105143297 Guia Variables Pauta

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GUÍA DE EJERCICIOS VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA PAUTA Profesor: Álvaro Toledo. PREGUNTA 1 Las cuatro funciones siguientes están asociadas a la variable aleatoria discreta que toma los valores . 0 5 10 20 0,1 0,7 0,2 0,2 0,3 -0,4 0,5 0,6 0,2 0,3 0,4 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2 a) ¿Cuál de las 4 funciones son funciones de cuantía? Justifique su respuesta para cada función.

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  • GUA DE EJERCICIOS

    VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA

    PAUTA

    Profesor: lvaro Toledo.

    PREGUNTA 1

    Las cuatro funciones siguientes estn asociadas a la variable aleatoria discreta que toma los valores .

    0 5 10 20 0,1 0,7 0,2 0,2 0,3 -0,4 0,5 0,6 0,2 0,3 0,4 0,1 0,1 0,4 0,2 0,2

    a) Cul de las 4 funciones son funciones de cuanta? Justifique su respuesta para cada funcin.

  • b) Con la(s) funcin(es) de cuanta encontrada(s) calcule y

    PREGUNTA 2

    Se define la siguiente funcin de probabilidad discreta para la variable aleatoria X:

    {

    a) Determine el valor de k para que sea funcin de probabilidad.

    Recordando que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1, entonces:

    b) Calcule y

    Esperanza:

    (

    ) (

    ) (

    )

    Varianza:

    [ ]

    Previo:

    (

    ) (

    ) (

    )

    Finalmente:

    [ ]

  • PREGUNTA 3

    La probabilidad de que un satlite, despus de colocarlo en rbita, funcione de manera

    adecuada es de 0.9. Supngase que cinco de estos se colocan en rbita y operan de manera

    independiente:

    a) Cul es la probabilidad de que funcionen exactamente 3 satlites?

    Se define la variable,

    Con distribucin:

    ( )

    Por lo que:

    ( )

    b) Cul es la probabilidad de que funcionen al menos 4 satlites?

    ( ) (

    )

    c) Si se sabe que al menos 2 satlites funcionan correctamente, Cul es la probabilidad de que a lo ms 4 de ellos funcionen correctamente?

    d) Qu nmero de satlites se espera que funcionen adecuadamente? Determine adems la varianza de la variable aleatoria.

  • e) Grafique la funcin de probabilidad

    Funcin de probabilidad:

    X P(X=x)

    0 0,00001

    1 0,00045

    2 0,0081

    3 0,0729

    4 0,32805

    5 0,59049

    0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0 1 2 3 4 5 6

    P(X

    =x)

    X

    Grfico de probabilidad

  • PREGUNTA 4

    El nmero de pedidos de reparto de pizzas hechas telefnicamente en una hora, puede ser

    modelado mediante una distribucin Poisson, con una media de 25 pizzas por hora.

    a) Cul es la probabilidad que en una hora se soliciten entre 23 y 27 pizzas en una hora?

    De acuerdo al enunciado . Luego:

    Cuya funcin de probabilidad es:

    Finalmente:

    b) Cul es la probabilidad de que en 10 minutos se soliciten al menos 2 pizzas?

    Observar que la unidad de tiempo ha cambiado, por lo que, debemos cambiar el

    parmetro de la distribucin:

    Y la variable del problema:

  • PREGUNTA 5

    Se sabe que el tiempo que requiere una mquina expendedora de bebidas de la marca A en

    liberar una lata de bebida de 250 c.c. y dejarla en la bandeja de retiro para el cliente se

    puede modelar mediante una distribucin uniforme con un tiempo entre 2 y 6 segundos.

    a) Determine la probabilidad que el tiempo que requerir la mquina expendedora en

    liberar una lata de 250 c.c. y dejarla en la bandeja de retiro sea de al menos 3

    segundos.

    Se define la variable:

    De acuerdo al enunciado:

    Luego,

    (

    )

    b) Suponga que se realiza una revisin a 10 mquinas de la marca A ubicadas en

    distintos lugares de la capital (seleccin independiente). Cul es la probabilidad de

    que exactamente 5 de ellas requieran al menos 3 segundos para realizar el proceso

    de entrega del producto?

    Se define la variable:

    Observar que la probabilidad de xito se deduce de la pregunta anterior.

    Finalmente,

    (

    )

  • PREGUNTA 6

    En una aerolnea, el tiempo para atender a los pasajeros sin billete de vuelo en el mostrador

    del aeropuerto sigue una distribucin exponencial con una varianza de 25 minutos.

    a) Encuentre la probabilidad de que el tiempo de atencin a estos pasajeros sea menor a 2,5 minutos

    Se sabe que:

    Luego:

    Finalmente:

    b) Encuentre la probabilidad de que el tiempo de atencin a los pasajeros sea superior al valor esperado del tiempo de atencin.

    Se sabe que:

    Luego,

    c) Si se atiende a 20 clientes independientemente, Cul es la probabilidad de que entre estos 20 clientes, por lo menos 2 sean atendidos en menos de 2,5 minutos?

    Se define la variable:

    Observacin: el valor se obtuvo de la parte a)

    Luego,

    [ ]

  • [(

    ) (

    ) (

    ) ]

    PREGUNTA 7

    Una universidad espera recibir para el siguiente ao escolar, 16000 solicitudes de ingreso al

    primer ao de estudio de licenciatura. Se supone que las calificaciones obtenidas por los

    aspirantes en la prueba SAT se pueden modelar de manera adecuada, por una distribucin

    normal con media 950 y varianza 10.000. Si la Universidad decide admitir al 25% de todos

    los aspirantes que obtengan las calificaciones ms altas en la prueba SAT.

    a) Qu cantidad de alumnos se espera que obtengan menos de 800 puntos, respecto del nmero de solicitudes?

    Se define la variable:

    (

    )

    Luego, de las 16000 solicitudes solicitudes

    obtendrn menos de 800 puntos.

    b) Cul es la calificacin mnima que es necesaria obtener en esta prueba para ser admitido en la universidad?

    De acuerdo al enunciado el 25% superior ser aceptado en la universidad, por lo

    que:

    Estandarizando:

    (

    )

  • Se observa que para el valor 0,75 (dentro de la tabla Z) se tiene un valor de 0,675.

    Luego igualando:

    Despejando se obtiene:

    ( )

    Es decir, el puntaje mnimo para ser admitido en la universidad es de 1018 puntos

    en la prueba SAT.