10175-10256-1-PB

Resumen

De acuerdo a Etchemendy, Tarski incurre en una falacia modal al intentar ofre-cer un anlisis de los aspectos modales del concepto intuitivo de consecuencia lgi-ca. En este trabajo, me propongo discutir la plausibilidad de la tesis de que es posi-ble captar las caractersticas modales del concepto intuitivo de consecuencia a tra-vs de un concepto de consecuencia definido generalizando sobre interpretacionesconjuntistas. En particular, argumentar que los problemas que pueden detectarseen las argumentaciones que han ofrecido aquellos que quieren salvar el salto de logeneral a lo modal mostrando que hay suficientes interpretaciones conjuntistascomo para representar las caractersticas modales del concepto intuitivo de conse-cuencia son problemas emparentados con la posibilidad de ofrecer una teora mate-mtica precisa del concepto de interpretacin, cuya solucin deber seguir las usua-les respuestas a este problema y no con la posibilidad especfica de reconstruir losrasgos modales a trevs de alguna nocin conjuntista de modelo.

Palabras clave: Consecuencia lgica, Interpretaciones, Falacia modal.

Abstract

According to Etchemendy, in attempting to offer an analysis of the modal fea-tures of the intuitive concept of logical consequence, Tarski has committed a modal

Revista de FilosofaVol. 31 Nm. 2 (2006): 203-220

ISSN: 0034-8244203

Consecuencia lgica: modelos conjuntistas y aspectos modales*

Eduardo Alejandro BARRIO

* Este trabajo fue elaborado en el marco del seminario sobre el concepto de consecuencia lgicadictado en la UBA. Agredezco a los asistentes y en particular a los miembos de Gaf, www.accionfilo-sfica.com.

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fallacy. In this paper, I consider the thesis according to it is posible to analyze themodals properties of concept of logical consequence through of a generalization onset-theoretical interpretations. As is known, some philosophers have tried to arguefor the transit from the general to the modal by showing that there are enough set-theoretic interpretations so as to be able to represent the modal features of the intu-itive concept of consequence. As is also known, those people have encountered a lotof difficulties. In the present paper, I will try to show that those problems are relat-ed not with the specific possibility of accounting for the modal features by meansof a set-theoretic notion of model but with the possibility of coming up with a pre-cise mathematical theory for the concept of interpretation, and, as such, they can besolved by way of appealing to the usual solutions to this problem.

Keywords: Logical Consequence, Interpretations, Modal Fallacy.

De acuerdo a Etchemendy, Tarski incurre en una falacia modal al intentar ofre-cer un anlisis de los aspectos modales del concepto intuitivo de consecuencia lgi-ca. En este trabajo, me propongo discutir la plausibilidad de la tesis de que es posi-ble captar las caractersticas modales del concepto intuitivo de consecuencia a tra-vs de un concepto de consecuencia definido generalizando sobre interpretacionesconjuntistas. En particular, argumentar que los problemas que pueden detectarseen las argumentaciones que han ofrecido aquellos que quieren salvar el salto de logeneral a lo modal mostrando que hay suficientes interpretaciones conjuntistascomo para representar las caractersticas modales del concepto intuitivo de conse-cuencia son problemas emparentados con la posibilidad de ofrecer una teora mate-mtica precisa del concepto de interpretacin, cuya solucin deber seguir las usua-les respuestas a este problema y no con la posibilidad especfica de reconstruir losrasgos modales a trevs de alguna nocin conjuntista de modelo.

A partir de los trabajos elaborados por Etchemendy,1 se ha abierto una intensadiscusin acerca del enfoque de Tarski sobre la nocin de consecuencia lgica. Unode los aspectos centrales de esta discusin es si la propuesta tarskiana constituye unanlisis correcto del mencionado concepto. En esta direccin, se ha discutido inten-samente si el concepto propuesto por tarski como anlisis de la nocin intuitivaposee las principales caractersticas de este ltimo. Uno de los puntos acerca de losque Etchemendy llama la atencin es sobre sus propiedades modales. El menciona-do autor sostiene que la relacin de consecuencia lgica intuitiva es irreductible-mente modal: la oracin X se sigue lgicamente del conjunto de oraciones K si esimposible que haya un modo de interpretar cada uno de los integrantes de K en el

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1 Etchemendy (1988), (1990), (indito).

