11) Resumen Sobre Programacion Lineal.1

8/18/2019 11) Resumen Sobre Programacion Lineal.1

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2. Programación Lineal.

2.1. Introducción.

Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entrelos avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es

una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dlares a muchas

compa!ías " negocios# inclu"endo industrias medianas en distintos países del mundo.

¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede

manejar? E$presado %revemente# el tipo más común de aplicacin a%arca el pro%lema

general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la me&or manera

posi%le (es decir# en forma ptima). Este pro%lema de asignacin puede surgir cuando

de%a elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para

reali'arlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripcin es sin

duda mu" grande# " va desde la asignacin de instalaciones productivas a los productos#

hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades de un país desde la

planeacin agrícola# hasta el dise!o de una terapia de radiacin etc. o o%stante# el

ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las

actividades.

*on frecuencia# seleccionar una alternativa inclu"e satisfacer varios criterios al

mismo tiempo. Por e&emplo# cuando se compra una pie'a de pan se tiene el criterio de

frescura# tama!o# tipo (%lanco# integral u otro)# costo " re%anado o sin re%anar. +e puede

ir un paso más adelante " dividir estos criterios en dos categorías, restricciones " el

o%&etivo. Las restricciones son las condiciones que de%e satisfacer una solucin que está

%a&o consideracin. +i más de una alternativa satisface todas las restricciones# el

o%&etivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas facti%les. *uando se eligeuna pie'a de pan# pueden quererse - gr. de pan %lanco re%anado " hecho no antes de

a"er. +i varias marcas satisfacen estas restricciones# puede aplicarse el o%&etivo de un

costo mínimo " escoger las más %arata.

E$isten muchos pro%lemas administrativos que se a&ustan a este molde de tratar

de minimi'ar o ma$imi'ar un o%&etivo que está su&eto a una lista de restricciones. un

corredor de inversiones# por e&emplo# trata de ma$imi'ar el rendimiento so%re los

fondos invertidos pero las posi%les inversiones están restringidas por las le"es " las


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políticas %ancarias. /n hospital de%e planear que las comidas para los pacientes

satisfagan ciertas restricciones so%re sa%or# propiedades nutritivas# tipo " variedad# al

mismo tiempo que se trata de minimi'ar el costo. /n fa%ricante# al planear la

produccin futura# %usca un costo mínimo al mismo tiempo cmo cumplir restricciones

so%re la demanda del producto# la capacidad de produccin# los inventarios# el nivel de

empleados " la tecnología. La PL se ha aplicado con 0$ito a estos " otros pro%lemas.

La PL es una t0cnica determinista# no inclu"e pro%a%ilidades " utili'a un modelo

matemático para descri%ir el pro%lema. El ad&etivo lineal significa que todas las

funciones matemáticas del modelo de%en ser funciones lineales. En este caso# la pala%ra

programacin no se refiere a programacin en computadoras en esencia es un sinnimo

de planeación. 1sí# la PL trata la planeación de las actividades para obtener un

resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (se!n el

modelo" entre todas las opciones de solución. 1unque la asignacin de recursos a las

actividades es la aplicacin más frecuente# la PL tiene muchas otras posi%ilidades. 2e

hecho# cualquier pro%lema cu"o modelo matemático se a&uste al formato general del

modelo de PL es un pro%lema de PL.

Supuestos de la programación lineal.

E$iste un número de suposiciones reali'adas en cada modelo. La utilidad de un

modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.

El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. 3a que el

o%&etivo es lineal# la contri%ucin al o%&etivo de cualquier decisin es proporcional al

valor de la varia%le de decisin. Producir dos veces más de producto producirá dos

veces más de ganancia# contratando el do%le de páginas en las revistas do%lará el costorelacionado con las revistas. Es una Suposición de Proporción.

1demás# la contri%ucin de una varia%le a la funcin o%&etivo es independiente

de los valores de las otras varia%les. La ganancia con una computadora ote%oo4 es de

5-#67.# independientemente de cuantas computadoras 2es4top se producen. Este es

un Supuesto de Adición.


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1nálogamente# "a que cada restriccin es lineal# la contri%ucin de cada varia%le

al lado i'quierdo de cada restriccin es proporcional al valor de la varia%le e

independiente de los valores de cualquier otra varia%le.

Estas suposiciones son %astante restrictivas. 8eremos# sin em%argo# que ser

claros " precisos en la formulacin del modelo puede a"udar a mane&ar situaciones que

parecen en un comien'o como le&anos a estos supuestos.

El siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es posi%le tomar una

fraccin de cualquier varia%le. Por e&emplo# en un pro%lema de mar4eting# qu0 significa

comprar 9.:6 avisos en la televisin; Es posi%le que la suposicin de ser divisi%le sea

insatisfecha en este e&emplo. < puede ser que tales unidades de 9.:6 avisoscorrespondan a 9#:::.6 minutos de avisos# en cu"o caso redondeando la solucin serían

9#::6 minutos con una mínima duda que est0 cercana a la solucin ptima. +i la

suposicin de divisi%le no es válida# entonces se usará la t0cnica de Programacin

Lineal Entera.

La última suposicin es el Supuesto de Certeza. La Programacin Lineal no

permite incertidum%re en los valores.

+erá difícil que un pro%lema cumpla con todas las suposiciones de manera

e$acta. Pero esto no negará la facti%ilidad de uso del modelo. /n modelo puede ser aún

útil aunque difiera de la realidad# si se es consistente con los requerimientos más

estrictos dentro del modelo " se tiene claras sus limitaciones al interpretar los

resultados.

E$isten limitaciones prácticas para el uso de la PL. /na se relaciona con los

cálculos. En general se necesita una computadora. 2esafortunadamente# las

calculadoras# aun las programa%les# son poco útiles# puesto que la PL tiene necesidad de

gran cantidad de memoria o almacenamiento. +i no se tiene acceso a una computadora#

se estará limitado a pro%lemas mu" sencillos. La otra limitacin se refiere al costo de

formular un pro%lema de PL. En teoría# podría usarse PL# por e&emplo# para hacer las

compras semanales de a%arrotes. +in em%argo# sería necesario conocer todas las

compras posi%les que pueden reali'arse (0stas serían las varia%les)# además de cada

restriccin como sa%or# número de comidas# vitaminas " proteínas. Es o%vio que el


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costo de o%tener todos estos datos e$cede lo que se podría ahorrar si se hicieran las

compras ptimas. 1ntes de emprender una aplicacin de PL# de%e considerarse la

disponi%ilidad " el costo de los datos necesarios.

2.2. Formulación de modelos de Programación Lineal.

1unque se ponga en duda# la parte más difícil de PL es reconocer cuándo 0sta

puede aplicarse " formular el pro%lema matemáticamente. /na ve' hecha esa parte#

resolver el pro%lema casi siempre es fácil.

Para formular un pro%lema en forma matemática# de%en e$presarse afirmaciones

lgicas en t0rminos matemáticos. Esto se reali'a cuando se resuelven =pro%lemas

ha%lados> al estudiar un curso de álge%ra. 1lgo mu" parecido sucede aquí al formular

las restricciones. Por e&emplo# consid0rese la siguiente afirmacin, A usa ? horas por

unidad " B usa 9 horas por unidad. +i de%en usarse todas las - horas disponi%les# la

restriccin será,

?1 @ 9A B -

+in em%argo# en la ma"oría de las situaciones de negocios# no es o%ligatorio quese usen todos los recursos (en este caso# horas de mano de o%ra). Más %ien la limitacin

es que se use# cuando mucho# lo que se tiene disponi%le. Para este caso# la afirmacin

anterior puede escri%irse como una desigualdad,

?1 @ 9A ≤ -

Para que sea acepta%le para PL# cada restriccin de%e ser una suma de varia%les

con e$ponente -. Los cuadrados# las raíces cuadradas# etc. no son acepta%les# nitampoco los productos de varia%les. 1demás# la forma estándar para una restriccin

pone a todas las varia%les del lado i'quierdo " slo una constante positiva o cero del

lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los t0rminos. +i# por e&emplo# la

restriccin es que A de%e ser por los menos el do%le de B# esto puede escri%irse como,

1 ≥ 9A 1− 9A ≥


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tese que pueden moverse t0rminos de un lado a otro de las desigualdades

como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por −-# el

sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que los

coeficientes del lado derecho sean positivos. Por e&emplo# si se quiere que A sea por lomenos tan grande como A − 9# entonces,

1 ≥ A − 9 1− A C − 9

por último A − 1 D 9

/na nota final so%re desigualdades, es sencillo convertir una desigualdad en una

ecuacin. odo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una varia%le e$tra. Por

e&emplo,

A − 1≤ 9 es lo mismo que A − 1+ S B 9

en donde S representa la diferencia# o la holgura# entre A − 1 " 9. S se llama variable de

holura. Por otro lado# se restaría una variable de superávit en el caso siguiente,

1 − 9A ≥ es lo mismo que 1− 9A S B

1lgunos m0todos de solucin (como el M0todo +imple$) " la ma"oría de los

programas de computadora (como el MathProg# que viene en el


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el material de desperdicio. *on frecuencia el o%&etivo es evidente al o%servar el

pro%lema.

