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Actividades complementarias

1

BACHILLERATO

HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES

107625_ACTIVID_01 6/2/40 06:15 Página 1

Índice

1. Números reales ............................................................................................................................................ 4

2. Matemática financiera ................................................................................................................................ 8

3. Expresiones algebraicas............................................................................................................................ 12

4. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.............................................................................................. 16

5. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones ...................................................................................... 20

6. Funciones ........................................................................................................................................................ 24

7. Interpolación.................................................................................................................................................... 28

8. Límites y continuidad.................................................................................................................................. 32

9. Funciones elementales .............................................................................................................................. 36

10. Derivadas.......................................................................................................................................................... 40

11. Análisis estadístico de una variable.................................................................................................... 44

12. Distribuciones bidimensionales.............................................................................................................. 48

13. Cálculo de probabilidades ...................................................................................................................... 52

14. Distribuciones discretas. La distribución binomial ........................................................................ 56

15. Distribuciones continuas. La distribución normal.......................................................................... 60

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4 Actividades complementarias

Propuesta A1. Representa en la recta real los siguientes números reales.

a) ��5� b) �3� c) �65

� d) �1,16666…

2. Efectúa las siguientes operaciones con potencias.

a) �xx

�

6

5

yy

�

2

4

zz

�

3

2� b) �(x

(

5

x

)3

3)4

(yy

2)6

3

z

z5

�2

�

3. Extrae de los siguientes radicales todos los factores que sea posible.

a) �8� b) �3

16� c) ��2483

�� d) �432x 3y�7� e) 5��

6244a3

7

cb� 8

3

��4. Halla los radicales irreducibles de los siguientes radicales.

a) �634� b) �12

718� c) 20��32

��5

� d) 16��x

5

8y32

24

�� e) 6��152152

��5. Simplifica las siguientes expresiones.

a) ��

4

6

8�4�� b) �

��

6

4

2

9�7�

� c) ��

6

4

1

2

2

5�5�

� d) 3��152152

��6. Calcula.

a) �5 �3� �2

b) �a �3

�5��4

c) ��2a

3

3b��

4

7. Racionaliza las siguientes expresiones.

a) �2 �

�2��3�� b) �

1

1

�

�

��

2�3�

� c) ��5� �

9

�7�� d) �

��

3

3

�

�

x�x�

�

8. En la tabla se muestran los diámetros del Sol, la Tierra y la Luna. Sabiendo que el volumen de una esfera de radio r

vale V � �43

� � r 3, expresa en notación científica y redondeando a las centésimas las siguientes cantidades.

a) Volumen de cada astro en metros cúbicos.

b) Relación entre el radio del Sol y el de la Tierra.

c) Relación entre el radio de la Tierra y el de la Luna.

d) Relación entre el volumen del Sol y el de la Tierra.

e) Relación entre el volumen de la Tierra y el volumen de la Luna.

9. Escribe las siguientes desigualdades en forma de intervalo.

a) 2 � x � 5 c) x � 2 e) �2 � x � 7 g) �15 � x � �2

b) �5 � x � 0 d) x �3 f) x � �3 h) �3 x � �7

1Actividades complementarias

Números reales

Diámetro (km)

Sol 1391900

Tierra 12756

Luna 3476

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Actividades complementarias 5

Propuesta B1. Encuentra, si existe, la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales.

a) 3,2v b) �5,23 c) �7,023v d) 0,1234567891011… e) �3,27434343…

2. Efectúa las siguientes operaciones combinadas y redondea el resultado a las milésimas.

a) � ��13

� � 1� b) 3 � 4 ��13

� � �12

� ��14

� � �15

�� 3. Reduce al mismo índice los siguientes radicales.

a) �3

4�, �5�, �4

7� b) �4

3�, �6

a 2�, �3

a 4� c) �5

b�, �3

a�, �10

ab�

4. Introduce el coeficiente bajo el signo radical y simplifica.

a) 3�5� b) 7�4 �73

�� c) �23

��3 ��75�� d) a 2��

ab

3��

5. Calcula los siguientes productos de radicales.

a) �3

12� �3

2� b) �3

2� �4

7� c) �3� �3

5� �4

10� d) �a� �3

a 2b� �6

a 3b 2�

6. Halla las siguientes sumas y diferencias de radicales.

a) 3�2� � 4�2� � �12

� �2� � �14

� �2� b) �24� � 5�6� � �486� c) �75a 3b� 2� � �3ab 4�

7. Escribe como potencias de exponente racional los siguientes radicales.

a) �3

35� b) �3 ��25

��4

� c) �5

ab 2� d) �4 �2 ��15

��3

� e) �3 ��287��

2

�

8. En la siguente tabla se ofrecen, expresadas en kilogramos, las masas de las partículas que forman el átomo.

a) ¿Cuántas veces es más pesado un protón que un electrón?

b) ¿Qué observas en cuanto a la masa del protón y la del neutrón? Compáralas.

c) ¿Cuántos protones se necesitan para alcanzar una masa total de un kilogramo?

d) ¿Y electrones?

9. Expresa los siguientes intervalos y entornos mediante desigualdades.

a) �2, �72

�� c) (3, �) e) [�3, �)

b) (�1, 3] d) (�, �2) f) (�, �)

3�

�13

� � �12

�

�13

� � �12

� ��12

� � �14

��

4 � �35

� � 1

Partícula Protón Neutrón Electrón

Masa (kg) 1,672 6 � 10�27 1,675 � 10�27 9,11 � 10�31

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Soluciones propuesta A1. a) c)

b) d)

2. a) �xx

�

6

5

yy

�

2

4

zz

�

3

2� � x 11 y �6 z 5 � �x 1

y

1

6

z 5

� b) �(x

(

5

x

)3

3)4

(yy

2)6

3

z

z5

�2

� � �xx

1

1

5

2

yy

6

6

zz

�

5

2

� � �zx 3

7�

3. a) �8� � �23� � 2�2� c) ��2483

�� 32

5

3��

32

2

� ��32

�� e) �5 �26443abc�

3

8�� 5 �23

6

5

ac

7b�8

3

�� 32ca� �5 �

2ca 2

3

b�3

��b) �

316� � �

324� � 2 �

32� d) �

432x 3y�7� � �

425x 3y 7� � 2y�

4x 3y 3�

4. a) �6

34� � �3

32� b) �12

718� � �73� c) 20��32

��5

� � �4 �32

�� d) 16��x

5

8y32

24

�� x

5

y4

3

�� e) �6 �152152

�� 6 �52

3

9��

25

3��

5. a) ��

4

6

8�4��

��

1

1

2

2

2

2

9�4�

� � �12

25� b) ��

6

4

2

9�7�

� � ��

6

4

3

3

3�2�

� � ��

3�3�� 1 c) ��

�

6

4

1

2

2

5�5�

� � ��

6

4

5

5

3�2�

� � ��

5�5�� 1 d) �3 �

152152

�� 3 �52

3

9��

25

3� � �

58

�

6. a) �5 �3� �2� 25 � 3 � 75 b) �a �

3�5��

4� a 4 �

3(�5)4�� a 4 �

354� � 5a 4 �

35� c) ��

2a3

3b��

4

��24a

3

1

4

2b� 4

�� 4a

9

6b 2

�

7. a) �2 �

�2��3��

2�2�2� �6�� c) �

�5� �

9

�7��

�9 � ��25� ��7� ��

b) �1

1

�

�

��

2�3�

�� d) ��

3

3

�

�

x�x�

� � ��

3

3

�

�

x�x�

� � ��

3

3

�

�

x�x�

� � ��

39

��

xx� 2�

�

8. a) V (Sol) �1,41 �1027 m3 V (Tierra) � 1,09 �1021 m3 V (Luna) � 2,20 �1019 m3

b) �r(

r

T

(S

ie

o

rr

l

a

)

)��109,121,09�102 c) �

r

r

(

(

T

L

i

u

e

n

rr

a

a

)

)��3,66973,67 d) �

V

V

(T

(S

ie

o

rr

l

a

)

)��1,29�106 e) �

V

V

(

(

T

L

i

u

e

n

rr

a

a

)

)��49,54�4,95�10

9. a) [2, 5] b) (�5, 0) c) (2, �) d) [�3, �) e) (�2, 7] f) (�, �3) g) [�15, �2] h) (�7, �3]

1 � �3� � �2� � �6��

�2

�1 � �2� � �1 � �3� ��1 � �3� � �1 � �3� �

9 � ��5� ��7� ��5� ��7� � � ��5� ��7� �

_2 _1 05_

5 = 2 + 12_ _ 2

0 1 2__65

20 1 23

3 = ( 2 ) + 12

_2 _1 0__76

_

_1,16 = __76

_

107625_ACTIVID_01 6/2/40 06:15 Página 6


Soluciones propuesta B

1. a) x � 3,2222...; 10x � 32,222... ⇒ 9x � 29 ⇒ x � �299�

b) �5,23 � ��150203

�

c) x � �7,02323...; 10x � �70,2323...; 1000x � �7023,2323... ⇒ 990x � 6953 ⇒ x � �6999503

�

d) La expresión decimal no es periódica, por tanto es un número irracional y no existe fracción generatriz.

e) x � �3,274343...; 100x � 327,4343; 10000x � �32743,4343... ⇒ 9900x � 32416 ⇒ x � �32

994016� � �

82140745

�

2. a) � ��13

� � 1� � � �43

� � � �43

� � � �43

� � �524

��117

� � �43

� �

� �34

��

524

��117

� � �25254

� 0,246

b) 3 � 4 ��13

� � �12

� ��14

� � �15

�� 3 � 4 ��13

� � �12

� ��210�� 3 � 4 ��

13

� � �410� � �

92

��

� 3 � 4 ��40 �1320

� 540�� 3 � �

53707

� � �90 �

30577� � ��

43807

� 16,233

3. a) �12

44�, �12

56�, �12

73� b) �12

33�, �12

a 4�, �12

a 16� c) �30

b 6�, �30

a 10�, �30

a 3b 3�

4. a) 3�5� � �45� b) 7�4 �73

�� 4 �73

5

�� c) �23

� �3 ��75�� 3 �

�18

490

�� d) a 2��ab

3��

ba3

a 4

�� a b�

5. a) �3

12� �3

12� � �3

24� c) �3� �3

5� �4

10� � �12

36 � 5�4 � 10�3�

b) �3

2� �4

7� � �12

24 � 7�3� d) �a� �3

a 2b� �6

a 3b 2� � �6

a 10b 4� � �3

a 5b 2� � a�3

a 2b 2�

6. a) 3�2� � 4�2� � �12

� �2� � �14

� �2� � �7 � �24

� � �14

��2� � �247� �2�

b) �24� � 5�6� � �486� � 2�6� � 5�6� � 9�6� � 6�6�

c) �75a 3b� 2� � �3ab 4� � 5ab�3a� � b 2�3a� � (5a � b)b�3a�

7. a) �3

35� � 3�53� b) �3 ��

25

��4

� � ��25

�� c) �5

ab 2� � a�15�b �

25� d) �4 �2 ��

15

��3

� � ��95

�� e) �3 ��287��

2

� � ��23

3

3��

23

��2

8. a) �m

m

(e

(p

le

ro

c

t

t

ó

ró

n

n

)

)� � �

1,96,71216� 1

� 100�3

�

1

27

� � 1836 veces c) �1,6726

1� 10�27� � 5,98 � 1026 protones

b) Son prácticamente idénticas. �m

m

(

(

n

p

e

r

u

o

t

t

r

ó

ó

n

n

)

)��

1,16,76276� 1

� 100�3

�

1

27

�� 0,9986 1 d) �9,11 �

110�31�� 1,10 � 1030 electrones

9. a) �2, �72

�� 2 � x � �72

�� c) (3, �) � {x � 3} e) [–3, �) � {x �3}

b) (–1, 3] � {�1 � x � 3} d) (�, �2) � {x � �2} f) (�, �) � {x � R}

2�3

3�4

4�3

3�

�23

�

3�

�13

� � �12

�

�1214�

�

�75

�

�13

� � �18

�

�

�75

�

�13

� � �12

� ��14

��

�152� � �

55

�

�13

� � �12

� ��12

� � �14

��

4 �35

� � 1

107625_ACTIVID_01 6/2/40 06:15 Página 7


Propuesta A1. Sabiendo que log 2 � 0,301, halla, sin utilizar calculadora, los logaritmos decimales de los siguientes números.

a) 5 b) 125 c) 640 d) 0,128 e) ��614��

2. Utiliza la calculadora para hallar, con tres decimales, el logaritmo de los números 13, 123 y 0,17 en las bases quese indican. (Analiza previamente los datos.)

a) Base 5 b) Base 7 c) Base �13

�

3. Toma logaritmos en las siguientes expresiones.

A �xyz� B � C � x�y� �

3z 2�

4. El índice anual del coste de la vida a lo largo de 4 años consecutivos ha aumentado 2,5%; 3,2%, 2,3% y 1,8% res-pectivamente. Calcula cuánto ha aumentado de precio, al cabo de esos años, un objeto que inicialmente costaba560 €.

5. El precio de una vivienda aumenta cada año a razón del 4% respecto al año anterior.

¿Cuál es el porcentaje de aumento al cabo de 5 años?

¿Cuál será el precio de una vivienda después de 5 años si su precio inicial era de 150 000 €?

6. Escribe los cinco primeros términos de la progresión geométrica en la que:

El primer término es 2 y la razón �12

�.

El cuarto término es 5 y la razón �3.

El segundo término es �4 y la razón 8.

7. Una pelota se deja caer desde una altura de 8 m, rebota en el suelo y vuelve a subir hasta los tres cuartos de laaltura inicial, rebota y vuelve a subir hasta los tres cuartos de la altura que alcanzó en el primer rebote, y así suce-sivamente.

Calcula la altura alcanzada por la pelota en el n-ésimo rebote.

8. Calcula en qué se convierten 2 millones de euros al 10% en 4 años depositados de la siguiente manera.

a) A interés simple. b) A interés compuesto.

9. La población de un país aumenta en un 2% cada año. Si el número de habitantes al final del año 1997 era de 30millones, ¿cuántos habitantes tendrá al final del año 2010?

10. Calcula el capital final que obtenemos al depositar 12 500 euros al 4% de interes compuesto durante 4 años, si losintereses se abonan trimestralmente.

11. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que se duplique un capital depositado a un interés simple del 10%?

12. ¿Qué cantidad se ha de destinar, al año, para amortizar, en 4 años, una deuda de 50 000 € al 6%?

13. ¿Qué capital se constituirá mediante el pago de 10 anualidades de 70 000 €, si el tipo de capitalización es del 5%?

x 2 t 3z5

��

�5

m2�n �23

�


Matemática financiera

107625_ACTIVID_02 4/10/08 23:00 Página 8


Propuesta B1. Sabiendo que log 2 � 0,301030 y log 3 � 0,477121, halla, sin utilizar calculadora, los logaritmos decimales de los

siguientes números.

a) 6 b) 15 c) 24 d) 36 e) 0,048 f) �3 �95

��2. Calcula log 2 � log 4 � log 8 � log 16 � … � log 2n, teniendo en cuenta que la suma de los n primeros términos

de una progresión aritmética es �(a1 �

2an) � n�.

3. Calcula el valor de x en los siguientes apartados.a) 2 log x � 10 c) log x � 1 � log (22 � x )

b) log x � log 20 � log 1000 d) log x3 � log 6 � 2 log x

4. Una cantidad se aumenta en un 5% y el resultado se disminuye en un 10%. ¿Cuál es el porcentaje total de variación?

5. El sexto término de una progresión geométrica es 4 y su razón �12

�.a) Calcula el décimo término.

b) Halla la suma de los 12 primeros términos.

6. Cierta persona comunica una noticia a 5 personas a las 8 de la mañana. Durante la hora siguiente, cada una de es-tas personas comunica la noticia a otras 5 personas. Durante la hora siguiente, las personas que han recibido la no-ticia en la hora anterior, se la comunican a otras 5 personas, y así sucesivamente.a) ¿Cuántas personas reciben la noticia entre las 10 y las 11? ¿Y entre las 12 y la una?

b) ¿Cuántas personas conocerán dicha noticia a las 3 de la tarde?

7. En un laboratorio existe un cultivo de bacterias que inicialmente se componía de 20 000 individuos. Al cabo de 12horas, se contabilizan 130 000 bacterias. ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento del cultivo por hora?

8. ¿Qué capital hay que depositar al 12% de interés simple para tener 320 000 euros en 5 años?

9. ¿Durante cuánto tiempo debe depositarse un capital de 300 000 euros a interés compuesto del 8% para que se con-vierta en 408 146,69 euros?

10. Un empresario recibe un préstamo de 1 000 000 € que se compromete a devolver en tres pagos iguales, y que seharán efectivos al terminar cada uno de los tres años sucesivos que siguen al préstamo, conviniendo que los intere-ses se calcularán al 5%. Halla la cantidad a pagar en cada plazo.

11. Al principio de cada uno de los diez próximos años una persona ingresará una cantidad de 40 000 euros al 6% anualde interés. ¿Qué cantidad obtendrá al final del décimo año?

12. La propaganda de una inmobiliaria dice que los pisos que está construyendo costarán 240 000 euros que habrá queabonar de la siguiente manera: un 10% al firmar el contrato, un 15% a la entrega de las llaves y el resto medianteun crédito hipotecario al 5% anual, a amortizar en 25 años.a) Calcula las cantidades que habrá que pagar al firmar el contrato y a la entrega de las llaves.

b) Calcula la anualidad que habrá que abonar para amortizar el préstamo hipotecario.

13. Halla la TAE de una cuenta de ahorro que ofrece un 4,5% de interés anual con períodos de capitalización men-suales.

107625_ACTIVID_02 4/10/08 23:00 Página 9


Soluciones propuesta A

1. a) log 5 � log �120� � log 10 � log 2 � 1 � 0,301 � 0,699

b) log 125 � log 53 � 3log5 � 2,097

c) log 640 � log (10 � 26 ) � log 10 � 6log 2 � 2,806

d) log 0,128 � log �1102080

� � log �120

7

3� � 7log 2 � 3 � �0,893

e) log ��614�� log �2�6� � log 2�3 � �3log 2 � �0,903

2. El logaritmo de �34 no existe, sea cual sea la base, por ser un número negativo. Tampoco existen los logaritmos en

bases negativas. En los demás casos se aplica la fórmula del cambio de base: loga N � �lloogg

b

b

Na

�.

a) log5 13 � �lologg

153

� � 1,594 log5 123 � �lolgog

1253

� � 2,990 log5 0,17 � �lo

lgog

0,517

� � �1,101

b) log7 13 � �lologg

173

� � 1,318 log7 123 � �lolgog

1273

� � 2,473 log7 0,17 � �lo

lgog

0,717

� � �0,911

c) log 13 � � 1,594 log 123 � � 2,990 log 0,17 � � �1,101

3. log A � log x � log y � log z � log t log C � log x � �12

� log y � �23

� log z

log B � 2log x � 3log t � 5 log z � �25

� log m � �23

� log n

4. El precio final PF � 560 � 1,025 � 1,032 � 1,023 � 1,018 � 616,90 €

5. a) 1,045 � 1,2167 ⇒ El porcentaje de aumento al cabo de los 5 años es del 21,67%.

b) 150 000 � 1,2167 � 182 505 €

6. a) 2, 1, �12

�, �14

�, �18

� b) ��257�, �

59

�, ��53

�, 5, �15 c) ��12

�, �4, �32, �256, �2048

7. Las alturas alcanzadas forman una progresión geométrica de primer término h1 � �34

� � 8 � 6 m, y razón �34

�. Por tanto

la altura alcanzada en el n-ésimo rebote es: hn � h1 � r n � 1 � 6 ��34

��n�1

� 8 ��34

��n

metros

8. a) CF � CI � �C

1�0r0

� t� � 2 000 000 � �

2 000 010000

� 10 � 4� � 800 000 €

b) CF � CI (1 � r)t � 2 000 000 � 1,14 � 2 928 200 €

9. PF � PI (1 � i )t � 30 000 000 � 1,0213 � 38 808 199 habitantes

10. CF � 12 500 · �1 � �0,

404��

4 � 4

� 14 657, 23 €

11. CF � CI (1 � r)t ⇒ 2CI � CI 1,1t ⇒ 1,1t � 2 ⇒ t log 1,1 � log2 ⇒ t � �lologg

12,1

� � 7,27 años

12. a � C �r(1(�1�

r)t�

r1

)t

� � 50 000 �((11,,0066))

4

4

0�

,016

� � 14 429,57 €

13. C � � � 924 475,10 €70 000 (1,0511 � 1,05)��

0,05a| (1 � r)t �1 � (1 � r)|��

r

log 0,17�

log �13

�

1�3

log 123�log �

13

�

1�3

log 13�

log �13

�

1�3

107625_ACTIVID_02 4/10/08 23:00 Página 10


Soluciones propuesta B1. a) log 6 � log 2 � 3 � log 2 � log 3 � 0,301030 � 0,477 121 � 0,778 151

b) log 15 � log 3 � 5 � log 3 � log 5 � log 3 � log �120� � log 3 � log 10 � log 2 � 0,477 121 � 1 � 0,301 030 � 1,176 091

c) log 24 � log 3·23 � log 3 � 3log 2 � 0,477 121 � 3 � 0,477 121� 1,380 211

d) log 36 � log 22·32 � 2log 2 � 2 log 3 � 2 (log 2 � log 3) � 1,556 302

e) log 0,048 � log 3 � 24 � 10�3 � log 3 � 4log 2 � 3 � 0,477 121 � 4 � 0,301 030 � 3 � �1,318 759

f) log�3 �95

�� 23

� log 3 � �13

� log �120� � �

23

� log 3 � �13

� (log 10 � log 2) � �23

� � 0,477 121 � �13

� (1 � 0,301 030) � 0,085 091

2. log 2 � log 4 � log 8 � log 16 � ... � log 2n � log 2 � 2log 2 � 3log 2 � 4log 2 � ... n log 2 �� (1 � 2 � 3 � 4 � ...� n ) log 2

El coeficiente de log 2 es la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética de a1 � 1; por tanto:

log 2 � log 4 � log 8 � log 16 � ... � log 2n log � �(1 �

2n) � n� log 2

3. a) 2 log x � 10 ⇒ log x � 5 ⇒ x � 105

b) log x � log 20 � log 1000 ⇒ log 20x � log 1000 ⇒ 20x � 1000 ⇒ x � 50

c) log x � 1 � log (22 � x) ⇒ log x � log 10 � log (22 � x) ⇒ log x � log 10 (22 � x) ⇒ x � 220 � 10x ⇒ 11x � 220 ⇒ x � 20

d) log x3 � log 6 � 2 log x ⇒ log x3 � log 6 � log x2 ⇒ log x3 � log 6x2 ⇒ x3 � 6x2 ⇒ x2 (x � 6) � 0 ⇒ x � 0(no válida), x � 6

4. Sea C la cantidad. C � 1,05 � 0,90 � C � 0,945 ⇒ el porcentaje total de variación es 95,5%.

5. a6 � a1 � r 5 ⇒ 4 � a1 � ��12

��5

⇒ a1 � 4 � 25 � 27 � 128 a) a10 � a1 � r9 � 27 � �21

9� � �14

�

b) S12 � �a1(

rr12

��1

1)� � � � � �

212

2�4

1� � �

401965

� � 255,937 5

6. a) Los números de personas que conocen la noticia forman una progresión geométrica: 1, 5, 52, 53, 54…Entre las 10 y las 11 se enteran a5 � 54 � 625 personas, y entre las 12 y las 13, a7 � 56 �15 625 personas.

b) Hay que sumar 8 términos de la progresión geométrica: S8 � �a1

rr 8

��

11

� = �58

4� 1� � 97 656 personas

7. NF � NI (1� i )t ⇒ 130 000 � 20 000 (1 � i)12 ⇒ (1 � i )12 � 6,5 ⇒ 12log (1 � i ) � log 6,5 ⇒

⇒ log (1� i ) � �log

126,5� � 0,068 ⇒ (1� i ) � 1,17 ⇒ i � 0,17 ⇒ 17%

8. CF � CI � �CI

1�

0r0

� t� ⇒ 320 000 � CI � �

CI �

11020

� 5� � CI �1 � �

35

�� 85

�CI ⇒ CI � �5 � 32

80 000� � 200 000 €

9. CF � CI (1 � i )t ⇒ 408 146,69 � 300 000 (1 � 0,08)t ⇒ 1,08t � 1,360 489 ⇒ t log 1,08 � log 1,360 489 ⇒

⇒ t � �log

lo1g,316,004889

� � 4 años.

