114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana

8/22/2019 114688089-Fisica-Solucionario-2º-Bachillerato-Santillana

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2



2

Presentación

Además

de esode a las

uesoes básas

del ogama de Físa

aa segudo de bahlleao,

el exo de Sallaa eede

da ua esuesa a los oomeos

eesaos aa suea o éxo

las uebas de selevdad. Es o eso

que as la oaldad de las uesoes

y ejeos seleoados se luye

deo de las uebas de selevdad

de odo el eoo aoal.



3

Índice

prESEntAción

Tema 1 La ea gavaoa 5

Tema 2 El amo gavaoo 33

Tema 3 El amo eleosáo 73

Tema 4 El amo magéo 129

Tema 5 La dueleomagéa 171

Tema 6 El movmeoamo smle (MAS) 205

Tema 7 El movmeo odulaoo.El sodo 245

Tema 8 La luz y la a 291

Tema 9 La físa uáa 335

Tema 10

relavdad. Físa ulea 369

Anexos Ssema edode los elemeos 404

tabla de osaes físasy químas 406



76

programación de aula

1 La interacción gravitatoria

• Estudiodelmovimientode loscuerposcelestes.Mode losqueloexplican.

• ComprensióncinemáticadelmovimientodeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.LeyesdeKepler.

• LadinámicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.LeydeNewtondelagravitaciónuniversal.

• Lainteraccióngravitatoriacomointeracciónadistancia.

• Lainteraccióngravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.Relaciónconlafuerzapeso.

• Distinciónentrepesoymasa.

• Interaccióngravitatoriadeunconjuntodemasas.Principiodesuperposición.

• Consecuenciasdelainteraccióngravitatoria.Explicacióndelasmareas.

Conceptos

CONTENIDOS

• Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitud

muydiferente.

• Utilizarconsolturaherramientasdecálculocomolascalculadorasolashojasdecálculo.

• Relacionardatosymodelosmatemáticosconfenómenosobservados(interpretacióndelcalendario,lasmareas,duracióndelañoendistintosplanetas,etc.).

• Adquirirsolturaenlarepresentacióngráficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimbólico.

• Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.

Procedimientos,destrezasy habilidades

1. Educación cívica

Comosucedióenelmomentohistóricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientíficoqueseopongaalaideologíaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Seráinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientíficofrentealpoderestablecido.

Puestoqueeldebatesoloseráfructíferosihayposibilidaddeofrecerdiversasposiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolparasusmiembros.

Sesugierenalgunosposiblestítulosparaeldebate:

•¿Puedenloscientíficosestablecerteoríasqueseoponganala«leynatural»?

•¿Puedenloscientíficosinvestigarsobrecualquiercosa?

•Eltrabajocientífico¿puededestruirlasociedad?

EDUCACIÓN EN VALORES

1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocéntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeométricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocéntrico.

2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposiciónylavelocidaddeloscuerposcelestes.

3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcaráctercentraldelafuerza

responsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusórbitasseanestablesyplanas.

4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitaciónuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacercálculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.

5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.

6. Utilizarelcálculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.

7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccióngravitatoria.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.

• Respetareltrabajocientíficoysuindependenciafrenteaideologías.

• Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidosporprocedimientoscientíficosylavulnerabilidaddelasteoríasquelosinterpretan.

Actitudes• Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.

• Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.

• Estudiarelmodelogeocéntrico.Analizarsujustificaciónideológicaylaevolucióngeométricaquerequirióparaexplicarlosdatos.

• Estudiarelmodeloheliocéntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideológicosquesuscita.

• ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.

• EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.

• Comprenderelalcancedelaleydelagravitaciónuniversal.Manejarlaenelámbitocelesteyenelterrestre.

• Utilizarlaformulaciónvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteracciónentreunconjuntodemasaspuntuales.

• Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenómenosobservables,comoeldistintopesodeunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracióndelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.

OBJETIVOS

5

La interaccióngravitatoria1

•SeiniciaestecursodeFísicaabordandoelestudiodelmovimiento

deloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvan

atratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaes

muydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicando

lasleyesfísicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiráacercase

alacomprensióndeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.

•Losdiseñoscurricularesestablecidosenlosúltimostiemposbuscanquelosalumnosalcancencompetenciatecnológica,especialmente

enelmanejoderecursosinformáticos.Eltratamientodelosdatos

queseempleanenestetemaproporcionaráocasiónparautilizar

hojasdecálculoyrepresentacionesgráficasquefacilitarán

lacomprensióndelosproblemasanalizados.

PRESENTACIÓN

4

Introducción

8


9

Solucionario

1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo

en qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra

la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte

el periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.

De acuerdo con la segunda ley de Kepler, la Tierra

gira alrededor del Sol con velocidad areolar constante.

Esto determina que su velocidad lineal es mayor en el perihelioque en el afelio. El hemisferio norte de la Tierra está en posición

opuesta al Sol cuando se mueve en la zona del perihelio, época

de las estaciones otoño-invierno. Este es el motivo por el que el periodo

otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.

2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol.

Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.

(C. Valenciana. Septiembre, 2003)

De acuerdo con la tercera ley de Kepler:

T

r

2

3= cte.

Por tanto,T

r

T

T

.2

3=

T

r

M

M

cte.2

3=

Además, sabemos que r r M T= 1468, ⋅ . Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T

M

M

T

T

M

T

T

T

M

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1468

14

= =→ →

→

( , )

,

⋅

6681 468 1 468 1 78

3

2 2 3 2 3= = = =T T T T T T T M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT

Por lo tanto hay 1,78 años terrestres en cada año marciano.

3. El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor

que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces supera

la distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sol

a la distancia entre la Tierra y el Sol.

De acuerdo con la tercera ley de Kepler:T

r

2

3= cte.

Por tanto,T

r

T

T

.2

3=

T

r

J

J

cte.2

3=

Además, sabemos queT T J T= 12 ⋅ . Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

r r

J

J

T

T

T

J

T

T

J

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

12

12 1

= =

=

→ →

→

( )⋅

TT

J T J T T3

3 2 3 2312 12 5 24→ →r r r r r = = =⋅ ⋅ ⋅,

Por lo tanto, la distancia de Júpiter al Sol es 5,24 veces mayor

que la distancia de la Tierra al Sol.

4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.

En el perihelio se encuentra a 8,75⋅

107

km del Sol, y en el afelio,a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad

del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.

(C. Madrid. Junio, 1999)

El momento angular se conserva:

L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio

afelio perkm

⋅

⋅ ⋅

r

v v

→

→ 5 2 6 1 09, = iihelio

perihelio afelio

km⋅ ⋅8 7 5 1 0

5 26

7,

,

→

→ v v = ⋅⋅⋅

⋅

10

8 7 5 1 06011

9

7,,= ⋅ v afelio

Por lo tanto, la velocidad en el perihelio es 60,11 veces mayor

que la velocidad en el afelio.

5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad

en el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s.

Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA,

determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada

una de esas posiciones.

Dato: 1 UA = 1,496 ⋅ 1011 m.

De nuevo se conserva el momento angular:


afelio pem/s

⋅

⋅ ⋅

r

r r

→

→ 3 4 8 1 04, = rrihelio m/s⋅ ⋅3 53 1 04,

Además, sabemos que:

r r

r

a fel io p er ihe l io

af

UA m+ = =1 446 216 32 109, , ⋅ →

→ eelio periheliom= −2 16 3 2 1 09, ⋅ r

23,5°23,5°

SolAfelio

(verano en

el hemisferio

norte)Perihelio

(invierno en

el hemisferio

norte)

(El dibujo no está a escala.)

E ualque exo de Físa los ejeos y las uesoes os-uye ua ae fudameal del oedo del lbo. E uesomaeal, las avdades aaee aguadas e dos seoes:

• Junto a la teoría, a pie de página.

• Al final de cada tema.

E ese lbo se esea, aa ada uo de los emas del lbo de

exo:• La Programación de aula (objevos, oedos y eos de

evalua).

• La Resolución de todos los ejercicios ludos e el lbo delalumo.

Además de ese lbo,al ofeso se le ofeeomo maeal de aoyo

u CD o uebasde aeso

a la Uvesdadesuelas.



5

La interaccióngravitatoria1

• SeiniciaestecursodeFísicaabordandoelestudiodelmovimiento

deloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvan

atratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaesmuydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicando

lasleyesfísicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiráacercase

alacomprensióndeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.

• Losdiseñoscurricularesestablecidosenlosúltimostiemposbuscan

quelosalumnosalcancencompetenciatecnológica,especialmente

enelmanejoderecursosinformáticos.Eltratamientodelosdatos

queseempleanenestetemaproporcionaráocasiónparautilizar

hojasdecálculoyrepresentacionesgráficasquefacilitarán

lacomprensióndelosproblemasanalizados.

PRESENTACIÓN



6


• Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican.

• ComprensióncinemáticadelmovimientodeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.LeyesdeKepler.

• LadinámicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.

LeydeNewtondelagravitaciónuniversal.• Lainteraccióngravitatoriacomointeracciónadistancia.

• Lainteraccióngravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.Relaciónconlafuerzapeso.

• Distinciónentrepesoymasa.

• Interaccióngravitatoriadeunconjuntodemasas.Principiodesuperposición.

• Consecuenciasdelainteraccióngravitatoria.Explicacióndelasmareas.

Conceptos

CONTENIDOS

• Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.

• Utilizarconsolturaherramientasdecálculocomolascalculadorasolashojasdecálculo.

• Relacionardatosymodelosmatemáticosconfenómenosobservados(interpretacióndelcalendario,lasmareas,duracióndelañoendistintosplanetas,etc.).




• Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.

• Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.

• Estudiarelmodelogeocéntrico.Analizarsujustificaciónideológicaylaevolucióngeométricaquerequirióparaexplicarlosdatos.

• Estudiarelmodeloheliocéntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideológicosquesuscita.

• ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.

• EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.

• Comprenderelalcancedelaleydelagravitaciónuniversal.

Manejarlaenelámbitocelesteyenelterrestre.

• Utilizarlaformulaciónvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteracciónentreunconjuntodemasaspuntuales.

• Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenómenosobservables,comoeldistintopeso

deunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracióndelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.

OBJETIVOS



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Comosucedióenelmomentohistóricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientíficoqueseopongaalaideologíaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Seráinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientíficofrentealpoderestablecido.

Puestoqueeldebatesoloseráfructíferosihayposibilidaddeofrecerdiversas

posiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolpara

susmiembros.

Sesugierenalgunosposiblestítulosparaeldebate:

• ¿Puedenloscientíficosestablecerteoríasqueseoponganala«leynatural»?

• ¿Puedenloscientíficosinvestigarsobrecualquiercosa?

• Eltrabajocientífico¿puededestruirlasociedad?


1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocéntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeométricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocéntrico.

2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposiciónylavelocidaddeloscuerposcelestes.

3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcaráctercentraldelafuerzaresponsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusórbitasseanestablesyplanas.

4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitaciónuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacercálculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.

5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.

6. Utilizarelcálculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.

7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccióngravitatoria.


• Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.

• Respetareltrabajocientíficoysuindependenciafrenteaideologías.

• Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidosporprocedimientoscientíficosylavulnerabilidaddelasteoríasquelosinterpretan.

Actitudes



8


1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujoen qué parte de su órbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentrala Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norteel periodo otoño-invierno dura seis días menos que el de primavera-verano.

DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierra

giraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.

Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelio

queenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestáenposición

opuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,épocadelasestacionesotoño-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodo

otoño-inviernoduraseisdíasmenosqueeldeprimavera-verano.

2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol.Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.


DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:

T

r

2

3= cte.

Portanto,T

r

T

T

2

3=

T

r

M

M

cte.2

3=

Además,sabemosquer r M T= 1 468, ⋅ .Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T

M

M

T

T

M

T

T

T

M

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1 468

1 4

= =→ →

→

( , )

,

⋅

6681 468 1 468 1 78

3

2 2 3 2 3= = = =T T T T T T T M T M T→ →, , ,⋅ ⋅ ⋅ TT

Porlotantohay1,78añosterrestresencadaañomarciano.

3. El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayorque el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuántas veces superala distancia media (semieje de la elipse) desde Júpiter hasta el Sola la distancia entre la Tierra y el Sol.

23,5°23,5°

SolAfelio(veranoen

elhemisferio

norte)Perihelio

(inviernoen

elhemisferio

norte)

(El dibujo no está a escala.)



9

Solucionario

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:T r

2

3= cte.

Portanto,T

r

T

T

2

3=

T

r

J

J

cte.2

3=

Además,sabemosqueT T J T= 12 ⋅ .Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

r r

J

J

T

T

T

J

T

T

J

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

12

12 1

= =

=

→ →

→

( )⋅

TT

J T J T T3

3 2 3 2312 12 5 24→ →r r r r r = = =⋅ ⋅ ⋅,

Porlotanto,ladistanciadeJúpiteralSoles5,24vecesmayor

queladistanciadelaTierraalSol.

4. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.En el perihelio se encuentra a 8,75 ⋅ 107 km del Sol, y en el afelio,a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad

del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)

Elmomentoangularseconserva:


afelio perkm

⋅

⋅ ⋅

r

v v

→

→ 5 26 109, = iihelio

perihelio afelio

km⋅ ⋅8 75 10

5 26

7,

,

→

→ v v = ⋅⋅⋅

⋅

10

8 75 1060 11

9

7,,= ⋅ v afelio

Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayor

quelavelocidadenelafelio.

5. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidaden el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s.Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA,determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cadauna de esas posiciones.

Dato: 1 UA=

1,496⋅

10

11

m.Denuevoseconservaelmomentoangular:


afelio pem/ s

⋅

⋅ ⋅

r

r r

→

→ 3 48 104, = rrihelio m/ s⋅ ⋅3 53 104,

Además,sabemosque:

r r

r

afelio perihelio

af

UA m+ = =1 446 216 32 109, , ⋅ →

→ eelio periheliom= −216 32 109, ⋅ r



10


Sustituyendo:

( , ) ,216 32 10 3 48 109 4⋅ ⋅ ⋅m m/sperihelio perih− =r r eelio

perihelio

m/ s

m

⋅ ⋅

⋅ ⋅

3 53 10

216 32 10 3

4

9

,

,

→

→ r =,,

, ,,

48 10

3 48 10 3 53 10107 38 1

4

4 4

⋅

⋅ ⋅

⋅m/s

m/s m/ s+

= 009 m

Entonces:

r perihelio m m= − =216 32 10 107 38 10 108 94 19 9, , ,⋅ ⋅ ⋅ 009 m

6. Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria

tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular?

UnaconclusióndelasegundaleydeKepleresqueelmomento

angulardelosplanetasesconstante:

L L m v r m v afelio perihelio afelio afelio per= =→ ⋅ ⋅ ⋅ iihelio perihelio⋅ r

Silaórbitaeselíptica,suvelocidadlinealserámáximaenelperihelio,

yaqueahíladistanciaalcentrodegiro(r perihelio)esmenor.

Silaórbitafueracircular,suvelocidadlinealserálamismaentodalaórbita.

7. Un cuerpo de masa m 1 está separado una distancia d de otrocuerpo de masa m 2 y entre ellos existe una fuerza de atracción WF .Calcula el valor de la fuerza si:

a) m 1 duplica su masa.

b) m 1 reduce su masa a la mitad.

c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reducea la mitad.

d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.

a) Sim m ' 1 12= ⋅ :

F G m m

d F G

m m

d

F G m m

d

' '

'

'

= =

=

⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

1 2

2

1 2

2

1 2

2

2

→ →

→22

2→ F F ' = ⋅

Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.

b) Sim m ' 1 1

1

2= ⋅ :

F G m m

d F G

m m

d

F G m m

' '

'

'

= =

=

⋅⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

1 2

2

1 2

2

1

1

2

1

2

→ →

→22

2

1

2d F F → ' = ⋅

Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellos

tambiénsereducealamitad.



11

Solucionario

c) Sid d ' =1

2 ⋅ :

F G m m

d

F G m m

d

' ' =

=⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

1 2

2

1 2

21

2

1

4

→ →

→→ →F G m m

d F F ' ' = =4 4

1 2

2⋅ ⋅

⋅⋅

Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerza

secuadruplica.d) Sid d ' = 2 ⋅ :

F G m m

d F G

m m

d

F G m

' '

'

= =

=

⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

1 2

2

1 2

2

1

2 4

1

4

( )→ →

→⋅⋅

⋅m

d F F 2

2

1

4→ ' =

Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereduce

alacuartaparte.

8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compróen el supermercado de su calle y que pesaba 250 g.¿Cuánto pesará en la Luna si la mide con una balanza de resorte?¿Y si la mide con una balanza de platos?

Conunabalanzadeplatospesaráexactamentelomismo,

yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetiene

sumismamasa.

Conunabalanzaderesortelamedidaseveríaafectadaporlagravedad.

P m g

P m g P

Tierra Tierra

Luna LunaLuna

=

=

⋅

⋅→ == P

g

g Tierra

Luna

Tierra

⋅

9. ¿Dónde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna?¿Dónde pesará más?

TendrálamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesará

másenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.

10. La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierray su diámetro es 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en la superficiede este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N?(En realidad, Júpiter es gaseoso y no tiene una superficie sólidacomo la Tierra o Marte.)

P F G M m

R = G = ⋅

⋅2



12


EnlaTierraP T=750N.EnJúpiter:

P G M m

R G

M m

R G

M J

J

J

T

T

T= = ⋅

⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅⋅

⋅2 2 2

318

11

318

11( )

⋅⋅=

= ⋅ = ⋅ =

m

R

P P

( )T

T J750 N 1971 N

2

2 2

318

11

318

11→

11. En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 6 m de ladotenemos un cuerpo de 5 kg.

a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kgque se encuentra en el baricentro del triángulo.

b) ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de 100 kg?

(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianasde un triángulo.)

Elbaricentrodeltriánguloeselpuntoenquesecortansusmedianas;

seencuentraaunadistanciadecadavérticeiguala2h

3.

Paraeltriángulodelproblema:

h h

= − = = =6 33

5 20

3

2 2 5,20 mm

1,73 m→,

2

3

2 5 20

3

⋅=

⋅=

h , m3,47 m

Dibujamoslafuerzaque

cadamasaejercesobre

elcuerpoqueestáenelbaricentro.

Porelprincipio

desuperposición,

lafuerzaresultante

delsistemapuede

obtenersecomo

WF T=WF A+WF B+WF C.

Elmódulodecadaunadelastresfuerzasesidéntico:

F G m m

d i

i2

2

N m

kg

kg kg= ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

⋅−

2

11

26 67 10

5 10

3 47,

, mmN

2= ⋅ −2 77 10 10,

(i =A,B,C.)

6m 6m

C

B

6m

2h

3

h

3

5kg

5kg 5kg

10kg

WF C

WF B

WF A

A α β



13

Solucionario

Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzas

enfuncióndesuscomponentescartesianas.DescomponemosWF AyWF Bensuscomponenteshorizontalyvertical:

sen senα β= = =1 73

3 470 5

,

,,

cos,

, cosα β= = =3

3 470 86

• WF A

=−F ⋅cosα⋅Wi −F ⋅senα⋅W j

• WF B=+F ⋅cosβ⋅Wi −F ⋅senβ⋅W j

• WF C=F ⋅W j

WF T=WF A+WF B+WF C→

→ WF T=(−F ⋅cosα⋅Wi −F ⋅senα⋅W j )+ (F ⋅cosβ⋅Wi −F ⋅senβ⋅W j )+ F ⋅W j

Teniendoencuentaquelosángulosαyβsoniguales:

WF T=−2⋅F ⋅senα⋅W j +F ⋅W j =−2⋅F ⋅0,5⋅W j +F ⋅W j =0

Conclusión:WF T=0Nparacualquiermasaquesecoloque

enelbaricentrodeuntriángulo.

12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:

a) Explica por qué un mismo astro aparece unas veces más brillanteque otras.

b) Explica el movimiento retrógrado de Marte.

a) Unastroapareceavecesmásbrillanteporquesudistancia

alaTierravaríaenfuncióndelpuntodelepiciclo

enelqueseencuentrenensudeferente.

A B

C

α α

WF C

WF BxWF Ax

WF ByWF Ay

WF BWF A



14


b) Losplanetasgiranalrededor

delaTierrasiguiendo

unatrayectoriadepequeñas

circunferencias(epiciclos)

cuyocentrodescribeuna

circunferencia(deferente)

concentroenlaTierra.

Durantelamitaddel

epiciclo,elmovimientodel

planetaparecequeavanza

conrespectoalaTierra;

yenlaotramitad,retrocede

conrespectoalaTierra.

13. Utilizando un modelo heliocéntrico, justifica el movimiento retrógradode Marte.

ElmovimientoretrógradodeMarteeslatrayectoria«irregular»

quesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobserva

desdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunque

laTierralohaceconmayorrapidez.

LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyección

enlabóvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemos

observareneldibujo,laproyeccióndelasdistintaslíneasvisuales

provocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanza

yretrocede(movimientoretrógrado).

14. Si el Sol está en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor,da una explicación de por qué no se observa paralaje estelar; es decir,por qué no se ve que cambie la posición de una estrella en el firmamentoal cambiar la posición de la Tierra.

Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadas

delaTierra.

Tierra

Deferente

Epiciclo

Tierra

Tierra

Marte

Marte

Sol

Sol

Estrellas

fijasMovimiento

observadodeMarte



15

Solucionario

15. En el lenguaje común decimos que el Sol sale por el este y se ponepor el oeste. ¿Qué tipo de modelo de universo estamos empleandocuando hacemos esta afirmación?

Geocéntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencia

laTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelación

aella.

16. Una partícula se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado alejándose continuamente de un punto que tomamoscomo origen del movimiento y en dirección radial.Su momento angular:

a) Es constante.

b) Es cero.

c) Aumenta indefinidamente.

Porladefinicióndemomentoangular:

W

L

=Wr

×

Wp

=Wr

⋅

m ⋅Wv

⋅senαSilosvectoresdeWr yWv tienenlamismadirecciónysentido,

resultaqueformanunángulode0°,porloquesen0°=0

yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).

17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partícula se acercacontinuamente al origen.

Laúnicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,

enestecaso,losvectoresformanunángulode180°,pero,nuevamente,sen180°=0yelresultadoesnulo,L=0.

18. Una partícula se mueve en un plano con movimiento rectilíneo y uniforme.Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquierade ese plano, va a ser constante.

Elmomentoangularesconstantesinovaríaconeltiempo.

dL

dt

d r p

dt

d r

dt m v r

d m v

dt =

×= × ⋅ + ×

⋅=

( ) ( )( )

( )0

W W W WWW

Elvectorm ⋅Wv esparaleloaWv .Elproductovectoriald r

dt m v × ⋅ =( )

WW

=Wv ×(m ⋅Wv )es0,yaqueelsenodelánguloqueformanes0.

Silapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme:

d m v

dt

dL

dt L

( )⋅= = =0 0→ → cte.

W



16


19. Si una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales,su momento angular respecto al centro de fuerzas:

a) Aumenta indefinidamente.

b) Es cero.

c) Permanece constante.

Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, d L

dt r F = ×

WW W .

Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccióndelradio.

Silapartículadescribeunmovimientocircularbajolaaccióndeesta

fuerzasecumpliráWr ×

WF =0,porloqueWLnopresentarávariación

respectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).

20. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:

a) Se conserva el momento angular y el momento lineal.

b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria.

c) Varía el momento lineal y se conserva el momento angular.

Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccióndefuerzas

centrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.

Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,

porloquesumomentolinealnoseconservará.

RecuérdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueve

convelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperihelio

serámayorqueenelafelio.

21. Las órbitas de los planetas son planas porque:a) Se mueven con velocidad constante.

b) Se mueven bajo la acción de una fuerza central.

c) Los planetas son restos materiales de una única estrella.

Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,

yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaforma

desuórbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajo

laaccióndeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,

ydeellosederivaquelasórbitassonplanas.

RecuérdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWr yWp ;

paraqueladireccióndeWLnocambie,Wr yWp debendefinirsiempre

elmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescriban

órbitasplanas.

22. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidadinstantánea en un punto de la trayectoria por el radio vectorcorrespondiente es constante.



17

Solucionario

UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetasse

muevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:

WL1=WL2→Wr 1×(m ⋅Wv 1)=Wr 2×(m ⋅Wv 2)

Simplificamosm :

Wr 1×Wv 1=Wr 2×Wv 2= Wcte.

23. Explicar por qué los cometas que orbitan elípticamente alrededordel Sol tienen más velocidad cuando se encuentran cerca que cuandose encuentran lejos del Sol, considerando el carácter de fuerza

central de la fuerza gravitatoria.(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)

Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaley

deKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarreáreasiguales

entiemposiguales.

Poresto,cuandoelcometaestámáscercadelSol,tendráque

recorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismaárea

quelarecorridaenelmismotiempocuandoestáalejadodelSol.

Paraello,debemoversemásrápido.

24. Dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que m A = 50m B se muevenalrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular;sus velocidades son v B = 2v A. El radio de la órbita de B será:

a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.

b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.

Sitienenelmismomomentoangular:

LA=LB→m A⋅v A⋅r A=m B⋅v B⋅r B→

→50⋅m B⋅v A⋅r A=m B⋅2⋅v A⋅r B→50⋅r A=2⋅r BPorlotanto,larespuestacorrectaeslad).

25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorioque redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa,¿cómo sería su periodo de revolución alrededor del Sol?:

a) Igual. b) De 2 años. c) De 4 años.

Más

lento

Más

rápido

Afelio

Sol

Perihelio



18


DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira

alrededordelSol,T

r

2

3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra

noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiodo

delaTierrapermanececonstanteaunquevaríesutamaño.

Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuenta

laleydegravitaciónuniversal.

CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:F G=F C.

m v

r G

M m

r T

S T⋅ ⋅

⋅2

2

=

Sabiendoquev r T

r = =ωπ

⋅ ⋅2

,sustituyendoydespejando:

2

2

2

2

2

22 3

π

πT r

r G

M

r T

r

G M

= =

⋅

⋅⋅

⋅

S

S

→( )

Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,

sinodelradiodesuórbita.Larespuestacorrectaeslaa).

26. ¿Qué cambio experimentaría el periodo de revolución de la Tierra alrededordel Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira

alrededordelSol,T

r

2

3= cte.LavariacióndelradiodelaTierra

noimplicaquevaríesudistanciaalSol.Portanto,elperiodo

delaTierrapermanececonstanteaunquevaríesumasa.

Podemoshacerunademostraciónmásexhaustivateniendoencuentalaleydegravitaciónuniversal.

CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol:F G=F C.

m v

r G

M m

r T

S T⋅ ⋅

⋅2

2=

Sabiendoquev r T

r = =ωπ

⋅ ⋅2


2

2

2

2

22

2 3

π

πT

r

r G M

r T r

G M

= =

⋅

⋅ ⋅⋅

S

S

→ ( )

Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumen

delaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningúncambio.

27. Un objeto que describe órbitas circulares alrededor del Sol irá más rápido:

a) Cuanto mayor sea el radio de la órbita.b) Cuanto menor sea el radio de la órbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.



19

Solucionario

T 2

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire

alrededordelSol,T

r

2

3= cte.

ωπ π

π

π= = =

⋅

⋅

= =2 2

2

2

2 2

2

3

2

T

v

r T

r

v

r

v

r v

r → ; →

( )

( )cte.

⋅⋅ cte.

Porlotanto,lavelocidadyelradiodeórbitavaríandeformainversa:

v serámayorcuantomenorsear .Además,lavelocidadnodepende

delamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).

28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Soles de 1,49 ⋅ 108 km y que la Tierra tarda 365,256 días en dar una vueltacompleta alrededor del Sol.

Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

(P. Asturias. Junio, 2006)

CuandolaTierraestáenórbitaalrededordelSol,F G=F C:

m v

r G

M m

r T

S T

⋅ ⋅

⋅2

2=

Sabiendoquev r T

r = =ωπ

⋅ ⋅2


m T r

r G

M m

r M

T T

S TS⋅

⋅

⋅⋅

2

2

22

2

π

π

= =

→

=

2 3

6

2

31 55810

⋅

⋅

r

G

M

→

→ S

s

π

,

22 11

11 2

1 49 10

6 67 10

1 965 1⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅− −

( ,

,

,m)

N m kg

3

2= 0030 kg

29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particularde órbitas circulares.

b) Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente,4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta.Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27 ⋅ 108 m,calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

(Aragón. Septiembre, 2006)

a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo

órbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.

2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;

esdecir,elvectordeposicióndecadaplanetaconrespecto

alSol(elradiovector)barreáreasigualesentiemposiguales.

dA

dt = cte.



20


3. Paratodoslosplanetas:T a

k

2

3 = (constante).Dondea es

elsemiejemayordelaelipseyT eselperiododelplaneta.

Demostramosestaleyconlaleydegravitaciónuniversal.

Paraunplanetaquedescribeunaórbitacircular:

F F m v

r G

M m

r G C T

S T= =→ ⋅ ⋅

⋅2

2

Sabiendoquev r T

r = =ωπ

⋅ ⋅2

,sustituyendo:

22

2

2

π

T r

r G

M

r

⋅

= ⋅ S →r

T G

M 3

2 22= ⋅ =S

( )πcte.

b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambos

satélites:

T r

T r

1

2

13

2

2

23

2

8 35 27 10=

⋅=→

( )

( , )

(4,52 días

m

15,9 ddías

T

)2

3r →

→r T15,9 días m

4,52 días=

⋅ ⋅=

( ) ( , )

( ),

2 8 3

23

5 27 101 222 109⋅ m

ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformado

poresteplanetayunodesussatélites,porejemplo,Rhea.

CuandounsatéliteestáenórbitaalrededordeSaturnoF G=F C:

m v

r G

M m

r R

S R⋅ ⋅

⋅2

2=

Sabiendoquev r T

r = =ωπ

⋅ ⋅2


2

2

2

2

2

π

πT r

r G

M

r M

T

= =

⋅

⋅ SS→

2 3

⋅r

G

TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresados

enunidadesSI:

M T

r

G S

R

R

s

=

=

=

2

2

390 528 10

2 3

3

π

π

⋅

⋅,

2 8

11 2

5 27 10

6 67 10⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅− −

( ,

,

m)

N m kg

3

22

S kg

→

→ M = 568 015 1024, ⋅



21

Solucionario

30. Júpiter es un planeta que está rodeado de una serie de lunas que giranen torno a él de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol.Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Júpiter.

Nombre Radio orbital, en 106 m Periodo (días)

Í 421,6 1,769

e 3,551

gs 1070

cst 1882 16,689

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatélitesquegiran

alrededordeunmismoplanetaverifican:T

r

2

3= cte.

Portanto,T

r

I

I

2

3=

T

r

E

E

2

3=

T

r

G

G

cte.2

3=

Igualando:

T

r

T

r r

T

T r E

E

I

I

EE

I

I

2

3

2

3

2

2

33

2

2

3 551

1 7694= = =→ ⋅ ⋅

,

,221 6 670 8933 , ,= →

→ r Europa m= ⋅670 89 106,

YparaGanimedes:

T

r

T

r T

r

r T G

G

I

I

G

G

I

I

2

3

2

3

3

3

23

3

1070

421 61 7= = =→ ⋅ ⋅

,, 669 7 1522

= , →

→ T Gaminedes

7,152 días=

31. El periodo de revolución de Marte alrededor del Sol es de 687 días.Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millonesde kilómetros, calcular la distancia de Marte al Sol.(Suponer que las órbitas descritas son circunferencias.)

(C. F. Navarra. Junio, 2007)

DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran

alrededordelSolverifican:

T

r

2

3=

cte.

T

r

M

M

2

3=

T

r

T

T

cte.2

3=

Igualando:

T

r

T

r r

T

T r M

M

T

T

MM

TT

2

3

2

3

2

2

33

2

2

33687

365150= = =→ ⋅ ⋅ ==

=

228 67

228 67 106

,

,

→

→ r M km⋅



22


32. Europa, satélite de Júpiter descubierto por Galileo en 1610, describeuna órbita completa de 6,71 ⋅ 105 km de radio cada 3 días, 13 horasy 14,6 minutos. Calcula:

a) La velocidad lineal de Europa con relación a Júpiter.

b) La masa de Júpiter.

Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2.

Obtenemoselperiodoensegundos:

T = +3 24 60 601

13 60días h1 día

min1 h

smin

h min1 h

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

601

14 660

1306 876 103

smin

mins

mins

+

+ =, ,

a) v r T

r = =

=

ωπ π

⋅ ⋅⋅

2 2

306 876 103, s

⋅ ⋅ =

= ⋅

6 71 10

13 74 10

9

3

,

,

m

m/ s

b) CuandoEuropaestáenórbitaalrededordeJúpiter,F G=F C:

m v

r G

M m

r

M v r

G

EJ E

J

2m/s)

⋅ ⋅⋅

⋅=

⋅ ⋅

2

2

2 313 74 10

=

=

→

→( , 66 71 10

6 67 101 899 10

8

11 2

27,

,,

⋅

⋅ ⋅⋅

−

m

N m /kgkg

2=

33. Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodoigual a 2,3 ⋅ 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierrade 384 400 km.

Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2.

CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierraF G=F C:

m v

r G

M m

r L

T L⋅ ⋅

⋅2

2=

Sabiendoquev r T

r = =ωπ

⋅ ⋅2


2

2

2

2

2

π

πT r

r G

M

r M

T

= =

⋅

⋅ TT→

2 3r

G →

→ M T

3

s

m)=

2

2 3 10

388 400 10

66

2 3π

,

(

⋅⋅

⋅

,,,

67 106 35 10

11 2

24

⋅ ⋅ ⋅⋅

− −N m kgkg

2=



23

Solucionario

34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 R T. Calcula:a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.

b) El periodo de rotación en días.

Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; R T = 6,37 ⋅ 106 m.

a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,F G=F C:

m v

r G

M m

r v G

M

r L

T L T⋅ = ⋅⋅

= ⋅2

2

2→ [1]

EnlasuperficiedelaTierra:

g G M

R g R G M = ⋅ ⋅ = ⋅T

T

T T2

2→ [2]

Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelaciónr =60 ⋅ R T:

v G M

r

g R

R

g R

v

22

60 60

9 86 6 37

= ⋅ =⋅

⋅=

⋅

=⋅

T T

T

T

2m/s

→

→, , ⋅⋅

= ⋅10

60

1 023 106

3mm/s,

b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:

v r T

R = ⋅ = ⋅ωπ2

60 T →

→ T v

R = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

⋅=

260

2 60 6 37 10

1 023 102 3

6

3

π πT

m

m/s

,

,, 55 106⋅ s →

→ T = ⋅ ⋅ ⋅ =2 35 106, s1 h

3600 s

1 días

24 h

27,17 días

35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcionala su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos:

a) De mayor masa.

b) De menor masa.

c) Todos igual de rápido.

F G M m r

g m GT= ⋅ ⋅ = ⋅

2

Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminada

porlaaceleraciónquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolo

dependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistancia

quelosseparadelcentrodeesecuerpo.

Comoseapreciaenlafórmula,enausenciaderozamientotodos

loscuerposcaenconlamismaaceleración;portanto,conlamisma

rapidez.Larespuestacorrectaeslac).



24


36. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos.La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpoy en el otro pesas por valor de 15,38 g.

a) Si hiciésemos la experiencia en la Luna, ¿cuántas pesas tendríamosque colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?

b) ¿Y si hiciésemos la experiencia con una balanza de resorte?

Datos: g T = 9,8 m ⋅ s−2; g L =1,7 m ⋅ s−2.

Conunabalanzadeplatoshabráquecolocarlamismacantidaddepesas.

Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveríaafectadaporlagravedad.

P m g

P m g

P

Tierra Tierra

Luna Luna

Lun

=

=

⋅

⋅→

→aa Tierra

Luna

Tierra

Tierra= =P g

g P ⋅ ⋅

1 7

9 8

,

,

m/s

m/ss= P Tierra ⋅ 0 173,

37. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra.

¿Cuál es su peso? ¿Y cuál sería su peso…a) … si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?

b) … si el radio de la Tierra se reduce a la mitad?

c) … si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad?

Dato: g 0 = 9,8 m ⋅ s−2.

P =F G=m ⋅ g .

a) EnlaTierra:

g G M

R g P = = = =⋅ = ⋅ ⋅ −T

T

2 2m/ s kg 9,8 m s N20 9 8 70 686, →

b) SiM M

' TT=

2:

g G

M

R

g

P m g m

g P

'

' '

=

= =

⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

T

T

N

N

2

2

2 2

686

2 343

2→

→

c) SiR R

' TT=

2:

g G M

R

G M

R g

P m

'

'

=

⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅

T

T

T

T

2 4

42 2

→

→ g g m g P ' = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4 4 4 686 2744= = =N N



25

Solucionario

d) SiM M

R R

' ' T T T Ty= =2 2

:

g G

M

R

G

M

R g

P

'

'

=

⋅ = ⋅ = ⋅

=

T

T

T

T

2

2

2

4

22 2

→

→ m m g m g P ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅' 2 2 2 686 1372= = =N N

38. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrípetaa que está sometido en la superficie de la Tierra?

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; R T = 6370 km;M T = 5,98 ⋅ 1024 kg.

ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.Utilizamos

unidadesdelSI:

P F G

M m

r = = ⋅

⋅

= ⋅ ⋅

⋅

⋅

−

G

T

2

1124

66 67 1

0

5 98 10

6 37 10,

,

( , )) ,29 83

⋅ = ⋅m m [1]

Paracalcularlafuerzacentrípetatenemosencuentaqueelcuerpo

queestáenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotación

idénticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1día.Utilizamos

unidadesdelSI:

F m v

r m

r

r m

T r C = ⋅ = ⋅

⋅= ⋅ ⋅

2 2 2 2

2

2ω π( )→

→ F m m C = ⋅⋅

⋅ ⋅ = ⋅( )( )

,224 3600

6 37 10 0 0342

2

6π , [2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

P

F

m

m C

=⋅

⋅=

9 83

0 034289

,

,

39. Calcula la aceleración de la gravedad en un punto que está situadoa una distancia de la Tierra equivalente a la distanciaa la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).

Llamamosg 0alvalordelaaceleracióndelagravedadenlasuperficie

delaTierraysuponemosquevale9,8m/s 2.

g G M

R h G

M

R R G

M

R

g

=+

=+

=⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅( ) ( )2 2 260

1

61

T

T T

T

T2→

→ == = = −g 02

22

61

m/ s

3721m/ s

9 82 63 10 3,

, ⋅



26


40. La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días.Calcula:a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna

atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 vecesla de la Tierra.

c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m,¿con qué velocidad llegará al suelo?

d) ¿Con qué velocidad llegará al suelo si se deja caer desde una altura

de 10 m de la Tierra?Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M T = 5,98 ⋅ 1024 kg;R T = 4R L; R T = 6370 km.

a) CuandolaLunaestáenórbitaalrededordelaTierra,F G=F C:

m v

r G

M m

r L

T L⋅ ⋅

⋅2

2=

Sabiendoquev r

T

r = =ωπ

⋅ ⋅2

,sustituyendo(unidadesSI)

ydespejando:

2

2

2

2

2

π

π

T r

r G

M

r r G M

T

= =⋅

⋅ ⋅ ⋅L

L

T

L

L TL

→

2

3→

→ r L

2=

−6 67 10 5 98 10

27 3 24 60 6011 24, ,,

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

π

=

=

2

3

6383 06 10, ⋅ m

b) Enestecaso:

F G M m

r G

M M

r T

T L

L

TT

L

N

= =

−

⋅⋅

⋅

⋅

=

= ⋅ ⋅

2 2

11

81

1

816 67 10, ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅m kg

( kg)

( m)

2 22

2

− =5 98 10

383 06 10200

24

6

,

,,668 1018⋅ N

LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentido

contrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.c) Elcuerpoquecaetendráunmovimientouniformementeacelerado.

Vendrádeterminadoporlasecuaciones:

v v at y y v t a t = + = + ⋅ + ⋅0 0 021

2;

Suponemosquev 0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestá

enelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.

Laaceleraciónseráencadacasoladelagravedad;utilizando

unsistemadereferenciacartesiano,tendrásignonegativo.



27

Solucionario

TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mserá:

g G m

R h L

L

L

=+

= −⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅( ),

,

211

24

6 67 10

5 98 10

81

6370 100 10

4

1 943 2+

= , m/ s2

y g t t

t

= − − = − ⋅

=⋅

1

210

1

21 94

10 2

1 9

2 2L

2m m/ s

m

⋅ ⋅→ →

→

,

, 44 m / s2 = 3,21 s

Portanto:

v g t t v L L L= − = − ⋅ = − ⋅ = −⋅ 1 94 1 94 3 21, , ,m/s m/s s 6,22→ 33 m/s

Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.

d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.

Calculamoselvalordeg enesepunto;comoantes,esmuysimilar

alvalorenlasuperficie:

g G M

R h T =

+= −⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

T

T( ),

,

(2

1124

6 67 105 98 10

6370 1033 2109 83

+=

), m/s2

y g t t

t

= − − = − ⋅

=⋅

1

210

1

29 83

10 2

9 8

2 2T

2m m/ s

m

⋅ ⋅→ →

→

,

, 33 m/s2= 1,43 s

Portanto:

v g t T T2m/s s= − = − ⋅ = −⋅ 9 83 1 43, , 14,06 m/s

Elsignonegativoindicaqueestádescendiendo.

41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planetacon una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igualtamaño, ¿cuál será su peso? Dato: g T = 9,8 m ⋅ s−2.

