101240879 Metodo Directo Para El Transito de Avenidas en Embalses
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UNIVERSIDAD PRIVADA BOLIVIANA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL METODO DIRECTO PARA EL TRANSITO DE AVENIDAS EN EMBALSES por Roger Gustavo Saravia Aramayo asesorado por Ing. William David Iraizos Ramírez Proyecto de Grado Presentado en Cumplimiento Parcial de los Requisitos para Optar el Título de LICENCIADO EN INGENIERIA CIVIL Cochabamba - Bolivia Julio de 2002
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UNIVERSIDAD PRIVADA BOLIVIANA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
METODO DIRECTO PARA EL TRANSITO DE AVENIDAS EN EMBALSES
por Roger Gustavo Saravia Aramayo
asesorado por Ing. William David Iraizos Ramírez
Proyecto de Grado Presentado en Cumplimiento Parcial
de los Requisitos para Optar el Título de
LICENCIADO EN INGENIERIA CIVIL
Cochabamba - Bolivia Julio de 2002
RESUMEN
En éste Proyecto de Grado se desarrollará extensamente la propuesta de un nuevo
método directo para el tránsito de avenidas en embalses. El tránsito de avenidas también
conocido como la laminación de avenidas o flood routing en inglés participa
imprescindiblemente en el diseño de las presas y los vertederos para la detención de
tormentas. La concepción del método directo emerge gracias al Ing. William Iraizos
Ramírez de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba, asesor y orientador en éste
trabajo.
Primero se realizó una revisión necesaria del fundamento teórico que antecede y
respalda al tránsito de avenidas en embalses. En ésta parte se tratarán los conceptos básicos
como el ciclo hidrológico, los sistemas hidrológicos y los modelos hidrológicos. Enseguida
se revisan los procesos hidrológicos para cimentar la ecuación de continuidad que viene a
ser la ecuación de partida del método directo. Después se estudian el sistema de agua
superficial y la técnica del hidrograma unitario debido al valor que representan en cuanto a
los hidrogramas de caudal. Posteriormente se analizan los conceptos claves que involucran
los embalses y las presas; en ésta parte se ha incluido muestras existentes de calibre a escala
mundial. Finalmente se realiza una extensa exploración de los métodos tradicionales
disponibles para el tránsito de avenidas en embalses, se tratan los métodos de técnica
tabular más populares y hasta se propone un método gráfico muy simplificado. En la
inspección de éstos métodos se tiene un ejemplo de carácter completo y como modelo de
comparación.
Una vez establecido el marco teórico, se desarrolla detalladamente el nuevo método
directo para el tránsito de avenidas en embalses. En ésta parte se destaca la ecuación
principal que comanda el método directo. Primero se hace una revisión conceptual de las
propiedades más sobresalientes e importantes de la ecuación principal general.
Seguidamente se deducen, desde un principio, las ecuaciones principales para casos
específicos de sistemas agregados o sea de sistemas embalse-vertedero. Cada formación de
la ecuación principal está acompañado de un análisis de la función implicada por la
ecuación, sobretodo para consolidar su representatividad y correspondencia respecto al
sistema embalse-vertedero en cuestión y también para demostrar la existencia de su
solución. Junto a cada caso específico de sistema embalse-vertedero se ha incluido la
resolución de un ejemplo completo para comparación. Por último, se termina el desarrollo
del método directo con un análisis de resultados que consiste esencialmente en
comparaciones cualitativas y cuantitativas entre los métodos tradicionales y el método
directo.
Para exponer el potencial del método directo en cuanto a su sencilla aplicabilidad y
automatización se describe como se ha creado el programa computacional que acompaña
éste Proyecto de Grado haciendo de desarrollo práctico. El programa computacional
bautizado como Trans ha sido elaborado en un lenguaje orientado a objetos como el
Microsoft Visual Basic que permite la ejecución en un sistema operativo gráfico como el
Microsoft Windows. Como se verá, el programa ha sido capacitado para resolver el
tránsito de avenidas en embalses para los casos más populares de sistemas embalse-
vertedero. Lógicamente se ha incluido una explicación a cerca del manejo y operación del
programa.
Para mostrar la utilidad del programa computacional se analizan dos casos de
estudio reales que existen en nuestro medio. Primero se resuelve el tránsito de avenidas en
embalses para el caso de la presa Cacapi de los Yungas en La Paz. Luego se resolverá para
el caso de la presa Taquiña en Cochabamba. En ambas aplicaciones prácticas se describe el
procedimiento de resolución paso a paso y se concluye con un examen de los resultados
obtenidos.
Finalmente, se adjuntan en los apéndices la teoría de los vertederos de excedencia,
esto como complemento urgente a la revisión teórica de los sistemas embalse-vertedero. Se
incluye igualmente teoría sobre dos métodos numéricos poderosos para la resolución de
ecuaciones. También se presenta un método algebraico sumamente interesante para la
resolución de ecuaciones polinómicas de tercer grado, como una opción en la resolución de
las ecuaciones principales del método directo.
INDICE DE CONTENIDO 1 GENERALIDADES 1.1 Introducción......................................................................................................... 1 1.2 Objetivos ............................................................................................................. 4
1.2.1 Objetivo General......................................................................................... 4 1.2.2 Objetivos Específicos.................................................................................. 5
1.3 Justificación......................................................................................................... 5 2 MARCO TEORICO (REVISION BIBLIOGRAFICA) 2.1 Conceptos Básicos ............................................................................................... 7
2.1.1 La Hidrología.............................................................................................. 7 2.1.2 El Ciclo Hidrológico ................................................................................... 9 2.1.3 Sistemas Hidrológicos............................................................................... 11 2.1.4 Modelos Hidrológicos............................................................................... 14 2.1.5 Clasificación de los Modelos Hidrológicos ............................................... 16
2.2 Procesos Hidrológicos........................................................................................ 18 2.2.1 Teorema de Transporte de Reynolds ......................................................... 18 2.2.2 Ecuación de Continuidad .......................................................................... 19
2.3 Agua Superficial ................................................................................................ 21 2.3.1 Hidrograma de Caudal .............................................................................. 21 2.3.2 Hietograma ............................................................................................... 23
2.4 Hidrograma Unitario .......................................................................................... 24 2.5 Embalses............................................................................................................ 27 2.6 Pronóstico de Avenidas...................................................................................... 34 2.7 Tránsito de Avenidas ......................................................................................... 35
2.7.1 Concepto de Tránsito ................................................................................ 35 2.7.2 Tránsito de Sistemas Agregados (Embalses) ............................................. 35 2.7.3 Método de la Piscina Nivelada .................................................................. 40 2.7.4 Método SIC (Storage Indication Curve) .................................................... 46 2.7.5 Método Gráfico de Puls (Pulso) ................................................................ 52
3 DESARROLLO TEORICO 3.1 Método Directo.................................................................................................. 59 3.2 Ecuación de Continuidad para el Tránsito de Avenidas ...................................... 60 3.3 Ecuación Principal General ................................................................................ 61 3.4 Ecuación Principal para Vertederos Estándar ..................................................... 68 3.5 Ecuación Principal para Vertederos Morning Glory ........................................... 95 3.6 Ecuación Principal para Estructuras de Salida No Tradicionales....................... 118 3.7 Ecuación Principal para Embalses con Espejo de Agua Variable ...................... 142 3.8 Análisis de Resultados ..................................................................................... 163 4 DESARROLLO PRACTICO 4.1 Programa Computacional para el Tránsito de Avenidas en Embalses ............... 170 4.2 Plataforma Hardware ....................................................................................... 170 4.3 Plataforma Software......................................................................................... 172 4.4 Desarrollo del Algoritmo ................................................................................. 176 4.5 Programación del Algoritmo ............................................................................ 177 4.6 Aplicaciones .................................................................................................... 180 4.7 Operación del Programa................................................................................... 181 5 CASOS DE ESTUDIO (APLICACIONES A CASOS PRACTICOS) 5.1 Presa Cacapi .................................................................................................... 193 5.2 Presa Taquiña .................................................................................................. 202 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................ 213
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................... 217 APENDICES A Vertederos ....................................................................................................... 219 B Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones .................................... 228 C Métodos Algebraicos para la Resolución de Ecuaciones de Tercer Grado ........ 232
1
CAPITULO 1
GENERALIDADES
1.1 Introducción
Puede definirse a la Hidrología como la ciencia que se ocupa del estudio del ciclo
hidrológico. El ciclo hidrológico es el conjunto de cambios que sufre el agua en la Tierra,
tanto en su estado (sólido, líquido y gaseoso) como en su presentación (agua superficial,
agua subterránea, etc.). Véase la ilustración 1.1.
Ilustración 1. 1. Representación del ciclo hidrológico según el Internet.
2
La Hidrología abarca un tema de gran interés como es el tránsito de caudales. El
tránsito de caudales es útil para determinar el tiempo y el caudal (o sea el hidrograma) en
un punto de un curso de agua a partir de hidrogramas conocidos en uno o más puntos aguas
arriba. Cuando el caudal corresponde a una crecida o avenida el tránsito de caudales se
conoce más propiamente como el tránsito de avenidas.
El hidrograma de una avenida representa al movimiento de una onda al pasar por un
punto. Debe tenerse en cuenta que la forma de la onda cambia según se mueve aguas
abajo. Estos cambios que sufre la onda se deben a contribuciones de agua y a que las
velocidades en los distintos puntos de la onda son desiguales. Véase la ilustración 1.2.
Caudal
Tiempo
Estación A
Estación B
Estación C
Ilustración 1. 2. Paso de una onda o tránsito.
Las ondas de las avenidas se forman debido a un aumento no uniforme del caudal
del curso de agua a causa de una tormenta importante. Para su estudio existen métodos
hidrológicos que describen los cambios de la onda durante el tiempo. Estos métodos
hidrológicos precisamente están dentro del tránsito de avenidas.
3
Los métodos hidrológicos existentes están basados en procedimientos que
involucran tablas y gráficas, y permiten obtener resultados ciertamente aproximados. Los
principales inconvenientes que presentan estos métodos hidrológicos se listan a
continuación:
• Generación preliminar de tablas y curvas (gráficas).
• Consulta de curvas.
• Resultados regularmente aproximados.
• Dificultad en la automatización.
• Cambio del intervalo de tiempo.
Estos métodos exigen trabajo preliminar como la generación de tablas y curvas.
Exigen también consultar las curvas previamente generadas, lo cual involucra a la
interpretación personal que no es la misma de una persona a otra. Consecuentemente, estos
métodos solamente pueden brindar resultados regularmente aproximados. Luego, a causa
de la intervención personal, estos métodos no permiten su total automatización. Por último,
cuando la información que es conocida no está dada a intervalos de tiempo constantes, se
tienen dificultades que deben ser resueltas con particular consideración.
Este Proyecto de Grado pretende abordar los problemas anteriormente mencionados
por medio de la propuesta de un Método Directo para el Tránsito de Avenidas en
Embalses. Como se verá en el cuerpo del documento, el método directo evade la
generación preliminar de tablas y curvas, y la consecuente consulta de curvas. El método
directo promete resultados máximamente aproximados. El método directo es totalmente
dable para su automatización. Finalmente, el método directo no presenta dificultad alguna
en cuanto al cambio en el intervalo de tiempo de la información de entrada.
El método directo para el tránsito de avenidas en embalses se basa en la suposición
de una configuración compuesta principalmente de los siguientes elementos:
4
• Embalse
• Presa
• Estructura de salida
Un embalse ancho y profundo conocido como embalse de piscina horizontal. Una
presa de tierra, concreto o cualquier otro material. Una estructura de salida como la de un
vertedero de excedencia. Véase la ilustración 1.3.
Es importante adelantar que, el método directo es una iniciativa del Prof. Ing.
William Iraizos de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba.
Espejo de agua horizontal
Embalse
Presa
Estructurade salida
Vaso
Ilustración 1. 3. Esquema de un sistema de almacenamiento.
1.2 Objetivos
1.2.1 Objetivo General
El objetivo general de éste Proyecto de Grado es desarrollar un método directo para
el tránsito de avenidas en embalses de piscina horizontal.
5
1.2.2 Objetivos Específicos
El objetivo general implica un número de objetivos específicos importantes:
• Desarrollar la ecuación principal general del método directo para el tránsito de
avenidas en embalses.
• Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas
en embalses con vertederos estándar.
• Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas
en embalses con vertederos Morning Glory.
• Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas
en embalses con estructuras de salida no tradicionales.
• Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas
en embalses con espejos de agua variables.
• Resolver problemas mediante la aplicación del método directo para el tránsito de
avenidas en embalses.
• Comparar el método directo con otros métodos tradicionales para el tránsito de
avenidas en embalses.
• Comparar los resultados obtenidos mediante el método directo con los obtenidos
mediante otros métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses.
• Desarrollar un programa en computadora mediante la aplicación del método
directo para el tránsito de avenidas en embalses.
• Resolver un caso de estudio real mediante la aplicación del programa en
computadora mencionado en el punto anterior.
1.3 Justificación
La justificación es enteramente tecnológica porque con el desarrollo del método
directo se pretende el mejoramiento del tránsito de avenidas en embalses en lo que respecta
a su metodología, a la calidad de los resultados, a su automatización y a otros detalles
técnicos propios.
6
El mejoramiento de la metodología del tránsito de avenidas es substancial en cuanto
a la disminución de los cálculos preliminares y en cuanto a la aproximación de los
resultados.
Una mejor aproximación en los resultados obtenidos mediante el tránsito de
avenidas sin lugar a dudas es muy beneficiosa en cuanto al diseño y verificación de las
estructuras dependientes de los mismos.
La automatización del tránsito de avenidas es una ventaja en lo que se refiere a la
posibilidad de aplicación del método en un programa de computadora para su reiterada
utilización.
El desarrollo del método directo para las distintas configuraciones que fueron
citadas en los objetivos específicos es importante en lo que respecta a la disponibilidad de
un método directo acabado aplicable a una diversidad de casos.
El desarrollo de un programa en computadora elaborado a partir del método directo
es conveniente para el máximo aprovechamiento del método directo, además de ser
ventajoso para su aplicabilidad a problemas reales.
Finalmente, a causa de que el tránsito de avenidas participa de manera directa en el
diseño y/o verificación tanto de la presa como de la estructura de salida de un sistema de
almacenamiento, puede afirmarse que la mejora del tránsito de caudales es beneficiosa del
todo para cualquier cálculo consecuente relativo a estos sistemas.
7
CAPITULO 2
MARCO TEORICO
(REVISION BIBLIOGRAFICA)
2.1 Conceptos Básicos
Los proyectos hidráulicos son de dos tipos: los proyectos referidos a la defensa
contra los daños que ocasiona el agua y los referidos al uso del agua. Los proyectos de
defensa son los de drenaje urbano, drenaje vial y drenaje agrícola, además de los de
encausamiento de ríos y protección contra inundaciones. Los proyectos de uso del agua
son los de abastecimiento de agua potable, los de irrigación y los de aprovechamiento
hidroeléctrico, además de los de navegación, recreación y otros.
2.1.1 La Hidrología
El agua es abundante en la Tierra, forma parte de todos los seres vivos, y siempre
está transformando la fachada de la Tierra. La Hidrología cubre todas las fases del agua en
la Tierra, es una disciplina trascendental para el hombre y su medio ambiente.
Aplicaciones de la Hidrología se hallan en actividades como:
• Abastecimiento de agua.
• Control de sedimentos.
• Diseño y operación de estructuras hidráulicas.
• Drenaje.
8
• Erosión.
• Generación hidroeléctrica.
• Inundaciones.
• Irrigación.
• Navegación.
• Protección de la vida.
• Uso recreativo del agua.
La Hidrología es útil para estudiar los problemas implicados por las anteriores
actividades y para facilitar una orientación en cuanto al planeamiento y empleo de los
recursos hidráulicos.
Las ciencias hídricas se relacionan con el agua según:
• Su distribución y circulación.
• Su interacción con el medio ambiente.
• Su interacción con los seres vivos.
• Sus propiedades físicas y químicas.
La Hidrología abarca todas las ciencias hídricas. Puede definirse a la Hidrología
como la ciencia que estudia el ciclo hidrológico, o sea, la circulación sin fin del agua entre
la superficie terrestre y la atmósfera.
La circulación, distribución, o la temperatura del agua pueden tener efectos de
trascendencia, como las glaciaciones por ejemplo. Las actividades constructivas o
destructivas del hombre pueden afectar la circulación y la calidad del agua en la naturaleza.
Finalmente, la Hidrología está ligada al estudio de fenómenos naturales, de manera
que los métodos que emplea no pueden ser del todo exactos o rígidos, quedando algunas
decisiones a criterio del ingeniero. Pero debe caerse en cuenta que esta falta de precisión
no es propia únicamente de la Hidrología, sino que es de carácter común en toda la
ingeniería, como común es la toma de precauciones. La consideración de la carga de
servicio en la mecánica de materiales es otro ejemplo en la ingeniería.
9
2.1.2 Ciclo Hidrológico
Es posible denominar al ciclo hidrológico como el conjunto de cambios que
experimenta el agua en la Tierra, tanto en su estado (sólido, líquido y gaseoso) como en su
presentación (agua superficial, agua subterránea, etc.).
El agua está presente en un espacio que se conoce como hidrosfera, que va desde la
atmósfera hasta por debajo de la corteza terrestre. El agua fluye en la hidrosfera a través de
complicados caminos que forman el ciclo hidrológico.
El ciclo hidrológico es el tema principal de la Hidrología. El ciclo hidrológico es
infinito y sus variados procesos suceden ininterrumpidamente. En la ilustración 2.1 se
muestra como el agua se evapora desde los océanos y desde la superficie terrestre para
convertirse en parte de la atmósfera; el vapor de agua se mueve y asciende en la atmósfera
hasta que se condensa y precipita sobre la superficie terrestre o los océanos; el agua
precipitada puede ser capturada por la vegetación, transformarse en flujo superficial sobre
el suelo, infiltrarse en el suelo, correr a través del suelo como flujo subsuperficial y llegar a
los ríos como escurrimiento superficial. La mayor parte del agua capturada y de
escurrimiento superficial se evapora. El agua infiltrada puede caer profundamente para
recargar el agua subterránea de donde brota en manantiales o se dirige hacia los ríos para
formar el escurrimiento superficial, y finalmente fluir hacia el mar o evaporar según
continúa el ciclo hidrológico.
La cantidad total de agua en la Tierra y en los variados procesos hidrológicos aún no
es bien conocida. La tabla 2.1 muestra una estimación de las proporciones de agua en las
diferentes formas que existen en la Tierra.
Pese a que las proporciones del agua superficial y atmosférica son pequeñas,
abundantes cantidades de agua se mueven cada año.
10
Ilustración 2. 1. El ciclo hidrológico según el Internet.
Tabla 2. 1. Distribución del agua en la Tierra.
Océanos 96.5 %
Hielos polares 1.7 %
Manantiales subterráneos 1.7 %
Agua superficial y atmosférica 0.1 %
Total
100.0 %
11
La hidrología de una zona en particular esta determinada por sus propiedades de
clima, topografía, geología y hasta vegetación. Sin lugar a dudas las actividades del
hombre influyen cada vez más en el medio ambiente, desordenando el equilibrio del ciclo
hidrológico e iniciando nuevos procesos y eventos. Por ejemplo, se dice que a causa de la
quema de combustibles fósiles, la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera se está
acrecentando. Esto puede llevar a un calentamiento en la Tierra y estropear gravemente la
hidrología global.
2.1.3 Sistemas Hidrológicos
Los fenómenos hidrológicos son tan complicados que hasta ahora no se los ha
podido asimilar a la perfección. No obstante, a falta de un conocimiento excelente, pueden
representarse de manera simplificada mediante el concepto de sistema. Recuérdese que un
sistema es un conjunto de partes relacionadas entre sí, que componen un entero. Es posible
estudiar el ciclo hidrológico como un sistema cuyos componentes son la precipitación, la
evaporación, el escurrimiento y otras formas del ciclo hidrológico. Estos componentes
pueden reunirse en subsistemas del ciclo total. Así, para estudiar el sistema total, estos
subsistemas pueden analizarse independientemente, y combinarse los resultados de acuerdo
a la relación entre los mismos.
El ciclo hidrológico se representa como un sistema en la ilustración 2.2. Se tienen
tres subsistemas: el sistema de agua atmosférica abarca los procesos de precipitación,
evaporación, interceptación, y transpiración; el sistema de agua superficial abarca los
procesos de flujo superficial, escurrimiento superficial, nacimientos de agua subsuperficial
y subterránea, y escurrimiento hacia ríos y océanos; y el sistema de agua subsuperficial
abarca los procesos de infiltración, recarga de acuífero, flujo subsuperficial, y flujo de agua
subterránea. El flujo subsuperficial ocurre en la capa del suelo próxima a la superficie; el
flujo de agua subterránea ocurre en estratos profundos del suelo.
12
Precipitación Evaporación
Interceptación
Transpiración
Flujosuperficial
Infiltración
Recarga deagua subterránea
Escurrimientosuperficial
Flujosubsuperficial
Flujo deagua subterránea
Escurrimientoa ríos y mares
Σ
Σ
1
2
3
Ilustración 2. 2. Diagrama del sistema hidrológico según Chow. 1) Agua atmosférica.
2) Agua superficial. 3) Agua subsuperficial.
Para la mayor parte de los problemas prácticos solo se toma en cuenta algunos
procesos del ciclo hidrológico en un cierto momento, además solamente se toma en cuenta
una determinada porción de la superficie terrestre. Para este tratamiento es necesario optar
por una definición más limitativa de sistema, la cual se genera a partir del concepto de
volumen de control. El volumen de control es una referencia en tres dimensiones a través
de la cual el fluido circula. El volumen de control proporciona una estructura para la
aplicación de las leyes de conservación de masa y energía y la segunda ley de Newton para
obtener ecuaciones de movimiento. El fluido dentro del volumen de control puede
considerarse como una masa concentrada en un punto en el espacio cuando se considera la
acción de fuerzas externas como la de la gravedad.
13
Entonces, un sistema hidrológico puede definirse como una estructura o volumen en
el espacio, rodeada por una frontera, que acepta agua y otras entradas, opera en ellas
interiormente y produce salidas (ilustración 2.3). La estructura o volumen en el espacio son
todos los caminos del agua desde su entrada hasta su salida. La frontera es una superficie
continua definida de manera tridimensional, que aprisiona la estructura o el volumen.
OperadorEntrada Salida
Ilustración 2. 3. Esquema de la operación de un sistema.
La deducción de ecuaciones y modelos en Hidrología involucra un error de
aproximación porque los sistemas son complejos, básicamente aleatorios porque su entrada
normalmente es la precipitación, un fenómeno soberanamente variable e impredecible. De
esto se concluye que el análisis estadístico juega un papel importante en el análisis
hidrológico.
Si el terreno de una cuenca se estudia en detalle, el número de caminos posibles
resulta descomunal. A lo largo de uno de estos caminos, la forma, la pendiente y la
rugosidad quizás cambia incesantemente y estos factores pueden cambiar con el tiempo a
medida que el suelo cambia en su humedad. De la misma manera, la precipitación varía de
forma aleatoria en el espacio y tiempo. De acuerdo a estas complejidades, es imposible
explicar algunos procesos hidrológicos a través de leyes físicas exactas. Si se utiliza el
concepto de sistema, el empeño se encamina hacia la elaboración de un modelo que
relacione entradas y salidas en vez de realizar una representación exacta de los detalles del
sistema, lo cual podría ser prácticamente imposible. No obstante, el conocimiento de un
sistema físico ayuda en el desarrollo de un buen modelo y en la evaluación de su precisión.
La ilustración 2.4 está relacionada con éste párrafo.
14
Precipitación
Cuenca
Frontera
CaudalDivisoria
Ilustración 2. 4. La cuenca como sistema hidrológico.
2.1.4 Modelos Hidrológicos
El análisis de un sistema hidrológico consiste en estudiar la operación y la salida del
mismo. Un modelo de un sistema hidrológico es una aproximación del sistema real; sus
entradas y salidas son variables hidrológicas que pueden medirse y su estructura es un
conjunto de ecuaciones que relacionan las entradas y salidas. Junto a la estructura del
modelo está el concepto de transformación del sistema.
Las entradas y salidas como función del tiempo pueden representarse por )(tI y
)(tO respectivamente. El sistema transforma la entrada en salida de acuerdo a:
)()( tItO Ψ= (2.1)
La ecuación (2.1) se conoce como ecuación de transformación del sistema. El
símbolo ψ se conoce como la función de transferencia entre la entrada y salida. Si esta
relación puede representarse algebraicamente, entonces ψ hace de operador algebraico. O
sea:
15
)()( tkItO = (2.2)
En la ecuación (2.2), k es una constante. La función de transferencia es el operador:
)()(
tItO
k ==Ψ (2.3)
Si la transformación es una ecuación diferencial, entonces la función de
transferencia hace de operador diferencial. Si se tiene un embalse cuyo almacenamiento V
está relacionado con su caudal O de acuerdo a:
kOV = (2.4)
En la ecuación (2.4) k es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considerando
que el cambio del almacenamiento en el embalse es igual a la diferencia entre la entrada y
salida:
)()( tOtIdtdV
−= (2.5)
Operando y combinando las ecuaciones (2.4) y (2.5), se tiene:
)()( tItOdtdO
k =+ (2.6)
Luego, según la ecuación (2.1):
kDtItO
+==Ψ
11
)()(
(2.7)
16
En la ecuación (2.7), D es el operador diferencial dtd / . Así, si la ecuación de
transformación ha podido ser encontrada y resuelta, entonces se tendrá la salida una como
función de la entrada. La ecuación (2.7) corresponderá a un sistema lineal si k es constante.
Por otra parte, si k es una función de la entrada o de la salida, entonces (2.7) corresponderá
a un sistema no lineal que será más difícil de resolver.
2.1.5 Clasificación de los Modelos Hidrológicos
Los modelos hidrológicos pueden ser modelos físicos y modelos abstractos. Los
modelos físicos incluyen modelos a escala que representan un sistema en una escala
reducida. Los modelos físicos incluyen también a los modelos análogos, que se basan en
otro sistema físico con propiedades similares a las del original. Los modelos abstractos
representan el sistema matemáticamente. El sistema se expresa con un conjunto de
ecuaciones que relacionan las variables de entrada y de salida. Estas variables pueden
depender del espacio y del tiempo, y también pueden ser variables aleatorias que no tienen
un valor clavado en un cierto punto del espacio y tiempo, pero que están descritas mediante
distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, no puede pronosticarse con precisión la lluvia
que caerá la semana entrante, pero si puede calcularse la probabilidad de que llueva. Otro
ejemplo, es imposible pronosticar con precisión la intensidad de la precipitación en una
tormenta porque varía vertiginosamente en el tiempo y de un lugar a otro, pero es racional
representarla por un valor referido a una distribución de probabilidad.
Un modelo determinístico no considera la aleatoriedad; una entrada dada produce
una misma salida. Un modelo estocástico tiene salidas que son por lo menos parcialmente
aleatorias. Se puede decir que los modelos determinísticos hacen pronósticos, mientras que
los estocásticos hacen predicciones. Pese a que los fenómenos hidrológicos implican
siempre aleatoriedad, la variabilidad resultante en la salida puede ser pequeña en
comparación con la variabilidad de otros factores conocidos. En tales casos el modelo
determinístico es el más apropiado. Si la variación aleatoria es grande, un modelo
estocástico es el mejor, porque la salida real podría ser bastante diferente del valor único
producido por el valor del modelo determinísitco. Así por ejemplo pueden elaborarse
modelos determinísticos para la evaporación diaria en un lugar dado, usando la información
de energía y transporte de vapor, pero tal información no puede usarse para elaborar buenos
17
modelos de precipitación diaria en el lugar dado, debido a que la precipitación es de un
carácter muy aleatorio. Por lo tanto, la mayoría de los modelos de precipitación son
estocásticos.
Los fenómenos hidrológicos pueden cambiar en el espacio tridimensional, pero
tomar en cuenta toda esta variación puede hacer que el modelo sea muy difícil en la
práctica. En un modelo determinístico agregado, el sistema es considerado como un punto
único sin dimensiones en el espacio. Por ejemplo, varios modelos del proceso de lluvia-
escurrimiento toman la entrada de precipitación como uniforme en toda la cuenca y
desprecian la variación espacial del flujo en tal cuenca. Por otra parte, un modelo
determinístico distribuido considera que los procesos hidrológicos ocurren en varios puntos
del lugar y define las variables del modelo como funciones de las dimensiones espaciales.
Los modelos estocásticos se clasifican en independientes del espacio y correlacionados con
él, de acuerdo con la influencia que las variables aleatorias tengan entre ellas en diferentes
puntos del espacio.
Los modelos hidrológicos son acercamientos a la realidad porque la salida de un
sistema nunca puede pronosticarse con precisión; así mismo los fenómenos hidrológicos
varían en el espacio tridimensional y con el tiempo, pero la consideración de las cinco
fuentes de variación (aleatoriedad, espacio tridimensional, tiempo) es corrientemente poco
práctica. Un modelo práctico solamente considera una o dos fuentes variación.
La clasificación de los modelos hidrológicos se muestra en la ilustración 2.5.
SistemaEntrada Salida
DistribuidoAgregado
Determínistico
DependienteIndependiente
Estocástico
Ilustración 2. 5 . Clasificación de los modelos hidrológicos.
18
2.2 Procesos Hidrológicos
Los procesos hidrológicos cambian la distribución del agua en el espacio y tiempo a
través del ciclo hidrológico. El desplazamiento del agua en un sistema hidrológico depende
de las propiedades físicas del sistema, propiedades tales como la medida y la forma de sus
líneas de corriente, y por la interacción del agua con otros medios como el aire y el calor.
Los cambios de estado del agua también son importantes. Varias leyes físicas están
involucradas con la acción de los sistemas hidrológicos.
Un artificio esencial para la generación de modelos hidrológicos es el teorema de
transporte de Reynolds. Este teorema es aplicable para deducir la ecuación de continuidad.
La ecuación de continuidad es fundamental en el tema central de este documento.
2.2.1 Teorema de Transporte de Reynolds
El teorema de transporte de Reynolds toma leyes físicas que generalmente se usan
con masas discretas de una sustancia y las aplica a un fluido que circula infinitamente a
través de un volumen de control. Para esto deben distinguirse dos tipos de propiedades en
los fluidos: propiedades extensivas, cuyos valores dependen de la cantidad de masa, y
propiedades intensivas, que son independientes de la masa. Para cualquier propiedad
extensiva B puede definirse una propiedad intensiva β como la cantidad de B por la unidad
de masa de fluido, o sea, dmdB /=β . B y β pueden ser magnitudes escalares o
vectoriales, dependiendo de la propiedad en cuestión.
El teorema de transporte de Reynolds relaciona la magnitud del cambio de la
propiedad extensiva de un fluido con respecto al tiempo, dtdB / , con las causas externas
que producen este cambio. Considérese el momentum del fluido, emVB = y
ee VdmmVd == /)(β donde Ve es la velocidad del fluido. Nótese que en el caso del
momentum, B, β y V son cantidades vectoriales. De acuerdo con segunda ley de Newton,
la magnitud del cambio del momentum con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta
19
aplicada en el fluido: FdtmVddtdB e ∑== /)(/ . Las propiedades extensivas más usadas
en Hidrología son la masa, el momentum, la energía del agua líquida y la masa del vapor de
agua.
Generalmente, cuando se aplica la segunda ley de Newton se pretende seguir el
movimiento del cuerpo. Aunque este concepto se aplica a fluidos, es más común
considerar que el fluido forma un continuum en el cual no se sigue el movimiento de las
partículas individuales. Luego, la atención está en el volumen de control, un marco fijo en
el espacio a través del cual el fluido circula. El teorema separa la acción de las influencias
externas en el fluido, que se expresan por dtdB / en dos partes: la magnitud del cambio con
respecto al tiempo de la propiedad extensiva almacenada en el volumen de control y el flujo
neto de la propiedad extensiva a través de la superficie de control:
∫∫∫∫∫ +∀=s
ev
dAVddtd
dtdB
βρβρ (2.8)
En la ecuación (2.8) el símbolo ρ representa a la densidad del fluido. La ecuación (2.8) es la
que rige el teorema de transporte de Reynolds. El teorema de transporte de Reynolds
establece que la magnitud total de cambio de una propiedad extensiva de un fluido es igual
a la tasa de cambio de la propiedad extensiva almacenada en el volumen de control, más el
flujo neto de la propiedad extensiva a través de la superficie de control. Cuando se usa este
teorema, los flujos de entrada se consideran negativos y los de salida positivos.
2.2.2 Ecuación de Continuidad
La ecuación de continuidad es aplicable a un volumen de fluido. Si la masa es la
propiedad extensiva en el teorema de transporte de Reynolds, entonces mB = y
1/ == dmdBβ . Como la masa no se crea ni se destruye se tiene 0// == dtdmdtdB . Al
tomar en cuenta estas consideraciones en la ecuación (2.8), se tiene:
∫∫∫∫∫ +∀=s
ev
dAVddtd
ρρ0 (2.9)
20
La ecuación (2.9) es la ecuación de continuidad para un flujo no permanente de densidad
variable.
Si el flujo tiene densidad constante, se tiene:
0=+∀ ∫∫∫∫∫s
ev
dAVddtd
(2.10)
La triple integral puede convertirse en la magnitud del cambio del almacenamiento o
volumen con respecto al tiempo. La doble integral, el flujo neto, puede dividirse en flujo
de entrada y flujo de salida:
0=++ ∫∫∫∫entrada
esalida
e dAVdAVdtdV
(2.11)
La ecuación (2.11) puede escribirse también como:
0)()( =−+ tItOdtdV
(2.12)
O mejor:
)()( tOtIdtdV
−= (2.13)
La ecuación (2.13) es la ecuación de continuidad para el flujo no permanente de densidad
constante usada ampliamente en este documento. Si el flujo es permanente debe
considerarse 0/ =dtdV para que la ecuación (2.13) quede en )()( tOtI = . Un flujo
permanente es aquel en el cual la velocidad en cada punto del flujo es constante con
respecto al tiempo.