10. a � �C(1

�

�

r (r1)t

�

�

r1)t

� � 1000000 �01,0,055

�3 �

1,0153

� � 367 208,56 €

11. C � � � 558 865,71 €

12. a) Al firmar el contrato: 240000·0,1 � 24000 €; a la entrega de llaves: 240000 · 0,15 � 36000 €

b) Hipoteca: 240000� (24000�36000)�180000€ a��C(1

�

�

r�

r()1t

�

�

r1)t

�� 12771,44 €

13. TAE � ��1 � �kr��

k

� 1 � 100 � ��1 � �0,

10245��

12

� 1 100 � 4,59%

180000�1,02525 �0,05��

1,0525�1

40000 (1,0611�1,06)��

0,06a [(1� r)t � 1� (1� r)]��

r

�1 �

25

212

�

�

�12

�

�21

5� � 27

�

��12

�

27 ��2112� � 1�

��

�12

� � 1

log 3�23

�

�5�

13

�

107625_ACTIVID_02 4/10/08 23:00 Página 11


Propuesta A1. Traduce al lenguaje algebraico el siguiente enunciado.

“Si al triple de un número natural impar le sumamos su cuadrado y le restamos diez veces dicho número, nos dará cero.”

2. Dados los polinomios P (x) de grado 7 y Q (x) de grado 3, responde a las siguientes preguntas.

a) ¿De qué grado es el polinomio P (x) � Q (x)? ¿y P (x) � Q (x)?

b) ¿De qué grado es el polinomio P (x) � Q (x)? ¿y [P (x)]3?

c) Al dividir P (x) entre Q (x), ¿de qué grado es el polinomio cociente resultante? ¿De qué grado como máximo pue-de ser el polinomio resto? ¿Y como mínimo?

3. Realiza las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible el resultado.

a) (8xy � 4)2 c) (x � 2y 2) (x � 2y 2)

b) �x 3 � �1x

��2

d) ��x � �1x

�� x � �1x

��4. Dados los polinomios P (x) � 2x 2 � 3x � 5, Q (x) � x � 3 y R (x) � 4x 3 � 5x 2 � 2x � 6. Realiza las siguientes

operaciones.

a) P (x) � Q (x) � R (x) d) P (x) [Q (x) � R (x)]

b) P (x) � Q (x) � R (x) e) [P (x) � R (x)]: Q (x)

c) [R (x) � P (x)]: Q (x) f) [R (x) � Q (x)]: P (x)

5. Sin efectuar las divisiones, halla su resto.

a) (2x 3 � 5x 2 � 3x � 1) : (x � 1) c) (x 4 � 3x 3 � 2x � 9) : (x � 2)

b) (x 7 � 5x 4) : (x � 1) d) (x 4 � 8x 2 � 5) : (x � 5)

6. Hallar el valor de k para que se cumpla en cada caso la relación de divisibilidad dada.

a) El polinomio x 3 � kx 2 � 4x � 3 es divisible por x � 1

b) El polinomio 2x 3 � 4x 2 � x � k es divisible por x � 1.

7. Calcula a y b para que el polinomio x 4 � ax 3 � 2x 2 � 3x � b sea divisible por (x � 1) y por (x � 1).

8. Hallar las raíces enteras de los siguientes polinomios.

a) x 3 � 3x 2 � x � 3 b) x 3 � 4x

9. Factoriza el polinomio P (x) � x 5 � 5x 4 � 5x 3 � 5x 2 � 6x.

10. Dados los polinomios P (x) � 2x 3 – 3x 2 – 8x � 12 y Q (x) � x 4 � 8x 2 � 16, calcula estos ejemplos.

a) m.c.d. {P (x), Q (x)} b) m.c.m. {P (x), Q (x)}

11. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) b)

12. Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

a) � � : � � b) �1 � � � (x 2 � 1)2x

�2x � �

2x

�

x 2 � 4�x 3 � 9x

x2 � 3x � 2��

x 3 � 3x

x 5 � 3x 4 � 4x 3 � 12x 2

��x 4 � 4x 3 � x 2 � 6x

x 3 � 2x 2 � 8x��

x 2 � 4


Expresiones algebraicas

107625_ACTIVID_03 4/10/08 23:01 Página 12


Propuesta B1. La suma de las dos cifras de un número es 12. Expresa dicho número en función de las siguientes variables.

a) la cifra de las decenas. b) la cifra de las unidades.

2. Efectúa las siguientes operaciones con polinomios.

a) (x 3 � 2x 2 � 1) (x 2 � 6x � 3) b) (x 4 � 2x 3 � 10x 2 � 10x � 6) : (x 2 � 5x � 1)

3. Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas.

a) (x � a)2 e) �x 2 � �x1

2��2

b) (3x 3 � 10)2 f) (x 3y 3 � 2) (2 � x 3y 3)

c) (2x � 9y )2 g) �x 2 � �1x

�� x 2 � �1x��

d) (xm � a n)2 h) (a � b � c) (a � b � c)

4. Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini.

a) (x 3 � 4x 2 � 6) : (x � 4) b) (3x 5 � 4x � 1) : (x � 1)

5. Escribe un polinomio que tenga por raíces los valores x � �3, x � 1 y x � 2.

6. Calcula el valor de m para que se cumplan las relaciones de divisibilidad dadas.

a) P (x) � 5x 4 � mx 3 � 2x � 3 es divisible por x � 1.

b) Q (x) � 3x 2 � mx � 10 es divisible por x � 5.

7. Calcula a y b para que el polinomio P (x) � x 3 � ax 2 � bx � 10 sea divisible por x � 2 y se obtenga resto �5 aldividirlo entre (x � 1).

8. Averigua si los polinomios P (x) � x 3 � 2x 2 � x � 2 y Q (x) � x 2 � x � 2 son primos entre sí.

9. Dados los polinomios P (x) � x 3 � 3x 2 � x � 3, Q (x) � x 3 � x 2 � 4x � 4, R (x) � x 3 � 5x 2 � 7x � 3 y

S (x) � x 3 � x 2 � 9x � 9, calcula:

a) m.c.m. {P (x), Q (x), S (x)} b) m.c.d. {P (x), Q (x), R (x), S (x)}

10. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) c)

b) d)

11. Halla la expresión del polinomio P (x), sabiendo que se cumple la relación: �

12. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado todo lo posible.

a) ��x1

3� � �x1

2� � �1x

��(x 4 � x 3) c) �x � � : �x � �b) � � ��

43x� � �

4x

� � x� d) � � �� 2� xy�x 2 � y 2

x 2 � y 2

�xy

x � y�x � y

x � y�x � y

1 � x�1 � x

1 � x�1 � x

x�x � 1

x�x � 1

x � 1�

xP (x)�x 2 � 3x

a 3 � a 2 � a � 3��a 3 � 3a 2 � 5a � 3

a 2 � 2ab � b 2

��a 2 � b 2

a 4 � b 4

��2a 2 � 2b 2

a 3 � 9a 2 � 27a � 27��

a 2 � 9

107625_ACTIVID_03 4/10/08 23:01 Página 13


Soluciones propuesta A1. Sea 2x � 1 el número natural, se tiene: 3 (2x � 1) � (2x � 1)2 � 10 (2x � 1)

2. a) Tanto el grado del polinomio suma como el del polinomio diferencia, es igual al mayor de los dos grados, es decir:grado {P (x) � Q (x)} � grado {P (x) � Q (x)} � 7

b) El grado del polinomio producto es igual a la suma de los dos grados: grado {P (x) � Q (x)} � 10El grado de [P (x)]3 � 3 � grado {P (x)} � 3 � 7 � 21

c) El grado del polinomio cociente C (x) es igual a la diferencia de los dos grados: grado {P (x) : Q (x)} � 4El grado del resto puede ser como máximo 2, pues en caso contrario se podría continuar dividiendo.El resto puede ser 0 en el caso en que Q (x) sea un divisor de P (x), por tanto su grado es como mínimo 0.

3. a) (8xy � 4)2 � 64x 2y 2 � 64xy � 16 c) (x � 2y 2) (x � 2y 2) � x 2 � 4y 4

b) �x 3 � �1x

��2

� x 6 � 2x 2 � �x1

2� d) ��x � �1x

�� x � �1x

�� x1

2� � x 2 �

4. a) 4x 3 � 3x 2 � 2x � 14 c) 4x 2 � 5x � 20 � e) 4x 2 � 9x � 26 �

b) �2x 3 � 4x 2 � 12x � 21 d) 8x 5 � 22x 4 � 41x 3 � 28x 2 � 6x � 15 f) 2x � �12

� �

5. a) R � 2 � 13 � 5 � 12 � 3 � 1 � 1 � �1 c) R � 24 � 3 � 23 � 2 � 2 � 9 � �13b) (�1)7 � 5 � (�1)4 � �6 d) R � 54 � 8 � 52 � 5 � 430

6. a) R � 1 � k � 4 � 3 � 0 ⇒ k � 2 b) R � �2 � 4 � 1 � k � 0 ⇒ k � �1

7. Al ser divisible por x � 1, P (1) � 0 ⇒ 1 � a � 2 � 3 � b � 0 ⇒ a � b � 0Al ser divisible por x � 1, P (�1) � 0 ⇒ 1 � a � 2 � 3 � b � 0 ⇒ �a � b � �6Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenemos a � 3, b � �3

8. Las posibles raíces enteras del polinomio son los divisores del término independiente.a) Posibles raíces enteras: � 1, � 3

P (1) � 1 � 3 � 1 � 3 � 0 luego 1 es una raíz P (�1) � �1 � 3 � 1 �3 � 0 luego �1 es una raízP (3) � 27 � 27 � 3 � 3 � 0 luego 3 no es raíz P (�3) � �27 � 27 � 3 � 3 � 0 luego �3 es la tercera raíz

b) x 3 � 4x � x (x 2 � 4) � x (x � 2) (x � 2) ⇒ Las raíces son 0, 2 y �2.

9. Se puede extraer factor común: P (x) � x 5 � 5x 4 � 5x 3 � 5x 2 � 6x � x (x 4 � 5x 3 � 5x 2 � 5x � 6)

Para factorizar el polinomio x 4 � 5x 3 � 5x 2 � 5x � 6 se buscan las posibles raíces enteras: � 1, � 2, � 3

P (x) � x5 � 5x4 � 5x3 � 5x2 � 6x � x (x4 � 5x3 � 5x2 � 5x � 6) � x (x � 1) (x � 1) (x � 2) (x � 3)

10.Se factorizan los polinomios: P (x) � 2x 3 � 3x 2 � 8x � 12 � (x � 2) (x � 2) (2x � 3); Q (x) � x 4 � 8x 2 � 16 � (x + 2)2 (x � 2)2

a) m.c.d. {P (x), Q (x)} � (x � 2) (x � 2) � (x 2 � 4)b) m.c.m. {P (x), Q (x)} � (x + 2)2 (x � 2)2 (2x � 3) � (x 4 � 8x 2 � 16) (2x � 3) � 2x 5 � 3x 4 � 16x 3 � 24x 2 � 32x � 48

11. a) ��x((xx�

2 �

22)(xx

2

�

�

28))

��

b) � � �(xx��

21)x

�

12.a) � � : � ��(x �

x (x1

2

)�

(x �

3)2)

� : � �

b) �1 � � (x 2 � 1) � �1 � � (x 2 � 1) � � � (x 2 � 1) � (x 2 � 1) � 12��2(x 2 � 1)

2x 2 � 2 � 2x 2

��2x 2 � 2

2x 2

�2x 2 � 2

2x

2x � �2x

�

(x � 1)(x � 3)(x � 3)��

(x 2 � 3)(x � 2)(x � 1)(x � 2)x (x � 3)(x � 3)��

x(x 2� 3)(x � 2)(x � 2)(x � 2)(x � 2)��x(x � 3)(x � 3)

x 2 � 4�x 3 � 9x

x 2 � 3x � 2��

x 3 � 3x

(x � 2)(x � 2)(x � 3)x 2

��(x � 1)(x � 2)(x � 3)x

x 5 � 3x 4 � 4x 3 � 12x 2

��x 4 � 4x 3 � x 2 � 6x 5

x(x � 2)�

x � 2x(x � 2) 2

��(x � 2)(x � 2)

x 3 � 2x 2 � 8x��

x 2 � 4

� �121� x � �

12

�

2x 2 � 3x � 5

89�x � 3

61�x � 3

1 � x 4

�x 2

21

2�3

�60

1 �5 6 0�1 �1 5 �6

11

1�4

�41

16

60

1 �5 5 5 �6

107625_ACTIVID_03 4/10/08 23:02 Página 14


Soluciones propuesta B1. Si el número se escribe xy, su valor igual a 10x � y. Por otro lado se tiene: x � y � 12.

a) 10x � y � 10x � (12 � x ) � 9x � 12 b) 10x � y � 10 (12 � y) � y � 120 � 9y

2. a) (x 3 � 2x 2 � 1) (x 2 � 6x � 3) � x 5 � 8x 4 � 15x 3 � 5x 2 � 6x � 3

b) (x 4 � 2x 3 � 10x 2 � 10x � 6) : (x 2 � 5x � 1) � x 2 � 3x � 4 � �x 2 �

7x5�x �

21

�

3. a) (x � a)2 � x 2 � 2ax � a2 e) �x 2 � �x1

2��2

� x 4 � 2x 2 � �x1

2� � �x1

4� � x 4 � 2 � �x1

4�

b) (3x 3 � 10)2 � 9x 6 � 60x 3 � 100 f) (x 3y 3 � 2) (2 � x 3y 3) � x 6y 6 � 4

c) (2x � 9y)2 � 4x 2 � 36xy � 81y 2 g) �x 2 � �1x

�� x 2 � �1x

�� x 2 � �1x

��2

� x 4 � 2x � �x1

2�

d) (xm � an)2 � x 2m � 2xm an � a 2n h) (a�b�c)(a�b�c)�(a�(b�c))�(a�(b�c))�a2�(b�c)2�a2�b2�c2�2bc

4. a) b)1 �4 0 6 3 0 0 0 4 1

4 4 0 0 –1 �3 3 �3 3 �7

1 0 0 6 3 �3 3 �3 7 �6

(x 3 � 4x 2 � 6) : (x � 4) � x 2 � (3x 5 � 4x � 1) : (x � 1) � 3x 4 � 3x 3 � 3x 2 � 3x �

5. No hay una única solución. El polinomio más sencillo que cumple las condiciones es:

P (x) � (x � 3)(x � 1)(x � 2) � x 3 � 7x � 6

6. a) R � 0 � P (�1) ⇒ 5 � m �2 � 3 � 0 ⇒ m � 0 b) R � 0 � Q (5) ⇒ 75 � 5m � 10 � 0 ⇒ m � 17

7. P (x) es divisible por x � 2 ⇒ P (2) � 0 ⇒ 8 � 4a � 2b � 10 � 0 ⇒ 4a � 2b � 2 ⇒ 2a � b � 1

al dividir por x � 1 da resto �5 ⇒ P (1) � �5 ⇒ 1 � a � b � 10 � �5 ⇒ a � b � 4

Resolviendo el sistema anterior se obtiene a � �3, b � 7

8. P (x) � x 3 � 2x 2 � x � 2 � (x � 2)(x 2 � 1) Q (x) � x 2 � x � 2 � (x � 1)(x � 2)

m.c.d. {P (x), Q (x)} � 1 ⇒ Por tanto P (x) y Q (x) son primos entre sí.

9. P (x) � x 3 � 3x 2 � x � 3 � (x � 3) (x � 1) (x � 1) R (x) � x 3 � 5x 2 � 7x � 3 � (x � 1)2 (x � 3)

Q (x) � x 3 � x 2 � 4x � 4 � (x � 2) (x � 1) (x � 2) S (x) � x 3 � x 2 � 9x � 9 � (x � 3) (x � 3) (x � 1)

a) m.c.m. {P (x), Q (x), S (x)} � (x � 3) (x � 1) (x � 1)2 (x � 2) (x � 2) (x � 3) � x 7 � x 6 � 14x 5 � 14x 4 � 49x 3 � 49x 2 � 36x � 36

b) m.c.d. {P (x), Q (x), R (x), S (x)} � (x � 1)

10.a) � � c) � �

b) � � d) � �

11. � ⇒ P (x) � ��(x � 1) x

x(x � 3)�� (x � 1) (x � 3) � x 2 � 2x �3

12.a) ��x1

3� � �x1

2� � �1x

�� (x 4 � x 3) � � � (x 3 (x � 1)) � (x 2 � x � 1) (x � 1) � x 3 � 1

b) � � � ��43x� � �

4x

� � x��

c) �x � � : �x � � � � � : � � � �

d) � � � � � 2� � � � �2(x � y)�

x � yxy

�x 2 � y2

(x � y)2

�xy

2(x 2 � y 2)��(x � y) (x � y)

xy�x 2 � y 2

x 2 � y 2

�xy

x � y�x � y

x � y�x � y

x�x � 2

x 2

�x 2 � 2x

x 2 � x � x��

x � 1x 2 � x � x��

x � 1x

�x � 1

x�x � 1

3(1 � x 2)��

2x3(1 � x 2)��

4x2(1 � x 2)��

1 � x 2

3 � x 2 � 4x 2

��4x

(1 � x)2 � (1 � x)2

��1 � x 2

1 � x�1 � x

1 � x�1 � x

1 � x � x 2

��x 3

(x � 1) (x 2 � 3x)��

xx � 1�

xP (x)�x 2 � 3x

a � 1�a � 1

(a � 1) (a 2 � 2a � 3)��(a � 1) (a 2 � 2a � 3)

a 3 � a 2 � a � 3��a 3 � 3a 2 � 5a � 3

a � b�a � b

(a � b)2

��(a � b) (a � b)

a 2 � 2ab � b 2

��a 2 � b 2

a 2 � b 2

�2

(a 2 � b 2) (a 2 � b 2)��

2(a 2 � b 2)a 4 � b 4

��2a 2 � 2b 2

(a � 3)2

�a � 3

(a � 3)3

��(a � 3) (a � 3)

a 3 � 9a 2 � 27a � 27��

a 2 � 9

7�x � 1

6�x � 4

107625_ACTIVID_03 4/10/08 23:02 Página 15


Propuesta A1. Dadas las siguientes ecuaciones, determina previamente el número de soluciones y resuélvelas cuando sea posible.

a) 12x 2 � 15x � 18 � 0 c) x 2 � x � 1 � 0

b) x 2 � 4x � 4 � 0 d) 4x 2 � 13 � 0

2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.

a) x 3 � 21x � 20 � 0 b) x 5 � 10x 4 � 35x 3 � 50x 2 � 24x � 0

3. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

a) � � b) �

4. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

a) x � �x � 1� � 5 b) �7 � 2�x� � �3 � x� � 1

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) � b) �


a) � b) �7. La suma de dos números es 22 y la suma de sus cuadrados 274. Halla ambos números.

8. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose en total 20 entre hombres, mujeres y niños. Con-tando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudidouna mujer más, su número igualaría al de hombres. Averigua cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excur-sión.

9. Se quiere dibujar un rectángulo en el primer cuadrante, limitado por los ejes de coordenadas y la gráfica de la pa-rábola y � 20 � x 2.

Calcula las dimensiones del rectángulo si su área tiene que ser de 16 unidades cuadradas.

2x � y � z � 5 �2x � 4y � 3z � �4 2x � 3y � 1

x � y � z � 0x � y � z � 2 2x � y � 4z � �8

2x � 3y � 1 �8x � 12y � 7

2x � y � 5�10x � 5y � �25

3x 2 � 2x�� 3x � 1

2x 2 � 2x � 1��

2x24

�x2 � 16

x � 4� x � 4

x � 4� x � 4


Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

107625_ACTIVID_04 6/2/40 06:13 Página 16


Propuesta B1. Determina los valores de m para los cuales la siguiente ecuación de segundo grado

3mx 2 � 4mx � m � 1 � 0 tiene una única solución.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas.

a) x 4 � 1 � 0 b) x 4 � 2x 3 � 8x 2 � 18x � 9

3. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

a) � 0 b) � � 7

4. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

a) �x 2 � 7� � �3 � 2�x� � 1 b) � 5

5. Una ecuación lineal con dos incógnitas de la forma ax � by � c es la expresión de una recta. Explica razonada-mente si las rectas dadas por las ecuaciones de los siguientes sistemas son paralelas, secantes o coincidentes y a continuación compruébalo representando gráficamente las rectas.

a) � b) �


a) � b) �

7. Calcula tres números enteros impares consecutivos sabiendo que el doble de la suma de los dos primeros es infe-rior en una unidad al triple del último número.

8. En el mismo instante, dos trenes parten de la misma estación en sentido contrario. Calcula la velocidad de cada unosabiendo que al cabo de 4 horas los separan 1188 kilómetros y la velocidad de uno de ellos es 3 km/h inferior aldoble de la del otro (se supone que las velocidades de los trenes son constantes).

9. Se dispone de 68 m2 de chapa para construir un depósito de 32 m3, con forma de prisma de base cuadrada sin cubrir.

Calcula los posibles valores del lado de la base y de la altura del depósito.

x � 2y � 3z � 2x � 3y � z � 9x � 3y � z � 7

x � 2y � z � 4 �x � y � 2z � �4 2x � 3y � 3z � 2

5x � 7y � �2 �10x � 14y � 18

2x � y � �15 �6x � 3y � 15

�x � 4� � �x � 1� ��x � 4�

x � 4� x � 1

x � 3� x � 1

x 2 � 5x � 6��x 2 � 5x � 4

107625_ACTIVID_04 6/2/40 06:13 Página 17



1. a) 12x 2 � 15x � 18 � 0 ⇒ 4 x 2 � 5x � 6 � 0 b) x 2 4x � 4 � ⇒ ∆ � 42 � 4 � 4 � 0 ⇒ Una solución: x � ��24�� 2

∆ � 52 � 4 � 4 � (�6) � 0 ⇒ Dos soluciones: c) x2 � x � 1 � 0 ⇒ ∆ � 12 � 4 � 1 � 1 � 1 0 ⇒ No tiene ninguna solución real.

x � � ⇒ � d) 5x2 � 13 � 0 ⇒ ∆ � 0 � 4 � 5 � (�13) � 0 ⇒ Dos soluciones: x � �

2. a) x 3 � 21x � 20 � 0 ⇒ (x � 1) (x � 4) (x � 5) � 0 ⇒ x � 1, x � 4, x � �5

b) x5 � 10x4 � 35x3 � 50x2 � 24x � 0 ⇒ x (x � 1) (x � 2) (x � 3) (x � 4) � 0 ⇒ x � 0, x � 1, x � 2, x � 3, x � 4

3. a) � � ⇒ � � ⇒ (x � 4)2 � (x � 4)2 � 24 ⇒ 16x � 24 ⇒ x � �2146� � �

32

�

b) � ⇒ (2x2�2x�1)(3x�1)�(3x 2�2x)2x⇒6x 3�4x 2�5x�1�6x 3�4x 2⇒5x��1⇒x��15

�

En ambos casos las soluciones son válidas, porque no anulan ninguno de los denominadores.

