10.1.2C. R Ecuaciones con 10.1 Valor Absoluto...

452 Álgebra 453Und. 10 Valor Absoluto

Cuando queremos representar la distancia en la recta numérica, entre un número conocido y otro desconocido, recurrimos al concepto de valor absoluto.

En la figura (a) se verifica que:

|x – 7| = 5

En la figura (b), se cumple que: |7 – x| = 5

Obsérvese que ambas expresiones represen-tan la distancia del número «x» al número 7.

10.1.1. Definición

Dado el número real «x», el valor absoluto de x representado por |x| es aquel número no nega-tivo que se forma a partir de x mediante la siguiente regla de correspondencia:

|x| = x x

xx x

; 00 ; si 0- ; si 0

si >=<

Frecuentemente se dice que el valor absoluto es la relación funcional que transforma a un número en otro similar pero con signo positivo.

Veamos algunos ejemplos:

a) |4| = 4 b) |0| = 0 c) |-7| = -(-7) = 7

10.1.2. Teoremas

10.1.2A. x2 =|x| ; ∀ x ∈ R

Ejemplo.- 7 5 7 5 7 5 122 2+ = + = + =( ) | | | |- -

10.1.2B. |x| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R

Ejemplos.- |0| = 0, en efecto: |0| ≥ 0 ; |5| = 5, en efecto: |5| ≥ 0 ; |-4| = 4, en efecto: |-4| ≥ 0

10.1.2C. |x2| = |x|2 = x ; ∀ x ∈ R

Ejemplos.- |32| = |3|2 = 32 = 9 ; |(-5)2| = |-5|2 = 52 = 25

10.1.2D. |x| = |-x| ; ∀ x ∈ R

Ejemplo.- |8| 8

|-8| 8|8| |-8|

=

=

→ =

10.1.2E. |x · y| = |x| · |y| ; ∀ x, y ∈ R

Ejemplo.- |5 · 3| = |15| = 15 ; |5 · 3| = |5| · |3| = 5 · 3 = 15

10.1.2F. xy

xy

= | || |

; ∀ x ∈ R ; y ∈ R – {0}

Ejemplo.- 123

4 4 123

123

123

4= = = = =; - -

10.1.3. Ecuaciones con Valor Absoluto

10.1.3A. Forma: |x| = 0

Para su resolución se debe plantear la siguiente igualdad: x = 0

Ejemplo.- Calcular «x» en: |2x – 1| = 0

2x – 1 = 0 → 2x = 1 \ x = 1/2

10.1.3B. Forma: |x| = a

Si: a ≥ 0, la ecuación es compatible determinada y para su resolución se plantea la igualdad:x = a ∨ x = -a

Ejemplo.- Calcular «x» en: |5x + 3| = 8

5x + 3 = 8 ∨ 5x + 3 = -8

5x = 5 ∨ 5x = -11 \ x = 1 ∨ x = 115

10.1.3C. Forma: |x| = |y|

Para su resolución se debe plantear la siguiente igualdad: (x + y)(x – y) = 0

Ejemplo.- Calcular «x» en: |2x – 1| = |x + 3|

(2x – 1 + x + 3)(2x – 1 – x – 3) = 0

(3x + 2)(x – 4) = 0

3x + 2 = 0 ∨ x – 4 = 0

3x = -2 ∨ x = 4 \ x = - 23

∨ x = 4

De ambos casos se comprueba que:

|x – 7| = |7 – x| = 5

10.1Ecuaciones con

Valor Absoluto


10.1.4. Resolución de Ecuaciones con Valor Absoluto

10.1.4A. Evaluación de Expresiones con Valor Absoluto

Evaluar una expresión matemática que incluye el símbolo de valor absoluto exige cuidado. Así, dependiendo del intervalo de existencia de la expresión, ésta tendrá un signo. Por otro lado, si conocemos el intervalo de existencia de una variable, digamos x, entonces será previ-sible saber el signo que le corresponde en una expresión matemática determinada. Veamos:

a) Si x ≤ 2, evaluar |x – 4|

Efectuamos así: si x ≤ 2 → x x x− ≤ − → − ≤ − → − <4 2 4 4 2 4 0

→ |x – 4| = -(x – 4) \ |x – 4| = -x + 4

b) Si -1 < x ≤ 3, evaluar |2x – 9|

Efectuamos así: 2 1 2 2 3 2 2 6 2 9 2 9 6 911 3

( ) · ( ) --

- -< ≤ → < ≤ → − < − ≤ −−

x x x

Es decir: 2x – 9 < 0 , luego: |2x – 9| = -(2x – 9) \ |2x – 9| = -2x + 9

c) Si x > 23

, evaluar |3x + 1|

Efectuamos así: x x> → >23

3 2 → + > + → + > 3 1 2 1 3 1 3x x

Es decir: 3x + 1 > 0 , luego: |3x + 1| = 3x + 1

10.1.4B. Resolución de Ecuaciones con V.A por el Método de Intervalos

Hasta aquí solo habíamos analizado y resuelto ecuaciones con valor absoluto de la forma:

|P(x)| = a ∧ |P(x)| = |Q(x)| ∧ |P(x)| = Q(x)

donde P(x) y Q(x) son polinomio enteros de x, y «a» es un parámetro conocido.

Existen sin embargo otros tipos de ecuaciones con valor absoluto un tanto más complejos, como:

|P(x)| + |Q(x)| = a ∧ |P(x)| + |Q(x)| = |R(x)| ∧ |P(x)| + |Q(x)| = R(x)

A primera vista el problema sólo consiste en eliminar los símbolos de valor absoluto y proce-der con las operaciones indicadas. Lamentablemente este proceso no es así, pues debe estar acompañado con el criterio de eliminación de esos símbolos a partir de su evaluación corres-pondiente.

Este algoritmo de resolución consiste en determinar las raíces de cada expresión con valor absoluto. Así, si se tiene |P(x)|, sus raíces se calculan haciendo P(x) = 0.

Estas raíces determinan intervalos sobre la R.N y en entonces se debe evaluar la solución de la ecuación para cada expresión con valor absoluto que se tenga.

La solución final vendrá dada por la unión de los intervalos solución de cada análisis.

