11 cónicas

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1 Franklin Eduardo Pérez QuinteroLicenciado en Matemáticas y Física

Universidad de Antioquia

1

Matemáticas

Grado º

Unidad

Secciones cónicas

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LOGRO: Identificar las diferentes secciones cónicas con susprincipales características y reconociendo la forma de

graficarlas.

INDICADORES DE LOGRO:

Determina la gráfica y ecuación de una circunferencia

dada según su radio y centro.

Reconoce las diferencias sustanciales entre la

circunferencia, la elipse y la parábola.

Reconoce y halla las partes de la elipse partiendo de la

ecuación.

Identifica la gráfica, el vértice, abertura y los interceptoscon los ejes coordenados.

Resuelve problemas relacionados con las secciones

cónicas.

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SECCIONES CÓNICAS

RESEÑA HISTÓRICA

El matemático griego Menecmo (vivió sobre 350 a.C.) descubrió estascurvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 a. C.) De Perga(antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamentelas curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a losque dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica

con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficiecónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base yarista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficiecónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

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Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades

interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizanactualmente para definirlas.

Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apoloniode las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si seconstruyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededorde su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos ohiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si secoloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luzreflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz deuna fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayosincidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada porel espejo se concentra en el foco

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenasde televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice queun rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para quelos faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de lacarretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luzproveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco,esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una

superficie mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes desarrolló unmétodo para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es lallamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvascónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en lasvariables x e y.

El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todaslas ecuaciones de segundo grado en dos variables representan seccionescónicas se lo debemos a Jan de Witt

Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que lageometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexiónson de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace másimportantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas

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alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria decualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.

Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano

con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas:

CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA.

Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos “P” del

plano tales que la distancia no dirigida de “P” a un punto fijo está en

razón constante a la distancia no dirigida de “P” a una recta fija que

no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior

se llama excentricidad.

Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la

tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver

problemas donde se apliquen cada una de ellas.

Aprendamos algo

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7

(x – 1)2 + (y + 3)2 = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de

centro C(1,-3) y radio R = 4

x2 + (y – 4)2 = 7 es la Ecuación de una circunferencia de centro

C(0, 4) y Radio R = 7 .

Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es:

x2 + y2 = 25

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Al desarrollar la Ecuación Canónica (x-h)2 + (y-k)2 = R2 resulta:

(x-h)2 + (y-k)2 = R2 x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = R2

x2 + y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 = R2

Ahora tenemos:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Donde A = B y no aparece producto de la variable x e y.

Ejemplo: Una circunferencia tiene centro C(-3, 4) y pasa por el punto

P(1, -2) . Determinar su Ecuación General.

Solución:

Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación canónica:

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8

R2 = (x-h)2 + (y-k)2

Observamos si tenemos el centro, en este caso C(-3, 4) pero el radiono está dado. ¿Cómo encontrarlo? Es sencillo, ya que nos dan un punto

P(1, -2) por donde pasa las circunferencia; y sabemos que R = d(C, P).

Entonces, por definición de distancia, tenemos:

R = d(C, P) 22 42)3(1 R

2264 R

3616 R 52 R

Luego, sustituyendo tenemos:

(x-h)2 + (y-k)2 = R2 (x+3)2 + (y-4)2 2

52 Desarrollando la

Ecuación canónica. La ecuación general queda:

x2 + y2 + 6x – 8y – 27 = 0

Su representación gráfica es:

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ACTIVIDAD: Resolver

1.- Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro

C2

3,

2

1 y Radio R = 23 .

2.- Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los extremos

del diámetro son A(-2, 4) y B(0, -8) .

3.- Determinar la Ecuación de la Circunferencia de centro C(-1,4) y es

tangente al eje de las abscisas.

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE

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ELIPSE

Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma dedistancias a dos puntos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica)

d(P,F1) + d(P,F2) = d(A1, A2)

Donde:

C(h, k) es el centro.

