1.1 Ecuaciones de Maxwell: Caso general
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1 ECUACIONES DE MAXWELL: PROPAGACIÓN DE ONDAS EM
1
1.1 Ecuaciones de Maxwell: Caso general
∇ · 𝐷 = 𝜌
∇ · 𝐵 = 0
∇×𝐸 = −𝜕𝐵𝜕𝑡
− 𝑗!
∇×𝐻 = 𝑗 +𝜕𝐷𝜕𝑡
𝐵 = 𝜇" 𝐻 +𝑀
𝐷 = 𝜀"𝐸 + 𝑃
𝜀" = 8.85×10#$% 𝐹/𝑚𝜇" = 4𝜋×10#& 𝐻/𝑚
2
1.1 Ecuaciones de Maxwell.
Teorema de Gauss
D
ds
∇ · 𝐷 = 𝜌
='
𝐷 𝑑𝑠 =𝑄4𝜋
Ley de Coulomb𝐸 =
𝑄4𝜋 𝜀"𝑟%
3
B
ds
1.1 Ecuaciones de Maxwell.
∇ · 𝐵 = 0
='
𝐵 𝑑𝑠 = 0
4
B
Ley de la Inducción Magnética
Ecs
1.1 Ecuaciones de Maxwell.
∇×𝐸 = −𝜕𝐵𝜕𝑡
='
𝜕𝐵𝜕𝑡
𝑑𝑠 = −B(𝐸 𝑑𝑙
dl
5
H
Ley de Amper
I
c
Hs
1.1 Ecuaciones de Maxwell: CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO
∇×𝐻 = 𝚥 +𝜕𝐷𝜕𝑡
𝐼 = B(𝐻 𝑑𝑙
='
𝜕𝐷𝜕𝑡
𝑑𝑠 = B(𝐻 𝑑𝑙
G𝝏𝑫𝝏𝒕
6
(condiciones de Contorno)
2
1®
n
1.1 Ecuaciones de Maxwell.
𝑛 · 𝐷% − 𝐷$ = 𝜎)
𝑛 · 𝐵% − 𝐵$ = 0
𝑛 × 𝐸% − 𝐸$ = 0
𝑛 × 𝐻% −𝐻$ = 𝑘)
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1.2 Propiedades EM de los medios materiales
Consideraremos un caso particular: MEDIOS LINEALES.®
D
®
E
Los medios materiales se caracterizan por: La Polarización (P),la Magnetización (M) y las densidades de corriente (J y JM), dependientes de los campos E y H, en general de forma no lineal, anisotrópica, inhomogenea y variable en el tiempo.
𝑃 = 𝜀" 𝜒 𝐸 𝐷 = 𝜀 𝐸
𝑀 = 𝜇" 𝜒! 𝐻 𝐵 = 𝜇 𝐻
𝜇 =𝜇$$ 𝜇$% 𝜇$*𝜇%$ 𝜇%% 𝜇%*𝜇*$ 𝜇*% 𝜇**
𝜀 =𝜀$$ 𝜀$% 𝜀$*𝜀%$ 𝜀%% 𝜀%*𝜀*$ 𝜀*% 𝜀**
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MEDIOS ÓHMICOS.
MEDIOS ISÓTROPOS.
𝚥 = 𝜎 𝐸 𝜎 =𝜎$$ 𝜎$% 𝜎$*𝜎%$ 𝜎%% 𝜎%*𝜎*$ 𝜎*% 𝜎**
O𝜀+, = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗𝜀++ = 𝜀 ∀ 𝑖
O𝜇+, = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗𝜇++ = 𝜇 ∀ 𝑖
𝐷 = 𝜀 𝐸
𝐵 = 𝜇 𝐻
O𝜎+, = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗𝜎++ = 𝜎 ∀ 𝑖 𝚥 = 𝜎 𝐸
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MEDIOS HOMOGENEOS.
MEDIOS INVARIANTES EN EL TIEMPO.
𝜀 ≠ 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜇 ≠ 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜎 ≠ 𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜀 ≠ 𝜀(𝑡)
𝜇 ≠ 𝜇(𝑡)
𝜎 ≠ 𝜎(𝑡)
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1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
La polarización de medios materiales obedece a dos posibles fenómenos:
- La generación de dipolos eléctricos por desplazamiento de cargas
- La orientación de dipolos eléctricos ya existentes.