*omo el valor de la funcin o%&etivo no se conoce hasta que se resuelve el

pro%lema# se usa la letra Z para representarlo. La funcin o%&etivo tendrá# entonces# la

forma,

Ma$imi'ar J B K1 @ :A

Minimi'ar J B 9$- @ 7$9

+e anali'a una aplicacin para ilustrar el formato de los pro%lemas de

Programacin Lineal.

Planeación de la fuerza de trabajo.

El gerente de personal de =La ortuga 8elo'# +.1. de *.8.># está anali'ando la

necesidad de mano de o%ra semi calificada durante los pr$imos seis meses. +e lleva un

mes adiestrar a una persona nueva. 2urante este período de entrenamiento un tra%a&ador

regular# &unto con uno en adiestramiento (aprendi')# producen el equivalente a lo que

producen -.9 tra%a&adores regulares. +e paga 57. mensuales a quien está en

entrenamiento# mientras que los tra%a&adores regulares ganan 5. mensuales. La

rotacin de personal entre los tra%a&adores regulares es %astante alta# del - mensual.

El gerente de personal de%e decidir cuántas personas necesita contratar cada mes para

adiestramiento. En seguida se da el número de mesesNhom%re necesarios. am%i0n se

desea tener una fuer'a de tra%a&o regular de -- al principio de &ulio. En cuanto al -O de

enero# ha" 7 empleados regulares.

MesMesesNhom%re requeridos

Mes Meses-om!re re"ueridos

Enero : 1%ril e%rero 7 Ma"o 6Mar'o : Qunio -

Este pro%lema tiene un aspecto dinámico# "a que la fuer'a de tra%a&o en cualquier mes

depende de la fuer'a de tra%a&o regular " en adiestramiento del mes anterior. Para


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cualquier mes# el número total de mesesNhom%re disponi%les se puede e$presar como

sigue,

MesesNhom%re disponi%les, F i @ .91i

En donde, F i B número de tra%a&adores regulares al principio del mes

1i B número de aprendices contratados en el mes.

Entonces los requerimientos de cada mes pueden e$presarse por las restricciones,

enero F - @ .91- ≥ :fe%rero F 9 @ .919 ≥ 7mar'o F ? @ .91? ≥ :a%ril F K @ .91K ≥ ma"o F 7 @ .917 ≥ 6

&unio F : @ .91: ≥ - &ulio (principio) F 6 ≥ --

2e%ido a la rotacin# el - de los tra%a&adores regulares se van cada mes. 1sí# el

número de tra%a&adores regulares disponi%les# por e&emplo# al principio de fe%rero

sería,

F 9 B .RF - @ 1-

En la misma forma# pueden escri%irse las ecuaciones para el número de tra%a&adores

disponi%les al principio de cada mes,

enero F - B 7 (dado)fe%rero F 9 B .RF - @ 1-

mar'o F ? B .RF 9 @ 19a%ril F K B .RF ? @ 1?ma"o F 7 B .RF K @ 1K

&unio F : B .RF 7 @ 17 &ulio F 6 B .RF : @ 1:

El o%&etivo glo%al del gerente de personal es minimi'ar el costo. La funcin o%&etivo

es,

Minimi'ar, J B (F - @ F 9 @ F ? @ F K @ F 7 @ F :) @ 7(1- @ 19 @ 1? @ 1K @ 17 @ 1:)


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1hora se tiene el pro%lema en el formato general de PL con -? varia%les " -K

restricciones.

Los tomadores de decisiones en las empresas esta%lecen criterios que de%e

cumplir una solucin "# despu0s# %uscan esa solucin. En PL# los criterios se e$presan

como restricciones. +e e$ploran las soluciones posi%les " se usa la funcin o%&etivo para

elegir la me&or de entre aquellas que cumplen con los criterios. La PL se denomina

t0cnica de optimi'acin# pero optimi'a slo dentro de los límites de las restricciones. En

realidad es un m0todo de satisfaccin de criterios.

Forma est#ndar de los modelos de Programación Lineal.

+upngase que e$iste cualquier número (digamos m) de recursos limitados de

cualquier tipo# que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de actividades

competitivas de cualquier clase. Etiqu0tense los recursos con números (-# 9# ...# m) al

igual que las actividades (-# 9# ...# n). +ea $ & (una varia%le de decisin) el nivel de la

actividad j# para j B -# 9# ...# n# " sea Z la medida de efectividad glo%al seleccionada.

+ea c & el incremento que resulta en Z por cada incremento unitario en $ & (para j B -#

9# ...# n). 1hora sea %i la cantidad disponi%le del recurso i (para i B -# 9# ...# m). Por

último defínase ai& como la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la

actividad j (para i B -# 9# ...# m " j B -# 9# ...# n). +e puede formular el modelo

matemático para el pro%lema general de asignar recursos a actividades. En particular#

este modelo consiste en elegir valores de $-# $9# ...# $n para,

Ma$imi'ar J B c-$- @ c9$9 @ ... @ cn$n#

+u&eto a las restricciones,

a--$- @ a-9$9 @ ... @ a-n$n ≤ %-

a9-$- @ a99$9 @ ... @ a9n$n

am-$- @ am9$9 @ ... @ amn$n ≤ %m "

$- ≥ # $9 ≥# ...# $n ≥


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Ssta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos li%ros de te$to adoptan otras

formas) para el pro%lema de PL. *ualquier situacin cu"a formulacin matemática se

a&uste a este modelo es un pro%lema de PL.

En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los

modelos de PL. La funcin que se desea ma$imi'ar# c-$- @ c9$9 @ ... @ cn$n# se llama

función objetivo. Por lo general# se hace referencia a las limitaciones como

restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una funcin del tipo ai-$- @

ai9$9 @ ... @ ain$n# que representa el consumo total del recurso i) reci%en el nom%re de

restricciones funcionales. 2e manera parecida# las restricciones $ & ≥ se llaman

restricciones de no neatividad . Las varia%les $ & son las variables de decisión. Las

constantes de entrada# ai %i# c reci%en el nom%re de parámetros del modelo.

$tras %ormas de modelos de Programación Lineal.

Es conveniente agregar que el modelo anterior no se a&usta a la forma natural de

algunos pro%lemas de programacin lineal. Las otras formas le#timas son las

siguientes,

-. Minimi'ar en lugar de ma$imi'ar la funcin o%&etivo,

Minimi'ar J B c-$- @ c9$9 @ ... @ cn$n#

9. 1lgunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido ma"or o igual,

ai-$- @ ai9$9 @ ... @ ain$n# ≥ %i# para algunos valores de i#

?. 1lgunas restricciones funcionales en forma de ecuacin,

ai-$- @ ai9$9 @ ... @ ain$n# B %i# para algunos valores de i#

K. Las varia%les de decisin sin la restriccin de no negatividad,

$ & no restringida en signo para algunos valores de j.

*ualquier pro%lema que inclu"a una# varias o todas estas formas del modelo anterior

tam%i0n se clasifica como un pro%lema de PL# siempre " cuando 0stas sean las !nicas


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formas nuevas introducidas. Puede ser que la interpretacin que se ha dado de

asignacin de recursos limitados entre actividades que compiten no se aplique# pero

independientemente de la interpretacin o el conte$to# lo único que se necesita es que la

formulacin matemática del pro%lema se a&uste a las formas permitidas. +e verá que

estas otras cuatro formas legales se pueden reescri%ir en una forma equivalente para que

se a&uste al modelo que se present. Entonces# todo pro%lema de PL se puede poner en

nuestra forma estándar si se desea.

2.&. Solución 'r#%ica de Modelos Lineales con dos (aria!les.

Para la solucin gráfica de programas lineales con dos varia%les# lo que se tiene

que hacer es tra'ar un e&e de coordenadas cartesianas# para graficar las desigualdadesdadas por el pro%lema# despu0s encontrar el Trea de +oluciones acti%les " proceder a

graficar la funcin o%&etivo para conocer el valor ptimo (ma$imi'ar o minimi'ar) que

será la solucin del pro%lema.

Ejemplo Problema de mezcla de productos.

/n fa%ricante está tratando de decidir so%re las cantidades de produccin para dos

artículos, mesas " sillas. +e cuenta con R: unidades de material " con 69 horas de manode o%ra. *ada mesa requiere -9 unidades de material " : horas de mano de o%ra. Por

otra parte# las sillas usan unidades de material cada una " requieren -9 horas de mano

de o%ra por silla. El margen de contri%ucin es el mismo para las mesas que para las

sillas, 57. por unidad. El fa%ricante prometi construir por lo menos dos mesas.

Paso ! formulación del problema.