21
Si las cantidades totales de flujo de entrada y flujo de salida son iguales, se dice que
el sistema es cerrado, luego:
∫∫∞
∞−
∞
∞−
= dttOdttI )()( (2.14)
Cuando (2.14) no se cumple se dice que el sistema es abierto. El ciclo hidrológico
es un sistema cerrado en lo que respecta al agua, pero el proceso lluvia-escurrimiento en
una cuenca es un sistema abierto, porque no toda la lluvia se transforma en escurrimiento;
puesto que parte de ella asciende a la atmósfera mediante la evaporación.
2.3 Agua Superficial
El agua superficial es la que se halla almacenando y fluyendo sobre la superficie
terrestre. El sistema de agua superficial se relaciona interminablemente con los sistemas de
agua atmosférica y subsuperficial.
2.3.1 Hidrograma de Caudal
Un hidrograma de caudal puede ser una gráfica o una tabla que describe el cambio
del flujo o caudal en función del tiempo. Puede decirse también que el hidrograma es una
expresión de las propiedades topográficas y climáticas que norman las relaciones entre la
lluvia y el escurrimiento de una cuenca en particular. Hay dos tipos de hidrogramas
importantes: el hidrograma anual y el hidrograma de tormenta o de crecida.
Hidrograma Anual
El hidrograma anual es una gráfica de caudal frente a tiempo en un año, describe el
balance de largo plazo de la precipitación, evaporación y el caudal en una determinada
cuenca. En la ilustración 2.6 se muestra un hidrograma anual de la región Yungas del
departamento de La Paz en Bolivia.
22
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
ENE
ENE
FEB
FEB
MARMAR
ABRABR
MAYJU
NJU
N JUL
JUL
AGOAGO SE
PSE
POCT
NOVNOV DIC DIC
Caudal (m3/s)
Tiempo
Ilustración 2. 6 . Hidrograma anual de los Yungas de La Paz (1980) según el Senamhi.
Hidrograma de Tormenta
La revisión de los hidrogramas anuales muestra que los picos se producen con
escasa frecuencia y son consecuencia de la lluvia por sí sola o junto a un deshiele de la
nieve. La ilustración 2.7 expone las cuatro partes de un hidrograma de caudal durante una
tormenta. Antes del inicio de la lluvia intensa puede verse que el flujo base desciende
paulatinamente (AB). El escurrimiento directo empieza en B, llega a su valor máximo o
pico en C y luego termina en D. Finalmente sigue la trayectoria DE en la cual el flujo base
otra vez empieza a descender.
23
Caudal
Tiempo
C
D
EB
A
Ilustración 2. 7. Partes de un hidrograma de tormenta.
2.3.2 Hietograma
Un hietograma de lluvia es una gráfica histograma de profundidad de lluvia o
intensidad frente al tiempo como se muestra en la ilustración 2.8.
El exceso de precipitación o precipitación efectiva, es la precipitación no retenida
en la superficie y tampoco infiltrada en el terreno. Luego de circular por la superficie de la
cuenca, el exceso de precipitación se transforma en escurrimiento directo a la salida de la
cuenca bajo la presunción de flujo superficial hortoniano; es decir bajo la suposición de
que el flujo no es absorbido por el suelo y tampoco interceptado por la vegetación. Las
curvas de exceso de precipitación frente al tiempo o hietograma de exceso de precipitación
son importantes para el estudio del proceso lluvia-escurrimiento. La diferencia entre el
hietograma de lluvia total y el hietograma de exceso de precipitación son las abstracciones
24
o pérdidas. Las pérdidas son agua absorbida por infiltración más interceptación y
almacenamiento superficial.
0
10
20
30
40
50
60
7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30
Tiempo (h)
Lluv
ia (m
m)
Pérdida
LLuvia
Exceso de lluvia
Ilustración 2. 8. Hietograma de lluvia.
2.4 Hidrograma Unitario
Conocido en un principio como gráfica unitaria de una cuenca, se define como el
hidrograma de escurrimiento directo resultante de 1 centímetro de exceso de lluvia
generado uniformemente sobre la superficie de drenaje a una tasa constante a lo largo de
una duración efectiva. Inicialmente se utilizó el término “unitario” para denotar un tiempo
unitario, pero desde entonces se ha entendido frecuentemente como profundidad unitaria de
exceso de lluvia. Inicialmente además se estableció el hidrograma unitario para ser
empleado únicamente en relación con el escurrimiento superficial
El hidrograma unitario es un modelo lineal simple que puede emplearse para derivar
el hidrograma resultante de cualquier cantidad de exceso de lluvia. Las siguientes
suposiciones son inseparables de este modelo:
25
• El exceso de precipitación tiene una intensidad constante a lo largo de la
duración efectiva.
• El exceso de precipitación está uniformemente distribuido en toda la superficie
de la cuenca.
• El tiempo base de la duración del escurrimiento directo resultante de un exceso
de lluvia de una duración dada es constante. En otras palabras, los hidrogramas
generados por tormentas de la misma duración tienen el mismo tiempo base pese
a que corresponden a diferentes intensidades de precipitación.
• Las ordenadas de todas las duraciones del escurrimiento directo de una base de
tiempo común son directamente proporcionales a la cantidad total de
escurrimiento presentada por cada hidrograma. Esto se conoce como el
principio de proporcionalidad.
• Para una determinada cuenca, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia
dado representa las características que no cambian en la cuenca. En otras
palabras, a tormentas iguales corresponden también hidrogramas también
iguales. Esto se conoce como el principio de la no variabilidad.
En la realidad, tales suposiciones no se cumplen a la perfección. No obstante,
cuando la información hidrológica es seleccionada de tal manera que pueda cumplir tales
suposiciones, los resultados obtenidos mediante el hidrograma unitario son razonables en la
práctica. En ciertos casos no puede emplearse el modelo a causa de que una o más de las
suposiciones no son cumplidas ni siquiera aproximadamente. Por ejemplo, se ha
establecido que el hidrograma unitario es inejecutable cuando el escurrimiento es originado
por el deshiele.
Obtención del Hidrograma Unitario
Se parte de conocer el hidrograma resultante de una lluvia neta uniforme de
duración conocida (t1 horas). Se trata de hallar el hidrograma unitario de las t1 horas para
esa cuenca. El método consiste en (ilustración 2.9):
26
1 Separar el flujo base del escurrimiento directo.
2 Por planimetría obtener el volumen de escurrimiento directo V0.
3 Obtener la lámina de escurrimiento directo h de acuerdo a la fórmula
AVh /0= . Esta lámina de escurrimiento directo es, por definición, igual a la
lámina de la lluvia neta.
4 Dividir las ordenadas de escurrimiento directo entre la lámina h. Los valores
obtenidos son las ordenadas del hidrograma unitario de las t1 horas.
hO
o =
Caudal
Tiempo
Caudal
Tiempo
Intensidad
Tiempo
h (cm)
Tiempo
Intensidad
1 (cm)
HidrogramaUnitario
Ilustración 2. 9. Obtención del hidrograma unitario.
27
Aplicación de los Hidrogramas Unitarios
Conocido el hidrograma unitario de una cuenca para una cierta duración, el
hidrograma unitario permite obtener el hidrograma de escurrimiento directo
correspondiente a una tormenta simple de igual duración y una lámina cualquiera de lluvia
neta, o el correspondiente a una tormenta compuesta de varios periodos de igual duración y
laminas cualesquiera de lluvia neta. La ilustración 2.10 muestra la primera aplicación
mencionada.
Caudal
Tiempo
HH = h × ordenadas del
hidrograma unitario
Tiempo
Intensidad
h
Ilustración 2. 10 . Aplicación del hidrograma unitario.
2.5 Embalses
Un embalse es un depósito de agua formado artificialmente por una presa y sus
terrenos circundantes.
28
Los embalses de detención de lluvias se usan para operar aguas de las tormentas. La
detención consiste en conservar el escurrimiento durante un período corto antes de
retornarlo a su curso natural. Las palabras “detención” y “retención” a veces no son
correctamente interpretadas. La retención consiste en conservar el agua en un lugar de
almacenamiento durante un período importante con fines estéticos, de consumo, de
irrigación, y otros. Quizás el agua nunca retorne a su curso natural y más bien sea
consumida por plantas, evaporación o infiltración en el suelo. Las estructuras de detención
normalmente no descienden significativamente el volumen total del escurrimiento, sino que
sencillamente descienden las tasas de caudal máximo o pico laminando o redistribuyendo el
hidrograma de caudal. Los embalses de detención participan ampliamente en este
documento.
El detener al escurrimiento y despacharlo a una tasa regulada es un principio
importante en la operación de aguas de tormentas. En superficies con un realce topográfico
serio, el almacenamiento por detención disminuye el pico de los caudales y la elevada
energía cinética del escurrimiento superficial. Esta disminución del flujo o caudal puede
bajar la erosión del suelo y la cantidad de contaminantes digeridos y llevados por el
escurrimiento.
Es esencial hacer una revisión a las estructuras llamadas presas puesto que son las
estructuras que forman los embalses.
Presas
Las presas son construidas para componer un embalse, una carga hidráulica o una
superficie de agua:
• Un embalse es usado para coordinar la producción de agua con las necesidades
de agua. Un embalse sirve entonces para el almacenamiento temporal de agua.
Existen presas para el abastecimiento de agua, irrigación o energía
hidroeléctrica. Usualmente, el agua es almacenada durante el período de lluvias
y usada durante el período de sequía. Las presas son estructuras efectivas para
29
la protección contra inundaciones puesto que almacenan el agua y la despachan
con cierta demora.
• Una carga hidráulica sirve para la generación de energía eléctrica en una planta
hidroeléctrica. También un río puede ser mejorado para la navegación
mediante la creación de una cola de agua.
• Una superficie de agua permite la navegación y recreación.
Resumidamente, las presas son estructuras que forman embalses para usos
diferentes:
• Alimentación del hombre y de los animales.
• Creación de paisajes, de zonas de reposo o zonas de recreación.
• Estancamiento de sedimentos.
• Industria.
• Irrigación de cultivos como aquellos de regiones áridas.
• Piscicultura.
• Producción de energía eléctrica.
• Regulación de ríos navegables.
• Vegetación acuática.
La hidráulica de presas estudia todas las cuestiones hidráulicas relacionadas con la
construcción, operación y seguridad de presas. Durante la construcción el río tiene que ser
desviado mediante canales, túneles u otros. Un desagüe es necesario durante el primer
llenado del embalse. Un desagüe permite un control de llenado y puede ser incorporado
para el vaciado del embalse. El proceso de vaciado es necesario en circunstancias de
peligro, verificación o lavado del embalse. Para la utilización del agua una estructura de
toma es construida. Para evitar el rebalse por la presa se tiene una estructura de excedencia
capaz de despachar tormentas extraordinarias sin daños significativos. La hidráulica de
presas estudia el diseño hidráulico de los siguientes puntos:
• Desviación de la fuente durante la construcción.
• Desagües.
• Estructuras de toma.
30
• Estructuras de excedencia.
Otros problemas particulares incluyen la formación de vórtices en las estructuras de
toma, entrada de aire, cavitación, vibración, disipación de energía y erosión.
Algunas Presas Importantes
Las partes de una presa pueden ser descritas aprovechando importantes estructuras
existentes a escala internacional.
Ilustración 2. 11 . La presa de Karakaya en Turquía según Vischer y Hager (1988). 1)
Estructura de toma. 2) Túneles de desviación. 3) Cámaras de inspección. 4)
Ataguía o cofferdam. 5) Casa de servicio. 6) Zona de desagüe. 7) Casa de
Maquínas.
31
La ilustración 2.11 está referida a la presa Karakaya en Turquía. La presa de
Karakaya está sobre el río Euphrates, y es uno de los esquemas más inmensos para la
irrigación y el aprovechamiento hidroeléctrico a lo largo del mundo. El área de captura
tiene alrededor de 80000 Km2 y la descarga promedio es de 725 m3/s. La capacidad total
del embalse es casi 10x109 m3 con un espejo de agua de 300 Km2 y una longitud de 166
Km. La altura máxima de la presa llega a 173 m y la longitud de la cresta es de 462 m. La
descarga de diseño es de 17000 m3/s y la descarga máxima es de 22000 m3/s. La potencia
generada es de 1800 MW y la producción anual puede llegar hasta 7100 GWh. La caída
sobre las turbinas francis tiene una media de 150 m.
Karakaya es una presa de concreto con diez estructuras de excedencia con
compuertas, cada una de 14 m de ancho que descarga en tres rebosaderos concéntricamente
construidos. El rebalse o excedencia descarga en el río Euphrates. La carga de diseño para
las estructuras de excedencia es de 13 m. Finalmente, la construcción empezó en 1975 y
terminó en 1988.
La presa de Itaipu es una de las más gigantescas de la Tierra en lo que respecta al
aprovechamiento hidroeléctrico. La presa de Itaipu está ubicada sobre el río Paraná y es
propiedad de Brasil y Paraguay. La ilustración 2.12 muestra un esquema vista superior de
la presa. El esquema Itaipu tiene un embalse de 170 Km de largo y hasta 8 Km de ancho.
La presa de concreto es de 2.6 Km de largo y hasta 196 m de alto. Las presas de tierra son
de 5 Km de largo. El vertedero está diseñado para una descarga de 62000 m3/s con un
período de retorno de 10000 años. La casa de máquinas es de 1 Km de largo y está
equipada con 18 turbinas Francis de 8.5 m de diámetro y de 700 MW cada una.
Durante el período de construcción se emplearon a 35000 personas. Las
dimensiones de los esquemas son tremendos: 64 millones de m3 de roca y tierra fueron
removidos, 12 millones de m3 de concreto y 500000 toneladas de acero fueron usados. En
1984, la primera explotación hidroeléctrica fue para la ciudad de Sao Paolo (Brasil). El
impacto ambiental fue enorme: 10000 campesinos tuvieron que ser reubicados y 1350 Km2
fueron inundados. Un área de forestación de 230 Km2 fue establecida en las orillas del
embalse para prevenir la erosión. La vida salvaje fue rescatada y transferida a zonas de
32
reserva. En el embalse, 125 especies de peces fueron acomodadas además de otras
facilidades para las mismas.
Ilustración 2. 12. La presa de Itaipú de Brasil y Paraguay según Hager y Vischer
(1988). 1) Presa principal. 2) Casa de máquinas. 3) Canales de desviación. 4)
Presa izquierda de roca y tierra. 5) Estructura de toma. 6) Vertedero. 7) Presa
derecha de tierra.
En cuanto a los vertederos, tres canales de salida fueron elegidos como combinación
entre economía y flexibilidad operacional. La carga de diseño para los vertederos es de 20
m con un máximo de 23 m. En total fueron instalados 14 vertederos con compuertas con
una capacidad máxima de 62000 m3/s. La longitud total de los tres canales juntos es de 350
m. El ancho total del canal es mantenido constante.
33
La descarga específica de diseño del canal es de 180 m2/s, y la velocidad de salida
es 40 m/s. Tales valores de descarga y velocidad tienen gran predominio en la trayectoria
del chorro. La técnica para la disipación de la energía fue cuidadosamente seleccionada.
Bloques de disipación de energía fueron construidos teniendo en cuenta que parte de la
energía es disipada en el aire antes del impacto sobre el colchón de agua.
Se realizaron estudios adicionales para determinar la disipación de energía en los
canales y la erosión en la cama del río Paraná. Esto fue necesario a causa de:
• La alta frecuencia de la operación del vertedero.
• La concentración extrema de descarga cuando menos de tres canales están en
uso.
• La alta descarga unitaria y velocidad del chorro.
• La incertidumbre del efecto del colchón de agua.
La presa Tres gargantas que actualmente se está construyendo en China será el
esquema más grande del mundo en lo que respecta al aprovechamiento hidroeléctrico. La
presa tiene una corona de 1.9 Km, una longitud del embalse de 595 Km y una profundidad
de 160 m. Este proyecto tendrá un costo virtualmente mayor que cualquier otro proyecto
en la historia.
La idea de construir una presa sobre el río Yangtze para controlar inundaciones y
para el aprovechamiento hidroeléctrico ha sido un sueño de varias generaciones desde la
revolución democrática de China. La primera proposición para la construcción de la presa
data de 1919 cuando el Dr. Sun Yat Sen sugirió construir una presa en las Tres gargantas.
Desde 1954, científicos e ingenieros se han dedicado al planeamiento y diseño del
proyecto.
La capacidad de aprovechamiento hidroeléctrico de 17 millones de kW es la más
grande de la historia. Se ha proyectado una generación de potencia evaluada en 84 billones
de kWh por año, lo cual es equivalente a una mina de carbón de 40 a 50 toneladas por año.
El proyecto suministrará energía principalmente a China central, Hubei, Hunan, Henen,
Jiangsu, y Anhui. El proyecto costará cerca de 11 billones de dólares. Una vez terminado,
34
la presa tendrá una altura de 185 m y una capacidad de almacenamiento de 39.3 billones de
metros cúbicos de agua.
El impacto ambiental es sumamente enorme. La presa ocupará casi dos ciudades y
cerca de 1.1 millones de personas están siendo transferidas a otras zonas a cuenta de un
tercio del costo del proyecto. El proyecto causará también un daño a la vida salvaje como
peces, delfines, tigres y hasta osos panda que serán rescatados y transferidos a zonas de
reserva. Finalmente, se ha discutido que la construcción de la presa afectará el hermoso
paisaje fuente de valioso turismo.
La construcción del proyecto se ha iniciado en 1994 y se ha previsto su terminación
para el año 2010.
Las tres presas importantes que se han mencionado están resumidas en el siguiente
cuadro a manera de comparación de acuerdo a parámetros seleccionados:
Tabla 2. 2 . Comparación de tres presas importantes a escala mundial.
Presa Karakaya Itaipú Tres gargantas
Ubicación Turquía Brasil y Paraguay China
Río interceptado Euphrates Paraná Yangtze
Corona 462 m 13 Km
Altura 173 m 196 m 185 m
Longitud del embalse 166 Km 170 Km 595 Km
Potencia 1800 MW 12600 MW 17000 MW
2.6 Pronóstico de Avenidas
El pronóstico de avenidas es un campo en crecimiento de las técnicas hidrológicas.
La meta es conseguir información en tiempo real de precipitación y caudales a través de
35
una red de microondas, radio o vía satélite, emplear dicha información en aplicaciones o
programas de lluvia-escurrimiento y de tránsito de caudales y presagiar los caudales de las
avenidas y los niveles de agua para lapsos desde pocas horas hasta pocos días en el futuro,
dependiendo de la magnitud de la cuenca. Los pronósticos de avenidas son útiles para
alarmar a la población con el objetivo de abandonar áreas con advertencia de inundación y
para colaborar al personal encargado del manejo de aguas en la manipulación de estructuras
para el control de inundaciones, tales como vertederos con compuertas en embalses.
2.7 Tránsito de Avenidas
2.7.1 Concepto de Tránsito
El procedimiento para hallar el hidrograma en un punto de curso de agua a partir de
un hidrograma conocido aguas arriba se conoce como tránsito de caudales. Si se trata de
una avenida o crecida el procedimiento se conoce como tránsito de avenidas e incluso
como laminación de avenidas. De manera general, el tránsito de caudales es un análisis
para seguir el caudal a través de un sistema hidrológico conocida una entrada. En el
tránsito agregado se calcula el caudal en función del tiempo únicamente. En el tránsito
distribuido se calcula el caudal en función del espacio y tiempo a través del sistema. El
tránsito agregado es conocido también como tránsito hidrológico. El tránsito distribuido es
conocido también como tránsito hidráulico.
2.7.2 Tránsito de Sistemas Agregados (Embalses)
En un sistema hidrológico, la entrada, la salida y el almacenamiento están
relacionados por la ecuación de continuidad:
)()( tOtIdtdV
−= (2.15)
36
Si bien el hidrograma de entrada )(tI puede estar definido, no garantiza la
obtención del hidrograma de salida )(tO a partir de la ecuación (2.15) puesto que O como V
son desconocidas. Es necesaria una relación adicional o función de almacenamiento para
relacionar V, I y O; así lograr dos ecuaciones para que las dos incógnitas puedan
encontrarse. De manera general, la función de almacenamiento podría definirse en función
de I, O y sus derivadas respecto al tiempo:
= LL ,,,,,,, 2
2
2
2
dtOd
dtdO
Odt
IddtdI
IfV (2.16)
Si se tendría una forma lineal de la ecuación (2.16) entonces ésta podría
diferenciarse, sustituirse en la ecuación (2.15), y luego integrarse la expresión resultante
para obtener )(tO en función de )(tI . Corrientemente se aplican métodos de solución por
diferencias finitas a las dos ecuaciones. El espacio de tiempo se divide en intervalos finitos
y la ecuación de continuidad (2.15) se resuelve repetitivamente desde un punto hasta otro
usando la función de almacenamiento (2.16) para tomar en cuenta al almacenamiento en
cada punto.
Caudal
Hidrograma de salida
Tiempo
Hidrograma de entrada
Caudal
Almacenamiento
Ilustración 2. 13 . Relación invariable entre caudal y almacenamiento.
37
La conformación de la función de almacenamiento depende de la condición del
sistema que está siendo analizado. Para el tránsito en embalses empleando métodos como
el de la piscina nivelada, el almacenamiento V es una función no lineal de O:
)(OfV = (2.17)
En la ecuación (2.17) la función f se ensambla relacionando el almacenamiento V y la salida
del embalse O con el nivel de agua en el mismo.
Caudal
Hidrograma de salida
Tiempo
Hidrograma de entrada
Caudal
Almacenamiento
Ilustración 2. 14. Relación variable entre caudal y almacenamiento.
La conexión entre el caudal de salida O y el almacenamiento V en un sistema
hidrológico tiene un efecto importante en el tránsito de caudales. Esta relación puede ser
invariable (ilustración 2.13) o variable (ilustración 2.14). Una función de almacenamiento
invariable tiene correspondencia con la ecuación (2.17) y se emplea con un embalse de
superficie o espejo de agua horizontal. Tales embalses tienen un depósito o piscina ancho y
profundo en contraste a su longitud en la dirección del flujo. La velocidad del flujo en el
embalse es muy baja. La relación de almacenamiento invariable requiere un caudal fijo de
salida del embalse para una elevación de la superficie de agua dada, implicando que las
estructuras de salida del embalse deban ser no controladas o controladas por compuertas
estáticas. Si la disposición de las compuertas cambia, el caudal y la elevación del espejo de
agua en la presa cambian, y el efecto se difunde aguas arriba en el embalse para generar una
38
superficie o espejo de agua transitoriamente inclinada hasta que se instaura una nueva
elevación de equilibrio de la superficie de agua a través del embalse.
Cuando un embalse tiene un espejo de agua horizontal, su almacenamiento es
función de la elevación de la superficie de agua. Correspondientemente, el caudal de salida
es una función de la elevación de la superficie de agua o carga sobre la estructura de salida.
Combinando estas dos funciones, el almacenamiento en el embalse y el caudal de salida
pueden relacionarse para crear una función de almacenamiento invariable y de valor
exclusivo, )(OfV = , como está mostrado en la ilustración 2.13. Para este tipo de
embalses, el caudal máximo de salida sucede cuando el hidrograma de salida intercepta al
hidrograma de entrada, puesto que el máximo almacenamiento ocurre cuando
0/ =−= OIdtdV , y el almacenamiento y el caudal de salida están relacionados por
)(OfV = .
Una relación variable entre el almacenamiento y caudal de salida es aplicable a
embalses largos y estrechos y a canales abiertos o corrientes, donde la silueta de la
superficie de agua puede ser significativamente curva debido a efectos de remanso. El
almacenamiento debido a la curva de remanso depende del cambio respecto al tiempo del
caudal a través del sistema. De acuerdo a la ilustración 2.14 la relación entre el caudal y el
almacenamiento del sistema no es una función de valor exclusivo sino que muestra una
curva en forma de un lazo, dependiendo de las características de almacenamiento del
sistema. A causa del efecto de retardo ocasionado por la curva de remanso, el máximo de
caudal de salida sucede después del momento en el cual se interceptan los hidrogramas de
entrada y salida, como se ve en la ilustración 2.14. Si el efecto de remanso no es de
magnitud, el lazo que se muestra en la ilustración 2.14 puede substituirse por una curva
promedio que se muestra como una línea discontinua. Consecuentemente, los métodos de
tránsito para espejo de agua horizontal pueden aplicarse aproximadamente para el tránsito
con una relación caudal-almacenamiento variable.
La anterior discusión implica que el efecto del almacenamiento es redistribuir el
hidrograma desplazando el centroide del hidrograma de entrada hasta el centroide del
hidrograma de salida en un tiempo de redistribución. En canales ciertamente largos, toda la
onda de la avenida viaja también una distancia importante y el centroide de su hidrograma
39
también puede desplazarse en un período mayor que el tiempo de redistribución. Este
tiempo suplementario puede considerarse como el tiempo de traslación. De acuerdo a la
ilustración 2.15, el tiempo total del movimiento de la avenida entre los centroides de los
hidrogramas de entrada y salida, es igual a la suma del tiempo de redistribución y del
tiempo de traslación. La redistribución transforma la forma del hidrograma, mientras que
la traslación lo desplaza.
Caudal
Tiempo
Hidrograma de entrada
Tiempo de redistribución
Caudal
Hidrograma de salida
Tiempo
Hidrograma de entrada
Tiempo de movimiento de la avenida
Caudal
Hidrograma de salida
Tiempo
Tiempo de traslación
Ilustración 2. 15. Interpretación del tiempo de movimiento de avenidas .
40
2.7.3 Método de la Piscina Nivelada
El método de piscina nivelada es un procedimiento para calcular el hidrograma de
caudal de salida desde un embalse con superficie de agua horizontal, dado su hidrograma
de entrada y sus características de almacenamiento-caudal de salida.
El horizonte de tiempo se divide en intervalos de duración ∆t, indexados por j:
... ,)1( , ..., ,2 , ,0 tjtjttt ∆+∆∆∆=
La ecuación de continuidad (ec) se integra sobre cada intervalo de tiempo:
∫ ∫∫∆+
∆
∆+
∆
−=+ tj
tj
tj
tj
V
V
dttOdttIdVj
j
)1( )1(
)()()1(
)(
(2.18)
Si la variación de los caudales de entrada y salida a lo largo del intervalo es
aproximadamente lineal, la ecuación (2.18) puede escribirse como:
tOO
tII
VV jjjjjj ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (2.19)
Ambos valores I son dados o conocidos. Los valores Oj y Vj se conocen gracias a los
cálculos hechos en el intervalo anterior. Por consiguiente, la ecuación (2.19) contiene dos
incógnitas Oj+1 y Vj+1, las cuales pueden aislarse manipulando la ecuación (2.19):
−
∆++=
+
∆ +++
jj
jjjj O
t
VIIO
t
V 2211
1 (2.20)
Para calcular Oj+1 se necesita una función de almacenamiento-caudal de salida que
relacione OtV +∆/2 y O. El método para desarrollar esta función utilizando las relaciones
elevación-almacenamiento y elevación-caudal de salida se desarrolla en el problema a
continuación. La relación elevación-almacenamiento puede determinarse mediante
41
estudios topográficos en el embalse. La relación elevación-caudal se deduce de las
ecuaciones hidráulicas que relacionan carga y caudal como son las ecuaciones de los
vertederos y otras estructuras de salida. El valor ∆t se toma como el intervalo de tiempo
del hidrograma de entrada. Para un valor de la elevación de la superficie de agua, se
determinan los valores de almacenamiento V y del caudal de salida O, luego se calcula el
valor de OtV +∆/2 y se dibuja en el eje horizontal de una gráfica con O en el eje vertical.
Durante el tránsito de caudal a través del intervalo de tiempo j, todos los términos de la
parte derecha de la ecuación (2.20) se conocen, y toda la parte de la izquierda ya puede
conocerse. El valor correspondiente Oj+1 puede determinarse a partir de la gráfica
mencionada o por interpolación lineal de la tabla correspondiente. Con el fin de preparar la
información para el siguiente intervalo de tiempo, debe usarse la siguiente ecuación:
111
11 2
22++
++
+ −
+
∆=
−
∆ jjj
jj OO
t
VO
t
V (2.21)
Después de la ecuación (2.21) el cálculo se repite para los subsiguientes períodos de
tránsito.
Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de superficie (espejo de agua constante) está regulado por
un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385.
La crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado
en 25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
Solución
Lo primero que debe hacerse es generar la tabla y gráfica de la función
almacenamiento-caudal de salida del embalse. La tabla 2.4 muestra la función
almacenamiento-caudal de salida del embalse. La elevación del espejo de agua sobre la
cresta del vertedero se muestra en la columna 1. El caudal de salida por el vertedero
estándar se muestra en la columna 2. El caudal de salida para un vertedero estándar está
42
dado por 2/32 HgbCO d= . El almacenamiento en el embalse a partir de la cresta del
vertedero se muestra en la columna 3 y ha sido calculado con AHV = . El parámetro
OtV +∆/2 para un intervalo de tiempo de 3 y 6 horas se muestra en las columnas 4 y 5
respectivamente. La ilustración 2.16 muestra la curva de la función almacenamiento-
caudal de salida del embalse de acuerdo a la tabla 2.4.
Tabla 2. 3 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t I t I(h) (m3/s) (h) (m3/s)
0.00 25.00 21.00 75.003.00 30.00 24.00 71.006.00 40.00 27.00 65.009.00 52.50 30.00 57.50
12.00 65.80 36.00 42.5015.00 73.80 42.00 30.0018.00 76.30 48.00 25.00
Luego, debe ensamblarse una tabla como la tabla 2.5 para el cálculo del hidrograma
de salida como se explica a continuación. Primero, se tiene el caudal inicial de salida en la
primera fila de la columna 7. Con un almacenamiento inicial de cero se calcula la primera
fila de la columna 5. Usando la ecuación (2.20) se calcula la primera fila de la columna 6.
Con el anterior resultado y mediante la ilustración 2.16 se calcula la segunda fila de la
columna 7. Con éste resultado y mediante la ecuación 2.21 se halla la segunda fila de la
columna 5. A partir de aquí los cálculos se llevan de manera repetitiva. La ilustración 2.17
muestra los hidrogramas de entrada y salida de acuerdo a este procedimiento.
43
Tabla 2. 4. Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante por el método de la piscina nivelada.
Columna: 1 2 3 4 5H O V 2V/∆t1+O 2V/∆t2+O
(m) (m3/s) (m3) (m3/s) (m3/s)
1.5 23.5 0.0 23.5 23.52.0 36.2 1000000.0 221.4 128.82.5 50.6 2000000.0 420.9 235.73.0 66.5 3000000.0 622.0 344.23.5 83.7 4000000.0 824.5 454.14.0 102.3 5000000.0 1028.2 565.34.5 122.1 6000000.0 1233.2 677.65.0 143.0 7000000.0 1439.3 791.15.5 165.0 8000000.0 1646.5 905.76.0 188.0 9000000.0 1854.6 1021.36.5 212.0 10000000.0 2063.8 1137.97.0 236.9 11000000.0 2273.9 1255.47.5 262.7 12000000.0 2484.9 1373.88.0 289.4 13000000.0 2696.8 1493.18.5 317.0 14000000.0 2909.5 1613.39.0 345.3 15000000.0 3123.1 1734.2
44
Tabla 2. 5. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar por el
método de la piscina nivelada.
Columna: 1 2 3 4 5 6 7t ∆t I Ij+Ij+1 2Vj/∆t-Oj 2Vj+1/∆t+Oj+1 Oj
(h) (h) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)
0 25.0 -25.0 25.03 3 30.0 55.0 -20.4 30.0 25.26 3 40.0 70.0 -3.4 49.6 26.59 3 52.5 92.5 30.9 89.1 29.1
12 3 65.8 118.3 83.4 149.2 32.915 3 73.8 139.6 147.2 223.0 37.918 3 76.3 150.1 210.9 297.3 43.221 3 75.0 151.3 266.4 362.2 47.924 3 71.0 146.0 309.2 412.4 51.627 3 65.0 136.0 336.8 445.2 54.230 3 57.5 122.5 146.7 459.3 55.336 6 42.5 100.0 139.1 246.7 53.842 6 30.0 72.5 114.0 211.6 48.848 6 25.0 55.0 82.8 169.0 43.154 6 25.0 50.0 56.4 132.8 38.260 6 25.0 50.0 37.0 106.4 34.766 6 25.0 50.0 22.0 87.0 32.572 6 25.0 50.0 10.8 72.0 30.678 6 25.0 50.0 2.2 60.8 29.3
45
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
O (m3/s)
2V/∆t+O (m3/s)
∆t = 6 h ∆t = 3 h
Ilustración 2. 16 . Curva de la función almacenamiento-caudal de salida para un
embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 2. 17. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante.
46
Es importante notar que, para obtener la primera fila correspondiente al intervalo de
tiempo de 6 horas de la columna 6, debe actualizarse previamente el último valor de la
columna 5 al intervalo de 6 horas mediante la ilustración 2.16 con el último caudal. De este
modo se tiene el valor modificado de 146.7 m3/s como se muestra en la parte sombreada de
la tabla. A partir de éste punto debe continuarse como de costumbre pero consultando la
curva correspondiente al intervalo de 6 horas de la ilustración 2.16.
2.7.4 Método SIC (Storage Indication Curve)
El método SIC está basado en una ecuación fundamental que se origina de acuerdo
a la siguiente deducción:
Dado el intervalo de tiempo por el hidrograma de entrada:
nn ttt −=∆ +1 (2.22)
La forma discreta de la ecuación de continuidad para el intervalo de tiempo:
22111 +++ +
−+
=∆− nnnnnn OOIIt
VV (2.23)
Ordenando términos y aplicando un artificio matemático:
nnn
nnnnn O
IIO
OOt
VV−
+=−
++
∆− +++
22111 (2.24)
Aislando los términos desconocidos en el miembro izquierdo:
nnnnnnn O
IIOt
VOt
V−
++
+∆
=
+∆
+++
222111 (2.25)
47
La relación de almacenamiento S (storage) se define como:
2O
tV
S +∆
= (2.26)
Substituyendo la definición (2.26) en la ecuación (2.25):
nnn
nn OII
SS −+
+= ++ 2
11 (2.27)
Sea Im el caudal promedio de entrada:
21++
= nnm
III (2.28)
La variable N puede definirse como:
nm OIN −= (2.29)
Substituyendo N en la ecuación 2.27:
NSS nn +=+1 (2.30)
Esta es la ecuación fundamental del método SIC. El procedimiento del método SIC
no es complicado y se explica aprovechando la aplicación de a continuación.
Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de superficie de agua constante está regulado por un
vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La
crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en
25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
48
Tabla 2. 6 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t I t I(h) (m3/s) (h) (m3/s)
0.00 25.00 21.00 75.003.00 30.00 24.00 71.006.00 40.00 27.00 65.009.00 52.50 30.00 57.50
12.00 65.80 36.00 42.5015.00 73.80 42.00 30.0018.00 76.30 48.00 25.00
Solución
La elevación inicial sobre la cresta del vertedero se calcula a partir del caudal de
salida inicial (25 m3/s) empleando la fórmula del vertedero estándar:
6.156.12
23/2
2/3 ≈=
=⇒=
gbCO
HHgbCOd
d m
El almacenamiento V se calcula como función de la elevación del espejo de agua H
sobre la cresta del vertedero mediante HAV = . Esto está mostrado en la columna 2 de la
tabla 2.7. La columna 3 de la tabla 2.7 se calcula a partir de la fórmula del vertedero
estándar. La columna 4 se calcula para un intervalo de 3 horas usando la expresión tV ∆/ ,
análogamente la columna 5 para un intervalo de 6 horas. Las columnas 6 y 7 se calculan a
partir de la ecuación 2.26, S3h corresponde al intervalo de tiempo de 3 horas y S6h a 6 horas.
La relación almacenamiento-caudal de salida que está en función a O y 2// OtV +∆ se
representa en la ilustración 2.18.
49
Tabla 2. 7. Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante por el método SIC (Storage Indication Curve).
Columnas: 1 2 3 4 5 6 7H V O V/∆t1 V/∆t2 S3h S6h
(m) (m3) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)
1.6 0.0 25.0 0.0 0.0 12.5 12.51.6 73375.9 25.9 6.8 3.4 19.7 16.31.7 273375.9 28.3 25.3 12.7 39.5 26.81.8 473375.9 30.9 43.8 21.9 59.3 37.41.9 673375.9 33.5 62.3 31.2 79.1 47.92.0 873375.9 36.2 80.9 40.4 99.0 58.52.1 1073375.9 38.9 99.4 49.7 118.8 69.22.2 1273375.9 41.7 117.9 59.0 138.8 79.82.3 1473375.9 44.6 136.4 68.2 158.7 90.52.4 1673375.9 47.6 154.9 77.5 178.7 101.22.5 1873375.9 50.6 173.5 86.7 198.7 112.02.6 2073375.9 53.6 192.0 96.0 218.8 122.82.7 2273375.9 56.7 210.5 105.2 238.9 133.62.8 2473375.9 59.9 229.0 114.5 259.0 144.52.9 2673375.9 63.2 247.5 123.8 279.1 155.33.0 2873375.9 66.5 266.1 133.0 299.3 166.33.1 3073375.9 69.8 284.6 142.3 319.5 177.23.2 3273375.9 73.2 303.1 151.5 339.7 188.23.3 3473375.9 76.7 321.6 160.8 359.9 199.13.4 3673375.9 80.2 340.1 170.1 380.2 210.23.5 3873375.9 83.7 358.6 179.3 400.5 221.2
50
Tabla 2. 8. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar por el
método SIC (Storage Indication Curve).
Columna: 1 2 3 4 5 6 7t ∆t I Im S N O
(h) (h) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s) (m3/s)
0 25.0 12.5 25.03 3 30.0 27.5 15.0 2.5 25.36 3 40.0 35.0 24.7 9.7 26.59 3 52.5 46.3 44.4 19.8 29.0
12 3 65.8 59.2 74.6 30.2 32.915 3 73.8 69.8 111.5 36.9 37.918 3 76.3 75.1 148.7 37.1 43.221 3 75.0 75.7 181.2 32.5 47.924 3 71.0 73.0 206.2 25.1 51.727 3 65.0 68.0 222.5 16.3 54.230 3 57.5 61.3 229.6 7.0 55.336 6 42.5 50.0 123.3 -5.3 53.842 6 30.0 36.3 105.8 -17.5 48.848 6 25.0 27.5 84.5 -21.3 43.054 6 25.0 25.0 66.5 -18.0 38.260 6 25.0 25.0 53.3 -13.2 34.866 6 25.0 25.0 43.4 -9.8 32.472 6 25.0 25.0 36.1 -7.4 30.6
51
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 20 40 60 80 100
S (m3/s)
O (m3/s)
∆t = 6 h
∆t = 3 h
Ilustración 2. 18 . Curva de la función almacenamiento-caudal de salida para un
embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 2. 19. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante.
52
Luego se ensambla una tabla para el cálculo del hidrograma de salida como la tabla
2.8, donde inicialmente se calcula S en la columna 5 a partir del caudal de salida inicial
mostrado en la primera fila de la columna 7 de la tabla y mediante la ilustración 2.18. A
partir de la segunda fila, en la columna 4 se calcula el caudal promedio de entrada al final
de cada intervalo de tiempo. En la columna 6 se calcula N a partir de la ecuación 2.29.
Luego, se calcula la columna 5 mediante la ecuación 2.30. Con la columna 5 conocida se
calcula el caudal de salida al final del intervalo en la columna 7 consultando la mencionada
ilustración 2.18. Todo esto se muestra en la tabla 2.8. La ilustración 2.19 muestra el
hidrograma de entrada conocido y el hidrograma de salida calculado en la anterior tabla.
Cuando S deba calcularse para un intervalo de tiempo distinto, es necesario
actualizar el S precedente al nuevo intervalo de tiempo antes de usar la ecuación 2.30. En
la columna 5 de la tabla 2.8 se tiene 60.229=nS m3/s correspondiente a un 3=∆t h, que
actualizando a un intervalo de tiempo de 6 horas se tiene 128.62=nS m3/s. Luego,
mediante la ecuación 2.30 se tiene 33.123)29.5(62.1281 =−+=+nS m3/s como se muestra
en la parte sombreada de la tabla 2.8.
2.7.5 Método Gráfico de Puls (Pulso)
El método gráfico para el tránsito de avenidas en embalses es ciertamente sencillo,
rápido y aproximado. El principio y el procedimiento del método gráfico es elemental
como se desarrolla a continuación.
Teniendo en cuenta la forma discreta de la ecuación de continuidad:
tOO
tII
VV nnnnnn ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (2.31)
53
La cual puede transformarse en:
∆
−+∆+
=∆
+ +++ 222
111
tOVt
IItOV n
nnnn
n (2.32)
La ecuación (2.32) es la ecuación primordial del método gráfico, puesto que la
misma es resuelta una y otra vez mediante el procedimiento gráfico que se explica a
continuación.
En primer lugar, deben prepararse las curvas 2/tOV ∆+ y 2/tOV ∆− con el
almacenamiento como eje horizontal y con el caudal de salida como eje vertical según se
muestra en la ilustración 2.20.
Ahora bien, primero se ubica el caudal de salida inicial O1 en el eje vertical
(ilustración 2.20), luego se prolonga una horizontal hasta interceptar la curva 2/tOV ∆−
en el punto A. Seguidamente, se prolonga la última horizontal desde el punto A una
distancia de 2/)( 21 II + . A partir de la final de la última horizontal debe trazarse una
vertical hasta cortar la curva 2/tOV ∆+ en el punto B. Finalmente, debe prolongarse una
horizontal desde el punto B hasta el eje vertical para obtener el caudal de salida O2. Para
proseguir debe considerarse a O2 como el caudal de salida inicial y repetirse el anterior
procedimiento. Todo esto se muestra en la ilustración 2.20.
Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de espejo de agua constante está regulado por un
vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La
crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en
25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
54
Caudal
Almacenamiento
V-½O∆t
V+½O∆t
O1
O2
A
B
½(I1+I2)∆t
Ilustración 2. 20 . Procedimiento gráfico del método pulse (pulso).
Tabla 2. 9 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t I t I(h) (m3/s) (h) (m3/s)
0.00 25.00 21.00 75.003.00 30.00 24.00 71.006.00 40.00 27.00 65.009.00 52.50 30.00 57.50
12.00 65.80 36.00 42.5015.00 73.80 42.00 30.0018.00 76.30 48.00 25.00
55
Solución
La elevación inicial sobre la cresta del vertedero se calcula a partir del caudal de
salida inicial (25 m3/s) empleando la fórmula del vertedero estándar:
6.156.12
23/2
2/3 ≈=
=⇒=
gbCO
HHgbCOd
d m
Antes de continuar, deben prepararse las curvas 2/tOV ∆+ y 2/tOV ∆− mediante
una tabla como la tabla 2.10. En la columna 1 de la tabla se tiene la elevación del espejo de
agua por encima de la cresta del vertedero. En la columna 2 de la tabla se tiene el
almacenamiento en el embalse por encima de la cresta del vertedero, considerando un
espejo de agua constante durante su elevación. En la columna 3 de la tabla se tiene el
caudal de salida obtenido mediante la ecuación del vertedero estándar mostrada
anteriormente. En las columnas 4 y 5 de la tabla se tienen las curvas 2/tOV ∆+ y
2/tOV ∆− para un intervalo de tiempo de 3 horas. En las columnas 6 y 7 se tiene las
mencionadas curvas pero para un intervalo de tiempo de 6 horas. Con todo esto se trazan
las curvas como se muestra en las ilustraciones 2.21 y 2.22.
En la ilustración 2.21 se tiene la resolución de ésta aplicación para el intervalo de
tiempo de 3 horas. En ésta ilustración puede apreciarse que el procedimiento se inició con
un caudal de salida inicial de 25 m3/s hasta llegar sucesivamente a un caudal de salida de
55.4 m3/s para lo cual debe cambiarse las curvas puesto que a continuación se tiene el
intervalo de tiempo de 6 horas. En la ilustración 2.22 se tiene la continuación de la
resolución de la aplicación para un intervalo de tiempo de 6 horas. En ésta ilustración se
puede ver que el caudal de salida de arranque es de 55.4 m3/s y el caudal salida de
terminación es de 30.5 m3/s. Tanto en la ilustración 2.21 como en la ilustración 2.22 se
siguió el procedimiento explicado más arriba mediante el apoyo de la tabla 2.11. Los
caudales de salida obtenidos mediante esta iteración gráfica se muestran en la tabla 2.11 y
sirven para ensamblar el hidrograma de salida que está mostrado en la ilustración 2.23.
56
Tabla 2. 10. Preparación de las curvas V+½O∆t y V-½O∆t para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua constante por el método gráfico o método de puls
(pulso).
Columnas: 1 2 3 4 5 6 7H V O V+½O∆t1 V-½O∆t1 V+½O∆t2 V-½O∆t2
(m) (m3) (m3/s) (m3) (m3) (m3) (m3)
1.56 0.0 24.9 134571.2 -134571.2 269142.4 -269142.41.60 80000.0 25.9 219780.1 -59780.1 359560.1 -199560.11.70 280000.0 28.3 433087.1 126912.9 586174.2 -26174.21.80 480000.0 30.9 646791.5 313208.5 813583.1 146416.91.90 680000.0 33.5 860882.1 499117.9 1041764.3 318235.72.00 880000.0 36.2 1075348.6 684651.4 1270697.2 489302.82.10 1080000.0 38.9 1290181.4 869818.6 1500362.7 659637.32.20 1280000.0 41.7 1505371.6 1054628.4 1730743.3 829256.72.30 1480000.0 44.6 1720911.2 1239088.8 1961822.4 998177.62.40 1680000.0 47.6 1936792.4 1423207.6 2193584.7 1166415.32.50 1880000.0 50.6 2153007.9 1606992.1 2426015.9 1333984.12.60 2080000.0 53.6 2369551.1 1790448.9 2659102.3 1500897.72.70 2280000.0 56.7 2586415.6 1973584.4 2892831.2 1667168.82.80 2480000.0 59.9 2803595.4 2156404.6 3127190.7 1832809.32.90 2680000.0 63.2 3021084.7 2338915.3 3362169.4 1997830.63.00 2880000.0 66.5 3238878.2 2521121.8 3597756.5 2162243.53.10 3080000.0 69.8 3456970.9 2703029.1 3833941.7 2326058.33.20 3280000.0 73.2 3675357.7 2884642.3 4070715.4 2489284.63.30 3480000.0 76.7 3894034.2 3065965.8 4308068.3 2651931.73.40 3680000.0 80.2 4112995.7 3247004.3 4545991.5 2814008.53.50 3880000.0 83.7 4332238.3 3427761.7 4784476.6 2975523.4
57
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-1.E+06 0.E+00 1.E+06 2.E+06 3.E+06 4.E+06 5.E+06
O (m3/s)
V (m3)
V-½O∆t1
V+½O∆t1
Ilustración 2. 21. Curvas del método de puls (pulso) para un intervalo de tiempo de 3
horas para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-1.E+06 0.E+00 1.E+06 2.E+06 3.E+06 4.E+06 5.E+06 6.E+06
O (m3/s)
V (m3)
V-½O∆t2
V+½O∆t2
Ilustración 2. 22. Curvas del método de puls (pulso) para un intervalo de tiempo de 6
horas para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
58
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 2. 23. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante.
59
CAPITULO 3
DESARROLLO TEORICO
3.1 Método Directo
El tema central de este Proyecto de Grado es la propuesta de un nuevo método
llamado método directo para el tránsito de avenidas en embalses. El método directo se
origina en Cochabamba - Bolivia en el año 2001 gracias a la iniciativa del Profesor Ing.
William Iraizos Ramírez de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba.
El método directo consiste básicamente en la aplicación de una ecuación llamada
ecuación principal. La solución de ésta ecuación principal es un punto del hidrograma de
salida correspondiente a un punto del hidrograma de entrada.
El método directo en comparación con los métodos tradicionales para el tránsito de
avenidas en embalses ofrece lo siguiente:
• Una automatización de los cálculos.
• La mejor aproximación de los resultados.
• Una mejora en los procedimientos de cálculo.
• Una mínima carga de trabajo.
• Una nueva opción para la determinación y verificación de la altura de la presa y
de la configuración del vertedero.
60
Por ejemplo, en métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses
como el método de la piscina nivelada, debe generarse tablas y gráficas preliminares para
ser consultadas posteriormente, mientras que en el método directo se suprime esta
necesidad y se obtienen los resultados de manera directa mediante la solución de la
ecuación principal.
Si bien el método directo consiste en la solución de una ecuación principal, debe
tenerse a la mano la ecuación principal adecuada y correspondiente al caso en cuestión. En
este capítulo se desarrollarán ecuaciones principales que corresponden a casos importantes
y luego serán usadas en el método directo para la resolución de un problema en particular
concerniente a cada caso.
3.2 Ecuación de Continuidad para el Tránsito de Avenidas
El espacio de tiempo del tránsito se divide en intervalos de duración t∆ indexados
por i, o sea:
KK ,)1( ,, ,2 , ,0 titittt ∆+∆∆∆= (3.1)
Posteriormente, la ecuación de continuidad se integra sobre cada intervalo de
tiempo según la ilustración 3.1. Para el intervalo de tiempo i, se tiene:
∫ ∫∫+ ∆+
∆
∆+
∆
−=1 )1()1(
)()(i
i
V
V
ti
ti
ti
ti
dttOdttIdV (3.2)
Los caudales de entrada al inicio y al final del intervalo i son Ii e Ii+1,
respectivamente, y los caudales de salida correspondientes son Oi y Oi+1. Si la alteración
de los caudales de entrada y salida durante el intervalo es cercanamente lineal, el cambio en
el almacenamiento puede calcularse de acuerdo a:
tOO
tII
VV iiiiii ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (3.3)
61
La ecuación (3.3) es conocida como la forma discreta de la ecuación de continuidad.
tn tn+1
∆t
On
Vn
In+1
In
Caudal
Caudal de salida
Tiempo
Vn+1-Vn
On+1
Caudal de entrada
Ilustración 3. 1. Cambio del almacenamiento en un embalse durante un intervalo de
tiempo.
3.3 Ecuación Principal General
La deducción de carácter general que se presentará en ésta parte es de mucha
importancia, puesto que es la base para el desarrollo de las ecuaciones principales de los
distintos casos, como ser para un embalse con vertedero estándar, o para un embalse con
vertedero Morning Glory, etc.
Al integrar la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo
nn ttt −=∆ +1 como se aprecia en la ilustración 3.1, se tiene:
62
∫ ∫ ∫+ + +
−=1 1 1
)()(n
n
n
n
n
n
V
V
t
t
t
t
dttOdttIdV (3.4)
En ésta ecuación, los valores correspondientes al inicio y final del intervalo de
tiempo ∆t están marcados por los subíndices n y n+1 respectivamente. Así, los caudales de
entrada al inicio y final del intervalo están designados por In e In+1 respectivamente.
Análogamente, los caudales de salida al inicio y final del intervalo están designados por On
y On+1 respectivamente. Ahora bien, cuando el comportamiento de los caudales de entrada
y salida puede considerarse lineal durante el intervalo de tiempo, la ecuación (3.4) puede
escribirse como:
tOO
tII
VV nnnnnn ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (3.5)
La ecuación anterior (3.5) es la forma discreta de la ecuación de continuidad. Los
valores conocidos son los caudales de entrada In e In+1, el caudal de salida On y el
almacenamiento Vn. Los valores desconocidos son On+1 y Vn+1. Es necesario aclarar que In
e In+1 son dados por el hidrograma de entrada, y On es obtenido en los cálculos
correspondientes al intervalo de tiempo anterior.
Para lograr que la ecuación (3.5) esté expresada solo en función de los caudales de
entrada y salida, y para lograr que contenga una sola incógnita On+1, es necesario
reemplazar a Vn y Vn+1 por una expresión equivalente de caudal. Para esto, y como se verá
a continuación, es ventajoso emplear las fórmulas de almacenamiento del embalse y del
caudal del vertedero en cuestión.
La fórmula general de almacenamiento del embalse está dada por una función de la
elevación del espejo de agua:
)(HfV = (3.6)
63
Si el espejo de agua A en el embalse se mantiene constante con la elevación de la
superficie de agua H, entonces la ecuación (3.6) podría tomar la forma AHV = . Caso
contrario, la ecuación (3.6) podría ser más complicada como una cúbica.
La expresión general del caudal que pasa por un vertedero de excedencia está dada
por una constante multiplicada por una función de la elevación del espejo de agua por
encima de la cresta del vertedero:
)(HgKQ ⋅= (3.7)
En la ecuación (3.7), normalmente la constante K representa simultáneamente a la
constante del caudal del vertedero en cuestión, a la longitud efectiva de la cresta del mismo,
y a un factor hidráulico. La función g depende de la elevación de la superficie o espejo de
agua H por encima de la cresta del vertedero. Por ejemplo, la ecuación de un vertedero
Morning Glory está dada por 2/322 HgRCQ d π= , donde Cd es la constante de caudal,
Rπ2 es la longitud efectiva de la cresta (en éste caso circular), g2 es el factor hidráulico,
y 2/3H es la función g en éste caso.
Despejando H de la ecuación (3.7) y cambiando Q por O, se tiene:
)/(1 KOgH −= (3.8)
Substituyendo la ecuación (3.8) en la (3.6), se tiene:
( ) )()/()/(1 OhKKOhKOgfV ⋅′=== − (3.9)
En la ecuación (3.9) la nueva función h es la función compuesta de f y g-1 o también 1−gf o . En la ecuación (3.9) la constante modificada de K está dada por )/1( KhK =′ .
Substituyendo la ecuación (3.9) en la (3.5) con los subíndices correspondientes, se
tiene:
64
tOO
tII
KOhKOh nnnnnn ∆
+−∆
+=′−′ ++
+ 22)()( 11
1 (3.10)
Trasladando todos los términos a la izquierda, se tiene:
022
)()( 111 =∆
++∆
+−′−′ ++
+ tOO
tII
KOhKOh nnnnnn
Multiplicando por t∆/2 y ordenando, se tiene:
0)(2
)(2
111 =−−∆
′−+
∆′
+ +++ nnnnnn IIOht
KOOh
tK
O (3.11)
Esta es la ecuación principal general para un embalse con espejo de agua constante
o variable y para un vertedero cualquiera. La solución de la ecuación (3.11) es el caudal de
salida al final del intervalo de tiempo On+1, dados los caudales de entrada In e In+1,
calculado el caudal de salida On, dada la duración del intervalo de tiempo t∆ , y dadas las
características físicas del embalse y vertedero.
3.3.1 Análisis de la Ecuación Principal
Para comprender la naturaleza de la ecuación (3.11) es necesario expresarla como
una función:
0)(2
)(2
)( 1111 =−−∆
′−+
∆′
+= ++++ nnnnnnn IIOht
KOOh
tK
OOf (3.12)
Nada se puede decir sobre el tipo de la función (3.12) porque depende de la función
h. De este modo, si la función h eleva On+1 a un exponente entero positivo, entonces la
función (3.12) será del tipo polinomial, o si h eleva On+1 a un exponente negativo o
racional, entonces la función (3.12) será del tipo algebraica explícita.
65
El grado de la ecuación (3.11) y de la función (3.12) depende del grado de la
función h, a su vez, ésta depende simultáneamente del grado de la ecuación del
almacenamiento del embalse y del grado de la ecuación del vertedero en cuestión. Por
ejemplo y como se verá más adelante, para un embalse con espejo de agua constante y
vertedero estándar, la función h eleva On+1 a la 2/3, por lo que el grado de la función
correspondiente queda en 1.
La función (3.12) es descendiente de la forma discreta de la ecuación de continuidad
(3.5), por lo que su magnitud representa el estado de balance del sistema embalse-vertedero
para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1. Cuando la función (3.12) es
cero significa que el caudal On+1 es la raíz de la ecuación (3.11), y al mismo tiempo es el
caudal adecuado para la satisfacción de la ecuación de continuidad. La ilustración (3.2) es
la representación gráfica de una posible curva que podría tomar la función (3.12).
f(O)
O (m3/s)
0
Ilustración 3. 2. Curva ejemplo de la función de la ecuación principal general para un
embalse con determinado vertedero.
66
3.3.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero
La expresión que aparece junto al termino independiente )( 1+nOh en la función
f(On+1) representa a las características del embalse y vertedero, por lo que se denomina
parámetro físico del embalse y vertedero:
tK∆
′2
Generalmente, el parámetro físico es positivo porque involucra valores
definidamente positivos como el intervalo de tiempo ∆t, etc. Las unidades del parámetro
físico dependen del caso tratado en particular. Finalmente, el parámetro físico tiene
influencia directa en la forma de la curva de la función (3.12). La ilustración (3.3) es una
representación gráfica de una posible función (3.12) para distintos parámetros físicos.
3.3.3 Parámetro de Almacenamiento
Toda la expresión que no está ligada a ninguno de los independientes On+1 o
)( 1+nOh involucra los caudales de entrada y salida a través del sistema embalse-vertedero,
involucrando a su vez el almacenamiento en el embalse, por lo que se denomina parámetro
del almacenamiento:
nnnn IIOht
KO −−
∆′
− +1)(2
Como se verá más adelante, la curva del parámetro de almacenamiento es semejante
a la curva de almacenamiento, de tal manera que, su punto máximo sucede cuando el
almacenamiento es máximo.
67
f(O)
O (m3/s)
0
Ilustración 3. 3. Curvas ejemplares de la función de la ecuación principal general
para un embalse con determinado vertedero para distintos parámetros físicos.
f(O)
O (m3/s)0
Ilustración 3. 4. Curvas ejemplares de la función de la ecuación principal general
para un embalse con determinado vertedero para distintos parámetros de
almacenamiento.
68
Normalmente, el parámetro de almacenamiento es negativo puesto que se trata de
un valor a compensar dentro la ecuación (3.11). Las unidades del parámetro de
almacenamiento dependen del caso tratado en particular. Finalmente, el parámetro de
almacenamiento no tiene influencia en la forma de la curva de la función (3.12), más bien
tiene influencia en la posición de la curva respecto al eje vertical. La ilustración (3.4) es
una representación gráfica de la mencionada posible función (3.12) para distintos
parámetros de almacenamiento.
Como se verá más adelante, el parámetro físico del embalse y vertedero, y el
parámetro de almacenamiento se presentan siempre en todos los casos de la ecuación
principal.
Casi nada se puede adelantar sobre el dominio, rango, intersecciones, simetrías,
asíntotas, máximos y mínimos, puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión, función
inversa, raíces, etcétera de la función (3.12) a menos que se haga un examen pertinente de
cada caso en particular. Esencialmente se puede anticipar que, el dominio de la función
(3.12) debe estar restringido a valores de cero o mayores, puesto que caudales negativos
físicamente no están definidos en el sistema embalse-vertedero:
01 ≥+nO
3.4 Ecuación Principal para Vertederos Estándar
Integrando la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo
nn ttt −=∆ +1 según la ilustración 3.1:
∫ ∫ ∫+ + +
−=1 1 1
)()(n
n
n
n
n
n
V
V
t
t
t
t
dttOdttIdV (3.13)
Los subíndices n y n+1 designan valores al inicio y al final del intervalo de tiempo
respectivamente. Los caudales de entrada al inicio y al final del intervalo de tiempo están
69
dados por In e In+1 respectivamente, y los respectivos caudales de salida están dados por On
y On+1. Si el comportamiento de los caudales de entrada y de salida es aproximadamente
lineal durante el intervalo de tiempo, entonces la ecuación (3.13) puede transformarse en:
tOO
tII
VV nnnnnn ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (3.14)
Los caudales de entrada In e In+1 se conocen como información de entrada. Los
valores de On y Vn se conocen gracias a los cálculos del intervalo de tiempo anterior. Por lo
tanto, la ecuación (3.14) contiene dos incógnitas que son On+1 y Vn+1.
Con el fin de lograr que la ecuación (3.14) contenga una sola incógnita, On+1, se
usarán las fórmulas de almacenamiento del embalse y de caudal del vertedero estándar
como sigue a continuación.
La fórmula de almacenamiento para un embalse con espejo (superficie) de agua
constante a partir de la cresta del vertedero es:
AHV = (3.15)
Aquí A es el espejo de agua del embalse, y H la elevación de la superficie de agua por
encima de la cresta del vertedero.
La fórmula de caudal correspondiente a un vertedero estándar es:
2/32 HgbCQ d= (3.16)
Aquí Cd es el coeficiente de caudal, b la longitud efectiva de la cresta, y H la carga total en
la cresta.
Despejando H de la ecuación (3.16) y cambiando Q por O, se tiene:
70
3/2
2
=
gbCO
Hd
(3.17)
Substituyendo (3.17) en (3.15):
3/2
2
=
gbCO
AVd
(3.18)
Combinando adecuadamente las ecuaciones (3.14) y (3.18):
tOO
tII
gbC
OA
gbC
OA nnnn
d
n
d
n ∆+
−∆+
=
−
+++
222211
3/23/2
1 (3.19)
Trasladando todos los términos a la izquierda:
02222
11
3/23/2
1 =∆+
+∆+
−
−
+++ t
OOt
II
gbC
OA
gbC
OA nnnn
d
n
d
n
Multiplicando por t∆/2 y ordenando:
0)2(
2)2(
21
3/2
3/23/213/21 =−−
∆−+
∆+ +++ nnn
dnn
dn IIO
gbCtA
OOgbCt
AO (3.20)
Definiendo los parámetros E y F como sigue:
3/2)2(2
gbCtA
Ed∆
= (3.21)
nnnn IIEOOF −−−= +13/2 (3.22)
Usando las ecuaciones (3.21) y (3.22) en la (3.20):
71
03/211 =++ ++ FEOO nn (3.23)
Esta es la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de
agua constante. La solución de ésta ecuación es el caudal de salida al final del intervalo de
tiempo On+1 conocidos el caudal de entrada al inicio del intervalo In, el caudal de entrada al
final del intervalo In+1, el caudal de salida al inicio del intervalo On, la duración del
intervalo ∆t, además de las características del embalse y vertedero.
3.4.1 Análisis de la Ecuación Principal
Antes de abordar la resolución de la ecuación (3.23) es importante la comprensión
de toda la expresión del miembro izquierdo desde un enfoque matemático.
Expresando el miembro izquierdo (sin subíndices) de la ecuación (3.23) como
función:
FEOOOf ++= 3/2)( (3.24)
La función (3.24) es una función algebraica explícita. Las funciones algebraicas
explícitas son una clase importante de funciones que incluyen las funciones tipo polinomio
y racionales, como casos especiales, y son generadas por un número finito de operaciones
algebraicas.
Como esta función fue derivada de una forma de la ecuación de continuidad (3.20),
físicamente representa el estado del balance en el sistema para un caudal de salida O al final
del intervalo de tiempo. De esta manera, la función (3.24) es cero cuando el caudal de
salida O al final del intervalo es el adecuado para satisfacer la ecuación de continuidad. La
curva mostrada en la ilustración 3.5 es una representación gráfica de la función (3.24).
72
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
Ilustración 3. 5. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua constante.
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
E para A
E para 2A
E para 3A
Ilustración 3. 6. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de E.
73
3.4.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero E
La expresión para E involucra las características del embalse y del vertedero
estándar, además del intervalo de tiempo del hidrograma de entrada. Por consiguiente, E
puede llamarse parámetro físico del embalse y vertedero.
A causa de lo que representa, E tiene influencia en la forma de la gráfica de la
función (3.24) como se ve en las curvas para distintas superficies de agua mostradas en la
ilustración 3.6. Es necesario mencionar que si bien t∆ no representa a una característica
física del sistema, éste representa a una característica intangible del sistema capaz de influir
en la respuesta del mismo.
Como se puede deducir de la ecuación (3.21), las unidades de E están dadas en 3/13 / sm . En la ecuación (3.21) puede verse también que E exclusivamente puede tomar
valores positivos, porque los valores correspondientes a las características del embalse y del
vertedero, y los valores del tiempo son siempre positivos.
3.4.3 Parámetro de Almacenamiento F
La expresión (3.22) para F contiene el caudal de entrada al inicio In y al final del
intervalo de tiempo In+1, y el caudal de salida al inicio del intervalo de tiempo On, o sea
contiene toda la información conocida de caudal. Como toda ésta información está
relacionada con el almacenamiento en el embalse, F puede llamarse parámetro de
almacenamiento. La curva de F durante el tránsito de la avenida corresponde a una curva
típica de almacenamiento, como puede verse en la ilustración 3.7.
La ecuación (3.20), una forma de la ecuación de continuidad, requiere que F
sumada a los términos dependientes de On+1 sea cero. Por esta razón, F puede llamarse
también parámetro de balance.
74
( ) 0)2(
21
3/23/213/21 =−−−+
∆+ +++ nnnnn
dn IIEOOO
gbCtA
O (3.20)
Como F depende del flujo que pasa por el embalse y el vertedero, F no tiene
influencia en la forma de la gráfica de la función (3.24), tan sólo tiene efecto en su
ubicación respecto al eje vertical. La ilustración 3.8 muestra la gráfica de la función (3.24)
para algunos valores de F.
De acuerdo a su expresión (3.22), las unidades de F están dadas en sm /3 .
Finalmente, puesto que los valores del caudal de salida On+1 son siempre positivos, la
ecuación (3.20) requiere que la expresión de F tome siempre valores negativos o cero.
F (m3/s)
Tiempo (s)
Ilustración 3. 7. Curva del parámetro de almacenamiento F durante la avenida.
La ilustración 3.5 servirá de guía para el análisis desarrollado a continuación.
Es muy útil conocer el dominio y el rango de una función, porque este conocimiento
nos dice acerca de aquellas regiones del plano en las cuales el gráfico está confinado y de
las que está excluido.
75
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
2F
3F
Ilustración 3. 8. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de F.
3.4.4 Dominio
El dominio de la función es el conjunto de todos los números O0 tales que la recta
vertical 0OO = intercepta la gráfica. Para determinar el dominio de la función f debe
hallarse todos los O para los cuales la expresión tiene significado.
En la función (3.24) el término 3/2EO no está definido para valores de O menores a
0. Por consiguiente, el dominio de la función f es:
0≥O
Evidentemente, O no debe ser negativo porque la elevación del espejo de agua H
sobre la cresta del vertedero es por definición positiva, en consecuencia el caudal resultante
de la formula (3.16) es también positivo.
76
Es necesario notar que, la función (3.24) esta definida y es continua para todos los
valores O de su dominio.
3.4.5 Rango
El rango de la función es el conjunto de todos los f0 tales que la recta horizontal
0ff = intercepta la gráfica. Para determinar el rango de la función f debe despejarse O y
hallarse los valores de f para los cuales la expresión resultante tiene significado. Si bien el
despeje de O en la ecuación (3.24) es posible, como se verá más adelante, éste conlleva a
complicadas expresiones algebraicas y a cálculos en el campo de los números complejos,
por lo que es conveniente aquí la técnica de cálculo alternativa de a continuación:
Primero se calcula la derivada de f:
3/1
321)( −+=′ EOOf (3.25)
Tomando en cuenta que E no puede ser negativa, la derivada en el interior del
dominio es positiva por lo que la función f es creciente. Luego, Ff =)0( y
+∞=+∞→
)(OflimO
. Por lo tanto, el rango de la función está dado por:
+∞<≤ )(OfF
Ciertamente, el rango debe tener un límite inferior, puesto que el estado de balance
al que representa la función f no puede ser de un carácter infinitamente negativo.
3.4.6 Intersecciones
Es útil saber el lugar donde la gráfica corta a los ejes O y f. Un punto en que la
gráfica cruza al eje O se llama intersección con O; un punto donde cruza al eje f se llama
intersección con f. Para hallar la intersección con O se hace 0)( =Of . Para hallar la
intersección con f se hace 0=O .
77
La intersección con f ocurre en F puesto que Ff =)0( . La intersección con O sólo
sucede cuando 0≤F . Como la intersección con O corresponde al valor para el cual
0)( =Of este valor de O se llama cero de la función.
La intersección con f nos dice que, a causa de la falta de un caudal de salida al final
del intervalo de tiempo, se tiene un estado de balance imperfecto F. La intersección con O
nos da el caudal de salida al final del intervalo para un estado de balance perfecto, como lo
exige la ecuación de continuidad.
