1.1 Origen y Definicion de Los Numeros Complejos
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UNIDAD 1. NUMERO COMPLEJOS 1.1. DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS. Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales se puede expresar de la siguiente forma. 4 2 − = x Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos. 1 1 0 1 2 2 − = − = = + x x x Para poder obtener una solución de la ecuación , utilizamos el número i, tal que . Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria, pero si es un número real. 0 1 2 = + x 1 2 = i 2 i 1 ) ( * ) ( * ) ( * ) 1 ( * 1 ) 1 ( ) ( * ) ( * ) ( * ) 1 ( * 1 2 5 6 4 5 2 2 3 4 2 3 2 − = = = = = = = = − = − = − = = − = − = = − = i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente definición de los números complejos. Definición. Un número complejo z es una combinación lineal de la forma bi a z + = En donde a y b son números reales. Al número a se le llama la parte real de z, , y al número b la parte imaginaria de z, ) Re( z a = ) Im( z b = . A la expresión de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z. bi a + Ejemplos: z Re(z) Im(z) 7 + 5 i 7 5 -4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3 -9 i = 0 + (-9) i 0 -9 4 = 4 + 0 i 4 0
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UNIDAD 1. NUMERO COMPLEJOS 1.1. DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS. Debido a que el cuadrado de cualquier nmero real es no negativo, una ecuacin que no tiene solucin en el conjunto de los nmeros reales se puede expresar de la siguiente forma.
42 =x Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto de los nmeros reales a un conjunto mayor, el conjunto de los nmeros complejos.
1
101
2
2
=
=
=+
x
xx
Para poder obtener una solucin de la ecuacin , utilizamos el nmero i, tal que . Este nmero i no es un nmero real y se llama la unidad imaginaria, pero
si es un nmero real.
012 =+x12 =i
2i
1)(*)(*)(*)1(*
1)1()(*)(*)(*)1(*
1
256
45
2234
23
2
====
===
=====
===
=
iiiiiiiiiii
iiiiiiiiiii
i
La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente definicin de los nmeros complejos. Definicin. Un nmero complejo z es una combinacin lineal de la forma
biaz += En donde a y b son nmeros reales. Al nmero a se le llama la parte real de z,
, y al nmero b la parte imaginaria de z, )Re(za = )Im(zb = . A la expresin de un nmero complejo z se le conoce como la forma estndar de z.
bia +
Ejemplos:
z Re(z) Im(z) 7 + 5 i 7 5
-4 3 i = -4 + (-3) i -4 -3 -9 i = 0 + (-9) i 0 -9
4 = 4 + 0 i 4 0
UNIDAD 1. NUMERO COMPLEJOS
