Ejercicios resueltos de Algebra, hoja 2.

Beatriz Grana Otero

11 de Diciembre de 2008

2 B.G.O.

104.- Determina si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial correspondiente son subvarie-dades afines:

1. En K4, L1 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ K4 |x2 = x4 = 1, x1 + x3 = −1}.

2. En Kn, L2 = {(x1, . . . , xn) ∈ Kn |x21 + x2

2 + · · ·+ x2n = 1}.

3. En Mat2×2(R), L3 = {A ∈ Mat2×2(R) |A+ 2At = Id2}.

4. En Mat2×3(R), L4 = {A = (aij) ∈ Mat2×3(R) | a11a22 = 0, a13a23 = 1}.

5. En R2[x], L5 = {p(x) ∈ R2[x] | p(x) · (1 + x− x2) = 2− 4x+ 16x3}.

6. En R2[x], L6 = {p(x) | grado de p(x) es exactamente 1}.

7. En Rn[x], L7 = {p(x) | coeficiente de p(x) de grado n es 1}.

8. En F (R,R), L8 = {f ∈ F (R,R) | f(2) = −3}.

9. En F (R,R), L9 = {f ∈ F (R,R) | f(x) = senx+ ax, donde a ∈ R}.

Solucion.

1. Pasando de las ecuaciones implıcitas de L1 a las parametricas resulta

x1 = −1− λ

x2 = 1

x3 = λ

x4 = 1

luegoL1 = (−1, 1, 0, 1) + 〈(−1, 0, 1, 0)〉.

2. Si L2 fuese una subvariedad afın, la variedad L2 − P , con P = (p1, . . . , pn), serıa unsubespacio vectorial. Pero ello implicarıa que las ecuaciones implıcitas de esta ultimadeberıan ser x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n = 0 para que el elemento neutro de Kn perteneciese alsubespacio vectorial. Pero esto significa que el subespacio de direcciones es el subespacionulo y P + 〈(0, . . . , 0)〉 no es L2. Absurdo.

3. De las ecuaciones de L3 del enunciado se obtiene que si A =

(a b

c d

), entonces

A+ 2At =

(a b

c d

)+ 2

(a c

b d

)=

(3a b+ 2c

c+ 2b 3d

)= Id2

si y solo sia = 1/3 = d b = c.

Luego A =

(1/3 b

b 1/3

), que es la subvariedad afın de Mat2×2(R) definida por el

punto A =

(1/3 00 1/3

)y el subespacio de direcciones 〈

(0 11 0

)〉.

4. De ser L4 una subvariedad afın, el subespacio de direcciones deberıa ser a11a22 =0, a13a23 = 0, que no es subespacio vectorial. Por tanto no es subvariedad afın.

5. Si p(x) = a0 + a1x+ a2x2, entonces las condiciones para estar en L5 son

L5 = {a0 + a1x+ a2x2 / (a0 + a1x+ a2x

2) · (1 + x− x2)

= a0 + (a1 + a0)x+ (−a0 + a1 + a2)x2 + (−a1 + a2)x3 − a2x4 = 2− 4x+ 16x3}

I.T.I.S. 08-09 USAL 3

y esto ocurre si y solo si

a0 = 2, a0 + a1 = −4, −a0 + a1 + a2 = 0, −a1 + a2 = 16 y − a2 = 0,

si y solo sia0 = 2, a1 = −6, a2 = 6, −a1 + a2 = 12 6= 16, −a2 = 0.

que es imposible. Luego L5 = {∅} que no es subvariedad afın ni subespacio vectorial.

6. En R2[x], L6 = {p(x) | grado de p(x) es exactamente 1}. Si L6 fuese una subvariedadafın, la resta de dos polinomios de el pertenecerıa a un subespacio vectorial. Pero como2x y 2x − 1 tienen ambos grado uno y su resta grado cero, y 2x y x tienen resta congrado 1, este subespacio vectorial debe contener tanto a los polinomios de grado cerocomo los grado uno y ello implica que sea todo R1[x]. Pero esto no puede ser ya que L6

no lo puede contener sea quien sea el punto por el que pase.

7. L7 ≡ {xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 / ai ∈ R}. Como este subconjunto de polinomios

es el punto p(x) = xn mas el subespacio de direcciones Rn−1[x], que sı es un subespaciovectorial de Rn[x], la respuesta es sı.

8. El subconjunto L8 es una subvariedad afın porque es la suma de la funcion real constantef(x) = −3 mas el subespacio vectorial de las funciones de F (R,R) que tienen imagenen el dos igual a cero; es decir {f ∈ F (R,R) | f(2) = 0}.