4. a) �7 � 2x�� 3 � x�� 1 ⇒ ��7 � 2x� �2� �1 � �3 � x� �

2⇒ 2�3 � x�� 3 � x ⇒ x 2 � 2x � 3 � 0 ⇒ x � 1, x � �3

x � 1 ⇒ �7 � 2�� 3 � 1�� 1 ⇒ x � 1 sí es solución. x � �3 ⇒ �7 � 6�� 3 � 3�� ⇒ x � �3 sí es solución.

b) � 3 ⇒ � � 3 ⇒ � 3 ⇒ ��x 2 � 1� �2

� (3 � x)2

⇒ x2 �1� x2 �6x�9⇒ x� �53

� ⇒ � � � �3⇒La solución es x� �53

�.

5. a) � ⇒ � ⇒ 0 � 0 b) � ⇒ � ⇒ 0 � 11

Es un sistema compatible indeterminado. Como El sistema es incompatible.

y � 2x � 5, las soluciones son de la forma (t, 2t � 5).

6. a) � � � ⇒ � ⇒ Solución: x � 1, y � 2, z � 3

b) � � � ⇒ ⇒ Solución: x � 5, y � 3, z � 2

7. � ⇒ y � 22 � x ⇒ x 2 � (22 � x)2 � 274 ⇒ 2x 2 � 44x � 210 � 0 � ⇒ Los números son 7 y 15

8. � ⇒ � � ⇒ � ⇒ �Han ido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.

9. � ⇒ x(20 � x 2) � 16 ⇒ x 3 � 20x � 16 � 0 ⇒ (x � 4) (x 2 � 4x � 4) � 0 �La solución x � �2 – �2� no es válida por ser negativa, por tanto, se obtienen dos posibles

rectángulos: x � 4, y � 4; x � �2 � 2�2� � 0,83, y � ��2

16� 2� � 19,31.

x � 4x � �2��2�

y � 20 � x 2

xy � 16

h � 8n � 5m � 7

h � m � 5 � 20 n � 5 2m � 19 � 5

h � m � n � 20 �4n � �20 2m � n � 19

h � m � n � 20 h � m � 3n � 0 �h � m � �1

h � m � n � 20 h � m � 3n m � 1 � h

x � 7 ⇒ y � 15 x � 15 ⇒ y � 7

x � y � 22 x 2 � y 2 � 274

x ��5 �

2y � z�� 5

y � 3 z � �4 � 2y � 2

2x � y � z � 5 �5y � �15 �2y � z � �4

2x � y � z � 5 E2�4E3

3y � 4z � 1�2y � z � �4

2x � y � z � 5 �2x � 4y � 3z � �4 2x � 3y � 1

x � z � y � 1 y � �1 � z � 2 z � 3

x � y � z � 0 y � z � �1 �3z � �9

x � y � z � 0 �2y � 2z � 2 �2y � 2z � �8

x � y � z � 0 x � y � z � 2 2x � y � 4z � �8

8x � 12y � 4 �8x � 12y � 7

2x � 3y � 1 �8x � 12y � 7

10x � 5y � 25 �10x � 5y � �25

2x � y � 5�10x � 5y � �25

2x � 2 �x 2 � 1��2

�x � 1�� x � 1� ��x � 1�� x � 1�

�x � 1�� x � 1� ��x � 1�� x � 1�

�x � 1�� x � 1� ��x � 1�� x � 1�

3x 2 � 2x� 3x � 1

2x 2 � 2x � 1��

2x

24 �x 2 � 16

(x � 4)2

�x 2 � 16

(x � 4)2

�x 2 � 16

24 �x2 � 16

x � 4� x � 4

x � 4� x � 4

��143�

x � 22

x � �34

�5 � 11�

8�5 � �121��

8

��53

� �1��53

� �1 ��83

��23

� 2��23

��23

� 3��23

��

53

� �1��53

� �1 ��83

��23

� 2��23

��23

� ��23

�

⇒

⇒ ⇒

⇒

⇒E2�E1

E3�2E1

E2�E1

E3�E1

E2�E1

E3�E1

E3��E2

2 �

��E2

2 �

�

107625_ACTIVID_04 6/2/40 06:13 Página 18


Soluciones propuesta B1. El discriminante debe ser 0:

∆ � (�4m)2 � 4 � 3 m (m � 1) � 0 ⇒ 16m2 � 12m2 � 12m � 0 ⇒ 4m (m � 3) � 0 ⇒ m � 0, m � 3

La solución m � 0 no es válida porque la ecuación no sería de segundo grado, luego la única solución es m � 3.

2. a) x 4 � 1 � 0 ⇒ (x 2 � 1) (x 2 � 1) � 0 ⇒ (x � 1) (x � 1) (x 2 � 1) � 0 ⇒ x � �1, x � 1

b) x 4 � 2x 3 � 8x 2 � 18x � 9 � 0 ⇒ (x � 3) (x � 3) (x � 1)2 � 0 ⇒ x � 3, x � �3, x � 1

3. a) � 0 ⇒ x 2 � 5x � 6 � 0 ⇒ x � 2, x � 3

b) � � 7 ⇒ (x � 3) (x � 1) � (x � 4) (x � 1) � 7 (x 2 � 1) ⇒ 5 x 2 � 7x � 6 � 0 ⇒ x � 2, x � ��53�

Se comprueba que todas las soluciones son válidas porque ninguna anula los denominadores de las fracciones.

4. a) �x � 7� � �2x� � 1 ⇒ ��x � 7� �2

� ��2x� � 1�2

⇒ (6 � x)2 � �2�2x��2

⇒ x 2 � 20x � 36 � 0 ⇒ x � 18, x � 2

x � 18 ⇒ �18 � 7�� 2 � 18�� 1 � 1 ⇒ x � 18 no es solución. x � 2 ⇒ �2 � 7�� 2 � 2�� 1 ⇒ x � 2 sí es solución.

b) � 5 ⇒ ��x�4��x�1��2� �5�x�4��

2⇒ �2�x 2�3x��4��

2� (23x � 103)2 ⇒ 525x2 � 4750x � 10 625 � 0 ⇒

⇒ 21x 2 � 190x � 425 � 0 ⇒ x � 5, x � �8

2

5

1�

x � 5 ⇒ � �3�

1

2� � 5 ⇒ x � 5 sí es solución. x � 18 ⇒ � 5 ⇒ x � 18 no es solución.

5. a) � Las dos ecuaciones son equivalentes, ya que la segunda ecuación se obtiene multiplicando por �3 todos los términos de la primera. Por tanto todos los pares (x, y) que satisfacen una de las ecuaciones, satisfacen también la otra. El sistema es compatible indeterminado. Las rectas tienen infinitos puntos en común, son coincidentes.

b) � Si se multiplica la primera ecuación por �2, se obtiene �10x � 14y � 4, mientras que según la segunda ecuación �10x � 14y � 18. El sistema es incompatible, las rectas no tienen ningún punto en común, son paralelas.

6. a) � ⇒ � ⇒ � ⇒ � ⇒ �b) � ⇒ � ⇒ � ⇒ �

7. Sean 2n � 1, 2n � 3 y 2n � 5 los tres números: 2 (2n � 1 � 2n � 3) � 3 (2n � 5) � 1 ⇒ n � 3 ⇒ Los númerosson 7, 9 y 11.

8. La relación entre las velocidades es: v1 � 2v2 � 3. Por otro lado el espacio que separa los trenes al cabo de4 horas es e1 � e2 � 4v1 � 4v2 � 1188 km. Resolviendo el sistema se obtiene v1 � 197 km/h, y v2 � 100 km/h.

9. Sea x la base e y la altura, expresadas en m: � ⇒ y � �3 x2 2� ⇒ x 2 � 4x �

3 x2 2� � 68 ⇒ x 3 � 68x � 128 � 0 ⇒

⇒ (x � 2) (x 2 � 2x � 64) � 0 � ⇒ �x � �1 � �65� (No es una solución válida por ser negativa)

x � �1 � �65� ≈ 7,06 ⇒ y ≈ 4,53

x � 2 ⇒ y � 8x 2 � 2x � 64 � 0

x 2 � 4xy � 68x 2y � 32

x � 2 � 2y � 3z � �1 y � 7 � 4z � 3z � �1

x � 2y � 3z � 2 y � 4z � 7 2z � �2

x � 2y � 3z � 2y � 4z � 7 y � 2z � 5

x � 2y � 3z � 2 x � 3y � z � 9 x � 3y � z � 7

x � 1y � �1z � 1

x � 4 � 2y � z y � �1 z � �6 � 7y

x � 2y � z � 4 6y � 26 7y � z � �6

x � 2y � z � 4 �y � z � 0 7y � z � �6

x � 2y � z � 4 �x � y � 2z � �4 2x � 3y � 3z � 2

5x � 7y � �2 �10x � 14y � 18

2x � y � �5 �6x � 3y � 15

�18�4��18�1�� 18�4�

�5�4��5�1�� 5�4�

�x�4��x�1�� x�4�

x � 4� x � 1

x � 3� x � 1

x 2 � 5x � 6��x 2 � 5x � 4

⇒E2�E1

E3�E1

⇒E2�E1

E3�E1

⇒E2�E1

⇒E3�E2

107625_ACTIVID_04 6/2/40 06:13 Página 19


Propuesta A1. Representa gráficamente el conjunto de soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) x � 1 � �4 �

52x

� b) 5 � �1 �

35x

� � �1 �

23x

� � 0

2. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas.

a) 3x 2 � 2x � 2 � 2x 2 � x � 4 b) x 3 � 2x 2 � 13x � 10 � 0

3. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales.

a) �xx

2

2

�

�

55

xx

�

�

64

� � 0 b) �(x �

x2�

)(x4� 3)

� � 0

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones y representa gráficamente la solución.

a) � b) �

5. Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas.

a) 3x � 2y � 5 b) �2x

� � �4y

� � 1 � �x �

2y

�

6. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

a) � b) �

7. Escribe en cada caso un sistema de inecuaciones cuya solución sea la zona sombreada en la gráfica.

a) b)

8. Un comerciante tiene tres negocios. Un día obtuvo, unos beneficios de 110 euros en un negocio, y de 60 eurosen otro. ¿Cuáles deben ser las ganancias en el tercer negocio para que el beneficio medio sea de al menos100 euros?

9. Una industria fabrica dos tipos de productos A y B. Dispone de 21 máquinas que pueden adaptarse a la fabricaciónde uno u otro producto. Para elaborar el producto A se necesitan series de 4 máquinas, y cada serie es atendida por3 operarios, mientras que en la fabricación de B se requieren series de 2 máquinas y trabajan 5 operarios en cadaserie. Halla todas las posibilidades de producción.

y � 3x � 0x � y � 3y � x

x � 2y � 4x � 0y � 0

2x � 1 � 3x � 2 5x � 2 � 2 (x � 4) x � 4 � 16 � x

2x � 43x � 1 � x � 3x � 4 � 2 � x


Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

107625_ACTIVID_05 6/2/40 06:18 Página 20


Propuesta B1. Representa gráficamente los conjuntos de soluciones de las siguientes inecuaciones.

a) 3x � �1 �

52x

� � 8 b) �1 �

33x

� � �2 �

6x

� � �5

2. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas.

a) �x 2 � x � 2 � �2x 2 � 2x � 4 b) x 3 � 2x 2 � 3x

3. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales.

a) � xx2

2

�

�

29x

� � 0 b) �x 2

7�

x3�

x2 � 2

� � �1

4. Representa gráficamente el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones.

a) � b) �

5. Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas.

a) x � y � 3 � 0 b) �3y

� � �6x

� � �34x� � 2

6. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

a) � b) �7. Indica, en cada caso, el sistema de inecuaciones que tiene como solución la figura sombreada en la gráfica, consi-

derando que no forma parte de la solución el borde discontinuo.

a) b)

8. Una empresa de fabricación de chocolate tiene unos costes fijos diarios por salarios y amortizaciones de 4000 euros.La producción de cada tableta de chocolate cuesta un euro, y su precio de venta es de dos euros. ¿Cuántas tabletasde chocolate hay que vender para que se obtengan unos beneficios de al menos 1000 euros?

9. En una fábrica se elaboran dos productos A y B, empleando para ello dos materias primas M y N. Para fabricar una tonelada de A se necesitan tres toneladas de M y una de N, mientras que para fabricar una tonelada de B se nece-sitan dos toneladas de M y tres de N. Determina las cantidades de A y B que pueden producirse, sabiendo que entotal se dispone de 900 toneladas de M y 600 de N.

3x � y � 0 x � y � 2 y � xx � 3

x � y � 0x � y � 1 � 0

3x � 1 � x � 7x � 7 � 3 (x � 1)x � 9 � 6 � 2x

�x � 22x � 2 � x � 7x � 3 � 5 � x

107625_ACTIVID_05 6/2/40 06:18 Página 21



1. a) x � 1 � �4 �

52x

� ⇒ 5x � 5 �4 � 2x b) 5��1�

310x��

1� 2

6x��0⇒30�2�20x�3�18x�0

x � �1 3

� ⇒ x � ��, �1 3

�� x � 2 ⇒ x � (��, 2)

2. a) 3x 2 � 2x � 2 � 2x 2 � x � 4 ⇒ x 2 � 3x � 2 � 0 b) x 3 � 2x 2 � 13x � 10 � 0

(x � 1)(x � 2) � 0 (x � 5)(x � 1)(x � 2) � 0

3. Las inecuaciones racionales se resuelven de forma análoga a las polinómicas. Hay que tener en cuenta que lassoluciones no incluyen las raíces del denominador, pues en ellas no está definida la fracción algebraica.

a) �xx

2

2

�

�

55

xx

�

�

64

� � 0 ⇒ �(

(

x

x

�

�

3

4

)

)

(

(

x

x

�

�

2

1

)

)� � 0 b) �

(x �

x2�

)(x4� 3)

� � 0

x � (��, 1) � (2, 3) � (4, ��) x � (��, 2) � (3, 4]

4. a) � ⇒ � b) � ⇒ �

x � (��, 2] � [�2, ��) � (��, 3] ⇒ x � [�2, 2] x � (�3, ��] � [2, ��) � (��, 10] ⇒ x � [2, 10]

5. a) 3x � 2y � 5 b) �2x

� � �4y

� � 1 � �x �

2y

�

2x�y�4�2x�2y⇒4x�y�4

6. a) � b) �

7. a) � b) �8. Llamando x a las ganancias en el tercer negocio: �

110 �360 � x� � 100 ⇒ x � 130 € ⇒ Las ganancias deben ser

de al menos 130 euros.

9. Si se fabrican x series de A e y series de B se obtiene: � ⇒ La solución es:

4x � 2y � 21 3x � 5y � 30 x � 0y � 0

x � 4y � 12 2y � 3x � 6 y � 1x � 0

y � 2xy � xx � 0x � 3

y � 3x � 0x � y � 3y � x

x � 2y � 4x � 0y � 0

2

2 10

10

_3

0

0

0

0x��3 x�2 x�10

2x�1�3x�2 5x�2�2(x�4) x�4�16�x

0

_2

2

0

0

0 2

3_2

x�2 x��2 x�3

2x�4 3x�1�x�3 x�4�2�x

0 1 20 13__ 1 2

x � 1 � � �

x � 2 � � �

(x � 1)(x � 2) � � �

�� 1 2 �

x � (1, 2)

x � 5 � � � �

x � 1 � � � �

x � 2 � � � �

(x � 5)(x � 1)(x � 2) � � � �

�� 5 1 2 ��

x � (��, �5] � [1, 2]

107625_ACTIVID_05 6/2/40 06:18 Página 22



1. a) 3x � �1�

52x��8⇒15x� (1�2x)�40⇒13x��39 b) �

1� 3

3x��

2�6

x��5⇒�

2�6x6�2�x��5⇒5x��30

x � �3 ⇒ (��, �3] x � 6 ⇒ x � [6, ��)

2. a) �x 2 � x � 2 � �2x 2 � 2x � 4 ⇒ x 2 � 3x � 2 � 0 b) x 3 � 2x 2 � 3x ⇒ x 3 � 2x 2 � 3x � 0

(x � 1)(x � 2) � 0 x(x � 1)(x � 3) � 0

3. Las inecuaciones racionales se resuelven de forma análoga a las polinómicas. Hay que tener en cuenta que las so-luciones no incluyen las raíces del denominador, pues en ellas no está definida la fracción algebraica.

a) � xx2

2

�

�

29x

� � 0 ⇒ �(x �

x (3 x)�

(x2�

)3)

� � 0 ⇒ b) �x 2

7�

x3�

x2 � 2

�� 1 ⇒�x 2

7�

x3�

x2 � 2

�� 1 � 0 ⇒�x 2

x�

2 �

3x4�

x2

�� 0

⇒ x � [�3, 0) � (2, 3] ⇒ �(x �

x (1x)�

(x4�

)2)

� � 0 ⇒ x � [�4, 0] � (1, 2)

4. a) � ⇒ � b) � ⇒ �

x � [�2, ��) � (��, 5] � (4, ��) (4, 5] No existe solución, ya que (��, 3) � (��, 5] � (5, �)

5. a) x � y � 3 � 0 b) �3y

� � �6x

� � �34x� � 2

4y � 2x � 9x � 24 �11x � 4y � 24 � 0

6. a) � b) �

7. a) � b) �

8. Si se producen y venden x tabletas, los beneficios son: ingresos � costes 2x � (4000 � x). Por tanto:2x � 4000 � x � 1000 ⇒ x � 5000 ⇒ Hay que vender al menos 5000 tabletas de chocolate.

9. Si se fabrican x toneladas de A e y toneladas de B: � ⇒ La solución es:

O

3x � 2y � 900 x � 3y � 600 x � 0y � 0

3x � 4y � �12 3x � 4y � 12

x � 2y � �4 3x � 4y � 12 x � 0y � 0

3x � y � 0 x � y � 2 y � xx � 3

x � y � 0x � y � 1 � 0

0 3

0 5

0 5

x � 3 x � 5 x � 5

3x � 1 � x � 7 x � 7 � 3(x � 1) x � 9 � 6 � 2x

0_2 5

0 5

0

0_2 5

4

4

x � �2 x � 5 x � 4

�x � 2 2x � 2 � x � 7 x � 3 � 5 � x

600_3

x � 2 � � �

x � 1 � � �

(x � 1)(x � 2) � � �

�� 2 �1 �

x � [�2, �1]

x � 1 � � � �

x � � � �

x � 3 � � � �

x(x � 1)(x � 3) � � � �

�� 1 0 3 ��

x � (��, �1) � (0, 3)

107625_ACTIVID_05 6/2/40 06:18 Página 23


Propuesta A1. Considera un hexágono regular de lado x.

a) Expresa la longitud de su apotema (segmento que une el centro del hexágono con el punto medio de cualquierade sus lados) en función de x.

b) Expresa el área del hexágono en función de x.c) Halla el valor del área cuando el lado mide 4 cm.

2. Halla el dominio de las siguientes funciones.

a) f (x ) � �2x 2 �

15x � 2� c) h(x ) � �

3x � 3�

b) g(x ) � ��((xx �

��2

4

)

)

(

(

x

x

�

�� 3

1

)

)�� d) j (x ) � �x 2 � x� � 1�

3. Dadas las funciones f (x ) � �x� y g(x ) � �x 2 �

19

�, halla el dominio y la expresión analítica de las siguientes funciones.

Calcula, previamente, el dominio de f y de g.

a) (2g � f )(x ) c) (f � g)(x )

b) ��gf��(x ) d) (g � f )(x )

4. Dadas las funciones f (x ) � �2x

x� 1�, g(x ) � �

1x

� y h(x ) � �33xx

��

22

�, realiza las siguientes operaciones.

a) (f � g)(x ) d) (f � h � g)(x )

b) (h � f )(x ) e) f�1(x )

c) (h � g � f )(x ) f) g�1(x )

Comprueba que (f � f�1)(x ) � (f�1 � f )(x ) � x.

5. Representa gráficamente la función f (x ) � �x 2 � 2x � 3. A partir de ella, dibuja en los mismos ejes las gráficas delas siguientes funciones.

g(x ) � f (x ) � 2 h(x ) � f (x � 3) j (x ) � �2 � f (x ) k (x ) � �2 � f (x � 1) l (x ) � | f (x ) |

6. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos.

a) f (x ) � � b) g(x ) � �

7. Los costes de producción de una empresa, en función del número de unidades producidas, vienen dados por la función C (x ) � x 2 � 4x � 400. La empresa vende todas la unidades que produce a 100 euros la unidad.a) Encuentra la función que expresa el beneficio que obtiene la empresa en función del número de unidades

producidas, y represéntala gráficamente.b) ¿Cuántas unidades se deben producir para que el beneficio sea máximo?c) ¿A partir de qué número de unidades producidas la empresa entraría en pérdidas?

8. Una empresa de telefonía cobra 0,12 euros por establecimiento de llamada; 0,10 euros por cada uno de los cinco primeros minutos que dure la llamada y 0,05 euros por el resto de los minutos que hablemos. Encuentra la expresiónde la función que determina el coste de la llamada (en euros) en función del tiempo (en minutos) que dure la misma.

Representa gráficamente dicha función.

�x 2 � x � 2 si x � 3|2x � 10| si x � 3

x � 1 si x � �1x 2 si �1 � x � 2

x � 2 si x � 2


Funciones

107625_ACTIVID_06 4/10/08 23:16 Página 24


Propuesta B1. Escribe la expresión analítica de las siguientes funciones.

a) La que asigna a cada número real su cuadrado menos la tercera parte de su doble.

b) La que asigna a cada triángulo equilátero de lado x el doble de su área menos la mitad de su perímetro.

En ambos casos, determina el dominio de la función encontrada.

2. Calcula el dominio de las siguientes funciones.

a) f (x ) � 2x 3 � 3x 2 � 1 c) h (x ) � �x 2 � 4�

b) g(x ) � �x5

2

x�

�

31x

� d) k (x ) � �x 2 �

x 2

4�

x1� 3

�

3. Dadas las funciones f(x) � x 2 � 9 y g(x) � �xx

��

32

�, halla el dominio y la expresión analítica de las siguientes funciones.

Calcula, previamente, el dominio de f y de g.

a) (f � g)(x ) d) ��gf��(x )

b) (2g � f )(x ) e) (f � g)(x )

c) (f � g)(x ) f) (g � f )(x )

4. Dadas las funciones f (x ) � x 3 � 1, g(x ) � �x �

21

� y h(x ) � �xx

��

12

�, realiza las siguientes operaciones.

a) (f � g)(x ) d) f�1(x )

b) (h � f )(x ) e) g�1(x )

c) (f � h � g)(x ) f) h�1(x )

Comprueba que (h � h�1)(x ) � (h�1 � h)(x ) � x.

5. A partir de la función f (x ) � �x�, dibuja en los mismos ejes las gráficas de las siguientes funciones.

g(x ) � (x ) � 3 h(x ) � f (x � 2) j (x ) � �2 � f (x ) k(x ) � 2 � f (x � 1) l (x ) � �3 � f (|x |)

6. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos.

a) f (x ) � �b) g(x ) � �

7. Una empresa de telefonía móvil ofrece dos tarifas mensuales. La primera se compone de una cantidad fija de 13 euros,más 0,25 euros por cada minuto de duración de la llamada, todo ello incrementado con el 16% de IVA.

La segunda tarifa se compone de un importe fijo de 20 euros y 40 minutos gratuitos de uso del teléfono; a partir de los primeros 40 minutos, se hace una rebaja del 5% sobre el precio por minuto de la primera tarifa, y todo ello incrementado con el 16% de IVA.

Halla las expresiones algebraicas que determinan el coste mensual de cada tarifa en función del tiempo de uso delteléfono y representa gráficamente dichas funciones.

