222222 pp

ppppp

pp

ppyx

=+ 03720 24 pp 94,172

14840020 22=

== pprea o 06,22 =p

La ltima sera una solucin no vlida, pues el lado no alcanzara los 2 metros y el tesoro estara fuera de la parcela.

Por lo tanto,

la superficie de la parcela es de 17,94 metros cuadrados

Un cubo tiene pintadas de rojo sus seis caras.

Lo dividimos en 27 cubitos iguales. La longitud de las aristas es, evidentemente, la tercera parte de las del cubo original.

Cuntos cubitos tendrn pintadas de rojo tres caras?, cuntos tendrn dos solamente?, cuntos una?, cuntos ninguna?

SOLUCIN

Haciendo un ejercicio de visualizacin tendremos los 8 cubitos que ocupan los vrtices del cubo grande con

3 caras pintadas de rojo.

Los que contienen el lugar central de las aristas del cubo grande sern 12, tantos como aristas tiene, y

tendrn 2 caras pintadas de rojo.

Una cara pintada de rojo tendrn los cubitos que contengan la parte central de cada cara del cubo grande:

son 6

Por ltimo, el cubito que ocupa el centro del cubo no tendr ninguna cara pintada de rojo.

As habr,

8 cubitos con 3 caras pintadas de rojo 12 cubitos con 2 caras pintadas de rojo 6 cubitos con 1 caras pintadas de rojo

1 cubito con ninguna cara pintada de rojo

Una compaa de trasportes debe entregar, en un tiempo prefijado, un cargamento de material en un almacn y, en estos momentos, solo tiene un camin operativo de toda la flota que posee la compaa: hay dos averiados y el resto sin poder trabajar por diversos motivos.

Si tuviera todos los camiones disponibles, excepto los averiados, completara la entrega en 8 das, uno ms que los previstos si hubiera contado con toda la flota.

Cuntas semanas se retrasar usando el nico camin til?

SOLUCIN

Suponemos que d son los das que tarda un camin en hacer la entrega y x el nmero de camiones de la flota.

Con todos los camiones la entrega se hara en 7=x

d das y, sin los averiados, en 8

2=

x

d das.

De ambas ecuaciones se deduce que ( ) 16728 == xxx Por tanto, 167=d das, luego tardar 16 semanas y

se retrasar 15 semanas en la entrega

En una circunferencia de 4 cm de radio se dibujan los dimetros AC y BD, perpendiculares entre s.

Halla el rea de la luna sombreada y limitada por la circunferencia y la semicircunferencia exterior a ella de dimetro AB

SOLUCIN

La longitud de la cuerda AB es 2.444 22 =+=AB cm

Por tanto, el rea del segmento circular limitado por la cuerda AB y la circunferencia es

8424.4

44. 2

== pipi

s cm2, diferencia entre las reas del cuadrante AOB y del tringulo rectngulo

AOB

La superficie encerrada por la semicircunferencia dibujada, de radio 2

AB es pi

pi

422

2.4.

2

=

=S cm2

De ah, la superficie pedida es ( ) 8844 == pipisS cm2 Es decir,

la superficie de la luna sombreada es de 8 cm2

De hecho, para cualquier estructura similar de a partir de una circunferencia de radio r , la superficie de la

luna es siempre igual a la del tringulo rectngulo AOB

Los nmeros

son generados, al azar, rellenando los huecos con los dgitos de 0 a 9, uno distinto en cada lugar.

Halla la probabilidad de que se genere uno divisible por 396

SOLUCIN

Descomponiendo factorialmente, 1194396 = En principio, cualquier nmero de esas caractersticas es divisible por 4 al acabar en 76 , divisible por 4 Si sumamos las cifras de ese nmero ms los huecos obtenemos

( ) ( ) 1359876543210673930285639283835 =+++++++++++++++++++++++++++ , que es divisible por 9 por lo que cualquier nmero generado ser divisible por 9 Por ltimo, las cifras que faltan ocupan lugares pares, por lo que haciendo:

= parlugarencifrasdesumaimparlugarencifrasdesuma ( ) ( ) =++++++++++++++++++++++++++ 9876543210603873932856928335

116273 = : cualquier nmero construido es mltiplo de 11 Concluyendo, todo nmero generado segn las condiciones del enunciado es mltiplo de 4 , de 9 y de 11, por lo que ser tambin mltiplo de 396 y

La probabilidad de que sea divisible por 396 es 1

Mariano y Ana marcharon de vacaciones a la playa. El tiempo ha sido esos das un poco desapacible y, al acabar las vacaciones, cuentan que ha llovido 9 das y han habido 10 maanas y 9 tardes soleadas.

Teniendo en cuenta que los das que llovi por la maana la tarde fue soleada, cuntos das estuvieron de vacaciones?

SOLUCIN

Ningn da llovi, a la vez, maana y tarde, pues si llova por la maana, por la tarde estaba el tiempo

soleado.

Llamamos x a los das que llovi por la maana. Los das de vacaciones sern, entonces, x+10 Llamamos y a los das que llovi por la tarde. Los das de vacaciones sern, entonces, +=+ xy 109

1= xy . Adems, los das que llovi fueron 9=+ yx

Sumando las igualdades anteriores obtenemos que 5102 == yy , das en que llovi por la tarde. Como hubo 9 tardes soleadas,

las vacaciones duraron 14 das

Marina y Elisa estn charlando. En un determinado momento dice Marina: Slo he mentido tres veces en mi vida, a lo que responde Elisa: Esta es tu cuarta mentira

Lo que contesta Elisa, es cierto o falso?

SOLUCIN

Si Marina dice la verdad Elisa dice una frase falsa; si Marina miente no ha podido mentir antes tres veces

por lo que la frase que dice no puede ser su cuarta mentira.

En resumen,

lo que dice Elisa es falso

Hay cuatro botes que, en su interior, contienen bolas blancas y bolas negras. En la tapa de cada bote est escrita la proporcin de bolas blancas respecto del total de bolas contenidas en l.

Intercambiando las tapas de dos cualquiera de los cuatro botes y pasando algunas bolas blancas de uno de esos botes al otro (y viceversa) se puede hacer que el contenido de los botes quede de acuerdo con lo que sealan las tapas.

Si el total de bolas est comprendido entre 300 y 350, Cuntas bolas blancas y cuantas bolas negras hay en total?

SOLUCIN

Si reducimos las fracciones que indican las tapas a comn denominador tenemos las proporciones 126

, 124

,

128

y 123

, siempre siguiendo el orden en que se muestran (izda-dcha, arriba-abajo).