9. El subconjunto de F (R,R), L9 = {f ∈ F (R,R) | f(x) = senx+ ax, donde a ∈ R} es lasuma de la funcion senx mas el subespacio vectorial generado por la funcion real convariable real 〈x〉.

183.- Halla las ecuaciones de la subvariedad afın de R4 que pasa por el punto (1, 0, 0, 0) y cuyosubespacio director es el nucleo del endomorfismo T : R4 → R4 cuya matriz en la basecanonica es:

1 −1 2 01 0 1 13 −2 5 10 −1 1 −1

.

Solucion. Utilizando la matriz, las ecuaciones del nucleo de la aplicacion lineal son

Ker(T ) = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x−y+2z = 0, x+z+ t = 0, 3x−2y+5z+ t = 0, −y+z− t = 0}.

Luego la subvariedad tiene por ecuaciones a

(1, 0, 0, 0) + Ker(T ) = {(x, y, z, t) ∈ R4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x− y + 2z = 1x+ z + t = 1

3x− 2y + 5z + t = 3−y + z − t = 0

,

que resulta de sustituir el punto (1, 0, 0, 0) en las ecuaciones implıcitas del nucleo (porquedeben verificar las ecuaciones de las subvariedad que lo contiene) y calcular los terminosindependientes para que esto ocurra.

184.- Determina las ecuaciones parametricas de la variedad lineal H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x+y−t =1, x− y + 3z = −2}.

Solucion. Para determinarlas basta resolver las ecuaciones poniendo unas variables en fun-cion de otras. Ademas, como la variedad esta definida por dos ecuaciones que forman lasecuaciones implıcitas, quiere decir que el incidente de su parte vectorial tiene dimension dos

4 B.G.O.

y por tanto la variedad tiene dimension igual a 4− 2 = 2. Luego las ecuaciones parametricasdependeran dos parametros. Despejando, por ejemplo, las variables t y x, se tiene que

H = {(x, y, z, t) ∈ R4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x = λ

y = µ

z = −2/3− 1/3λ+ 1/3µt = −1 + 2λ− µ

.

203.- En R3[x] considera las variedades lineales:

H = {p(x) | p(1) = 0, p′(0) = −1} y L = x3 + 〈1, x, x2〉.

Determina las ecuaciones implıcitas de H, L y H ∩ L. Indica la dimension de cada uno deellos.

Solucion. Las ecuaciones implıcitas de H vienen en el enunciado puesto que si p(x) =a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 entonces p(0) = a0 = 0 y p′(0) = a1 = −1. Por tanto,

H = {p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 | a0 = 0, a1 = −1}

y sus ecuaciones parametrica son H = −x+ 〈x2, x3〉 y su dimension 2.

Para

L = x3 + 〈1, x, x2〉 = {p(x) = a0 + a1x+ a2 + a3x3 |

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a0 a1 a2 a3 − 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0} =

= {p(x) = a0 + a1x+ a2 + a3x3 | − a3 + 1 = 0}.

y su dimension es 3. Ahora, las ecuaciones implıcitas de

H ∩ L = {p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 | a0 = 0, a1 = −1, a3 = 1},

que pasando a las parametricas se obtiene

H ∩ L = −x+ x3 + 〈x2〉,

y la dimension es 1.

206.- Halla la mınima subvariedad de R4, indicando sus dimensiones, que contiene a las subvarie-dades:

1. r1 ≡

2x− y = 0

x+ z = 0

3x− t = 0

y r2 ≡

x+ y = 3

2x− z = −1

t = 0

.

2. π1 ≡

6x− 5y + 3t = 1

−3x+ 2y + 3z = −4y r3 ≡ (1, 3,−1, 2) +

⟨(1, 2, 1, 0)

⟩.

3. π1 y π2 ≡

6x− 3y + t = −1

x− y + z + t = −1.

Solucion.

I.T.I.S. 08-09 USAL 5

1. Para calcular la mınima subvariedad que contiene a r1 y a r2, la manera mas facil escalcular un punto que pase por la subvariedad y los vectores que forma una base delespacio de direcciones. Esto es, un punto de la subvariedad es por ejemplo P = (0, 0, 0, 0)que pertenece a r1. Por otro lado, pasando de las ecuaciones implıcitas de las rectas (son rectas por que su incidente tiene en ambos casos dimension 3 por que el numerode ecuaciones de sus ecuaciones implıcitas es tres) a las ecuaciones parametricas setienen los espacios de direcciones de cada uno de ellos. Ası, como y = 2x, z = −x, t =3x, entonces r1 = 〈(1, 2,−1, 3)〉 y como y = 3 − x, z = 1 + 2x, t = 0 entonces r2 =(0, 3,−2, 0) + 〈(1,−1, 2, 0)〉. Con estas ecuaciones parametricas, el mınima subvariedadque contiene a r1 y a r2 es la que pasa por (0, 0, 0, 0) y tiene por subespacio de direccionesa 〈(0, 3, 1, 0), (1, 2,−1, 3), (1,−1, 2, 0)〉 (se debe anadir el vector P − Q = (0, 3, 1, 0) −(0, 0, 0, 0); es decir,