Ejemplo.- Resolver la ecuación: |3x – 8| – |3x – 2| = 6 (UNMSM 2009)

Determinemos las raíces de cada expresión con V.A:

i) 3x – 8 = 0 → x = 8/3

ii) 3x – 2 = 0 → x = 2/3

De aquí, los intervalos de estudio son:

A continuación efectuaremos la evaluación de las expresiones con valor absoluto:

a) En I1 se tiene que: x ≤ 2/3, entonces: 3x – 8 < 0 ∧ 3x – 2 < 0

Luego de evaluar los V.A, en este intervalo, la ecuación queda como:

(3x – 8) – [-(3x – 2)] = 6 → 6 = 6

Este resultado sugiere que la ecuación se verifica para cualquier valor de «x» del intervalo I1. Luego:

C.S ;123

= ∞ -

b) En I2 se tiene que 2/3 < x ≤ 8/3, entonces: 3x – 8 ≤ 0 ∧ 3x – 2 > 0


-(3x – 8) – (3x – 2) = 6 → x = 2/3

Como este valor no pertenece al intervalo I2, concluimos que:

CS2 = ∅

c) En I3 se tiene que: x > 8/3, entonces: 3x – 8 > 0 ∧ 3x – 2 > 0


(3x – 8) – (3x – 2) = 6 → -x = 12

Según este resultado, no existe ningún valor de «x» que pertenece a I3 y verifique la ecuación:

CS3 = ∅

Finalmente: C.S C.S C.S C.S -3= ∪ ∪ = ∞ ∪ ∅ ∪ ∅1 2

23

;

∴ = ∞ -C.S ; 2

3


Prob. 01.- Calcular: F=|7 |+2| -3 |+| -4 |–12

De acuerdo con la definición del valor absoluto, procedemos así:

F=|7|+2|-3|+|-4|–12

F=7+2[-(-3)]+[-(-4)]–12

F=7+6+4–12 → F=17–12

\ F=5

Prob. 02.-Si:x <0,mostrarelequivalentede: x x x x x 24 3 2( 1)+ + − +-

Sea: «L» el equivalente, es decir:

L = + − + − +x x x x24 3 21( )

L = + − + − +x x x x24 3 21( ) ( )

L = + − − + − +x x x x x24 2 21( )( ) ( )

Como x<0 → -x>0∧x–1<-1

Por teorema de radicales: L = + − − + − +x x x x x x2 2 21· ( ) ( )

Por definición: L = x | |x + −x .|-x|+|x-1|+x

L = x −x + −x .(-x)+[-(x-1)]+x

L = x −x -x- −x (x-1)+x

Reduciendo: L = -x+1+x

\ L=1

Prob. 03.- Resolver: |2x–3|=0

Teniendo en cuenta lo expuesto en la teoría procedemos de la siguiente manera:

|2x–3|=0 ↔ 2x–3=0

2x=3 \ x=3/2

Prob. 04.-Resolver: |5x+1 |–7=0

Laecuacióndadaes: |5x+1 |=7

Como7>0 → 5x+1=7 ∨ 5x+1=-7

5x=6 ∨ 5x=-8

→ x=6/5 ∧ x=-8/5

\ CS = {6/5, -8/5}

Prob. 05.- Resolver: |3x+2 |=-2

De acuerdo con la definición debemos recordar que:

|3x +2|≥ 0 : ∀x∈R

Es decir un valor absoluto jamás es negativo, luego la igualdad mostrada en el problema:

|3x+2|=-2

Contradice la definición, en consecuencia estamos frente a una ecuación incompatible.

\ CS=∅

Prob. 06.- Resolver: |x2–6 |=6+x

De acuerdo con lo expuesto en la teoría procedemos de la siguiente forma:

6+x≥0∧{x2–6=6+x ∨x2–6=-(6+x)}


6+x≥0∧{x2–6=6+x∨x2–6=-6–x}

x≥-6∧{x2– x–12=0∨x2+x=0}

x≥-6∧{(x–4)(x+3)=0∨x(x+1)=0}

x≥-6∧{x=4∨x=-3∨x=0∨x=-1}

Finalmente «x» deberá verificar: [-6; ∞⟩∩{-3;-1;0;4}

De donde observamos que: x∈{-3;-1;0;4}

\ CS={-3;-1,0,4}

Prob. 07.- Resolver: | 6x2–x–1 |=5–x

Se cumple: 5 – x≥0 → x≤ 5

De donde: |6x2– x – 1| = 5 – x → 6x2–x – 1 = 5 – x∨6x2–x – 1 = -(5 – x)

6x2–6=0∨6x2–2x+4=0

6(x2–1)=0∨2(3x2–x+2)=0

x2–1=0∨3x2–x+2=0

Observar que: 3x2–x+2>0∀x ∈R

Finalmente sólo tenemos: x2–1=0

(x+1)(x-1)=0

x+1=0∨x–1=0

x =-1∨x=1

Como ambos valores verifican: x≤ 5 \ CS={-1;1}

Prob. 08.-Resolver: | 5x+1 |=| 2x–3 |

La ecuación dada es: |5x+1|=|2x–3|

[(5x+1)+(2x – 3)][(5x+1)–(2x–3)]=0

(7x–2)(3x+4)=0

Por teorema: 7x–2=0∨3x+4=0

7x=2∨3x=-4

→ x=2/7∨x=-4/3 \ CS={2/7;-4/3}

Prob. 09.- Resolver: | 2x–1 |+|x–1 |=x+1

Nuestra estrategia para resolver este problema consistirá en eliminar el valor absoluto, se-gún zonas, para lo cual determinaremos cada zona de acción según el corte que se genere (valor de «x») en la recta real, al igualar cada valor absoluto a cero:

| |

| |

2 1 0 12

1 0 1

x x

x x

− = → =

− = → =

Puntos decorte

Identificamos las zonas en la recta real:

Ahora la ecuación original equivale a 3 ecuaciones (una en cada zona), veamos:

I. En el intervalo: -∞ < <x 12 (zona I)

|2x–1|+|x–1|=x+1

Formamos 2x – 1 en el intervalo de acción:

- - -∞ < < → ∞ < < → ∞ < − <x x x12

2 1 2 1 0

Ahora notamos que: |2x–1|=-(2x–1)

Formamos x – 1 en el intervalo de acción:

- - -∞ < < → ∞ < < → ∞ < − <x x x12

2 1 2 1 0

De aquí notamos que: |x–1|=-(x –1)


La ecuación sin valor absoluto queda así:

-(2x–1)–(x–1)=x+1 → -2x+1–x+1=x+1

-3x+2=x+1 → -4x=-1

→ x = 14

Observa que x = 1/4 verifica el intervalo de la zona I, luego x = 1/4 es una solución de la ecuación.