Est claro de que, en cada bote, hay un nmero de bolas blancas de cada 12 bolas contenidas en l, por lo que es razonable pensar que el nmero total de bolas es un mltiplo de 48124 = Por tanto, teniendo en cuenta las limitaciones del enunciado en cuanto al nmero total de bolas,

735048300 =

Una serie bastante conocida en el mundillo matemtico-recreativo es esta, que solo puede resolverse aplicando cierta dosis de ingenio:

1 11 21 1112 3112 211213 312213

Qu nmero sigue?

SOLUCIN

La clave para continuar la serie es anotar el nmero de unos, doses, treses que tiene el nmero

anterior.

As, el elemento que sigue a 1 es un uno: 11, el siguiente es dos unos:21, el que sigue un uno y un

dos:1112, por lo que el que contina la serie ser dos unos y dos doses y dos treses:

212223

Teniendo un cuadrado de 1 metro de lado, cules son las longitudes de los lados de los tringulos equilteros de mxima y mnima reas inscritos en l?

SOLUCIN

Si un tringulo est inscrito en el cuadrado, los tres vrtices se sitan sobre sus

lados.

Por ello, el tringulo equiltero de rea mnima

es el que tiene, como longitud del lado la misma

que la del lado del cuadrado.

Y el tringulo equiltero de rea mxima se

construir tomando uno de sus vrtices sobre

un vrtice del cuadrado. Segn la figura

adjunta, como el ngulo del tringulo es de 60 , los ngulos que complementan ese hasta el recto sern de 15 cada uno. Aplicando la definicin de coseno al tringulo rectngulo ABC tendremos

que 035,115cos

1115cos === l

l

Por lo tanto,

la longitud del lado del tringulo inscrito de rea mxima es 1,035 metros y la longitud del lado del tringulo

inscrito de rea mnima es 1 metro

Agustn y Diego van a recorrer 50 kilmetros en una excursin. Para ello, adems de sus piernas, cuentan con un caballo que viaja siempre a 10 kilmetros por hora, aunque nicamente puede llevar a una persona.

Diego camina a 5 kilmetros por hora y Agustn a 8 kilmetros por hora. Alternativamente caminan y cabalgan: cada uno, despus de cabalgar, ata el caballo a un rbol para que el otro lo recoja y contina a pie.

De esa forma llegan a la mitad del camino a la vez. Descansan all media hora y continan el trayecto por el mismo procedimiento para alcanzar, simultneamente, el destino.

Si salen a las ocho de la maana, a qu hora terminan el recorrido?

SOLUCIN

Llamando d al recorrido que hace Diego a pie y t al tiempo (en horas) que estn andando, se cumple que

1050

5dd

t

+= y

=

++

=

++

=

40250

1050

10850

1050

510850 dddddddd

t

105052504200 ===+ dddd

De ah, 64210

10505

10=+=

+=t horas. Y, como estn media hora descansando,

llegan a las 14:30 horas al destino

En esta construccin de diez bolas

cmo se pueden mover tres bolas, exclusivamente, para que quede as la nueva figura?:

SOLUCIN

Basta hacer los movimientos que se indican:

para conseguir la figura final.

En un prado, que tiene forma de tringulo equiltero de 80 metros de lado, se encuentra una cabra atada a una estaca (por medio de una cuerda) colocada en uno de los vrtices del tringulo.

Cul debe ser la longitud de la cuerda para que la cabra pueda pastar sobre la mitad del prado?

SOLUCIN

Como puede verse en el dibujo adjunto la cabra pastar, segn las condiciones del

problema, en un sector circular de 60 y radio x . Este radio es la longitud que se debe dar a la cuerda.

El rea del tringulo equiltero de 80 metros de lado es

316002

34080=

metros cuadrados, y el rea del sector circular es

6

2xpi

metros cuadrados.

Como esta debe ser la mitad de aquella, 44,513787,26462

396002

316006

22

==

=

=

xx

x

pi

pi

Por tanto

la longitud de la cuerda debe ser de 51,44 metros

Cuntos cuadrados distintos pueden formarse si cada vrtice debe estar sobre uno de los puntos de la figura adjunta?

SOLUCIN

Segn los cuadrados que se ven en cada figura

se obtienen 9, 4, 4, 2 y 2 cuadrados respectivamente, por lo que

hay 21 cuadrados distintos

En una familia la suma de las edades de todos sus miembros, excludo el patriarca (el de ms edad), es igual a la edad de ste.

Adems, si se multiplican todas las edades, excepto la del patriarca, el resultado es un nmero que solo contiene unos, tantos como miembros tiene la familia menos el patriarca.

Tampoco llegan a 100 aos ninguno de la familia y todas las edades son nmeros impares, menos la del patriarca, y distintos.

Cules son las edades de todos los miembros de la familia?

SOLUCIN

Las nicas posibilidades de resultado del producto de las edades son 11, 1111 y 11111, ya que el nmero de miembros de la familia (excepto el patriarca) debe ser par al ser todas las edades impares y sumar una

cantidad par: la edad del patriarca; y valores superiores para el producto, con las mismas condiciones,

daran edades cuya suma sera mayor que 100 . Hagamos descomposiciones de los posibles productos con un nmero par de factores menores de 100 :

Est claro que si fuera 11111 = el patriarca tendra 12 aos, lo cual es absurdo; y si fuera 101111111 = no cumplira las condiciones.

371311731111111 = es la nica descomposicin de este posible resultado que cumple todas las condiciones del problema, pues tambin 10072371311731

Tomamos un nmero entero positivo. Le sumamos una unidad y multiplicamos el resultado por el nmero original.

Al timo valor obtenido le sumamos una unidad y volvemos a multiplicarlo por el nmero original.

Repetimos el mismo proceso otra vez y le sumamos una unidad al nuevo resultado, dndonos un cuadrado perfecto. Cul es?

SOLUCIN

Si llamamos n al nmero original, las operaciones que se describen son:

( )( )( ) ( )( ) ( ) =++++=++++=++++ 223222 111111111 cnnnncnnnncnnnn ( ) ( ) ( )+=++=+++=++++ 11)1(111 222342234 ccnnncnnnncnnnn

( ) ( ) ( )11)1( 22 +=++ ccnnn De ah, identificando los factores, vemos que el primer factor es dos unidades superior al segundo, por lo

que 32122 =++=+ nnnn

Por tanto, ( )( )( ) ( )( )( ) 1211313131311112 =++++=++++= nnnnc , cuadrado de 11

el nmero cuadrado perfecto es 121

Halla el primer trmino x de la sucesin x, 3, 4, 6, 8, 12.

SOLUCIN

La sucesin, no muy simple, cumple que 2,2

21 >

=

nn

aaa nnn y 3, 21 == axa .