El primer paso para resolver el pro%lema es e$presarlo en t0rminos matemáticos en el

formato general de PL. U*uál es el o%&etivo; Es ma$imi'ar la contri%ucin a la

ganancia. *ada unidad de mesas o sillas producidas contri%uirá con 57 en la ganancia.

1sí las dos alternativas son la produccin de mesas " la produccin de sillas. 1hora

puede escri%irse la funcin o%&etivo,

Ma$imi'ar J B 7$- @ 7$9

en donde, $- B número de mesas producidas


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$9 B número de sillas producidas

U*uáles son las restricciones o limitaciones del pro%lema; E$isten tres restricciones.

Primero# el material está limitado a R: unidades. *ada mesa se lleva -9 unidades de

material " cada silla usa unidades. La primera restriccin es# entonces,

-9$- @ $9 ≤ R:

La segunda restriccin es el total de horas de mano de o%ra. /na mesa se lleva : horas#

una silla -9 horas " se dispone de un total de 69 horas. 1sí,

:$- @ -9$9 ≤ 69

E$iste una limitacin más. El fa%ricante prometi producir por lo menos dos mesas.

Esto puede e$presarse como,

$- ≥ 9

Por último# las restricciones de no negatividad son,

$- ≥ # $9 ≥

Poniendo todo &unto el modelo se tiene,

Ma$imi'ar J B 7$- @ 7$9

Festricciones, -9$- @ $9 ≤ R:

:$- @ -9$9 ≤ 69

$- ≥ 9

$- ≥ # $9 ≥


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Paso 2 gr"fica de las restricciones.

El siguiente paso en el m0todo gráfico es di%u&ar todas las restricciones en una gráfica.Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comen'ará con las

restricciones de no negatividad. Sstas se muestran en la siguiente figura,

En esta gráfica# una solucin se representaría por un punto con coordenadas $ - (mesas)

" $9 (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo que se

de%en producir. El cuadrante superior derecho se llama $eión %actible puesto que es el

único cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los otros tres cuadrantes no son

facti%les# "a que requerirían la produccin de cantidades negativas de mesas o de sillas

o de am%as.

La siguiente restriccin es $- ≥ 9. La manera más sencilla de di%u&ar las restricciones de

recursos es en dos pasos, (-) convertir una desigualdad en una ecuacin " graficar la

ecuacin " (9) som%rear el área apropiada arri%a " a%a&o de la línea que resulta en el

paso -. *onvertir una igualdad en una ecuacin aquí significa ignorar la parte de

=ma"or que> o =menor que> de la restriccin.

1sí# en el e&emplo# $- ≥ 9 se convierte en $- B 9. Esta ecuacin está tra'ada en la

siguiente figura,


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*ualquier punto en la línea $- B 9 satisface la ecuacin. +in em%argo# la restriccin esmás amplia# "a que cualquier punto $- V 9 tam%i0n la cumplirá. Esto inclu"e todos los

puntos que están a la derecha de la línea $- B 9. Entonces# la regin facti%le inclu"e

todos los valores de $- que están sobre o a la derecha de la l#nea $- B 9.

La limitacin so%re las horas de mano de o%ra es la siguiente restriccin. *omo antes#

primero se convierte en una ecuacin, :$- @ -9$9 B 69. Puede graficarse esta línea si se

encuentran dos puntos so%re ella. El par de puntos más sencillos de locali'ar son las

intersecciones con los e&es X- " X9. Para encontrar la interseccin con el e&e X9 se hace

$- B . La ecuacin se reduce# entonces# a,

-9$9 B 69

$9 B :

La interseccin con el e&e X- se encuentra haciendo $9 B . 1sí,

:$- B 69

$- B -9

Estos dos puntos " la línea que los une se muestran en la siguiente figura,


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*ualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restriccin.

*ualquier punto arri%a de esta línea requerirá más de 69 horas de mano de o%ra " no es

acepta%le. En la siguiente figura se com%ina esta restriccin con la anterior. En la regin

facti%le# am%as restricciones se cumplen.

La última restriccin es la de material. +iguiendo el procedimiento anterior# primero se

encuentran las intersecciones para la igualdad. Sstas son $- B # $9 B -9 " $- B # $9 B.

+e locali'an los dos puntos en la gráfica se tra'a la línea# " como la restriccin es deltipo menor o igual que# se som%rea el área que está a%a&o de la línea. El resultado se

muestra en la siguiente figura,


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En la siguiente figura# se ilustran todas las restricciones " las dos líneas de indiferencia

supuestas. En la gráfica puede o%servarse que la línea de indiferencia para J B 7 está

completamente fuera de la regin facti%le. Para J B 97# parte de la línea cae dentro de la

regin facti%le. Por tanto# e$iste alguna com%inacin de $- " $9 que satisface todas las

restricciones " da una ganancia total de 597. Por inspeccin# puede o%servarse que ha"

ganancias más altas que son facti%les.

Hmaginando que la línea de indiferencia J B 97 se mueve hacia la línea J B 7# de las

propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes# el punto ptimo estará so%re la

línea de indiferencia más le&ana al origen pero que todavía toque la regin facti%le. Esto

se muestra en la siguiente figura,

*on el punto ptimo locali'ado gráficamente# la única tarea que queda es encontrar las

coordenadas del punto. tese que el punto ptimo está en la interseccin de las líneas

de restriccin para materiales " horas de mano de o%ra. Las coordenadas de este punto

se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos

restricciones utili'ando cualquiera de los m0todos de solucin (suma " resta# sustitucin


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o igualacin). Las coordenadas de este punto resultan ser (:# ?). La sustitucin de este

punto en la funcin o%&etivo da la ganancia má$ima,

J B 7(:) @ 7(?) B 5K7

%esumen del m&todo gr"fico.

Para resolver gráficamente pro%lemas de programacin lineal,

-. E$pr0sense los datos del pro%lema como una funcin o%&etivo " restricciones.

9. Wrafíquese cada restriccin.

?. Localícese la solucin ptima.

)so del m*todo gr#%ico para minimiación.

*onsideremos un Pro%lema de PL en el cual el o%&etivo es minimi'ar costos. La

solucin del pro%lema de minimi'acin sigue el mismo procedimiento que la de

pro%lemas de ma$imi'acin. La única diferencia es que ahora se quiere el menor valor

posi%le para la funcin o%&etivo. +upngase que se tiene el siguiente pro%lema,

Ejemplo Problema de dieta.

/n comprador está tratando de seleccionar la com%inacin más %arata de dos

alimentos# que de%e cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los

requerimientos vitamínicos son por lo menos K unidades de vitamina # 7 unidades

de vitamina X " KR unidades de vitamina 3. *ada on'a del alimento 1 proporciona K

unidades de vitamina # - unidades de vitamina X " 6 unidades de vitamina 3 cadaon'a del alimento A proporciona - unidades de # 7 unidades de X " 6 unidades de 3.

El alimento 1 cuesta 7 pesosY4ilogramo " el alimento A cuesta pesosY4ilogramo.

Paso ! formulación del problema.

La meta en este pro%lema es encontrar la manera menos costosa para satisfacer las

necesidades vitamínicas. Las dos alternativas disponi%les son los alimentos 1 " A.

Matemáticamente la funcin o%&etivo es,


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Minimi'ar J B 71 @ A

Las restricciones son los requerimientos mínimos de las tres vitaminas. Sstas se

muestran enseguida,

Festricciones, K1 @ -A ≥ K vitamina

-1 @ 7A ≥ 7 vitamina X

61 @ 6A ≥ KR vitamina 3

1≥ # A ≥ no negatividad

Paso 2 gr"fica de las restricciones.

El procedimiento para graficar es el mismo que se us antes, (-) graficar cada ecuación

de restriccin (9) graficar el área apropiada. Para la primera restriccin la ecuacin es

K1 @ -A B K. Las dos intersecciones con los e&es son (#K) " (-#). Esta línea se

muestra en la siguiente figura,

La restriccin pide K unidades o más de la vitamina . *ualquier punto que est0

arriba de la línea de restriccin será facti%le " todos los puntos que quedan a%a&o de esa

línea no serán acepta%les. En la siguiente figura se muestra la regin facti%le,


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2espu0s se grafica la restriccin para la vitamina X. La ecuacin -1 @ 7A B 7 tiene

intersecciones con los e&es en (#-) " (7#). En la siguiente figura se ilustran las

restricciones para las vitaminas " X. tese que las soluciones que quedan en las

áreas a o b no son facti%les# "a que quedarían a%a&o de las líneas de restriccin.

1l agregar la tercera restriccin# este segundo paso queda terminado# como se muestra

en la siguiente figura,


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Paso # localización de la solución óptima.

En la siguiente figura se muestra la frontera e$trema más dos líneas de indiferencia# las

de J B K pesos " J B : pesos. La frontera e$trema está formada por los puntos a# %# c

" d# puesto que 0stos son los puntos de interseccin facti%les más cercanos al origen.