3.4.7 Simetrías
La gráfica será simétrica respecto al eje O, si y solo si los puntos ),( fO y ),( fO −
pertenecen a la gráfica. La gráfica será simétrica respecto al eje f, si y solo si los puntos
),( fO y ),( fO− pertenecen a la gráfica. La gráfica será simétrica respecto al origen, si y
solo si los puntos ),( fO y ),( fO −− pertenecen a la gráfica. Debe tenerse en cuenta que
una curva puede ser simétrica respecto al origen sin serlo respecto a los ejes.
Puesto que f es una función, se descarta la simetría respecto al eje O. Puesto que el
dominio de la función no permite valores negativos, también se descarta la simetría
respecto al eje f. En consecuencia, la simetría respecto al origen también queda descartada.
Por ejemplo, si la función (3.24) fuese simétrica con respecto al eje O implicaría un
doble estado de balance para un caudal de salida al final del intervalo, situación físicamente
incompatible.
3.4.8 Asíntotas
Una asíntota es una línea recta a la cual se acerca, pero no logra alcanzarla, el ramal
infinito de una curva y que puede considerarse como tangente a la curva en el infinito. Para
hallar asíntotas verticales debe buscarse valores de O que hagan cero el denominador de
algún cociente en la función (3.24). Para hallar asíntotas horizontales debe despejarse O y
78
buscarse valores de f que hagan cero el denominador de algún cociente en la expresión
resultante.
Como no existen cocientes en la función f no se tienen asíntotas verticales. Si bien
no es práctico aquí despejar O se puede afirmar que no se tienen asíntotas horizontales
porque la función es creciente hacia el infinito. Más adelante, cuando se tenga a O
despejado se confirmará esta aseveración.
3.4.9 Máximos y Mínimos
Por definición, una función como f tiene un máximo relativo en Oo si existe un
intervalo que contiene a O0 como punto interior, tal que )( oOf es el máximo de f en este
intervalo. Análogamente, f tiene un mínimo relativo en O1 si existe un intervalo con O1
como punto interior tal que )( 1Of es el mínimo de f en este intervalo.
Si la función f se restringe a un intervalo cualquiera no existirán máximos ni
mínimos relativos de acuerdo a la definición, porque éstos no ocurren en el interior del
intervalo, sino en los extremos. De este modo, se tiene un mínimo absoluto para 0=O en
Ff =)0( . El máximo absoluto no está definido para la función f.
3.4.10 Puntos Críticos
Por definición, un valor crítico de una función como f es un valor de O donde
0)( =′ Of . Un punto crítico de la función f es el punto ( ))(, OfO de la gráfica
correspondiente al valor crítico O. Generalmente se presenta un punto crítico en cualquier
punto de máximo o mínimo relativo de una función que puede derivase en ese punto.
Ya que en la función f no existe máximos ni mínimos relativos, tampoco existe
puntos críticos.
79
3.4.11 Concavidad
Por definición, si en cada punto de un intervalo la gráfica de la función está siempre
por encima de la tangente a la curva en ese punto, se dice que la curva es cóncava hacia
arriba en el intervalo. Si la curva está siempre por debajo de la recta tangente, se dice que
la curva es cóncava hacia abajo. Para verificar la concavidad hacia arriba debe probarse
0)( >′′ Of en el interior del dominio. Para verificar la concavidad hacia abajo debe
probarse 0)( <′′ Of en el interior del dominio.
La segunda derivada de la función (3.24):
3/4
92)( −−=′′ EOOf (3.26)
Puesto que para cualquier O del interior del dominio de (3.24) )(Of ′′ es negativa,
la curva de la función f es cóncava hacia abajo.
3.4.12 Puntos de Inflexión
Por definición, un punto de la curva es un punto de inflexión si 0)( =′′ oOf en este
punto y si la gráfica es cóncava hacia arriba a un lado y cóncava hacia abajo al otro lado.
Como la curva de la función f es sólo cóncava hacia abajo no se tienen puntos de
inflexión.
3.4.13 Función Inversa
Por teorema, una función creciente como f con dominio J y rango K tiene una
función inversa, creciente, con dominio K y rango J.
80
Como la función (3.24) es creciente, entonces )(Of tiene una función inversa,
creciente )( fO con dominio +∞<≤ fF y rango +∞<≤ )(0 fO . Para expresar la
función inversa es necesario despejar O de la ecuación (3.24), lo que se verá más adelante.
La función inversa representa el caudal de salida O al final del intervalo de tiempo
perteneciente a un estado de balance en el sistema dado por f. De esta manera, cuando el
estado de balance dado es cero, el valor resultante de la función inversa es el caudal de
salida O al final del intervalo de tiempo apto para el cumplimiento de la ecuación de
continuidad.
La ilustración (3.9) muestra la gráfica de la función inversa O la cual puede ser
generada mediante la resolución numérica de O en la función (3.24) para valores dados de
f.
O(f) (m3/s)
f (m3/s)
F 0
Ilustración 3. 9. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal
para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
81
3.4.14 Raíces
Encontrar las raíces de una ecuación como la (3.23) es equivalente a encontrar los
valores de O para los cuales )(Of es cero. Por esta razón las raíces de las ecuaciones
muchas veces son llamadas ceros de la ecuación.
Existe teoría sobre las raíces de las ecuaciones tipo polinomio, pero no existe tal
sobre las raíces de ecuaciones tipo función algebraica explícita como la función (3.24). En
consecuencia es obligatorio un análisis particular de la función (3.24).
Si F es menor o igual a cero, entonces la curva de la función (3.24) cruzará el eje O
dada la naturaleza creciente de ésta función. Una vez que la curva cruza el eje O no lo
cruza más debido a que la función (3.24) es creciente. En conclusión, la ecuación (3.23)
tiene una única raíz real para 0≤F . Como corolario, la ecuación (3.23) no tiene raíces
reales para 0>F .
Se mencionó anteriormente que F es siempre negativa. Por consiguiente, la
existencia de una solución de la ecuación (3.23) está garantizada.
La ilustración 3.10 muestra la curva de la función (3.24) rotulada de acuerdo a todo
el análisis anterior.
82
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O)< +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz)O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)f=F
Cóncava hacia abajo
ContinuaCreciente
Ilustración 3. 10. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un
embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
3.4.15 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal
Curva Característica
Una alternativa para la resolución de la ecuación principal (3.23) es mediante una
curva muy interesante, llamada curva característica del sistema embalse-vertedero,
desarrollada a continuación.
La curva característica es la gráfica del caudal de salida al final del intervalo de
tiempo O frente a la función (3.24) pero recortada de F:
3/2)( EOOOf += (3.27)
83
La curva característica se muestra en la ilustración 3.11. No es complicado advertir
que la función 3.27 retorna el valor de F con signo cambiado cuando el caudal de salida al
final del intervalo de tiempo es la raíz de la ecuación (3.23), o sea cuando el caudal de
salida satisface la ecuación de continuidad del sistema embalse-vertedero.
La facultad más sobresaliente de la curva característica radica en que basta trazarla
una sola vez para luego hallar cualquier caudal de salida al final del intervalo dado su
respectivo F. Esto es posible porque en un sistema embalse-vertedero ya establecido el
parámetro E normalmente permanece constante mientras que el parámetro F permanece
variable durante el paso de la tormenta o avenida. Consiguientemente, es conveniente
señalar que, existe una sola curva característica para el sistema embalse-vertedero.
Finalmente y como ejemplo, para valores de 3/13 /m 67.7 sE = y /sm -609.0 3=F ,
se tiene un caudal de salida al final del intervalo de tiempo de 25.3=O m3/s obtenido
aproximadamente mediante la curva característica correspondiente mostrada en la
ilustración 3.11.
Ecuación Alternativa
Otra alternativa para la resolución de la ecuación (3.23) se origina en la curva
característica del sistema embalse-vertedero y consiste en articular una sencilla ecuación
para representar aproximadamente la versión tipo log-log de la curva característica. Es
importante advertir que, pese a que la función (3.27) puede representarse muy
aceptablemente con una línea recta en una gráfica tipo log-log, ésta no puede convertirse
matemáticamente a formas u expresiones logarítmicas, lo cual significa que la función
(3.27) no siempre puede mostrarse como una recta en una gráfica log-log. La versión log-
log de la curva característica se muestra en la ilustración 3.12.
84
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60 70
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
(25.3, 609.0)
Ilustración 3. 11. Curva característica para un embalse con vertedero estándar y
espejo de agua constante.
1
10
100
1000
10000
1 10 100
(24.7, 609.0)
y (m3/s)
x (m3/s)
(x1, y1)
(x2, y2)
Ilustración 3. 12. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante.
85
Para ensamblar la ecuación que representa la recta mostrada en la ilustración 3.12
puede usarse un par de puntos de la misma en la forma dos puntos de la ecuación de una
recta:
O 3/2)( EOOOf +=
20.0
519.0
32.0 714.6
Según la forma dos puntos de la ecuación de una recta:
)0.20(0.200.32
0.5196.7140.519 −
−−
=− xy
8.1106.0 −= yx (3.28)
La ecuación (3.28) se denomina ecuación alternativa del sistema embalse-vertedero
y al igual que la curva característica basta ensamblarla una sola vez para resolver cualquier
caudal de salida al final del intervalo de tiempo O. Sin embargo nótese que, para mayor
aproximación debe elegirse un par de puntos que cubran el rango de caudales abordados en
el problema.
Continuando con el ejemplo, para /sm -609.0 3=F se tiene primeramente
0.609=y m3/s , luego de la ecuación (3.28) se tiene 7.24== xO m3/s como se muestra
en la ilustración 3.12. Finalmente, decir que, como se verá más adelante el resultado
anterior es indudablemente aproximado.
3.4.16 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal
Para resolver algebraicamente la ecuación principal (3.23), primeramente debe
emplearse un cambio de variable que transforme la misma en una ecuación cúbica, para
86
luego poder aplicar el método de Cardano orientado a ecuaciones cúbicas. El método de
Cardano está desarrollado en el Apéndice C.
Aplicando un cambio de variable:
OV =3 (3.29)
Expresando la ecuación (3.23) de acuerdo al anterior cambio de variable:
023 =++ FEVV (3.30)
Aplicando las fórmulas de Cardano a la ecuación cúbica (3.30), se tiene:
3223
32742
3
32742
EpqqpqqV −
+−−+
++−= (3.31)
En la ecuación (3.31) las variables p y q están dadas por:
3
2Ep −= (3.32)
FE
q +=27
2 3
(3.33)
En el ejemplo a continuación, se evitará la colocación de las unidades junto a las
cantidades por conveniencia de notación. Entonces, para valores dados de 72.67=E y
00.609−=F , según las ecuaciones (3.32) y (3.33) se tiene 1528.67−=p y 22395.73=q .
Posteriormente, aplicando la ecuación (3.31), se tiene:
57.222
727652748.2-73.223952
727652748.2-73.2239533 −
−−+
+−=V
87
Ciertamente, la anterior expresión de V requiere manipulaciones en el campo de los
números complejos. De este modo, se tiene:
57.2229.262987.1119729.262987.11197 33 −−−++−= iiV
Evaluando las raíces cúbicas, se tiene:
93.257.22)62.1875.12()62.1875.12( =−−++= iiV
Finalmente, deshaciendo el cambio de variable mediante la ecuación (3.29), se
tiene:
sO /m 15.25 3=
El caudal de salida al final del intervalo de tiempo apropiado para la ecuación de
continuidad, según el resultado anterior es, 25.15 m3/s. La gráfica de éste ejemplo se
muestra en la ilustración 3.13. Pese a que las fórmulas de Cardano pueden abarcar
manipulaciones en el campo de los números complejos, se puede aseverar que son la mejor
opción para resolver la incógnita de la ecuación principal (3.23).
Es importante advertir que el resultado anterior goza de un error de redondeo puesto que se
las cifras se redondearon a dos decimales durante todo el cálculo mostrado. Este error de
redondeo puede reducirse a su mínima expresión realizando todo el cálculo con el mayor
número de cifras decimales posibles.
Por último, es necesario mencionar aquí, que la función inversa de la función (3.24)
puede ensamblarse fácilmente usando las ecuaciones (3.29), (3.31), (3.32) y (3.33) pero
reemplazando F por QF − . Y finalmente, como en la expresión (3.31) no existe ningún
denominador que pueda hacerse cero, se puede confirmar que no existen asíntotas
horizontales para la función (3.24).
88
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F=-609.00
E=67.72
Ilustración 3. 13. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de E y F dados.
3.4.17 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
Dado que la resolución de la ecuación (3.23) por métodos algebraicos involucra
cierta dificultad, la aplicación de los métodos numéricos es una buena opción.
En esta parte se aplicará el método de Newton-Raphson, elegido por la sencillez de
su algoritmo y por su rápida convergencia. En verdad, cualquier otro método es aplicable
para la resolución de la ecuación (3.23) ya que la misma como se mostró posee una única
raíz real. En el Apéndice B se presenta un resumen teórico de métodos numéricos para la
resolución de ecuaciones, incluyendo el de Newton-Raphson.
La fórmula del método Newton-Raphson aplicada a la función (3.24):
3/132
3/2
)(
)()1()()1(
1)()(
−++
+++
−=′
−==−EO
FEOOOfOf
OOn
nnnn δ (3.34)
89
En la ecuación (3.34) n y n+1 denotan la anterior y actual iteración,
respectivamente. El símbolo δ (delta) representa la magnitud del cambio de la raíz.
Es necesario iniciar la iteración con un valor estimado de O, y con un valor de error
ε (épsilon) exigido. Una regla conocida consiste en asignar a ε un décimo del error
permitido en la raíz. Finalmente, la iteración deberá continuar hasta que el cambio de la
raíz sea menor que el valor predeterminado del error. O sea εδ < .
Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.23) para 3/13 /m 67.72 sE = y
/sm -609.00 3=F . La gráfica correspondiente se muestra en la ilustración 3.13. Para
iniciar la iteración con un valor estimado puede usarse la gráfica y elegirse por ejemplo
sO /m 00.24 3= . Luego puede exigirse un error permisible s/m 001.0 3=ε . Con esta
información y la ecuación (3.34) puede lograrse el cuadro:
Tabla 3. 1. Resolución numérica de la ecuación principal.
O δ |δ|<ε(m3/s) (m3/s)
24.000 1.294 No25.294 0.011 No25.305 0.000 Si
De acuerdo al anterior cuadro, la raíz de la ecuación (3.23) ocurre en
25.31=O m3/s. Debe notarse que, éste resultado es más aproximado respecto al anterior
ejemplo, puesto que se emplearon tres decimales durante la iteración.
90
3.4.18 Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de superficie constante está regulado por un vertedero
estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La avenida
que se muestra en el cuadro siguiente ocurre sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s.
Calcúlese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
Tabla 3. 2. Hidrograma de entrada de la aplicación.
t I t I(h) (m3/s) (h) (m3/s)
0.00 25.00 21.00 75.003.00 30.00 24.00 71.006.00 40.00 27.00 65.009.00 52.50 30.00 57.50
12.00 65.80 36.00 42.5015.00 73.80 42.00 30.0018.00 76.30 48.00 25.00
Solución
Con el método directo basta generar una tabla como la tabla 3.3 para encontrar el
hidrograma de salida según se explica a continuación. Las columnas 1 y 3 de la tabla 3.3
contienen toda la información conocida. La columna 2 puede calcularse fácilmente a partir
de la columna 1. El parámetro físico del embalse y vertedero se calcula en la columna 4
mediante la ecuación (3.21). Nótese en la tabla que E se mantiene constante mientras el
intervalo de tiempo no cambia. El parámetro de almacenamiento se calcula en la columna
5 mediante la ecuación (3.22). Nótese que F se mantiene variable durante toda la tabla. El
caudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula para cada paso en la columna 6
mediante la resolución algebraica de la ecuación (3.23) explicada en las ecuaciones (3.29) a
(3.33). Nótese que el mencionado caudal también puede calcularse mediante métodos
91
numéricos como se vio anteriormente. La ilustración 3.14 muestra las curvas de los
hidrogramas de entrada y salida de acuerdo a la tabla 3.3.
Tabla 3. 3. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar y espejo
de agua constante por el método directo (de la ecuación principal).
Columna: 1 2 3 4 5 6t ∆t I E F O
(h) (h) (m3/s)(m3/s1/3) (m3/s) (m3/s)
0.00 25.00 25.003.00 3.00 30.00 67.72 -609.00 25.306.00 3.00 40.00 67.72 -628.40 26.509.00 3.00 52.50 67.72 -667.90 28.98
12.00 3.00 65.80 67.72 -728.24 32.9015.00 3.00 73.80 67.72 -802.04 37.9018.00 3.00 76.30 67.72 -876.33 43.1521.00 3.00 75.00 67.72 -941.32 47.9224.00 3.00 71.00 67.72 -991.49 51.7027.00 3.00 65.00 67.72 -1024.10 54.2030.00 3.00 57.50 67.72 -1038.19 55.2936.00 6.00 42.50 33.86 -536.16 53.7742.00 6.00 30.00 33.86 -501.11 48.8248.00 6.00 25.00 33.86 -458.47 42.9854.00 6.00 25.00 33.86 -422.51 38.2360.00 6.00 25.00 33.86 -396.04 34.8466.00 6.00 25.00 33.86 -376.36 32.38
Como se vio, existe una alternativa gráfica originada en la ecuación principal para
calcular el hidrograma de salida consistente en emplear la curva característica del embalse.
La ilustración 3.15 muestra la curva característica para un intervalo de tiempo de 3 horas, y
muestra también su uso para hallar un caudal de salida de la tabla 3.3. Nótese que la curva
característica necesita ser ensamblada una sola vez para cada intervalo de tiempo.
92
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 3. 14 . Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60 70
F(O)=f(O) (m3/s)
O (m3/s)
(50.49, 1038.19)
Ilustración 3. 15. Curva caracterísitca para un embalse con vertdero estándar y
espejo de agua constante.
93
Finalmente, existe la ecuación alternativa originada en la ecuación principal para
calcular el mencionado hidrograma de salida de manera aproximada. Esta ecuación
aproximada que puede ensamblarse desde la gráfica log-log de la curva característica tiene
la siguiente forma para 3/13 /m 72.67 sE = :
8.11)(06.0 −−= FO
Entonces, para un 19.1038−=F m3/s, se tiene:
49.508.11)19.1038(06.0 =−=O
El caudal de salida al final del intervalo de tiempo es 50.49 m3/s como se puede
apreciar en la ilustración 3.16. Nótese que el caudal de salida calculado es aproximado en
comparación al hallado en la tabla 3.3 (55.29 m3/s) por resolución algebraica. Nótese
también que la ecuación alternativa necesita ensamblarse una sola vez para cada E o sea
para cada intervalo de tiempo.
10
100
1000
10000
1 10 100
y (m3/s)
x (m3/s)
(50.49, 1038.19)
Ilustración 3. 16. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua constante.
Ecuación Principal para un Embalse con Vertedero Estándar y Espejo de Agua Constante
Ecuación: 03/211 =++ ++ FEOO nn (Incógnita On+1)
Función: FEOOOf ++= 3/2)( (Independiente O) Parámetro E: 0
)2(
23/2
>∆
=gbCt
AE
d
Parámetro F: 013/2 ≤−−−= + nnnn IIEOOF
Función tipo: Algebraica explícita. Función continua: Sí Función creciente: Sí Dominio: 0≥O Rango: FOf ≥)( Intersección con O:
1+= nOO (Raíz) Intersección con f: Ff = Simetrías: Ninguna Asíntotas: Ninguna Máximo y mínimos: Mínimo absoluto en
Ff = Puntos críticos: Ninguno Concavidad: Cóncava hacia abajo Puntos de inflexión: Ninguno Función inversa: Continua y creciente Número de raíces: Una real cuando 0≤F
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O)< +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz)O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)f=F
Cóncava hacia abajo
ContinuaCreciente
Raíz: 3
313 23
2743
272
213 23
2743
272
21
1 )()(
−+−−−+++−−=+ EFFEFEFFEFEOn
95
3.5 Ecuación Principal para Vertederos Morning Glory
Al integrar la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo
nn ttt −=∆ +1 de acuerdo a la ilustración 3.1:
∫ ∫ ∫+ + +
−=1 1 1
)()(n
n
n
n
n
n
V
V
t
t
t
t
dttOdttIdV (3.35)
Los valores al inicio y al final del intervalo de tiempo están designados por n y n+1
respectivamente. Así, In y On representan a los caudales de entrada y salida al inicio del
intervalo de tiempo respectivamente, In+1 y On+1 representan a los caudales entrada y salida
al final del intervalo, respectivamente. Si la variación de los caudales durante el intervalo
de tiempo es aproximadamente lineal, entonces el cambio en el almacenamiento puede
escribirse como:
tOO
tII
VV nnnnnn ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (3.36)
En la ecuación (3.36), In e In+1 son información conocida, On y Vn también son
conocidos porque fueron calculados en el intervalo de tiempo anterior. Consiguientemente,
la ecuación (3.36) presenta dos incógnitas: On+1 y Vn+1.
Con el fin de resolver la ecuación (3.36) por On+1, se manipularán algebraicamente
las fórmulas de almacenamiento del embalse, y del caudal de salida del vertedero Morning
Glory.
La fórmula de almacenamiento para un embalse con espejo de agua constante a
partir de la cresta del vertedero es:
AHV = (3.37)
96
En la ecuación (3.37), A es la superficie (espejo) de agua del embalse, y H la
elevación de la superficie de agua a partir de la cresta del vertedero.
El caudal de salida para un vertedero Morning Glory está dado por:
2/322 HgRCQ d π= (3.38)
Donde Cd es el coeficiente de caudal relativo a R y H. El radio de la cresta circular
(pipe radius) es R, y la carga total relativa a la cresta del vertedero es H.
Aislando H de la ecuación (3.38), y usando O en vez de Q para uniformar la
notación, se tiene:
3/2
22
=
gRCO
Hd π
(3.39)
Combinando las ecuaciones (3.37) y (3.39), se tiene:
3/2
22
=
gRCO
AVd π
(3.40)
Substituyendo la ecuación (3.40) en la (3.36) con los subíndices adecuados, se tiene:
tOO
tII
gRC
OA
gRC
OA nnnn
d
n
d
n ∆+
−∆+
=
−
+++
22222211
3/23/2
1
ππ (3.41)
Trasladando todos los términos al miembro izquierdo de la ecuación (3.41):
0222222
11
3/23/2
1 =∆+
+∆+
−
−
+++ t
OOt
II
gRC
OA
gRC
OA nnnn
d
n
d
n
ππ
97
Multiplicando toda la expresión por t∆/2 y ordenando:
0)22(
2)22(
21
3/2
3/23/213/21 =−−
∆−+
∆+ +++ nnn
dnn
dn IIO
gRCtA
OOgRCt
AO
ππ (3.42)
Definiendo E de acuerdo a:
3/2)22(2
gRCtA
Ed π∆
= (3.43)
Definiendo F de acuerdo a:
nnnn IIEOOF −−−= +13/2 (3.44)
Substituyendo las ecuaciones (3.43) y (3.44) en la (3.42), se tiene:
03/211 =++ ++ FEOO nn (3.45)
La ecuación (3.45) es la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning
Glory y espejo de agua constante. La raíz o solución es el caudal de salida al final del
intervalo de tiempo On+1, cuando son conocidos los caudales de entrada y salida al inicio
del intervalo, o sea In y On, el caudal de entrada al final del intervalo, In+1, la duración del
intervalo de tiempo ∆t, además de las características del embalse y vertedero.
3.5.1 Análisis de la Ecuación Principal
Como la ecuación (3.45) es semejante a la ecuación para un embalse con vertedero
estándar (3.23) no se repetirá al detalle el análisis de la ecuación (3.45), más bien se
aprovechará aquí para complementarlo.
Excluyendo los subíndices de la ecuación (3.45) por simplicidad de notación y
expresándola como una función, se tiene:
98
FEOOOf ++= 3/2)( (3.46)
La función f es una función algebraica explícita porque puede ser generada por un
número finito de operaciones algebraicas.
La función (3.46) es descendiente de la ecuación de continuidad, de esta manera
representa el estado del balance en el sistema, dado un caudal de salida al final del intervalo
de tiempo O. Si el caudal O es el adecuado para un estado de balance perfecto, entonces la
función (3.46) es cero. La curva representante de la función f se muestra en la ilustración
3.17.
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
Ilustración 3. 17. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
99
3.5.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero E
El parámetro E puede llamarse parámetro físico del embalse y vertedero porque su
expresión (3.43) contiene las características del embalse y del vertedero Morning Glory, y
el intervalo de tiempo dado por el hidrograma de entrada. El valor de E tiene efecto en la
curva de la función (3.46), de acuerdo a la ilustración 3.18, a medida que el intervalo de
tiempo crece, la curva correspondiente es más laminada. En la ilustración 3.18 se puede
ver también que, a medida que ∆t es mayor, la curva intercepta al eje O más a la derecha,
implicando que el caudal de salida al final del intervalo, necesario para un balance perfecto,
depende del intervalo de tiempo establecido para el sistema.
Todos los componentes de E (3.43) son siempre valores positivos porque
representan parámetros de la realidad física. En consecuencia E será siempre positivo. Las
unidades de E están dadas en 3/13 / sm .
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
E para ∆t
E para 2∆t
E para 3∆t
F
0
Ilustración 3. 18. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de E.
100
3.5.3 Parámetro de Almacenamiento F
El parámetro F puede llamarse parámetro de almacenamiento porque su fórmula
(3.44) contiene todos los caudales conocidos que están relacionados con el almacenamiento
en el sistema durante el paso de la tormenta o avenida como se muestra en la ilustración
3.19. El parámetro F puede llamarse también parámetro de balance porque es parte de una
forma de la ecuación de continuidad (3.42) donde sumada a términos dependientes de On+1
deberá producir cero para un balance perfecto:
0)22(
2)22(
21
3/2
3/23/213/21 =
−−
∆−+
∆+ +++ nnn
dnn
dn IIO
gRCtA
OOgRCt
AO
ππ (3.42)
El valor de F tiene influencia sólo en la posición de la curva de la función (3.46)
con respecto al eje vertical, como se muestra en la ilustración 3.20. En la ilustración 3.20
se puede ver también que, a medida que F decrece, el caudal necesario para un estado de
balance perfecto se incrementa.
De acuerdo a la ecuación (3.42), F siempre es cero o negativa, puesto que On+1
siempre es cero o positivo. El caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1 siempre
es cero o positivo porque debe ser compatible con la ecuación (3.38) donde las
componentes son físicamente cero o positivas. Las unidades de F están dadas en sm /3 .
3.5.4 Dominio
Como la potenciación de valores reales negativos no está definida para exponentes
racionales, la función (3.46) está restringida al siguiente dominio:
0≥O
Lo que confirma que el caudal de salida al final del ∆t es siempre positivo.
La función f (3.46) está definida y es continua para todos los valores O del dominio.
101
F (m3/s)
Tiempo (s)
Ilustración 3. 19. Curva del parámetro de almacenamiento F.
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
2F
3F O1
O2>O1
O3>O2>O1
Ilustración 3. 20. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de F.
102
3.5.5 Rango
Como la primera derivada de f es siempre positiva en el interior del dominio, la
función f es creciente:
01)( 3/132 >+=′ −EOOf (3.47)
El límite inferior del rango está dado por Ff =)0( . Y como la función es
creciente, el límite superior del rango está dado por +∞=+∞→
)(OflimO
. De esta manera, el
rango de la función (3.46) se restringe a:
+∞<≤ )(OfF
Indiscutiblemente, para un caudal de salida mínimo al final del intervalo de tiempo
debe existir un estado de balance definido F, y para un caudal de salida infinitamente
positivo debe existir un estado de balance infinitamente correspondiente. En otras palabras,
es razonable que el rango contenga un límite inferior.
3.5.6 Intersecciones
Como Ff =)0( existe una intersección con f en F. Como la función (3.46) es
creciente, existe una intersección con el eje O cuando 0≤F .
La intersección con f se interpreta como el estado de balance imperfecto límite
existente para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo no existente o cero. La
intersección con O se interpreta como el caudal de salida al final del intervalo necesario
para un estado de balance perfecto.
103
3.5.7 Simetrías
No existe simetría con respecto al eje O, si existiese significaría que un caudal de
salida al final del intervalo de tiempo produce simultáneamente un doble estado de balance,
realidad física imposible. Tampoco existe simetría con respecto al eje f, si existiese
significaría que el caudal de salida al final del intervalo podría ser negativo, situación
matemáticamente y físicamente incompatible.
3.5.8 Asíntotas
No se tienen asíntotas verticales porque el caudal de salida al final del intervalo de
tiempo puede crecer infinitamente sin restricción. Del mismo modo, no se tienen asíntotas
horizontales porque la función f puede crecer infinitamente sin restricción.
3.5.9 Máximos y Mínimos
La función (3.46) no tiene máximos ni mínimos relativos en intervalos interiores del
dominio. Sin embargo, la función (3.46) tiene un mínimo absoluto en Ff =)0( .
Si la función (3.46) no tuviese un mínimo absoluto, entonces implicaría que el
estado de balance del sistema no estaría definido para un caudal de salida al final del
intervalo de cero. Situación físicamente incompatible.
3.5.10 Puntos Críticos
Los puntos críticos solo existen junto a máximos o mínimos relativos en intervalos
interiores del dominio. Como la función f no tiene máximos ni mínimos relativos, tampoco
tiene puntos críticos. Además, como la función (3.46) es eternamente creciente no permite
la existencia de puntos críticos.
104
3.5.11 Concavidad
Como la segunda derivada de la función f es siempre negativa en el interior del
dominio, la curva correspondiente es cóncava hacia abajo:
0)( 3/492 <−=′′ −EOOf (3.48)
Generalmente, se comprueba la concavidad con el fin de obtener más información
sobre la gráfica.
3.5.12 Puntos de Inflexión
Cuando la gráfica cambia de cóncava hacia abajo hacia cóncava hacia arriba o
viceversa, se tiene un punto de inflexión. Como la función (3.46) sólo es cóncava hacia
abajo, no se tienen puntos de inflexión.
Al igual que en la concavidad, generalmente se buscan los puntos de inflexión para
lograr más información sobre la gráfica.
3.5.13 Función Inversa
Por teorema, cuando una función como f es creciente, entonces tiene una función
inversa creciente )( fO cuyo dominio está dado por +∞<≤ fF y cuyo rango está dado
por +∞<≤ )(0 fO .
105
Físicamente, la función inversa O retorna el caudal de salida al final del intervalo de
tiempo para un estado de balance f dado. De esta manera, para un estado de balance dado
0=f la función O retornará el caudal de salida al final del intervalo adecuado para la
satisfacción de la ecuación de continuidad, o sea 1)0( += nOO .
La curva de la función inversa O puede ser trazada resolviendo la ecuación (3.46)
por O para valores de f dados. La ilustración 3.21 muestra la función inversa O.
Para expresar la función inversa de f debe resolverse algebraicamente la ecuación
(3.46) por O. La resolución algebraica de (3.46) se detalla más adelante.
O(f) (m3/s)
f (m3/s)
F 0
On+1
Ilustración 3. 21. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal
para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
106
3.5.14 Raíces
Como no existe una guía sobre las raíces de las ecuaciones algebraicas explícitas, es
necesario una inspección particular tanto a la ecuación (3.45) como a la función
correspondiente (3.46).
Como se dijo al principio, F siempre es menor o igual a cero, implicando el cruce
del eje O por la curva de la función (3.46) dado que ésta es creciente, e implicando al
mismo tiempo que una vez cruzado el eje O, no se lo vuelve a pasar más porque el rango de
f tiende al infinito positivo. Concluyendo, la ecuación (3.45) tiene una raíz real cuando
0≤F y ninguna si 0>F .
La ilustración 3.22 es una representación de la curva de la función de la ecuación
principal (3.46) etiquetada de acuerdo a los resultados de todo el análisis anterior.
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O) < +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz)O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)f=F
Cóncava hacia abajo
Continua y Creciente
Ilustración 3. 22. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un
embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
107
3.5.15 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal
Curva Característica
Puede resolverse la ecuación principal (3.45) usando una curva muy interesante,
denominada curva característica del sistema embalse-vertedero.
La curva característica es una gráfica del caudal de salida al final del intervalo de
tiempo O frente a la siguiente función derivada de (3.46):
3/2)( EOOOf += (3.49)
Es fácil darse cuenta que la función (3.49) retorna F− si el caudal de salida al final
del intervalo de tiempo es la solución de la ecuación principal, o sea cuando se satisface la
ecuación de continuidad del sistema. La curva característica está mostrada en la ilustración
3.23.
La curva característica es única para el sistema embalse-vertedero, por lo tanto una
vez trazada puede hallarse cualquier caudal de salida al final del intervalo para su
respectivo F. Esto es posible porque en un sistema establecido el parámetro E permanece
constante y el parámetro F permanece variable durante la avenida.
Por ejemplo, para 3/13 /m 4.16 sE = y /sm -511.1 3=F se tiene un 117.4=O m3/s
logrado como se muestra en la curva característica de la ilustración 3.23.
108
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
(117.4, 511.1)
Ilustración 3. 23. Curva característica para un embalse con vertedero Morning Glory
y espejo de agua constante.
Ecuación Alternativa
Al igual que para un embalse con vertedero estándar, la versión log-log de la curva
aparece en ésta parte y se muestra en la ilustración 3.24.
Para establecer la ecuación que representa la línea recta trazada en la ilustración
3.24 debe escogerse dos puntos de la misma y luego aplicarlos a la forma dos puntos de la
ecuación de una recta:
O 3/2)( EOOOf +=
126.0
538.6
150.0
613.5
Según la forma dos puntos de la ecuación de una recta:
109
)0.126(0.1260.1506.5385.613
6.538 −−−
=− xy
7.4732.0 −= yx (3.50)
La ecuación (3.50) que es la ecuación alternativa del sistema embalse-vertedero
sirve para encontrar cualquier caudal de salida al final del intervalo de tiempo O. Siempre
debe tenerse en cuenta que, para lograr mayor aproximación debe escogerse un par de
puntos que cubran el rango de caudales tratados en el problema en cuestión.
