UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS

MDULO

MTODOS PROBABILISTICOS

GLORIA LUCIA GUZMN ARAGN

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA NEIVA (HUILA), 2.007

TABLA DE CONTENIDOSINTRODUCCIN JUSTIFICACIN 2.2 2.3 2.4 UNIDAD 1 MODELOS ESTOCSTICOS O PROBABILSTICOS CAPITULO 1

PROGRAMACION NO LINEAL 1.1 INTRODUCCION 1.2 PROGRAMACIN CUADRTICA 1.3 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. 1.4 CONDICIONES KUNH-TUCKER 1.5 PROCEDIMIENTO DE BSQUEDA EN UNA DIMENSIN. 1.6 TCNICAS DE GRADIENTE. 1.7 EL MTODO DE NEWTON-RAPHSON. 1.8 MTODO DE LA CUESTA DE MAYOR PENDIENTE 1.9 FUNCIONES DE PENALIZACIN. CAPITULO 2 PROGRAMACIN META 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 INTRODUCCION CONCEPTOS FUNDAMENTALES ESTUDIO DE CASO: PROGRAMACION DE INSTALACIONES OBJETIVOS MULTIPLES PROGRAMACION META IMPLEMENTACION TERMINOS CLAVE TALLER LECTURA AUTOREGULADA

UNIDAD 2 PROCESOS MARKOVIANOS CAPITULO 1 CADENAS DE MARKOV 1.1 INTRODUCCIN 1.2 PROCESOS ESTOCSTICO 1.3 CADENAS DE HARKOV 1.4 EJERCICIOS DE APLICACIN 1.5 TALLER CAPITULO 2 TEORIA DE COLAS 2.1 INTRODUCCION 2.2 JUSTIFICACION 2.3 OBJETIVOS 2.4 ANTECEDENTES 2.5 CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE COLAS 2.6 ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS 2.7 MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS 2.8 EJEMPLOS DESARROLLADOS 2.9 TALLER

UNIDAD 3 TEORA DE JUEGOS 3.1 INTRODUCCION 3.2 OBJETIVOS 3.3 CONCEPTO 3.4 IDEAS FUNDAMENTALES 3.5 MTODOS 3.6 GLOSARIO

3.7 EJERCICIOS RESUELTOS 3.8 TALLER 3.9 LECTURA AUTOREGULADA UNIDAD 4 TEORIA DE INVENTARIOS 4.1. INTRODUCCIN. 4.2. OBJETIVOS 4.3. DEFINICION 4.4. ADMINISTRACION DE INVENTARIOS 4.5. CARACTERSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 4.6. CARACTERSTICAS CLAVES 4.7. MODELOS DE INVENTARIOS E.O.Q. 4.8 OTROS MODELOS DE INVENTARIOS 4.9. MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA PROBABILISTICA 4.10 TALLER 4.11 ECTURA AUTOREGULADA 4.12 AUTOEVALUACIN UNIDAD 5 TEORIA DE PRONOSTICOS 5.1. INTRODUCCION 5.2. OBJETIVO 5.3. BASES DE PRONSTICO. 5.4. FUENTES DE PRONSTICO 5.5. CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS 5.6. EJEMPLOS DESARROLLADOS 5.7. MEDICIONES DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR MODELOS DE PRONSTICO. 5.8. TALLER. ANEXO: TEORIA DE DECISIONES FUENTES DOCUMENTALES

INTRODUCCINEl curso de Mtodos Probabilsticos Componente de Formacin Disciplinar y tiene carcter bsico en los programas de Ingeniera que oferta la UNAD, adems es de tipo terico- prctico. Tiene como objetivo dar herramientas para una buena toma de decisiones, a fin de optimizar los resultados dados en una organizacin, en especial los relacionados con procesos, recursos, costos etc, de competencia para los futuros ingenieros y empresarios. El curso tiene 2 crditos acadmicos los cuales comprenden el estudio independiente y el acompaamiento tutorial, con el propsito de: Comprender los elementos tericos que sustentan los mtodos Probabilsticos. Identificar y utilizar los mtodos Probabilsticos para la solucin de problemas. Distinguir y manejar los conceptos tericos sobre Modelos estocsticos y aplicarlos en la solucin de problemas relacionados con los temas en cuestin.. evaluar y aplicar las operaciones de acuerdo al campo de accin especfico en el que se desenvuelve el futuro profesional.

Este curso est compuesto por dos Unidades didcticas a saber: Unidad 1. Anlisis de decisin donde se pretende que el estudiante valore la importancia de la teora de decisiones pues tiene que ver con la ciencia de la toma de decisiones, se pretende adems desarrollar tcnicas para medir los gustos o valores de las personas por medio de una funcin de utilidad. Esto proporciona tambin una medida de la actitud individual de una persona al riesgo. Tambin se pretende mostrar como las creencias de una persona, en trminos de

probabilidades sujetivas, pueden medirse implcitamente de su eleccin entre apuestas comparables. Unidad 2. Modelos Estocsticos o probabilsticos: se plantean los diferentes mtodos empleados para solucionar problemas relacionados con programacin dinmica, teora de juegos, inventarios, pronsticos, cadenas de Markov con los que se pretende que el estudiante posea ms herramientas para que busque la solucin ptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la cotidianidad como en el ejercicio de su vida profesional y/o laboral. El curso es de carcter terico- prctico y la metodologa a seguir ser bajo la estrategia de educacin a distancia. Por tal razn es importante planificar el proceso de: Estudio independiente: Se desarrolla a travs del trabajo personal y del trabajo en pequeos grupos colaborativos de aprendizaje. Acompaamiento tutorial: Corresponde al acompaamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formacin. El Sistema de evaluacin del curso es a travs de la evaluacin formativa, que constituye diferentes formas de comprobar el avance en el auto aprendizaje del curso. En este sentido se realizarn tres tipos de evaluacin alternativas y complementarias, estas son: Auto evaluacin: evaluacin que realiza el estudiante para valorar su propio proceso de aprendizaje. Coevaluacin: Se realiza a travs de los grupos colaborativos, y pretende la socializacin de los resultados del trabajo personal. Heteroevaluacin: Es la valoracin que realiza el tutor. El sistema de interactividades vincula a lo9s actores del proceso mediante diversas actividades de aprendizaje que orientan el trabajo de los estudiantes hacia el logro de los objetivos que se pretenden, de la siguiente manera: Tutor-estudiante: a trasvs del acompaamiento individual Estudiante-estudiante: mediante la participacin activa en los grupos colaborativos de aprendizaje. Estudiantes-Tutor: a travs del acompaamiento a los pequeos grupos colaborativos de aprendizaje.

Tutor-Estudiantes: mediante el acompaamiento en el grupo de curso. Estudiantes-Estudiantes: en los procesos de socializacin que se realizan en el grupo de curso. Para el desarrollo del curso es importante el papel que juega los recursos tecnolgicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocucin durante todo el proceso de dilogo docente-estudiante Los materiales impresos en papel, se han convertido en el principal soporte para favorecer los procesos de aprendizaje autodirigido. Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interaccin y la produccin de nuevas dinmicas educativas. Sistemas de interactividades sincrnicas: permite la comunicacin a travs de encuentros presenciales directos o de encuentros mediados ( Chat, audio conferencias, videoconferencias, tutoras telefnicas) Sistemas de interactividades diferidas: permite la comunicacin en forma diferida favoreciendo la disposicin del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje, mediante la utilizacin de correo electrnico, foros grupos de discusin, entre otros. El acceso a documentos adquiere una dimensin de suma importancia en tanto la informacin sobre el tema exige conocimientos y planteamientos preliminares, por tal razn es imprescindible el recurso a diversas fuentes documentales y el acceso a diversos medios como son: bibliotecas electrnicas, hemerotecas digitales o impresas, sitios Web especializados. En la medida en que usted adquiera el rol de estudiante, interiorice y aplique los puntos abordados anteriormente, podr obtener los logros propuestos en este curso, as como un aprestamiento en los enfoques y mtodos de la programacin lineal, mediante la estrategia de la educacin a distancia.

UNIDAD UNO MODELOS ESTOCASTICOS O PROBABILISTICOS CAPITULO 1 PROGRAMACION NO LINEAL1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 INTRODUCCION PROGRAMACIN CUADRTICA MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. CONDICIONES KUNH-TUCKER PROCEDIMIENTO DE BSQUEDA EN UNA DIMENSIN. TCNICAS DE GRADIENTE. EL MTODO DE NEWTON-RAPHSON. MTODO DE LA CUESTA DE MAYOR PENDIENTE. FUNCIONES DE PENALIZACIN.

1.1 INTRODUCCION Una suposicin importante de programacin lineal es que todas sus funciones (Funcin objetivo y funciones de restriccin) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposicin se cumple para muchos problemas prcticos, es frecuente que no sea as. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepcin, en los problemas de planeacin econmica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programacin no lineal De una manera general, el problema de programacin no lineal consiste en encontrar para maximizar , sujeta a

en donde

y las

son funciones dadas de n variables de decisin.

No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas especficos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigacin sigue muy activa. En este caso se destaca el estudio de optimizacin en una variable sin restricciones de la forma: Optimizar z = f(x) Donde f es funcin no lineal de x y la optimizacin se realiza en (-, ). Si la bsqueda se circunscribe a un sub. Intervalo finito [a, b] el problema es de optimizacin no lineal restringida y se transforma a Optimizar z = f(x) Con la condicin a x b.

Optimizacin no lineal multivariable Es el caso anlogo al anterior, pero en el caso en que la funcin f es de ms de una variable, es decir: Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T Si existen las restricciones Gi(X) = 0 Es un problema no lineal multivariable restringido. Ejemplo Una Compaa desea construir una planta que recibir suministros desde tres ciudades A, B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 Km. al Este,400 Km. al Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al Norte) respecto de A. La posicin de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la mnima. Sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A.

Utilizando la frmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias

(x12 + x22) + ((x1 - 300)2 + (x2 - 400)2) + ((x1 - 700)2 + (x2 - 300)2)No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste del punto A. La ecuacin es un programa matemtico no lineal sin restricciones. Veamos ahora algunos casos de programacin no lineal comunes de encontrar:

1.2 PROGRAMACIN CUADRTICAEs un caso particular de programacin matemtica no lineal. Un programa matemtico en el cual cada restriccin gi es lineal pero el objetivo es cuadrtico se conoce como programa cuadrtico, es decir f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxixj + S i=1,ndixi Ejemplo Minimizar z = x12 + x22 Con las condiciones x1 - x2 = 3 X2 3

Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c11 = 1; c12 = c21 = 0; c22 = 1 y d1 = d2 = 0.

