1100 - WordPress.compara estudiantes con difi cultades en su proceso de aprendizaje. e. La...
80
Educación Media 10 10
Transcript of 1100 - WordPress.compara estudiantes con difi cultades en su proceso de aprendizaje. e. La...
Educación Media
1010
2
Créditos
Autoría guía de docenciaJosé Alberto Gordillo Ardila
Licenciado en Ciencias de la educación especialista en matemáticas
Especialización en Educación matemática
Autoría solucionarioCarolina Rodríguez SolanoLicenciada en Matemáticas
Autoría Pruebas SaberFlor Patricia Pedraza Daza
PsicólogaEspecialista en Educación Matemática
con énfasis en Básica Secundaria
Coordinación de equidad de género y adecuación a la diversidad cultural
Isabel Hernández Ayala
Coordinación de revisión pedagógicaMauricio Villegas Rodríguez
DiagramaciónJosé Daniel Pirabán
FinalizaciónEsteban Vega Beltrán
Coordinación de diagramaciónRolando Rodríguez González
Diseño de carátulaGonzalo Ochoa Martínez
Dirección editorialMauricio Villegas Rodríguez
Gerencia editorialCarlos William Gómez Rosero
El libro Ingenio Matemático de décimo grado, Guía de docencia para la
Educación Media ha sido elaborado según el plan de la Empresa Editorial y bajo su responsabilidad por las siguientes perso-nas del Departamento de Investigación
Educativa de EDITORIAL VOLUNTAD S. A.
ISBN Volumen 958-02-2395-5ISBN Colección 958-02-2347-5
© EDITORIAL VOLUNTAD S. A. 2006
Derechos reservados. Es propiedad de la Empresa Editorial. Esta publicación no
puede ser reproducida en todo ni en par-te, ni archivada o trasmitida por ningún medio electrónico, mecánico, de graba-ción, de fotocopia, de microfi lmación o en otra forma, sin permiso previo de la
Empresa Editorial.
Depósito legal
Primera edición, 2006
EDITORIAL VOLUNTAD S. A.Carrera 7a. No. 24-89 Piso 24
Teléfono 2410444 - Fax 2410439Bogotá, D. C. - Colombia.
www.voluntad.com.co
Impreso en Colombia.Printed in Colombia.
3
Contenido
PLANEADOR ........................................................................................................5
Concepto de competencia ......................................................................................... 11 El aprendizaje de las matemáticas y sus difi cultades ................................................ 17 La utilización de las competencias básicas en la educación matemática .................. 22
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES .................................................... 25 Evaluación 4.1 ........................................................................................................... 31 Ampliación de la información en la red .................................................................... 48
SOLUCIONARIO INGENIO MATEMÁTICO NUEVE ........................................... 55
DE LAS PRUEBAS SABER AL AULA .................................................................. 68
DIAGNÓSTICO .................................................................................................... 69
Problemática 1 .......................................................................................................... 70 Problemática 2 .......................................................................................................... 72 Problemática 3 .......................................................................................................... 73 Problemática 4 .......................................................................................................... 74 Problemática 5 .......................................................................................................... 76 Problemática 6 .......................................................................................................... 78
4
Capítulo I del decreto 0230 de febrero 11 de 2002
Normas técnicas curriculares
ARTÍCULO 2º. Orientaciones para la elabo-ración del currículo. El currículo es el conjunto de criterios, planes de estudio, metodologías y procesos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad cultural nacio-nal, regional y local, incluyendo también los re-cursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el proyecto educativo institucional.
En virtud de la autonomía escolar ordenada por el artículo 77 de la ley 115 de 1994, los es-tablecimientos educativos que ofrezcan la educa-ción formal, gozan de autonomía para organizar las áreas obligatorias y fundamentales defi nidas para cada nivel, introducir asignaturas optativas dentro de las áreas establecidas en la ley, adaptar algunas áreas a las necesidades y características regionales, adoptar métodos de enseñanza y orga-nizar actividades formativas, culturales y deporti-vas, dentro de los lineamientos que establezca el Ministerio de Educación Nacional. Por lo tanto el currículo adoptado por cada establecimiento educativo, debe tener en cuenta y ajustarse a los siguientes parámetros:
a. Los fi nes de la educación y los objetivos de cada nivel y ciclo defi nidos por la Ley 115 de 1994.
b. Las normas técnicas, tales como estándares para el currículo en las áreas obligatorias y fundamentales del conocimiento, u otros ins-trumentos para la calidad, que defi na y adop-te el Ministerio de Educación Nacional.
c. Los lineamientos curriculares expedidos por el Ministerio de Educación Nacional.
ARTÍCULO 3º. Plan de estudios. El plan de estudios es el esquema estructurado de las áreas
obligatorias y fundamentales y de áreas optativas con sus respectivas asignaturas que forman parte del cu-rrículo de los establecimientos educativos. El plan de estudios debe contener al menos los siguientes aspec-tos:
a. La intención e identifi cación de los contenidos, te-mas y problemas de cada área, señalando las co-rrespondientes actividades pedagógicas.
b. La distribución del tiempo y las secuencias del pro-ceso educativo, señalando en qué grado y período lectivo se ejecutarán las diferentes actividades.
c. Los logros, competencias y conocimientos que los educandos deben alcanzar y adquirir al fi nalizar cada uno de los períodos del año escolar, en cada área y grado, según hayan sido defi nidos en el proyecto educativo institucional -PEI- en el marco de las nor-mas técnicas curriculares que expida el Ministerio de Educación Nacional. Igualmente incluirá los cri-terios y procedimientos para evaluar el aprendizaje, el rendimiento y el desarrollo de capacidades de los educandos.
d. El diseño general de planes especiales de apoyo para estudiantes con difi cultades en su proceso de aprendizaje.
e. La metodología aplicable a cada una de las áreas, señalando el uso del material didáctico, textos esco-lares, laboratorios, ayudas audiovisuales, informáti-ca educativa o cualquier otro medio que oriente o soporte la acción pedagógica.
f. Indicadores de desempeño y metas de calidad que per-mitan llevar a cabo la auto evaluación institucional.
5
Sistemas numéricos y pensamiento numérico
Unidad unoUnidad uno
Estándares
• Analizar representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racio-nales e irracionales.
• Reconocer la densidad e incompletud de los números racionales a través de métodos nu-méricos, geométricos y algebraicos.
• Comparar y constatar las propiedades de los
Contenido Competencias matemáticas Desempeños matemáticos Enriquecimiento y superación
Cons
truc
ción
hi
stór
ica
del
conc
epto
de
núm
ero
Seguir los procesos históricos de construcción del concepto de número.
Determinar cuándo un número pertenece a un conjunto dado y determinar qué clase de opera-ciones se pueden realizar en un conjunto determinado.
Elaborar carteleras con las carac-terísticas de cada uno de los sis-temas numéricos, sus propieda-des, operaciones y las relaciones que se pueden establecer.
Los
núm
eros
ir
raci
onal
es
Comprender que los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como el co-ciente de números enteros.
Construir algunos números irra-cionales notables y reconocer sus aplicaciones.
Utilizar aplicaciones del número áureo y otros números irracio-nales en diferentes actividades humanas.
Unidad dosUnidad dos
Sistemas geométricos y pensamiento espacial
• Identifi car las propiedades de las curvas en los bordes obtenidos mediante cortes (longitudinal y transversal) en un cono y un cilindro.
• Identifi car características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros ( polares, esféricos).
• Resolver problemas en los que se usen las propiedades geométricas de fi guras cónicas de manera algebraica.
• Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.
• Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones. trigonométricas.
• Reconocer y describir curvas o lugares geométricos.
números (enteros, racionales, reales ), sus re-laciones y operaciones (sistemas numéricos).
• Utilizar argumentos de la teoría de números para justifi car relaciones que involucran los nú-meros naturales.
• Establecer relaciones y diferencias entre distin-tas notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.
Estándares
PLANEADOR
6
Contenido Competencias matemáticas Desempeños matemáticos Enriquecimiento y superación
Des
arro
llo
hist
óric
o de
la
trig
onom
etrí
a. Seguir los procesos históricos que dieron origen a las ideas tri-gonométricas.
Reconocer las limitaciones his-tóricas de las diferentes culturas en el desarrollo de los conceptos trigonométricos.
Elaborar una línea de tiempo con los diferentes sucesos que se presentaron en el desarrollo his-tórico de la trigonometría.
Áng
ulos
y
arco
s
Relacionar arcos con ángulos centrales en una circunferencia.
Calcular el arco que subtiende un ángulo dado.
Construir, en acetato, un trans-portador de una vuelta o 360°.
Áng
ulos
in
scri
tos
y án
gulo
s in
ter-
cept
ados
Reconocer los ángulos inscritos, semiscritos e interceptados.
Reconocer y aplicar las propie-dades que se pueden establecer entre ángulo central e inscrito en una circunferencia.
Clasifi car los ángulos que se pue-den relacionar con una circun-ferencia según la corten o no la corten.
Áng
ulos
po
sitiv
os
y án
gulo
s ne
gativ
os. Comprender que los ángulos liga-
dos a un sistema de coordenadas cartesianas pueden ser positivos y negativos.
Encontrar la medida de un ángulo y expresarlo en positivo y nega-tivo.
Mostrar la utilidad de utilizar los dos criterios de determinación de un ángulo en el seguimiento de instrucciones de movimiento ar-mónicos en el espacio.
Ope
raci
ones
co
n la
am
plitu
d de
áng
ulos
. Construir el algoritmo para rea-lizar operaciones con ángulos y verifi car los resultados con la calculadora.
Sumar y restar ángulos expresa-dos en sistema sexagesimal.
Multiplicar o dividir un ángulo por un número.
Elaborar un cuadro comparativo de los ángulos en la tierra y el tiempo en los diferentes meridia-nos según el huso horario.
Áng
ulos
cote
rmin
ales
Comprender el concepto de án-gulo coterminal.
Establecer relaciones entre án-gulos coterminales.
Dibujar ángulos coterminales.
Razo
nes
trig
onom
étri
cas
de u
n tr
iáng
ulo
rect
ángu
lo. Reconocer las razones trigono-
métricas que se obtienen en un triángulo rectángulo.
Calcular el valor de la razón tri-gonométrica para un ángulo dado de un triángulo rectángulo.
Elaborar una tabla de razones trigonométricas midiendo y cal-culando los cocientes entre la longitud de los lados.
Solu
ción
de
triá
ngul
os
rect
ángu
los. Utilizar las herramientas tecnoló-
gicas para resolver un triángulo rectángulo.
Hallar el valor de los lados, los ángulos, el perímetro y el área de un triángulo rectángulo.
Solicitar a los estudiantes que expresen en voz alta las opera-ciones mentales que siguen para resolver un problema.
7
Prob
lem
as d
e ap
licac
ión
de
las
razo
nes
tri-
gono
mét
rica
s. Interpretar situaciones mate-máticas y plantear las razones trigonométricas que conducen a su solución.
Resolver problemas en que inter-vienen las razones trigonométri-cas.
Trabajando en grupo, solicitar a los estudiantes que digan en voz alta el proceso que siguen en la solución de problemas.
Teor
ema
del
seno
Comprender el sentido del teore-ma del seno y los criterios que se deben seguir para utilizarlo.
Aplicar el teorema del seno cuan-do en la razón dada se conocen tres de los cuatro datos.
Elaborar una cartelera con los diferentes casos que permiten aplicar el teorema del seno.
Teor
ema
del
cose
no
Deducir el teorema del coseno a partir de la aplicación del teore-ma de Pitágoras.
Aplicar el teorema del coseno cuando se conocen tres de los cuatro datos.
Elaborar una cartelera con los diferentes casos que permiten aplicar el teorema del coseno.
Proy
ecci
ones
de
un
vect
or Determinar las componentes rec-tangulares de un vector.
Encontrar la proyección de un vector en cada uno de los ejes.
Dadas las proyecciones de un vector encontrar el vector apli-cando el teorema de Pitágoras.
Func
ione
s tri
gono
mét
ri-ca
s
Ampliar el concepto de razón tri-gonométrica al de función, utili-zando el círculo trigonométrico.
Representar gráfi camente las funciones trigonométricas.
Elaborar carteleras que conten-gan las funciones trigonométri-cas.
Repr
esen
taci
ón
de la
s fu
ncio
nes
trig
onom
étri
cas
por m
edio
de
segm
ento
s
Representar, en el círculo trigo-nométrico, por medio de segmen-tos, cada una de las funciones trigonométricas.
Determinar el segmento que le corresponde a una función trigo-nométrica en un ángulo dado.
Elaborar carteleras con las fun-ciones trigonométricas represen-tadas por segmentos ligadas a un círculo trigonométrico.
Valo
r de
las
func
ione
s tr
igo-
nom
étri
cas
para
án
gulo
s no
tabl
es Determinar gráfi camente el valor que le corresponde a una función trigonométrica en cada uno de los puntos del dominio.
Calcular el valor de las funciones trigonométricas en los puntos no-tables del círculo.
Construir un círculo trigonomé-trico y, a partir del giro del seg-mento que determina la función, construir la gráfi ca cartesiana de la función.
Redu
cció
n al
pr
imer
cu
adra
nte
Deducir las expresiones mate-máticas que permiten expresar un ángulo o número real de cual-quier cuadrante en términos de ángulos del primer cuadrante.
Aplicar las expresiones de re-ducción al primer cuadrante para encontrar el valor de una función trigonométrica para cualquier nú-mero real.
Elaborar una cartelera con los ángulos en los diferentes cua-drantes y su correspondiente expresión reducida al primer cua-drante.
8
Valo
r de
las
func
io-
nes
trig
onom
étri
-ca
s pa
ra á
ngul
os
espe
cial
es
Determinar gráfi camente el valor que le corresponde a una función trigonométrica en cada uno de los puntos del dominio.
Encontrar el valor de una función trigonométrica en puntos espe-ciales.
Elaborar tablas de datos con el valor de las funciones trigonomé-tricas para ángulos especiales.
Conc
epto
de
iden
tidad
. Comprender el concepto de iden-tidad trigonométrica.
Evaluar y demostrar identidades trigonométricas.
Realizar un concurso sobre de postración de identidades trigo-nométricas.
Dem
ostr
ació
n de
iden
tidad
es
trig
onom
étri
cas Diseñar una estrategia para de-
mostrar identidades trigonomé-tricas.
Demostrar identidades trigono-métricas aplicando las propie-dades de las operaciones y las identidades fundamentales.
Con el ánimo de aprender de los estudiantes con más habilidad, solicitar que, previamente a la solución de los problemas, di-señen la estrategia que permite demostrar la identidad.
Iden
tidad
es
trigo
nom
étric
as
para
la s
uma
y di
fere
ncia
de
ángu
los
Deducir la expresión matemática que permite expresar la función trigonométrica de la suma o dife-rencia de ángulos.
Aplicar la expresión trigonomé-trica de la suma o diferencia de ángulos para demostrar otras identidades.
Elaborar memo-fi chas con las di-ferentes fórmulas para demostrar identidades.
Iden
tidad
es
trig
onom
étri
-ca
s pa
ra e
l pr
oduc
to d
e fu
ncio
nes
Deducir la expresión matemática que permite calcular el producto de funciones
Demostrar identidades trigono-métricas que contengan el pro-ducto de funciones trigonomé-tricas.
Completar la información junto con otras identidades fundamen-tales.
Iden
tidad
es tr
i-go
nom
étri
cas
para
la s
uma
de fu
ncio
nes Deducir la expresión matemática
que permite calcular la suma de funciones.
Demostrar identidades trigono-métricas que contengan la suma de funciones trigonométricas.
Demostrar, indicando en voz alta cada paso, la sustitución que se realiza.
Iden
tidad
es
para
los
áng
u-lo
s do
bles
Deducir la expresión matemática que permite expresar la función trigonométrica del ángulo doble.
Aplicar la expresión trigonomé-trica del ángulo doble para de-mostrar otras identidades.
Demostrar, indicando en voz alta cada paso, la sustitución que se realiza para que los estudiantes expertos transmitan a los menos expertos los procesos apropia-dos.
Conc
epto
de
ecua
ción
trig
o-no
mét
rica
Comprender el concepto de ecua-ción trigonométrica.
Resolver ecuaciones trigonomé-tricas aplicando principios alge-braicos e identidades trigonomé-tricas para su transformación.
Elaborar un resumen de las prin-cipales identidades y los posibles casos de ecuaciones.
9
Unidad dosUnidad dos
Geometría analítica
Estándares
Contenido Competencias matemáticas
Desempeños matemáticos Enriquecimiento y superación
¿Qué es la geometría analítica?
Reconocer el objeto de es-tudio de la geometría ana-lítica.
Encontrar la ubicación car-tesiana de puntos ubicados en el plano.
Elaborar una línea de tiempo con los diferentes procesos que permitieron la creación de la geometría analítica.
Relación entre dos conjuntos
Establecer la relación entre dos conjuntos con su co-rrespondiente representa-ción cartesiana.
Aplicar las propiedades de las relaciones para clasi-fi carlas según su cumpli-miento.
Buscar ejemplos de la vida cotidiana que relacionen dos conjuntos y, clasifi car la relación que se establece entre sus ele-mentos según los parámetros dados en matemáticas.
Puntos, rectas y planos en el
espacio
Representar puntos, rectas y planos en el espacio.
Establecer relaciones entre puntos, rectas y planos.
Trazar puntos, rectas y planos y estable-cer relaciones de frontera entre ellos.
La rectaDeterminar la ecuación de la recta y su representación gráfi ca.
Dados algunos elementos de la recta, encontrar su ecuación.
Buscar relaciones de proporcionalidad directa y representarlas gráfi camente por medio de una recta.
La circunfe-rencia
Determinar la ecuación de la circunferencia y su repre-sentación gráfi ca.
Con el conocimiento del centro y el radio, hallar la ecuación de la circunferen-cia.
Iniciar la elaboración de un álbum que contenga las diferentes cónicas con sus elementos y ecuación.
La parábolaDeterminar la ecuación de la parábola y su representa-ción gráfi ca.
Representar parábolas en el plano cartesiano.
Enriquecer el álbum con la parábola, sus elementos y diferentes posibilidades se-gún abran las ramas.
La elipseDeterminar la ecuación de la elipse y su representa-ción gráfi ca.
Representar elipses en el plano cartesiano.
Continuar el proceso de elaboración del álbum agregando la elipse y sus aplica-ciones en el movimiento planetario.
La hipérbolaDeterminar la ecuación de la hipérbola y su represen-tación gráfi ca.
Representar hipérbolas en el plano cartesiano.
Completar el álbum con la hipérbola y motivar al estudiante para que elabore el mejor álbum.
• Identifi ca características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, esféricos).
• Resolver problemas en los que se usen las propiedades geométricas de fi guras cónicas de manera algebraica.
• Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.
• Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.
• Reconocer y describir curvas o lugares geométricos.
10
Unidad Tres Unidad Tres
Vectores y matrices
Contenido Competencias matemáticas Desempeños matemáticos Enriquecimiento y superación
Concepto de matriz
Comprender el concepto de matriz como herramienta de organización de la informa-ción.
Organizar datos en forma matricial y realizar las opera-ciones con matrices.
Elaborar una cartelera con diferentes informaciones de prensa que se presenten en forma de matriz. Se debe ex-plicar el signifi cado de las fi -las, las columnas y cada una de las casillas.
Concepto de vector.
Comprender el concepto de vector.
Representar magnitudes físi-cas por medio de vectores.
Buscar, en libros de física, información acerca del trata-miento que se le da al con-cepto de vector.
Operaciones con vectores.
Hallar la suma, la diferencia y el producto de vectores.
Aplicar las propiedades de las operaciones con vectores y encontrar su resultado.
Hacer un resumen de la for-ma analítica y gráfi ca de rea-lizar las operaciones entre vectores.
• Observar que diferentes magnitudes físicas se comportan como un vector.
• Comprender las propiedades de las operaciones entre vecto-res y de la multiplicación de un vector por un escalar.
• Relacionar el producto escalar de dos vectores con la magni-tud física de trabajo.
• Organizar datos en forma matricial y realizar operaciones con matrices.
Estándares
11
El concepto de competencia surge de la necesidad de valorar, no sólo el conjunto de los cono-cimientos apropiados (saber) y las habilidades y destrezas (saber hacer) desarrolladas por una persona, sino su capacidad de emplearlas para responder a situaciones, resolver problemas y desenvolverse en el mundo. Igualmente, implica una mirada a las condiciones del individuo y las disposiciones con las que actúa, es decir, al componente actitudinal y valorativo (saber ser) que incide sobre los resultados de la acción.
La competencia es “un saber hacer frente a una tarea específi ca, la cual se hace evidente cuando el sujeto entra en contacto con ella. Esta competencia supone conocimientos, sabe-res y habilidades que emergen en la interacción que se establece entre el individuo y la tarea y que no siempre están de antemano”.
Abordar el enfoque de competencias es dar un viraje hacia los resultados de la aplicación de esos saberes, habilidades y destrezas. En otras palabras, las competencias se refi eren a un “saber hacer en contexto”. Por ello, la competencia se demuestra a través de los desempeños de una persona, los cuales son observables y medibles y, por tanto, evaluables. “Las compe-tencias se visualizan, actualizan y desarrollan a través de desempeños o realizaciones en los distintos campos de la acción humana”.
¿De qué hablamos cuando nos referimos al con-cepto de competencia? A continuación presentamos algunos elementos que la caracterizan:
a. Es personal, es decir, está presente en todos los seres humanos. Esta condición se observa inclusive en nuestro lenguaje cotidiano cuando decimos que “aquella persona es muy competente…”; lo mismo no ocurre con respecto a los objetos, que aunque son muy útiles no son “competentes”.
b. La competencia siempre está referida a un ámbito o un contexto en el cual se materializa. En la medida en que el ámbito de referencia es más delimitado, es más fácil caracterizarla. Por ejemplo, es más sen-cillo explicitar qué sería un “conductor competente” que un “ciudadano competente”.
c. La competencia representa potenciales que siempre son desarrollados en contextos de relaciones disci-plinares signifi cativas.