Siguiendo el mismo ejemplo, para /sm -511.1 3=F se tiene 1.511=y m3/s , y de la
ecuación alternativa (3.50) se tiene 9.115== xO m3/s como se puede ver en la ilustración
3.24. Es necesario subrayar que, el resultado logrado es aproximado.
1
10
100
1000
1 10 100 1000
y (m3/s)
x (m3/s)
(x1, y1)(115.9, 511.1)
(x2, y2)
Ilustración 3. 24. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero
Morning Glory y espejo de agua constante.
110
3.5.16 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal
Como se vio en el caso correspondiente al vertedero estándar, la ecuación (3.45)
puede resolverse mediante un cambio de variable más la aplicación del método de Cardano
(Apéndice C).
Cambio de variable:
OV =3 (3.51)
La ecuación (3.45) de acuerdo al cambio de variable:
023 =++ FEVV (3.52)
Las fórmulas de Cardano aplicadas a la ecuación (3.52):
3223
32742
3
32742
EpqqpqqV −
+−−+
++−= (3.53)
Las variables p y q están dadas por:
3
2Ep −= (3.54)
FE
q +=27
2 3
(3.55)
En el ejemplo a continuación no se colocarán las unidades junto a las cantidades por
conveniencia de notación. Para valores de 42.16=E y 11.511−=F , -89.87=p y
-183.18=q . Luego, según la ecuación (3.53):
111
47.52
73977.76-18.1832
73977.76-18.18333 −
−+
+=V
Luego:
47.599.13559.9199.13559.91 33 −−++= iiV
Evaluando:
89.447.5)75.118.5()75.118.5( =−−++= iiV
Y, según la ecuación (3.51):
sO /m 93.116 3=
El caudal de salida al final del intervalo de tiempo es 116.93 m3/s. La curva se
muestra en la ilustración 3.25. Es necesario volver a mencionar que, el resultado anterior
tiene un error de redondeo puesto que durante todo el cálculo expuesto se usaron dos
decimales.
Finalmente, la función inversa de (3.46) puede ensamblarse usando las ecuaciones
(3.51), (3.53), (3.54) y (3.55) pero cambiando F por QF − .
3.5.17 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
Otra vía recomendable para la resolución de la ecuación principal para un embalse
con vertedero Morning Glory (3.45) es el método numérico de Newton-Raphson, que fue
empleado también en la resolución de la ecuación principal para un embalse con vertedero
estándar (3.23).
112
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F=-511.11
E=16.42
Ilustración 3. 25. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de E y F.
La formula de iteración de Newton-Raphson aplicada a la función (3.46):
3/132
3/2
)(
)()1()()1(
1)()(
−++
+++
−=′
−==−EO
FEOOOfOf
OOn
nnnn δ (3.56)
Aquí, n y n+1 designan a la anterior y actual iteración, respectivamente. El símbolo δ
(delta) es la magnitud del cambio de la raíz entre iteraciones.
Para iniciar la iteración de la resolución, debe especificarse un estimado inicial de O
así como un error ε (épsilon) admisible. Se sugiere que el error ε sea un décimo del error
permitido en la raíz. Posteriormente, la iteración debe durar hasta que εδ < .
Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.45) para 3/13 /m 42.16 sE = y
sF /m 11.511 3−= . Para iniciar la iteración puede elegirse un sO /m .00115 3= , como
se ve en la ilustración 3.25, además puede admitirse un error s/m 001.0 3=ε . Luego, se
continúa con la fórmula (3.56) como se muestra en el siguiente cuadro:
113
Tabla 3. 4 . Resolución numérica de la ecuación principal.
O δ |δ|<ε(m3/s) (m3/s)
115.000 2.401 No117.401 0.006 No117.407 0.000 Si
Entonces, la solución o la raíz de la ecuación (3.45) está dada por
sO /m 41.117 3= . Nótese que la solución fue alcanzada prontamente gracias a un buen
estimado inicial y gracias a la naturaleza del método Newton-Raphson. Nótese también
que el método Newton-Raphson no requiere manipulaciones de números complejos.
Finalmente, nótese que éste resultado es más aproximado que el obtenido en el anterior
ejemplo, puesto que se emplearon tres decimales.
3.5.18 Aplicación
Un embalse de 200 hectáreas de superficie constante está regulado por un vertedero
Morning Glory cuyo radio circular de excedencia (pipe radius) es de 2.25 m, radio de
chimenea (shaft radius) es de 1.25 m, y un coeficiente de descarga Cd de 0.385. La
tormenta o avenida que se muestra a continuación ocurre sobre un caudal base estabilizado
en 25 m3/s. Calcúlese el hidrograma de salida después del paso por el embalse. Supóngase
que el vertedero Morning Glory está situado en el embalse de tal manera que, su altura
estructural es la más óptima y el flujo en las proximidades del mismo se mantiene
aproximadamente libre de circulación o sea no se tiene asímetría de flujo en las cercanías
del vertedero.
114
Tabla 3. 5. Hidrograma de entrada de la aplicación.
t I t I(h) (m3/s) (h) (m3/s)
0.00 25.00 21.00 75.003.00 30.00 24.00 71.006.00 40.00 27.00 65.009.00 52.50 30.00 57.50
12.00 65.80 36.00 42.5015.00 73.80 42.00 30.0018.00 76.30 48.00 25.00
Como la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory es la
misma en su forma algebraica que la correspondiente a un embalse con vertedero estándar,
el procedimiento de cálculo también es el mismo. La tabla 3.6 es la tabla de cálculo del
problema en cuestión. El hidrograma de la avenida se muestra en las columnas 1 y 3 de la
tabla. El parámetro físico del embalse y vertedero E es calculado a lo largo de la columna 4
según la ecuación (3.43). Nótese que éste cambia junto al intervalo de tiempo. El
parámetro de almacenamiento F es calculado en la columna 5 de la tabla según la ecuación
(3.44). Nótese que F cambia durante toda la tormenta. Con ésta información puede
calcularse mediante métodos numéricos o algebraicamente el caudal de salida al final del
intervalo de tiempo On+1 a partir de la ecuación (3.45) como se muestra en la columna 6 de
la tabla 3.6. Con todo esto se tienen los hidrogramas de entrada y salida mostrados en la
ilustración 3.26.
Al igual que el caso para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua
constante, la curva característica y la ecuación alternativa son aplicables como métodos
aproximados de solución.
115
Tabla 3. 6. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero Morning Glory y
espejo de agua constante por el método directo (de la ecuación principal).
Columna: 1 2 3 4 5 6t ∆t I E F O
(h) (h) (m3/s) (m3/s1/3) (m3/s) (m3/s)
0.00 25.00 25.003.00 3.00 30.00 44.38 -409.44 25.456.00 3.00 40.00 44.38 -428.54 27.209.00 3.00 52.50 44.38 -466.65 30.78
12.00 3.00 65.80 44.38 -523.39 36.3515.00 3.00 73.80 44.38 -590.28 43.2718.00 3.00 76.30 44.38 -653.84 50.1721.00 3.00 75.00 44.38 -704.80 55.9124.00 3.00 71.00 44.38 -738.99 59.8627.00 3.00 65.00 44.38 -755.26 61.7730.00 3.00 57.50 44.38 -754.22 61.6536.00 6.00 42.50 22.19 -384.64 56.7942.00 6.00 30.00 22.19 -343.56 48.4948.00 6.00 25.00 22.19 -301.58 40.3854.00 6.00 25.00 22.19 -270.81 34.7160.00 6.00 25.00 22.19 -251.40 31.2566.00 6.00 25.00 22.19 -238.90 29.08
116
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50 60 70
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 3. 26 . Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero
Morning Glory y espejo de agua constante.
Ecuación Principal para un Embalse con Vertedero Morning Glory y Espejo de Agua Constante
Ecuación: 03/2
11 =++ ++ FEOO nn (Incógnita On+1) Función: FEOOOf ++= 3/2)( (Independiente O) Parámetro E:
0)22(
23/2
>∆
=gRCt
AE
d π
Parámetro F: 013/2 ≤−−−= + nnnn IIEOOF
Función tipo: Algebraica explícita. Función continua: Sí Función creciente: Sí Dominio: 0≥O Rango: FOf ≥)( Intersección con O:
1+= nOO (Raíz) Intersección con f: Ff = Simetrías: Ninguna Asíntotas: Ninguna Máximo y mínimos: Mínimo absoluto en FQ = Puntos críticos: Ninguno Concavidad: Cóncava hacia abajo Puntos de inflexión: Ninguno Función inversa: Continua y creciente Número de raíces: Una real cuando 0≤F
f(O) (m3/s)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O) < +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz)O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)f=F
Cóncava hacia abajo
Continua y Creciente
Raíz: 3
313 23
2743
272
213 23
2743
272
21
1 )()(
−+−−−+++−−=+ EFFEFEFFEFEOn
118
3.6 Ecuación Principal para Estructuras de Salida No Tradicionales
Para embalses con estructuras de salida no tradicionales como vertederos con
compuertas particulares u otras estructuras de excedencia universalmente no estudiadas,
nada se puede adelantar sobre la ecuación principal, a menos que se trate algún caso en
concreto. Cuando se tiene una estructura de excedencia peculiar, ya sea como resultado de
un arreglo sobre una estructura estándar, o ya sea una estructura totalmente nueva, debe
tratarse de encontrar la ecuación que relaciona el caudal de salida que pasa por la estructura
frente a la elevación del espejo de agua sobre la cresta de la misma. Una vez lograda la
fórmula, ésta debe incluirse en las deducciones correspondientes para lograr la ecuación
principal.
3.6.1 Caso Típico
En ésta parte se estudiará la ecuación principal para un embalse con estructura de
salida no tradicional y espejo de agua constante. El desarrollo mostrado aquí puede ser
aplicado a cualquier otro caso particular simplemente usando la información que se tenga
sobre la estructura particular.
Para la estructura de salida no tradicional estudiada aquí no se tiene la fórmula que
relaciona el caudal de salida que pasa por ella frente a la elevación de la superficie de agua
sobre su cresta. Pero se tiene una tabla de información sobre estos parámetros como se
muestra a continuación:
119
Tabla 3. 7 . Caudal frente a elevación de una estructura no tradicional.
H Q H Q H Q(m) (m3/s) (m) (m3/s) (m) (m3/s)
0.00 0.00 1.07 2.21 2.13 5.800.15 0.08 1.22 2.75 2.29 6.170.30 0.23 1.37 3.31 2.44 6.540.46 0.48 1.52 3.88 2.59 6.850.61 0.85 1.68 4.42 2.74 7.160.76 1.22 1.83 4.90 2.90 7.480.91 1.70 1.98 5.38 3.05 7.79
Como se dijo anteriormente, debe hallarse una ecuación para la relación del caudal
de salida frente a la elevación del espejo de agua. Esto puede lograrse mediante la
correlación de la anterior información. Debe correlacionarse para varios modelos y
escogerse el de mejor coeficiente de determinación 2R . Un coeficiente de determinación
ideal es igual a la unidad. De este modo, la tabla a continuación muestra los resultados de
la correlación de la anterior información de acuerdo a varios modelos:
Tabla 3. 8. Correlación de caudal frente a elevación.
Modelo Ecuación Coeficiente R2
Lineal
HQ ⋅= 58.2
0.978
Logarítmico )Log(49.9 HQ ⋅= -0.619
Potencial 74.1HQ = 0.804
Polinomio 2do grado HHQ 12.219.0 2 += 0.984
Polinomio 3er grado
HHHQ 43.000.243.0 23 ++−= 0.999
120
Entonces, el modelo polinomial de tercer grado es el que mejor se ajusta a la
información recogida sobre la estructura de salida no tradicional:
HHHQ 43.000.243.0 23 ++−= (3.57)
La ecuación resultante de la integración de la ecuación de continuidad (2.13) sobre
un intervalo de tiempo es la siguiente:
tOO
tII
VV nnnnnn ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (3.58)
Los caudales de entrada In e In+1 se conocen como información de entrada. Los
valores de On y Vn se conocen de acuerdo a los cálculos del intervalo de tiempo anterior.
Por consiguiente, la ecuación (3.58) contiene dos incógnitas que son On+1 y Vn+1.
Para que (3.58) contenga una sola incógnita, On+1, se emplearan las fórmulas de
almacenamiento del embalse y de caudal de la estructura de salida no tradicional como
sigue a continuación.
La fórmula de almacenamiento para un embalse con espejo de agua constante es:
AHV = (3.59)
Donde A es el espejo de agua del embalse, y H la elevación de la superficie de agua.
Despejando H de la ecuación (3.57) y cambiando Q por O, se tiene:
3 2 25.049.1036.15.417.1 −−++−= OOOH
55.125.049.1036.15.417.13 2 +−−−+−+ OOO (3.60)
121
Nótese que la ecuación (3.60) fue obtenida por el método de Cardano. El método
de Cardano sirve para la resolución de ecuaciones cúbicas, éste se presenta en el Apéndice
C.
La expresión (3.60) es tan compleja que perjudicará el resto de ésta deducción, y
más aún, el análisis físico matemático de la ecuación principal. Por consiguiente, se
procederá con una técnica alternativa, consistente en aplicar la regresión a la información
anterior con el objetivo de dar con una ecuación del tipo ).(QfH =
Tabla 3. 9. Correlación invertida de caudal frente a elevación.
Modelo Ecuación R2
Lineal
OH ⋅= 39.0
0.972
Logarítmico )Log(37.2 OH ⋅= -0.058
Potencial 50.0OH = 0.863
Polinomio 2do grado OOH 45.001.0 2 +−= 0.978
Polinomio 3er grado
OOOH 72.012.001.0 23 +−= 0.996
De acuerdo a la anterior tabla, el modelo polinomial de tercer grado es el mejor para
expresar la siguiente relación:
OOOH 72.012.001.0 23 +−= (3.61)
Substituyendo la (3.61) en la (3.59):
)72.012.001.0( 23 OOOAV +−= (3.62)
Substituyendo la ecuación (3.62) en la (3.58), se tiene:
122
tOO
tII
OOOAOOOA nnnnnnnnnn ∆
+−∆
+=+−−+− ++
+++ 22)72.012.001.0()72.012.001.0( 1123
12
13
1
Trasladando todos los términos a la izquierda, y agrupando:
231
21
31 12.001.0)50.072.0(12.001.0 nnnnn AOAOOtAAOAO +−∆++− +++
050.050.0)50.072.0( 1 =⋅∆−⋅∆−∆−− + nnn ItItOtA (3.62)
Multiplicando la ecuación (3.62) por 1)01.0( −A :
05050)5072(12)5072(12 123
12
13
1 =∆
−∆
−∆
−−+−∆
++− ++++ nnnnnnnn IAt
IAt
OAt
OOOAt
OO
(3.63)
Definiendo los parámetros D, E, y F de acuerdo a:
12=D (3.64)
At
E∆
+= 5072 (3.65)
nnnnn IAt
IAt
OAt
OOF∆
−∆
−∆
−−+−= + 5050)5072(12 123 (3.66)
Substituyendo las ecuaciones (3.64), (3.65) y (3.66) en la (3.63), se tiene:
012
13
1 =++− +++ FEODOO nnn (3.67)
La ecuación (3.67) es la ecuación principal para un embalse con estructura de salida
no tradicional tratado en ésta parte. La solución de ésta ecuación es el caudal de salida al
final del intervalo de tiempo On+1 conocidos el caudal de entrada al inicio del intervalo In,
el caudal de entrada al final del intervalo In+1, el caudal de salida al inicio del intervalo On,
123
la duración del intervalo de tiempo ∆t, además de las características del embalse y de la
estructura de salida no tradicional.
3.6.2 Análisis de la Ecuación Principal
Se procederá con el análisis matemático de la ecuación (3.67) sin profundizar para
generalizar, puesto que se trata de una ecuación perteneciente a un caso particular.
Expresando (sin subíndices) la ecuación (3.67) como función:
FEODOOOf ++−= 23)( (3.68)
La función (3.68) es una función polinomial. Una función polinomial es la suma de
un número finito de términos, cada uno de los cuales es el producto de una colección finita
de números y variables. Una función polinomial es continua en todo momento. El gráfico
de una función polinomial es una curva continua.
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
F
0
Ilustración 3. 27 . Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
124
Como la función (3.68) es una forma de la ecuación de continuidad, físicamente
representa el estado del balance en el sistema para un caudal de salida O al final del
intervalo de tiempo. De esta manera, la función (3.68) es cero cuando el caudal de salida O
al final del intervalo satisface la ecuación de continuidad. La ilustración 3.27 es la gráfica
de la función (3.68).
3.6.3 Parámetros Físicos del Embalse y Vertedero D y E
En la ecuación principal (3.67) se presentan D y E, conocidas como parámetros
físicos del embalse y vertedero, puesto que sus expresiones involucran valores
correspondientes a las características del embalse, de la estructura de salida no tradicional,
y duración del intervalo de tiempo dado por el hidrograma de entrada. El parámetro D
corresponde a la estructura de salida no tradicional y puede tomar valores tanto positivos
como negativos. Las unidades de D están dadas en /sm3 . El parámetro E corresponde al
embalse, a la estructura de salida no tradicional y al intervalo de tiempo dado por el
hidrograma de entrada. De acuerdo a su expresión (3.65) E únicamente puede tomar
valores positivos. Las unidades de E están dadas en 26 /sm .
Los parámetros D y E influyen en la gráfica de la función (3.68) como se ve en las
curvas para distintos espejos de agua (constantes) de la ilustración 3.28. Como se
mencionó en apartados precedentes, si bien t∆ no es una característica física del sistema,
éste es una característica impalpable del sistema que influye en la respuesta del mismo.
3.6.4 Parámetro de Almacenamiento F
Nuevamente se presenta F, conocida como parámetro de almacenamiento o como
parámetro de balance. Como se confirmará más adelante, F únicamente puede tomar
valores negativos para la existencia de una solución en el sistema. De acuerdo a su
expresión, las unidades de F están dadas en 39 /sm .
125
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
E para A
E para 2A
E para 3A
F
0
Ilustración 3. 28. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante para valores de E.
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
F
0
2F3F
Ilustración 3. 29. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante para valores de F.
126
El valor de F no influye en la forma de la curva de la función (3.68), pero influye en
su posición respecto al eje vertical. La ilustración 3.29 muestra la curva de la función
(3.68) para ciertos valores de F.
La interpretación de F es la misma que la de los apartados relativos al vertedero
estándar y vertedero Morning Glory.
3.6.5 Dominio
Dado que la función (3.68) es del tipo polinomio, matemáticamente el dominio de la
definición es el conjunto de los números reales. Pero como el caudal de salida al final del
intervalo de tiempo es físicamente incompatible con valores negativos, el dominio de (3.68)
debe restringirse a:
0≥O
3.6.6 Rango
El rango de una función polinomial puede ser un subconjunto de los números reales
(que puede ser el conjunto total). Si bien el rango puede hallarse despejando
algebraicamente O, esto conduce a expresiones que pueden involucrar cálculos en el campo
de los complejos, por lo tanto aquí se empleará una metodología alternativa usada
anteriormente.
Se tiene la primera derivada de f:
EDOOOf +−=′ 23)( 2 (3.69)
Para la estructura de salida no tradicional que corresponde a la función (3.68) se
tiene sD /m 12 3= , y puesto que E es siempre positivo, la primera derivada en el interior
127
del dominio es positiva, por lo que la función f es creciente. De este modo, Ff =)0( y
+∞=+∞→
)(OflimO
. Por lo tanto, el rango de la función está dado por:
+∞<≤ )(OfF
3.6.7 Intersecciones
La intersección con f está en F puesto que Ff =)0( . La intersección con O está en
On+1 cuando 0≤F .
La intersección con f se interpreta como la magnitud de un estado de balance
imperfecto para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo de cero. La
intersección con O se interpreta como el caudal de salida al final del intervalo
correspondiente a un estado de balance perfecto.
3.6.8 Simetrías
Como f es una función, no se tiene simetría respecto al eje O. Como la función
(3.68) no admite valores negativos de O, tampoco se tiene simetría con respecto al eje f.
Por tanto, tampoco se tiene simetría respecto al origen.
Si la función (3.68) fuese simétrica respecto al eje O implicaría la existencia de un
solo caudal de salida al final del intervalo de tiempo para dos imperfectos estados de
balance simultáneos, situación verdaderamente incompatible.
3.6.9 Asíntotas
Como la función (3.68) es una función polinomial, no se tienen asíntotas verticales.
Como la función (3.68) es creciente hacia el infinito, no se tienen asíntotas horizontales.
128
3.6.10 Máximos y Mínimos
Para hallar máximos y mínimos relativos debe resolverse la ecuación (3.69) igualada
a cero:
023 2 =+− EDOO
De acuerdo a la fórmula para ecuaciones de segundo grado, se tiene:
61242 2 EDD
O−±
=
Para la obtención de raíces en el campo de los números reales, es necesario que
ED 124 2 ≥ , lo cual no es posible como se ve en la siguiente deducción:
At
At
ED∆
≥−⇒
∆
+≥⇒≥ 15072 5072312 3 22
Nótese la aplicación de sD /m 12 3= . La última desigualdad es totalmente
incompatible porque At /∆ siempre es un valor positivo. Por todo esto, no se tienen
máximos relativos (cimas) ni mínimos relativos (simas) en el dominio establecido de la
función (3.68). Sin embargo, se tiene un mínimo absoluto en Ff =)0( .
3.6.11 Puntos Críticos
Los puntos críticos existen simultáneamente junto a máximos o mínimos relativos.
Como la función (3.68) no tiene máximos ni mínimos relativos, tampoco tiene puntos
críticos.
129
3.6.12 Concavidad
La segunda derivada de la función f está dada por:
DOOf 26)( −=′′ (3.70)
La curva de la función (3.68) es cóncava hacia abajo cuando DO 31< , y es
cóncava hacia arriba cuando DO 31> . Nótese que el punto del cambio de concavidad
depende del parámetro D de la estructura de salida no tradicional tratada aquí.
3.6.13 Puntos de Inflexión
Primero, 0)( =′′ Of cuando DO 31= . Segundo, la curva es cóncava hacia abajo
antes de DO 31= , y la curva es cóncava hacia arriba después de DO 3
1= . Por
consiguiente, se tiene un punto de inflexión en DO 31= .
Las concavidades y los puntos de inflexión son guías precisas para la gráfica de una
función.
3.6.14 Función Inversa
Como la función f (3.68) es creciente, ésta tiene una función inversa creciente )( fO
cuyo dominio está dado por +∞<≤ fF y cuyo rango está dado por +∞<≤ )(0 fO .
La función inversa O da el caudal de salida al final del intervalo de tiempo para un
estado de balance f dado. De acuerdo a esto, para un estado de balance perfecto 0=f la
función O dará el caudal de salida al final del intervalo que satisface la ecuación de
continuidad, o sea 1)0( += nOO . La ilustración 3.30 muestra la curva de la función inversa
O.
130
La expresión algebraica de la función O puede hallarse despejando O de la ecuación
(3.68). La resolución algebraica de la ecuación (3.68) se detalla más adelante.
O(f) (m3/s)
f (m9/s3)
F 0
On+1
Ilustración 3. 30. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal
para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
3.6.15 Raíces
Por teorema, una ecuación polinomial de tercer grado como la (3.67) tiene
exactamente tres raíces que pueden ser reales y/o complejas. Como puede verse en la
ilustración (3.27) de la función (3.68), se ubica una raíz real cuando 0≤F puesto que
(3.68) es creciente, luego no puede ubicarse otra raíz real puesto que la función (3.68) no
vuelve a cortar el eje O una vez lo haya atravesado. Por tanto, las dos raíces restantes de la
ecuación polinomial (3.67) pertenecen al campo de los números complejos, que
normalmente se presentan como par conjugado. A manera de corolario puede señalarse que
no existe ninguna raíz real cuando 0>F .
131
En un sistema embalse-estructura de salida bien condicionado, la ecuación (3.67)
siempre tendrá una raíz real; es decir, en un sistema bien condicionado F siempre será
menor o igual a cero.
En la ilustración 3.31 se presenta la curva de la función de la ecuación principal
(3.68) rotulada según todo el análisis anterior.
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O) < +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz)O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)
Cóncava hacia arriba
ContinuaCreciente
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexiónO=D/3
Ilustración 3. 31. Curva rotulada de la función de la ecuación principal para un
embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
3.6.16 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal
Curva Característica
La resolución de la ecuación principal (3.67) puede lograrse mediante la
denominada curva característica del sistema embalse-estructura de salida.
132
La curva característica es una gráfica cuyo eje horizontal está dado por el caudal de
salida al final del intervalo de tiempo O y cuyo eje vertical está dado por la función
derivada de la (3.68):
EODOOOf +−= 23)( (3.71)
La función (3.71) da F− si el caudal de salida al final del intervalo de tiempo O
satisface la ecuación de continuidad del sistema. La curva característica está trazada en la
ilustración 3.32.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 2 4 6 8 10 12 14
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
(6.6, 289.7)
Ilustración 3. 32. Curva característica para un embalse con estructura de salida no
tradicional y espejo de agua constante.
Normalmente, un sistema embalse-estructura de salida tiene una sola curva
característica, por lo que trazarla una vez es suficiente para dar con cualquier caudal de
salida al final del intervalo O dado su respectivo F. Esto es posible porque en un sistema
establecido E permanece constante y F permanece variable durante la crecida.
133
En este caso y como ejemplo, para sD /m 12 3= (fijo), 26 /m 4.79 sE = y 39 /m 7.289 sF −= el caudal de salida al final del intervalo es 6.6=O m3/s como se
muestra en la ilustración 3.32.
1
10
100
1000
1 10 100
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
Ilustración 3. 33. Curva característica en su versión log-log para un embalse con
estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
Ecuación Alternativa
En la ilustración 3.33 se muestra la versión log-log de la curva característica del
sistema embalse-estructura de salida. Como esta curva en su versión log-log no es una
línea recta, no puede ensamblarse la ecuación alternativa para la resolución de la ecuación
(3.67) como se hizo con los anteriores casos. En realidad, la ecuación alternativa no es
dable para la estructura de salida no tradicional tratado aquí, lo cual no significa que en
general no exista para estructuras de salida no tradicionales.
134
3.6.17 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal
Dada la condición polinomial de tercer grado de la ecuación (3.67), ésta puede
resolverse de manera algebraica por medio del método de Cardano (Apéndice C).
Se tiene la fórmula principal de Cardano adecuada a la ecuación (3.67):
3223
32742
3
32742
DpqqpqqO +
+−−+
++−= (3.72)
Las variables p y q están dadas por:
3
2DEp −= (3.73)
FDED
q ++−=327
2 3
(3.74)
En el siguiente ejemplo no se mostrarán las unidades junto a las cantidades por
conveniencia de notación. Para valores de 12=D (fijo), 41.79=E y 67.289−=F , se
tiene 41.31=p y 03.100−=q . Luego, según la ecuación (3.72):
4214596.9203.100
214596.9203.100
33 +−
++
=O
Evaluando:
sO /m 62.6 3=
El caudal de salida al final del intervalo de tiempo es 6.62 m3/s. La gráfica
respectiva se muestra en la ilustración 3.34. Nótese que, el resultado anterior está afectado
por un error de redondeo porque durante el cálculo mostrado se usaron solamente dos
decimales.
135
Es importante mencionar que la función inversa de (3.68) puede ensamblarse
usando las ecuaciones (3.72), (3.73), y (3.74) pero usando QF − en vez de F.
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
F=-289.67
E=79.41
Ilustración 3. 34. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante para valores de E y F.
3.6.18 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
Puede resolverse la ecuación principal (3.67) para un embalse con estructura de
salida no tradicional mediante métodos numéricos, como el de Newton-Raphson. Una
recopilación de métodos numéricos para resolver ecuaciones se presenta en el Apéndice B.
La formula de Newton-Raphson aplicada a la función (3.68):
EDOOFEODOO
OfOf
OOn
nnnn
+−++−
−=′
−==− ++
23)()(
2
23
)(
)()1()()1( δ (3.75)
136
Donde n y n+1 designan respectivamente, a la anterior y actual iteración. El
símbolo δ (delta) representa la magnitud del cambio de la raíz entre iteraciones.
Para empezar la iteración, debe darse un estimado inicial de O y un error admisible
ε (épsilon). Es recomendable que ε sea un décimo del error admitido en la raíz.
Subsiguientemente, la iteración debe mantenerse hasta que εδ < .
Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.67) para sD /m 12 3= (fijo), 26 /m 41.79 sE = y 39 /m 67.289 sF −= . Para abordar la iteración elíjase
sO /m .006 3= , como se ve aproximadamente en la ilustración 3.34, y además admítase
un s/m 001.0 3=ε . Luego, se sigue con la fórmula (3.75) como se muestra en el siguiente
cuadro:
Tabla 3. 10 . Resolución numérica de la ecuación principal.
O δ |δ|<ε(m3/s) (m3/s)
6.000 0.673 No6.673 -0.057 No6.616 -0.001 Si6.615 0.000 Si
Según el cuadro, la raíz de la ecuación (3.67) es sO /m 62.6 3= .. Nótese que éste
resultado es tan aproximado como el obtenido en el anterior ejemplo.
3.6.19 Aplicación
Un embalse, para la detención de crecidas, tiene un área horizontal de 1 acre
(4046.86 m2), lados verticales (espejo de agua constante) y un tubo de concreto reforzado
137
de 1.52 m de diámetro como estructura de salida. La relación entre el nivel de aguas arriba
y caudal de salida para el tubo está dada en el cuadro siguiente:
Tabla 3. 11. Caudal frente a elevación de la estructura no tradicional de la aplicación.
H Q H Q H Q(m) (m3/s) (m) (m3/s) (m) (m3/s)
0.00 0.00 1.07 2.21 2.13 5.800.15 0.08 1.22 2.75 2.29 6.170.30 0.23 1.37 3.31 2.44 6.540.46 0.48 1.52 3.88 2.59 6.850.61 0.85 1.68 4.42 2.74 7.160.76 1.22 1.83 4.90 2.90 7.480.91 1.70 1.98 5.38 3.05 7.79
Utilice el método directo para calcular los caudales de salida del embalse utilizando
el hidrograma de entrada dado en el cuadro siguiente. Suponga que el embalse está
inicialmente vacío.
Tabla 3. 12. Hidrograma de entrada de la aplicación.
t I t I(min) (m3/s) (min) (m3/s)
0.00 0.00 80.00 7.9310.00 1.70 90.00 6.8020.00 3.40 100.00 5.6630.00 5.10 110.00 4.5340.00 6.80 120.00 3.4050.00 8.50 130.00 2.2760.00 10.19 140.00 1.1370.00 9.06 150.00 0.00
138
Solución
Lo primero que debe hacerse es, ensamblar una ecuación para la relación de la
elevación del espejo de agua frente a caudal de salida para la estructura de salida no
tradicional. Esto puede realizarse mediante correlación de distintos modelos y elegirse el
mejor de acuerdo a su coeficiente de determinación. La ecuación correspondiente a este
caso como puede verse en el principio de esta parte es:
HHHQ 43.0243.0 23 ++−= (3.57)
Se dijo que ésta ecuación no siempre es la adecuada para proseguir con una clara
deducción, por lo que es conveniente muchas veces expresar esta relación en un sentido
inverso:
OOOH 72.012.001.0 23 +−= (3.61)
En segundo lugar, debe deducirse la ecuación principal considerando la anterior
ecuación. De acuerdo a la deducción para este caso mostrada al inicio de esta parte, se
tiene:
012
13
1 =++− +++ FEODOO nnn (3.67)
Con la información del hidrograma de entrada más la ecuación (3.67) es posible
construir una tabla de cálculo del hidrograma de salida como la tabla 3.13. Las columnas
1y 4 de la tabla 3.13 contienen la información conocida del hidrograma de entrada. La
columna 2 puede ser calculada rápidamente a partir de la columna 1. Aunque el parámetro
D se comporta como una constante del embalse y de la estructura de salida no tradicional,
ha sido mostrada a lo largo de la columna 4 por razones de presentación de una tabla
completa. En la columna 5 se tiene el parámetro físico E calculado a partir de la ecuación
(3.65). Nótese que E permanece constante durante un el intervalo de tiempo constante. En
la columna 6 se tiene el parámetro de almacenamiento F que cambia durante toda la
avenida. El caudal de salida al final del intervalo de tiempo O es calculado en la columna 7
de forma directa o algebraica según las ecuaciones (3.72) a la (3.74). Es importante
139
mencionar que, el caudal de salida también puede ser calculado mediante métodos
numéricos como el de Newton-Raphson mostrado anteriormente. Los hidrogramas de
entrada y salida están mostrados en la ilustración 3.35.
Es necesario reiterar que la curva característica y la ecuación alternativa no son
aplicables en la aplicación tratada aquí.
Tabla 3. 13. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero no tradicional y
espejo de agua constante por el método directo (de la ecuación principal).
Columna: 1 2 3 4 5 6 7t ∆t I D E F O
(min) (min) (m3/s) (m3/s) (m6/s2) (m9/s3) (m3/s)
0.00 0.00 0.0010.00 10.00 1.70 12.00 79.41 -12.60 0.1620.00 10.00 3.40 12.00 79.41 -47.97 0.6730.00 10.00 5.10 12.00 79.41 -101.05 1.6140.00 10.00 6.80 12.00 79.41 -165.30 3.2450.00 10.00 8.50 12.00 79.41 -230.64 5.2460.00 10.00 10.19 12.00 79.41 -291.44 6.6570.00 10.00 9.06 12.00 79.41 -335.61 7.4080.00 10.00 7.93 12.00 79.41 -351.88 7.6490.00 10.00 6.80 12.00 79.41 -347.83 7.58
100.00 10.00 5.66 12.00 79.41 -327.85 7.28110.00 10.00 4.53 12.00 79.41 -295.51 6.73120.00 10.00 3.40 12.00 79.41 -254.58 5.86130.00 10.00 2.27 12.00 79.41 -209.66 4.63140.00 10.00 1.13 12.00 79.41 -166.22 3.27150.00 10.00 0.00 12.00 79.41 -126.18 2.17160.00 10.00 0.00 12.00 79.41 -93.96 1.47170.00 10.00 0.00 12.00 79.41 -72.17 1.06180.00 10.00 0.00 12.00 79.41 -56.38 0.80190.00 10.00 0.00 12.00 79.41 -44.52 0.61200.00 10.00 0.00 12.00 79.41 -35.40 0.48
140
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (min)
Caudal de entrada
Ilustración 3. 35. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con estructura de
salida no tradicional y espejo de agua constante.