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que resulten verdaderos y bajo esa misma interpretacin X resulte falsa. Esa impo-sibidad es una condicin necesaria para que la relacin se cumpla: si es posible quehaya un modo de interpretar a los miembros de K en el cual sean verdaderos y bajoese modo de interpretar X resulta falsa, entonces X no puede ser una consecuencialgica de K. Adems, el hecho de que sea imposible esa combinacin de valores deverdad entre K y X (cuando se cumple la mencionada relacin) tiene que ser enten-dido de la manera ms fuerte: ya que no toda implicacin por necesidad de K a X eslgica. Hay implicaciones por necesidad metafsica, epistmica y hasta semntica.Por lo cual hace falta encontrar un rasgo propio de la implicacin lgica. Uno deestos rasgos parece ser su formalidad: en el sentido de que los nico lmites a losmodos de interpretar K y X son los impuestos por las constantes lgicas que en ellasfiguren. En particular, no hay ningn lmite fsico, metafsico, epistmico o semn-tico a los modos de interpretar las expresiones que conformen X y K. Aunque, porcierto, la imposibilidad de que exista un modo de interpretar K y X de manera talque no se preserve la verdad de K a X nos da cierta garanta epistmica: Si sabemosque K es verdadera y X es consecuencia lgica de K, entonces tenemos garantasacerca de aceptar X.2

Ahora bien, la concepcin modelista [model-theoretic]3 acerca de la menciona-da relacin suplanta los giros modales por expresiones que involucran mximageneralidad: X es una consecuencia lgica de K si para todo modo de interpretar enel que todos los integrantes de K son verdaderos, tambin es verdadero X. Estereemplazo de lo modal por lo general deja abierta la posibilidad de que exista unmodo posible de interpretar a los miembros de K y a X es el cual K resulte verda-dero y X falso, sin que ello fuera representado apropiadamente como un modoactual de interpretacin. Los generalistas4 intentan reducir lo modal a lo generalanalizando la preservacin de verdad de K a X como un hecho general acerca de laverdad o falsedad tal como de hecho el mundo es. Estos no son hechos modales. Esareduccin puede estar fundada probablemente en reparos de tipo quineano a lasnociones modales en general, lo que o bien puede estar acompaado por una acti-tud escptica acerca del supuesto carcter modal del concepto intuitivo de conse-cuencia, o bien, por un intento de analizar ese componente modal del conceptointuitivo en trminos de una generalizacin universal sobre modos de interpretar.

Uno de los puntos importantes a destacar es que Etchemendy considera que enel artculo clsico de 1936 On the Concept of Logical Consequence, Tarski acep-t que el concepto intuitivo de consecuencia lgica posee caractersticas modales.En este punto, no parece comportarse como un quineano del primer tipo. AfirmaTarski:



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2 Para una discusin ampliatoria de este punto, cfr. Gmez Torrente (2000) y Hanson (1997).3 Usualmente, se atribuye a Tarski ser el creador de esta concepcin, aunque como se ver ms

adelante, hay diferencias entre ambas concepciones. 4 Hart (1991), Jan (1997), Ray (1996).

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The point of departure for us will be certain considerations of an intuitive nature. Let usconsider an arbitrary class of sentences K and an arbitrary sentence X which followsfrom the sentences of this class. From the point of view of everyday intuitions it is clearthat it cannot happen that all the sentences of the class K would be true but at the sametime the sentence X would false.5

Para Etchemendy, la frase it cannot happen that parece una indicacin de queTarski crea, de alguna manera y ms all de sus reparos a las modalidades en gene-ral, en que el concepto intuitivo de consecuencia involucra algn tipo de modalidadque un anlisis del mismo debera elucidar. A partir del trabajo de Etchemendy, enlos ltimos aos se ha abierto una intensa discusin acerca de la concepcin tars-kiana de consecuencia lgica. Uno de los aspectos centrales de esa discusin es siel concepto de consecuencia definido por Tarski es capaz de ofrecer un anlisis ade-cuado del concepto intuitivo bajo la presuposicin de que este ltimo posea lasmencionadas caractersticas modales. Segn Etchemendy, Tarski incurre en unafalacia modal al intentar ofrecer un anlisis del concepto intuitivo de consecuencialgica. En este trabajo, me propongo discutir la plausibilidad de la tesis de que esposible captar las caractersticas modales del concepto intuitivo de consecuencia atravs de un concepto de consecuencia definido generalizando sobre interpretacio-nes conjuntistas. En particular, argumentar que los problemas que pueden detec-tarse en las argumentaciones que han ofrecido aquellos que quieren salvar el saltode lo general a lo modal, mostrando que hay suficientes interpretaciones conjuntis-tas como para representar las caractersticas modales del concepto intuitivo de con-secuencia, son problemas emparentados con la posibilidad de ofrecer una teoramatemtica precisa del concepto de interpretacin, cuya solucin deber seguir lasusuales respuestas a este problema y no con la posibilidad especfica de reconstruirlos rasgos modales a trevs de alguna nocin conjuntista de modelo.

1. La concepcin tarskiana de consecuencia lgica

En el mencionado artculo de 1936, Tarski us las nociones de satisfaccin deuna funcin oracional y de modelo con el propsito de ofrecer una caracterizacinextensionalmente apropiada del concepto intuitivo de consecuencia. Su punto departida es que si una oracin X se sigue lgicamente de una coleccin de oracionesK, entonces esta relacin de consecuencia no puede ser afectada reemplazando uni-formemente constantes no lgicas por otras constantes no lgicas. 6 Como resulta-do, propone determinar los lmites de la mencionada relacin lgica chequeando



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5 Tarski (1936, p. 415).6 Tarski (1936, p. 415).