P =F G=m ⋅ g .EnlaTierra:

g G M

R T

T

T

2m/ s= =⋅2

9 8,

Enelplaneta(M P=M T /10; R P=R T):

g G M

R G

M

R G

M

R g P

P

P

T

T

T

T

T10

= = = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2 2

1

10

1

10

1

10⋅⋅

⋅ ⋅

9 8

0 98 10 0 98 9 8

,

, , ,

m/s

m/s kg m/s

2

2 2

=

= = = =→ P m g NN



28


42. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslaciónde un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier puntode la órbita.

b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la gravedaden la superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficiede la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venusla constante de gravitación universal, G , el valor obtenido sería el 90%del medido en la Tierra».

(Andalucía, 2007)

a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendo

órbitaselípticas.ElSolestáenunodelosfocosdelaelipse.

2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;

esdecir,elvectordeposicióndecadaplaneta

conrespectoalSol(elradiovector)barreáreasiguales

entiemposiguales.

dA

dt

= cte.

3. Paratodoslosplanetas:T

a k

2

3= (constante).

Dondea eselsemiejemayordelaelipseyT eselperiodo

delplaneta.

ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetas

debenmoversemásrápidoalestarmáscercadelSol

(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplica

unalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestémásalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.

b) LaconstanteG esuniversal,porloquenovaríaentrelaTierra

yVenus;loquevaríaeselvalordelaaceleracióndelagravedad,g ,

encadacaso:

g G M

R g G

M

R Venus

Venus

Venus

TierraTierra

Ti

= ⋅ = ⋅2

;

eerra2

Más

lento

Más

rápidoSol

Afelio Perihelio



29

Solucionario

43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio dobledel de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra.¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayoro menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor,¿en qué proporción?

Conunrazonamientoidénticoaldelejercicioanteriordemostraremos

queg enEgabbacseráeldoblequeenlaTierra.SiR P=2R T:

d m

V

d M

R

d M

R

M M = =

⋅

= =

⋅

=→ →PP

T

TT

T

P T

43

2 43

8

3 3π π( )

g G M

R g G

M

R G

M

R g T

T

T

PP

P

T

T

T= = ⋅ = ⋅ =⋅2 2 2

8

22→

( )

ComoP =F G=m ⋅ g ,resultaqueelpeso(2m ⋅g T)seráeldoble

queenlaTierra.

44. La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces

la de la Tierra su diámetro, 10 veces mayor que el terrestre,y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.

a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.

b) Calcule el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta completaalrededor del Sol, expresado en años terrestres.

Datos: g = 10 m ⋅ s−2; radio orbital terrestre = 1,5 ⋅ 1011 m.

(Andalucía, 2007)

a) P F m g g G M

R = = =G

J

J

y⋅ ⋅J2

.

Si M M R R g G M

R g J T J T

T

T

Ty= = = =300 10300

103

2⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

⋅→ J( )

→→

→ P m g = ⋅ = =J 75 kg 3 10 m / s 2250 N⋅ ⋅

b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira

alrededordelSolverifica:T

r

2

3

= cte.

Portanto,T

r

T

T

2

3=

T

r

J

J

cte.2

3= Además,r J=5 ⋅ r T.Igualando:

T

r

T

r

T

r

T

r

T T T J

J

T

T

J

T

T

T

JT

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

5 5=

⋅

= =→ → →

( )JJ T

J T T

2 3 2

3

5

5 11 18

= ⋅

= ⋅ =

T

T T T

→

→ , ⋅

Portanto,elperiododeJúpiteresde11,18añosterrestres.



30


45. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequeñamasa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vérticesde un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:

a) A y B se acercarán uno al otro más rápidamente.

b) C y X se acercarán uno al otro más rápidamente.

c) Se acercarán ambas parejas con la misma aceleración.

Larapidezconlaqueuncuerpo

seacercaaotrodependedesuaceleración.

Talycomoestánanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamos

elacercamientodecadaparejademasas

conindependenciadelapresencia

delaotrapareja.

LafuerzaconqueseatraenlasmasasA

yBes:

F G M M

d

G = ⋅

⋅

2

M :masadeA,B,C.

m :masadeX.

Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:

F M a G M

d a a G A B= ⋅ = =⋅ →

2

LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:

F G M m

d G = ⋅

⋅

2

LaaceleracióndeloscuerposCyXesdistinta:

F m a G M m

d m a G

M

d a

F M a G M

GX X X X

GC C

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

→ →

→

2 2

m m

d M a G

m

d a

2 2= ⋅ =⋅ C C→

ElcuerpoCsemueveconmenoraceleraciónquecualquiera

delosotrostres;portanto,laparejaA,Bseacercaunoalotro

conmásrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoverá

haciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;

C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.

46. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 ⋅ 108 m,¿en qué punto debiera situarse un satélite de 10 toneladas para que seaigualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas?

Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.

(P. Asturias. Septiembre, 1999)

B

A

C

X

d d



31

Solucionario

Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquiera

severáatraídoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrario

alaqueejercelaLunasobreél.

Porladefinicióndefuerzagravitatoria:

F G M m

d F G M m

d GT

TGL

L= ⋅

⋅

= ⋅

⋅

12

22;

YqueremosqueF GT=F GL:

G M m

d G

M m

d

M

d

M

d ⋅

⋅⋅

⋅=

T L T L

12

22

12

22

= → [1]

Ademássabemosqued d d d 1 28

18

23 84 10 3 84 10+ = = −, ,⋅ ⋅m m→

yM M 0 012= , ⋅L T.Retomando[1]:

M

d

M

d d

T T

( , )

,, ( ,

3 84 10

0 0120 012 3 8

82

222 2

2

⋅

=⋅

⋅

−

=→ 44 1082

2⋅ − d )

Desarrollandolaecuaciónde2.°gradoydescartandoelresultado

negativo,resulta:

d

d

26

18 6

37 906 10

3 84 10 37 906 10 346

=

= − =

,

, ,

⋅

⋅ ⋅

m

y m m ,,094 106⋅ m

Ylasoluciónesindependientedelamasadelcuerpo.

47. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de lado se han colocadodos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza queejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice, si la alturadel rectángulo es de 3 m.

LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,

respectivamente.WF ACserálafuerzaejercidasobreelcuerpoC

de2kgporelcuerpoA;yWF BC,laejercidaporelcuerpoB.

Tierra Luna

d 2d 1

PWF GT WF GL

2kg

B A

Cα

1kg0,5kg

WF AC

WF BC3m



32


WF ACtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:

F G m m

d AC

A C

AC2

N kg

kg

kg kg= ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

⋅

2

116 67 100 5 2

,,−

337 41 10

2

12

mN

2=

−, ⋅

Enformavectorial:

WF AC= −WF AC⋅W j = −7,41⋅10−12⋅W j N

LadistanciaqueseparalasmasasCyBes:

3 5 5 832 2+ = , m

WF BCtieneladirecciónysentidoqueseindica,yelmóduloserá:

F G m m

d BC

B C

BC2

N kg

kg

kg kg= ⋅

⋅= ⋅

⋅⋅

⋅

2

116 67 101 2

5,

,

−

8833 9 2 10

2

12

mN

2=

−, ⋅

Parapoderhacerlasumadeambasfuerzas,expresamosWF BCdeforma

vectorial.Obtendremossuscomponentesproyectandolafuerzasobre

losejescartesianos:

WF BC= −F BC⋅cosα⋅Wi − F BC⋅senα⋅W j →

→F i j BC = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅− −3 92 10

5

5 833 92 10

3

5 83

12 12,,

,,

N ==

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −3 36 10 2 02 1012 12, ,i j N

W W W

WW

Porsuperposición:WF T=WF AC+WF BC.

F j i T = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅− − −( , ) ( , ,7 41 10 3 36 10 2 02 1012 12 122

12 123 36 10 9 43 10

⋅

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− −

j

F i j

N) →

→ T N, ,

W

W W W

W W W

Elmóduloserá:

F T N= − ⋅ + − ⋅ = ⋅− − −( , ) ( , )3 36 10 9 43 10 1 1012 2 12 2 11



33

El campogravitatorio2

• TrasestudiarlaleydelagravitaciónuniversalpropuestaporNewton,

enestetemanosproponemosestudiarlainteraccióngravitatoria

comounaperturbaciónquemodificalaspropiedadesdelmedioenelqueseencuentranloscuerposporelhechodetenermasa.

Utilizaremoselconceptodecampoparadescribirlaperturbación

cuyovalorencadapuntonospermitirápredecirlainteracciónquesufrirá

uncuerpodeterminadoquesecoloqueenesepunto.Tantoelestudio

delcampocomoeldelainteracciónseharádeformadinámica

yenergética.

• Lasegundapartedeltemasededicaaprofundizarenelconceptode

campogravitatorioterrestreyensusimplicacionesenelmovimiento

delossatélitesartificiales;dispositivostecnológicoscadavezmás

utilizadospararealizarcomunicaciones,hacerpredicciones

meteorológicas,etc.

PRESENTACIÓN

• Reconocerelconceptocampocomounrecursoadecuadoparaestudiar

lainteracciónadistancia.

• Separarconceptualmentelaperturbaciónprovocadaporuncuerpoenelespacioquelerodeadelaacciónquesufreotrocuerpo

quepenetraenelcampo.

• Aprenderamanejarconsolturalafunciónintensidaddecampo

ylafunciónpotencialcomodosfuncionesmatemáticas(laprimera,

vectorial,ylasegunda,escalar)quedefinenlaperturbacióngravitatoria.

• Obtenerunarepresentacióngráficadelcampogravitatorio.

• Comprenderlainteraccióngravitatoriacomounainteracción

conservativa.

• Utilizarelprincipiodesuperposiciónparadeterminarelvalordelcampocreadoporunconjuntodemasaspuntuales.

• IdentificarlaTierracomounadistribucióncontinuademasayabordar

elestudiodelcampogravitatorioquecreaendistintospuntosporencima

ypordebajodesusuperficie.

• Reconocerelcampogravitatorioterrestrecomoelresponsable

delmovimientodelossatélitesartificiales.

• Aplicarlaleydelagravitaciónuniversalyelprincipiofundamental

deladinámicaparaestudiarelmovimientodelossatélitesqueorbitan

laTierra.

OBJETIVOS



34

2 El campo gravitatorio

• Elcampocomounconceptoparaestudiarlainteracciónqueuncuerpocreaenelespacioquelerodea.

• Definicióndelvectorintensidaddecampogravitatoriocreadoporuncuerpopuntual.Relaciónconlaaceleracióndecaídalibre.

• Relacióndelaintensidadenunpuntodelcampocreadoporuncuerpoconlafuerzagravitatoriaqueejercesobreotrocuerpocolocadoenesepunto.

• Demostracióndequeelcampogravitatorioesuncampoconservativo.

• Definicióndelpotencialenunpuntodelcampoysurelaciónconlaenergíapotencialqueadquiereotrocuerpoquesecolocaendichopunto.

• Relaciónentreeltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampocuandouncuerposedesplazadeunpuntoaotroylavariacióndeenergíapotencialeneldesplazamiento.

• Conservacióndelaenergíamecánica.

• Estudiodecamposcreadosporvariasmasaspuntuales.Principiodesuperposición.

• Representacióngráficadelcampo:líneasdecampoysuperficiesequipotenciales.

• EstudiodelcampogravitatorioquecrealaTierra;variaciónenfuncióndelaprofundidad,laaltitudylalatitud.

• ElmovimientodesatélitesentornoalaTierra.Estudiodesuscaracterísticasorbitales,delavelocidadparaquealcanceunaórbitadeterminadaydelavelocidaddeescape.

Conceptos

CONTENIDOS

• Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.

• Llevaracabounesfuerzodeabstracciónparadiferenciarlaperturbaciónqueprovocauncuerpodelainteracciónquesufreunsegundocuerpoporlaperturbacióncreadaporelprimero.

• Valorarlarepresentacióngráficadeunapropiedadpormediodelaslíneasdecampoolassuperficiesequipotenciales.



• Reconocerlasmagnitudesylasrelacionesentreellasqueserequierenparaestudiarelmovimientodesatélites.


• Interésporaplicarlosconocimientosteóricosqueaportaestetemaparacomprenderelmovimientodelossatélitesartificiales.

• Comprenderelesfuerzocientíficoytecnológicoquesuponeenviarunanavealespacio.Valorarelesfuerzoquerequieresurecuperación.

Actitudes



35


Estetemanospermiteabordarlaeducaciónenvaloresbajodiversosaspectos.


LasprimerasaplicacionesdelossatélitesartificialesqueorbitabanlaTierraerandecaráctermilitar.Perohoyendíalamayoríaseempleanentareasdecomunicaciónypredicciónmeteorológica.Sucosteobliga,enocasiones,aquevariospaísesoinstitucionesseunanparaelmantenimientodeunservicio;sirvacomoejemploelsistemaGalileodecomunicacionesqueestántratandodeponerenmarchalospaísesdelaUniónEuropea.

Alhilodeestasideassepuedereflexionarconelalumnadoacercadelcambiosocialquehanprovocadolosavancestecnológicosrelacionadosconlossatélitesartificiales.Tambiénsepuedeanalizarlarelacióncoste-beneficiodeestosserviciosycompararloconelcostequesupondríanotrosbeneficiosquerequierenconurgenciaciertossectoresdelahumanidad.

2. Educación medioambiental

Laactividaddelossatélitesartificialesprovocalaaparicióndebasuraespacial.Sepuedereflexionarconelalumnadosobreestehechoafindeque,desdeunaposiciónmásampliaquelaquerepresentaservecinosdeunbarrio,tomen

posturaytenganunaopiniónformadaacercadeloqueconvienehacerconesabasura.¿Quépuedesignificarlaideadereutilizar,reciclaryrecuperarlabasuraespacial?


1. Calcularelcampoyelpotencialgravitatoriosqueunamasapuntualcreaenunpuntodelespaciodeterminado.

2. Hallarelcampoyelpotencialgravitatoriosqueunconjuntodemasaspuntualescreaenunpuntodelespaciodeterminado.

3. Calcularlafuerzaqueactúasobreuncuerpoqueestáenundeterminadopuntodeuncampocreadoporunaomásmasaspuntuales.

4. Averiguareinterpretarelsignodeltrabajoolaenergíaqueserequiereparaqueuncuerposedesplacedeunpuntoaotrodeuncampogravitatorio.

5. Representargráficamenteelcampogravitatoriocreadoporunaomásmasaspuntuales.Reconocerlaspropiedadesdelaslíneasdecampoylassuperficiesequipotenciales.

6. CalculareinterpretarelvalordelaintensidaddelcampogravitatoriocreadoporlaTierraendistintospuntosporencimaypordebajodesusuperficie.

7. RealizarcálculosrelativosalmovimientodelossatélitesartificialesqueorbitanlaTierra.Determinarelpesodelsatélite,elradiodelaórbita,elperiodo,etc.

8. Determinarlaenergíaqueserequiereparaponerunsatéliteenunaórbitaconcreta,paraquepasedeunaórbitaaotraoparaqueescapedelcampogravitatorioterrestre.




36


1. Dos masas puntuales de 10 kg cada una están en las posiciones(5, 0) y (−5, 0). Una tercera masa de 0,1 kg se deja en libertady con velocidad nula en el (0, 10). Calcula:

a) La aceleración que actúa sobre la masa en las posiciones:

• A(0,10).

• B(0,0).

b) La velocidad de la masa de 0,1 kg en (0, 0).

a) Deacuerdoconelprincipio

fundamentaldeladinámica:

Wa =WF

m

Cuandolafuerzaque

actúasobreuncuerpo

eslagravitatoria,

laaceleracióncoincide

conelvectorintensidad

delcampogravitatorioenelpunto:

Wg = WF G

m

Calculamoselvalordelaintensidaddelcampogravitatorio

enlospuntosAyB.

Porelprincipiodesuperposición:

Wg A=Wg 1A+Wg 2A; Wg B=Wg 1B+Wg 2B

SabemosqueWr 1Aesunvectorconorigenen(5,0)yextremoen(0,10).Portanto:

r i j 1A = − ⋅ + ⋅5 10 →W W W

u r

r

i j 1A

1A

1A

= =− ⋅ + ⋅

+

=5 10

5 102 2→

−− ⋅ + ⋅5 10

1118

i j

,W

WW

W W W W

Queda:

g G M r

u 1A

1A

r 1A= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅−

1

2

11

26 67 10 10

11 185,

,i i j

i

+ ⋅ =

= ⋅ ⋅ − ⋅− −

101118

2 386 10 4 773 1012 12

,

, ,

N/kg

⋅⋅ j N/kg

W WW W

WW

SabemosqueWr 2Aesunvectorconorigenen(−5,0)yextremo

en(0,10).Portanto:

r i j u r

r

i j 2 A 2A

2A

2A

= ⋅ + ⋅ = =⋅ + ⋅

+

=⋅

5 105 10

5 10

5

2 2→

i i j + ⋅10

11 18,W W W W

W

W

W W W W

A(0,10)

B(0,0)

10kg 10kg

M 1(5,0)

Wr 1BWr 2B

Wr 2A Wr 1A

M 2(−5,0)



37

Solucionario

Queda:

g G M

r u

i 2A

2A

r 2A= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅ ⋅

−2

2

11

2

6 67 10 10

1118

5,

,·

++ ⋅=

= − ⋅ ⋅ − ⋅− −

10

11 18

2 386 10 4 773 1012 12

j

i

,

, ,

N/kg

⋅⋅ j N/kg

W WW W

WW

Finalmente:

g g g i j A 1A 2A N/ k= + = ⋅ − ⋅− −( , · , · )2 386 10 4 773 1012 12 gg

N/kg

+

+ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= −

− −( , , )

,

2 386 10 4 773 10

9

12 12i j

5546 1012

·−

⋅ j N/kg

WWWWW

W W

W

LoscálculossonanálogosparaB.

SabemosqueWr 1Besunvectorconorigenen(5,0)yextremo

en(0,0).Portanto:

r i u r

r

i i 1B 1B

1B

1B

= − ⋅ = =− ⋅

= −55

5→

W WW W

WW

W

Queda:

g G M r

u i 1B

1B

r1B N/ k= −⋅

= −⋅ ⋅

⋅ −

−

12

11

2

6 67 10 10

5· , ( ) gg

N/kg

=

= ⋅ ⋅−

26 68 10 12, i

W W W

W

SabemosqueWr 2Besunvectorconorigenen(−5,0)yextremo

en(0,0).Portanto:

r i u r

r

i i 2 B 2B

2 B

2B

= ⋅ = =⋅=5

5

5→

W W

W

WW

WW

Queda:

g G M

r u i 2B

2B

r 2B N/kg= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅ =

=

−2

2

11

2

6 67 10 10

5

,

−− ⋅ ⋅−

26 68 10 12, i N/kg

W W W

W

Porúltimo:

Wg B=Wg 1B+Wg 2B= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =− −

26 68 10 26 68 10 012 12, ,i i W W

b) Siadmitimosquelaúnicainteracciónqueexisteeslagravitatoria,

seconservarálaenergíamecánica.Aplicandoelprincipio

deconservacióndelaenergíamecánicaalospuntosAyB:

E CA+E PA=E CB+E PB

• E E E GM m

r

GM m

r P A P 1A P 2A

1A 2A

= + = −⋅−

⋅=

= −⋅

−

1 2

6 67 10, 111 1110 0 1

11 18

6 67 10 10 0 1

11 18

11

⋅ ⋅−

⋅ ⋅ ⋅=

= −

−,

,

, ,

,

,,93 10 12⋅

−J



38


• E E E GM m

r

GM m

r P B P 1B P 2B

1B 2B

= + = −⋅

−⋅

=

= −⋅

−

1 2

6 67 10, 111 11

1

10 0 1

5

6 67 10 10 0 1

5

26 68 10

⋅ ⋅−

⋅ ⋅ ⋅=

= − ⋅

−

−

, , ,

, 22J

Portanto,usandounidadesdelSI:

E CA+E PA=E CB+E PB→ 01

2

2+ = ⋅ +E m v E P A B B P B →

→ 0 11 93 101

20 1 26 68 10

1

12 2 12− ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅

=

− −, , ,

,

v

v

B

B

→

→ 772 10 5⋅

− m/s

2. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadasen los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcula:

a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centrode cada lado del cuadrado.

b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centrodel cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales.

Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

(C. Madrid, 2008)

a) Dadoqueelsistema

esperfectamente

simétrico,

calculamoselcampo

gravitatorioenunodeloslados:

Wg X=Wg A+Wg B+Wg C+Wg D

SabemosqueWr A

esunvectorcon

origenen(0,0)

yextremoen(1,0).

Portanto:

r i u r r

i i A rA A

A

= = = =→ 1

W W WW W

W

W

Tenemos:

g G M

r u i A

A

A

rA N/kg= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅ =

= −

−

2

11

2

6 67 10 6

1

4 0

,

, ⋅⋅ ⋅−10 10 i N/kg

W W W

W

SabemosqueWr Besunvectorconorigenen(0,2)yextremo

en(1,0).

2m

2m2m

B(0,2),6kg C(2,2),6kg

X(1,0)A(0,0),6kg D(2,0),6kgWr A

Wr B Wr C

W

g CWg

B

Wg A Wg D

Wr D



39

Solucionario

Portanto:

r i j u r

r

i j i j B rB

B

B

= − = =−

+

=−

22

1 2

2

52 2→

W W

W W WW W

W

W W

Queda:

W WW W

WW

g G M

r u

i j B

B

B

rB N/kg= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅−

=

= −

−

2

116 67 10 6

5

2

5

,

33 58 10 7 16 1011 11, ,⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −i j N/kg

SabemosqueWr Cesunvectorconorigenen(2,2)yextremo

en(1,0).Portanto:

r i j u r

r

i j i j C rC

C

C

= − − = =− −

+

=− −

22

1 2

2

52 2→

W W

W W WW W

W

W W

Queda:

g G M

r u

i j C

C

C

rC N/kg= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅− −

=

=

−

2

116 67 10 6

5

2

5

,

33 58 10 7 16 1011 11, , ·⋅ ⋅ + ⋅− −i j N/kg

W WW W

WW

SabemosqueWr Desunvectorconorigenen(2,0)yextremo

en(1,0).Portanto:

r i u r

r

i i D rC

D

D

= − = =−

= −→ 1

WW

W

WWW W

Queda:

g G M

r u i D

D

D

rD N/kg= −⋅

= −⋅ ⋅

⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 6

1

4

·,

( )

⋅⋅ ⋅−10 10 i N/kg

W W W

W

Finalmente:

g i i j X = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− − −( ) ( , ,4 10 3 58 10 7 16 1010 11 11 ))

( , , ) ( )

+

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− − −

3 58 10 7 16 10 4 1011 11 10i j i →→

→ g j X N/kg= + ⋅ −1 43 10 10, ·

W W W W

WWW

WW

Deformasimilarsecalcularíaelcampo

enelcentrodelosotroslados.Elresultado

sería:

• g j Y N/kg= − ⋅ ⋅−

1 43 10 10,W W

• g i W N/kg= + ⋅ ⋅−

1 43 10 10,W W

• g i Z N/kg= − ⋅ ⋅−

1 43 10 10,W W

Wg W Wg Z

Wg X

Wg Y



40


b) Dadoqueelpotencial

esunescalar,calculamos

elvalordelpotencial

enelcentro(puntoX)

comolasuma

delpotencialquecrea

cadaunadelasmasas

queestánenlosvértices:

V V V V V X A B C D= + + +

Tomandoelinfinitocomoorigendepotenciales,

elpotencialenunpuntor

creadoporlamasaM

vienedadoporlaexpresión:

V G M

r = −

⋅

Todoslospuntosestánalamismadistanciadelcentro,quees

lamitaddeladiagonaldelcuadrado:

r =+

=2 2

22

2 2

m →

→ V G M

r A

A

A

J/kg= −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅

−

−6 67 10 6

22 83 10

1110,

,

ComoV A=V B=V C=V D:

V V X A J/kg J/kg= ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅

− −4 4 2 83 1

0 113

10

10 9

( , ) ,

3. Suponiendo que la Tierra es una esfera maciza deR = 6370 km y M = 6 ⋅ 1024 kg, señala en qué punto del interiorde la Tierra un cuerpo de masa m pesa lo mismo que en lo altodel pico del Teide (3718 m de altura).

Primeramente,obtenemosg paralaalturadelTeide.

ComononosdanG :

g G M

R G M g R 0

20

2=

⋅⋅ = ⋅

T

T

T T→

Así:

g G M

r

G M

R h

g R

R h g

R

R =

⋅=

⋅

+

=⋅

+

= ⋅T T

T

T

T

T

2 2

02

20

2

( ) ( ) ( TT +

=

= ⋅⋅

⋅ +

=

h

g g

)

( )

( ),

2

0

3 2

3 2

6370 10

6370 10 37180→ 99988 0⋅ g

2m

2m2m

B C

A D

Wr A

Wr B Wr C

Wr D

X(0,0)



41

Solucionario

DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntosinterioresalaTierra

(r <R T):

g g r

R = ⋅0

T

→

→ r R g

g R

g

g = ⋅ = ⋅

⋅= ⋅ ⋅ =

=

T T m0

0

0

30 9988

0 9988 6370 10,

,

66 3623 56 10 6362 366, ,⋅ =m km

Elpuntoseencuentraaunaprofundidadde:6370km−6362,36km=7,64kmdesdelasuperficiedelaTierra

4. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntosde un mismo paralelo terrestre tienen el mismo valor de la gravedadaunque se encuentren a la misma altura»:

a) Verdadero.

b) Falso.

c) Depende de qué paralelo sea.

Larespuestacorrectaeslab)Falso,yaquetodoslospuntos

delmismoparalelotienenlamismalatitud,porloque,siestán

alamismaaltura,tendránelmismovalordegravedad,

yaquenohayvariaciónporlatitud.

5. Razona sobre la veracidad o falsedad de esta frase: «No todos los puntosde un mismo meridiano terrestre tienen el mismo valor de la gravedad,aunque se encuentren a la misma altura»:

a) Verdadero.b) Falso.

c) Depende de qué meridiano sea.

Larespuestacorrectaeslaa)Verdadero,yaqueenunmismo

meridianohayvariacióndelatitudy,porlotanto,existeunavariación

delagravedadasociadaalalatitud.

6. Tras estudiar este apartado, Luisa y Juan deciden emprender

un negocio para hacerse ricos sin grandes esfuerzos; consisteen comprar lingotes de oro en Ecuador y venderlos en Groenlandia.Razona si este negocio puede tener éxito o conviene que piensenen otra alternativa.

Siseutilizanbalanzasquedeterminanelpesodeuncuerpo

porcomparaciónconunaspesasdeterminadas,loslingotes

pesaránlomismoencualquierpunto,yaquelainfluencia

delaatraccióngravitatoriasobreellingotesedadeformaidéntica

enlaspesas.



42


Siseutilizanbalanzasquemidenlafuerzadeatraccióngravitatoria,

porejemplo,midiendoelestiramientoquesufreunmuelledelque

cuelgaellingote,estepesarámásenelpoloqueenelecuador.

Larazónesque,debidoalmovimientoderotacióndelaTierra,

loscuerposqueestánenelecuadorestánsometidos

aunafuerzacentrífugaqueseoponealagravitatoria

y,enconsecuencia,laatraccióngravitatoriaefectiva

quesufrenloscuerposenelecuadoresmenordelaquetendrían

silaTierranorotase.Lafuerzacentrífugaesdirectamente

proporcionalalradiodelaórbitaquedescribeelcuerpo

ensumovimientoderotaciónconlaTierra,porloqueesnulaenelpolo;enelpololafuerzagravitatoriaefectiva

quesufrenloscuerpos(supeso)coincideconlafuerzadeatracción

gravitatoriaqueejercerealmentelaTierra.

7. Un satélite artificial de 500 kg de masa, que se encuentra en una órbitacircular, da una vuelta a la Tierra en 48 horas.

a) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encuentra?

b) Calcula la aceleración del satélite en su órbita.

c) ¿Cuál será su periodo cuando se encuentre a una altura de la superficieterrestre igual a dos veces el radio de la Tierra?

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M T = 5,97 ⋅ 1024 kg;R T = 6370 km.

(Canarias. Junio, 2005)

a) Paraelsatélitequegiraaunaalturah :

F C=F G→ →G M m

r

m v

r

G M

r

v ⋅⋅

=⋅

⋅ =T s s T

2

22

Comoconocemoseltiempoquetardaendarunavuelta,

ponemosv enfuncióndeT :

v =ω ⋅r ; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =2 22 2 2

2

2

T v r

T r

GM

r →

T

Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ =48 h60 min

1 h

60 s

1 min

s172 800

Reordenandoydespejandolaexpresiónanterior:

r GM T

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

T2

23

11 24 2

4

6 67 10 5 97 10 172 800

4π π

, ,22

3

667 03 10

=

= ⋅, m

Queda:

h r R = − = ⋅ − ⋅ = ⋅T m m m67 03 10 6370 10 60 66 106 3 6, ,



43

Solucionario

b) Coincideconelvalordelaintensidaddelcampogravitatorio

enelpunto.Tambiénsepodríacalcularcomoa = v 2

r .

g G M

r =

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−T

2

11 24

6 2

6 67 10 5 97 10

67 03 108

, ,

( , ),,86 10 2 2⋅ − m/s

c) Enesaórbitatambiénsecumplirá:

F C=F G→ →G M m

r

m v

r

G M

r

v T s s T⋅

=⋅

=2

22

v =ω ⋅r ; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =2 22 2 2

2

2

T v r

T r

GM

r →

T

DeaquísededuceelvalordeT (unidadesdelSI):

T r

GM

R h

GM

R

GM =

⋅=

⋅ +=

⋅ ⋅=

=

4 4 4 32 3 2 3 2 3π π π

T

T

T

T

T

( ) ( )

44 3 6370 10

6 67 10 5 97 1026 3

2 3 3

11 24

π ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

−

( )

, ,, 004 10

7 18

3⋅ =

= =

s

7,3 h h min

8. Se desea situar un par de satélites artificiales en una órbitaecuatorial. Se pretende que el primero de ellos sea geoestacionario,mientras que el segundo se situará al doble de distancia del centro

de la Tierra. Calcula:a) La altura a la cual debe orbitar el primero.

b) El periodo de orbitación del segundo.

c) ¿En qué influiría la masa de los satélites?

Datos: R T = 6370 km; M T = 5,96 ⋅ 1024 kg;G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

a) Elsatélitegeoestacionariotendráelmismoperiododerotación

quelaTierra,esdecir,1día.Obtenemoslaalturaalaquedebe

orbitar. Cuandoelsatéliteestáenórbita:

F C=F G→ →G M m

r

m v

r G

M

r v

T s s T⋅=

⋅=

2

22

ConocemoselperiodoT :

v =ω⋅r ; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =2 22 2 2

2

2

T v r

T r

GM

r →

T



44


Despejandor podremoscalcularelradiodelaórbita.

r T GM

=⋅2

23

4

T

π [1]

Sustituyendolosdatos:

r =

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 112

2

24sN m

kgkg

444 23 10

2

37

π= ⋅, m

Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:

h =4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m

b) Obtenemoselradiodeórbitadelsegundosatéliteapartirdelradio

obtenidoenelapartadoanterior:

r r 27 7

2 2 4 23 10 8 46 10= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅, ,m m

Reordenamoslaexpresión[1]paraobtenerelperiodo.

Sustituyendolosdatoscorrespondientesaestecaso:

T r GM

= ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅−

4 4 8 46 106 67 10 5 97

22

3 2 7 3

11π π

T

( , ), , ⋅⋅

= ⋅ =10

2 45 1024

5, s 68 h

c) Lamasadelsatélitenoinfluyenienelperiodonienelradio

delaórbita.Influiríaenlaenergíamecánicadelossistemas

oenladeterminacióndesupesoenunlugardeterminado.

9. Los NOAA son una familia de satélites meteorológicos norteamericanosque orbitan la Tierra pasando sobre los polos, con un periodo aproximado

de 5 horas. Calcula:a) La altura a la que orbitan sobre la superficie de la Tierra.

b) La velocidad con que lo hacen.

Datos: R T = 6370 km; M T = 5,96 ⋅ 1024 kg;G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.


F C=F G→G M m

r

m v

r

G M

r

v T s s T⋅

=⋅

=2

22

→

Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ = =5 h60 min

1 h

60 s

1 min18 000 s 5 h

Comoconocemoseltiempoquetardaendarunavuelta,ponemos

v enfuncióndeT :

v =ω ⋅r ; ωπ

ωπ

= = ⋅ =

⋅ =

2 22 2 2

2

2

T v r

T r

GM

r ; T



45

Solucionario

Reordenandoydespejando:

r GM T

=

⋅

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

T2

23

11 24 2

4

6 67 10 5 97 10 18 000

4

π

π

, ,22

3 614 84 10= ⋅, m →

→ h r R = − = ⋅ − ⋅ = ⋅T m m m14 84 10 6370 10 8 47 106 3 6, ,

b) Paraelsatélitequegiraaunaalturah :

F C=F G→ G M m r

m v r

T s s⋅=

⋅

2

2

→

→ v G M

r =

⋅

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅

=

−

T 6 67 10 5 97 10

14 84 105 18

11 24

6

, ,

,, ⋅⋅ 103 m/s

10. Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2R T en torno a la Tierra. Calcula:

a) La velocidad orbital.

b) El peso del satélite en la órbita si en la superficie de la Tierra pesa5000 N (dibuja las fuerzas que actúan sobre el satélite).

Datos: R T = 6370 km; G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2; g 0 = 9,8 m/s2.


F C=F G→ →G M m

r

m v

r v

G M

r

T s s T⋅

=

⋅

=

⋅

2

2

Además:

g

G M

R G M g R 0 2 0

2

=

⋅

⋅ = ⋅

T

TT T→

Portanto:

v g R

R =

⋅

=

⋅ ⋅

= ⋅0

2 33

2

9 8 6370 10

25 587 10T

T

,, m/s

b) F =m ⋅g .Paralafuerzapeso,enlaTierra: P =mg .

g G M

r

G M

R

g R

R

g

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

=

T T

T

T

T

2 2

02

2

0

2

4 4

( )

→

→ P m g m g

P

= ⋅ = ⋅ =

= = =

0

4

4

T 5000 N

41250 N

Laúnicafuerzaqueactúaeslafuerza

gravitatoria,esdecir,elpesodelsatélite.

Tierra

WF G



46


11. Calcula la velocidad con que debe lanzarse un satélite de 500 kg desdela superficie de la Tierra para llevarlo a 2000 km de altura.¿Con qué velocidad debería lanzarse para llevarlo al infinito?

Datos: R T = 6370km y g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

Admitiendoquelaúnicainteracciónqueactúasobreelsistema

eslagravitatoria,seconservalaenergíamecánica,deforma

quelaenergíamecánicadelsistemaenelpuntodellanzamiento(E M i)

coincideconlaenergíamecánicaenlaórbita(E Mf ).

E E E E E

m v G M m

R

M i M f C i P i M f

s i

s

T

= + =

⋅ −⋅ ⋅

= − ⋅

→ →

→1

2

1

2

2G G M m

r

⋅ ⋅ s→

→1

2

1

2

1 1

2

2v G M

R

G M

r GM

R r i

T T

=⋅

− ⋅⋅

= ⋅ −

Paraqueuncuerpoalcanceunaórbitaaunadeterminadaalturah ,

talque:

r h R = + = ⋅ + ⋅ =T km km 8370 km2000 10 6370 103 3

debelanzarseconunavelocidad:

v GM R r

i

T

= ⋅ −

=

= ⋅ ⋅ −

21 1

2

2 6 67 10 511, · ,997 10

1

6370 10

1

2 8370 10

24

3 3⋅ ⋅

⋅−

⋅ ⋅

==

= ⋅8 8 103, m/s

Paraquealcanceelinfinito(velocidaddeescape),debeserr =`:

v GM R

' i

T

= ⋅ −

=

= ⋅ ⋅ ⋅−

21

0

2 6 67 10 5 911, , 77 10

1

6370 1011 18 1024

3

3⋅ ⋅⋅

= ⋅, m/s

12. Calcula la energía cinética que tendría que tener una persona de 70 kg

para estar dando vueltas alrededor de la Tierra en su superficie sin caer.Calcula cuánta energía sería necesaria para elevarla a una órbita establede 6370 km de altura.

Datos: R T = 6370 km y g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

Paraelsatélitequegiraaunaalturah porencimadelasuperficie

delaTierra:

F F G M m

r

m v

r v

G M

r

G M

R h C G

T s s T T

T

= ⋅⋅

=⋅

=⋅

=⋅

+→ →

2

2



47

Solucionario

Además:

g G M

R G M g R 0

20

2= ⋅ ⋅ = ⋅T

T

T T→

ParalasuperficiedelaTierra: r =R T.

v G M

r

g R

R =

⋅=

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅T T

T

m/s0

23 3

9 8 6370 10 7 9 10, ,

E m v C J= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1

2

0 5 70 7 9 10 2 18 102 3 2 9, ( , ) ,

Setratadellevaralapersonaaunaórbitaestableder =R T+h =2R T.

Habráquecomunicarleunaenergíaquesealadiferenciaentre

laenergíadelapersonaenlasdosórbitas:

∆E E E G M m

R

G M m

R

G M m R

= − = −⋅ ⋅

+⋅ ⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅ −

M 2 M1T

T

T

T

T

T

2

1 11

2 2 22R

GM m R

R

G M m

R T

TT

T

T

T

= ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

HaciendousodelarelaciónG M g R ⋅ = ⋅T T02:

∆E G M m

R

g R m

R

g R m =

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=T

T

T

T

T

2 2 2

02

0

=⋅ ⋅ ⋅

= ⋅9 8 6370 10

22 34 10

39,

,m/s m 75 kg

J

2

13. Indica si es cierta o no la siguiente expresión:

«Si el valor del campo gravitatorio debido a una masa M 1 en un punto Aes −8 N/kg y el campo en ese mismo punto creado por unamasa M 2 es −4 N/kg, el campo debido a la acción conjuntade las masas M 1 y M 2 en el punto A es −12 N/kg».

Esfalsa,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposición

elcampogravitatoriototalseobtienecomolasumavectorial

deloscamposgravitatoriosdebidosacadamasa.Seríanecesario

conocerdirecciónysentidodeambosparapoderrealizarelcálculo.

14. Indica si es cierta o no la siguiente expresión:

«Si el valor del potencial gravitatorio debido a una masa M 1 en un punto A es −8 J/kg y el potencial en ese mismo punto creadopor una masa M 2 es −4 J/kg, el potencial debido a la acción conjuntade las masas M 1 y M 2 en el punto A es −12 J/kg».

Esverdadera,yaqueenvirtuddelprincipiodesuperposición,como

elpotencialgravitatorioesunafunciónescalar,eltotalseobtienecomo

lasumaescalardelospotencialesgravitatorioscreadosporcadamasa.



48


15. Dadas dos masas M 1 y M 2:a) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el campo gravitatorio

provocado por esas dos masas sea cero?

b) ¿Existirá algún punto del espacio en el que el potencial gravitatorioprovocado por esas dos masas sea cero?

a) Existeunpuntodelespacioenelqueelcampogravitatorio

provocadoporambasmasasseanula,yseencuentrasobre

lalíneaqueuneambasmasas,yaquealsersudirecciónlamisma

ysentidosopuestos,seanularáenelpuntoenquesumódulo

seiguale.

b) Noexisteningúnpuntodelcampoenelqueelpotencial

gravitatorioseanule,yaqueesunafunciónescalarcuyosigno

essiemprenegativo.Soloenlaszonasdelespaciodonde

noseaprecieelefectodeesecampo(enr =`)sepuededecir

queelpotencialescero.

16. Razona cuál de las siguientes respuestas es correcta: dadas dos masas

puntuales iguales, el campo y el potencial en el punto medio de la líneaque une ambas masas es:

a) g = 0; V < 0. d) g Þ 0; V < 0.

b) g = 0; V = 0. e) g Þ 0; V > 0.

c) g = 0; V > 0.

Enelpuntomediodelalíneaquelasune,comolosvectores

deposiciónylasmasassoniguales,elmódulodeWg serátambién

igual.Ladireccióntambiéneslamismay,alsersussentidos

diferentes,elresultadoserácero.

Además,elpotencialgravitatorionoseanulanipodráserpositivo,

yaqueesunafunciónescalarcuyosignoessiemprenegativo.

Contodoesto,laopcióna)eslacorrecta.

17. Justifica si es cierta la siguiente afirmación:

«Cuando dos masas M 1 y M 2 crean un campo gravitatorio en la mismaregión del espacio, hay puntos en los que se cruzan las líneas del campoque crea cada una de ellas y puntos en los que se cortan las superficies

equipotenciales correspondientes a cada una de ellas».Porlaspropiedadesdelaslíneasdecampo,estasnosepuedencruzar

(sidoslíneasdecamposecruzan,enelpuntodecorteexistirándos

valoresparalaintensidaddelcampogravitatorio,locualesimposible,

yaquelaintensidaddelcampotieneunvalorúnicoencadapunto).

Además,tampocopuedencortarselassuperficiesequipotenciales

(silohiciesen,elpuntodecortetendríadosvaloresdepotencial,

locualesimposibleporqueelpotencialtieneunvalorúnico

encadapunto),porloquelaafirmaciónesfalsa.