II. En el intervalo: 12

1≤ <x (zona II)

|2x–1|+|x–1|=x+1

Formamos 2x – 1 en el intervalo de acción:

12

1 1 2 2 0 2 1 1≤ < → ≤ < → ≤ − <x x x

Ahora notamos que: |2x –1|=2x–1


12

1 12

1 0≤ < → ≤ − <x x-

De aquí notamos que: |x –1|=-(x–1)


2x–1–(x–1)=x+1 → 2x–1–x+1=x+1

x =x+1 → 0x=1

Una adecuada inspección permite visualizar que no existe valor de x que verifique la igual-dad, por tanto en la zona II no existe solución.

III. En el intervalo: 1 ≤x<∞ (zona III)

→ 2≤2x<∞ → 1≤2x–1<∞

Resulta evidente que: |2x–1|=2x–1


1≤x<∞ → 0≤x–1<∞

De aquí obtenemos que: |x–1|=x–1


2x–1+x–1=x+1 → 3x–2=x+1

2x =3 ↔ x = 32

Observa que x = 3/2 verifica el intervalo de la zona III, luego x = 3/2 es otra solución de la ecuación.

La solución de la ecuación dada por la reunión de todas las soluciones obtenidas, es:

CS= 14 ; 3

2{ }

Prob. 10.-Resolver: | | 4x–3 |+5|–1=2

La ecuación dada es: ||4x – 3|+ 5| = 3

Observar que: |4x – 3| + 5 es una expresión positiva, en consecuencia se tendrá:

||4x – 3 | + 5| = |4x – 3| + 5

Ahora la ecuación será: |4x – 3| + 5 = 3 → |4x–3|=-2

Por definición se sabe que: |4x–3|≥0;∀x∈R

Luego: |4x–3|=-2<0

contradice la definición. \ CS=∅

Prob. 11.-Resolver: |x –1 |+| 3x–3 |+|5x–5 |=36

Reescribiendo la ecuación dada así: |x –1|+|3(x – 1)| + |5(x–1)|=36

Aplicando el teorema 10.1.2E, se tiene: |x–1|+3|x – 1| + 5|x–1|=36

9|x–1|=36 → |x–1|=4

De donde se debe cumplir que: x –1=4∨x–1=-4

x = 5 ∨ x=-3

\ CS={-3;5}


Prob. 12.- Determineelproductodesolucionesdelaecuación: | 2x–6 |+| 15–5x |=14

A)-5 B)5 C)6 D)-6 E)25

La ecuación dada es: |2x – 3| + |15 – 5x|=14

→ |2(x – 3)| + |5(3 – x)|=14

Por teorema: 2 3 5 3 14| | | |x x− + − =

→ 2|x – 3| + 5|x–3|=14

→ 7|x–3|=14 → |x–3|=2

De donde tenemos: x–3=2∨x–3=-2

x = 5 ∨ x=1 → CS={1; 5}

\ Productodesoluciones=5 Rpta.B

Prob. 13.- Determinelasumadesolucionesrealesdelaecuación: |x|3+|x|–3=x3

A)3 B)5 C)-2 D)-3 E)2

La ecuación dada es: |x|3+|x|–3=x3

I. Si x≥0 → x3+x–3=x3 → x–3=0 → x=3

Fácilmente reconocemos que x = 3 es la solución.

II. Si x<0 → -x3–x–3=x3 → -2x3–x–3=0

→ 2x3+x+3=0

Factorizando al trinomio según el criterio de los divisores binomios se obtiene:

(x+1)(2x2–2x+3)=0

Aquí reconocemos que: 2x2–2x+3>0;∀x∈R

Ahora tenemos: x+1=0 → x=-1

Fácilmente reconocemos que x = -1 es la solución, entonces: CS = {-1;3}

\ ∑desoluciones=2 Rpta.E

Prob. 14.- Resolver: |x+1|=2x–1

A){0;2} B)⟨0;2⟩ C){0} D){2} E){-2;2}

La ecuación es: |x+1|=2x–1

Según la teoría: 2x–1≥0∧(x+1=2x–1∨x+1=-2x+1)

2x≥1∧(-x=-2∨3x=0)

x x x≥ ∧ = ∨ =12

2 0( )

Fácilmente podemos reconocerque el valor de «x» que verifica x ≥ 12 es: x=2

\ CS={2} Rpta.D

Prob. 15.- Determinarelnúmerodesolucionesdelaecuación: x x− = −3 3 2

A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

La ecuación dada es: x x− = −3 3 2

Por propiedad tenemos: x x x x− + −( ) − − +( ) =3 3 2 3 3 2 0

→ - x x( ) −( ) =3 6 0

De donde se cumple que: -|x|=0∨3|x|–6=0

|x|=0∨3|x|=6

|x|=0∨|x|=2

x=0∨(x=2∨x=-2)

Finalmente tenemos: CS = {-2;0;2}

\ Nºdesoluciones=3 Rpta.D


01.-Reducir:

|2|+2|-3|+ ( )-3 2 –|-9|+1

A)15 B)12 C)3

D)2 E)7

02.- Si, x<0,reducir:

x x x x x33 2 55 44 + + + +

A)5x B)3x C)2x

D)x E)-x

03.-Calcular: ( )-2 2 +|-3|+|3|+1

A)-1 B)3 C)7

D)9 E)5

04.-Si: x∈⟨-1;4⟩,reducir:

|x–5|+|x+2|+1

A)4 B)3 C)8

D)2x–2 E)2x+1

05.- Si:x∈⟨2;13⟩,reducir:

|x +2001|–|x–2003|+2005

A)1 B)2x

C)x+2003 D)2x +2003

E)N.A

06.- Calcular:

|3|+|-4|+|5|+|-6|+|7|–|-15|+1

A)30 B)31 C)10

D)11 E)-1

07.- Reducir:

3 2 4 52 2 2 2+ + +( ) ( )- -

A)0 B)12 C)3

D)17 E)14

08.- Reducir:

( ) ( ) | |x x x x− + − + −1 22 2 2

Considere:x<1

A)1 B)3 C)2x –1

D)2x +3 E)3–2x

09.-Si:x∈⟨1;7⟩,simplificar:

F| | | |= + + −2 3 5 3x x

x

A)7 B)3 C)5

D)6+ 2x

E) 6 3− xx

10.-Si,x∈⟨0;3⟩simplificar:

F

| | | |= + − −5 48 3 2 16x xx

A) x +4 B)12 7+x

C)11

D)7 E)N.A

11.- Resolver: |x2–2x|=0

A)0 B)1 C)2

D)3 E)Másdeunaescorrecta

12.-Resolver: |5x–1|+|10x–2|=0

A)5 B)2/5 C)-1/5

D)1/5 E)-2/5

13.-Indicar«x»en: |2x–7|=2

A)-5/2 B)3/2 C)4

D)9/2 E)1/4

14.- Determinar«x»en: |11–21x|=10

A)-12 B)1/21 C)-1/21

D)-1 E)3

15.- Encuentre la suma de todos los valoresqueasume«x»en:|x–13|=10.