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sistemticamente las substituciones de los trminos de los trminos no lgicos porotros trminos no lgicos. Consecuencias que puedan resistir tales susbtitucionescontarn como lgicas y las que no las resistan, no lo harn. Es justamente en estesentido, que la relacin de consecuencia resulta incorporar el rasgo de formalidad.Tarski formula esta condicin como sigue:

(F) If in the sentences of the class K and in the sentence X we replace the constant terms which are not general-logical terms correspondingly by arbitrary other constant terms (where we replace equiform constants everywhere by equiform constants) and inthis way we obtain a new class of sentences K and a new sentence X , then the sen-tence X must be true if only all sentences of the class K are true. 7

En el anlisis de Tarski, (F) es una condicin de adecuacin que cualquier defi-nicin de consecuencia para un lenguaje particular debe cumplir. Esto es, para queX sea una consecuencia lgica de K, la condicin (F) debe cumplirse entre K y X.Sin embargo, aunque necesaria, (F) no es suficiente, ya que (F) slo captura reem-plazos que pueden ser capturados por el poder expresivo del lenguaje para el cualse est efectuando la definicin. Tarski argumenta que la nica manera de tener unadefinicin adecuada de consecuencia, una que satisfaga (F), pero que no dependa delos recursos expresivos del lenguaje, es suponiendo que the designations of all pos-sible objects [occur] in the language in question 8 Pero, ya que esta suposicin noparece apropiada, Tarski propone utilizar la nocin tcnica de modelo.

Let L be any class of sentences. We replace all extra-logical constants which occur inthe sentences belonging to L by corresponding variables, like constants being replacedby like variables, and unlike by unlike. In this way we obtain a class L of sententialfunctions. An arbitrary sequence of objects which satisfies every sentential function ofthe class L will be called a model of the class L of sentences (in just this sense one usu-ally speaks of models of an axiom system of a deductive theory). 9

Usando esta nocin de modelo, Tarski sostiene que X debe ser observada comosiguindose lgicamente de la coleccin K de oraciones justo en el caso en el cualtodo modelo de K es al mismo tiempo un modelo de S. 10 En adelante, usar K t Spara referirme a la definicin de la nocin de consecuencia definida por Tarski.Ntese que en la definicin, se cuantifica sobre modelos: () every model of K intentando obtener el grado de generalidad apropiado como para que la defini-cin resulte correcta. De esta manera, la apuesta de Tarski es que habr siempre un



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7 Tarski (1936, p. 415).8 Tarski (1936, p. 416).9 Tarski (1936, pp. 416-17)10 Tarski (1936, pp. 417).

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modelo el cual represente cualquier permutacin de objetos particulares y por estemotivo esta nocin de consecuencia lgica satisface la condicin de adecuacin (F).

Sin embargo, un punto importante es que es difcil determinar exactamente loque Tarski quiso decir aqu con modelo. Aunque la definicin propuesta porTarski suele tomarse como si fuera precisamente la definicin que se usa actualmen-te en la teora de modelos, la lectura ms natural parece comprometerlo con unanocin no habitual de modelo en la cual todas las estructuras que satisfacen lascolecciones de tipo K y las oraciones de tipo X comparten el mismo dominio. Talcompromiso mostrara un hiato entre el enfoque tarskiano y el de la teora de mode-los. En particular, lo que est en discusin es si en la frase an arbitrary sequenceof objects which satisfies every sentential function of the class L simplemente sehace referencia o objetos pertenecientes a una nica coleccin o si por el contrariose contempla la posibilidad de que se tomen en consideracin objetos que formenparte de otras colecciones que se tomen como dominios del modelo. 11

Siguiendo la direccin de aquellos que han marcado el hiato, Etchemendy haargumentado 12 que el enfoque de Tarski adolece de dos tipos de dificultades. Enprimer lugar, segn el autor, y a diferencia de lo que argumentan muchos, hay dife-rencias extensionales entre la caracterizacin modelo-terica y la tarskiana (ambosno ofrecen como resultado los mismos casos de cumplimiento de las propiedadeslgicas) que son suficientes como para no identificar ambos enfoques. 13 Y agregaque el primero parece extensionalmente ms correcto que el ltimo. En segundolugar, sostiene que el enfoque tarskiano es inadecuado porque (a) depende de quehaya una distincin entre trminos lgicos y no lgicos en el lenguaje para el cualse est definiendo la relacin de consecuencia, pero, segn su punto de vista, resul-ta fcil mostrar que hay lenguajes formales muy sencillos (incluso lenguajes de pri-mer orden) para los cuales no puede trazarse la distincin. Pero, incluso si tal dis-tincin pudiera ser realizada, la inadecuacin del enfoque tarskiano resultara inevi-table ya que (b) al pretender capturar las propiedades del concepto intuitivo de con-secuencia se comete una falacia modal de alcance.