Wráficamente# el o%&etivo de minimi'ar el valor de J significa a&ustar una línea de

indiferencia tan cerca del origen como sea posi%le. En la figura anterior puede

o%servarse que e$isten muchas soluciones posi%les para J B :# pero ninguna para J B

K. Hmaginando mover la línea J B : hacia el origen# el último punto de contacto con la


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frontera e$trema será el punto %. Entonces# el punto % es la solucin ptima. En la figura

anterior se o%serva que el punto % es la interseccin de dos líneas,

(-) K1 @ -A B K

(9) 61 @ 6A B KR

Fesolviendo el sistema de ecuaciones,

Multiplíquese la ecuacin (-) por 6, (?) 91 @ 6A B 9

Multiplíquese la ecuacin (9) por Z K, (K) Z91 Z 9A B Z-R:

K9A B K

A B 9

+ustitú"ase en la ecuacin (-), K1 @ -(9) B K

1 B 7

La solucin menos costosa es 7 4ilogramos de alimento 1 " 9 4ilogramos de alimentoA. El costo total de esta com%inacin es,

J B 71 @ A B 7(7) @ (9) B 97 @ -: B K- pesos

+i se usa el m0todo de prue%a " error para locali'ar la solucin ptima# se de%en

encontrar las coordenadas de los puntos a# b# c# " d . +e de%e calcular despu0s el valor de

la funcin o%&etivo para cada punto. 1 continuacin se muestran los resultados de este

procedimiento,

,esultados de prue!a error

Punto oordenadas Z / 0A + Ba 1 B -# A B 7

% 1 B 7# A B 9 K- menor c 1 B?# A B K K6

d 1 B # A B -


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*1+


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Paso inicial Preparación para iniciar iteraciones

Paso iterati7o %ealización de iteraciones

,egla de detención 'Es óptima la solución actual(

+i no +i sí

in

El m0todo simple$ es un procedimiento alebraico en el que cada iteracin

contiene la solucin de un sistema de ecuaciones para o%tener una nueva solucin a la

que se le aplica la prue%a de optimalidad. o o%stante# tam%i0n tiene una interpretacin

eométrica mu" útil. Para ilustrar los conceptos geom0tricos generales se empleará la

solucin gráfica del siguiente pro%lema,

Ma$ J B ?$- @ 7$9

s.a.

$- ≤ K

9$9 ≤ -9

?$- @ 9$9 ≤ -

$- ≥ $9 ≥

Solución por el m&todo gr"fico


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En la figura anterior pueden o%servarse los puntos de interseccin que son las

soluciones en los vértices del pro%lema. Los cinco puntos que se encuentran en los

v0rtices de la reión factible# (#)# (#:)# (9#:)# (K#?)# (K#) son las soluciones

%acti!les en los 7*rtices. 1lgunas de estas soluciones facti%les en un v0rtice son

adacentes# en el sentido de que están conectadas por una sola orilla (segmento de

línea) de la frontera de la regin facti%le esto es# tanto (#:) como (K#?) son ad"acentes

a (9#:). Las tres propiedades clave de las soluciones facti%les en los v0rtices " que

forman el fundamento del m0todo simple$ se resumen como sigue,

Propiedades de las soluciones factibles en un v&rtice

1a. +i e$iste e$actamente una solucin ptima# entonces debe ser una solucin facti%le

en un v0rtice.

1!. +i e$isten soluciones ptimas múltiples# entonces al menos dos de ellas de%en ser

soluciones facti%les en v0rtices ad"acentes.

2. E$iste slo un número finito de soluciones facti%les en los v0rtices ad"acentes.


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&. +i una solucin en un v0rtice es igual o menor (según el valor de J) que todas las

soluciones facti%les en los v0rtices adyacentes a ella# entonces es igual o me&or que

todas las demás soluciones en los v0rtices es decir# es óptima.

La propiedad - significa que la %úsqueda de la solucin ptima se puede reducir

a la consideracin de sólo las soluciones facti%les en los v0rtices# de manera que slo

e$iste un número finito de soluciones que es necesario tomar en cuenta (propiedad 9).

La propiedad ? proporciona una prue%a de optimalidad mu" conveniente.

El m0todo simple$ e$plota estas tres propiedades al e$aminar nada más unas

cuantas soluciones facti%les en v0rtices prometedores " al detenerse en cuanto una de

ellas pasa la prue%a de optimalidad. En particular# se traslada repetidamente (en formaiterativa) de una solucin facti%le en un v0rtice a otra# ad"acente " me&or. Esto se puede

reali'ar en forma mu" eficiente hasta que la solucin actual no tiene soluciones facti%les

en v0rtices ad"acentes que sean me&ores. Este procedimiento se resume como sigue,

)os*uejo del m&todo simple+

1. &aso inicial' inicio en una solucin facti%le en un v0rtice.

2. &aso iterativo' traslado a una me&or solucin facti%le en un v0rtice ad"acente.

(Fepítase este paso las veces que sea necesario).

&. &rueba de optimalidad' la solucin facti%le en un v0rtice es ptima cuando ninguna

de las soluciones en v0rtices ad"acentes a ella sean me&ores.

Este %osque&o muestra la esencia del m0todo simple$#. En el caso del e&emplo# al

utili'ar estas reglas de seleccin el m0todo simple$ procede como sigue,

1. &aso inicial' comien'a en (#).

2a. teración )' se mueve de (#) a (#:)

2!. teración *' se mueve de (#:) a (9#:).

&. &rueba de optimalidad' ni (#:) ni (K#?) son me&ores que (9#:)# entonces se detiene#

(9#:) es ptima.


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Preparación para el m&todo simple+.

En el procedimiento alge%raico es mucho más conveniente mane&ar ecuaciones

que desigualdades. 1sí# el primer paso para preparar el m0todo simple$ es convertir las

restricciones funcionales de desiualdad en restricciones equivalentes. (Las

restricciones de no negatividad se pueden de&ar como desigualdades porque el algoritmo

las usa slo indirectamente). Esta conversin se hace mediante la introduccin de

7aria!les de olgura. *onsid0rese la primera restriccin funcional del e&emplo,

$- ≤ K

La varia%le de holgura para esta restriccin es $ ?# que no es otra cosa que la holgura

entre los dos lados de la desigualdad. Entonces,

$- @ $? B K

La restriccin original $- ≤ K se cumple siempre que $? ≥ . Por tanto# $- ≤ K es

totalmente equivalente al con&unto de restricciones

$- @ $? B K "

$? ≥ #

de manera que se usará este con&unto por resultar más conveniente.

1l introducir varia%les de holgura en las otras restricciones en forma parecida# el

modelo de programacin lineal original para este e&emplo se puede sustituir por el

modelo equivalente,

Ma$imi'ar J B ?$- @ 7$9#

su&eta a

$- @ $? B K 9$9 @ $K B -9

?$- @ 9$9 @ $7 B - $ &≥ para & B -# 9# [# 7

1un cuando este pro%lema es id0ntico al anterior# esta forma es mucho másconveniente para la manipulacin alge%raica " la identificacin de las soluciones


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facti%les en los v0rtices. Ssta se llama la forma de iualdades del pro%lema# para

diferenciarla de la forma de desigualdades original " poder introducir la siguiente

definicin,

/na solución aumentada es una solucin para un pro%lema que originalmente se

encontra%a en forma de desigualdades " que se ha aumentado con los valores

correspondientes de las variables de holura para cam%iar el pro%lema a la forma de

igualdades.

Por e&emplo# al aumentar la solucin (?#9) en el e&emplo# se o%tiene la solucin

aumentada (?#9#-##7)# puesto que los valores correspondientes de las varia%les de

holgura son $? B -# $K B # $7 B 7.

/na solución !#sica es una solucin en un v0rtice aumentada.

Para ilustrar esto# consid0rese la solucin no facti%le en el v0rtice (K#:) del

e&emplo. 1l aumentar con los valores o%tenidos para las varia%les de holgura $? B # $K B

" $7 B Z:# se llega a la solucin %ásica correspondiente (K#:###Z:). +e permite que las

soluciones %ásicas sean facti%les o no facti%les# lo que lleva a la siguiente definicin,

/na solución !#sica %acti!le es una solucin facti%le en un v0rtice aumentada.

1sí# la solucin facti%le en el v0rtice (#:) del e&emplo es equivalente a la

solucin %ásica facti%le (# :# K# #:) para la forma de igualdades del pro%lema.