A)20 B)21 C)23

D)24 E)26

16.- Resolver: |x–9|=|17–x|

A){2} B){2;3} C){13}

D){12} E){17}

17.-Resolver: |2x+3|=|x–1|

A){-2;2/3} B){-5/2;4/3}

C){-1/4;3/2} D){-2/3;-4}

E){2/3;-4}

18.-Resolver: |2x–5|=4

A){1/2;3/2} B){1/4;9/2}

C){1/2;9/2} D){-1/2;9/2}

E){}

19.- Resolver: |5x+4|+3=0

A){-1/2;3/4} B){7/5}

C){-7/5} D){-1/5;-7/5}

E)∅

20.-Indicarelnúmerodeelementosdelcon-juntosoluciónde:|x2–2|=2–3x.

A)5 B)4 C)3

D)2 E)1

21.-Determinarunvalorde«x»en:

|2x+1|+5=3–|x+1|

A)-1 B)1/4 C)2/5

D)-3/1 E)Noexistetal«x»

22.-Resolver: |x–17|=15– x

A)[-2;3/2} B){5;-1/4}

C){3/2;1/4} D)R

E)∅

23.-Indicarelcardinaldelconjuntosolucióndelaecuación:|3x –1|=2x+5.

A)0 B)1 C)2

D)3 E)4

24.- Indicar«x»de: ||x+2|+3|=4

A)-1 B)1 C)3

D)-3 E)Másdeunaescorrecta

25.-Encontrarlasumadelosvaloresabsolu-tosdelassolucionesde:

|x+3|–|x–1|=x+1

A)7 B)8 C)9

D)10 E)11

Práctica10.1. Ecuaciones con

Valor Absoluto


26.-Determinarlasumadetodoslosvaloresqueasume«x»en:|2x–3|=5.

A)4 B)-1 C)3

D)8 E)-3

27.-Indicarelproductodelassolucionesen:

|4x–1|=|x–2|

A)-1 B)-1/5 C)-1/3

D)3/5 E)2

28.- Resolver:|3x–1|2+|2x+1|+2=0

A){1;2} B){-1;3;2} C){0;1}

D)R E)N.A.

29.- Resolver: |4– x|+7=3–|x–1|

A){-2/3;1/4} B){-1;0;1/2}

C){2/5;3/2} D)R

E)∅

30.- Determinar el número de soluciones delaecuación:

|x–3|2–3|x–3|–18=0

A)1 B)2 C)3

D)4 E)5

31.-Si: x = −1 2 ,determineelvalorde:

K x x= − + − −3 4 2 2

A)5 B)6 C)7

D)8 E)9

32.-Alresolver||x|–3|+|15–5|x||=12,determineelproductoderaíces.

A)18 B)22 C)25

D)28 E)30

10.2.1. Inecuaciones con Valor Absoluto

10.2.1A. Forma: |x | < a

Para su resolución se debe plantear lo siguiente:

a > 0 ∧ -a < x < a

Ejemplo.- Resolvamos: |x – 1| < 5

La inecuación equivale a: 5 > 0 (verdadero) ∧ -5 < x – 1 < 5

Sumando 1 tenemos: -4 < x < 6 \ x ∈ ⟨-4; 6⟩

10.2.1B. Forma: |x | > a

Para su resolución se debe cumplir lo siguiente:

x > a ∨ x < -a

Ejemplo.- Resolvamos: |x + 1| > 10

La inecuación equivale a: x + 1 > 10 ∨ x + 1 < -10

→ x > 9 ∨ x < -11

\ x ∈ ∞ ∪ ∞- ; - ;11 9

En los ejemplos del recuadro se visualiza un número x desconocido, el cual puede ubicar-se a la izquierda o derecha del número 10.

En el caso (a) se cumple que:

|x – 10| < 4

En el caso (b) se cumple que:

|10 – x| < 4

En ambas expresiones se representa la si-guiente condición: «x y 10 no difieren en más de 4».

10.2Inecuaciones con

Valor Absoluto

33.-Alresolver: x xx x

− + −− − −

=4 2 14 2 1

54

-

Indiquelamenorsolución.

A)34/11 B)35/11 C)36/11

D)37/11 E)39/11

34.-Alresolver: x x−( ) + −( ) =3 3 444 66

Seobtienecomoconjuntosolución{a;b;c;d}.Determineelvalorde:a2+b2+c2+d2.

A)55 B)52 C)47

D)40 E)35

35.- Six∈⟨-4;1⟩,determineelvalorde:

K=x2–2|x|

A)⟨1;8⟩ B)⟨-2;8⟩ C)⟨0;8⟩

D)⟨-1;8⟩ E)⟨-1;9⟩

36.-Six∈⟨-1;3⟩,determineelintervalodexx

−+

12

.

A) - 25

13

; B) - 25

12

; C) 25

12

;

D)[0;1] E) - 12

25

;

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

20E

19C

18C

17D

16C

15E

14B

13D

12D

11E

10C

09A

08E

07E

06D

05D

03D

02D

01C

21D

28D

27B

26C

25C

24E

23C

22E

29E

36E

35D

34B

33D

32C

31A

30B

04C


10.2.1C. Forma: |x | > |y |

Para su resolución se plantea lo siguiente: (x + y)(x – y) > 0

Ejemplo.- Resolvamos: |x + 3| > |x – 4|

La inecuación equivale a: (2x – 1)(7) > 0

2x – 1 > 0 → x > 1/2 \ x ∈ ⟨1/2; ∞⟩

10.2.1D. Forma: |x | < |y |

Para su resolución se plantea lo siguiente: (x + y)(x – y) < 0

Ejemplo.- Resolvamos: |x – 8| < |x + 5|

La inecuación equivale a: (2x – 3)(-13) < 0

2x – 3 > 0 → x > 3/2 \ x ∈ ⟨3/2; ∞⟩

Observación.- Si en cualquiera de las formas de las inecuaciones vistas anteriormente se susti-tuye un signo de relación simple por su correspondiente doble, para su resolución se seguirán las mismas recomendaciones que en las inecuaciones de signo de relación simple. Así pues si se plantea:

|x| ≤ a

Se deberá resolver: a ≥ 0 ∧ -a ≤ x ≤ a

10.2.2. Resolución de Inecuaciones con Valor Absoluto

10.2.2A. Método de Intervalos

Hasta aquí sólo se han analizado y resuelto ecuaciones con valor absoluto de la forma:

|P(x)| < a ∧ |P(x)| > a ∧ |P(x)| ≤ |Q(x)| ∧ |P(x)| ≥ Q(x)

donde P(x) y Q(x) son polinomio enteros de x, y «a» es un parámetro conocido.

