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1 NUMEROS COMPLEJOS 1.1 Definición y origen de los números complejos. Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma donde es la parte real y

es la parte imaginaria. Tanto como son reales, e √ Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo . Despejando a

se obtiene √ que se escribe El origen de los números complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas. En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma , donde es cualquier número positivo.

El brillante matemático Leonhard Euler designó por a √ El símbolo expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y de ? Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático Gauss, quien colocó en el eje la parte , y en el eje la parte es decir, el eje o eje real (Re) representa la parte real de un número complejo y el eje o eje imaginario (Im) la parte imaginaria del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real ( )

.( ) ( )

Gráfica 1: Representación del número complejo ( ) .

De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números complejos, ya

que en el plano el número complejo ( ) coincide con el número real , donde En el caso de los números complejos de la forma ( ) son llamados imaginarios puros.

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1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por ) Antes de ver la suma de números complejos escribiremos en función de diferentes expresiones:

√ √( )( ) √ √ √

√ √ √( )( ) √( )( )( ) √ √ √ √ √ √

√ √ √( )( ) √ √

√ √( )( ) √ √

√ √ √( )( ) √( )( ) √ √ √ √

√ √ ( )

√ √( )( )( ) √ √ √ √ √ √ √

√ √( )( ) √( )( )( ) √ √ √ √ √ √ √

√ √( )( ) √( )( )( ) √ √ √ √ √ √ √

√ √( )( ) √( )( )( ) √ √ √ √ √

√ √ √ √ √ √ ( )√ √

Suma de un número complejo Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Por ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de práctica podemos realizar solo dos pasos, cuando tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso. Veamos otros ejemplos con dos pasos:

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

)

(

) (

)

( ) (

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

) (

)

Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.

(

) (

)

(

) (

)

Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el resultado NO es exacto. Veamos el caso de:

En el caso anterior se puede reportar el resultado como: ó ó los cuales no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados en fracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio.

( ) ( ) ( ) ( )

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( ) ( ) ( ) ( )

( √ ) ( √ ) ( √( )( )( )) ( √( )( )( ))

( √ ) ( √ ) ( √ √ √ ) ( √ √ √ )

( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ √

( √ ) ( √ ) ( ) ( √ √ ) ( ) ( )√

( √ ) ( √ ) √ NOTA: Observe que en cada renglón se anota el

ejercicio inicial del lado izquierdo. Resta de un número complejo Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo: La primera es que se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

NOTA IMPORTANTE: Observe en las dos ecuaciones anteriores que del lado izquierdo es una resta y del lado derecho queda una suma.

Resolvamos varios ejemplos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]

( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ] ( )

( ) ( ) [ ( )] [ ( )]

( ) ( ) [ ] [ ( )]

(

) (

) (

) [

( )] (

) [

( )]

Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:

[

( )] (

) (

)

(

) (

)

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(

) (

) (

) [

(

)] (

) [

(

)]

(

) (

) (

) (

)

Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.

(

) (

)

(

) (

)

La segunda forma de restar números complejos es usar las leyes de los signos para cambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo número complejo con lo que la ecuación se transforma en una suma de números complejos, esto es muy útil, en especial cuando hay signos negativos en el segundo número complejo. En forma de ecuación queda así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primera forma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en el segundo número complejo quedando la ecuación como suma de dos números complejos en vez de resta, se va a eliminar el paso anterior a factorizada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

Si comparamos las dos formas de restar números complejos aunque la segunda tiene un paso adicional (que es transformar una resta en suma a través del cambio de signo del segundo número complejo) puede ser más útil que la primera forma, por no tener que estar al pendiente de los signos. Las

restas o sumas de los últimos tres ejercicios se hicieron con calculadora. Use las teclas para

obtener resultados en fracciones y no en decimales. Use las teclas y para obtener

fracciones que no tengan enteros. NOTA IMPORTANTE AL RESOLVER FRACCIONES SE RECOMIENDA HACERLO CON LA CALCULADORA CON

LAS TECLAS y ANTES INDICADAS.

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Multiplicación de números complejos Para multiplicar dos números complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto de dos binomios. Uno de los términos tendrá donde es equivalente a:

( )( ) √ √ ( ) ⁄ ( )

⁄ ( )

⁄

⁄ ( )

⁄ .

En forma de ecuación:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Resolvamos algunos ejemplos: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Observe que se sustituyó en la ecuación por . Siempre se debe hacer así. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) [ ( ) ]( ) ( )( )( ) [ ( ) ]( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luego se simplificó el resultado hasta obtener un binomio , enseguida se multiplicaron el nuevo binomio ( ) por el último binomio y se simplificó. Resolvamos otros ejercicios. Resolvamos ahora unas multiplicacionescon fracciones de números complejos

( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

( ) (

)

( )

( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

7

( ) (

)

( )

(

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

) (

)

( )

Al aplicar ley de los signos ( )( ) ( )y simplificando las fracciones queda:

(

) (

)

(

) (

)

Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual, para ver cómo se hace:

(

) (

)

(

) (

)

( √ ) (

√

)

√

√

( )

( √ √ ) ( √

√

)

( )

Al resolver sumas o restas de fracciones hágalo con la calculadora, no en forma manual como se hizo

antes. Use las teclas para obtener resultados en fracciones y no en decimales. Use las teclas

y para obtener fracciones que no tengan enteros.

NOTA IMPORTANTE AL RESOLVER FRACCIONES SE RECOMIENDA HACERLO CON LA CALCULADORA CON

LAS TECLAS y ANTES INDICADAS.

División de dos números complejos Antes de tratar la división de dos números complejos es necesario definir: Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo es es decir, se cambia el signo de la

parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo y son conjugados. También

son conjugados y , observe que el signo de la parte real no cambia. Demuestre que son válidas las proposiciones siguientes, para los números complejos:

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y

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

Para dividir dos números complejos se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se sustituye por . Recordemos que:

( )( ) para nuestro caso:

( )( ) ( ) Veamos varios ejemplos de división de números complejos:

( )( )

( )

( )( )

( )

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( )

(

) (

) (

) (

)

Se recomienda resolver con calculadora, al resolver manualmente las fracciones anteriores

(

) (

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

√

√

√( )( )

√( )( )

√ √

√ √

√

√ ( )

( )

√ √

√ √ √ √

√ √ √ √

√ √ ( √ √ )( √ √ )

( √ ) ( √ )

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√ √

√ √ √ √ √ √

( ) √ ( )( )

( )

√ √

√ √ √

√

√

√

(

)

Como hay que resolver dos divisiones se harán por separado.

(

) (

) (

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

Inverso multiplicativo de un número complejo

Calcule el inverso multiplicativo de y compruebe el resultado.

( )

( )

Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor

( ) (

)

( )

(

)

11

Calcule el inverso multiplicativo de y compruebe el resultado.

( )

( )

Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor

( ) (

)

( )

Calcule el inverso multiplicativo de √

√

√ √

√

√

(√ )

√

√

( ) √

√

√

√

Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor √

( √ ) (

√

)

√

√

( )

Calcule el inverso multiplicativo de √ √

√ √

√ √ √ √

√ √

√ √

( √ ) (√ )

√ √

√ √

( )

√ √ √ √

√ √

√

√

Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor √ √

( √ √ ) ( √

√

)

( )