1.1 (Complex Numbers and their Propoties) อน · 2016. 12. 6. ·...

บทท่ี 1

จํานวนเชิงซอนและระนาบเชิงซอน(Complex Numbers and Complex Plane)

ในบทนี้เราจะแนะนําจํานวนเชิงซอน สรางการกระทําของจํานวนเชิงซอนพรอมศึกษาถึง

สมบัติทางพีชคณิตของจํานวนเชิงซอนจากน้ันกจ็ะศึกษาระนาบเชิงซอนซ่ึงสามารถใชเปนตัวแทนของจํานวนเชิงซอนในการทีจ่ะอธิบายจํานวนเชิงซอนในเชิงเรขาคณิตไดเปนอยางด ี

1.1 จํานวนเชิงซอนและสมบัติของจํานวนเชิงซอน(Complex Numbers and their Propoties)

ไมมีใครทราบวาผูคิดคนจํานวนเชิงซอนข้ึนมาคือใคร แตรูวามีการใชกันตั้งแตศตวรรษท่ี 16 โดยการหาผลเฉลยของสมการกําลังสอง เชน สมการ 02x2x2 =++ ซ่ึงผลเฉลยท่ีไดคือ

11x −±−= ซ่ึงเปนจํานวนท่ีพิเศษ เพราะหลายคนทราบกันดวีา 1− ไมใชจํานวนจริง เนื่องจากไมมีจํานวนจริงใดท่ียกกําลังสองแลวไดผลเปนลบ ดังนั้น 1− มันเปนเพยีงตัวเลขในจินตนาการเทานั้น หรือท่ีนกัปรัชญาไดกลาวไววา “มันคือส่ิงท่ีเด็กๆ จินตนาการข้ึนเทานั้น” แตตอมา ตัวเลขในจินตนาการก็ไมไดหนีจากเราไปไหน เพราะยังมีกลุมนักคณิตศาสตรทําการศึกษาอยู นักคณิตศาสตร ผูมีช่ือเสียงคนหนึ่งต้ังม่ันวา ถาพวกเขายงัคงอยูในจนิตนาการโดยไมคิดคนอะไรข้ึนมาเลย เคาคงไมใชนักคณติศาสตรอยางแทจริง หลังจากนัน้มาแนวคิดทางตัวเลขก็ไดทําใหเกดิการพัฒนาข้ึนอยางตอเนื่องในศตวรรษตอๆ มา เซตของตัวเลขพัฒนาข้ึนจากจํานวนเต็มบวกไปเปนจํานวนเต็มลบ จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ ในศตวรรษท่ี 18 แนวความคิดเกีย่วกบัตัวเลขก็ไดเกิดทฤษฎีใหมข้ึนมา เม่ือนักคณติศาสตรชาวเยอรมัน “คารล ฟรีดริช เกาส (Carl Friedrich Gauss ) ” บัญญัติช่ือเรียกตัวเลขในจินตนาการดังกลาวข้ึนมาวา “จํานวนเชงิซอน” และใชช่ือนีต้ั้งแตบัดนัน้ เปนตนมา ซ่ึงสรางข้ึนมาอยางมีเหตุมีผล

สําหรับในหวัขอแรกนี้เราจะศึกษา คํานิยามพื้นฐานและสมบัติของจํานวนเชิงซอน คารล ฟรีดริช เกาส ( Carl Friedrich Gauss ) และ โอกูสแตง ลุย โคชี (Augustin Louis Cauchy)

นักคณิตศาสตรชาวฝร่ังเศส ใชสัญลักษณ i เขียนแทนจํานวน 1− ณ ตอนนี้พวกเขาสามารถบอกไดเลยวา

i คือ จํานวนจนิตภาพ ท่ีมีสมบัติวา 1i2 −=

2 บทที่1 จํานวนเชิงซอนและระนาบเชิงซอน

จํานวนเชิงซอนถูกสรางข้ึนมาจาก 2 จํานวนดังนิยามตอไปนี ้บทนิยาม 1.1 จํานวนเชิงซอน คือ จํานวนท่ีอยูในรูป ibaz += ซ่ึง a และ b เปนจาํนวนจริง และ i เปนจํานวนจนิตภาพ

สัญลักษณ iba + และ bia + สามารถใชแทนกนัได จํานวนจริง a ใน ibaz += เรียกวา สวนจริง ของ z เขียนแทนดวย )zRe( จํานวนจริง b ใน ibaz += เรียกวา สวนจินตภาพของ z เขียนแทนดวย )zIm(

เชน ถา iz 32 −= แลว 2)Re( =z และ 3)Im( −=z ถาสวนจริงเปน 0 เรียกวา จํานวนจินตภาพแท เชน iz 2= คือจํานวนจินตภาพแท จํานวนเชิงซอน 2 จํานวนจะเทากัน ถาสวนจริงและสวนจนิตภาพเทากัน บทนิยาม 1.2 จํานวนเชิงซอน ibaz 111 += และ ibaz 222 += จะเทากัน ก็ตอเม่ือ

21 aa = และ 21 bb = เขียนในรูปสัญลักษณ คือ

21 zz = ก็ตอเม่ือ )zRe()zRe( 21 = และ )zIm()zIm( 21 = จํานวนจริง a สามารถเขียนเปน i0aa += ดังนั้นสามารถกลาวไดวา เซตของจํานวนจริงเปนเซตยอยของจํานวนเชิงซอน

การกระทําเชิงพีชคณติ จะนยิามการบวก ลบ คูณ และหาร ของจํานวนเชิงซอนดังตอไปนี้ ถา ibaz 111 += และ ibaz 222 += เปนจํานวนเชิงซอนสองจํานวน จะนยิาม การบวก : 21 zz + = )iba()iba( 2211 +++ = i)bb()aa( 2121 +++ การลบ : 21 zz − = )iba()iba( 2211 +−+ = i)bb()aa( 2121 −+− การคูณ : 21 zz ⋅ = )iba()iba( 2211 +⋅+ = i)baba()bbaa( 12212121 ++−

การหาร : 2

1

zz

= ibaiba

22

11

+

+ , 0a2 ≠ หรือ 0b2 ≠

= iba

baabba

bbaa22

22

212122

22

2121

+−

+++

สมบัติของจํานวนเชิงซอนภายใตการบวก และการคูณ มีดังตอไปนี ้กฎการสลับท่ี : 21 zz + = 12 zz + 21 zz ⋅ = 12 zz ⋅ กฎการเปล่ียนกลุม : 321 z)zz( ++ = )zz(z 321 ++ 321 z)zz( ⋅⋅ = )zz(z 321 ⋅⋅ กฎการแจกแจง : )zz(z 321 +⋅ = 3121 zzzz ⋅+⋅

1.1ลักษณะของจํานวนเชิงซอน 3

ตัวอยาง 1 กาํหนดให i32z1 += และ i54z2 += จงหา a) 21 zz + b) 21 zz ⋅

วิธีทํา a) โดยกฎการบวกเราสามารถแยกสวนจริงและสวนจินตภาพของ 1z และ 2z ไดดังนี ้

21 zz + = )i54()i32( +++

= i)53()42( +++ = i86 + b) โดยกฎการคูณ และคุณสมบัติ 1i2 −= จะไดผลคูณของ 1z และ 2z คือ

21 zz ⋅ = )i54()i32( +⋅+ = 2i15i12i108 +++ = i)1210()158( ++− = i227 +− ศูนยและหนึ่ง ศูนยในระบบของของจํานวนเชิงซอนคือ i00 + และ หนึ่ง คือ i01 + ศูนยและหนึ่ง เขียนแทนดวย 0 และ 1 ตามลําดับ ศูนยเปน เอกลักษณภายใตการบวก กลาวคือ นําไปบวกกับจํานวนใดๆ กไ็มทําใหคานัน้เปล่ียน

z0 z 0z +==+ ในทํานองเดียวกันหนึ่ง เปน เอกลักษณภายใตการคูณ กลาวคือ หนึ่งคูณกับจํานวนเชิงซอนใดๆ ก็ไมทําใหคานัน้เปล่ียน

z1z1z ⋅==⋅ สังยุค ถา z คือ จํานวนเชิงซอนแลว จะเรียกจํานวนเชิงซอนท่ีไดจากการเปล่ียนเคร่ืองหมายสวนจินตภาพวา สังยุคของจาํนวนเชิงซอน z ใชสัญลักษณ z คือ ถา ibaz += แลวสังยคุของ z คือ ibaz −= เชน