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11 Hay varios puntos en donde la concepcin modelista de consecuencia y la concepcin tarskia-na se diferencian: en la primera, las frmulas que presuntamente cumplen la relacin se toman de unlenguaje no interpretado; en la caracterizacin tarskiana, en cambio, las formulas vienen interpretadas.De esta manera, la interpretacin no cambia de modelo en modelo, tal como sucede en la caracteriza-cin modelista. En esta ltima, hay distintos dominios a partir de los cuales tenemos distintos modosde interpretar las frmulas. En la concepcin tarskiana, en cambio, hay un nico dominio del cual seestructuran los modos de interpretar las frmulas. Cfr. Bays (2001) y Gmez Torrente (2000).

12 Etchemendy (1999). 13 Una prueba que para los lenguajes de primer orden con identidad ambos enfoques tienen resul-

tados idnticos puede encontrarse en Gmez Torrente (2000).

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2. La supuesta falacia modal de Tarski

Un factor que oscurece el debate sobre este ltimo punto es que en ningnmomento Tarski explcitamente manifiesta estar dando un argumento para probarque el concepto de consecuencia por l definido es capaz de incorporar los aspec-tos modales del concepto intuitivo. Ms an, la bsqueda de un argumento pre-supone que el mencionado concepto intuitivo posee ciertas propiedades modalesque un anlisis adecuado del mismo debe preservar. Tal como expresa Etchemendy:

The most important feature of logical consequence, as we ordinarily understand it, is amodal relation that holds between implying sentences and sentence implied. The prem-ises of a logically valid argument cannot be true if the conclusin is false; such conclu-sions are said to follow necessarilly from their premises. 14

Un anlisis adecuado del concepto de consecuencia tendra que preservar estacaracterstica. En particular, si el anlisis de Tarski fuera apropiado, tendra que darcuenta de este aspecto. En esa direccin, Etchemendy toma el siguiente prrafo delartculo de Tarski como evidencia del error de Tarski al intentar supuestamenteargumentar que su anlisis reconstruye adecuadamente esta caracterstica. AfirmaTarski:

I have the impression that everyone who understands the content of the above defini-tion will admit that it captures many intuitions manifested in the everyday usage of theconcept of following. Its various consequences speak no less strongly for the adequacyof this definition. In particular e.g. one can prove on the basis of the definition accept-ed above that a sentence which follows logically from true sentences must itself be true;further, that the relation of following logically is completely independent of the senseof the extra-logical constants occurring in the sentences among which this relationobtains; in a word, one can show that the above formulated condition (F) is necessaryfor the sentence X to follow logically from the sentences of the class K. 15

En la discusin planteada, la clave est en:

(CO) one can prove on the basis of the definition accepted above that a sentence whichfollows logically from true sentences must itself be true.

La fuerza del must es poco clara: es la afirmacin fuerte de acuerdo con lacual en casos donde hay una relacin lgica de consecuencia es imposible que todoslos miembros de K resulten verdaderos y al mismo tiempo X falso? O simplemente



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14 Etchemendy (1999, p. 81).15 Tarski (1936, p. 417).

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es la relacin dbil segn la cual no se da que todos los miembros de K son verda-deros y X falso? Segn Etchemendy, en (CO) Tarski supone que se puede probarque hay una importante caracterstica que compartiran tanto del concepto intuitivocomo el definido por Tarski: el carcter modal.

El presunto argumento de Tarski tendra que mostrar que si K t X, esto es si unaoracin X es consecuencia lgica de un conjunto de oraciones K en el sentido defi-nido por l, entonces el trnsito de K a X es tal que es imposible que siendo K ver-dadera, X sea falsa.

(Tesis modal) (A) Si K t X, entonces una relacin modal se cumple entre la ver-dad de todas las oraciones de K y la verdad de todas las oraciones de X.

La manera de fundamentar esta tesis parece simple. Supongamos su anteceden-te

(1) K t X

Y al mismo tiempo, buscando un absurdo, supongamos la negacin de su con-secuente

(2) No es cierto que (X se siga con necesariamente de K)

Dada la definicin de t

(3) Si K t X, entonces no hay modelo tarskiano de K que no sea tambin mode-lo de X

Pero

(4) Si X no se sigue con necesidad de K, hay un modo de interpretar intuitivo enel cual todas las frmulas de K son actualmente verdaderas y X es actualmentefalsa.

Si esto es as, entonces

(5) Hay un modelo (el que representa la interpretacin intuitiva actual de lasexpresiones no lgicas), en el que K es verdadera y X falsa.

Pero, no puede haber al mismo tiempo un modelo con las caractersticas atribui-das en (5) y en (3). Por lo cual



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(6) (1) y (2) se contradicen.

