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MÉTODOS ESTADÍSTICOS para la CALIDAD II CZR IBERO Maestría en Ingeniería de Calidad IBERO TORREON
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DISEÑO
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Maestría en Ingeniería de Calidad
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• Ronald Fisher los desarrolla en su estación agrícola experimental de Rothamsted en Londres (ANOVA) 1930
• Otros que han contribuido son: F. Yates, G.E.P. Box, R.C. Bose, O. Kempthorne, W.G. Cochran, G. Taguchi
• Se ha aplicado el DOE en la agricultura y ciencias biológicas, industria textil y lana, en los 1930’s
• Después de la II Guerra mundial se introdujeron en la industria Química e industria electrónica
Perspectiva histórica
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Principios del Diseño Experimental
• Diseñar un experimento significa planear un experimento de
modo que reúna la información pertinente al problema bajo
investigación.
• El diseño de un experimento es la secuencia completa de pasos
tomados de antemano para asegurar que los datos apropiados se
obtendrán de modo que permitan un análisis objetivo que conduzca a
deducciones válidas con respecto al problema establecido
• Responde a preguntas tales como
– ¿Cómo se va a medir el efecto?
– ¿Cuáles son las características a analizar?
– ¿Qué factores afectan las características que se van a analizar?
– ¿Cuáles son los factores que se estudiaran en esta investigación?
– ¿Cuántas veces deberá ejecutarse el experimento?
– ¿Cuál será la forma de análisis?
– ¿A partir de que valores se considera importante el efecto?
Análisis de Modelos
Estadísticos y su
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Experimentales y
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Principios del Diseño Experimental
• El Diseño de Experimentos
– Está relacionado básicamente con el planeamiento de la
recolección de los datos.
• Un Experimento
– Es la Muestra en base a la cual se estimarán los parámetros
Poblacionales, y se tomarán decisiones con respecto a la
comparación de las poblaciones en estudio.
– Cada experimento es una pregunta que se hace a la naturaleza,
por lo tanto, para que las respuestas no sean confusas o
contradictorias, es necesario que el mismo sea:
– 1) Técnicamente planeado
– 2) Cuidadosamente conducido
– 3) Adecuadamente analizado
– 4) Cautelosamente interpretado
Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
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Razones
• Por lo general, un experimento es realizado por una o varias de
las razones siguientes:
– Identificar las principales causas de variación en la respuesta
– Encontrar las condiciones que permitan alcanzar un valor ideal en
la respuesta
– Comparar las respuestas a diferentes niveles de factores
controlados por el investigador
– Construir modelos que permitan obtener predicciones de la
respuesta.
Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
Observacionales
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Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
Observacionales
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Definiciones Básicas • Variable Respuesta: es la variable en estudio, aquella cuyos cambios
se desean estudiar. Es la variable dependiente.
• Factor: es la variable independiente. Es la variable que manipula el
investigador, para estudiar sus efectos sobre la variable dependiente.
• Nivel Del Factor: es cada una de las categorías, valores o formas
específicas del factor.
• Factor Cualitativo: sus niveles se clasifican por atributos cualitativos.
• Factor Cuantitativo: sus niveles son cantidad numérica en una escala.
• Factores Observacionales: El investigador registra los datos pero no
interfiere en el proceso que observa.
• Factores Experimentales: El investigador
intenta controlar completamente la situación experimental.
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Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
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Definiciones Básicas
• Experimento Unifactorial: es aquel en el se estudia un solo factor.
• Experimento Multifactorial: es aquel en el que se estudia simultáneamente
más de un factor.
• Tratamientos: Conjunto de condiciones experimentales que serán impuestas
a una unidad experimental en un diseño elegido. • En experimentos unifactoriales, un tratamiento corresponde a un nivel de factor.
• En experimentos multifactoriales, un tratamiento corresponde a la combinación de
niveles de factores.