49

Solucionario

18. Razona si el vector intensidad de campo gravitatorio tiene el sentidode los potenciales crecientes o decrecientes.

Tieneelsentidodelospotencialesdecrecientes.

Laslíneasdecampogravitatoriovandirigidashacialamasa

quelocrea.Elpotencialgravitatoriocreadoporlamasa(negativo)

aumenta(sehacemenosnegativo)amedidaquesealejadelamasa:

V GM

r = −

19. Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugaren que su energía potencial vale−200 J hasta otro donde vale−400 J.¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza del campo?

a) −200 J b) 200 J c) −600 J

Eltrabajoserá:

W E E E = − = − =

= − − − = − + =

∆ P P i P f

200 J J J J 20( )400 200 400 00 J

20. Determina cuánto valdrá el trabajo que realiza la fuerza de un campogravitatorio para desplazar un cuerpo de masa m de un punto A a otro Bsi ambos pertenecen a la misma superficie equipotencial.

Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacio

enlasqueelpotencialgravitatoriotieneelmismovalor.

Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunamasadeunpunto

aotrodeunasuperficieequipotencialesnulo:

W E E m V m V i f P f P i f i→

= − − = − ⋅ − ⋅ =( ) ( ) 0

21. En los vértices de un cuadrado de 3 m de lado hay tres masas de 10 kgcada una. Calcula:

a) La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice.

b) El potencial en ese punto.

Hacemosusodelprincipio

desuperposiciónpara

calculartantoelcampo

comoelpotencial

enelcuartovértice.

Deacuerdoconnuestro

dibujo,setratadelvérticeP.

a) Wg P=Wg A+Wg B+Wg C.

SabemosqueWr Aesun

vectorconorigenen(0,3)

yextremoen(0,0).

3m

3m3m

A(0,3),10kg

Wu BWu A

Wu C

B(3,3),10kg

C(3,0),10kgP(0,0) 3m

Wg A

Wg BWg C



50


Portanto:

r j u r

r

j j A rA

A

A

= − ⋅ = =− ⋅

= −33

3→

WW W

WW W

W

Queda:

g G M

r u j A

A

A

rA N/kg= −⋅

= −⋅ ⋅

⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 10

3·

,( )

774 11 10 12, ⋅ ⋅− j N/kg

W W W

W


en(0,0).Portanto:

r i j u r

r

i j i j B rB

B

B

= − − ⋅ = =− − ⋅

+

=− − ⋅

3 33 3

3 3

3 3

12 2

→ 88

W WWW W WW W

W

W

Queda:

g G M

r u

i j B

B

B

rB N= −⋅

= −⋅ ⋅

⋅− − ⋅

−

2

116 67 10 10

18

3 3

18·

, / /kg

N/kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −

26 2 10 26 2 1012 12, ,i j

W W

W W

W W

SabemosqueWr Cesunvectorconorigenen(3,0)yextremoen(0,0).Portanto:

r i u r

r

i i C rC

C

C

= − ⋅ = =− ⋅

= −33

3→

W W

W

W

W WW

Queda:

g G M

r u i C

C

C

rC N/kg= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 10

3

,( )

774 11 10 12, ⋅ ⋅− i N/kg

W W W

W

Porúltimo,tenemos:

g i i j P = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +− − −

74 11 10 26 2 10 26 2 1012 12 12, , , ·

++ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅− − −

74 11 10 100 31 10 100 31 1012 12 12, , , j i ⋅⋅ j N/kg

W W W W

WWW

b)V V V V P A B C= + + .

• V G M

r A

A

A

J/ k= −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅

−

−6 67 10 10

3222 33 10

1112,

, gg

• V G M

r B

B

B

J/ = −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅

−

−6 67 10 10

18

157 21 1011

12,, kkg

• V G M

r C

C

C

J/ k= −⋅

= −⋅ ⋅

= − ⋅

−

−6 67 10 10

3222 33 10

1112,

, gg

Portanto:

V = − ⋅ − ⋅ +

−

− −222 33 10 157 21 10

222 3

12 12, ,

,

J/kg J/kg

33 10 601 87 1012 12⋅ = − ⋅

− −J/kg J/kg,



51

Solucionario

22. En tres de los cuatro vértices de un rectángulo tenemos cuerpos puntualescuya masa es, respectivamente, 0,5, 2 y 3 kg. Los lados del rectángulomiden 30 y 40 m. Calcula:

a) El valor del campo gravitatorio en el cuarto vértice.

b) La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de 5 kg de masa que se sitúeen el cuarto vértice.

c) El trabajo que realiza el campo para llevar ese cuerpo desde el cuartovértice hasta el centro del rectángulo. Interpreta el signo del resultado.

d) La energía del sistema formado por las tres masas iniciales.

NOTA:Losresultadosnuméricosvanadependerdelpuntodonde

secoloquecadamasa.

Hacemosusodelprincipiodesuperposiciónparacalculartanto

elcampocomoelpotencialenelcuartovértice.Deacuerdo

connuestrodibujo,setratadelvérticeA.

a) Wg A=Wg B+Wg C+Wg D.


en(0,0).Portanto:

r i u r

r

i i B r B

B

B

= − ⋅ = =− ⋅

= −4040

40→

WW W

WW

WW

Queda:

g G M

r

u i BB

B

rB N/kg= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅ −

−

2

11

2

6 67 10 0 5

40

, ,( ) ==

= ⋅−

2 0844 10 14, · i N/kg

W W W

W

SabemosqueWr Cesunvectorconorigenen(40,30)yextremo

en(0,0).Portanto:

r i j C = − ⋅ − ⋅40 30 →W WW

→ u r

r

i j rC

C

C

= =− ⋅ − ⋅

+

=40 30

40 302 2

−− ⋅ − ⋅40 30

50

i j WW

W WW W

W

40m

30m30m

D(0,30),3kg

Wg B

Wu C

Wu B

Wg D

C(40,30),2kg

B(40,0),0,5kgA(0,0),5kg 40m

Wg C

Wu D



52


Queda:

g G M

r u

i j C

C

C

r C= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅− ⋅ − ⋅−

2

11

2

6 67 10 2

50

40 30,

550

4 2688 10 3 2016 1014 14

N/kg

N/kg= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −, ,i j

W W

W W

W W

SabemosqueWr Desunvectorconorigenen(0,30)yextremo

en(0,0).Portanto:

r j u r

r

j j D rD

D

D

= − ⋅ = =− ⋅

= −3030

30

→

W WW

W

WW WW

Queda:

g G M

r u j D

D

D

rD N/kg= −⋅

⋅ = −⋅ ⋅

⋅ − =

=

−

2

11

2

6 67 10 3

30

,( )

22 2333 10 14, ⋅ ⋅− j N/kg

W W W

W

Finalmenteobtenemos:

g g g g i i A B C D= + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +− −2 0844 10 4 2688 1014 14, ( ,

++ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −3 2016 10 2 22333 1014 13, ) , j j →

W W W W W W

WW

→ g i j A N/kg= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −6 5532 10 2 54349 1014 13, ,W W W

b) Lafuerzaserá:

F m g i j A A= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =− −

5 6 5532 10 2 54349 1014 13( , , )

== ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− −3 28 10 1 27 1013 12, ,i j N

WW

W W

WW

c) Calculamoseltrabajocomolavariacióndelaenergíapotencial

entreambospuntos:

W E E E A X P P X P A→ = − = − +∆

40m

30m30m

D(0,30),3kg

Wr XD

C(40,30),2kg

B(40,0),0,5kgA(0,0),5kg 40m

Wr XC

Wr XBX(25,15)

LaE Pesunescalar.Portanto,laenergíapotencialdebido

alastresmasaseslasumadelaqueproducecadaunadeellas

deformaindependiente.



53

Solucionario

E E E E

G m M

r

G m M

r

G

P A P AD P AB P AC

A D

D

A B

B

= + + =

= −⋅ ⋅

−⋅ ⋅

−⋅ m m M

r

A C

C

⋅

E E E E

G m M

r

G m M

r

P X P XD P XB P XC

A D

XD

A B

XB

= + + =

= − − −· · · · G G m M

r

· ·A C

XC

LadistanciadecadaunadelasmasasaXcoincideconlamitad

deladiagonaldelrectángulo:

r r r XD XB XC 25 m= = = ⋅ + =1

240 302 2

• E E E E P A P AD P AB P AC= + + = −⋅ ⋅ ⋅

+

−⋅

−6 67 10 5 3

30

6 67

11,

, 110 5 0 5

40

6 67 10 5 2

505 086 10

11 111

− −−⋅ ⋅

−⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅, ,

, 11J

• E E E E P X P XD P XB P XC= + + = −⋅ ⋅ ⋅

+

−⋅

−6 67 10 5 3

25

6 67

11,

, 110 5 0 5

25

6 67 10 5 2

257 337 10

11 111

− −−⋅ ⋅

−⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅, ,

, 11J

Asípues:

W E E E A X P P A P X

J

→ = − = − =

= − ⋅ − − ⋅

−

∆

5 086 10 7 337 1011

, ( ,−− −

= ⋅

11 11

2 251 10J) J,

Comoelsignoespositivo,eltrabajolorealizanlasfuerzas

delcampo.LamasasedesplazaespontáneamentedeA

alcentro.

d) Laenergíadelsistemaformadoporlastresmasasiniciales

eslaenergíapotencialdetodaslasparejasdemasas

quesepuedanformar:

E E E E

G M M

r

G M M

r

P T P CD P CB P BD

C D

CD

C B

CB

= + + =

= −⋅ ⋅

−⋅ ⋅

−G G M M

r

⋅ ⋅B D

BD

r CD=40;r CB=30;r BD=50.Portanto:

E E E E P T P CD P CB P BD= + + = −⋅ ⋅ ⋅

+

−⋅

−6 67 10 2 3

40

6 67

11,

, 110 2 0 5

30

6 67 10 0 5 3

501 423 10

11 11− −⋅ ⋅−

⋅ ⋅= − ⋅

, , , ·, −−11

J



54


23. Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta, homogénea, de radio R .¿Cuál es la gráfica que mejor representa la variación de la gravedad ( g )con la distancia al centro de la Tierra?

(Galicia. Septiembre, 2007)

DeacuerdoconelteoremadeGauss,laopcióncorrectaeslac).

(Verlademostraciónenestemismotemadellibrodelalumno.)

24. ¿Cómo varía g al profundizar hacia el interior de la Tierra?

a) Aumenta.

b) Disminuye.

c) No varía.DeacuerdoconelteoremadeGauss,enelinteriordelaTierra:

g g r

R = ⋅0

T

AlprofundizarenelinteriordelaTierra, r disminuye,

porloqueg disminuyetambién.

Laopcióncorrectaeslab).

25. Llamando g 0 y V 0 a la intensidad de campo gravitatorio y al potencialgravitatorio en la superficie terrestre, respectivamente, determina,en función del radio de la Tierra:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidaddel campo gravitatorio es g 0 /2.

b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencialgravitatorio es V 0 /2.


a) DeacuerdoconelteoremadeGauss,parapuntossobre

lasuperficieterrestre,r >R T.Portanto:

g G M

r =

⋅ T

2→

→ → →g G M

R

G M

r r R r R 0

2 2

2

2 22 2=

⋅

⋅

=⋅

= ⋅ = ⋅T

T

T

T2

T

r R h R h R R = + = ⋅ = ⋅ − = ⋅T T T T2 2 1 0 414→ ( ) ,

a)9,8

g

R T r

b)9,8

g

r

c)9,8

g

R T r



55

Solucionario

b)V G M

r = −

⋅ T

Enlasuperficieterrestre:

V G M

R 0 = −

⋅ T

T

Portanto:

V G M

R

G M

r

0

2 2

= −⋅

⋅

= −⋅T

T

T→

→ → →r R r R h R h R = ⋅ = + = ⋅ =2 2T T T T( )

26. a) Escribe y comenta la ley de gravitación universal.

b) Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M 1 = M 2,pero la aceleración de la gravedad en la superficie del primeroes cuatro veces mayor que en la del segundo, g 1 = 4 g 2.Calcula la relación entre los radios de los dos planetas, R 1 / R 2,

y entre sus densidades medias, d 1 / d 2.(Aragón. Septiembre, 2006)

a) Verlibrodelalumno(página18).

b) Enlassuperficiesdelosplanetas:

g G M

R 1

1

12

=⋅

; g G M

R 2

2

22

=⋅

g g G M

R

G M

R R R 1 2

1

12

1

22

12

224 4

1 4= ⋅

⋅= ⋅

⋅=→ → →

→ → →R R R R R

R 22

12

2 11

2

4 21

2= ⋅ = ⋅ =

Ladensidadseobtieneasí:

d M

V

M

R

= =

⋅4

3

3π

Portanto,paralosplanetastenemos:

d M

R

d M

R

11

13

21

13

4

3

4

32

=

⋅

=

⋅ ⋅

π

π ( )

=

⋅

⋅ ⋅

=⋅d

d

M

R

M

R

R

R

1

2

1

13

1

13

13 3

13

4

3

4

32

2π

π ( )

→d d

d

1

2

8=



56


27. Calcula la masa y el peso que tendrá un cuerpo en la Luna si en la Tierra pesa980 N. ¿Coincidirá el resultado con lo que mide la balanza en ambos lugares?

Datos: g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; M L = 0,0112 ⋅ M T y R L = R T /4.

WF =m ⋅g .Paralafuerzapeso,enlaTierra: P T=m ⋅g 0.

980N=m T⋅9,8m/s2→m T=100kg=m L

Lamasaesunapropiedadintrínsecadeloscuerpos;esconstante

enlaTierraylaLuna.ObtenemoselvalordelagravedadenlaLuna:

g G M

R

G M

R

G M

R L

L

L

T

T

T

=⋅

=⋅ ⋅

=⋅

2 2

0 0112

4

,

TT2

200 0112 4 0 179⋅ ⋅ = ⋅, , g

Portanto:

P m g m g P L L L T T N= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =0 179 0 179 17 90, , ,

Silabalanzaesdeplatos,elpesoseráelmismoqueenlaTierra.

Silabalanzaesderesorte,pesará17,9N.

28. Determina desde qué altura habrá que dejar caer el cuerpodel ejercicio anterior en la Luna si queremos que lleguea su superficie con la misma velocidad con la que llega cuando caedesde una altura de 10 m sobre la superficie de la Tierra.¿Y si fuese un cuerpo de masa 10 veces mayor?

Datos: g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2; M L = 0,0112 ⋅ M T; R L = R T /4.

Primerodebemoscalculareltiempoquetardaenllegar

alasuperficieuncuerpoquecaedesdeunaalturade10m

enlaTierra.Comoladistanciaesmuypequeña,podemossuponerquesumovimientoesuniformementeacelerado(g constante):

y y v t a t t t = + + ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ =0 02 21

210

1

29 8 3 2→ →, , s→

→v =v 0+a ⋅t →v =−9,8⋅3,2=−31,36m/s

(Elsigno«−»indicavelocidaddecaída.)

SuponiendoqueelmovimientodecaídalibreenlaLunatambién

esuniformementeacelerado,g L=0,179⋅g 0,calculamos

eltiempoquedebecaerparaquesuvelocidadseade31,36m/s:v =v 0+a ⋅t →−31,36=−0,179⋅9,8⋅t →t =17,88s

Elespacioquerecorreenesetiempoes:

y y v t a t

y

= + + ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅ = −

0 02

2

1

2

1

20 179 9 8 17 88

→

→ , , , 2880,4 m

(Elsigno«−»indicaqueelcuerpohacaído.)



57

Solucionario

29. a) Un astronauta de m = 80 kg está en la estación espacial orbital girandoentorno a la Tierra. Al intentar pesarse, la balanza marca cero. Explicapor qué marca cero y si actúa o no la gravedad terrestre en ese punto.

b) Si este mismo astronauta aterriza en un planeta que tiene la mismadensidad que la Tierra, pero su radio es 10 veces mayor, ¿cuál seríael peso en ese planeta en comparación con el peso en la Tierra?

(Cantabria. Junio, 2006)

a) Porquesumovimientoderotaciónlehaceestarencaídalibre

permanente.

b) EnlaTierraP T=m T⋅g T;yenelplaneta,P P=m T⋅g P,

siendog G M

R P

P

P

=⋅

2.

d M

V

M

R

M

R

PP

P3

P

T

= =

⋅

=

⋅ ⋅4

3

4

310 3π π ( )

; d M

R

TT

T3

=

⋅4

3π

Portanto:

d d M

R

M

R

M M T PT

T3

P

T

P T=

⋅

=

⋅ ⋅

=→ →

4

3

4

310

10003π π ( )

⋅

Calculamosg P:

g G M

R g

P m g

PT

T

T

P T T

=⋅ ⋅

⋅= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

1000

1010

10 10

2( )→

→ P P T 7840 N= ⋅ ⋅ =10 80 9 8,

30. Dos satélites de comunicación, A y B, con diferentes masas (m A > m B) giranalrededor de la Tierra con órbitas estables de diferente radio, siendo r A < r B.

a) A gira con mayor velocidad lineal.b) B tiene menor periodo de revolución.c) Los dos tienen la misma energía mecánica.

(Galicia. Junio, 2007)

ParaelsatélitequegiraalrededordelaTierra:

F C=F G→ G M m

r

m v

r ⋅

⋅=

⋅T s s

2

2

a) Laexpresiónv G M

r =

⋅ T indicaquelavelocidadnodepende

delamasadelsatélite,solodelradiodesuórbita.

Sir aumenta,v disminuye→v B<v A.

Laafirmaciónescierta.



58


b) Transformandolaexpresiónanteriorpararelacionarla

conlavelocidadangularyestaconelperiodovemosqueelperiodo

derevolucióntampocodependedelamasadelsatélite,

sinosolodelradio:

T r

G M =

⋅

⋅

42 3

π

T

r A<r B→T A<T B.

Sir aumenta,T aumentatambién→T A<T B.

Laafirmaciónesfalsa.

c) E GM m

r M

T= −

⋅.Engeneral,esfalso.Laenergíamecánica

delplanetaensuórbitadependedelamasayelradiodegiro,

queesdiferenteencadacaso.

31. Cuando un objeto gira alrededor de la Tierra, se cumple:

a) La energía mecánica del objeto en su órbita es positiva.

b) Su velocidad en la órbita será 2 g R T T .c) La fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta son iguales.

a) Falso:paraquelaenergíamecánicafuerapositiva,laórbitatendría

queserabiertay,portanto,noestaríagirandoalrededor

delaTierra.Enunaórbitacerrada,E GM m

r M

T= −

⋅.

b) Falso:laexpresióncorrectaesv G M

r =

⋅.

c) Verdadero:escondiciónparaqueuncuerpoorbitealrededor

deotro.

32. Un satélite de masa m describe una trayectoria circular de radio R en torno a un planeta de masa M . La energía mecánicadel satélite es numéricamente:

a) Igual a la mitad de su energía potencial.

b) Igual a su energía potencial.

c) Igual al doble de su energía potencial.

Laopcióncorrectaeslaa):

E E E m v G M m

r M C P= + = ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅1

2

2

Paraelsatélitequeorbita,F C=F G,dedondesededuce:

G M m

r m

v

r G

M m

r m v ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅= ⋅

2

22

→



59

Solucionario

Estonospermiteobtenerunaformamássimplificadaparasuenergía

mecánica:

E G M m

r

G M m

r E

G M m

r M M= ⋅

⋅ ⋅−

⋅ ⋅= − ⋅

⋅ ⋅1

2

1

2→

ComoE G M m

r E E P M P= −

⋅ ⋅= ⋅→

1

2.

33. El radio de la órbita de un satélite geoestacionario viene dadopor la expresión:

a) R T GM

=

2

2

1 3

4π

/

b) R T g R

=⋅

20

2

1 2

4T

π

/

c) R TGM

=

2

2

1 3

4π

/

Unsatélitegeoestacionariotieneelmismoperiododerotación

quelaTierra:T =24h.Laexpresióncorrectasecorresponde

conlaopcióna)(verellibrodelalumno).

34. Calcula el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una órbita de radio 2R T a una de radio 3R T.Exprésalo de forma general.

Eltrabajoequivalealadiferenciadeenergíaentrelasórbitas.

E G M m

r

E G M m

R

E G M

M

M1T

M 2

= − ⋅⋅ ⋅

= − ⋅⋅ ⋅

⋅

= − ⋅⋅ ⋅

1

2

1

2 2

1

2

→

m m

R 3 ⋅

T

Portanto:

W E E E G M m

R

G M m

R = = − = = − ⋅

⋅ ⋅

⋅+ ⋅

⋅ ⋅

⋅=∆ M M2 M1

T T

01

2 3

1

2 2

==⋅ ⋅

⋅ −

= ⋅⋅ ⋅G M m

R

G M m

R T T

1

4

1

6

1

12

35. El radio de un planeta es la tercera parte del radio terrestre; y su masa,

la mitad. Calcule la gravedad en su superficie y la velocidad de escapedel planeta, en función de sus correspondientes valores terrestres.

(Castilla y León. Septiembre, 2007)

Laaceleracióndelagravedadserá:

g G M

R

G M

R g P

P

P

T

T

T=⋅

=⋅

= ⋅2 2

2

3

9

2



60


Ylavelocidaddeescapeserá:

v G M

R

G M

R

G M

R escape

P

P

T

T

T

T

= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅ ⋅⋅

=

=

2 22

3

3

22

3

2⋅⋅ v escape (Tierra)

36. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:a) Un objeto de masa m 1 necesita una velocidad de escape de la Tierra

el doble de la que necesita otro objeto de masa m 2 = m 1 /2.

b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbitaun satélite de masa m 1 que otro satélite de masa m 2 = m 1 /2,lanzados desde la superficie de la Tierra.

(C. Madrid, 2005)

a) Falso:Lavelocidaddeescapenodependedelamasadelsatélite,

sinodelamasaquecreaelcampo.b) Eltrabajoesladiferenciaentrelasenergíasmecánicadelsatélite

encadaunadelasórbitas.

• E G M m

R M suelo

T

T

= − ⋅⋅ ⋅1

2

• E G M m

R h M órbita

T

T

= − ⋅⋅ ⋅

+

1

2

Portanto:W =∆E M=E Mórbita−E Msuelo=

= −⋅ ⋅

⋅ ++

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅ −

+

G M m

R h

G M m

R

G M m

R R

T

T

T

T

T

T T2 2 2

1 1

( ) h h

Esdirectamenteproporcionalalamasadelcuerpo,

porloquelaafirmaciónescorrecta.

37. Dos satélites artificiales, A y B, de masas m A y m B (m A = 2m B) giran

alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio R .Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones:

a) Tienen la misma velocidad de escape.

b) Tienen diferente periodo de rotación.

c) Tienen la misma energía mecánica.

a) Laexpresiónparacalcularlavelocidaddeescapees:

v G M

r escape = ⋅

⋅2



61

Solucionario

Porlotanto,lavelocidaddeescapeesfuncióndelradiodeórbita

(queesigualparaambossatélites)ynodelamasadelossatélites,

asíquelaafirmaciónescierta.

b)T r

G M =

⋅

⋅

42 3π

T

.Nuevamente,elradiodeórbitaeselmismo

enambossatélitesyelperiododerotaciónnoesfunción

delamasadelossatélites.Portanto,laafirmaciónesfalsa.

c) Esfalso.Laenergíamecánicasemantieneenlaórbitadecada

planeta,peroesdiferenteparacadaplanetaensuórbitadegiro,

ydependedelamasa.Silamasadelossatélitesesdiferente,tambiénloserásuenergíamecánica.

38. La velocidad que se debe comunicar a un cuerpo inicialmente en reposoen la superficie de la Tierra, de masa M T y radio R T, para que «escape»fuera de su atracción gravitacional es:

a) Mayor que (2GM T / R T)1/2.b) Menor que (2GM T / R T)

1/2.c) Igual a ( g 0 / R T)1/2.

Laenergíatotaldeunsatélitequeestáorbitandoes:

E G M m

r M = − ⋅

⋅ ⋅1

2

Elsatélitesaldrádelcampogravitatoriocuandor →`,

loquedeterminaqueE M=0.

Enelpuntodelanzamientohabráquecomunicarleunavelocidadtalque:

E E E mv G M m

r M C P= + = ⋅ −

⋅ ⋅≥

1

2

02

Reordenandolaexpresión,lavelocidaddelanzamientodebeserigual

omayorque:

v G M

r escape = ⋅

⋅2

SiseencuentraenrepososobrelasuperficiedelaTierra,serár =R T,

porloquelaafirmacióncorrectaeslaa).

39. Si para un cuerpo situado en un campo gravitatorio, su energía cinética esigual a su energía potencial (en valor absoluto), significa:

a) Que el cuerpo puede escapar al infinito.b) Que el cuerpo acabará cayendo sobre la masa que crea el campo.c) Que seguirá en una órbita circular.

Larespuestacorrectaeslaa).

Silaenergíacinéticaesigualasuenergíapotencialenvalorabsoluto,

significaqueE M=0yE C=−E P,quesecorrespondeconunaórbita

abiertaparabólica.



62


40. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierraa una altura de 3815 km. Calcular:

a) La velocidad de traslación del satélite.

b) Su periodo de revolución.

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; R T = 6370 km;M T = 5,98 ⋅ 1024 kg.

ParaelsatélitequegiraalrededordelaTierra:

F F G

M m

r

m v

r C G

T s s= ⋅

⋅=

⋅→

2

2

TrabajaremosconunidadesdelSI.

a) Lavelocidaddetraslaciónes:

v G M

r

G M

R h =

⋅=

⋅

+

=⋅ ⋅ ⋅

⋅

−T T

T

6 67 10 5 98 10

6370 1

11 24, ,

00 3815 10

6 26 10

3 3

3

+ ⋅

=

= ⋅, m/s

b) Yelperiodoes:

T R h

G M =

⋅ +

⋅

=⋅ ⋅ + ⋅4 4 6370 10 3815 10

6

2 3 2 3 3 3π π( ) ( )T

T ,, ,

,

67 10 5 98 10

10 23 10

11 24

3

⋅ ⋅ ⋅

=

= ⋅

−

s

41. El primer satélite español Minisat , que fue lanzado en 1997 desdelas Islas Canarias, se encuentra actualmente en una órbita circularalrededor de la Tierra con un periodo de revolución de 10,5 horas.

a) Calcula el radio de la órbita.b) Calcula la energía mecánica del satélite.

c) Calcula el radio de la órbita que debería tener el satélite para quesu periodo de revolución fuera el doble que el actual.

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2; M T = 5,97 ⋅ 1024 kg;m satélite = 100 kg.


a) Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ = ⋅ =10,5 h 60 min1 h

60 s1 min

s h37 8 10 10 303, min

Portanto:

T r

G M r

T G M =

⋅

⋅

= =

=

4

4

37 8 10 6 6

2 3 2

23

3 2

π

πT

T→

· ·

( , · ) · , 77 10 5 97 10

424 336 10

11 24

23

6· · , ·, ·

−

=

π

→ r m



63

Solucionario

b) Lavelocidades:

v G M

r =

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅

=

−T 6 67 10 5 97 10

24 336 104 04

11 24

6

, ,

,, ⋅⋅ 103 m/s

Laenergíamecánicaserá:

E E E mv G M m

r M C P

T= + = ⋅ −

⋅ ⋅1

2

2→

→ E M = ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅−

1

2 100 4 04 10

6 67 10 5 97 103 211 24

( , )

, , ⋅⋅

⋅

= − ⋅

100

24 336 10

8 2 10

6

8

,

, J

Tambiénsepodríacalcularmediantelaexpresión:

E G M m

r M

T= − ⋅

⋅ ⋅= − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

1

2

1

2

6 67 10 5 97 10 10011 24, ,

224 336 10

8 18 10

6

8

,

,

⋅

=

= − ⋅ J

c) Elperiodoes:

T 232 75 6 10 21= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =10,5 h

60 min

1 h

60 s

1 mins h,

Yqueda:

r T G M

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

22

23

3 2 11

4

75 6 10 6 67 10 5 97T

π

( , ) , , 110

4

38 63 10

24

23

6

π

=

= ⋅, m

42. Un satélite de masa 350 kg describe órbitas circulares alrededorde la Tierra a una altura de 630 km.

a) ¿Cuánto vale la intensidad del campo gravitatorio creadopor la Tierra a esta altura?

b) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta del satélite?

c) ¿Cuánto vale la energía mecánica del satélite?

Datos: R T = 6,38 ⋅ 106 m; M T = 5,98 ⋅ 1024 kg;G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2.

(Cataluña. Septiembre, 2007)

a) Tenemos:

g G M

r

G M

R h =

⋅=

⋅

+

=⋅ ⋅ ⋅

−T T

T2 2

11 246 67 10 5 97 10

6( )

, ,

( 3370 10 630 108 126

3 3 2⋅ + ⋅

=

), m/s2

b) Enunsatéliteenórbita,F C=F G.ComoF =m ⋅ a →g = a C.



64


c) Enunsatéliteenórbita:

E E G M m

R h M P

T

T

= ⋅ = − ⋅⋅ ⋅

+

=

= − ⋅⋅

−

1

2

1

2

1

2

6 67 10 5 911, · , 77 10 350

6370 10 630 109 95 10

24

3 3

9⋅ ⋅

⋅ + ⋅

= − ⋅, J

43. Plutón recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una distanciar p = 4,4 ⋅ 1012 m en el punto más próximo (perihelio) y r a = 7,4 ⋅ 1012 m

en el punto más alejado (afelio).a) Obtener el valor de la energía potencial gravitatoria de Plutón

en el perihelio y en el afelio.

b) ¿En cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón?Razona tu respuesta.

Datos: considerar que la energía potencial tiende a cero cuando la distanciatiende a infinito, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;M (Sol) = 1,98 ⋅ 1030 kg; M (Plutón) = 1,27 ⋅ 1022 kg.


a) DadoqueE G M m

r P = −

⋅ ⋅:

• Enelafelio:

E G M M

r P a

S P

A

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00

7 4 10

2 27 10

22

12

29

,

,

⋅

=

= − ⋅ J

• Yenelperihelio:

E G M M

r P p

S P

P

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−6 67 10 1 98 10 1 27 111 30, , , 00

4 4 10

3 81 10

22

12

29

,

,

⋅

=

= − ⋅ J

b) DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,losplanetassemueven

convelocidadareolarconstante,loqueimplicaquesumomento

angularpermanececonstanteentodoelrecorrido:

L L m v r m v afelio periheio afelio afelio peri= ⋅ ⋅ = ⋅→ hhelio perihelio⋅ r →

→ v v r

r v afelio perihelio

perihelio

afelio

peri= ⋅ = hhelio perihelio⋅⋅

⋅

= ⋅4 4 10

7 4 100 594

12

12

,

,, v

Portanto,lavelocidadserámayorenelperihelio.

44. Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededorde la Tierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esaórbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre.

a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite.



65

Solucionario

b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite.

c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.

d) ¿Se trata de un satélite geoestacionario? Justifique la respuesta.

Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;masa de la Tierra, M T = 5,98 ⋅ 1024 kg;radio de la Tierra, R T = 6,37 ⋅ 106 m.

(C. Madrid, 2008)

Dadalacondicióndelenunciado:

v G M

R e sup

T

T

= ⋅⋅

2 ; v G M

R h v T

e órbita

T

e sup= ⋅⋅

+

= ⋅21

2

Portanto:

1 1

2

12

R h R R R h

T T

T T

+

= ⋅ ⋅ = +→ →

→ →4 3⋅ = + = = ⋅R R h r h R T T T

a) TrabajandoenunidadesdelSI:

F m g G M m

r G

T= ⋅ = −

⋅ ⋅= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

2

11 246 67 10 5 98 10 200, ,

(44

6 67 10 5 98 10 200

4 6 37 1

2

11 24

⋅

=

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

−

R T)

, ,

( , 006 2)= −122,873 N

b) Ahora:

V G M

r = −

⋅= −

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

= −

−T 6 67 10 5 98 10

4 6 37 101

11 24

6

, ,

,,,565 107

⋅ J/kg

c) Laenergíamecánicaes:

E E G M m

r M P

T= ⋅ = − ⋅

⋅ ⋅=

= − ⋅⋅ ⋅ ⋅

−

1

2

1

2

1

2

6 67 10 5 98 111, , 00 200

4 6 37 10

1 565 1024

6

9⋅

⋅ ⋅

= − ⋅

,

, J

d) Sabiendoquelaórbitadeunsatélitegeoestacionariodebesertal

quesuperiododerotaciónseaelmismoqueeldelaTierra(1día),

resultaquetendríaqueser:

r T G M

R =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

2

23

7 7

44 23 10 4 2 5 10T

Tm mπ

, ,?

Portanto,nosetratadeunsatélitegeoestacionario.



66


45. Un satélite artificial de 200 kg de masa describe una órbita circulara 400 km de altura sobre la superficie de la Tierra. Calcula:

a) La energía mecánica.

b) La velocidad que se le comunica en la superficie de la Tierrapara colocarlo en esa órbita.

Datos: R T = 6370 km; g 0 Tierra = 9,8 m ⋅ s−2.

g G M

R G M g R 0

20

2=⋅

⋅ = ⋅T

T

T T→

Comoenotrosproblemas,empleamosunidadesdelSI.

a) Laenergíamecánicaes:

E E G M m

r

g R m

R h M P

T T

T

= ⋅ = − ⋅⋅

= − ⋅⋅ ⋅

+=

= − ⋅

1

2

1

2

1

2

1

2

02

·

99 8 6370 10 200

6370 10 400 105 87

3 2

3 3

, ( ),

⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅= − ⋅ 1109

J

b) Paracalcularlavelocidaddelanzamientoparaponerloenesaórbitadebemostenerencuentaelprincipiodeconservación

delaenergíamecánica.Laenergíamecánicaenelpunto

delanzamientodebecoincidirconlaenergíamecánica

enlaórbita.Considerandoelpunto1eldelanzamientoyelpunto2

laórbitaderadior .

En2:

F F GM m

r

m v

r

v GM

r

G C= =⋅

=→ →2

22

22

Podemosescribir:

E M1=E M2→E C1+E P1=E C2+E P2→

→1

2

1

2

1

212

22

⋅ −⋅

=⋅

− = ⋅⋅

m v G M

R m m

G M

r

v

GM

r m

G M

r T

m m →

→ v G M R r

lanzamiento T

T

= ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=21 1

2

== ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ +

=

= ⋅

21 1

2

2 9

02g R

R R h T

T T( )

,88 6370 101

6370 10

1

2 6370 10 400 1

3 2

3 3⋅ ⋅ ⋅

⋅−

⋅ ⋅ + ⋅( )

( 00

8 13 10

3

3

)

,

= ⋅

→

→ v lanzamiento m/s



67

Solucionario

46. Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg de masa a una alturade 1200 km sobre la superficie de la Tierra.

Si el lanzamiento del satélite se ha realizado desde el nivel del mar, calcula:

a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite.

b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escapea la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 kg ⋅ m2 /kg2; M T = 6 ⋅ 1024 kg; R T = 6370 km.

a) SobrelasuperficiedelaTierra:

E G M m

R P 1

T

T

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−6 67 10 6 10 600

6370 10

11 24,33

103 769 10= − ⋅, J

Repetimosloscálculosparaelsatéliteenórbita:

E G M m

R h P

T

T

2

11 246 67 10 6 10 600

6370= −

⋅ ⋅

+= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−,

110 1200 103 172 10

3 3

10

+ ⋅= − ⋅, J

Conloqueyapodemosobtenerelaumentodeenergíapotencial:

∆E E E P P 2 P 1 J J= − = − ⋅ + ⋅ = ⋅3 172 10 3 769 10 5 97 1

10 10

, , , 0010

J

b) ParaqueseescapedelaórbitadebetenerE M=0paraquer → `:

E M=E P+E C=0→E C=−E P

LaE Mdelsatéliteenlaórbitaderadior es:

E G M m

R h M 2

T

T

J= − ⋅⋅ ⋅

+= −

⋅= − ⋅

1

2

3 172 10

21 590 10

101,

, 00J

Laenergíaquehayquecomunicarlees,pues,E adicional=1,590⋅1010J.

Otromododeresolverlo.Conocemoslaenergíapotencialquetieneelsatéliteenlaórbita.Calculamoslaenergíacinética

quetieneelsatéliteenlaórbita:

E m v C = ⋅ ⋅1

2

2

Necesitamosconocerlavelocidadorbital:

v G M

r

G M

R h

=⋅

=⋅

+

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ +

−T T

T

6 67 10 6 10

6370 10

11 24

3

,

11200 10

7 27 101

2600 7 27 10

3

3 3

⋅

=

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅, ( , )m/s C→ E 22 101 585 10= ⋅, J

Calculamosahoralaenergíacinéticaadicionalqueesnecesario

comunicarparaquelaenergíacinéticatotalseaigual(designo

contrario)quelaenergíapotencial:

E E E

E E E

C C adicional P

C adicional P C

+ = −

= − − =

→

→ 3 17, 22 10 1 585 10 1 587 1010 10 10⋅ − ⋅ = ⋅J J J, ,



68


47. Se lanza un satélite con el propósito de situarlo en una órbitacircular situada en el plano ecuatorial y que sea geoestacionaria.El satélite describe su trayectoria con una velocidad de móduloconstante v . Calcula:

a) El valor de la altura h a la que orbita el satélite.

b) El módulo de la velocidad.

c) La fuerza que mantiene su movimiento.

Datos: g 0 = 9,8 m/s2; R T = 6370 km.

g G M

R G M g R 0

20

2=

⋅

⋅ = ⋅T

T

T T→ .

a) Sielsatéliteesgeoestacionario,debeorbitarlaTierra

conunperiodoigualaldelaTierra(1día).Conociendoestedato,

podemoscalcularelradiodelaórbitamediantelaexpresión

quehemosdeducidoenotrasocasiones:

r T G M

=

⋅ ⋅2

23

4

T

π

Sustituyendolosdatos:

r =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−( ) , ,24 3600 6 67 10 5 98 102 11

2

2

24sN m

kg

⋅

kg

444 23 10

2

3 7

π

= ⋅, m

Paraconocerlaalturaalaqueorbitasobrelasuperficieterrestre:

h =4,23⋅107m–6,37⋅106m=3,59⋅107m

b) Lavelocidades:

v G M

r

g R

r =

⋅

=

⋅

=

⋅ ⋅

⋅

=T T0

2 3 2

7

9 8 6370 10

4 23 103 0

, ( )

,, 77 103

⋅ m/s

c) Lafuerzaes:

F m g G M m

r

g R m

r = ⋅ =

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

=

=

⋅ ⋅

sT s T s

2

02

2

39 8 6370 10, ( ))

( , )

,2

7 24 23 10

0 22⋅

⋅

= ⋅

m m s

s N

48. La astronauta Sunita Williams participó desde el espacio en la maratónde Boston de 2007 recorriendo la distancia de la prueba en una cintade correr dentro de la Estación Espacial Internacional. Sunita completóla maratón en 4 horas, 23 minutos y 46 segundos. La Estación Espacialorbitaba, el día de la carrera, a 338 km sobre la superficie de la Tierra.Calcule:

a) El valor de la gravedad terrestre en la Estación Espacial.



69

Solucionario

b) La energía potencial y la energía total de Sunita sabiendo que su masaes de 45 kg.

c) Cuántas vueltas a la Tierra dio la astronauta mientras estuvo corriendo.

Datos: constante de gravitación universal, G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;masa de la Tierra: M T = 5,96 ⋅ 1024 kg;radio de la Tierra R T = 6371 km.

(R. Murcia. Junio, 2007)

a) Laaceleracióndelagravedadvale:

g G M

r

G M

R h =

⋅

=

⋅

+=

⋅ ⋅ ⋅−

T T

T2 2

11 246 67 10 5 96 10

6( )

, ,

( 3371 10 338 108 833 3 2

⋅ + ⋅=

), N/kg

b) Laenergíapotenciales:

E G M m

r

G M m

R h P

T T

T

= −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅

+

=

= −⋅ ⋅ ⋅

−6 67 10 5 96 1

11, , 00 45

6371 10 338 102 66 10

24

3 3

9⋅

⋅ + ⋅

= − ⋅, J

Laenergíamecánicaes:

E E M P J= ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅1

2

1

22 66 10 1 33 109 9, ,

c) VeamoscuáleselperiododerotaciónquehatenidoSunita:

T r

G M

R h

G M =

⋅

⋅

=⋅ +

⋅

=

=⋅ ⋅

4 4

4 6371 10

2 3 2 3

2 3

π π

π

T

T

T

( )

( ++ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= ⋅

−

338 10

6 67 10 5 96 105 48 10

3 3

11 243

)

, ,, s

YeltiempoqueSunitahaestadocorriendohasido:

t = ⋅ ⋅ + ⋅ + =4 h60 min

1 h

60 s

1 minmin

60 s

min46 s 15 8223

166 s

Asíquehadado:

N.º vueltass

s2,89 vueltas= =

⋅

=t

T

15826

5 48 103,

49. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna.

b) Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de la Luna,con velocidad inicial igual a la de escape. ¿A qué distancia del centrode la Luna se reduce su velocidad a la mitad de la inicial?

G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;masa y radio de la Luna: M L =7,34 ⋅ 1022 kg; R L = 1,74 ⋅ 106 m.