Concepto de competencia
Tomado del documento “Articulación de la educación con el mundo productivo – La formación de competencias laborales “ MEN
d. Las competencias se realizan a través de las ha-bilidades. Una competencia puede contener varias habilidades que funcionan como anclas para referir-las a los ámbitos en los cuales las competencias se realizarán.
e. Están asociadas a una movilización de saberes. No son un “conocimiento acumulado”, sino la vincula-ción de una acción, la capacidad de acudir a lo que se sabe para realizar lo que se desea.
f. Son patrones de articulación del conocimiento al servicio de la inteligencia. Pueden ser asociadas a los esquemas de acción, desde los más sencillos hasta las formas más elaboradas de movilización del conocimiento.
g. Representan la potencialidad para la realización de intenciones referidas: articular los elementos del par conocimiento-inteligencia, así como el de cono-cimiento tácito – conocimiento explícito.
12
Las competencias se refi eren a la capacidad de un individuo para desenvolverse en muchos ámbitos de la vida personal, intelectual, social, ciudadana y laboral: “vale la pena resaltar que al hablar de competencias nos hallamos frente a un fenómeno tanto individual como social y cultural, pues es la sociedad la que da sentido y legitima cuáles son las competencias espera-das y de mayor reconocimiento”.
El desarrollo integral de un estudiante debe atender todas sus dimensiones, de ahí que en la actualidad se otorgue especial énfasis a la formación y evaluación de
Competencias
Competencias básicas
Las competencias básicas están relacionadas con el pensamiento lógico matemático y las habilidades comunicativas, que son la base para la apropiación y aplicación del conocimiento científi co provisto por las distintas disciplinas, tanto sociales como naturales. Son el punto de partida para que las personas puedan aprender de manera continua y realizar diferentes ac-
competencias de distinto tipo: básicas (relacionadas con el lenguaje, la matemática y las ciencias), ciudadanas (referidas a la capacidad de actuar en sociedad) y labo-rales (necesarias para actuar como ser productivo).
Con el fi n de centrar la atención y los esfuerzos en la formación, los niveles de la básica primaria y secun-daria han asumido el desarrollo de las competencias básicas y ciudadanas, principalmente. A su vez, la me-dia, además de las anteriores, hoy en día se enfrenta al reto de crear condiciones para que los jóvenes desa-rrollen y ejerciten competencias laborales.
Básicas Laborales Ciudadanas
Intelectuales
Personales
Interpersonales
Organizacionales
Capacidad de emprender
Se asocian al desempeño de funciones reconocidas por el sector productivo
Generales Específi cas
tividades en los ámbitos personal, laboral, cultural y social. De igual manera, permiten el desarrollo de las ciudadanas y las laborales.
Las competencias básicas en matemáticas se rela-cionan con “el saber hacer en el contexto matemático, que no es otra cosa que el uso que el estudiante hace de la matemática para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y procedimientos matemáticos”.
13
A su vez, la competencia comunicativa o de uso del lenguaje, se refi ere al “uso del lenguaje para acceder a la comprensión y a la producción de diferentes tipos de textos. Es decir, a la manera como el estudiante emplea su lenguaje en los procesos de negociación del sentido”.
El énfasis dado en la actualidad a las competencias básicas ha trasformado la educación de un ejercicio para la memorización de cuerpos estables de conoci-miento al desarrollo de competencias cognitivas supe-riores relacionadas. Estas competencias apuntan a la capacidad para utilizar el conocimiento científi co para la resolución de problemas de la vida cotidiana, y no sólo del espacio escolar, y de aprender a aprender para poder enfrentar el ritmo con que se producen nuevos conocimientos, informaciones, tecnologías y técnicas.
En el contexto laboral, las competencias básicas per-miten que un individuo entienda instrucciones escritas y verbales, produzca textos con distintos propósitos, interprete información registrada en cuadros y gráfi cos, analice problemas y sus posibles soluciones, comprenda y comunique sentidos diversos con otras personas.
Competencias ciudadanas
Las competencias ciudadanas son el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes que, permiten que una persona se desenvuelva adecuadamente en sociedad y contribuya al bienestar común y al desarro-llo de su localidad o región.
Están referidas a la capacidad de ejercer la ciudada-nía y de actuar con base en los principios concertados por una sociedad y validados universalmente. Además de relacionarse con la actuación de un individuo, las competencias ciudadanas implican la capacidad para efectuar juicios morales, conocer el funcionamiento del Estado y comportarse e interactuar con otros y consigo mismo.
El desarrollo de estas competencias permite que los estudiantes participen activamente no sólo en la institución educativa, sino también en la esfera públi-ca y en las organizaciones a las que se vinculen, para promover intereses colectivos, defender derechos y
cumplir deberes como ciudadanos y miembros de una comunidad o grupo. Igualmente, les posibilita la re-fl exión y la crítica frente a su comportamiento y el de los demás, el manejo de confl ictos y la asunción de po-siciones argumentadas sobre los hechos importantes de la vida local, regional, nacional e internacional.
La formación de competencias ciudadanas está relacionada con la apropiación de mecanismos de re-gulación del comportamiento, tales como la ley, prin-cipios, valores, normas, reglamentos, creados para convivir en armonía con otros diversos, regular los acuerdos y respetarlos.
En el contexto laboral, las competencias ciudada-nas permiten al individuo asumir comportamientos adecuados según la situación y el interlocutor, respe-tar las normas y procedimientos, ser crítico y refl exivo ante los problemas, resolver confl ictos y buscar la ar-monía en la relación con los demás, cuidar los bienes ajenos que le sean encomendados, cumplir los com-promisos, participar activamente y generar sentido de pertenencia con su organización.
Competencias laborales
Las competencias laborales son el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes que aplicadas o demostradas en situaciones del ámbito productivo, tanto en un empleo como en una unidad para la ge-neración de ingreso por cuenta propia, se traducen en resultados efectivos que contribuyen al logro de los objetivos de la organización o negocio. En otras pala-bras, la competencia laboral es la capacidad que una persona posee para desempeñar una función producti-va en escenarios laborales usando diferentes recursos bajo ciertas condiciones, que aseguran la calidad en el logro de los resultados.
Contar con competencias básicas, ciudadanas y la-borales facilita a los jóvenes construir y hacer realidad su proyecto de vida, ejercer la ciudadanía, explorar y desarrollar sus talentos y potencialidades en el espacio productivo, lo que a la vez les permite consolidar su autonomía e identidad personal y mejorar su calidad de vida y la de sus familias.
14
a. El surgimiento del enfoque de com-petencia laboral
Las competencias laborales son un punto de encuen-tro entre los sectores educativo y productivo, por cuan-to muestran qué se debe formar en los trabajadores y los desempeños que éstos deben alcanzar en el espacio laboral. “El surgimiento de la gestión por competencia laboral en la empresa, en parte obedece a la necesidad de acortar la distancia entre esfuerzo de formación y resultado efectivo”.
El concepto de competencia laboral se acuñó prime-ro en los países industrializados a partir de la necesidad de formar personas para responder a los cambios tec-nológicos, organizacionales y, en general, a la demanda de un nuevo mercado laboral. A su vez, en los países en desarrollo su aplicación ha estado asociada al mejo-ramiento de los sistemas de formación para lograr un mayor equilibrio entre las necesidades de las personas, las empresas y la sociedad en general.
La aplicación del enfoque de competencias laborales se inició en el Reino Unido en 1986; posteriormente, fue asumido por Australia (1990) y México (1996), a través de políticas impulsadas por los respectivos go-biernos centrales para consolidar sistemas nacionales de elaboración, formación y certifi cación de competencias, con el propósito de generar competitividad en todos los sectores de la economía. En otros países como Alemania, Francia, España, Colombia y Argentina, dichos sistemas han sido promovidos por la acción de los Ministerios de Educación, Empleo y Seguridad Social. En Estados Unidos, Canadá, Japón y Brasil, entre otros, surgen por iniciativa de empresarios y trabajadores para propiciar la competitividad de algunos sectores económicos.
La competencia laboral es una pieza central de un en-foque integral de formación que, desde su diseño y ope-ración, conecta el mundo del trabajo y la sociedad con la educación, centrando su atención en el mejoramiento del capital humano como fuente principal de innovación, conocimiento, diferenciación y competitividad.
En Colombia, el SENA ha promovido el enfoque de competencias laborales, el cual empieza a ser adoptado de forma amplia por los empresarios para la gestión de su talento humano.
Dadas las ventajas del enfoque en relación con su fuerte vínculo con el sector productivo, la generación de referentes comunes para la formación y evaluación de las personas, actualmente las instituciones de edu-cación media están volcando su atención sobre las competencias para defi nir la formación laboral que ofrecen a sus estudiantes.
Al mismo tiempo, las organizaciones empresariales están incluyendo, dentro de sus políticas instituciona-les, el desarrollo de sus procesos de gestión humana – selección, formación, evaluación, plan de carrera, promoción – con base en competencias laborales tan-to generales como específi cas.
b. Tipos de competencias laborales
Competencias laborales generales
Las competencias laborales generales se caracteri-zan por no estar ligadas a una ocupación en particular, ni a ningún sector económico, cargo o tipo de acti-vidad productiva, pero habilitan a las personas para ingresar al trabajo, mantenerse en él y aprender. Junto con las competencias básicas y ciudadanas, facilitan la empleabilidad de las personas. La empleabilidad es la capacidad de una persona para conseguir un trabajo, mantenerse en él y aprender posteriormente los ele-mentos específi cos propios de la actividad.
Las competencias laborales generales son necesa-rias en todo tipo de trabajo, ya sea en un empleo o en una iniciativa propia para la generación de ingreso. Son ejemplos de ellas la orientación al servicio, la in-formática, el trabajo en equipo, la toma de decisio-nes, la resolución de problemas, el conocimiento del entorno laboral y el manejo de procesos tecnológicos básicos.
Estas competencias son transferibles, es decir, se aplican en cualquier ambiente donde existe una orga-nización productiva: la familia, la comunidad, la em-presa; generan el desarrollo continuo de nuevas capa-cidades y son observables y medibles, lo cual signifi ca que es posible evaluarlas y certifi car que una persona cuenta con ellas. En el siguiente cuadro se presentan las principales características de las competencias la-borales generales.
15
Características de las competencias laborales generales
Genéricas: no están ligadas a una ocupación en particular.
Transversales: son necesarias en todo tipo de empleo.
Transferibles: se adquieren en procesos de enseñanza y aprendizaje.
Generativas: permiten el desarrollo continuo de nuevas capacidades.
Medibles: su adquisición y desempeño es evaluable.
Las competencias laborales generales cobran especial importan-cia en la actualidad en virtud de los cambios que se han dado en la organización del trabajo. Las organizaciones actualmente exigen mayor coordinación entre las personas para emprender acciones, polivalencia (posibilidad de asumir distinto tipo de funciones o puestos de trabajo), orientación al servicio y al mejoramiento conti-nuo, capacidad para enfrentar cambios, anticiparse a las situaciones y crear alternativas novedosas para la solución de problemas.
Los cambios recientes en el mercado laboral, refl ejados en los elevados índices de desempleo e informalidad y las nuevas formas de contratación, han incidido en que la capacidad para empren-der actividades productivas tales como asociaciones, cooperativas, unidades de trabajo familiar o comunitario o crear empresa, sea
considerada hoy en día una competencia laboral general.
Varios estudios nacionales e interna-cionales han permitido identifi car algunas competencias laborales generales que el sector productivo ha considerado funda-mentales para que las personas puedan in-gresar y adaptarse a un ambiente producti-vo, relacionarse adecuadamente con otros y con los recursos disponibles y aprender sobre su trabajo. El siguiente cuadro pre-senta una síntesis de esos hallazgos.
Competencias laborables generales
Intelectuales Condiciones intelectuales asociadas con la atención, la memoria, la concentración, la solución de problemas, la toma de decisiones y la creatividad.
Personales Condiciones del individuo que le permiten adecuada y asertivamente, en un espacio pro-ductivo, aportar sus talentos y desarrollar sus potencialidades en el marco del comporta-miento social y universalmente aceptados. Aquí se incluyen la inteligencia emocional, la ética así como la adaptación al cambio.
Interpersonales Capacidad de adaptación, trabajo en equipo, resolución de confl ictos, liderazgo y proac-tividad en las relaciones interpersonales en un espacio productivo.
Organizacionales Capacidad para gestionar recursos e información, orientación al servicio y aprendizaje a través de la referenciación de experiencias de otros.
Tecnológicas Capacidad para transformar e innovar elementos tangibles del entorno (procesos, pro-cedimientos, métodos y aparatos) y para encontrar soluciones prácticas. Se incluyen, en este grupo, las competencias informáticas y la capacidad de identifi car, adaptar, apropiar y transferir tecnologías.
Empresariales o para la genera-
ción de empresa
Capacidades que habilitan a un individuo para crear, liderar y sostener unidades de ne-gocio por cuenta propia, tales como identifi cación de oportunidades, consecución de re-cursos, tolerancia al riesgo, elaboración de proyectos y planes de negocios, mercadeo y ventas, entre otras.
16
Competencias laborales específi cas
Las competencias laborales específi cas son aque-llas necesarias para el desempeño de las funciones propias de las ocupaciones del sector productivo. Po-seerlas signifi ca tener el dominio de conocimientos, habilidades y actitudes que conllevan al logro de re-sultados de calidad en el cumplimiento de una ocu-pación y, por tanto, facilitan el alcance de las metas organizacionales.
Las competencias laborales específi cas están rela-cionadas con las funciones productivas, es decir, con el “conjunto de actividades laborales necesarias para lograr resultados específi cos de trabajo, en relación con el propósito clave de un área objeto de análisis”. Estas competencias habilitan a las personas para des-empeñar una ocupación o un grupo de ocupaciones. Una ocupación es un conjunto de puestos de traba-jo con funciones productivas afi nes cuyo desempeño requiere competencias comunes relacionadas con los resultados que se obtienen.
En una gran parte de países, las ocupaciones se han agrupado por afi nidad de funciones, buscando con ello hacer ofertas educativas que permitan la mo-vilidad entre varios campos ocupacionales, es decir, formar en áreas que sirvan a varias ocupaciones, lo-grando con ello polivalencia y movilidad ocupacional
de quienes poseen dicha formación. En Colombia, el SENA construyó la Clasifi cación Nacional de Ocu-paciones10, para lo cual identifi có 450 ocupaciones agrupadas en las siguientes áreas:
• Finanzas y administración
• Ciencias naturales y aplicadas
• Salud
• Ciencias sociales, educativas, religiosas y servicios gubernamentales
• Arte, cultura, esparcimiento y deporte
• Ventas y servicios
• Explotación primaria y extractiva
• Ofi cios, operación de equipos y transporte
• Procesamiento, fabricación y ensamble
Estas ocupaciones están distribuidas de forma ver-tical en cinco niveles ocupacionales, desde el semica-lifi cado hasta el de alta dirección y gerencia. Cada una de las diez áreas ocupacionales contiene un número de ocupaciones en los cinco niveles ocupacionales, como se ilustra en la siguiente gráfi ca:
Áre
as d
e de
sem
peño
Fina
nzas
y
adm
inis
trac
ión.
Cien
cias
nat
ural
es
aplic
adas
y
rela
cion
adas
Salu
d
Cien
cias
soc
iale
s,
educ
ació
n,
adm
inis
trac
ión
públ
ica
y re
ligió
n.
Art
e, c
ultu
ra,
recr
eaci
ón y
dep
orte
.
Vent
as y
ser
vici
o
Expl
otac
ión
prim
aria
y
extr
activ
a
Ofi c
ios,
ope
rado
res
de
equi
po y
tran
spor
te.
Proc
esam
ient
o,
fabr
icac
ión
y en
sam
ble
de b
iene
s
Nivel 5 Ocupaciones de nivel directivo
Nivel 4 Ocupaciones de nivel profesional
Nivel 3 Ocupaciones de nivel técnico
Nivel 2 Ocupaciones de nivel califi cado
Nivel 1 Ocupaciones de nivel semicalifi cado
Clasifi cación nacional de ocupaciones
17
El aprendizaje de las matemáticas y sus difi cultades
La noción de obstáculo
Obstáculos epistemológicos
El mecanismo de la adquisición de conocimientos puede aplicarse tanto a la epistemología o a la historia de las ciencias, como al aprendizaje y a la enseñanza. En un caso como en el otro, la noción de obstáculo aparece como fundamental para plantear el problema del conocimiento científi co. Hay que referirse a Ba-chelard quien, el primero, ha adelantado esta idea.
“No se trata de considerar los obstáculos externos como la complejidad, la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del es-píritu humano; es en el acto mismo de conocer ínti-mamente que aparecen por una suerte de necesidad funcional lentitudes y problemas... Uno conoce contra un conocimiento anterior.”
Bachelard estudia esos obstáculos en las ciencias fí-sicas: la experiencia primera, el conocimiento general, el obstáculo verbal, la utilización abusiva de las imáge-nes familiares, el conocimiento unitario y pragmático, el obstáculo substancialista, realista, animista, aquel del conocimiento cuantitativo.
Son grandes obstáculos que han resistido largo tiempo. Es probable que tengan su equivalente en el pensamiento del niño y la niña. El medio ambiente
material y cultural actual ha, sin duda, modifi cado poco las condiciones dentro de las cuales los niños y las niñas encuentran esos obstáculos, y los estudios de ese sujeto están en curso.
En matemáticas, un trabajo muy importante de epistemología ha sido emprendido en direcciones ve-cinas de las de Bachelard, en el ámbito de Althusser, por gente como P. Raymond, Baiou, Ovaert y Hanzel.
No proporciona, de momento, una lista de obstá-culos tan simple como la de Bachelard; pero, grandes rasgos se desprenden así como clases de obstáculos, porque la noción de obstáculo misma está en vías de constituirse y de diversifi carse; no es fácil decir gene-ralidades pertinentes sobre el tema, vale más hacer estudios caso por caso. Puede decirse que al lado del trabajo de registro y descripción de los grandes obs-táculos a la constitución de conceptos, se desarrollan estudios que tratan sobre las características de funcio-namiento de los conocimientos, a la vez como apoyo y como obstáculo (alternativa y dialécticamente). Ade-más, la noción de obstáculo tiene tendencia a exten-derse fuera del campo estricto de la epistemología: en didáctica, en psicología, en psico-sociología, etc.
Manifestación de los obstáculos en didáctica de las matemáticas
Errores
Un obstáculo se manifi esta, por tanto, por sus erro-res, pero esos errores no son debidos al azar. Fugaces, erráticos, son reproducibles, persistentes. Además esos errores, en un mismo sujeto, están ligados entre
ellos por una fuente común, una manera de conocer, una concepción característica, coherente sino correc-ta, antigua y que ha tenido éxito en todo un dominio de acciones.
18
Esos errores no son forzosamente explicitables.
Sucede que no desaparecen radicalmente, de un solo golpe, que resisten, que persisten, luego resurgen, se manifi estan mucho tiempo después que el sujeto haya rechazado de su sistema cognoscitivo consciente el modelo defectuoso.
Ejemplo: Un estudiante utiliza el “teorema” si-guiente:
“Si el término general de una serie tiende a cero, la serie converge”. ¿Está distraído? ¿Recita mal - invirtiendo hipótesis y conclusión- un teorema del curso? ¿Ha comprendido mal la noción de límite?, ¿o la de serie? ¿Es un error sobre las condiciones necesarias y sufi cientes?
Aproximando este error a algunos otros, se com-prende que, de manera inconsciente, este estudiante haya hecho un cierto razonamiento, falseado por una representación incorrecta de las reales que remonta a la enseñanza primaria y secundaria.
Franqueamiento
El obstáculo está constituido como un conocimien-to de objetos, relaciones, métodos de aprehensión, previsiones con evidencias, consecuencias olvidadas, ramifi caciones imprevistas,... Va a resistir el rechazo, intentará, como se debe, adaptarse localmente, modi-fi carse al menor precio, de optimizarse sobre un cam-po reducido siguiendo un proceso de acomodamiento bien conocido.
Es por eso que hace falta un fl ujo sufi ciente de situaciones nuevas, no asimilables por él, que van a desestabilizarlo, a rendirlo inefi caz, inútil, que van a hacer necesaria la reconsideración o el rechazo, el olvido, la “scottomisation” hasta en sus últimas mani-festaciones.
También franquear un obstáculo exige un trabajo de igual naturaleza que el establecimiento de un cono-cimiento, es decir, interacciones rechazadas, dialécti-cas del alumno con el objeto de su conocimiento.
Esta observación es fundamental para distinguir lo que es un verdadero problema; es una situación que permite esta dialéctica y que la motiva.
Características informacionales de un obstáculo
Un conocimiento, como un obstáculo, es siempre el fruto de una interacción del alumno con su medio y más precisamente con una situación que hace el cono-cimiento “interesante”, quiero decir “óptima” en un cierto dominio defi nido por características numéricas “informacionales “ de este conocimiento.
El conocimiento, el ser humano y el medio siendo lo que son, es inevitable que esta interacción desem-boque en concepciones “erróneas”. De todos modos, estas concepciones son comandadas por las condicio-nes de la interacción que uno puede más o menos modifi car. Es el objeto de la didáctica.
Esta declaración tiene importantes consecuencias, en principio para la enseñanza: así, si uno quiere des-estabilizar una noción bastante enraizada, será venta-joso que el alumno pueda invertir sufi cientemente sus concepciones dentro de situaciones bastante numero-sas e importantes para él y, sobre todo, condiciones informacionales sufi cientemente diferenciadas para que un salto cualitativo sea necesario.
Ejemplo: un niño de seis años sabe distinguir los números hasta 4 ó 5 con la ayuda de procedimien-tos basados en la percepción. Estos procedimientos se vuelven rápidamente “muy costosos” y poco fi ables desde que el número de objetos pasa a 6 ó 7. Fra-casan más allá. Si uno trata de enseñar en orden los números 6, luego 7, enseguida 8, uno se encuentra con difi cultades numerosas y crecientes y un período de desarrollo aparece.
Al contrario, si uno propone comparar colecciones del orden de 10 a 15 objetos, el modelo perceptivo es tan evidentemente desventajoso, que el niño renun-cia de inmediato y establece nuevas estrategias (co-rrespondencia término a término). Lo que uno quiere llamar intuición no es, a menudo, más que la aprehen-sión inconsciente de los límites informacionales de los modos de conocimiento.