• Unidad Experimental: es la parte más pequeña de material experimental expuesta al tratamiento, independientemente de otras unidades.
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Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
Observacionales
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Definiciones Básicas
• Error Experimental: Describe la variación entre las unidades
experimentales tratadas de forma idéntica e independiente. Orígenes del
error experimental:
• Variación natural entre unidades experimentales
• Variabilidad en la medición de la respuesta
• Imposibilidad de reproducir idénticas condiciones del tratamiento de una unidad a otra
• Interacción de tratamientos con unidad experimental
• Cualquier factor externo
• Tratamiento Control: Un control al que no se le aplica tratamiento
revelará las condiciones en que se realiza el experimento.
• Mediciones: Son los valores de la variable dependiente, obtenidos de las
unidades experimentales luego de la aplicación de tratamientos.
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Elementos Del Diseño De Experimentos
• El diseño de experimentos se refiere a la estructura del
experimento considerando:
– i) El conjunto de tratamientos incluidos en el estudio.
– ii) El conjunto de unidades experimentales utilizadas en el
estudio.
– iii) Las reglas y procedimientos por los cuales los tratamientos
son asignados a las unidades experimentales (o viceversa).
– iv) Las medidas o evaluaciones que se hacen a las unidades
experimentales luego de aplicar los tratamientos.
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Principios Básicos Del Diseño De Experimentos
1. Control Local: son las acciones empleadas por el investigador
para disminuir o controlar el error experimental
1. Técnica
2. Selección De Unidades Experimentales Homogéneas
3. Bloqueo
4. Selección del Diseño Experimental Adecuado
5. Utilización De Covariables
2. Replicación como un medio para estimar la variancia del error
experimental
1. Proporciona medias para estimar la variancia del error experimental
2. Permite aumentar la precisión para estimar las medias de los tratamientos.
3. Da seguridad contra resultados anormales por accidentes no previstos.
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Principios Básicos Del Diseño De Experimentos
3. Aleatorización para validar la estimación de la variancia del
error experimental.
– Consiste en aplicar en forma aleatoria los tratamientos a las
unidades experimentales.
– La aleatorización tiende a promediar entre los tratamientos
cualquier efecto sistemático presente de forma que las
comparaciones entre tratamientos midan sólo los efectos de los
tratamientos mismos.
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Análisis de Asociación
Análisis de Regresión vs. Análisis de Varianza
• Ambos análisis establecen relaciones entre variables.
• Estudian la relación estadística entre variables para tomar decisiones.
• En el Análisis de regresión el objetivo es Predecir.
• Usa solo variables cuantitativas y la relación se expresa con un modelo lineal en el cual la variable independiente puede tomar cualquier valor fijado por el investigador .
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Relaciones entre Análisis de Regresión y Análisis
de la Variancia
• En el Análisis de Variancia el objetivo es comparar los distintos niveles de la ó las variables independientes ó factores para establecer diferencias significativas en la variable dependiente ó respuesta
• Difieren del modelo anterior en que las variables independientes pueden ser cualitativas y que si son cuantitativas , en ANVA no se hace ninguna presunción sobre la naturaleza de la relación estadística entre variables dependientes e independiente.
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Los Tipos de Modelos
Los modelos experimentales de clasifican en tres tipos:
• De efectos fijos – MODELO I
• De efectos Aleatorios – Modelo II
• Mixtos.(Factores fijos y aleatorios)
• Cuando el investigador tiene control sobre el material
experimental aplicando sólo los niveles de los factores que le
interesan en el modelo, es de efectos fijos.
• Cuando se investiga un factor pero no se tiene control sobre
tratamientos, por ejemplo en los estudios por muestreo, dónde
los niveles que se aplican son una muestra extraída al azar de
una población de niveles, los modelos son de efectos
aleatorios.