A1, A2, B1, B2 Son los Vértices

F1, F2 Focos.

21 A A = 2a Eje Mayor.

21 F F = Eje Focal

21 B B = Eje Menor.

Aprendamos algo

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ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE

A partir de la definición se obtienen dos ecuaciones llamadas canónicas.Estas son:

CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1).

12

2

2

2

b

k y

a

h x

CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las coordenadas (y,

y1).

12

2

2

2

a

k y

b

h x

Observación: El centro es C(h, k) a2 y b2 están relacionadas con el eje

mayor y menor respectivamente por lo tanto para identificar los dos

casos, solo tienes que ver con quien está el mayor denominador (con la

variable x o con la variable y)

Ejemplo:

La Ecuación 14

1

9

3 22 y x

Corresponde a una elipse de centro C(3, -

1) y el eje mayor paralelo a las abscisas.

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Viene dada por Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 donde A ≠ B pero de igual

signo. Ejemplo:

2x2 + 3y2 - 6x + 12y + -1 = 0

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Excentricidad: es la relación entre “C” y “a” esto esa

C e

Coordenadas de los vértices y focos: es importante conocer estos

puntos de la elipse; pero es báñate sencillo determinar sus coordenadas,

tomando en cuenta que siempre se puede llegar a partir del centro de

la elipse.

CASO I:

A1(h+a, k) ; A

2(h-a, k)

F1(h+c, k) ; F2(h-c, k)

B1(h, k+b) ; B2(h, k-b)

CASO II:

A1(h, k+a) ; A2(h, k-a)

F1(h, k+c) ; F2(h, k-c)

B1(h+b, k) ; B2(h+b, k

Dónde C(h, k) “a” distancia del centro hasta A1 y A2,

“b” distancia del centro hasta B1, B2

“c” distancia del centro hasta F1, F2.

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ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes ejercicios

Dibujar la elipse (x2 /64) + (y2 /16) = 1

Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyosfocos son los puntos F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto dela gráfica con el eje x es el punto (5, 0).

Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100

PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan

(están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y unarecta fija llamada Directriz. Veamos la gráfica para identificar los

elementos en sistemas de coordenadas cartesianas.

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE

Aprendamos algo

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Por Definición

d(P, F) = d(P, M)

F = Foco

E = Eje

V = Vértice

I = Pto. De

Intersección. Eje Directriz.

d(F, V) = d(V, I) = p parámetro

ESTUDIAREMOS CUATRO CASOS DE LA ECUACIÓN CANÓNICA

DE LA PARÁBOLA

CASO 1 CASO 2

Cuando la parábola abre haciaarriba, cuya ecuación canónicaes:

(x – h)2 = 4p(y – k)

Donde C(h, k) es el centro de “p”

el parámetro.

ELEMENTOS:

Cuando la Parábola abre haciaabajo, cuya ecuación canónicaes:

(x – h)2 = - 4p(y – k)

Donde C(h, k) es el centro de “p”

el parámetro.

ELEMENTOS:

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V(h, k)

F(h, k+p)I(h, k-p)

Eje: x = h

Directriz: y = k - p

EJEMPLO: (x – 2)2 = 8(y – 3).

Ecuación de Parábola de vérticeV(2, 3)

4p = 8 p = 2 parámetro.

Foco:

F(h, k +p) = F(2, 3+2) = (2, 5)

I(h, k – p) = I(2, 3-2) = (2, 1)

Eje x = h entonces x = 2

Directriz y = k – p entonces y =3 – 2 = 1

Veamos su Grafica.

V(h, k)

F(h, k - p)I(h, k + p)

Eje: x = h

Directriz: y = k – p

EJEMPLO: (x – 3)2 = - 8(y – 1).

Ecuación de Parábola de vérticeV(3, 1)

-4p = -4 p = 1 parámetro.