Así como lo fue para las ecuaciones con valor absoluto estudiadas en el capítulo anterior, lo son también otros tipos de inecuaciones con valor absoluto un tanto más complejas, como:

|P(x)| + |Q(x)| < a ∧ |P(x)| + |Q(x)| > a

|P(x)| + |Q(x)| < |R(x)| ∧ |P(x)| + |Q(x)| < R(x), etc.

Este algoritmo de resolución de este tipo de inecuaciones, como para el caso de ecuaciones con valor absoluto, consiste en determinar las raíces de cada expresión con valor absoluto. Así recordemos que las raíces de |P(x)| se calculan haciendo P(x) = 0.

Estas raíces determinan intervalos sobre la R.N y en entonces se debe evaluar la solución de la inecuación para cada expresión con valor absoluto que se tenga.

La solución final vendrá dada por la unión de los intervalos solución de cada análisis.

10.2.2B. Resolución de Inecuaciones con V.A por el Método de Intervalos

Ejemplo.- Resolver la inecuación: |x – 1| + |2 – x| > 3 + x (UNMSM 2009)

Determinemos las raíces de cada expresión de V.A:

i) x – 1 = 0 → x = 1

ii) 2 – x = 0 → x = 2

Los intervalos de análisis son:

a) En I1 se tiene x < 1, entonces: x – 1 < 0 ∧ 2 – x > 0

Luego de evaluar los V.A, la inecuación queda como:

-(x – 1) + (2 – x) > 3 + x → x < 0

\ C.S1 = ⟨-∞; 0⟩

b) En I2 se tiene que: 1 ≤ x ≤ 2, entonces: x – 1 ≥ 0 ∧ 2 – x ≥ 0


(x – 1) + (2 – x) > 3 + x → x < -2

Como estos valores no pertenecen a I2, concluimos que:

C.S2 = ∅

c) En I3 se tiene que: x > 2, entonces: x – 1 > 0 ∧ 2 – x < 0


(x – 1) – (2 – x) > 3 + x → x > 6

\ C.S3 = ⟨6; ∞⟩

Finalmente: C.S = C.S1 ∪ C.S2 ∪ C.S3

\ C.S = ⟨-∞; 0⟩ ∪ ⟨6; ∞⟩


Prob. 01.- Demostrarque: |x+y|≤|x|+|y|;∀x,y∈R.

De acuerdo con la definición de valor absoluto podemos establecer lo siguiente:

x·y≤|x|·|y|;∀x, y∈R

Multiplicando por 2: 2· x ·y 2|x|·|y|

Sumando x2y y2: x2+y2+2·x·y≤x2+y2+2·|x|·|y|

Por teorema: x2+y2+2·x·y≤|x|2+|y|2+2·|x|·|y|

Por productos notables: (x+y)2≤(|x|+|y|)2

Extrayendo en ambos miembros:

( ) (| | | |)x y x y+ ≤ +2 2 \ |x+y|≤|x|+|y| l.q.q.d.

Prob. 02.-Resolver: |x +4 |<2

A)⟨6;∞⟩ B)⟨-6;2⟩ C)⟨4;∞⟩ D)⟨-∞;3⟩ E)[-3/2;∞⟩

De acuerdo con lo expuesto en la teoría procedemos de la siguiente manera:

|x+4|<2 → 2>0∧-2<x+4<2

Como la desigualdad 2 > 0 es absoluta «siempre se cumple».

Bastará resolver: -2 < x +4<2

Sumando -4 tenemos: -2 – 4 < x+4–4<2–4

-6< x<-2 \ x∈⟨-6;-2⟩ Rpta.B

Prob. 03.-Resolver: |x2–3|≥ 1.Darcomorespuestaunintervalosolución.

A)[-2;5⟩ B)⟨-∞;-1⟩ C)⟨-∞;0⟩ D)⟨-∞;2⟩ E) - ;2 2

La inecuación dada es: |x2–3|≥ 1

Aplicando las condiciones del caso mostrado en el ítem 10.2.1B. tenemos:

x2–3≥1 ∨ x2–3≤-1

x2–4≥0 ∨ x2–2≤0

Transformando a producto: (x+2)(x–2)≥0∨(x+ 2 )(x– 2 )≤0

En la recta real tenemos:

Finalmente la solución será: x∈⟨-∞;-2]∪[ - 2 ; 2 ]∪[2;∞⟩ Rpta.E

Prob. 04.- Resolver: | 2x+1 |≤x+1

A)[-2;2/3⟩ B)⟨-∞;-2/3⟩ C)[-2/3;0] D)⟨-∞;3⟩ E)[-2/3;∞⟩

La inecuación dada es: |2x +1|≤x+1

Aplicando las condiciones del caso mostrado en el ítem 10.2.1A. tenemos:

x+1≥0∧ -(x+1)≤2x+1≤ x+1

De donde podemos plantear:

x+1≥0∧{-(x+1)≤2x+1∧2x+1≤x+1}

x≥-1∧{-x–1–2x –1≤0∧2x+1–x–1≤0}

x≥ -1∧{-3x–2≤0∧x≤0}

x≥-1∧{3x+2≥0∧x≤0}

x≥-1∧{x≥-2/3∧x≤0} ↔ x≥-1∧{-2/3≤x≤0}

Finalmente en la recta real tenemos:

\ x∈[-2/3;0] Rpta.C


Prob. 05.-Resolver: |x2–x+3 |≥x+11

A)⟨-∞;-2⟩∪⟨4;∞⟩ B)⟨-∞;-2⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪[3;5⟩

D)[-2;0⟩∪ [4;∞⟩ E)[-3/2;8⟩

Teniendo en cuenta lo expuesto en la teoría, procedemos de la siguiente manera:

|x2–x+3|≥x+11 → x2–x+3≥x+11∨x2–x+3≤-(x+11)

x2–2x–8≥0 ∨ x2+14≤0

Observar que x2+14>0;∀x∈R, luego la solución de la inecuación: x2+14≤ 0; será el vacío en consecuencia el problema planteado sólo requiere resolver:

x2–2x–8≥0

Factorizando tenemos: (x–4)(x+2)≥0

Finalmente en la recta real se tiene: x∈⟨-∞;-2]∪[4;∞⟩ Rpta.A

Prob. 06.-Resolver: | 5x2–x +2 |>-4

A)⟨0;∞⟩ B)∅ C)⟨-∞;0] D)R E)[0;∞⟩

Teniendo en cuenta la definición del valor absoluto se puede establecer que:

|5x2–x +2|≥0;∀x∈ R

De donde se puede establecer que: |5x2–x+2|≥0>-4;∀ x∈R

Ahora por la ley de transitividad: |5x2–x+2|>-4;∀ x∈R

Resumiendo podemos decir que al ser |5x2–x + 2| no negativo, necesariamente será ma-yor que cualquier número negativo sin importar el valor que asuma «x».