En sntesis, de la suposicin de la falsedad de la tesis modal se sigue una con-tradiccin. Ntese que el argumento supone que hay dos nociones de modo de inter-pretar: una intuitiva, que tiene caractersticas modales y otra, la de modelo tarskia-no, que se propone como una caracterizacin de la nocin intuitiva. Si la nocin demodo de interpretar las constantes no lgicas de un lenguaje fuera simplemente lanocin precisa de modelo tarskiano entonces trivialmente siempre que K t S, sedaria que K int S y entonces K implicara por necesidad lgica a X. Pero, en esecaso, no hara falta un argumento para vincular ambos conceptos. Por otra parte,recurdese que el concepto de modelo tarskiano posee caractersticas conjuntistas.Se haga o no referencia a objetos pertenecientes a una nica coleccin, o si por elcontrario se contemplara la posibilidad de que se tomen en consideracin objetosque formen parte de otras colecciones que se tomen como dominios del modelo, lamanera ms natural de trabajar con estas colecciones es considerarlas como si fue-ran conjuntos. 16 El intento de dar un argumento que muestre que hay tantos modosde interpretar frmulas de un lenguaje cualquiera como interpretaciones conjuntis-tas est respaldado por la necesidad de mostrar que estas ltimas son capaces deofrecer un anlisis correcto de las caractersticas principales de un concepto intuiti-vo.

Ahora bien, justamente en este punto, Etchemendy sostiene que esta prueba nopuede tomarse como una muestra de que si K t X, entonces una relacin modal secumple entre la verdad de todas las oraciones de K y la verdad de todas las oracio-nes de X. Lo que probara, en cambio, la supuesta prueba es:

(B) Necesariamente (Si K t X, entonces X es una consecuencia lgica intuitivade K (en el sentido de preservacin de verdad de K a X)

y no

(A) (Si K t X, entonces necesariamente (se preserva la verdad de K a X)

que es precisamente lo que habra que probar. De otra forma, en palabras deEtchemendy:

To show that all Tarskian consequences are consequences in the ordinary sense, wewould need to prove a theorem with embedded modality. . . Obviously, the proof in



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16 Ntese que se trata esta consideracin acerca de los modelos de una suerte de principio meto-dolgico y no de una tesis ontolgica acerca de qu son los modelos. Crf Gmez Torrente (indito).

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question does not show that every Tarskian consequence is a consequence in the ordi-nary sense. It is only through an illicit shift in the position of the modality that we canimagine ourselves demonstrating of any Tarskian consequence that it is entailed by [i.e.,follows with necessity from] the corresponding set of sentences. 17

En suma, Etchemendy afirma que donde Tarski debi concluir (A) y por lotanto, abstenerse de sacar cualquier conclusin acerca de las propiedades modalescompartidas entre t y el concepto intuitivo de consecuencia, ofreci una pruebade (B), que contiene una modalidad, pero que no le sirve para mostrar la coinciden-cia modal entre ambos conceptos.

3. Hay tantos modelos tarskianos como modelos posibles?

Claro que no todos estn de acuerdo acerca de cmo evaluar la objecin modalde Etchemendy. Hay algunos de sus crticos (fundamentalmente, Ray, Sher, Garca-Carpintero, Shapiro) 18 que han aceptado junto con l, el que exista de parte deTarski la intencin de ofrecer un argumento que muestre que t y el de int compar-ten sus propiedades modales. Sin embargo, han argumentado en contra deEtchemendy, que el presunto argumento sea una falacia. En esta direccin, han tra-tado de ofrecer una reconstruccin del argumento que evite la falacia de alcancemodal. Otros en cambio, (fundamentalmente, Gmez-Torrente 19 ) han argumenta-do que tanto Etchemendy como sus crticos estn equivocados: en el pasaje citadoTarski no ofrece un argumento (ni tuvo la intencin de ofrecerlo) que muestre que

t tiene propiedades modales. Pero, ms all de si exegticamente Gmez Torrentetiene razn, qu se puede decir si se concede la necesidad de ofrecer un argumen-to?.

Ray ha objetado 20 que hay un sentido dbil en el cual la tesis modal se cumple:en este sentido, el must presente en (CO) debe ser interpretado como preservacinde verdad para toda substiticin. Esto es, hay una prueba de una tesis, la tesis gene-ralista, que se puede aceptar sin dificultades, y que puede captar un sentido de musten trminos de fuerza lgico deductiva.

(A*) (Tesis generalista) Si K t X, entonces para cualquier modo de interpretarintuitivo, se preserva la verdad de K a X.



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17 Etchemendy (1990, Cap. 6).18 Ray (1996), Sher, Garca-Carpintero (1993) y (manuscrito), Shapiro (1998). 19 Gmez-Torrente (1996) y (1998).20 Ray (1996).