*omo los t0rminos solución básica " solución básica factible constitu"en partes

mu" importantes del voca%ulario normal de programacin lineal# es necesario aclarar

sus propiedades alge%raicas. tese que para la forma de igualdades del e&emplo# elsistema de restricciones funcionales tiene dos varia%les más (cinco) que ecuaciones

(tres). Este hecho proporciona dos rados de libertad al resolver el sistema# "a que se

pueden elegir dos varia%les cualesquiera " hacerlas iguales a cualquier valor ar%itrario

para resolver las tres ecuaciones en t0rminos de las tres varia%les restantes (se e$clu"en

redundancias). El m0todo simple$ usa cero para este valor ar%itrario. Las varia%les que

por el momento se hacen iguales a cero se llaman 7aria!les no !#sicas todas las demás

se llaman 7aria!les !#sicas. La solucin que resulta es una solución básica. +i todas las

varia%les %ásicas son no negativas# entonces se tiene una solución básica factible. Para


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cualquier solucin %ásica# la solucin en el v0rtice correspondiente se o%tiene

simplemente al quitar las varia%les de holgura. 2os soluciones %ásicas son ad"acentes si

todas menos una de sus varia%les son las mismas la misma aseveracin se cumple para

las varia%les %ásicas. Entonces# trasladarse de una solucin %ásica facti%le a una

ad"acente significa cam%iar el estado de una varia%le de no %ásica a %ásica " viceversa

para otra varia%le.

En t0rminos generales# el número de variables no básicas de una solucin %ásica

siempre es igual a los rados de libertad del sistema de ecuaciones " el número de

variables básicas siempre es igual al número de restricciones funcionales.

1l tra%a&ar con el pro%lema en forma de igualdades# conviene tomar en cuenta "manipular la ecuacin de la funcin o%&etivo al mismo tiempo que las nuevas

ecuaciones de las restricciones. 1ntes de comen'ar con el m0todo simple$ es necesario

escri%ir el pro%lema una ve' más en su forma equivalente,

Ma$imi'ar J#

su&eta a

J − ?$- − 7$9 B $- @ $? B K 9$9 @ $K B -9 ?$- @ 9$9 @ $7 B -

$ &≥ para & B -# 9# [# 7

*omo la ecuacin de la funcin o%&etivo "a se encuentra en forma de igualdad#

no necesita varia%le de holgura. *on esta interpretacin# las soluciones %ásicas no

cam%ian# e$cepto que J puede verse como una varia%le %ásica adicional permanente.

1 partir de este momento "a estamos listos para pasar los coeficientes de nuestro

pro%lema a lo que conoceremos como la ,abla Simple+ ,

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - Z? Z7 $? - - K (# # K# -9# -)$K 9 - -9 J B $7 ? 9 - -


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La ta%la anterior ilustra una propiedad clave que toda ta%la símple$ de%e tener

para estar en la forma apropiada se trata del patrn especial de los coeficientes de las

varia%les %ásicas. En particular# ntese cmo las columnas de $?# $K " $7 (al igual que la

columna de J) contiene e$actamente un @- en el rengln que corresponde a esa varia%le

%ásica (v0ase la primera columna)# " todos los demás coeficientes en esa columna son

cero. 2e la misma manera# cada ecuacin contiene e$actamente una varia%le %ásica con

coeficiente distinto de cero# en donde este coeficiente es @-. Esta propiedad es

significativa# "a que permite identificar de inmediato la solucin %ásica facti%le actual a

partir de la ta%la esto es# cada varia%le %ásica es igual a la constante del lado derecho de

su ecuacin. Esta primera solucin %ásica facti%le actual se muestra en la figura anterior

en la columna de ¿+s óptima?. 2e aquí en adelante# para cada nueva iteracin del

m0todo simple$ mostraremos la solucin %ásica facti%le actual en esta columna de la

ta%la simple$. (Fecu0rdese que las varia%les no %ásicas son iguales a cero). La ta%la

simple$ inicial quedará automáticamente en esta forma apropiada (a menos que el

pro%lema original de programacin lineal no est0 en nuestra forma estándar ).

El m0todo simple$ constru"e una ta%la simple$ para cada solucin %ásica

facti%le que se o%tiene# hasta alcan'ar la solucin ptima. 1 continuacin descri%imos el

procedimiento para pro%lemas que "a están en la forma estándar # con %i > para toda iB -# 9# [# m.

PAS$ I3IIAL. +e introducen varia%les de holgura. 2espu0s se seleccionan las

variables oriinales como variables no básicas in#ciales (se igualan a cero) " las

variables de holura como las variables básicas oriinales. Esta seleccin lleva a la

ta%la simple$ inicial anterior. *omo esta ta%la está en la forma apropiada# de inmediato

se o%tiene la solucin %ásica facti%le inicial para el e&emplo# (# # K# -9#-). 1hora de%e

reali'arse la prue%a de optimalidad para determinar si la solucin es ptima.

P,)9BA ;9 $P


30/48

En este e&emplo# ha" dos coeficientes negativos en la ecuacin de J# −? para $- "

−7 para $9 de manera que de%e irse al paso iterativo. acharemos la solucin %ásica

facti%le actual como se muestra en la ta%la anterior para indicar que esta solucin no es

ptima.

PAS$ I


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&arte . +e determina la nueva solución básica factible al construir una nueva

ta%la simple$ en la forma apropiada# a%a&o de la que se tiene. Las primeras dos

columnas no cam%ian# e$cepto que la varia%le %ásica entrante sustitu"e a la varia%le

%ásica que sale en la columna de -ariable .ásica. Para cam%iar el coeficiente de la

nueva varia%le %ásica en el rengln pivote a @-# se divide todo el rengln pivote entre el

número pivote,

Fengln pivote nuevo B Fengln pivote antiguo Y pivote

En este punto# la ta%la simple$ para el e&emplo se ve como la que se muestra

enseguida. Para o%tener un coeficiente para la nueva varia%le %ásica en las otras

ecuaciones# cada rengln \inclusive el de la ecuacin de J] e/cepto el rengln pivote# secam%ia por la nueva ta%la simple$ usando la siguiente frmula,

Fengln nuevo B rengln antiguo − (coeficiente en la columna pivote × rengln pivote

nuevo)

en donde el coeficiente en la columna pivote es el número en la columna pivote

correspondiente a este rengln.

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - Z? Z7 $? - - K (# # K# -9# -)65 9 - -9 J B $7 ? 9 - -J -

$? 62 - -Y9 :$7

Para ilustrar con el e&emplo# los nuevos renglones se o%tienen de la formasiguiente,

$enlón de 0' [−? −7 # ]

− (−7) [ - -Y9 # :]


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Fengln nuevo B [−? 7Y9 # ?]

$enlón ), +in cam%io porque su coeficiente en la columna pivote es cero.

$enlón ' [? 9 -# -]

− (9) [ - -Y9 # :]

Fengln nuevo B [? −- -# :]

Estos cam%ios llevan a la nueva ta%la simple$ que se muestra en la siguiente

ta%la para la

iteracin -,

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - Z? Z7 $? - - K (# # K# -9# -)65 9 - -9 J B $7 ? 9 - -J - Z? 7Y9 ?$? - - K (# :# K# # :)62 - -Y9 : J B ?$7 ? Z- - :

*omo las varia%les %ásicas siempre son iguales al lado derecho de la ecuacinque le corresponde# la nueva solucin %ásica facti%le es (# :# K# # :) con J B ?.

Este tra%a&o completa el paso iterativo# así que de%e proseguirse a la prue%a de

optimalidad. *omo la ecuacin de J todavía tiene coeficientes negativos (Z? para $-)# la

prue%a de optimalidad indica que la solucin no es ptima# (lo cual se muestra en la

figura anterior) por lo que manda al algoritmo de regreso al paso iterativo para o%tener

la siguiente solucin %ásica facti%le. El paso iterativo comien'a de nuevo en la ta%la

simple$ actual para encontrar la nueva solucin. +i se siguen las instrucciones de las partes - " 9# se encuentra que $- es la varia%le %ásica entrante " $7 la varia%le %ásica que

sale# como se muestra en la siguiente ta%la,

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - Z? 7Y9 ?$? - - K KY- B K (# :# K# # :)

$9 - -Y9 : J B ?


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$7 ? Z- - : :Y? B 9 mín.

En las siguientes ta%las se muestra el con&unto completo de las ta%las del

m0todo símple$ para este e&emplo. La nueva solucin %ásica facti%le es (9# :# 9# # )#

con J B ?:. 1l hacer la prue%a de optimalidad# se encuentra que la solucin es óptima

porque no ha" coeficientes negativos en la ecuacin de J# de manera que el algoritmo

ha terminado. En consecuencia# la solucin ptima para este e&emplo (sin tomar en

cuenta las varia%les de holgura) es $- B 9# $9 B :.

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - Z? Z7 $? - - K (# # K# -9# -)

$K 9 - -9 -9Y9 B : mín. J B $7 ? 9 - - -Y9 B RJ - Z? 7Y9 ?$? - - K KY- B K (# :# K# # :)$9 - -Y9 : J B ?$7 ? Z- - : :Y? B 9 mín.J - ?Y9 - ?:$? - -Y? Z-Y? 9 (9# :# 9# # )$9 - -Y9 : J B ?:$- - Z-Y? -Y? 9 -ptima

1nteriormente no se di&o qu0 hacer cuando las reglas de seleccin del m0todo

simple$ no llevan a una decisin clara# "a sea porque e$isten empates (valores iguales)

o por otras am%ig^edades parecidas.