1.3 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente:

(1) Para resolverlo, asociamos un multiplicador l formamos el lagrangiano1

con la i-sima restriccin y

(2) Donde son constantes (desconocidas) denominadas multiplicadores de Lagrange. Despus resulvase el sistema de n + m ecuaciones:

Teorema: Si existe una solucin al programa (1), sta se encuentra contenida entre las soluciones al sistema anterior, siempre y cuando y todas tengan primeras derivadas parciales continuas y la matriz jacobina de m x n,

tenga rango m en X = X* El mtodo de los multiplicadores de Lagrange es equivalente a emplear las ecuaciones de restriccin para eliminar algunas de las variables x de la funcin objetivo y resolver despus un problema de maximizacin sin restricciones para las restantes variables x.

Ejemplo: Una compaa planea gastar 10,000 dlares en publicidad. Cuesta 3,000 dlares un minuto de publicidad en la televisin y 1,000 dlares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisin y y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dlares, est dado por ingreso? Solucin: Se tiene el programa no lineal siguiente . Cmo puede la empresa maximizar su

Entonces

Hacemos

Obsrvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restriccin 3x + y = 10. La ecuacin As, (1) da y la ,o ecuacin (2) da

Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o nos dan

. Entonces (4) y (5)

El hessiano para

es

Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y , es una funcin cncava. La restriccin es lineal y, por lo tanto da la solucin ptima para el programa no lineal. As, la empresa tendra que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de tiempo de radio. Ya que l = , el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeo) aumentara los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dlares (en miles). En general, si la empresa tiene a dlares para gastar en la publicidad, se puede . Vemos que si gasta ms dinero en la publicidad, el demostrar que incremento en el ingreso por cada dlar adicional para la publicidad se hace ms pequeo

1.4 CONDICIONES KUNH-TUCKEREl desarrollo est basado en el mtodo de Lagrange. Estas condiciones son tambin suficientes bajo ciertas limitaciones que se establecern posteriormente. Considere el problema maximizar z = f(X) sujeto a g(X)>= 0 Las restricciones de desigualdad pueden convertirse en ecuaciones sumando las variables de holgura no negativas apropiadas. Por consiguiente, para satisfacer las condiciones de no negatividad, sea i-esima restriccin gi (X) >= 0. Defnase S = (S1 , S2 , . . . , Sm )T y la cantidad de holgura sumada a la

Donde m es el nmero toral de restricciones de desigualdad. La funcin de Lagrange es, por consiguiente, L(X,S,l ) = f(X) - l [ g(X) + S2 ] Dadas las restricciones g(X) >= 0 Una condicin necesaria para la optimidad es que l sea no negativa (o bien, no positiva) para problemas de maximizacin (o bien, minimizacin). Esto se justifica como sigue. Considere el caso de maximizacin. Ya que l mide la tasa de variacin de f con respecto a g; l = d f / d g Como el lado derecho de la restriccin g >= 0 aumenta sobre cero, el espacio de soluciones llega a ser menos restringido y as f no puede disminuir. Esto significa que l 0. De igual manera, en el caso de minimizacin cuando los recursos aumentan, f no puede aumentar, lo cual implica que l >= 0 Si las restricciones son igualdades, esto es, g(X) =0 , entonces l ser irrestricta en signo. Las restricciones sobre l dadas anteriormente deben de mantenerse como parte de las condiciones necesarias de Kunh-Tucker. Las condiciones restantes se obtendrn ahora. Tomando las derivadas parciales de L con respecto a X, S y l ,

El segundo conjunto de ecuaciones revela los resultados siguientes. 1. si l i > 0 , . Esto significa que el recurso correspondiente es escaso y, por lo tanto, se agota totalmente (restriccin de igualdad). 2. Si , l i = 0 . Esto significa que el recurso i-esimo no es escaso y, en consecuencia, no afecta el valor de f, (l i =d f / d gi = 0 ). Del segundo y tercer conjunto de ecuaciones se deduce que l i gi (X) = 0, i = 1, 2, . ..,m

Esta nueva condicin esencialmente repite el argumento anterior ya que si l i > 0, gi(X) = 0, o . Similarmente, si gi(X) < 0 , esto es, entonces l i > 0. Las condiciones de Kuhn-Tucker necesarias para que X y l sean un punto estacionario del problema de maximizacin anterior pueden resumirse ahora como sigue ; l 0 f(X) - l g(X) = 0 l igi (X) = 0 y = 1, 2, . . , m g(X) >= 0

1.5 PROCEDIMIENTO DE BSQUEDA EN UNA DIMENSIN.Este procedimiento trata de encontrar una serie de soluciones prueba que conduzcan hacia una solucin ptima. En cada iteracin, se comienza con la solucin prueba actual para llevar a cabo una bsqueda sistemtica, que culmina con la identificacin de una nueva solucin prueba mejorada. La idea fundamental del procedimiento, es que se basa en el hecho de que la pendiente (derivada) sea positiva o negativa en una solucin prueba, indica definitivamente si la mejora est a la derecha o a la izquierda, respectivamente. As, si la derivada evaluada para un valor especifico de x es positiva, entonces x* debe ser ms grande que esta x, con lo que x se convierte en una cota inferior para las soluciones prueba que en adelante se tomarn en cuenta. Por el contrario, si la derivada es negativa, entonces x* debe ser mas chica que esta x, y x se convierte en una cota superior. Una vez que se han identificado ambas cotas, cada nueva solucin prueba que se selecciona entre ellas proporciona una nueva cota ms estrecha de uno de los dos tipos, cerrando la bsqueda cada vez ms. Siempre y cuando se use una regla razonable para elegir cada solucin prueba en esta forma, la sucesin de soluciones prueba debe de converger a x*

Notacin: Paso inicial:

Se selecciona g . Se encuentran

iniciales por inspeccin . Se elige una

solucin prueba inicial. , de manera que la nueva x se encuentra a una Regla de detencin: Si distancia de x* menor que g, el proceso termina. De otra manera, se regresa al paso iterativo.

1.6 TCNICAS DE GRADIENTE.En este punto se desarrolla un mtodo para optimizar funciones continuas que son dos veces diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto inicial dado, en la direccin del aumento ms rpido (maximizacin) de la funcin. Est tcnica se conoce como mtodo del gradiente porque el gradiente de la funcin en un punto es lo que indica la tasa ms rpida de aumento.

1.7 EL MTODO DE NEWTON-RAPHSON.Una desventaja de utilizar la condicin necesaria para determinar puntos estacionarios es la dificultad de resolver numricamente las ecuaciones simultneas resultantes. El mtodo de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver ecuaciones simultneas no lineales. Aunque el mtodo se presenta en este contexto, realmente es parte de los mtodos conocidos como mtodos de gradiente para optimizar numricamente funciones no restringidas, irrestrictas. fi (X) =0, i=1, 2, ..., m

se Xk un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor fi (X) fi (Xk ) + fi (Xk) (X-Xk ) , i= 1, 2, ...., m

Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por fi (Xk ) + fi (Xk) (X-Xk ) = 0 , i= 1, 2, ...., m Estas ecuaciones pueden escribirse en notacin matricial como Ak + Bk (X - Xk ) = 0 Bajo la hiptesis de que todas las fi (X) son independientes Bk necesariamente es no singular. Por consiguiente, la ltima ecuacin proporciona X = Xk -Bk-1 Ak La idea del mtodo es comenzar desde un punto inicial X0. Utilizando la ecuacin anterior, siempre puede determinarse un nuevo punto Xk+1 a partir de Xk. El procedimiento finaliza con Xm como la solucin cuando Xm Xm-1

1.8 MTODO DE LA CUESTA DE MAYOR PENDIENTE.La terminacin del mtodo gradiente se efecta en el punto donde el vector gradiente se anula. Esta es solamente una condicin necesaria de optimidad. Por consiguiente, se destaca que la optimidad no puede verificarse a menos que se conozca a priori que f(X) es cncava o convexa. Suponga que se maximiza f(X). Sea X0 el punto inicial desde el cual comienza el procedimiento y defina f(Xk ) como el gradiente de f en el punto k de Xk . La idea del mtodo es determinar una ruta particular p a lo largo de la cual df/dp se maximiza en un punto dado. Este resultado se logra si se seleccionan puntos sucesivos Xk y Xk+1 tales queXk+1 = Xk + rk f (Xk ) donde rk es un parmetro llamado tamao de paso ptimo. El parmetro rk se determina de modo que Xk+1 resulta en la mejora ms grande en f. En otras palabras, si una funcin h(r) se define de manera que h(r) = f [ Xk + r f (Xk ) ] rk es el valor de r que maximiza h(r). Ya que h(r) es una funcin de una sola variable El procedimiento propuesto termina cuando dos puntos sucesivos de ensayo Xk y Xk+1 son aproximadamente iguales. Lo anterior equivale a tener

rk f (Xk ) 0 Con la hiptesis de que r 0, la cual siempre ser cierta a menos que X0 sea el ptimo de f(x), esto es equivalente a la condicin necesaria f (Xk ) = 0k

Ejemplo: Considere el maximizar la funcin f(x1 , x2 ) es una funcin cuadrtica cuyo ptimo absoluto ocurre en (x1 , x2 ) = (1/3 , 4/3 ). Sea el punto inicial X0 = (1, 1) . Ahora f(X) = (4 - 4x1 -2x2 , 6-2x1 -4x2 )

Primera iteracinf(X0 ) = (-2, 0) El punto siguiente X se obtiene considerando1

X = (1, 1) + r (-2, 0) = (1-2r, 1) Por consiguiente, h(r) = f(1-2r, 1) = -2(1-2r)2 +2(1-2r) + 4 El tamao del paso ptimo que proporciona el valor mximo de h(r) es r1 = 1/4. Lo anterior proporciona X1 =(1/2, 1).

Segunda iteracin.f(X1) =(0, 1) Considere X = (1/2, 1) + r (0, 1) = (1/2, 1 + r) Por consiguiente, h(r) = -2(1+r)2 + 5(1+r) +3/2 Esto da r2 = o bien X2 = (1/2, 5/4) .

Tercera iteracin.f( X2 ) = ( -1/2, 0 ) Considere,

Por consiguiente, h(r) = -(1/2)(1-r)2 + (3/4)(1-r) +35/ 8 Esto da r3 = o bien, X3 = ( 3/8, 5/4 ).

Cuarta iteracin.f (X3 ) = (0, ) Considere

Por lo tanto, h(r) = -(1/8)(5+r)2 + (21/16) (5+r) +39/32 Lo anterior da r4 = , o bien X4 =(3/8, 21/16 ).

Quinta iteracin.f(X4 ) = (-1/8 , 0 ) Considere

Por consiguiente,

Esto da r5 = , o bien X5 = (11/32, 21/16 ).

Sexta iteracin.f(X5 ) = ( 0, 1/16 ) Ya que f(X5 ) 0, el procedimiento puede terminarse en este punto. El punto de mximo aproximado est dado por X5 = (0.3437, 1.31125).