(Aragón. Junio, 2005)



70


a) LavelocidaddeescapeenlaLunaes:

v G M

r

G M

R escape

L

L

= ⋅⋅

= ⋅⋅

=

= ⋅⋅ ⋅ ⋅−

2 2

26 67 10 7 34

11, , 110

1 74 102 37 10

22

6

3

,,

⋅= ⋅ m/s

b) Suponiendoquelaúnicainteracciónalaqueestásometido

elobjetoeslaatraccióngravitatoriaqueejercelaLuna,

seconservarásuenergíamecánica.Llamandopunto1alpuntodelanzamientoypunto2alpuntoenelquesuvelocidad

eslamitaddelainicial:

E M1=E M2→E C1+E P1=E C2+E P2→

→1

2

1

2 2

2⋅ ⋅ −⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

m v

G M m

R m

v escape

L

L

escape

−

⋅ ⋅2

G M m

r

L→

→

1

2

1

2 2

2

⋅ −⋅

= ⋅

v

G M

R

v escape

L

L

escape

−⋅

2

G M

r

L→

→G M

r

v G M

R

⋅= ⋅

+

⋅− ⋅L escape L

L

1

2 2

1

2

2

v v escape2

→

Sustituyendolosdatosylosvaloresquehemosobtenidocon

anterioridad:

6 67 10 7 34 10 1

2

2 37 10

2

11 22 3, , ,⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⋅

−

r +

+⋅ ⋅ ⋅

⋅− ⋅

−

2

11 22

6

6 67 10 7 34 10

1 74 10

1

22 3

, ,

,, 77 103

2

⋅( ) →

→ →

→

4 90 107 02 10 2 81 10 2 81 10

4

125 6 6,

, , ,⋅

= ⋅ + ⋅ − ⋅

=

r

r ,,

,

,90 10

7 02 10

6 9 1012

5

6⋅

⋅

= ⋅ m

NOTA:Puedeserunaocasióninteresanteparaquelosalumnos

compruebenelerrorqueresultaríasiconsiderásemos

unmovimientodecaídalibreconelvalordeg constanteeigual

asuvalorenlasuperficiedelaLuna.

ObtenemoslaaceleracióndelagravedadenlaLuna:

g G M

R =

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−L

L2

6 67 10 7 34 10

1 74 101

11 22

6 2

, ,

( , ),,617 N/kg



71

Solucionario

Porlasecuacionesdelmovimiento:

• x x v t g t = + ⋅ − ⋅ ⋅0 021

2• v v g t = − ⋅0

Además,v 0=v escape,x 0=0yv v = ⋅1

2escape:

1

2

1

2⋅ = − ⋅ = ⋅v v g t t

v

g e e

e→ →

→ x v

v

g g

v

g = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅

e

e e1

2

1

2

1

4

2 37 10 0 52

2

2

3, ,,337 10

1 6170 5 1 617 0 25

2 37 10

1 61

3 3 2⋅− ⋅ ⋅ ⋅

⋅

,, , ,

( , )

, 772

→

→ x = ⋅1 3 106, m

Estevalor(erróneo)esdistintoalqueobtuvimosantes

(6,9⋅106m,correcto).

50. Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un periodode 27 días, a una distancia de 3,8 ⋅ 108 m, calcula:

a) La masa de la Tierra.

b) La energía que se necesita para separar la Luna de la Tierraa una distancia infinita.

Dato: masa de la Luna, M L = 7,34 ⋅ 1022 kg.

a) Elperiodoes:

T = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅27 días

24 h

1 día

60 min

1 h

60 s

1 min s2 333 106

,

Conociendoque:

T r

G M =

⋅

⋅

42 3π

T

→

→M r

G T T =

⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅ ⋅−

4 4 3 8 10

6 67 10 2 3

2 3

2

2 8 3

11

π π ( , )

, ( , 333 105 967 10

6 2

24

⋅= ⋅

), kg

b) LaLunaescaparádelcampogravitatorioterrestrecuando

suenergíamecánicasea0.Calculamoselvalordelaenergía

mecánicadelaLunaensuórbita(unidadesdelSI):

E G M m

r M

T L= − ⋅⋅ ⋅

=

= − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

1

2

1

2

6 67 10 5 97 10 711 24, , ,,

,,

34 10

3 8 103 84 10

22

8

28⋅

⋅= − ⋅ J

ParaquelaLunaabandoneelcampogravitatorioterrestredebemos

comunicarleunaenergíade3,84⋅1028J.



72


51. Calcula el radio que debería tener la Tierra, conservando su masa, paraque su velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz en el vacío,c = 300000 km/s. Ante un colapso de este tipo, ¿variará el periodode traslación de la Luna alrededor de la Tierra?

Dato: masa de la Tierra, M T = 6 ⋅ 1024 kg.

Ahoratenemos:

v G M

R

R G M v

escapeT

T

TT

escape

= ⋅

⋅

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

2

2 2 6 672

→

→ , 110 6 10300 000 10

8 89 1011 24

3 2

3−

−⋅ ⋅

⋅

= ⋅

( ), m

ElperiododetraslacióndelaLunavienedadoporlaexpresión:

T r

G M =

⋅

⋅

42 3

π

T

donder eselradiodelaórbitadelaLuna.T nodependedelradio

delaTierra;portanto,aunquesucedieseelcolapsoterrestre,

elperiododetraslacióndelaLunaalrededordelaTierranocambiaría.

52. Un cometa de 1012 kg de masa se acerca al Sol desde un puntomuy alejado del Sistema Solar, pudiéndose considerar que su velocidadinicial es nula. Calcula:

a) La velocidad en el perihelio, sabiendo que se produce a una distanciade 108 km del Sol. (Masa del Sol = 2 ⋅ 1030 kg.)

b) La energía potencial cuando cruce la órbita de la Tierra.

Dato: distancia Tierra-Sol = 1,496 ⋅ 1011 m.

a) UnpuntomuyalejadodelSistemaSolarseráunpuntoenelqueelcometaestáfueradelcampogravitatoriodelSol;portanto,

suE P=0.Si,además,suvelocidadesnula,laE Cenesepunto

tambiénesnula.Enconsecuencia,laE Mdelcometaes0.

Suponiendoqueelcometaestásometidoúnicamentealaatracción

gravitatoriadelSol,suE Mencualquierotropuntodesumovimiento

será0(principiodeconservacióndelaenergíamecánica):

E m v G M m

r M perihelio

Sol

perihelio

= = ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

01

2

2→

→ v G M

r =

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

Sol

perihelio

2 6 67 10 2 10 2

10

11 30,111

45 165 10= ⋅, m/s

(HemosexpresadolasmagnitudesenunidadesdelSI.)

b) CuandocruzalaórbitadelaTierra,elcometaseencuentra

alamismadistanciadelSolquelaTierra.

E G M m

r P

Sol= −

⋅ ⋅

= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

−

6 67 10 2 10 10

1 496

11 30 12,

, 1108 92 10

11

20= − ⋅, J



73

El campoelectrostático3

• Utilizarelconceptodecampocomounrecursoadecuadoparaestudiar

lainteracciónelectrostáticaadistancia.

• Separarconceptualmentelaperturbaciónprovocadaporuncuerpocargadoenelespacioquelerodeadelainteracciónquesufreotro

cuerpocargadoquepenetraenelcampo.

• Manejarconsolturalafunciónintensidaddecampoylafunción

potencialparaelestudiocuantitativodelainteracciónelectrostática.

• Interpretarcorrectamentelasrepresentacionesgráficasrelativas

alasfuncionescampoypotencialelectrostáticoenfuncióndeladistancia.

• Predecirlainteracciónquesufriráotrocuerpocargadocuandosedesplaza

enuncampoelectrostático,teniendoencuentaelsignodesucarga.

• Comprenderlainteracciónelectrostáticacomounainteracciónconservativa.

• Utilizarelprincipiodesuperposiciónparadeterminarelvalordelcampo

creadoporunconjuntodecargaspuntuales.

• ConocerelalcancedelteoremadeGaussyutilizarloconsolturapara

determinarelcampoyelpotencialcreadosporconductorescargados

(distribucionescontinuasdecarga)endistintospuntosdelespacio.

• Sercapazdepredecirelmovimientodeuncuerpocargadoenelseno

deuncampoelectrostático.

• Analizarlasituacióndinámicadecuerpossometidos,alavez,ainteracción

electrostáticaygravitatoria.Evaluarlaimportanciarelativadecadauna.

• Conunametodologíasimilaralaempleadaeneltemaanterior

paraelestudiodelcampogravitatorio,abordamosaquíelestudio

delcampoelectrostático,haciendoespecialhincapiéenlasanalogías

ydiferenciasentreambos.Esespecialmenteimportantehacerver

alalumnadolasdosdiferenciascapitalesentreambas:laprimerarelacionadaconlosaspectoscuantitativosdecadaunadeestas

interaccionescuandoseestablecenentrepartículasdemasaodecarga

unidad,separadasunadistanciaunidad;ylasegunda,referidaalos

aspectoscualitativosquederivandelaexistenciacargasdeldistinto

signo,circunstanciaquenosepresentaenlainteraccióngravitatoria.

• Aunqueeneltemaanterioryaseprodujounaaproximaciónalteorema

deGausscomoherramientaparacalcularelcampocreado

pordistribucionescontinuas,esahoradondeeserecursoseemplea

enmayorextensión,afindededucirlaexpresióndelcampo

yelpotencialeléctricocreadoporconductorescargadosendistintos

puntossignificativosdelespacio.

PRESENTACIÓN

OBJETIVOS



3 El campo electrostático

74

• Elconceptodecampocomorecursoparaestudiarlaperturbación

quecreauncuerpocargadoenreposo.

• Definicióndelvectorintensidaddecampoelectrostáticocreado

porunacargapuntual.Interpretacióndesumódulo,direcciónysentido

enfuncióndelsignodesucarga.

• Estudiodelafuerzadeinteracciónentredoscuerposcargados.Relación

conlaintensidaddelcampoqueunodeelloscreaenelpuntodonde

seencuentraelotro.

• Demostracióndelcarácterconservativodelcampoelectrostáticoyanálisisdelasconsecuenciasquesederivandeello.

• Definicióndepotencialeléctricoenunpuntoysurelaciónconlaenergía

potencialqueadquiereuncuerpocargadoendichopunto.

• Estudiodelavariacióndeenergíapotencialqueexperimentauncuerpo

quesedesplazadeunpuntoaotrodeuncampoysurelación

coneltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampo.Interpretación

delsignoyvaloraciónenfuncióndelsignorelativodeambascargas.

• Conservacióndelaenergíamecánicaysusconsecuenciasparaestudiar

elmovimientodecuerposcargadosenuncampoelectrostático.

• Estudiodelcampoyelpotencialeléctricoscreadoporvariascargas

puntuales.Principiodesuperposición.

• Representacióngráficadelainteracciónelectrostática:líneasdecampo

ysuperficiesequipotenciales.

• Estudiodelafuncióncampoydelafunciónpotencialdebidas

adistribucionescontinuasdecarga(conductoresenequilibrio).

AplicacióndelteoremadeGauss.

• Dinámicadecuerposcargadosenuncampoelectrostáticouniforme.

Conceptos

• Adquirirsolturaenelmanejodecantidadesdemuydistinto

ordendemagnitud.Utilizacióndesubmúltiplosdelasunidades

delSistemaInternacional.

• Mostrardestrezaenelmanejodemagnitudesescalaresyvectoriales.

• Interpretarrepresentacionesgráficasdefuncionesmatemáticas

escalaresyvectoriales.

• Representargráficamentelosproblemasaestudiar.Manejar

ellenguajesimbólico.

• Adquirircapacidadparavalorareinterpretarlosresultados

deunestudiocuantitativo.


• Mostrarinterésporconocerlosprincipiosquerigenunainteracción

queestápresenteenmuchosdispositivosquemanejamos

deformahabitual.

• Comprenderqueelfuncionamientodemuchosobjetoscotidianos

sebasaenestudiosteóricoslaboriososyencontrarenello

unamotivaciónparaseguirestudiando.

Actitudes

CONTENIDOS



75


Apesardeseresteuntemadeampliocontenidoteórico,advertimoselementos

susceptiblesdeseraprovechadosparaunaeducaciónenvalores.

1. Educación para la salud

Comprenderlaimportanciadelasinteraccioneselectrostáticasnoshará

serrespetuososconelmanejodeunaseriededispositivos.Lejosdepresentar

laelectricidadcomounpeligro,debemosinsistirenlanecesidad

demantenerloscablesdenuestrosaparatoseléctricosenperfectoestado

ylosenchufesfueradelalcancedelosniños.

2. Educación del consumidor

Enestetemaseutilizanmagnitudesyconceptosquepodemosencontrarcuando

compramosunordenadoruotrosdispositivoseléctricos.Esimportante

quelosalumnosyalumnassepanvalorarelalcancedecadaunoafindereconocer,

porejemplo,surepercusiónenelpreciodelproductoosiesposiblesustituir

unoporotrosimilarydemenorprecio.


1. Calcularelcampoyelpotencialeléctricosqueunacargapuntualcreaenunpunto

delespacio.Relacionarlosconelsignodelacarga.

2. Calcularelcampoyelpotencialqueunconjuntodecargaspuntualescreaenunpunto

delespacio.Analizardeformaespecialsihaypuntosdondeelcampoy/oelpotencial

seannulos.

3. Hallarlafuerzaqueactúasobreuncuerpocargadosituadoenunpuntodelcampocreado

porunaomáscargaspuntuales.

4. Calculareinterpretarelsignodeltrabajoy/olaenergíaqueserequiereparaqueuncuerpo

cargadosedesplacedeunpuntoaotrodeuncampoelectrostático.

5. Determinarlavelocidaddeuncuerpocargadoenunpuntodeuncampoelectrostático

apartirdesuscaracterísticasdemovimientoenotropuntodelmismo.

6. Representargráficamenteelcampoy/oelpotencialcreadosporcargaspuntuales

odistribucionescontinuasdecarga.

7. Calculareinterpretarelcampoyelpotencialcreadosporconductorescargados

enequilibrioendistintospuntosdelespacio.

8. Relacionarelcampoconladiferenciadepotencialentredospuntosdeunaregión

dondeexisteuncampoeléctricouniforme.

9. Calculardistintasmagnitudesrelacionadasconelmovimientodecuerposcargados

enregionesdondeexistauncampoeléctricouniforme.




76


1. En el átomo de hidrógeno el electrón se encuentra a una distanciaaproximada de 5,2 ⋅ 10−11 m del núcleo, donde está localizado el protón.Calcula la fuerza electrostática con que se atraen ambas partículasy compárala con la fuerza gravitatoria entre ellas.

Datos: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2;m p = 1,67 ⋅ 10−27 kg; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg; K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2;q p = 1,6 ⋅ 10−19 C; q e = −1,6 ⋅ 10−19 C.


Trabajaremos,salvoqueseindiquelocontrario,enunidadesdelSI.Elmódulodelafuerzaelectrostáticaes:

F K q q

d E

p e= ⋅

⋅

= ⋅ ⋅

⋅

⋅

-

-2

919 2

11 29 10

1 6 10

5 2 10

( , )

( , )== ⋅

-8 5207 10 8, N

Obtendremoslafuerzagravitatoriaentreellasconlaexpresión:

F G m m

d G

p e= ⋅

⋅

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅-

- -

2

1127 3

6 67 101 67 10 9 1 10

,, , 11

11 2

47

5 2 10

3 7489 10

( , )

,

⋅

=

= ⋅

-

-

NAunqueambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido(protón

yelectrónseatraen),elmódulodelafuerzaelectrostáticaesmucho

mayorqueenelcasodelafuerzagravitatoria.

2. Dos partículas, a y b, tienen masas igualesde 1,6 g y cargas de igual valor, pero de signoscontrarios. La partícula b está fija en el espacioy la partícula a está colgada del techo por

un hilo de masa despreciable (ver la figura).Cuando ambas partículas están separadasuna distancia de 0,25 m, la partícula a se hallaen equilibrio y el hilo forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcula:

a) La tensión del hilo.b) La fuerza de atracción entre las partículas.c) El valor absoluto de la carga de las partículas.Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; g = 9,8 m ⋅ s−2.

(Castilla-La Mancha, 2007)Planteamoselbalancedefuerzas

delamasasuspendida.

Despreciamoslafuerzadeatracción

gravitatoriaentrelasdospartículas

porque,comosededuce

delaactividadanterior,serámucho

menorquelafuerza

electrostática.

a

30°

b

0,25m

a30°

b

0,25m

WF E

WT

WP



77

Solucionario

Observaquelatensióndebedescomponerseensuscomponentes

verticalyhorizontal,quesecalculanrelacionandoT conelángulo

queformaconlavertical(30°):

• Ejevertical:

T P m g ⋅ = = ⋅ = ⋅ =cos , , ,30 0 0016 9 8 0 015 68° kg m/s N2

• Ejehorizontal:

T F K q

d

q ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅sen E30 9 10

0 25

2

2

92

2°

,

a) Obtenemoslatensióndelhilo,T ,apartirdelbalancecorrespondientealejevertical:

T =

⋅

=

-15 68 10

300 018 106

3,

cos,

NN

°

b) ConociendoelvalordelatensiónT podemosobtenerelvalor

delafuerzaelectrostáticadeatraccióndelaspartículas

apartirdelbalancecorrespondientealejehorizontal:

F T E sen N sen N= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅- -30 18 106 10 30 9 053 103 3° , º ,

c) Conociendoelvalordelafuerzaelectrostáticadeatracción

delaspartículasysabiendoquesucargaesidéntica,podemos

obtenersuvalor:

F K q

d

q E = ⋅ = ⋅ ⋅

2

2

92

29 10

0 25,→

→q F

=

⋅

⋅

=

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

-

E 0 25

9 10

9 053 10 0 25

9 102 5

2

9

3 2

9

, , ,, 110 7- C

3. Dos cargas puntuales de 10 C cada una están en las posiciones (5, 0)y (−5, 0). Una tercera carga de 0,1 C y 2 kg de masa se dejaen libertad y con velocidad nula en el punto (0, 10). Calcula:

a) La aceleración que actúa sobre la tercera cargaen las posiciones A (0, 10) y B (0, 0).

b) La velocidad de la tercera carga en (0, 0).

a) Calcularemos

laaceleraciónencada

puntopormediode

laexpresiónWF =m ⋅Wa .

Comoconocemossu

masa,bastaconcalcular

lafuerzaqueresultade

lainteracciónelectrostática

delasotrasdoscargas

sobreellaencadapunto.

A(0,10)

B(0,0) q 2=10Cq 1=10C

(5,0)(-5,0)



78


Lafuerzasecalcularáencadacasohaciendousodelprincipio

desuperposición:WF T=WF 1+WF 2.

Lafuerzaeléctricaexistenteentrecadapardecargases:

F K q q

d u E r= ⋅

⋅⋅

0

2

W W

CálculodelafuerzaenelpuntoA(0,10).

ElvectorWr 1Atieneorigenen(-5,0)yextremoen(0,10).

Portanto:

r i j u r r

i j i j 1A 1A

1A

1A

= + = =+

+

=+5 10 5 10

5 10

5 102 2

→ 1125

W WW WW W

W W W

W

Entonces:

W WW W

WW

F K q q

r u

i 1A

1A

1A= ⋅⋅

⋅ = ⋅ ⋅⋅ -

⋅+1 0

2

99 1010 0 1

125

5 1( , ) 00

125

3 22 10 6 44 107 7

j

i j

=

= - ⋅ - ⋅, , N

ElvectorWr 2Atieneorigenen(5,0)yextremoen(0,10).

Portanto:

r i j u r

r

i j i 2 A 2A

2A

2 A

= + = =- +

+

=- +

5 105 10

5 10

5 1

2 2

→

00

125

j W W W

W

W

W WW WW

Entonces:

F K q q

r u

i 2A

2A

2A= ⋅⋅

⋅ = ⋅ ⋅⋅ -

⋅-2 0

2

99 1010 0 1

125

5( , ) ( ++=

= ⋅ - ⋅

10

125

3 22 10 6 44 107 7

j

i j

)

, , N

W W

W W

W W

Portanto:

F F F i j EA 1A 2A= + = - ⋅ - ⋅ +

+ ⋅

( , , )

( ,

3 22 10 6 44 10

3 22 1

7 7

00 6 44 10 1 288 107 7 8i j j - ⋅ = - ⋅, ) , N

W WW

W W W

W W

Ylaaceleraciónserá:

WW

WWa

F

m

j j A

EA 2m/s= =- ⋅

= - ⋅128 8 10

264 4 10

66,

,

RepetimosloscálculosparaelpuntoB(0,0).

ElvectorWr 1Btieneorigenen(-5,0)yextremoen(0,0).

Portanto:

r i u r

r

i i 1B 1B

1B

1B

= = = =55

52

→

W WW

W

WWW

Entonces:

F K q q

r u i 1B

1B

1B= ⋅⋅

⋅ = ⋅ ⋅⋅ -

⋅ = -1 0

2

99 1010 0 1

253

( , ),660 108

⋅ i NWWW W



79

Solucionario

ElvectorWr 2Btieneorigenen(5,0)yextremoen(0,0).Portanto:

r i u r

r

i i 2B 2B

2B

2B

= - = =-

= -55

52

→

W WW

W

WW

W

Entonces:

F K q q

r u i 2B

2B

2B= ⋅⋅

⋅ = ⋅ ⋅⋅ -

⋅ - =2 0

2

99 1010 0 1

25

( , )( ) 33 60 108, ⋅ i NW WWW

Finalmente:

F F F a

F

m EB 1B 2B B

EB 2

N m/s= + = = =0 0→W W W

WW

Lógico,puestoqueelpuntoBestájustoentreq 1yq 2.

b) Admitiendoquelaúnicainteraccióneslaelectrostática,sepuede

obtenerlavelocidadenelpuntoB(0,0)apartirdelteorema

deconservacióndelaenergíamecánica:

E E E E E CB PB C A P A M+ = + = →

→1

2

2 1 0

1

2 0m v K

q q

r

K q q

r

⋅ + ⋅⋅

+ ⋅⋅

=A

A 2A

== ⋅ + ⋅⋅

+ ⋅⋅

1

2

2 1 0 2 0m v K q q

r K

q q

r B1B 2B

→→

→ 9 1010 0 1

125

9 1010 0 1

125

9 9⋅ ⋅⋅ -

+ ⋅⋅ -

( , ) ( , )

=

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ -

+ ⋅ ⋅⋅1

22 9 10

10 0 1

59 10

102 9 9v B

( , ) (( , )-

0 1

5→

→ →- ⋅ = + - ⋅1 61 10 3 6 10

9 2 9

, ( , )v B

→ v B m/s= ⋅ - ⋅ = ⋅3 6 10 1 61 10 4 46 109 9 4, , ,

4. En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se disponencargas de +10 μC. Calcula:

a) El vector intensidad de campo eléctrico en el cuarto vértice.b) El potencial eléctrico en dicho vértice.c) El trabajo necesario para llevar una carga de +5 μC desde

el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice.Dato: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2.

(Cantabria. Septiembre, 2007)

a) Envirtuddelprincipiodesuperposición,podemosobtener

elvectorintensidaddecampoenelcuartovérticeapartir

delosvectoresintensidaddecampoquegeneracadacarga

porseparado:

WE TA=WE AB+WE AC+WE AD



80


C(0,0)+10mC

D(1,0)+10mC

B(1,1)

+10mC

A(0,1)

(0,5,0,5) 0

ElvectorWr ABtieneorigenen(1,1)yextremoen(0,1).Portanto:

r i u r

r

i i AB AB

AB

AB

= - = =-

= -→ 12

W W WW

W

WW

ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenB

conlaexpresión:

E K Q

r u i AB

B

AB

AB= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅ - = - ⋅-

2

96

49 1010 10

19 10( ) i i N/CW W W W

ElvectorWr ACtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,1).Portanto:

r j u r

r

j j AC AC

AC

AC

= = = =→ 12

W W WW

W

WW

ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenC

conlaexpresión:

E K Q

r u j j AC

C

AC

AC N/C= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅ = ⋅

-

2

96

49 1010 10

19 10 WWWW

ElvectorWr ADtieneorigenen(1,0)yextremoen(0,1).Portanto:

r i j u r

r

i j i j AD AD

AD

AD

= - + = =- +

+

=- +

→ 1 1 2

W W W WW

W

W WW W

ObtenemoselcampogeneradoenAporlacargasituadaenD

conlaexpresión:

E K Q

r u

i j AD

D

AD

AD= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅- +

=

= -

-

2

96

9 1010 10

2 2

3 1, 882 10 3 182 104 4⋅ + ⋅i j , N/C

WW

W W

W W

Finalmente:

E E E E

i j

TA AB AC AD= + + =

= - ⋅ + ⋅ + - ⋅9 10 9 10 3 182 104 4 4( , i i j

i j

+ ⋅ =

= - ⋅ + ⋅

3 182 10

1 2182 10 1 2182 10

4

5 5

, )

, , N/C

W W W W

WW W W

WW



81

Solucionario

b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos

elpotencialcreadoenAporlascargasenlosrestantesvértices,

sabiendoque:

V V V V A BA CA DA= + +

Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadavértice,

yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos

enelapartadoanterior.

• V K Q

r

ABB

AB

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-

9 1010 10

1

9 1096

4

• V K Q

r AC

C

AC

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-

9 1010 10

19 109

64

• V K Q

r AD

D

AD

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-

9 1010 10

26 364 109

64,

Sumando:

V V V V A AB AC AD

V V V

= + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =9 10 9 10 6 364 10 24 4 4, ,44364 105⋅ V

c) Sabemosque:

W E q V V O A P A O→ = - = - ⋅ -D ( )

HemosobtenidoelvalordelpotencialcreadoenelvérticeA

enelapartadoanterior,porloquebastaconrepetir

loscálculosparaelcentrodelcuadradodefinido

enelenunciado.

Comosetratadeuncuadrado,ladistanciaalaqueseencuentra

cadaunadelascargasqueestánenB,CoDdelcentroes

lamisma,ycoincideconlamitaddeladiagonal:

r = ⋅ + =1

21 12 2 0,71 m

Comolastrescargassonigualesylastresdistanciassoniguales,

elpotencialquecreacadaunadelascargasenelcentro

delcuadradotambiénesigual:

V V V V

V V K Q

r

O OB OC OD

O OBB

OB

= + +

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅⋅

→

→ 3 3

39 109 ⋅⋅ ⋅

= ⋅

-10 10

0 713 8184 10

65

,,→ V O V

Deacuerdoconloexpuestoalprincipiodelapartado:

W E q V V O A P A O

C V

→ = - = - ⋅ - =

= - ⋅ ⋅-

D ( )

· ( ,5 10 2 4364 106 5-- ⋅ =3 8184 10 0 75, ) ,V J



82


5. Dos cargas puntuales q 1 = +2,0 nCy q 2 = −1,0 nC están fijasy separadas una distancia de 8 cm.Calcular:

a) El campo eléctrico en elpunto T situado en el puntomedio entre las cargas.

b) El potencial eléctricoen los puntos S y T.

c) El trabajo necesario para trasladar otra carga, q ', de +3,0 nCdesde el punto S hasta el punto T.

Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C.

(Castilla-La Mancha. Junio, 2006)

a) ObtenemoselcampototalquelasdoscargascreanenelpuntoT

haciendousodelprincipiodesuperposición:

WE T=WE TA+WE TB

S(0,4)

T(0,0) q 2= -1nCq 1=2nC

B(4,0)A(-4,0)

• CampogeneradoenTporlacargasituadaenA(q 1).ElvectorWr TAtieneorigenen(-4,0)yextremoen(0,0).

Portanto:

r i u r

r

i i TA TA

TA

TA

= = = =44

4→

W W

WW

W

W

W

Entonces:

E K q

r u i i TA

TA

TA N/C= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅ =

-1

2

99

29 10

2 10

41 125,W WWW

• CampogeneradoenTporlacargasituadaenB(q 2).

ElvectorWr TBtieneorigenen(4,0)yextremoen(0,0).Portanto:

r i u r

r

i i TB TB

TB

TB

= - = =-

= -44

4→

W W W

W

W

WW

Entonces:

E K q

r u i TB

TB

TB= ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅⋅

⋅ - =

-2

2

99

29 10

1 10

40 562( ) , 55 i N/CW W W W

8cm

4cm

q 2q 1

S

T+ −



83

Solucionario

Sumando:

E E E i i i T TA TB N/C= + = + =1 125 0 5625 1 69, , ,W W W W W W

b) Tambiénutilizaremoselprincipiodesuperposiciónparacalcular

elpotencialcreadoenTyenSporlascargassituadasenAyB.

• V K q

r TA

TA

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

=

-1 9

9

9 102 10

44 5,

• V K q

r

TB

TB

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-2 9

9

9 101 10

42 25

( ),

Portanto:

V V V T TA TB V V V= + = - =4 5 2 25 2 25, , ,

Ladistanciaalaqueseencuentracadaunadelascargas

delpuntoSes:

r r SA SB m= = + =4 4 322 2

• V K q

r SA

SA

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

=

-1 9

9

9 102 10

32

3 18,

• V K q

r SB

SB

V= ⋅ =⋅ ⋅ - ⋅

= -

-2

9 99 10 1 10

32

1 59( )

,

Portanto:

V V V S SA SB V V V= + = - =3 18 1 59 1 59, , ,

c) Sabemosque:

W E q V V S T P T S

C V V

→ = - = - ⋅ - =

= - ⋅ ⋅ --

D ( )

( , ,3 10 2 25 1 599 )) ,= - ⋅ -1 98 10 9 J

Eltrabajoesnegativo,esdecir,hayquerealizarloencontra

delasfuerzasdelcampo.

6. Dos cargas negativas iguales, de 1 mC, se encuentran sobre el ejede abscisas, separadas una distancia de 20 cm. A una distancia de 50 cmsobre la vertical que pasa por el punto medio de la línea que las unese abandona una carga positiva de 1 mC y masa 1 g, inicialmenteen reposo. Calcula la velocidad que tendrá al pasar por el puntomedio de la línea que las une.

C(0,50),q = +1mC,

m = 1g,v 0= 0

T(0,0) q 2= -1mCq 1= -1mC

B(10,0)A(-10,0)



84


Lasdistanciasserán:

d d AC BC cm= = + = =10 50 2600 512 2

Comolainteracciónelectrostáticaesconservativa,laenergíamecánica

delsistemapermaneceráconstante:

E E E E C O P O C C P C+ = + →

→1

2

12

2 1 2m v K q q

d K

q q

d ⋅ + ⋅

⋅+ ⋅

⋅

=

=

OAO BO

m m v K q q d

K q q d

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

C

AC BC

2 1 2

ExpresandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI:

1

21 10 2 9 10

1 10 1 10

0 1

3 2 93 3

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ - ⋅

-- -

v O

⋅· ( )

,

=

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ - ⋅ - -

2 9 101 10 1 10

0 51

93 3

⋅( )

,

→

→ v O

m/s= ⋅ ⋅ - ⋅ + ⋅ = ⋅2 10 3 53 10 18 10 1 7 103 4 4 4( , ) ,

7. Una partícula de masa 5 g y carga −2 μC se deja en libertad y en reposoa 0,5 m de dos cargas fijas de 5 μC separadas 0,6 m.Suponiendo que solo intervienen fuerzas eléctricas, determina:

a) El campo eléctrico en el punto donde se ha dejado la partícula.

b) El potencial en ese punto.

b) La velocidad que tendrá la partícula cuando llegue al punto mediode las dos cargas.

(Islas Baleares. Septiembre, 2006)

C(0,0,5),q = -1mC,m = 5g

O(0,0) q 2= +5mCq 1= +5mC

B(0,3,0)A(-0,3,0)

a) Envirtuddelteoremadesuperposición,podemosobtenerelvector

intensidaddecampoenelpuntoinicialapartirdelosvectores

intensidaddecampoquegeneracadacargaporseparado

enelmismo:

WE C=WE AC+WE BC



85

Solucionario

• CampogeneradoenCporlacargasituadaenA.

ElvectorWr ACtieneorigenen(-0,3,0)yextremoen(0,0,5).

Portanto:

r i j

u r

r

i j

AC

ACAC

AC

= +

= =+

+

0 3 0 5

0 3 0 5

0 3 02

, ,

, ,

,

→

→ ,,

, ,

,5

0 3 0 5

0 342

=+i j

W W W

W WWWW

WW

Entonces:

E K q

r u i j

AC

AC

AC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅+-1

2

9 69 10 5 10

0 34

0 3 0 5⋅

,

, ,

00 34

6 81 10 1 135 104 5

,

, ,

=

= ⋅ + ⋅i j N/C

W WWW

WW

• CampogeneradoenCporlacargasituadaenB.

ElvectorWr BCtieneorigenen(0,3,0)yextremoen(0,0,5).

Portanto:

r i j

u r

r

i j

BC

BCBC

BC

= - +

= =- +

0 3 0 5

0 3 0 5

0 32

, ,

, ,

,

→

→ ++

=- +

0 5

0 3 0 5

0 342,

, ,

,

i j

WW

WW

W

W W

W

W W

Entonces:

E K q

r u

i BC

BC

BC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ - +

-2

2

96

9 105 10

0 34

0 3 0 5

,·

, , j j

i j

0 34

6 81 10 1 135 104 5

,

, ,

=

= - ⋅ + ⋅ N/C

WWW

WW

W

Sumando:E E E i j C AC BC= + = ⋅ + ⋅ +

+ - ⋅

( , , )

( ,

6 81 10 1 135 10

6 81 1

4 5

00 1 135 10 2 27 104 5 5i j j + ⋅ = ⋅, ) , N/C

W

W

WWWW

WW

b) Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos

elpotencialcreadoenCporlasdoscargas.

• V K q

r AC

AC

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-1 9

649 10

5 10

0 347 7174 10

,,

• V K q

r BC

BC

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-2 9

649 10

5 10

0 347 7174 10

,,

Sumando:

V V V C AC BC V V= + = ⋅ ⋅ = ⋅2 7 7174 10 1 5435 104 5, ,

c) Calculamoslasdistancias:

d d d d AC BC A BOm; m= = = =0 34 0 30, ,



86


Deacuerdoconelteoremadeconservacióndelaenergía:

E E E E C O P O C C P C+ = + →

→1

2

1

2 1 2m v K q q

d K

q q

d ⋅ + ⋅

⋅+ ⋅

⋅

=

=

OAO BO

22

2 1 2m v K

q q

d K

q q

d ⋅ + ⋅

⋅+ ⋅

⋅

C

AC BC

UtilizamostodaslasmagnitudesenunidadesdelSIysustituimos:

→1

25 10 9 10

5 10 2 10

0 323 2 9

6 6⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅- - -

v O

( )

,

=

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ - ⋅

⋅- -

9 105 10 2 10

0 3429

6 6( )

,

→

→ v O

m/s=⋅ - +

⋅=

-

2 0 31 0 6

5 1010 77

3

( , , ),

8. a) Un campo electrostático que obedece a la expresión WE = 104 W j N/Cestá dirigido en el sentido positivo del eje Y.

a1) Calcular la fuerza que ejerce este campo sobre un electróny comparar el resultado con el peso del electrón.¿Qué conclusión se puede derivar de esta comparación?

a2) Hallar la energía cinética adquirida por el electrón cuando hayarecorrido 1 cm, partiendo del reposo, y el tiempo que necesitapara recorrer dicha distancia.

Datos: masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;

carga del electrón: −1,6 ⋅ 10−19 C.


a1) Obtenemoselvalordelafuerzaelectrostáticaqueejerceelcampo

descritoenelenunciado:

F q E j j E N= ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅- -1 6 10 10 1 6 1019 4 15, ,W W W W

Supesoes:

P m a j j j = ⋅ ⋅ - = ⋅ ⋅ ⋅ - = - ⋅- -

( ) , , ( ) ,9 1 10 9 8 8 92 1031 30

NWWWW

Ambasfuerzastienenlamismadirecciónysentido,sibienelmódulo

delpesoesdespreciablefrentealdelafuerzaelectrostática.

a2) Enunaregióndondeelcampoelectrostáticoesconstante

secumple:E d V ⋅ = D .

Además,enfuncióndelteoremadeconservacióndelaenergía

mecánica:

E E E E E E E E Ci Pi C f P f Pi P f C f P+ = + - = =→ D



87

Solucionario

Yademás:

V E

q E q V = = ⋅

PP→ D D

UtilizandotodaslasmagnitudesenunidadesdelSI:

1

2

2

2 1 6 10 10 1

2

19 4

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

=

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

-

m v q E d v q E d

m →

, 00

9 1 1 0

5 93 102

31

6-

-⋅

= ⋅

,

, m/s

9. Dibuja aproximadamente las líneas del campo eléctrico contenidasen un plano en el que hay dos cargas eléctricas, una Q y otra, −2Q .

(Islas Baleares. Junio, 2005)

Elnúmerodelíneasdecampo

debeserproporcional

alcampoencadapunto;

enconsecuencia,elnúmerodelíneasdecampoeléctrico

entrantesenlacarganegativa

deberíadesereldoblede

lassalientesdelacargapositiva.

10. Tenemos dos cargas iguales separadas una cierta distancia, en un casode signos contrarios y en el otro del mismo signo, tal como se muestraen las figuras 1) y 2).

a) Representa las líneas del campo eléctricoen los dos casos.

b) Representa las superficies equipotencialespara los dos casos.

1)

2)

Nota: haz las representaciones en el plano que contiene ambas cargas.


Caso1:cargasdesignoopuesto.

a) Líneasdecampo: b) Superficiesequipotenciales:



88


Caso2:doscargaspositivas.

a) Líneasdecampo: b) Superficies

equipotenciales:

+ +

11. Defina la magnitud flujo del vectorcampo eléctrico. Enuncie el teoremade Gauss. Considere las dossituaciones de la figura. ¿El flujoque atraviesa la esfera es el mismoen ambas situaciones? ¿El campoeléctrico en el mismo punto Pes igual en ambas situaciones?

PP

4mC

1mC 1mC

1mC1mC

Razone en todo caso su respuesta.

(Castilla y León. Junio, 2007)

Sellamaflujo,φ,elnúmerodelíneasdecampoqueatraviesan

unasuperficie.Serepresentadetalmaneraqueelnúmerodelíneas

decampoporunidaddesuperficieperpendicularalasmismasindica

laintensidaddelcampo.

ElteoremadeGaussparaelcampoelectrostáticodicequeelflujoneto

queatraviesaunasuperficiequesesitúaenelinteriordeuncampo

dependedelacargaencerradapordichasuperficie.

Elflujoeléctricoesindependientedelradiodelasuperficiegaussiana;

solodependedelacargaencerradaporesasuperficie

ydelaconstantedieléctricadelmedio,peronodeotrosfactores,

comolaformadelasuperficieolaposicióndelacargaensuinterior.

φε

=Q encerrada

.EstaesladefinicióndelteoremadeGauss

paraelcampoelectrostático.

Enrelaciónconlassituacionesmostradasenlafigura,elflujo

eléctricoseráelmismoparaamboscasos,yaque,deacuerdo

conelteoremadeGauss,esteúnicamentedependedelacarga

encerrada,yestaeslamismaenamboscasos.Sinembargo,

estonoesasíparaelvalordelcampoeléctricoenP,yaqueeste

sídependedelosvectoresdeposicióndeladistribucióndecarga,

queenestecasoesdiferente,puesladistribucióndecarga

esdiferente.



89

Solucionario

12. Si el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerradaes cero, ¿pueden existir cargas eléctricas en el interior de dicha superficie?Razone la respuesta.

(Castilla y León, 2008)

Puedenexistircargaseléctricasdentrosiempreycuandoelbalance

decargaspositivasynegativasseaigual,deformaquelacarga

positivaseigualeconlanegativaylasumadetodasseanula.

13. Dos pequeñas esferas conductoras de radios r 1 = 1,00 cmy r 2 = 2,00 cm se encuentran cargadas con cargasq 1= 2,0 nC y q 2 = −5,0 nC, respectivamente. Si la distanciaque separa sus centros es 2,6 m, determina:

a) El módulo de la fuerza electrostática que ejerce una esfera sobre la otra.

b) Si las esferas se unen con un hilo conductor de capacidaddespreciable, calcula la carga y el potencial que adquiere cada esfera.

Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C.

(Castilla-La Mancha, 2006)

a) Aunadistanciamuchomayorquesusradios,deacuerdocon

elteoremadeGauss,lasesferassecomportaráncomounacarga

puntualdevalorigualalacargadetodalaesferaysituada

ensucentro.Obtenemos,portanto,lafuerzaelectrostática

queejercenentresíconsiderándolascomocargaspuntuales

separadasunadistanciaigualalaseparacióndesuscentros.

F K Q q

R = ⋅

⋅= ⋅

⋅ - ⋅= -

- -

2

99 9

2

9 102 10 5 10

2 613 31·

· ( )

,, ⋅⋅ -10 9 N

Ypuestoquelascargassondesignosopuestos,esunafuerza

atractiva.

b) Aluniralasesferasconunhiloconductoralcanzaránelequilibrio

electrostático,demaneraquesuspotencialesseigualarán.

V V K q

r K

q

r

q q

q

1 21

1

2

2

1

2

2

2

1

1 10 2 10

= ⋅ = ⋅⋅

=⋅- -

→ → →

→

m m

11 2 2

21

2= =

q q

q →

Comolacargadelsistemaseconserva:

q q 1 293 10+ = - ⋅ - C

Relacionandolasexpresionesanteriores:

q q q 1 19

1

992 3 10

3 10

31 10+ ⋅ = - ⋅ =

- ⋅= - ⋅-

--C

CC→

q 2



90


Yentonces:

q q 2 19 92 2 1 10 2 10= ⋅ = ⋅ - ⋅ = - ⋅

- -( )C C

DeacuerdoconlodeducidopormediodelteoremadeGauss,

elpotencialdentrodecadaesferacoincideconelque

hayensusuperficie:

• V K q

r 1

1

1

99

29 10

1 10

1 10900= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅⋅

- ⋅

⋅= -

-

-

N m

C

C

m

2

2VV

• V K q

r 2

2

2

92

2

9

29 10

2 10

2 10900= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

⋅

- ⋅

⋅= -

-

-

N m

C

C

m VV

Secompruebaqueelpotencialdelasdosesferaseselmismo.