H = {(x, y, z, t) ∈ R4 |

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x y z t

1 2 −1 31 −1 2 00 3 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0}

= {(x, y, z, t) ∈ R4 | − 7x− y + 3z + 4t = 0}

2. π1 ≡

6x− 5y + 3t = 1

−3x+ 2y + 3z = −4y r3 ≡ (1, 3,−1, 2) +

⟨(1, 2, 1, 0)

⟩. Analogamente al

ejercicio anterior, se busca un punto, que en este caso puede ser el de la recta r3 que yaviene dado, P = (1, 3,−1, 2) y un subespacio de direcciones. Este es

〈(3, 9, 1, 5), (1, 0, 1,−2), (0, 3,−2, 5), (1, 2, 1, 0)〉,

por que de las ecuaciones implıcitas del plano π1 se pueden calcular las ecuacionesparametricas despejando unas variables en funcion de otras. Esto es, t = 1/3−2x+5/3yy z = −4/3 + x − 2/3y y entonces π1 = (0, 0,−4/3, 1/3) + 〈(1, 0, 1,−2), (0, 3,−2, 5)〉 yademas se debe anadir el vector P − Q = (3, 9, 1, 5) definido por los dos puntos P y

Q = (0, 0,−4/3, 1/3). Sin embargo, como el determinante de

3 9 1 51 2 1 01 0 1 −20 3 −2 5

es

cero, el vector P −Q dependiente linealmente de los otros. Entonces

H = {(x, y, z, t) ∈ R4 |

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 3 z + 1 t− 2

1 2 1 01 0 1 −20 3 −2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0}

3. Igual.

207.- En Mat2×2(R) considera las subvariedades:

r =

(1 12 −1

)+

⟨(1 00 −1

),

(2 −10 1

)⟩,

s =

(0 1−1 0

)+{A ∈ Mat2×2(R) |At = A

}.

Obten las ecuaciones de la mınima subvariedad que las contiene y tambien de la maximasubvariedad que esta contenida en ambas indicando ademas las dimensiones. Determina silos puntos P =

(−3 32 −3

)y Q =

(0 42 −9

)pertenece a alguna de las subvariedades obtenidas.

6 B.G.O.

Solucion. Para calcular las ecuaciones implıcitas de r basta observar que tomando la base

canonica C ={(1 0

0 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}, la matriz

(x y

z t

)se identifica con

el vector de (x, y, z, t) de R4, y ası

r ≡ {(x, y, z, t) | rg

x− 1 y − 1 z − 2 t+ 11 0 0 −12 −1 0 1

= 2} =

= {(x, y, z, t) |z = 2

x+ 3y + t = 3}.

Para la subvariedad s, como {A ∈ Mat2×2(R) |At = A} se identifica con el conjunto de las

matrices cuadradas de orden 2 tales que

(a b

c d

)=

(a c

b d

)=

(a b = c

c = b d

)re-

sulta que

s ≡ {(x, y, z, t) |

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x y − 1 z + 1 t+ 91 0 0 00 0 0 10 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0} =

= {(x, y, z, t) | y − z = 2}.

Una vez que se tiene las ecuaciones implıcitas de cada una de las subvariedades, es facilcalcular tanto la mınima subvariedad que las contiene como la maxima subvariedad conteni-da en ellas. Claramente, como ambas son subvariedades afines, la maxima subvariedad queesta contenida en cada una de ellas, es en cada caso cada una de ellas. Por tanto, la ultimapregunta ya ha sido contestada y sus ecuaciones implıcitas son las dadas mas arriba.

En cuanto a la mınima subvariedad que las contiene, puesto que 〈(1, 0, 0− 1), (2,−1, 0, 1)〉 y〈(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)〉 son bases del espacio de direcciones tanto de r como de s,el espacio de direcciones de la mınima subvariedad esta generado por

〈(1, 0, 0,−1), (2,−1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0,−1), (0, 1, 1, 0)〉.

Como la dimension del conjunto de las matrices cuadradas dos por dos con coeficiente en R es4, la dimension maxima que puede tener el espacio de direcciones de la mınima subvariedad

H que contiene a r y a s, es tambien cuatro. Ademas, como

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 0 11 0 0 00 0 0 10 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0, el rango

es exactamente cuatro. Por tanto, H = Mat2×2(R).