1.9 FUNCIONES DE PENALIZACIN.Un enfoque alternativo para resolver el programa

(1) Comprende al programa sin restricciones:

Donde pi > 0 son constantes denominadas costos de penalizacin. La solucin al programa (2) es la solucin al programa (1), cuando cada gi (x) = 0. Para los valores grandes de pi la solucin de (2) tendr cada gi (x) cercana a cero, para evitar efectos adversos en la funcin objetivo por parte de los trminos pi gi2 (x); y conforme cada pi -> , cada gi (x) -> 0. En la prctica, excepto en raros casos, este proceso no puede realizarse analticamente. En cambio, se resuelve repetidamente el programa (2) empleando el patrn modificado de bsqueda, cada vez con un nuevo conjunto de pesos de penalizacin incrementados o con un tamao de avance disminuido. Cada patrn de bsqueda con un conjunto especfico de pesos de penalizacin y un tamao de avance dado, es una fase del procedimiento de solucin. El vector inicial para una fase en particular es el vector final de la fase inmediatamente anterior. Para la primera fase, se seleccionan pesos de penalizacin pequeos, a menudo de 1/50 = 0.02; generalmente se toma 1 como primer tamao de avance.

Ejemplo: Usando la funcin de penalizacin:

Este programa de maximizacin, sin restricciones, en las dos variables x1 y x2 , es lo suficientemente simple como para poderse resolver analticamente. Haciendo , se obtiene:

Resolviendo estas ecuaciones para x1 y x2 , en trminos de p1 , se obtiene :

Es negativa definida para cada valor positivo de p1 ,z es una funcin estrictamente cncava y su nico punto estacionario debe ser un mximo global. Entonces, dejando que , se obtiene la solucin ptima al programa original:

CAPTULO 2HEURISTICAS, OBJETIVOS MULTIPLES Y PROGRAMACIN META

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

INTRODUCCION CONCEPTOS FUNDAMENTALES ESTUDIO DE CASO: PROGRAMACION DE INSTALACIONES OBJETIVOS MULTIPLES PROGRAMACION META IMPLEMENTACION TERMINOS CLAVE TALLER LECTURA AUTOREGULADA

2.1 INTRODUCCION De vez en cuando, al administrador o al Ingenmiero se le presenta un problema que puede ser tan complejo que el modelo construido para abordarlo no se pueda resolver mediante los algoritmos tradicionales que el analista tiene a su disposicin. Este puede ocurrir cuando:

1) El modelo, correctamente formulado, puede ser demasiado grande, no lineal en extremo, o demasiado complejo en el aspecto lgico (por ejemplo, que requiera muchas variables 0-1 en su formulacin). 2) Se piensa que la imposicin de supuestos simplificadores o aproximaciones podra hacer ms manejable el problema, pero destruira demasiado la estructura realstica importante del problema (es decir, llevara al problema tan lejos de la realidad que dejara de ser til). Aqu hay un dilema real. resolverlo. esperanza?. En parte, para contestar esta pregunta, se desarroll el campo de la programacin heurstica. Cuando en el anlisis anterior usamos la frase el problema es demasiado complicado para resolverlo, estamos usando la palabra resolver en un sentido rigurosamente matemtico. Queremos decir que el modelo matemtico es tan complicado que, aunque exista una solucin rigurosa (por ejemplo, una solucin ptima en un problema de optimizacin), es difcil y quiz imposible, descubrirla con la tecnologa existente y sabiendo como hacerlo. En tal caso, se podra emplear un algoritmo heurstico. 2.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2.2.1 ALGORITMO HEURISTICO Un algoritmo heurstico es aquel que produce con eficiencia buenas soluciones aproximadas para un problema. Con frecuencia (lo que no quiere decir que siempre) cuando se emplea dicho algoritmo se debe poder medir con precisin la forma perfectible. El modelo disponible es demasiado complejo para

Al mismo tiempo, no estamos dispuestos a simplificarlo en alguna Qu se puede hacer en esta situacin, en apariencia sin

bondad de la aproximacin. Por ejemplo, en un contexto de optimizacin con algn algoritmo heurstico, se puede hacer una aseveracin como: Al terminar, se puede asegurar que est dentro del ____ % de optimalidad. o bajo ciertas hiptesis, la respuesta heurstica ser ptima en el ______ % de las veces. El trmino heurstica tambin se encuentra con frecuencia. 2.2.2 HEURISTICA Una heurstica es una apelacin intuitiva a una regla interna para trabajar con un aspecto del problema. Un programa heurstico es un grupo de heursticas o algoritmos heursticos. Por ejemplo, algunos programas de computacin emplean la heurstica en la fase 1 del mtodo simplex para tratar de encontrar con rapidez el vrtice inicial. Tambin se emplea la heurstica para obtener una iniciacin rpida en el algoritmo de transporte, etc. Como se puede inferir de las definiciones anteriores, la heurstica es un recurso que no se duda en usar en la resolucin de los problemas de todos los das. Cuando se va al banco y se quiere minimizar el tiempo de espera, uno se puede formar en la lnea ms corta. Aunque esto no garantiza que resulte lo ptimo, es una regla de decisin que con frecuencia funciona bastante bien. Con base en la costumbre, se prefiere la ventanilla ocupada por un empleado joven y sonriente, aunque por cierto esto no garantice que sea ms indulgente que otros. La lista sigue y sigue. En el contexto de la programacin matemtica, a menudo se emplea la heurstica en conjuncin con estrategias de resolucin de problemas ms rigurosas o generales, o como caso particular de ellas. El punto importante es que un procedimiento o algoritmo heurstico recurre a la intuicin, pero puede garantizar

sus resultados, si los hay, slo estadsticamente o dentro de ciertos mrgenes de incertidumbre. Se emplea sobre todo por su eficiencia (en concreto, para producir con rapidez, con la esperanza de que sean buenos, si no ptimos, los resultados). 2.2.3 OPTIMIZACION COMBINATORIA En la primera parte de este capitulo estudiaremos varios ejemplos de algoritmos heursticos que se aplican a grandes problemas de optimizacin combinatoria. El trmino optimizacin combinatoria significa que hay slo un nmero finito de alternativas factibles y que si todas ellas se enumeran, puede encontrarse la ptima. El problema radica en que, en la prctica, ese nmero finito con frecuencia asciende a millones o a miles de millones de posibilidades y, por lo tanto, aun para las computadoras de alta velocidad, la enumeracin completa est fuera de lugar. Aunque tales problemas se pueden formular como programas enteros con variables 0-1, a menudo son tan grandes que aun la formulacin de PE es de un costo prohibitivo para llegar a la optimalidad con el enfoque usual de ramificacin y acotamiento o enumeracin parcial.

2.2.4 PROGRAMACION META Siguiendo los ejemplos de la primera parte del capitulo atenderemos despus problemas en los que el objetivo es alcanzar niveles aceptables de ciertas metas. Por ejemplo, considrese un problema con objetivos mltiples, pero en conflicto. El presidente de una empresa quiere elevadas ganancias, pero tambin quiere mantener los precios bajos, con el objeto de evitar la prdida de clientes. Un ejecutivo con un presupuesto fijo quiere invertir en investigacin y desarrollo pero tambin quiere comprar materias primas para utilizarlas en la obtencin de utilidades a corto plazo. Tales ejemplos de objetivos mltiples, pero conflictivos,

son tpicos de las aplicaciones a los negocios. La programacin meta versa sobre dichos problemas. El tema est relacionado de cerca con la programacin heurstica, ya que, en cierto sentido, la programacin de matas misma puede considerarse como un enfoque heurstico que se refiere a los objetivos mltiples.

2.3 PROGRAMACION DE INSTALACIONES (SECUENCIACION DE LAS CORRIDAS EN UNA COMPUTADORA) 2.3.1 TIEMPO DE INSTALACION DEPENDIENTE DE SECUENCIA Imagine un solo medio de produccin, a travs del cual se deben procesar numerosos trabajos (por ejemplo, una computadora, un taladro de presin o una mquina de helados). Por lo general, el medio de produccin tiene que detenerse despus de ejecutar un trabajo, con el objeto de preparar el siguiente. Dicho tiempo muerto se llama tiempo de instalacin o por cambio. Su duracin puede depender del siguiente trabajo que se va a procesar y del que se acaba de completar. Una sucesin de trabajos semejantes (hacer helados de vainilla francesa en seguida de vainilla Nueva York) se interrumpira durante menos tiempo por cambio (limpiar la mquina) que una secuencia de trabajos heterogneos (vainilla francesa y chocolate alemn). Un problema administrativo tpico consistira en secuenciar los trabajos de tal modo que el tiempo total de instalacin se minimice. Se puede ver con facilidad que desde el punto de vista combinatorio esto puede ser un problema grave. Si slo hay tres trabajos por ejecutar, digamos A, B y C, se puede empezar con cualquiera de los tres, continuar con uno de los que restan y el tercero queda determinado (es decir, el trabajo que queda). Las sucesiones posibles se pueden distribuir como un rbol en el que cada arco representa una

sucesin. Las seis posibilidades aparecen en la figura. En general, con n trabajos hay n! = n (n 1) (n 2). Combinaciones posibles o secuencias. Con slo 10 trabajos se producen 10! = 3.628.800 sucesiones diferentes. Se puede advertir que el nmero de sucesiones de trabajos posibles (n!) aumenta rpidamente segn la magnitud de n. AL TRABAJO DEL TRABAJO O A B C 49 46 12 27 21 35 32 22 46 A B C

Tiempo de instalacin en minutos.

A B C C B A C

B C A A B

C B A

rbol que muestra seis secuencias posibles para los tres trabajos A, B y C. Obviamente, una forma de resolver el problema anterior es mediante la enumeracin integral. Es decir, producir cada una de las secuencias posibles de trabajos y calcular el tiempo total de instalacin con ellas. Despus, se escoge la sucesin asociada con el tiempo mnimo total. Aunque este algoritmo producira un ptimo verdadero, no es prctico ni siquiera para valores modestos de n debido al gran nmero de secuencias que se tendran que enumerar.