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Ntese que (A*) no contiene expresiones modales explcitas. La estratega deRay es mostrar que si la definicin de t satisface la condicin (F), entonces espreservadora de verdad (en sentido intuitivo). Supongamos, para apreciar estareconstruccin,

(i) K t X,

Y

(ii) De K no se preserva la verdad a X (para cualquier modo de interpretar intui-tivo)(iii) Si de K no se preserva la verdad a X, entonces hay un argumento (produc-to de la substitucin de las constantes no lgicas en K y X) que va de K a X enel cual K es verdadera, y X es falsa (de (ii) ) (iv) Existe una interpretacin, en la cual K es actualmente verdadera y X esactualmente falsa.

Sin embargo, si (i) K t X, entonces

(v) para toda sustitucin de las constantes no lgicas en K y X, si K es verdade-ra, entonces X es verdadera (por lo que Ray llama Teorema T) 21

Estas afirmaciones son contradictorias: si Ky X es el resultado de sustituir enK y X las constantes no lgicas por constantes no lgicas, no puede darse (v) y (iv)a la vez. Por lo tanto, segn Ray, no se ve por qu, como afirma Etchemendy, tie-nen que ser equivalentes debe haber un salto modal en alguna parte del argumento,salto en el que se cometera algn tipo de falacia de alcance. 22

Al contrario, enfatizando su crtica, Ray pretende dar una vuelta de tuerca alargumento de Etchemendy, con el objetivo de mostrar que es Etchemendy y noTarski quien comete una falacia de alcance al hacer la reconstruccin de lo queTarski presuntamente intento argumentar. But the real error here is Etchemendys,



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21 Ray (1996, p. 653).22 Un punto importante que Ray cuestiona es que hacer equivalentes a la tesis generalista con la

tesis modal transforma a la nocin de t en una implicacin modal estricta. Ntese que es esencialque existan dos lecturas modales del condicional que va desde t a la relacin de consecuencia intui-tiva. En ambas lecturas, la modalidad involucrada debe representarse en el lenguaje objeto. Y estotransforma automticamente en una implicacin estricta al condicional alcanzado por la modalidad.Pero, argumenta Ray, la implicacin estricta no es una relacin formal: es una implicacin que no cum-ple (F).

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and ironically, it is a quantifier scope error. 23 El error de alcance cuantificacionalque Ray le atribuye a Etchemendy es el siguiente:

Segn el crtico de Tarski, slo si se probara que si hay un modo de interpretartarskiano en el cual S es una consecuencia de K, entonces neceriamente S es unaconsecuencia lgica intuitiva de K (es decir, la necesidad del condicional que va deK T X a K INT S), se establecera la correccin del anlisis tarskiano. Sin embar-go, lo que Etchemendy tendra que haberle reclamado al supuesto argumento tars-kiano es algo tan fuerte como la siguiente tesis generalista:

(Tesis de re) x (x es un modo de interpretar tarskiano tal que siempre que paratoda X y K, si se da en ese modo de interpretar tarskiano que X es verdaderacuando K lo es, se da que K INT X

O en trminos de una modalidad, la siguiente tesis modal:

(Tesis modal de re) x (x es un modo de interpretar tarskiano tal que en todomundo posible en donde estn K y X, si se da en ese modo de interpretar tars-kiano que X es verdadera cuando K lo es, se da que K INT X 24

Esto es, que exista un objeto conjuntista que podamos utilizar la reinterpretar aK y a X y que ese objeto tenga siempre (o en terminos modales, tenga en todomundo posible) la propiedad de preservar la verdad de K a X. Pero Etchemendy, encambio, le pide a Tarski que

(Tesis de dicto) Para toda X y K, siempre que (x x es un modo de interpretartarskiano en el cual si X es una consecuencia de K, se da que K INT X)

O en trminos modales

(Tesis de modal dicto) Para toda X y K, en todo mundo posible (x x es un modode interpretar tarskiano en el cual si X es una consecuencia de K, se da que K INT X)

Esto es, que en todos los casos (o en trminos modales, en todo mundo posible)la proposicin (x x es un modo de interpretar tarskiano en el cual si X es una con-



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23 Ray (1996, p 651).24 Como ya hemos dicho, Ray no quiere involucrarse con modalidades. Por ese motivo, presenta

la objecin de alcance en trminos generalistas. Para los que no tengan reparos modales, la lecturamodal de re puede resultar atractiva.

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secuencia de K, se da que K INT X) sea verdadera. En este punto, Ray nos hacenotar que 25 el procedimiento empleado por Etchemendy para encontrar una inter-pretacin tarskiana curiosa en donde se muestre que X se sigue de K, pero X no seauna consecuencia intuitiva de K basta para afectar las lecturas de dicto, pero no lasde re, ya que del hecho de que haya algunas interpretaciones que no hagan un tra-bajo correcto no se sigue que ninguna lo haga.