Ecuación Principal para un Embalse con Estructura de Salida No Tradicional y Espejo de agua Constante
Ecuación: 01
21
31 =++− +++ FEODOO nnn (Incógnita On+1)
Función: FEODOOOf ++−= 23)( (Independiente O) Parámetro físico D: 12=D Parámetro físico E:
05072 >∆
+=At
E
Parámetro de almacenamiento F:
05050
)5072(12
1
23
≤∆
−∆
−
∆−−+−=
+ nn
nnn
IAt
IAt
OAt
OOF
Función tipo: Polinomio Función continua y creciente: Sí Dominio (restringido): 0≥O Rango: FOf ≥)( Intersección con O / f:
1+= nOO (Raíz) / Ff = Simetrías/Asíntotas Ninguna/Ninguna Máximo y mínimos: Mínimo absoluto en Ff = Puntos críticos: Ninguno Concavidades: Abajo DO 3
1< / Arriba DO 31>
Puntos de inflexión: DO 31=
Función inversa: Continua y creciente Número de raíces: Una real cuando 0≤F
f(O) (m9/s3)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O) < +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz)O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)
Cóncava hacia arriba
ContinuaCreciente
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexiónO=D/3
Raíz:
DDEFDEDFDED
DEFDEDFDEDO
313 32
31
2742
313
272
313
272
21
3 3231
2742
313
272
313
272
21
))()((
))()((
+−+++−−−−
+−+++−+−−=
142
3.7 Ecuación Principal para Embalses con Espejo de Agua Variable
Generalmente, el espejo de agua de un embalse es variable conforme su elevación se
incrementa. En esta parte se mostraran dos maneras de atacar este problema. La primera se
basa en una ecuación principal para un embalse con inclinación de taludes variable; es decir
en una ecuación principal dependiente del ángulo general de inclinación de los taludes del
embalse. La segunda consiste en una metodología tabular que involucra la modificación de
la elevación del espejo de agua durante el tránsito de la avenida. En ambos casos se
considerará un embalse con vertedero estándar.
Como se ha visto hasta ahora, la forma discreta de la ecuación de continuidad (2.13)
es:
tOO
tII
VV nnnnnn ∆
+−∆
+=− ++
+ 2211
1 (3.76)
Los caudales de entrada In e In+1 son información conocida de antemano. Los
valores de On y Vn se conocen por los cálculos del intervalo de tiempo anterior.
Consiguientemente, la ecuación (3.76) contiene dos incógnitas que son On+1 y Vn+1.
Para lograr que la ecuación (3.76) quede con una sola incógnita, On+1, se usarán las
fórmulas de almacenamiento del embalse y de caudal del vertedero estándar.
La fórmula de almacenamiento para un embalse con superficie o espejo de agua
variable como el mostrado en el conjunto de ilustraciones 3.36:
LAHHAL
HV +
⋅++
⋅= 23
2 Tan 2Tan Tan32
ααα (3.77)
En la ecuación (3.77), el largo de la base del embalse es L, el ancho de la base A, y
el ángulo general de inclinación de los taludes del embalse es α. Para simplificar las
subsiguientes deducciones, la ecuación (3.77) también podría escribirse de la siguiente
forma:
143
Vista tridimensional de un embalse con espejo de agua variable.
Vista en planta de un embalse con espejo de agua variable.
Vista lateral de un embalse con espejo de agua variable.
Vista trasera de un embalse con espejo de agua variable.
Ilustración 3. 36. Distintas vistas de un embalse con espejo de agua variable.
144
HKHKHKV 32
23
1 ++= (3.77)
El área del espejo de agua frente a la elevación de la misma para el embalse en
cuestión y para distintos ángulos de inclinación de sus taludes se muestra en la ilustración
3.37. La fórmula del área del espejo del embalse está dada por:
+⋅
+= HAHLArea
αα Tan 2
Tan 1
(3.78)
Es importante mencionar que, la fórmula (3.77) se obtiene de la integración de la
fórmula (3.78) sobre la elevación del espejo de agua.
Elevación H delespejo de agua
Area delespejo de agua
α =30°α =45°
α =90°
Ilustración 3. 37. Relación de la elevación del espejo de agua frente al área del mismo
para un embalse con espejo de agua variable.
145
La fórmula correspondiente a un vertedero estándar es:
2/32 HgbCQ d= (3.79)
Aquí Cd es el coeficiente de caudal, b la longitud efectiva de la cresta, y H la carga total en
la cresta.
Despejando H de la ecuación (3.79) y cambiando Q por O, se obtiene:
3/2
2
=
gbCO
Hd
(3.80)
Pero para simplificar las subsiguientes deducciones, la ecuación (3.80) podría
escribirse como:
3/2
4OKH = (3.80)
Substituyendo la ecuación (3.80) en la (3.77):
3/2
433/4
622
51 OKKOKKOKKV ++= (3.81)
Nótese que, en la ecuación (3.81) K5 y K6 son las modificadas de K4 de acuerdo a la
operación de potenciación correspondiente.
Substituyendo la ecuación (3.81) en la (3.76):
tOO
tII
OKOKOKOKOKOK nnnnnnnnnn ∆
+−∆
+=−−−++ ++
+++ 22113/2
343/4
262
153/2134
3/4126
2115
(3.82)
146
Multiplicando por t∆/2 y trasladando todos los términos al miembro izquierdo:
013/2
3423/4
2622
152
3/2134
21
3/4126
22115
2
=−+−∆
−+∆
−∆
−
+∆++++∆
++∆
nInInOKtnOnOK
tnOKt
nOKtnOnOK
tnOKt (3.83)
Dividiendo la ecuación (3.83) por 152 Kt∆ :
03/211
3/41
21 =++++ ++++ FEODOCOO nnnn (3.84)
En la ecuación (3.84) los parámetros se definen de acuerdo a lo siguiente:
( ) 3/243
23 )2( Tan gbCALC dα+= (3.85)
22
43 )2( Tan gbCtD dα∆= (3.86)
3/42
23 )2( Tan gbCLAE dα= (3.87)
nnnnnn DIDIEODOCOOF −−−+−−= +13/23/42 (3.88)
La ecuación (3.84) es la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar
y espejo de agua variable. La solución de la ecuación es el caudal de salida al final del
intervalo de tiempo On+1 dados el caudal de entrada al inicio del intervalo In, el caudal de
entrada al final del intervalo In+1, el caudal de salida al inicio del intervalo On, la duración
del intervalo ∆t, además de las características del embalse y vertedero.
3.7.1 Análisis de la Ecuación Principal
Expresando la ecuación (3.84) como función, se tiene:
147
FEODOCOOOf ++++= 3/23/42)( (3.89)
La función de la ecuación principal es una función algebraica explícita. Las
funciones de este tipo son una clase de funciones que incluyen a las polinomiales y
racionales como casos especiales, además son generadas por un número finito de
operaciones algebraicas.
A causa de que la función (3.89) es heredera de la forma discreta de la ecuación de
continuidad (3.76), ésta representa en magnitud el estado de balance existente en el sistema
correspondiente a un caudal de salida al final de intervalo de tiempo O. Así, cuando el
caudal de salida O es el adecuado para balancear el sistema, se tiene 0)( =Of . La curva
de la función (3.89) está mostrada en la ilustración 3.38.
O (m3/s)
F
0
f(O) (m6/s2)
Ilustración 3. 38. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua variable.
148
3.7.2 Parámetros Físicos del Embalse y Vertedero C, D y E
Los parámetros físicos del embalse y vertedero están denotados por C, D, y E tanto
en la función (3.89) como en la ecuación principal (3.84). Las expresiones que definen C,
D y E están dadas por las ecuaciones (3.85), (3.86) y (3.87) respectivamente. De acuerdo a
las mencionadas expresiones, los valores de C, D, y E solo pueden ser positivos puesto que
las constantes que involucran son definidamente positivas. Las unidades de C están dadas
en 3/22 /m s . Las unidades de D están dadas en s/m3 . Las unidades de E están dadas en 3/44 /m s .
La curva de la función (3.89) está sujeta a los parámetros físicos del embalse y
vertedero. Así por ejemplo, las curvas de la ilustración 3.39 corresponden la función (3.89)
para distintos valores del parámetro D.
3.7.3 Parámetro de Almacenamiento F
La expresión (3.88) define el parámetro de almacenamiento F. Esta expresión se
compone de la información conocida de caudal, tanto de entrada así como la calculada en el
intervalo de tiempo ∆t anterior. Como en casos anteriores, el parámetro F solamente puede
tomar valores negativos. Las unidades de F están dadas en 26 /m s .
Puesto que F es un parámetro que representa el flujo que pasa por un sistema ya
establecido, F no tiene influencia en la geometría de la curva de la función (3.89), pero sí
en la ubicación de la curva respecto al eje vertical como se aprecia en la ilustración 3.40.
3.7.4 Dominio
Como la potenciación de números negativos para exponentes fraccionarios o
racionales no está definida, el dominio de la función (3.89) está dado por:
149
f(O) (m6/s2)
O (m3/s)
D
2D
3D
F
0
Ilustración 3. 39. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua variable para valores de D.
f(O) (m6/s2)
O (m3/s)
F1
0
F2<F1
F3<F2<F1
Ilustración 3. 40. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua variable para valores de F.
150
0≥O
La función f (3.89) está definida y es continua para todos los valores O de su
dominio.
3.7.5 Rango
Existe una alternativa para hallar el rango de una función sin llegar a
complicaciones algebraicas, que se muestra a continuación:
La primera derivada de la función f:
DEOCOOOf +++= − 3/1323/1
342)(' (3.90)
Es fácil concluir que (3.90) es siempre positiva en el interior del dominio de f. Por
consiguiente, la función (3.89) es creciente en su dominio. Luego, Ff =)0( y
+∞=+∞→
)(OflimO
. Entonces, el rango de la función f (3.89) está dado por:
+∞<≤ )(OfF
3.7.6 Intersecciones
La intersección con el eje O ocurre solo si 0)( =Of , y como 0≥O , la intersección
ocurre en la parte positiva del eje O. La intersección con el eje vertical f ocurre en F puesto
que Ff =)0( . Y como F siempre es negativa, la intersección siempre ocurre en la parte
negativa del eje f.
151
3.7.7 Simetrías
Como se trata de una función, la curva respectiva no presenta simetría con respecto
al eje O. Y como el dominio de f es 0≥O , la mencionada curva no presenta simetría con
respecto al eje f. Finalmente, tampoco se tiene simetría respecto al origen.
3.7.8 Asíntotas
Como la función (3.89) no contiene fracciones cuyos denominadores puedan
resultar cero, no se tienen asíntotas verticales. Como el rango de la función es creciente al
infinito positivo, tampoco se tienen asíntotas verticales.
3.7.9 Máximos y Mínimos
Dado que la función f (3.89) es creciente en el interior de su dominio, no se tienen
máximos (cimas) ni mínimos (simas) relativos para intervalos interiores. Más bien, se tiene
un mínimo absoluto en su límite inferior, o sea en Ff =)0( .
3.7.10 Puntos Críticos
Como se ha ido mencionando, los puntos críticos ocurren de manera simultánea
junto a máximos y mínimos relativos. Ya que la función (3.89) no presenta máximos y
mínimos relativos para intervalos interiores de su dominio, ésta tampoco presenta puntos
críticos.
3.7.11 Concavidad
Considerando la segunda derivada de la función f (3.89):
2)( 3/2943/4
92 ++−=′′ −− COEOOf (3.91)
152
Para 0)( =′′ Of se tiene:
2/3
94
9162
8116
94
−
++=
E
ECCO (3.92)
Para valores de O menores al expresado por (3.92), la función (3.89) es cóncava
hacia abajo, y para valores mayores, la función (3.89) es cóncava hacia arriba.
3.7.12 Puntos de Inflexión
Ahora se sabe que, existe un O tal que 0)( =′′ Of , se sabe también que, antes de
éste O (3.92) la curva es cóncava hacia abajo, y después es cóncava hacia arriba. Por
consiguiente, se concluye en un punto de inflexión ubicado en:
2/3
94
9162
8116
94
−
++=
E
ECCO (3.92)
Los puntos de inflexión al igual que la concavidad son una guía para la gráfica de
una curva.
3.7.13 Función Inversa
Por teorema, una función creciente como f (3.89) tiene una función inversa
creciente )( fO con dominio +∞<≤ fF y rango +∞<≤ )(0 fO .
La curva de la función inversa de la función f (3.89 ) está mostrada en la ilustración
3.41.
153
O(f) (m3/s)
f (m6/s2)
F 0
On+1
Ilustración 3. 41. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal
para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable.
3.7.14 Raíces
Sin examinar la ecuación principal (3.88) y su función (3.89), nada puede decirse
sobre las raíces de una ecuación algebraica explícita como la (3.88).
La curva de la función (3.89) cortará el eje O solo si F es menor o igual a cero.
Luego, como la función f (3.89) es creciente, el eje O no puede ser atravesado más de una
sola vez. Por lo tanto, la ecuación (3.88) tiene una única raíz real para 0≤F . Para 0>F
la ecuación (3.88) no tiene ninguna raíz real.
De esta manera, la constante F puede tomar solamente valores negativos para que la
ecuación (3.88) tenga solución.
154
3.7.15 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
La mejor alternativa para la resolución de la ecuación (j12) es mediante métodos
numéricos. Por lo tanto, se procederá con la resolución mediante el método numérico de
Newton-Raphson (Apéndice B).
La fórmula de Newton-Raphson aplicada a la función f (3.89):
DEOCOOFEODOCOO
OfOf
OOn
nnnn
+++++++
−=′
−==−−
++3/1
323/1
34
3/23/42
)(
)()1()()1(
2)()(
δ (3.93)
En la ecuación (3.93) n y n+1 designan la anterior y actual iteración,
respectivamente. La magnitud δ (delta) representa la variación de la raíz entre iteraciones.
Para empezar la iteración debe darse un estimado inicial de O, además de un error
admisible ε (épsilon). El error ε puede ser un décimo del error permitido en la raíz. Luego,
la iteración deberá seguir mientras εδ ≥ .
Como ejemplo, se resolverá la ecuación (3.88) para 3/22 /m 10538.41 sC = ,
sD /m 441679.00 3= , 3/44 /m 129910843.4 sE = y 26 /m .20-269755471 sF = . Se
iniciará la iteración con un estimado de sO /m 00.25 3= y s/m 001.0 3=ε (consúltese la
ilustración 3.42). Luego, se continúa con la fórmula (3.93) como se muestra a
continuación:
Tabla 3. 14 . Resolución Numérica de la Ecuación Principal
O δ |δ|<ε(m3/s) (m3/s)
25.000 0.302 No25.302 0.001 Si25.303 0.000 Si
155
-400000000
-200000000
0
200000000
400000000
600000000
800000000
0 20 40 60 80 100 120 140 160
f(O) (m6/s2)
O (m3/s)
F =-269755471.20
Ilustración 3. 42. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con
vertedero estándar y espejo de agua variable para valores de C, D, E y F.
f(O) (m6/s2)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O) < +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz) O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)
Cóncava hacia arriba
ContinuaCreciente
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexiónO=((4C/9+...
Ilustración 3. 43. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un
embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable.
156
De acuerdo a lo anterior, el caudal de salida al final del intervalo de tiempo está
dado por sO /m 30.25 3= . Esta solución fue lograda prácticamente en la segunda
iteración, gracias a un estimado adecuado originado en la curva de la ilustración 3.42.
El análisis anterior se muestra en la curva rotulada de la ilustración 3.43.
3.7.16 Aplicación
Un lago de 200 hectáreas (largo 1600 m y ancho 1250 m) de espejo de agua base e
inclinación general de orillas de 30° está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5
m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La avenida o crecida que se muestra a
continuación ocurre sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Calcúlese el hidrograma
de salida después del paso por el lago. Nótese que se trata de un embalse con espejo de
agua variable.
Tabla 3. 15 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t I t I(h) (m3/s) (h) (m3/s)
0.00 25.00 21.00 75.003.00 30.00 24.00 71.006.00 40.00 27.00 65.009.00 52.50 30.00 57.50
12.00 65.80 36.00 42.5015.00 73.80 42.00 30.0018.00 76.30 48.00 25.00
157
Tabla 3. 16 . Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar y
espejo de agua variable por el método directo (de la ecuación principal).
Columna: 1 2 3 4 5 6 7 8t ∆t I C D E F O
(h) (h) (m3/s) (m2/s2/3) (m3/s) (m4/s4/3) (m6/s2) (m3/s)
0.00 25.00 25.003.00 3.00 30.00 10538.41 441679.00 29910843.41 -269755471.20 25.306.00 3.00 40.00 10538.41 441679.00 29910843.41 -278321406.28 26.499.00 3.00 52.50 10538.41 441679.00 29910843.41 -295777605.45 28.96
12.00 3.00 65.80 10538.41 441679.00 29910843.41 -322449241.52 32.8515.00 3.00 73.80 10538.41 441679.00 29910843.41 -355085044.88 37.8218.00 3.00 76.30 10538.41 441679.00 29910843.41 -387968162.33 43.0421.00 3.00 75.00 10538.41 441679.00 29910843.41 -416771662.67 47.7824.00 3.00 71.00 10538.41 441679.00 29910843.41 -439050963.18 51.5427.00 3.00 65.00 10538.41 441679.00 29910843.41 -453588483.88 54.0430.00 3.00 57.50 10538.41 441679.00 29910843.41 -459953115.37 55.1536.00 6.00 42.50 10538.41 883358.00 29910843.41 -475211031.23 53.6842.00 6.00 30.00 10538.41 883358.00 29910843.41 -444411255.81 48.8048.00 6.00 25.00 10538.41 883358.00 29910843.41 -406782807.80 43.0154.00 6.00 25.00 10538.41 883358.00 29910843.41 -374958090.50 38.2960.00 6.00 25.00 10538.41 883358.00 29910843.41 -351484551.80 34.9066.00 6.00 25.00 10538.41 883358.00 29910843.41 -333989079.45 32.44
Solución
Gracias al método directo es posible confeccionar una sola tabla como la tabla 3.16
para resolver el problema. Las columnas 1 y 3 de la tabla 3.16 son la información conocida
o de entrada del problema. Los parámetros físicos del embalse y vertedero se calculan de
acuerdo a las columnas 4 a 6 de la tabla según las ecuaciones (3.85) a (3.87). Nótese que,
el parámetro D es el único que cambia (a causa del intervalo de tiempo) durante la avenida.
El parámetro de almacenamiento F es calculado en la columna 7 de acuerdo a su ecuación
(3.88). Como F depende del flujo que pasa por el embalse y vertedero, éste cambia en
magnitud durante toda la avenida. El caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1
158
es calculado mediante métodos numéricos a lo largo de la columna 8 de la tabla 3.16. Con
todo esto, los hidrogramas de entrada y salida se muestran en la ilustración 3.44.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50 60 70
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 3. 44 . Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua variable.
Es importante comentar que, en primer lugar, los resultados obtenidos difieren muy
poco de los obtenidos por el mismo problema para un embalse con vertedero estándar y
espejo de agua constante como se vio con anterioridad. Esto se debe a que los cambios de
volumen originados en las orillas o taludes son pequeños en comparación con el cambio en
global (también a causa del reducido ángulo general). En segundo lugar, antes del caudal
de salida máximo instantáneo, los caudales obtenidos son menores a los similares para el
caso de espejo de agua constante. Esto se debe a la influencia del volumen mayor
disponible para amortiguar la crecida. En tercer lugar, después del caudal de salida
máximo instantáneo los caudales de salida son mayores a los similares para el caso de
espejo de agua constante. Esto se debe a que la descarga se ve influenciada por un mayor
volumen que fue almacenado antes del mencionado caudal pico.
159
Tabla 3. 17. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar y
espejo de agua variable por el método directo (de la ecuación principal).
Columna: 1 2 3 4 5 6 7 8t ∆t I H Area E F O
(h) (h) (m3/s) (m) (m2) (m3/s1/3) (m3/s) (m3/s)
0.00 25.00 1.56 2012064.09 25.003.00 3.00 30.00 1.58 2012161.49 68.13 -612.50 25.306.00 3.00 40.00 1.62 2012539.06 68.13 -631.92 26.499.00 3.00 52.50 1.72 2013307.37 68.15 -671.56 28.96
12.00 3.00 65.80 1.88 2014478.39 68.17 -732.19 32.8615.00 3.00 73.80 2.06 2015906.61 68.21 -806.48 37.8318.00 3.00 76.30 2.25 2017340.64 68.26 -881.47 43.0521.00 3.00 75.00 2.41 2018592.71 68.31 -947.27 47.7824.00 3.00 71.00 2.53 2019558.64 68.35 -998.26 51.5527.00 3.00 65.00 2.61 2020187.70 68.38 -1031.62 54.0530.00 3.00 57.50 2.65 2020462.71 68.40 -1046.32 55.1636.00 6.00 42.50 2.60 2020096.91 34.21 -540.49 53.6942.00 6.00 30.00 2.44 2018856.31 34.20 -505.53 48.8048.00 6.00 25.00 2.24 2017332.59 34.18 -462.65 43.0254.00 6.00 25.00 2.08 2016036.34 34.15 -426.30 38.2960.00 6.00 25.00 1.95 2015075.50 34.13 -399.46 34.9166.00 6.00 25.00 1.86 2014356.64 34.12 -379.48 32.44
Técnica de Solución Alternativa
Una técnica de solución alternativa a problemas que involucren espejo de agua
variable consiste en usar la ecuación principal del caso en cuestión (embalse con vertedero
estándar, Morning Glory, etc.) modificando sus parámetros de acuerdo al cambio de la
elevación y el área del espejo de agua durante la crecida o avenida. La ventaja principal de
ésta técnica radica en que no es necesario deducir una ecuación principal correspondiente
para un espejo de agua variable. Es ciertamente una ventaja puesto que las deducciones
para espejo de agua variable involucran siempre cierta complejidad algebraica como se vio
al principio de esta parte.
160
La tabla 3.17 es la tabla de solución de la aplicación de acuerdo a lo explicado. Las
columnas 1 y 3 de la tabla 3.17 contienen toda la información conocida del hidrograma de
entrada. La columna 4 contiene la elevación del espejo de agua calculada a partir del
caudal de salida inmediato anterior según la ecuación (3.80) en este caso. En la columna 5
se calcula el área del espejo de agua del embalse (ecuación (3.78)) correspondiente a la
elevación del mismo calculada en la columna 4. Con ésta información puede calcularse el
parámetro físico del embalse y vertedero E y el parámetro de almacenamiento F para la
ecuación principal del vertedero estándar, como se muestra en las columnas 6 y 7
respectivamente y de acuerdo a las siguientes formulas ya estudiadas:
3/2)2(2
gbCtA
Ed∆
=
nnnn IIEOOF −−−= +13/2
La columna 8 contiene el caudal de salida al final del intervalo de tiempo que puede
ser calculado mediante métodos numéricos o algebraicamente a partir de la ecuación
principal mencionada:
03/211 =++ ++ FEOO nn
Como resultado final, los hidrogramas de entrada y salida se muestran en la
ilustración 3.45.
Además de los valederos comentarios expuestos en el anterior camino de solución,
aquí se debe afirmar que los resultados son menos aproximados por esta vía de solución.
Esto se debe a que la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar usada en
ésta técnica de solución fue deducida (como se estudio con anterioridad) a partir de la
suposición de un volumen dependiente de un área de espejo constante:
AHV =
161
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50 60 70
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 3. 45. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero
estándar y espejo de agua variable (técnica de solución alternativa).
Ecuación Principal para un Embalse con Vertedero Estándar y Espejo de Agua Variable
Ecuación: 03/2
113/41
21 =++++ ++++ FEODOCOO nnnn (Incógnita On+1)
Función: FEODOCOOOf ++++= 3/23/42)( (Independiente O) Parámetro físico C: ( ) 0)2( Tan 3/2
43
23 >+= gbCALC dα
Parámetro físico D: 0)2( Tan 2243 >∆= gbCtD dα
Parámetro físico E: 0)2( Tan 3/4223 >= gbCLAE dα
Parámetro de almacenamiento F:
0 13/2
3/42
≤−−−
+−−=
+ nnn
nnn
DIDIEO
DOCOOF
Función tipo: Algebraica explícita Función continua y creciente: Sí Dominio: 0≥O Rango: FOf ≥)( Intersección con O / f:
1+= nOO (Raíz) / Ff = Simetrías/Asíntotas Ninguna/Ninguna Máximo y mínimos: Mínimo absoluto en Ff = Puntos críticos: Ninguno Concavidades: Cóncava hacia abajo antes del punto de
inflexión. Cóncava hacia arriba después del punto de inflexión.
Puntos de inflexión: 2/3
94
9162
8116
94
−
++=
E
ECCO
Función inversa: Continua y creciente Número de raíces: Una real solo si 0≤F
f(O) (m6/s2)
O (m3/s)
F
0
RangoF ≤ f(O) < +∞
DominioO ≥ 0
Intersección con O (Raíz) O=On+1
Intersección con f (Mínimo absoluto)
Cóncava hacia arriba
ContinuaCreciente
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexiónO=((4C/9+...
163
3.8 Análisis de Resultados
Para destacar mejor las ventajas que ofrece el método directo en cuanto al tránsito
de avenidas en embalses, es favorable hacer un análisis de resultados a partir de un
problema completo ya resuelto mediante métodos tradicionales y mediante el método
directo. El análisis de resultados puede llevarse a cabo de manera comparativa de acuerdo
a las siguientes consideraciones:
• Metodología de trabajo.
• Aproximación de los resultados.
• Automatización de los cálculos.
• Cambio de intervalo de tiempo.
El análisis de resultados desarrollado a continuación está basado en el problema
resuelto con anterioridad tanto por métodos tradicionales como por el método directo. Es
honrado señalar que ésta aplicación se originó en los cursos de la materia Construcciones
Hidráulicas dictada en la Escuela Politécnica Federal de Lausana (EPFL) de Suiza por el
Profesor Ing. Boillat Jean Louis. La ilustración (3.46) muestra los hidrogramas de entrada
y salida del problema mencionado.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100
Caudal (m3/s)
Caudal de salida
Tiempo (h)
Caudal de entrada
Ilustración 3. 46. Hidrogramas de entrada y salida de la aplicación de comparación.
164
3.8.1 Metodología de Trabajo
En lo que respecta a la metodología de trabajo puede señalarse que los métodos
tradicionales requieren la generación de tablas y gráficas preliminares para ser consultadas
posteriormente. Es importante adelantar aquí que la consulta de gráficas siempre está
ligada a considerables errores de aproximación en los resultados porque es muy
dependiente de la interpretación personal.
Para la aplicación en consideración y como se vio en el apartado correspondiente,
el método de la piscina nivelada requiere la generación preliminar de una tabla y de una
gráfica compuesta por dos curvas (una por cada intervalo de tiempo). Para el mismo
ejercicio, el método SIC también requiere el trabajo preliminar de una tabla y dos curvas.
Finalmente y siempre para el ejercicio en cuestión, el método gráfico de puls requiere la
generación preliminar de una tabla y de dos gráficas (cada una de dos curvas).
Por otra parte y para la aplicación de comparación, el método directo no requiere la
generación de ninguna tabla preliminar y menos una gráfica correspondiente, requiere
simplemente de la elaboración de una tabla final. Por consiguiente aquí se destaca una de
las ventajas del método directo.
El cuadro siguiente muestra de manera resumida lo concerniente a la metodología
de trabajo.
Tabla 3. 18. Comparación de la metodología de trabajo.
Método
De la Piscina Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
Número de tablas preliminares 1 1 1 0
Número de curvas preliminares 2 2 4 0
¿Requiere consulta de curvas? Si Si Si No
165
3.8.2 Aproximación de los Resultados
En realidad, la aproximación de los resultados depende bastante de la información
del hidrograma de entrada dado, y éste a su vez depende de la información de la
precipitación analizada. En esta parte se harán las discusiones bajo la suposición de que se
tiene un hidrograma de entrada correctamente aproximado.
Como todos los métodos tradicionales involucran la consideración e interpretación
de curvas, la aproximación de los resultados está prácticamente ligada a la calidad de la
interpretación personal implicando la variabilidad de estos de una persona a otra. La
interpretación de las curvas es un agente importante puesto que durante los métodos
tradicionales éstas son consultadas iterativamente, por consiguiente incorrectas
interpretaciones pueden hacer que la propagación existente hagan del error una magnitud
considerable. Desde luego que estas consideraciones que aparentan ser exageradas pueden
tener repercusiones no deseadas para el diseño de las estructuras de excedencia por
ejemplo.
Los métodos de la piscina nivelada y el SIC son equivalentemente aproximados
puesto que involucran una analogía en sus procedimientos en cuanto a curvas y tablas
consultadas. El método gráfico de puls es el menos aproximado porque la generación de
resultados finales depende directamente de la metodología gráfica propia del método.
Por otra parte, el método directo brinda la mejor aproximación puesto que no
depende de interpretaciones de curvas, y aún más, la calidad de los resultados puede
extenderse de acuerdo a las exigencias del Ingeniero, esto es posible porque los resultados
pueden calcularse de manera precisa mediante una fórmula algebraica como la de Cardano,
o de manera iterativa mediante el método numérico de Newton-Raphson. De cualquier
manera quizás no tiene mucho sentido buscar una aproximación extrema cuando se sabe
que la información de entrada es una información tan especial.
De acuerdo a las anteriores consideraciones podría generarse una tabla comparativa
en cuanto a la aproximación de los resultados que forman parte del hidrograma de salida:
166
Tabla 3. 19. Comparación de la aproximación de los resultados.
Método
De la Piscina Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
Calidad de la
aproximación del
hidrograma de salida
Media
Media
Mínima
Máxima
En lo que respecta a números y cantidades, lo mencionado anteriormente puede
representarse en una tabla comparativa de acuerdo al método empleado para el cálculo del
segundo punto correspondiente al hidrograma de salida del ejercicio de comparación en
cuestión:
Tabla 3. 20. Comparación en números de la aproximación de los resultados.
Método
De la Piscina Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
Aproximación del
segundo punto del
hidrograma de salida de
la aplicación de
comparación
25.2 m3/s
25.3 m3/s
25 m3/s
25.30 m3/s
167
3.8.3 Automatización de los Cálculos
La automatización de los cálculos que comprende el tránsito de avenidas es muy
importante para el mejor diseño de la estructura de salida. Por ejemplo podría transitarse
una y otra vez para variados anchos de la cresta de un vertedero estándar con el fin de
obtener una altura convenientemente menos peligrosa durante una tormenta. También
podría transitarse una y otra vez una determinada configuración de embalse y estructura de
salida para variadas posibles tormentas. La automatización de los cálculos también es muy
importante para la programación de una computadora en cuanto al tránsito de avenidas.
Los métodos de la piscina nivelada y el SIC son de naturaleza difíciles de
automatizar en cuanto a sus cálculos que involucran porque dependen de una consulta
intermedia de curvas. Esta consulta de curvas quizás podría reemplazarse por una
interpolación aproximada entre puntos para propósitos de automatización. El método
gráfico es extremadamente difícil de automatizar porque toda la inteligencia visual que
implica la consulta de curvas habría que trasladar a una complicada representación de
procedimientos matemáticos.
Por otra parte, el método directo es dable para una automatización práctica y total
puesto que no intervienen consultas de curvas de por medio, además como depende de la
solución de una ecuación, ésta puede calcularse mediante la programación de una formula
algebraica o mediante métodos numéricos rápidos como el de Newton-Raphson. Si se
optaría por la aplicación de una fórmula algebraica como la de Cardano se podría hablar
incluso de hidrogramas de salida en tiempo real dependiendo de la capacidad de la
computadora involucrada.
El programa de computadora que se ha generado para este Proyecto de Grado
aprovecha totalmente las facultades del método directo en cuanto a la automatización de
sus cálculos.
Para finalizar se ha querido resumir estas ideas en una tabla representativa y
comparativa en cuanto a la automatización de los métodos expuestos.
168
Tabla 3. 21. Comparación de la automatización.
Método
De la Piscina
Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
Automatización de los
cálculos inmersos en el
método
Parcial
Parcial
Ninguna
Completa
3.8.4 Cambio del Intervalo de Tiempo
Un hidrograma de caudal ofrece información de caudal cada cierto intervalo de
tiempo ∆t. Aunque en su generalidad se tienen hidrogramas con un intervalo de tiempo
constante, a veces también se tienen hidrogramas con un intervalo de tiempo variable. Los
hidrogramas con información de caudal frente a intervalos de tiempo distintos merecen
cierta consideración a tratarse a continuación.
Cuando se tiene un problema que incluye un hidrograma de entrada con intervalos
de tiempo ∆t diferentes, el método de la piscina nivelada, el método SIC y el método
gráfico de puls exigen la representación de una o más curvas preliminares, dependiendo del
número de intervalos de tiempo distintos que se tengan. A parte de esto y durante el
proceso de cálculo debe tenerse sumo cuidado cuando llega el momento de cambiar de un
intervalo de tiempo a otro. Un cambio de intervalo de tiempo mal considerado puede
repercutir seriamente en el resultado del hidrograma de salida. Estas consideraciones se las
tuvo en cuenta a la hora de resolver el problema de comparación en cuestión.
Por otra parte, en el método directo no es necesaria la consideración y atención a un
cambio en el intervalo de tiempo durante el proceso, debido a que el cálculo de cada punto
del hidrograma de salida es independiente del anterior. Esta es una ventaja natural de la
ecuación principal del método directo.
169
A continuación se presenta una tabla comparativa en lo que se refiere al cambio de
intervalo de tiempo ∆t:
Tabla 3. 22. Comparación en cuanto al intervalo de tiempo.
Método
De la Piscina Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
Curvas necesarias para la
consideración de n cambios
en el intervalo de tiempo ∆t
presentes en el hidrograma de
entrada
n curvas
n curvas
2n curvas
Ninguna
Finalmente y de acuerdo a toda la discusión comparativa presentada, puede
señalarse sin lugar a dudas que, el método directo es una buena opción para el tránsito de
caudales de crecidas o tránsito de avenidas, ya sea por su alivianada metodología, por su
mejor aproximación en los resultados, por su fácil automatización en sus procedimientos, o
por sus ventajas respecto al cambio del intervalo de tiempo ∆t.