Por tanto, 343

23343 ==

== xx

xa

el primer trmino es 4/3

Obrero y medio construyen una valla y media en da y medio. Cuntas vallas construirn 33 obreros en 11 das?

SOLUCIN

Si obrero y medio construyen una valla y media en da y medio, un obrero construirn una valla en da y

medio, por lo que 33 obreros construirn, en 11 das, 2425,11133

=

vallas.

Es decir,

33 obreros construirn 242 vallas en 11 das

En una granja hay vacas, cerdos y patos. El nmero de cuernos multiplicado por el de patas y por el de alas da 720.

Conocer el nmero de vacas o el nmero de patos no permite saber cuntos animales hay de cada clase pero conociendo el nmero de cerdos s.

Cuntos animales hay de cada clase?

SOLUCIN

Sea x el nmero de vacas, y el nmero de cerdos y z el nmero de patos.

Segn el enunciado, ( ) ( ) 532902272022442 2 ==++=++ zzyxxzzyxx Si z fuera par, lo sera tambin el parntesis y, por tanto, el valor del producto sera, al menos divisible por 4 , y no es el caso. Por tanto z es impar, lo que implica que x debe ser par.

Vemos ahora los casos posibles:

a) ( )

===++

===++

===++

=++=

cerdoshaberdebeimposibleyzzyyzzyyzzy

zzyx:,05,924

43,1524201,4524

53242 2

b) ( ) { 11,1521253246 ===++=++= yzzyzzyx Con el nmero de vacas no podemos saber la solucin, por lo que 2=x . Con el nmero de patos tampoco, por lo que 1=z . En consecuencia, debe ser 20=y

Por tanto,

hay 2 vacas, 20 cerdos y 1 pato

Halla los valores de cada una de los dgitos que representan las letras de la expresin siguiente:

sabiendo que a letras diferentes les corresponden dgitos diferentes y que B es mltiplo de E, el cul es distinto de la unidad.

SOLUCIN

Sea EnB = . Entonces, ( ) EEnEEnEnEnBBBB =+=+=+= 101010 Por tanto, ( ) CCDDAACCDDAAAAAA nEEEEnEEnBB ==== , y

( ) ( ) DCDDCCCCDDAAAAA nnn +=+++===+= 1111001010010001110 En resumen, ( ) ( )DCA n += 1001111 Por otro lado, como son B y 1E son dgitos, necesariamente 43,2 on =

Estudiamos caso por caso:

1. ( ) ( ) +=+=+==11

1001001110011112 222 DCADCADCAn

1192 DCCA ++= , y estudiamos los posibles valores de las letras:

* 199,2 2 === ADC : imposible * 822,9 2 === ADC : imposible


* 377,4 2 === ADC : imposible * 8644,7 2 ==== AADC


2. ( ) ( )121

1001001110011113 3323 DCADCADCAn +=+=+== , y vemos que

es imposible para cualquier valor de las letras como dgitos.

3. ( ) ( )1331

1001001110011114 4434 DCADCADCAn +=+=+== , imposible

tambin.

El nico caso posible es para 47,8 === DyCA y permite deducir, de manera inmediata, que deben ser 63 == ByE para que se cumplan las condiciones del problema. Por tanto, la igualdad es

8866 =774433

Un tren parte de Paris hacia Marsella al mismo tiempo que otro sale de Marsella a Paris en sentido inverso al primero, los dos con velocidad siempre constante.

El primer tren llega a Marsella una hora despus de cruzarse con el segundo tren que, a su vez, alcanza Paris cuatro horas despus del instante del cruce.

Cul es la proporcin entre las velocidades de ambos?

SOLUCIN

Sea x la velocidad del tren Paris-Marsella e y la velocidad del tren Marsella-Paris, ambas en km/h.

Llamamos d a la distancia, en kilmetros, que hay de Paris al punto de cruce y D a la distancia entre Paris y Marsella.

En estas condiciones, el tiempo empleado por ambos trenes, desde su salida hasta que se cruzan, es

idntico en ambos casos: x

dy

dD=

segn la expresin velocidadespacio

tiempo = , luego dD

dyx

=

Por otro lado, despus del cruce, 1=x

dD y yd

yd 44 == y xdD =

En resumen, 244 22

===yx

yx

x

yyx

y se deduce que

la velocidad del tren Paris-Marsella es el doble de la velocidad del tren Marsella-Paris

Tenemos un rectngulo de 12x9 con un agujero central, tambin rectngulo, de 8x1 como muestra en la figura.

Cmo se debe cortar en dos piezas para que, al unirlas, formen un cuadrado 10x10?

SOLUCIN

El corte debe realizarse as:

obteniendo las piezas y

para construir, al encajarlas, el cuadrado

Manolo va a cobrar un cheque al banco. El cajero se equivoca al hacerlo efectivo: toma la cantidad de euros por la de cntimos y esta por aquella.

El resultado de la equivocacin es que, tras perder despus 5 cntimos, Manolo tiene el doble de la cantidad que, en realidad, hubiera debido cobrar.

Cunto debera haber cobrado?

SOLUCIN

Sea x la cantidad de euros que debe cobrar e y la cantidad de cntimos.

Segn el enunciado, expresado en cntimos, ( ) =+=+ 51999851001002 xyxyyx

98532

985199 +

+=+

=x

xyxy . Si hacemos 3

22132598398

53 +==

+=

ttxtx

xt

Por ltimo, si 2

12323

22 sstst

ts ++=+=

=

Est claro que la cantidad de cntimos y de euros debe ser menor que 100 , al deber serlo la primera (para que sea lgica la escritura en el cheque) y al deber identificar la cantidad de cntimos con la de euros.

Demos ahora valores vlidos a las variables: 633110 ==== yxts , lo cual es posible.

Si 12542 === xts , lo cual no es admisible. Para valores superiores de s no podramos encontrar tampoco soluciones vlidas, pues x sera siempre superior a 100 . a la distancia, en kilmetros, que hay de Paris al punto de cruce y D a la distancia entre Paris y Marsella.

Por lo tanto debera haber cobrado

31 euros con 63 cntimos

Cuatro tarjetas cuadradas estn dispuestas como en la imagen. Todas tienen una cara lisa de un color determinado y otra negra en la que hay un dibujo geomtrico.

Se cumple, en ellas, que cada tarjeta verde tiene, en su dorso, un crculo.

Cul es la mnima cantidad de tarjetas, y cules son, a las que hay que dar la vuelta para poder confirmarlo con seguridad?

SOLUCIN

Las tarjetas segunda y tercera no contradicen la afirmacin, tengan la otra cara como la tengan.