ถา i36z += แลว i36z −= ถา i21z −−= แลว i21z +−=

ถา z เปนจํานวนจริง เชน 5z = แลว 5z = จากนยิามการบวกและการลบของจํานวนเชิงซอน จะไดวา 21 zz + = 1z + 2z ,

21 zz − = 21 zz −


สําหรับการคูณและการหาร ก็สามารถเขียนไดดังนี ้

21 zz ⋅ = 1z . 2z ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

zz

= 2

1

zz

จากนยิามของการบวกและการคูณ จะเห็นวา ผลบวกและผลคูณของจํานวนเชิงซอน z กับ z ก็คือจํานวนจริง zz + = )iba()iba( −++ = a2 zz ⋅ = )iba()iba( −⋅+ = 222 bia − = 22 ba + ผลตางของจํานวนเชิงซอน z กับ z คือ จํานวนจนิตภาพแท zz − = )iba()iba( −−+ = bi2 และจาก )zRe(a = และ )zIm(b = จึงไดวา )zRe( และ )zIm( สามารถเขียนไดเปน

)zRe( = 2

zz + และ )zIm( = i2zz −

สําหรับการหาร สามารถเขียนเปนจํานวนเชิงซอนไดดังนี้

2

1

zz

= 2

1

2

1

zz

zz

⋅ = 22

21

zzzz

ซ่ึงจะแสดงในตัวอยาง 2

ตัวอยาง 2 กําหนดให i32z1 −= และ i54z2 += จงหา 2

1

zz

วิธีทํา 2

1

zz

= i54i32

+−

= i54i32

+− .

i54i54

−−

= 2516

i15i12i108 2

++−−

= 41

i247 −−

= 41

i24417−

−

1.1ลักษณะของจํานวนเชิงซอน 5

ตัวผกผัน ในระบบจํานวนเชิงซอน ทุกๆ biaz += จะมีตัวผกผันภายใตการบวกเสมอ เหมือนกนักับในระบบจํานวนจริง จํานวนท่ีมาบวกกับ z แลวเปนศูนย คือ z− ซ่ึง biaz −−=− สําหรับตัวผกผันภายใตการคูณจะไดวา จาํนวนเชิงซอน 0z ≠ จะมีตวัผกผันภายใตการคูณ ซ่ึงเขียน

แทนดวย 1z− ดังนั้น ทุก 0z ≠ จะมี 1z− ท่ีทําให 1zz 1 =⋅ − จะเหน็ไดวา z1z 1 =−

ตัวอยาง 3 จงหา 1z− เม่ือ i32z += วิธีทํา จากวิธีการหารจะไดวา

1z− = z1 =

i321+

= )i32(i32

)i32(1

−−

+=

94i32

+− = i

133

132−

นั่นคือ z1 = 1z− = i

133

132−

ซ่ึงเราสามารถตรวจสอบความถูกตองโดยการคูณดวยตัวมันเอง

จะได 1zz −⋅ = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+ i

133

132)i32( = 1

แบบฝกหัด 1.1

1. จงหาคากําลังของ i ตอไปนี้ (a) 7i (b) 12i (c) 41i (d) 102i 2. จงเขียนจํานวนท่ีกําหนดใหตอไปนี้ในรูปของ iba + (a) 432 i5i4i3 +− (b) 8106 i2ii5 +−

(c) 32 i1

i2

i5

−+ (d) 572 i2i4i2

i5

+−+

ขอ 3 – 20 เขียนจํานวนท่ีกําหนดใหตอไปน้ีในรูป iba + 3. )i62()i43( −+− 4. )i25(3)i4(3 −++ 5. )i75(i2 − 6. )i21(i4)i3(i −++

7. )i4)(i32( +− 8. )i35

32)(i

41

21( +−

9. i2

1i3−

+ 10. i1

i−

11. i53i42

+− 12.

i26i510

+−

13. i1

)i32)(i3(−+− 14.

)i34)(i2()i21)(i1(

−+−+


15. )i32()i24()i73()i45(

−+++−− 16. 2

3

)i2(i2)i54(

+++

17. )i62)(i2)(i1(i +−− 18. 32 )i1()i1( −+

19. i2

1)i53)(i4()i63(−

++−++ 20. 2

i21i2)i32( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+

ขอ 21-24 ใหใชทฤษฎี บททวินาม (Binomial theorem)

n)BA( + = ...BA!2

)1n(nBA

!1nA 22n1nn +

−++ −−

+ nkkn B...BA!k

)1kn()2n)(1n(n+

+−⋅⋅⋅−− − เม่ือ ,...3,2,1n =

หาผลลัพธ ตอไปนี้ และใหตอบในรูป iba +

21. 2)i21( + 22.3

i211 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

23. 5)i2( +− 24. ( )8i1 + ขอ 25 และ 26 จงหา )zRe( และ )zIm(

25. z = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− i311

i2i 26. z =

)i31)(i21)(i1(1

+−−

ขอ 27-30 ให iyxz += จงหาคาตอไปน้ีในรูปของ x และ y

27. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛z1Re 28. )zRe( 2

29. )i4z4z2Im( −+ 30. ( ) )zzIm( 22 + ขอ 31-34 ให iyxz += ใหหาคาในรูปของสัญลักษณ )zRe( และ )zIm( 31. )izRe( 32. )izIm( 33. )z)i1Im(( + 34. )zRe( 2 ขอ 37 – 42 แกสมการเพื่อหาคา ibaz += 37. )i92(iz2 += 38. 0i67z2z =−+− 39. iz2 = 40. z4z2 =

41. i31i2z2z

+−

=+ 42. i43z1

z+=

+

ขอ 43 และ 44 จงหาผลเฉลยของระบบสมการ เพื่อหาคา 1z และ 2z 43. i102iziz 21 +=− 44. i21z)i1(iz 21 +=++ และ i53z)i1(z 21 −=−+− และ i4iz2z)i2( 21 =+−

1.3 รูปแบบเชิงขั้วของจํานวนเชิงซอน 7

1.2 ระนาบเชิงซอน (Complex Plane)

จํานวนเชิงซอน เขียนในรูปของ iyxz += สามารถเขียนในรูปของคูอันดับไดเปน )y,x(

โดยท่ี x เปนสวนจริง และ y เปนสวนจินตภาพ ของจํานวนเชิงซอนนั้น

รูป 1. 1 ระนาบเชิงซอน

จากรูป 1.1 ระนาบเชิงซอน หรือ ระนาบ z เรียกเสนตรงในแนวนอน หรือ แกน x วา แกนจริง

และ เรียกเสนตรงในแนวต้ัง หรือ แกน y วา แกนจินตภาพ ตัวอยาง 4 คูอันดับ )4,3( เขียนอยูในรูปจํานวนเชิงซอน ไดเปน i43z += ในทํานองเดียวกัน ถา i43z += ก็สามารถเขียนในรูปของคูอันดับ )4,3( ไดเชนกัน และ 8 ,1 และ i6− จะเทากับ

)0,8( , )0,1( และ )6,0( − ตามลําดับ นอกจากนี้ยังสามารถเขียนแทนจํานวนเชิงซอนในรูปเวกเตอรได