Empate para la variable b"sica entrante.

El paso - de cada iteracin elige la varia%le %ásica que tiene el coeficiente

neativo con el mayor valor absoluto en la ecuacin de J actual como la varia%le %ásica

entrante. 1hora suponga que dos o más varia%les no %ásicas tienen el coeficiente

negativo más grande (en valor a%soluto)# es decir# que ha" un empate entre ellas. Por

e&emplo# esto ocurriría en la primera iteracin del e&emplo anterior si se cam%iara la

funcin o%&etivo a J B ?$- @ ?$9# con lo que la ecuacin del rengln de J inicial sería

J−?$-−?$9 B . U*mo de%e romperse este empate;

La respuesta es que la eleccin entre estos dos contendientes se puede hacer de

manera arbitraria. arde o temprano se llegará a la solucin ptima# sin importar cuál


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de las varia%les empatadas se ha"a escogido# " no e$iste un m0todo conveniente para

predecir cuál lleva ahí más rápidamente. En este e&emplo ocurre que si se escoge $-

como varia%le entrante# el m0todo simple$ alcan'a la solucin ptima (9# :) en tres

iteraciones " si se elige $9# llega en dos.

Empate para la variable b"sica *ue sale degeneración.

1hora suponga que el empate ocurre entre dos o más varia%les %ásicas al elegir

la varia%le que sale en el paso 9 de una iteracin. UHmporta cuál se escoge; En teoría sí#

" en una forma crítica de%ido a que puede ocurrir la siguiente sucesin de eventos.

Primero# todas las varia%les empatadas se hacen cero al mismo tiempo cuando aumenta

el valor de la varia%le entrante. Por tanto# aquellas que no se eligieron como varia%le %ásica que sale tam%i0n tendrán un valor de cero en la nueva solucin %ásica facti%le.

(Las varia%les %ásicas con valor de cero se llaman degeneradas " el mismo nom%re se

da a la solucin %ásica facti%le correspondiente.) +egundo# si una de estas varia%les

%ásicas degeneradas sigue con valor de cero hasta que se selecciona como varia%le

%ásica que sale en una iteracin posterior# la varia%le %ásica entrante de%erá tam%i0n

quedar con valor de cero ("a que no puede crecer sin que la varia%le %ásica que sale se

vuelva negativa)# entonces el valor de J permanecerá sin cam%io. ercero# si J permanece igual en lugar de me&orar cada iteracin# el m0todo simple$ puede caer en un

ciclo que repite la misma secuencia de soluciones peridicamente# en lugar de aumentar

en algún momento para llegar a la solucin ptima.

Por fortuna# aunque en teoría es posi%le que ha"a ciclos perpetuos# ha sido en

e$tremo raro que tenga lugar en pro%lemas reales. +i ocurriera un ciclo siempre se

puede salir de 0l cam%iando la eleccin de la varia%le %ásica que sale. Por lo tanto se

recomienda romper los empates arbitrariamente " seguir el proceso sin preocuparse de

las varia%les que puedan resultar.

Cuando no a/ variable b"sica *ue sale 0 no acotada.

E$iste otra posi%ilidad en el paso 9 de una iteracin# de la que no se ha ha%lado,

aquella en la que ninuna varia%le califica como varia%le %ásica que sale. Esta situacin

puede ocurrir si la varia%le %ásica entrante puede crecer indefinidamente sin que

ninuna de las varia%les %ásicas actuales adquiera valores negativos. En la forma


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ta%ular# esto significa que todos los coeficientes en la columna pivote (se e$clu"e el

rengln de J) son negativos o cero.

*omo se ilustra en la siguiente ta%la# esta situacin surge cuando se considera el

siguiente e&emplo,

Ma$imi'ar J B ?$- @ 7$9#

+u&eta a $- ≤ K

" $- ≥ # $9 ≥

En este e&emplo se ignoraron las dos últimas restricciones funcionales del

e&emplo resuelto anteriormente. 8ea en la ta%la que $9 es la varia%le %ásica entrante peroel único coeficiente en la columna pivote es cero. *omo la prue%a del cociente mínimo

usa slo coeficientes ma"ores que cero# no se cuenta con un cociente que proporcione

una varia%le %ásica que sale.

La interpretacin de una ta%la simple$ como la que se muestra en la siguiente

ta%la es que las restricciones no impiden el crecimiento indefinido de la funcin

o%&etivo J# de manera que el m0todo simple$ se detiene con el mensa&e de que J es no

acotada. 2e%ido a que ni siquiera la programacin lineal ha descu%ierto la manera de

lograr ganancias infinitas# el mensa&e real en pro%lemas prácticos es, _+e ha cometido un

error` al ve' el modelo est0 mal formulado# "a sea por ha%er omitido una restriccin

relevante o por ha%erla esta%lecido incorrectamente. 2e otra manera# pudo ha%er

ocurrido un error en los cálculos.

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - Z? Z7 X? - - K 1in m#nimo

Soluciones óptimas m1ltiples.


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En la definicin de solución óptima se mencion que un pro%lema puede tener

más de una solucin ptima. +i en el e&emplo cam%iamos la funcin o%&etivo a J B ?$-

@ 9$9 resulta que todos los puntos so%re el segmento de recta entre (9#:) " (K#?) son

soluciones ptimas. Entonces todas las soluciones son un promedio ponderado de estas

dos soluciones facti%les en los v0rtices ptimas,

($-# $9) B 2-(9# :) @ 29(K# ?)#

2onde los pesos 2- "29 son números que satisfacen las relaciones,

2- @ 29 B - " 2- ≥ # 29 ≥

Por e&emplo# 2- B -Y? " 29 B 9Y? da,

($-# $9) B -Y?(9# :) @ 9Y?(K# ?) B (9Y?@Y?# :Y?@:Y?) B (-Y?# K)

*omo una solucin ptima.

En general# cualquier promedio ponderado de dos o más soluciones (vectores)

donde los pesos son no negativos " suman - se llama com!inación con7e6a de estas

soluciones. Entonces# toda solucin ptima en el e&emplo es una com%inacin conve$ade (9# :) " (K# ?).

Este e&emplo es representativo de pro%lemas con soluciones ptimas múltiples.

Cualquier pro%lema de Programacin Lineal con soluciones ptimas

múltiples (" una regin facti%le acotada) tiene al menos dos soluciones

facti%les en los v0rtices que son ptimas. 3oda solucin ptima es una

com%inacin lineal de estas soluciones facti%les en los v0rtices ptimas.

En consecuencia# en la forma aumentada# toda solucin ptima es una

com%inacin conve$a de las soluciones %ásicas facti%les ptimas.

El m0todo simple$ se detiene automáticamente al encontrar una solucin %ásica

facti%le ptima. +in em%argo# en muchas aplicaciones de Programacin Lineal e$isten

factores intangi%les que no se incorporan al modelo " que pueden ser útiles para tomar

decisiones significativas so%re las soluciones ptimas alternativas. En esos casos#tam%i0n de%en identificarse las otras soluciones ptimas. Esto requiere encontrar todas


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las demás soluciones %ásicas facti%le ptimas# " entonces toda solucin ptima es una

com%inacin conve$a de las soluciones %ásicas facti%les ptimas.

/na ve' que el m0todo simple$ encuentra una solucin %ásica facti%le ptima#

se puede detectar si e$isten otras "# si así es# se encuentra como sigue,

+iempre que un pro%lema tiene más de una solucin %ásica facti%le

ptima# al menos una varia%le no %ásica tiene coeficiente cero en la

ecuacin de J final# de manera que si aumenta su valor# el valor de la

funcin J no cam%ia. Por lo tanto# estas otras soluciones %ásicas

facti%les ptimas se pueden identificar (si se desea) reali'ando

iteraciones adicionales del m0todo simple$# en las que cada ve' se eligeuna varia%le no %ásica con coeficiente cero como varia%le %ásica

entrante. +i una de estas iteraciones no tiene una varia%le %ásica que sale

esto indica que la regin facti%le es no acotada " la varia%le %ásica

entrante puede crecer indefinidamente sin cam%iar el valor de J.

2.0. M*todo de la >M? o de Penaliación.

Iasta este momento se han presentado los detalles del m0todo simple$ con lasuposicin de que el pro%lema se encuentra en nuestra forma est"ndar @ma6imiar Z

sueta a las restricciones %uncionales de la %orma restricciones de no

negati7idad so!re todas las 7aria!les con !i ≥ C para toda i / 1D 2D ...D m. En esta

seccin se esta%lecerá cmo hacer los a&ustes requeridos a otras formas legítimas de

modelos de Programacin Lineal. +e verá que todos estos a&ustes se pueden hacer en el

paso inicial# de manera que el resto del m0todo simple$ se aplica &usto como se

aprendi.