03/04/2014 Carlos Zea R 14
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Análisis de Modelos Estadísticos y su
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Modelo I, o de efectos fijos
En este modelo se asume que las k muestras son muestras aleatorias de k
situaciones distintas y aleatorias. Cada valor aislado Yij se puede escribir como:
Modelo II o de efectos aleatorios
ijjijY ... i= 1,..,k y j=1,..,n
i= 1,..,k y j=1,..,n ijjijY ... A.j
Las k muestras son fijas de acuerdo al interés del investigador. De forma que
cualquier unidad experimental Yij se puede escribir como:
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Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
Observacionales
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¿Cuáles son los supuestos y cuáles los elementos
básicos del modelo I de ANVA?
• Los Supuestos de Validez del modelo ANVA son:
– Observaciones Independientes.
– Datos distribuidos Normalmente ( ; σ2).
– Variancias Homogéneas.
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Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
Observacionales
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Los elementos básicos del modelo II de ANVA
1. Supone que las k muestras independientes son muestras
de k poblaciones distintas y fijas.
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Análisis de Modelos
Estadísticos y su
aplicación a Estudios
Experimentales y
Observacionales
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ETAPAS DE UN DISEÑO DE EXPERIMENTOS • Enunciado o planteamiento del problema.
• Formulación de hipótesis.
• Proposición de la técnica experimental y el diseño.
• Examen de sucesos posibles y referencias en que se basan las razones para la
indagación que asegure que el experimento proporcionará la información requerida y
en la extensión adecuada.
• Considerar los posibles resultados desde el punto de vista de los procedimientos
estadísticos que se aplicarán y para asegurar las condiciones necesarias para que
sean válidos estos procedimientos.
• Ejecución del experimento. Aplicación de las técnicas estadísticas a los resultados
experimentales.
• Extracción de conclusiones con medidas de la confiabilidad de las estimaciones
generadas.
• Dar cuidadosa consideración a la validez de las conclusiones para la población de
objetos o eventos a la cual se van a aplicar.
• Valoración de la investigación completa y contrastación con otras investigaciones del
mismo problema o similares.
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Diseño Completamente al azar: DCA
• La principal característica es que los tratamientos se asignan a las
unidades experimentales aleatoriamente (al azar) sin ninguna
restricción. Su uso es muy frecuente cuando el experimento se
llevará a cabo bajo condiciones homogéneas.
• El material experimental (unidades experimentales) debe ser lo mas
homogéneo posible
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X ij i ij
• El modelo matemático:
• Respuesta = Constante + Efecto tratamiento + Error
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El ANOVA de Un criterio
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Variación Total
Variaciones Debido al Factor Nivel
Variaciones Debido al Ruido Experimental = +
SCT
Suma Total de los
Cuadrados
SCF
Factor de la Suma de los Cuadrados Entre los Grupos
SCE
Suma de Cuadrados dentro
de los Grupos
• Descomposición de la variación total en componentes básicos
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TEST DE ANOVA
• Ventajas
– a. Su análisis estadístico es fácil
– b. Permite máxima flexibilidad en cuanto al número de tratamientos y número de
repeticiones.
– c. El análisis estadístico sigue siendo fácil aunque haya una pérdida de unidades
experimentales.
– d. El número de grados de libertad para el error es máximo en comparación con
otros diseños.
03/04/2014 Carlos Zea Rivera 22
• Desventajas – a. Cuando el número de unidades experimentales es muy grande es difícil
encontrar lugares grandes que presenten la homogeneidad requerida.
– b. Generalmente otro diseño suele ser más eficiente (preciso).
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TEST DE ANOVA
Aleatorización
• Por aleatorización se entiende la asignación al azar de los tratamientos a las
unidades experimentales usando ya sea una tabla de números aleatorios, o una
función aleatoria.
03/04/2014 Carlos Zea Rivera 23
• Procedimiento
– a. Determinar el número de unidades experimentales (n) y numerarlas. Es posible obtener n
al multiplicar el número de tratamientos por el número de repeticiones. ( k x n ).