\ x∈R∧x∈⟨-∞;∞⟩ Rpta.D

Prob. 07.-Resolver: | 5x+1 |<-4

A)⟨0;3⟩ B)⟨-∞;3⟩ C)⟨-∞;0] D)R E)∅

De acuerdo con la definición del valor absoluto, sabemos que: |5x+1|≥ 0

Lo cual establece que |5x + 1| jamás asume valores negativos.

En el ejercicio tenemos: |5x+1|<-4

Lo cual indica que |5x + 1| asume valores negativos, y contradice la definición. Luego po-demos afirmar que no existe valor alguno para x que verifique dicha inecuación.

\ CS=∅ Rpta.E

Prob. 08.- Resolver: |x2–3x+1 |>|x2–1 |

A)⟨-3;0⟩∪⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;0⟩∪⟨2/3;3/2⟩ C)⟨-∞;-1⟩∪⟨3;∞⟩

D)⟨-∞;0⟩∪⟨3;∞⟩ E)⟨-∞;-1⟩∪⟨2/3;∞⟩

Teniendo en cuenta lo expuesto en la teoría, procedemos:

|x2–3x+1|>|x2–1| ↔ [(x2–3x+1)–(x2–1)]>0

(2x2–3x)(-3x+2)>0 ↔ (2x2–3x)(3x–2)<0

→ x·(2x–3)·(3x–2)<0

Finalmente en la recta numérica tenemos.

x∈⟨-∞;0⟩∪⟨2/3;3/2⟩ Rpta.B

Prob. 09.- Resolver: | |

| | ||

x

x

xx

− ≤−− +

112 4 8

1

A)⟨-∞;7/2⟩–{1} B)⟨-∞;3/2]–{1} C)⟨-∞;1/2]–{1}

D)⟨-∞;7/2]–{1} E)⟨-∞;5/2⟩–{0}

Observar que: x2–4x+8=(x–2)2+4 → x2–4x+8=(x–2)2+4>0;∀x∈R


Con lo cual: |x2–4x+8|=x2–4x+8

Ahora en la inecuación dada: | || |

xx x x

−− +

≤ −1

4 81

12

Se observa que x≤1 → |x – 1| > 0 , luego:

|x–1|·|x–1|≤1·(x2–4x+8) → |x–1|2≤x2–4x+8

Por teorema: (x –1)2≤x2–4x+8 → x2–2x+1≤x2–4x+8 ↔ 2x≤7

→ x ≤7/2

Recuerda que: x≠1 \ x∈⟨-∞;7/2]–{1} Rpta.D

Prob. 10.- Resolver: |x+3 |≤| 2x–4 |+5

A)[-2;5⟩∪⟨6;∞⟩ B)⟨-∞;-3/2⟩ C)⟨-∞;-2⟩∪[4;∞⟩

D)⟨-∞;-3⟩∪[2;∞⟩ E)[-3/2; 2 ⟩

Para resolver este problema procedemos como se hizo en ecuaciones con valor absoluto. Veamos:

| 3| 0 -3

|2 4| 0 2Puntos decorte

x x

x x

+ = → =

− = → =

I. En el intervalo I1: -∞<x<-3

Evaluando cada término se tiene: |x+3|=-(x+3)∧|2x–4|=-(2x–4)

Ahora en la inecuación: |x–3|–|2x–4|≤ 5 → -(x–3)+2x–4≤ 5

→ -x+3+2x–4≤ 5 → x–1≤ 5 → x≤6 ↔ x∈⟨-∞;6]

Como este intervalo debe estar contenido en I1, la solución es: CS1=⟨-∞;3⟩

II. En el intevalo I2: -3 ≤x<2

Evaluando cada término se tiene: |x+3|=x+3∧ |2x–4|=-(2x–4)

Ahora en la inecuación: |x–3|–|2x–4|≤ 5 → x+3+2x–4≤ 5

→ 3x–1≤ 5 → 3x≤6 → x≤2 ↔ x∈⟨-∞;2]

Como este intervalo no está contenido en I2 , no existe solución: CS2=∅

III. En el intervalo I3: x ≥2

Evaluando cada término se tiene: |x+3|=x+3∧|2x–4|=2x–4

Ahora en la inecuación: x+3–(2x–4)≤ 5 → x+3–2x+4≤ 5

-x+7£ 5 → -x≤-2 → x≥2 → x∈ [2;∞⟩

Como este intervalo coincide plenamente con I3 , concluimos que: CS3=[2;∞⟩

Finalmente la solución de la inecuación planteada viene dada por la unión de todas las soluciones encontradas.

\ CS=⟨∞;-3⟩∪∅ ∪ [2;∞⟩=⟨∞;-3⟩∪ [2;∞⟩ Rpta.D

Prob. 11.- Definición:∀x∈R,∀m∈Z: x m = ,eselmayornúmeroentero,menoroigualque«x»,porejemplo: 3 7 3,

= ,pues:

Reducir: 2 72 5 4 7, ,

− +

A)12 B)11 C)15 D)9 E)8

De acuerdo a la condición: 2 72 2 5 4 6 7 7, ,

= → = → =- -

Finalmente tenemos: K = 2 – (-6) + 7 = 2 + 6 + 7

\ K=15 Rpta.C

Prob. 12.- Demostrarquesi x m

= ,entoncesseverificaque: m x m≤ < +1 ,donde mesunentero.

Se sabe que ∀ ∈x x

, es un valor entero menor o igual que x, luego podemos establecer

que:

x x≥

...(1)

Por otro lado también tenemos: x x< +

1 ...(2)


Finalmente de (1) y (2): x x x

≤ < + 1

\ x m m x m = → ≤ < + 1 lqqd.