El único pro%lema serio que introducen las otras formas de restricciones

funcionales (B ≥) es identificar una solución inicial básica factible. 1ntes# esta

solucin inicial se encontra%a en forma mu" conveniente al hacer que las varia%les de

holgura fueran las varia%les %ásicas iníciales# donde cada una era igual a la constante no

neativa del lado derecho de la ecuacin correspondiente. 1hora de%e hacerse algo más.

El enfoque estándar que se utili'a es estos casos es la t*cnica de 7aria!les arti%iciales.Ssta constru"e un problema artificial más conveniente introduciendo una varia%le


38/48

ficticia (llamada variable artificial ) en cada restriccin que lo requiera. Esta nueva

varia%le se introduce slo con el fin de que sea la varia%le %ásica inicial para esa

ecuacin. Las restricciones usuales de no negatividad tam%i0n se aplican so%re estas

varia%les " la funcin o%&etivo se modifica para que imponga una penaliación

e$or%itante en el caso de que adquieran valores ma"ores que cero. Las iteraciones del

m0todo simple$ automáticamente fuer'an a las varia%les artificiales a desaparecer (a

volverse cero) una a una# hasta que todas quedan fuera de la solucin despu0s de esto

se resuelve el pro%lema real .

Para ilustrar la t0cnica de las varia%les artificiales# primero se considerará el caso

en que la única forma no estándar en el pro%lema es la presencia de una o más

restricciones en forma de igualdad.

%estricciones en forma de igualdad.

En realidad# cualquier restriccin en forma de igualdad,

ai-$- @ai9$9 @ . . . @ ain$n B %i

es equivalente a dos restricciones de desigualdad,

ai-$- @ ai9$9 @ . . . @ ain$n ≤ %i#

ai-$- @ ai9$9 @ . . . @ ain$n ≥ %i

+in em%argo# en lugar de hacer esta sustitucin e incrementar con ello el número

de restricciones# es más conveniente usar la t0cnica de la varia%le artificial. +uponga

que se modifica el pro%lema de e&emplo presentado " resuelto en la seccin anterior. Elúnico cam%io que sufre el modelo de programacin lineal es que la tercera restriccin#

?$- @ 9$9 ≤ -# se convierte en una restriccin de igualdad,

?$- @ 9$9 B -

1plicando la t0cnica de las varia%les artificiales se introduce una varia%le

artificial no negativa (denotada por $7) en la última ecuacin# como si fuera una

varia%le de holgura,


39/48

?$- @ 9$9 @ $7 B-

En resumen si tenemos una restriccin funcional en forma de igualdad "

deseamos 4pasarla a su forma de iualdad5# únicamente de%emos sumar una varia%le

artificial.

Festricciones funcionales de la forma ≥

Para ilustrar la manera en que la t0cnica de las varia%les artificiales mane&a las

restricciones de la forma ≥ usaremos el siguiente e&emplo,

Minimi'ar J B .K$- @ .7$9

su&eta a .?$- @ .-$9 ≤ 9.6 .7$- @ .7$9 B : .:$- @ .K$9 ≥ : $- ≥ # $9 ≥

otemos que la tercera restriccin es del tipo ≥# por lo que para cam%iarla a su

forma de igualdad tendríamos que restar una varia%le de superávit (o de e$cedente)#

quedando de la siguiente manera,

.:$- @ .K$9 − $7 B :

+e ha restado la variable de e/cedente $7 (se utili' $7 porque en la primera

restriccin agregamos una varia%le de holgura que sería $ ? " en la segunda restriccin

agregamos tam%i0n una varia%le artificial que sería $K todo esto con el fin de convertir

las desigualdades a su forma de igualdades) para que consuma el e$ceso de .:$ - @

.K$9# o sea# lo que se pasa de :. o o%stante en este caso de%e agregarse otra varia%le.

Esta varia%le e$tra# llamada variable artificial se aumenta como sigue,

.:$- @ .K$9 − $7 @ $: B :

La ra'n de esto es que# si no se agrega la varia%le artificial# no se estarían

cumpliendo las restricciones de no negatividad. Para comprenderlo# se de&ará sin

aumentar. El m0todo simple$ comien'a por hacer todas las varia%les reales (originales)

iguales a cero. Entonces,

.:$- @ .K$9 − $7 B :


40/48

+ea $- B " $9 B # entonces,

−$7 B :

$7 B −: (que no cumple la

restriccin de no negatividad)

La varia%le artificial opera para mantener todas las varia%les no negativas

cuando .:$- @ .K$9 es menor que :. +i $- B " $9 B # entonces $7 B "

.:$- @ .K$9 − $7 @ $: B :

$: B :

En resumen# una restriccin de la forma ≥ se convierte a su forma de igualdadrestando una varia%le de e$cedente " sumando una varia%le artificial.

*onsideremos el siguiente pro%lema,

Ma$imi'ar J B ?$- @ 7$9 su&eta a $- ≤ K

9$9 ≤ -9 ?$- @ 9$9 B - $- ≥ # $9 ≥

*omo e$plicamos anteriormente# para resolver este pro%lema# de%emosconstruir un pro!lema arti%icial que tiene la misma solucin ptima que el pro%lemareal# haciendo dos modificaciones a este pro%lema real.

-. +e aplica la t*cnica de las 7aria!les arti%iciales introduciendo una 7aria!le

arti%icial no neativa (denotada por $7) en la última ecuacin# como si fuera una

varia%le de holgura,

?$- @ 9$9 @ $7 B-

9. +e asigna una penalización enorme al hecho de tener $7 > # cam%iando la funcin

o%&etivo

J B ?$- @ 7$9 a,

J B ?$- @ 7$9 − M$7#


41/48

2onde M sim%licamente representa un número positivo muy rande. Este m0todo

que fuer'a a $7 hasta el nivel de $7 B en la solucin ptima se llama m*todo de la

M.

otaE Para el caso de minimi'acin# penali'amos a la varia%le artificial# haci0ndola

aparecer en la funcin o%&etivo con un coeficiente de @M.

1hora se encuentra la solucin ptima para el pro%lema real aplicando el m0todosimple$ al pro%lema artificial.

*omo $7 &uega el papel de la varia%le de holgura en la tercera restriccin del

pro%lema artificial# esta restriccin es equivalente a ?$- @ 9$9 ≤ -.

En particular# el sistema de ecuaciones despu0s de aumentar el pro%lema

artificial (en otras pala%ras# pasarlo a su forma de igualdades) es,

Ma$imi'ar J#

su&eta a

J − ?$- − 7$9 @ M$7 B $- @ $? B K

9$9 @ $K B -9 ?$- @ 9$9 @ $7 B -

$ &≥ Para & B -# 9# [# 7

En este momento estamos preparados para pasar los coeficientes a la ta%la

simple$,

(aria!leB#sica Z 61 62

6& 65

60Ladodereco ociente 89s óptima:

J - Z? Z7 M $? - - K$K 9 - -9$7 ? 9 - -

Esta ta%la todavía no está en la forma apropiada porque el coeficiente de $ 7 es

diferente de cero en la ecuacin de J (es M). Por lo tanto# antes de que el m0todo

simple$ pueda aplicar la prue%a de optimalidad " encontrar la varia%le %ásica entrante#

de%e pasarse esta ta%la a la forma apropiada para que cumpla la condición simple6.


42/48

Esta condicin que de%e cumplir toda ta%la del m0todo simple$ para que pueda

reportarnos la siguiente solucin %ásica facti%le dice que, =oda varia%le %ásica de%e

tener un - en la interseccin de su rengln " columna correspondiente " cero en los

demás renglones incluido el rengln de J># en otras pala%ras# que toda varia%le que sea

%ásica solamente de%e aparecer en el rengln de la restriccin que representa. Para hacer

cero el coeficiente M# utili'amos el rengln de $7 como rengln pivote multiplicándolo

por −M " sumando el resultado al rengln de J. Feali'ando el procedimiento anterior# la

ta%la simple$ queda de la siguiente manera,

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - N?MN? N9MN7 −-M − 6 /7 8 0 $? - - K (# # K# -9# -)$K 9 - -9 J B −-M$7 ? 9 - -

Podemos o%servar que la ta%la anterior "a se encuentra en la forma apropiada "

podemos leer la solucin %ásica facti%le actual# que es (# # K# -9# -)# la cual aplicando

la prue%a de optimalidad vemos que no es ptima "a que todavía tenemos coeficientes

negativos en el rengln de J (los correspondientes a $ - " $9). 1plicando el m0todo

simple$ a la ta%la anterior tenemos, el coeficiente negativo con el ma"or valor a%solutocorresponde a $- (−?M−?)# recordemos que M es un número muy rande positivo# por

lo tanto# $- se convierte en la varia%le %ásica entrante# reali'ando los cocientes

correspondientes# vemos que $? se convierte en la varia%le %ásica saliente. El

procedimiento completo para resolver este e&emplo se muestra en el siguiente con&unto

de ta%las,

lea

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

- N?MN? N9MN7 −-M - - K KY- B K (# # K# -9# -)

9 - -9 J B −-M

? 9 - - -Y? B :

- N9MN7 ?M@? −:M@-9

- - K (K# # # -9# :)


43/48

9 - -9 -9Y9 B : J B −:M@-9

9 −? - : :Y9 B ?