– b. Asignar el número de unidades experimentales a cada tratamiento usando la tabla de
números aleatorios o bien cualquier otro herramienta que sirva a este propósito. Ejemplo: Si
cada tratamiento se repite cuatro veces; los 4 primeros números aleatorios obtenidos se
asignan al tratamiento A; los siguientes cuatro números aleatorios al tratamiento B; y así
sucesivamente.
– c. Una vez hecha la distribución anterior (b), se numeran las unidades experimentales y se
localizan los tratamientos de acuerdo al número que les corresponde y se obtiene así la
distribución de campo. (croquis de campo).
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TEST DE ANOVA
Modelo Aditivo Lineal
i = 1,2,3… k (tratamientos)
j = 1,2,3… n (repeticiones)
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X ij i ij
• Xij : variable de respuesta de la ij-ésima unidad experimental
: Efecto de la media general del experimento
i : Efecto del i-ésimo tratamiento
ij : Efecto del error experimental asociado a la ij-ésima unidad experimental
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TEST DE ANOVA
• Análisis de Varianza
• Hipótesis
• Ho: = i (Todos los tratamientos producen el mismo efecto)
Ha: ≠ i para al menos un i; i = 1,2, . . . t. (Al menos uno de los
tratamientos produce efectos distintos).
03/04/2014 Carlos Zea Rivera 25
• El criterio de decisión es de:
– Si Fc > Fe Se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
– Si p < α se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
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TEST DE ANOVA
• En el trabajo analítico suelen presentarse a menudo
comparaciones en las que intervienen más de dos medias.
• Ejemplos
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FUENTES DE VARIACION
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Pasos para Diseñar y Realizar un DOE
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1. Observar datos históricos y/o recolectar datos para establecer la capacidad actual
del proceso debe estar bajo control estadístico.
2. Determinar el objetivo del experimento (CTQs a mejorar).
Por medio de un equipo de trabajo multidisciplinario
3. Determinar qué se va a medir como resultado del experimento.
4. Identificar los factores de control y de ruido que pueden afectar el resultado.
5. Determinar el número de niveles de cada factor y sus valores reales.
6. Seleccionar un esquema experimental que acomode los factores y niveles
seleccionados y decidir el número de replicas.
7. Verificar todos los sistemas de medición (R&R < 10%)
8. Planear y preparar los recursos (gente, materiales, etc.) para llevar a cabo el
experimento. Hacer un plan de prueba
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Pasos para Diseñar y Realizar un DOE
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9. Realizar el experimento, identificar muestras con la condición experimental que la produce
10. Medir las unidades experimentales.
11. Analizar los datos e identificar los factores significativos.
12. Determinar la combinación de niveles de factores que mejor alcance el objetivo.
13. Correr un experimento de confirmación con esta combinación "óptima".
14. Asegurar que los mejores niveles para los factores significativos se mantengan
por largo tiempo mediante la implementación de Procesos de Operación Estándar
y controles visuales.
15. Re evaluar la capacidad del proceso.
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Tablero de datos
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T1 T2 T3 … Tk
1 X11 X21 X31 … Xk1
2 X12 X22 X32 … XK2
3 X13 X23 X33 … XK3
4 X14 X24 X34 … XK4
: : : :
n X1n X2n X3n … Xkn
Total X1. X2. X3. Xk.