En la primera se deber confirmar que tiene un crculo en la otra cara y en la cuarta deberemos

asegurarnos que la otra cara no es verde, por lo que

se debern girar las tarjetas primera y cuarta

Halla el multiplicando en el producto

considerando que a letras distintas les corresponden dgitos distintos y F no es cero.

SOLUCIN

Evidentemente, FP > , pues el producto por P posee cinco dgitos y el producto por F tiene cuatro.

Adems, se observa en la segunda columna de la suma que PF =2 debido a lo anterior y, por tanto, 5

Halla tres nmeros naturales distintos tales que la suma de los cubos de los dos primeros sea igual a la cuarta potencia del otro.

SOLUCIN

Sean los nmeros m , n y p tales que, como dice el enunciado, 433 pnm =+

Dividiendo por 3p tenemos ppn

pm

=

+

33

Elegimos entonces valores de las fracciones distintas de la unidad. Por ejemplo, 2=pm

y 3=pn

De ah, 3527832 3333

=+=+==

+

pp

pn

pm

Por lo tanto, 7022 === mpmpm

y 10533 === pnpn

Los nmeros pueden ser

70, 105 y 35 Evidentemente, la solucin no es nica.

Se tienen 12 gomets rojos y uno azul dispuestos en crculo. Empezando por el gomet que se desee hay que contar 13, en el sentido de las agujas del reloj, y eliminar el que haga ese nmero.

Sucesivamente, hay que empezar otra vez a contar 13 desde el siguiente al eliminado repitiendo la operacin hasta que quede uno solo.

Por qu gomet hay que comenzar a contar para que, al final, solo quede el azul?

SOLUCIN

Si empezamos a contar por el que est numerado con el 1 acabaramos, al realizar el proceso completo, con

el gomet 8 como el nico que queda. Por tanto,

hay que empezar por el gomet situado

siete lugares antes que el azul (el 7)

Un comerciante tena cinco barriles de vino y uno de cerveza, conteniendo, cada uno, los litros que se indican en la figura.

Vendi ciertos barriles a un cliente y otros a un segundo cliente, de manera que el primero obtuvo el doble de vino que el otro, quedndose el comerciante con el barril de la cerveza.

Cuntos litros contena ese barril?

SOLUCIN

Est claro que el nmero de litros de vino debe ser mltiplo de 3 porque al primer cliente le vende n2 litros y al segundo n litros.

Observemos que

15375 =

2513155 +=

231395 +=

1333100 +=

226380 +=

30390 = por lo que la nica suma de cinco barriles que da una cantidad de litros de vino que sea mltiplo de 3 es la de todos excepto el de 100 litros, que ser el de cerveza.

Adems, como 49590809515575 =++++ y 1653495 = , al primer cliente le vendi los barriles con 155 , 95 y 80 litros, que hacen un total de 330 litros, y al segundo los barriles con 75 y 90 litros, que hacen un total de 165 litros. En resumen,

el barril de cerveza contiene 100 litros

Dos personas viven en el mismo edificio y trabajan en la misma empresa. Una va de su casa al lugar de trabajo en 20 minutos y a la otra le cuesta 30 minutos el mismo trayecto, yendo siempre ambas a velocidad constante

Si la ms rpida sale de casa 5 minutos despus que la ms lenta, cunto tardar en alcanzarle?

SOLUCIN

Si la diferencia de tiempos es de 10 minutos, ste sera el tiempo en que llegaran a la vez si la rpida

retrasase su salida 10 minutos.

Por tanto, al ir a velocidad constante, al retrasar su salida 5 minutos alcanzar a la lenta a mitad del

trayecto, es decir, cuando esta lleve 15 minutos recorridos y la rpida, 10.

O sea,

la alcanzar en 10 minutos

Le pregunt al hijo de un amigo, muy aficionado a los trabalenguas, cuntos aos tena.

Y me dijo: haz tres veces los aos que tendr dentro de tres aos y rstale tres veces los aos que tena hace tres aos. Tendrs entonces los aos que tengo ahora.

Cuntos aos tena?

SOLUCIN

Expresamos la frase mediante una ecuacin algebraica, siendo x los aos que tena:

( ) ( ) 1893933333 ==+=+ xxxxxxx En conclusin,

tena 18 aos

Sita sobre los crculos del tringulo las nueve cifras significativas de manera que la suma de cada lado sea 20.

SOLUCIN

Como la suma de las nueve cifras es 45, y las esquinas cuentan por dos, la suma de los dgitos de las

esquinas debern sumar 15 (= 3 x 20 45)

Hay varias posibilidades, entre ellas estas:

Con 1, 5 y 9 se obtiene

Con 4, 5 y 6 se obtiene

Siete amigos se renen cada semana en un restaurante, para charlar sobre sus asuntos, alrededor de una mesa redonda. Tienen por costumbre sentarse siempre en un orden distinto al que hubieran estado antes en alguna otra reunin.

Al cabo de cuntas semanas tendrn que sentarse en una disposicin ya repetida?

SOLUCIN

Est claro que, fijando a uno de los comensales como referencia, las disposiciones diferentes sern todas

las permutaciones posibles entre los otros seis: 720!6 = . Como 720 semanas equivalen a 14 aos aproximadamente,

Se podrn sentarse en una posicin anterior despus de 14 aos aproximadamente: a las 720 semanas

La torre Eiffel tiene 300 metros de altura y est construida totalmente de hierro, pesando en total 8000 toneladas.

Qu altura tendra una maqueta de la torre construda con el mismo material y que pese solo un kilogramo?

SOLUCIN

Al estar construidas con el mismo material, el volumen de la maqueta ser tambin 8000000 veces ms pequeo, en kilogramos, que la torre original. Por lo tanto, al ser el volumen tridimensional y la altura

unidimensional, la de la maqueta ser 20080000003 = veces ms pequea que la de la torre real y, por

tanto, medir 5,1200300

= .

Es decir,

la maqueta medir metro y medio de altura

Sean los nmeros reales m,,, tales que ( ) ( ) msensensensen

=

++

++=

++

++

cos

coscoscos

Calcula el valor de ( ) ( ) ( ) ++ coscoscos

SOLUCIN

De la expresin dada se deduce que ( )m

sensensensen

++=++ y que

( )m

coscoscoscos ++=++ Entonces,

( ) ( ) =

+++

++=+++++ 1coscoscos1cos

2222

mm

sensensensen

++++++

2

222..2..2..2

m

sensensensensensensensensen

=+++++

+ 1cos.cos.2cos.cos.2cos.cos.2coscoscos 2222

m

( ) ( ) ( )=

++++++++ 1.cos.cos.2.cos.cos.2.cos.cos.2111 2m

sensensensensensen

( ) ( ) ( ) =+++ 2cos.2cos.2cos.23 m

( ) ( ) ( )2

32coscoscos

=++m

Tres naipes, sacados de una baraja espaola, estn boca arriba en una fila horizontal.