- −RY9 M@7Y9 96 - - K KY- B K (K# ?# # :# )

? - −- : :Y? B 9 J B 96 - −?Y9 -Y9 ?

- ?Y9 M@- ?: - −-Y? -Y? 9 (9# :# 9# # )

- -Y? −-Y? 9 J B ?:

- -Y9 : ptima

344340AC4- con el m&todo simple+.

/na manera directa de minimi'ar J con el m0todo simple$ es cam%iar los rolesde los coeficientes negativos " positivos en el rengln de la funcin o%&etivo# tanto para

la prue%a de optimalidad como para la parte - de una iteracin. +e determina la variable

básica entrante mediante la eleccin de la varia%le con el coeficiente positivo menor en

la ecuacin de J. La solucin %ásica facti%le actual es ptima si " slo si todos los

coeficientes de la ecuacin de la funcin o%&etivo (rengln de J) son no positivos (≤ ).

+i es así# el proceso termina de otra manera# se lleva a ca%o otra iteracin para o%tener

la nueva solucin %ásica facti%le# lo que significa el cam%io de una varia%le no %ásica por una %ásica (parte -) " viceversa (parte 9)# " despu0s despe&ar las varia%les de la

nueva solucin (parte ?). otemos que no se ha dicho nada con respecto a la forma de

o%tener la variable básica saliente en una iteracin# "a que este paso se reali'a de la

misma manera que cuando se está ma$imi'ando# es decir# se escoge aquella varia%le

%ásica con el menor cociente. Hlustremos la forma de utili'ar el m0todo simple$ para el

caso de minimi'acin. *onsideremos el siguiente e&emplo,

Minimi'ar J B ?$- @ $9 su&eta a $- @ K$9 ≤ K $- @ 9$9 ≥ 9 $- ≥ # $9 ≥

Pasando este pro%lema a su forma de igualdades a!adiendo las varia%les

necesarias# o%tenemos lo siguiente,

Minimi'ar J#

su&eta a


44/48

J − ?$- − $9 − M$7 B $- @ K$9 @ $? B K

$- @ 9$9 − $K @ $7 B 9 $ &≥ para & B -# 9# [# 7

/tili'ando el m0todo de la M para o%tener una solucin ptima por el m0todosímple$# o%tenemos el siguiente con&unto de ta%las,

(aria!leB#sica

Z

61

62

6&

65

60

Ladodereco

ociente

89s óptima:

J - −? − −M $? - K - K$7 - 9 −- - 9

J - M−? 9M− −M 9M (# # K# # 9)

$? - K - K KY- B K J B 9M$7 - 9 −- - 9 9Y- B 9

J - −9 −? −M@? : (9# # 9# # )

$? 9 - - −- 9 J B :

$- - 9 −- - 9 ptima

otemos que la primera ta%la no se encontra%a en la forma apropiada para el

m0todo simple$# "a que el coeficiente de la varia%le %ásica $7 era de −M en el rengln

de J# lo cual hacia que no se cumpliera la condicin simple$.

2.G. M*todo de las dos Fases.

En el e&emplo presentado en la seccin =Festricciones funcionales de la forma

≥=# recordemos la funcin o%&etivo real,

&roblema real' Minimi'ar J B .K$- @ .7$9

+in em%argo# el m0todo de la M utili'a la siguiente funcin o%&etivo a trav0s detodo el procedimiento,

6étodo de la 6' Minimi'ar J B .K$- @ .7$9 @ M$K @ M$:

*omo los dos primeros coeficientes (.K " .7) son desprecia%les comparados

con M# el m0todo de dos fases puede eliminar la M usando las siguientes dos funciones

o%&etivo que definen J de manera completamente diferente,

6étodo de las dos fases'


45/48

%ase )' Minimi'ar J B $K @ $: (hasta que $K B " $: B ).

%ase *' Minimi'ar J B .K$- @ .7$9 (con $K B " $: B ).

La funcin o%&etivo de la fase - se o%tiene dividiendo la funcin o%&etivo delm0todo de la M entre M eliminando los t0rminos desprecia%les# en otras pala%ras# la

fase - consiste en la minimi'acin de la suma de todas las varia%les artificiales que se

introdu'can en el pro%lema. *omo la fase - conclu"e al o%tener una solucin %ásica

facti%le para el pro%lema real (aquella en la que $K B " $: B )# esta solucin se usa

como la solucin %ásica facti%le inicial para aplicar el m0todo simple$ al pro%lema real

(con su funcin o%&etivo) en la fase 9. 1ntes de resolver el e&emplo de esta manera se

hará un resumen de las características generales.

%esumen del m&todo de dos fases.

&aso inicial' +e revisan las restricciones del pro%lema original introduciendo varia%les

artificiales según se necesite para o%tener una solucin %ásica facti%le inicial o%via para

el pro%lema artificial.

%ase )' uso del m0todo simple$ para resolver el pro%lema de programacin

lineal,

Minimi'ar J B Σ de todas las varia%les artificiales# su&eta a las restricciones

revisadas.

La solucin ptima que se o%tiene para este pro%lema (con J B ) será una

solucin %ásica facti%le para el pro%lema real.

%ase *' se eliminan las varia%les artificiales (de todas formas# ahora todas valen

cero). *omen'ando con la solucin %ásica facti%le que se o%tuvo al final de la fase -# se

usa el m0todo simple$ para resolver el pro%lema real.

Enseguida se resumen los pro%lemas que de%en resolverse por el m0todo

simple$ en las fases respectivas para el e&emplo.

&roblema para la fase )'

Minimi'ar B $K @ $:#


46/48

su&eta a

.?$- @ .-$9 @ $? B 9.6.7$- @ .7$9 @ $K B :.:$- @ .K$9 − $7 @ $: B :

"

$-≥ $9≥ $?≥ $K≥ $7≥ $:≥

&roblema para la fase *'

Minimi'ar J B .K$- @ .7$9#

su&eta a

.?$- @ .-$9 @ $? B 9.6.7$- @ .7$9 B :.:$- @ .K$9 − $7 B :

"

$-≥ $9≥ $?≥ $7≥

Las únicas diferencias entre estos dos pro%lemas se encuentran en la funcin

o%&etivo " en la inclusin (fase -) o e$clusin (fase 9) de las varia%les artificiales $ K "

$:. +in las varia%les artificiales# el pro%lema para la fase 9 no tiene una solución básica

factible inicial o%via. El único propsito de resolver el pro%lema para la fase - es

o%tener una solucin %ásica facti%le con $K B " $: B que se pueda usar como la

solucin %ásica facti%le inicial para la fase 9.

Las siguientes ta%las muestran el resultado de aplicar el m0todo simple$ a este

pro%lema para la fase -,

lea

H

61

62

6&

65

60

6G

Ladodereco

ociente

89s óptima:

- −- −- .? .- - 9.6

.7 .7 - :

.: .K −- - :

- -.- .R −- -9

.? .- - 9.6 9.6Y.?BR (##9.6#:##:)


47/48

.7 .7 - : :Y.7B-9 B -9

.: .K −- - : :Y.:B-

- .7? −?.:: −- 9.- - .?? ?.?? R RY.??B96.9 (R###-.7##.:)

.?? −-.:: - -.7 -.7Y.??BK.7 B 9.- .9 −9 −- - .: .:Y.9B?

- -.:K -.:7 −9.:7 .7- - :.:? -.:7 −-.:7 .- .-Y-.:7BK. (.-#?##.7-##) -.:K - -.:7 −-.:7 .7- .7-Y-.:7B.? B .7-

- −- −7 7 ? - −- −- - 7 −- 6.7 (6.7#K.7###.?#) .RR .: - −- .? B

- −7.7 ? K.7 ptima %ase 1

otemos que "a hemos o%tenido una solucin ptima para la fase - que

consisti en la minimi'acin de la suma de todas las varia%les artificiales.


48/48

$- - 7 6.7 (6.7#K.7###.?#)$7 .RR - .? J B 7.97$9 - −7.7 K.7 ptima %ase 2

otemos que no fue necesario aplicar propiamente el m0todo simple$ a la

primera ta%la de la segunda fase# "a que únicamente aplicando operaciones con matrices

para tratar de llevar esta ta%la a la forma apropiada para el m0todo simple$ fue

suficiente para resolver el pro%lema planteado en la segunda fase. Es necesario aclarar

que no siempre ocurrirá de esta manera# es decir# si despu0s de de&ar la ta%la en la forma

apropiada# es necesario aplicar el m0todo simple$# se de%e aplicar como lo hemos

estudiado.

ota Hndependientemente de que el pro%lema original (real) sea de ma$imi'acin ominimi'acin# la primera %ase siempre consistir# en la minimiación de la

suma de todas las varia%les artificiales.

11) Resumen Sobre Programacion Lineal.1

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