19
Origen de un obstáculo
Vamos ahora a considerar los obstáculos que se pre-sentan en el sistema didáctico. Esos obstáculos a la apro-piación, por parte del alumno, de ciertas nociones pueden ser debidos a varias causas. Es difícil incriminar solamente a uno de los sistemas de interacción. Es otra consecuencia de la concepción del aprendizaje evocada anteriormente.
La noción de obstáculo epistemológico tiende a subs-tituirse por la de error de enseñanza, de insufi ciencia del sujeto o de difi cultad intrínseca de los conocimientos.
En todo caso, se pueden distinguir los orígenes de los obstáculos didácticos: éste será el sistema tal que, modifi -cándolo, se podría evitar el obstáculo, mientras que ningu-na modifi cación de los otros sistemas permitiría evitarlo.
Uno encontrará así obstáculos didácticos de origen on-togenético, como de origen didáctico y epistemológico.
Para el ejemplo anterior (relativo a la adquisición de la noción de número), hablaremos más bien de limitación neurofi siológica que de obstáculo.
Origen ontogenético
Los obstáculos de origen ontogenético son los que sobrevienen del hecho de las limitaciones (neurofi sio-lógicas entre otras) del sujeto a un momento de su desarrollo: él desarrolla conocimientos apropiados a sus medios y a sus objetivos.
La epistemología genética pone en evidencia eta-pas, acomodamientos y asimilaciones, que, a la vez, se asemejan a las etapas del desarrollo de los conceptos por las leyes de regulación que los hacen aparecer, y difi eren de ellas por la naturaleza exacta de las limita-ciones que determinan esas regulaciones.
Obstáculos de origen didáctico
Los obstáculos de origen didáctico son los que parecen no depender más que de una elección o de un proyecto de sistema educativo. Por ejemplo, la presentación actual de los decimales en el nivel ele-mental es el resultado de una larga evolución en el marco de una selección didáctica hecha por los enci-clopedistas y luego por convención (conforme a una concepción que remonta a S. Stevin mismo): tenien-do en cuenta su utilidad, los decimales iban a ser en-señados a todo mundo lo antes posible, asociados a un sistema de medida, y refi riéndose a las técnicas de operación en los enteros. Así, hoy, los decimales son, para los alumnos “enteros naturales con un cambio de unidad”, por lo tanto “naturales” (con una coma) y medidas. Y esta concepción, apoyada por una me-canización del alumno, va a hacer obstáculo hasta su graduación de pregrado.
Es característico que el principal factor de discri-minación de los alumnos en un cuestionario reciente (IREM de Rouen) sea el cálculo haciendo intervenir, a la vez, decimales y productos de una potencia por diez. Así, es la “comprensión” misma de la defi nición de los decimales lo que explica los comportamientos de los alumnos. Pero actualmente, un obstáculo tal se ha convertido, a la vez en didáctico y sociocultural.
Obstáculos didácticos de origen epistemológico
Los obstáculos de origen propiamente epistemoló-gico son aquellos a los cuales uno no puede, ni debe escapar, por el hecho mismo de su rol constitutivo en el conocimiento a que se apunta. Uno puede encon-trarlos en la historia de los conceptos mismos. Eso no quiere decir que se deba amplifi car su efecto ni que deban reproducirse en el medio escolar las condicio-nes históricas en las que han sido vencidos.
Origen de los diversos obstáculos didácticos
20
Consecuencias para la organización de situaciones problemáticas
La concepción del aprendizaje, que se apoya en el estudio del desarrollo de los conocimientos en tér-minos de obstáculos, difi ere sensiblemente de la con-cepción clásica, sobre todo en lo que concierne al rol y a la organización de las situaciones de problemas. Y esto, tanto más que el problema va a jugar, en el proceso, un rol fundamental.
Motivaciones-condiciones
Plantear un problema consiste en encontrar una situación con la cual el alumno va a emprender una sucesión de intercambios relativos a una misma cues-tión que forma un “obstáculo” para él, y sobre el cual va a apoyarse para apropiarse, o construir, un conoci-miento nuevo.
Las condiciones en las cuales se desarrolla esta su-cesión de intercambios son inicialmente escogidas por el que enseña pero el proceso debe, muy rápido, pasar, en parte, bajo el control del sujeto que va a “cues-tionar” a su vez la situación. La motivación nace de esta inversión y se conserva con ella. En lugar de ser un simple motor exterior, de frustraciones equilibrán-dose, ella es constitutiva a la vez del sujeto (de su palabra) y de su conocimiento. Así, la resolución de un problema tomará para el alumno la apariencia de una especie de proceso experimental, la ocasión dada a la “naturaleza” (aquí, a los conceptos matemáticos) de manifestarse dentro de sus actividades.
Carácter dialéctico del proceso de franqueamiento de un obstáculo
El proceso de franqueamiento de un obstáculo comporta necesariamente una sucesión de interaccio-nes entre el alumno y el medio; esta sucesión de inte-racciones no toma sentido más que en la medida en que se reportan a un mismo proyecto (en el alumno) a propósito de un concepto en cuya génesis ellas consti-tuyen una etapa y en el cual funden la signifi cación.
Esas interacciones ponen en juego sistemas de representación y pueden a menudo ser interpretadas como intercambios de mensajes. Además, el maestro y el alumno son capaces de anticipar y fi nalizar sus acciones. Éstas toman, en consecuencia, un carácter dialógico; además las informaciones intercambiadas son recibidas como hechos que confi rman o niegan las hipótesis o aun como aserciones.
Si se admite que un conocimiento se establece oponiéndose a otro, sobre el cual se apoya y al cual remplaza, se comprenderá que podamos decir que los procesos de franqueamiento tiene un carácter dialéc-tico: dialécticas del a priori y del a posteriori, del co-nocimiento y de la acción, del yo y de los otros...
Organizar el franqueamiento de un obstáculo con-sistirá en proponer una situación susceptible de evo-lucionar y de hacer evolucionar al alumno según una dialéctica conveniente. Se tratará, no de comunicar las informaciones que se quieren enseñar, sino de en-contrar una situación en la cual ellas son las únicas satisfactorias u óptimas – entre aquellas a las cuales ellas se oponen – para obtener un resultado en el cual el alumno se ha involucrado.
Esto no es sufi ciente; será necesario que esta si-tuación permita, de entrada, la construcción de una primera solución o de una tentativa donde el alumno invertirá su conocimiento del momento.
La situación debe permitir la repetición o volun-tad de la puesta a prueba de todos los recursos del alumno. Ella deba automotivarse por un juego sutil de sanciones intrínsecas (y no por sanciones extrínsecas ligadas por el maestro a los progresos del alumno). Ella no puede, por tanto, ser programada; es solamente su elección la que puede serlo.
Se trata, para el dialéctico, de identifi car al mismo tiempo que una etapa de un concepto, una situación que pone una pregunta (del mismo alumno) para la cual esta etapa sea una respuesta “construible” en el sistema del alumno.
Hemos sido conducidos a distinguir en el funcio-namiento del alumno tres tipos de preguntas que co-mandan a su vez, tres tipos de situaciones didácticas.
21
Diferentes tipos de problemas: validaciones, for-mulaciones, acciones.
a. Las cuestiones de validación: el alumno debe estable-cer la validez de una afi rmación: debe dirigirse como un sujeto a otro sujeto susceptible de aceptar o de re-husar sus afi rmaciones, de pedirle administrar pruebas de lo que anticipa, de oponerle otras afi rmaciones.
Esos intercambios contribuyen a hacer explicitas las teorías matemáticas pero también a establecer las matemáticas en tanto que medio de Se trata menos de aprender las pruebas aceptadas que de poner a prue-ba aquellas que uno concibe. Un proceso de prueba se construye en una dialéctica de la validación que conduce al alumno, sucesivamente, a usar espontá-neamente fi guras de retórica y en seguida a renunciar a ellas. Las relaciones que el alumno debe poder esta-blecer para ello son específi cas de esta dialéctica (ver Brousseau 70).
Un problema de validación es mucho más un pro-blema de comparación, de evaluación, de rechazo de pruebas, que de búsqueda de la demostración.
b. Las cuestiones de formulación: para sus procesos de validación, el pensamiento debe apoyarse sobre for-mulaciones previas. Los lenguajes se elaboran tam-bién dentro de dialéctica menos específi cas que las de la validación. La comunicación (y sus restricciones) juega ahí un gran papel independiente, en parte, de los problemas de validez. Es dentro de ese marco que se manifi estan mejor las restricciones de economía que comandan las selecciones matemáticas juiciosas.
c. Las cuestiones de acción o de decisión matemática son aquellas en las que el único criterio es la adecua-ción de la decisión – el sistema de elaboración de esta decisión puede quedar totalmente implícito, así como su justifi cación. No hay, a ese respecto, restricción al-guna: ni de formulación ni de validación. Es la dialécti-ca más general, las otras son sólo casos particulares.
Ella desemboca en la construcción, en el sujeto, de regularidades, de esquemas, de modelos de acción, lo más frecuentemente inconscientes o implícitos.
Dialéctica y obstáculos
Bien entendido, ninguna de esas dialécticas es in-dependiente de las otras, al contrario.
La formulación se facilita, a menudo, si existe un modelo implícito de acción: el sujeto debe formular mejor un problema que ha sabido resolver.
La acción se facilita mediante una formulación conveniente (como lo ha mostrado Vigotski). El len-guaje “recorta” la situación en objetos y relaciones pertinentes. La acción proporciona un tipo de valida-ción implícita fundamental y la formulación, otro.
Pero inversamente, cada dominio puede obstacu-lizar un progreso dentro de los otros. Ciertas cosas se hacen mejor de lo que ellas dicen. Los modelos implícitos toman mejor, juntos, un gran número de datos y son más dóciles, más fáciles de re-estructurar. Las condiciones demasiado favorables a la acción vuel-ven inútil la explicación: por ejemplo, en tanto que se utilizaron los sistemas sexagesimales babilónicos para los cálculos astronómicos, el punto no se impuso, ni el nombre de la unidad de referencia, pues un error de 1 a 60 era impensable para quien sabía de lo que hablaba.
Igualmente, un lenguaje demasiado fácil de mane-jar puede bloquear por mucho tiempo una reformu-lación necesaria... (Es el obstáculo verbal de Bache-lard).
El franqueamiento de un obstáculo implica, muy a menudo, a la vez una re-estructuración de los mode-los de acción, del lenguaje y del sistema de pruebas. Pero el dialéctico puede precipitar las rupturas, favore-ciendo la multiplicación y la alternancia de dialécticas particulares.
Nos hemos entretenido demasiado con las gene-ralidades. No es posible comprender las relaciones recíprocas de los obstáculos y de los problemas sin un estudio específi co.
22
La sociedad hoy en día exige que la escuela pro-porcione a sus estudiantes una cultura matemática que les permita ser ciudadanos bien informados, ca-paces de entender las cuestiones propias de una so-ciedad tecnológica; por lo que se hace necesario hacer un cambio en los enfoques y contenidos matemáticos, así como en las metodologías de enseñanza tradicio-nales. Las nuevas metodologías deben contemplar la experimentación y comunicación de las ideas mate-máticas, así como el razonamiento matemático enten-dido como la representación de las ideas en forma de poderlas comunicar.
En el documento del Consejo Nacional de Profe-sores de Matemáticas de los Estados Unidos se pro-ponen cinco metas principales, desde los niveles de preescolar hasta el último año de la enseñanza media, que es importante considerar ya que también han sido ejes conductores en la revisión de los programas de matemáticas en nuestro país. El logro de estas metas supone que el alumno debe:
• Ser capaz de resolver problemas matemáticos.
• Aprender a comunicarse matemáticamente.
• Aprender a razonar matemáticamente.
• Saber valorar las matemáticas.
• Tener confi anza en su capacidad de hacer matemáticas.
Estos objetivos implican que los estudiantes experi-menten situaciones abundantes y variadas, relacionadas entre sí, que los lleven a valorar las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales y entender y apreciar el pa-pel que las matemáticas cumplen en los asuntos huma-nos; que debe animárseles a explorar, predecir e incluso cometer errores y corregirlos de manera que adquieran confi anza en su propia capacidad de resolver problemas; que deben leer, escribir y debatir sobre las matemáticas; que deben formular hipótesis, comprobarlas y elaborar argumentos sobre su validez. Si el alumno desarrolla estas capacidades, seguramente estará adquiriendo po-tencial matemático.
Aprender a valorar las matemáticas
Apreciar el papel que cumplen las matemáticas en el desarrollo de nuestra sociedad actual y explorar las relaciones que existen entre la matemática y las disci-plinas a las que sirve.
Adquirir seguridad en la propia capacidad
Las matemáticas en la escuela deben hacer que todos los estudiantes comprendan que usar la mate-mática es una actividad humana corriente.
Ser capaz de resolver problemas matemáticos
Desarrollar esta capacidad es esencial si se quiere que los estudiantes sean ciudadanos productivos. Al-gunos de estos problemas deben ser abiertos, sin solu-ción única y otros deben ser formulados por el propio estudiante.
Aprender a comunicarse matemáticamente
El desarrollo de esta competencia implica, por par-te del estudiante, el aprendizaje de los signos, símbolos y terminología de las matemáticas. Esto se consigue mejor en situaciones de problema, donde los alumnos tienen la oportunidad de leer, escribir y discutir sus ideas para las que el uso del lenguaje matemático es algo natural.
Aprender a razonar matemáticamente
Para trabajar con las matemáticas es fundamental formular hipótesis, recopilar evidencias, hacer pronósti-cos y elaborar argumentos que apoyen estas nociones.
La utilización de las competencias básicas en la educación matemática
23
Uso de la tecnología
En contra de los miedos de muchos, la disponibi-lidad de calculadoras y computadoras ha ampliado la capacidad de cálculo para los estudiantes. Éstos han de ser capaces de decidir cuándo tienen que efec-tuar un cálculo o si necesitan una respuesta exacta o aproximada. Deben ser capaces de elegir y usar la herramienta más apropiada.
La prensa escrita y la lectura recreativa, estrategias de enseñanza
Uno de nuestros anhelos es dotar a los estudiantes de las habilidades y los conocimientos necesarios que les permitan entender y trabajar con información de la prensa escrita, elaborar modelos matemáticos con los datos obtenidos de un artículo periodístico o de revista; esto es, que los estudiantes puedan tocar y manipular la tan mencionada contextualización de las matemáticas, su realidad y cotidianeidad, mostrándo-les que no son cuestiones abstractas, sino que ellos mismos pueden experimentar el que efectivamente la matemática les sirve para cuantifi car y entender los fenómenos naturales y sociales del mundo en el que viven.
El hecho de que la prensa sea refl ejo de la vida diaria yl que analice e interprete esta realidad, justifi ca por sí mismo la conveniencia y necesidad de utilizarla en la escuela. El primero, porque permite al alumno hacer un seguimiento del presente en el que vive; el segundo, porque debe ser desde la escuela que se co-mience a formar ese lector crítico que sepa entender que los medios de comunicación no son neutros y que siempre analizan e interpretan la realidad desde una perspectiva interesada.
Didáctica de las matemáticas de décimo grado
La educación matemática es el sistema de cono-cimientos, instituciones, planes de formación y fi na-lidades formativas que conforman una actividad so-cial compleja y diversifi cada relativa a la enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas. La didáctica de la matemática es la disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educación matemática y pro-pone actuaciones fundadas para su transformación.
La didáctica de las matemáticas es la disciplina en proceso de consolidación, responsable de los “saberes del aprendizaje”, que fundamenta la construcción de conocimientos escolares al dar respuestas a interro-gantes como los siguientes:
• ¿Qué conocimientos matemáticos se requieren en la educación media?
• ¿Cómo posibilitar la construcción de estos conoci-mientos en el aula?
• ¿Qué conocimientos y qué nivel de desarrollo tienen los estudiantes y qué características particularizan su aprendizaje?
• ¿Cómo es el entorno de los estudiantes y los maes-tros y qué condiciones, posibilidades y necesidades, de conocimiento actuales y futuras, plantea ese en-torno a los estudiantes y al maestro que orienta el aprendizaje?
• ¿Cómo se desarrollan y cómo se orientan los proce-sos de aprendizaje en el aula?
• ¿Qué formación y qué conocimientos didácticos ma-temáticos mínimos requiere quien orienta procesos de construcción de conocimientos en el aula?
¿Cómo abordar la formación de un maestro que se pretende que tenga autonomía intelectual y sea com-petente para asumir y responder por la orientación de las actividades de aprendizaje en el aula?
Difi cultades y problemas en el aprendizaje de las matemáticas
Una de las ramas de investigación en educación matemática es sobre las difi cultades de aprendiza-je de los estudiantes. Los conceptos tradicionales de discalculia y difi cultades específi cas de aprendizaje están siendo cuestionados desde el punto de vista de las teorías cognitivas del aprendizaje. Generalmente la defi nición se realiza en términos negativos: presentan
24
“difi cultades de aprendizaje” aquellos alumnos que, a pesar de mostrar una inteligencia normal, y no tener problemas emocionales graves ni defi ciencias senso-riales, tienen un rendimiento escolar pobre, defi nido operacionalmente por bajas puntuaciones en pruebas de rendimiento.
Las pruebas internacionales han aportado gran can-tidad de datos sobre difi cultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM). Las investigaciones sobre los niños con difi cultades mayores en el aprendizaje de las ma-temáticas que no hayan alcanzado un éxito claro en el intento de atribuir esas difi cultades a un trastorno neuro-lógico han permitido establecer descriptivamente ciertos subgrupos diferentes a los que pueden pertenecer estos niños.
Las investigaciones posteriores, sobre todo desde la perspectiva cognitiva, han perfi lado ciertas diferencias cognitivas, que han recibido recientemente una rigurosa confi rmación experimental en un estudio sobre las com-petencias de memoria de los niños con difi cultades de aprendizaje de las matemáticas (DAM).
La perspectiva cognitiva se desarrolla a través del conocimiento de los procesos mentales que se emplean para efectuar una operación o algoritmo o las estructuras intelectuales que debe poseer el alumno para realizarlo. Este conocimiento nos permite comprender mejor las fa-llas y errores al realizar la operación o el algoritmo.
El enfoque cognitivo no etiqueta al estudiante, sino que a estudia la estrategia seguida, los procesos mentales que realiza y los errores que comete. No dice lo que el niño es o sufre sino que trata de comprender y explicar lo que hace: los procesos y estrategias que emplea cuan-do asimila conceptos matemáticos, efectúa operaciones de cálculo, resuelve problemas algebraicos, etc.
El enfoque cognitivo es neutral con relación a la etiología o causa última de las DAM. Ayuda a precisar la naturaleza fi na de las funciones mentales que no van bien en los sujetos con estas difi cultades, favoreciendo así la búsqueda de las causas, pero no las establece por sí mismo.
El enfoque cognitivo requiere un análisis minucio-so y paso a paso de los procesos que se ponen en juego para resolver tareas matemáticas.
Para tratar estas difi cultades, el docente debería tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1. Vincular, en lo posible, los contenidos ma-temáticos a propósitos e intenciones hu-manas y situaciones signifi cativas.
2. Tratar de contextualizar los esquemas mate-máticos, subiendo los peldaños de la escala de abstracción al ritmo exigido por el alumno.
3. Asegurar la asimilación de lo viejo antes de pasar a lo nuevo, y adiestrar específi -camente la generalización de los procedi-mientos y contenidos.
4. Asegurar el dominio y enriquecimiento de los códigos de representación de los pro-cedimientos y contenidos.
5. Asegurar que la traducción entre el len-guaje verbal y los códigos matemáticos puede realizarse con soltura, para lo que hay que ejercitarlo.
6. Servirse de la atención exploratoria del su-jeto como recurso educativo y asegurar su atención selectiva sólo en períodos en que ésta puede ser mantenida.
7. Enseñar paso a paso, a planear el uso y se-lección de los recursos cognitivos.
8. Asegurar que el niño pueda recordar los aspectos relevantes de una tarea o proble-ma y procurar comprobar que no se exige más de lo que permite la competencia lógi-ca del alumno.
9. Enseñar paso a paso las estrategias y algo-ritmos específi cos que exigen las tareas.
10. Procurar las tareas de orientación adecuada, procedimientos de análisis profundo y oca-siones frecuentes de aprendizaje incidental.
11. Valorar y motivar a los estudiantes que aparentemente no están interesados o no son competentes.
25
Sistema internacional de unidades
Unidades básicas
Magnitud Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Unidad de longitud: metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfi nos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de intensidad de
corriente eléctrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infi nita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.
Unidad de temperatura
termodinámica
El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termo-dinámica del punto triple del agua.
Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) defi nida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K, por defi nición.
Unidad de cantidad de sustancia
El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.
Cuando se emplee el mol, deben especifi carse las unidades elementales, que pueden ser átomos, mo-léculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especifi cados de tales partículas.
Unidad de intensidad luminosa
La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.
Defi niciones
26
Unidades derivadas sin dimensión
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas
Ángulo plano Radián rad mm-1= 1
Ángulo sólido Estereorradián sr m2m-2= 1
Defi niciones
Unidad de ángulo plano
El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunfe-rencia de dicho círculo, interceptan un arco de longi-tud igual a la del radio.
Unidad de ángulo sólido
El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, inter-cepta, sobre la superfi cie de dicha esfera, un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.
Unidades derivadas del SI
Las unidades SI derivadas se defi nen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplemen-tarias. Es decir, se defi nen por expresiones algebraicas
bajo la forma de productos de potencias de las unida-des SI básicas y/o suplementarias con un factor nu-mérico igual 1.
Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y su-plementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.
Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fi n de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefi ere el newton metro al joule.
Magnitud Nombre Símbolo
Superfi cie metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Velocidad metro por segundo m/s
Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2
Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1
Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3
Velocidad angular radián por segundo rad/s
Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias
27
Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en otras unidades SI
Expresión en unidades SI básicas
Frecuencia hertz Hz s-1
Fuerza newton N m·kg·s-2
Presión pascal Pa N·m-2 m-1·kg·s-2
Energía, trabajo, can-tidad de calor
joule J N·m m2·kg·s-2
Potencia watt W J·s-1 m2·kg·s-3
Cantidad de electrici-dad, carga eléctrica
coulomb C s·A
Potencial eléctrico, fuerza electromotriz
volt V W·A-1 m2·kg·s-3·A-1
Resistencia eléctrica ohm W V·A-1 m2·kg·s-3·A-2
Capacidad eléctrica farad F C·V-1 m-2·kg-1·s4·A2
Flujo magnético weber Wb V·s m2·kg·s-2·A-1
Inducción magnética tesla T Wb·m-2 kg·s-2·A-1
Inductancia henry H Wb·A-1 m2·kg s-2·A-2
Defi niciones
Unidad de frecuencia Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo período es 1 segundo.