A la derecha de un Rey hay uno o dos caballos y a la izquierda de un caballo hay uno o dos caballos. A la izquierda de una copa hay uno o dos oros y a la derecha de un oro hay uno o dos oros.

De qu tres cartas se trata?

SOLUCIN

Veamos todas las posibilidades.

1. A la derecha de un Rey hay uno o dos caballos. Entonces, pueden estar situados as:

Rey-Caballo-Otra Rey-Caballo-Caballo Rey-Otra-Caballo Otra-Rey-Caballo

Pero dice tambin que a la izquierda de un caballo hay uno o dos caballos, por lo que las nicas

vlidas, de las anteriores, son

Rey-Caballo-Caballo Caballo-Rey-Caballo

2. A la izquierda de una copa hay uno o dos oros. Las situaciones posibles seran:

OroOroCopa OroOtraCopa OtraOroCopa OroCopaOtra

Pero dice tambin que a la derecha de un oro hay uno o dos oros, por lo que las nicas vlidas, de

las anteriores, son

OroOroCopa OroCopaOro

Uniendo los cuatro posibles resultados dos a dos

o Rey-Caballo-Caballo y OroOroCopa

o Rey-Caballo-Caballo y OroCopaOro

o Caballo-Rey-Caballo y OroOroCopa

o Caballo-Rey-Caballo y OroCopaOro (imposible: no puede haber dos caballos de oros)

vemos que, en un caso se producira una repeticin de carta y los otros tres conducen al mismo resultado.

Por lo tanto, las tres cartas son

rey de oros, caballo de oros y caballo de copas

Dos sabios fueron capturados por un rey y hechos prisioneros. Para poner a prueba su inteligencia fueron encerrados en celdas separadas de una torre, una que miraba hacia el Este y otra hacia el Oeste de modo que no pudieran comunicarse entre s. Desde sus celdas podan ver, entre ambos, todas las ciudades que componan el reino, pero ninguna ciudad era visible a la vez por los dos.

El rey les dijo que las ciudades del reino eran o bien 10 o bien 13 y que ambos seran liberados tan pronto como uno cualquiera de ellos pudiera anunciarle al carcelero, que cada maana les llevaba la comida, cuntas ciudades integraban el reino. El rey aadi que slo iba a alimentarlos durante una semana.

En la quinta maana, los dos sabios fueron liberados.

Cuntas ciudades componen el reino?, cuntas ciudades vio cada uno?

SOLUCIN

Las posibilidades de ver 13 ciudades, en los trminos que se indican en el enunciado, son:

0-13 1-12 2-11 3-10 4-9 5-8 6-7

y las de ver 10 ciudades: 0-10 1-9 2-8 3-7 4-6 5-5

Cualquiera de ellos que hubiera visto, el primer da, 11, 12 o 13 ciudades habra declarado que haba 13

ciudades, por lo que no pudo ninguno haber visto ms 10 ciudades.

Tenemos, en ese caso, las posibilidades siguientes:

Para 13: 3-10 4-9 5-8 6-7

Para 10: 0-10 1-9 2-8 3-7 4-6 5-5

En el segundo da, quien hubiera visto 0, 1 o 2 ciudades hubiera declarado que haba 10 ciudades, por lo

que nadie vio menos de 3 ciudades.

Para el tercer da, las posibilidades que quedan son:

Para 13: 3-10 4-9 5-8 6-7

Para 10: 3-7 4-6 5-5

Si alguno hubiera visto 8, 9 o 10 ciudades hubiera dicho que haba 13 ciudades y no lo dijo, por lo que

ninguno vio ms de 7 ciudades.

El cuarto da reduce las posibilidades a:

Para 13: 6-7

Para 10: 3-7 4-6 5-5

Est claro que cualquiera que hubiese visto 3, 4 o 5 ciudades determinara que haba 10 ciudades, por lo

que el quinto da determinaba que slo quedaba una posibilidad:

Haba 13 ciudades: un sabio haba visto 6 y el otro 7

El cuadrado perfecto 25 tiene una peculiaridad: incrementando sus cifras una unidad se obtiene otro nmero cuadrado perfecto, el 36.

Qu nmero cuadrado perfecto de cuatro cifras posee la misma propiedad?

SOLUCIN

Sea 2a el nmero buscado que, al incrementar sus cifras en una unidad, se convierte en 2b .

La propiedad citada en el enunciado se plasma en la expresin: 111122 = ab

Por tanto, ( ) ( ) 10111111122 ==+= ababab Es evidente que a y b deben poseer dos cifras, por lo que

=

=

=

=

=+

=

20253136

4556

10111

2

2

a

ba

babab

, luego el

nmero buscado es

2025

Mi lagarto Juanito tiene una cabeza que mide 9 centmetros y su cola mide tanto como la cabeza ms la mitad de su cuerpo. El cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntas.

Cunto mide Juanito?

SOLUCIN

Si llamamos co a la longitud de su cola, cu a la de su cuerpo y l a su longitud total tenemos, segn el

enunciado, que 2

9 cuco += y que 99 =+= cucococu . Por tanto, =+= 1822

99 cucucu

272

36936 =+== cocu

O sea, la longitud total ser 72273699 =++=++= cocul En consecuencia,

el lagarto mide 72 centmetros

Un gaviln vio un grupo de palomas y les dijo: adis, mis cien palomas!, a lo que una de ellas respondi: no vamos cien pero nosotras ms nosotras ms la mitad de nosotras juntas y la mitad de la mitad de todas nosotras y usted, seor gaviln, sumamos cien...

Cuntas palomas formaban la bandada?

SOLUCIN

Llamamos p a la cantidad de palomas de la bandada. Entonces, 994

11100142

==++++ppppp

Por tanto 36=p .

Haba 36 palomas en la bandada

A un examen se presentan 31 personas y sabemos que las aragonesas aprobaron todas, siendo su nmero el 5% exacto de todas las que aprobaron.

Cuntas personas de Aragn asistieron al examen?

SOLUCIN

El nico nmero entero del que puede obtenerse un %5 entero que, adems, sea menor de 31 es 20 , por lo que este nmero indica el nmero de aprobados. Por consiguiente, el %5 de 20 personas es

una persona de Aragn se present al examen

Un coche marcha, a velocidad constante, por una carretera en la que hay una serie de anuncios espaciados regularmente. El nmero de anuncios que el coche rebasa en un minuto es la dcima parte del valor de su velocidad, dada en kilmetros por hora.

Cul es la distancia de separacin entre dos anuncios?