170
CAPITULO 4
DESARROLLO PRACTICO
4.1 Programa Computacional para el Tránsito de Avenidas en Embalses
Con el fin de explotar las ventajas del método directo tales como la automatización,
se ha elaborado un programa en computadora para el tránsito de avenidas en embalses.
Este software permite el tránsito de avenidas en embalses con espejo de agua constante y
variable, y con vertederos estándar, Morning Glory, o no tradicionales. Además, para
fundamentar el valor del tránsito de avenidas se ha incluido un módulo de cálculo de altura
de presa que depende de los resultados del tránsito. Este programa bautizado como Trans
exige la entrada de información manualmente o mediante archivos de la configuración del
embalse y de la estructura de salida además del hidrograma de entrada, opcionalmente
también puede ingresarse información de entrada concerniente a la presa. Una vez
alimentada la información, el programa opera con ella de acuerdo al desarrollo visto en el
capítulo 3 y proporciona completos informes de salida tanto gráficos como de texto.
4.2 Plataforma Hardware
Aquí se describirán las características físicas generales de la computadora usada
para la elaboración del programa de tránsito de avenidas. Junto a las características físicas
generales se mencionarán los requerimientos mínimos para la ejecución del programa.
171
Una computadora está compuesta de cinco partes claves: el procesador, la memoria,
los dispositivos de entrada y salida, el almacenamiento en disco, y los programas. La
ilustración 4.1 muestra las partes mencionadas conectadas por flechas que representan su
interacción.
Memoria
Procesador
Programas
EntradaSalida
----------------Discos
Ilustración 4. 1. Las cinco partes de una computadora.
El procesador es el cerebro de la computadora. El procesador tiene la capacidad de
llevar a cabo las instrucciones que le son suministradas. El programa fue creado en un
procesador Intel 80486 para asegurar la compatibilidad con toda la familia de procesadores
Intel Pentium 80586, 80686, etc.
La memoria es el área de trabajo de la computadora. La memoria de la
computadora es donde todas las actividades toman lugar. El programa fue creado en un
ambiente con una memoria de 20 megabytes, no obstante la memoria mínima requerida es
de 16 megabytes.
Los dispositivos de entrada y salida son todas las vías por las cuales la computadora
recibe y envía información. Estos incluyen dispositivos tales como el teclado, el ratón, el
monitor, la pantalla, etc. El programa fue creado en un ambiente con un teclado estándar
de 101 teclas, un ratón estándar de dos botones, y una pantalla a colores conectada a un
adaptador VGA estándar.
172
El almacenamiento en disco es un dispositivo de entrada y salida muy importante.
El almacenamiento en disco es donde la computadora mantiene los datos cuando los
mismos no están en la memoria. El programa fue creado en un ambiente con un disco duro
de 1.4 gigabytes, y un disco flexible de alta densidad de 3.5 pulgadas. El programa
requiere un espacio mínimo disponible de 2 megabytes en disco duro.
El cuadro siguiente muestra un extracto de los requerimientos mínimos que necesita
el programa para su ejecución.
Tabla 4. 1 . Requerimientos mínimos de hardware.
Procesador 80486 o superior
Memoria RAM 16 MB o superior
Adaptador de pantalla VGA o superior
Dispositivo de apuntamiento Ratón de dos botones o superior
Disco duro con espacio mínimo disponible 2 MB o superior
4.3 Plataforma Software
La plataforma software hace referencia al sistema operativo y más que todo al
lenguaje de programación usado para la elaboración del programa de tránsito de avenidas.
El programa ha sido elaborado en un ambiente correspondiente al Microsoft
Windows 95, y en un lenguaje de programación para ese ambiente denominado Microsoft
Visual Basic 5.
173
4.3.1 Windows: Ventanas, Eventos y Mensajes
Una versión simplificada del funcionamiento del Windows involucra tres conceptos
claves: ventanas, eventos y mensajes.
Una ventana puede concebirse como una región rectangular con sus propias
fronteras. Existen varios tipos de ventanas conocidos en el Windows tales como el
Explorador, un documento en Microsoft Word, un cuadro de dialogo cualquiera, etc.
Mientras estos tipos de ventanas son los más conocidos existen también otros tipos de
ventanas como los botones de comando, los iconos, los menúes, etc.
El Microsoft Windows administra todas estas ventanas asignando a cada una ellas
un número de identificación. El sistema continuamente verifica cada una de estas ventanas
buscando signos de actividad o eventos. Los eventos pueden ocurrir según la intervención
del usuario, un control de programación o como el resultado de una acción de otra ventana.
Cada vez que un evento ocurre, éste causa el envío de un mensaje al sistema
operativo. El sistema procesa el mensaje y lo radiodifunde al resto de las ventanas. Cada
ventana puede entonces tomar la acción apropiada basada en sus propias instrucciones para
tratar con el mensaje en particular. Por ejemplo, una ventana podría repintarse una vez que
ha sido descubierta por otra.
4.3.2 El Lenguaje Visual Basic
El Visual Basic de Microsoft es la vía más rápida y fácil de crear aplicaciones para
el Microsoft Windows. El Visual Basic posee un conjunto completo de herramientas para
simplificar el desarrollo rápido de aplicaciones.
¿Qué es el Visual Basic? La parte “Visual” se refiere al método usado para crear la
interface gráfica de usuario (GUI). En vez de escribir varias líneas de código para
especificar la ubicación y apariencia de los elementos de la interface, se puede arrastrar y
soltar objetos ya fabricados en algún lugar puntual de la pantalla.
174
La parte “Basic” se refiere al lenguaje BASIC (Beginners All-Purpose Symbolic
Instruction Code), que según la Microsoft es el lenguaje más usado en el mundo en toda la
historia de la computación. El Visual Basic es una evolución del lenguaje BASIC y
actualmente contiene cientos de instrucciones para todo propósito.
Modelo Conducido por Eventos
En aplicaciones tradicionales o de procedimientos, el código y la secuencia de
ejecución están controlados por la misma aplicación o programa. Entonces, la ejecución
parte con la primera línea del código y sigue un camino definido a través de la aplicación
invocando procedimientos según sea necesario.
En una aplicación conducida por eventos elaborada con el Visual Basic, el código
no sigue un camino definido puesto que se ejecutan diferentes partes del código en
respuesta a los eventos. Los eventos pueden ser causados por las acciones del usuario, por
mensajes del sistema u otras aplicaciones, o quizás de la aplicación misma. La secuencia
de los eventos determina la secuencia en la cual el código se ejecuta, por consiguiente cada
vez puede ejecutarse una parte distinta del código.
Desarrollo Interactivo
El proceso tradicional del desarrollo de una aplicación puede ser separado en tres
pasos distintos: la escritura, la compilación y la depuración. A diferencia de los lenguajes
tradicionales, el Visual Basic usa un enfoque interactivo de desarrollo que no hace
distinción entre las tres partes mencionadas.
En la mayoría de los lenguajes, si se comete un error durante la escritura del código,
el error es capturado por el compilador durante la compilación. Entonces debe procederse a
corregir el error y empezar la compilación otra vez, repitiendo todo esto con cada error. El
Visual Basic interpreta el código mientras es ingresado, capturando la mayoría de los
errores sobre la marcha.
175
En adición a la captura de errores sobre la marcha, el Visual Basic compila
parcialmente el código según es ingresado. De esta manera cuando se va a ejecutar y
depurar la aplicación se tiene un tiempo realmente corto para la culminación de la
compilación. Si el compilador captura el error, entonces es marcado en el código. Luego
se puede proceder a remendarlo y se puede continuar con la compilación sin necesidad de
empezar desde el principio.
La ilustración 4.2 muestra el ambiente interactivo de desarrollo que ofrece el Visual
Basic y que fue usado para el programa de tránsito de avenidas.
Ilustración 4. 2. El ambiente de desarrollo del Visual Basic 5 de la Microsoft.
176
4.4 Desarrollo del Algoritmo
El algoritmo base sobre el cual está estructurado el programa es de cuatro fases
como se muestra a continuación:
Entrada de datos:Embalse
Estructura de salidaHidrograma de entrada
Presa
Resolución de laecuación principal
SatisfaceHmax uOmax ?
Modificación de laestructura de salida
Calcularaltura depresa ?
Resolución de laaltura de presa
Generación del informede resultados:
Hidrograma de salidaAltura de presa
No
No
Si
Si
1
2
3
4
Ilustración 4. 3 . Algoritmo base del programa. 1) Fase de entrada. 2) Fase de
tránsito. 3) Fase de presa. 4) Fase de salida.
177
La fase 1 del algoritmo está orientada al proceso de la información de entrada para
el programa. Esta información consiste en la geometría del embalse, la configuración de la
estructura de salida, el hidrograma de entrada y hasta los parámetros de altura de la presa.
La fase 2 del algoritmo se encarga del tránsito de avenida en el embalse, o sea se
encarga de la generación del hidrogama de salida punto a punto. Como se verá más
adelante, el programa permite establecer una elevación máxima (Hmax) o caudal de salida
máximo (Omax) como condición de tránsito. Si uno de estos parámetros es establecido y
no se satisface, entonces el algoritmo exige la repetición del transito hasta su cumplimiento.
Una vez logrado el hidrograma de salida se puede continuar de manera opcional con
la determinación de la altura de la presa como se advierte en la fase 3 del algoritmo. No
obstante para esto debe proporcionarse la información pertinente en la fase 1.
La fase 4 del algoritmo procesa toda los cálculos anteriormente para su presentación
como información de salida. La información de salida está compuesta por reportes tipo
texto y también gráficos del hidrograma de salida, del almacenamiento en el embalse y de
la altura de la presa. La información de salida también incluye la información de entrada
como referencia.
4.5 Programación del Algoritmo
La programación del algoritmo ha sido estructurada en formularios de interacción y
en módulos de cálculo como se puede apreciar en la ilustración 4.4.
Los formularios de interacción consisten básicamente en el procesamiento de la
información de los distintos cuadros de diálogo. Son la parte que permiten la interacción
con el usuario, ya sea para la entrada de información o para la representación de la
información de salida.
Los módulos básicamente son el motor del programa. Tanto los módulos de entrada
y salida como los módulos de cálculo contienen código para el procesamiento de la
información.
178
Formulario principal de interacción
Formularios secundarios de interacción
Módulo de la información de entrada
Módulo A de cálculo (Tránsito)
Módulo B de cálculo (Presa)
Módulo de la información de salida
Ilustración 4. 4. Estructura de la programación del algoritmo.
El formulario principal de interacción comanda el funcionamiento y la dirección de
los procesos del programa. En la práctica puede decirse que el formulario principal es el
menú principal del programa.
El módulo de entrada contiene código capaz de procesar y organizar la información
para el subsiguiente proceso de cálculo. El módulo de entrada además de procesar la
información de los formularios de interacción puede recuperar información alimentada en
forma de archivos en disco.
El módulo A de cálculo está destinado y organizado en cuanto al tránsito de
avenidas para embalses con vertederos éstandar o Morning Glory y con espejo de agua
constante o variable. Este módulo está basado en las correspondientes ecuaciones
principales desarrolladas en el capítulo 3. El módulo A emplea el método de Newton-
Raphson para la resolución de las mencionadas ecuaciones.
179
El módulo B de cálculo requiere el hidrograma de salida generado por el módulo A
de cálculo. Este módulo está encargado de la obtención de la altura total de la presa a partir
de un pequeño conjunto de fórmulas conocidas.
El módulo de salida procesa toda los cálculos realizados para presentarlos como
información de salida mediante los formularios de interacción. Este módulo de cálculo es
capaz de generar información de salida en forma de texto, en forma de gráficos y hasta en
forma de archivos en disco.
El código perteneciente a los formularios de interacción y a los módulos ha sido
programado en forma estructurada, o sea mediante subprogramas encargados de tareas
específicas. Los subprogramas o subrutinas son porciones de código independiente unos
de los otros capaces de generar tareas orientadas para proporcionar resultados específicos.
La ilustración 4.5 muestra un subprograma del módulo de información de entrada usado
para almacenar la información del área frente a elevación del embalse en el disco.
Sub guardar1() Open arch1 For Output As #1 For j = 1 To n1 Print #1, h1(j) & " " & a1(j) Next j Close #1 End Sub
Ilustración 4. 5. Subprograma o subrutina para guardar información en disco.
En el Apéndice D se presentan los listados del código fuente de los formularios de
interacción y de los módulos del programa.
180
4.6 Aplicaciones
El programa ha sido codificado para poder resolver las siguientes combinaciones
que vienen a ser las aplicaciones:
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua
constante.
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua
constante.
• Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo
de agua constante.
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua
variable dependiente del ángulo de inclinación del talud de orillas.
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua
variable dependiente del ángulo de inclinación del talud de orillas.
• Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo
de agua variable dependiente del ángulo de inclinación del talud de orillas.
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua
variable dependiente de la curva área y elevación.
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua
variable dependiente de la curva área y elevación.
• Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo
de agua variable dependiente de la curva área y elevación.
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua
variable dependiente de la curva volumen y elevación.
• Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua
variable dependiente de la curva volumen y elevación.
• Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo
de agua variable dependiente de la curva volumen y elevación.
• Cálculo de la altura total de la presa (dependiente del tránsito de avenidas).
181
4.7 Operación del Programa
Esta parte viene a ser lo que se conoce con frecuencia como la referencia del
programa o también como la guía del usuario.
4.7.1 Apertura de Proyecto
El programa está organizado en cuanto a proyectos. Un proyecto es un conjunto de
información que corresponde a algún caso de estudio en particular. Entonces, un proyecto
está compuesto por la información del embalse, de la estructura de salida, del hidrograma
de entrada, y hasta de la información de la presa para un caso o problema en particular.
Para empezar un nuevo proyecto, para abrir un proyecto existente o para guardar un
proyecto debe emplearse el menú archivo del formulario principal. La ilustración 4.6
muestra el menú archivo del programa.
Ilustración 4. 6 . El menú archivo para administración de proyectos.
4.7.2 Configuración del Embalse
Toda la información pertinente a la geometría del embalse debe introducirse a través
del formulario embalse accesible desde el menú tránsito. El formulario del embalse
permite introducir parámetros correspondientes a embalses de espejo de agua constante o
variable. Si se trata de un embalse de espejo de agua variable pueden especificarse los
parámetros de una geometría de talud de orillas o mediante los archivos contenedores de las
182
curvas área frente a elevación o volumen frente a elevación. En la ilustración 4.7 se
muestra el formulario embalse llenado para un problema de espejo de agua constante.
Ilustración 4. 7. El formulario embalse del menú tránsito.
Es importante mencionar aquí que, la información de las curvas de área frente a
elevación y volumen frente a elevación del embalse también pueden introducirse de una
manera tabular o sea manual.
4.7.3 Configuración de la Estructura de Salida
Los parámetros de un vertedero o de una estructura de salida no tradicional del
embalse se introducen por medio del formulario estructura de salida. Cuando se trate de
una estructura de salida no tradicional la información concerniente a la curva caudal y
elevación puede introducirse manualmente o mediante un archivo específico. La
183
ilustración 4.8 muestra el formulario estructura de salida llenado conforme a un vertedero
estándar.
Ilustración 4. 8. El formulario estructura de salida del menú tránsito.
4.7.4 Ingreso del Hidrograma de Entrada
Una vez ingresados el embalse y la estructura de salida es el turno de introducir el
hidrograma de entrada para el tránsito de la avenida. El formulario hidrograma de entrada
es accesible desde el menú tránsito. El hidrograma de entrada puede introducirse mediante
un archivo de texto específico o mediante una forma tabular o manual. El formulario del
hidrograma de entrada es una planilla versátil que permite una entrada ordenada de datos
mediante celdas. Este formulario exige que la información del hidrograma de entrada deba
guardarse en un archivo independiente mediante el comando guardar accesible desde el
menú archivo del mencionado formulario. Finalmente, este formulario también permite
graficar el hidrograma para su verificación visual. La ilustración 4.9 muestra el formulario
de ingreso del hidrograma de entrada.
184
Ilustración 4. 9. El formulario hidrograma de entrada accesible desde el menú tránsito.
Es necesario aclarar que el funcionamiento del anterior formulario es común a los
casos que exijan ingresar información tabular o mediante archivos como el caso de la
estructura no tradicional, etc.
4.7.5 Cálculo del Hidrograma de Salida
El formulario para el cálculo del hidrograma de salida es accesible desde el menú
tránsito. Cuando se tiene un vertedero estándar o Morning Glory es posible especificar
restricciones en cuanto al caudal máximo de salida o en cuanto a la elevación máxima de la
185
carga de agua. La ilustración 4.10 presenta las opciones de restricción de los mencionados
parámetros.
Ilustración 4. 10. Las opciones del formulario hidrograma de salida accesible desde el
menú tránsito.
Cuando se introduce un caudal máximo de salida restringido o una elevación
máxima restringida debe ingresarse la magnitud del cambio del largo de la cresta del
vertedero. Esto porque el programa realiza el tránsito una y otra vez cambiando el largo de
la cresta del vertedero hasta obtener la restricción deseada.
4.7.6 El Reporte del Transito de Avenida
Una vez resuelto el hidrograma de salida puede verse el reporte de resultados
mediante el formulario correspondiente accesible desde el menú tránsito. El reporte de
resultados inicialmente se muestra en modo texto pero permite también una representación
gráfica del hidrograma de salida o de la curva de almacenamiento en el embalse. Para ver
estas gráficas debe irse a los comandos correspondientes que están disponibles en el menú
reporte del formulario reporte. La ilustración 4.11 muestra el formulario reporte de
acuerdo al ejemplo seguido hasta ahora.
186
Ilustración 4. 11. El formulario reporte accesible desde el menú tránsito.
Como se dijo anteriormente, es posible también representar de manera gráfica el
reporte de resultados a partir del menú reporte del formulario reporte. La ilustración 4.12
muestra la gráfica del hidrograma de salida calculado.
Es importante señalar que, el formulario gráfico como el mostrado en la ilustración
4.12 permite cambiar la escala de los ejes de gráfica mediante el empleo de los botones de
escalado situados en la parte inferior izquierda claramente visibles en el formulario.
Finalmente, es conveniente mencionar que el funcionamiento del formulario gráfico es
común a todas las representaciones gráficas que ofrece el programa, o sea común también a
las gráficas de área frente a elevación o volumen frente a elevación por ejemplo.
187
Ilustración 4. 12. Formulario gráfico del hidrograma de salida accesible desde el
menú reporte del formulario reporte.
4.7.7 Ingreso del Volumen Muerto
El primer parámetro a considerarse e ingresarse para el cálculo de la altura de la
presa es el volumen muerto del embalse. Puede introducirse el volumen muerto en función
del porcentaje del volumen útil mediante el formulario volumen muerto accesible desde el
menú presa. El porcentaje por defecto del volumen útil es convencionalmente y
teóricamente igual al 10%. La ilustración 4.13 muestra el formulario del volumen muerto
del embalse.
188
Ilustración 4. 13 . El formulario volumen muerto accesible desde el menú presa.
4.7.8 Ingreso del Volumen Util
El ingreso del volumen útil del embalse es posible mediante el formulario volumen
útil del menú presa. Mediante este formulario debe ingresarse el caudal de demanda y el
caudal de aporte medio. El caudal de aporte medio puede introducirse manualmente o
mediante un archivo específico una vez pulsado el botón modificar del formulario del
volumen útil. La ilustración 4.14 muestra el formulario básico para el ingreso del volumen
útil del embalse.
Ilustración 4. 14. El formulario volumen útil accesible desde el menú presa.
189
4.7.9 Ingreso del Borde Libre
Para ingresar el borde libre debe irse al formulario borde libre accesible desde el
menú presa. Posteriormente debe seleccionarse el tipo de presa, ésta puede ser de concreto
o de tierra. Luego debe introducirse un valor que corresponde a la longitud de acción del
viento, conocido también a veces como el parámetro de Fetch. Por último debe
introducirse la velocidad del viento que sucede lo largo de la longitud considerada
anteriormente. La ilustración 4.15 muestra el formulario del borde libre.
Ilustración 4. 15. El formulario borde libre accesible desde el menú presa.
4.7.10 Cálculo de la Altura de Presa
Antes del cálculo de la altura de presa es necesario que se haya procedido con el
tránsito de la avenida en el embalse puesto que la altura depende de los resultados del
tránsito como la elevación de la carga de agua.
Para calcular la altura de la presa debe usarse el comando altura de presa que es
accesible desde el menú presa. Los cálculos de la altura de presa involucran cálculos
preliminares de volúmenes de presa como se pueden apreciar mediante el comando reporte
del menú presa.
190
4.7.11 El Reporte de Altura de Presa
El reporte de altura de presa es un formulario accesible desde el menú presa. Al
igual que en el tránsito de la avenida este formulario inicialmente se presenta en modo texto
pero permite también la gráfica de la curva de masa usada para la determinación del
volumen útil. La curva de masa es accesible desde el menú reporte del formulario reporte
mediante el comando aporte acumulado. La ilustración 4.16 muestra el formulario del
reporte de altura de presa de acuerdo al ejemplo seguido hasta ahora.
Ilustración 4. 16. El formulario reporte de altura de presa accesible desde el menú
presa.
191
4.7.12 Opciones: Generales
Puede especificarse la precisión en cuanto a las posiciones decimales mediante el
formulario generales accesible desde el menú opciones. En este menú opciones también
pueden especificarse la descripción del proyecto en cuestión y la magnitud de la
aceleración de la gravedad que será usada en el tránsito de avenidas. La ilustración 4.17
presenta el formulario generales del menú opciones.
Ilustración 4. 17. El formulario generales accesible desde el menú opciones.
Además, se ha incluido una opción para la consideración del caudal de salda por la
toma de la presa. Esta opción denominada “sobreponer gasto de toma” requiere la entrada
del coeficiente de gasto, del diámetro, y de la distancia del eje de la toma a la cresta o cima
del vertedero. Con esto se genera un archivo texto titulado “caudal y elevación” que puede
ser usado como información de entrada para la estructura de salida no tradicional del
formulario estructura de salida (ilustración 4.8). La fórmula usada para la generación de
ésta relación es la siguiente:
)(2 1 Dvs HHgSCQQ +⋅⋅+= (4.1)
En la ecuación (4.1), Qv es el caudal de salida correspondiente a un vertedero estándar o
Morning Glory, dado por las ecuaciones 3.16 y 3.38, respectivamente. El parámetro C es el
coeficiente de gasto, S es la sección de la toma, g es la aceleración de la gravedad, H1 es la
distancia del eje de la toma a la cima del vertedero, y Hd es la carga sobre la cresta del
192
vertedero. La ilustración 4.18 muestra el formulario sobreponer gasto de toma accesible
desde el menú opciones:
Ilustración 4. 18. El formulario sobreponer gasto de toma accesible desde el menú
opciones.
Finalmente, debe señalarse que el formato de los archivos con los que opera el
programa es del tipo texto (*.TXT). Este formato es usado para los archivos de entrada que
el usuario pueda especificar como el hidrograma de entrada, etc. Este formato es usado
también para almacenar el reporte de salida tanto del tránsito de la avenida como de la
altura de la presa.
193
CAPITULO 5
CASOS DE ESTUDIO (APLICACIÓN A CASOS PRACTICOS)
En ésta parte se verá como se aplica el método directo por medio del programa
computacional a dos casos de estudio reales que existen en nuestro medio. Primero se
realizará el tránsito de avenidas para el caso de la presa Cacapi en los Yungas de La Paz.
Luego se realizará el tránsito de avenidas para el caso de la presa Taquiña en Cochabamba.
5.1 Presa Cacapi
5.1.1 Descripción del Proyecto
La región de los Yungas es un reto que la naturaleza ha impuesto al dominio del
hombre sobre el planeta. La tierra débil y resbaladiza se opone a la seguridad que debieran
proporcionar los caminos. Y la vasta vegetación se alía con el agua que no deja de caer
para que la mano humana, tan inteligente y poderosa, sólo pueda construir un camino
tortuoso por el que suelen resbalar los vehículos barranco abajo.
Sin embargo, el hombre ha demostrado su testarudez a lo largo de los siglos. En
Sur Yungas la historia se repite. Aun cuando en esta zona cualquier construcción parece
fuera de lugar y destinada al fracaso, un convenio entre la empresa italiana Astaldi y la
Compañía Boliviana de Ingeniería (CBI) ha logrado lo que muchos no creerían ni al verlo
con sus propios ojos. A tres horas y media de la ciudad de La Paz y a lo largo de 22
kilómetros, en medio de un mar de árboles que ondean sobre las montañas y valles de las
194
regiones de Cacapi, Yanachi y Sakahuaya, se ha doblegado al río Taquesi para construir
una central hidroeléctrica en un lugar donde no se divisan las casas del ser humano.
Cuando la obra finalice en marzo del 2002, habrán transcurrido dos años y medio
desde su comienzo. En realidad, es un tiempo reducido si se toma en cuenta sus
dimensiones. No en vano, en la etapa más activa de la construcción se llegaron a emplear
hasta 850 empleados y actualmente unos 350 operarios.
Estos hombres se enfrentan a las difíciles condiciones de la región de los Yungas y a
las exigencias temporales del contrato. El compromiso que tienen con los empresarios les
obliga a desarrollar turnos de 25 días continuados con sólo cinco jornadas libres.
A diferencia de otras construcciones, en este proyecto el diseño y la construcción se
desarrollan de forma paralela. A medida que se avanza sobre el terreno, se modifican los
planos en función de las necesidades geológicas y laborales. Cuando una sección de la obra
se adelanta a las previsiones y otra se atrasa, se transfieren operarios de un lado a otro para
igualar los ritmos de trabajo. Así se tiene una construcción integral y uniforme.
Del mismo modo, el sistema permite adaptar la construcción a las necesidades que
impone la tierra. La región sobre la que se ha desarrollado el proyecto conjunto de Astaldi
y CBI presenta una variedad rocosa que varía en una escala de uno a cinco, siendo la
primera de una dureza semejante a la del granito y la cuarta de una cohesión débil. Cuando
los trabajadores se topan con una piedra que, por su inestabilidad, entraña riesgos en la
construcción, es posible realizar los ajustes técnicos y refuerzos geológicos pertinentes sin
que el proyecto global sufra de mayores retrasos.
Construir una central hidroeléctrica es una tarea compleja que se divide en varias
fases. En primer lugar, la empresa interesada en llevar a cabo la obra realiza los estudios
que aseguren la viabilidad y rentabilidad del proyecto. Si el análisis es positivo, se procede
a obtener las licencias correspondientes para poder operar con el terreno que en el caso de
las hidroeléctricas pertenece al Estado puesto que el agua es un bien público. Superada la
burocracia, comienza el verdadero trabajo.
195
En este caso, fue el río Taquesi a su paso por Cacapi el que tuvo que ser desviado
para elevar la presa. El embalse consta de una fundación en su zona inferior que sirve de
base e impide que el agua se infiltre por el subsuelo. La pared de la presa Cacapi se eleva
25 metros. El hormigón que retiene el embalse es de 5 metros de ancho en la corona y 40
en la base, debido a que en ella la presión hidrostática es máxima.
Para asegurar todo el conjunto y que no existan filtraciones de agua por las paredes
inferiores y laterales de la presa, se inyecta a presión un cemento líquido que penetra en las
grietas y se solidifica en el terreno, técnica conocida como jet grouting. Cada parte de la
central se construye de forma más o menos simultánea. Desde el embalse se construye un
túnel que pasa la montaña para desembocar en un tendido de tubería conocido como
penstock que inicia la caída del agua aprovechando la fuerza de la gravedad. La gran
cantidad de líquido que corre por el tendido de 1.8 metros de diámetro adquiere gran
velocidad en su último tamo. El conducto se estrecha y la presión aumenta en la salida para
mover con fuerza las aletas de una turbina tipo Francis.
Y la energía dinámica se transforma en eléctrica para servir a la sociedad boliviana.
La casa de máquinas correspondiente a la presa Cacapi está capacitada para generar 35 MW
de potencia.
La tabla 5.1 muestra la información más importante del proyecto Cacapi. El
esquema del proyecto Cacapi se muestra en la ilustración 5.1 de a continuación.
5.1.2 Tránsito de Avenidas
Antes que nada, para producir el tránsito de avenidas en el embalse Cacapi es
indispensable un hidrograma de entrada del río Taquesi.
196
Tabla 5. 1. Información del proyecto Cacapi
Descripción
Valor
Unidad
Río (entrada/descarga) Taquesi/Taquesi Presa Cacapi Area de captura de cuenca 107 Km2 Embalse Espejo de agua Area del espejo de agua Almacenamiento
Constante
4785 110000
m2 m3
Niveles Máximo nivel de operación Mínimo nivel de operación Nivel de avenida (Q100)
2547 2536 2549
m.s.n.m. m.s.n.m. m.s.n.m.
Descarga de avenida Período de retorno 1000 años (Q1000) Período de retorno 100 años (Q100) Período de retorno 10 años (Q10)
250 150 75
m3/s m3/s m3/s
Presa Tipo Configuración Nivel de la corona Altura máxima Largo de la corona
Concreto (gravedad)
Simétrica 2550
26 72
m.s.n.m. m m
Vertedero Tipo Longitud de la cresta Elevación de la cresta
Estándar no controlado
33 2547
m m.s.n.m.
Descarga máxima en el desagüe 210 m3/s Descarga de diseño en la toma 7 m3/s Casa de máquinas Turbinas tipo Número de turbinas Salida de la turbina Descarga de diseño Velocidad de rotación
Francis
1 35 7
100
MW m3/s r.p.m.
197
26 m23 m
EmbalseV = 110000 m3
Espejo de aguaA = 4785 m2
Presa de gravedadL = 72 m
TomaQD = 7 m3/s
DesagüeQmax = 210 m3/s
12 m
VertederoL = 33 m
Río Taquesi
Ilustración 5. 1. Esquema del perfil de la presa Cacapi.
Tabla 5. 2. Hidrograma de entrada del río Taquesi.
Tiempo Caudal Tiempo Caudal(h) (m3/s) (h) (m3/s)
0.25 7.90 2.75 53.860.50 11.64 3.00 48.510.75 17.67 3.25 40.521.00 27.18 3.50 33.131.25 37.55 3.75 27.951.50 46.38 4.00 20.981.75 53.52 4.25 15.632.00 57.60 4.50 11.382.25 58.70 4.75 9.172.50 57.34 5.00 7.65
198
El hidrograma de entrada del río Taquesi para un período de retorno de 10 años
aguas arriba del embalse Cacapi se muestra en la tabla 5.2.
Usando el programa Trans debe primero debe introducirse la configuración del
embalse como se muestra en la siguiente ilustración:
Ilustración 5. 2. Introducción de la configuración del embalse Cacapi.
Ilustración 5. 3. Introducción de la estructura de salida de la presa Cacapi.
199
Nótese que se ha introducido un coeficiente de descarga de 0.495 para el vertedero
estándar. Este valor es usado corrientemente para cuestiones de diseño.
Es el turno de ingresar el hidrograma de entrada en el programa de acuerdo a la
tabla 5.2. La siguiente ilustración muestra la gráfica del hidrograma de entrada desde el
programa.
Ilustración 5. 4. Hidrograma de entrada del río Taquesi.
Con toda ésta información introducida ya es posible el cálculo del hidrograma de
salida por la presa Cacapi. La ilustración 5.5 muestra el hidrograma de salida de la presa
Cacapi una vez calculado o sea transitado.
200
Ilustración 5. 5. Hidrograma de salida de la presa Cacapi.
Un examen preliminar de la anterior ilustración nos dice que el hidrograma de salida
de la presa Cacapi es realmente semejante al hidrograma de entrada del río Taquesi debido
a ciertas razones que se discutirán en detalle más adelante.
Junto a la ilustración del hidrograma de salida de Cacapi también es posible obtener
un reporte en modo texto del análisis realizado como se muestra a continuación.
201
HIDROGRAMAS DE ENTRADA Y SALIDA ARCHIVO DEL HIDROGRAMA DE ENTRADA: C:\MIS DOCUMENTOS\TESIS\TRANS\CACAPI (1).TXT TRANSITO DE AVENIDA EN EL EMBALSE: T I O H V (h) (m³/s) (m³/s) (m) (m³) 0.25 7.90 7.90 0.23 1093.12 0.50 11.64 11.03 0.29 1365.69 0.75 17.67 17.23 0.38 1838.04 1.00 27.18 26.30 0.51 2436.93 1.25 37.55 37.05 0.64 3062.37 1.50 46.38 45.85 0.74 3530.00 1.75 53.52 53.23 0.81 3899.66 2.00 57.60 57.43 0.86 4102.09 2.25 58.70 58.73 0.87 4163.61 2.50 57.34 57.45 0.86 4102.89 2.75 53.86 54.11 0.82 3942.27 3.00 48.51 48.84 0.77 3681.81 3.25 40.52 41.08 0.69 3281.04 3.50 33.13 33.50 0.60 2863.55 3.75 27.95 28.26 0.53 2556.96 4.00 20.98 21.60 0.45 2137.34 4.25 15.63 15.89 0.36 1741.92 4.50 11.38 11.82 0.30 1429.60 4.75 9.17 9.23 0.25 1212.15 5.00 7.65 7.87 0.23 1089.98 5.25 7.90 7.71 0.22 1075.62 5.50 7.90 8.02 0.23 1104.58 TIEMPO DE MAXIMOS = 2.25 (h) CAUDAL MAXIMO DE SALIDA = 58.73 (m³/s) ELEVACIÓN MAXIMA = 0.87 (m) ALMACENAMIENTO MAXIMO = 4163.61 (m³)
202
Para finalizar ésta aplicación se discutirán las razones más importantes respecto al
resultado logrado.
Aun que el hidrograma de salida parece ser el mismo que el hidrograma de entrada,
en realidad no lo es como puede verse en reporte anterior. En el reporte anterior puede
verse que el caudal de salida es menor al caudal de entrada antes de alcanzar la cúspide,
pero luego el caudal de salida es mayor al caudal de entrada hasta terminar el tránsito. Este
comportamiento refleja la acumulación y liberación de cierto almacenamiento y es típico de
un hidrograma de salida.