Prob. 13.-Resolver: 2 7 4x − =

A)[-2/3;1⟩ B)[3/2;2⟩ C)⟨-∞;-3/2⟩ D)⟨3;∞⟩ E)[-3/2;5⟩

La ecuación es: 2 7 4x − = -

Aplicando la definición de máximo entero se debe cumplir que: -4 ≤2x–7<-3

Sumando 7: 3 ≤2x<4

Multiplicando por 1/2: 32

≤x<2

\ x∈ 32 2;

Rpta.B

Prob. 14.- Resolver: x

x x

22

+<

1

A)[1;∞⟩ B)[-1;∞⟩ C)⟨-∞;1/2⟩ D)⟨2;∞⟩ E)[0;∞⟩

La inecuación dada es: xx x

2 10

+− <2

x xx x

xx x

2 2

2

2

22 2

10 2

10− −

+( )( )< → −

+( )<-

Multiplicado por -1: xx x

2

22

10+

+( )>

Observemos que: x 2 +2>0;∀x∈ R

x 2 +1>0;∀x∈R

Luego la parte de la inecuación que debemos resolver es la que corresponde a: 1 0x

>

Es decir: x 2 >0

De donde obtenemos: x ≥1 \ x∈[1;∞⟩ Rpta.A

Prob. 15.-Resolver: x − <8 7

A)[-5;5⟩ B)⟨-∞;-3/2⟩ C)⟨-15;15⟩ D)⟨-10;10⟩ E)[-3;3⟩

La inecuación es: x − <8 7

Por definición de máximo entero, se cumple que: |x|–8<7 → |x| < 15

De donde: -15 < x < 15 \ x∈⟨-15;15⟩ Rpta.C

Prob. 16.- Luegoderesolver 2 3 52x x− > indicarunintervalosolución.

A)⟨-∞;-3⟩ B)⟨-∞;3⟩ C) - ;12

1 D)⟨-3;∞⟩ E) -1 12

;

La inecuación dada es: 2 3 52x x− >

De acuerdo con la teoría si |a| |b|, entonces: (a+b)(a–b) 0

En el problema se cumple que: (2x2 – 3 + 5x)(2x2 – 3 – 5x)>0

(2x2 + 5x–3)(2x2 – 5x–3)>0

Factorizando cada trinomio, por el criterio del aspa simple, tenemos:

(2x–1)(x+3)(2x+1)(x–3)>0

Igualando a cero cada factor determinamos los puntos de corte y elaboramos una gráfica:

\ CS - ;- - ;== ∪∪∞∞ ∪∪ ∞∞3 12

12 3; Rpta.A

Prob. 17.- ¿Cuántosvaloresenterosde«x»verificanlainecuación|x2–6x+8 |≤4–x?

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

La inecuación dada es: |x2–6x+8|≤4–x


Según la teoría se cumple que: 4–x≥0∧-(4–x)≤x2–6x+8≤(4–x)

x x x x x− ≤ ∧ − ≤ − + ≤ −

∗

4 0 4 6 8 42

* x2–6x+8≥x–4∧x2–6x+8≤4–x

x2–7x+12≥0∧x2 – 5x+4≤0

Factorizando cada trinomio según el criterio del aspa simple:

(x–3)(x–4)≥0∧(x–1)(x–4)≤0

En la recta real: ∩

En la intersección → CS=[1;3]∪ {4}

Los valores enteros que asume «x» son 1; 2; 3 y 4. \ Asume4valores. Rpta.D

Prob. 18.-Resolver:|x2–2x+4 |+|x+1 |<x2

A)⟨1;5⟩ B)⟨2;5⟩ C)⟨5;∞⟩ D)⟨1;2⟩ ∪ ⟨5;∞⟩ E)⟨1;∞⟩

Fácilmente podemos reconocer que: x2–2x+4>0;∀x∈R

Con lo cual: |x2–2x+4|=x2–2x+4

Ahora la inecuación propuesta se puede reescribir así: x2–2x+4+|x+1|<x2

→ |x+1|<2x–4

Por teorema tenemos: 2x–4>0∧–(2x–4)<x+1<2x–4

2x>4∧–2x+4<x+1<2x–4

x x x x> ∧ + < + < −

∗

2 2 4 1 2 4-

...(1)

* x+1>-2x+4∧2x–4>x+1

3x>3∧x > 5

x>1∧x > 5

En forma equivalente: x > 5 . . . (2)

Ahora reemplazando(2) en (1): x>2∧x > 5

En forma equivalente: x > 5 \ CS=⟨5;∞⟩ Rpta.C

Prob. 19.- Determinarlacantidaddevaloresenterosqueasume«x»en:

1 4 4 32< + − ≤x x

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

La inecuación dada es: 1 4 4 32< − + ≤x x

→ 1 2 32< −( ) ≤x

→ 1<|x–2|≤3

Por propiedad tenemos: -3 ≤x–2<-1∨1<x–2≤3

Sumando (2) tenemos: -3 + 2 ≤x<-1+2∨1+2<x≤3+2

-1≤x<1∨3<x≤ 5

Fácilmente podemos reconocer que los valores enteros de «x» son: -1; 0; 4 y 5

\ Cantidaddevaloresenterosx=4. Rpta.B

Prob. 20.- Resolver: |x–2 |2–3|x–2 |–28<0

A)⟨-4;9⟩ B)⟨-5;9⟩ C)⟨-3;6⟩ D)⟨-5;6⟩ E)⟨-2;3⟩

La inecuación dada es: x x− − − − <2 3 2 28 02

Aspa simple

→ (|x–2|–7)(|x–2|+4)<0

Fácilmente podemos reconocer que: |x–2|+4>0;∀x∈R

Ahora la inecuación se reduce a: |x–2|–7<0 → |x–2|<7

Por teorema: -7 < x–2<7

Sumando (2) tenemos: -5 < x<9 \ CS=⟨-5;9⟩ Rpta.B


01.- Resolver: | 3–2x |≤5

A)⟨-1;4⟩ B)[-1;4] C)[-4;1]