8. Una empresa de alquiler de coches tiene la siguiente tarifa: 30 euros por la formalización del contrato de alquiler y0,09 euros por cada kilómetro recorrido.

a) Halla la expresión algebraica de la función que indica el importe según los kilómetros recorridos.

b) ¿Cuánto tendrá que pagar una persona que recorra 120 km con un coche alquilado a esta empresa?

c) Dibuja la gráfica de la función obtenida.

|x 2 � 4| si x � 12x � 1 si x � 1

x 2 � 2x si x � 0x � 1 si 0 � x � 1

�x 2 � 3x � 2 si x � 1

107625_ACTIVID_06 4/10/08 23:16 Página 25

x � 1 � � � � �

x � 2 � � � � �

x � 3 � � � � �

x � 4 � � � � �

(x � 3)(x � 2) � � � � �

(x � 4)(x � 1) � � � � �



1. a) Se utiliza el teorema de Pitágoras: x 2 � a 2 � ��2x

��2

⇒ a � �x 2 � ��x4

2

�� 23�� x

b) S(x ) � 6 �x2a� � �

3�2

3�� x 2 c) Para x � 4, se obtiene: S(4) � �

3�2

3�� 42 � 24�3� cm2

2. a) x 2 � 5x � 2 � 0 ⇒ x � �5 �2

45 ��16��

5 4

3� ⇒ � ⇒ D(f ) � R � ��

12

�, 2�b) Se comprueba el signo de la función en cada intervalo de la recta real:

Por tanto, D(g) � (�, 1) � [2, 3] � (4, �).

c) Como los dos dominios de ambas funciones son todos los números reales, entonces D(h) � R.d) Para que j(x) esté definida debe cumplirse que x 2 � x � 1 � 0, y esto se cumple ∀ x. Por tanto D( j ) � R.

3. D(f ) � [0, ). D(g) � R � {�3, 3}.

a) (2g � f )(x ) � �x 2 �

29

� � �x� ⇒ D(2g � f ) � [0, ) � {3} c) (f � g)(x ) � f (g(x )) ��x 2 �

19

��⇒ D(f � g) � (�, �3) � (3, �)

b) ��gf��(x ) � �x� (x 2 � 9) ⇒ D��

gf�� [0, ) d) (g � f )(x ) � g (f (x )) � �

x �1

9� ⇒ D(g � f ) � R � {9}

4. a) (f � g)(x ) � f(g(x )) � f��12

�� 2 �

1x

� d) (f � h � g)(x) � f(h(g(x ))) � �39

��

22xx

�

b) (h � f )(x ) � h(f (x )) � ��7x

x��

22

� e) f (x ) � y ⇒ f�1(x) � �1 �

x2x

�

c) (h � g � f )(x ) � h(g(f (x ))) � �84xx

��

33

� f) g(x ) � y ⇒ g�1(x) � �1x

�

Demostración: (f � f�1)(x) � f��1 �x

2x�� 1 � �

1x

� � x

(f�1 � f )(x) � f�1��2xx� 1��

1x

� � x

5.

6. a) b)

7. a) B(x) � 100x � C(x) � 100x � x 2 � 4x � 400 � �x 2 � 104x � 400b) El beneficio máximo se alcanza en el vértice de la parábola

B(x) � �x 2 � 104x � 400, es decir, en el punto V(52, 2304).Por tanto, se deben producir 52 unidades.

c) La empresa tendrá pérdidas si produce menos de 4 unidades o más de 100.Para x � 4 y x � 100, el beneficio es 0.

8. La expresión algebraica es: C(x) � �0,12 � 0,10x si 0 � x � 50,62 � 0,05x si x � 5

�2x

x� 1�

��

1 � 2�2x

x� 1�

�1 �

x2x

��

2�1 �

x2x

�

60ºx xa

x

O

Y

X2

1

f

fO

Y

X21

g

O

Y

X2

1

f h

O

Y

X2

1j

f

O

Y

X21

l

f

O

Y

X

1

1

f

O

Y

X1

1

g

2

0,51

1,5

Duración llamada (min)

Impo

rte

(€)

0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

30

600120018002400

–6000

Unidades producidas

Ben

efic

io

60 90 120

V(52, 2304)

x � 2

x � �12

�

� ← 1 2 3 4 → �

O

Y

X

2

1k

f

107625_ACTIVID_06 4/10/08 23:16 Página 26


Soluciones propuesta B1. a) f (x ) � x 2 � �

23x�; D(f ) � R

b) x 2 � h 2 � ��2x

��2

⇒ h � ��

23�x� ⇒ S(x ) � �

x2� h� � �

�43�x 2

� ⇒ f (x ) � 2S(x ) � �32x� ��

�3�x 2

2� 3x�; D(f ) � R� � {0}

Aunque la expresión analítica está definida x, la naturaleza del problema hace que no puedan considerarsetriángulos de lado negativo o cero.

2. a) Se trata de una función polinómica. Por tanto D(f ) � R.b) La función no está definida para x 2 � 3x � 0 ⇒ x � 0, x � 3 ⇒ D(g) � R � {0, 3}

c) La función está definida si x 2 � 4 � 0 ⇒ x 2 � 4 ⇒ � ⇒ D(h) � (�, �2] � [2, �)

d) La función no está definida para x 2 � 1 � 0 ⇒ D(k) � R

3. La función f es polinómica. Por tanto, D(f) � R. La función g no está definida para x � �2. Por tanto, D(g) � R � {�2}

a) (f � g)(x ) � x 2 � 9 � �xx

��

32

� ⇒ D(f � g) � R � {�2}

b) (2g � f )(x ) � �2(

xx

�

�

23)

� � x 2 � 9 ⇒ D(2g � f ) � R � {�2}

c) (f � g)(x ) � �(x 2 �

x9�

)(x2

� 3)� ⇒ D(f � g) � R � {�2}

d) ��gf��(x ) � �

(x 2 �

x9�

)(x3

� 2)� � (x � 3)(x � 2) ⇒ D��

gf�� R

e) (f � g)(x ) � f(g(x )) � ��xx ��

32

��2

� 9 ⇒ D(f � g) � R � {�2}

f) (g � f )(x ) � g(f (x )) � �xx

2

2

�

�

172

� ⇒ D(g � f ) � R � {�7, 7}

4. a) (f � g)(x ) � f(g(x )) � f��x �2

1�� x �

21

��3

� 1

b) (h � f )(x ) � h(f (x )) � h(x 3 � 1) � �x 3

x�

3

3�

c) (f � h � g)(x ) � f(h(g(x ))) � f�h��x �2

1�� f��xx �

�33

�� xx ��

33

��3

� 1

d) f (x ) � y ⇒ x � �3

y � 1� ⇒ f�1(x ) � �3

x � 1�e) g(x ) � y ⇒ x � 2y � 1 ⇒ g�1(x ) � 2x � 1

f) h(x ) � y ⇒ x � �2yy

�

�

11

� ⇒ h�1(x ) � �2xx

��

11

�

Demostración: (h � h�1)(x ) � h��2xx��11

�� 33x� � x (h�1 � h)(x ) � h�1��xx �

�12

�� 33x� � x

5.

6. a) b)

7. Tarifa 1: T1(x ) � (13 � 0,25x) 1,16

Tarifa 2: T2(x ) � �

8. a) I (x ) � 30 � 0,09x c)

b) I (120) � 30 � 0,09 � 120 � 40,80 €

20 si 0 � x � 40(20 � 0,25(x � 40) 0,95) 1,16 si x � 40

�2(

xx�

�

21)

��

�xx

��

12

�

�2xx��

11

� � 1��

�2xx��

11

� � 2

x � �2x � 2

x

h

O

Y

X1

f

1 O

Y

X1

g

1

h

j

k

l

O

Y

X

1

f

1

O

Y

X

1

1

g

152025

Duración llamada (min)

Impo

rte

(€)

0 20 40 60

30

T2

T1

303540

Distancia recorrida (km)

Impo

rte

(€)

0 40 80 120

45

160 200

50

107625_ACTIVID_06 4/10/08 23:16 Página 27


Propuesta A1. En la tabla adjunta se observa el precio, en dólares, del barril de crudo brent durante los últimos años:

a) Dibuja una gráfica que describa la evolución del precio el barril de crudo brent.

b) Halla el dominio y el recorrido de la función representada.

c) ¿Hay alguna función elemental que se ajuste a dicha gráfica?

2. Halla la función de interpolación lineal que pasa por los puntos (�1, 3) y (5, �1).

Calcula el valor de dicha función para los puntos x � 0 y x � 7.

3. La siguiente tabla proporciona algunos valores de una determinada función:

a) Determina, por interpolación lineal, el valor de dicha función para x � 3.

b) Halla la función de interpolación cuadrática que se ajusta a los datos de la tabla.

Calcula el valor de dicha función para x � 3 y x � 7.

4. El precio del billete de una línea de autobuses interurbanos para un recorrido de 120 km es de 7,50 euros; y parauno de 160 km, de 9,90 euros.

a) Halla la función lineal que determina el precio del billete en términos del número de kilómetros del trayecto.

b) ¿Cuál es el importe de un billete para un recorrido de 135 km? ¿Y para uno de 230 km?

c) Si un billete cuesta 5,10 euros, ¿cuántos kilómetros tiene el recorrido?

5. El número de habitantes de una determinada ciudad ha evolucionado de acuerdo a los datos reflejados en la siguientetabla:

a) Estima, mediante una función de interpolación cuadrática, la población en 2003.

b) ¿Qué población se espera que alcance la ciudad en el año 2012?

6. Sabiendo que log (2) � 0,3010, log (3) � 0,04771 y log (4) � 0,6020, contesta a las siguientes preguntas:

a) Calcula, mediante interpolación lineal, log (2, 7).

b) Realiza el mismo ejercicio utilizando la interpolación cuadrática.

c) Compara los resultados obtenidos con los que proporciona la calculadora. A la vista de los resultados, ¿qué inter-polación se ajusta más a la función log (x ) en el intervalo (2, 4)?


Interpolación

Evolución del precio del barril de crudo brent

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Marzo 2008

Precio ($) 29 24,7 25 28,8 43,5 54,2 66,2 72,5 95,9

x 0 2 5

f(x) �3 7 34

Año 1995 2001 2007

Población (miles de habitantes) 23 27 33

107625_ACTIVID_07 4/10/08 23:17 Página 28


Propuesta B1. A partir de la tabla de valores de una determinada función, contesta a las preguntas siguientes.

a) Halla la función de interpolación lineal a trozos que se ajusta a dicha tabla de valores y represéntala gráficamente.

b) A partir de dicha función, determina el valor que correspondería a f (x) en los siguientes puntos:x � 1,5 x � 3 x � 5,5 x � 6,5 x � 9

c) Halla la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos (2, 4), (4, 5) y (6, 4) y represéntala gráfica-mente.

d) A partir de dicha función, determina el valor que correspondería a f (x) en los puntos x � 3 y x � 5,5.

2. Los gastos de producción y los ingresos por ventas de una determinada empresa a lo largo de tres años consecuti-vos vienen dados por la siguiente tabla:

a) Considerando los datos del primer y del tercer año, obtén la función de interpolación lineal que indica los ingresospor ventas en términos de los gastos de producción.

b) ¿Cuál es el error que se comete al calcular los ingresos del segundo año utilizando la recta de interpolación?

3. En la siguiente tabla se observa la relación que existe entre la edad y el peso de los embriones de cierta especieanimal:

a) Obtén el polinomio de interpolación cuadrática que expresa el peso del embrión en función de su edad.

b) Determina el peso que correspondería a un embrión de seis días y medio.

4. La relación entre la antigüedad de un automóvil y el número medio de kilómetros rodados a lo largo de su vida vie-ne determinada por la siguiente tabla de valores:

a) Halla el polinomio de interpolación de segundo grado que expresa los kilómetros recorridos en función de los añosde vida del automóvil. ¿Cómo explicas el resultado obtenido?

b) Si un automóvil tiene 3 años, ¿cuántos kilómetros se esperaría que hubiese rodado, según esta estimación?

5. Con los datos de la siguiente tabla obtén, por interpolación lineal, el valor de �1,6�.

Compara el valor obtenido con el que da la calculadora, y acota el error cometido.

6. Sabiendo que sen 30� � 0,5; sen 32� � 0,5299 y sen 34� � 0,5592, responde a las siguientes preguntas:

a) Calcula el valor de sen 31�, por interpolación lineal y por interpolación cuadrática.

b) Compara los resultados obtenidos con los que da la calculadora y, a la vista de los resultados, estima qué inter-polación se ajusta más a la función f (x) � sen x en el intervalo (30�, 34�).

x 1 2

�1 � x� 1,4142 1,7321

Gastos (millones de euros) 3 4,5 7

Ingresos (millones de euros) 10 13 20

Edad (días) 3 5 8

Peso (g) 2 22 73

Antigüedad (años) 2 4 5

Kilometraje (miles de km) 30 50 60

x 0 2 4 6 8 10

f(x) 2 4 5 4 1 0

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Soluciones propuesta A1. a) Representados los puntos de la tabla, se unen y se obtiene una aproximación

a la gráfica que indica la evolución del precio del crudo en el período 2000-marzo de 2008.

b) El dominio de la función es el período 2000-marzo de 2008.El recorrido de la función es R (f ) � [24,7; 95,9].

c) A la vista de la tabla de valores y de la gráfica, no se observa que la evolu-ción del precio del crudo se ajuste a ninguna función elemental.Se puede observar que en el último período ha tenido un crecimiento rapidísi-mo, mientras que en el primero el incremento ha sido muy moderado, con al-gunos períodos de descenso.

2. La expresión analítica de dicha función es: f (x ) � ax � b

Como pasa por el punto (�1, 3), será: 3 � �a � b

Como pasa por el punto (5, �1), será: �1 � 5a � b

Resolviendo el sistema, se obtiene que a � ��23

� y b � �73

� . Por tanto, le expresión final será f (x ) � ��23

� x � �73

� .

En el punto x � 0 la función toma el valor f (0) � �73

� , mientras que en el punto x � 7 toma el valor f (7) � ��73

� .

3. a) La expresión analítica de la función de interpolación lineal en el intervalo (2, 5) es f (x ) � ax � b.Como pasa por el punto (2, 7), será: 7 � 2a � b

Como pasa por el punto (5, 34), será: 34 � 5a � b

Resolviendo el sistema, se obtiene que a � 9 y b � �11. Por tanto, la expresión de función es f (x ) � 9x � 11.En el punto x � 3, la función toma el valor f (3) � 16.

b) La expresión analítica de la función de interpolación cuadrática es g (x ) � ax 2 � bx � c.Como pasa por el punto (0, �3), será: �3 � c

Como pasa por el punto (2, 7), será: 7 � 4a � 2b � c

Como pasa por el punto (5, 34), será: 34 � 25a � 5b � c

Resolviendo el sistema, se obtiene que a � �45

� , b � �157� y c � �3. Por tanto, la expresión de la función es

f (x ) � �45

� x 2 � �157�x � 3

En el punto x � 3, la función toma el valor f (3) � �752� ; y en x � 7, el valor f (7) � 60.

4. a) Por tratarse de una función lineal, su expresión analítica es P (x ) � ax � b.Según los datos, se tiene que: P (120) � 7,5 ⇒ 120a � b � 7,5

P (160) � 9,9 ⇒ 160a � b � 9,9Resolviendo el sistema, se obtiene que a � 0,06 y b � 0,3. Por tanto, la expresión de la función es P(x) � 0,06x � 0,3.

b) Para un recorrido de 135 km, el billete costará P (135) � 8,40 €. Para uno de 230 km, P (230) � 14,10 €.c) P (x0) � 5,10 ⇒ 0,06x � 0,3 � 5,10 ⇒ x � 80 km

5. Para simplificar los cálculos, tomamos 1995 como año 0.a) Por tratarse de una función cuadrática, su expresión es P (x ) � ax 2 � bx � c.

Teniendo en cuenta los datos de la tabla, se resuelve el sistema: � ⇒ �La función, por tanto, tiene la expresión P (x ) � �

316�x 2 � �

12

� x � 23 ⇒ P (8) � 28,78

La población en 2003 (x � 8) será, aproximadamente, de 28780 habitantes.

b) En 2012 (x � 17): P (17) � 39,53 ⇒ La población en 2012 será, aproximadamente, de 39530 habitantes.

6. a) Mediante interpolación lineal: f (x ) � ax � b ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ log (x ) � 0,1761x � 0,0512 ⇒ log (2, 7) � 0,4243

b) Mediante interpolación cuadrática: f (x ) � ax 2 � bx � c ⇒ � ⇒ � ⇒

⇒ log (x ) � �0,0256x 2 � 0,3041x � 0,2048 ⇒ log (2, 7) � 0,4296

c) Con calculadora, se obtiene el valor log (2, 7) � 0,4314. Es decir, la aproximación mediante la función de interpo-lación cuadrática se ajusta más a la función f (x ) � log (x ), en el intervalo (2, 4).

a � �0,0256b � 0,3041c � �0,2048

4a � 2b � c � 0,30109a � 3b � c � 0,4771

16a � 4b � c � 0,6020

a � 0,1761b � �0,0512

2a � b � 0,30103a � b � 0,4771

a � �316�

b � �12

�

x � 23

c � 2336a � 6b � c � 27144a � 12b � c � 33

203040

Año

Prec

io (�)

00 02 04 06

5060708090

100

080

107625_ACTIVID_07 4/10/08 23:17 Página 30


Soluciones propuesta B1. a) La expresión analítica del primer segmento de recta, que une los puntos (0, 2) y (2, 4) será:

f1(x ) � ax � b ⇒ � ⇒ � ⇒ f1(x ) � x � 2

Para el segundo segmento de recta, se tiene: f2(x ) � ax � b ⇒ � ⇒ � ⇒ f2(x ) � �12

� x � 3

De la misma manera, se obtienen los demás segmentos de recta: f3(x ) � x � 7; f4(x ) � x � 13; f4(x ) � x � 5

b) En el punto x � 1,5 la función toma el valor f1(1,5) � 1,5 � 2 � 3,5.

En el punto x � 3, toma el valor f2(3) � �32

� � 3 � �92

� .

Para x � 5,5; x � 6,5 y x � 9, la función toma los valores f3(5,5) � �147� , f4(6,5) � �

143� y f5(x ) � �

12

� , respectivamente.

c) La expresión analítica de la función de interpolación cuadrática es f (x) � ax 2 � bx � c.Teniendo en cuenta los datos de la tabla, se resuelve el sistema:

� ⇒ a � ��14

� , b � 2, c � 1 ⇒

⇒ La función es: f (x) � ��14

� x 2 � 2x � 1

En la gráfica se representan, conjuntamente, los puntos de la tabla de valores, la función deinterpolación lineal a trozos y la función de interpolación cuadrática.

d) Para x � 3, f (3) � �149� . Para x � 5,5, f (5,5) � �

7116� .

2. a) La expresión analítica de la función de interpolación lineal es f (x) � ax � b. Se resuelve el sistema que se obtiene al considerar los datos del primer y tercer año:

� ⇒ a � �52

� , b � �52

� ⇒ La función tiene la expresión f (x) � �52

� x � �52

� .

b) Para x � 4,5 la función toma el valor f (4,5) � 13,7. Por tanto, el error que se comete es E � �13 � 13,75 � � 0,75.Es decir, el error en la estimación es de 750000 euros.

3. a) P (x ) � ax 2 � bx �c ⇒ � ⇒ a � �75

� , b � ��65

� , c � �7 ⇒ P (x ) � �75

� x 2 � �65

� x � 7

b) Un embrión de seis días y medio pesaría P (6,5) � 44,35 gramos.

4. a) La expresión analítica del polinomio cuadrático de interpolación es P (x ) � ax 2 � bx � c.

Teniendo en cuenta los datos se resuelve el sistema: � ⇒ � ⇒ P(x) � 10x � 10

El polinomio de interpolación es lineal, no cuadrático, ya que los tres puntos dados están alineados.

b) P (3) � 40 ⇒ Se esperaría que hubiese rodado 40000 km a los 3 años.

5. Mediante interpolación lineal: f (x) � ax � b � �1 � x� ⇒ � ⇒ � ⇒⇒ f (x) � 0,3179x � 1,0963

El valor �1 � x� � �1,6� se corresponde con x � 0,6.El valor de la función de interpolación en ese punto es f (0,6) � 1,2870.

Con calculadora, se obtiene el valor �1,6� � 1,2649 ⇒ E � �1,2649 � 1,2870 � � 0,0221 ⇒ E � 0,03

6. a) Mediante interpolación lineal: f (x) � sen x � ax � b ⇒ � ⇒ � ⇒⇒ sen 31 � f (31) � 0,51495Mediante interpolación cuadrática: f (x) � sen x � ax 2 � bx � c ⇒

⇒ � ⇒ � ⇒ sen 31� � f (31) � 0,51503

b) Con calculadora, se obtiene el valor sen 31� � 0,515038. Es decir, la aproximación mediante la función de inter-polación cuadrática se ajusta más a la función f (x) � sen x, en el intervalo (30�, 34�).

a � �7 � 10�5

b � 0,0196c � �0,0205

f (30) � 900a � 30b � c � 0,5f (32) � 1024a � 32b � c � 0,5299f (34) � 1156a � 34b � c � 0,5992

a � 0,01495b � 0,05150

f (30) � 30a � b � 0,5f (32) � 32a � b � 0,5299

a � 1,3179b � 1,0963

f (1) � a � b � 1,4142f (2) � 2a � b � 1,7321

a � 0b � 10c � 10

f (2) � 4a � 2b � c � 30f (4) � 16a � 4b � c � 50f (5) � 25a � 5b � c � 60

f (3) � 9a � 3b � c � 2f (5) � 25a � 5b � c � 22f (8) � 64a � 8b � c � 73

f (3) � 3a � b � 10f (7) � 7a � b � 20

O

Y

X1

1

f (2) � 4a � 2b � c � 4f (4) � 16a � 4b � c � 5f (6) � 36a � 6b � c � 4

a � �12

�

b � 3

b � 22a � b � 4

a � 1b � 2

b � 22a � b � 4

107625_ACTIVID_07 4/10/08 23:17 Página 31


Propuesta A1. Dadas las siguientes funciones, calcula los límites que se piden a continuación y halla sus asíntotas.

limx → ��

f (x); limx → ��

f (x); limx → 0

f (x) limx → ��

g (x); limx → ��

g (x); limx → �1

g (x)

limx → �2�

f (x); limx → �2�

f (x) limx → �2�

g (x); limx → �2�

g (x)

limx → 2�

f (x); limx → 2�

f (x)

2. Calcula los siguientes límites.

a) limx → 2

(x 2 � 5x � 3) c) limx → ��

�5x 2

x�3 �

x6� 3

� e) limx → �1

��

x3�x �

11

� g) limx → 6

�x 2

x�2 �

7x3�6

6�

b) limx → ��

�32xx

2

��

65

� d) limx → �� 2xx��3

1��

x�6

f) limx → ��

(�x 2 � x�� x) h) limx → 0

��4 �

2xx�� 2�

3. Halla las asíntotas de las funciones que se indican a continuación.

a) f (x) � �2xx2

2

��

91

� b) g (x) � �xx2

��

31

� c) h (x) � �x 3

x�2 �

x �1

2�

4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones.

a) f (x) � ��xx

2

2

��

54

�� b) g (x) � �xx

2

2

��

35xx

��

26

� c) h (x) � log �xx

��

52

�

5. Dada la función:

f (x) � �a) Calcula los valores de a y b para que f (x) sea continua en toda la recta real.

b) Halla los siguientes límites: limx → ��

f (x); limx → ��

f (x); limx → 0

f (x)

�x1

2� � a si x � �1

3x 2 � 4 si �1 � x � 1�x 3 � b si x � 1

1

1O

Y

X

g

O

Y

X1

1

f


Límites y continuidad

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Propuesta B1. Dadas las siguientes funciones, calcula los límites que se piden a continuación y halla sus asíntotas.

limx → ��

f (x); limx → ��

f (x); limx → 0

f (x) limx → ��

g (x); limx → ��

g (x)

limx → �5�

f (x); limx → �5�

f (x) limx → 1�

g (x); limx → 1�

g (x)

limx → 1�

f (x); limx → 1�

f (x) limx → �2

g (x); limx → 2

g (x)

2. Calcula los límites laterales de las siguientes funciones racionales en los puntos en los que no están definidas.¿Existe el límite de la función en esos puntos?

a) f (x) � �x �

32

� b) g (x) � �xx2

��

29

� c) h (x) � �xx

2

2

��

3xx

�

3. Halla las asíntotas de las funciones que se indican a continuación.

a) f (x) � �x 2

x�

3

1� b) g (x) � �

x 2

x�

3

1� c) h (x) � � �

x 2

x�

2

1�

4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones.

a) f (x) � ��x 2

x�

2

�4�� b) g (x) � �

xx2 �

�22x

� c) h (x) � log �x 2 �

x9

�

5. Dada la siguiente función, calcula los valores de a y b para que sea continua en toda la recta real, y represéntalagráficamente.

f (x) � �

6. Relaciona cada apartado con su opción correspondiente.

La función f (x ) � �xx

2

2

��

31x

� :

a) Tiene como asíntota oblicua la recta:

i) y � x � 1 ii) y � x iii) y � 2x iv) No tiene asíntota oblicua.

b) Tiene como asíntota horizontal:

i) y � 3 ii) y � 1 iii) y � 0 iv) No tiene asíntota horizontal.

c) Tiene como asíntotas verticales las rectas:

i) x � �1, x � 1 ii) Solo x � �1 iii) Solo x � 1 iv) No tiene asíntotas verticales.