Prom
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.1x .2x .3x .kx
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Partición de la Sumas de Cuadrados
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SCTratSCErrorSCTotal
(1) (3) (2)
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1. Sumas de Cuadrados Total
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ij xxSCTotal
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2
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1. Sumas de Cuadrados Total
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ij
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x
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2
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2. Sumas de Cuadrados Tratamientos
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2. Sumas de Cuadrados Tratamientos
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3. Sumas de Cuadrados Error
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RESUMEN
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2
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1 1 1
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Tablero ANVA
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Fuentes de
Variabilidad
Grados
Libertad
Sumas de
cuadrados
Cuadro
Medio
F Fisher Prob
Tratamientos SC Trat
Error SC Error
Total SC Total
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Tablero ANVA
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Fuentes de
Variabilidad
Grados
Libertad
Sumas de
cuadrados
Cuadro
Medio
F Fisher Prob
Tratamientos k-1 SC Trat SCTr/(k-1)
Error k(n-1) SC Error SCEr/k(n-1)
Total kn-1 SC Total
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Tablero ANVA
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Fuentes de
Variabilidad
Grados
Libertad
Sumas de
cuadrados
Cuadro
Medio
F Fisher Prob
Tratamientos k-1 SC Trat SCTr/(k-1) CMT/CME
Error k(n-1) SC Error SCEr/k(n-1)
Total kn-1 SC Total
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HIPOTESIS
• Las Hipótesis serán del tipo
– Ho: 1 2 3 ... k
– Ha: al menos una diferente
• El criterio de decisión es de:
– Si Fc > Ft(gl trat, gl err, a) Se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
– Si p < a Se rechaza la Ho
Caso contrario, se acepta la Ho
• Supuestos:
Las suposiciones que validan el análisis de varianza son:
– a. Los errores son independientes
– b. Los errores están normalmente distribuidos con media cero y varianza constante
– c. Existe homogeneidad de varianzas entre los tratamientoe:
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Ejemplo 1 DCA
• Se probaron concentraciones de 1, 2, 3 y 4 ppm de una cierta enzima
mas un control (en que no se añadió enzima) para estudiar su efecto
en la separación de un jugo de naranja.
• Cada tratamiento se replicó 4 veces y se usó un diseño completamente
al azar. Se añadió agua a las 20 muestras y se midió el tiempo de
separación (minutos) en cada muestra.
• Los resultados pueden observarse en el tabla adjunta.
• Interesa responder a las siguientes preguntas:
– 1. La presencia de enzima retarda la separación comparada con la
ausencia de la misma?
– 2. Hay algún efecto diferencial del nivel de enzima agregado?
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Ejemplo 2 DCA
• Cuatro grupos de vendedores de una agencia de ventas de
revistas fueron sometidos a diferentes programas de
entrenamiento de ventas.
• Debido a que hubo deserciones durante el entrenamiento, el
numero de asistentes fue diferente en cada grupo. Al final de
dicho programa a cada vendedor le fue asignada al azar alguna
zona de ventas, que tiene similar potencial de ventas que otra.
• Hay suficiente evidencia que indique una diferencia en los
resultados promedio de los cuatro programas de
entrenamiento?
• Si la Ho es rechazada, que pares de promedios son
diferentes??
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Ejemplo 3 DCA
• Tres secciones de un curso de Estadística están a cargo de tres
diferentes profesores.
• Cada uno de ellos aplica un método de enseñanza, el mismo
que se evalúa a través de las notas obtenidas en cada curso.
• Hay alguna diferencia significativa en el procedido de las
calificaciones dadas por los tres profesores?
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Ejemplo 4 DCA
• De un producto en observación se tomo 14 muestras tan
similares como fue posible, luego se procedió a su
estocamiento utilizando para tal efecto 5 métodos de
almacenamiento diferentes.
• Después de cierto tiempo se determino la cantidad de agua que
contenía cada muestra y se obtuvieron los resultados abajo
indicados.
• Los métodos de almacenaje influyen en el contenido de agua?
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Ejemplo.
Tres compañías se ofrecen a transportar nuestro producto.
Para probarlas en cuanto a su oportunidad de entrega,
medida por el porcentaje de retraso a tiempo estimado de
entrega.
¿Qué experimento sugiere?
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Construya, con su equipo otro ejemplo de un experimento
totalmente al azar.
Reporte:
• Descripción del experimento.
• De dónde viene lo aleatorio.
• Cuál es la asignación y cómo se hizo.
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