SOLUCIN

Si x es el nmero de anuncios rebasados por el coche en un minuto, en una hora habr rebasado x60 anuncios.

Adems la velocidad del coche es de x10 km/h por lo que en x10 kilmetros habr pasado x60 anuncios: 6 anuncios cada kilmetro. En resumen,

los anuncios estn separados 1/6 de km: 166,67 metros

Pasa, con cuatro trazos rectos continuos, por los nueve puntos de la figura sin levantar el lpiz ni hacer dos veces el mismo trazo.

SOLUCIN

Hay que realizar los trazos en el sentido abcdb o cualquier otro similar:

Con cuatro cuatros, y las cuatro operaciones bsicas, construye todos los nmeros naturales de uno a diez de manera similar a como se ha construido aqu el cero en estos dos ejemplos.

SOLUCIN

Hay varias posibilidades de construccin. Una de ellas es:

14444

=

244

44

=+

34

444=

++

( ) 44444 =+ 5

4444

=

+

644

44=+

+

744

44=

84444 =++

94444 =++

104

444=

Santiago tiene un huerto en forma de tringulo equiltero de 200 metros de lado delimitado por tres caminos vecinales.

Ha observado que, regularmente, le roban hortalizas y quiere remediarlo asustando a los ladrones con un perro. Sabe que si el perro aparece en uno de los caminos que bordean el huerto los ladrones se asustarn y huirn.

En qu sitio del huerto debe colocar la caseta del perro para que est en el lugar ms ptimo y, as, llegar a cualquiera de los tres caminos lo ms rpido posible?

SOLUCIN

Si observamos la figura, se colocar la caseta en el lugar P en que zyx ++ tenga un valor mnimo.

Ahora bien, al ser un tringulo equiltero, la superficie del

huerto es 31000020043 2 ==S m2. Este valor se

obtiene fcilmente calculando la altura por el teorema de

Pitgoras.

Dividiendo el tringulo en los tres que se ven en la figura

(construidos con los vrtices del tringulo y el punto de

ubicacin de la caseta), la suma de sus reas equivaldr a la

superficie de todo el tringulo:

=

+

+ 310000

2200

2200

2200 zyx

( ) 3100310000100 =++=++ zyxzyx , cantidad fija y equivalente a la altura del tringulo, por lo que

la caseta puede colocarse en cualquier lugar del interior del huerto

Cul es el menor nmero natural que al dividirlo por 2 se obtenga de resto 1, al dividirlo por 3 se obtenga de resto 2, al dividirlo por 4 se obtenga de resto 3, al dividirlo por 5 se obtenga de resto 4 y al dividirlo por 6 se obtenga de resto 5?

SOLUCIN

Llamemos n a ese nmero. Evidentemente, y segn el enunciado, si le aadimos una unidad al nmero

obtendremos todas las divisiones propuestas exactas.

Por lo tanto, el nmero 1+n es divisible por 2 , 3 , 4 , 5 y 6 . Como se pide el menor nmero que cumple esas condiciones, hallemos el mnimo comn mltiplo de los

valores anteriores que es ( ) 1606,5,4,3,2.. +== nmcm . En conclusin,

el nmero pedido es 59

En las dos orillas de un ro hay sendos rboles de 9 y 6 metros de altura, respectivamente, siendo la distancia entre ellos de 15 metros.

En la copa de cada rbol hay una gaviota y de pronto, a la vez y con la misma velocidad, ambas se lanzan a por un pez que ha aparecido en la superficie del ro, entre los dos rboles.

Si las dos gaviotas llegan al pez simultneamente, a qu distancia de cada rbol apareci el pez?

SOLUCIN

Observando la figura adjunta vemos que aparecen dos

tringulos rectngulos cuya hipotenusa debe tener el mismo

valor por las condiciones del enunciado.

Llamamos X e Y a las distancias que se piden. Se cumple que, por el teorema de Pitgoras, +=+ 2222 96 XY

( ) ( ) 454569 2222 =+== XYXYXY Por otro lado, 15=+ XY luego (por la expresin anterior)

3= XY

De ambas ecuaciones se obtiene que 9=X e 6=Y En resumen,

el pez se encuentra a 9 metros del rbol ms pequeo y a 6 metros del ms grande

Tres congresistas encorbatados, los seores Blanco, Rojo y Verde, se encuentran en un momento de descanso.

Despus de saludarse se miran las corbatas y el que lleva la corbata roja dice: Es curioso!: los colores de nuestras corbatas coinciden con nuestros apellidos pero ninguno lleva el color del mismo.

Cierto!, apostilla el seor Blanco.

Cul es el color de la corbata que lleva cada uno de ellos?

SOLUCIN

Como el que lleva la corbata roja no es el seor Blanco, que hace un comentario posterior, aqul debe ser

el seor Verde.

Y no queda ms remedio que identificar al seor Blanco con el que lleva la corbata verde y al seor Rojo

con el que la lleva blanca.

Concluyendo,

el sr. Blanco lleva la corbata verde, el sr. Rojo la lleva blanca y el sr. Verde la lleva roja

En las antiguas peluqueras y barberas se usaba este poste cilndrico, formado por bandas rojas, blancas y azules de la misma anchura dispuestas sobre el cilindro en forma helicoidal.

Si el cilindro de la figura mide medio metro de altura y las bandas forman un ngulo de 60 con la horizontal , Cul es el rea ocupada por cada uno de los tres colores?

SOLUCIN

Si observamos la figura, hay cuatro bandas: dos blancas, una azul y otra roja que se alternan y cubren todo

el cilindro.

Para hacer el clculo correctamente deberemos desarrollar lateralmente el

cilindro y observarlo desde una perspectiva plana.

Desarrollando por la lnea central, que se observa en la imagen y seala la

lnea de sombra, vemos que la mayor parte de la banda azul ocupa

exactamente la diagonal del rectngulo resultante al desarrollar el cilindro.

Llamamos x a la anchura del rectngulo del

desarrollo lateral y que coincide con el

permetro de la base del cilindro.

Se cumple, por la definicin de seno, que

2887,035,0

60tan5,05,0

60tan ==== xx

m

Por tanto la superficie lateral del cilindro es 14435,05,02887,0 = m2

Como cada banda es la cuarta parte del rectngulo, tendremos que cada una

de las cuatro bandas abarca un rea de 0361,04

14435,0= m

2

En suma,

el color rojo y el color azul abarcan una superficie, cada uno, de 0,0361 m2 y el color blanco el doble: 0,0722 m2

Dada la sucesin

cul es el trmino que falta?

SOLUCIN

Los trminos de la sucesin son las expresiones de 16 en las sistemas de numeracin 16, 15, 14, , 3, 2.