En estos problemas, a menudo se aplican reglas heursticas, aunque no garanticen una solucin ptima, porque, en general, conducen con suficiente rapidez a una solucin satisfactoria. Como ejemplo, imagine un operador de computadora tiene tres corridas largas por hacer, el lunes por la tarde. La computadora esta ociosa en la actualidad. Para cada uno de esos trabajos hay un tiempo de instalacin (buscar las cintas de ingreso de datos, colocarlas, instalar los discos y otros equipos auxiliares) segn se especifica en la figura. Dado que slo hay 3! = 3 . 2 = 6. Secuencias posibles, se pueden enumerar todas. Los resultados aparecen en la figura. Como se puede ver, la sucesin ptima (tiempo mnimo de instalaciones) es 0 A C - B. Veamos ahora cmo se podra aplicar una regla heurstica a este problema. La regla que ilustraremos se designa como regla del mejor sucesor, a veces llamada algoritmo glotn. La regla procede como sigue: Resultados de la enumeracin completa. SECUENCIA 0ABC 0ACB 0BCA 0BAC 0CAB 0CBA TIEMPO DE INSTALACION 27 + 35 + 46 27 + 22 + 12 21 + 46 + 46 21 + 49 + 22 32 + 46 + 35 32 + 12 + 49 TOTAL (MIN) 108 61 113 92 113 93

2.3.2 UNA HEURISTICA GLOTONA 1) En el paso 1 (es decir, para el primer trabajo), se realiza la tarea de menor tiempo de instalacin inicial. 2) En cada etapa subsecuente se elige la tarea que tenga el tiempo mnimo por cambio, basndose en el estado actual. Vamos a aplicar ahora esta regla a los datos de la figura. El trabajo con el menor tiempo de instalacin inicial es B. Por lo tanto, el primer paso es O B. De acuerdo con el algoritmo glotn, pues acabamos de completar B, el trabajo que se elegira sera C, ya que el recambio para B C es menor que para B A. lo tanto, obtenemos heurstica glotona: O B C A. Tiempo total de instalacin = 21 + 46 + 46 = 113. Ntese que esto est muy lejos de lo ptimo. En efecto, en este ejemplo, el algoritmo glotn, aunque apela a la intuicin, proporciona la peor poltica posible para nuestro problema. Sin embargo, aplicar esta regla es muy fcil y los estudios de este tipo de problemas han demostrado que, estadsticamente, la regla no es mala para el tipo anterior de problemas de secuenciacin. Por ejemplo, se demuestra en un artculo que la heurstica produce con frecuencia mejores resultados que los que se podran obtener mediante una seleccin aleatoria de tareas. En el mismo articulo se demuestra que la siguiente heurstica modificada da resultados aun mejores: En consecuencia, tenemos O B C y en seguida slo podemos concluir con A. Por

2.3.3 UNA HEURISTICA MEJOR Transformar los datos originales de la figura restando a todos los datos de una columna el menor de los tiempos de instalacin que aparezca en esa columna. Esto produce los datos de la figura. A O A B C 22 19 0 Datos transformados Aplicar el algoritmo glotn a este conjunto transformado de datos. Al hacerlo, se obtiene: Primera etapa mejor Segunda etapa mejor Tercera etapa 0A AC CB 0 B 9 23 C 10 0 24

2.4 OBJETIVOS MLTIPLES

2.4.1 El problema de objetivos mltiples En muchas aplicaciones, el que elabora planes tiene ms de un objetivo. Sus objetivos diferentes pueden tener igual importancia o, en ltima instancia, le puede ser difcil comparar la importancia de un objetivo frente a la de otro. Es frecuente que se refiera la presencia de objetivos mltiples como "combinar peras y manzanas". Por ejemplo, considrese el planificador de una corporacin cuyas metas a largo plazo consisten en (1) maximizar las utilidades descontadas, (2) maximizar la participacin en el mercado al trmino def periodo de planeacin y (3) maximizar el capital contable existente al final de dicho periodo. Estas metas no son conmensurables, lo que significa que no pueden combinarse o compararse en forma directa. Tambin es evidente que las metas estn en conflicto. Es decir, hay una compensacin, en el sentido de que al sacrificar los requerimientos de una meta se tiende a producir mayores rditos en las otras. Por ejemplo, gastar pocos dlares en publicidad (menos mercadotecnia) permite la construccin de nuevas plantas (mayor capital contable) y la compra de ms materia prima (mayor produccin). El enfoque de objetivos mltiples es un rea reciente, pero importante, de las aplicaciones. En la actualidad, los mtodos analticos para manejar objetivos mltiples no se han aplicado en la prctica con la misma frecuencia que otros modelos, tales como la programacin lineal, los pronsticos y el control de inventarios. Sin embargo, los aspectos que se cubren son importantes y algunos lderes de la comunidad de la ciencia de la administracin piensan que llegarn a ser ms importantes en un futuro prximo. Se ha encontrado que los modelos son especialmente tiles en los problemas del sector pblico. 2.4.2 Enfoque al Problema Se han desarrollado varios enfoques para los problemas de objetivos mltiples (tambin llamados de toma de decisiones multicriterios). Estos son: el uso de la teora de la utilidad con multiatributos, la investigacin de soluciones ptimas de Prelo mediante programacin lineal con multicriterios, los mtodos de

investigacin heurstica y la programacin meta. Nuestro estudio se limita a la programacin meta, concepto introducido por A. Chames y W. W. Cooper,4 y lo que de alguna manera puede considerarse como enfoque heurstico al problema de objetivos mltiples. La programacin meta es un enfoque poderoso que se basa en desarrollos de la programacin lineal que se present en los captulos 2 a 6. Es un rea que experimenta ahora considerable inters y desarrollo y que es, en potencia, un tema importante para los administradores futuros. 2.5 PROGRAMACIN META Es importante que recordemos lo estudiado en el Curso de Mtodos determinsticos relacionado con la forma que adquiere el modelo de programacin por meta: La forma del modelo de programacin lineal sigue siendo la misma en programacin por meta, es decir, tambin se tiene una funcin objetivo que optimizar sujeta a una o ms restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarn dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo. Una vez que se establece un problema en el formato del modelo general de programacin lineal, para obtener la solucin puede aplicarse el MTODO SIMPLEX modificado solo para tomar en cuenta las prioridades. La programacin por metas es un enfoque para tratar problemas de decisin gerencial que comprenden metas mltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la programacin meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisin de objetivos mltiples. El primer paso en la formulacin de un modelo de programacin por metas consiste en fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se est analizando. Una vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiracin que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar. Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiracin, por medio de la introduccin de las variables de desviacin negativa y positiva, respectivamente. As para el atributo i-simo, se tiene la siguiente meta: donde, como es habitual, f(x)

representa la expresin matemtica del atributo i-simo, Ti su nivel de aspiracin, ni y pi las variables de desviacin negativa y positiva, respectivamente. Las variables de desviacin negativa cuantifican la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiracin, mientras que las variables de desviacin positiva cuantifican el exceso de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiracin. Como un nivel de aspiracin no puede simultneamente sobrepasarse y quedar por debajo de l, al menos una de las dos variables de desviacin tomarn valor cero cuando la meta alcanza exactamente su nivel de aspiracin. Una vez clarificado el significado de las variables de desviacin, es importante introducir el concepto de variable de decisin no deseada. Una variable de decisin se dice que no es deseada cuando al centro decisor le interesa que la variable en cuestin alcance su valor ms pequeo (esto es cero). Cuando la meta deriva de un atributo del tipo ms del atributo mejor (objetivo a maximizar) la variable no deseada (a minimizar), ser la variable de desviacin negativa (cuantificacin de la falta de logro). Finalmente, cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiracin tanto la variable de desviacin negativa como la positiva son variables no deseadas y por tanto variables a minimizar.

La programacin meta se aplica en general a problemas lineales; es una extensin de la PL que permite al planificador acercarse lo ms posible a la satisfaccin de metas y restricciones diversas. Permite a quien toma las decisiones, al menos en el sentido heurstico, incorporar su sistema de preferencias al trabajar con metas mltiples en conflicto. A veces se considera como un intento de poner en el contexto de la programacin matemtica el concepto de satisfaccin. Este trmino fue acuado para comunicar la idea de que, a menudo, los individuos no buscan soluciones ptimas, sino, ms bien, quieren soluciones que sean "suficientemente buenas" o "bastante prximas". Ilustraremos el mtodo de la programacin meta con abundantes ejemplos. Ejemplo: diseo de un programa educativo. Supngase que se tiene un modelo de diseo de un programa educativo cuyas variables de decisin son x1 y x2,

donde x1 es el nmero de horas de trabajo en la clase y x2 el de horas de trabajo de laboratorio. Supngase que se tiene la siguiente restriccin del total de horas del programa:x1 + x 2 100 (total de horas del programa)

2.5.1 Dos clases de restricciones En el mtodo de programacin de metas hay dos clases de: (1) restricciones del sistema (llamadas "restricciones fuertes") que no pueden violarse; (2) restricciones de meta (llamadas "restricciones flexibles") que se pueden violar cuando sea necesario. La restriccin anterior del total de horas del programa es un ejemplo de restriccin del sistema. Supngase ahora que, en el programa que se est diseando, cada hora de clase abarca 12 minutos de experiencia en grupos pequeos y 19 de resolucin de problemas individuales, en tanto que cada hora de laboratorio abarca 29 minutos de experiencia en grupos pequeos y 11 de resolucin de problemas individuales. Ntese que el tiempo total del programa es, cuando ms, 60(100) o 6000 minutos. Los diseadores tienen que perseguir dos metas. Los estudiantes deben pasar hasta donde sea posible, un cuarto del tiempo mximo del programa trabajando en pequeos grupos y un tercio en la resolucin de problemas. Estas condiciones son:12x1 + 29x 2 1500 (experiencia en pequeos grupos) 19x1 + 11x 2 2000 (resolucin de problemas individuales)

Donde el smbolo significa que se desea que el primer miembro sea "tan prximo como se pueda" al lado derecho de la restriccin. Si fuera posible encontrar una poltica que satisfaga las metas de experiencia en grupos y resolucin de problemas (o sea, que logre con exactitud ambos), entonces dicha poltica resolvera el problema. Un simple anlisis geomtrico muestra

que no existe tal poltica. Entonces, resulta claro que para satisfacer el sistema de restricciones se debe violar, al menos, una de las metas. Para implementar el enfoque de programacin meta, la condicin de experiencia en grupo se escribe de nuevo como restriccin de meta:12x1 + 29x 2 + u 1 v1 = 1500 (u 1 0,v1 0 )

Donde

u1 v1

= Cantidad en la cual el total de experiencias en grupo es menor que 1500 = Cantidad en la cual el total de experiencias en grupo excede de 1500

2.5.2 Variables de desviacin Las variables u1 y v1 se llaman variables de desviacin. Ntese que, por definicin, queremos que u1 o v1, (o ambos) sean cero porque es imposible que al mismo tiempo falte y sobre de 1500. Para acercar 12x1 + 29x2 a 1500 cuanto sea posible, basta con hacer que la suma u1 + v1 sea pequea. En forma similar, se escribe como restriccin de meta lo relativo a resolucin de problemas:19x1 + 11x 2 + u 2 v 2 = 2000 (u 2 0,v 2 0)

y en este caso queremos que la suma de las dos variables de desviacin sean pequeas. Nuestro modelo completo (ilustrativo) se escribe ahora de la siguiente manera: Min u1 + v1 + u 2 + v 2 s.a. x1 + x 212 x1 + 29 x 2 + u1 v1