รูป 1. 2 เวกเตอรบอกตําแหง

จากรูป 1.2 เราเขียน z ในรูปของเวกเตอร เม่ือ iyxz += และเวกเตอรนี้ มีความยาวหรือ

ระยะทางท่ีหางจากจุดกําเนดิ เทากับ 22 yx + หรือ ระยะทางระหวางจุด )0,0( และจุด )y,x( นั่นเอง

y

x

iyxz +=

y

x

iyxz += )y,x(

แกนจริง

แกนจินตภาพ


บทนิยาม 1.3 มอดุลัส (Modulus) ของจํานวนเชิงซอน iyxz += คือจํานวนจริง กําหนดโดย 22 yxz += (1)

อาจเรียกคา z วามอดุลัส ของ zหรือ คาสัมบูรณ (absolute value) ของ z ซ่ึงมีความหมายทางเรขาคณิตคือระยะทางระหวางจุดจุด )0,0( และจุด )y,x( นั่นเอง ตัวอยาง 5 ถา i43z −= จาก (1) จะไดวา 525)4(3z 22 ==−+=

ถา i8z = จาก (1) จะไดวา 88i8z 2 ===

สมบัติมอดุลัส

สําหรับจํานวนเชิงซอน iyxz += จะไดคาของ zz เปนจํานวนจริง ซ่ึง 22 yxzz += ดังนั้น 222 yxz += หรือ zzz = (2)

สมบัติอ่ืนๆ เชน 2121 zzzz = และ 2

1

2

1

z

z

zz

= (3)

เม่ือเราให zzz 21 == แทนคาใน (3) จะไดวา 22 zz = (4)

ใหจํานวนเชิงซอน 111 iyxz += และ 222 iyxz += จะไดวา

12 zz − สามารถเขียนในรูปเวกเตอร ดังรูป1.3 (a) และไดวา

รูปท่ี 1.3(a) ผลตางของเวกเตอร

)yy(i)xx(zz 121212 −+−=−

ดังนั้น 2122

1212 )yy()xx(zz −+−=− (5)

ซ่ึงก็คือระยะทางระหวาง จุด 1z กับจุด 2z

y

x

222 iyxz +=

111 iyxz += 12 zz − 12 zz −


สําหรับผลบวก 21 zz + สามารถเขียนในรูปเวกเตอร ไดดังรูป1.3 (b)

รูป 1.3(b) ผลบวกของเวกเตอร

และจากคุณสมบัติของสามเหล่ียมใดๆทีก่ลาววาผลบวกของความยาวของ ดานสองดาน ยอมยาวกวาความยาวของดานท่ีสาม จึงไดวา

2121 zzzz +≤+ (6)

ซ่ึงเรียกอสมการนี้วาอสมการสามเหล่ียม(triangle inequality) และจาก )z(zzz 2211 −++=

ดังนั้นจะได 2212211 zzz)z(zzz −++≤−++=

เนื่องจาก 22 zz −=

จะได 2121 zzzz +≤− (7)

และเนื่องจาก )zz(zzzzzz 21121221 −−=−≥+=+

ดังนั้น 2121 zzzz −≥+ (8)

จากสมการท่ี(6) ถาแทน 2z ดวย 2z− จะไดวา 212121 z||z)z(z)z(z +=−+≤−+

นั่นคือ 2121 z||zzz +≤− (9)

จากสมการท่ี(8) เม่ือแทน 2z ดวย 2z− จะได 2121 zzzz −≥− (10)

y

x

2z

1z

21 zz +


ตัวอยาง 6 จงพิจารณาจํานวนเชิงซอนซ่ึงสอดคลองสมการ i2zz −= จะมีกราฟอยางไร วิธีทํา ให iyxz += เปนจํานวนเชิงซอนซ่ึงสอดคลองสมการ i2zz −=

จะได 22 yx + = 22 )2y(x −+ 22 yx + = 22 )2y(x −+ = 4y4yx 22 +−+ 4y4 = 1y = ดังนั้นจํานวนเชิงซอนซ่ึงสอดคลองสมการ i2zz −= จะตองมีคาสวนจินตภาพเปน 1เทานั้น ซ่ึงจะมีกราฟเปนเสนตรงท่ีขนานกับแกนจริง ดงัรูป 1.4

รูป 1. 3 i2zz −=

ตัวอยาง 7 จงหาขอบเขตบนของ 1z4z

15 +−

ถา 2|z| =

วิธีทํา เราตองการหาคา 0M > ท่ีทําให M|1z4z|

15 ≤+−

พิจารณา |1z4z| 5 +− = |)1z4(z| 5 −− ≥ |1z4||z| 5 −− และ |1z4| − ≤ |1||z4| −+ = 1|z|4 + นั่นคือ |1z4| −− ≥ 1|z|4 −− จาก 2|z| = จะไดวา |1z4z| 5 +− ≥ |1z4||z| 5 −− ≥ 1|z|432 −− = 231832 =−−

ดังนั้น ถา 2|| =z จะได 231

|1z4z|1

5 ≤+−

y

x

i2z −

z

z

i2

1y =



ในขอ 1-4 จงเขียนจํานวนเชงิซอน 1z และ 2z ในรูปของเวกเตอร พรอมเขียนผลบวกและผลตาง

ในรูปของเวกเตอร 1. i52z,i24z 21 +−=+= , 21 zz + , 21 zz −

2. i1z,i1z 21 +=−= , 21 zz + , 21 zz −

3. i3z,i45z 21 −=+= , 21 z5z3 + , 21 z2z −

4. i32z,i34z 21 +−=−= , 21 z4z2 + , 21 zz −

5. i25z1 −= และ i1z2 −−= จงหาเวกเตอรท่ีขนานกับเวกเตอร 21 zz + และมีความยาว 4

6. กําหนดให i56z,i3z,i82z 321 −−==−−= จงพิจาณาวาจุด 21 z,z และ 3z เปนจดุยอด ของสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม ?

ขอ 7-10 จงหามอดุลัส ของจํานวนเชงิซอนตอไปนี้

7. 2)i1( + 8. )4i1(4)i2(i +−−

9. i43

i2−

10. i1i2

i1i21

−−

++−

ขอ 11-12 ให iyxz += จงหาผลลัพธตอไปนี้ในเทอมของ x และ y 11. 2|i31z| −− 12. |z5z| + ขอ 13-14 จงพิจารณาวา จํานวนเชิงซอนตอไปนี้ จุดไหนใกลจุดกําเนิด และ จุดไหนใกลจุด i1 +

13. i810 + , i611 − 14. i41

21− , i

61

32+

ขอ 15-24 จงหาเซตของจุด z ในระนาบเชิงซอน ท่ีสอดคลองกับสมการตอไปน้ี 15. ( ) 01z)i1(Re =−+ 16. 2)]zi[Im( 2 =

17. |1z||iz| −=− 18. z1z =

19. 2)zIm( 2 = 20. |i3|)zRe( 2 −= 21. 1|1z| =− 22. |1z|2|iz| −=−

23. )zRe(|2z| =− 24. )zRe(|z| =


25. จงพิสูจนวา ถา 2z = แลว 13i86z ≤++ 26. จงพิสูจนวา ถา 1z = แลว 4|3z|1 2 ≤−≤ 27. จงหาขอบเขตบนของ |1z2z3| 2 ++ ถา 1|z| ≤

28. จงหาขอบเขตบนของ |6z5z| 24 +− ถา 2|z| = ( แนะนํา 6z5z 24 +− = )2z)(3z( 22 −− ) 29-30 จงหา z ท่ีสอดคลองกับสมการท่ีกําหนดให 29. i2z|z| +=− 30. z6i121|z| 2 =++

1.3 จํานวนเชิงซอนในรูปแบบพิกัดเชงิขั้ว (Polar Form of Complex Numbers)

ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinate) ประกอบดวย จุดO เรียกวา จุดขั้ว (Pole)