14. Dos placas metálicas cargadas eléctricamenteestán dispuestas horizontalmente separadasuna distancia d = 20 ⋅ 10−2 m, creandoen su interior un campo eléctrico

d

de E = 2,50 ⋅ 104 N/C. Una microgota deaceite de 5,1 ⋅ 10−14 kg de masa, cargada negativamente, está en equilibriosuspendida en un punto equidistante de ambas placas.Determinar:

a) ¿Cuál de las placas está cargada negativamente?

b) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre las placas?

c) La carga de la gota.

d) La magnitud de la fuerza eléctrica que se ejercería sobrela gota si estuviera solo 1 cm por encima de la placa inferior.

Dato: g = 9,8 m ⋅ s−2.


a) Paraquelagotaestéenequilibrio,

lafuerzaelectrostáticadebeser

igualydesentidocontrarioalpeso,

esdecir,verticalyhaciaarriba.

Lacargadelagotaesnegativa,

loquedeterminaquelafuerza

WP

WE

WF E

electrostáticatendrálamismadirección,perosentidoopuesto

alcampo.Enconsecuencia,elvectorcampoelectrostáticodebe

tenerdirecciónverticalysentidohaciaabajo.Dadoqueelsentido

delaslíneasdecampovadelascargaspositivasalasnegativas,

laplacapositivadebeserlasuperior.

b) Paradosplacascargadas,planasyparalelassecumple,

conuncampoconstante:

DV E d = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅-2 5 10 20 10 5 104 2 3, V/m m V



91

Solucionario

c) Siestáenequilibrio,seráqueelmódulodesupesoeselmismo

queeldelafuerzaelectrostática,deformaque,altenersentidos

contrarios,lagotasemantieneenequilibrio.

P m g F E q = ⋅ = = ⋅E →

→ q m g

E =

⋅=

⋅ ⋅

⋅= ⋅

-5 1 10 9 8

2 5 102 1

14

4

, ,

,

kg N/kg

N/C00 17- C

d) Comoelcampoesconstante,seráelmismoencualquierpunto

entrelasdosplacas.Conociendolacargadelagotadeaceite

podemosobtenerlafuerzaelectrostáticaqueseejercesobreelladeacuerdoconestaexpresión:

F q E E C N/C N= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅- - 2 10 2 5 10 5 1017 4 13,

15. Un electrón se mueve con una velocidad de 5 ⋅ 10 5 m ⋅ s−1 y penetraen un campo eléctrico de 50 N ⋅ C−1 de igual dirección y sentidoque la velocidad.

a) Haga un análisis energético del problema y calcule la distancia

que recorre el electrón antes de detenerse.b) Razone qué ocurriría si la partícula incidente fuera un protón.

e = 1,6 ⋅ 10−19 C ; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg; m p = 1,7 ⋅ 10−27 kg.

(Andalucía, 2006)

a) Lainteracciónelectrostáticaesconservativa.

Enconsecuencia,laenergíamecánica

delelectrónpermanececonstante.

Supongamosqueiniciasumovimiento

enAysedetienecuandollegaaB:

E E E E C A P A CB PB+ = + →

→ E E E q V V q V C A PB PA B A= - = ⋅ - = ⋅( ) D [1]

Wv 0

Ad

B

WE

Comoelcampoentrelasplacasesconstante,secumpleque:

DV E d = - ⋅ [2]

Relacionandolasecuaciones[1]y[2]:

1

2 0

2

m v q E d E ⋅ = ⋅ - ⋅( )

Sustituimoslosdatosteniendoencuentaquelacargadelelectrón

esnegativa:

1

29 1 10 5 10 1 6 10 5031 5 2 19⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ - ⋅- -, ( ) , ( )d

d

→

→ == ⋅ -14 2 10 3, m

Llegamosalmismoresultadohaciendounestudiodinámico

delproblema.



92


Puestoqueelelectróntienecarganegativa,estarásometido

aunafuerzaelectrostáticadelamismadirecciónqueWE ysentido

contrario.Portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoasu

velocidadinicial.Tendrá,portanto,unmovimientodecelerado:

WF E=q ⋅WE =m ⋅Wa x

SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI:

1 6 10 50 9 1 10 8 79 1019 31 12, ( ) , ,⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = - ⋅- -i a a i → m/ss2WWW W

Conociendosuvelocidadinicialysuaceleraciónpodemosconocer

eltiempoquetardaráendetenerseapartirde:

v v a t

t v

a

= + ⋅

=-

=- ⋅

- ⋅

= ⋅-

0

05

12

85 10

8 79 105 6 10

→

→,

, s == 56 883, ns

Yconociendoestetiempopodemosyaobtenerladistancia

recorridaenesteintervalo:

x v t a t = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +

- ⋅ ⋅

-0

2 5 91

25 10 56 883 10

12

8 79 10

,

, 112 9 256 883 10 0 014 22⋅ ⋅ = =-( , ) , m 14,22 mm

b) Silapartículaincidentefueraunprotón,suaceleraciónsería

positivay,portanto,nosedetendríaporlaaccióndelcampo

eléctrico,sinoquesumovimientoseaceleraría.

16. Una partícula de masa m y carga −10−6 C se encuentra en reposo al estarsometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniformeE = 100 N ⋅ C−1 de la misma dirección.

a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partículay calcule su masa.

b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentaraa 120 N ⋅ C−1 y determine su aceleración.

g = 10 m ⋅ s−2.

(Andalucía, 2007)

a) Silapartículaseencuentraenreposo,significa

queelmódulodelafuerzagravitatoriayeldelafuerza

electrostáticaqueactúansobreellasonidénticos.

Lasfuerzastendránasimismolamismadirección

ysentidosopuestos,demaneraquemantienen

alacargaenequilibrioyenreposo.Observaque,

W

F E

WE WP

comolacargaesnegativa,lafuerzatienesentidoopuestoalcampo:

P m g F E q

m E q

g

= ⋅ = = ⋅

=⋅

=⋅ ⋅

-

E

N/C C

m/

→

→100 1 10

10

6

ss2= ⋅1 1



93

Solucionario

b) Puestoquetienecarganegativa,estarásometidoaunafuerza

electrostáticadelamismadirecciónqueWE ysentidocontrario;

portanto,delamismadirecciónysentidoopuestoalafuerza

gravitatoria.Elcuerpodejarádeestarenequilibrioysemoverá

haciaarribaconunmovimientoacelerado:

F F F q E P

j j

= + = ⋅ + =

= - ⋅ - - ⋅ = ⋅- -

E G

( ) ( )10 120 10 10 2 16 5 00 5- j N

W W W W W

W W W

Yqueda:

F m a a

F

m = ⋅ = =

⋅

=

-

-→

2 10

10 2

5

5

N

kg m/s2W W

17. Sea una partícula de masa 1 g, cargada positivamente y que se mueveen el seno de un campo eléctrico uniforme E = 1 ⋅ 104 N/C cuyas líneasde campo son perpendiculares al suelo. Inicialmente la partículaestá en reposo y a una altura de 5 m del suelo. Si se la deja libre, la partículatoca el suelo con una velocidad de 20 m/s. Determinar el sentido de las líneasde campo y la carga de la partícula.

Dato: tomar g =

10 m/s2

.(P. Asturias. Junio, 2006)

Dadoquelapartículatienecargapositiva,

severásometidaaunafuerzaenladirección

ysentidodelcampo.Ladirecciónserá

vertical,yelsentido,hacialosvalores

deYnegativos,yaquelapartículadesciende

WE d

i

f

5mdesdelaposicióninicial.

Aplicamoselprincipiodeconservacióndelaenergíamecánica

alasposicionesinicialyfinaldelmovimientodelapartícula:

E E E E E E E

E E E

Ci Pi C f P f Pi C f P f

C f Pi P f

+ = + = +

= - = -

→ →

→ DE E q V P = ⋅ -( )D

Enelsenodeuncampoeléctricouniforme:DV E d = - ⋅ .

Relacionandolasdosexpresionesanteriores:

E q E d q d E m v

q m v d E

C f f

f

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅= ⋅

→ →

→

1

2

2

1 10

2

2 ---⋅

⋅ ⋅= ⋅

3 2

4

620

2 5 104 10 C

18. a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creadopor una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masapuntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido.

b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un puntodel segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta.

(Andalucía, 2007)



94


a) Lasanalogíasylasdiferenciassededucendelassiguientes

expresiones:

Campo gravitatorio Campo electrostático

g F

m G

M

r u = = - ⋅

Gr

2W

WW E

F

q K

Q

r u = = ⋅

Er2

WW

W

Laslíneasdecampotienen

direcciónradialysiempre

muerenenelcuerpoquecreaelcampo.

Laslíneasdecampotienendirección

radialysalendelcuerpoquecrea

elcampositienecargapositivaymuerenenélsitienecarganegativa.

LaconstanteG esuniversal

ysuvalorenelSIesdel

ordende10-11.

LaconstanteK dependedelmedio

enqueseestudiaelcampo.

Suvalorenelvacío,medidoen

unidadesdelSI,esdelordende109.

b) Dadasdospartículas,siemprehabráunpuntoenelsegmento

quelasunedondeelcampogravitatorioseanula.

m 1 m 2

Wg 1 Wg 2

Silaspartículastienencargadelmismosigno,habráunpunto

delsegmentoquelasunedondeelcampoelectrostáticoseanule;

sitienencargadesignocontrario,elcamponuncaseránulo

enelsegmentoquelasune:

q 1 q 2

WE 1WE 2

q 1 q 2

WE 2

WE 1

Elpuntodondeseanulaelcampo,ensucaso,estaráenelpunto

mediodelsegmentosiamboscuerpostienenlamismamasa

olamismacarga;enotrocaso,elpuntodondeseanulaestará

máspróximoalcuerpodemenormasaomenorcarga.

19. En una región del espacio el campo es nulo. ¿Debe ser nulo tambiénel potencial eléctrico en dicha región? Razona la respuesta.


No.Dadosdoscuerposconcargadelmismosigno,habráunpunto

enelsegmentoquelosunedondeelcampoesnulo,peronoesnulo

elpotencial,queesunamagnitudescalarytendráelsigno

delascargas.

q 1 q 2

WE 1WE 2



95

Solucionario

DeacuerdoconelteoremadeGauss:

#E d r V ⋅ = -DW W

Enelinteriordeunconductoresféricoenequilibrio,elcampoesnulo.

Deellosederivaqueelpotencialesconstante,loquenoindica

queseanecesariamentenulo.

20. Dos cargas eléctricas puntuales, positivas y en reposo, están situadasen dos puntos A y B de una recta. Conteste razonadamente:

a) ¿Puede ser nulo el campo eléctrico en algún punto del espacio que rodeaa ambas cargas? ¿Y el potencial eléctrico?

(Andalucía, 2006)

Paradoscargaseléctricaspuntualespositivasyenreposohabráalgún

puntoenlalíneaquelasunedondeelcamposeránulo.Elpunto

estaráenelcentrodelsegmentosilasdoscargassoniguales;

encasocontrario,estarámáspróximoalacargamenor.

q 1 q 2

WE 1WE 2

Elpotencialesunamagnitudescalarcuyovalordepende

delsignodelascargas;silasdossonpositivas,elpotencialsiempre

serápositivo.

21. Si el campo electroestático es constante en una determinada regióndel espacio, ¿también lo es el potencial en esa misma región?

Enunaregióndelespaciodondeelcampoelectrostático

seaconstante:

E d r V E r V ⋅ = - ⋅ = -# D D D→WW W W

Deacuerdoconesto,cuandoelcampoelectrostáticoesconstante,

elpotencialdependedelvalordelcampoydelaposición

queseconsidere,porloquenoseráconstanteenesaregión,

sinoquesuvalordependerádecadapuntodelaregión.

22. ¿Qué relación hay entre el potencial y el campo eléctricos?¿Cómo se expresa matemáticamente esa relación en el casode un campo eléctrico uniforme?

(C. Valenciana. Junio, 2006)

Elpotencialyelcampoeléctricoserelacionansegún:

#E d r V ⋅ = -DW W



96


Además,sielcampoeléctricoesuniforme(nodependedelaposición)

podremosdecirque:

E d r V E r V ⋅ = - ⋅ = -# D D D→WW W W

23. Si una carga puntual produce, a una cierta distancia r un potencialeléctrico de 10 V y un campo de módulo E , ¿cuánto vale el potencialen otro punto en el cual el campo es E /4?


ComparamoselmódulodeWE conelvalordelpotencialenunmismopunto:

• E K Q

r = ⋅

2

•V K Q

r = ⋅

Tenemos:

E K

Q

r E K

Q

r K

Q

r

r r r

' ' '

' '

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

= =

2 2 2

2 2

1

4

1

4

4 2

→ →

→ → r r

Yentonces:

V K Q

r K

Q

r

V '

'= ⋅ = ⋅ = =

2 25 V

24. Una partícula cargada que se deja en libertad en un punto de un campo

eléctrico se va a mover:a) En el sentido de los potenciales crecientes.

b) En el sentido de los potenciales decrecientes.

c) La partícula no se mueve a menos que sobre ella se aplique una fuerza.

Nota: haz el estudio tanto para una partícula con carga positivacomo con carga negativa.

Silapartículatienecargapositivasemoveráenladirecciónysentido

delcampo.Portanto,enelsentidodelospotencialesdecrecientes.

Porelcontrario,silapartículatienecarganegativa,elmovimientoserácontrarioalcampoysemoveráenelsentidodelospotencialescrecientes.

25. Una carga q > 0 se encuentra bajo la acción de un campo eléctricouniforme WE . Si la carga se desplaza en la misma dirección y sentidoque el campo eléctrico, ¿qué ocurre con su energía potencial eléctrica?¿Y si movemos la carga en dirección perpendicular al campo?

Justifica ambas respuestas.




97

Solucionario

Cuandounacargasemueveenuncampoeléctrico,eltrabajo

querealizanlasfuerzasdelcampoesigualydesignocontrario

alavariacióndelaenergíapotencial:

W F d r E A B P→ = ⋅ = -# DW W

Siunacargapositivasemueveenlamismadirecciónysentido

queelcampoeléctrico,sealejadelacargaquegeneraelcampo

(tambiénpositiva).Eltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampo

espositivo(elmovimientoserealizadeformaespontánea)ylacarga

quesemuevepierdeenergíapotencial.Silacargasemuevedeformaperpendicularalcampo,lafuerza

esperpendicularaldesplazamiento,porloqueeltrabajo

querealizanlasfuerzasdelcampoesnuloylaenergíapotencial

permanececonstante.

26. Se dispone un sistema de cargas eléctricas positivas, puntuales,del mismo valor y alineadas tal como indica la figura:

+q +q +q

r r

1. La energía potencial electrostática del sistema es:

a) 22

K q

r b) 3

2

2

K q

r c) 5

2

2

K q

r

2. Si la carga del centro se acercase a uno de los extremos, la energía

potencial electrostática del sistema:a) Aumentaría.

b) Disminuiría.

c) No cambiaría, porque el sistema sería el mismo.


1. Laenergíapotencialdelsistemaeslasumadelaenergíapotencial

detodaslasparejasdecargasquesepuedanestablecer:

E K q q

r K q q

r K q q

r K q q

r P = ⋅

⋅

+ ⋅

⋅

+ ⋅

⋅

= ⋅

⋅

25

2

Larespuestacorrectaeslac).

2. Aumentaría.Enlaexpresiónquepermiteelcálculohayuntérmino

quenocambia(elqueserefierealaenergíapotencial

delascargasqueestánenlosextremos).Delosotrosdos,

laenergíapotencialdelascargasqueseaproximanaumenta

másdeloquedisminuyelaenergíadelascargasquesealejan,

porquelaenergíapotencialvaríaconelinversodeladistancia.



98


27. Dos cargas positivas e iguales están situadas en el eje Y; una está situadaen y = a, y la otra, en y = −a . Calcular el campo y el potencial eléctricoen un punto situado sobre el eje X y a una distancia d del origen.¿Cómo varía el resultado si a >> d ? ¿Y si es d >> a ?

(La Rioja. Septiembre, 2005)

Obtenemoselcampoeléctricocreado

enelpuntoD(d ,0)porlascargas

devalorQ situadasenA(0,a )

yB(0,-a ).Paraello,envirtuddelprincipiodesuperposición:

WE D=WE A+WE B

• CampogeneradoenDporlacarga

situadaenA.

ElvectorWr Atieneorigenen(0,a )

a

d a

Q

Q

A

B

D

yextremoen(d ,0).

Portanto:

r d i a j u r

r

d i a j

d a A A

A

A

= - = =-

+

→ 2 2

W WW

W

W WW W

Entonces:

E K Q

r u K

Q

d a

d i a j

d a A

A

A N/C= ⋅ = ⋅

+

⋅-

+2 2 2 2 2

W WW W

• ObtenemoselcampogeneradoenDporlacargasituadaenB.

ElvectorWr Btieneorigenen(0,-a )yextremoen(d ,0).

Portanto:

r d i a j u r

r

d i a j

d a B B

B

B

= - = =-

+

→ 2 2

W WW

W

W WW W

Entonces:

E K Q

r u K

Q

d a

d i a j

d a

B

B

B N/C= ⋅ = ⋅

+

⋅-

+2 2 2

2 2

W WW W

Sumando:

E E E K Q

d a

d i a j

d a

K Q

d a

d i a

D A B= + = ⋅

+

⋅-

+

+

+ ⋅

+

⋅+

2 2 2 2

2 2

j j

d a

K Q d

d a i

2 2 2 2 3 2

2

+

=⋅ ⋅ ⋅

+( ) /

W

W

W

WW

W W W

(Lascomponentesverticalesseanulan.)



99

Solucionario

Tambiénenvirtuddelprincipiodesuperposiciónhallaremos

elpotencialcreadoenDporlasdoscargas.

V V K Q

r K

Q

d a V V V K

Q

d a A B

AD A B= = ⋅ = ⋅

+

= + = ⋅

+2 2 2 2

2→

• Sia >>d ,(d 2+a 2)3/2.a 3y d a a 2 2+ . :

E K Q d

a i D = ⋅ ⋅

⋅2

3

WW ; V V K Q

a D A= ⋅ = ⋅ ⋅2 2

• Sid >>a ,(d 2+a 2)3/2.d 3y d a d 2 2+ . :

E K Q

d i D = ⋅ ⋅2

2

WW ; V V K Q

d D A= ⋅ = ⋅ ⋅2 2

28. Explica qué son las líneas de campo eléctrico y las superficiesequipotenciales. Razona si es posible que se puedan cortar dos líneasde campo. Dibuja esquemáticamente las líneas de campo y las superficiesequipotenciales correspondientes a una carga puntual positiva.

(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2007)

Laslíneasdecamposonlíneastangentes,

encadapunto,alvectorintensidad

decampoenesepunto.Sedibujandetal

maneraqueelnúmerodelíneasdecampo

queatraviesanunaunidaddesuperficie

perpendicularalaslíneasesproporcional

alaintensidaddelcampoenelpunto.

P

WE 2WE 1

Laslíneasdecamponosepuedencortarporque,silohiciesen,

enelpuntodecortehabríadosvaloresdistintosparaelcampo

(dostangentesdistintas)yelcampotieneunvalorúnicoencada

puntodelespacio.

Lassuperficiesequipotencialessonregionesdelespacio

paralascualeselpotencialeléctricotieneelmismovalor.

Enconsecuencia,eltrabajoparadesplazarunacargadeunpunto

aotrodeunasuperficieequipotencialesnulo:

W E E q V q V i f P f Pi f i→ = - - = - ⋅ - ⋅ =( ) ( ) 0

Paraunacargapuntualpositiva:

Líneasdecampo: Superficiesequipotenciales:



100


29. Dos pequeñas esferas, de masa m = 5 g y con carga q , cada una,se suspenden del mismo punto mediante hilos iguales, de masadespreciable y longitud L = 0,5 m, en presencia del campo gravitatorioterrestre. ¿Cuál debe ser el valor de la carga q para que, en equilibrio,los hilos formen un ángulo a = 60°?

Considera g = 10 N/kg; K = = ⋅⋅1

49 10

0

92

2pε

N m

C.


Planteamoselbalancedefuerzaspara

cadaunadelascargassuspendidas

yenequilibrio.

• Ejevertical:

T P m g ⋅ = = ⋅cos θ

• Ejehorizontal:

T F K q q

d ⋅ = = ⋅

⋅sen Eθ

2

a

L L

WT

WP

WT

WP

m, q m, q

WF EWF E

Laseparaciónentrelascargasesd L= ⋅ ⋅2 sen θ .Elánguloes:

θa

= =2

30°

Paracalcularlacarga,dividimosmiembroamiembroysustituimos

losdatosquetenemos,expresandolasmagnitudesenunidadesdelSI:

T

T

m g

K

q

L

q

⋅

⋅=

⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

cos

( )

( ,

θ

θ

θ

sen

sen

s

2

2

2

2

2 0 5

→

→

een

sen

30

5 10 10 30

9 10 30

89

2

3

9°

°

°) cos=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

=

-

→

→ q ,,5 10 6⋅

- C

30. Sean dos cargas Q 1 y Q 2 colocadas en los puntos del plano XY dadospor (−d , 0) y (d , 0), respectivamente. Si Q 1 > 0 y Q 2 < 0

y se cumple ⎮Q 1⎮ = 4 ⋅ ⎮Q 2⎮, averiguar en qué puntos del plano XYel campo eléctrico es nulo.


Encualquierpuntoentrelasdoscargaselcampocreadoporcada

unadeellastendrálamismadirecciónysentido;portanto,

noseránulo.Elcamposeanularáenunpuntoenelqueelcampo

creadoporunadelascargastengalamismadirecciónysentido

contrarioqueelquecrealaotra(unpuntofueradelsegmento



101

Solucionario

quelasune)yamboscampostenganelmismomódulo.

Enconsecuencia,elpuntoestaráfueradelsegmentoquelasune

ymáspróximoalacargademenorvalor(Q 1):

WE T=WE 1+WE 2

P (-x ,0)

Q 1

-d d

Q 2WE 2WE 1

WE 1

WE 2

Buscamosunpuntoalaizquierdade Q 1donde⎮WE 1⎮=⎮WE 2⎮.

9 10 9 109 1

2

9 2

2⋅ ⋅

-

= ⋅ ⋅

+

Q

x d

Q

x d ( ) ( )

Teniendoencuentaque⎮Q 1⎮=4⋅⎮Q 2⎮:

44

2

2

2

2

2 2⋅

-

=

+

- = + ⋅

- =

Q

x d

Q

x d x d x d

x d

( ) ( )( ) ( )

( )

→ →

→ (( )x d x d x d x d + ⋅ + = - = -2 2 2 3→ →

31. Una carga puntual de 5 nC está situada en el origen de coordenadasde un sistema cartesiano. Otra carga puntual de −15 nC estásituada en el eje OY a 30 cm del origen del mismo sistema.

Calcula:

a) La intensidad de campo electrostático en un punto A, situadoen el eje OX, a 40 cm del origen.

b) El valor del potencial electrostático en el punto A.c) El trabajo realizado por el campo de fuerzas eléctricas cuando

una carga de 10 nC se desplaza desde el punto A a otro punto Bde coordenadas (40 cm, 30 cm).

Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; 1 nC = 10−9 C.


TrabajamosenunidadesdelSI.

q 2=-15nC

D(0,0,0,3)

B(0,4,0,3)

A(0,4,0)C(0,0)

q 1=5nC

O



102


a) ParaobtenerelcampocreadoenelpuntoA(0,4,0)

porlascargassituadasenD(0,0,3)yC(0,0)utilizamos

elprincipiodesuperposición:

WE A=WE D+WE C

Paracadacarga:

E K Q

r u = ⋅

2

W W

• CalculamoselcampoquelacargaqueestáenDcreaenA.

Wr Dtieneorigenen(0,0,3)yextremoen(0,4,0).Portanto:

r i j u r

r

i j D D

D

D

= - = =-

+

=0 4 0 30 4 0 3

0 4 0 3

0

2 2

, ,, ,

, ,

→

,, ,

,

4 0 3

0 5

i j -WWWW

W

W WW W

Entonces:

E K Q

r u

i j D

D

D= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

⋅-

-2

2

99

29 10

15 10

0 5

0 4 0 3( )

,

, ,

00 5

432 324

,=

= - +

i j

N

C

W W

W W

W W

• CalculamoselcampoquelacargaqueestáenCcreaenA:

Wr Ctieneorigenen(0,0)yextremoen(0,4,0).Portanto:

r i u r

r i C C

C

C

= = =0 4, →

W W W WW

W

Entonces:

E K

Q

r u i i CC

C

N

C= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=

-1

2

99

29 10

5 10

0 4281 25

, ,W W W W

Obtenemoselcampototaloriginadoporlasdoscargas

enelpuntoA:

E E E

i j i i

A D C= + =

= - + + = - +( ) , ,432 324 281 25 150 75 324 j j N

C

W W W

W W W W W

b) TambiéncalculamoselpotencialcreadoenAporlascargas

situadasenByChaciendousodelprincipiodesuperposición:

V V V A D C= + .

Además,conocemoslosvectorescorrespondientesacadacarga,

yaqueparaelpotencialcreadoenAcoincidenconlosobtenidos

enelapartadoanterior.

• V K Q

r D

D

= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-2 9

9

9 1015 10

0 5270

( )

,V

• V K Q

r C

C

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

=

-1 9

9

9 105 10

0 4112 5

,,



103

Solucionario

Sumando:

V V V A D C V V V= + = - + = -270 112 5 157 5, ,

c) Calculamoseltrabajoenesedesplazamientoporlarelación:

W E q V V A B P B A→ = - = - ⋅ -D ( )

HemosobtenidoelvalordelpotencialenA.Deformasimilar

obtenemoselpotencialquelasdoscargasinicialescrean

enB:V V V B D C= +' '.

• V K Q

r D

D

V'

'

( )

,

,= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-2 9

9

9 1015 10

0 4

337 5

• V K q

r C

C

V'

' ,= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=

-1 9

9

9 105 10

0 590

Sumando:

V V V B D C V V V= + = - + = -' ' , ,337 5 90 247 5


W E q V V A B P B A

C V

→ = - = - ⋅ - =

= - ⋅ ⋅ - +-

D ( )

( ,10 10 247 5 159 77 5 9 10 7, )V J= ⋅ -

32. Dos cargas puntuales de 3 ⋅ 106 C están localizadasen los puntos (0, 2) y (0, −2), respectivamente.Otras dos cargas Q están localizadas en (4, 2) y (4, −2).Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadases 3 ⋅ 106 N/C Wi , determinar el valor de Q .

(La Rioja. Junio, 2006)

Secalculaelcampoeléctrico

quetodasestascargascrean

enelorigendecoordenadas

haciendousodelprincipio

desuperposición:

WE O=WE OA+WE OB+WE OC+WE OD

Consideramosquelospuntos

citadossecorresponden

conA(0,2),B(0,-2),C(4,2)yD(4,-2)yque

lascoordenadas

seexpresanenmetros.

A(0,2) C(4,2)

D(4,-2)B(0,2)

Q

O

Q 3⋅106C

3⋅106C

• CampocreadoporlacargasituadaenA.

ElvectorWr OAtieneorigenen(0,2)yextremoen(0,0).Portanto:

r j u r

r

j j OA OA

OA

O A

= - = =-

= -22

2→

W W W

W

W

WW



104


Entonces:

E K q

r u j OA

A

OA

OA= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

- = - ⋅2

96

19 103 10

46 75 10· ( ) , 55 j W W W W

• CampocreadoporlacargasituadaenB.

ElvectorWr OBtieneorigenen(0,-2)yextremoen(0,0).

Portanto:

r j u r

r

j j OB OB

OB

OB

= = = = -22

2→

W W W

W

W

WW

Entonces:

E K q

r u j j OB

B

OB

OB= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅2

96

159 103 10

46 75 10· ,W W W W

• CampocreadoporlacargasituadaenC.

ElvectorWr OCtieneorigenen(4,2)yextremoen(0,0).

Portanto:

r j u

r

r

i j i j

OC OC

OC

OC

= - = =- -

+

=- -

24 2

4 2

4 2

202 2

→

WW W

W

W W WWW

Entonces:

E K q

r u

Q i j OC

C

OC

OC= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅- -

=

= - ⋅

2

99 1020

4 2

20

4 025, 110 2 0125 108 8⋅ - ⋅ ⋅Q i Q j ,

W W

W W

W W

• CampocreadoporlacargasituadaenD.

ElvectorWr OD

tieneorigenen(4,-2)yextremoen(0,0).

Portanto:

r i j u r

r

i j i i OC OD

OD

OD

= - + = =- +

+

=- +

4 24 2

4 2

4 2

22 2

→ 00

W WWW

W

W W W WW

Entonces:

E K q

r u

Q i j OD

D

OD

OD= ⋅ = ⋅ ⋅- +

=

= - ⋅

2

99 1020

4 2

20

4 025

·

, 110 2 0125 108 8⋅ + ⋅ ⋅Q i Q j ,

W W

W W

W W

Sumandoloscuatrovectoresdecampocomprobamosque

seanulanlascomponentesendireccióndelejeYysolo

quedanlascomponentesenladireccióndeXcorrespondientes

alcampoquecreanlascargasCyD:

E E E E E Q i i O OA OB OC OD= + + + = - ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅2 4 025 10 3 108 6, →WWWWWWW

→ Q = -⋅

⋅ ⋅

= - ⋅-3 10

2 4 025 103 73 10

6

8

3

,, C



105

Solucionario

33. a) Explica el concepto de potencial eléctrico.¿Tiene sentido este concepto si la fuerzaelectrostática no fuese conservativa?

b) Dos cargas eléctricas puntualesde valor Q 1 = −9 μC y Q 2 = +16 μCestán fijas en el espacio ocupandodos vértices de un triángulo rectángulo(ver figura). Calcula el potencial eléctrico

d

Q 1

Q 2

d B

A

3 0 c m

40cm

en los puntos A y B. ¿Qué trabajo realizará el campo eléctrico para llevar

una carga puntual de 2 μC desde el punto B al punto A?

K = = ⋅⋅1

49 10

0

92

2pε

N m

C; 1 μC = 10−6 C.


a) Sedenominapotencialenunpunto(V )alaenergíapotencial

delaunidadpositivadecargaenesepunto:

V E

q

K Q

r

= = ⋅P

Elpotencialesunamagnitudescalary,enelSistemaInternacional,

semideenvoltios,V.1V =1J/C.

Desdeelpuntodevistafísico,sedefineelpotencialenunpunto

comoeltrabajoquerealizanlasfuerzasdelcampoparallevar

launidaddecargadesdeesepuntohastafueradelcampo,

convelocidadconstante.

W

q

F

q dr K Q r dr K Q r

i

i

E

i

→`

` `

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ -

# #1 1

2 =

= -⋅

+⋅

=⋅

=

i

i

i

i

i

`

`

`K Q

r

K Q

r

W

q

K Q

r V →

→

WW

Notendríasentidoladefinicióndepotencialsielcampo

electrostáticonofueraconservativo,yaqueparasucálculo

únicamenteseconsiderasuvalorenelpuntoinicialyelfinal,

ynolatrayectoriaseguida,loqueúnicamentetienesentidopara

camposconservativos(eltrabajorealizadoporlasfuerzas

delcampoelectrostáticodependesolodelpuntoinicial

yfinaldeldesplazamiento,ynodelatrayectoriaseguida).

b) Sabemosque:

W E q V V A B P B A→ = - = - ⋅ -D ( )

Haciendousodelprincipiodesuperposición,calcularemos

elpotencialquelasdoscargascreanenAcomolasuma

delpotencialquecadaunadeellascreaenesepunto.Deforma

similar,calcularemoselpotencialqueambascargascreanenB.



106


EnlasexpresionesqueutilicemosempleamosunidadesdelSI

paratodaslasmagnitudes.

CálculodelpotencialenA.V V V A A1 A2= + .

• V K Q

r A1

A1

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-1 9

659 10

9 10

0 32 7 10

( )

,,

• V K Q

r A2

A2

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-2 9

659 10

16 10

0 43 6 10

,,

Sumando:

V V V A A1 A2 V V V= + = - ⋅ + ⋅ = ⋅2 7 10 3 6 10 9 105 5 4, ,

CálculodelpotencialenB.V V V B B1 B2= + .

Paraobtenerladistanciadecadacargaalpunto,calculamos

elvalordelahipotenusa:

h d d = = + = =2 0 3 0 42 2· , , 0,5 m 0,25 m→

• V K Q

r B1

B1

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-1 9

659 10

9 10

0 25

3 24 10( )

,

,

• V K Q

r B2

B2

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-2 9

659 10

16 10

0 255 76 10

,,

Sumando:

V V V B B1 B2 V V V= + = - ⋅ + ⋅ = ⋅3 24 10 5 76 10 2 52 105 5 5, , ,


W E q V V A B P B A

C V

→ = - = - ⋅ - =

= - ⋅ ⋅ ⋅ --

D ( )

( ,2 10 2 52 10 96 5 ⋅⋅ = -10 0 3244 V J) ,

Eltrabajoesnegativo,loqueimplicaquelasfuerzasdelcampo

nodesplazaránalapartículadesdeAhastaB.Paraqueserealice

esedesplazamientohayqueaplicarunafuerzaexterna.

34. Tres partículas cargadas Q 1 = +2 μC, Q 2 = +2 μC y Q 3 de valordesconocido están situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntosen los que se encuentran las cargas son Q 1: (1, 0), Q 2: (−1, 0)

y Q 3: (0, 2). Si todas las coordenadas están expresadas en metros:a) ¿Qué valor debe tener la carga Q 3 para que una carga situada

en el punto (0, 1) no experimente ninguna fuerza neta?

b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultanteen el punto (0, 1) debido a las cargas Q 1, Q 2 y Q 3?

K = = ⋅⋅1

49 10

0

92

2pε

N m

C; 1 μC = 10−6 C.




107

Solucionario

a) Haciendousodelprincipio

desuperposición,calculamos

lafuerzaquelastrescargasejercen

sobrelaqueseencuentraenel

puntoD(0,1);estaráenreposo

cuandolafuerzatotalqueactúe

sobreellaseacero:

WF T=WF 1+WF 2+WF 3=0

Paracadacarga:

A(1,0)B(-1,0)

Q 1

Q 3

Q 2

C(0,2)

D

F K Q q

r u E r= ⋅

⋅

2

W W

• FuerzaejercidaporlacargaQ 1queseencuentraenA(1,0).

ElvectorWr Atieneelorigenen(1,0)yelextremoen(0,1).

Portanto:

r i j u r

r

i j i j A A

A

A

= - + = =- +

+

=- +

→ 1 1 22 2

W WW

W

WW W

WW W

Entonces:

F K Q q

r u

q i j 1

1

2

96

9 102 10

2 2

6 36

= ⋅⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅- +

=

= -

-

A

A

, 44 10 6 364 103 3⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅q i q j ,

W W

W W

W W

• FuerzaejercidaporlacargaQ 2queseencuentraenB(-1,0).

ElvectorWr Btieneorigenen(-1,0)yextremoen(0,1).

Portanto:

r i j u r

r

i j i j B B

B

B

= - + = =+

+

=+

→ 1 1 22 2

W WW

W

W W WW W W

Entonces:

F K Q q

r u

q i j 2

2

2

96

9 102 10

2 2

6 364

= ⋅⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅+

=

= ⋅

-

B

B

, 110 6 364 103 3⋅ ⋅ + ⋅ ⋅q i q j ,

W W

W W

W W

• FuerzaejercidaporlacargaQ 3queseencuentraenC(0,2).

ElvectorWr Ctieneorigenen(0,2)yextremoen(0,1).

Portanto:

r j u r

r

j j C C

C

C

= - = =-

= -→ 12

WW

W

WW

WW

Entonces:

F K Q q

r u

Q q j Q q 3

3

2

9 3 939 10

19 10= ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅⋅ - = - ⋅ ⋅ ⋅

C

C ( ) j j W W W W



108


Sumando:

F F F F q i q j T = + + = = - ⋅ +1 2 33 30 6 364 10 6 364 10( , · · , · · · ))

( , · · , )

+

+ + ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅6 364 10 6 364 10 9 103 3 93q i q j Q q j →→

W W W W W

W W W

W

→ →

→

1 2728 10 9 10

1 2728 10

9

4 93

3

4

,

,

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

=⋅

⋅

q j Q q j

Q 110

1 414 10 1 4149

6= ⋅ =-, ,C Cm

W W

b) Denuevo,haciendousodelprincipiodesuperposición

podemosobtenerelpotencialtotalenunpuntoapartirdelospotencialesquecadaunadelascargasindividualescrea

enesepunto:V V V V T 1 2 3= + + .

• V K Q

r 1

A

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-1 9

649 10

2 10

21 2728 10,

• V K Q

r 2

B

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

-2 9

649 10

2 10

21 2728 10,

• V K Q

r 3

C

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅

-3 9

649 10

1 414 10

11 2728 10

,,.

Sumando:

V V V V T 1 2 3 V V= + + = ⋅ ⋅ = ⋅3 1 2728 10 3 8184 104 4, ,

35. Dos cargas puntuales de −5 ⋅ 10−4 C están fijas en los puntos x = 0y x = 5 cm del eje OX. Calcular el módulo, la dirección y el sentido

de la intensidad del campo eléctricoW

E , además del potencialelectrostático V , en los puntos x = 8 cm y x = 10 cm.Si se abandona en reposo una partícula de masa m = 5 mg y cargapositiva q = + 10−9 C en el punto x = 10 cm, ¿cuál será su velocidadal pasar por x = 8 cm?

(País Vasco. Junio, 2007)

q 1=-5⋅104C q 2=-5⋅10-4C

A(0,0) B(5,0) C(8,0) D(10,0)

a) Podemosdeterminarlaexpresióndelcampoeléctrico

encualquieradelosdospuntosC(8,0)yD(10,0)envirtud

delprincipiodesuperposición:

• WE C=WE AC+WE BC

• WE D=WE AD+WE BD

ConsideramosquelascargasseencuentranenA(0,0)yB(5,0)

yhacemostodosloscálculosenelSIdeunidades.



109

Solucionario

• Campocreadoporq 1yq 2enC.

ElvectorWr ACtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,08,0).Portanto:

Wr AC=0,08Wi → Wu AC=Wi

Entonces:

E K q

r u i AC

A

AC

AC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-

2

94

29 10

5 10

0 087 0

( )

,, 33 108

⋅ i N/CW W W W

ElvectorWr BCtieneorigenen(0,05,0)yextremoen(0,08,0).

Portanto:Wr BC=0,03

Wi →

Wu BC=

Wi

Entonces:

E K q

r u i BC

B

BC

BC= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-

2

94

29 10

5 10

0 035 10

( )

,

99 i N/CW W W W

Sumando:

E E E i i i C AC BC N/C= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅7 03 10 5 10 5 703 108 9 9, ,W W W W W W

• Campocreadoporq 1yq 2enD.

ElvectorWr ADtieneorigenen(0,0)yextremoen(0,1,0).Portanto:

Wr AD=0,1Wi → Wu AD=Wi

Entonces:

E K q

r u i AD

A

AD

AD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-

2

94

29 10

5 10

0 14 5

( )

,· , 1108 i N/CW WWW

ElvectorWr BDtieneorigenen(0,05,0)yextremoen(0,1,0).

Portanto:Wr BD=0,05Wi → Wu BD=Wi

Entonces:

E K q

r u i BD

B

BD

BD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-

2

94

29 10

5 10

0 051 8

( )

,, ⋅⋅ 109 i N/C

W W W W

Sumando:

W WE E E i i i D AD BD N/C= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅4 5 10 1 8 10 2 25 108 9 9, , , WWWW

Tambiénutilizamoselprincipiodesuperposiciónparacalcular

elpotencialqueambascargascreanenlospuntosCyD.

• Potencialcreadoporq 1yq 2enC.

V K q

r AC

A

AC

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-

9 105 10

0 085 625 109

47( )

,,

V K q

r BC

B

BC

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-

9 105 10

0 031 5 109

48( )

,,

Sumando:

V V V C AC BC V V= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅5 625 10 1 5 10 2 0625 107 8 8, , , VV



110


• Potencialcreadoporq 1yq 2enD:

V K q

r AD

A

AD

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-

9 105 10

0 14 5 109

47( )

,,

V K q

r BD

B

BD

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= - ⋅

-

9 105 10

0 059 109

47( )

,

Sumando:

V V V D AD BD V V V= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅4 5 10 9 10 1 35 107 7 8, ,

b) Dadoquelainteracciónelectrostáticaesconservativa,haremosusodelprincipiodeconservacióndelaenergíamecánicaparacalcular

lavelocidadquealcanzalapartículaalpasarporelpuntoCcuando

esliberadaenDenreposo(v D=0):

E E E E CD PD C C P C+ = + →

→ →1

2

1

2

2 2m v q V m v q V ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅D D C C

→ 1 10 1 35 10

1

25 10 1 10

9 8

3 2 9

⋅ ⋅ - ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

-

- -

( , )

(v C -- ⋅2 0625 108, ) →

→ v C m/s=⋅ - +

⋅=

-

2 0 135 0 206 25

5 105 34

3

( , , ),

36. En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme vertical,de manera que la diferencia de potencial entre dos puntos situados unoencima del otro y distantes 2 cm es de 100 V.

a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón situado en esa región del espacio?

b) Si el electrón se abandona en reposo en el punto de menor potencial,¿con qué velocidad llegará al otro punto?

c) Representar gráficamente el vector campo eléctrico, la fuerza ejercidasobre el electrón, el punto de menor potencial y el punto de mayorpotencial.

Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2; masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;carga del electrón: −1,6 ⋅ 10−19 C.

(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)

a) Sielcampoeléctricoesuniforme,secumpleque:

E d r V E r V E V

d ⋅ = - ⋅ = - = = =# D D D→ →

100

250

V

m

N

C

W W W W

Conociendolacargadelelectrónyelcampoeléctricouniforme

existentepodemosobtenerlafuerzaqueejercesobreelelectrón:

F q E F q E E E C N/C N= ⋅ = ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅- -→ 1 6 10 50 8 1019 18,W W



111

Solucionario

b) Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobreelsistema

sonlasfuerzaselectrostáticas:

E E E E E E E E Ci Pi C f P f P f Pi C f Ci+ = + - + = +→ →

- = - ⋅ =D DE E q V E P C f C f → →

→ →1

29 1 10 1 6 10 10031 2 19⋅ ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ -- -, ( , ) ( )v f

→ v f m/s= ⋅5 93 106,

c) Comoelelectrónesunapartículaconcarganegativa,lafuerza

queactúasobreéltieneelsentido

opuestoaldelcampoeléctrico.

Sumovimientoesdesdeelpunto

demenorpotencialalpuntode

mayorpotencial.Deahíque

V = 0V

2cm

V = 100V

WF WE

sumovimientoenestecamposeaelqueseindicaporlaflecha

azulqueestáentrelasdoslíneasquemarcanlazona

entrelaqueexisteladiferenciadepotencialde100V.

37. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas eléctricas de valor 1 nCde signo contrario y separadas una distancia de 6 cm.

a) Dibujar las líneas de fuerza del campo eléctrico de la distribución.

b) Calcular el valor del campo eléctrico en un punto situado a 2 cmde la carga positiva y en otro situado a 2 cm de la negativa.

c) Calcular el valor del potencial eléctrico en esos puntos.

d) Si se abandona un electrón en reposo en el punto de menor potencial,calcular la velocidad que alcanzará cuando pase por el punto de mayorpotencial.

Datos: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2⋅ C−2; masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;

carga del electrón: −1,6 ⋅ 10−19 C.


a) Sonlíneasquesalen

delacargapositiva

yentranenlacarganegativa.

q A=-1nC q B=1nC

C(-5,0) A(-3,0) B(3,0) D(5,0)O

v f



112


b) Suponemosquelascargasseencuentranenlospuntos

decoordenadasA(-3,0)yB(3,0).

Enamboscasosutilizaremoselprincipiodesuperposiciónpara

obtenerelvalordelcampoeléctricoqueambascargascrean

enlospuntosC(-5,0)yD(5,0).

WE C=WE AC+WE BC; WE D=WE AD+WE BD

• CampototalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean

enelpuntoC(-5,0).

Enloscálculostendremosencuentaquelascoordenadasestándadasencentímetros;debemosexpresarlasenmetros.

ElvectorWr ACtieneorigenen(-3,0)yextremoen(-5,0).

Portanto:

Wr AC=-0,02Wi → Wu AC=Wi

Entonces:

E K q

r u i A

AC

AC

AC= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

⋅ - =

-

2

99

29 10

1 10

0 022

( )

,( ) ,,25 104

⋅ i N/CW W W W

ElvectorWr BCtieneorigenen(3,0)yextremoen(-5,0).Portanto:

Wr BC=-0,08Wi → Wu BC=Wi

Entonces:

E K q

r u i BC

B

BC

BC= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

⋅ - =

-

2

99

29 10

1 10

0 081

( )

,( ) ,,406 103

⋅ i N/CW W W W

Sumando:

E E E i i i C AC BC N= + = ⋅ + ⋅ = ⋅2 25 10 1 406 10 2 391 104 3 4, , , / /CW W W W W W

• CampototalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean

enelpuntoD(5,0).

ElvectorWr ADtieneorigenen(-3,0)yextremoen(5,0).

Portanto:

Wr AD=0,08Wi → Wu AD=Wi

Entonces:

E K q

r u i AD A

AD

AD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-

29

9

29 101 10

0 081 40

( )

,, 66 103⋅ i N/C

W W W W

ElvectorWr BDtieneorigenen(3,0)yextremoen(5,0).

Portanto:

Wr BD=0,02Wi → Wu BD=Wi

Entonces:

E K q

r u i BD

B

BD

BD= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-

2

99

29 10

1 10

0 022 25

( )

,, ⋅⋅ 104 i N/CW W W W



113

Solucionario

Sumando:

E E E i i D AD BD= + = - ⋅ - ⋅ = - ⋅1 406 10 2 25 10 2 391 103 4 4, , , i i N/CW W W W W W

Observaqueenambospuntos(CyD)elcampotieneelmismo

móduloydirección,perosentidoscontrarios.

c) ParacalcularlospotencialescreadosenCyD

podemosutilizartambiénelprincipiodesuperposición,

demaneraque:

V V V C AC BC= + ;V V V D AD BD= +

• PotencialtotalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean

enelpuntoC(-5,0).

V K q

r AC

A

AC

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-

9 101 10

0 024509

9( )

,

V K q

r BC

B

BC

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

=

-

9 101 10

0 08112 59

9

,,

Sumando:

V V V C AC BC V V V= + = - + = -450 112 5 337 5, ,

• PotencialtotalquelascargasqueseencuentranenAyBcrean

enelpuntoD(5,0).

V K q

r AD

A

AD

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

= -

-

9 101 10

0 08112 59

9( )

,,

V K q

r

BDB

BD

450 V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

=

-

9 101 10

0 02

99

,Sumando:

V V V D AD BD V V V= + = - - =112 5 450 337 5, ,

d) ElpuntodemenorpotencialdondeabandonaremoslacargaesC,

yobtendremossuvelocidadcuandopasaporD.

Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobreelsistema

sonlasfuerzaselectrostáticas:

E E E E C C P C CD PD+ = +→

→E E E E C C P C CD PD+ = + →

→ 0 1 6 10 337 5

1

29 1 1 0

19

31 2

+ - ⋅ ⋅ - =

= ⋅ ⋅ ⋅ +

-

-

( , ) ( , )

, v D (( , ) ,- ⋅ ⋅-

1 6 10 337 519→

→ v D7 m/s=

⋅ ⋅ ⋅

⋅

= ⋅

-

-

2 5 4 10 2

9 1 1 01 54 10

17

31

( , )

,,



114


38. Un modelo eléctrico simple para la molécula de cloruro de sodioconsiste en considerar a los átomos de sodio y cloro como sendas cargaseléctricas puntuales de valor 1,6 ⋅ 10−19 C y −1,6 ⋅ 10−19 C,respectivamente. Ambas cargas se encuentran separadas una distanciad = 1,2 ⋅ 10−10 m. Calcula:

1. El potencial eléctrico originado por la molécula en un punto Olocalizado a lo largo de la recta que une ambas cargas a una distancia50d de su punto medio. Considera el caso en que el punto Ose encuentra más próximo a la carga positiva.

2. El potencial eléctrico originado por la molécula en un punto Plocalizado a lo largo de la recta mediatriz del segmento que unelas cargas y a una distancia 50d de su punto medio.

3. El trabajo necesario para desplazar a un electrón desde el punto Ohasta el punto P.

Datos: e K = ⋅ = ⋅⋅−1 6 10 9 1019 9

2

2, ;C

N m

Ce .

[Nota: donde se indica molécula supón que se refiere al dipolo formado

por un ion Cl− y un ion Na+.](C. Valenciana. Septiembre, 2006)

Esquematizamoselproblemaestableciendolalocalización

delascargasylasdelospuntosOyP.Enelgráficoseexpresan

suscoordenadasenunidadesd .

A B

(-d /2,0) (d /2,0) (50d ,0)

(0,50d )

O

P

1. CalculamoselpotencialenOhaciendousodelprincipio

desuperposición:

V V V O AO BO= +

• V K q

r AO

A

AO

= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

⋅ ⋅

-

-9 10

1 6 10

50 5 1 2 10

919

1

( , )

, , 000 238= - , V

• V K q

r BO

B

BO

= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅=

-

-9 10

1 6 10

49 5 1 2 1009

19

10

,

, ,,,242 V



115

Solucionario

Sumando:

V V V O AO BO V V V= + = - + = ⋅ -0 238 0 242 4 10 3, ,

2. CalculamoselpotencialenPhaciendousodelprincipio

desuperposición:

V V V P AP BP= +

LadistanciadePalospuntosAyBes:

r r AP BP= = ⋅ + ⋅ ⋅ ≈ ⋅- - -( , ) ( , )0 6 10 50 1 2 10 6 1010 2 10 2 9 mm

Portanto:

• V K q

r AP

A

AP

V= ⋅ = ⋅ ⋅- ⋅

⋅= -

-

-9 10

1 6 10

6 100 249

19

9

( , ),

• V K q

r BP

B

BP

V= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅=

-

-9 10

1 6 10

6 100 249

19

9

,,

Sumando:

V V V P AP BP= + = 0

3. Sabemosque:

W E q V V O P P P O

C

→ = - = - ⋅ - =

= - - ⋅ ⋅ - ⋅-

D ( )

( , ) (1 6 10 0 4 119 00 6 4 103 22- -= - ⋅V J) ,

Eltrabajoesnegativo,loqueindicaquelasfuerzasdelcampo

nodesplazaránelelectróndesdeOhastaP;habráqueaplicaruna

fuerzaexternaparalograrlo.

39. Sobre la circunferencia máxima de una esfera de radioR = 10 m están colocadas equidistantes entre sí seis

cargas positivas iguales y de valor q = 2 μC. Calcule:a) El campo y el potencial debidos al sistema

de cargas en uno cualquiera de los polos(puntos N y S).

b) El campo y el potencial debidos al sistemade cargas en el centro O de la esfera.

q

q

q

q

q

q O

S

N


a) Podemoscalcularelcampo

eléctricoenalgunodelospolos,envirtuddelprincipio

desuperposicióndeuna

distribucióndecargascomo:

WE T=∑i

WE i

siendoWE ielcampocreado

porcualquieradelascargas

enelpuntoconsiderado.

r R R r R R 2 2 2 22 2= + = =→ ⋅

cos a = =⋅

=R

r

R

R 2

1

2

N

S

q

q

q

q

q

q

r

O

a

a

WE 2

WE 2

WE 1

WE 1



116


Sumóduloesigualparatodaslascargasdelsistema

ysecorrespondecon:

E K q

r r R R i = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅

+( )

- -

2

96

2

96

2 2

9 102 10

9 102 10

22

9 6

2 2

9 10 2 10

10 1090

=

=⋅ ⋅ ⋅

+=

-

N/C

Sidescomponemoselcampoquecreacadapartícula

ensucomponenteverticalyhorizontal,vemosquecada

partículatieneotracolocadadeformasimétrica,demodoquelascomponenteshorizontalesdeambasseanulan.

Enconsecuencia,alhacerlasumavectorialdelcampocreado

porlasseispartículasseanulanlascomponenteshorizontales,

quedandosolounacomponenteverticalqueesigualaseisveces

lacomponenteverticaldelcampoquecreaunadeellas:

cosa

E E i i i i ii

N

C= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∑ 6 90 6 90

1

2381 84cos ,aW W W W W

Tambiénporelprincipiodesuperposiciónobtenemoselpotencial

creadoporladistribuciónenelcentro:

V V T = ⋅6

siendoV elpotencialquecreaunacargaenelpolo,queesigual

paratodaslascargas.

V K

q

R = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

⋅= ⋅

-

2

9 102 10

2 10

1 27 1096

3

·

, V →

→ V T V V= ⋅ ⋅ = ⋅6 1 27 10 7 62 103 3, ,

b) Elcentrodelacircunferenciacorrespondealpuntomedio

decadaparejadedoscargasdelmismosigno.Sabemos

queenelpuntomediodelalíneaqueuneadoscargas

igualeselcampoesnulo;portanto,porelprincipio

desuperposición,elcampototalcreadoporlastres

parejasdecargasenesepuntoserátambiénnulo.E T=0.

Tambiénporelprincipiodesuperposiciónobtenemoselpotencialcreadoporladistribuciónenelcentro:

V V T = ⋅6

siendoV elpotencialquecreaunacargaenelcentro,queesigual

paratodaslascargas.

V K q

R = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅= ⋅

-

9 102 10

101 8 109

63, V →

→ V T V V= ⋅ ⋅ = ⋅6 1 8 10 1 08 103 4, ,



117

Solucionario

40. ¿Qué conclusiones se pueden sacar del hecho de que el flujo neto a travésde una superficie gaussiana sea cero?

a) El campo eléctrico es cero en toda la superficie.

b) No hay cargas eléctricas en el interior.

c) La suma algebraica de las cargas en el interior es cero.

Larespuestacorrectaeslac).Deacuerdoconelteorema

deGauss,elflujodependedelacargatotalcontenida

dentrodelasuperficiequeseconsidere.Paraquelacarga

totalseanula,puedeserquenoexistancargasenelinterior,peroúnicamenteesuncasoparticulardeunomásgeneral

enelquesepuedentenercargaspositivasynegativas,siempre

ycuandoelvalortotalpositivoynegativoseiguale,deforma

queeltotalseanulo.

41. a) Cargamos una esfera de plomo de 2 mm de radio a un potencialde 500 V. Determina la carga de la esfera.

b) Introducimos la esfera cargada en una caja de cerillas.

Determina el flujo eléctrico a través de la caja.ε0 = 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ C2 ⋅ N−1 ⋅ m−2.


a) DeacuerdoconelteoremadeGauss,sedetermina

elpotencialdeunaesferacargadadeacuerdo

conlaexpresión:

V E d r K Q

R

u d r K Q

R

dr K Q

R

R

R R

r

R

= - ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅ = ⋅

# # #` ` `

2 2

W W WW

Segúnesto,conociendoelradioR delaesferaysupotencial

podemosdeterminarsucarga:

Q V R

K =

⋅=

⋅ ⋅

⋅= ⋅

--R C

500 2 10

9 101 11 10

3

9

10,

b) EnvirtuddelteoremadeGauss,elflujoqueatraviesa

unasuperficieesfunciónúnicamentedelacargaqueseencierra

conesasuperficieydelaconstantedieléctrica;nodepende

delvalordelasuperficie:

φε

=Q encerrada

Enestecaso,lacargaencerradaeslacargadelaesferacalculada

enelapartadoanterior,Q :

φ =⋅

⋅

=-

-

1 1 1 10

8 85 10

10

12

,

,

C

C

N m

12,55 Wb2

2⋅



118


42. En el interior de un conductor esférico cargado y en equilibrioelectrostático se cumple:

a) El potencial y el campo aumentan desde el centro hasta la superficiede la esfera.

b) El potencial es nulo, y el campo, constante.

c) El potencial es constante, y el campo, nulo.


Enunconductoresféricocargadoyenequilibriolascargastotalessedistribuyenporlasuperficiedelmismo,demanera

queensuinteriornoexistencargas.EnvirtuddelteoremadeGauss,

larespuestacorrectaeslac),yaqueelcampototalseránulo

y,portanto,supotencialseráconstante.

43. Si el flujo del campo eléctrico a través de una superficiegaussiana que rodea a una esfera conductora cargaday en equilibrio electrostático es Q / ε0, el campo eléctrico en el exterior

de la esfera es:a) Cero

b) Q /4pε0r 2

c) Q / ε0


Dadoque,pordefinicióndeflujodecampoeléctrico,severifica

queE S

=φ,lasrespuestasa)yc)conincorrectas,

siendolab)laexpresiónquesecorrespondealcampoeléctrico

enelexteriordelasuperficiedeunaesfera.

44. Dos conductores esféricos concéntricos y huecos tienen de radios2 y 4 cm. La esfera interior lleva una carga de 12 ⋅ 10−9 C, y la exterior,20 ⋅ 10−9 C. Determinar el campo eléctrico y el potencial a estasdistancias del centro: 1, 3 y 5 cm.

• Distanciade1cm:

Lacargaencerradaporunasuperficie

gaussianaderadio1cmnocontiene

ningunacarga,porloquesuflujoserá

nulo.DadoqueE S

=φ,seránulo

tambiénelcampoeléctrico.Porotra

parte,parapuntosinterioresalaesfera

cargada,E =0→V =constante.

2cm4cm

12⋅10-9C

20⋅10-9C

5cm

3cm

1cm



119

Solucionario

SuvalorcoincideconeldeV RcuandoR =2cm+elvalor

deV RcuandoR =4cm:

V V V K Q

R K

Q

R T R Rcm cm

cm cm= + = ⋅ + ⋅ =

= ⋅

( ) ( )( ) ( )

2 42 4

9 10012 10

2 109 10

20 10

4 109 9 19

9

2

99

2⋅

⋅

⋅+ ⋅ ⋅

⋅

⋅= ⋅

-

-

-

-, 003 V

• Distanciade3cm:

Aestadistancialacargaencerradaporlasuperficiegaussiana

esladelaprimeraesferacargadaderadio2cm.ParacualquiersuperficiedeGaussfueradelaesfera:

φε

= ⋅ =$E dS Q encerradaW W

Elconductoresféricosecomportacomounpuntomaterialsituado

enelcentrodelaesferayquecontengatodalacargadelamisma.

E K Q

r = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

⋅= ⋅

-

-

1

2

99

2 2

59 1012 10

3 101 20 10

( ), N/C

Elpotencialenesepuntoseráeldebidoalconductorinterior

máseldebidoalconductorexterior.

–Potencialdebidoalconductoresféricointeriorenunpuntoexterior:

V K Q

r r V= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

⋅= ⋅

-

-

1 99

2

39 1012 10

3 103 6 10,

–Potencialdebidoalconductoresféricoexteriorenunpuntointerior

almismo,V RcuandoR =4cm:

V R V= ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

-

-9 10 20 10

4 104 5 109 9

2

3,

Sumando:

V V V T r R V V V= + = ⋅ + ⋅ = ⋅3 6 10 4 5 10 8 1 103 3 3, , ,

• Distanciade5cm:

Enestecaso,lacargatotalencerradaporlasuperficiedeGauss

eslasumadelascargasdelosdosconductoresesféricos.

Elrazonamientoescualitativamenteigualaldelapartadoanterior.

ParacualquiersuperficiedeGaussfueradelaesfera:

φε

= ⋅ =$E dS Q encerradaW W

Losconductoresesféricossecomportancomounpuntomaterial

situadoenelcentrodelaesferayquecontengatodalacarga.

E K Q

r = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ + ⋅

⋅=

- -

-2

99 9

2 29 10

12 10 20 10

5 101 15

( ), 22 105⋅ N/C



120


Deformaparecidapodemosobtenerelpotencialenunpunto

exterioralconductoresférico:

V K Q

r r = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ + ⋅

⋅= ⋅

- -

-9 10

12 10 20 10

5 105 76 109

9 9

2, 33 V

45. Tres pequeñas esferas conductoras, A, B y C, todas ellas de igualradio y con cargas Q A = 1 μC, Q B = 4 μC y Q C = 7 μC se disponenhorizontalmente. Las bolitas A y B están fijas a una distancia de 60 cm

entre sí, mientras que la C puede desplazarse libremente a lo largode la línea que une A y B.

a) Calcule la posición de equilibrio de la bolita C.

b) Si con unas pinzas aislantes se coge la esfera C y se le pone en contactocon la A dejándola posteriormente libre, ¿cuál será ahora la posiciónde equilibrio de esta esfera C?

Nota: es imprescindible incluir en la resolución los diagramas de fuerzasoportunos.

(Castilla y León. Junio, 2006)a) LaposicióndeequilibriodelaesferaCseráaquellapara

laquelasfuerzaselectrostáticasqueactúansobreellafruto

delascargasAyBseigualenenmódulo.Sussentidosson

opuestosparaamboscasos,yaquetodaslascargassonpositivas,

porloquetodaslasfuerzassonrepulsivas.

• F K Q Q

x x x A

A C= ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅- - -

2

96 6

2

3

9 101 10 7 10 63 10

22

• F K Q Q

x B = ⋅

⋅

-= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

-

- -B C

( , ) ( ,0 69 10

4 10 7 10

0 62

96 6

x x x ) ( , )2

3

2

252 10

0 6=

⋅

-

-

Q B=4mC

Q C=7mC

Q A=1mC

60cm

WF BWF A

Ycomodebenseriguales:

63 10 252 10

0 60 6 4

0

3

2

3

2

2 2⋅=

⋅

-- = ⋅

- -

x x x x

( , )( , )→ →

→ ,,6 2- = ⋅ = =x x x → 0,2 m 20 cm

Laposicióndeequilibrioestá20cmaladerechadelacargaA.

b) Aluniralasesferasconunhiloconductoralcanzarán

elequilibrioelectrostático,demaneraquesuspotenciales

seigualarán.

x



121

Solucionario

Comolasesferassondeigualradio,lacargatotaldeambasse

repartiráapartesigualesentrelasdos,demaneraquelanueva

distribucióndecargaserátalque:

Q Q A CC C

C= =⋅ + ⋅

= ⋅

- --1 10 7 10

24 10

6 66

Repetimosloscálculosparalaposicióndeequilibrioconesta

nuevadistribucióndecarga:

• F K

Q Q

x x A

A C

= ⋅

⋅

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

=

⋅- - -

2

96 6

2

3

9 10

4 10 4 10 144 10

x x 2

• F K Q Q

x B = ⋅

⋅

-= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

-

- -B C

( , ) ( ,0 69 10

4 10 4 10

0 62

96 6

x x x ) ( , )2

3

2

144 10

0 6=

⋅

-

-

Enestecaso,comotodaslascargasdelsistemasoniguales,

(Q A=Q B=Q C=4mC)lafuerzageneradaporcada

unadelascargasAyBsobreCseráigualenelpuntomedio

entrelasdoscargasAyB:x =30cmserálaposicióndeequilibrio

paralacargaC.

46. Dos esferas metálicas de 5 cm y 10 cm de radio se cargan a 1000 Vy −1000 V, respectivamente. Una vez cargadas se alejan hasta una distanciade 10 m, que se puede considerar muy grande comparada con los radios.Estas esferas ¿se atraen o se repelen? ¿Con qué fuerza? Las dos esferasse ponen en contacto mediante un hilo metálico. Al cabo de un rato se cortael hilo. En esta nueva situación, ¿con qué fuerza se atraen o se repelen? ¿Cuálha sido la variación de energía del sistema entre la situación inicial y la final?

Dato: K = 1/(4πεo) = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C−2.

(Cataluña, 1994)

a) Calculamoslacargadelasesferasmetálicasconociendo

elpotencialensusuperficie:

• Q V R

K A

A A 5,556 C 5,55=⋅

=⋅ ⋅

⋅= ⋅ =

--1000 5 10

9 1010

2

9

9 66 nC

• Q V R K

BB B

11,112 C

=⋅

=

=- ⋅ ⋅

⋅= - ⋅

--1000 10 10

9 1010

2

9

9 == -11,112 nC

Lasesferasseatraerán,puestoquesucargaesdediferente

signo.

Aunadistanciamuchomayorquesuradiosecomportan

comocargaspuntualessituadasenelcentrodelaesfera.



122


Podemoscalcularelmódulodelafuerzaconlaqueseatraen

apartirde:

F K Q Q

R = ⋅

⋅=

= - ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

- -

A B

2

99 9

9 105 556 10 11 112 10

1

, ,

005 556 10

2

9= - ⋅

-, N

b) Aluniralasesferasconunhiloconductor,alcanzaránelequilibrio

electrostático,demaneraquesuspotencialesseigualarán.

V V K Q

R K Q

R

Q Q A B

A

A

B

B

A B= → → →⋅ = ⋅

⋅

=

⋅- -

5 10 10 102 2

→ →Q Q

Q Q A B

AB

5 10 2= =

Comolacargadelsistemaseconserva:

Q Q A B C+ = - ⋅-

5 556 10 9,


Q B

Q Q A A C+ ⋅ = - ⋅ -2 5 556 10 9, →

→ Q AC

C=- ⋅

= - ⋅

-

-5 556 10

31 852 10

99,

,

Ytenemosentonces:

Q Q B A C C= ⋅ = - ⋅ ⋅ = - ⋅- -2 2 1 852 10 3 704 109 9, ,

Calculamoslafuerzaconlaqueserepelen(porsercargas

delmismosigno)enestaocasión:

F K Q Q

R = ⋅

⋅=

= ⋅ ⋅- ⋅ ⋅ - ⋅

- -

A B

2

99 9

9 101 852 10 3 704 10, ( , ))

,10

6 1738 102

9= ⋅

- N

47. Un electrón, con una velocidad de 6 ⋅ 106 m ⋅ s−1, penetra en un campoeléctrico uniforme y su velocidad se anula a una distancia de 20 cm desde

su entrada en la región del campo.a) Razone cuáles son la dirección y el sentido del campo eléctrico.

b) Calcule su módulo.

e = 1,6 ⋅ 10−19 C; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg.

(Andalucía, 2008)

a) Comoseapreciaenelesquemadelapáginasiguiente,paraque

sumovimientoseadecelerado(suvelocidadseanulatrasentrar

enelcampo),elcampoeléctricodebetenerlamismadirección



123

Solucionario

ysentidoquelavelocidaddelelectrón.

Elelectrónesunapartículadecarganegativa,

ylafuerzaqueelcampoejercesobreella

esdesentidoopuestoaldelpropiocampo.

Estoes,sielelectrónsemueveenladirección

W

F E

WE

Wv

ysentidodeWi ,elcampoeléctricotendrá

direcciónysentidodeWi ,puestoquesucarga

esnegativa.

b) WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa x.Sustituimoslosdatosexpresándolos

enunidadesdelSI: -1,6⋅10-19⋅WE =9,1⋅10-31⋅Wa [1]

Comoelcampoesconstante,lafuerzaqueactúasobreelelectrón

tambiénloes.Portanto,tendráunmovimientouniformemente

acelerado.Utilizamossusecuacionesparaestudiarelmovimiento

delelectrón.

Sedetienea20cmdelinicio;esdecir,aesadistanciasuvelocidad

sehace0:

v v a t t

a = = ⋅ + ⋅ -⋅

=0 6

6

0 6 106 10

→ →

Porotraparte:

y v t at t t

t

= + ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅

=

-0

2 2 6 61

220 10 6 10

1

26 10

6

→ →

→ ,,67 10 8⋅

- s

Portanto:

a

t = -

⋅= -

⋅

⋅

= - ⋅-

6 10 6 10

6 67 108 995 10

6 6

8

13m/s

sm/

,, ss2

Yretomandolaecuaciónanterior[1]:

- ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = -⋅ ⋅

⋅

- -

-

1 6 10 9 1 109 1 1 0

1 6

19 3131

, ,,

,E a E

a →

110

9 1 10 8 995 10

1 6 10

19

31 13

19

-

-

-

=

= -⋅ ⋅ - ⋅

⋅

, ( , )

,i → E E i = 551 59, N/C

W WWW

W W W

48. Un protón se acelera desde el reposo bajo la acción de un campoeléctrico uniforme E = 640 N/C. Calcular el tiempo que tarda en alcanzaruna velocidad de 1,2 ⋅ 106 m/s.

Datos: Q protón = 1,6 ⋅ 10−19 C; m protón = 1,67 ⋅ 10−27 kg.


WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa x→

→ a q E

m =

⋅=

⋅ ⋅

⋅

= ⋅

-

-

1 6 10 640

1 67 106 131 10

19

27

10,

,, m/ /s2



124


Comoelcampoesconstante,elprotóntendráunmovimiento

uniformementeacelerado.Calculamoseltiempoquetardaenalcanzar

esavelocidadconlaecuacióncorrespondiente:

v v at t

t

= + ⋅ = + ⋅ ⋅

=

06 2 101 2 10 0 6 131 10

1

→ →

→

, ,

,

m/s m/s

22 10

6 131 101 957 10 19 57

6

10 2

5⋅

⋅= ⋅ =-m/s

m/ss s

,, , m

49. Una pequeña esfera cargada de masa m se encuentra en equilibrio

en el seno del campo gravitatorio terrestre y de un campo electrostáticode módulos g y E , respectivamente, teniendo ambos la misma direccióny sentido. Determina la carga de la esfera en función de m , g y E ,e indica su signo.

(Canarias. Septiembre, 2006)

Paraquelacargaestéenequilibrio,lafuerza

gravitatoriaylafuerzaelectrostáticaqueactúan

sobreelladebenserigualesenmóduloyopuestas.

ComoloscamposWg y

W

E tienenlamismadirecciónysentido,lacargadebesernegativa,afin

dequelafuerzaeléctricatengasentidopuesto

WF E

WE

WP

alcampo.Suvalorserá:

P m g F E q q m g

E = ⋅ = = ⋅ =

⋅E →

50. Una partícula, de 0,1 g de masa y 1 μC de carga se mueve a la velocidadde 1 m/s en dirección horizontal cuando entra en una zona donde existe

un campo eléctrico uniforme de 200 N/C en la dirección vertical. Calcula:

a) El punto en que incidirá con una pantalla perpendicular situadaa 1 m del lugar donde aparece el campo eléctrico.

b) La energía cinética que tiene la partícula en ese instante.

a) Lapartículasigueun

movimientoparabólico;

sumovimientoes

uniformeenelejeX

yuniformemente

aceleradoenelejeY.

Suposiciónencada

instantevienedadaporlas

coordenadas(x , y ),donde:

• x v t = ⋅0

• y a t = ⋅1

2

2y

WE

Wv o

y

x



125

Solucionario

Calculamoslaaceleración:

WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa y

sustituyendolosdatosexpresadosenunidadesdelSI:

a q E

m y

2m/s=⋅=

⋅ ⋅

⋅=

-

-

1 10 200

0 1 102

6

3,

Cuandoalcanzalapantallaperpendicularalcampo,lapartícula

harecorrido1menladirecciónvertical:

y a t t t = ⋅ = ⋅ =

1

21

1

22 12 2 2

y m m/s s→ →⋅

Eldesplazamientohorizontalquesehaproducidoenesetiempoes:

x v t = ⋅ = ⋅ =0 1 1m/s s 1 m

b) Suponiendoquelasúnicasfuerzasqueactúansobrelapartícula

sonlaselectrostáticas,seconservalaenergíamecánicaporqueson

fuerzasconservativas.

E E E E E E E E E E E Ci Pi C f P f Ci Pi P f C f Ci P C f + = + + - = - =→ → D [[ ]1

Comoelcampoesuniforme,podemosconsiderarladiferenciadepotencialaunaciertadistanciadelmismopormediode

laexpresión:DV = -d ⋅E .

D DE q V q d E P = ⋅ = - ⋅ ⋅

Retomandolaecuación[1]:

E E E m v q d E E Ci P C f i C f - = ⋅ + ⋅ ⋅ =D →1

2

2

SustituyendolosdatosexpresadosenunidadesdelSI:

1

20 1 10 1 1 10 1 200 2 5 103 2 6⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅

- - -, ,E E C f C f →44 J

51. Cada uno de los electrones que componen un haz tiene una energíacinética de 1,6 ⋅ 10−17 J.

a) Calcula su velocidad.

b) ¿Cuál será la dirección, sentido y módulo de un campo eléctricoque haga que los electrones se detengan a una distancia de 10 cm,desde su entrada en la región ocupada por el campo?(Carga del electrón: e = −1,6 ⋅ 10−19 C;masa del electrón: m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg.)

(C. Madrid, 1993)

a) Laenergíacinéticaes:

E m v v E

m C

C= ⋅ =

⋅=

⋅ ⋅

⋅=

-

-

1

2

2 2 1 6 10

9 1 1 05 932

17

31→

,

,, ⋅⋅106 m/s



126


b) Comoseapreciaenelesquema,paraquesu

movimientoseadecelerado(suvelocidad

seanulatrasentrarenelcampo),elcampo

eléctricodebetenerlamismadirección

ysentidoquelavelocidaddelelectrón.

W

F E

WE

Wv

Elelectrónesunapartículaconcarganegativa,

ylafuerzaqueelcampoejercesobreellaesdesentido

opuestoaldelpropiocampo.

Estoes,sielelectrónsemueveenladirecciónysentido

deWi ,elcampoeléctricotendrádirecciónysentidodeWi ,puesto

quesucargaesnegativa.

WF E= q ⋅WE =m ⋅Wa x

SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI:

-1,6⋅10-19⋅WE =9,1⋅10-31⋅Wa [1]

Comoelcampoesconstante,lafuerzaqueactúasobreelelectrón

tambiénloes;portanto,tendráunmovimientouniformemente

acelerado.Utilizamossusecuacionesparaestudiarelmovimiento

delelectrón.

Sabiendoquesedetienea10cmdelinicio:

y v t at t a t = + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅-

02 2 6 21

210 10 5 93 10

1

2→ , [2]

Porotraparte:

v v at a t

t

a = + = ⋅ + ⋅ -⋅

=06

6

0 5 93 105 93 10

→ →,,

Sustituyendoenlaecuación[2]:

10 10 5 93 101

2

5 93 103 3732 6

62

⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅⋅

⋅ = ⋅- ,

,,t

t t t → 110 8- s

Yentoncesnosqueda:

-⋅

= = -⋅

⋅= - ⋅

-

5 93 10 5 93 10

3 373 101 76 10

6 6

8

, ,

,,

t a a →

114 m/s2

Elsignomenosindicaquelaaceleraciónseoponealavelocidad

(sentidoopuestoaWi ).

Yretomandolaecuación[1]:

- ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

- ⋅

- --

1 6 10 9 1 109 1 1 0

1 6

19 3131

, ,,

,E a E

a →

110

9 1 10 1 76 10

1 6 10

19

31 14

19

-

-

-

=

=⋅ ⋅ - ⋅

- ⋅

, ( , )

,

i E → == 1000 i N/C

W WWW

WW W



127

Solucionario

52. A 15 cm de una placa cargada tenemos una esfera metálica de 12 gde masa colgada de un hilo. Se carga la esfera con 3 mC y sufreuna atracción por parte de la placa que hace que el hilo formeun ángulo de 30° con la vertical.

a) Representa gráficamente esta situación y haz un diagrama que muestretodas las fuerzas que actúan sobre la esfera.

b) Calcula el valor del campo eléctrico en el punto donde está la esferametálica. Evalúa el signo de la carga de la placa.

a) Representacióngráfica:

WE

WT

WF E

15cm

30°

WP

b) Elsignodelacargadelaplacaqueatraeaunacargapositiva

tienequesernegativo.Unaplacacargadacreauncampoeléctrico

constante;portanto,lafuerzaeléctricaesconstante.

Despuésderepresentargráficamenteelproblemahacemos

elbalancedelasfuerzas.

Paraelsistemaenequilibrio:ΣWF = 0.

• Enelejehorizontal:

T F E q ⋅ = = ⋅sen Eθ

• Enelejevertical:

T P m g ⋅ = = ⋅cos θ

SustituimoslosdatosexpresándolosenunidadesdelSI.

T E ⋅ = ⋅ ⋅-sen 30 3 10 3° [1]

T ⋅ = ⋅ ⋅-cos ,30 12 10 9 83° [2]

Dividiendomiembroamiembrolasexpresiones[1]y[2]:

T

T

E ⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅ ⋅

-

-

sen 30

30

3 10

12 10 9 8

3

3

°

°cos ,→

→ E =⋅ ⋅ ⋅

⋅=

-

-

tgN/C

30 12 10 9 8

3 1022 63

3

3

° ,,



128

NOTAS



129

El campomagnético4

• Conocerlaevoluciónhistóricadelosconocimientosenelcampo

delmagnetismoyelelectromagnetismo.

• Comprenderlaelectricidadyelmagnetismocomodosaspectos

deunamismainteracción:laelectromagnética.

• Explorarlaestructuramicroscópicaquejustificaelcomportamiento

magnéticoonodelosmateriales.

• Identificarlasfuentesdeinteracciónmagnética.

• Representarelcampomagnéticomediantelíneasdecampoyponer

demanifiestosusdiferenciasconelcampoeléctrico.• Relacionarlabrújulaconelcampomagnéticoterrestre.

• Analizarlosdistintosaspectosdelafuerzamagnéticaqueactúa

sobrecargaseléctricasenmovimientoohilosdecorrienteenelseno

deuncampomagnético.

• Estudiarelmovimientodepartículascargadasenpresenciadecampos

magnéticosy/oeléctricos.Explorarlasdiferenciasqueproducecada

unadeesasinteracciones.

• Utilizarlainteracciónelectromagnéticasobrecargasenmovimiento

paraexplicarelfuncionamientodealgunosdispositivos,comoelespectrógrafodemasasolosaceleradoresdepartículas.

• Analizarlaexpresiónmatemáticaquepermiteconocerelcampo

magnéticocreadopordistintoselementosdiscretos:cargas

enmovimiento,hilosdecorriente,espirasobobinas.

• Analizarlasdiferenciasentreelvectorintensidaddecampoeléctrico

yelvectorinducciónmagnética,especialmentelasrelacionadas

consucarácterconservativoono.

• Estudiarelcampomagnéticoqueresultadelapresenciadevarioshilos

decorrienteparalelos.

• Paramuchosalumnos,porprimeravezenlaenseñanzasecundaria

seabordaelestudiodelmagnetismo.Esimportantehacerlesver

quesetratadeunaspectodelainteracciónelectromagnética,

ideaquecontrastaráconsuexperienciaprevia.

• Eneldesarrollodeltemaseofrecenlasdeduccionesmatemáticas

queserequierenparacomprenderlosfenómenosqueseestudian.

Hemostratadodeajustarnosalosconocimientosmatemáticosdeesteniveldeestudio.Noobstante,cadaprofesoroprofesora

decidiráhastaquépuntoleinteresaincidirenlajustificación

matemática,dadoelalumnadoconelquetrabajeylosobjetivos

queesperaalcanzar.Consideramosquetambiénesfactibletrabajar

conlasexpresionesmatemáticasfinalesyanalizartodoslosdetalles

desusignificado.

PRESENTACIÓN

OBJETIVOS



130

4 El campo magnético

• Experienciasquedemuestranlaexistenciadelainteracciónmagnética.

Elcampomagnéticoterrestre.

• Fuentesdelcampomagnéticoylíneasdelcampoquecrea

cadatipo.

• Efectodeuncampomagnéticosobreunacargaenmovimiento.

LeydeLorentz.

• Movimientodepartículascargadasenpresenciadeuncampo

magnético.

• Efectodeuncampomagnéticosobreunhilodecorriente.

• Campomagnéticocreadoporelementosdiscretos:unacarga

enmovimiento,unhilodecorriente,unaespira.

• Campomagnéticocreadoporagrupacionesdecorriente:varioshilos

decorrienteounabobina.LeydeAmpère.

• Comportamientomagnéticodeunaespiraydeunabobina:

líneasdecampo,localizacióndesucaranorteycarasur.

Conceptos

• Manejarconsolturalasoperacionesproductoescalar

yproductovectorialdevectoresycomprenderelsignificado

decadauno.

• Habituarsealmanejodereglasnemotécnicas(regladelamano

derechaodeltornillo)parafacilitarlasoperacionesconmagnitudes

vectoriales.

• Logrardestrezaenelestudiodelmovimientodepartículascargadas

enuncampomagnéticoyaplicarloalestudiodedispositivosreales,

comoelselectordevelocidades,elespectrógrafodemasasoelciclotrón.

• Adquirirsolturaenlacomprensióndelasexpresionesmatemáticas

quepermitencalcularelcampomagnéticocreadopordistintos

elementos,másalládeconoceraldetallelasdeduccionesdetales

expresiones.

• Sercapazderelacionarelcomportamientomagnético

deundispositivoconsucomportamientoeléctrico.Predecir

elsentidodelcampomagnéticoqueresultadequeunacorriente

eléctricacirculeenunsentidooenotro.


• Comprenderellargocaminoquedebenseguirenocasiones

losconocimientoscientíficos(comolosrelacionados

conelmagnetismo)hastaquesepuedeformularunateoría

completasobrelosmismos(teoríaelectromagnética).

• Mostrarinterésporexplorarconceptualmenteelalcance

delasexpresionesmatemáticasquecuantificanlosfenómenos

magnéticos.

Actitudes

CONTENIDOS



131


Enocasiones,losfenómenosmagnéticoshanestadorodeadosdeunciertomisterio,

loquefueaprovechadoporalgunosdesaprensivosparaaprovecharsedegentes

necesitadasoincautas.Puedeseradecuadoemplearestetemaparaplantear

enelauladebatesinteresantes.


Sepuedepediralosalumnosyalumnasquebusqueninformaciónsobreremedios

milagrososrelacionadosconefectosmagnéticosdeelementoscomoelagua,

unapulsera,uncolchón,etc.Conlainformaciónobtenidasepuedeabrirundebate

destinadoaevaluarcuantitativamenteelefectomagnéticodeesoselementosysuinutilidadconrespectoalfinqueanuncian.