Unidad de fuerza Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comu-nica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.
Unidad de presión Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superfi cie plana de 1 metro cuadra-do, ejerce, perpendicularmente a esta superfi cie, una fuerza total de 1 newton.
Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor
Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo punto de aplicación se des-plaza 1 metro en la dirección de la fuerza.
Unidad de potencia, fl ujo radiante
Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.
Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica
Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.
Unidad de potencial eléctrico, fuerza electromotriz
Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt.
Unidad de resistencia eléctrica
Un ohm (W) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt, aplicada entre estos dos puntos, produce, en dicho con-ductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.
28
Unidad de capacidad eléctrica
Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico entre cuyas armaduras aparece una dife-rencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.
Unidad de fl ujo mag-nético
Un weber (Wb) es el fl ujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira, produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho fl ujo en un segundo por decaimiento uniforme.
Unidad de inducción magnética
Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superfi cie de 1 metro cuadrado, produce, a través de esta superfi cie, un fl ujo magnético total de 1 weber.
Unidad de inductan-cia
Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas
Viscosidad dinámica pascal segundo Pa·s m-1·kg·s-1
Entropía joule por kelvin J/K m2·kg·s-2·K-1
Capacidad térmica másica joule por kilogramo kelvin J/(kg·K) m2·s-2·K-1
Conductividad térmica watt por metro kelvin W/(m·K) m·kg·s-3·K-1
Intensidad del campo eléctrico volt por metro V/m m·kg·s-3·A-1
Unidad de viscosidad dinámica
Un pascal segundo (Pa·s) es la viscosidad dinámica de un fl uido homogéneo, en el cual, el movimien-to rectilíneo y uniforme de una superfi cie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos parale-los separados por 1 metro de distancia.
Unidad de entropía
Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible.
Unidad de capacidad térmica másica
Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg·K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.
Unidad de conductividad térmica
Un watt por metro kelvin W/(m·K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que, una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre dichos planos un fl ujo térmico de 1 watt.
Unidad de intensidad del campo eléctrico
Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.
Defi niciones
29
Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI autorizados
Magnitud Nombre Símbolo Relación
Volumen litro l o L 1 dm3=10-3 m3
Masa tonelada t 103 kg
Presión y tensión bar bar 105 Pa
Unidades defi nidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades
Magnitud Nombre Símbolo Relación
Ángulo plano vuelta 1 vuelta= 2 p rad
grado º (p/180) rad
minuto de ángulo ‘ (p /10800) rad
segundo de ángulo “ (p /648000) rad
Tiempo minuto min 60 s
hora h 3600 s
día d 86400 s
Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas
Masa unidad de masa atómica u 1,6605402 10-27 kg
Energía electronvolt eV 1,60217733 10-19 J
30
• Los símbolos de las Unidades SI, con raras excep-ciones como el caso del ohm (Ω), se expresan en caracteres romanos, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unida-des derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de ampere, J de joule.
• Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs.
• Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúl-tiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la uni-dad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km2 signifi ca (km)2, área de un cuadrado que tiene un km de lado, o sea 106 metros cuadrados y nunca k(m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados.
• El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefi jo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc.
• El producto de los símbolos de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-me-tro se puede escribir N·m Nm, nunca mN, que signi-fi ca milinewton.
• Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el
denominador. m sms
m s • −1
Prefi jos para formar los múltiplos Prefi jos para formar los submúltiplos
Factor Prefi jo Símbolo Factor Prefi jo Símbolo
1024 yotta Y 10-1 deci d
1021 zeta Z 10-2 centi c
1018 exa E 10-3 mili m
1015 peta P 10-6 micro µ
1012 tera T 10-9 nano n
109 giga G 10-12 pico p
106 mega M 10-15 femto f
103 kilo k 10-18 atto a
102 hecto h 10-21 zepto z
101 deca da 10-24 yocto y
Escritura de los símbolos
• No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan parén-tesis, a fi n de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos, pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas. m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/(kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3.
• Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científi cos eminentes deben escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No obstante, serán igualmen-te aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, am-perio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, watio, weberio.
• Los nombres de las unidades toman una s en el plu-ral (ejemplo 10 newtons) excepto las que terminan en s, x ó z.
• En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera de la decimal. Para facili-tar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se separan por puntos ni comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.
31
Evaluación 4.1
Responda las preguntas 36 a 38 de acuerdo con la siguiente información
36. Según el Instituto Nacional de Salud (INS), las reservas de sangre en el país son crí-ticas con relación a las necesidades de abastecimiento. El INS implementará el Programa Nacional de Promoción de Do-nación Voluntaria de Sangre, con el obje-tivo de lograr que el nivel de donaciones y reservas, particularmente de sangre RH
En Colombia de cada 100 personas: 91 tienen RH positivo, 9 tienen RH negativo, 61 son del grupo O, 29 son del grupo A, 8 son del grupo B, 2 son del grupo AB.
Las personas de tipo O+ (grupo O, RH positivo) son donantes universales, las de tipo AB+ son receptores universales.
Información obtenida de El Tiempo
Salud. Colombia tiene défi cit de reservas
Carlos Sandoval Y. Dic 8 - 2002
negativo, sea alto y constante. Así, convo-ca a un concurso de carteles que busca crear conciencia sobre la necesidad de do-nar sangre. Los carteles deben mostrar la distribución de los grupos sanguíneos en la población colombiana. El diseño del cartel ganador debería contener un gráfi co como el siguiente:
B 8% AB 2%
A 29%
O 61%
O
A
B
AB
RH+ RH−
102030
40
506070
8090
10091
9
61
29
82
O A B AB
B−
B−
O−
O−
A−
A−
AB−
AB−
0,72 0,18
2,61
5,49 RH+
O−
A−
B−
AB−
123
4
567
89
91
5,49
2,61
0,72 0,18
A. ¿A qué grupo perteneces? C. ¿Qué tipo de sangre tienes?
B. ¿Eres RH–? D. ¿Cuántas personas te pueden donar sangre?
32
37. Ante una urgencia, un hospital requiere 10 donantes tipo O+ y llegan 50 personas a ofrecer sangre. Teniendo en cuenta las estadísticas, esto puede tranquilizar tem-poralmente la situación pues:
A. la probabilidad de rechazo de los ofrecimien-tos es del 40%.
B. la probabilidad de rechazo de los ofrecimien-tos corresponde a 20 personas.
C. de los posibles 30 donantes, es poco probable que se retracte el 70%.
D. de los posibles 30 donantes, es poco probable que se retracte el 33%.
38. Bogotá, la ciudad con mayores reservas de sangre, es un ejemplo de défi cit de sangre: el índice de donación está en 22 donantes por cada 1000 habitantes, cuando el indica-dor debería estar en 40 donantes por cada 1000 habitantes.
Este défi cit no se presentaría si por lo menos
A. 1 de los donantes fuera receptor universal.
B. 11 de los donantes por cada 1000 habitantes fuera del grupo A.
C. el 61% de los donantes fuera del grupo O.
D. el 1,8% de los no donantes, deciden donar y son aceptados como donantes.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 39 A 42 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En una fábrica de jabones en barra, miden la ca-lidad de sus productos atendiendo a la cantidad pro-medio de jabón que se disuelve en una hora (1 h).
Se considera de mayor calidad el jabón que muestre más resistencia al agua. La fábrica ofrece tres calida-des, que se distinguen por los colores: blanco, rosado y verde. La información correspondiente a cada uno se muestra en el cuadro:
Color Cantidad de jabón que en el agua se disuelve en 1 h.
Blanco (b) 1/2 cm3
Rosado (r) 3/4 cm3
Verde (v) 2/3 cm3
39. Un cliente se acerca a un supermercado y encuentra allí las siguientes promociones al mismo precio:
Promoción Contiene
1 1 jabón blanco y 2 jabones verdes
2 2 jabones verdes y 1 jabón rosado
3 1 jabón blanco, 1 jabón rosado y 1 ja-bón verde
Luego de mirarlas, el cliente decide com-prar la promoción 3. Esta elección:
A. no fue la más favorable, ya que a pesar de que los jabones contenidos en esta promoción muestran mayor resistencia al agua que los contenidos en la promoción 1, la 2 sería mejor.
B. fue la mejor ya que la cantidad de jabón que se disuelve en agua en una hora, es menor respecto a los jabones contenidos en las otras dos promociones.
C. fue la mejor ya que es la única que contiene las tres calidades y esto representa mayor re-sistencia al agua.
D. no fue la más favorable ya que a pesar de que los jabones contenidos en esta promoción muestran mayor resistencia al agua que los contenidos en la promoción 2, la 1 sería mejor.
3333
40. El jefe de producción ha informado a los empleados que, a partir de ahora, se fabri-carán jabones con capacidad de resistir el mismo tiempo sumergidos en agua, no importando el color. A raíz de esto, los tra-bajadores encargados de la elaboración de los empaques están buscando una forma de determinar el volumen (V) de cada jabón dependiendo del tiempo (t) que requiere el jabón (b) para diluirse. Para facilitar esta la-bor, es conveniente usar las expresiones:
B. Cantidad de jabón en centímetros cúbicos, que se disuelve en agua en una hora
1/2 2/3 27/40
3/49/10
3/5
3/10
Blanco Verde Nuevo Rosado
Jabón
41. Una de las directivas de la fábrica encontró la posibilidad de agregar una nueva calidad para producir nuevos jabones en la fábrica. La nueva calidad, respecto a las ya traba-jadas, es 10% mayor que el jabón de menor calidad. Para que su idea sea aprobada debe exponerla ante la junta directiva, para lo cual ha decidido emplear una gráfi ca. La más apropiada es:
A. Resistencia del jabón al agua, en centímetros cúbicos, en una hora
1/2 2/3 27/40
3/49/10
3/5
3/10
Blanco Verde Nuevo Rosado
Jabón
C. Cantidad de jabón, en centímetros cúbicos, que se disuelve en agua en una hora
D. Resistencia del jabón al agua, en centímetros cúbicos, en una hora
3/40
1/22/3
3/49/10
3/5
3/10
Nuevo Blanco Verde Rosado
Jabón
3/40
1/22/3
3/49/10
3/5
3/10
Nuevo Blanco Verde Rosado
Jabón
A. Vv =
t12
t
3232
–
– Vr = C.
Vv + t6
Vr = t4
1212
–
–
B. Vv =
Vb6
Vr = Vb
3232
2
+
+ ( ) D.
Vr = Vb + Vb
Vv = Vb + Vb
1213
34
Respecto a estos modelos es válido hacer la obser-vación de que:
A. el modelo I se ajusta a los requerimientos de volumen del jabón elaborado mientras que el modelo II es muy pequeño.
B. los modelos I y II son muy grandes para el vo-lumen del jabón elaborado.
C. el modelo I es muy grande mientras que el ja-bón II se ajusta a los requerimientos de volu-men del jabón elaborado.
D. cualquiera de los dos modelos se ajustan con-venientemente a los requerimientos de volu-men del jabón elaborado.
43. Un taxi que parte del centro hacia la iglesia San Mateo, a velocidad constante, no pue-de continuar por la avenida central y debe desviar por una de las vías alternas. Para gastar menos gasolina, el taxista debe:
A. desviar por la avenida L, porque el ángulo ß es mayor que el ángulo α .
B. elegir cualquiera de los desvíos, porque las zonas verdes son de igual área.
C. desviar por la avenida S, porque recorrerá una distancia menor.
D. desviar por la avenida L, porque la zona verde L es de menor área que la zona verde S.
44. La alcaldía decide tomar una parte de la zona L para hacer un parqueadero sin que se altere la forma triangular inicial, éste
42. Se ha elaborado un jabón blanco que tarda 18 horas en diluirse en agua. El diseñador de empaques ha presentado los siguientes modelos como propuesta:
α
α
β
β
Centro Avenida central
Zona verde Sparque
San Mateo
30 mZona verde L
parque
10 m
Ave
nida
M
60 m Avenida L
Avenida S
2 cm
h=3 cm
Modelo 1
5 cm
1,8 cm
2 cm
Modelo 2
RESPONDA LAS PREGUNTAS 43 A 45 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
El siguiente plano representa la avenida cen-tral y sus dos zonas verdes, las cuales ocupan igual área, además muestra el tráfi co a cierta hora del día:
35
quedará ubicado en la esquina de intersec-ción de la avenida L y la avenida M y el lado que da a la zona verde debe medir 10 me-tros. De la zona, el ingeniero afi rma que:
A. la nueva zona tiene que tener medidas iguales para conservar la forma triangular.
B. las medidas de la zona de parqueo no se pue-den saber, pues los datos suministrados en el plano no son sufi cientes.
C. la zona de parqueo ocupará la cuarta parte de la zona verde L.
D. el costado de la zona de parqueo que da a la avenida L debe medir 30 metros.
45. Se tienen 450 metros de malla para encerrar las dos zonas verdes y evitar que las motos dañen los jardines. El ingeniero encargado afi rma de la cantidad de malla disponible, que:
A. no se puede calcular cuánta malla se necesita para las dos zonas.
B. sobran más de 40 metros de malla para ence-rrar los dos parques.
C. dado que el área de las dos zonas es el doble de su perímetro, la cantidad de malla no es sufi ciente.
D. sólo alcanza para la zona más grande y la mi-tad de la otra.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 46 A 49 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En los frascos de pintura de cierta marca, se espe-cifi ca que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color.
46. Un estudiante de publicidad, cuenta con 40 cm3 de pintura roja, pero para su trabajo requiere mínimo 50 cm3 de la misma. Él ase-gura que puede mezclarla con 10 cm3 de pintura blanca siempre y cuando la tonali-dad no disminuya más de un 25%. Respecto a agregar los 10 cm3 de pintura blanca, el estudiante debe tomar la decisión de:
A. agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 2,5 %.
B. agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 10%.
C. no agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 50%.
D. no agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 60%.
47. Un artista ha tomado cierta cantidad de pintura verde y, por equivocación, la ha mezclado con pintura blanca, que equiva-le en cantidad a la tercera parte de la ini-cial. Ante la equivocación, el artista decide agregar la misma cantidad de pintura ver-de inicial para recobrar la tonalidad. El re-sultado que el artista obtiene luego de las mezclas indicadas no es el que él espera, porque:
A. para recobrar la tonalidad debió agregar tanta pintura verde, como la que agregó por equivocación.
36
B. la tonalidad de la pintura disminuyó aproxima-damente en 1,66 %.
C. para recobrar la tonalidad debió agregar, en pintura verde, cinco veces la cantidad de pin-tura que agregó por equivocación.
D. la tonalidad de la pintura disminuyó aproxima-damente en 3,33 %.
48. Un estudiante necesita mezclar cierta can-tidad de pintura verde con otra blanca. Lue-go de analizar cuál recipiente era el más adecuado para guardar la mezcla, ha es-cogido uno que tiene capacidad para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que lo llenará completamente. De acuerdo con esto, el objetivo del estu-diante, al realizar la mezcla era:
A. obtener pintura verde con una tonalidad 6% menor a la inicial.
B. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 60 %.
C. obtener pintura verde con una tonalidad 10% menor a la inicial.
D. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 50 %.
49. En la fábrica de pinturas, es necesario con-tar con un gráfi co que ayude a ubicar rápi-damente la tonalidad de 10cm3 de pintura de color, dependiendo de la cantidad de pintura blanca con que se mezcle. Un gráfi -co errado para este fi n sería:
C. Tonalidad por cada 20 cm3 de pintura blanca mezclada
Tonalidad por cada de pintura blanca mezclada
20cm3
Tonalidad 80%
Tonalidad 60%
Tonalidad 40%
Tonalidad 20%
Tonalidad 0%
cm3
0 10
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ton
alid
ad
de
la p
intu
ra
Cantidad de pintura blanca mezclada en
cm3
0 10
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tona
lidad
de
la p
intu
ra
Cantidad de pintura blanca mezclada en
A. Tonalidad de la primera 5cm3Tonalidad por cada de pintura blanca mezclada
Tonalidad 75%
Tonalidad 50%
Tonalidad 25%
Tonalidad 0%
B. Tonalidad por cada 8 cm3 de pintura blanca mezclada
D. Tonalidad de la pintura
37
Responda las preguntas 50 a 52 de acuerdo con la siguiente información
En el siguiente texto, se proporciona información sobre una investigación llevada a cabo, entorno a adicciones: “... en una muestra de 120 indigentes de corta edad [...] se constató que únicamente en el mes anterior a la consulta, 86% de los muchachos habían consumido tabaco, 51% alcohol, 44% marihuana, 11% cocaína y 56% inhalantes. Además, 26 de ellos afi rmaron haber ingerido drogas farmacéuticas”.
50. Un antropólogo, que adelantó una investi-gación sobre el mismo tema, lee el texto y toma algunos apuntes útiles para su estu-dio; sin darse cuenta, hace una interpreta-ción errada del texto. Ésta es:
A. más del 30% de los jóvenes examinados ha-bían consumido tabaco y alcohol, un mes an-tes a la consulta.
B. un mes antes a la consulta, los 120 jóvenes habían consumido inhalantes o marihuana.
C. un mes antes a la consulta, el 7% de los jóve-nes consumieron inhalantes y alcohol.
D. el consumo de cocaína, un mes antes a la con-sulta, fue menor al de otras sustancias, inclu-so al de drogas farmacéuticas.
51. Tomando como fuente el texto presentado, un periodista ha preparado un artículo en el que afi rma que el 30% de los muchachos consumió, un mes antes a la consulta, dro-gas farmacéuticas. Antes de ser publicado el artículo, se le sugiere que cambie esta afi rmación, porque
A. no fue la tercera parte de la muestra, la que consumió drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta.
B. estaría incluyendo a 10 personas que no con-sumieron drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta.
C. estaría incluyendo a 6 personas que no consu-mieron drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta.
D. no fueron 30 personas las que consumieron drogas farmacéuticas un mes antes a la con-sulta.
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
10
20
30
40
50
10
20
30
40
509,9 9,9 9,9 9,9
3,3 3,3 3,33,3
45,9 45,9
3,3 3,3
15,3 15,3
9,9 9,9
Menores de10 años
Mayores de10 años
Menores de10 años
Mayores de10 años
Menores de10 años
Mayores de10 años
Menores de10 años
Mayores de10 años
EDAD EDAD EDAD EDAD
Cocaína Alcohol
A. Cantidad de personas B. Cantidad de personas C. Cantidad de personas D. Cantidad de personas
52. Profundizando en el estudio, se encontró que la cuarta parte de los jóvenes que consumie-ron cocaína, eran menores de 10 años, mientras que la cuarta parte de los jóvenes que con-sumieron alcohol eran mayores de 10 años. Estos resultados pueden presentarse al público mediante el gráfi co:
38
32.00030.000
28.00026.00024.000
22.00020.000
18.00016.00014.00012.00010.000
8.000
6.0004.000
2.000
5.0
00
10.0
00
15.0
00
20.0
00
25.0
00
30.0
00
35.0
00
40.0
00
Costo normal
36.00034.00032.00030.00028.000
26.00024.00022.00020.00018.00016.00014.00012.00010.000
8.0006.0004.0002.000
5.00
0
10.0
00
15.0
00
20.0
00
25.0
00
30.0
00
35.0
00
40.0
00
Costo normal
RESPONDA LAS PREGUNTAS 53 A 55 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Las siguientes gráfi cas ilustran dos promociones que ofrece un almacén, dependiendo de la forma de pago por compra de sus artículos:
Promoción por pago con tarjeta platino
Costo normal VS Costo con descuento
Promoción por pago en efectivo
Costo normal VS Costo con descuento
53. Según la gráfi ca que representa la promo-ción por pago con tarjeta platino, se dedu-ce que la oferta consiste en:
A. descontar $ 6 000 al doble del valor de la compra.
B. hacer un descuento del 20% al monto total de la compra.
C. pagar $ 1 000 menos por cada $ 5 000 en compras.
D. efectuar el pago de las 4/5 partes, por cada $ 5 000 del total de la compra.
54. Uno de los dueños del almacén afi rma que pagar con tarjeta platino o con efectivo be-nefi cia de igual manera a los clientes. Esta afi rmación es:
A. verdadera, porque en ambos casos si el costo total de la compra es $ 25 000, el cliente pa-garía $.20 000.
B. falsa, porque conviene más pagar en efec-tivo, ya que el cliente al hacer compras por $ 20 000, pagaría sólo $ 15 000, mientras que con la tarjeta, desembolsaría $ 16 000.
C. verdadera, porque cualquiera sea el monto de la compra, él puede escoger pagar en efectivo o con tarjeta platino.
D. falsa, porque si la compra es menor de $ 25 000 ahorraría más si paga en efectivo, de lo contrario es mejor utilizar la tarjeta para que el descuento sea mayor.
39
x2
Molde tipo 1 Molde tipo 2
x
x
x es una medida en centimetros
Des
cuen
toD
escu
ento
Promoción por pago con tarjeta platino
Promoción por pago en efectivo
Promoción por pago con tarjeta platino
Promoción por pago en efectivo
Costonormal
Costonormal
15.000
10.000
5.000
15.000
10.000
5.000
5.00
0
10.0
00
15.0
00
20.0
00
25.0
00
30.0
00
35.0
00
40.0
00
5.00
0
10.0
00
15.0
00
20.0
00
25.0
00
30.0
00
35.0
00
40.0
00
55. Los dueños del almacén desean tener una gráfi ca que relacione acertada-mente costo normal vs descuento, al recibir pagos con tarjeta platino y en efectivo. De esta manera la gráfi ca que deben obtener es:
Des
cuen
toD
escu
ento
Promoción por pago en efectivo
Promoción por pago con tarjeta platino
Promoción por pago en efectivo
Promoción por pago con tarjeta platino
Costonormal
Costonormal
15.000
10.000
5.000
15.000
10.000
5.000
5.00
0
10.0
00
15.0
00
20.0
00
25.0
00
30.0
00
35.0
00
40.0
00
5.00
0
10.0
00
15.0
00
20.0
00
25.0
00
30.0
00
35.0
00
40.0
00
A. Descuento
B. Descuento
C. Descuento
D. Descuento
Responda las preguntas 56 a 59 de acuerdo con la siguiente información
Para la señalización de las diferentes vías de transporte, se recorta de lámi-nas de aluminio de variados tamaños y formas, dos tipos de moldes, con las siguientes características:
40
56. Con el fi n de disminuir la accidentalidad en cierto tramo de carretera, se estudian dos propuestas para hacer más visibles las señales:
1- colocar una banda fl uorescente alrededor de cada molde.