Por lo tanto, el trmino que falta es la expresin de 16 en la base 5, y es (16 = 3x5 + 1):

31

En un cesto hay 1024 bolas, todas con la misma forma y peso excepto una que pesa menos aunque conserva la forma de las dems.

Si tenemos una balanza de dos platos, cul es la mnima cantidad de pesadas que debemos realizar para localizar la bola diferente?

SOLUCIN

Dividimos el nmero de bolas en tres grupos, de 341, 341 y 342 bolas. Realizando la pesada entre los dos

primeros grupos localizaremos en qu grupo est la bola buscada pues si pesan igual la bola estar en el

tercer grupo y si pesan diferente la bola estar en el grupo de menor peso.

Tomamos el grupo de menor peso, lo dividimos en grupos de 113 y 114 y repetimos la operacin.

Iterando el proceso se obtienen, sucesivamente, grupos de 37 y 38 bolas, de 12 y 13 bolas, de 4 y 5 bolas y,

finalmente, de 1 y 2 bolas con los que, a lo sumo, se deber hacer otra pesada ms para determinar la bola

aunque, si se produce la localizacin en un grupo de una bola, no har falta.

Por lo tanto, el mnimo nmero, en el mejor de los casos, ser

6 pesadas

Tengo un libro en la mesilla para mi habitual lectura nocturna que es muy curioso.

La suma de las cifras del nmero de la ltima pgina de cada captulo es igual al nmero de pginas de dicho captulo y el captulo ms corto tiene siete pginas, comenzando el texto del libro en la pgina 1.

Si la pgina 110 pertenece al ltimo captulo, cuntas pginas y captulos tiene el libro?, cul es el captulo ms extenso y cuntas pginas tiene?

SOLUCIN

Sea xyz el nmero de la ltima pgina de un captulo cualquiera. Ese captulo tiene, por tanto, zyx ++ pginas, de donde se deduce que la ltima pgina del captulo anterior es

( ) yxzyxzyxzyxxyz 99010100 +=++=++ , mltiplo de 9 De ah se deduce que todos los captulos, excepto el ltimo, tienen como nmero de su ltima pgina un mltiplo de 9 y, adems, lgicamente tienen tambin un nmero de pginas mltiplo de 9 Como la pgina 110 es del ltimo captulo (que tiene 7 pginas), el captulo anterior a l tendr, como nmero de su ltima pgina, el mltiplo de 9 inmediatamente inferior a 110 : 108 y ser de 9801 =++ pginas.

Adems, el ltimo captulo acaba en la pgina 1157108 =+ Repitiendo el proceso lgico que nos imponen las condiciones del problema podemos deducir, retrocediendo en el libro, que:

ltimo captulo: nmero de la ltima pgina, 115 , y pginas, 7

Captulo anterior: nmero de la ltima pgina, 108 , y pginas, 9


Captulo anterior: nmero de la ltima pgina, 81, y pginas, 9








Captulo anterior: nmero de la ltima pgina, 9 , y pginas, 9 Y ahora estamos en condiciones de responder a lo que se pide:

es un libro de 115 pginas y 12 captulos;

el captulo ms extenso es el 10, de 18 pginas

Un nmero natural de tres cifras cumple que

a) La cifra de las decenas es el triple que la de las centenas

b) La cifra de las unidades es mayor que la suma de las otras dos

c) El nmero es divisible por cada una de las cifras que lo componen

De qu nmero se trata?

SOLUCIN

Los nicos nmeros que pueden formarse con las condiciones descritas son 135 , 136 , 137 , 138 , 139 y 269 Todos ellos son divisibles por 1, pero solo 135 es divisible por sus otras dos cifras: 3 y 5 Por ello,

el nmero es el 135

Un coche, siempre a la misma velocidad, pasa por una seal que le indica el kilmetro de la va por la que transita con un nmero de dos cifras.

Al cabo de una hora pasa por otra seal que le indica el kilmetro con otro nmero de dos cifras iguales a las del anterior pero en orden inverso.

Una hora despus pasa por una tercera seal que tiene las mismas cifras separadas por un cero.

A qu velocidad va el automvil?

SOLUCIN

Llamamos xy al nmero que indica el kilmetro de la primera seal. Entonces, la segunda seal tendr el nmero yx y la tercera indicar yx0 con 1=x , porque, al llevar una velocidad constante, la diferencia de kilmetros deber coincidir (: la diferencia entre el kilmetro de la segunda y el de la primera seal debe

ser menor que 100 e igual a la diferencia entre el kilmetro de la tercera y el de la segunda seal.

Entonces, ( ) ( ) 6108181101001011011011 ==++=++= yyyyyyyyyy Por consiguiente, los nmeros de kilmetro indicados en el enunciado son 16 , 61 y 106 , siendo 45 km los que viaja cada hora. De ah,

el coche va a 45 kilmetros por hora

En la figura, el cuadrado de 1 metro de lado y el crculo de 1 metro de radio son concntricos.

Qu rea tiene la parte roja?

SOLUCIN

Construimos, en la figura, los elementos geomtricos que se ven y

nombramos los puntos que nos interesan.

Debemos calcular la superficie S de la seccin ABC . Su valor doble ser la solucin.

Para calcular esa superficie hallaremos el rea 1S del sector circular OBC y le restaremos el rea 2S del tringulo OAC

Segn la estructura de la figura, el ngulo 45 =BOD y vemos que el tringulo OCE es equiltero de lado 1 m, por lo que

15304530 === BOCCOD , por lo que el rea del sector es

243601512

1pipi

=

=S m2

Por otro lado, la altura del tringulo OAC es 21

=CD m, siendo la base AC . Hallamos sta viendo que

213

21

23

=== OFODAC m, pues OD es la altura del tringulo equiltero OCE de 1 m de lado

y OF es la mitad del lado del cuadrado.

Por tanto, 8

132

21

213

2

=

=S m2

De todo lo anterior se deduce que 03939,08

132421

=

==

piSSS m2

Y, entonces, la superficie pedida (el doble) es

0,07878 m2

Tavi y Tavo son dos hermanos muy revoltosos que han decidido jugar a mentir en casa, lo que tiene un poco desconcertados a sus padres.

Tavi miente exclusivamente los lunes, martes y mircoles, y Tavo solamente los jueves, viernes y sbados.

Un da los dos tuvieron una charla: Ayer me toc mentir! dijo Tavi, a lo que Tavo respondi: Lo mismo que a m.

Qu da de la semana tuvo lugar la conversacin?

SOLUCIN

Evidentemente ese da uno dijo la verdad y otro minti por lo que se puede descartar el domingo, en el que

ambos dicen la verdad y los otros das no son coincidentes respecto a que digan la verdad.