=

100 (total de horas del programa) 1500 (experiencia en grupos pequeos)

19x1 + 11x 2

+ u 2 v2 =

2000

(solucin de problemas)

x1 , x 2 , u1 , v1 , u 2 , v 2 0

Este es un problema de PL ordinario que se puede resolver con facilidad por computadora. Las variables de decisin ptimas satisfarn el sistema de restricciones (total de horas del programa). Tambin, resulta que el mtodo simplex garantiza (por razones tcnicas que no podemos tratar) que u1 o v1 (o ambos) sern cero, con lo que estas variables satisfarn en forma automtica las condiciones deseadas. La misma afirmacin se cumple para u2 y v2, en general, para cualquier par de variables de desviacin. Ntese que la funcin objetivo es la suma de las variables de desviacin. La eleccin de esta funcin objetivo indica que no tenemos preferencia entre las diversas desviaciones de las metas establecidas. Por ejemplo, nos es indiferente la decisin que se tome entre las siguientes: (1) una decisin que exceda en 5 minutos la meta de experiencias en grupo y acierte a la meta de solucin de problemas con exactitud; (2) una decisin que acierte a la meta de experiencias en grupo con exactitud y le falten 5 minutos para la meta de solucin de problemas; (3) una decisin en la que falten 2.5 minutos a cada meta. Dicho de otra manera, nos son indiferentes las tres soluciones (1)u1 = 0 v1 = 5 u2 = 0 v2 = 0

(2)

u1 = 0 v1 = 0 u2 = 5 v2 = 0

(3)

u1 = 2.5 v1 = 0 u 2 = 2 .5 v2 = 0

Deben ser indiferentes debido a qu cada una de las tres decisiones produce el mismo valor para la funcin objetivo. Esta condicin puede ser adecuada para este problema concreto, pero no se cumplira en todos los problemas de programacin de metas. La sola diferencia de unidades podra producir una preferencia entre las variables de decisin. Por ejemplo, supngase que el

problema de resolver la restriccin relativa a solucin de problemas hubiese sido escrita en horas; es decir,

19 11 2000 x1 + x2 + u 2 v2 = 60 60 60

No es fcil creer que al diseador del programa le sea indiferente un exceso de 1 minuto en la experiencia en pequeos grupos (v1 = 1) y una hora faltante en resolucin de problemas individuales (u2 = 1). 2.5.3 Ponderacin de las variables de desviacin Una forma de expresar una preferencia entre las diversas metas consiste en asignar distintos coeficientes a las diversas variables de desviacin en la funcin objetivo. En el ejemplo de la planeacin del programa se podra elegir:

Min 2u1 + 10v1 + u 2 + 20v 2como funcin objetivo. Dado que u2 (deficiencia en resolucin de problemas) tiene el coeficiente ms pequeo, el diseador del programa preferira tener una u 2 positiva que cualquiera de las otras variables de decisin (la u2 tiene la menor penalizacin). En efecto, con esta funcin objetivo es mejor que falten 9 minutos en la meta de solucin de problemas a exceder 1 minuto en la meta de experiencias en grupo. Para ver esto, ntese que para cualquier solucin en la que v1 1 , al disminuir 1 unidad a v1 y aumentar 9 a u2, se obtiene un valor menor en la funcin objetivo. 2.5.4 Restricciones de intervalo de meta Otro tipo de restriccin de metas se llama restriccin de intervalo de meta. Por ejemplo, imagnese que en la ilustracin anterior a los diseadores les fuesen indiferentes los programas en los que 1800 [minutos de resolucin de problemas individuales] 2100 es decir, 1800 19x1 + 11x2 2100

En esta situacin, el intervalo de meta se captura mediante dos restricciones de meta:19x1 + 11x 2 v1 2100 19x1 + 11x 2 + u 1 1800 (v1 0) (u 1 0)

Cuando se incluyen los trminos u1 y v1 en la funcin objetivo, el programa de PL trata de minimizarlos. Ntese que, cuando u1 = 0 y v1 = 0 en optimalidad (los valores mnimos posibles), el total de minutos de resolucin de problemas ( 19 x1 + 11x 2 ) cae dentro del rango deseado (es decir, 1800 19 x1 + 11x 2 2100 ). De otro modo resultar que, en la optimalidad, una de las variables ser positiva y la otra cero, lo cual significa que slo se podr satisfacer uno de los dos lados de la doble desigualdad. 2.5.6 Prioridades absolutas En algunos casos, los administradores no desean expresar preferencia entre diversas metas, en trminos de variables de desviacin ponderadas, ya que el proceso de asignar pesos podra parecer demasiado arbitrario o subjetivo. En tales casos, puede ser ms aceptable establecer las preferencias en trminos de prioridad absoluta de las metas. Antes de dedicarnos a este enfoque, resultar til sintetizar las diversas formas en las que se pueden formular y manejar las restricciones de metas. 2.5.7 Resumen del uso de las restricciones de metas Cada restriccin de metas consta de un primer miembro, digamos g i ( x1 ,..., x n ) y un lado derecho, bi. Las restricciones de metas se escriben utilizando variables de desviacin no negativas, ui, vi. En la optimalidad, al menos uno del par ui, vi sera siempre cero. La variable ui representa deficiencia; vi representa exceso. Siempre que se use ui va sumada en g i ( x1 ,..., x n ) . Siempre que se usa vi va restada g i ( x1 ,..., x n ) . Slo aparecen variables de desviacin (o un subconjunto de ellas) en la funcin objetivo, y el objetivo siempre es

"minimizar". Las variables de decisin analizado cuatro tipos de metas.

no aparecen en el objetivo. Hemos

1. Objetivo. Hacer g i ( x1 ,..., x n ) tan prximo a bi como sea posible. Para hacer esto, se escribe de nuevo la restriccin de meta en la forma

g i ( x1 ,..., x n ) + u1 vi = bi

(u i 0, vi 0)

y en el objetivo se minimiza ui + vi. En optimalidad, al menos una de las variables ui, vi, ser cero. 2. Minimizar deficiencias. Para hacer esto, podemos escribir

g i ( x1 ,..., x n ) + u1 vi = bi

(u i 0, vi 0)

y el objetivo consistir en minimizar u, la deficiencia. Dado que no aparece v, en la funcin objetivo sino slo en esta restriccin, desempea el papel de variables de excedente y, por lo tanto, la restriccin puede escribirse en forma equivalente

g i ( x1 ,..., xn ) + ui bi

(ui 0)

Si la ui, ptima es positiva, la restriccin ser activa, ya que de otra manera ui, podra hacerse ms pequea. Esto tambin resulta claro en la forma de igualdad de la restriccin. Es decir, si ui,>0, entonces, dado que vi debe ser igual a cero, tiene que ser verdad que

g i ( x1 ,..., xn ) + ui = bi

3. Minimizar excedentes. Para hacer esto, se puede escribir

g i ( x1 ,..., xn ) + ui vi = bi

(ui 0, vi 0)

y se minimiza v,, el excedente en el objetivo. Dado que en este caso ui, juega slo el papel de variable de holgura, se puede escribir la restriccin en la forma equivalente:

g i ( x1 ,..., xn ) vi bi ;es anlogo al del inciso 2 anterior.

vi 0

Si la vi ptima es positiva, esta restriccin ser activa. El argumento para esto

4. Restriccin de intervalo de meta. En esta instancia, la meta consiste en aproximarse todo lo posible a satisfacer

a1 g i ( x1 ,..., x n ) biPara escribir esto como una meta, primero "alarguemos el intervalo" escribiendo

ai ui g i(x1 ,...,xn ) bi + vi;lo que es equivalente a las dos restricciones^ g i ( x1 ,..., xn ) + ui ai g i ( x1 ,..., xn ) + ui v i = ai ^ g i ( x1 ,..., xn ) vi bi g ( x ,..., x ) + u i vi = bi n i 1

(ui 0,v1 0)(ui 0, v i 0) (u i 0, vi 0)^ ^

En el caso de una restriccin de intervalo de meta, se minimiza ui + vi, en la funcin objetivo. Las variables v i y u i , son meramente excedente y holgura respectivamente (no variables de desviacin). Como de costumbre, al menos una de las variables de desviacin ui, vi, sern cero en optimalidad. Al trabajar con dos restricciones que representen un intervalo de meta, la que tenga variable de desviacin no nula (si la hay) ser activa. En general, las restricciones de meta se expresan con mayor frecuencia en la forma adecuada de igualdad, usando las variables de desviacin, de excedente y de holgura que se requieran. Las formas equivalentes de desigualdad que hemos desarrollado nos permitirn obtener, en problemas con dos variables de decisin, una vista geomtrica del procedimiento de solucin.^ ^

2.5.8 Problema de la seleccin de medios de Swenson. (Un minicaso que abarca prioridades absolutas) En esta aplicacin se examina otra faceta posible de la programacin meta (la asignacin de prioridades absolutas, en oposicin a ponderaciones) a un conjunto de metas. Tom Swenson, uno de los socios ms antiguos de J. R. Swenson, la agencia de publicidad de su padre, acaba de realizar un acuerdo con un fabricante de productos farmacuticos para montar una campaa de radio y televisin para introducir un nuevo producto, Mylonal. Los gastos totales de la campaa no excedern a $120,000. El cliente est interesado en llegar a varios auditorios con esta campaa. Para determinar la medida en que se satisfacen las necesidades de este cliente, la agencia estima el efecto de los anuncios en los oyentes que interesan. El efecto se mide en exposiciones usadas trmino que significa "gente alcanzada al mes". La radio y televisin, los dos medios que la agencia piensa usar, no son igualmente efectivos para llegar a todos los auditorios. En la figura 17.15 se muestran datos relevantes de la campaa del Mylonal. Exposiciones por $1000 de gasto TV Total Tasa superior 14.000 1.200 RADIO 6.000 1.200

Despus de largas discusiones con el cliente, Tom acepta las siguientes metas para su campaa. Tom piensa que el orden de la lista de metas refleja la prioridad absoluta entre ellas. 1. El espera un total de exposiciones de por lo menos 840,000. 2. A fin de mantener un contacto efectivo con la principal estacin de radio, espera no gastar ms de $90,000 en publicidad por TV. 3. Piensa que se alcanzarn 168,000 exposiciones como tasa superior. 4. Para concluir, si se satisfacen las otras metas, le gustara acercarse todo lo posible a maximizar el nmero total de exposiciones. El advierte que si gasta

completamente los $120,000 en anuncios por TV obtendra 120 X 14,000 o 1,680,000 exposiciones y que este es el mximo obtenible. Es claro que este es un problema con bastantes restricciones. No obstante, desde luego que no es un problema tpico de programacin matemtica, dado que Tom tiene varios objetivos. Sin embargo, l piensa que un enfoque como programacin matemtica le ayudar a comprender y resolver el problema. Por lo tanto, procede de la manera habitual. Para construir el modelo del problema, introduce la notacin x1 = dinero gastado en TV (en miles) x2 = dinero gastado en radio (en miles) Dado que su meta de mxima prioridad es el total de exposiciones, piensa que una forma razonable de construir el modelo del problema consiste en usar ese total como funcin objetivo y considerar las otras metas como restricciones. En la figura se muestra la formulacin y la solucin por computadora. Cada restriccin y la funcin objetivo estn marcadas para indicar el propsito al que sirven. Vemos que el problema es no factible.