2 si x � �1a � x si �1 � x � 0b � x 2 si x � 0

O

Y

X

5

1

g

O

Y

X5

f

0,5

107625_ACTIVID_08 4/10/08 23:19 Página 33


Soluciones propuesta A1.

2. a) limx → 2

(x 2 � 5x � 3) � �3 e) No existe limx → �1

��

x3�x �

11

� , ya que limx → 1�

��

x3�x �

11

�� y limx → 1�

��

x3�x �

11

��

b) limx → ��

�32xx

2

��

65

� � �� f) limx → ��

(�x 2 � x�� x) � limx → ��

� limx → ��

� �12

�

c) limx → ��

�5x

x

2

3

��x6� 3

�� 0 g) limx → 6

�x 2

x�2 �

7x3�6

6�� lim

x → 6�((xx

��

16))((xx

��

66))

�� 152�

d) limx → �� 2xx��3

1��

x�6

� ��12

��

� 0 h) limx → 0

� limx → 0

� limx → 0

� ��18

�

3. a) limx → ��

f (x) � limx → ��

f (x) � 2 ⇒ Tiene una asíntota horizontal en y � 2.

limx → �3�

f (x) � �� ; limx → �3�

f (x) � �� ⇒ Tiene una asíntota vertical en x � �3.

limx → 3�

f (x) � �� ; limx → 3�

f (x) � �� ⇒ Tiene una asíntota vertical en x � 3.

b) limx → ��

g (x) � limx → ��

g (x) � 0 ⇒ Tiene una asíntota horizontal en y � 0.

c) � ⇒ Tiene una asíntota oblicua en y � x.

limx → �1�

h (x) � �� ; limx → �1�

h (x) � �� ⇒ Tiene una asíntota vertical en x � �1.

limx → 1�

h (x) � �� ; limx → 1�

h (x) � �� ⇒ Tiene una asíntota vertical en x � 1.

4. a) f (x) � ��(x �x 2

�2)�(x

5�� 2)

�� b) g (x) � �((xx

��

11))((xx

��

26))

� c) h (x) � log �xx

��

52

�

Para que f (x) sea continua, se necesita que el radicando sea positivo o cero.Por tanto, f (x) es continua en el intervalo (��, �2) � (2, ��).

5. a) Por separado, las tres funciones son continuas en su dominio de definición. Por tanto, solo tenemos que procurarque f (x) sea continua en x � �1 y en x � 1:

limx → �1�

f (x) � limx → �1� ��

x1

2� � a�� a � 1 ; limx → �1�

f (x) � limx → �1�

(3x 2 � 4) � 7 ⇒ a � 1 � 7 ⇒ a � 6

limx → 1�

f (x) � limx → 1�

(3x 2 � 4) � 7 ; limx → 1�

(�x 3 � b) � b � 1 ⇒ b � 1 � 7 ⇒ b � 8

b) limx → ��

f (x) � limx → ��

x1

2� � 6� � 6 limx → ��

f (x) � limx → ��

(�x 3 � 8) � �� limx → 0

f (x) � limx → 0

(3x 2 � 4) � 4

La función es continua cuando

�xx

��

52

� 0, es decir, cuando

x � (�� , �5) � (2, ��).

La función es continua enR � {�6, 1}.En x � �6, g (x) es dis-continua de salto infinito.En x � 1, presenta una discontinuidad evitable.

limx → ��

h (x) � ��; limx → ��

h (x) � ��

�x 3

x�2 �

x �1

2� � x � �

x 2 �2

1� ⇒ lim

x → �h (x) � lim

x → �x

�1��2(�4 � x�� 2)

(�4 � x�� 2)(�4 � x�� 2)��

2x(�4 � x�� 2)�4 � x�� 2��

2x

x��x 2 � x�� x

(�x 2 � x�� x)(�x 2 � x�� x)��

�x 2 � x�� x

Para f (x):

limx → ��

f (x) � limx → ��

f (x) � 1; limx → 0

f (x) � �1

limx → �2�

f (x) � ��; limx → �2�

f (x) � ��;

limx → 2�

f (x) � ��; limx → 2�

f (x) � ��

La recta y � 1 es una asíntota horizontal.Las rectas x � �2 y x � 2 son asíntotas verticales.No tiene asíntotas oblicuas.

Para g (x):

limx → ��

g (x) � ��; limx → ��

g (x) � ��; limx → �1

g (x) � 0

limx → �2�

g (x) � ��; limx → �2�

g (x) � ��

La recta x � �2 es una asíntota vertical.

Tiene una asíntota oblicua que pasa por los puntos(�2, 0) y (0, 2), y cuya ecuación es: y � x � 2

No tiene asíntotas horizontales.

�� 2 2 ��

x � 2 � � �

x � 2 � � �

x 2 � 5 � � �

�xx

2

2

��

54

� � � �

107625_ACTIVID_08 4/10/08 23:19 Página 34


Soluciones propuesta B1. Para f (x): Para g (x):

limx → ��

f (x) � limx → ��

f (x) � �1 ; limx → 0

f (x) � 0 limx → ��

g (x) � �� ; limx → ��

g (x) � ��

limx → �5�

f (x) � �� ; limx → �5�

f (x) � �� limx → 1�

g (x) � �� ; limx → 1�

g (x) � ��

limx → 1�

f (x) � �� ; limx → 1�

f (x) � �� limx → �2

g (x) � 0 ; limx → 2

f (x) � 0

La recta y � �1 es una asíntota horizontal. La recta x � 1 es una asíntota vertical.

Las rectas x � �5 y x � 1 son asíntotas verticales. Tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es y � �3x � 3.

No tiene asíntotas oblicuas. No tiene asíntotas horizontales.

2. a)

b)

c)

3. a)

limx → �1�

f (x) � �� ; limx → �1�


limx → 1�

f (x) � �� ; limx → 1�

f (x) � �� ⇒ Tiene una asíntota vertical en x � 1.

b) limx → ��

g (x) � limx → ��

g (x) � 0 ⇒ Tiene una asíntota horizontal en y � 0.

limx → 0�

g (x) � �� ; limx → 0�

g (x) � �� ⇒ Tiene una asíntota vertical en x � 0.

c) limx → ��

h (x) � limx → ��

h (x) � 1 ⇒ Tiene una asíntota horizontal en y � 1.

limx → �1�

h (x) � �� limx → �1�


limx → 1�

h (x) � �� ; limx → 1�

h (x) � �� ⇒ Tiene una asíntota vertical en x � 1.

4. a) f (x) � ��x 2

x�

2

�4�� b) g (x) � �

xx(x

2 ��

22)

� c) h (x) � �(x � 3)

x(x � 3)�

5. Por separado, las tres funciones son continuas en su dominio de definición.

Así pues, solo se debe procurar que f (x) sea continua en x � �1 y en x � 0:

limx → �1�

f (x) � limx → �1�

2 � 2 ; limx → �1�

f (x) � limx → �1�

(a � x) � a � 1 ⇒ a � 1 � 2 ⇒ a � 3

limx → 0�

f (x) � limx → 0�

(a � x) � a ; limx → 0�

f (x) � limx → 0�

(b � x 2) � b ⇒ a � b ⇒ b � 3

6. a) → iv), ya que es una función racional en la que el grado del numerador y el del denominador son iguales; además, lim

x → ��f (x) � lim

x → ��f (x) � 1.

b) → ii), porque limx → ��

f (x) � limx → ��

f (x) � 1.

c) → iv), ya que el denominador de la fracción algebraica no se anula nunca.

La función es continua cuando

�(x � 3)

x(x � 3)� 0;

esdecir, cuando x� (�3,0)� (3,��).

La función es continua enR � {0, 2}.

En x � 0, g (x) es discontinuade salto infinito.

En x � 2, presenta una discon-tinuidad evitable.

Para que f (x) sea continua, el ra-dicando debe ser mayor o igualque cero:

�x 2

x�

2

4� � 0 ⇔ ∀x � R

f (x) es continua∀x � R.

limx → 1�

h (x) � limx → 1�

�xx((xx

�

�

13))

� � ��

limx → 1�

h (x) � limx → 1�

�xx((xx

�

�

13))

� � ��

O

Y

X

1

1

f

limx → 2�

f (x) � limx → 2�

�x �

32

� � ��

limx → 2�

f (x) � limx → 2�

�x �

32

� � ��

limx → 3�

g (x) � limx → 3�

�(x �

x3�)(x

2� 3)

��

limx → 3�

g (x) �limx → 3�

�(x �

x3�)(x

2� 3)

��

limx → �3�

g (x) � limx → �3�

�(x �

x3�)(x

2� 3)

��

limx → �3�

g (x) � limx → �3�

�(x �

x3�)(x

2� 3)

��

�⇒ No existe limx → 1

h (x) ; limx → 0

h (x) �xx((xx

��

31))

� � 3

�⇒ Tiene una asíntota oblicua en y � x.lim

x → ��f (x) � �� ; lim

x → ��f (x) � ��

�x 2

x�

3

1� � x � �

x 2 �x

1� ⇒ lim

x → �f (x) � lim

x → �x

� ⇒ No existe limx → 2

f (x)

� ⇒ No existe limx → �3

g(x); �⇒ No existe limx → 3

g (x)

107625_ACTIVID_08 4/10/08 23:19 Página 35


Propuesta A1. Estudia el dominio, las simetrías, el signo, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de las siguientes funciones.

Esboza la gráfica de las mismas.

a) f (x ) � �x 2 �

14

�

b) g (x ) � �x 2 �

x3

�

2. Estudia si las siguientes funciones son pares o impares.

a) f (x ) � �xx

3

2

��

14

� c) h (x ) � x 3 � 2x

b) g (x ) � |x 5 � 4x | d) k (x ) � 2x 4 � x 2 � 3

3. Estudia y dibuja, de manera aproximada, la gráfica de la función polinómica f (x ) � x 3 � 2x 2 � 15x.

4. a) La gráfica de la izquierda corresponde a una función polinómica de grado 3. Encuentra su expresión algebraica

b) ¿Cuál es la expresión algebraica de la función cuya gráfica es la representada en la figura de la derecha?

5. A partir de la función de proporcionalidad inversa f (x ) � �1x

�, dibuja las gráficas de las siguientes funciones.

a) g (x ) � �x �

14

�

b) h (x ) � 3 � �x �

12

�

c) k (x ) � �2xx �

�511

�

6. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

a) 36x � 42 � 6x � 216 � 0

b) 9x � 1 � 2 � 3x � 3 � 81 � 0

c) log (3x � 1) � log (2x � 3) � 1 � log (5)

7. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas.

a) 2sen2 x � 3cos x � 3

b) 2sen2 x � sen x � 0


Funciones elementales

O

Y

X2

1

f(x)

O

Y

X1

1

g(x)

107625_ACTIVID_09 4/10/08 23:21 Página 36


Propuesta B1. Estudia el dominio, las simetrías, el signo, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de las siguientes funciones.

Esboza la gráfica de las mismas.

a) f (x ) � �x �

11

�

b) g (x ) � �x 4

�

�

4x1

�

2. Estudia si las siguientes funciones son pares o impares.

a) f (x ) � �x 2 �

x4

� c) h (x ) � Ln|x |

b) g (x ) � senx d) k (x ) � x 4 � x

3. Estudia y dibuja la gráfica de la función f (x ) � |x 3 � 2x 2 � x � 2|.

4. La gráfica adjunta corresponde a una función polinómica de grado 4.

Utilizando la información recogida en dicha gráfica, encuentra su expresión algebraica.

5. A partir de la gráfica de la función f (x ) � x 2, dibuja las gráficas de las siguientes funciones.

a) g (x ) � (x � 3)2 � 5

b) h (x ) � 2 � (x � 5)2

c) k (x ) � x 2 � 2x � 4

6. a) Sabiendo que sen � � �153� y que 0 � � � �

�2

�, calcula:

cos� sen(� � �) cos��2

� � �� tg(��)

b) Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

2sen2 x � 2cos2 x � 1 � 0

7. Una empresa ha estimado que los ingresos y los gastos mensuales (en euros) que genera la fabricación y venta dex unidades de un determinado producto, vienen dados por las siguientes funciones:

Ingresos: I (x ) � 7x 2 � 9000x

Gastos: g (x ) � 11x 2 � 3000x � 175000

Determina razonadamente:

a) La función que define el beneficio anual.

b) El número de unidades que hay que fabricar y vender para que el beneficio sea máximo.

c) La cuantía de dicho beneficio máximo.

O

Y

X3

1

f(x)

107625_ACTIVID_09 4/10/08 23:21 Página 37



1. a) D (f ) � R � {�2, 2}

f (�x) � �(�x )

12 � 4� � f (x ) ⇒ Función par

La función es positiva en (�, �2) U (2, �) y negativa en el resto.

�x 2 �

14

� 0 ∀ x � D(f ) ⇒ No corta al eje OX

f (0) � ��41� ⇒ Corta al eje OY en �0, �

�41��

b) D (g ) � R, ya que x 2 � 3 0 ∀ x

g (�x ) � �g(x ) ⇒ Función impar

g (0) � 0 ⇒ Corta a los ejes en (0, 0)

g (x ) � 0 ∀ x � 0, g (x ) � 0 ∀ x � 0lim

x → �g (x ) � 0 ⇒ El eje OX es una asíntota horizontal.

2. a) f (�x ) � ��

xx2

3

�

�

41

� �f (x ) ⇒ No es ni par ni impar

b) g (�x ) � | �x 5 � 4x | � | �(x 5 � 4x) | � | x 5 � 4x | � g (x ) ⇒ g par

c) h (�x ) � �x 3 � 2x � �f (x ) ⇒ función impar

d) k (�x ) � 2(�x )4 � (�x )2 � 3 � 2x 4 � 3 � 2x 4 � x 2 � 3 � k (x ) ⇒ k par

3. f (x ) � x 3 � 2x 2 � 15x � x (x � 5) (x � 3) ⇒ Ptos. de corte con eje OX: x � 0, x � �5 y x � 3lim

x → �f (x ) � �; lim

x → �f (x ) � � ⇒ No tiene asíntotas.

Para dibujarla con mayor precisión podemos determinar algún otro punto que pertenezcaa la gráfica: f(�1) � 16; f (1) � �12.

4. a) Por ser una función polinómica de grado 3 con tres raíces reales, {�3, �1 y 2}, su expresión algebraica será de laforma f (x ) � a(x � 3)(x � 1)(x � 2).

Como pasa por el punto (0, 12) ⇒ 12 � a � 3 � 1 � (�2)� �6 a ⇒ a � �2

Los puntos (�2, �8) y (1, 16) sirven para corroborar que la expresión algebraica de dicha función es:

f (x ) � �2(x � 3) (x � 1) (x � 2) � �2x 3 � 4x 2 � 10x � 12

b) g (x ) � |x (x � 2)| � |x 2 � 2x |

5. a) g (x ) � f (x � 4) ⇒ Es una traslación del vector (�4, 0).

b) h (x ) � 3 � f (x � 2) ⇒ Es una simetría respecto del eje OX y una traslación

del vector (2, 3).

c) k (x )��2xx

��

151

��2��x�

15

�� f (x�5)�2 ⇒ Es una traslación del vector (�5, 2)

La gráfica de las tres funciones está representada a la derecha.

6. a) 36x � 42 � 6x � 216 � 0 ⇒ 62x � 42 � 6x � 216 � 0 ⇒ 6x � �42 �

2�900�� → �

b) 9x � 1 � 2 � 3x � 3 � 81 � 0 ⇒ 9 � 32x � 54 � 3x � 81 � 0 ⇒ 3x � �54

1�8

0� � 3 ⇒ x � 1

c) log (3x � 1) � log (2x � 3) � 1 � log (5) ⇒ log �32xx

��

13

� � log �150� ⇒ 3x � 1 � 4x � 6 ⇒ �x � �7 ⇒ x � 7

7. a) 2sen2 x � 3cos x � 3 ⇒ �2cos2 x � 3cos x � 1 � 0 ⇒ �b) 2sen2 x � sen x � 0 ⇒ sen x (2sen x � 1) � 0 ⇒ �sen x � 0 → x � 0 � 2 k �; x � � � 2 k �

sen x � �12

� → x � ��6

� � 2 k �; x � �56�� 2 k �

cos x � 1 → x � 0 � 2 k � � 2 k �

cos x � �12

� → x � ��3�� 2 k �

6x � 36 ⇒ x � 26x � 6 ⇒ x � 1

__ _

_

+ ++++

x + 2

x _ 2 1___________(x + 2)(x _ 2)

2_ 2 + _

O X0,25

1

Y f(x)

O X0,1

1

Yg(x)

O X10

1

Yf(x)

O

Y

X1

1

f(x)

g(x)

h(x)

k(x)

limx → �

f (x ) � 0

limx → �2�

f (x ) � �; limx → �2�

f (x ) � �

limx → 2�

f (x ) � �; limx → �2�

f (x ) � ��⇒ Tiene una asíntota horizontal en y � 0 y dos verticales en x � �2 y en x � 2.

107625_ACTIVID_09 4/10/08 23:21 Página 38


Soluciones propuesta B1. a) D(f ) � R � {1}

f (�x ) � ��x

1� 1� �f (x ) ⇒ No es ni par ni impar.

�x �

11

� 0 ∀ x � D(f ), f(0) � �1 ⇒ No corta al eje OX. Corta al eje OY en (0, �1).

limx → �

f(x) � 0; limx → 1�

f(x) � �; limx → 1�

f(x) � � ⇒ Tiene una asíntota horizontal en y � 0 y una vertical en x � 1.

La función es negativa en (�, 1) y positiva en (1, �).

b) D (g ) � R, ya que x 4 � 1 0g (�x ) � �g (x ) ⇒ Función impar.g (0) � 0 ⇒ Corta a ambos ejes en el punto (0, 0).g (x ) � 0 ∀ x � 0, g (x ) � 0 ∀ x � 0lim

x → �g (x ) � 0 ⇒ El eje OX es una asíntota horizontal.

2. a) f (�x ) � �(�x

�

)2

x� 4� � �

x 2

�

�

x4

� � �f (x ) ⇒ Función impar

b) g (�x ) � sen(�x ) � �sen(x ) � �g (x ) ⇒ Función imparc) h (�x ) � Ln|�x | � Ln|x | � h (x ) ⇒ Función pard) k (�x ) � (�x )4 � x � x 4 � x �h(x ) ⇒ No es par ni impar.

3. Se considera la función g (x ) � x 3 � 2x 2 � x � 2 �

� (x � 2) (x �1) (x � 1), cuyas raíces son {�2, �1, 1}.Para obtener su gráfica, se puede determinar algún otro puntode la curva. Ejemplo: (�3, �8), (0, �2), (2, 12).Para dibujar la gráfica de la función pedida, se observa que f (x ) � |g (x ) |, por tanto su gráfica será la representada en lafigura de la derecha.

4. Es un polinomio de grado 4 que tienen cuatro raíces reales {�3, �1, 0, 3}, por tanto su ecuación algebraica será:f (x ) � a (x � 3) (x � 1) x (x � 3)

El punto (2, �30) pertenece a la gráfica de la función ⇒ f (2)�a� (2�3)� (2�1) � 2 � (2�3)��30 ⇒ a� 1Luego la expresión algebraica de la función es: f (x ) � (x � 3) (x � 1) x (x � 3) � x 4 � x 3 � 9x 2 � 9x

5. a) g (x ) � f (x � 3)2 � 5 ⇒ Es una traslación de vector (3, 5).b) h (x ) � 2 � f (x � 5) ⇒ Es una simetría respecto del eje OX,

seguida de una traslación de vector (�5, 2).c) k (x ) � f (x � 1) � 3 ⇒ Es una traslación de vector (�1, 3)La gráfica de las tres funciones está representada a la derecha.

6. a) cos � � �1 � s�en2 �� 1 � �1�2659

�� 1123� cos ��

�

2� � �� sen � � �

153�

sen (� � �) � �sen � � ��153� tg (��) � �

sceons (

(�

�

�

�

))

� � ��csoesn��

� � ��153�

b) 2sen2 x � 2cos2 x � 1 � 0 ⇒ 2sen2 x � 2 (1 � sen2 x) � 1 � 0 ⇒ 4sen2 x � 1 ⇒

⇒ sen2 x � �14

� ⇒ �7. a) B (x ) � I (x ) � G (x ) � 7x 2 � 9000x � (11x 2 � 3000x � 175 000) � �4x 2 � 6000x � 175 000

b) Al ser la función beneficio, B(x)� �4x2 � 6000x �175 000, una parábola abierta hacia abajo (ya que el coeficientede x 2 es negativo), el máximo lo alcanzará en su vértice V � (x 0, y 0). Por tanto, el número de unidades necesariaspara que el beneficio sea máximo vendrá dado por la abscisa del vértice:

x 0 � ��2 a

b� � �

�6�0800

� � 750 unidades

c) La cuantía del beneficio viene dada por la ordenada del vértice de la función B (x ):y 0 � B (x 0) � B (750) � 2 075 000 €

sen x � �12

� ⇒ x � ��6

� � 2 k �; x � �56�� 2 k �

sen x � ��12

� ⇒ x � �76�� 2 k �; x � ��

�6

� � 2 k �

O X1

1

Yf(x)

O

Y

X

1

1

g(x)

O X2

1

Y

g(x)

O X2

1

Y

f(x)

O X1

1

Y

f(x)

g(x)

h(x)

k(x)

107625_ACTIVID_09 4/10/08 23:21 Página 39


Propuesta A1. Halla la tasa de variación media de la función f (x ) � �

x 2 �3

1� en los siguientes intervalos.

[2, 5] [2, 3] [2, 2 � h]

Utiliza el último resultado para calcular la derivada de la función en el punto x � 2.

2. Calcula, utilizando la definición, la derivada de la función f (x ) � x 2 � 2x � 3 en los puntos de abcisas x � 0 y x � 5.

3. Dada la función f (x ) � 2x 2 � 3x � 1, halla los puntos de su gráfica en los que la tangente tiene estas características.

a) Es paralela a la recta de ecuación x � y � 5 � 0.

b) Es horizontal.

4. Calcula la función derivada de las siguientes funciones.

a) f (x ) � x 5 � �32x 2

� � 2x � �x2

2� d) f (x ) � �(2x �

11)2�

b) f (x ) � (2x 3 � 3x 2 � 2)5 e) f (x ) � ln(sen x)

c) f (x ) � �52xx

2

�

�

3x

� f) f (x ) � (sen x � cos x)5

5. Halla los intervalos de crecimiento y los extremos relativos de la siguiente función.

f (x ) � �x 2 �

x �2x

1� 2

�

6. Representa la gráfica de las siguientes funciones polinómicas.

a) f (x ) � x 3 � 3x � 2

b) g (x ) � 3x 5 � 5x 3

7. Una planta envasadora tiene instaladas 24 máquinas que envasan 600 unidades a la hora cada una. Para aumentarla producción se decide instalar alguna máquina más, pero se observa que por cada nueva máquina que se instalala producción de cada una disminuye en 15 unidades a la hora.