และ เสนตรงท่ีลากจากจุดข้ัว เรียกวา แกนเชงิขัว้ (Polar axis) ถา r คือ ระยะทางจากจุดข้ัวไปถึงจุด P และ θ คือ มุมท่ีวัดจากแกนเชิงข้ัว ไปยังเสนตรง OP แลวจุด P สามารถเขียนแทนไดดวยคูลําดับ ( )θ,r เรียกคูลําดับนีว้า พิกัดเชิงขั้ว ดังรูป 1.6

รูป 1. 4 ระนาบของระบบพิกัดเชิงข้ัว ดังนั้นเราสามารถพิจารณาระบบพิกดัเชิงข้ัวในระนาบของจํานวนเชิงซอนโดยพิจารณา

แกนเชิงข้ัว คือ แกน x และ จุดข้ัว O คือจุดกําเนิด )0,0( จึงไดวา คา y,x ในพิกดัฉาก กบั r และ θ ในพิกัดเชิงข้ัวจึงมีความสัมพันธ คือ θ= cosrx , θ= sinry ดังนั้น สําหรับจํานวนเชิงซอน iyxz += สามารถเขียนเปนรูปพิกัดเชิงข้ัวได θ+θ= sinircosrz หรือ )sini(cosrz θ+θ= ( 1 )

P(r, )θ

r

θ O จุดขั้ว แกนขั้ว


เรียก (1) วา รูปแบบเชิงขั้ว หรือรูปแบบเชิงขั้วของจํานวนเชิงซอน จากรูป 1.5 จะเห็นวา rสามารถแทนไดดวยระยะทางจากจุดกําเนิด )0,0( ไปยงัจุด )y,x(

รูป 1. 5 พิกัดเชิงข้ัวในระนาบเชิงซอน ดังนั้นเราสามารถแทน r ดวย |z|

สําหรับ θ คือมุมท่ีเวคเตอร z วัดจากแกน x ทางดานบวกซ่ึงจะมีทิศทางในการวดัดังนี้ ถาวัดในทิศทางทวนเข็มนาฬกิาจะใหคาท่ีเปนบวก ในทางกลับกัน ถาวัดในทิศทางตามเข็มนาฬกิาจะใหคาท่ีเปนลบ มุม θ เรียกวา อารกิวเมนต (argument ) ของ z ซ่ึงจะไดความสัมพันธของ อารกิวเมนต

ดังนี้คือ rxcos =θ และ

rysin =θ

อารกิวเมนต ในจํานวนเชิงซอนไมไดมีเพียงคาเดียว เนื่องจาก θcos และ θsin มีคาบเปน π2 หรือ อาจกลาวอีกนัยหนึ่งวา ถา 0θ เปนคา อารกิวเมนต ของ z แลว K,4,2 00 π±θπ±θ ก็เปนคา อารกิวเมนต ของ z ดวย

ในการคํานวณสามารถใช xytan =θ เม่ือ 0x ≠ เพื่อหาคา θ

อยางไรก็ตาม เนื่องจาก θtan มีคาบปน π

ดังนั้นในการคํานวณมักใช 2

)xyarctan(

2π


ตัวอยาง 8 จงเขียนจํานวนเชิงซอน i3 −− ใหอยูในรูปพิกดัเชิงข้ัว

วิธีทํา 3x −= , 1y −= จาก ( ) ( ) 213yxzr 2222 =−+−=+== จะได

631arctan π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ซ่ึงอยูในจตุภาคท่ีหนึง่ แตจากจุด ( )1,3 −− อยูในจตุภาคท่ีสาม

ดังนั้นจะไดวา 31

31tan =

−−

=θ โดย ( )67

6zarg π=π+π==θ

ดังนั้น รูปแบบเชิงข้ัวของ i3 −− คือ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π67sini

67cos2

π/67π/6

−1

−1.732

รูป 1. 6 ( )i3arg −−

อารกิวเมนตมุขสําคัญ

สัญลักษณ ( )zarg ใชแทนเซตของคาอารกิวเมนตของ z สําหรับ ( )zarg∈θ ท่ีซ่ึง π≤θ


ในกรณีท่ัวไป ความสัมพันธระหวาง ( )zarg และ ( )zArg คือ ( )zarg = ( ) π+ n2zArg , K,2,1,0n ±±= (3)

สมบัติการคูณ และสมบัติการหาร

ใหจํานวนเชิงซอนสองจํานวน ( )1111 sinicosrz θ+θ= และ ( )2222 sinicosrz θ+θ= โดย 1θ และ 2θ คือ อารกิวเมนต ใดๆ ของ 1z และ 2z ดังนั้น 21zz = ( ))sincoscos(sini)sinsincos(cosrr 2121212121 θθ+θθ+θθ−θθ = ( ) ( )( )212121 sinicosrr θ+θ+θ+θ (4)

สําหรับ 0z2 ≠ ,

2

1

zz =

2

1

rr ( )( )21212121 sincoscossinisinsincoscos θθ−θθ+θθ+θθ

= ( ) ( )( )21212

1 sinicosrr

θ−θ+θ−θ (5)

ดังนั้น คาของอารกิวเมนต ของ 21zz และ 2

1

zz คือ

)zzarg( 21 = )zarg()zarg( 21 +

และ )zz

arg(2

1 = )zarg()zarg( 21 −

ตัวอยาง 10 กําหนดให iz1 = , i3z2 −−= จงหา )zz(Arg 21 และ )zz

(Arg2

1

วิธีทํา จาก iz1 = ดังนั้น )z(Arg 1 = 2π

และ i3z2 −−= ดังนั้น )z(Arg 2 = 65π−

สําหรับ 21zz = ( )i3-i − = i31 − จะได )zz(Arg 21 3

π−=

และ 2

1

zz =

4i3

41

i3i

−−=−−

)zz

(Arg2

1 34π

=

ขอสังเกต สําหรับตัวอยางนี ้ )zz(Arg 21 )z(Arg)z(Arg 21 +=

และ )zz

(Arg2

1 = )z(Arg)z(Arg 21 −


การยกกําลังของจํานวนเชิงซอน

เราสามารถหาผลลัพธของกําลังท่ีเปนจํานวนเชิงซอนไดจากสมการ (4) ดังนี้ ถา ( )θ+θ= sinicosrz แลว ( ) ( )( )θ+θ+θ+θ= sinicosrz 22

( )θ+θ= 2sini2cosr2 และ ( )θ+θ= 3sini3cosrz 33 ดังนั้นโดยอุปนับเชิงคณิตศาสตรจะไดวา

( )θ+θ= nsinincosrz nn ทุกจํานวนนับ n ใด ๆ และจากสมการ(5)

( ) ( )( )θ−+θ−== −− 2sini2cosrzz1 222

ดังนั้นโดยอุปนับเชิงคณิตศาสตรจะไดวา

( ) ( )( )θ−+θ−== −− nsinincosrzz1 nnn ทุกจํานวนนับ n ใด ๆ

จึงไดวา ( )θ+θ= nsinincosrz nn ทุกจํานวนเต็ม n ใด ๆ (9)

เม่ือ 0n = จะได 1z0 = ตัวอยาง 11 จงคํานวณ 3z สําหรับ i3z −−=

วิธีทํา เขียน i3z −−= ในรูปพิกัดเชิงข้ัวได ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

67sini

67cos2z

ดังนั้น ( )33 i3z −−= = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π×+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π×

673sini

673cos23

= i827sini

27cos8 −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π

ขอสังเกต จากตัวอยาง 11 ถาเราตองการหา 3z− เราก็สามารถหาได 2 วิธีคือ หาสวนกลับของ i8z3 −= หรือ โดยใชสูตร (9) โดยแทนคา 3n −=

สูตรของเดอมวัฟวร De Moivre’s Formular

กําหนดให θ+θ= sinicosz นั่นคือ 1rz == และจากสมการ (9) จะได ( ) θ+θ=θ+θ nsinincossinicos n (10) เรียกวาสูตรของเดอมัวฟวร ซ่ึงสามารถนํามาประยุกตในการพิสูจนเอกลักษณ θncos และ θnsin