Noesextrañoquelosmediosdeinformacióndencuentadelaprotesta

dealgunosvecinosporelestablecimientodelíneasdealtatensión.

Alhilodeunainformacióndeestetipooplanteandounasituaciónposible,

sepuedenrealizaralgunoscálculosquepermitancomprenderelalcancedelcampo

magnéticocreadoporloshilosdelaconduccióndecorrienteeléctrica.

Comparandoconelvalordeotroscamposmagnéticos,elalumnadopuede

establecersuspropiasconclusionesacercadelospeligrosdedichasconducciones

yhastadóndepuedesernecesariotomarprecauciones.


1. Obtenerlaexpresiónvectorialdelafuerzaqueaparecesobreunapartículacargada

quesemueveenpresenciadeuncampomagnético.

2. Estudiarelmovimientodeunapartículacargadaenelsenodeuncampo

magnéticouniforme.Determinarlatrayectoria,sentidoenqueserecorre,radio,

periodo,etc.

3. Realizarcálculosquerelacionenlaenergíaconquesalenlaspartículasdeunacelerador

consuscaracterísticasfísicas:radiodelaórbita,periododelciclotróneintensidad

delcampomagnético.

4. Determinarelcampoeléctrico(intensidad,direcciónysentido)queanuleelefecto

deuncampomagnéticosobreunapartículaenmovimiento.5. Calcularelcampomagnéticocreadoporunoomáshilosdecorrienteparalelos

endeterminadospuntosdelespacio.

6. Distinguirycalcularlafuerzamagnéticaqueseestableceentrehilosdecorriente

paralela.

7. Calcularelvectorcampomagnéticocreadoporunaespiraensucentro.

Relacionarloconelsentidoenquecirculalacorriente.

8. Hallarelvectorcampomagnéticocreadoporunabobinaensueje.Relacionarlo

conelsentidoenquecirculalacorriente.




132

El campo magnético4

1. Una partícula con carga q y velocidad v penetra en un campo magnéticoperpendicular a la dirección de movimiento.

a) Analice el trabajo realizado por la fuerza magnética y la variaciónde energía cinética de la partícula.

b) Repita el apartado anterior en el caso de que la partícula se muevaen dirección paralela al campo y explique las diferencias entre amboscasos.

(Andalucía, 2006)

Lapartículasevesometidaaunafuerzamagnéticaque,deacuerdoconlaleydeLorentz,esWF B= q ⋅Wv ×WB .

a) WF BesperpendicularaWv ,loquedeterminaquelapartícula

sedesplazaenunplanoperpendicularaWF B.Enconsecuencia,

eltrabajodelafuerzamagnéticaesnulo:

W F d r A B→ = ⋅ =#B

A

0W W

YaqueWF esperpendicularad Wr (WF ⊥d Wr ).

Laenergíacinéticaes:

E m v C = ⋅1

2

2

DadoqueWF B⊥ Wv ,lafuerzanocambiaelmódulodelavelocidad.

Portanto,laenergíacinéticadelapartículanovaría:DE C=0.

b) Enestecaso,comolosvectoresdevelocidadycampomagnético

sonparalelos,tenemos:

F q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0W

Noexisteningunafuerzamagnética,loquedetermina

quelapartículasemueveconmovimientorectilíneoyuniforme.

Noexistetrabajodebidoalafuerzamagnética,ytampocoexiste

variacióndelaenergíacinéticadelapartículacargada.

2. Un protón entra en un campo magnético uniforme, B W, con unadeterminada velocidad, v W. Describa el tipo de movimiento que efectuará

dentro del campo si:a) Los vectores v W y B Wson paralelos.

b) Los vectores v W y B Wson perpendiculares.

(Cataluña. Junio, 2007)

DeacuerdoconlaexpresióndelaleydeLorentz,unapartícula

quesemuevedentrodeuncampomagnéticoseveafectada

porunafuerza:

WF B= q ⋅Wv ×WB



133

Solucionario

Pordefinicióndeproductovectorial, F q v B B= ⋅ ⋅ ⋅

senθW

,siendoθ

elánguloqueformanWv yWB .

Segúnestaexpresión:

a) SilosvectoresWv yWB sonparalelos:

F q v B q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0 0W

Portanto,dadoquelafuerzaesnula,elprotónsedesplaza

conmovimientorectilíneouniforme.

b) SilosvectoresWv yWB sonperpendiculares,sobreelprotónactuará

unafuerzaconestascaracterísticas:

• Módulo:

F q v B q v B q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅sen 90 1W

• Dirección:perpendicularaWv yWB .

• Sentido:eldeterminadoporlaregladeltornillo.ElvectorWv

girahaciaWB porelcaminomáscorto.

Elprotónsevesometidodeformapermanente

aunafuerzaendirecciónperpendicularasuvelocidad,

porloquetendráunmovimientocircularuniforme.

Describeunatrayectoriacircularenelplanoperpendicular

alcampoWB .

3. Una partícula con velocidad constante v W, masa m y carga q entraen una región donde existe un campo magnético uniforme B W,perpendicular a su velocidad. Realiza un dibujo de la trayectoriaque seguirá la partícula. ¿Cómo se ve afectada la trayectoriasi en las mismas condiciones cambiamos únicamente el signode la carga?


DeacuerdoconlaleydeLorentz,lapartículasevesometida

aunafuerza:WF B= q ⋅Wv ×WB .

• Módulo:

F q v B q v B q v B B °= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅sen 90 1W

• Dirección:perpendicularaWv yWB .

• Sentido:eldeterminadoporlaregladeltornillo.ElvectorWv

girahaciaWB porelcaminomáscorto.

LafuerzaWF esperpendicularaWv .Portanto,solomodifica

sutrayectoriaobligandoacurvarla.Sielcampomagnético

esconstante,permanentementehabráunaWF perpendicularaWv

queobligaalapartículaaseguirunatrayectoriacircularenelplano

perpendicularalcampoWB .

Elsentidoenquegiralapartículadependedelsignodelacarga

ydelsentidodelosvectoresWv yWB .



134


Eneldibujosemuestraelgiro

deunapartículaconcargapositiva

queentraconvelocidadhorizontal

hacialaderechaenunazonadonde

existeuncampomagnético

queentraenelplanodeldibujo

(puntoO);elresultadoesungiro

antihorario.

Sibajolasmismascondiciones

secambiaseelsignodelacarga

porunanegativa,únicamente

cambiaríaelsentidodegiro

delamismaypasaríaaserhorario.

4. Un electrón penetra dentro de un campo magnético uniforme,de intensidad 0,001 T, perpendicular a su velocidad.Si el radio de la trayectoria que describe el electrón es de 5 cm, halle:

a) La velocidad.

b) El periodo del movimiento de la órbita que describe.Datos: masa del electrón: 9,1 ⋅ 10−31 kg;carga del electrón: 1,6 ⋅ 10−19 C.

(Extremadura. Junio, 2006)

a) Lafuerzamagnéticaesigualalafuerzacentrípetaresponsable

desumovimiento(verlajustificaciónenlosejerciciosanteriores).

UsaremosunidadesdelSI.

⋅ ⋅ ⋅q v B m v

r r

m v

q B = ⋅ =⋅2

→ →

→ v r q B

m = =

⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−

−

⋅ ⋅ 0 05 1 6 10 0 001

9 1 108

19

31

, , ,

,,,79 10

6⋅ m/s

b) Dadoque:

v r T

r

T r v

m q B

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅⋅

= ⋅ ⋅

−

ωπ

π π π

2

2 22 9

1 1031

→

→

,

11 6 10 0 0013 57 1019

8

, ,,

⋅ ⋅= ⋅−

− s

5. Un protón penetra perpendicularmente en una región donde existeun campo magnético uniforme de valor 10−3 T y describeuna trayectoria circular de 10 cm de radio. Realiza un esquemade la situación y calcula:

a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el protón e indicasu dirección y sentido ayudándote de un diagrama.

v W

v W

v W

R WF

WF WF

O



135

Solucionario

b) La energía cinética del protón.

c) El número de vueltas que da el protón en 10 segundos.

Datos: q p = 1,60 ⋅ 10−19 C; m p = 1,67 ⋅ 10−27 kg.


a) Cuandouncuerpocargadopenetraenunaregióndelespacio

dondeexisteuncampomagnéticoWB conunavelocidadWv ,seve

sometidoaunafuerzamagnéticaWF Bcuyovalorvienedado

porlaleydeLorentz:

WF B= q ⋅Wv ×

WB

• WF BesperpendicularaWv yWB .

• Siq >0,elsentidodeWF Bcoincideconeldeuntornilloquegira

desdeWv hastaWB porelcaminomáscorto.Siq <0,susentido

eselopuesto.

• Sumóduloes: F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen θW ,dondeθeselánguloque

formanWv yWB .

LafuerzaWF BesperpendicularaWv .

Portanto,solomodifica

sutrayectoriaobligandoacurvarla.

Sielcampomagnético

esconstante,permanentemente

habráunaWF BperpendicularaWv

queobligaalapartículaaseguir

unatrayectoriacircularenelplano

perpendicularalcampoWB .

Elsentidoenquegiralapartículadependedelsignodelacarga

ydelsentidodelosvectoresWv yWB .

Enestecasosetratadeunapartículapositivaqueentra

convelocidadhorizontalhacialaderechaenunazonadondeexiste

uncampomagnéticoqueentraenelplanodeldibujo;elresultado

esungiroantihorario.

b) Laenergíacinéticaes:E m v C = ⋅1

2

2.

Calculamoslavelocidadteniendoencuentaquelafuerza

magnéticaeslafuerzacentrípetaresponsabledelmovimiento

circulardelapartícula:

F F q v B m v

r B C= ⋅ ⋅ = ⋅→ →

2

→ v r q B

m =

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅=

− −

−

0 1 1 6 10 10

1 67 109 58

19 3

27

, ,

,, ⋅⋅ 10

3 m/s

v W

v W

v W

R WF

WF WF



136


Deacuerdoconesto:

E m v C = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅−1

2

1

21 6 7 10 9 58 10 7 66 10

2 27 3 2, ( , ) , −−20J

c) Elperiodorepresentaelnúmerodevueltasquedaenunsegundo.

Enlaactividad4hemosdeducidoque:

T m

q B =

⋅

⋅

=⋅ ⋅

⋅ ⋅

= ⋅

−

− −

2 2 1 67 10

1 6 10 106 56

27

19 3

π π ,

,, 110

5− s

En10segundossedarán:

N. de vueltass

svo

= =

⋅

= ⋅−

1 10

6 56 101 52 10

5

5

T t ⋅

,, uueltas

6. Un haz de electrones penetra en una zona del espacio en la que existeun campo eléctrico y otro magnético.

a) Indique, ayudándose de un esquema si lo necesita, qué fuerzasse ejercen sobre los electrones del haz.

b) Si el haz de electrones no se desvía, ¿se puede afirmar que tantoel campo eléctrico como el magnético son nulos?Razone la respuesta.

(Andalucía, 2007)

a) SupongamoselhazdeelectronesquesemueveconvelocidadWv

enunazonaenlaqueexisteuncampomagnéticocomo

seindicaenelesquema.DeacuerdoconlaleydeLorentz,

sobreloselectronesexistiráunafuerzamagnética

enladirecciónysentidoqueseindica,yaquesonpartículasconcarganegativa:WF B= q ⋅Wv ×WB .

Siademásexisteuncampoeléctrico,sobre

loselectronesactuaráunafuerzaeléctrica

enlamismadirecciónqueelcampo

yensentidoopuesto:WF E= q ⋅WE .

b) Paraqueelhazdeelectronesnosedesvíe,

esnecesarioquelafuerzanetaqueactúe

sobreélseanula.Estoseverificacuando

ambasfuerzassonnulasytambién

cuandoambastienenelmismomóduloydirecciónysentidos

opuestos.

SiWE tieneladirecciónysentidoopuestoaWF B,esposibleque

lasfuerzaseléctricaymagnéticaseanulen.Serácuando:

F F B E=W W

SuponiendoqueWv ⊥WB :

q v B q E v B E ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =→

v W

Z Y

X

WF E

WF B

WB



137

Solucionario

7. La figura representa una regiónen la que existe un campomagnético uniforme B W, cuyaslíneas de campo sonperpendiculares al planodel papel y saliendo haciafuera del mismo. Si entransucesivamente tres partículas con la misma velocidad v , y describecada una de ellas la trayectoria que se muestra en la figura (cada

partícula está numerada):a) ¿Cuál es el signo de la carga de cada una de las partículas?

b) ¿En cuál de ellas es mayor el valor absoluto de la relacióncarga-masa (q / m )?

(C. Madrid, 2006)

a) Laspartículas1y3

debenestarcargadas,

yaquedescriben

unatrayectoriacircular,

loqueindicaquesufren

elefectodeunafuerza

magnéticaperpendicular

asuvectorvelocidad.

DeacuerdoconlaleydeLorentz,WF B= q ⋅Wv ×WB ,lapartícula3

debetenerunacargapositiva,yaquesutrayectoriatiene

sentidohorario.Porunarazónsimilar,lapartícula1debetener

unacarganegativa(trayectoriacircularensentido

antihorario).

Lapartícula2notienecarga,yaquenosufreelefecto

deunafuerzamagnética.

b) Paralaspartículasquedescribenunatrayectoriacircular(1y3),

lafuerzamagnéticaeslafuerzacentrípeta:

F F q v B m v

r B C= ⋅ ⋅ = ⋅→

2

Reordenando:

r m v

q B =

⋅

⋅

Esdecir,elradioylarelación( q / m )soninversamente

proporcionales.

Deacuerdoconesto,serámayorlarelaciónq / m enelcaso

delapartícula3,yaquesuradiodegiroeselmás

cerrado(menor).

v W

2

1

3

WB

v W

2

1

3

WB

WF 1

WF 3



138


8. Un protón inicialmente en reposo se acelera bajo una diferenciade potencial de 105 voltios. A continuación entra en un campomagnético uniforme, perpendicular a la velocidad, y describeuna trayectoria circular de 0,3 m de radio. Calcular el valorde la intensidad del campo magnético. Si se duplica el valor de estaintensidad, ¿cuál será el radio de la trayectoria?

Datos: carga del protón= 1,6 ⋅ 10−19 C; masa del protón, m p = 1,67 ⋅ 10−27 kg.

(País Vasco. Julio, 2006)

Enlosejerciciosanterioreshemosdeducidoquecuandounapartículapenetraenuncampomagnéticoconvelocidadperpendicular

alcampoactúasobreellaunafuerzamagnética

quelaobligaadescribirunatrayectoriacircular:

q v B m v

r r

m v

q B ⋅ ⋅ = ⋅ =

⋅

⋅

2

→

SepuedeobtenerelvalordelaintensidaddecampomagnéticoB

conociendoelradiodelatrayectoria:

B m v q r

= ⋅⋅

Dadoquelainteracciónelectrostáticaesconservativa,laenergía

potencialqueadquiereelprotónseconvierteenenergíacinética.

Estonospermitecalcularsuvelocidad:

→ →D D DE E q V m v P C= ⋅ = ⋅1

2

2

→ v

q V

m =

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅

−

−

2 2 1 6 10 10

1 67 10 4 38 1

19 5

27

D ,

, , 006

m/s

YahorayapodemosobtenerB :

B m v

q r =

⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

−

−

1 67 10 4 38 10

1 6 10 0 3

27 6

19

, ,

, ,0,,15 T

SivaríalaintensidaddecampoB ,podemosobtenerelradio

delanuevatrayectoriadeacuerdocon:

r m v

q B =

⋅

⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

−

−2

1 67 10 4 38 10

1 6 10 2 0

27 6

19⋅

, ,

, ,,15

= 0,15 m

9. Contesta:

a) ¿Qué frecuencia debe tener un ciclotrón para acelerar electronessi su campo magnético es de 3 T?

b) ¿Cuál debe ser el radio de ese ciclotrón para que los electronessalgan con una energía de 1 MeV?

Valor absoluto de la carga eléctrica del electrón = 1,6 ⋅ 10−19 C;masa del electrón = 9,1 ⋅ 10−31 kg.



139

Solucionario

Deacuerdoconloquesehadeducidoeneltema,lapolaridad

delciclotróndebecambiarcuandolapartículacambiade«D».

Lafrecuenciadelciclotróndebesereldoblequeladelapartícula.

Enconsecuencia,superiododebeserlamitad:

T T m

q B C = =

⋅

⋅2

π

Sabemosquelafrecuenciaesf T

=1

C

:

f q B

m = ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

−

−π π

1 6 10 3

9 1 101 68 10

19

3111

,

,, Hz

Podemosobtenerlaenergíacinéticaconlaquelaspartículassalen

delciclotróndeacuerdocon:

E m v m q r B

m

E

C

C

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

= ⋅

1

2

1

2

1

2

2

2

→

→q q B

m r

2 22⋅

⋅

Dedondesededucelosiguiente:

r E m

q B =

⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅−

22 10

1 60 109 1

2 2

619

C

eVJ

1 eV

·

,, 110

1 6 10 3

1 12 10

31

19 2 2 2 2

3

−

−

−

⋅ ⋅

= ⋅

kg

C T

m

( , )

,

→

→ r

10. Sabiendo que la Tierra ejerce un campo magnético de intensidad 0,5 ⋅ 10−4 T,

calcula la fuerza a la que se ve sometido un tramo de cable de alta tensiónque, en dirección suroeste-noreste y formando un ángulo de 60º conel ecuador, se extiende entre dos torres separadas 150 m si transporta unacorriente de 1 kA. ¿Influye en algo el sentido en que circula la corriente?

(Nota: supón que el campo magnético va de norte a sur.)

LaorientacióndeunabrújulasobrelaTierramuestraqueelpolo

nortedelcampomagnéticoterrestrecoincideprácticamente

conelPoloSurgeográfico,yviceversa.

Prescindiendodeladeclinaciónmagnética,podemosrepresentarelcampomagnéticoterrestreporunvectorquevadelPolo

Surgeográficoalnorteyesperpendicularalecuador.Sielcable

formaunángulode60°conelecuador,formaráunángulode30°

conelvectorWB .

Cuandouncablequetransportacorrientesesitúaenlazonadonde

hayuncampomagnético,sevesometidoaunafuerzamagnética

que,deacuerdoconlaleydeLorentz,es:

WF B= I ⋅Wl×WB



140


• WF BesperpendicularalplanodefinidoporWl yWB .Susentidoviene

determinadoporlaregladelamanoderecha.

• Wlesunvectorquetieneelsentidodelacorriente.Portanto,

dependiendodequecirculeenunouotro,lafuerzamagnética

tendráunsentidouotro.

Calculamoselmódulodelafuerzamagnética:

F I B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

l sen A m T senα 10 150 0 5 10 303 4, ° 33,75 NW

11. Discute si hay alguna posibilidad de que el cable de alta tensión no sufrael efecto del campo magnético terrestre.

Paraqueelcablenosufraefectodelcampomagnéticodebetener

direcciónparalelaaladelvectorWB .Deesemodo:

F I B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−

l sen A m T senα 10 150 0 5 10 0 03 4, ° NNW

12. El galvanómetro y el amperímetro son aparatos empleadospara medir el paso de una corriente eléctrica. En ellos, una espira

gira en un campo magnético cuando por ella circula una corriente.A partir de la figura 4.48, busca información que te permita justificarsu funcionamiento.

Elgalvanómetroconstadeunaespiraquepuedegirarenelseno

deuncampomagnéticouniforme.Cuandosehacellegaralaespira

lacorrientecuyaintensidadqueremosmedir,apareceunpar

defuerzasquelahacengirar;elmomentodelparesproporcional

alaintensidadquecirculaporlaespira:

WM B= I ⋅

WS

×

WB

Laespirarodeaunnúcleodehierrodulceconunejequelepermite

girar.Ligadoalejehayunresortequeterminaenunaagujaquemarca

Escala

Imán

Pivote

Pivote

Aguja

Resorte

Bobinamóvil Hierrodulce

Resorte

N

S



141

Solucionario

enunaescalaelvalordelaintensidadquehaprovocadoelgiro

delaespira.

Unamperímetronoesmásqueungalvanómetrocuyaescalaestá

expresadaenamperios.

13. Dos conductores rectilíneos, indefinidosy paralelos, perpendiculares al plano XY,pasan por los puntos A (80, 0)y B (0, 60) según indica la figura,

estando las coordenadas expresadasen centímetros. Las corrientes circulanpor ambos conductores en el mismosentido, hacia fuera del plano del papel,siendo el valor de la corriente I 1 de 6 A.Sabiendo que I 2 > I 1 y que el valordel campo magnético en el punto P, punto medio de la recta que une ambosconductores, es de B = 12 ⋅ 10−7 T, determine:

a) El valor de la corriente I 2.

b) El módulo, la dirección y el sentido del campo magnético en el origende coordenadas O, utilizando el valor de I 2 obtenido anteriormente.

Datos: permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π ⋅ 10−7 N/A2.

(C. Madrid, 2006)

a) Podemosobtenerelmódulodelcampomagnéticocreadoporcada

unodelosdoshilosdecorrientesobreelpuntoPdeacuerdocon:

B I

x = ⋅µ

π2

Dondex secorrespondeconladistanciad decadahiloalpuntoP

yqueseráenamboscasoslamisma:

d = ⋅ + = =1

280 60

2 2 2 2cm cm 50 cm 0,5 m

EnelpuntoPconsiderado,

teniendoencuentalaregla

delamanoderechaysegún

elsentidodelascorrientes,

setienencampos

magnéticosenlamisma

dirección(tangente

alascircunferenciasenP)

ydesentidosopuestos,porloque

elmódulodelcampomagnético

resultanteseráladiferenciadelosmódulos

decadaunodeloscamposcreadosporcadahilo.

P

O

BI 2

A

I 1

P

O A

B

Y

X

WB 2

WB 1

I 1

I 2



142


Obtenemosestoscampos:

• B I

d 1

17

6

2

4 10

2

6

0 52 4 10= ⋅ =

⋅⋅ = ⋅

−−µ

π

π

π ,, T

• B I

d

I I 2

27

2 72

2

4 10

2 0 54 10= ⋅ =

⋅⋅ = ⋅ ⋅

−−µ

π

π

π ,T

SabiendoqueI 2>I 1:

B B B I

I

= − = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅

= ⋅

− − −2 1

72

6 7

2

4 10 2 4 10 12 10

12 1

, →

→ 00 2 4 10

4 10

7 6

7

− −

−+ ⋅⋅

=, 9 A

b) Nuevamentesepuede

calcularelcampomagnético

creadoenelorigen

decoordenadasapartir

deloscamposmagnéticos

creadosporcadahilo

decorrienteenesepunto.Comoconocemoselvalor

delasintensidades

correspondientesacada

conductor,podemoscalcular:

• B I

d 1

17

6

2

4 10

2

6

0 81 5 10= ⋅ =

⋅⋅ = ⋅

−−µ

π

π

πA

T,

,

• B I

d 2

27

6

2

4 10

2

9

0 6

3 10= ⋅ =⋅

⋅ = ⋅−

−µ

π

π

πB

T

,

Enelorigendecoordenadasladirecciónyelsentidodecadacampo

creadoporunconductorestangentealacircunferenciaquepasa

poresepuntoytienecentroenelconductor.Elsentidoserá

eldeterminadoporlaregladelamanoderecha.

Loscamposresultantesenestecasosonperpendicularesentresí,

comosemuestraenelesquema.

Calculamoselmódulodelcamporesultante:

B B B T T= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −12

22 6 2 6 2 61 5 10 3 10 3 35 10( , ) ( ) ,

14. Sean dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrienteseléctricas de igual intensidad y sentido.

a) Explique qué fuerzas se ejercen entre sí ambos conductores.

b) Represente gráficamente la situación en la que las fuerzas son repulsivas,dibujando el campo magnético y la fuerza sobre cada conductor.

(Andalucía, 2006)

P

O A

B

Y

X

I 1

I 2

WB 2

WB 1WB T



143

Solucionario

a) Cadaunodelosconductoresrectilíneos

crearásobreelotroconductor

uncampomagnéticoquesepuede

calcularapartirde:

B I

d = ⋅µ

π2

DondeI eslaintensidadquecircula

porelconductoryd esladistancia

quelossepara.

Siendolosdoshilosparalelosyconlascorrientesdelmismo

sentido,lasituaciónserácomolaquesemuestraenelesquema.

• B 1eselcampoqueelconductorI 1creaenunpunto

aunadistanciad .

B I

d 1

1

2= ⋅µ

π

• Deformasimilar,B 2eselcampoqueelconductorI 2crea

enunpuntoaunadistanciad .

B I

d 2

2

2= ⋅µ

π

Encadacaso,elvectorcampomagnéticoesperpendicularalhilo,

ylaregladelamanoderechapermiteconocerelsentido.

Cadahilodecorrienteestásometidoalaaccióndeuncampo

magnético.Enconsecuencia,sobrecadahiloactúaunafuerza

magnéticadeterminadaporlaleydeLorentz:WF B= I ⋅Wl×WB .

Encadacaso,Wl⊥WB ,loqueindicaqueWF Besperpendicular

aambos.Entreloshilosdecorrienteparalelosseestablecen

fuerzasdeatraccióncuyomóduloes:

•F I B L12 2 1= ⋅ ⋅ •F I B L21 1 2= ⋅ ⋅

DondeLeslalongitudtotaldeloshilosdecorriente.Sustituyendo

laexpresióndelcampomagnéticoencadacaso:

•F I I

d L

I I

d L

F L

I

12 21 1 2

12 1

2 2

2

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅

= ⋅ ⋅

µ

π

µ

π

µπ

→

→ I I d

2

•F I I

d L

I I

d L

F

L

I

21 12 2 1

21 2

2 2

2

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅⋅

= ⋅⋅

µ

π

µ

π

µ

π

→

→I I

d

1

b) Paraquelasfuerzasseanrepulsivas,lasintensidadesquerecorren

losconductoresdebenserdesentidosopuestos.

d

I 2I 1

WB 2

WF 12

WB 1

WF 21

d

I I WB 2

WF 12

WB 1

WF 21



144


15. Dos conductores rectilíneos, paralelos y de granlongitud, están separados por una distancia de 10 cm.Por cada uno de ellos circula una corriente eléctricaen sentidos opuestos, como se indica en la figura,de valores I 1 = 8 A e I 2 = 6 A.

a) Determina la expresión vectorial del campo magnéticoen el punto P situado entre los dos conductoresa 4 cm del primero.

b) Determina la fuerza que por unidad de longitud ejerce el primerconductor sobre el segundo. Para ello haz un dibujo en el que figurenla fuerza y los vectores cuyo producto vectorial te permiten determinar ladirección y sentido de dicha fuerza. ¿La fuerza es atractiva o repulsiva?

Dato: μ0 = 4π ⋅ 10−7 T ⋅ m/A.


a) Laregladelamanoderechadetermina

queelcampocreadoporcadahilo

enelpuntoPesperpendicularalplano

delpapelyentrante(sentidonegativodeZ).

Calculamoselmódulodelcampocreado

porcadahiloenP;elcampototal

tendrálamismadirecciónysentido,

ysumóduloserálasumadeambos.

• B I

d 1

1

1

75

2

4 10

2

8

0 044 10= ⋅ =

⋅⋅ = ⋅

−−µ

π

π

π ,T

• B I d

22

2

7

5

24 10

26

0 062 10= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

−−µ

π

π

π ,T

Portanto:

B B B T 1 2= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −4 10 2 10 6 10

5 5 5T

b) Veamoslosvectoressobreelsiguienteesquema.

WB 1esperpendicularalplanodelpapel

yentrante(sentidonegativodeZ)yWF 12

tienedirecciónhorizontalhacialaderecha(sentidopositivodeX).

Paraobtenerlafuerzadelprimerconductor

sobreelsegundoesnecesariocalcular

primeroelcampomagnéticoqueelprimer

conductorcreaenunpuntoquecoincide

conlaposicióndelsegundoconductor:

B I

d 1

17

5

2

4 10

2

8

0 11 6 10= ⋅ =

⋅⋅ = ⋅

−−µ

π

π

π ,, T

I 1 I 2

4cm

10cm

P

X

Y

Z

I 1 I 2

4cm

10cm

P

XY

ZWB 2

WB 1

I 1 I 2

4cm

10cm

P

X

Y

Z

WF 12

WB 1



145

Solucionario

CalculamosahoralafuerzahaciendousodelaleydeLorentz:

F I B LF

LI B 12 2 1

122 1

5 56 1 6 10 9 6 10= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅

− −→ · , , N/ /m

16. Dibuje las líneas de campo magnético que generan las dos distribucionesde corriente de la figura en el plano perpendicular que está dibujado.

Justifique brevemente la respuesta.


Paralaespiraseránlíneasconcentroencadaunodelospuntos

dondelaespiraatraviesaelplano.Enelladoenquelacorrientesube,

laslíneastienensentidoantihorario;yenelquebaja,horario.Paraelhiloconductordeladerechaseránlíneasconcéntricas

conelhilo.Silacorrienteesascendente,laregladelamanoderecha

determinaquesusentidoesantihorario.

I I

I

17. Un solenoide de 5 cm de longitud está formado por 200 espiras. Calculael campo magnético en el eje del solenoide cuando le llega una corrientede 0,5 A en los casos siguientes:

a) En el eje del solenoide hay aire.b) En el eje del solenoide se introduce un núcleo de hierro dulce cuya

permeabilidad relativa es 5000.

Dato: μ0 = 4π ⋅ 10−7 N ⋅ A−2.

a) DeacuerdoconlaleydeAmpère,sepuedeobtenerelcampo

magnéticoenelejedeunsolenoidepormediodelaexpresión:

B N I

L= ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅= ⋅

− −µ π4 10

200 0 5

0 052 51 10

7 3,

,, T

I



146


b) Conelmismorazonamientoqueenelapartadoanterior,pero

teniendoencuentaqueestavezsetieneunnúcleoconunacierta

permeabilidadrelativa:

B N I

L

N I

L= ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅=

= ⋅ ⋅ ⋅⋅−

µ µ µ

π

0

74 10 5000

200 0 5

0

r

,

,00512 56= , T

18. Un toroide de 5 cm de radio está formado por 500 espiras. Calcula

la corriente que le debe llegar para que el campo en el círculo centraldel toroide sea de 1,5 mT. ¿Y si el núcleo del toroide fuese de hierro dulce?

Datos: μ0 = 4π ⋅ 10−7 N ⋅ A−2; μr hierro dulce = 5000.

DeacuerdoconlaleydeAmpère,elcampomagnéticoenelcírculo

centraldeuntoroidevienedadoporlaexpresión:

B N I

R = ⋅

⋅

⋅

µ

π2

Sieltoroideestávacío:

1 5 10 4 10500

2 0 05

3 7

0

,,

⋅ = ⋅ ⋅⋅

⋅

− −π

πµ

I →I =0,75A

Encasodequeeltoroidetuvieseunnúcleodehierrodulce:

1 5 10 4 10 50005003 7, ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

− −π

µ

⋅⋅

⋅

I

2 0 05π ,→I =1,5·10−4A

19. Explica qué quiere decir que el campo magnético es no conservativo.

a) Que la energía no se conserva.b) Que no existe un potencial escalar del que se derive el campo.

c) Que no existe un potencial vectorial del que se derive el campo.

Respuestacorrecta:b).Noexisteunpotencialescalar

delquesederiveelcampo.

20. ¿En qué se diferencian las líneas del campo eléctrico y las líneasdel campo magnético?

a) En que unas nacen en las cargas eléctricas y otras, no.

b) En que las líneas del campo eléctrico son abiertas y las del campomagnético son cerradas.

c) En que las líneas del campo eléctrico son tangentes al campoy las del campo magnético son perpendiculares al campo.

Respuestascorrectas:a)yb).Laslíneasdelcampoeléctriconacen

enlascargaseléctricas.Laslíneasdelcampoeléctricosonabiertas

ylasdelcampomagnéticosoncerradas.



147

Solucionario

21. Habitualmente los imanes tienenpintado el polo norte con un colory el polo sur con otro. Si se rompeun imán justo por la zonaque separa los colores, ¿habremosseparado el polo norte del polosur del imán?

Justifica tu respuesta.

No,elimáneselresultadodemuchosimanesmicroscópicos

conlamismaorientación.Sirompemosunimán,cualquierfragmento

tendrásusimanesmicroscópicosorientadosdelamismamanera.

Portanto,seráunimánconlosdospolos,norteysur.Esimposible

separarlospolosdeunimán.

22. Si frotamos una aguja de hierro con un imán siempre en el mismo sentido,la aguja adquiere propiedades magnéticas. Esas propiedades desaparecencon el tiempo y muy rápidamente si ponemos la aguja en una llama.Explica estos fenómenos.

Elhierroesunmaterialferromagnético.Susmicroimanes,enprincipio

orientadosalazar,puedenadoptarunaorientaciónúnicasisefrotan

conunimánsiempreenelmismosentido.Entonces,todalaaguja

dehierrosecomportacomounimán.

Sicalentamoslaagujaimantada,suspartículassemoverán,

loqueprovocalapérdidadelordenamientodesusmicroimanes

ydejadeestarimantado.

23. ¿Por qué se utilizan las limadurasde hierro para visualizar el campomagnético? ¿Se podrían usar

las de cualquier otro metal?Elhierroesunmaterial

ferromagnéticoqueseimanta

poraccióndeuncampo

magnéticoexterno.Unavez

n

S

quelaslimadurasestánimantadas,

seorientanconrespectoalcampomagnético.Sepodríanutilizar

limadurasdeotromaterialconpropiedadesmagnéticassimilares

alasdelhierro.



148


24. Las líneas del campo electrostático creado por una única carga son líneasabiertas. ¿Sucede lo mismo con las líneas del campo magnético creadopor un único imán?

Adiferenciadeloquesucedeconloscamposgravitatorio

yelectrostático,laslíneasdecampomagnéticosiempre

soncerradas,aunquesetratedelcampocreadoporunsolo

imánohilodecorriente.

25. Además de los imanes, las cargas eléctricas también producen camposmagnéticos. ¿En qué condiciones?

Lascargaseléctricasproducencamposmagnéticossiseencuentran

enmovimiento.Esespecialmentesignificativoelcampomagnético

producidoporunacorrienteeléctrica.

26. Supongamos un campo eléctrico producido por una carga puntual.¿Es posible que su valor en un punto que diste una distancia x de la carga sea nulo y en otro punto que diste la misma distancia

no sea nulo? Haz el mismo estudio para el campo magnético creadopor una carga puntual.

Elmódulodelcampoeléctricocreadoporunacargapuntual

enunpuntodependedeladistanciaalpunto;todoslospuntos

queseencuentrenalamismadistanciaestaránsometidos

auncampoeléctricoconelmismomódulo:E K Q

r = ⋅

2.

Elcampomagnéticocreadoporunacargaenmovimientoenunpunto

nosolodependedeladistanciaalpunto,sinodeladirecciónqueformeelvectorvelocidaddelacargaconelvectordeposición

delpuntoconrespectoalacarga.

B q v u

r = ⋅

⋅ ×µ

π42

rWW W

SiWv tieneladireccióndeWr ,WB = 0.

Enconsecuencia,puntosqueseencuentrenalamismadistancia

delacargatendrándistintovalordelcampo,dependiendodelángulo

queformenWv

yWr .

27. ¿Es posible que una partícula cargada sometida a la acción de un campoelectrostático tenga movimiento uniforme? ¿Y si la partícula está sometidaa la acción de un campo magnético?

Unapartículacargada,sometidaalaaccióndeuncampoelectrostático,

soportaráunafuerzaconstanteWF E= q ⋅WE .Lapartículatendrá

unmovimientouniformementeaceleradoqueserárectilíneosiWE tiene

lamismadirecciónqueWv ,yparabólicoencasocontrario.



149

Solucionario

Unacargaenmovimiento,sometidaalaaccióndeuncampo

magnético,soportaráunafuerzaque,deacuerdoconlaley

deLorentz,será:WF B= q ⋅Wv ×WB .SiWv esparaleloaWB :

F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0°W

28. Una partícula, con carga q , penetra en una región en la que existe un campomagnético perpendicular a la dirección del movimiento. Analice el trabajorealizado por la fuerza magnética y la variación de energía cinéticade la partícula.

(Andalucía, 2007)

Eltrabajorealizadoporlafuerzamagnéticaesnulo,yaqueesta

essiempreperpendicularalvectorvelocidadynormalalatrayectoria

delapartículacargada:

W WW F d A B→ = ⋅ =#B

A

l 0;F d ⊥ lW W

Deacuerdoconelteoremadelasfuerzasvivas:DE C=W A→B.

Enconsecuencia,laenergíacinéticadelsistemapermanece

constante.

Lafuerzamagnéticaprovocaunavariaciónpermanenteenladirección

delavelocidaddelapartícula(quedescribeunmovimientocircular),

peronomodificasumódulo.Enconsecuencia,seconservasuenergía

cinética:E m v C = ⋅1

2

2.

29. Justifica la expresión: el campo magnético es un campo no conservativo .

Elcampomagnéticoesnoconservativo,yaque,adiferencia

deloscamposelectrostáticoygravitatorio,sucirculación

enunatrayectoriacerradanoesnula.

DeacuerdoconlaleydeAmpère:

$ $ $ $B d B d I

r d

I

r d

I r

⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅

l l l lµ

π

µ

π

µπ

π

2 2

22 ⋅⋅ = ⋅ ≠r I µ 0

W W

30. Un haz de electrones atraviesa una región del espacio sin desviarse.Razona la veracidad o falsedad de estas afirmaciones:

a) En la zona no hay un campo electrostático.

b) En la zona no hay campo magnético.

c) En la zona hay un campo electrostático y un campo magnético.



150


a) Nonecesariamente.Puedehaberuncampoelectrostáticosiempre

quehayatambiénuncampomagnéticocuyafuerzamagnética

contrarrestelafuerzaelectrostática(mismadirecciónymagnitud,

sentidoopuesto).Observaeneldibujoqueelcampoeléctricotiene

queserperpendicularalmagnético.

v W

E W

B W

v Wq

q ⋅ E W

q ⋅ v W × WB

b) Sisolohayuncampoeléctrico,lapartículanosedesvía(mantiene

sutrayectoriarectilínea)siladireccióndelcampocoincide

conladesuvelocidad.WF E=q ⋅WE =m ⋅Wa

c) Sisolohaycampomagnético,lapartículanosedesvíaycontinúa

moviéndoseconmovimientorectilíneouniformesisuvelocidad

tieneladireccióndelcampomagnético.

WF B= q ⋅Wv ×WB .SiWv esparaleloaWB :

F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0°W

31. Busca información y explica por qué no es aconsejable jugar con imanescerca de un ordenador.

Aljugarconimanesyponerlosenmovimientosegenerancamposelectromagnéticosquepuedenalterarelfuncionamiento

deloselementoselectrónicosdelordenador,quesonmuysensibles

alavariacióndeloscamposeléctricosymagnéticosensuentorno.

32. a) Explique el efecto de un campo magnético sobre una partícula cargadaen movimiento.

b) Explique con ayuda de un esquema la dirección y sentido de lafuerza que actúa sobre una partícula con carga positiva que se mueve

paralelamente a una corriente eléctrica rectilínea. ¿Y si se mueveperpendicularmente al conductor, alejándose de él?

(Andalucía, 2007)

a) Unapartículaqueentreenuncampomagnético

conunadeterminadaWv severásometidaaunafuerzaque,

deacuerdoconlaleydeLorentz,es:WF B= q ⋅Wv ×WB .

SiWv esparaleloaWB :

F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen 0 0°W



151

Solucionario

Lapartículatendráunmovimientorectilíneouniforme.

Encasocontrario,WF BseráperpendicularaWv ×WB ,loquedetermina

quelapartículatengaunmovimientocircularuniformeenelplano

perpendicularalcampo(siWv esperpendicularaWB )odescriba

unatrayectoriahelicoidal.

b) Supongamosqueelconductor(corrienteeléctrica)estádispuesto

segúnelejeZysusentidoeshaciaarriba;deacuerdo

conlaregladelamanoderecha,sobrelapartículaactuará

uncampomagnéticoenladirecciónysentidoqueseindica

eneldibujo.LaleydeLorentzpermitecalcularlafuerzamagnéticaqueactuarásobrelapartículacargadaencadacaso:WF B= q ⋅Wv ×WB .

Silapartículasemueve

convelocidadparalela

alacorrienteyensusentido

deavance,seráatraídahacia

elconductor.

Silapartículasemueve

endirecciónperpendicularalhilo

conductor,alejándose,severá

sometidaaunafuerzaparalela

alconductoryenelsentido

enqueavanzalacorriente.

Z

Y

X

WF

Wv

WB

Z

Y

X

WF

Wv

WB

33. Un protón que se mueve con una velocidad Wv entra en una regiónen la que existe un campo magnético WB uniforme. Expliquecómo es la trayectoria que seguirá el protón:

a) Si la velocidad del protón Wv es paralela a WB .

b) Si la velocidad del protón Wv es perpendicular a WB .

(C. Madrid. Septiembre, 2006)

DeacuerdoconlaexpresióndelaleydeLorentz,unapartículaquesemuevebajolaaccióndeuncampomagnéticoseveafectada

porunafuerza:WF B= q ⋅Wv ×WB .