Calcula cuántas nuevas máquinas deben instalarse para que la producción de la fábrica sea máxima y a cuánto asciende dicha producción.


Derivadas

107625_ACTIVID_10 4/10/08 23:22 Página 40


Propuesta B1. La tabla muestra la evolución del valor de una acción a lo largo de las 8 horas de una jornada bursátil.

Calcula la tasa de variación media del valor de dicha acción en los siguientes intervalos.

[9, 17] [9, 12] [10, 15] [13, 15]

2. Dada la función f (x ) � 2x 2 � 4x, utiliza la definición de derivada para calcular su derivada en el punto x � �1.Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

3. Calcula la función derivada de la siguientes funciones.

a) f (x ) � 3x 3 � �23

� x 2 � x � 3�3

x� d) f (x ) � 3sen 4x

b) f (x ) � �3

(4x �� 2)2� e) f (x ) � ln ��xs2

e�

n2 x1

��c) f (x ) � �

(5x2�

x 3

2)2� f) f (x ) � ex sen x � ex cos x

4. Calcula la derivada de la función f (x ) � �x� y contesta razonadamente a las siguientes cuestiones.

a) ¿Presenta la función f(x) algún máximo o mínimo relativo? ¿Tiene algún punto en el que la tangente sea horizontal?

b) Indica los intervalos en que es creciente.

c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica en los puntos x � 1 y x � 4.

5. Halla la expresión algebraica de una función polinómica de grado 3 que tiene estas características.

� Pasa por el origen de coordenadas.

� Tiene un máximo relativo en x � 1 y un mínimo relativo en x � 2.

� La tangente en x � 3 es paralela a la recta r: y � 12x.

6. Representa las siguientes funciones polinómicas:

a) f (x ) � (x � 2)(x � 3)(x 2 � 4)

b) g (x ) � x 3 � x 2 � 4x � 4

7. La rentabilidad anual de cierto producto financiero, en función de la cantidad invertida en miles de euros, x, viene dadapor la función B(x ) � 0,02x 2 � 0,8x � 2.

a) Calcula la cantidad que hay que invertir para que la rentabilidad sea máxima.

b) Determina dicha rentabilidad máxima.

Hora 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Valor (€) 32 35 40 43 41 37 35 38 37

107625_ACTIVID_10 4/10/08 23:22 Página 41



1. TVM [2, 5] � �f (5

5) �

�

f2(2)

� � �8 �

31

� � �73

�

TVM [2, 3] � �f (3

3) �

�

f2(2)

� � � �53

�

TVM [2, 2 � h] � �f (2

2�

�

hh) �

�

f2(2)

� � � � �h2

3�h4h

� � �h �

34

� ⇒

⇒ f�(2) � limh → 0 ��h �

34

�� 43

�

2. f�(0) � limh → 0

�f (0 � h

h) � f (0)�� lim

h → 0� lim

h → 0�h2 �

h2h

� � limh → 0

(h � 2) � �2

f�(5) � limh → 0�f (5 � h

h) � f (5)� � lim

h → 0� lim

h → 0� lim

h → 0�h2 �

h8h

� � 8

3. a) La recta x � y � 5 � 0 tiene pendiente 1. La tangente será paralela a dicha recta en los puntos en que tenga la misma pendiente, es decir, en los puntos en que la derivada valga 1.f�(x) � 4x � 3 � 1 ⇒ 4x � 4 ⇒ x � 1 ⇒ f(1) � 12 � 2 · 1 � 3 � 0 ⇒ La tangente es paralela a la recta dadaen el punto (1, 0).

b) En los puntos en los que la tangente es horizontal (pendiente 0), la derivada debe valer 0, por tanto:

f�(x) � 4x � 3; f�(x) � 0 ⇒ 4x � 3 ⇒ x � �34

� ⇒ f��34

�� 81� ⇒ La tangente es horizontal en el punto ��

34

�, ��81��.

4. a) f �(x )�5x 4�3x�2�2(�2)� (x )�3�5x 4�3x�2� �x4

3� d) f�(x )��2 (2x�1)�3�2 � �(2x

�

�

41)3�

b) f �(x )�5(2x 3�3x 2�2)4� (6x 2�6x ) e) f�(x )��sceons x

x�

c) f �(x )� ��10

(5xx

2�2�

3x0)x2

�3� f) f�(x )�5(sen x � cos x)4 (cos x�sen x)

5. f (x )��x 2�

x�2x

1�2

� ⇒ f�(x )� � �x(x(x�

�

12)2

)�⇒ f�(x )�0⇒�

x(x(x�

�

12)2

)��0⇒�

Se estudia el signo de la derivada. Como (x � 1)2 es positivo para cualquier valor de x, el signo de la derivada es elmismo que el del numerador: x (x � 2).Con ayuda de la tabla se concluye que f(x) es creciente en (��, 0) � (2, ��)y decreciente en (0, 1) � (1, 2).

En (0, �2) hay un máximo relativo y en (2, 2) un mínimo relativo.

6. a) b)

7. Hay que buscar el máximo de la función que da el número de unidades envasadas por hora, en función del númerox de máquinas nuevas instaladas.

f (x ) � (24 � x) (600 � 15x) � �15x 2 � 240x � 14400; f�(x ) � �30x � 240 � 0 ⇒ x � 8

La función tiene un extremo relativo en x � 8. Se comprueba que es un máximo, ya que en el punto (0, 8), f �(x ) � 0 y en (8, ��), f�(x ) 0.

La producción máxima se obtiene con 24 � 8 � 32 máquinas.

f(8) � (24 � 8) (600 � 120) � 32 � 480 � 15 360 envases por hora.

x � 0x � 2

(2x�2)(x�1)� (x 2�2x�2)��

(x�1)2

2(5x 2�x)� (2x�3)(10x�1)��

(5x 2�x)2

h2 � 10h � 25 � 10 � 2h � 15��

h(5 � h)2 � 2 (5 � h) � 3 �12��

h

(0 � h)2 � 2 (0 � h) � 3 � (�3)��

h

�(2 � h

3)2 � 1�� 1

��h

�83

� � 1�

1

O

Y

X

1

1

f(x)

O

Y

X

1

1

g(x)

__ _

_

+ ++++

20x

x _ 2

+ �_ �

f(x)

f(x)

h

4 � h2 � 4h � 1 � 3��

3

107625_ACTIVID_10 4/10/08 23:22 Página 42



1. TVM [9, 17] � � 9 � �37 �

832

� � �58

� €/h

TVM [9, 12] � �V(1

122) �

�

V9

(9)� � �

43 �3

32� � �

131� €/h

TVM [10, 15] � �V(1

155) �

�

V10

(10)� � �

35 �

535

� � 0 €/h

TVM [13, 15] � �V(1

155) �

�

V13

(13)� � �

35 �

241

� � �3 €/h

2. f�(�1)� limh → 0�f(�1�h

h)� f(�1)�� lim

h → 0� lim

h → 0� lim

h → 02h � 0

La tangente pasa por el punto (1, 6) y su pendiente es f�(�1) � 0. Por tanto, se trata de la recta horizontal y � 6.

3. a) f �(x )�3x 2� �43

� x�1�3� �13

� x��23

��3x 2� �

43

� x�1��2

1

x 3��

b) f�(x )� �23

� (4x�2)��31�

� 4 � �3 �

34

8

x ��2��

c) f�(x ) � � � �10

(5

x

x

3�

�

1

2

2

)3

x 2

�

d) f�(x ) � 3 � 4 � cos4x � 12cos4x

e) f �(x ) � �x 2

2�

x1

� � �2sceonsxx

�

f) f �(x ) � ex sen x � ex cos x � ex cos x� ex sen x � 2 � ex � cos x

4. a) La derivada de la función es f �(x ) � �2�

1

x��, que es distinta de cero para cualquier valor de x. Por tanto, no tiene

ni máximos ni mínimos relativos, ni puntos con tangenge horizontal.

b) f�(x ) � �2�

1

x�� 0, ∀x � D(f). Por tanto, la función es creciente en todo su dominio.

c) La recta tangente en x � 1 pasa por (1, 1) y tiene pendiente f�(1) � �12

�. Por tanto: y � 1 � �12

� (x � 1)

La recta tangente en x � 4 pasa por (4, 2) y tiene pendiente f�(4) � �14

�. Por tanto: y � 2 � �14

� (x � 4)

5. � ⇒ � ⇒ f (x ) � 2x 3 � 9x 2 � 12x

6. a) b)

7. a) Se busca el máximo de la función beneficio B(x) � 0,02x 2 � 0,8x � 2:

B�(x) � �0,04x � 0,8 � 0 ⇒ x � 20 ⇒ B�(x) � 0 si x 20; B�(x) 0, si x � 20

Por tanto, la cantidad que hay que invertir para obtener la rentabilidad máxima es de 20 000 euros

c) Si x � 20, B(20) � 6. Los máximos beneficios son de 6000 euros.

d � 0a � 2b � �9c � 12

f (0) � 0 ⇒ d � 0f�(1) � 0 ⇒ 3a � 2b � c � 0f�(2) � 0 ⇒ 12a � 4b � c � 0f�(3) � 12 ⇒ 27a � 6b � c � 12

f (x ) � ax 3 � bx 2 � cx � d

f�(x ) � 3ax 2 � 2bx � c

30x 3�12x 2�20x 3

��(5x�2)3

6x 2� (5x�2)2�2x 3�2(5x�2)5��

(5x�2)4

2h2�4h�2�4�4h�2��

h2(�1�h)2�4(�1�h)� (�2)��

h

V(17) � V(9)��

17

O

Y

X3

1

f(x)

O

Y

X1

1

g(x)

107625_ACTIVID_10 4/10/08 23:22 Página 43


Propuesta A1. En un instituto se ha medido la estatura de un grupo representativo de alumnos. La tabla presenta los datos

obtenidos, agrupados en clases.

a) Representa gráficamente los datos.b) Determina las marcas de clase y calcula la estatura media del grupo.c) ¿Qué porcentaje de alumnos no supera los 160 cm de estatura?

2. Una empresa tiene 985 empleados. La distribución del salario anual de los empleados, en miles de euros, viene resumida en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas.

a) Dibuja una gráfica de frecuencias acumuladas para esta distribución.b) Obtén una estimación del intervalo mediano de los salarios.c) Halla el número de empleados cuyo salario S cumple 20 � S � 25.d) Estima el salario medio, aproximando con tres cifras significativas.

3. La tabla muestra la frecuencia con que se obtiene unadeterminada puntuación en un juego.

Sabiendo que la media es 15, halla k y calcula la desviación típica de las puntuaciones.

4. El gráfico muestra la distribución correspondiente a la altura, en cm, de 100 niñosmenores de un año.

a) Elabora la tabla de la distribución.b) ¿Cuántos niños miden menos de 72 cm?c) Determina la media, la moda y la mediana.d) Determina los cuartiles. ¿A partir de qué valor se encuentran las estaturas del

25% de los niños más altos?

5. A un grupo de 30 personas se les ha tomado el número de pulsaciones por minuto obteniéndose los siguientes resultados.

87 85 61 51 64 75 80 70 69 82 80 79 82 74 90 76 72 73 63 65 67 71 88 76 68 73 70 76 71 86

a) Calcula la media y la desviación típica de esta serie de datos.b) ¿Qué porcentaje de datos se encuentra en el intervalo (x � s , x � s)?c) Representa gráficamente esta distribución agrupando los datos en 7 intervalos con extremo inferior del primer

intervalo 50.d) Halla la media y la desviación típica con los datos agrupados en intervalos y compáralos con los valores obtenidos

en el apartado a.

6. Se lanza una moneda y se anota el número de lanzamientos necesarios hasta que sale cara por primera vez. Realizado el experimento 500 veces se han obtenido los siguientes resultados.

a) Calcula la media, la mediana y la moda de esta distribución de datos.b) Calcula la desviación típica.c) Calcula los cuartiles y el percentil 80.


Análisis estadístico de una variable

Estatura (cm) [144, 152) [152, 160) [160, 168) [168, 176) [176, 184]

Frecuencia fi 5 12 24 6 3

Salario menor o igual a 10 15 20 25 30 35 40 45

N.º de empleados 0 45 207 541 829 923 965 985

Puntuación 12 13 14 15 16 17

Frecuencia 2 4 7 13 k 5

6960 66 72

10

630

20

40

30

F. a

bsol

uta

75Estatura (cm)

Sale cara por 1.ª vez en el lanzamiento 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 247 120 83 21 19 10

107625_ACTIVID_11 4/10/08 23:23 Página 44


Propuesta B1. Se ha estudiado la procedencia de los 200 alumnos matriculados en un centro y se han obtenidos los siguientes

resultados:

Representa dichos datos mediante un diagrama de barras y uno de sectores.

2. En un instituto se han medido los pesos de un grupo de alumnos. La tabla muestra los datos agrupados en clases.

a) Representa dichos datos mediante un diagrama de barras y un polígono de frecuencias.

b) Determina las marcas de clase y calcula la media y la desviación típica del peso de los escolares.

c) ¿Qué porcentaje de escolares supera los 62 kg de peso?

3. Las notas de Matemáticas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas en la siguiente tabla:

a) Halla la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga un 7.

b) Halla la nota media del grupo.

c) Halla su desviación típica.

4. En la fabricación de cierto tipo de bombillas, se han detectado algunas defectuosas. Se han estudiado 200 cajas de100 bombillas cada una, obteniéndose la siguiente tabla:

Calcula la media, la mediana, la moda, la desviación típica, los cuartiles primero y tercero y los percentiles 20 y 65.

5. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de un colegio y obtiene los resultados resumidos en esta tabla.

a) Completa la tabla obteniendo x, y y z.

b) Calcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles.

c) Calcula la varianza y la desviación típica.

d) Calcula los percentiles 60 y 90.

6. En una maternidad se han medido los pesos, en kg, de 50 recién nacidos:

2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,9 3,5 3,0 3,1 2,2 2,4 3,4 2,0 2,6 3,1

2,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,7 1,9 2,6 3,5 2,3 2,1 3,4 2,8 3,1 3,9 3,4 2,5 1,9 3,0 2,9

2,3 3,5 2,9 3,0 2,7 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3

a) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0,4 kg.

b) Representa gráficamente esta distribución.

c) Calcula la media y la desviación típica.

Peso (kg) [44, 50) [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 74]

Frecuencia 2 14 20 8 6

Nota 9 8 7 6 4 2

N.º de alumnos 1 5 11 15 4 4

N.º de bombillas defectuosas 1 2 3 4 5 6 7 8

N.º de cajas 5 15 38 42 49 32 17 2

Procedencia Iberoamérica UE Resto Europa Magreb Resto África Asia

N.º de alumnos 72 20 28 40 12 28

N.º de caries 0 1 2 3 4

Frecuencia absoluta 25 20 y 15 x

Frecuencia relativa 0,25 0,2 z 0,15 0,05

107625_ACTIVID_11 4/10/08 23:23 Página 45


Soluciones propuesta A1. a) b) Marcas de clase: 148, 156, 164, 172, 180

x� � 162,4 cm

c) �1570� � 100 � 34%

2. a) b) En la gráfica se observa que el intervalo mediano es [20, 25).

c)

Hay 334 asalariados que cobran entre 20 y 25 mil euros anuales.

d) x� � � 24,68 €

3. x� � � 15 ⇒ �454

31�

�16

kk

� � 15 ⇒ k � 11

La desviación típica es: s � 1,31

4. a)

b) Hay 92 niños más bajos que el que mide 72 cm.

c) x� � 67,95 cm Intervalo modal: [66, 69) Intervalo mediano: [66, 69).

d) Los cuartiles son Q1 � 67,5; Q2 � 67,5 y Q3 � 70,5.

El 25% de los alumnos más altos miden más de 70,5 cm.

5. Se escribe ordenada la serie de datos: 51, 61, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 71, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 76,79, 80, 80, 82, 82, 85, 86, 87, 88, 90.

a) x� � �223204

� � 74,13v s � ��167

3016�2� � 5�495,75� � 8,736

b) (x� � s, x� � s) � (65,397; 82,869) En ese intervalo hay 20 datos ⇒ 66,6% del total.

c) Como el rango de la serie de datos es 90 � 51 � 39, y debemos tomar 7 intervalos, tomaremos estos de ampli-tud 6 ya que 42 es el primer múltiplo de 6 mayor que el rango.

d) x� � 74,8 pulsaciones s � 8,96

6. a) x� � 1,95; M � 2; Mo � 1 b) s � 1,219 c) Q1 � 1; Q3 � 3; P80 � 3

12 � 2 � 13 � 4 � 14 � 7 � 15 � 13 � 16 � k � 17 � 5��

31 � k

12,5 �45�17,5 �162�22,5 �334�27,5 �288�32,5 �94� 37,5 �42�42,5 �20��

985

3015 25 35200

1000

500

F. a

cum

ulad

as

40Salario

45

168144 160 176

6

1520

12

24

18

F. a

bsol

uta

184Estatura (cm)

Salario (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30] (30, 35] (35, 40] (40, 45]Marca clase 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5

Frecuencia 45 162 334 288 94 42 20

Salario [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 74) [74, 80) [80, 86) [86, 92)Marca clase 53 59 65 71 77 83 89

Frecuencia 1 1 4 9 6 5 4

Estatura [60, 63) [63, 66) [66, 69) [69, 72) [72, 75)Marca clase 61,5 64,5 67,5 70,5 73,5

Frecuencia 5 18 42 27 8

Puntos 12 13 14 15 16 17

Frecuencia 2 4 7 13 11 5

107625_ACTIVID_11 4/10/08 23:23 Página 46


Soluciones propuesta B1. a)

2. a) b)

x� � 59,24 s � 6,23

c) �1540� � 100 � 28%

3. a) P (7) � �1410� b) x� � 6 c) s � 1,732

4.

x� � 4,445 M � 4,5 Mo � 5 s � 1,525

Q1 � 3 Q3 � 6 P20 � 3 P65 � 5

5. a) �10

x0

� � 0,05 ⇒ x � 5 25 � 20 � y � 15 � x � 100 ⇒ y � 35 z � �10

y0

� � 0,35

b) x� � 1,55 Mo � 2 M � 2 Q1 � 0,5 Q3 � 2

c) s � 1,161 s 2 � 1,348

d) P60 � 2 P80 � 25

6. a) El valor mínimo es 1,8 y el máximo 3,9; por tanto, la amplitud es 2,1. b)

Se pueden tomar los siguientes intervalos:

c) x� � 2,888 s � 0,4872,81,6 2,4 3,22

0

20

10

Frec

uenc

ia

3,6Peso (kg)

4

6244 56 68500

20

10

Frec

uenc

ia

74Peso (kg)

36%10%

14%

20% 6%

14%

Ib

UE

RE

Ma

RA

AsiaMa.Ib. R.E AsiaUE

0

60

10F. a

cum

ulad

as

Procedencia

20

30

40

50

70

R.A

Peso (kg) [44, 50) [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 74)Marcas de clase 47 53 59 65 71

Frecuencia fi 2 14 20 8 6

Defectuosas 1 2 3 4 5 6 7 8

N.º de cajas 5 15 38 42 49 32 17 2

Peso (kg) [1,6; 2,0) [2,0; 2,4) [2,4; 2,8) [2,8; 3,2) [3,2; 3,6) [3,6; 4,0)1,8 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8

Frecuencia 3 5 10 20 9 3

107625_ACTIVID_11 4/10/08 23:23 Página 47


Propuesta A1. Dada la siguiente distribución bidimensional, realiza estos ejercicios.

a) Dibuja el diagrama de dispersión.b) Calcula el coeficiente de correlación lineal y explica de qué tipo es la relación entre las variables.c) Obtén las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

2. Para estudiar la relación entre los gastos en publicidad de seis empresas de productos lácteos y las ventas realizadasdurante un determinado periodo de tiempo disponemos de los siguientes datos:

a) Halla las medias y las desviaciones típicas de las variables X e Y.b) Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación lineal de esas dos variables.c) Determina la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.d) Estima el valor en ventas que se debería esperar para un gasto de 8 millones en publicidad. ¿Es fiable esta

estimación?

3. En la tabla se recoge el tiempo que una persona ha empleado en completar el mismo circuito a lo largo de las 5 semanas que ha durado su entrenamiento deportivo.

a) Estudia el tipo de correlación que presentan ambas variables.b) ¿Cuánto tiempo invertirá esta persona en completar el circuito si sigue entrenando dos semanas más?c) ¿Es razonable intentar predecir el tiempo que empleará al cabo de seis meses?

4. De una variable bidimensional conocemos la recta de regresión de Y sobre X: 4y � x � 6 � 0; y la recta de regresión de X sobre Y: y � 2x � 5 � 0.

a) Obtén la media de la variable X y la media de la variable Y.b) Halla el valor del coeficiente de correlación.

5. Las calificaciones de 20 alumnos de 1.º de bachillerato en las asignaturas de Matemáticas (X) y Economía (Y) hansido las siguientes:

(2, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 4) (4, 5) (4, 5) (4, 6) (5, 4) (5, 5) (5, 5)(5, 6) (6, 5) (6, 6) (6, 6) (6, 7) (6, 7) (7, 6) (7, 7) (8, 9) (10, 10)

a) Construye una tabla de doble entrada en la que figuren los datos anteriores y las frecuencias de cada una de lasdos variables estadísticas.

b) Dibuja la nube de puntos correspondiente a esta variable bidimensional y analiza el tipo de relación que existe entre las dos variables.

c) Halla las rectas de regresión.d) Si un estudiante tiene una puntuación de 6 en Matemáticas, ¿cuál será la nota esperada en Economía? ¿Qué

calificación se espera que obtenga en Matemáticas un alumno con un 7 en Economía?

6. Consideremos el siguiente conjunto de datos:

a) ¿Podrías predecir el valor de la variable Y para X � 9?b) Realiza la estimación mediante la recta de regresión y mediante la recta de Tukey.

X 1 3 5 6 8 10 11 12 15 17 18 21

Y 7 11 13 1 15 17 16 18 2 18 16 21

Nº de semanas 1 2 3 4 5

Tiempo (minutos) 70 68,5 67 66 65

Gastos en publicidad (miles de €): X 1 2 3 4 5 6

Ventas (miles de €): Y 12 14 14 15 18 16

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y 3 4 4 6 4 7 5 9 8


Distribuciones bidimensionales

107625_ACTIVID_12 4/10/08 23:24 Página 48


Propuesta B1. Dibuja el diagrama de dispersión de cada una de las siguientes distribuciones bidimensionales. En cada caso,

analiza el tipo de relación que existe entre las dos variables y calcula el coeficiente de correlación.

a)

b)

2. Se ha observado una variable estadística bidimensional (X ,Y) y se han obtenido los siguientes datos:

(5, 1) (6, 1) (7, 1) (9, 3) (5, 1) (5, 1) (6, 2) (7, 1) (9, 3) (5, 1) (7, 1) (6, 2)

(7, 2) (8, 2) (6, 2) (9, 3) (8, 2) (5, 1) (9, 3) (6, 2) (7, 2) (9, 3) (7, 3) (5, 1).

a) Organiza la información obtenida en una tabla de doble entrada.b) Calcula el coeficiente de correlación e interprétalo. c) Obtén la recta de regresión de Y sobre X.d) ¿Qué valor de Y esperaríamos encontrar para X � 10? ¿Es fiable esta estimación?