ตัวอยาง 12 จงคํานวณ 3z สําหรับ i21

23z +=

วิธีทํา เขียน i21

23z += ในรูปพิกัดเชิงข้ัวได

6sini

6cosz π+π=

จากสูตร (10) 3

3 i21

23z ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

3

6sini

6cos ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π×+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π×=

63sini

63cos

2

sini2

cos π+π=

i0 += i=


ขอ1 – ขอ10 จงเขียนจํานวนเชิงซอนตอไปนี้ใหอยูรูปแบบเชิงข้ัวโดยเลือก θ กรณ ี1 )z(Arg≠θ และ กรณี 2 )z(Arg=θ

1. 2 2. 10−

3. i3− 4. i6

5. i1 + 6. i55 − 7. i3 +− 8. i322 −−

9. i1

3+−

10. i3

12+

ขอ 11-12 ทําในลักษณะเดียวกัน แตใหใชเคร่ืองคํานวณหรือโปรแกรมชวยคํานวณโดยท่ี เลือก กรณี 1 )z(Arg≠θ และ กรณี 2 )z(Arg=θ 11. i72 +− 12. i512 −− ขอ 13-14 เขียนคูอันดับเชิงข้ัว ( )θ,r ใหอยูในรูปแบบ biaz += สามารถ ใชเคร่ืองคํานวณชวยไดหากจําเปน

13. )35 ,4( π− 14. ( )2 ,2

ขอ 15-18 จงขียนจํานวนเชิงซอนตอไปนี้ให อยูในรูป biaz +=

15. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

67sini

67cos5z 16. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

411sini

411cos28z


17. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

8sini

8cos6z 18. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

5sini

5cos10z

ขอ19-20 ใชคูณสมบัติในขอ ( ) ( )7,6 หาคาของ 21zz และ2

1

zz และเขียนใหอยูในรูป biaz +=

19. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

8sini

8cos2z1 , ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ π+

π=

83sini

83cos4z2

20. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

4sini

4cos2z1 , ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ π+

π=

12sini

12cos3z2

ขอ 21-24 จงเขียนจํานวนเชิงซอนเปนรูปพิกัดเชิงข้ัวจากน้ันใช (6) หรือ (7) ในการหาผลลัพธ และเปล่ียนกลับมาเปนรูปแบบ bia + 21. ( )( )i355i33 +− 22. ( )i44 + ( )i1 +− 23.

i11+− 24.

i31i62

+−+

ขอ 25-30 ใช (9) คํานวณคาตอนี้ 25. ( )9i31 + 26. ( )5i22 − 27.

10

i21

21

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 28. ( )4i62 +−

29. 12

8sin2i

8cos2 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π+

π 30. 6

92sini

92cos3 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π

ขอ 31-32 จงแปลงจํานวนเชิงซอนแบบเชิงข้ัวใหอยูในรูป biaz +=

31. 512

6sini

6cos2

9sini

9cos ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π 32. 10

3

16sini

16cos2

83sini

83cos8

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π

33. ใชสูตรของเดอมัวฟว (10) เม่ือ 2n = หา เอกลักษณ ตรีโกณมิติของ θ2cos และ θ2sin 34. ใชสูตรของเดอมัวฟว (10) เม่ือ 3n = หาเอกลักษณ ตรีโกณมิติของ θ3cos และ θ3sin ขอ 35-36 หาจํานวนเต็มบวก n ท่ีทําให

35. 1i21

23

n

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 36. 1i

22

22

n

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

37. กําหนดให 1z1 −= และ i5z2 = จงแสดงวา

(a). ( ) ( ) ( )2121 zArgzArgzzArg +≠ (b). ( ) ( )212

1 zArgzArgzz

Arg −≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

แต (c). ( ) ( ) ( )2121 zargzargzzarg += (d). ( ) ( )212

1 zargzargzz

arg −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1.4 กําลังและราก 19

1.4 กําลังและราก(Powers and Roots)

จากพีชคณิต จะเรียก 2− และ 2 วาเปนรากท่ีสองของ 4 เพราะวา ( ) 42 2 =− และ ( ) 42 2 = หรืออาจกลาวไดวา 2− และ2 เปนผลเฉลยของสมการ 4w2 = ในทํานองเดียวกัน 3w = เปนรากท่ีสามของ 27 เนื่องจาก 273w 33 == โดยท่ัวไปw เปน รากท่ี nของจํานวนเชิงซอน z ท่ีไมใชศูนย ถา zwn = , เม่ือ n เปนจาํนวนเต็ม

บวก เชน 1w = i22

22+ และ i

22

22w2 −−= เปนรากท่ีสองของจํานวนเชิงซอน

iz = เพราะวา iw21 = และ iw22 =

กําหนดให ( )θ+θ= sinicosrz และ ( )φ+φρ= sinicosw เปนรูปแบบเชิงข้ัวของจํานวนเชิงซอน z และ w ดังนั้น สมการ zwn = เปน

( )φ+φρ nsinincosn ( )θ+θ= sinicosr (1) จากสมการ (1) เราสามารถสรุปไดวา rn =ρ (2) และ θ+θ=φ+φ sinicosnsinincos (3) จากสมการ (2) จะได n r=ρ เปนรากท่ี n ท่ีเปนบวกของจํานวนจริงบวก r

จากสมการ (3) ไดวา θ=φ cosncos และ θ=φ sinnsin โดยคุณสมบัตอิารกิวเมนต θ และ φ จะไดวา π+θ=φ k2n เม่ือ k เปนจํานวนเต็ม

ดังนั้น n

k2 π+θ=φ

เม่ือ 1n,...,2,1,0k −= จะใหคารากท่ี n ของ z ท้ังหด n รากท่ีแตกตางกันซ่ึงแตละรากจะไดคามอดุลัสคือ n r ท่ีเหมือนกัน ขอสังเกต สําหรับ nk ≥ เราจะไดคาเหมือนกับรากท่ี }{ 1n,...,1,0k −∈ เพราะวา ฟงกชัน sine และ ฟงกชัน cosine มีคาบ π2 ซ่ึงแสดงใหเห็นจริงไดโดย ให mnk += เม่ือ 1n,...2,1,0m −=

ดังนั้น ( ) π+π+θ=π++θ=φ 2nm2

nmn2

และ φsin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+θ=

nm2 , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+θ=φ

nm2coscos

สรุป รากท่ี n ของจํานวนเชิงซอน ( )θ+θ= sinicosrz ท่ีไมใชศูนย จะหาไดจาก

nk rw = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+θ

nk2sini

nk2cos เม่ือ 1n,...2,1,0k −= (4)


ตัวอยาง 13 จงหารากท่ีสามของจํานวนเชิงซอน iz = วิธีทํา ในการหารากท่ีสามของจํานวนเชิงซอน iz = ก็เหมือนกับการแกสมการ iw3 =

เขียนรูปแบบเชิงข้ัวของ iz = จะได 1r = , θ = ( )2

iArg π=

ดังนั้น 2

sini2

cosz π+π=

จากสมการ (4) โดยแทน 3n = จะไดวา

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+π=

3

k22sini

3

k22cos1w 3k , 2,1.,0k =

ดังนั้น รากท่ีสามท้ัง สามจํานวน มีคาดังตอไปนี ้

0k = , 6

sini6

cosw0π

+π

= i21

23+=

1k = , 65cosw1π

=65sini π+ i

21

23+−=

2k = , 2w 23sini

23cos π+π= i−=

รากท่ีn มุขสําคญั

จากหวัขอท่ีแลว )zarg( แทนเซตของอารกิวเมนต 0z ≠ ซ่ึงจะเหน็วามีคามากมาย ในทํานองคลายกันจะเห็นวา n1z แทนเซตของ nคาซ่ึงคือ kw ซ่ึงเปนรากท่ี nของ z