La conductividad en medios materiales se asocia a la presencia de cargas libres.
La magnetización o polarización magnética de medios materiales obedece fundamentalmente a la orientación de los dipolos magnéticos existentes.
𝚥 = 𝑞𝑛 𝑣- = 𝑞𝑛 𝜇-𝐸
𝜎 = 𝑞𝑛 𝜇-
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Generación de dipolos eléctricos
E
p
E
++++
++
--
--
--
p
1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
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Orientación de dipolos eléctricos
E
p
1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
13
E
p
τ
La disipación de energía sólo se produce en el intervalo, 𝝉
1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
¿Qué ocurre si E varia con el tiempo?
14
1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
τ
1
2
3
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Tiempo de relajación
frecuencia
Ener
gía
disi
pada
/ tie
mpo
1
2
3
1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
𝑃 = 𝑃" + ∆𝑃 1 − 𝑒#./0
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Sin conductividad residual Con conductividad residual
Con múltiples procesos de relajación
1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
Constante dieléctrica compleja
𝜀 = 𝜀1 +∆𝜀
1 + 𝑗𝑤𝜏𝜀 = 𝜀1 +
∆𝜀1 + 𝑗𝑤𝜏
−𝜎'𝑗𝑤
𝜀 = 𝜀1 +∆𝜀$
1 + 𝑗𝑤𝜏$+
∆𝜀%1 + 𝑗𝑤𝜏%
+⋯−𝜎'𝑗𝑤
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1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
Constante dieléctrica compleja
𝜀 = 𝜀2 − 𝑗𝜀22𝜀2 = 𝜀1 +
∆𝜀1 + 𝑤𝜏 %
𝜀22 =𝜎'𝑤+
𝑤𝜏 ∆𝜀1 + 𝑤𝜏 %
𝜎 = 𝜎' +𝑤𝜏 % ∆𝜎1 + 𝑤𝜏 %
∆𝜀∆𝜎
= 𝜏
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1.2 Mecanismos de conducción i polarización en medios materiales
Constante dieléctrica compleja
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1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
MEDIOS DIELÉCTRICOS PERFECTOS (σ = 0 ).
E’(t)
H(t)
E(t)
H’(t)En ausencia de fuentes de campo que no sean inducidas por los propios campos.
∇×𝐸 = −𝜇𝜕𝐻𝜕𝑡
∇×𝐻 = 𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡
20
1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
Solución
MEDIOS DIELÉCTRICOS PERFECTOS (σ = 0 ).
W = 2π/T
K = 2π/λ = W/vp
Eo/Ho = η
∇×𝐸 = −𝜇𝜕𝐻𝜕𝑡
∇×𝐻 = 𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡
∆𝐸 − 𝜇𝜀𝜕%𝐸𝜕𝑡%
= 0
𝐸 𝑟 = 𝐸" 𝑒, 3.#46
𝐻 𝑟 = 𝐻" 𝑒, 3.#46
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1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
E
H
𝜆,T
r, t
E (H) = Eo (Ho) cos(2𝝅[t/T-r/𝜆])
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1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
Magnitud Símbolo Descripción Unidades
Amplitud Eo(Ho)Amplitud del campo Eléctrico(Magnético) V/m (A/m)
Longitud de onda 𝜆
Para un instante de tiempo dado, distancia mínima entre dos puntos con el mismo estado de oscilación.
m
Periodo TPara una posición determinada, tiempo mínimo transcurrido para repetir un estado de oscilación dado.
s
Frecuencia f,𝜈 1 / T Hz
Velocidad de
propagación
vp
c (vacío)𝜆/T , 𝜆·f , 1/(με)½ m/s
Impedancia de
Ondaη (μ/ε)½ Ω
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1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
E
HDirección de propagación
Flujo de Energía: vector de Pointing
P
< 𝑃 >= 𝐸×𝐻 = 7!8!%
= 7!"
%9
= 𝜂 8!"
%
(Watts/m2)
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1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
Solución
MEDIOS CONDUCTORES.