2- pintar cada molde con pintura fl uorescente.
Dado que las dos propuestas son igual-mente benefi ciosas para el fi n propuesto, se debe tomar la decisión más económica posible, sabiendo que cada centímetro de material usado en la propuesta 1 tiene el mismo costo que cada centímetro cuadra-do de molde pintado, la decisión que debe tomarse es:
A. escoger la propuesta 1 si x < 4 cm., la propuesta 2 si x > 4 cm. y cualquiera de las dos si x = 4 cm.
B. escoger la propuesta 1 si x > 4 cm., en cualquier otro caso resulta más benefi ciosa la propuesta 2.
Lámina 1 Lámina 2
x
xx
5
2x
5
2x
2x
2x
x
2
x
2
C. escoger la propuesta 1 si x > 4 cm., la propuesta 2 si x < 4cm. y cualquiera de las dos si x = 4 cm.
D. escoger la propuesta 1 si x < 4 cm., en cualquier otro caso resulta más benefi ciosa la propuesta 2.
57. Por disposiciones generales, debe pintar-se un molde tipo I de tal forma que la mitad de él sea en color blanco. Para construir un diseño ajustado a lo pedido, puede re-currirse a:
A. indicar, dentro del molde, una circunferencia de radio X = 4y pintar su interior de blanco.
B. trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos formando un cuadrilátero. El interior del cuadrilátero será la región en blanco.
C. trazar dos pares de diámetros perpendiculares y unir sus extremos formando un octágono. El interior del octágono será la región en blanco.
D. indicar, dentro del molde una circunferencia de diámetro igual a la distancia entre los pun-tos sobre la circunferencia del modelo, deter-minados por dos radios perpendiculares.
58. La persona encargada de recortar los moldes debe cumplir con un pedido de dos moldes tipo I y tres tipo II, pero al no saber cuál de las dos láminas disponibles debe escoger pide la opinión del ingeniero a quien le presentó las dos láminas:
41
Una respuesta acertada por parte del ingeniero es:
A. dado que el área total de los moldes del pedi-do es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles, puede escoger cualquie-ra de las dos.
B. aunque las dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 1 pues, por su forma, se desperdiciaría menos material.
C. aunque las dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 2 pues, es posible super-poner todos los moldes del pedido sobre ella.
D. el área de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas dispo-nibles, sin embargo, tendría que usar las dos para cumplir con el pedido.
59. La persona encargada del archivo clasifi ca las facturas para pintura de los moldes tipo I y tipo II, atendiendo a que los moldes tipo II, llevan sus 2/3 partes en amarillo y el res-to en negro. De acuerdo con esto, de las si-guientes facturas, la que debe archivar en las correspondientes a moldes tipo II es:
A.
Color Cantidad
Negro 5 000 cm3
Amarillo 10 000 cm3
B.
Color Cantidad
Negro 5 000 cm3
Amarillo 15 000 cm3
C.
Color Cantidad
Negro 5 000 cm3
Amarillo 17 000 cm3
D.
Color Cantidad
Negro 5 000 cm3
Amarillo 2 500 cm3
RESPONDA LAS PREGUNTAS 60 A 63 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Las siguientes gráfi cas muestran los resultados de una encuesta, realizada en algunas ciudades del país. La encuesta se aplicó a 1050 personas entre hombres y mujeres mayores de 18 años.
NO SI
68% 32%
1. ¿ Acostumbra usted a salir fuera de su ciu-dad a vacaciones de mitad de año?
42
2. Pregunta contestada por las personas que dijeron sí.
¿Cuál tipo de transporte usó o usará para llegar a su destino de vacaciones?
Carretera Vía aérea
72% 28%
3. Pregunta contestada por las personas que dijeron sí.
Este año, sus vacaciones de mitad de año las pasó o las va a pasar en:
47%
29%
8%
5%
12%
Lugares cercanos asu residencia
Costa Atlántica
El exterior
Islas de San Andrés
Ns/Nr
4. Pregunta contestada por los que contesta-ron vía aérea.
¿Por qué no prefi ere viajar por carretera?
40%
29%
22%
7 %
2%
Seguridad
Comodidad
Rapidez
Otra
Ns/Nr
Tomado de El Tiempo
60. Una agencia de viajes quiere incrementar el turismo nacional por carretera, para ello genera una estrategia publicitaria, cuyos resultados exitosos se verían refl ejados cuando:
A. se mantengan los porcentajes de respuesta a la pregunta 2.
B. se aumente el porcentaje de personas que prefi eren viajar a lugares cercanos a su resi-dencia, en la pregunta 3.
C. los porcentajes de respuesta a la pregunta 1 quedan intercambiados y se mantengan los porcentajes en las otras preguntas.
D. se disminuyan los porcentajes de los que no prefi eren viajar por carretera, en la pregunta 4.
43
61. Respecto del total de los encuestados, la proporción de los que viajan por vía aérea por seguridad, es aproximadamente 1 por cada 28, porque:
A. representan aproximadamente el 40% del to-tal de los encuestados.
B. representan el 40% del 28% del total de los encuestados.
C. representan aproximadamente el 3,5% del to-tal de los encuestados.
D. representan el 32% del 28% del 40% del total de los encuestados.
62. Se puede afi rmar que el promedio de los encuestados que prefi eren destinos nacio-nales es mayor que el promedio entre los que prefi eren el exterior y los que no res-ponden, porque:
A. al calcular el promedio de los que prefi eren destinos nacionales se utilizan 3 datos, mien-tras que para calcular el promedio entre los que prefi eren el exterior y los que no respon-den sólo se utilizan 2 datos.
B. al sumar la cantidad de personas que prefi e-ren destinos nacionales su resultado es mayor, que si se suma la cantidad de personas que prefi eren el exterior y los que no responden.
C. el promedio de los que prefi eren el exterior y los que no responden es aproximadamente tres cuartas partes del promedio de los que prefi eren destinos nacionales.
D. el promedio de los que prefi eren el exterior y los que no responden es aproximadamente la tercera parte del promedio de los que prefi e-ren destinos nacionales.
63. Uno de los criterios acertados que puede establecer un lector de las respuestas a las preguntas 1 y 2 es
A. las personas que acostumbran salir a vacacio-nes de mitad de año prefi eren hacerlo por vía aérea.
B. la mayoría de los encuestados prefi eren viajar por carretera.
C. las personas que acostumbran salir a vaca-ciones de mitad de año prefi eren hacerlo por carretera.
D. la mayoría de los encuestados prefi eren viajar por vía aérea.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 64 A 67 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Uno de los nuevos juegos que ha llegado a la feria es “Ruleta”, el cual consiste en lanzar cuatro dardos, en cuatro lanzamientos a un tablero circular mientras gira, desde una distancia aproximada de cuatro me-tros. Este tablero está distribuido en sectores iguales con su respectivo puntaje (1, 2,o 4). El ganador será aquel que obtenga el resultado más alto, al sumar los puntajes obtenidos en cada lanzamiento; además, siempre que un dardo caiga, fuera del tablero o justo sobre la línea que divide dos o más sectores, el lanza-miento se repetirá. El siguiente dibujo representa el tablero empleado para el juego.
1 2
4
1
2
41
2
4
44
64. Terminado el juego entre Manuel, Carlos, Pedro y Andrés, el administrador del juego, decide anular los lanzamientos, porque uno de ellos hizo trampa al escribir un resultado obtenido. De los siguientes registros, el que señala al jugador que escribió dicho resul-tado es:
A.
Jugador: Manuel Rocha
Número de lanzamientos: 4
Resultado: 16 puntos
B.
Jugador: Pedro Castro
Número de lanzamientos: 4
Resultado : 12 puntos
C.
Jugador: Carlos Robles
Número de lanzamientos: 4
Resultado: 15 puntos
D
Jugador: Andrés López
Número de lanzamientos: 4
Resultado: 9 puntos
65. Al preguntarle Mauricio a Alejandro so-bre lo sucedido el día anterior, cuando fue a jugar con Juan en la ruleta, éste le respondió que faltando dos de sus lanza-mientos para terminar el juego, la proba-bilidad de obtener el puntaje necesario para ganar era 2/3.
De los siguientes resultados, los que repre-sentan la posibilidad que tenía Alejandro de ganar son:
A.
Jugado: Juan
Puntaje
1° Lanzamiento: 2
2° Lanzamiento: 4
3° Lanzamiento: 2
4° Lanzamiento: 1
Resultado: 9
Jugador: Alejandro
Puntaje
1° Lanzamiento: 2
2° Lanzamiento: 2
3° Lanzamiento:
4° Lanzamiento:
Resultado
B.
Jugador: Juan
Puntaje
1° Lanzamiento: 4
2° Lanzamiento: 2
3° Lanzamiento: 1
4° Lanzamiento: 1
Resultado: 8
Jugador: Alejandro
Puntaje
1° Lanzamiento: 2
2° Lanzamiento: 4
3° Lanzamiento:
4° Lanzamiento:
Resultado:
45
C. 66. Para jugar nuevamente, Juan le propone a Alejandro que elija antes de hacer sus lanzamientos, siete posibles resultados mientras él sólo seis y que el ganador será aquel que obtenga uno de los resultados elegidos previamente. Antes de elegir los resultados, Alejandro cree que para tener SIEMPRE la mayor posibilidad de ganar, es conveniente:
A. elegir siete números cualquiera entre 4 y 16, porque éstos son los únicos resultados que se pueden obtener.
B. incluir en la lista los resultados 7, 8 y 9, ya que éstos se forman de más de una manera.
C. escoger un resultado más, independiente de los números que se elijan, hace que se tenga la mayor opción de ganar.
D. elegir como resultados números pares, pues en el tablero 2/3 de los puntajes lo son.
67. Pensando en los diferentes resultados que se puede obtener al lanzar los dardos, el administrador del juego encuentra que la expresión s = 4n-1 le permite calcular.
A. la cantidad de resultados diferentes (s) que se pueden obtener al realizar una cantidad deter-minada (n) de lanzamientos.
B. el resultado (s) que no es posible formar con los puntajes del tablero y que se encuentra en-tre el intervalo de resultados, dada una canti-dad determinada (n) de lanzamientos.
C. la cantidad de diferentes posibilidades (s) de formar todos los resultados, al remplazar (n) por la cantidad de lanzamientos que se hagan.
D. el mínimo número de lanzamientos (s) que se deben realizar, para obtener la mitad del re-sultado mayor, al remplazar (n) por la cantidad de puntajes diferentes inscritos en el tablero circular.
Jugador: Juan
Puntaje
1° Lanzamiento: 4
2° Lanzamiento: 1
3° Lanzamiento: 2
4° Lanzamiento: 2
Resultado: 9
Jugador: Alejandro
Puntaje
1° Lanzamiento: 4
2° Lanzamiento: 2
3° Lanzamiento:
4° Lanzamiento:
Resultado
D.
Jugador: Juan
Puntaje
1° Lanzamiento: 2
2° Lanzamiento: 2
3° Lanzamiento: 2
4° Lanzamiento: 4
Resultado: 10
Jugador: Alejandro
Puntaje
1° Lanzamiento: 2
2° Lanzamiento: 2
3° Lanzamiento:
4° Lanzamiento:
Resultado:
46
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA VÁLIDA (TIPO X)
La prueba de matemáticas está conformada por pre-guntas planteadas a partir de diferentes situaciones.
Estas preguntas constan de:
* Una situación, que puede ser una gráfi ca, una tabla, un texto o una combinación de ellas.
* Un problema, que puede estar dado en forma afi rmativa o interrogativa.
* Cuatro opciones de respuesta.
B. veintisiete cajas tamaño 7, porque cada caja tamaño 9 contiene tantos productos como nueve cajas tamaño 7.
C. nueve cajas tamaño 8, porque cada caja ta-maño 9 contiene tantos productos como tres cajas tamaño 8.
D. veintisiete cajas tamaño 1, porque cada caja tamaño 9 contiene tantos productos como nueve cajas tamaño 1.
69. La persona encargada de la bodega debe informar al jefe de producción la cantidad de productos empacados que hay en una caja de cualquier tamaño. Una forma me-diante la cual se puede encontrar este dato sin tener que destapar la caja es:
A. determinar la cantidad de cajas tamaño 1 em-pacadas dentro de otra más grande mediante la fórmula 3n-1, donde n es el número del ta-maño de dicha caja, y luego sumar todos los valores obtenidos.
B. utilizar la fórmula 3m, donde m representa el número del tamaño de la caja.
C. utilizar la fórmula 3m, donde m representa el número del tamaño de la caja.
D. determinar la cantidad de cajas tamaño 1 em-pacadas dentro de otra más grande mediante la fórmula 3n-1, donde n es el número del ta-maño de esta caja, luego multiplicar por 3 los valores obtenidos y sumarlos.
70. El gerente quiere que se entregue a los clientes de la fábrica, información diversa sobre los productos ofrecidos, exigiendo que haya una gráfi ca en la que se expre-
Recuerde que puede encontrar dos opciones válidas para solucionar el problema planteado; usted debe seleccionar entre las opciones dadas sólo una, la que considere que relaciona de ma-nera más estructurada los conceptos matemáti-cos con las condiciones particulares de la situa-ción problema.
Responda las preguntas 68 a 70 de acuerdo con la siguiente información
En una fábrica se emplean cajas de diez tamaños para empacar los productos. En la caja más pequeña (tamaño 1) se empacan tres productos y en cada uno de los demás (tamaño 2 a tamaño 10) se empacan tres cajas del tamaño inmediatamente anterior.
68. Un cliente ha hecho un pedido que pue-de empacarse exactamente en tres cajas tamaño 9 pero se ha agotado este tipo de caja. Para poder cumplir con el pedido, us-ted sugeriría que se enviaran en remplazo:
A. nueve cajas tamaño 3, porque cada caja ta-maño 9 contiene tantos productos como tres cajas tamaño 3.
47
se lo que contienen las cajas tamaño 1, 2 y 3. La gráfi ca que usted diseñaría para los clientes es:
A.
2724211815129630
T2T1
T1 T2
T3T2
T1
Productos
Productos
Can
tidad
Tamaño de caja
Obj
etos
cont
enid
os
B.
2724211815129630
T1 T2
T1 T2 T3
ProductosC
antid
ad d
e ob
jeto
s co
nten
idos
Tamaño de caja
C.
2724211815129630
T1 T2
T1 T2 T3
Productos
Can
tidad
de
obje
tos
cont
enid
os
Tamaño de caja
D.
2724211815129630
T2T1
T1 T2
T3T2
T1
Productos
Productos
Can
tidad
Tamaño de caja
Obj
etos
cont
enid
os
A. Cantidad B. Cantidad de objetos contenidos
C. Cantidad de objetos contenidos D. Cantidad
48
Ampliación de la información en la red
http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacti-cas/53-1-u-indice.html
Repaso de conceptos básicos de Estadística; conceptos básicos de estadística descriptiva. Se desarrollan los con-ceptos y procedimientos estadísticos básicos, insistiendo sobre todo en el manejo de tablas, el cálculo de medidas estadísticas de centralización, dispersión y localización. Además, se trabaja con la calculadora para realizar cálcu-los estadísticos con relativa facilidad y rapidez.
http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd97/Problemas/40-2-p-estadistica.html
Relación de ejercicios de estadística descriptiva. Contiene 11 ejercicios donde se desarrollan los siguientes temas: medidas de centralización y dispersión; regresión y corre-lación; regresión simple-múltiple y correlación; regresión simple y correlación.
http://www.mercantil.com/
Portal de Negocios: Mercatil.com: Portal latinoamericano que contiene información en inglés, español y portugués sobre economía y negocios en América Latina. Presenta estadísticas sobre producción en diversos rubros como agricultura, turismo y medios de comunicación. Incluye índices informativos sobre negocios, compañías, importa-ción y exportación en todo el territorio.
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallimite.htm
Ley de los grandes números: Contiene una breve introduc-ción a la ley de los grandes números y al teorema central del límite. Además, incluye algunas defi niciones y un par de simulaciones de experimentos sobre los temas trata-dos.
http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd98/Matematicas/01/matematicas-01.html
Introducción a la estadística descriptiva: Sitio que contiene breves refl exiones y algunos ejemplos acerca de la función y del proceso de la estadística descriptiva. Además, se construyen tablas de frecuencias para desarrollar ejerci-cios y entender la estadística de una manera mas gráfi ca.
http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd98/Matematicas/02/matematicas-02.html
Unidad didáctica de funciones: Página que explica y desa-rrolla a través de unidades didácticas las funciones y su representación gráfi ca.
http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/ed99-0045-01.html
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: Sitio donde se desarrolla el concepto de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
http://www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_HCS_1/Fun-cion_logaritmica/fun-log1.htm
La función logarítmica: Página que contiene la descripción y las propiedades generales de la función logarítmica.
49
http://www.lafacu.com/apuntes/matematica/ecua_linea-les/default.htm
Sistemas de ecuaciones: Página que contiene información de los procedimientos que se realizan con las ecuaciones lineales.
http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/T2_Ecuaciones.htm
¿Cómo resolver una ecuación lineal?: Página que presenta información referente a la resolución de ecuaciones linea-les.
http://personales.com/espana/madrid/Apuntes/TEMA 4.htm
Inecuaciones: Página que contiene una breve introducción a las desigualdades e inecuaciones.
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/4b_eso/Estudio_al-gunos_tipos_funciones_cuadratica.htm
La función cuadrática más sencilla: Página que contiene in-formación sobre la función cuadrática y sus propiedades.
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/sisinec1.htm
Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita: Pági-na que presenta una breve introducción a los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
http://www.sisweb.com/math/trig/es-tables.htm
Tablas de trigonometría: Página que contiene tablas de trigonometría.
http://www.fvet.edu.uy/estadis/probabilidad.htm
Principios de probabilidad: Página que contiene informa-ción sobre los principios básicos de probabilidad.
http://personal.redestb.es/ztt/ppal.htm
2 Pi Math Sitio que contiene resúmenes de algunos tópicos de matemáticas con problemas y ejercicios.
50
http://www.edulat.com/3eraetapa/matematicas/3 ano/20.htm
Aplicación del torema de Euclides: Página que explica el teorema de Euclides e incluye su aplicación en la resolu-ción de problemas.
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Galaxy/4004/fi ma.html
Acertijos: Sitio que presenta juegos y acertijos matemáti-cos, para alumnos de enseñanza media y universitaria.
http://www.d16acbl.org/U173/Brmx_prob2.html
¿Qué es la probabilidad?: Página que incluye información básica sobre las probabilidades y sus propiedades.
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/pprobjunio00.htm
Problemas de probabilidades: Página que incluye proble-mas de probabilidades con sus soluciones respectivas.
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/4a_eso/Semejan-za_4/thales_y_triangulos.htm
Aplicaciones del teorema de Thales a los triángulos: Pági-na interactiva que incluye una aplicación del teorema de Thales a los triángulos.
http://www.cortland.edu/fl teach/stats/stat-sp.html
Uso de la Estadística: Página que proporciona información sobre la historia y los métodos fundamentales que utiliza la estadística.
http://www.mty.itesm.mx/data/materias/estadistica/Cap3NAV.htm
Principios de estadística: Página que incluye información básica sobre estadística y probabilidades.
http://ciberconta.unizar.es/LECCION/probabil/INICIO.HTML
Introducción a la probabilidad: Contiene la defi nición de probabilidad e incluye información sobre los sucesos alea-torios, las propiedades de la probabilidad, la probabilidad condicionada, la independencia de sucesos, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. Además, con-tiene experimentos y ejercicios para reforzar los conceptos aprendidos.
51
http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/
Historias de Matemáticas: Presenta la evolución de la ma-temática a través de algunos de sus personajes.
http://escuela.med.puc.cl/paginas/Postgrado/DiplomaAd-minis/Estadistica.pdf
Tutorial básico de estadística: Página que contiene un tuto-rial básico sobre estadística y sus aplicaciones en formato pdf.
http://www.cientec.or.cr/ciencias.html
Índice de ciencias: Sitio que contiene información y ac-tividades prácticas relacionadas con algunas áreas de la ciencia.
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas.html
Matemáticas: Contiene información sobre: los conjuntos fraccionarios, el valor absoluto, las funciones, el límite de una función, las cantidades complejas, las cantidades ima-ginarias, las progresiones aritméticas, los productos nota-bles, los cuocientes notables, las progresiones geométri-cas, los números racionales, los números irracionales y los casos de factorización.
http://www.geocities.com/chilemat/software.htm
Software: Contiene una serie de links donde es posible encontrar softwares de matemáticas para todos los ni-veles de educación básica como de educación media. Se incluyen desde la adición y la sustracción (NB1 ), hasta el álgebra y las funciones (NM4).
http://www.salonhogar.com/matemat/menu.htm
Matemáticas: Presenta distintos tipos de ejercicios, tanto de enseñanza básica cómo media, bajo la modalidad de pregunta y respuesta. Representa una herramienta muy útil para trabajar en la sala de computación con la ayuda de una guía escrita. Además, contiene ejercicios para cal-culadoras y biografías de algunos matemáticos.
http://matti.usu.edu/nlvm/nav/index.html
Library of Manipulatives for Interactive Mathematics.
http://www.escolares.com.ar/
Escolares de Argentina: Portal educativo sobre experien-cias educativas y apoyo a actividades en el aula para docentes y estudiantes de básica media desarrolladas en Argentina.