2.5.8.1 Un problema no factible Claro est que, como no es factible, no hay modo de satisfacer simultneamente las tres metas (total de gastos, gastos de TV y tasa superior de exposiciones) que Tom ha establecido como restricciones. Puesto que en este problema hay slo dos variables de decisin, se puede usar el enfoque grfico para investigar las formulaciones iniciales de Tom. El anlisis de la figura 17.17 muestra con claridad que no hay puntos que satisfagan tanto la primera restriccin (gastos totales) como la tercera (tasa superior de exposiciones). En este punto, Tom puede tratar de enfocar el problema en una forma un poco diferente. Podra cambiar una o ms de sus metas, o quiz la funcin objetivo, y comenzar otra vez. Sin embargo, en general no hay un tratamiento sistemtico satisfactorio. En problemas de muchas variables de decisin y varias metas en conflicto, reestructurar el problema para crear uno nuevo que tenga solucin factible podra resultar una tarea difcil. Y lo que es ms importante, en este proceso de reestructuracin podra perderse la esencia del problema real. Recurdese que a Tom no le son indiferentes las diversas metas; en realidad, ha establecido una prioridad absoluta entre ellas. La programacin de metas con prioridades absolutas est diseada para manejar exactamente el tipo de procesos de decisin que Tom quiere. Es un proceso secuencia! en el que las metas se agregan una a la vez (en el orden decreciente de la prioridad) a un problema de PL. Una descripcin del procedimiento general, ilustrado con la campaa de publicidad de Tom, aparece a continuacin. 2.5.8.2 Modelo de programacin meta de la Swenson Las metas como desigualdades Con el objeto de postular este problema como programa de metas, Tom observa que su primera meta ser deficiente si se viola. Si se viola la segunda meta, sera por exceso, etc. Usando este razonamiento, reestablece sus metas, con prioridad decreciente, as:

1. Minimizar las deficiencias en las 840,000 exposiciones (esto es, min h, , sujeta a la condicin 14,000x1 + 6000x2 + u 840,000, u1 0). 2. Minimizar los gastos que excedan a $90,000 en TV (es decir, min v2, sujeta a la condicin x1 v2 90, v2 0). 3. Minimizar la deficiencia de 168,000 como tasa superior de exposiciones (o sea, min u3, sujeta a la condicin 1200x1, + 1200x2 + u3 168,000, u3

0).4. Minimizar la deficiencia a 1,680,000 exposiciones totales, el mximo posible (es decir, min u4, donde 14,000x1, + 6,000x2 + u4 1,680,000, u4 0). Ntese que las prioridades de Tom estn ahora establecidas con claridad en trminos ya sea de minimizar deficiencias (o sea, minimizar una u,) o de minimizar excesos (es decir, minimizar una vi). Su meta, como antes se estableci, se ha expresado en desigualdades, de acuerdo con nuestro estudio anterior. Esto facilitar un anlisis grfico. Puesto que ha formulado correctamente sus prioridades, Tom debe distinguir entre (1) restricciones del sistema (todas las que no se pueden violar) y (2) restricciones de meta. En este problema, la nica restriccin de sistema es que el total de gastos no deber ser mayor de $120,000. Por lo tanto (dado que las unidades de x1, y x2 son millares), tenemos:x1 + x2 120

En la notacin de programacin de metas, el problema de Tom puede expresarse ahora como sigue:

Min P1u1 + P2 v2 + P3u3 + P4 u 4x1 +

s.a.

x2 14,000 x1 + 6000 x2 + u1

120 (S) 840,000 (1) 90 (2)

x1

v2

1200 x1 + 1200 x2 + u314,000 x1 + 6000 x2 + u 4

0

168,000 (3) 1,680,000 (4)

x1 , x2 , u1 , v2 , u 3, u 4

Ntese que la funcin objetivo consta slo de variables de desviacin y que es de la forma de minimizacin. Como ya se estableci, esto es verdad en toda formulacin de programacin de metas. En la funcin objetivo, los trminos Pk sirven como meras indicaciones de prioridades, en las que Pk denota la prioridad ms alta, etc. En rigor, lo que el enunciado anterior del problema significa es: 2.5.8.3 Regiones factibles secuenciales 1. Encontrar el conjunto de variables de decisin que satisfaga las restricciones del sistema (S) y que a la vez proporcione el valor mnimo posible de u1 sujeto a la restriccin (1) y x1, x2, u1 0. Llmese a esto conjunto de decisiones RF I (es decir, "regin factible I"). Considerando slo la meta ms importante, todos los puntos de la RF I son "ptimos" (es decir, lo mejor que Tom puede hacer) y (considerando otra vez slo la meta ms alta) le es indiferente cul de esos puntos se elija. 2. Encontrar el subconjunto de puntos de RF I que da el mnimo valor posible de v2, sujeto a la restriccin (2) y v2 0. Llmese a este subconjunto RF II. Considerando slo el arreglo ordinal de las dos metas de mxima prioridad, todos los puntos de RF II son "ptimos" y en trminos de esas dos metas de mxima prioridad es indiferente cul de esos puntos se elija. 3. Sea RF III el subconjunto de puntos de RF II que minimizan u3, sujeto a la restriccin (3) y u3 3. 4. RF IV es el subconjunto de puntos de RF III que minimizan u4 sujeto a la restriccin (4) y a u4 0. Cualquier punto de RF IV es una solucin ptima del problema global de Tom.

Puesto que el problema de mercadotecnia de Tom tiene slo dos variables de decisin, se puede realizar el mtodo de resolucin anterior con el anlisis grfico. En general, se necesita computadora. En la prxima seccin veremos cmo se puede hacer mediante programacin lineal. 2.5.8.4 Anlisis grfico e implementacin en computadora del

procedimiento de solucin En la figura tanto el resultado de salida de la computadora como la geometra, revelan que Min u1 s.a. (S), (1) y x1, x2, u1 0 es u1 = 0. Aunque la computadora imprimi los valores ptimos de x1 y x2, stos no son de inters. La informacin importante es que u1 = 0 lo cual nos dice que se puede obtener ntegramente la primera meta. ptimos alternativos para el problema actual proceden de todos los valores de (x1, x2) que satisfagan las siguientes condiciones: x1 + x2 120 RF I 14,000x1 + 6000x2 840,000 x 0,x 0 2 1

En cualquiera de dichos puntos se alcanza la meta de Tom (u1 = 0) de modo que estas decisiones son de la misma preferencia, en trminos slo de la primera meta. As, RF I es el rea sombreada ABC. La lnea marcada (1) representa la meta 1. La flecha marcada u1 = 0 indica que en todos los puntos a la derecha de la lnea (1) se alcanza la meta. 2.5.8.5 La regin factible se vuelve ms pequea 2. En la formulacin de cmputo de la figura se ha introducido la restriccin que define RF I (renglones 2 y 3), junto con la nueva restriccin de meta (2), y se advierte que Min v2 s.a. x en RF I, meta (2), y v2 0

Primera Meta

Segunda Meta

es v2 = 0. Por lo tanto, RF II se define mediante x1 + x2 120 14,000x + 6000x 840,000 1 2 RF II x1 90 x1 ,x2 0

que es el rea sombreada ABDE, que evidentemente es un subconjunto de RF I. No se alcanza la meta 3 Continuando de esta manera, la figura muestra que RF III es el segmento de recta BD. En este caso, u3= 24,000. Aunque se han alcanzado por completo las dos primeras metas (ya que u1= v2= 0), la tercera no se puede lograr del todo porque u3>0 Meta 3

En esta etapa, a Tom le es indiferente cualquier que satisfagax1 + x2 12014,000 x1 + 6000 x2 840,000

x1 901200 x1 + 1200 x2 168,000 24,000 = 144,000

que define el segmento de recta BD. La solucin ptima

Para terminar, la figura muestra la solucin ptima en el punto D. Recurdese que la cuarta meta consiste en minimizar las deficiencias nmero de exposiciones posible, el cual es de 1,680,000. Por lo tanto, queremos minimizar la deficiencia u4, donde14,000 x1 + 6000 x2 + u 4 1,680,000

En la figura encontramos el ptimo nico x1 = 90 y x'2 = 30; es decir, Tom debe gastar $90,000 en anuncios por televisin y $30,000 en publicidad por radio. Este hecho se confirma mediante el anlisis geomtrico, en el que es claro que el punto D(x1 = 90, x2 = 30) est ms cerca de la lnea que describe la meta 4, que es 14,000x1 + 6000x2 = 1,680,000, que cualquier otro de RF III (o sea, que cualquier otro punto de la recta BD). Ntese tambin que u4 = 240,000. Por lo tanto, Tom lograr slo 1,680,000 240,000 = 1,440,000 exposiciones.

Entonces, se ve que la programacin meta con prioridades absolutas permite a un administrador (como Tom) resolver un problema en el que no hay solucin que logre todas las metas, pero en el que est dispuesto a especificar un rango absoluto entre las metas y a restringir, en sucesin, su atencin a los puntos que se acerquen en lo posible a cada meta. 2.5.9 Combinacin de pesos y prioridades absolutas En alguna extensin, es posible combinar el concepto de ponderacin con el de de prioridad absoluta. Para ilustrar este hecho, regresemos al problema de publicidad de Tom Swenson. AI revisar los resultados del estudio de prioridad absoluta, Tom y su cliente empezaron a discutir la importancia de los miembros ms viejos del mercado de Mylonal. En particular, se concentraron en el nmero de exposiciones a individuos de 50 aos o ms. Vieron de nuevo que radio y TV no son igualmente efectivos para generar exposiciones en este segmento de la poblacin. Las exposiciones por $1000 de anuncios son como sigue:

TV 50 aos y ms 3000

RADIO 8000

Una nueva meta Si no hubiera otras consideraciones, a Tom le gustara obtener tantas exposiciones como fuese posible a personas de 50 aos o ms. Dado que la radio produce una tasa de exposiciones ms alta que la TV (8000 > 3000), Tom ve que el nmero mximo posible de exposiciones "50 o ms" se lograra asignando completamente los $120,000 a la radio. En ese caso, el mximo nmero de exposiciones "50 o ms" sera 120 x 8000 = 960,000. A Tom y a su cliente les gustara acercarse lo ms posible a esta meta (minimizar la deficiencia) una vez que se hubiesen satisfecho las tres primeras. Sin embargo, recurdese que tambin quieren acercarse en lo posible a la meta de

1,680,000 exposiciones totales (minimizando la deficiencia) una vez que se lograsen las tres primeras metas. Para resolver este conflicto de metas, deciden usar una suma ponderada de las variables de desviacin como objetivo en la fase final del enfoque de prioridades absolutas. A su juicio, las deficiencias de la quinta meta (960,000 exposiciones en el grupo de 50 o ms) es tres veces ms serio que el de la deficiencia de la cuarta meta (1,680,000 exposiciones). La formulacin, solucin y anlisis grfico Vemos en la solucin por computadora que la solucin ptima de este problema es el punto B (x1 = 15, x2 = 105). Recurdese que cuando la funcin objetivo consista en minimizar u4, la decisin ptima fue el punto D (x1 = 90, x2 = 30). Por lo tanto, vemos que en el anlisis grfico la nueva funcin objetivo ha trasladado la solucin ptima de uno a otro extremo de RF III. No hay una forma grfica obvia de encontrar la solucin ptima para este problema; es decir, no hay contorno evidente de la funcin objetivo para impulsarlo en la direccin descendente que lleve hacia el punto x1 = 15, x2 = 105. Sin embargo, se puede apelar a la intuicin para ver que la solucin ptima est lo ms cerca posible de la meta de mayor ponderacin.