En la misma direccin que Ray, Shapiro, McGee y Sher han ofrecido argumen-tos que intentan completar el hiato entre el concepto analizado y su anlisis conjun-tista. Sin embargo, esas propuestas resultan un poco ms robustas desde el punto devista modal. En la reconstruccin de Shapiro, 26 el papel que juega en la formula-cin de Ray el concepto de fuerza deductiva, lo juega el de modo de representarposibilidades. Tanto en la McGee como en la de Sher, 27 en cambio, se recurre acierto isomorfismo entre modos de interpretacin (en sentido intuitivo) y modelosconjuntistas. La conjetura de Sher es que para todo modo de interpretar los lengua-jes que Tarski tom en cuenta, hay un modelo conjuntista isomfico a l. Y en elargumento de McGee 28 se utiliza el teorema segn el cual:

For any model, there exists an isomorphic model which is a pure set

En este ltimo caso, el argumento procede suponiendo que hay un mundo posi-ble w en el cual hay un modelo M en el cual una frmula es falsa. Ya que el men-cionado teorema es verdadero en todo mundo posible, habr en w un modelo L, iso-mrfico con M, el cual es un conjunto puro. Al ser un objeto de la matemtica pura,L existe en todo mundo posible, y es en todo mundo posible, un modelo en el cual es falsa. En particular, L atestigua el hecho de que, en el mundo actual, hay unmodelo en el cual es falsa.29 Por eso, si hubiera un modelo posible en el cual esfalsa, entonces habra actualmente un modelo en el cual es falsa. De lo cual, argu-menta McGee se sigue que si es universalmente vlida, no puede haber un mode-lo posible en el cual es falsa.

La estrategia de Ray, y en el mismo sentido la de Sher, McGee y Shapiro, harecibido crticas. 30 No necesariamente para darle la razn a Etchemendy, sino sim-plemente para mostrar un obstculo que aquellos que creen en la necesidad de darun argumento deben sortear. En esta direccin, Hanson 31 argumenta que la prueba



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25 Ray (1996, p. 652).26 Shapiro (1998).27 Sher (1996).28 McGee (1992, p 276).29 McGee (1992, p 276).30 Cfr. Gmez Torrente (1998), Hanson (1999), Prez-Otero (2001).31 Hanson (1999, p. 613).

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de Ray (y podamos agregar, la de los restantes autores mencionados) tiene unsupuesto:

Que hay una representacin conjuntista del modo de interpretar intuitivo: tal interpre-tacin en sentido intuitivo, si existe, tendr que poder ser representada conjuntistica-mente, y por tanto, tendr algn conjunto no vaco como dominio.

Pero, segn Hanson: el supuesto segn el cual, para todo modo de interpretarintuitivo existe un modo de interpretar conjuntista es inadecuado, porque el domi-nio de todos los individuos frente a los cuales queremos que los miembros de K seanverdaderos y los de X falsos en sentido intuitivo, debe contener todos los conjuntosy por lo tanto, ese dominio es demasiado grande como para ser un conjunto.

In other words under a scientifically serious account of absolute truth and falsity, thedomain of all individuals with respect to which the members of K are assumed true andX is assumed false will almost certainly contain all sets and hence will be too large tobe a set. 32

En este sentido, no hay garantas acerca de que toda interpretacin sea modela-ble por una interpretacin conjuntista. En la misma direccin, Gmez Torrente haargumentado 33 que no hay un argumento general que muestre la verdad de:

Una oracin de L es universalmente vlida syss esa oracin es verdadera en todas lasestructuras conjuntistas actualizadas para L

Por eso, segn Hanson y Gmez Torrente, la conclusin de Ray no estara pro-bada (no est probado que se preserva verdad en sentido intuitivo). Y algo semejan-te, supongo, podran sostener alrededor de las reconstrucciones de Shapiro, McGeey de Sher. Todas los modos de interpretar intuitivos las oraciones de L no tienen queser exactamente todos los modos de interpretar conjuntistas las oraciones de L. Enel caso de Gmez Torrente, agrega a esta situacin, utilizando el teorema deKreisel,34 que hay un buen argumento que muestra que la anterior afirmacin esverdadera cuando L es un lenguaje de primer orden. Sin embargo, este argumentosupone que L es completo (tal como est probado cuando L es de primer orden) y



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32 Cfr. Hanson (1999, p. 610). Hart recurre a la paradoja de Cantor para mostrar que este conjun-to no puede existir: si el conjunto potencia de un conjunto infinito tiene una cardinalidad ms grandeque el conjunto infinito de referencia (teorema de Cantor), el conjunto potencia del conjunto de todoslos conjuntos tendra que tener una cardinalidad mayor que este ltimo, y por lo tanto, afectar la posi-bilidad de que ese conjunto sea el conjunto de todos los conjuntos. Hart (1991).