52
Olimpiadas Matemáticas
http://www.win.tue.nl/ioi/imo/
International Mathematics Olympiad
http://www.oma.org.ar/oma/
Olimpiada Matemática Argentina
http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm
Olimpiada Matemática Española contiene información so-bre la olimpiada, tanto para profesores como para alum-nos, los problemas de las últimas, así como material para su preparación. (Pntic)
http://www.oei.es/oim.htm
Olimpiadas Iberoamericanas de Matemáticas
http://www.mat.puc.cl/~socmat/socmat1.olim.html
Olimpiadas Matemáticas de Chile
http://www.oei.es/sipro01.htm
Olimpiadas Matemáticas en Latinoamérica
http://sylow.algebr.uv.es/ramon/olimpiada/
Rincón Olímpico
http://www.mathpro.com/math/archive/RusMath.txt
Problemas de Olimpiadas rusas
Cursos
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/calculo.html
Cálculo infi nitesimal.en brasileño (o portugués)
http://www.mat.uned.es/pfp.html
El ordenador en el aula de matemáticasuna sinopsis del curso con el mismo nombre de la UNED
http://www.shu.edu/~wachsmut/reals/index.html
Interactive Real Analysis Curso interactivo análisis en va-riable real, con pruebas de teoremas ejercicios, etc.
http://forum.swarthmore.edu/~steve/steve/mathlessons.desc.html
Lecciones de Matemáticas del Forum de Matemáticas de Swathmore. Muy amplio. (comentado)
http://www.eng.uml.edu/Dept/Chemical/onlinec/white/math/overview/outl539/outl539.htm
Mathematical methods for engineers
http://www.dcs.warwick.ac.uk/dcs/bshm/resources.html
Resources
http://hub.terc.edu/terc/teech/directory/bykey/gender.html
Teacher Enhancement projects, by keyword: ge...
http://www.unipissing.ca/topology/
Topology Atlas Un centro para la distribución electrónica de información relacionada con la Topología o un intento de crear una “villa global” en Topología. Contiene cursos de Topología evidentemente.
53
Matemáticas
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001024/index.html
Álgebra conmutativa
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/index.html
Álgebra lineal
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001012/index.html
Análisis
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2003762/index.html
Análisis funcional
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/index.html
Cálculo avanzado
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001025/index.html
Ecuaciones diferenciales ordinarias
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001007/index.html
Estructuras algebraicas
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000903/index.html
Programación y métodos numéricos
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001285/index.html
Matemáticas I: preliminares y cálculo diferencial
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/index.html
Matemáticas II: cálculo integral y geometría vectorial
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000927/index.html
Matemáticas III: cálculo en varias variables
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000953/index.html
Matemáticas IV: ecuaciones diferenciales ordinarias
54
Estadística
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000352/index
Diseño experimental
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001091/index.html
Estadística básica
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/index.html
Probabilidad y estadística
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2007315/index
Métodos de regresión
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2010620/index.html
Probabilidad
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001018/index.html
Teoría de la computación
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000945/index.html
Teoría de la medida
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001005/index.html
Topología general
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000944/index.html
Topología básica
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001006/index.html
Variable compleja
55
Unidad 1Unidad 1
Tema 1
1. a. 8 d. 3 33,
b. 12 e. x
c. 1,8
2. a. 12 21
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
× d. 1
32 5×( )
b. 3 81
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
e. 21
2x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
c. 1
5
1
436
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6. a. 0,6 Finito e. 0 18, Infi nito b. 1,625 Finito f. 0,375 Finito
c. 0 5, Infi nito g. 1,25 Finito d. 0 538461, Infi nito h. 0,375 Finito
7. a. 22
3
b. 71
2
c. 41
4
d. 31
9
8. 6
16 15
40
12
32 18
48
9
24
10. a. –1
4, 1
4, 3
5, 7
8.
b. –3, –2
3, 0
6, 5
6, 1
8, 1
2, 5
6.
c. 4
7, 8
5, 7
3 8.
d. –3, –8
7, 2
5, 4
5, 6
4, 7
3 .
11. a. –3
4
1
2
7
5< < d. – –
1
3
1
4
7
5< <
c. –3
4
0
7
9
3< <
12. a. – –6
4
3
21< < c. –
7
5, –
1
4, –
2
8
b. –5
2, –
7
6, –
2
4 d. 1
3, 2
5, –
6
11
14. a. 4
16 d. 22
34
b. –4
36 e. –
3
12
c. 10
25 f. –
21
49
15. a. 78
102 d. 4
104
b. 9 007
103 e. 436
102
c. 365
102 f. 231
102
16. a. 986
103 e. 420
99
b. 8 076
9 f.
71 598
99
c. 6 390 801 74
99 999
, g.
72 116 0177
9 999
,
d. 62 727
9 990 h.
67 6633
9 900
,
Evaluaciónpor competencias
2. 83 → • 5 3 → §
100 → • 8 → §
–1
2→ ¢
3. 1
12
14
25
, , ,o − −
4. a. 96
102 c. 4 253
9 990
b. 210
9 990 d. 2 765
99
6. a. x = 17
3 d. x = 27
11
b. x –= 118
5 e. x –= 1
c. x = +3 7
7
Unidad 2Unidad 2
Tema 1
3. 5
3
π
5. En dos puntos.
14. π3
16. x ,= °57 29
Solucionario Ingenio matemático diez
56
18. a. x = °90 f. x = °45
b. x = °108 g. x = °135
c. x = °150 h. x = °270
d. x = °60 i. x = °120
e. x = °30
19. a. π12
= x g. π12
c. 7
36
π h. 23
12
π
e. 8
6
π i. π3
f. 5
12
π
Tema 5
1. 8 h 46’ 50”
2. a. 52° 22’ 48” b. 6° 13’ 19”
3. a. 45° 30’ 40” d. 45° 40° 15° b. 45° 15’ 20” e. 15° 30’ 20” c. 90° 45’ 15” f. 45° 35’ 40”
4. a. 60° 41’ 00” c. 9 veces b. 651° 50’ 50” d. 242° 44’ 00”
5. a. RB ' "= °55 44 42 c. RC ' "= °15 42 00
b. RC ' "= °33 55 72
6. a. 1° 30’ 00” b. 12° 40’ 12” c. 34° 40’ 29” d. 43° 39’ 25”
Tema 6
1. 299°
5. a. –300° h. –π
420° 3π
b. 5
2
π i. –239° 70’
–3
2
π 480° 30’
c. –7
2
π j. 375°
π2
–345° d. 405° k. –3π
–315° π
e. 3
2
π l. –61° 08’
–5
2
π 660° 12’ f. –4π m. 435° 0 –285°
g. 390° n. –π2
–330° 7
2
π
8. Primer cuadrante:
–16
6
π , –330°, 730°, 285° Segundo cuadrante:
8
3
π , –10
3
π
Tercer cuadrante –135°, 210° Cuarto cuadrante:
18
5
π , –75, 20
12
π
Tema 9
4. 4 2
6. 1° 39’
7. 15,55 m
8. 6,36 m
10. 46,19 m
11. 32,20 m
12. 4,945 km
13. 25,06 m
14. 28,38 m
15. 38,87
27. 431,78 m
Tema 10
2. sen α = h
b
sen β = h
a
57
3. b hsen α =
a hsen β =
4. b asen senα β=
9. b. A = °95 e. B = °54
b ,= 8 9 m c = 45 m
B = °65 C = °18
a ,= 10 1423 A = °108
C = °24 b = 1125 m
c ,= 4 1405 cm a ,= 13 22 m
c. B = °30 f. B = °76
C = °45 b = 53 m
b = 2 cm a =18m
c ,= 2 8284 cm A '= °20 49
A = °105 C '= °83 51
a ,= 3 863 cm c ,= 5109
d. A = °89
a = 33 mm
C = °12
B = °80
c ,=6 862
b ,= 32 50
Tema 11
2. Este teorema sirve para resolver cualquier triángulo cuan-do se conocen tres datos así:
• Dos ángulos y cualquier lado. • Dos lados y un ángulo (excepto el formado por ellos).
10. a. A = °24
B = °54
c = 12 m
C = °96
b ,= 9 76 m
a = 4 905 m
b. a = 23 m
b = 43 m
c = 53 m
A '= °25 17
B '= °52 18
C '= °102 63
c. a = 67 m
B = °58
C = °108
A = °14
b ,= 234 86 m
c ,= 263 38 m
d. a = 109 m
b = 548 m
C = °146
c ,= 46168 m
A '= °7 60
B '= °26 4
11. 275,51 km
15. 32,9354 m
18. 109,76 km
Tema 12
1. a. Vax = 4 unidades c. Vbx = 8 unidades
Vay –= 1 unidad Vby = 4 unidades
b. Vcx –= 3 unidades d. Vdx –= 10 unidades
Vcy –= 5 unidades Vdy = 0 unidades
4. a. Vx = 1, Vy = 6 . c. Vx = 7 , Vy = 0 .
b. Vx –= 4 , Vy –= 6 . d. Vx = 0 , Vy –= 3 .
5. a. v ,= 5 38 u g. v ,=4 47u
b. v ,= 5 38 u h. v = 5 u
c. v ,= 6 708 u i. v = 5 u
d. v = 5 u j. v = 4 u
e. v ,= 5 83 u k. v = 4 u
f. v ,= 5 09 u l. v ,= 7 61 u
6. No, se necesitan más datos para conocer las proyeccio-nes horizontal y vertical del vector dado.
Tema 13
2. a. v ,= 9 21 u
sen α = 9
85
cos –α = 2
85
tan – – ,α = =9
24 5
58
csc α = 85
9
sec –α = 85
2
cot –α = 2
9
b. v = 20
sen –α = 4
20
cos α = 2
20
tan – –α = =4
22
csc –α = 20
4
sec α = 20
2
cot – –α = =2
4
1
2
c. v = 73
sen α = 3
73
cos –α = 8
73
tan –α = 3
8
csc α = 73
3
sec –α = 73
8
cot –α = 8
3
d. v = 61
sen –α = 6
61
cos –α = 5
61
tan α = 6
5
csc –α = 61
6
sec –α = 61
5
cot α = 5
6
e. v = 10
sen –α = 1
10
cos –α = 3
10
tan –α = 1
3 csc –α = 10
sec –α = 10
3 cot α = 3
f. v = 17
sen –α = 1
17
cos α = 4
17
tan –α = 1
4 csc –α = 17
sec α = 17
4 cot –α = 4
4. a. v = 40
sen β = 6
40
cos –β = 2
40
tan – –β = =6
23
b. v = 5
sen –θ = 3
5
cos θ = 4
5
tan –θ = 3
4 c. v = 162
sen –θ = 9
162
cos θ = 9
162 tan –θ = 1
d. v = 80
sen γ = 8
80
cos –γ = 4
80
tan – –γ = =8
42
e. v = 8
sen – –θ = =8
81
cos θ = =0
80
tan –θ = =8
0N.E.
f. v = 5
sen –ξ = 4
5
cos –ξ = 3
5
tan ξ = 4
3
g. v = 10
sen –β = 3
10
59
cos –β = 1
10 tan β = 3
h. v = 40
sen α = 2
40
cos –α = 6
40
tan – –α = =2
6
1
3 i. v = 90
sen α = 9
40
cos –α = 3
90
tan – –α = =9
33
5. a. v = 20
sen β = 2
20
cos β = 4
20
tan β = =2
4
1
2
cot β = 2
csc β = 20
2
sec β = 20
4
b. v = 5
sen α = 3
5
cos –α = 4
5
tan –α = 3
4
csc α = 5
3
sec –α = 5
4
cot –α = 4
3 c. v = 17
sen –θ = 1
17
cos –θ = 4
17
tan–
–θ = =1
4
1
4 csc –θ = 17
sec –θ = 17
4 cot θ = 4
d. v = 10
sen –α = 1
10
cos –α = 3
10
tan–
–α = =1
3
1
3 csc –α = 10
sec –α = 10
3 cot α = 3
e. v = 61
sen –α = 6
61
cos α = 5
61
tan –α = 6
5
csc –= 61
6
sec α = 61
5
cot –α = 5
6
6.
Cuadrante
FunciónPrimer Segundo Tercer Cuarto
sen + + - -
cos + - - +
tan + - + -
cot + - + -
sec + - - +
csc + + - -
7. a. v ,= =58 7 61
b. sen –β = 3
58
cos β = 7
58
tan –β = 3
7
csc –β = 58
3
sec β = 58
7
cot –β = 7
3
8. a. Sí. b. No, el seno de un ángulo no puede valer –3, pues
entonces la hipotenusa tendría que ser obligatoria-mente más grande que el cateto opuesto, cosa que no ocurre.
60
c. La cosecante de un ángulo, puede tomar valores ma-yores que 1 y menores que –1.
+ ≤ ≤1 1csc –
10. a. 7
5 d. 12
b. 3
4 e. –
1
5
c. 36
5 f. 31
400
Tema 15
1. cos 3001
2° = , sen –300
3
2° = , tan –300 3° = ,
cot –3003
3° = , csc 300
2 3
3° = , sec 300 2° = .
2. θ = °135
3. sen 1352
2° = , cos –135
2
2° = , tan –135 1° = ,
cot –135 1° = , csc 135 2° = , sec –135 2° = .
4. sen –2101
2° = , cos –210
3
2° = , tan 210
1
3° = ,
cot 2103
3° = , csc –210 2° = , sec –210
2 3
3° = .
5. a. 120° f. 0° b. 45° g. 180° c. 90° h. 30° d. 45° i. 60° e. 180°
7. b. λ = °45 f. λ ,= ° °0 180
c. λ = °90 g. λ = °0
d. λ = °45 h. λ = °30
e. λ = °180 h. λ = °60
8. a. 2 d. No existe.
b. 2 2 e. 0.
c. 3
2
Tema 16
1. a. sen –2101
2° = c. tan –135 1° =
b. sec 3002 3
3° = d. sec 210
3
2° =
2. sen 1501
2° = , cos –150
3
2° = , tan –150
3
3° = ,
cot –150 3° = , sec 1502 3
3° = , csc 150 2° = .
3. sen13
6
1
2
π = , cos13
6
3
2
π = , tan13
6
3
3
π = ,
cot13
63
π = , sec13
6
2 3
3
π = , csc13
62
π = .
4. sen –2101
2° = , cos –210
3
2° = , tan 210
3
3° = ,
cot 210 3° = , sec 2102 3
3° = , csc –210 2° = .
5. sen –2401
2° = , cos –240
3
2° = , tan 240
3
3° = ,
cot 240 3° = , sec –2402 3
3° = , csc –240 2° = .
6. sen –15
12
2
2
π = , cos –15
12
2
2
π = , tan15
121
π = ,
cot15
121
π = , sec –15
122
π = , csc –15
122
π = .
7. sen –3152
2° = , cos 315
2
2° = , tan –315 1° = ,
cot –315 1° = , sec 315 2° = , csc 315 2° = .
8. a. sen – –1352
2°( ) = , cos – –135
2
2°( ) = ,
tan – –135 1°( ) = , cot – –135 1°( ) = ,
sec –135 2°( ) = , csc – –135 2°( ) = .
b. sen –2252
2° = csc –225 2° =
cos –2252
2° = sec –225 2° =
tan 225 1° = cot 225 1° =
c. sen – –4052
2°( ) = csc – –405 2°( ) =
cos –4052
2°( ) = sec –405 2°( ) =
tan – –405 1°( ) = cot – –405 1°( ) =
d. sen 1201
2° = , cos –120
3
2° = , tan –120
3
3° = ,
cot –120 3° = , sec –1202 3
3° = , csc 120 2° = .
61
e. sen 1501
2°( ) = csc 150 2°( ) =
cos –1503
2°( ) = sec –150
2 3
3°( ) =
tan –1503
3°( ) = cot –150 3°( ) =
f. sen –3152
2° = csc –315 2° =
cos 3152
2° = sec 315 2° =
tan –315 1° = cot –315 1° =
g. sen –2101
2°( ) = csc –210 2°( ) =
cos – –2103
2°( ) = sec – –210
2 3
3°( ) =
tan – –2103
3°( ) = cot – –210 3°( ) =
h. sen –2252
2° = cot 225 1° =
cos –2252
2° = sec –225 2° =
tan 225 1° = csc –225 2° =
i. sen – – ,25
120 25
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= sec – ,25
12103
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
cos – ,25
120 96
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= csc – – ,25
123 86
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
tan – – ,25
120 26
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= cot – – ,25
123 73
π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
Tema 17
1. a. sen –270 1° = , cos 270 0° = , tan 270° no existe, cot 270 0° = , sec 270° no existe, csc –270 1° = .
b. sen 180 0° = , cos –180 1° = , tan 180 0° = , cot 180° no existe, sec –180 1° = , csc 180° no existe.
c. sen 90 1° = , cos 90 0° = , tan 90° no existe, cot 90 0° = , sec 90° no existe, csc 90 1° = .
d. sen 0 0° = , cos 0 1° = , tan 0 0° = , cot 0° no exis- te, sec 0 1° = , csc 0° no existe.
2. sec 0 1° = , csc 0° no existe, cot 0° no existe,
secπ2
no existe, cscπ2
1= , cotπ2
0= , sec3
2
π no
existe, csc3
21
π = , cotπ2
0= , sec 2 1π = , csc 2π
no existe, cotπ2
no existe.
3. No existe.
5. secπ2
no existe, cscπ2
1= , cotπ2
0= .
6. La cosecante y la cotangente.
7. sec –π = 1 , csc π no existe, cot π no existe.
Tema 18
1. a. Sí. d. Sí. b. No. e. No. c. Sí. f. No.
4. a. sen x = 1
2, csc x = 2 .
b. sen x = 3
2, cos –x x= ± =1 2 1
4sen .
c. cos x = 2
2, cos 2 2x = .
8. a. 1
b. cos a
c. sen3
cos
x
x d. 1 e. sen3x
g. 1 h. cosxw
i. csc x
9. a. 2 d. 2
2
b. 1
4 e. 1,3114
c. 1 f. 0,2840
17. a. sen
sen–
x
x1 2 f. 1 2– cos
cos
x
x
b. 1 2
2
– cos
cos
x
x g. 1 2
2
– sen
sen
x
x
Unidad 3Unidad 3
Tema 2
4. a. Dominio = 4 5 6, ,
62
Rango = 1 2, b. Dominio = °
Rango = °
c. Dominio = x x/ ∈ Z
Rango = y y/ ∈ Z
d. Dominio = x x/∈ ≤ < ° 1 4
Rango = y y/∈ < ≤ ° 2 5
e. Dominio = ° – 0 Rango = ° – 0 5. a. Dominio = 0 1 4 9 16 25, , , , , Rango = 0 1 2 3 4 5, , , , , b. Dominio = 1 2 3 4, , , Rango = – , , ,1 1 3 5 c. Dominio = 1 2 3, , Rango = 2 3 4, , 7. a. Sí es relación de equivalencia. Propiedad refl exiva: Un triángulo es semejante a sí
mismo. Propiedad simétrica: Si ∆ABC es semejante con
∆DEF entonces ∆DEF es semejante con ∆ABC . Propiedad transitiva: Si ∆ABC es semejante con
∆DEF y ∆DEF es semejante con ∆GHI , enton- ces ∆ABC es semejante con ∆GHI .
b. No es relación de equivalencia, no cumple la propie- dad refl exiva.
c. No es relación de equivalencia, no cumple la propie- dad refl exiva.
d. No es relación de equivalencia, no cumple las pro- piedades.
Propiedad refl exiva 0 0,( ) Falso, pues y x= + 2 . Propiedad simétrica 0 2,( ) , 2 0,( ) Falso, no se cumple. Propiedad transitiva 0 2,( ) , 2 4,( ) , 0 4,( ) Falso.8. R1 : No es relación de equivalencia, pues sólo cum-
ple la propiedad refl exiva. R2 : No es relación de equivalencia, no cumple la
propiedad refl exiva pues x e y son miembros de la misma familia, pero no la misma persona.
Tema 4
3. a. y x– –= 11
27
b. y x–= +5
214
4. a. No son paralelas. c. Sí son paralelas. b. Sí son paralelas. d. No son paralelas.
5. a. Pendiente: –3 Ordenada en el origen b = 2
b. Pendiente: 1
2 Ordenada en el origen: –2
6. x –= 2
7. No, si fueran los lados de un paralelogramo dos lados serían paralelos y los otros dos también.
–2
3
2
3≠
8. a. No son perpendiculares. b. Sí son perpendiculares. c. No son perpendiculares. d. No son perpendiculares. e. No son perpendiculares. f. Sí son perpendiculares.
9. a. Rectángulo. d. Trapecio. b. Paralelogramo. e. Cuadrilátero. c. Rectángulo.
Tema 5
4. Ecuación canónica: x y– –2 1 102 2( ) + ( ) =
Ecuación general: x x y y2 24 2 5 0– – –+ =
5. Ecuación canónica: x y– –12
21
2
45
4( ) +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
Ecuación general: x x y y2 22 10 0– – –+ =
6. a x y– –2 1 32 2( ) + ( ) =
b. x y –+( ) + ( ) =4 5 492 2
7. x y r+( ) + =32 2 2
x y r+( ) + +( ) =2 22 2 2
8. a. x y– 1 3 252 2( ) + +( ) =
Sí es circunferencia (ecuación canónica).
b. x y –+( ) + ( ) =3 5 162 2
Sí es circunferencia (ecuación canónica).
63
c. x y– –1
2
1
2
2 2
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
Sí es circunferencia (ecuación canónica).
d. 2 211
4
1
2
211
3
2 2
x y – –+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
No es circunferencia (no hay radio negativo).
9. x y– 2 4 42 2( ) + +( ) =
10. x y– –2 1 92( ) + ( ) =
12. Ecuación circunferencia: x y –+( ) +( ) =1 12 9
5
13. Ecuación: x y –+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=1
2
1
2
29
2
2 2
14. Reemplazándolos en la ecuación de la circunferencia.
15. b. y x–= +4
3
28
3 Punto intersección
x = 121
25
Ecuación circunferencia: x y– 12 2 576
25( ) + =
c. 11
22,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Punto medio BC .
y x –= 3
4
17
8 Mediatriz BC .
Ecuación circunferencia: x y– –42
27
8
625
64( ) +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
17. Centro: 2 3,( ) Radio: 5
18. x y –+( ) + ( ) =2 5 02 2
No es circunferencia.
Tema 6
2. x y– –4 12 22( ) = ( ) : Ecuación canónica.
x x y2 8 12 40 0– – + = : Ecuación general.