∇×𝐸 = −𝜇𝜕𝐻𝜕𝑡
∇×𝐻 = 𝜎𝐸 + 𝜀𝜕𝐸𝜕𝑡
∆𝐸 − 𝜇𝜎𝜕𝐸𝜕𝑡
− 𝜇𝜀𝜕%𝐸𝜕𝑡%
= 0
𝐸 𝑟 = 𝐸" 𝑒 ,3.#:6
𝐻 𝑟 = 𝐻" 𝑒 ,3.#:6
�� = �� + 𝑗𝛽
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1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
E
r
𝜆
𝐸 𝑟 = 𝐸" 𝑒#;6𝑒, 3.#<6
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1.3 Ecuación de Propagación de Ondas en medios materiales
�� = �� + 𝑗𝛽
�� = 𝑤 =>% 1 + ?
@>
%− 1
#"
𝛽 = 𝑤 =>% 1 + ?
@>
%+ 1
#"
𝜂 = ,@=?A,@>
#" Eo y Ho están desfasados
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1.4 Longitud de penetración de las ondas EM en medios materiales
𝛿 =1��=
1
𝑤 𝜇𝜀2 1 + 𝜎
𝑤𝜀%− 1
$%
δ
E
28
1.5 Reflexión de Ondas Electromagnéticas
Ei
Hi
Et
Ht
Er
Hr
INCIDENCIA NORMAL
x
𝜀$, 𝜇$ 𝜀%, 𝜇%, 𝜎%
S
29
ki = W/v1
Eio/Hio = Ero/Hro = η1
x kr = - ki 𝛾t = (α + jβ) x
Eto/Hto = η2
1.5 Reflexión de Ondas Electromagnéticas
𝐸+ 𝑟 = 𝐸+" 𝑒, 3.#4$6
𝐸6 𝑟 = 𝐸6" 𝑒, 3.#4%6 𝐸. 𝑟 = 𝐸." 𝑒 ,3.#:&6
𝐻+ 𝑟 = 𝐻+" 𝑒, 3.#4$6
𝐻6 𝑟 = 𝐻6" 𝑒, 3.#4%6
𝐻. 𝑟 = 𝐻." 𝑒 ,3.#:&6
Medio 1 Medio 2
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Coeficientes de reflexión 𝚪 y transmisión 𝚻
Condiciones de contorno
Continuidad campo eléctrico en S
Continuidad campo magnético en S
𝐸+" + 𝐸6" = 𝐸."
𝐻+" − 𝐻6" = 𝐻."
Eléctrico
Γ = 7%!7$!
= 9"#9#9"A9#
Τ = 7&!7$!
= 1 + Γ
Magnético
Γ! = 8%!8$!
= 9"#9#9"A9#
= Γ
Τ! = 8&!8$!
= 1 − Γ! = 1 − Γ
1.5 Reflexión de Ondas Electromagnéticas
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Transmisión de potencia entre medios
𝑃.𝑃+= 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝐸.×𝐻.∗
𝐸+×𝐻+∗ '
= 𝑟𝑒𝑎𝑙𝐸."𝐻."∗
𝐸+"𝐻+"∗= 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑇 𝑇!∗
1.5 Reflexión de Ondas Electromagnéticas
𝑃.𝑃+= 𝑟𝑒𝑎𝑙 1 + Γ 1 − Γ∗ = 1 − Γ %
Fracción de la potencia reflejada en S
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Buen conductor (σ2 >> wε2 ):
1.6 Reflexión de Ondas en la superficie de medios conductores
Los buenos conductores son superficies impenetrables para la radiación EM. Las ondas son reflejadas en su totalidad
𝜂% ≈@="%?"
1 + 𝑗 ≈ 0 Γ ≈ −1
Los buenos conductores se pueden utilizar para guiar de manera controlada las ondas EM
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Condiciones de contorno en la superficie de un conductor perfecto:
1.6 Reflexión de Ondas en la superficie de medios conductores
1
®
n
𝑛 · 𝐷% − 𝐷$ = 𝜎)
𝑛 · 𝐵% − 𝐵$ = 0
𝑛 × 𝐸% − 𝐸$ = 0
𝑛 × 𝐻% −𝐻$ = 𝑘)
𝜀, 𝜇2
𝜎 → ∞
𝐸$ = 0 ; 𝐵$ = 0
|𝐸% C =?'>
|𝐻% C = 0
|𝐸% ∥ = 0
|𝐻% ∥ = 𝑘)