Foco:

F(h, k +p) = F(3, 1 - 1) = (3, 0)

I(h, k – p) = I(3, 1+1) = (3, 2)

Eje x = h entonces x = 3

Directriz y = x + p entonces y =1 + 1 = 2

Veamos su Grafica

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CASO 3 CASO 4

Cuando la parábola abre hacia laderecha, cuya ecuación canónicaes:

(y – k)2 = 4p(x – h)

Donde C(h, k) es el centro de “p”el parámetro.

ELEMENTOS:V(h, k)

F(h+p, k)

I(h-p, k)

Eje: y = k

Directriz: x = h - p

EJEMPLO: (y – 4)2 = 12(x – 1).

Ecuación de Parábola de vértice

Cuando la parábola abre hacia laizquierda, cuya ecuacióncanónica es:

(y – k)2 = - 4p(x – h)

Donde C(h, k) es el centro de “p”el parámetro.

ELEMENTOS:V(h, k)

F(h-p, k)

I(h+p, k)

Eje: y = k

Directriz: x = h + p

EJEMPLO: (y – 3)2 = -8x

Ecuación de Parábola de vértice

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V(1, 4)

4p = 12 p = 3 parámetro.

Foco:

F(h+p, k) = F(1+3, 4) = (4, 4)

I(h - p, k) = I(1 - 3, 4) = (-2, 1)

Eje y = 4

Directriz x = 1 – 3 entonces x =3–2 = -2

Veamos su Grafica.

V(0, 3)

-4p = -8 p = 2 parámetro.

Foco:

F(h-p, k) = F(0-2, 4) = (-2, 3)

I(h+ p, k) = I(0+2, 3) = (2, 3)

Eje y = 3

Directriz x = 0 + 2 entonces x= 2

Veamos su Grafica.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso

llegamos a una ecuación de la forma:

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a) Ax2 +Cx +Dy + E = 0 o b) Ay2 +Cx +Dy + E=0

ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes puntos

Escribe las ecuaciones de las parábolas que tienen los elementosque se señalan:

i) directriz x = -3 y foco F(3,0)

ii) foco F(2,0) y vértice V(0,0)

iii) directriz y = 4 y vértice V(0,0)

Dada la parábola 2 x y , halla el vértice, el foco y la directriz.

Representa las parábolas:

i) 21 x y ii) 36

2 x y

ii) 26 x y iv) 43 2 x y

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE

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Calcular la distancia entre los centros de la circunferencia de

ecuación:

(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25 y (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16

Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x – y = 1 y

la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x – 4y – 1 = 0.

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el puntoP(1,6) y tangente a la recta de la ecuación x – y – 1 = 0

Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que

tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0

Halla la ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene:

i) Por focos F(2,0); F´(-2,0) y suma de distancias 5.

ii) Por focos F(0,2); F´(0,-2) y suma de distancias 5.

Halla la ecuación de la elipse conociendo:

A(10,0); A´(-10,0) y la excentricidad es e = 0,2.

Recolectemos

lo aprendido

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Halla la ecuación de la elipse conociendo:

i) C(0,0); F(0,2); a = 4.ii) C(-3,0); F(-3,-2); a = 4.

Halla los valores “a”, “b”, “c” y “e” sabiendo que la ecuación es:

i) 922 y x

ii) 144916 22 y x

¿Entre qué valores máximo y mínimo puede estar comprendida la

excentricidad de la elipse?

¿Cuál es la excentricidad de la circunferencia?

Halla la ecuación de la elipse de eje mayor 16 y excentricidad ¼.

Halla las coordenadas del vértice y del foco, así como lasecuaciones de la directriz y del eje de la parábola 22 x y .

Calcula el radio vector del punto de la parábola y x 42 , cuya

abscisa es -4.Halla la intersección de la recta 072 y x con la parábola

442 y y x .

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan del eje de abscisas y del punto (2,2).

Halla los puntos de la parábola 652 y y x que equidistan de los

puntos (-3,-2) y (7,4).

Halla la longitud de la cuerda común de la circunferencia1322 y x y la parábola 332 x y .

Halla la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(0,2)y por directriz la recta 2 x y

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