รากท่ีnของ z ซ่ึงหาจากการใชอารกิวเมนตมุขสําคัญของ z เม่ือ 0k = จะเรียกวา

รากท่ี n มุขสําคญั (principal n th root) ของwจากตัวอยาง 13 เราจะเห็นวา i213

21w0 +=

เปนรากท่ีสามมุขสําคัญของ i ในการเลือกอารกิวเมนตของ z เปน ( )zArg และ 0k = การันตีไดวา

ถา z เปนจํานวนจริงบวก r แลวรากท่ี n มุขสําคัญของ z คือ n r เชน 24 = เปนรากท่ีสองมุขสําคัญของ 4 และ 3273 = เปนรากท่ีสามมุขสําคัญของ 27 เนื่องจากรากจากสมการ(4) มีคามอดุลัสเหมือนกัน ดังนัน้รากท่ี nของจํานวนเชิงซอน z ท่ีไมเปนศูนย จะอยูบนวงกลมรัศมี n r จุดศูนยกลางท่ีจุดกําเนิด ในระบบเชิงซอน ยิ่งกวานัน้ เนื่องจาก

ผลตางระหวางอารกิวเมนตของ kw และ 1kw + คือ n2π ดังนั้นรากท่ี nของ z จะอยูบนวงกลมน้ี

เหมือนกนัโดย เร่ิมดวยรากซึ่งมีอารกิวเมนต คือ nθ จากรูป 1.7 แสดงถึงรากท่ีสามของ i โดยมุมท่ี

รองรับระหวางรากท่ีติดกันจะเทากับ 32π โดย เร่ิมดวย ราก 0w ซ่ึงมีคาอารกิวเมนต คือ 6

π


w0w1

w2

x

y

รูป 1. 7 รากท่ีสามของ i

ตัวอยาง 14 จงหารากท่ีส่ีของ i1z +=

วิธีทํา ในกรณนีี้ 2r = และ 4

)zarg( π==θ จากสมการ (4) แทนคา 4n = เราได

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+π=

4

k24sini

4

k24cos2w 8k , 3,2,1,0k =

จากการคํานวณ เราได

,0k = i212748.006955.116

sini16

cos2w 8o +≈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

π=

,1k = i06955.1212748.0169sini

169cos2w 81 +−≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π+

π=

,2k = i212748.006955.11617sini

1617cos2w 82 −−≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π+

π=

,3k = i06955.1212748.01625sini

1625cos2w 83 −≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π+

π=

ตามท่ีแสดงในรูป 1.13 รากท่ีส่ีอยูบนวงกลมท่ีมีจุดศูนยกลางท่ีจุดกําเนิดรัศมี 09051.12r 8 ≈=

และมุมท่ีรองรับระหวางรากท่ีติดกันคือ 24

2 π=

π เร่ิมจากรากของอารกิวเมนต คือ 16π

w0

w1

w2

w3

x

y

รูป 1. 8 รากท่ีส่ีของ i1 +



ในขอ 1-14 หารากท้ังหมดและหารากท่ี n มุขสําคัญจากนั้น จงเขียนจุดของ 1n10 w,...,w,w − บนวงกลมที่มีจุดศูนยกลางท่ีจดุกําเนิด 1. ( ) 318 2. 41)1(− 3. ( ) 219− 4. ( ) 31125− 5. ( ) 21i 6. ( ) 31i− 7. ( ) 31i1 +− 8. ( ) 51i1 +

9. ( ) 21i31 +− 10. ( ) 41i31 −− 11. ( ) 21i43 + 12. ( ) 21i125 +

13. 81

i1i16⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 14.

8/1

i3i1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

15. a) จงพิสูจนวา ( ) i247i34 2 +=+ b) จากขอ a) จงหาคาของ ( ) 21i247 + 16. จงหาผลเฉลยของสมการ 01z4 =+ 17. จงใช ( )2i22i8 += ในการหาผลเฉลยของ i816z8z2 =+−

ให n เปนจํานวนนับ รากท่ี n ของ 1 เปนผลเฉลยของสมการ 1wn = 18. a) จงแสดงวา รากที่ nของ 1 คือ

( )nk2sini

nk2cos1 n1 π+π= , 1n,.....,3,2,1,0k −=

b) จงหารากท่ี n ของ 1 สําหรับ 5n,4n,3n === 19. ใหw เปนรากท่ีสามของ 1 ท่ีสอดคลองกับ 1k = จากโจทยขอ 18 (a) (a) จงหา w และ 2w แลวดูความสัมพันธ ระหวางw และ 2w (b) จงพิสูจน 0ww1 2 =++ โดยวิธีตรง 20. สําหรับn ท่ีเปนจํานวนนับถาเราให 1k = ในโจทยขอ 19(a) เราจะไดราก

n2sini

n2coswn

π+

π=

จงอธิบายวาทําไมรากท่ี nของจํานวนเต็มหนึ่งหนวยสามารถเขียนเปน

1nn3n2nn w,...w,w,w,1 − 21. พิจารณาสมการ ( ) 0z2z nn =++ เม่ือ n เปนจํานวนเต็มบวก จงหาผลเฉลยเม่ือ 1n = และ 2n =


1.5 เซตของจุดในระนาบจํานวนเชิงซอน(Sets of Points in the Complex Plane)

กอนหนานี้ เราไดศึกษาสมบัติพื้นฐานทางพีชคณิตและเรขาคณิตของจํานวนเชิงซอน แต เนื้อหาหลักของการเรียนในท่ีนี้ เปาหมายของเราคือ ศึกษาฟงกชันเชิงซอน ของตัวแปรเชิงซอน

iyxz += และแคลคูลัสของฟงกชันเชิงซอน ซ่ึงในหัวขอนีจ้ะนยิามคําศัพทเฉพาะเกีย่วกับเซตในระนาบเชิงซอนกอน

วงกลม

สมมติ 000 iyxz +=

เนื่องจาก 0zz − = ( ) ( )2020 yyxx −+− คือระยะทางระหวางจุด iyxz += และ 000 iyxz +=

ดังนั้นจดุ iyxz += ท่ีสอดคลองกับสมการ ,zz 0 ρ=− ,0>ρ

คือจุดบนวงกลมท่ีมีจุดศูนยกลางท่ีจุด 0z รัศมี ρ ดังรูป 1.9

รูป 1. 9 วงกลมที่มีจุดศูนยกลางท่ีจุด 0z รัศมี ρ

ตัวอยาง 15 (a) 1z = คือ สมการวงกลมหนึง่หนวยหรือวงกลมที่มีจุดศูนยกลางท่ีจุดกําเนิดและรัศมีเทากับ 1 (b) สมการ 5i31z =+− เขียนใหมไดเปน ( ) 5i31z =−− ซ่ึงเปนสมการวงกลมทีมี่จุด ศูนยกลางอยูท่ีจุด i31z0 −= และ รัศมี 5

Z0

ρ

ρ=− || 0zz

1.6 การประยุกต 24

จานและยานใกลเคียง (Disk and Neighborhoods)

จุด z ท่ีสอดคลองอสมการ ρ≤− 0zz คือ z ท่ีอยูบนวงกลม ρ=− 0zz หรือ

อยูภายในวงกลม ρ=− 0zz

จะเรียกเซตของจุดท่ีสอดคลอง ρ≤− 0zz วา จาน (disk) ท่ีมีจดุศูนยกลาง 0z รัศมี ρ

เรียกเซตของจดุท่ีสอดคลองอสมการ ρ

1.5 เซตของจุดในระนาบจํานวนเชิงซอน 25

ตัวอยางเซตเปด เชน }1)zRe(:z{S >= เปนเซตเปด เพราะ สําหรับจํานวนเชิงซอน iyxz += ท่ี 1x > ในเซตนี้ สามารถหายานใกลเคียงของ z ท่ีอยูภายในเซตได