3. y x– –+( ) = ( )1 8 22 : Ecuación canónica.
y y x2 2 8 15 0–+ + = : Ecuación general.
4. a. Vértice: 0 0,( ) Foco: 2 0,( ) Ec. directriz: x –= 2
b. Vértice: 0 0,( ) Foco: 0 2, –( ) Directriz: y = 2
c. Vértice: 0 0,( ) Foco: 0 3,( ) Directriz: y –= 3
d. y x– 2 4 12( ) = +( )
5. x y– 4 82( ) = : Ecuación canónica.
x x y2 8 8 16 0– – + = : Ecuación general.
6. a. No. x y2 2 4 0–+ = Es una circunferencia. b. y x2 1 0– – = . Es parábola. c. x y2 1 0– – = . Es parábola.
8. a. y x2 4 2– –= ( ) Vértice: 2 0,( ) Eje simetría: y = 0
Foco: 1 0,( ) Directriz: x = 3
Lado recto: 4. b. p = 2
Vértice: – ,2 3( ) Eje simetría: y = 3
Foco: – ,4 3( ) Directriz: x = 0
Lado recto: 8.
c. p = 1
2 Vértice: – , –4 3( ) Eje simetría: x –= 4
Foco: – , –45
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: y –= 7
2 Lado recto: 2.
d. x y2 81
2= +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: – – –1
2
5
22 =
Foco: –1
2
3
22+ =
Vértice: 01
2, –
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Eje simetría: x = 0
Foco: 03
2,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
64
Directriz: y –= 5
2 Lado recto: 8
e. x y– 2 22 8
3( ) = +( )
2
3= p
Vértice: 2 2, –( ) Eje simetría: x = 2
Foco: 24
3, –
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: y –= 8
3
Lado recto: 8
3
f. y x–5
2
2
12 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= +( ) Vértice: – ,2
5
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Eje simetría: y = 5
2
Foco: 15
2,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: x –= 5
Lado recto: 12.10. t = 2 seg
11. Ax By Cx Dy E2 2 0+ + + + =
12. Si A = 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0
yCx E
B
– –=
b. Si A = 0 , B ≠ 0 , D ≠ 0
13. x y– –5
2
2
6 3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ( ) p = 3
2
Foco: 5
2
3
23, +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
,5
2
9
2
Directriz: 33
2
3
2– =
Vértice: 5
23,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Foco: 5
2
9
2,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Longitud lado recto: 4 4 63
2p =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
Tema 7
3. y x2 2
64 161+ = Ecuación canónica
16 64 1 0242 2y x+ = Ecuación general
4. 4
81 4
2 2
1x y+ = Ecuación canónica
16 81 3242 2x y+ = Ecuación general5. Vértices: ±( )5 0,
Focos: ±( )21 0,
6. Vértices: 0 5, ±( ) Focos: 0 3, ±( )
7. x y –+( )
+( )
=1
9
2
4
2 2
1
Centro elipse: – ,1 2( ) Coordenada vértices: – ,4 2( ) , 2 2,( ) Coordenada de los focos: – – ,1 5 2( ) , – ,1 5 2+( ) Distancia entre vértices: 6
Distancia entre los focos: 2 5
c = ± 5
9. a. Vértices: ±( )3 0,
Focos: ±( )5 0,
Longitud eje mayor: 6 Longitud eje menor: 4
c = ± 5
b. Vértices: 0 5, ±( ) Focos: 0 3, ±( ) Longitud eje mayor: 10 Longitud eje menor: 8 c = ±3
c. Vértices: 0 3, ±( ) Focos: 0 5, ±( ) Longitud eje mayor: 6 Longitud eje menor: 4
c = 5
d. Vértices: 0 4, ±( ) Focos: 0 12, ±( ) Longitud eje mayor: 8 Longitud eje menor: 4
c = ± 12
10. x y2 2
7 161+ =
11. x y2 2
45 491+ =
± =45 a
12. a. x y– –3
16
5
25
2 2
1( )
+( )
=
65
b. x y2 2
41 161+ =
d. x y22
36
3
201
–+
( )=
13. x y2 2
9 51+ =
14. a. x y– –5
4
1
9
2 2
1( )
+( )
=
b. Lado recto: 2 2b
a Lado recto: 6 c. Lado recto: 4
15. b. x y22
4
1
91
–+
( )=
Centro: 0 1,( ) Vértices: 0 4,( ) , 0 2, –( ) Focos: 0 1 5, +( ) , 0 1 5, –( ) Longitud eje mayor: 6 Longitud eje menor: 4
d. x
y– 2
9
2
2 1( )
+ =
Centro: 2 0,( ) Vértices: – ,1 0( ) , 5 0,( ) Focos: 2 8 0– ,( ) , 2 8 0,+( ) Longitud eje mayor: 6 Longitud eje menor: 2
Excentricidad: 8
3
e. x y– –
1
5
9
2
3
25
2 2
1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
Centro: 1
5
2
3,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Vértices: 1
5
17
3,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
, 1
5
13
3, –
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Focos: 1
5
14
3,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
, 1
5
10
3, –
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Longitud eje mayor: 10 Longitud eje menor: 6
f. x
y–
–1
4
2
22 1
( )+ ( ) =
Centro: 1 2,( ) Vértices: – ,1 2( ) , 3 2,( ) Focos: 1 3 2– ,( ) , 1 3 2,+( ) Longitud eje mayor: 4 Longitud eje menor: 2
Tema 8
3. x y–
––2
9
2
1
2 2
1( ) ( )
=
5. x x
––+( ) ( )
=2
9
3
9
4
2 2
1
6. a. x y2 2
3 71– =
Centro: 0 0,( ) Vértices: ±( )3 0,
Focos: ±( )10 0,
Ecuación asíntotas: y x= ± 7
3 c = ± 10
b. x y
–+( ) +( )
=1
81
3
9
2 2
1
Centro: – , –1 3( ) Vértices: – , –10 3( ) , 8 3, –( ) Focos: – – , –1 90 3( ) , – , –1 90 3+( ) Ecuación asíntotas: y x– –= 3
9
10
3 c = ± 90
7. x y2 2
16 201– =
Focos: ±( )6 0,
8. y x2 2
9 161– =
11. Intersección
x y–= ± 16 2
y = ± 4
Intersecciones: 0 4, ±( ) x
y22
51+ =
y x= +2 3
Intersección
12
5
3
2–
–y y=
y = 5
3
Punto de intersección: – ,2
3
5
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
–2
3= x
12. a. y x2 2
36 3241– =
66
b. y x2 2
9 161– =
c. y x2 2
576 1001– =
13. y x
––+( ) ( )
=5
4
3
5
2 2
1
e = 3
2
y x – –= ± ( )2
53 5
14. a. Centro: 2 1,( ) Vértices: 2 1
1
2– ,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
, 2 11
2,+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Focos: – ,1
21
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
, 9
21,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Ecuación asíntotas: y x –= 2 3 , y x–= +2 5
Longitud eje transversal: 2
Longitud eje conjugado: 2 2
b. Centro: 3 4, –( ) Vértices: 3 1,( ) , 3 9, –( ) Focos: 3 4 29, – –( ) , 3 4 29, – +( ) Ecuación asíntotas: y x –= 5
2
23
2
y x–= +5
2
7
2 Longitud eje transversal: 10 Longitud eje conjugado: 4 c. Centro: – ,4 2( ) Vértices: – ,4 0( ) , – ,4 4( ) Focos: – ,4 2 13+( ) , – , –4 2 13( ) Ecuación asíntotas: y x= +2
3
14
3
y x– –= 2
3
2
3 Longitud eje transversal: 4 Longitud eje conjugado: 6 d. Centro: – ,2 3( ) Vértices: – ,3 3( ) , – ,1 3( ) Focos: – – ,2 10 3( ) , – ,2 10 3+( ) Ecuación asíntotas: y x= +3 9
y x– –= 3 3
Longitud eje transversal: 2 Longitud eje conjugado: 6
Evaluación por competencias
1. a. y x= + 4
b. y x–= +5
22
c. y x–= 2
d. y x –= 12
7
25
7 e. y = 3
f. y x–= +1
10
1
22. a. y x= +2 1
b. y x= +5
24
c. y x= 5
3 d. y –= 2
e. y x–= 3
f. y x–= +9
8
15
4 g. y x–= +4 3
3. a. y x –= 3
4
3
4
y x–= +4
3
28
3
b. x y– 12 2 576
25( ) + =
4. a. Longitud lado recto: 4 4 1 4p –= ( ) =
Vértice: 2 0,( ) Eje simetría: y = 0
Foco: 1 0,( ) Directriz: x = 3
b. Longitud lado recto: 8
3 Vértice: 2 2, –( ) Eje simetría: x = 2
Foco: 24
3, –
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: y –= 8
3
c. Vértice: 01
2, –
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: –5
2
Foco: 03
2,
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Eje simetría: x = 0
Longitud lado recto: 8
67
d. Longitud lado recto: 2 Vértice: – ,4 5( ) Eje simetría: x –= 4
Coordenadas del foco: – ,411
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: y = 9
2 e. Longitud lado recto: 8 Vértice: – ,2 3( ) Directriz: x = 0
Foco: – ,4 3( ) Eje simetría: y = 3
f. Longitud lado recto: 4 4 3 12p = ( ) =
Vértice: – ,125
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Eje simetría: y = 5
2
Foco: – ,95
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Directriz: x –= 15
5. y x2 2
49 91+ =
6. a. y x– –5
25
3
16
2 2
1( )
+( )
=
b. x y2 2
41 161+ =
d. x y22
36
3
201+
( )=
–
8. b. Vértices: 0 2, ±( ) Focos: 0 13, ±( ) Longitud eje transversal: 4 Longitud eje conjugado: 6
e = 13
2 c. Vértices: ±( )2 0,
Focos: ±( )13 0,
Longitud eje transversal: 4 Longitud eje conjugado: 6
e = 13
2 d. Vértices: 0 4, ±( ) Focos: 0 5, ±( ) Longitud eje transversal: 8 Longitud eje conjugado: 6
e = 5
4
686868
De las pruebas Saber al aula
Una Estrategia para el mejoramiento cualitativo de la educación
69
Diagnóstico
Desde el punto de vista de la construcción de pen-samiento matemático, se espera que en los grados su-periores de la educación media sea visible una estruc-turación del conocimiento matemático que le permita al estudiante usar su saber en diferentes contextos de aplicación o de ampliación de su conceptualización.
Las evaluaciones de nivel nacional han mostrado que los estudiantes son capaces de enfrentarse a situa-ciones rutinarias, en las que las condiciones para su resolución están explícitas en el enunciado, sin em-bargo, cuando las condiciones en las que puede ser usado un concepto o una forma de proceder en ma-temáticas no está expresado en situaciones rutinarias sino novedosas, los resultados no son los mejores.
Bajo esta perspectiva, hay un reconocimiento de la necesidad de establecer conexiones y generar co-rrespondencia entre las evaluaciones y los procesos de formación. Esta intención se ve refl ejada en las difi cul-tades manifestadas en los resultados de la evaluación, en los conceptos y procesos que están vinculados con los tópicos evaluados y en cómo; al poner en relación estas dos dimensiones, es plausible generar estrategias que apunten a cualifi car los procesos de aula que se están desarrollando.
En este marco, se han esbozado algunas proble-máticas que, bien sea desde la evaluación o desde el reconocimiento de las difi cultades asociadas con la formación (enseñanza o aprendizaje), propician un escenario de refl exión educativa en el campo de las matemáticas escolares. Si bien se desarrollan algunos conceptos y procesos relacionados con esas problemá-ticas, es evidente que el presente texto no pretende suplir el proceso de formación permanente y conti-nuo, que cada vez se va complejizando y jerarquizan-do más para consolidar pensamiento matemático du-rante el proceso de formación a nivel de la educación básica y media.
Las problemáticas que se proponen en este aparta-do son las siguientes:
* establecimiento de relaciones numéricas en diver-sos contextos y entre diversos conjuntos numéricos.
* paso de razones a funciones trigonométricas, mode-lación o aplicación de funciones y manejo algebraico de las relaciones trigonométricas.
* conceptualización de función en los reales (función real).
* identifi cación de las características y propiedades de formas geométricas – cónicas para la resolución de problemas en diferentes contextos.
* conceptualización y uso de los conceptos de área y volumen en un contexto de variabilidad, que se expli-cita en problemas de razón de cambio y optimización.
* análisis de medidas de tendencia central y de la probabilidad en situaciones que buscan un análisis o proyección de eventos en diversos contextos de aplicación.
Lo anterior apunta a una elaboración de los aspec-tos transversales que se defi nen desde los estándares básicos de calidad como aquellos procesos que deben estar presentes en la actividad matemática escolar, y que, en correspondencia directa con los énfasis de cada pensamiento (aleatorio, variacional, métrico, es-pacial, numérico), promuevan una visión estructura-dora y totalizadora de las matemáticas. Especialmente, se pretende hacer énfasis en estrategias que marquen construcción de signifi cado a partir del reconocimien-to que se hace de los conceptos y procesos que están asociados a determinadas problemáticas.
70
Es evidente que en los grados 10 y 11 se espera del estu-diante una comprensión global del conocimiento matemático, expresado en estructuras complejas que requieren y usan con-ceptos y relaciones que ya han sido construidos. Igualmente, se hace necesario el uso de notación y simbología para expresar y modelar las relaciones, propiedades, elementos en cada tópico presentado.
Aunque permanecen procesos que se han trabajado desde la primaria, ya en estos grados las exigencias en cuanto a los razonamientos y formas de represen-tación están en concordancia con con-ceptos que se han profundizado, amplia-do y complejizado.
Problemática 1
Difi cultad para el establecimiento de relaciones numéricas en diversos contextos y entre diversos conjuntos numéricos.
Descripción de la problemática
Para escoger la problemática, un referente esencial es el informe de resultados de las pruebas de examen de estado que se aplican a estudiantes de último gra-do de educación media a nivel nacional. De acuerdo con estos resultados, se ha encontrado que uno de los grupos de preguntas en los que los estudiantes han mostrado mayores debilidades ha sido conteo, eje en el que se trabaja principalmente el uso del número en la resolución de problemas en diferentes contextos.
Las explicaciones a este hecho han sido en parte, justifi cadas desde las características de los problemas: las situaciones propuestas en la prueba involucran re-laciones y operaciones entre números, que requieren una lectura no directa de la información, establecer relaciones numéricas espaciales, relaciones numéricas en el tiempo (secuencias temporales) o relaciones nu-méricas multiplicativas. Es de aclarar que en las prue-bas nacionales para la educación media se exige el uso de diferentes conjuntos y sistemas numéricos.
Es también pertinente referirse a la importancia de trabajar dentro de las exigencias de la propuesta de evaluación por competencias respecto al enfoque de resolución de problemas y atendiendo a acciones de tipo interpretativo, argumentativo y propositivo.
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
Para abordar la problemática propuesta, es perti-nente atender a aspectos relacionados con:
Conjunto numérico. Se consideran, entre los tra-bajados en la escuela, los números naturales, los ente-ros, los racionales, los irracionales y los reales.
Sistemas numéricos. Son entendidos como conjun-tos de números con unas operaciones y unas relacio-nes defi nidas sobre ellos. En el caso de la enseñanza de la educación básica y media, se trabajan los conjuntos numéricos anteriormente nombrados, con la adición, sustracción (que corresponden a la estructura aditiva), la multiplicación, la división (que corresponden a la estructura multiplicativa) y las relaciones usuales de orden: mayor que, menor que, igual a.
Es importante tener en cuenta que la problemática tiene un foco central y es el trabajar en torno al esta-blecimiento de relaciones entre los números en dis-tintos conjuntos numéricos, es decir, que el trabajo se hará en los sistemas numéricos y sus interrelaciones.
De esta manera, se consideran conceptos funda-mentales como:
• concepto de número en los diferentes conjuntos numéricos. Diversas interpretaciones, diferentes representaciones posibles y uso de los números.
71
• operaciones y relaciones de orden (y de equivalen-cia) entre números de un mismo conjunto numérico y de diferentes conjuntos numéricos.
• trabajo con fracciones desde diversas interpretacio-nes y en contextos continuos y discretos.
• desarrollo de la noción de densidad que involucra trabajo con los racionales.
Estrategias
Una vez expuestas las ideas generales y los énfasis que se notan como prioritarios, es pertinente expo-ner acciones que guían las actividades. Estas accio-nes pueden ser abordadas a lo largo de los talleres en diversas tareas, unas de ellas conducen a las otras o algunas pueden trabajarse simultáneamente. Las ac-ciones son:
• reforzar las intuiciones de los estudiantes sobre or-den y magnitud por medio de situaciones en las que se les involucre activamente y en las que se abra la posibilidad de exponer sus ideas a otros.
• reconocer la historia como fuente valiosa para la construcción de conocimiento del individuo.
• abordar diferentes interpretaciones de la fracción y usar contextos continuos y discretos priorizando el establecimiento de relaciones de equivalencia y orden entre fracciones, así como establecer compa-raciones entre racionales y enteros.
• manejar diversas formas para presentar información y mostrar relaciones entre datos: uso de la recta nu-mérica, plano cartesiano, tablas, gráfi cos estadísti-cos, etc. establecer conjeturas y argumentos que las sustenten.
• abordar las estructuras numéricas en sus diferentes formas de representación.
• identifi car características globales de los sistemas numéricos e identifi car semejanzas y diferencias en-tre sistemas numéricos, propiedades que se conser-
van y que se pierden en el tránsito de un sistema a otro, por ejemplo: ¿cuáles son las propiedades que se mantienen cuando se pasa de los naturales a los enteros, por ejemplo?
• proponer situaciones en las que no se haga uso de palabras clave o en las que la palabra clave usada no pueda interpretarse como usualmente se hace (ganar para sumar, lo que le falta para restar, etc.). En concordancia con esto, es pertinente que en el aula se realicen trabajos en los que se posibilite en-fatizar en la estructura de la situación y no en los términos empleados.
• trabajar relaciones numéricas en diversos contextos, de tal forma que se posibilite apreciar los diferentes sentidos que tiene su establecimiento. Por ejemplo, para presentar relaciones de tiempo de tamaño, de temperatura, etc.
• reconocer la densidad de los números racionales y su no completitud en la recta numérica.
Respecto al trabajo en acciones de competencia in-terpretativa, argumentativa y propositiva, conviene te-ner en cuenta que, dadas las difi cultades manifestadas en los resultados nacionales, es preciso enfatizar en:
• uso de situaciones en las que el estudiante deba buscar información no explícita, es decir, aquellas en las que la información que está a “primera mano” no es sufi ciente para abordar la tarea.
• empleo de situaciones que exijan al estudiante la construcción de argumentos, especialmente en si-tuaciones hipotéticas. Es frecuente encontrar casos en los que el estudiante generaliza sin construir ni verifi car la pertinencia de los argumentos.
72
Problemática 2
Paso de razones a funciones trigonométricas, modelación o aplicación de funcio-nes y manejo algebraico de las relaciones trigonométricas.
Descripción de la problemática
En el proceso de desarrollo del pensamiento varia-cional la etapa que se ve en los grados 10º y 11º trata la variación en el contexto de los números reales here-dando de estos la continuidad, densidad e infi nitud de los mismos y desde el contexto geométrico adquiere la relación de proporcionalidad y relación diferencial del cambio, aparte de ser este el contexto que contri-buye a la representación de conceptos como gráfi cas de las curvas y sus derivadas, integrales y relaciones de cambio instantáneo.
Desde la anterior perspectiva para contribuir a la enseñanza y aprendizaje de los conceptos articuladores del pensamiento variacional, se defi nen los siguientes aspectos que pretenden caracterizar las problemáticas o difi cultades detectadas desde la evaluación censal y que, a través del ciclo escolar, se han vuelto repetiti-vas: conocimiento (procedimentales y conceptual) y situaciones problema.
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
Siendo minuciosos en los preconceptos, se preten-de hacer análisis desde dos perspectivas que enfatizan algunas de sus características: la algebraica y sistémica y la de signifi cación o sentido. En consonancia con lo anterior, se plantean los siguientes conceptos y proce-sos que se ponen en juego en esta problemática:
* Manejo desde álgebra de todos sus desarrollos al-gorítmicos, expresiones racionales y factorización.
* Interpretación desde la Identifi cación en diversos contextos de la variable en el trabajo con funciones trigonométricas.
* Reconocimiento y caracterización de las clases de triángulos. (Desde los ángulos: rectángulos, acu-tángulo, obtusángulo y desde sus lados (isósceles, equilátero, escaleno)
* Identifi cación de características y relaciones propias de las partes constitutivas del triángulo: “la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º”, “las alturas de un triángulo son tres”, “La suma de dos lados del triángulo es mayor que su tercer lado”.
* Diferenciación por atributos y usos de conceptos como: Área y perímetro de los polinomios regulares, círculo sus líneas y el Teorema de Pitágoras.
* Desarrollo de las relaciones desde el contexto geomé-trico de semejanzas y congruencia entre triángulos: lado–lado-lado, ángulo lado ángulo, lado ángulo lado y razones proporcionales entre los lados.
Estrategias
En esta parte del proceso del desarrollo de pen-samiento variacional, la variable explora valores que relacionan los ángulos en proporcionalidad con las longitudes de arco (radianes), cambiando el dominio en grados a su igual en los números reales (radianes). Esto, en abstracto, sólo deja la idea de un cambio o trasformación de valores pero realmente es un cam-bio de espacios de R2 a R1, del plano a la recta real, esto permite que la variable siendo real asuma todos las propiedades de la misma, tales como: las expre-siones algebraicas, la representación de ecuaciones y solución de las mismas y el análisis funcional. Según lo anterior, se sugiere como estrategia desarrollar los siguientes aspectos:
73
* Demostrar, en una relación numérica, que las fun-ciones trigonométricas tienen un dominio de varia-ción que se deriva de representar la longitud circular desde R2 a la representación real en radianes en R1. Para lo anterior se sugiere una actividad de manipu-lación y de medición directa y lo más precisa posible; utilizando un alambre que representaría la circunfe-rencia de radio uno y longitud de circunferencia 2? (Rad.), sobre el alambre se señalaran los respectivos arcos derivados de los ángulos más comunes (30º, 45º, 90º,...) de tal manera que, al desdoblar la cir-cunferencia, se verán como una medida en la recta. Esto, en un dibujo, puede signifi car al estudiante, pero la manipulación y verifi cación visual contribuye a la credibilidad de este hecho matemático.