3. La tabla recoge los resultados de una encuesta realizada entre 50escolares de 2.� de ESO, para analizar si el número de horas que estudian semanalmente tiene mucha o poca relación con el número de asignaturas que suspenden.

a) Determina el tipo de correlación que existe entre el número dehoras y el número de suspensos.

b) Efectúa la estimación del número de horas que estudia semanal-mente un alumno que suspende 5 asignaturas.

4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de aspirantes a pilotos de aviación comercial en dos pruebas en las quese trataba de medir la velocidad de reacción y la destreza manual fueron las siguientes.

a) ¿Qué puntuación en destreza manual se espera encontrar en un aspirante calificado con 32 en la prueba de velocidad de reacción?

b) ¿Qué puntuación se espera encontrar en velocidad de reacción si el aspirante ha obtenido 19 en la prueba de destreza manual?

c) ¿Cómo de fiables son las predicciones anteriores?

5. En un estudio realizado para determinar la rapidez de desecación de un compuesto orgánico destinado a jardineríase han observado las variables X: “número de días transcurridos desde el riego” e Y: “porcentaje de humedad del compuesto”, obteniéndose los datos de la tabla adjunta:

a) ¿Qué grado de humedad se espera encontrar a los siete días del riego?

b) ¿Cuántas horas han de transcurrir desde el momento del riego para que el grado de humedad del compuesto sea del 50%?

6. De una variable bidimensional se conocen los siguientes parámetros.

x� � 3 y� � 3 σx2 � 2,5 σy

2 � 2,5 σxy � 2,25a) Obtén el valor del coeficiente de correlación de la variable bidimensional.b) Calcula la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. ¿Qué valor de Y esperaríamos encontrar si X � 2?c) Calcula la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y. ¿Qué valor de X esperaríamos encontrar si Y � 6?d) ¿Cómo son de fiables las predicciones anteriores?

X 1 2 3 4 5

Y 90 80 70 50 30

Velocidad de reacción: XDestreza manual: Y [10-20) [20-30) [30-40) [40-50)

[0-10) 5 3 0 0

[10-20) 2 6 1 0

[20-30) 0 1 4 2

[30-40) 0 0 3 3

[40-50) 0 0 1 2

X 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7

Y 4 2 3 4 1 2 2 3 1 2 1 2 0 1 0

X 1 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

Y 1 2 2 3 4 3 4 5 4 5 5 6 6 8 7 8

Número de asignaturas suspensas

0 1 2 3 4 5

[0, 2) – – – 1 3 5

[2, 4) – – 1 2 3 4

[4, 6) – 2 3 2 2 1

[6, 8) 4 5 2 – – –

[8, 10) 6 3 1 – – –N

.º d

e h

ora

s

107625_ACTIVID_12 4/10/08 23:24 Página 49


Soluciones propuesta A1. a)

b) x� � 5; y� � 5,56;

sX � 2,58; sY � 1,95; sXY � 3,22

r � 0,838 ⇒ relación positiva y fuerte.

c) Recta de regresión de Y sobre X: y � 0,63x � 2,39

Recta de regresión de X sobre Y: x � 1,11y � 1,17

2. a) x� � 3,5; y� � 14,83; sX � 1,71; sY � 1,86

b) sXY � 2,75 r � 0,86

c) Recta de regresión de las ventas sobre el gasto enpublicidad: y � 0,94x � 11,53

d) Para un gasto en publicidad de 8 millones, las ventasesperadas serían aproximadamente de 19 millones. Esta estimación es bastante fiable, ya que el coefi-ciente de correlación es próximo a 1.

3. a) x� � 3; y� � 67,3;

sX � 1,41; sY � 1,78; sXY � �2,5

r � �0,994

La relación entre las variables es lineal negativa y fuerte, casi funcional.

b) La recta de regresión del tiempo sobre el número desemanas es y � �1,25x � 71,05.

Podemos suponer, con un alto grado de fiabilidad, que a las 7 semanas de entrenamiento tardará 62,3 minutos en completar el circuito.

c) En el contexto del problema no es lógico suponer que el ritmo se mantenga al cabo de 24 semanas.No sería razonable utilizar la recta de regresión para realizar esa predicción. Al cabo de ese periodo, el tiempo se habrá estabilizado.

4. a) Como el punto (x�, y�) pertenece a ambas rectas deregresión, es la solución del sistema:

� ⇒ (x�, y�) � (2, 1).

b) Las rectas de regresión vienen dadas por:

y � �ss

X

2 X

Y� x � 2 �

ss

X

2 X

Y� � 1, x � �

ssX

2 Y

Y�y � �

ssX

2 Y

Y� � 2.

El producto de sus pendientes es r 2.

r 2 � ��1 4

� (�2) � �1 2

� ⇒ r � ��1 2

��Como las pendientes son negativas, la covarianza es negativa y también lo es el coeficiente de regresión

r � ��1 2

�� 22� �

4y� � x� � 6 � 0 y� � 2x� � 5 � 0

5. a)

X 2 3 4 5 6 7 8 10

Y

2 1 0 0 0 0 0 0 0 1

3 1 0 0 0 0 0 0 0 1

4 0 1 1 1 0 0 0 0 3

5 0 0 2 2 1 0 0 0 5

6 0 0 1 1 2 1 0 0 5

7 0 0 0 0 2 1 0 0 3

9 0 0 0 0 0 0 1 0 1

10 0 0 0 0 0 0 0 1 1

2 1 4 4 5 2 1 1 20

b)

Existe correlación lineal positiva fuerte

c) x� � 5,25; y� � 5,6

sX � 1,89; sY � 1,83; sXY � 3,15

y � y� � �ss

X

2 X

Y� (x � x�) ⇒ y � 0,88x � 0,99

x � x� � �ssX

2 Y

Y� (y � y�) ⇒ x � 0,94y � 0,03

d) y(6) � 0,88 � 6 � 0,99 � 6,27

x(7) � 0,94 � 7 � 0,03 � 6,55

6. a) Hay dos puntos, (6, 1) y (15, 2), que se alejan mucho de la nube que forman los demás puntos, aunque al estar uno al comienzo de la serie y otro al final su influencia en la recta de regresión es menor.

El ajuste es mejor con la recta de Tukey que con la recta de regresión

Recta de regresión: y � 0,5x � 7,62

Recta de Tukey y � 0,59x � 7,85

b) Para X � 9, con la recta de regresión obtenemos el valor Y � 12,12; con la recta de Tukey el valor obtenido es Y � 13,16.

107625_ACTIVID_12 4/10/08 23:24 Página 50


Soluciones propuesta B1. a) Relación lineal positiva fuerte.

Coeficiente de correlación lineal: r � 0,94

b)

Relación lineal negativa fuerte.

Coeficiente de correlación lineal: r � �0,80

2. a)

b) x� � 6,79; y� � 1,83

sX � 1,44; sY � 0,8; sXY� 0,92

El coeficiente de correlación lineal es r � 0,8. La relación entre las variables es positiva y bastante fuerte, por lo que las estimaciones que realicemos con la recta de regresión tendrán un alto grado de fiabilidad.

c) La recta de regresión de Y sobre X es:

y � 0,44x � 1,18

d) El valor que obtendríamos al estimar y sustituyendo x � 10 en la recta de regresión es y � 3,22.La estimación es buena ya que el coeficiente de correlación es próximo a 1.

3. a) Hay una correlación fuerte y negativa, es decir, a mayor número de horas menor es el número de suspensos.

x� � 2,42 suspensos; y� � 5,12 horas

sX� 1,83; sY � 2,78 ⇒ sXY � �4,33 ⇒ r � �0,85

b) La recta de regresión es:

y � y� � �ss

X

2 X

Y� � (x � x�) ⇒ y � 5,12 � �

�1,48,33

2

3� (x � 2,42)

Para x � 5 suspensos ⇒ y � 1,78; es decir, estudia alrededor de una hora y tres cuartos a la semana.

X

Y5 6 7 8 9

1 6 1 3 0 0

2 0 4 2 2 0

3 0 0 1 0 5

4. x� � 29,85; y� � 21,06

sX � 10,48; sY � 12,78 ⇒ sXY � 110,01 ⇒

⇒ r � 0,82

a) y � x � 8,84

Una puntuación de 23,22.

b) x � 0,67y � 15,66

Una puntuación de 28,46.

c) El grado de fiabilidad de las predicciones es alto puestoque el coeficiente de correlación es

r � 0,82

5. a) x� � 3; y� � 64

sX � 1,41; sY � 21,54 ⇒ sXY � �30 ⇒

⇒ r � �0,98

y � �15x � 109

El 4 %

b) x � �0,065y � 7,14

x � 3,9 días, es decir, algo más de 93 horas.

6. a) r � �sX

sX

�Y

sY

�� 0,9

b) y � y� � �ss

X

2 X

Y� � (x � x�) ⇒ y � 3 � �

22,2,55

� � (x � 3) ⇒

⇒ y � 0,9x � 0,3

Para X � 2 obtenemos el valor Y � 2,1.

c) x � x� � �ss

X

2 X

Y� � (y � y�) ⇒

⇒ x � 3 � �22,2,55

� � (y � 3) ⇒

⇒ x � 0,9y � 0,3

Las dos rectas de regresión coinciden, ya que las dos variables tienen la misma media y la misma varianza. Para Y � 6 obtenemos el valor X � 6,375.

d) Los valores estimados mediante las rectas de regre-sión tienen un alto grado de fiabilidad, ya que la correlación lineal es fuerte por ser el coeficiente de correlación 0,9.

2,25 ��2,5� � �2,5�

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Propuesta A1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) C8,2 b) V6,3 c) VR7,2

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) Vx,5 � 6 Vx,3 b) 2 Cx,4 � 5 Cx,2

3. a) ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con las cifras 2, 3 y 5?

b) ¿Cuántos productos de dos factores distintos se pueden formar con las cifras 2, 3 y 5?

4. Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.

a) Lanzar tres monedas

b) Producto de los resultados obtenidos al lanzar dos dados

5. En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E � {a, b, c, d, e, f} se consideran los siguientes sucesos:

A � {b, e, f} B � {a, c, d, e} C � {d, e, f}

Forma los sucesos siguientes.

a) A� d) A � C g) A � (B � C) j) A��B� m) A � �B � C��b) B� e) A � B h) A��B� k) A� � B� n) A� � (B � C)

c) C� f) B � C i) A� � B� l) A � �B � C�� ñ) �A��B�� C

6. En una bolsa hay cuatro bolas blancas y tres negras. Calcula la probabilidad de que al sacar simultáneamente tresbolas suceda lo siguiente.

a) Sean las tres blancas.

b) No haya ninguna bola blanca.

c) Haya una única bola blanca.

7. De una baraja española de 40 cartas se extraen dos a la vez. Halla las probabilidades siguientes.

a) Sean dos copas. b) Sean dos reyes.

c) Sean un rey y un as. d) Sean el as de copas y el de bastos.

8. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas y 4 bolas negras se extraen tres bolas. Halla la probabilidad de que seandos bolas blancas y una negra, en los siguientes casos.

a) Se extraen las tres bolas a la vez.

b) Se extrae una bola, se anota su color y se devuelve a la bolsa antes de la siguiente extracción.

9. En una fábrica de bombillas hay tres máquinas A, B y C que producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20%de la producción. Los porcentajes de productos defectuosos por cada una de esas máquinas son, respectivamente,el 3%, el 4% y el 5%.

Si se elige una bombilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

10. Sobre la mesa tengo tres cajas con botones; la primera tiene 5 botones, la segunda 7 y la tercera 8, pero en cadauna de ellas hay un único botón negro. Si elijo al azar una caja y saco de ella un botón:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un botón negro?

b) Si he sacado un botón negro, ¿cuál es la probabilidad de que sea el de la primera caja?


Cálculo de probabilidades

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Propuesta B1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a) C8,6 b) V7,3 c) VR2,7

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) VRx,2 � 5 VRx � 2,2 � 244 b) C2x,3 � 2 C2x � 1,3

3. Con nueve personas tenemos que formar tres comisiones, una de dos, otra de tres y la última de cuatro personas.¿De cuántas maneras distintas podemos hacerlo?

4. Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios.

a) Tirar simultáneamente una moneda y un dado.

b) Elegir al azar un color del arco iris.

5. En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española se consideran los siguientessucesos: A � “salir espada”, B � “salir caballo” y C � “salir as de espadas o caballo de copas”Interpreta los siguientes sucesos y calcula su probabilidad.

a) A � B c) B � C e) A�

b) A � B d) A � C f) A��B�

6. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio de los que se conoce:

P (A) � �49

� P (B) � �13

� P (A � B) � �29

�

Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) A� b) B� c) A � B d) A� � B� e) A� � B�

7. Una urna contiene bolas numeradas como muestra la figura. Se extrae una bola. Determina la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Sacar un 2.

b) Sacar un 5.

c) No sacar un 3.

d) Sacar un número par.

e) Sacar un número impar.

f) Sacar un número mayor que 3.

8. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes, y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, unabola de cada urna.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color?

b) ¿Y la de que sean de distinto color?

9. La probabilidad de que llueva durante un día de verano en cierta ciudad es 0,2. En esta ciudad, la probabilidad deque la temperatura máxima diaria supere los 25� C es 0,3 cuando llueve y de 0,6 cuando no llueve.

a) Calcula la probabilidad de que en un día de verano la temperatura máxima supere los 25� C.

b) Dado que la temperatura máxima diaria superó los 25� C en cierto día de verano, halle la probabilidad de que esedía haya llovido.

10. Se tienen dos dados, uno normal y otro trucado en el que hay cuatro unos y dos doses. Se elige un dado al azar yse tira dos veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un uno en la primera tirada y un dos en la segunda?

b) Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un uno y el de la segunda un dos, ¿cuál es la probabilidadde que hayamos escogido el dado trucado?

33

00

0

11

1

12

2 4

44 5

5

2

2 15

33

00

0

1

1

12

2 4

44

5

2

2

107625_ACTIVID_13 4/10/08 23:25 Página 53



1. a) C8,2 � � � � �6!

8!2!� � 28 b) V6,3 � 6 � 5 � 4 � 120 c) VR7,2 � 72 � 49

2. a) Vx,5 � 6 � Vx,3 ⇒ x (x � 1)(x � 2)(x � 3)(x � 4) � 6x (x � 1)(x � 2)

Como x � 5 ⇒ (x � 3)(x � 4) � 6 ⇒ x 2 � 7x � 6 � 0 ⇒ x � 1 (no válida), x � 6

b) 2 Cx,4 � 5 Cx,2 ⇒ 2�(x �

x4!)! 4!� � �

(x �

52x!)! 2!� ⇒ �

12(x1� 4)!�� ⇒

⇒ (x � 2)(x � 3) � 30 ⇒ x 2 � 5x � 24 � 0 ⇒ x � �3 (no válida), x � 8

3. a) V3,2 � 3 � 2 � 6 ⇒ Se pueden formar 6 números.

b) C3,2 � �VP

3

2

,2� � 3 ⇒ Se pueden obtener 6 productos.

4. a) E � {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}

b) E � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}

5. a) A� � {a, c, d} f) B � C � {a, c, d, e, f} k) A� � B� � {a, b, c, d, f}

b) B� � {b, f} g) A � (B � C) � {b, d, e, f} l) A � �B � C�� {a, b, c, e, f}

c) C� � {a, b, c} h) A��B� � � m) A � �B � C�� {b, e}

d) A � C � {e, f} i) A� � B� � � n) A� � (B � C) = {d}

e) A � B � E j) A��B� � {a, b, c, d, f} ñ) �A��B�� C � {d, f}

6. a) P (tres blancas)��CC

4

7

,

,

3

3��

345�; o también: P (B�B�B)�P (B)�P (B/B)�P (B/B�B)� �

47

� � �36

� � �25

� ��345�

b) P(ninguna blanca)�P(tres negras)��C17,3��

315�; o también: P(N�N�N)�P(N)�P(N/N)�P(N/N�N)� �

37

� � �26

� � �15

� ��315�

c) P (una única blanca)��4CC

7,

3

3

,2� ��

1325�; o también: P�3�P (B)�P (N/B)�P (N/B�N)�3� �

47

� � �36

� � �25

� ��1325�

7. a) P (dos copas)��CC

1

4

0

0

,

,

2

2��

532� ; P (C�C)�P (C)�P (C/C)��

1400��

399��

532�

b) P (dos reyes)��CC

4

4

0

,2

,2��

1130�; o también P (R�R)�P (R)�P (R/R)��

440��

339��

1130�

c) P(un rey y un as)��C4

4

�

0

4,2

��1495�; o también P((R�A)�(A�R))�P(R)�P(A/R)�P(A)�P(R/A)��

440��

349��

440��

349��

1495�

d) P(as de copas y de bastos)��C1

4

�

0

1,2

��7180� ; o también P((AC�AB)�(AB�AC))�P(AC) �P(AB/AC)�P(AB)�P(AC/AB)��

7180�

8. a) P � 3 � �160� � �

59

� � �48

� � �12

� b) P � 3 � �160� � �

160� � �

140� � �

15245

�

9. Sea D � “bombilla defectuosa”:

P (D) � P (A) � P (D/A) � P (B) � P (D/B) � P (C) � P (D/C) � 0,5 � 0,03 � 0,3 � 0,04 � 0,2 � 0,055 � 0,037

10. Ci � “elegir la caja i ”; i � 1, 2, 3

N � “sacar un botón negro”

a) P (N) � P (C1) � P (N/C1) � P (C2) � P (N/C2) � P (C3) � P (N /C3) � �13

� � �15

� � �13

� � �17

� � �13

� � �18

� � �412�

b) Se aplica el teorema de Bayes: P (C1 /N) � �P (C1)

P�

(PN

()N/C1)

� � � �1145�

�13

� � �15

��

�412�

5��2(x � 2)(x � 3)(x � 4)!

82

107625_ACTIVID_13 4/10/08 23:25 Página 54



1. a) C8,6 � � � � �68!2!!

� � 28 b) V7,3 � 7 � 6 � 5 � 210 c) VR2,7 � 27 � 128

2. a) VRx,2 � 5 VRx � 2,2 � 244 ⇒ x 2 � 5(x � 2)2 � 244 ⇒ 6x 2 � 20x � 224 � 0 ⇒ x � ��134� (no válida), x � 6

b) C2x,3 � 2 C2x�1,3 ⇒ �3!(2

(x2x

�

)!3)!

� � �32!((22xx�

�

14))!!

� ⇒ � �32!((22xx�

�

14))!!

� ⇒ �2x

2�

x3

� � 2 ⇒ x � 3

3. Para formar la comisión de dos personas tenemos C9,2 posibilidades; por cada una de estas posibles comisiones hayC7,3 maneras de elegir la comisión de tres personas y las cuatro personas restantes formarán la última comisión.

En total hay C9,2 � C7,3 � �7!

9!2!� � �

4!7!

3!� � 1260 maneras de elegir las tres comisiones.

4. a) E � {C1, C2, C3, C4, C5, C6, X1, X2, X3, X4, X5, X6}

b) E � {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}

5. a) A � B � “salir una espada o un caballo” ⇒ P (A � B) � �1430�

b) A � B � “salir el caballo de espadas” ⇒ P (A � B) � �410�

c) B � C � “salir un caballo o el as de espadas” ⇒ P (B � C) � �450� � �

18

�

d) A � C � “salir el as de espadas” ⇒ P (A � C) � �410�

e) A� � “no salir espada” � “salir oro, copa o basto” ⇒ P �A�� 3400� � �

34

�

f) A��B� � A� � B� � “salir una carta que no sea ni espada ni caballo” ⇒ P �A��B�� 2470�

6. a) P �A�� 1 � P (A) � �59

�

b) P �B�� 23

�

c) P (A � B) � P (A) � P (B) � P (A � B) � �49

� � �13

� � �29

� � �59

�

d) P �A� � B�� P �A��B�� 1 � P (A � B) � 1 � �59

� � �49

�

e) p �A� � B�� p �A��B�� 1 � p (A � B) � �79

�

7. a) P (2) � �148� � �

29

� c) P (no sacar 3) � �1168� � �

89

� e) P (impar) � �188� � �

49

�

b) P (5) � �128� � �

19

� d) P (múltiplo de 2) � �178� f) P (� 3) � �

158�

8. a) P ((R � R) � (V � V)) � P (R � R) � P (V � V) � �35

� � �25

� � �25

� � �35

� � �1225�.

b) Este es el suceso contrario del anterior, por tanto P ((R � V ) � (V � R)) � 1 � �1225� � �

1235�

9. a) P (� 25�) � P (LL) � P (� 25�/LL) � P �L�L�� P �� 25�/L�L�� 0,2 � 0,3 � 0,8 � 0,6 � 0,54

b) P (LL / � 25�) � � �0,2

0,5�40,3

� � �564� � �

19

� � 0,1v

10. T � “elegir el dado trucado”

A � “obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda”

a) P (A) � P (T ) � P (A/T ) � P �T�� P �A/T� � � �12

� � �46

� � �26

� � �12

� � �16

� � �16

� � �792� � �

18

�

b) P (T/A) � �P (T )

P�

(PA)

(A/T )� � � �

89

��12

� � �46

� � �26

��

�18

�

P (LL) � P (� 25�/LL)��

P (� 25�)

(2x)(2x � 1)!��3!(2x � 3)(2x � 4)!

86

107625_ACTIVID_13 4/10/08 23:25 Página 55


Propuesta A1. Sea X una variable aleatoria que toma valores en {2, 3, 4, 5, 6} con las siguientes probabilidades:

P (X � 2) � �115� P (X � 3) � �

125� P (X � 4) � �

15

� P (X � 5) � �145� P (X � 6) � �

13

�

a) Comprueba que P (X ) es una función de probabilidad y represéntala gráficamente.

b) Calcula las siguientes probabilidades: P (X � 3), P (X � 4) y P (3 � X � 6).

c) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.

2. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente tabla:

Sabiendo que P (X � 3) � 0,4 y P (X � 3) � 0,7:

a) Completa la distribución de probabilidad y represéntala gráficamente.

b) Halla la esperanza matemática y la desviación típica de la distribución.

3. De una bolsa que contiene dos bolas rojas, tres negras y una blanca se extrae una bola, se observa su color y se de-vuelve a la bolsa. Se considera la variable aleatoria X: “número de bolas negras que han salido en un total de diez extracciones”.

a) Calcula la probabilidad de haber extraído exactamente tres bolas negras.

b) Calcula la probabilidad de haber extraído menos de tres bolas negras.

c) ¿Cuál es el número medio de bolas negras que esperaríamos extraer al realizar diez extracciones?

4. En un juego de dados el jugador se anota un punto cada vez que obtiene un seis doble al lanzar dos dados. Cadapartida se juega a cinco lanzamientos.

a) Calcula la probabilidad de no obtener ningún punto en una partida.

b) Calcula la probabilidad de obtener al menos dos puntos en una partida.

5. Según una encuesta, el 40% de los habitantes de una localidad convive con algún animal doméstico y el resto notiene ninguna mascota. Elegidas 10 personas al azar, se desea saber lo siguiente:

a) La probabilidad de que las 10 tengan alguna mascota.

b) La probabilidad de que ninguna de las 10 tenga una mascota.

c) La probabilidad de que exactamente la mitad de ellas tenga una mascota.

6. En un instituto, las estadísticas indican que el 70% de los alumnos que inician un determinado nivel educativo lo superan con éxito. Si se eligen al azar 8 alumnos que inician bachillerato:

a) Calcula la probabilidad de que todos superen con éxito el nivel.

b) Calcula la probabilidad de que solo la mitad apruebe.

c) Calcula la media, la varianza y la desviación típica de dicha distribución de probabilidad.

7. En una ciudad se ha hecho un estudio sobre 1000 familias con 5 hijos para averiguar el número de hijas que tieneny se ha obtenido la siguiente tabla.

Ajusta esta distribución empírica mediante una distribución binomial y halla la función de probabilidad asociada a dicha distribución, así como las frecuencias teóricas esperadas.