D)⟨1;4⟩ E)⟨-∞;-1]∪[4;∞⟩

02.-Resolver: | 7x+1 |+4>0

A) - 17

; ∞ B) 17

; ∞ C)∅

D)R E) - -∞ ∪ ∞; ;17

17

03.-Resolver: x x2 2 3− <

A)⟨-3;1⟩ B)⟨-1;3⟩∪⟨4;7⟩

C)⟨-∞;-1⟩∪⟨3;∞⟩ D)⟨1;3⟩

E)⟨-1;3⟩

04.- Determine el complemento del conjuntosolucióndelasiguienteinecuación:

| 2x–1 |≥1

A)[0;1] B)⟨0;1⟩ C)R

D)∅ E)⟨-∞;0⟩∪⟨1;∞⟩

05.-Resolver: x − − >2 3 2

A)⟨-∞;-3⟩∪⟨1;3⟩∪⟨7;∞⟩

B)⟨-∞;-1⟩∪⟨0;1⟩∪⟨3;∞⟩

C)⟨-∞;1⟩∪⟨1;3⟩∪⟨3;∞⟩

D)⟨-∞;-3⟩∪⟨-1;3⟩∪⟨3;∞⟩

E)R

06.-Resolver: 3<|x–2 |≤4

A)⟨-2;-1]∪[5;∞⟩ B)⟨-2;-1⟩∪⟨5;6⟩

C)[-2;-1⟩∪⟨5;6] D)⟨-1;2]∪[5;6⟩

E)⟨-1;2]∪[5;-6⟩

07.- Resolver: |x+2 |<-3

A)R B)⟨-2;∞⟩ C)∅

D)⟨-2;2⟩ E)⟨-∞;-2⟩∪⟨2:∞⟩

08.- Resolver: |x+1 |<5

A)⟨-∞;4⟩ B)⟨-4;6⟩ C)⟨6;4⟩

D)⟨-6;4⟩ E)⟨-∞; 3⟩∪⟨5; ∞⟩

09.-Resolver: | 2x –3 |<4

A)⟨-1/2;7⟩ B)⟨-1;7/2⟩

C)⟨-1/2;7/2⟩ D)⟨-3/4;3/2⟩

E)⟨1/2;7/2⟩

10.-Resolver: |x+3 |>4

A)⟨1;∞⟩ B)⟨-∞;-7⟩

C)⟨-∞;-3⟩∪⟨4;∞⟩ D)⟨-∞;-7⟩∪⟨1;∞⟩

E)⟨-∞;1⟩∪⟨7;∞⟩

11.- Resolver: | 5x–1 |>4

A)⟨-∞;-3/5⟩ B)⟨-∞;-1/5⟩∪⟨-∞;4⟩

C)⟨-∞;2⟩ D)⟨-∞;-3/5⟩∪⟨1;∞⟩

E)⟨-∞;-1⟩∪⟨3/5;∞⟩

Prob. 21.-Unintervalosoluciónde: 2 3 82 1 7 8

0x xx x

+ − −− − −

≥ es:

A)[-11;-9/5⟩ B)⟨0;2⟩ C)⟨-11;0⟩ D)⟨-7/5;5/3⟩ E)⟨5/3;3⟩

Con la finalidad de eliminar el valor absoluto multiplicaremos a ambos miembros de la inecuación por la expresión positiva:

2 3 82 1 7 8

x xx x

+ + −− + −

En la inecuación: 2 3 8 2 3 82 1 7 8 2 1 7 8

0x x x xx x x x

+ + −( ) + − −( )− + −( ) − − −( ) ≥

Por diferencia de cuadrados: 2 3 82 1 7 8

02 2

2 2x x

x x+ − −

+ − −≥

Por teorema tenemos: ( ( )( ) ( )

2 82 1 7 8

02 2

2 2x xx x

+ − −

− − −≥3)

→ ( )( )( )( )

3 5 119 9 5 7

0x xx x

− +− +

≥-

Multiplicando por (-9): ( )( )( )( )3 5 11

1 5 70x x

x x− +

− −≤

En la recta real:

\ CS - ;== 11 1 75

53[[ ∪∪

; Rpta.D

10.2. Inecuaciones conValor Absoluto

Práctica

482 Álgebra

12.-Resolver: | 7x–1 |≤4

A)⟨-∞;-3/4]∪⟨5/7;∞⟩

B)[-3/7;5/7] C)[-1/7;4/7]

D)[-2/7;5/7] E)[-1/7;4/7]

13.- Resolver: |x–2 |≤4

A)⟨-∞;-2]∪[6;∞⟩ B)[-2;6]

C)⟨-∞;-6]∪[2;∞⟩ D)[-6;2]

E)⟨-∞;2]∪[6;∞⟩

14.-Resolver: | 3x+4 |<|x+1 |

A)⟨-3/2;-5/4⟩ B)⟨-5/4;3/2⟩

C)⟨-3/2;5/4⟩ D)⟨3/4;5/2⟩

E)∅

15.-Resolver: |x+1 |>|x+2 |

A)⟨2/3;∞⟩ B)⟨-2/3;∞⟩

C)⟨3/2;∞⟩ D)⟨-∞;-3/2⟩

E)⟨-∞;3/2⟩

16.-Resolver: | 2x–1 |≥|x+1 |

A)⟨-∞;0]∪[2;∞⟩ B)⟨-∞;2]∪[3;∞⟩

C)[0;2] D)⟨-∞;-2]∪[0;∞⟩

E)R

17.-Resolver: | 3x–4 |≤| 2x+1 |

A)⟨-∞;3/5]∪[5;∞⟩ B)[3/5;5]

C)[5/3;5] D)⟨-∞;5]∪[7;∞⟩

E)[-5;3/5]

18.-Resolver: xx+− <2

2 34

A)⟨-∞;3/9⟩∪⟨2;∞⟩ B)⟨10/9;2⟩

C)⟨-∞;8/9⟩∪⟨3;∞⟩ D)⟨-2;10/9⟩

E)⟨-∞;10/9⟩∪⟨2;∞⟩

19.-Resolver: 6 53

12

−+ ≤x

x

A) 911

159

;

B) - ;∞ ∪ ∞

911

159

;

C) -159

911

;

D) - ; -∞

∪ ∞

159

911

;

E)R

20.-Resolver: | 2x–1 |+| 4x–2 |>6

A) - -∞ ∪ ∞; ;12

32

B) -∞ ∪ ∞; ;12

32

C) -∞ ∪ ∞; ;32

12

D) - - -∞ ∪ ∞; ;32

12

E) - 12

32

;

21.- ¿Cuántosvaloresenteros «x»verificanlainecuación:| 5x+1 |≤| 2x+3 |?

A)0 B)1 C)2

D)3 E)4

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

20A

19A

18E

17B

16A

15D

14A

13A

12B

11D

10D

09B

08D

07C

06C

05A

04B

03E

02D

01B

21B

10.1.2C. R Ecuaciones con 10.1 Valor Absoluto...

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