Por ultimo, para saber si las matrices P y Q son matrices de alguna de las subvariedadesobtenidas, basta observar que las coordenadas de estas matrices verifican las ecuaciones de ry por tanto son puntos de r. En consecuencia tambien los son de la mınima subvariedad quecontiene a r y a s.

230.- Sea R2[x] el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2. Sea E′ elplano de los polinomios de grado menor o igual que 1. Sea ω : E → R la forma lineal definidapor ω(p(x)) =

∫ 1

0x · p(x) dx. Considerando la base {1, x, x2}, calcular las ecuaciones de la

recta que pasa por 1 + x2 y es paralela a la recta interseccion del plano ω−1(2) con E′.

Solucion. Primero calculemos las coordenadas de las forma lineal ω respecto de la base dualde la base {1, x, x2} de R2[x]. Sea B∗ = {ω1, ω2, ω3} esta base dual, entones las coordenadas

I.T.I.S. 08-09 USAL 7

de ω = (α1, α2, α3) se calculan sabiendo que α1 = ω(1) =∫ 1

0x dx = 1/2, α2 = ω(x) =∫ 1

0x2 dx = 1/3 y α3 = ω(x2) =

∫ 1

0x3 dx = 1/4.

Ahora (respecto de la base B = {1, x, x2}) la recta a calcular pasa por el punto 1 + x2 =(1, 0, 1)B y su espacio de direcciones es igual al espacio de direcciones de la interseccion dedos planos. Calculemos las ecuaciones de los planos. El plano ω−1(2) = {a0 + a1x + a2x

2 ∈R2[x] | 2 = 1/2(a0) + 1/3(a1) + 1/4(a2)} y el plano E′ = {a0 + a1x+ a2x

2 ∈ R2[x] | a2 = 0}se intersecan en

ω−1(2) ∩ E′ = {a0 + a1x+ a2x2 ∈ R2[x] | 2 = 1/2(a0) + 1/3(a1) + 1/4(a2) y a2 = 0}

= {a0 + a1x+ a2x2 ∈ R2[x] | 12 = 3a0 + 2a1 y a2 = 0}

= {a0 + a1x+ a2x2 ∈ R2[x] | a0 = 4− 2/3λ , a1 = λ , a2 = 0}

= (4, 0, 0) + 〈(−2, 3, 0)〉.

Finalmente, para dar las ecuaciones de la recta pedida, basta escribir la recta que pasa porel punto (1, 0, 1) y tiene por espacio de direcciones a 〈(−2, 3, 0)〉, luego

r ≡ {a0 + a1x+ a2x2 ∈ R2[x] | rg

(a0 − 1 a1 a2 − 1−2 3 0

)= 1}

= {a0 + a1x+ a2x2 ∈ R2[x] | 3a0 + 2a1 − 3 = a2 − 1 = 0}.

231.- Calcular el plano que contiene a la recta s ≡ x = y = z = t+ 1 y corta a las rectas:

r1 ≡

x+ y = 0

y + 2z = 0

z + 3t = 1

y r2 ≡x− 2

2= y =

z

−1= t+ 1.

Solucion. Las ecuaciones implıcitas del plano pedido las forman cada una de las ecuacionesde los dos hiperplanos H1 y H2 (en este caso, subvariedades afines de dimension tres) quecontienen las rectas s y r1 y s y r2, respectivamente. Es decir, pasando a las ecuacionesparametricas

r2 ≡

x = −2 + 2λ

y = λ

z = −λ

t = −1 + λ

,

s ≡ (0, 0, 0,−1) + 〈(1, 1, 1, 1)〉

y

r1 ≡ (0, 0, 0, 1/3) + 〈(−1, 1,−1/2, 1/6)〉.

Por tanto,H1 contiene a s ≡ (0, 0, 0,−1)+〈(1, 1, 1, 1)〉 y a r1 ≡ (0, 0, 0, 1/3)+〈(−1, 1,−1/2, 1/6)〉y es

H1 ≡ (0, 0, 0,−1) + 〈(1, 1, 1, 1), (−1, 1− 1/2, 1/6), (0, 0, 0, 1)〉

≡ {(x, y, z, t) ∈ R4 |

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x y z t+ 11 1 1 1−6 6 −3 10 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0}.

8 B.G.O.

Para H2, como contiene a s y a r2 se tiene que

H2 ≡ (0, 0, 0,−1) + 〈(1, 1, 1, 1), (2, 1,−1, 1), (−2, 0, 0, 0)〉 ≡

≡ {(x, y, z, t) ∈ R4 |

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x y z t+ 11 1 1 12 1 −1 1−2 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0}

Ahora el plano pedido es la interseccion de H1 y H2.