* Los problemas algebraicos en la verifi cación de iden-tidades y resolución de ecuaciones se heredan de años anteriores. Si el estudiante no realiza correcta-mente la suma de expresiones racionales, tampoco sumará correctamente expresiones trigonométricas racionales. Así es recomendable revisar el álgebra
Problemática 3
Se presenta difi cultad en la conceptualización de función en los reales (función real).
de 8º especialmente, para progresar en el despeje de ecuaciones trigonométricas y la verifi cación de identidades trigonométricas.
* Al verifi car las identidades suelen realizar la verifi -cación en una sola dirección, partir de la expresión de la izquierda y, por medio del álgebra, llegar a una expresión de la derecha, también realizar el proceso inverso contribuye a consolidar la verifi cación de la igualdad y los ejercicios de este tipo se aprovechan más, pues los métodos suelen ser diferentes, aunque se deba llegar a que las expresiones son iguales.
* Para modelar las funciones trigonométricas es im-portante, recrear la función desde cualquiera de los hechos físicos, podrían inicialmente trabajar las on-das (sonoras, visuales,...), haciendo especialmente énfasis en la representación gráfi ca y el signifi cado del cambio de amplitud, frecuencia, desplazamiento o período de la función en el contexto, por ejemplo: El sonido de la frecuencia de un programa radial al observar su gráfi ca senoidial sufre alteraciones en su amplitud. ¿Qué hecho provoca esta alteración?, si el locutor no dice nada, ¿qué sucede con la gráfi ca?
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
* Interpretación de lenguajes: tabular, gráfi co, común, simbólico. Esto incluye: traducciones entre lengua-jes, interpretación e identifi cación de los registros propios de cada lenguaje.
* Planteamiento y resolución de ecuaciones con varia-bles en el sistema de números reales.
* Aplicación de las medidas del sistema internacional de medidas, medidas especiales y medición de otras magnitudes como las relacionales: fuerza, veloci-dad y electricidad.
* Reconocimiento de las funciones básicas (polinómi-cas) desde el contexto tabular, gráfi co y simbólico.
* Modelización desde situaciones reales de las fun-ciones reales (lineales, exponencial, logarítmica, a trozos, valor absoluto...).
* Movimientos y características de forma de funcio-nes reales, desplazamientos ( simetría, traslación y rotación sobre los ejes).
74
* Análisis de situaciones estadísticas donde se repre-sente covarianzas o índices desde la interpretación de la variable aleatoria.
* Generalización de series e identifi cación de patro-nes. Búsqueda de términos enésimos. Estudio de la serie como función con dominio en los naturales.
Estrategias
En esta etapa del proceso, el desarrollo de pensa-miento variacional debe madurar a la búsqueda de la variable como cambio, como relación de cambio ya que este concepto contribuye a iniciar la máxima apli-cación de la variable, el cálculo infi nitesimal, el cual busca contribuir a la solución de problemas de la cien-cia y la tecnología.
Es precisamente, a partir de lo ya consolidado en años anteriores, con la búsqueda de patrones o gene-ralizaciones, las características de los sistemas numéri-cos, las modelaciones dadas a través de la traducción, las representaciones de relaciones funcionales y los diferentes sentidos de la razón proporcional, que se inicia el camino de la infi nitud y densidad de la varia-ble como cambio instantáneo.
En consonancia con lo anterior, se proponen a continuación algunas estrategias que posibilitarán un trabajo articulado con estos conceptos:
* Inicialmente consolidar con ejemplos claros de re-laciones defi nidas entre variables el concepto de función, tratando en la medida de lo posible que la defi nición de función sea deducida de los ejemplos de relaciones dados anteriormente. Llegar a que la función relaciona elementos de conjuntos y que a
cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del rango, es algo que podría ser deducido desde la interpretación de relaciones fun-cionales.
* El peso de una afi rmación como lo es, la defi nición formal de función lleva a entrar de una manera for-zada y sin mayores explicaciones al concepto de función. Varios son los ejemplos que pueden ser uti-lizados en este caso, por ejemplo: Las relaciones de fi delidad de las mujeres y la infi delidad de los hom-bres, si el dominio son los hombres y el rango las mujeres se entendería que a cada hombre le corres-ponde una mujer, pero como la relación es de infi de-lidad masculina el hombre puede tener dos mujeres diferentes, la mujer no. Tal vez no es el caso que lleva a explicar la variación pero defi ne la relación funcional necesaria para que se hable de función y no de una simple relación.
* Iniciar en las situaciones de cambio es necesario pero, para ello, el manejo que de la función tenga el estudiante es clave. La correspondencia es un concepto inicial a aclarar en el concepto de función y la dependencia en el caso anterior las mujeres de-penden de los hombres para que exista la relación. ¿Quién depende de quién? Eso es lo importante a identifi car y defi nir en una función.
Ver la mayor cantidad funciones no es lo impor-tante; lo importante es el análisis en los diferentes contextos de cada una: Una situación de la ganancia en ventas de un producto da para analizarla en todos los lenguajes, y este análisis no es el matemático, sino es el que se procura que se den conclusiones reales desde la situación misma.
Problemática 4
Se presenta difi cultad en la identifi cación de las características y propiedades de formas geométricas–cónicas para la resolución de problemas en diferentes contextos.
75
Descripción de la problemática
En estos grados se han identifi cado problemáticas en relación con solución de situaciones o contextos en los que tenga que usar las propiedades y característi-cas de fi guras geométricas para establecer conjeturas y argumentar sobre relaciones geométricas presentes en contextos de otras ciencias o de la vida cotidiana.
El desarrollo del pensamiento espacial supone que se hayan desarrollado habilidades y destrezas que per-mitan el uso con sentido de propiedades y caracterís-ticas de formas geométricas que refl ejen comprensión de los conceptos involucrados a partir de su reconoci-miento en diferentes contextos. En los estándares bá-sicos se enfatiza en el uso comprensivo de conceptos que aseguren un desarrollo apropiado del pensamien-to espacial.
Específi camente el tratamiento de las cónicas como lugares geométricos introduce una formalización que debe haber sido desplegada a través del proceso de formación escolar. De allí que, por la complejidad que implica su interpretación el análisis de las situaciones en las que se usen estos conceptos algo que se suma a la comprensión de las relaciones, conceptos y elemen-tos asociados a las cónicas. El lenguaje que se utiliza en las descripciones o razonamientos sobre lo que su-cede a propósito de los lugares geométricos debe ser un elemento central de refl exión pedagógica para que no se enfatice solamente en la rigurosidad sintáctica, sino que, efectivamente, se incorpore un proceso de signifi cación.
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
En el estudio de los lugares geométricos enfoca-dos en el espacio escolar, es necesario reconocer las nociones e intuiciones sobre los elementos que los confi guran.
* las conexiones que los estudiantes establecen entre la realidad y conceptos (nociones) como elipse, hi-pérbola o parábola.
* La generación de superfi cies a partir de curvas en la proyección del plano al espacio.
* La identifi cación de secciones o proyecciones cuan-do se pasa del espacio al plano.
* El acercamiento a las cónicas exige el uso de cono-cimiento matemático en relación con las relaciones pitagóricas, las propiedades y características de ob-jetos (circunferencia, cono, cilindro).
* El uso de coordenadas y de ecuaciones como proce-dimientos que permiten resolver problemas en los que se involucren las cónicas.
De otra parte, en necesario enfatizar en algunos procesos que se hacen visibles en el abordaje de este tópico, como:
* Análisis de características y propiedades de fi gures geométricas de dos y tres dimensiones.
* Desarrollo de argumentos matemáticos usando es-tas propiedades y relaciones.
* Explorar relaciones entre objetos geométricos dados.
* Describir y representar usando diferentes sistemas de acuerdo con la naturaleza de los datos analizados.
Es fundamental reconocer que en esta etapa aún se mantienen los procesos de visualización, razona-miento y representación, expresados en acciones como el reconocimiento de formas y la posibilidad de establecer comparaciones entre ellas, a partir de sus características, por ejemplo, reconocer que los óvalos son fi guras que se aproximan a una elipse, por su for-ma, pero constituyen objetos geométricos distintos. Igualmente, reconocer que al seccionar una superfi cie cónica mediante planos, se obtienen distintas fi guras.
76
Estrategias
En los grados 10 y 11, se espera que el estudiante sea capaz de desarrollar estrategias que le permitan conjeturar, justifi car o argumentar sobre objetos en el espacio, sus movimientos y transformaciones, así como sobre los “objetos“ resultantes. Para ello puede acudir a razonamientos deductivos informales o for-males que evidencien su compresión de estos concep-tos, relaciones u operaciones.
* Es necesario introducir actividades en las que se reco-nozcan cómo distintos objetos de la realidad pueden ser modelados con diferentes formas geométricas. Aunque hay algunas formas geométricas comunes de encontrar en la vida cotidiana, por ejemplo, la cir-cunferencia, en objetos como platos, recipientes, es necesario reconocer que, miradas desde cierta pers-pectiva, ya no serían circunferencias propiamente, sino elipses. El uso de objetos cotidianos como lám-paras de luz pueden generar formas en la pared de una habitación que se asimilan a hipérbolas o pará-bolas, según se cambie la inclinación del eje.
* Es importante defi nir claramente fases de explo-ración en las que se enfatice la aproximación y la estimación como estrategias que permitan un acer-camiento a la obtención de secciones o cortes de una cónica.
* Dado que el trabajo con las cónicas exige conexio-nes matemáticas, como por ejemplo, identifi car cri-terios que permitan generar o descubrir defi niciones (simetrías, focos, longitudes, distancias, vectores), es necesario que se den herramientas que permiten usar dichos criterios. Se hace entonces evidente y necesario un manejo algebraico, funcional y proyec-tivo en el análisis de las cónicas.
* Proponer diversas formas de representación en el análisis de las cónicas: Es relevante que se analicen las estrategias más pertinentes para grafi car un óva-lo y distinguirlo de una elipse, marcando sus focos, o la representación más precisa de la trayectoria de un proyectil. No sobra mencionar que estas formas de representación pasan por el plano fi gural, carte-siano y simbólico.
* Establecer conexiones de estas formas con situa-ciones de arte, arquitectura, ciencias (física, as-tronomía, etc.): Los conceptos esbozados en este apartado están ligados a desarrollos en astronomía, arte y arquitectura, entre otras disciplinas, y sería relevante mostrar a los estudiantes, a través del es-tudio de la historia, cómo las producciones en estas artes y ciencias conllevan el uso de los conceptos y procedimientos matemáticos.
Problemática 5
Una de las problemáticas más relevantes en educación media es la conceptualización y uso de los conceptos de área y volumen en un contexto de variabilidad, que se explicita en proble-mas de razón de cambio y optimización.
Descripción de la problemática
Los sistemas métricos no sólo están cerca de la química y de la física, sino también de la biología y de todas las ciencias sociales y de otras áreas curriculares. Tenemos que aprender a desarrollar el pensamiento
métrico y a manejar muy bien los sistemas métricos, no sólo en física y química, sino también en biología, historia, geografía, economía, educación estética y tecnología.
77
Las mediciones deben ir mucho más allá de las medidas de magnitudes, como las longitudes de las lí-neas, las áreas y los volúmenes de las fi guras geométri-cas, para pasar a las magnitudes más complejas como la velocidad de un vehículo en un instante determi-nado, la aceleración, la densidad de un cuerpo sólido o la efi ciencia de un motor, que pueden desarrollar-se directamente por el ejercicio de un pensamiento métrico refi nado, o representarse como razones entre magnitudes.
Aun en los últimos grados, algunos estudiantes no han logrado la comprensión de algunas magnitudes ni la conversión y la relación existente entre ellas o entre las unidades de medida. De igual forma, no realizan una conexión signifi cativa entre el sistema analítico (algebraico) y el sistema de medición. Esto puede evi-denciarse cuando algunos estudiantes son capaces de encontrar máximos y mínimos de funciones reales pero, al contextualizar esto y emplearlo en un sis-tema métrico-geométrico, se presentan los tropiezos. De igual manera, la conexión de las matemáticas con otras ciencias aún más cercanas a la realidad genera en algunos estudiantes desequilibrio en sus estructu-ras cognoscitivas.
Lo anterior se evidencia al realizar preguntas tales como: ¿A qué ritmo crece el área? ¿Cuáles deben ser las dimensiones para obtener un área lateral máxima o mínima? Encontrar las dimensio-nes del sólido del tal forma que su volumen sea el máximo. Determine el volumen de agua que sale del agujero por minuto, etc.
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
Para abordar la problemática propuesta, es perti-nente atender a aspectos relacionados con:
* La comprensión y uso en contexto de variabilidad de las diferentes unidades métricas como: unidades de longitud, unidades de superfi cie, unidades de volu-men, unidades de capacidad.
* La apreciación del rango de las magnitudes y la se-lección de unidades, tal como lo plantean los linea-mientos curriculares del MEN.
* El concepto, sentido y signifi cado de variable y la identifi cación de la misma en funciones métricas.
* El proceso de comparación puede verse refl ejado al establecer relaciones entre unidades de medida de una misma magnitud (Múltiplos y submúltiplos) y relaciones directa o inversas entre dos magnitu-des, para poder expresar una magnitud en términos de la otra.
* Manejo y uso de procesos de área, perímetro, volu-men de sólidos y longitudes de arco.
* La transferencia y simplifi cación de expresiones (fórmulas) que permiten calcular magnitudes.
* La comprensión del concepto de derivada como ra-zón de cambio.
* La aplicación: este proceso es relevante ya que es necesario extrapolar los conocimientos relacionán-dolos de forma interdisciplinaria como se expone en la problemática.
* El planteamiento de magnitudes en forma funcional identifi cando variables dependientes e indepen-dientes.
Estrategias
* La deducción y uso de fórmulas que permitan encon-trar fácilmente el volumen y el área de superfi cie de sólidos, de acuerdo con lo planteado en los estánda-res curriculares.
* Proponer situaciones que permitan establecer rela-ciones entre las unidades de una misma magnitud, la variación entre magnitudes y la identifi cación de variables.
* A partir de talleres experimentales establecer la razón de cambio entre magnitudes o entre los ele-mentos necesarios para establecer una magnitud, identifi cando, de acuerdo con el contexto, los que son variables; por ejemplo, al construir un envase cilíndrico de capacidad constante (1dm) de tal for-ma que la cantidad de material sea mínima: ¿cuáles son las dimensiones que debe tener el envase?; la construcción de cajas a partir de materiales rectan-gulares, cuyo volumen sea máximo.
78
* Plantear diversas situaciones problema en variados contextos cuya estructura propicie el planteamiento de magnitudes en forma funcional identifi cando va-riables dependientes e independientes.
* Hacer explícita la conexión entre el proceso para en-contrar máximos y mínimos de funciones reales y el planteamiento de las funciones de medición.
* Emplear las razones de cambio en problemas de op-timización.
* Retomar los conceptos de velocidad, área, perí-metro, volumen de sólidos y longitudes de arco en
situaciones problema que requieran plantear expre-siones matemáticas en términos de ecuaciones.
* Aplicar las magnitudes de fuerza, velocidad y electri-cidad estableciendo relaciones entre sus unidades.
* A partir de la resolución de problemas en contexto y talleres experimentales, crear modelos matemáti-cos genéricos de variabilidad que permitan realizar procesos de medición.
* Plantear y proponer espacios para la creatividad de situaciones que permitan emplear los modelos de medición en procesos de optimización.
Problemática 6
Los estudiantes presentan difi cultades en el análisis de medidas de tendencia cen-tral y de la probabilidad en situaciones que buscan un análisis o proyección de even-tos en diversos contextos de aplicación.
Descripción de la problemática
En general, la problemática tiene una razón de ser en la inmadurez mental general de los estudiantes. Esto es, llegar a la educación media con bases cuanti-tativas formales o con un conocimiento de los cálculos de fórmulas que, para el estudiante, no tiene mayor ciencia. Esta etapa en la que se quedan los estudiantes no les permite, desde ningún punto de vista, forma-lizar el aprendizaje de ninguno de los conceptos de los procesos estocásticos necesarios para el desarrollo del razonamiento combinatorio, el pensamiento es-tadístico y el razonamiento probabilístico. Es en este momento del ciclo escolar cuando se busca que el es-tudiante con conocimiento y desarrollo de pensamien-to estadístico, llegue al análisis, la argumentación y la proyección de sucesos que, necesariamente, llevan a probar el avance en cuanto a los conceptos, ideas y he-chos que ha formado del pensamiento probabilístico y el manejo del sistema de datos.
La problemática tiene sus raíces en los cursos an-teriores, las problemáticas descubiertas en los cuatro ciclos de básica primaria y la básica secundaria. Aun-que existen no vamos a enfatizar ahora en ellas, sino
en la que se relaciona con el aspecto del análisis de la estadística descriptiva (conceptualización de medidas de tendencia central, gráfi cos y defi nición de variables aleatorias).
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
Los procesos y respectivos preconceptos en 10° y 11° se caracterizan por un nivel de pensamiento su-perior y por tal motivo las acciones cognitivas son más exigentes. Esta aclaración se realiza porque muchos de los conceptos y procesos desarrollados anteriormente son el fundamento de los propuestos para el nivel de educación media.
* Desarrollo del razonamiento combinatorio y sus po-sibilidades de representación e interpretación (gra-fos, simbólica, común y diagramas de árbol).
* Diferenciación del azar y probabilidad desde las in-terpretaciones contextuales.
79
* Desarrollo del concepto de un número racional, su representación decimal y el caso del porcentaje.
* Lectura e interpretación de artículos o lecturas espe-cializadas de situaciones que generen una proble-mática actual donde se infi era el concepto de proba-bilidad o que se apoye en la estadística descriptiva para aclarar su análisis o puntos de investigación de variados temas económicos, poblacionales, indus-triales, científi cos, etc.
* La estructura del pensamiento multiplicativo y pen-samiento aditivo no sólo en cuanto al algoritmo o la visión de sistemas, sino también en cuanto a los sentidos de la multiplicación y las representaciones cartesianas de dos o más conjuntos.
* Análisis (identifi cación, representación y defi nición de dependencia) de variables discretas y continuas en situaciones problemas.
* Interpretación y representación de gráfi cos esta-dísticos (diagramas tipo pastel, barras dobles, his-togramas, diagramas lineales, gráfi cas de variables continuas y proyecciones funcionales) con manejo de expresiones racionales y decimales.
* Signifi cación, en diversos contextos, de conceptos de estadística descriptiva en especial, medidas de tendencia central como: media o promedio, media-na, moda, frecuencias, datos agrupados...
* Análisis, desde diferentes lenguajes (común, simbó-lico, gráfi co, tabular), de situaciones sobre porcenta-je e interés porcentual.
* Argumentación y demostración descriptiva desde la matemática de situaciones problema que busquen el análisis de situaciones del pensamiento estadísti-co y razonamiento combinatorio y probabilístico.
* Deducción de fórmulas y algoritmos que apoyan el análisis y conocimientos del pensamiento estadísti-co y el sistema de datos a partir de la inducción de casos y ejemplos que propicien la generalización y reprsentación de fórmulas.
* Signifi cación en diversos lenguajes (grafos, diagra-mas de árbol y expresiones cuantitativas) de concep-tos propios del razonamiento combinatorio como las permutaciones y las combinaciones con la diferen-ciación y condicionalidad de variables de posición, repetición y orden.
* Representación y análisis desde diversas situa-ciones de la operación factorial en su contexto de números naturales y en su expresión simbólica que refi ere una generalización infi nita ( n?).
Estrategias
Es importante aclarar que la estrategia docente en los grados 10 y 11 está fundamentalmente basada en la capacidad de análisis, argumentación y producción que tenga el estudiante, desde la formalización e inter-pretación de los conceptos, hechos o ideas que el haya realizado de los anteriores ciclos de educación cons-titutivos del pensamiento estadístico y del sistema de datos. Así que si existieron fallas anteriores, posible-mente, aquí persistan y, tal vez, más arraigadas, esto quiere decir que parte de la estrategia es tener claridad de los errores más frecuentes en el estudiante durante los años anteriores e iniciar una estrategia que permita superar ese arraigo Especialistas en investigación en desarrollo cognitivo consideran que llegar a esta etapa con tales errores es un mal mayor que si se corrigen en grados anteriores, es por esto la importancia de seguir el desarrollo del pensamiento.
Teniendo en cuenta lo anterior, se sugiere una es-trategia que pretende identifi car y promover el re-conocimiento de conceptos críticos (errores comunes) y su signifi cado desde tres aspectos: razonamiento combinatorio, razonamiento probabilístico y razona-miento estadístico.
80
* Los errores más frecuentes en el razonamiento com-binatorio provienen de la interpretación que de las combinaciones debe realizar el estudiante. Esto lle-ga a ser complejo en la medida que el estudiante quiera resolverlo desde una fórmula y no desde el razonamiento lógico, por ejemplo, la forma de hallar la cantidad de segmentos que forman nueve puntos no colineales, no es la misma que se necesitaría para hallar todos los posibles números de dos cifras a partir de los números dígitos del uno a nueve. En el primer caso, la repetición de punto no permitiría construir un segmento, caso contrario para el ejem-plo de los números: aquí sí es posible repetir pues existen números como 22, 33, ...
* En el razonamiento probabilística, la problemática se deriva de tres errores comunes:
- Defi ciencias en el concepto de número racional vis-to en cuanto al manejo de la fracción, la expresión como decimal y el signifi cado del porcentaje.
- Difi cultades en la signifi cación de los datos proba-bilísticos en el lenguaje verbal. O sea que los estu-diantes no los aceptan de acuerdo a su experiencia personal.
- El estudiar la probabilidad desde la formalidad y la abstracción produce alejamiento del estudio de la probabilidad.
* En el razonamiento estadístico, la problemática es generada por errores como: enseñar desde la forma-lidad y la abstracción sin permitir llegar a una crítica o análisis de situaciones de promedio o media o de mediana. De esta manera, se pierde la oportunidad de la argumentación hipotética, o para mejorar la habilidad de verbal (formal) en los estudiantes. Al igual que, con la probabilidad, los estudiantes no aceptan hechos estadísticos desde su experiencia.