Entonces, esto completa el anlisis del problema de la campaa de publicidad de Tom Swenson. Es importante advertir que el procedimiento secuencial general de PL antes descrito para la programacin de metas con prioridades absolutas, es vlido para cualquier problema en el que las restricciones de sistema y las de meta se formulen mediante funciones lineales. Para cada nuevo problema se agrega una sola restriccin al modelo previo y la funcin objetivo se modifica ligeramente. En trminos generales, pueden incorporarse un gran nmero conveniente de variables de decisin. En el ejemplo con dos variables result til debido a que hizo posible presentar la interpretacin geomtrica, en combinacin con el resultado por computadora. Esto aumenta la comprensin de la tcnica de resolucin. El problema siguiente es til para indicar cmo se pueden considerar a la vez las metas conflictivas y no conmensurables (es decir, peras y manzanas) mediante la programacin meta. Es decir, produce alguna comprensin de por qu la programacin meta es prometedora y crecientemente valiosa en el anlisis de la poltica pblica.

2.6 LA IMPLEMENTACIN Como en la mayora de los modelos cuantitativos, es costumbre que los enfoques heursticos sean implementados mediante un programa de computacin. En la prctica, una diferencia entre el uso de procedimientos heursticos, en lo que se opone a modelos ms formales tales como la programacin lineal o cuadrtica, consiste en que en el ltimo caso ya existen programas de cmputo. No obstante, en el caso heurstico a menudo la aplicacin es ad hoc, lo que implica que deben elaborarse los programas. Una aplicacin tpica de la heurstica es, como antes se estableci, el rea de los problemas combinatorios extensos, para los cuales sera prohibitivo por lo costoso obtener una solucin, ya sea por enumeracin o aplicando un modelo matemtico formal o de programacin entera. En todas las aplicaciones de la heurstica hay un criterio implcito del administrador en el que la "aceptabilidad", en lugar de la "optimalidad", es un modo adecuado de pensar. En otras

palabras, se siente que las "buenas soluciones", en oposicin a las "soluciones ptimas", pueden ser valiosas y satisfactorias. Esta filosofa encaja bien, en particular, en problemas que ms bien son vagos en su formacin, tales como los problemas de alto nivel con objetivos sustitutos, o para los cuales Hay numerosos criterios en conflicto de intereses y para los que, en consecuencia, no est definida con claridad una sola funcin objetivo. En la prctica, el uso de la heurstica est ligado, en algunos casos, al campo de la inteligencia artificial, donde la computadora se programa con tcnicas heursticas para demostrar teoremas, jugar ajedrez y aun escribir poemas. Quiz el uso ms comn de la heurstica en la ciencia de la administracin haya sido, a la fecha, en problemas de balance de lneas de ensamble, programacin de trabajos y, asignacin de recursos en la administracin de proyectos. Sin embargo, en tiempos recientes ha habido un incremento en el alcance de sus aplicaciones, en reas tales como la seleccin de medios en mercadotecnia, delimitacin de distritos polticos y programacin o posicionamiento de sistemas urbanos. 2.6.1 Interaccin entre el modelo El que toma las decisiones En la implantacin de modelos heursticos, la interaccin administrativa y la retroalimentacin desempean un papel quiz mayor que en el caso de la construccin de modelos ms formales, ya que, en el caso heurstico, el administrador debe evaluar no slo el modelo, sino en forma implcita, tambin el algoritmo. Esto se debe a que, para el mismo modelo, heursticas diferentes conducen a "soluciones distintas". Esta interaccin estrecha entre el modelo y el que toma las decisiones se manifiesta tambin en la programacin meta, cuando el que decide debe asignar prioridades a di- ; versas metas, como en la forma de arreglo ordinal (o sea, de prioridades absolutas). La programacin meta apela a la intuicin y en este sentido, es "heurstica", en su enfoque de problemas con objetivos mltiples. En la programacin de metas con prioridades absolutas, el administrador debe considerar con cuidado la "importancia relativa" o "utilidad"

de sus metas. Segn el resultado del modelo, el que toma las decisiones puede querer cambiar las prioridades, o aun el nmero de metas, y volver a correr el modelo. En otras palabras, as como con la programacin lineal, el anlisis de sensibilidad viene a ser una parte importante de la implementacin. Dado que la programacin; de metas est ms o menos en la infancia, el campo se desarrolla a gran velocidad, desde ' un punto de vista terico, y parece claro que esto impulsar un uso mayor de la tcnica, en especial cuando el anlisis de sensibilidad llegue a ser mejor comprendido. En la prctica, existen cdigos de computacin para resolver programa gran escala, en el modo de procesamiento por lotes, pero no son parte de programas estndar. Para los problemas de tamao medio del modo 1 la adecuacin ideal para la tcnica secuencial que se describe en este captulo.

2.7 TRMINOS CLAVE Heurstica. Regla interna que apela a la intuicin para manejar algunos

aspectos de un problema. Algoritmo heurstico. Algoritmo que proporciona con eficiencia buenas soluciones aproximadas para un problema dado, a menudo con estimaciones, como de la bondad de aproximacin. Programa heurstico. Conjunto de heursticas y/o algoritmos heursticos. Tiempo que se necesita para que una actividad

Tiempo de instalacin. pueda comenzar.

Algoritmo glotn. Algoritmo que indica la mxima mejora que se debe obtener en cada paso de un proceso secuencial. Regla del mejor sucesor. Lo mismo que algoritmo glotn.

Relacin de precedencia. Significa que deben terminarse ciertas actividades antes de que puedan empezar otras. Diagrama de carga de personal. Grfica de barras que muestra el nmero total de personal que se necesita por semana para realizar una programacin de actividades dada. Holgura. En el contexto de programacin de proyectos se refiere a la mxima

cantidad de tiempo que cualquier actividad dada puede demorarse sin retrasar la terminacin del proyecto global. Programacin meta. Investiga decisiones admisibles que se acerquen en lo posible al logro de metas especficas. Variables de desviacin. Variables que se usan en programacin meta para medir la extensin en que se violan determinadas metas. Programacin de intervalos de metas. Una versin de la programacin meta en la que stas se especifican mediante un intervalo de indiferencia, en vez de un valor numrico especfico.

2.8 TALLER

1. Un fabricante de Chips para computadoras prueba 3 caractersticas diferentes (A;B y C) antes de embarcar sus productos. El tiempo de prueba, incluyendo el tiempo de preparacin, depende de que pruebas ser hayan hecho antes. Inicialmente el equipo de pruebas no est preparado para cualquiera de las tres caractersticas, la tabla muestra el tiempo requerido. PRUEBA PRUEBA ANTERIOR O A B C A 10 15 18 B 22 25 21 C 8 7 12 -

Use una heurstica glotona para programar las pruebas. El objetivo es minimizar el tiempo total de pruebas 2. La compaa de distribucin Alpha suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde b4odegas diferentes. Durante el perodo de planeacin considerado, la compaa no puede cumplir la demanda de los clientes. Sin embargo, la compaa ha determinado que las demandas de ciertos clientes deben satisfacerse a expensas de otros. Para evitar desequilibrios serios, es importante balancear la porcin de demanda satisfecha entre ciertos clientes. tambin debido a acuerdos sindicales, la compaa debe satisfacer ciertos requisitos mnimos en los niveles de embarque en ciertas rutas. Finalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podra embarcar el producto son peligrosas y deben evitarse. A continuacin se resume el problema de transporte y los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los mrgenes. Nota que la demanda total excede al suministro total en 1,500 unidades. Cliente 1 10 8 2000 Cliente 2 4 10 1500 Cliente 3 12 3 5000 Suministro 3000 4000

Bodega 1 Bodega 2 Bodega 3

La administracin tiene las siguientes preferencias en las metas (en orden decreciente de importancia):

1. Satisfacer la demanda total del cliente 3 ( entrega garantizada) 2. Satisfacer por lo menos el 75% de la demanda de cada cliente. 3. Minimizar el costo de transporte para los artculos embarcados. 4. Embarcar por lo menos 1000 unidades en la ruta de la Bodega 2 al Cliente 1 (convenio sindical) 5. Minimizar el costo de embarque en las rutas de la bodega 1 al cliente 3 y de la bodega 2 al cliente 2 (peligros). 6. Balancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes 1 y 2. Plantear el modelo de programacin meta. 3. La compaa Bevco ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes. Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El anlisis ha mostrado que sera rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos nuevos productos. En realidad, el propsito principal de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilizacin completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Bevco generalmente operan a capacidad plena en sus lneas de productos existentes, la produccin por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compaa no necesita la fuerza laboral plena durante los perodos de holgura, el costo de los despidos sera considerable, y Bevco deseara evitar esto tanto como fuera posible. Adems, la gerencia deseara balancear la utilizacin del exceso de capacidad entre las plantas sucursales. esto servira para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentira discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos. Para el perodo que se est considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de produccin en exceso ( en trminos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos:

Planta Capacidad de exceso produccin (unidades) 1 750 2 300 3 450

de Capacidad de embarque (pies cbicos) 12,000 10,000 6,500

Los productos 1, 2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15 $18 y $12 respectivamente. Los pronsticos de ventas indican que Bevco puede esperar ventas tan altas como 900, 1,000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el perodo de planeacin en consideracin. Dada esta situacin, la administracin ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente.