เชน ถาเราเลือก i21.1z0 += แลวจะสามารถหายานใกลเคียงของ 0z ท่ีอยูภายในเซตได คือ ( ) 05.0i21.1z


ตัวอยาง 16 เซตเปด รูป 1.18 ภาพแสดงตวัอยางเซตเปด

(a) ( ) ;0zIm < คร่ึงระนาบดานลาง (b) ( ) ;1zRe1


จุด z ท่ีไมเปนจดุภายในและ ไมเปนจดุขอบเขตของเซต S เรียกวา จุดภายนอก ( exterior point) ของ S , หรืออาจกลาวไดอีกแบบวา 0z คือจุดภายนอกของเซต S ถามียานใกลเคียงของ 0z ท่ีไมมีจุดของ S เลย

ดังรูป 1.14 แสดงตัวอยาง จุดภายใน, ขอบเขต และ จุดภายนอก ของเซต S

รูป 1. 14 ภายใน, ขอบเขต และภายนอก ของเซต S

ถา S เปนเซตของจํานวนเชิงซอนท่ีตัดจุด 0z ออก แลว S เปนเซต เปด ซ่ึงมีเซตขอบเขตของ S เพียงจดุเดียวคือ 0z แต S ไมมีจุดภายนอก เนื่องจาก ไมมียานใกลเคียงของ z ใดเลยท่ีจะไมมีจุดใน S

แผนวงแหวน (Annulus)

กําหนดใหเซต 1S คือเซตของจุดท่ีมีสอดคลองอสมการ 01 zz −


ทุกเซตเปดในรูป1.15 เปนซตเช่ือมตอกัน ดังนัน้ เปนโดเมน แต เซตของ z ท่ี ( ) 4zRe ≠ คือเซตเปดแตไมเช่ือมตอกนั เนื่องจากถาเลือกจุด 1z ท่ี 4)zRe( 1 < กับเลือกจุด 2z ท่ี 4)zRe( 2 > มันเปนไปไมไดท่ีจะมีเสนหลายเหล่ียมจํากัดท่ีเช่ือมตอกันแบบปลายชนปลายจาก 1z ไปยัง 2z โดยท่ีทุกสวนยังอยูใน ( ) 4zRe ≠ (เพราะจุดบนเสนตรง 4x = ไมอยูในเซต)

ยานใกลเคียงของจุด 0z คือ เซตท่ีเช่ือมตอ

รูป 1. 15 เซตท่ีเช่ือมตอ

บริเวณ (Regions ) คือ เซตของจุดในระนาบจํานวนเชิงซอนซ่ึงอาจไมรวม หรือรวมบางสวน หรือ รวมท้ังหมด ของจุดขอบเขต

เนื่องจากเซตเปดไมมีจุดขอบเขต ดังนั้น เปน บริเวณ บริเวณท่ีรวมขอบเขตท้ังหมดเรียกวาเซต ปด (closed)

จานซ่ึงกําหนดโดย ρ≤− 0zz ซ่ึงคือตัวอยางของบริเวณปดหรือเรียกวา จานปด (closed disk)

ยานใกลเคียงของจุด 0z กําหนดโดย ρ


เซตขอบเขต (Bounded Sets)

เราจะเรียกเซต S ในระนาบจํานวนเชิงซอนวา มีขอบเขต ถามีจํานวนจริง 0>R ซ่ึง Rz < ทุกๆ z ใน S

นั่นคือ S มีขอบเขตถาสามารถถูกหอหุมอยางสมบูรณภายในขอบเขตของยานใกลเคียงของจุดเร่ิมตน ในรูป 1.22

รูป 1. 16 เซตขอบเขต

เซตS คือบริเวณท่ีมีสี ซ่ึงมีขอบเขต เพราะอยูภายในวงกลมท่ีมีจุดศูนยกลางท่ีจุดกําเนิดได เซตท่ี ไมมีขอบเขต (Unbounded) ถาไมใชเซตท่ีมีขอบเขต


จงเขียนกราฟจากสมการท่ีกาํหนดใหในระนาบเชิงซอน 1. 5i34z =+− 2. 2i22z =++ 3. ( ) 5zRe = 4. ( ) 6i3zIm =+ 5. ( ) 3zi2Re =+ 6. ( ) ( )i34zReizIm −+=−

7. 2zz 22 =+ 8. 4

)zarg( π=

ในขอ 9-24 จงเขียนกราฟของเซต S ท่ีสอดคลองอสมการท่ีกําหนดให แลวพิจารณาดวยวา เซตในแตละขอ เปนเซตอะไรบาง ( เซตเปด เซตปด เซตมีขอบเขต หรือ เซตเช่ือมโยง ) 9. ( ) 1zRe −< 10. ( ) 2zRe > 11. ( ) 3zIm > 12. 4)1zRe(2


1.6 การประยกุต (Applications)

พีชคณติ

ในการศึกษารากของพหุนามดีกรี n ท่ีมีสัมประสิทธ์ิเปนจํานวนจริง จะพบวามีไดไมเกิน n ราก สําหรับรากของพหุนามดีกรี n ท่ีมีสัมประสิทธ์ิเปนจํานวนเชิงซอนก็จะศึกษาในทํานองเดียวกนั เชน พหนุามดกีรี 2 หรือสมการกําลังสอง ก็จะใชพื้นฐานเร่ืองการทําเปนกําลังสองสมบูรณเหมือนกัน โดยไดวา 0cbxax2 =++ เม่ือ c,b,a เปนจํานวนจริง และ 0a ≠

โดยทําเปนกําลังสองสมบูรณ จะไดวา a2

ac4bbx2 −±−

= เม่ือ 0ac4b2 ≥− (1)

และเม่ือ 0ac4b2


ตัวอยาง 17 หาผลเฉลยของสมการกําลังสอง 0i3z)i1(z2 =−−+

วิธีทํา จาก a2

)ac4b(bz21

2 −+−= โดยท่ี i1b,1a −== และ i3c −= จะได

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−=

−−−+−−= 2

121

2i10i1

21

2i34i1i1z (4)

หา 21

)i10(

จาก ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=

2sini

2cos10i10 ดังนั้นรากท่ีสองของ i10 คือ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=ω

4sini

4cos100 = ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ + i

21

2110 = i 55 +

และ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π+

π=ω

45sini

45cos101 = ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −− i

21

2110 = i 55 −−

ดังนั้นสมการ (4) ให 2 คา คือ

( )[ ]i55i121z1 +++−= และ ( )[ ]i55i12

1z2 −−++−=

ผลเฉลยของสมการเหลานี้เขียนในรูป iyxz += ไดเปน

( ) ( ) i 152115

21z1 ++−= และ ( ) ( ) i 152

11521z2 −−+−=

ขอสังเกต: ราก 1z และ 2z ไมเปนคูสังยุค

ตัวประกอบพหุนามกําลังสอง (Factoring a Quadratic Polynomial)

จากรากท้ังหมดของสมการพหุนาม เราสามารถหาตัวประกอบของพหุนามท้ังหมด เชน ถา 1z และ 2z เปนรากท่ีนิยามโดย (3) แลวพหุนามกําลังสอง cbzaz

2 ++ จะสามารถแยกตวัประกอบเปน )zz)(zz(acbzaz 21

2 −−=++ (5) เชน พหนุามกาํลังสอง 010x2x2 =+− มีราก i31z1 += และ i31z2 −= กับ 1a = ใช (5) สามารถแยกตัวประกอบ

)i31x)(i31x()]i31(x)][i31(x[10x2x2 +−−−=−−+−=+− ในทํานองเดียวกัน การแยกตัวประกอบของพหุนามกําลังสองในตัวอยาง 1 คือ )zz)(zz(i3z)i1(z 21

2 −−=−−+

= ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−− i 15

2115

21zi 15

2115

21z


สมการเชิงอนพุันธ (Differential Equations)

ในการแกปญหาสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนอันดับสอง )x(fcy'by''ay =++ ท่ีคาสัมประสิทธ์ิ b,a และ c เปนจํานวนจริง จะตองหาผลเฉลยของสมการเอกพันธ

0cy'by''ay =++ ซ่ึงการหาผลเฉลยของสมการเอกพันธจะสมมติใหสมการมีผลเฉลยในรูปแบบ

mxey = และโดยการแทน mxey = , mxme'y = , mx2em''y = เขาไปใน 0cy'by''ay =++ จะได

mxmxmx2 cebmeeamcy'by''ay ++=++ = mx2 e)cbmam( ++ = 0 จาก mx2 e)cbmam( ++ = 0 จะเหน็วา mxey = เปนผลเฉลยของสมการเอกพันธเม่ือ m เปนรากของสมการพหุนาม cbmam2 ++ = 0 ซ่ึงจะเรียกวาสมการชวย ดังนั้นถาสมการชวยเปนรากเชิงซอน 0 ,i ,i >ββ−αβ+α แลวผลเฉลยของ 0cy'by''ay =++ เปนฟงกชันเลขช้ีกําลังเชิงซอน x)i(ey β+α= และ x)i(ey β−α= การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ เราใชสูตรของ Euler

θ+θ=θ sin icosei (6) เม่ือ θ เปนจํานวนจริง แทนท่ี θ ดวย β และ β− ตามลําดับ เราเขียน (6) ไดเปน xixx)i( eee βαβ+α = = )xsin ix(cose x β+βα และ xixx)i( eee β−αβ−α = = )xsin ix(cose x β−βα (7) การรวมเชิงเสนสมการเชิงอนุพันธท่ีเปนเอกพันธ

( ) ( )[ ]xixi1 ee21y β−αβ+α += และ ( ) ( )[ ]xixi2 eei2

1y β−αβ+α −=

เปนผลเฉลยเชนกัน แตในสมการ (7) นิพจนท่ีเปนฟงกชันจริงคือ xcosey x1 β=

α และ xsiney x2 β=α (8)

ตัวอยาง 18 จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 0y2'y2''y =++ วิธีทํา ให mxey = เปนผลเฉลยจะไดวาสมการชวยคือ 02m2m2 =++ จะไดรากเชิงซอน i1m1 +−= และ i1mm 12 −−==

จาก (8) จะไดวา 1−=α และ 1=β ดังนั้นสองผลเฉลยคือ xcosey x1

−= และ xsiney x2−=

ดังนั้น จะไดผลเฉลยท่ัวไปของสมการเชิงอนุพันธ คือ xsinecxcosecycycy x2

x12211

−− +=+= เม่ือ 1c และ 2c เปนคาคงตัว


รูปแบบเลขชี้กําลังของจํานวนเชิงซอน (Exponential Form of a Complex Number)

เลขช้ีกําลังของจํานวนเชิงซอน ze คือจํานวนเชิงซอนกําหนดโดยเม่ือ iyxz += )ysiniy(coseee xiyxz +== + (9) สามารถแสดงสมบัติของเลขช้ีกําลังของจํานวนเชิงซอน 1z และ 2z ได 2121 zzzz eee += (10) ขอสังเกต: กรณีจํานวนเชิงซอน z อยูในรูปแบบเชิงข้ัว )sini(cosrz θ+θ= สามารถเขียนไดเปน θ= irez (11)

เรียกรูปแบบเลขชี้กําลังของจํานวนเชิงซอน z เชน 2i

eiπ

= และ 4i

e2i1π

=+ สูตรสําหรับการหารากของจํานวนเชิงซอน คือ

n/1z = n)k2(i

n e rπ+θ

, 1n,...,2,1,0k −= (12)


ขอ 1-6 หาผลเฉลยของสมการกําลังสองและใชสมการ (5) แยกตัวประกอบพหุนาม 1. 02izz2 =−+ 2. 0iziz2 =+− 3. 0i176z)i1(z2 =−++− 4. 0i520z)i91(z2 =+−+− 5. 0i3z2z2 =−+ 6. 0i31z)i32(z3 2 =−−−+ ขอ 7-12 เขียนจํานวนเชิงซอนตอไปนี้ในรูปแบบเลขช้ีกําลัง θ= irez 7. -10 8. i2π−

9. i44 −− 10. i1

2+

11. 2)i3( − 12. 20)i1( + ขอ 13-16 ใหหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเอกพันธ 13. 0y13y4y =+′−′′ 14. 0yy2y3 =+′+′′ 15. 0yyy =+′+′′ 16. 0y4y2y =+′+′′


ขอ 17 , 18 แยกตัวประกอบพหุนามกําลังสอง ถากําหนดรากจํานวนเชิงซอนมา 1 ราก

17. 034z12z4 2 =++ ; i25

23z1 +−=

18. 04z2z5 2 =+− ; i519

51z1 +=

19. (a) หาสมการพหนุามกําลังสอง ท่ีมี i2 − เปนราก (b) จากขอ (a) จะมีคําตอบไดเพยีงคําตอบเดียวหรือไม ขอ 20 และ 21 แยกตวัประกอบพหุนามกําลังสอง ถากําหนดรากเชิงซอนมา 1 ราก [พิจารณาโดยการหารยาวหรือการหารสังเคราะห] 20. i17z)i169(iz3 2 −−−+ ; i25z1 += 21. i105z)i1813(z4 2 −−+−+ ; i43z1 −= ในขอ 22-25 ใช โปรแกรม ชวยในการแยกตัวประกอบพหุนามกําลังสอง 22. 2iz3z2 −− 23. iz3z2 −− 24. i51z)i32(iz2 +++− 25. 10z)i71(z)i3( 2 −+++ ในขอ 26 และ 29 ใช เพื่อหารากท้ังหมดของสมการพหนุาม 26. 010z4z 23 =+− 27. 0i10iz4z 24 =++ 28. 012zz5 =−− 29. 01iz3zz 346 =−+−

บทที่ 1จำนวนเชิงซ้อนและระนาบเชิงซ้อน(Complex Numbers and Complex Plane) 1.1 จำนวนเชิงซ้อนและสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน(Complex Numbers and their Propoties)แบบฝึกหัด 1.11.2 ระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane)แบบฝึกหัด 1.21.3 จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar Form of Complex Numbers)อาร์กิวเมนต์มุขสำคัญ สมบัติการคูณ และสมบัติการหารการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน สูตรของเดอมัวฟวร์ De Moivre’s Formular

แบบฝึกหัด 1.31.4 กำลังและราก(Powers and Roots)กำหนดให้ และ เป็นรูปแบบเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน และ ดังนั้น สมการ เป็นรากที่มุขสำคัญ จากหัวข้อที่แล้วแทนเซตของอาร์กิวเมนต์ซึ่งจะเห็นว่ามีค่ามากมายในทำนองคล้ายกันจะเห็นว่า แทนเซตของ ค่าซึ่งคือซึ่งเป็นรากที่ ของ

แบบฝึกหัด 1.41.5 เซตของจุดในระนาบจำนวนเชิงซ้อน(Sets of Points in the Complex Plane)วงกลม จานและย่านใกล้เคียง (Disk and Neighborhoods)จุด ที่สอดคล้องอสมการ คือ ที่อยู่บนวงกลม หรืออยู่ภายในวงกลม เซตเปิด (Open sets) แผ่นวงแหวน (Annulus)โดเมน

แบบฝึกหัด 1.51.6 การประยุกต์ (Applications)พีชคณิต สูตรสมการกำลังสอง (Quadratic Formula)ตัวประกอบพหุนามกำลังสอง (Factoring a Quadratic Polynomial)สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations)รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน (Exponential Form of a Complex Number)

แบบฝึกหัด 1.6

1.1 (Complex Numbers and their Propoties) อน · 2016. 12. 6. ·...

Documents

Transcript of 1.1 (Complex Numbers and their Propoties) อน · 2016. 12. 6. ·...