33 Gmez Torrente (2000).34 Kreisel (1967).

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por eso no puede extenderse ms all de los lmites de las teoras completas.35Una tentacin, a la que podra recurrir Ray, sera el recurso a entidades conjun-

tistas (como las clases propias). El problema es que la interpretacin pretendida dela teora de conjuntos no puede tener como dominio, ni puede corresponderse demanera inmediata, una entidad que pueda formar parte de esa teora. Supongamosque queremos mostrar que tenemos una definicin adecuada de T (una que preser-ve verdad en sentido de hacerlo para todos los modos intuitivos de interpretar) paraesta teora conjuntista que incluye estas grandes colecciones. Llamemos CT a estateora. 36 Para hacerlo tenemos que interpretar por medio de una semntica esta CT.Esta semntica tiene cuantificadores que hablan acerca de todas las coleccionesreconocidas por nuestra CT. Pero slo si estuviramos seguros de que el dominiode nuestra CT es una de las entidades de las que habla CT, vale la prueba del coro-lario de Ray. No obstante, esta seguridad no existe. 37 El dominio necesario parainterpretar CT tiene que ser una coleccin que no est en CT. 38 Esto es, aunque CTincluya clases propias, no hay garantas de que no haya ms interpretaciones queestructuras cuyo dominio sean clases propias. 39

Ntese, no obstante, que este resultado no est estrictamente relacionado con losaspectos modales del concepto intuitivo de validez universal o consecuencia, sinoms bien con la falla de garantas en la coextensionalidad entre los conceptos demodo intuitivo de interpretar y de modo conjuntista de interpretar. Para advertireste punto, basta llamar la atencin respecto del argumento de McGee que no haygarantas de que haya tantas estructuras cuyos dominios sean conjuntos posiblescomo interpretaciones intuitivas. Esto es, an admitiendo que hay un modo conjun-tista de representar conjuntos posibles, basado en el teorema mencionado porMcGee y en la existencia necesaria de los objetos de la matemtica pura, an restaun hiato hasta los modos de interpretar intuitivos. Justamente esta es la limitacinque presenta el argumento de McGee. Claro que, tambin es importante advertir queeste resultado no muestra que no sea posible siempre representar de manera conjun-tista un modo de interpretar intuitivo, utilizando la posibilidad de extender de mane-ra indefinida los modos conjuntistas de interpretar: o bien generando una jerarquainfinita de entidades conjuntistas cada vez ms grandes, como clases, hiperclases,hiperhiperclases, o bien recurriendo a algn principio de reflexin40 o bien amplian-



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35 Gmez Torrente (2000,. p. 61-62) e (indito, p. 2).36 Sigo a Hanson (1999, p. 611) en este ejemplo. La denominacin de CT es por collection

theory. 37 Tal como lo muestra la paradoja formulada por Ral Orayen. Cfr Orayen (2003) y Barrio

(indito). 38 Hanson (1999, p. 612).39 Por supuesto, que no haya garantas no quiere decir que de hecho haya un contraejemplo a la

concepcin tarskiana de consecuencia.40 El principio de reflexin dice que cualquier coleccin de oraciones verdaderas en una estruc-

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do indefinidamente el universo conjuntista, renunciando a la posibilidad de queexista una extensin definida para el concepto de conjuntos y por lo tanto, para elconcepto de dominio.

Mi punto es entonces que si bien la objecin de Hanson y de Gmez Torrentehacia la estrategia de Ray, McGee y Sher parece mostrar simplemente que todaaproximacin matemtica del concepto intuitivo de interpretacin ser siempreincompleta, el problema es previo al de ofrecer un argumento que salve el hiatoentre lo general y lo modal. El problema yace en la nocin misma de estructura con-juntista. El que exista la posibilidad de que haya un argumento de K a X, compues-to de oraciones de un L cuya semntica se define por medio de la teora estndar demodelos, tal que todas las estructuras conjuntistas en que son verdaderas cada unode los integrantes de K, son tambin estructuras en las que X es verdadera, pero talque resulte que hay una interpretacin intuitiva que hace verdaderos a todos losmiembros K y falsa a X, no es un problema que surja porque el concepto de conse-cuencia intuitivo es modal y no es posible salvar el salto de lo general a lo modal:es un problema que surge porque no hay conjuntos suficientes como para represen-tar todos los modos intuitivos de interpretar frmulas. Claro, es estrictamente cier-to que no hay un argumento que nos garantice que haya tantas interpretaciones con-juntistas como interpretaciones intuitivas. Pero el problema est ms relacionadocon la cuestin de si es posible ofrecer un anlisis de un concepto informal en tr-minos de otro formal, que con la cuestin de si el concepto informal tiene caracte-rsticas modales.

En suma, es cierto que las estrategias del tipo de la de Ray no logran ser con-cluyentes al intentar mostrar argumentativamente que el concepto tarskiano de con-secuencia capta los rasgos modales del concepto intuitivo de consecuencia. Heargumentado, no obstante, que el problema, sin embargo, es acerca de la adecuacinextensional de un anlisis conjuntista del concepto de interpretacin, y como tal, deun anlisis conjuntista de los conceptos intuitivos de validez universal y consecuen-cia lgica, y no un problema acerca del salto o no desde lo general a lo modal.

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Eduardo Alejandro BarrioUniversidad de Buenos Aires / [email protected]



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