La nica posibilidad de da, conforme a la afirmacin anterior es que Tavi diga la verdad (minti el da

anterior) y Tavo mienta (miente ese da), es

el jueves

Qu valores deben tener a y b para que el nmero 5a21b sea mltiplo de 2, 3, 7 y 11?

SOLUCIN

Para que sea mltiplo de 2 , b debe poder tomar los valores 0 , 2 , 4 , 6 u 8 . En cada uno de los casos, estudiaremos el valor de a para que sea mltiplo de 3 y de 11:

I- 0=b . Para que sea mltiplo de 11, el nmero debe cumplir: ( ) 6061025 ===+++ aaa , pero

=++++ 31401265 por lo que no es mltiplo de 3

II- 2=b . Para que sea mltiplo de 11, el nmero debe cumplir: ( ) 8081225 ===+++ aaa , y

==++++ 31821285 por lo que tambin es mltiplo de 3 . Adems

== 77831658212 , tambin mltiplo de 7 . Este nmero es una solucin del problema.

III- 4=b . Para que sea mltiplo de 11, el nmero debe cumplir: ( ) 100101425 ===+++ aaa , lo cual es imposible, pues a debe ser un dgito.

IV- 6=b . Para que sea mltiplo de 11, el nmero debe cumplir:

( ) 11112111625 ====+++ aaa , pero ==++++ 31561215 por lo que tambin es mltiplo de 3 . Pero ...571,73167:51216 = , y no es mltiplo de 7 .

V- 8=b . Para que sea mltiplo de 11, el nmero debe cumplir: ( ) 311141825 ===+++ aaa , y

=++++ 31981235 por lo que no es mltiplo de 3 . Segn lo anterior solamente hay una solucin, y es

58212

El nmero natural 1 tiene la propiedad de ser un cuadrado perfecto y, al sumarle 99, tambin resulta ser un cuadrado perfecto.

Qu nmeros naturales hay, adems del 1, que cumplan esa propiedad?

SOLUCIN

Llamamos 2x a los nmeros naturales que pide el enunciado.

Deben cumplir que 22 99 nx =+ , siendo n otro nmero natural. Entonces,

( ) ( ) 1131999999 22222 ==+==+ xnxnxnnx Las posibilidades que se presentan son, teniendo en cuenta que 0>>+ xnxn ,

1. 1= xn y 99=+ xn , deducindose que 24014950 2 === xxn

2. 3= xn y 33=+ xn , deducindose que 2251518 2 === xxn

3. 9= xn y 11=+ xn , deducindose que 1110 2 === xxn , opcin que da el enunciado. Entonces, los nmeros que cumplen tambin la propiedad son

225 y 2401

En un examen de 30 cuestiones de opcin mltiple se punta con 12 puntos cada respuesta correcta, se restan 7 puntos por cada respuesta incorrecta y 0 por cada respuesta en blanco.

Si un participante obtuvo 234 puntos en el examen, cuntas respuestas dej en blanco?

SOLUCIN

Llamamos x al nmero de respuestas correctas, y al nmero de incorrectas y z al nmero de las respuestas en blanco.

Est claro que 30=++ zyx y, adems, 2347122340712 ==+ yxzyx . Por tanto,

+

=+

+=+

=

=

+=

==5

32;

532

537

735

;7

35337

23412234712 tstttxxtxxxyyx

2112

235

+=

=s

ss

t , siendo t y s valores enteros.

Probamos las posibilidades admisibles teniendo en cuenta que debe ser 33+ tx para que y no sea negativo.

Si 30211 ==== yxts , lo cual es imposible



Si 623167 ==== yxts , que es posible. De ah, 16233030 === yxz

Si 1830219 ==== yxts , lo cual es imposible, pues el nmero de respuestas rebasa el de preguntas

y para valores superiores de s pasara lo mismo del ltimo caso.

Por tanto,

dej una respuesta en blanco

En los cuatro ltimos exmenes obtuve una media de 8,25 sobre 10.

Cul es la peor nota que pude obtener?

SOLUCIN

La peor nota de un examen se debe corresponder con las tres mximas notas para obtener, en conjunto, una

media de 25,8 . Si llamamos n a dicha nota, se cumplir que 3333025,84

101010==+=

+++nn

n

Por tanto,

La peor nota posible es un 3

Un hoja cuadrada de papel de 12 cm2 de rea es roja por una cara y azul por la otra.

Doblamos una esquina de la hoja formando un tringulo con los lados paralelos a los lados de la hoja, como se muestra en la figura.

Si la superficie visible de la hoja es ahora mitad roja y mitad azul, cul es la longitud del segmento AB?

SOLUCIN

El tringulo azul es issceles y rectngulo. Llamando x al lado de ese tringulo, la superficie roja ser la

diferencia entre las reas de la hoja completa y la del cuadrado blanquiazul: 212 x cm2

La superficie del tringulo azul es 2

2x

cm2

Imponiendo la igualdad de reas, 8122

3122

22

22

=== xx

xx

Ahora bien, por el teorema de Pitgoras, 16162222 ==+= ABABxxAB

En conclusin,

AB = 4 cm

Sobre un terreno en forma de tringulo rectngulo issceles, cuyos catetos miden 10 metros, deseo hacer una piscina de arena semicircular que abarque la mxima superficie posible, como se ve en la figura.

Cul ser el radio del semicrculo?

SOLUCIN

Llamamos r al radio del semicrculo.

En la figura observamos que los tringulos ABC y DOC son semejantes, al ser ambos rectngulos y un ngulo agudo, al menos, igual: C

Por tanto, DOC es un tringulo rectngulo issceles, por lo que sus catetos sern iguales: rODDC ==

Ahora bien, rAOACOC == 10 y, por el teorema de Pitgoras, ( ) =++=+= 22222222 22010010 rrrrrrDCODOC

( )2110200100100202 ===+ rrr Como debe ser un valor positivo, ( )1210 =r , luego

el radio mide 4,14 metros

Sobre un tringulo de 40 cm2 de rea dibujamos, con centros en los vrtices, crculos de 2 cm de radio.

Qu valor tiene la superficie coloreada de azul, resultante de quitar, al tringulo los sectores circulares que contiene de los tres crculos?

SOLUCIN

Como la suma de los ngulos de un tringulo es 180 , la superficie de los sectores equivaldr a la mitad de la superficie de uno de los crculos dibujados.

Por tanto, el rea pedida ser pipi 240

2240

2

=

cm2

Es decir,

la superficie azul vale 33,72 cm2

Para que valores enteros de n se cumple que

es tambin entero?

SOLUCIN

Es claro que 122

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