Distribuciones discretas. La distribución binomial

x i 1 2 3 4 5

pi a 0,2 b 0,4 c

N.º de chicas 0 1 2 3 4 5

N.º de familias 54 202 334 279 115 16

107625_ACTIVID_14 4/10/08 23:26 Página 56


Propuesta B1. En el experimento consistente en el lanzamiento de dos dados se define la variable aleatoria:

X � “producto de las puntuaciones resultantes en los dados”.

a) Indica los valores que puede tomar esta variable aleatoria.

b) Halla la función de probabilidad de esta distribución y represéntala gráficamente.

c) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución de probabilidad.

d) Obtén las siguientes probabilidades: P (X � 4) P (X � 10) P (X � 2) P (4 � X � 12).

2. Una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad dada por P (X � x ) � k (x � 1), donde los valores de x son 0, 1, 2, 3 y 4.

a) Comprueba que k � �115�

b) Halla la esperanza matemática.

3. Al lanzar un dado defectuoso, los números del 1 al 6 aparecen según la siguiente distribución de probabilidad.

a) Representar gráficamente la distribución.

b) Halla los valores exactos de la media y la varianza.

4. Una compañía aseguradora comienza una campaña telefónica destinada a aumentar el número de pólizas de segurosdel hogar. Por su experiencia previa en este tipo de campañas se prevé que una de cada 20 personas que recibanla llamada suscribirán una nueva póliza. Si en un día llaman a 25 personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no consigan ninguna nueva póliza?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que consigan como máximo dos pólizas nuevas?

5. El 15% de los envases de leche que se venden en un determinado supermercado no tiene adherida la etiqueta conel precio por unidad. Si elegimos al azar 6 envases:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga la etiqueta del precio?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos la mitad estén etiquetados?

6. En un determinado juego se gana cuando al lanzar dos dados se obtiene una suma de puntos igual o superior a 10.Un jugador tira en 12 ocasiones los dos dados.

a) Calcula la probabilidad de que gane exactamente en tres ocasiones.

b) Calcula la probabilidad de que pierda las 12 veces que juega.

c) Calcula la probabilidad de que gane al menos en dos ocasiones.

d) Calcula la media y la desviación típica.

7. Para probar la eficacia de un tratamiento médico un hospital aplica dicho tratamiento a 1000 grupos de 5 personas,obteniendo los resultados que se observan en la tabla adjunta.

a) Ajusta los datos anteriores a una distribución binomial.

b) Halla la función de probabilidad asociada a dicha distribución, así como las frecuencias teóricas esperadas.

c) Calcula la probabilidad de que en un grupo de cinco pacientes, el tratamiento sea eficaz en al menos 3 personas.

Número en la cara superior del dado 1 2 3 4 5 6

Probabilidad �29

� �19

� �29

� �19

� �29

� �19

�

Personas del grupo en las que el0 1 2 3 4 5

tratamiento ha sido eficaz

N.º de grupos 1 7 54 202 401 335

107625_ACTIVID_14 4/10/08 23:26 Página 57



1. a) Sí es una función de probabilidad, ya que se cumple: 0�pi �1, i�2, ..., 6 y �6

i � 2pi � �

115� � �

125� � �

15

� � � 145� � �

13

� �1

b) P (X � 3) � 1 � P (2) � �1145� P (X � 4) � P (X � 2) � P (X � 3) � P (X � 4) � �

25

�

P (3 � X � 6) � P (X � 4) � P (X � 5) � �175�

c) La media y la desviación típica pueden calcularse a partir de la tablasituada a la derecha:

� �i

ix i pi � �

7105� � 4,6v

� � ��i

ix i

2� pi �� 2� � 1,2472

2. a) P (X � 3) � p1 � p2 � p3 ⇒ 0,4 � a � 0,2 � b ⇒ a � b � 0,2

P (X � 3) � p3 � p4 � p5 ⇒ 0,7 � b � 0,4 � c ⇒ b � c � 0,3

p1 � p2 � p3 � p4 � p5 � 1 ⇒ a � 0,2 � b � 0,4 � c � 1 ⇒ a � b � c � 0,4

Resolviendo el sistema: a � 0,1 b � 0,1 c � 0,2

b) La media o esperanza matemática y la desviación típica pueden calcu-larse a partir de la tabla de la derecha:

� �i

ix i pi � 3,4

�x � ��i

ix i

2� pi �� 2� � 1,2806

3. Se trata de una distribución binomial de parámetros n � 10 y p � �12

� , por tanto: P (X � r ) � � � pr (1 � p)n � r .

a) P (X � 3) � � � ��12

��3

��12

��7

� 0,117

b) P (X � 3) � P (X � 0) � P (X � 1) � P (X � 2) � � � ��1 2

��0

��1 2

��10

� � � ��1 2

�� 1 2

��9

� � � ��1 2

��2

��1 2

��9

� � 25

1

50

� � 0,054

c) � n p � 10 �12

� � 5 bolas negras

4. La distribución X � “Total de puntos” es una distribución binomial de parámetros n � 5 y p � �316� .

a) P (X�0)�� 316��

0

��3 35 6��

5

�0,869 b) P (X�2)�1�P (X�2)�1�P (X�0)�P (X�1)�1�0,869�0,124�0,007

5. La distribución X � “N.o de personas que tienen mascota” es una binomial de parámetros n � 10 y p � 0,4.

a) P (X � 10) � 0,0001 b) P (X � 0) � 0,006 c) P (X � 5) � 0,201

6. La distribución X � “N.o de alumnos que superan el bachillerato” es una binomial de parámetros n�8 y p�0,7.

a) P (X�8)�0,058⇒58% b) P (X�4)�0,02⇒2% c) �n p�8 0,7� 5,6; � � �n p q�� 8 0,7� 0,3��1,296

7. Si consideramos constante la probabilidad de nacer niña, p � 0,5, estaríamos ante una binomial B (5, 0,5).

La función de probabilidad asociada a la varia-ble aleatoria X � “N.º de chicas en una familia con 5 hijos” es (ver tabla de la derecha):

Por lo que, según este modelo teórico, elegidas 1000 familias al azar el número de familias con 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 hijas es el que aparece en la tabla adjunta.

50

10 2

10 1

10 0

10 3

nr

x i 1 2 3 4 5

pi 0,1 0,2 0,1 0,4 0,2

x i pi x i pi x i2pi

2 �115� �

125� �

145�

3 �125� �

165� �

1185�

4 �15

� �45

� �156�

5 �145� �

2105� �

230�

6 �13

� 2 12

�7105� �

31550

�

x i pi x i pi x i2pi

1 0,1 0,1 0,1

2 0,2 0,4 0,8

3 0,1 0,3 0,9

4 0,4 1,6 6,4

5 0,2 1 5

3,4 13,2

x i 0 1 2 3 4 5

pi 0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125

N.º de chicas 0 1 2 3 4 5

N.º de familias 31 156 313 313 156 31

107625_ACTIVID_14 4/10/08 23:26 Página 58


Soluciones propuesta B1. a) X puede tomar valores en {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}

b)

c) La media y la desviación típica pueden calcularse con ayuda de una tabla en que se recojan los valores x i pi

y x 2 i pi . Se obtiene: � �

i

ix i pi � �

43461

� � 12,25 y � � ��i

ix i

2� pi �� 2� � �230,02�77 ��150,06�25� � 8,942

d) P (X � 4) � � 316� � �

326� � �

326� � �

336� � �

386� � �

2 9

�; P (X � 10) � �1 39 6�; P (X � 2) � 1 � �

326� � �

3 34 6� � �

1 17 8�; P (4 � X � 12) � �

1 35 6� � �

152�

2. a) La función de probabilidad de esta variable aleatoria viene dada por la siguiente tabla:

Para que sea una función de probabilidad, se debe cumplir:

�i

ipi � 1 ⇒ 15k � 1 ⇒ k � �

115�

b) � �i

ix i pi � 40k � �

4 10 5� � �

8 3

�

3. a) b) � �i

ix i pi � �

390� � �

130�

�2 � �i

ix i

2 pi � 2 � 14 � �10 90

� � �296�

4. La distribución X: “número de pólizas nuevas” es una binomial de parámetros n � 25 y p � �210� .

a) P (X�0)�� 210��

0

��1 29 0��

25

�0,277 b) P (X � 2) � P (X � 0) � P (X � 1) � P (X � 2) � 0,277 � 0,365 � 0,231 � 0,873

5. La distribución X: “número de envases sin etiqueta” es una binomial de parámetros n � 6 y p � 0,15.

a) P (X � 0) � 0,377 b) P (X � 3) � P (X � 0) � P (X � 1) � P (X � 2) � 0,377 � 0,399 � 0,207 � 0,983

6. Se trata de una distribución binomial con n � 12 y p � �366� � �

1 6

� , ya que de los 36 posibles resultados al

lanzar dos dados, solo 6 son ganadores {(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}.

a) P (X � 3) � � � ��1 6

��3

��5 6

��9

� 0,197 c) P (X � 2) � 1 � P (X � 0) � P (X � 1) � 1 � 0,112 � 0,269 � 0,619

b) P (X � 0) � ��5 6

��12

� 0,112 d) � n p � 12 �1 6

� � 2; � � �n p� q� � �12 �1 6��

5 6

��5 3

�� 1,291

7. a) La media de personas en las que el tratamiento ha sido eficaz es: � �4 10 00 00 0

� � 4. La binomial B (5, p) a la que

ajustemos debe tener la misma media: � 5 p � 4 ⇒ p � 0,8 ⇒ B (5; 0,8).

b) La función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

Según este modelo teórico, al aplicar el tratamiento a los 1000 grupos se esperan los siguientes resultados:

c) P (X � 3) � P (X � 3) � P (X � 4) � P (X � 5) � 0,2048 � 0,4096 � 0,328 � 0,9424

12 3

25 0

x i 0 1 2 3 4 5

P (X � x i) 0,00032 0,0064 0,0512 0,2048 0,4096 0,328

x i 1 2 3 4 5 6 8 9 10

P (X � x i) � 316� �

326� �

326� �

336� �

326� �

346� �

326� �

316� �

326�

x i 12 15 16 18 20 24 25 30 36

P (X � x i) � 346� �

326� �

316� �

326� �

326� �

326� �

316� �

326� �

316�

4

x i 0 1 2 3 4

P (X � x i) k 2k 3k 4k 5k

Prob

abili

dad

N.º de personas del grupo en las que se espera que sea eficaz 0 1 2 3 4 5

N.º de grupos 0 6 51 205 410 32

107625_ACTIVID_14 4/10/08 23:26 Página 59


Propuesta A

1. Dada la función: f (x) � �a) Representa su gráfica y comprueba que se trata de una función de densidad.

b) A partir de la gráfica, calcula P (X � 1) y P ��12

� � X � �32

��.

2. Si Z es una variable normal N (0,1), calcula con ayuda de la tabla las siguientes probabilidades.

a) P (Z � 0,75) c) P (�0,5 � Z � 0,5) e) P (�0,8 � Z � 1,2)

b) P (Z � �1,2) d) P (1 � Z � 2) f) P (�0,85 � Z � �0,3)

3. La siguiente figura muestra la función de densidad para la variable aleatoria X, que sigue una distribución normal de media 250 y desviación típica 50.Halla la probabilidad representada por la región sombreada.

4. Se sabe que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una normal de media 0 y varianza 1. Halla el valorde a tal que P (|Z| � a ) � 0,75.

5. El tiempo de hospitalización en una determinada zona sanitaria sigue una distribución normal de media 7 días y des-viación típica 3 días.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo esté menos de cinco días en el hospital?

b) ¿Qué porcentaje de los enfermos está hospitalizado más de ocho días?

6. Una fábrica tiene una máquina diseñada para producir paquetes de 1 kg de azúcar. Se ha comprobado que el pro-medio de peso de azúcar en las bolsas es de 1,02 kg y el 1,7% de las bolsas pesan menos de 1 kg. Si los pesosde las bolsas se distribuyen según una variable normal, calcula la desviación típica. Da una respuesta aproximada a0,1 gramos.

7. El número diario de visitantes de un parque de atracciones se distribuye según una normal N (2000,250).

a) Halla la probabilidad de que en un día determinado el número de visitantes no supere los 2100.

b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera halla más de 1500 visitantes.

c) En un mes de treinta días, ¿en cuántos días cabe esperar que el número de visitantes supere los 2210?

d) Si se quieren clasificar los días en tres tipos de manera que el 15% se considere “de baja asistencia”, el 60% “deasistencia media” y el 25% “de asistencia masiva”. ¿Cuáles han de ser las cuotas de visitantes que marquen elpaso de un tipo a otro?

8. En una determinada población, el 40% de los habitantes en edad laboral trabaja en el sector agrícola. Si elegimosal azar a quince trabajadores de esa población, calcula la probabilidad de que al menos tres de ellos se dediquen ala agricultura, aplicando:

a) La distribución binomial.

b) La aproximación normal a la distribución binomial.

f(x)

X280250180

1 � �2x

� si 0 � x � 2

0 si x � [0, 2]


Distribuciones continuas. La distribución normal

107625_ACTIVID_15 4/10/08 23:30 Página 60


Propuesta B

1. Dada la función: f (x) � �a) Calcula el valor de c para que sea la función de densidad de una variable aleatoria continua.

b) A partir de la gráfica, calcula P (X � 1).

2. Si Z es una variable normal N (0,1), calcula con ayuda de la tabla las siguientes probabilidades.

a) P (Z � 0,83) c) P (�0,4 � Z � 0,4) e) P (�0,2 � Z � 1,4)

b) P (Z � �1,25) d) P (�2 � Z � �1) f) P (�0,17 � Z � 0,95)

3. La duración media de las bombillas de una cierta marca sigue una distribución normal de media 7200 horas ydesviación típica 500 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla se funda después de las 8000 horasde uso?

4. Las alturas de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media igual a 1,75 m y varianza iguala 64 cm. Calcula la probabilidad de que sucedan estos casos.

a) Un individuo tenga una altura mayor que 180 cm.

b) Un individuo tenga una altura menor que 170 cm.

c) Un individuo tenga una altura comprendida entre 170 y 180 cm.

5. Las puntuaciones obtenidas en una prueba de cultura general se distribuyen según una normal N (65, 18). Se quie-re clasificar a los examinados en tres grupos: A (de bajo nivel cultural), B (de nivel cultural medio) y C (de nivel cultural elevado), de manera que en el grupo A esté el 20% de la población, en el grupo B el 65% y en el grupo Cel 15%.

¿Cuáles han de ser la puntuaciones N1 , N2 que marcan el paso de un grupo a otro?

6. Según los resultados de un estudio realizado en una población con escasa asistencia sanitaria, sólo un 15% de lapoblación infantil está correctamente vacunada. Se elige al azar una muestra de 50 niños.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de cinco niños que estén correctamente vacunados?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, haya seis niños que estén correctamente vacunados?

7. Las tallas de un grupo de 62 alumnos vienen dadas por la siguiente tabla:

a) Representa los datos anteriores mediante un histograma y dibuja el polígono de frecuencias correspondiente.

b) Calcula la media y la desviación típica de dicha distribución empírica.

c) A la vista de los datos anteriores ¿Crees oportuno ajustar dicha distribución empírica por una normal? ¿Por cuál?

d) Calcula las frecuencias absolutas esperadas para el intervalo [170, 175) según la distribución normal calculada an-teriormente.

Tallas (cm) [155-160) [160-165) [165-170) [170-175) [175-180) [180-185) [185-190)

N.º alumnos 4 6 11 20 10 7 4

c(4 � 2x) si 0 � x � 20 si x � [0, 2]

107625_ACTIVID_15 4/10/08 23:30 Página 61


Soluciones propuesta A1. a)

Es una función de densidad pues f (x) � 0, ∀x � R.

El área encerrada por la curva y el eje OX es igual ala unidad ya que la región encerrada corresponde aun triángulo de base 2 y altura 1.

b)

P (X � 1) � 0,25, ya que coincide con el área deltriángulo que tiene 1 de base y 0,5 de altura.

P ��12

� � X � �32

�� 0,5 ya que coincide con el área

del trapecio sombreado en la figura.

2. a) P (Z � 0,75) � 0,7734

b) P (Z � �1,2) � 0,1151

c) P (�0,5 � Z � 0,5) � 0,383

d) P (1 � Z � 2) � 0,1359

e) P (�0,8 � Z � 1,2) � 0,673

f) P (�0,85 � Z � �0,3) � 0,1844

3. X es N (250, 50) ⇒ Z � �X �

50250� es N (0, 1)

P(180 � X � 280) � P ��1805�0

250�� Z ��

2805�0

250��

� P (�1,4 � Z � 0,6) � P (Z � 0,6) � P (Z � �1,4) �

� P (Z � 0,6) � P (Z � 1,4) � P (Z � 0,6) � 1 � P (Z � 1,4) �

� 0,7257 � 1 � 0,9192 � 0,6449

4. P (⏐Z⏐� a) � 0,75 ⇔ P (�a � Z � a) � 0,75 ⇒

⇒ P (Z � a) � P (Z � �a) � 0,75 ⇒

⇒ 2 P (Z � a) � 1 � 0,75 ⇒

⇒ P (Z � a) � 0,875 ⇒ a � 1,150

O

1

1

Y

X O

1

1

Y

X2 20,5 1,5

O

1

1

Y

X

5. X es N (7, 3) ⇒ Z � �X �

37

� es N (0, 1)

a) P (X � 5) � P �Z � �5 �

37

��

� P (Z � �0,67) � 1 � P (Z � 0,67) � 0,2514

b) P (X � 8) � P �Z � �8 �

37

��

� 1 � P (Z � 0,33) � 0,3707

Aproximadamente el 37% de los enfermos.

6. X es N (1020, σ) ⇒ Z � �X �

σ1020� es N (0, 1)

0,017 � P (X � 1000) � P �Z � �1000 �

σ1020�� ⇒

⇒�1000 �

σ1020�� 2,12 ⇒ σ � �

��22,102

� � 9,43 gramos

7. X es N (2000, 250) ⇒ Z � �X �

2520000� es N (0, 1)

a) P (X�2100)�P �Z��2100

2�50

2000��P (Z�0,4)�0,6554

b) P (X � 1500) � P �Z ��1500

2�50

2000��

� P (Z � �2) � P (Z � 2) � 0,9772

c) P (X � 2210) � P �Z ��2210

2�50

2000��

� P (Z � 0,84) � 1 � P (Z � 0,84) � 0,2005

30 0,2005 � 6,015 ⇒ en 30 días el número espe-rado es de 6 días.

d) Buscamos los valores z1 y z2 tales que

P (Z � z1) � 0,15 P (Z � z2) � 0,25

P (Z � z1) � 0,15 ⇒ P (Z � �z1) � 0,85 ⇒

⇒ z1 � �1,04 ⇒ x1 � 250z1 � 2000 � 1740

P (Z � z2) � 0,25 ⇒ P (Z � z2) � 0,75 ⇒

⇒ z2 � 0,65 ⇒ x2 � 250z2 � 2000 � 2170

Las cuotas deben ser de 1740 y 2170 visitantes.

8. a) B (15; 0,4)

P (X � 3) � 1 � P (X � 3) �

� 1 � [P (X � 0) � P (X � 1) � P (X � 2)] � 0,9729

b) X es N (6, 1,9)

P (X � 3) � 1 � P (X � 3) � 1 � P (X � 2,5) �

� 1 � P �Z � �2,5

1,�9

6�� 1 � P (Z � �1,84) �

� P (Z � 1,84) � 0,9671

107625_ACTIVID_15 4/10/08 23:30 Página 62


Soluciones propuesta B1. a) Para que sea una función de densidad debe verifi-

car que f (x) � 0, ∀x � R, y el área encerrada porla curva Y el eje OX sea igual a la unidad. En estecaso la región encerrada corresponde con un trián-gulo rectángulo de vértices A � (0, 0); B � (0, 4c);C � (2, 0) cuya área vale 4c.

Luego c � �14

� ⇒ f (x) � �

b) P (X � 1) � 1 � �34

�, ya que coincide con el

área del trapecio rectángulo sombreado en la figura,

que tiene 1 de base mayor, �12

� de base menor y 1 dealtura.

2. a) P (Z � 0,83) � 0,7967

b) P (Z � �1,25) � 0,1056

c) P (�0,4 � Z � 0,4) � 0,3108

d) P (�2 � Z � �1) � 0,1359

e) P (�0,2 � Z � 1,4) � 0,4985

f) P (�0,17 � Z � 0,95) � 0,3964

3. X es N (7200, 500) ⇒ Z � �X �

5070200� es N (0, 1)

P (X � 8000) � P �Z � �8000

5�00

7200��

� 1 � P (Z � 1,6) � 0,0548

4. X es N (175, 8) ⇒ Z � �X �

8175� es N (0,1)

a) P (X�180)�P�Z��180�

8175��1�P (Z�0,625)�0,2659

b) P (X � 170) � P �Z � �170 �

8175��

� P (Z � �0,63) � 1 � P (Z � 0,63) � 0,2643

c) P (170 � Z � 180) � P ��170�8

175�� Z ��

180�8

175��

� P (�0,625�Z�0,625) � 2�P (Z�0,625) ��12

�� 0,4680

1 � �12

��

2

Oc

1

Y

X

B

A CO

1

1

Y

X

B

A C

1 � �12

� x si 0 � x � 20 si x � [0, 2]

5. X es N (65, 18) ⇒ Z � �X �

1865

� es N (0, 1)

0,15 � P (X � N2) ⇒ P (X � N2) � 0,15 ⇒

⇒ P �Z ��N2

1�865

�� 0,15 ⇒�N2

1�865

�� 1,036 ⇒ N2 � 83,65

0,2 � P (X � N1) ⇒ P �Z � �N1

1�865

�� 0,2 ⇒

⇒ �N2

1�865

� � �0,842 ⇒ N1 � 49,85

Las puntuaciones buscadas son N1 � 49,85 y N2 � 83,65.

6. La distribución X: “número de niños de la muestracorrectamente vacunados” es B (50; 0,15), con:

n p � 50 0,15 � 7,5 � 5

n q � 50 0,85 � 42,5 � 5

Podemos aproximar por una distribución normal con:

µ � 50 0,15 � 7,5

σ � �50 0,�15 0,�85� � 2,52

X es N (7,5; 2,52) ⇒ Z � �X

2�,5

72,5

� es N (0, 1)

a) P (X � 5) � P (X � 5,5) � P �Z � �5,5

2�,52

7,5��

� 1 � P (Z � �0,79) � P (Z � 0,79) � 0,7852

b) P (X � 6) � P (X � 6,5) � P �Z � �6,5

2�,52

7,5��

� P (Z � �0,4) � 1 � P (Z � 0,4) � 0,3446

7. a)

b) µ � 172,58 ; σ � 7,65

c) Es oportuno ajustar la distribución por la normal N (172,58; 7,65)

d) X es N (172,58; 7,65) ⇒ Z � �X �

71,6752,58� es N (0, 1)

P (170 � X � 175) �

� P ��170 �7,6

1572,58� � Z � �

175 �7,6

1572,58��

� P (�0,34�Z�0,32) � P (Z � 0,32) � P (Z � �0,34) �

� P (Z � 0,32) � P (Z � 0,34) �1 �

� 0,6255 � 0,6331 � 1 � 1,2586 � 1 � 0,2586 � 25,86%

170155 165 17516002

Frec

uenc

ias

rela

tivas

180 Altura (cm)190

6

10

14

18

185

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PROYECTO EDITORIALEquipo de Educación Secundaria de Ediciones SM

AUTORSotero Calvo

EDICIÓNRafaela ArévaloInés IngertoInmaculada LuqueElsa Santaolalla

ILUSTRACIÓNFélix AnayaJuan Francisco CobosJurado y Rivas

DISEÑOMaritxu EizaguirreAlfonso Ruano

MAQUETACIÓNGrafilia, S.L.

COORDINACIÓN EDITORIALJosefina Arévalo

DIRECCIÓN EDITORIALAída Moya

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizadacon la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de DerechosReprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

© Ediciones SM, Madrid

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