1. Lograr una utilidad perseguida de $15,000 2. Utilizar tanto, como sea posible, la capacidad de exceso. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administracin cree que es 1.5 veces ms importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3. 3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilizacin de exceso de capacidad entre todas las plantas. debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administracin cree que si ocurre algn desbalance en la carga de trabajo, es dos veces ms importante favorecer a la planta 1 con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3. 4. Lograr el pronstico de ventas para el producto 2, puesto que ste tiene la mayor contribucin a la utilidad por unidad. 5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. 6. No exceder la capacidad de embarque disponible. Plantear el modelo de programacin meta.

2.9 LECTURA AUTOREGULADA

TODOS NOS MORIMOS POR UN HELADO O POR UN YOGIJRT? Qu seria mejor que un helado en un caluroso da de verano? Bueno, sa es una gran pregunta en el mercado de postres congelados donde distintas calidades de helados y yogurt congelados compiten por su refrescante dlar. Desde 1851, cuando abri la primera fbrica comercial de helados en Baltimore, los EE.UU. han disfrutado de un romance con helados, industria que actualmente produce 9.5 billones de dlares al ao. Ms an, el estudio de .esta rea hace largo tiempo que forma parte de los estudios acadmicos. La universidad de Penn State ofrece desde 1890 un curso de dos semanas sobre helados. Los estudiantes aprenden la importancia de los diversos ingredientes y cmo mezclar, procesar, dar sabor y congelar sus creaciones. Ben Cohen y Jerry Greenfield son los graduados ilustres de la versin por correspondencia del curso de Penn state. Su Ben & , Jerrys Homemade, Inc., es un negocio de 58 millones de dlares, Su negocio ha capitalizado el deseo yuppie de helados sabrosos y naturales de primera calidad. Sus productos son altos en grasa, caloras y colesterol y tambin son densos, es decir, contienen menos aire, lo que diferencia sus helados de La mayor parte de los helados regulares de los supermercados. El yogurt congelado se est convirtiendo en un competidor del helado, Jimy Joanne Biltekoff son propietarios y administran Elan Foods, un negocio de rpido crecimiento de postres congelados. Procuran ofrecer un producto con el rico sabor del helado de primera calidad, sin crema. En su Lugar emplean yogurt, y afirman que su postre tiene la mitad de caloras y 80% menos grasa y colesterol helados que los helados de primera calidad. Imagine que est en el negocio de los helados y desea maximizar ganancias. Tambin desea bajar los costos de capital. Ms an le preocupa el contenido de grasa, colesterol y caloras Pero no desea sacrificar el buen sabor Tiene varios objetivos en mente, as que necesita decidir sobre su relativa importancia. Cree que podra hacer helados para muchos mercados

diferentes? Desea ampliarse al mercado de yogurt, como lo hicieron Ben & Jerry? Se da cuenta de que lo que tiene. de hecho, es un problema de programacin de metas. Puede imaginar el problema de mezcla de PL que construira para ayudar a contestar sus preguntas? PREGUNTAS SOBRE EL CASO:

Qu expectativas puede identificaren los clientes y propietarios entrevistados en el caso respecto a los postres congelados? Por qu es importante que los propietarios de tiendas de postres ofrezcan a los clientes vanas opciones?

MS ALL DEL CASO:

Considere el problema de dietas del Hospital General Mountain View, Qu similitudes tiene este problema hospitalario con la situacin que enfrentan los productores de postres?

Enumere al menos cinco metas posibles si tuviera que construir un problema de programacin enfocado a postres congelados?

CONSIDERACIONES PRCTICAS:

Discuta las cuestiones de salud y de dieta respecto a los postres congelados y el impacto que estas cuestiones tienen sobre la lnea de productos de una compaa de postres congelados.

Discuta el problema de incorporar el sabor como una de las metas de programacin. De qu tendra que prescindir para obtener un mejor sabor?

UNIDAD DOSCAPITULO 1 CADENAS DE MARKOV 1.1 INTRODUCCIN1.2 PROCESOS ESTOCSTICO 1.3 CADENAS DE MARKOV 1.4 EJERCICIOS DE APLICACIN 1.5 TALLER

1.1 INTRODUCCIN.

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. El anlisis de Markov, llamado as en honor de un matemtico ruso que desarrollo el mtodo en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo ms importante an, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta informacin se puede predecir el comportamiento del sistema a travs del tiempo. La tarea ms difcil es reconocer cundo puede aplicarse. La caracterstica ms importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro. Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocsticos. Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se definen como una coleccin de variables aleatorias {X(t,w), t I}, donde X (t,w) puede representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El inters de los procesos estocsticos es describir el comportamiento de un sistema e operacin durante algunos periodos. Los procesos estocsticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el espacio de estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los valores del tiempo son discretos o continuos.

Las cadenas de Markov es un proceso estocstico en el que los valores del tiempo son discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos, es decir, es una cadena estocstica de tiempo discreto. Las cadenas de Markov, se clasifican, adems, dentro de los procesos estocsticos de Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es independiente de los estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades de transicin entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que la variable adquiere dichos tiempos. 1.2 PROCESOS ESTOCSTICOS. UN proceso estocstico de tiempo discreto es una descripcin de la relacin entre las variables aleatorias X0,X1,...que representan alguna Caracterstica de un sistema en puntos discretos en el tiempo. Ejemplo 1: ruina del jugador: inicialmente tengo 2, en los tiempos 1,2,...participo en un juego en el que apuesto 1 que gano con probabilidad p y pierdo con probabilidad 1-p. Dejo de jugar cuando mi capital es 4 o he perdido todo mi capital. Si Xi es la cantidad de dinero que tengo en el tiempo i, X0,X1,... es un proceso estocstico. UN proceso estocstico de tiempo continuo es un proceso estocstico en el que el estado del tiempo se puede examinar en cualquier tiempo. Ejemplo 2: nmero de personas en un supermercado a los t minutos de abrir 1.3 CADENAS DE MARKOV. Cadena de Markov: proceso estocstico de tiempo discreto que para t=0,1,2,... y todos los estados verifica P(Xt+1=it+1 | Xt=it, Xt-1=it-1, ..., X1=i1, X0=i0)=P(Xt+1=it+1|Xt=it) Hiptesis de estabilidad: P(Xt+1=i t+1t=i)=pij (no depende de t) Probabilidades de transicin: pij Matriz de probabilidades de transicin: P= p11 P21 Ps1 p12 ... p1s p2s Pss

p22 ... Ps2 ...

Se debe verificar:

J=1

py =1

Las cadenas de Markov que cumplen la hiptesis de estabilidad se llaman cadenas estacionarias de Markov. Distribucin inicial de probabilidad de una cadena de Markov: q=[q1,...,qs] donde qi=P(X0=i)

Ejemplo 3: la ruina del jugador es una cadena de Markov estacionaria Estados:

0, 1, 2, 3, 4 Matriz de transicin1 1-p 0 0 0 0 0 1-p 0 0 0 p 0 1-p 0 0 0 p 0 0 0 0 0 p 1

La matriz de transicin se puede representar con un grafo en el que cada nodo representa un estado y cada arco la probabilidad de transicin entre estados.

1-P

1-P

1- P

1

0

1

2

3

4

1

P

P

p

PROBABILIDADES DESPUS DE N PASOS. Si una cadena de Markov estacionaria est en el estado i en el tiempo m, cul es la probabilidad de que n perodos despus la cadena est en el estado j? P(Xm+n =j |Xm= i) = P(Xn= j | X0=i)=Pij(n)

Pij(n) es la probabilidad en la etapa n de una transicin del estado i al estado j

Pij(1)=pij,

Py(2)= K=1

S

Pik PKj

Pij

(n)

elemento ij-simo de Pn

Probabilidad de estar en el estado j en el tiempo n =

qi py (n)Si=1

CLASIFICACIN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV. Dados dos estados i y j, la trayectoria de i a j es la sucesin de transiciones que comienza en i y termina en j, de forma que cada transicin de la secuencia tenga probabilidad positiva. Un estado j es alcanzable desde un estado i si hay una trayectoria de i a j. Dos estados i y j se comunican si i es alcanzable desde j y j es alcanzable desde i. Un conjunto de estados S en una cadena de Markov es cerrado (constituyen una clase de la cadena) sin ningn estado fuera de S es alcanzable desde un estado en S. Un estado i es absorbente si pii=1 CLASIFICACIN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV. Un estado i es transitorio si hay un estado j alcanzable desde i, pero el estado i no es alcanzable desde j. Un estado es recurrente si no es transitorio. Un estado i es peridico con periodo k>1 si k es el menor nmero tal que todas las trayectorias que parten del estado i y regresan al estado i tienen una longitud mltiplo de k. Si un estado recurrente no es peridico es aperidico. Si todo el estado de una cadena son recurrentes, aperidicos y se comunican entre s, la cadena es ergdica.

PROBABILIDADES EN ESTADO ESTACIONARIO.Si P es la matriz de transicin de una cadena ergdica de s estados entonces existe un vector

=[1 2 ...3 ] tal que 1 1 1Es decir, LIMPij =(n)= Jn

n

LIMP P =

n

2 2 2 ...

... s ... s

s

A se le llama distribucin de estado estable o de equilibrio para la cadena de Markov PROBABILIDADES EN ESTADO ESTACIONARIO.

se puede determinar a partir de la ecuacin: j =En forma matricial =p

S K=1

k

pkj

Este sistema tiene un nmero infinito de soluciones porque el rango de P Siempre resulta ser menor o igual que s-1 Tambin se debe verificar: 1 +2 + ... + s = 1

INTERPRETACIN INTUITIVA DE LAS PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE.

j (1 pj j )

K j

= Pk j

Probabilidad de que una transicin determinada deje el estado j = probabilidad de que una transicin determinada entre al estado j. Probabilidad de que una transicin determinada deje el estado j =

j (1 p

jj

)

Probabilidad de que una transicin determinada entre al estado j=

K j

Pkj

En el estado estable el flujo de probabilidad hacia cada estado debe ser igual al flujo de probabilidad que sale de cada estado: probabilidades de equilibrio ANLISIS DE ESTADO TRANSITORIO El comportamiento de una cadena de Markov antes de alcanzar el estado estable se llama comportamiento transitorio. Para su estudio se utiliza las frmulas dadas anteriormente para Pi j(n). 1.3 PROCESO DE DECISIN MARKOVIANO Aplicacin de la programacin dinmica a un proceso de decisin estocstico Las probabilidades de transicin entre estado estn descritas por una cadena de Markov. La estructura de recompensas del proceso est descrita por una matriz cuyos elementos individuales son el coste o el beneficio de moverse de un estado a otro. Las matrices de transicin y de recompensas dependen de las alternativas de decisin. Objetivo: determinar la poltica ptima que maximice el ingreso esperado en un nmero finito o infinito de etapas.

3

MODELO DE ETAPAS FINITAS Objetivo: optimizar ingreso esperado al final de un perodo de tamao