Se ha visto en la parte teórica que el tiempo del movimiento de una avenida está
compuesto por un tiempo de redistribución más un tiempo de traslación. El tiempo de
traslación es 0 en este caso porque se está analizando el tránsito en un sistema agregado
como un embalse. Como los centroides de ambos hidrogramas están muy pero muy
próximos puede afirmarse que el tiempo del movimiento de la avenida es 0 lo que implica a
su vez que el tiempo de redistribución también es 0. Si el tiempo de redistribución es 0
significa que las características del embalse y del vertedero no le dan tiempo a la onda para
que pueda redistribuirse o “amortiguarse” y por eso la onda sale del embalse prácticamente
sin ser afectada.
Un embalse con un espejo de agua relativamente reducido y con una cresta de
vertedero relativamente larga como en el problema en cuestión, hace que el caudal de
entrada sea expulsado como caudal de salida rápidamente debido al corto tiempo o casi
nulo de redistribución.
La presa Cacapi no ha sido diseñada con el fin de detener y laminar tormentas sino
con el fin de regular un cierto caudal (7 m3/s) exigido para la generación de energía
eléctrica. Si la presa tuviese que ser apta para detener o laminar avenidas, entonces
posiblemente sería una presa más elevada en general y con relación a la cresta del
vertedero, además tendría un largo de cresta menor con relación al largo de la corona de la
presa.
203
5.2 Presa Taquiña
5.2.1 Descripción del Proyecto
Se trata de la construcción de una presa en reemplazo de la presa de tierra, tepes y
piedra emboquillada existente.
El área de proyecto incluye la presa Taquiña como fuente de almacenamiento,
regulación y suministro de agua, la cual es complementada por la laguna Vizcachas que se
encuentra aguas arriba. El agua de ambas lagunas se emplea para fines industriales como la
fabricación de la cerveza así como para fines agrícolas.
La presa Taquiña se encuentra localizada al norte de la ciudad de Cochabamba, en
la cordillera del Tunari pero dentro de la provincia Cercado, a 21 Km de la ciudad de
Cochabamba. Tiene una altitud de 4096 m.s.n.m. con un clima frío típico de la cordillera.
La zona de riego está ubicada dentro los límites actuales del área urbana de
Cochabamba, exactamente en las comunidades de Taquiña y Linde.
La zona de riego cuya área es de 114 hectáreas tiene una altitud de 2600 m.s.n.m. y
un clima templado apto para la producción agrícola durante todo el año. Los productos
agrícolas se comercializan en los mercados de la ciudad de Cochabamba así como en las
ferias dominicales de Tiquipaya.
La cuenca Taquiña representa un potencial de aprovechamiento de 1300000 m3 de
agua cada año, de los cuales 1000000 m3 se captarían en el embalse y 300000 m3 serían
regulados durante la época de lluvias.
En reemplazo de la presa rústica actualmente existente cuyo almacenamiento es de
600000 m3 se propone la construcción de una presa de tierra con un volumen útil de
1000000 m3, con una altura máxima de 12 m, con una longitud de 38 m y un ancho de
corona de 4 m. Para la obra de toma y vertedero se ha decidido la construcción de una
204
estructura combinada tipo torre con una capacidad de 4.15 m3/s para avenidas importantes
calculadas a partir de un período de retorno de 500 años.
El sistema de conducción y la red de canales en el área de riego son estructuras
existentes.
Por motivos de costo y seguridad se ha optado por la construcción de una estructura
combinada capaz de cumplir las funciones de vertedero de excedencia y toma. Esta
estructura combinada consiste en una torre, una tubería de conducción y un canal de salida.
Las avenidas se captarán en la cota 4094.5 m.s.n.m. mediante perfiles de vertederos
estándar ubicados en los cuatro lados de la torre que unidos suman un largo de cresta total
de 7 m. Los cálculos hidrológicos para un período de retorno de 500 años han establecido
una descarga máxima de 4.15 m3/s y una elevación máxima de 0.42 m sobre la cresta del
vertedero.
La toma de agua para regulación de caudales hará realidad mediante la instalación
de una compuerta que permita la descarga de 1 m3/s.
La tabla 5.3 es un extracto de la información más relevante del proyecto Taquiña.
El esquema del proyecto de la presa Taquiña se muestra en la ilustración 5.6 de a
continuación.
5.2.2 Tránsito de Avenidas
El siempre necesitado hidrograma de entrada al embalse Taquiña consistente en
información ordenada de tiempo frente a caudal para un período de retorno de 500 años se
muestra en la tabla 5.4.
205
Tabla 5. 3. Información del Proyecto Taquiña.
Descripción
Valor
Unidad
Curso de agua Deshiele de la cordillera Tunari
Presa Taquiña Area de captura de cuenca 4.6 Km2 Embalse Espejo de agua Area media del espejo de agua Almacenamiento
Variable
92000 1000000
m2 m3
Niveles Máximo nivel de operación Mínimo nivel de operación Nivel de avenida (Q500)
4094.5
4090 4095
m.s.n.m. m.s.n.m. m.s.n.m.
Descarga de avenida Período de retorno 500 años (Q500)
4.15
m3/s
Presa Tipo Nivel de la corona Altura máxima Largo de la corona
Tierra (zonificada)
4096 12 38
m.s.n.m. m m
Vertedero Tipo Longitud de la cresta Elevación de la cresta
Cresta estándar en estructura
combinada tipo torre 7
4094.5
m m.s.n.m.
Descarga máxima en la toma 1 m3/s Servicios Industriales Agrícolas – Area de riego
Fabricación de cerveza
1140000
m2
206
Deshiele de lacordillera Tunari
12 m10½ mEmbalse
V = 1000000 m3
Espejo de aguaA = 92000 m2
Presa de tierraL = 38 m
TomaQmax = 1 m3/s
DesagüeQmax = 1 m3/s
6 m
VertederoL = 7 m
Ilustración 5. 6. Esquema del perfil del proyecto Taquiña.
Tabla 5. 4. Hidrograma de entrada del embalse Taquiña.
Tiempo Caudal Tiempo Caudal Tiempo Caudal(min) (m3/s) (min) (m3/s) (min) (m3/s)
15.00 0.00 180.00 8.58 330.00 1.1530.00 0.03 195.00 7.36 345.00 0.6645.00 0.16 210.00 6.35 360.00 0.3960.00 0.49 225.00 5.56 375.00 0.2575.00 1.22 240.00 5.00 390.00 0.1690.00 3.22 255.00 4.57 405.00 0.13
105.00 13.38 270.00 4.24 420.00 0.10120.00 15.25 285.00 3.72 435.00 0.07135.00 14.10 300.00 2.79 450.00 0.03150.00 12.07 315.00 1.81 465.00 0.00165.00 10.16
207
Primero debe introducirse en el programa la configuración del embalse Taquiña. La
configuración del embalse para el proyecto Taquiña sugiere la introducción de la relación
área y elevación del embalse relativa a la cresta del vertedero. La ilustración 5.7 muestra la
tabla al respecto extraída desde el programa.
Ilustración 5. 7. Introducción de la configuración del embalse Taquiña.
La gráfica de la relación área frente a elevación a partir de la cresta del vertedero se
muestra en la ilustración 5.8.
208
Ilustración 5. 8. Relación área frente a elevación del embalse Taquiña.
Ilustración 5. 9. Introducción de la estructura de salida de la presa Taquiña.
209
A continuación debe ingresarse la configuración del vertedero como se muestra en
la ilustración 5.9.
Finalmente debe entrarse el hidrograma de entrada del embalse Taquiña de acuerdo
con la tabla 5.4. Una vez entrado puede apreciarse la gráfica desde el programa como se
muestra en la siguiente ilustración 5.10.
Ilustración 5. 10. Hidrograma de entrada del embalse Taquiña.
Con toda esta información ya introducida ahora puede transitarse la avenida.
Después de transitarse la avenida puede apreciarse la gráfica del hidrograma de salida de la
presa Taquiña como se muestra en la ilustración 5.11.
210
Ilustración 5. 11. Hidrograma de salida de la presa Taquiña.
Puede decirse de manera preliminar que el resultado obtenido corresponde a un tipo
de comportamiento corriente o habitual en casos como la presa Taquiña. Esto significa que
el embalse ha cumplido una buena función en lo respecta a la reducción de los caudales que
involucra la tormenta.
También puede generarse un reporte en modo texto del tránsito de avenidas como se
muestra la página de a continuación.
211
HIDROGRAMAS DE ENTRADA Y SALIDA ARCHIVO DEL HIDROGRAMA DE ENTRADA: C:\MIS DOCUMENTOS\TESIS\TRANS\TAQUIÑA (1).TXT TRANSITO DE AVENIDA EN EL EMBALSE: T I O H V (h) (m³/s) (m³/s) (m) (m³) 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.03 0.00 0.00 68.09 0.75 0.16 0.00 0.00 116.94 1.00 0.49 0.00 0.00 385.94 1.25 1.22 0.02 0.01 1146.90 1.50 3.22 0.07 0.03 3106.03 1.75 13.38 0.43 0.09 10351.57 2.00 15.25 1.37 0.20 22427.54 2.25 14.10 2.54 0.30 33878.89 2.50 12.07 3.61 0.38 42888.29 2.75 10.16 4.45 0.44 49264.65 3.00 8.58 5.02 0.47 53435.33 3.25 7.36 5.38 0.50 55926.61 3.50 6.35 5.56 0.51 57173.07 3.75 5.56 5.61 0.51 57506.24 4.00 5.00 5.57 0.51 57228.29 4.25 4.57 5.47 0.50 56566.47 4.50 4.24 5.34 0.49 55664.66 4.75 3.72 5.18 0.48 54513.18 5.00 2.79 4.95 0.47 52886.87 5.25 1.81 4.64 0.45 50644.60 5.50 1.15 4.27 0.43 47967.58 5.75 0.66 3.90 0.40 45105.76 6.00 0.39 3.53 0.38 42236.08 6.25 0.25 3.19 0.35 39498.47 6.50 0.16 2.89 0.33 36946.29 6.75 0.13 2.62 0.31 34598.98 7.00 0.10 2.38 0.29 32454.36 7.25 0.07 2.17 0.27 30486.40 7.50 0.03 1.97 0.25 28668.62 7.75 0.00 1.80 0.24 26982.39 8.00 0.00 1.65 0.23 25428.92 TIEMPO DE MAXIMOS = 3.75 (h) CAUDAL MAXIMO DE SALIDA = 5.61 (m³/s) ELEVACIÓN MAXIMA = 0.51 (m) ALMACENAMIENTO MAXIMO = 57506.24 (m³)
212
De acuerdo al análisis de caudal realizado puede afirmarse con confianza que, según
la posición relativa de los centroides de los hidrogramas de entrada y salida indudablemente
ha ocurrido un tiempo de redistribución implicando un amortiguamiento de la onda caudal
gracias a la configuración del embalse y vertedero.
Una relación de embalse y vertedero como la correspondiente al caso del proyecto
Taquiña o sea un embalse de piscina ancha y un vertedero relativamente pequeño ha
permitido una buena laminación de la avenida.
No obstante, el caudal pico de salida es de 5.61 m3/s y la elevación máxima
correspondiente sobre la cresta del vertedero es de 0.51 m. Esto contrasta con los valores
hallados y mencionados en el proyecto o sea 4.15 m3/s y 0.42 m respectivamente. La
diferencia se debe principalmente a una propagación de errores generada por el
procedimiento manual y parcialmente gráfico del método tradicional de la piscina nivelada
que se había empleado en el tránsito que se menciona en el proyecto. Entonces, gracias al
empleo del método directo por medio del programa computacional puede obtenerse
resultados máximamente aproximados como los vistos aquí. Felizmente el proyecto no se
verá afectado por éstas diferencias puesto que son relativamente pequeñas y gracias al
factor de seguridad siempre presente a la hora del diseño.
Finalmente hay que señalar que la presa Taquiña tiene una apreciable capacidad
para la detención de tormentas o crecidas lo cual es favorable siempre para la conservación
de la vida existente aguas debajo de la presa.
213
CAPITULO 6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El tránsito de avenidas en embalses permite determinar el hidrograma de salida que
pasa por el vertedero de excedencia de la presa una vez conocido el hidrograma de entrada
aguas arriba. Por lo tanto, mediante el tránsito de avenidas es posible determinar el caudal
máximo de salida a través del vertedero, dato imprescindible para el diseño del vertedero de
la presa y para el cálculo de la altura de la misma.
En un embalse con piscina ancha y profunda comparada con su longitud en la
dirección del flujo, el hidrograma de entrada intercepta al hidrograma de salida en el punto
de caudal máximo de salida, justo cuando el almacenamiento en el embalse es máximo.
Los métodos tradicionales para el cálculo del tránsito de avenidas en embalses
requieren esfuerzo preliminar como la elaboración y consulta de tablas y curvas para dar
con el hidrograma de salida. Estos métodos tradicionales producen resultados afectados de
errores de aproximación que son introducidos durante la consulta de curvas la cual
depende de la interpretación personal.
El método directo resulta ser una mejor alternativa para el tránsito de avenidas
porque permite resultados más precisos, porque permite una total automatización de los
cálculos, porque ofrece una mejora en los procedimientos de cálculo y porque ofrece una
mínima carga de trabajo.
La ecuación principal del método directo puede ser deducida a partir de la forma
discreta de la ecuación de continuidad. En la ecuación principal del método directo pueden
214
identificarse dos parámetros importantes: Un parámetro es conocido como el parámetro
físico del embalse y vertedero. El otro parámetro es conocido como el parámetro de
almacenamiento.
El parámetro físico del embalse y vertedero siempre es el coeficiente de la incógnita
de la ecuación principal. Este parámetro siempre incluye constantes correspondientes a las
propiedades del embalse y vertedero. El parámetro físico del embalse y vertedero siempre
es positivo porque depende de valores definidamente positivos. Finalmente, éste parámetro
influye directamente en la forma de la curva de la ecuación principal.
El parámetro de almacenamiento es el término independiente en la ecuación
principal. Este parámetro depende solamente del caudal de entrada y del caudal de salida
del embalse y los valores que involucra tienen una relación proporcional con los valores del
almacenamiento en el embalse. El parámetro de almacenamiento siempre es negativo y su
valor absoluto es igual al valor obtenido en la evaluación de la expresión restante de la
ecuación principal usando la solución de la misma. Finalmente, el parámetro de
almacenamiento influye directamente en la posición respecto al origen de la curva de la
ecuación principal.
El análisis de la función de la ecuación principal ha demostrado que el dominio de
la variable independiente siempre está restringido a los reales positivos. El rango de la
función de la ecuación principal siempre tiene como límite inferior el valor del parámetro
de almacenamiento y como límite superior el infinito positivo. La curva de la función de la
ecuación principal siempre intercepta los ejes horizontal y vertical en la solución de la
ecuación y en el parámetro de almacenamiento, respectivamente. La curva de la función de
la ecuación principal no es simétrica respecto a ningún eje. La función de la ecuación
principal tiene una función inversa. La función de la ecuación principal siempre tiene un
único cero correspondiente a la raíz de la ecuación principal. La ecuación principal puede
resolverse mediante métodos numéricos y en la mayoría de los casos hasta por métodos
algebraicos.
215
La función de la ecuación principal permite la derivación del método de la curva
característica y del método de la ecuación alternativa para el tránsito de avenidas en
embalses. El método de la curva característica es una propuesta interesante de un nuevo
método gráfico que normalmente permite la generación de una curva para todo el tránsito
de la avenida en el embalse. El método de la ecuación alternativa consiste en una función
que representa la versión log-log de la curva característica y que puede transformarse en
una útil ecuación para la solución del tránsito de la avenida en el embalse. No obstante el
método de la ecuación alternativa no siempre está disponible porque depende de las
propiedades del sistema hidrológico tratado en particular. Finalmente, es importante
recordar que tanto el método de la curva característica como el método de la ecuación
alternativa son métodos aproximados.
La ecuación principal del método directo tiene correspondencia biunívoca con las
propiedades del embalse y del vertedero del sistema en cuestión por lo que puede ser usada
solamente para ese tipo de sistema hidrológico.
La ecuación principal es relativamente fácil de deducir cuando se tienen sistemas
con embalses con espejo de agua constante y vertederos con ecuación de caudal de salida
definida. Este argumento es coherente con las ecuaciones principales correspondientes a
sistemas de embalse con espejo de agua constante y vertederos estándar o Morning Glory
como los tratados en capítulo 3.
Cuando se tienen sistemas con embalses de espejo de agua constante y vertederos
con ecuación desconocida o dada en forma tabular es permisible la deducción de la
ecuación principal mediante la correlación. La ecuación principal resultante es una muestra
de la automatización que se puede lograr mediante el método directo para el tránsito de
avenidas.
Cuando se tienen sistemas con embalses de espejo de agua variable y vertederos con
ecuación definida es permisible la obtención de la ecuación principal mediante la aplicación
de la fórmula del volumen del vaso del embalse. Se ha visto en el capítulo 3 que esto es
posible para un embalse con espejo de agua variable asumiendo un ángulo de inclinación
del talud de orillas constante.
216
Cuando se tienen sistemas combinados o sea con embalses de espejo de agua
variable dependiente de una relación área frente a elevación o una relación volumen frente
a elevación dada de una manera tabular y con vertederos de ecuación de caudal de salida no
definida y más bien dada de forma tabular, también es factible la obtención de una ecuación
principal mediante la técnica de la correlación.
En fin, la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en
embalses siempre es posible para cualquier sistema embalse-vertedero dado. Y como se
dijo anteriormente, en la ecuación principal resultante siempre podrán distinguirse el
parámetro físico del embalse y vertedero y el parámetro del almacenamiento.
Gracias al método directo y su ecuación principal propuesta por William Iraizos es
viable la elaboración de programas en computadora completamente automáticos para el
tránsito de avenidas en embalses como el programa creado para este Proyecto de Grado.
Como producto de la generación de un programa en computadora es posible transformar el
tránsito de avenidas en un procedimiento iterativo para que pueda verificar restricciones en
cuanto a las propiedades del hidrograma de salida. En el programa elaborado para este
Proyecto de Grado es fácil condicionar el caudal de salida o la elevación sobre la cresta del
vertedero para diseñar el vertedero.
Por último, se vio en el capítulo anterior como puede aplicarse el método directo
mediante el programa de computadora para el tránsito de avenidas en embalses reales y
existentes en nuestro medio. En un primer caso como en la presa Cacapi se verificó que el
sistema no es competente para la laminación de avenidas porque el hidrograma de salida es
aproximadamente igual al hidrograma de entrada. Se argumentó que las razones de esto se
deben sobre todo a las funciones del embalse para las cuales está diseñado. En un segundo
caso como en la presa Taquiña se verificó un hidrograma de salida “normal” implicando
que la presa posee una propiedad de laminación de avenidas. Se argumentó que los
motivos para esto están relacionados con la defensa de la vida existente aguas debajo de la
presa.
217
BIBLIOGRAFIA
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Universidad Mayor de San Simón. Cochabamba, Bolivia.
219
APENDICE A
VERTEDEROS
A.1 Vertedero Estándar
El flujo sobre una estructura consiste en líneas aerodinámicas curvadas cuyo origen
de curvatura cae debajo del flujo. La componente gravitacional de un elemento del fluido
se ve entonces reducida por la fuerza centrífuga. Si la curvatura es lo suficientemente
grande entonces la presión interna puede caer debajo de la presión atmosférica e incluso
debajo de la presión de vapor para grandes estructuras. Por consiguiente, la cavitación
puede ser un hecho implicando un daño sumamente potencial. Dada la importancia de una
estructura de excedencia, estas condiciones son verdaderamente inaceptables.
Ilustración A. 1. Vertedero de pared delgada completamente aireado según Hager y
Vischer (1999).
220
Para estructuras de excedencia medianas y grandes, la forma de la cresta de un
vertedero de pared delgada completamente aireado, es adoptada, esto porque el chorro
resultante corresponde a un estado natural que involucra la presión atmosférica entre la
napa inferior y superior del rebalse. La ilustración A.1 muestra un vertedero de pared
delgada completamente aireado.
Ilustración A. 2. Diseño del perfil del vertedero estándar.
A.1.1 Forma de la Cresta
La forma de la cresta es importante con respecto a la distribución inferior de
presiones. Pequeñas modificaciones tienen un efecto significante en la presión inferior,
mientras que las características de descarga permanecen casi invariables. La geometría de
la napa inferior no puede ser simplemente expresada por medios analíticos. La mejor
aproximación consiste en un perfil compuesto de tres arcos para el cuadrante ascendente, y
una función potencial para el cuadrante descendente, con la cresta como origen del sistema
221
cartesiano de coordenadas ),( zx . La cresta de acuerdo a lo explicado se muestra en la
ilustración A.2.
Tabla A. 1. Coordenadas básicas del perfil del vertedero estándar.
Punto
O1
O2
O3
P1
P2
P3
dHx /
0.000
-0.105
-0.242
-0.175
-0.276
-0.2818
dHz / 0.500 0.219 0.136 0.032 0.115 0.1360
La magnitud de escalado para el perfil de la cresta del vertedero estándar se llama
carga de diseño Hd. Las otras magnitudes no tienen dimensiones y están normalizadas con
respecto a Hd, tal como 50.0/1 =dHR , 20.0/2 =dHR y 04.0/3 =dHR , que son los
radios relativos de los tres arcos de la parte ascendente. Los orígenes de las curvaturas, O1,
O2, y O3, así como los puntos de transición, P1, P2, y P3 para el cuadrante ascendente se
muestran en la tabla A.1.
La forma del cuadrante descendente del perfil de la cresta del vertedero estándar
puede calcularse de acuerdo a la siguiente ecuación:
85.1
50.0
=
dd Hx
Hz
0>x (A.1)
A.1.2 Descarga
La descarga de un vertedero estándar está dada por la siguiente ecuación:
2/32 HgbCQ d= (A.2)
222
En la ecuación (A.2), Cd es el coeficiente de descarga, b el ancho del vertedero, y g
la aceleración gravitacional. El coeficiente de descarga puede variar de acuerdo a la carga
relativa dHH /=χ , y de acuerdo a la ecuación:
+
+=χ
χ59
41
332
dC (A.3)
Cuando 0→χ , el rebalse es superficial y prácticamente se tiene presión
hidrostática. Luego, el coeficiente de descarga es 385.0=dC . Para el diseño, puede
considerarse 1=χ y por lo tanto un 495.0=dC .
A.1.3 Cavitación
Vertederos estándar con 1<χ se consideran subdimensionados. Vertederos
estándar con 1>χ se consideran sobredimensionados y con presiones inferiores
subatmosféricas. Inicialmente, los vertederos sobredimensionados se consideraban
ventajosos con respecto a su capacidad. Sin embargo, se sabe que el incremento de Cd
para 1>χ no es significativo mientras que la reducción en la presión inferior si lo es. Por
consiguiente sobredimensionar un vertedero estándar es sumamente riesgoso para la
cavitación.
A.2 Vertedero Morning Glory
Un vertedero Morning Glory está compuesto de tres partes: una cresta circular, una
chimenea vertical, y un conducto de desviación. La descarga de diseño deberá producir un
flujo libre superficial para lo cual la chimenea vertical y el conducto de desviación deberán
tener la suficiente capacidad. Con el fin de promover la presión atmosférica desde la cresta
circular hasta el conducto de desviación, es normal incluir un conducto de aireación en la
chimenea vertical. Un vertedero Morning Glory se muestra en la ilustración A.3.
223
Ilustración A. 3. Esquema de un vertedero Morning Glory.
Los vertederos Morning Glory son típicamente usados para presas de pequeña a
mediana descarga de diseño, con un máximo aproximado de 1000 m3/s. La altura del
vertedero puede llegar hasta casi 100 m aunque 50 m es más relevante. La estructura tiene
una cresta circular de perfil estándar, una chimenea vertical, un conducto de aireación y un
conducto de desviación que descarga en un disipador de energía. Un vertedero Morning
Glory es ventajoso cuando:
• La acción sísmica es pequeña.
• El conducto de desviación puede ser conectado a un canal de desviación ya
existente.
• Los escombros flotantes son inofensivos.
• El espacio para la estructura de excedencia es limitado.
• Las condiciones geológicas son ideales para el establecimiento de estructuras.
• Es buscado un corto canal de desviación.
224
Los escombros flotantes son despreciables si la cresta y la chimenea tienen el radio
suficientemente largo. La participación de un vertedero Morning Glory en un proyecto con
presa de tierra se muestra en la ilustración A.4.
Ilustración A. 4. Vertedero Morning Glory en un proyecto de presa de tierra. 1)
Toma. 2) Morning Glory. 3) Cámara de inspección. 4) Túnel de descarga. 5)
Disipador de energía.
El diseño del vertedero Morning Glory incluye la cresta circular, el conducto de
desviación, y el conducto de aireación. La estructura es propensa a flujo rotatorio que
deberá ser evadido con la adecuada selección de la ubicación del vertedero con respecto a
la topografía del embalse y con respecto al eje de la presa. El flujo radial puede ser
mejorado con la construcción de rompeolas sobre la cresta circular.
225
A.2.1 Forma de la Cresta
La forma del perfil de la cresta circular del vertedero Morning Glory es una
extensión lógica de la forma del perfil de la cresta del vertedero estándar. El perfil de la
cresta también puede modelarse usando la siguiente ecuación:
XXZ ln−= 6.1<X (A.4)
El perfil de la cresta de acuerdo a lo anterior se muestra en la ilustración A.5
Z
X
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Ilustración A. 5. Perfil de la cresta del Morning Glory.
A.2.2 Descarga
La descarga de un vertedero Morning Glory está dada por:
2/322 HgRCQ d π= (A.5)
226
En la ecuación (A.5), R es el radio de la cresta circular, H la carga sobre la cresta, y
Cd el coeficiente de descarga que depende de H y R como se muestra a continuación:
−=
RH
Cd 20.01515.0 5.02.0 <<RH
(A.6)
Nótese que de acuerdo a la obstrucción del flujo, la descarga baja cuando la carga
relativa sube. Para 2.0/ =RH el coeficiente de descarga es igual al valor base 495.0=dC
de los vertederos de cresta recta.
Para una descarga de diseño dada, el par H y R para 5.0/2.0 << RH debe ser
determinado.
A.2.3 Ubicación
El vertedero Morning Glory debe ser ubicado de tal manera que la altura estructural
se mantenga pequeña, y el flujo de las vecindades circule con libertad. También, la
conexión a un canal de desviación ya existente debe tener el menor costo posible. La
asimetría en el flujo de las vecindades puede ser mejorada mediante la excavación del suelo
sobresaliente y formaciones de roca, además de la construcción de rompeolas sobre la
cresta circular.
A.2.4 Chimenea Vertical
La cresta circular del vertedero Morning Glory está conectada al conducto de
desviación mediante la chimenea vertical. La chimenea deberá tener un eje vertical, un
diámetro constante, y deberá conducir el flujo interior con el suficiente aire para garantizar
un flujo libre superficial.
Para un diseño preliminar, el radio de la chimenea puede ser calculado a partir del
radio de la cresta circular de acuerdo a lo siguiente:
227
RRch 1.01+= (A.7)
Es importante notar que la ecuación (A.7) es válida solo en metros. Si no se
estiman escombros flotantes puede establecerse un radio mínimo de 5.1=chR m. Por otra
parte, si los escombros flotantes son excesivos, entonces el vertedero Morning Glory es
quizás la peor opción.
A.2.5 Aireación
La aireación de la chimenea asociada con el flujo libre superficial es un concepto
importante en el diseño del vertedero Morning Glory. La aireación promueve un flujo
relativamente suave con una distribución de la presión casi atmosférica, e inhibe la
vibración, cavitación, y otros. El diseño de un conducto de aireación es entonces muy
importante, pese a que hasta hoy no ha sido bien estudiado.
228
APENDICE B
METODOS NUMERICOS PARA LA
RESOLUCION DE ECUACIONES
B.1 Método Newton-Raphson
Considérese un punto x0 que no es una raíz de la función )(xf , pero si
razonablemente está cercana a ella. Al expandir )(xf en series de Taylor alrededor de x0:
L+′′−+′−+= )(
!2)(
)()()()( 0
20
000 xfxx
xfxxxfxf (B.1)
Si se supone que )(xf es igual a 0, entonces x deberá ser una raíz y el miembro
derecho de la ecuación (B.1) constituirá una ecuación para la raíz x. Desafortunadamente,
la ecuación es del tipo polinomio de grado infinito. Sin embargo, un valor aproximado de
la raíz x puede ser obtenido suponiendo que )(xf es igual a 0 y tomando solamente los dos
primeros términos del miembro derecho de la ecuación (B.1):
)()()(0 000 xfxxxf ′−+= (B.2)
Aislando x de la ecuación (B.2), se tiene:
)()(
0
00 xf
xfxx
′−= (B.3)
229
O también:
)()(
0
00 xf
xfxx
′−==− δ (B.4)
Ahora x representa un mejor estimado de la raíz y puede hacer el papel de x0 para
producir todavía un mejor estimado de la raíz en la siguiente iteración. La expresión
general para el método Newton-Raphson puede ser escrita como:
)()(
)(
)()1()()1(
n
nnnn
xfxf
xx′
−==− ++ δ (B.5)
En la ecuación (B.5), los superíndices n y n+1 designan la anterior y actual
iteración. La iteración converge rápidamente a la raíz para la mayoría de las funciones. El
algoritmo del método se muestra en la ilustración B.1.
Entrada x0, ε
0xx =
)(/)( xfxf ′−=δ
δ+= xx
εδ < Raíz xSiNo
Ilustración B. 1. Algoritmo del método Newton-Raphson.
230
El algoritmo termina cuando la magnitud del cambio del valor de la raíz, δ, es
menor a una magnitud predeterminada ε. Esto no garantiza una precisión de ε en la raíz.
Aunque es posible un análisis de convergencia más sofisticado, una regla muy útil y
conservadora es elegir un ε igual a un décimo del error permisible en la raíz.
B.2 Método de la Secante
El método de la secante es una modificación del método Newton-Raphson. El
método de la secante contiene una diferencia en vez de la derivada en la fórmula del
Newton-Raphson. Esto es ventajoso cuando la función es difícil de derivar, y también es
conveniente para la programación ya que permite la introducción de una sola expresión
algebraica. De acuerdo a lo explicado se tiene:
( ) )()1()(
)()1()()1(
/)()()(
nnn
nnnn
xfxfxf
xxδ
δ −++
−−=− (B.6)
Para usar éste método, )( )1( −nxf deberá ser guardada. Este es el valor de f de dos
iteraciones previas a la actual. Como no se tendrá disponible tal valor para la primera
iteración, deberá suministrarse dos estimados iniciales y diferentes para la raíz, x0 y x00. El
algoritmo del método de la secante se muestra en la ilustración B.2.
Para la mayor parte de las funciones, el método de la secante puede no ser tan
rápido como el de Newton-Raphson, pero sus ventajas pueden balancear está perdida de
rapidez. Si evaluar la primera derivada de la función consume demasiado tiempo, entonces
el método de la secante podría requerir menos tiempo que el método de Newton-Raphson.
231
Entrada x0, x00, ε
000 xx −=δ
0xx =
)( 00)1( xff n =−
)()( xff n =
δδ
/)( )1()(
)(
−−−= nn
n
fff
δ+= xx
εδ <
Raíz x
)()1( nn ff =−
No
Si
Ilustración B. 2. Algoritmo del método de la secante.
232
APENDICE C
METODOS ALGEBRAICOS
PARA LA RESOLUCION DE
ECUACIONES DE TERCER GRADO
C.1 Método de Cardano
La fórmula general para la resolución algebraica de las ecuaciones del tipo
polinomio de tercer grado se atribuye a Cardano. La formula de Cardano será deducida a
continuación.
Antes, es interesante señalar que, Girolamo Cardano (1501-1576) fue físico,
astrólogo y matemático, autor de Ars Magna, primer texto latino dedicado exclusivamente
al álgebra y en cuyo contenido se incluyó la solución de las ecuaciones cúbicas,
procedimiento que se dice obtuvo Cardano de su descubridor, Niccolo Tartaglia, con una
promesa en secreto que Cardano dejó de cumplir.
Sea una ecuación de tercer grado de la forma:
023 =+++ dcxbxax (C.1)
La ecuación (C.1) puede transformarse en:
0~~~ 23 =+++ cxbxax (C.2)
233
En la ecuación (C.2), aba /~ = , acb /~ = y adc /~ = . Simplificando la notación, la
ecuación (C.2) puede escribirse simplemente como:
023 =+++ cbxaxx (C.3)
Como primer paso se hara desaparecer el término cuadrático o sea 2ax mediante el
uso de la siguiente ecuación:
α+= zx (C.4)
Substituyendo la ecuación (C.4) en la (C.3), y ordenando, se tiene:
0)()23()3( 23223 =+++++++++ cbazbazaz αααααα (C.5)
Haciendo 3/a−=α y substituyendo en la ecuación (C.5), se tiene:
03 =++ qpzz (C.6)
En la ecuación (C.6), p y q están definidos de acuerdo a:
ba
p +−=3
2
(C.7)
caba
q +−=327
2 3
(C.8)
Como segundo paso se convertirá la ecuación (C.6) en una ecuación cuadrática o de
segundo grado de acuerdo al desarrollo a continuación.
234
Si vuz += entonces la ecuación (C.6) se transforma en:
qvupuvvu −=++++ ))(3(33 (C.9)
Haciendo 03 =+ puv se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
qvu −=+ 33 (C.10)
27
333 p
vu −= (C.11)
Combinando las ecuaciones (C.10) y (C.11), se tiene:
027
32 =−+
pqλλ (C.12)
En la ecuación (C.12), 3u=λ . Al resolver la ecuación (C.12), y combinar el
resultado con las ecuaciones (C.10) y (C.11) se obtiene:
332
2742pqq
u ++−= (C.13)
332
2742pqq
v +−−= (C.14)
Aparentemente se tendrían seis soluciones pero gracias a 3/puv −= se tienen tres.
Finalmente, substituyendo las ecuaciones (C.13) y (C.14) en vuz += , y la
resultante en α+= zx , se tiene la famosa fórmula de Cardano:
abpqqpqq
x327422742
332
332
−+−−+++−= (C.15)
235
O también como:
abpqqpqq
x322
3
32742
3
32742
−+−−
+++−
= (C.16)
Es importante señalar que a y b en las ecuaciones (C.15) y (C.16) corresponden a la
ecuación (C.1).