Pordefinicióndeproductovectorial:

F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen θW

SiendoθelánguloqueformanWv yWB .

a) SiWv yWB sonparalelos:

F q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ =0 0°

I I



152


Elprotónnosevesometidoalaaccióndeningunafuerza,

porloquesemoveráconmovimientorectilíneouniforme.

b) SiWv yWB sonperpendiculares,elprotónseverásometidoalaacción

deunafuerzamagnéticacuyomóduloes:

F q v B q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅90°

LafuerzaWF BesperpendicularaWv yaWB .Portanto,modifica

latrayectoriadelprotón,curvándola.Comoelcampomagnético

esconstante,permanentementehabráunaWF BperpendicularaWv ,

loquedeterminaqueelprotóndescribaunatrayectoriacircular

enelplanoperpendicularalcampoWB .

34. Indica en qué dirección se desviarán las partículas que penetranen los siguientes campos magnéticos. El recuadro grande representael campo magnético, y la flecha azul, la dirección y sentido de la velocidadde la partícula cargada.

a)

b)

c)

d)

Encadacasoseevalúalafuerzamagnéticaresultante:WF B= q ⋅

Wv ×

WB .

a) Comolapartículatiene

carganegativa,lafuerza

seráverticalyhacia

arriba.

Describeunatrayectoria

circularenelplano

delpapelensentido

antihorario.

Wv

WF

WB



153

Solucionario

b) Lapartículaestásometida

aunafuerzaverticalyhaciaabajo.

Describeunatrayectoria

circularenelplano

delpapelensentido

antihorario.

c) F q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ =0 0° .

Lapartículanosedesvía,yaquelafuerza

resultanteesnula.

d) Lapartículatendráunmovimiento

helicoidal.Lafuerzamagnéticaresponsable

desutrayectoriacirculartendrádemódulo:

F q v B B sen= ⋅ ⋅ ⋅ 30°

35. Una carga q = −3,64 ⋅ 10−9 C se mueve con una velocidadde 2,75 ⋅ 10−6 m/s i W. ¿Qué fuerza actúa sobre ella si el campo magnéticoes de 0,38 T j W?


DeacuerdoconlaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .Sustituyendo:

F i j B C m/sT= − ⋅ ⋅ ⋅ × = − ⋅

− −3 64 10 2 75 10 0 38 3 8 10

9 6

, , , ,

−−15

k N

WW W W

Observaque,portratarsedeunacarganegativa,

elsentidodelafuerzaeselopuestoalque

sededuceaplicandolaregladelamano

derechasobrelosvectoresdelaley

deLorentz.

36. Una cámara de niebla es un dispositivo para observar trayectorias

de partículas cargadas. Al aplicar un campo magnéticouniforme, se observa que las trayectorias seguidas por un protóny un electrón son circunferencias.

a) Explique por qué las trayectorias son circulares y representeen un esquema el campo y las trayectorias de ambas partículas.

b) Si la velocidad angular del protón es ωp = 106 rad ⋅ s−1, determinela velocidad angular del electrón y la intensidad del campo magnético.

e = 1,6 ⋅ 10−19 C; m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg; m p = 1,7 ⋅ 10−27 kg.

(Andalucía, 2007)

WF B

WB

Wv

Y

X

Z

WB

WB

Wv

WB

Wv

WF



154


a) Sialapartícula(protónoelectrón)seleaplicauncampo

magnéticouniformeperpendicularasuvelocidad,sufrirá

laaccióndeunafuerzacuyovalor,deacuerdoconlaleydeLorentz,

es:WF B= q ⋅Wv ×WB .Lafuerzamagnéticaseráperpendicular

alosvectoresWv yWB ysumóduloserá:

F q v B q e = ⋅ ⋅ = ( )

ComoWF esperpendicularaWv entodomomento,curva

permanentementelatrayectoriadelapartícula,queacabará

describiendounacircunferenciaenelplanoperpendicular

alcampoWB .Sitantoelprotóncomoelelectróntienenlamisma

velocidad,Wv ,yelmismoWB ,elsentidodeWF y,enconsecuencia,

elsentidoenquegiracadauna,dependedelsignodelacarga.

Movimientodelprotón

enuncampomagnético

uniformesaliente.Describe

unatrayectoriacircular

girandoensentidohorario.

Movimientodelelectrón

enuncampomagnético

uniformesaliente.Describe

unatrayectoriacirculargirando

ensentidoantihorario.

b) Paraambaspartículas,lafuerzamagnéticaeslafuerzacentrípeta

responsabledesugiro:

F B= F C→ →q v B m v

r B

m v

q r ⋅ ⋅ = ⋅ =

⋅

⋅

2

Comodisponemosdeldatodelavelocidadangular,transformamos

laexpresión:

v = ω ⋅r → B m r

q r =

⋅ ⋅

⋅

ω

Haciendousodelosdatosdelprotón:

B m

q =

⋅=

⋅ ⋅

⋅= ⋅

−

−−p p

Tω 1 7 10 10

1 6 101 06 10

27 6

19

2,

,,

Yapartirdeestamismaexpresiónsepuedeobtenerlavelocidad

angularconlaquesemueveelelectrón:

ωe

e

=⋅=− ⋅ ⋅ ⋅

⋅= −

− −

−

q B

m

1 6 10 1 06 10

9 1 101 8

19 2

31

, ,

,, 66 10

9⋅ rad/s

(Elsignomenosindicaquelapartículagiraenelsentidoopuesto.)

WB

WF B

Wv

WF B

WB Wv



155

Solucionario

37. En una región del espacio, donde existe un campo magnético uniforme,se observa la existencia de un electrón y un protón que tienen trayectoriascirculares con el mismo radio. ¿Serán también iguales los módulosde sus velocidades lineales? ¿Recorrerán sus trayectorias con el mismosentido de giro? Razona tus respuestas.

Datos: Q protón = 1,6 ⋅ 10−19 C; Q electrón= −1,6 ⋅ 10−19 C;m protón = 1,67 ⋅ 10−27 kg; m electrón = 9,1 ⋅ 10−31 kg.


Latrayectoriacirculardeambaspartículasindicaqueestánsometidosaunafuerzamagnéticaquehacedefuerzacentrípeta:

F B= F C→ → q v B m v

r q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2

[1]

Enlasituaciónquesedescribeenelenunciado,elprimertérmino

deestaexpresiónesidénticoparaelprotónyelelectrón,perolamasa

deambaspartículasesdistinta.Portanto,tambiénserádiferente

elmódulodesuvelocidadlineal.

LaleydeLorentz:WF B= q ⋅

Wv ×

WB determinaelvalordelafuerza

magnéticaqueactúasobrecadapartícula.SuponiendoqueWv yWB

tienenlamismadirecciónysentidoparaambaspartículas,

comolacargadelprotónydelelectróntienensignosopuestos,

lasfuerzasmagnéticasqueactúansobreambostendránsentidos

opuestos.Estodeterminaquerecorreránsustrayectoriasgirando

ensentidoopuesto.

38. Un núcleo de 16O,

de carga +8 e y masam = 2,657 ⋅ 10−26 kg,penetra horizontalmentedesde la izquierdacon una velocidadde 5,00 ⋅ 105 m/sen un campo magnéticouniforme de 0,04 T perpendicular a su dirección y hacia dentro del papel,como se indica en la figura.

Determina:a) La expresión vectorial de la fuerza que ejerce el campo magnético

sobre el núcleo en el instante en que este penetra en el campomagnético.

b) El radio de la trayectoria que describe.

c) El periodo de revolución.

e = 1,602 ⋅ 10−19 C.


v W

X

Y

Z

WB



156


a) Sepuedeobtenerlafuerzaejercidasobre

lapartículadeacuerdoconlaleydeLorentz:

WF B= q ⋅Wv ×WB

Sumódulo,teniendoencuenta

quelosvectoresWv yWB son

perpendiculares,secorrespondecon:

F q v B q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

sen θ

8 1 602 10 5 1019, 55 14

0 04 2 56 10⋅ = ⋅−, , N

W

SudirecciónseráperpendicularalplanoqueformanlosvectoresWv yWB ,ysusentido,determinadoconlaregladelamanoderecha

(partículaconcargapositiva),seráhaciaarriba.Paraelsistema

dereferenciaindicado:

F j B N= ⋅−

2 56 1014,W W

b) Paraobtenerelradiodelatrayectoriacirculartendremosencuenta

quelafuerzamagnéticaactúadefuerzacentrípeta:

F B= F C→ → →q v B m v

r

q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2

→ r m v

q B =

⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

−

−

2 657 10 5 10

8 1 602 10 0

26 5

19

,

, ,004= =0,259 m 25,9 cm

c) Paracalcularelperiododerevoluciónrelacionamoslavelocidad

linealconlaangular:

q r B m r q B m T

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ωπ

→ →2

→ T

m

q B =

⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

−

−

2 2 2 657 10

8 1 602 10 0 04

26

19

π π ,

, ,== ⋅

−3 26 10

6

, s

39. Una partícula de carga q y masa m tiene una cantidad de movimiento

p = mv y una energía cinética E mv p

m C = =

1

2 22

2

.

Si se mueve en una órbita circular de radio r perpendicular a un campomagnético uniforme B , demostrar que:

a) p = B q r b) E B q r

m C =

⋅ ⋅2 2 2

2(La Rioja. Junio, 2006)

a) Porladescripcióndelenunciado,lapartículaestásometida

aunafuerzamagnéticaquehacedefuerzacentrípeta:

F B= F C→ →q v B m v

r q r B m v p ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

2

b)E m v p

m

B q r

m C = ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅1

2

1

2 2

22 2 2 2

⋅

v WX

Y

Z

WB

F W



157

Solucionario

40. a) Un haz de electrones atraviesa una región del espacio sin desviarse.¿Se puede afirmar que en esa región no hay campo magnético?De existir, ¿cómo tiene que ser?

b) En una región existe un campo magnético uniforme dirigidoverticalmente hacia abajo. Se disparan dos protones horizontalmenteen sentidos opuestos. Razone qué trayectorias describen, en qué planoestán y qué sentidos tienen sus movimientos.

(Andalucía, 2008)

a) Nosepuedeafirmarquenoexistacampomagnéticoenlazona.Sepuedendescribirdossituacionesqueexplicanesacircunstancia:

• Siloselectronessedesplazanconunavelocidadparalelaalcampo.

DeacuerdoconlaleydeLorentz:

WF B= q ⋅Wv ×WB → F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen θW

SiWv yWB sonparalelos,WF B= 0.

• Elhazdeelectronescontinuarásindesviarsesienlamismaregión

delespacioexisteuncampoeléctricoquegenereunafuerza

eléctricadelmismomódulo,enlamismadirecciónysentidocontrarioalafuerzamagnéticacreadaporelcampomagnético.

v W

E W

B W F WE

F WB

v Wq

b) Sobrecadaprotónactuaráunafuerzamagnéticadeterminada

porlaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .

Suponiendoqueelcampotiene

ladirecciónentranteenelpapel

ylosprotonessemueven

convelocidadhorizontal,unohacia

laderechayotrohacialaizquierda,

elprimeroseverásometidoalaacción

deunafuerzaverticalhaciaarriba,yelsegundo,aunafuerzaidéntica

haciaabajo.Ambosprotones

semuevendescribiendo

circunferenciastangentesensentidohorario.

Lacircunferenciaquedescribenlosprotonesestáenunplano

perpendicularalcampomagnético.Segúnelenunciado,estetiene

direcciónvertical;portanto,losprotonessemuevenenelplano

horizontal.

F W1

F W2

v W2 v W1



158


41. Una partícula negativa (−q ) se mueve haciaarriba en el plano del papel con velocidadconstante. Al entrar en una región del espacioen la que hay un campo magnético WB perpendicular que entra al papel, ver figura:

a) ¿Qué fuerza actúa sobre la partícula:dirección, sentido, ecuación?

b) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula?

c) ¿Qué dirección y sentido tendría que llevar un campo eléctrico aplicadoen la misma región para que la carga mantuviera su trayectoria sindesviarse? Explícalo.

Nota: despreciar los efectos de la gravedad.


a) Lafuerzamagnéticaqueactúaes:

WF B= q ⋅Wv ×WB →

→ F q v B q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅sen θW

YaquelosvectoresWv yWB son

perpendiculares.

Deacuerdoconlaregladelamano

derechayelsignodelacarga,lafuerza

seráhorizontalydirigidahacialaderecha

(sentidopositivodeX).Laecuaciónresultanteserá:

WF B= q ⋅v ⋅B Wi

b) Elefectodelafuerzamagnéticaresultanteconsisteencurvar

latrayectoriadelacarga,porloquesumovimientopasaráasercircularyensentidoantihorario.

c) Paraquelacargamantenga

sutrayectoriasindesviarse,

esnecesarioaplicaruncampo

eléctricotalquegenereunafuerza

queseopongaensentidoytenga

lamismadirecciónymagnitud

quelafuerzamagnéticaobtenida.

ParaestoesnecesarioquelafuerzaeléctricatengasentidodelosvaloresdeX

negativos.Comolapartículaesnegativa,

elcampoeléctricotendráelsentidocontrario

alafuerzaeléctricay,portanto,elmismoquelafuerzamagnética.

42. Indique el tipo de trayectoria descrita por una partícula cargadapositivamente que posee inicialmente una velocidad Wv = v i W al penetraren cada una de las siguientes regiones:

−q

v W

−q

v W

WF

v W

WF E

WF B

WE



159

Solucionario

a) Región con un campo magnético uniforme WB = B i W.

b) Región con un campo eléctrico uniforme WE = E i W.

c) Región con un campo magnético uniforme WB = B j W.

d) Región con un campo eléctrico uniforme WE = E j W.

Nota: los vectores i W y j Wson los vectores unitarios según los ejes X e Y,respectivamente.

(C. Madrid, 2007)

a) Cuandolapartículapenetraenunaregióndondeexisteuncampo

magnético,sevesometidaaunafuerzaquepodemoscalcularpormediodelaleydeLorentz:

WF B= q ⋅Wv ×WB

SilosvectoresWv yWB sonparalelos:

F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ =sen θ 0W

Sobreestapartículacargadanoactúaningunafuerza,

porloquemantienesutrayectoriainicial.

Semueveconmovimientorectilíneouniforme.

b) Enestecasoapareceunafuerzaelectrostáticaenelmismosentidoqueelcampoeléctricopropuesto.

F q E i m a E E= ⋅ = ⋅W W W

Lapartículaseverásometidaaunaaceleraciónenlamisma

direcciónysentidoquesuvelocidadinicial.

Tendráunmovimientorectilíneouniformementeacelerado.

c) Enestecaso,losvectoresWv yWB son

perpendiculares,porloqueaparecerá

unafuerzamagnéticaperpendicular

alplanoqueloscontieneycuyosentido

sedeterminaenfuncióndelaregla

delamanoderecha.

Comosemuestraeneldibujo,

latrayectoriadelapartícula

securvayseconvierte

enunmovimientocircular

ensentidohorarioenelplanoXZ.d) Enestecaso,sobrelapartícula

apareceráunafuerzaeléctrica,

perpendicularaWv .

Sumovimientopasaaser

parabólico,dirigidoenelsentido

delcampoeléctrico

existente.

F q E j m a E E= ⋅ = ⋅W W W

v W

WB

WF B

X

Y

Z

v W

WF E

X

Y



160


43. Una partícula con carga 0,5 ⋅ 10−9

C se mueve con v W

= 4 ⋅ 106

j W

m/sy entra en una zona donde existe un campo magnético B W = 0,5 i WT:

a) ¿Qué campo eléctrico WE hay que aplicar para que la carga no sufraninguna desviación?

b) En ausencia de campo eléctrico, calcula la masa si el radio de la órbitaes 10−7 m.

c) Razona si la fuerza magnética realiza algún trabajo sobre la cargacuando esta describe una órbita circular.


a) Unapartículacargadaquesemueveenelseno

deuncampomagnéticoseverásometida

alafuerzadeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .

Paraquelacarganosedesvíede

sutrayectoriaesnecesarioaplicaruncampo

eléctricoquegenereunafuerzaeléctrica

delmismomóduloydirección,ydesentido

contrarioquelafuerzamagnética.

F q v B j i k B C N= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ × = −− −

0 5 10 4 10 0 5 109 6 3, ,W W W W WW

F q E F E F

q

k k E B

B N

C

N

C= ⋅ = − = − =

⋅

= ⋅

−

−→

10

0 5 102 10

3

9

6

,

W W WW W

WW

b) Enausenciadecampoeléctricolapartículadescribe

unatrayectoriacircular,yaquelafuerzamagnéticaactúadefuerza

centrípeta.Apartirdeestaideacalculamoslamasadelapartícula:


r q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2

→ m r q B

v =

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅

= ⋅

− −

−10 0 5 10 0 5

4 106 25 10

7 9

6

24, ,, kkg

c) Lafuerzamagnéticaqueactúasobrelapartículaessiempre

perpendicularasuvectorvelocidadyalatrayectoriaquedescribe.

Enconsecuencia,esafuerzanorealizaningúntrabajo.

WF B⊥Wv ,loquedeterminaquelapartículasedesplazaenunplano

perpendicularaWF B

.Así,eltrabajodelafuerzamagnéticaesnulo:

W F d r A B→ = ⋅ =#B

A

0W W ,yaqueWF ⊥d Wr

44. Necesitamos diseñar un ciclotrón capaz de acelerar protones hastaque su energía cinética alcance 30 MeV. ¿Cuál ha de ser su radiosi el campo magnético que podemos emplear es de 5 T?Calcula su frecuencia.

Datos: Q protón= 1,6 ⋅ 10−19 C; m protón = 1,67 ⋅ 10−27 kg.

v W

WB

WF B

WF E

WE

X

Y

Z



161

Solucionario

Enelciclotrónlaspartículassemuevenbajolaacción

deuncampomagnéticoperpendicularasuvelocidad

ydescribiendounaórbitacircular.Lafuerzamagnéticaactúa

defuerzacentrípeta.


r q r B m v ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2

[1]

→ r m v

q B =

⋅

⋅

Obtenemoslavelocidadconeldatodelaenergíadelosprotones:

E m v

v E

m

C

C

eVJ

1 eV

= ⋅

=⋅

=

⋅ ⋅ ⋅⋅

−

1

2

22 30 10

1 6 10

2

619

→

→

,

11 67 107 58 10

27

7

,,

⋅

= ⋅− kg

m/s

Despreciamoslosefectosrelativistas,aunqueaestasvelocidades

(lavelocidadcalculadaesunacuartapartedelavelocidaddelaluz)

deberíantenerseencuenta,algoqueharemoseneltema10.

r m v

q B =

⋅

⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅

−

−

1 67 10 7 58 10

1 6 10

27 7

19

, ,

,

kg m/s

C ⋅⋅= =

5 T0,158 m 15,8 cm

Lafrecuenciadelciclotróndebesereldobledelafrecuencia

conquegiranlaspartículas.Calculamoselperiododelaspartículas

y,apartirdeél,sufrecuencia(f ) .Delaexpresión[1]:

q r B m r q B m T

m f ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ωπ

π→2

2

Frecuenciadelaspartículas:

f q B

m =

⋅

⋅

=⋅ ⋅

⋅ ⋅

=

−

−2

1 6 10 5

1 67 10 27 62

19

27π π

,

,,

C T

kg⋅⋅ 10

7 Hz

Lafrecuenciadelciclotróndebeser:

2⋅f →2⋅7,62⋅107Hz=1,524⋅108Hz

45. Se utiliza un espectrómetro de masas para analizar el contenido isotópicode una muestra de uranio. Se excita la muestra hasta que todos

los átomos se convierten en iones con carga +1. A continuación,se aceleran con una diferencia de potencial de 2 kV y se les hace entraren una región donde hay un campo magnético de 1,5 T perpendiculara la dirección en la que se desplazan los iones.

Para detectarlos se utiliza una placa fotográfica que recoge el impactodespués de que las cargas hayan recorrido una semicircunferencia (recuerdala figura de la página 128). Calcula a qué distancia del punto de entradaen la cámara se detectarán los isótopos U-235 y U-238.

Datos: Q protón = 1,6 ⋅ 10−19 C; 1 u = 1,67 ⋅ 10−27 kg.



162


Setratadedeterminareldiámetro

delacircunferenciaquedescribe

lamuestra.

Laspartículascargadas

quepenetranenelespectrómetro

demasasvanaestarsometidas

alaaccióndeunafuerza

magnéticaqueactúadefuerza

centrípetaobligándolesadescribirunatrayectoriacircular.

F B= F C→ →q v B m v r

⋅ ⋅ = ⋅

2

→ →q r B m v r m v

q B ⋅ ⋅ = ⋅ =

⋅

⋅

Laenergíapotencialquesecomunicaalascargas

setransformaenenergíacinética.Estonospermitecalcular

lavelocidaddelaspartículas:

→ →D D D DE E q V m v v q V m

P C= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅12

22

ParaelcasodelisótopoU-235,sumasaserá235uysucargaserá

igualaladelprotón:

v q V

m 1

192 2 1 6 10 2000

235 1 67=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅

−D

U-235)(

,

, ⋅⋅= ⋅

−10

4 04 1027

4, m/s

Portanto:

r m v

q B 1

127 4235 1 67 10 4 04 10

1=

⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅−U-235)( , ,

,, ,6 10 1 519

⋅ ⋅= =

−0,0660 m 66,0 mm

YparaelcasodelisótopoU-238,sumasaserá238uysucargaserá

igualaladelprotón:

v q V

m =

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

−2 2 1 6 10 2000

238 1 67

19D

u-238)(

,

, 1104 01 10

27

4

−= ⋅, m/s

Portanto:

r m v

q B 2

227 4

238 1 67 10 4 01 10

1=

⋅

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅−U-238)( , ,

,, ,6 10 1 519

⋅ ⋅= =

−0,0664 m 66,4 mm

Silaimagenserecogetrasrecorrerunasemicircunferencia,será

aunadistanciaigualaldiámetrodelpuntodeentrada;esdecir,

queparacadaisótoposerá:

• U-235→d 1=2⋅r 1=2⋅66,0mm=132mm

• U-238→d 2=2⋅r 2=2⋅66,4mm=132,8mm

r 2 r 1

m 2 m 1

WB

WE



163

Solucionario

46. Un cable recto de longitud l y corriente i está colocado en un campomagnético uniforme B formando con el un ángulo θ. El módulode la fuerza ejercida sobre dicho cable es:

a) i ⋅ l ⋅ B ⋅ tg θ b) i ⋅ l ⋅ B ⋅ sen θ c) i ⋅ l ⋅ B ⋅ cos θ


Lafuerzaejercidasobreelcableserá:

F i B B = ⋅ ×lW W W

Porloqueelmódulosecorresponderácon W F i B B = ⋅ ⋅ ⋅l sen θ.

Larespuestacorrectaeslab).

47. ¿Qué campo magnético es mayor en módulo: el que existe en un puntosituado a una distancia R de una corriente rectilínea de intensidad I ,o el que hay en un punto a una distancia 2R de otra corriente rectilíneade intensidad 2I ? Justifique la respuesta.


Elcampomagnéticocreadoporunhilodecorrienteenunpunto

queseencuentraaunadistanciax delmismosepuedeobtener

pormediodelaexpresión:B I

x = ⋅µ

π2.

• EnunpuntoAsituadoaunadistanciaR yconunaintensidadI ,setendrá:

B I

R A = ⋅

µ

π2

• EnunpuntoBsituadoaunadistancia2R yconintensidad2I ,setendrá:

B I R

I R

B B A= ⋅ = ⋅ =µ

π

µ

π22

2 2

Asíqueelcampocreadoenamboscasosesigual.

48. Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corrientede 12 A. El hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluyeen el sentido positivo. Un electrón se encuentra situado en el eje Ya una distancia del hilo de 1 cm. Calcule el vector aceleración instantáneaque experimenta dicho electrón si:

a) Se encuentra en reposo.b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y.

c) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Z.

d) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje X.

Datos: permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π ⋅ 10−7 N/A2;masa del electrón, m e = 9,1 ⋅ 10−31 kg;valor absoluto de la carga del electrón = 1,6 ⋅ 10−19 C.




164


Calculamoselcampomagnético

quecreaelhilodecorriente

enlaposicióndondeseencuentra

elelectrónapartirde:

B I

x = ⋅ =µ

π2

=⋅

⋅ = ⋅−

−π

π

4 10

2

12

0 012 4 10

74

,, T

Deacuerdoconlaregladelamano derecha,elcampoenelpuntodondeseencuentraelelectrónestá

dirigidosegúnelsentidopositivodeX.

Unacargaenmovimientoquepenetreenelcamposeverásometida

aunafuerza,deacuerdoconlaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB .

Conocidalafuerzadeterminaremoslaaceleracióninstantánea

queexperimenta:WF = m ⋅ Wa .

a) Electrónenreposo.

Suvelocidadesnula,porloquetambiénloserálafuerzaresultante.Noactúasobreellaningunaaceleración.

b) VelocidadenladirecciónpositivadelejeY.

LosvectoresWv yWB sonperpendiculares,

porloquepodemoscalcular:

F q v B B = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −

1 6 10 1 2 4 10 3 84 1019 4 23, , , NN

Conlamasadelelectrónpodemoscalcularlaaceleracióncorrespondiente:

a F

m = =

⋅

⋅= ⋅

−

−

3 84 10

9 1 104 22 10

23

31

7,

,,

N

kgm/s2

Laaceleracióntendrálamismadirecciónysentido

queladelafuerzaejercida.Comolacargaesnegativa,susentido

eselopuestoalquesededuceconlaregladelamanoderecha;

tendráelsentidopositivodeZ:

a k = ⋅4 22 107, m/s2W W

c) VelocidadenladirecciónpositivadelejeZ.

LosvectoresWv yWB sonperpendiculares,

porloquepodemoscalcular:

F q v B B= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −

1 6 10 1 2 4 10 3 84 1019 4 23, , , NN

I

WB

X

Y

Z

v W

WB

WF

X

Y

Z

I

v W

WB

WF B

X

Y

Z

I

–

–

–



165

Solucionario

Conlamasadelelectrónpodemoscalcularlaaceleración

correspondiente:

a F

m = =

⋅

⋅= ⋅

−

−

3 84 10

9 1 104 22 10

23

31

7,

,,

N

kgm/s2

Laaceleracióntendrálamismadirecciónysentido

queladelafuerzaejercida.Comolacargaesnegativa,susentido

eselopuestoalquesededuceconlaregladelamanoderecha;

tendráelsentidonegativodelasY:

a j = − ⋅4 22 107

, m/s2W W

d) VelocidadenladirecciónpositivadelejeX.

LosvectoresWv yWB sonparalelos.Portanto,lafuerzaresultante

esnula: F q v B B = ⋅ ⋅ ⋅ sen 0°

Nuevamentenoactúasobreellaningunafuerza.Nosufreninguna

aceleración.

49. Por un conductor rectilíneo situado sobre el eje OZ circula una corrientede 25 A en el sentido positivo de dicho eje. Un electrón pasa a 5 cmdel conductor con una velocidad de 106 ⋅ m s−1. Calcule la fuerzaque actúa sobre el electrón e indique con ayuda de un esquemasu dirección y sentido, en los siguientes casos:

a) Si el electrón se mueve en el sentido negativo del eje OY.

b) Si se mueve paralelamente al eje OX. ¿Y si se mueve paralelamenteal eje OZ?

e = 1,6 ⋅ 10−19

C; μ0 = 4π ⋅ 10−7

N ⋅ A−2

.(Andalucía, 2006)

Podemosobtenerelcampo

magnéticoquecreaelconductor

rectilíneoenlaposicióndonde

seencuentraelelectrón

apartirde:

B I

x = ⋅ =µ

π2

=⋅

⋅ = ⋅−

−π

π

4 10

2

25

0 051 10

74

,T

Ladirecciónes,encadapuntodelespacio,tangentealacircunferencia

centradaenelconductoryquepasaporelpuntoconsiderado.

Elsentidosedeterminadeacuerdoconlaregladelamanoderecha.

Sisuponemosqueelelectrónensumovimientopasaa5cmsobre

elejeY,elsentidodeWB seráenelsentidoparaleloalejeXpositivo.

WB

X

Y

Z

I

–



166


UtilizamoslaleydeLorentz:WF B= q ⋅Wv ×WB paracalcularlafuerza

magnéticaqueelcampoejercesobrelacarga.Comoelelectróntiene

carganegativa,elsentidodelafuerzaeselopuestoalquesededuce

aplicandolaregladelamanoderecha.

a) Sielelectrónsemueveenelsentido

negativodelejeY,losvectoresWv yWB

sonperpendiculares,porloque:

F q v B B

N

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −

1 6 10 10 1 10 1 6 1019 6 4 17, ,

TendráladireccióndelejeZyelsentido

delosvaloresnegativos:

F k B N= − ⋅ −16 10

18W W

b) SielelectrónsemueveparalelamentealejeX,losvectoresWv yWB

sonparalelos.Enestascircunstancias,elproductovectorialesnulo

y,portanto,noseejerceningunafuerzasobreelelectrón.

c) Sielelectrónsemueveparalelamente

alejeZ,losvectoresWv yWB son

perpendiculares,porloquepodemos

obtenerelmódulodelafuerzacomo

sehahechoenelapartadoa).Sudirección

seráladelejeY,perosusentidodependerá

desielelectrónsemueveenelsentido

positivoonegativodelejeZ.

Comoseapreciaenlailustración,sielelectrónsedesplaza

enelsentidodelosvalorespositivosdeZ,lafuerzatieneelsentido

delosvaloresnegativosdeY:

F j B N= − ⋅ −16 10

18W W

50. Por dos conductores rectilíneos y de gran longitud, dispuestos paralelamente,circulan corrientes eléctricas de la misma intensidad y sentido.

a) Dibuje un esquema, indicando la dirección y el sentido del campomagnético debido a cada corriente y del campo magnético total en elpunto medio de un segmento que una a los dos conductores y coméntelo.

b) Razone cómo cambiaría la situación al duplicar una de las intensidades

y cambiar su sentido.(Andalucía, 2007)

a) Respuestagráfica:

I 1

WB 1

I 2 WB 2

v W

I

WB

WF B

X

Y

Z

v W

I

WB

WF B

X

Y

Z

–

–



167

Solucionario

Enamboshilosdecorrienteelcampomagnéticocreado

porunhiloenelpuntoconsideradoestangentealacircunferencia

centradaenelhiloquepasaporesepunto.Paraambos,

ladireccióndelcampomagnéticoesperpendicularaladirección

delosconductores(suponiendoqueesténdispuestossegún

elejeX,seráparaleloalejeY).Lossentidosdecadacampo,

sinembargo,deacuerdoconlaregladelamanoderecha,

sonopuestos.Paranuestroesquema,elcampocreado

porlaintensidadI 1tieneelsentidodeentradaalpapel,mientras

queelcampocreadoporI 2tieneelsentidodesalidadelpapel.

Comolasintensidadessondelamismamagnitud,

lasumavectorialdeestoscamposresultanulayelcampo

magnéticototalenelpuntomedioesnulo.

b) Sisemodificaelsentidodeunadelascorrientes,elcampo

enelpuntomediogeneradoporlosdoshilostendríalamisma

direcciónysentido.

WB 1

WB 2

I 1

I 2

Siademásseduplicaunadelasintensidades,resulta

queelcampototalcreadoseríaeltriplequeelcreadoporelhilo

demenorintensidad,yaqueelcampomagnéticocreadoporcada

hilopuedeobtenersecomo:

B I

r B

I

r

I

r

B B

=

⋅

⋅ =

⋅

⋅ +

⋅

⋅

µ

π

µ

π

µ

π

0 0 0

2

2

2 2

1 2

→ T

= ⋅

⋅

⋅3

2

0µ

π

I

r

51. Por los hilos de la figura circulan corrientes en sentidos opuestos:I 1 = 2 A e I 2 = 4 A.

I 1 I 2

P

10cm5cm

a) Determina el módulo del campo magnético en el punto P y dibujasu dirección y sentido.

b) Suponiendo que I 1 = 2 A y circula en el sentido que se indica,¿cuál debe ser el valor y el sentido de I 2 para que el campo magnéticoen P sea nulo?

Dato: μ0 = 4π ⋅ 10−7 N ⋅ A−2.

90°



168


a) Sepuededeterminarelcampomagnético

quecadahilodecorrientecrea

enelpuntoP.Sudirección

serátangentealacircunferencia

concentroenelhiloyque

paseporP;susentido,

elindicadoporlareglade

lamanoderecha,ysumódulo:

B I

r

=⋅

⋅

µ

π

0

2

• I 1 →B I

r 1

0 1

1

76

2

4 10 2

2 0 058 10=

⋅

⋅=

⋅

⋅= ⋅

−−µ

π

π

π

·

,T

• I 2 →B I

r 2

0 2

2

76

2

4 10 4

2 0 18 10=

⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅= ⋅

−−µ

π

π

π ,T

Paraestadisposición,losvectoresWB 1 yWB 2formanunángulode90°,

loquenospermitecalcularelmódulodelcamporesultante:

B B B TT

= + = ⋅ ⋅ = ⋅

− −

1

2

2

2 6 2 52 8 10 1 13 10

( ) ,b) Comoseobservaenelesquema,elcampototalenP

noseanularáamenosqueseanulenlasdoscorrientes,I 1eI 2.

Paraunadisposicióncomolaqueserecogeenesteproblema,WB 1 yWB 2seránmutuamenteperpendiculares,aunquesusentido

puedacambiaralhacerlolacorrientequecirculaporcadahilo.

Soloesposiblequeseanuleelcampoenunpuntoenlalínea

queunelosdosconductores;elpuntoestaráentreambos

silacorrientequecirculaporlosdostieneelmismosentido;

yenelexteriorsisoncorrientesantiparalelas.Encualquiercaso,

sepodríacalcularelpuntoexactoenqueseanulaelcampo

conociendoladistanciaqueseparaambosconductores.

(Verunasituaciónsimilarenelproblemaresuelto7dellibro.)

52. Se tienen dos hilos conductores rectos, paralelose indefinidos, separados una distancia d .Por el conductor 1 circula una intensidad

I 1 = 2 A hacia arriba (ver figura).a) ¿Qué intensidad I 2, y en qué sentido, debecircular por el conductor 2 para que se anuleel campo magnético en el punto P2?

b) La distancia que separa los conductoreses d = 20 cm. Calcula el campo magnéticoen los puntos P1 y P2 cuando I 2 = I 1 = 2 A (hacia arriba).

μ0 = 4π ⋅ 10−7 N/A2.


I 1

P1 P2

I 2

d

d d /2 d /2

WB 1

WB 2

WB T

P

I 1 I 2



169

Solucionario

a) Losdoshilosdecorrientecrearán

uncampomagnéticoenelplano

perpendicularcuyadirecciónysentido

vienendadasporlaregla

delamanoderecha;

ysumóduloseobtiene

pormediodelaexpresión:

B I

r =

⋅

⋅

µ

π

0

2

LadirecciónenquecirculalacorrienteI 1determinaqueelcampomagnéticoquecreaenelpuntoP2tieneladirecciónyelsentido

quesemuestranenelesquema.Paraqueelcampototalseanule

enesepunto,I 2debecircularensentidoopuestoysuvalordebe

sertalqueelcampoqueoriginaenP2coincidaenmóduloconB 1:

• B I

r

I

d d 1

0 1

1

0 17

2 2 2

4 10 2

4

2 1=

⋅

⋅=

⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

⋅=

⋅−µ

π

µ

π

π

π

007−

d

• B I

r

I

d

I

d 2

0 2

2

72

72

2

4 10

2

2 10=

⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅− −µ

π

π

π

B B I

d d I 1 2

72

7

2

2 10 2 10=

⋅ ⋅=

⋅=

− −

→ → 1 A

Elresultadoesindependientedelvalorded .

b) Siambascorrientestienenelmismo

sentido,resultaqueloscampos

magnéticosquecrean:

• Sesumanenelexterior(tienenlamisma

direcciónysentidoenP2).

• Serestanenelinterior(tienen

lamismadirecciónysentidosopuestosenP1).

PuntoP1.Eselpuntomedioentreamboshilosdecorriente.

Comoladistanciaylaintensidadquecirculaporcadauno

eslamisma,elcamporesultanteseránulo.

PuntoP2:

• B I

r d 1

0 1

1

7 7

2

4 10 2

2 2

2 10

0 21 1=

⋅

⋅=

⋅

⋅ ⋅=

⋅= ⋅

− −µ

π

π

π

·

,00

6−T

• B I

r d 2

0 2

2

7 7

2

4 10 2

2

2 10 2

0 22 1=

⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅= ⋅

− −µ

π

π

π ,00

6−T

Elcampototaltendrálamismadirecciónysentido

quelosanteriores,ysumóduloserá:

B B B T T T T= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −1 2

6 6 61 10 2 10 3 10

WB 2

P1 P2

I 2I 1

WB 1

d

WB 2

P1 P2

I 2I 1

WB 2

WB 1

WB 1

d



170


53. Dos barras rectilíneas de 50 cm de longitud y separadas 1,5 mm situadasen un plano vertical transportan corrientes de 15 A de intensidadde sentidos opuestos. ¿Qué masa debe situarse en la barra superiorpara equilibrar la fuerza magnética de repulsión?


Comoseharazonadoenelapartado

Acciones entre corrientes ,entredos

barrasquetransportancorrientes

antiparalelasaparecenfuerzasmagnéticasderepulsión.

Paraequilibrarlabarrasuperior

habráquecolocarunamasa

cuyopesocoincidaconelmódulo

deesafuerzamagnética.Hayque

tenerencuentaqueelpesotendrá

direcciónverticalysentidohaciaabajo.

Paracalcularlafuerzamagnéticaqueaparecesobrelabarrasuperior

debemosconocerelvalordelcampomagnéticoquecreaenellalabarrainferior.

B I

d 2

27

3

3

2

4 10

2

15

1 5 102 10= ⋅ =

⋅⋅

⋅

= ⋅

−

−

−µ

π

π

π ,T

LaleydeLorentzpermiteconocerlafuerzamagnéticaqueactúa

sobreI 1.Teniendoencuentaqueelcampoesperpendicularalabarra:

F I B L1 1 23 2

15 2 10 0 5 1 5 10= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− −, , N

Lamasaquedebemosaplicartienequetenerunpesodelamisma

magnitudquelaF 1calculada.

P m g m P

g

F

g = ⋅ = = =

⋅= ⋅

−

−→

12

31 5 10

9 81 53 10

,

,,

N

N/kgkg

54. La corriente que penetra por la izquierda en el conductor de la figurase bifurca. Determina el valor del campo magnético en el punto Pen función del valor de la intensidad I y de cualquier otro parámetroque necesites conocer.

I I P

Lasituacióndelenunciadoimplicaquesetienendoslíneasparalelas

porcadaunadelascualesdiscurreunacorrienteI /2yambas

enelmismosentido.Enestecaso,elcampomagnéticoenelpunto

mediodelasdoslíneases0.[Verelapartadob)delproblema52.]

WB 2

WB 1

I 1

I 2WF 2

WF 1

WP

1,5mm



171

La inducciónelectromagnética5

• Enestetemalasalumnasyalumnosvanacomprenderelfundamentodelageneracióndecorrientealterna.Serádegran

interéshacerunareflexiónsobrelaimportanciasocialdeestehecho;

puedeayudartratardeimaginarnuestromundosinelectricidad.

• Tambiéntendremosocasióndeutilizarlosconocimientosadquiridos

paracomprenderelfuncionamientodedispositivos

quehanaparecidoocobradoespecialrelevanciaenlosúltimosaños,

comolascocinasyloshornosdeinducción,laguitarraeléctrica

oeldetectordemetales.

PRESENTACIÓN



172

5 La inducción electromagnética

• Elfenómenodeinduccióneléctrica.ExperienciasdeFaradayyHenry.

LeyesdeLenzyFaraday.

• Conceptodeflujomagnético.

• Procedimientosquepuedenhacerquevaríeconeltiempoelflujo

magnéticoatravésdeunconductorcerrado.

• Otrosfenómenosdeinducción:autoinduccióneinducciónmutua.

• Mecanismosdeproduccióndecorrientesinducidas(continuas

yalternas)deformapermanente.

• Conocimientodedispositivosbasadosenlainduccióndecorriente:alternador,motor,transformador,cocinas,altavoz,timbre,etc.

Conceptos

• Evaluarsituacionesenlasquesepuedaproducironounacorriente

inducida.

• Modificarunalternadoryconvertirloenunadinamo,oviceversa.

• Comprenderloscambiosdevoltajequeseproducenenlasdistintas

fasesdeltransportedeunacorrienteeléctrica.

• Manejardispositivosquetransformenelvoltajedelacorriente

conelfindepoderutilizarsencillosaparatoseléctricosenpaísescondiferentevoltajedoméstico.

• Realizarmontajesdesencillosdispositivoseléctricosquepermitan

comprobarlaexistenciadecorrientesinducidas.


• Reconocerlaimportanciadealgunosavancescientíficos

ytecnológicosenlaevoluciónsocial.

• Aprenderatenerpresenteelprincipiodeprecaucióncuando

seanalicenlosprosyloscontrasdeunainstalacióndegeneración

otransportedeenergíaeléctrica.

Actitudes

CONTENIDOS

• Comprenderelfenómenodelainducciónelectromagnéticadesde

elpuntodevistacualitativoycuantitativo.

• Reconocerlosdistintosmodosdeobtenercorrientesinducidas.

• Comprenderelmecanismodeproduccióndecorrienteeléctrica

alternaycontinuahaciendousodelosfenómenosdeinducción.

• Estudiarotrosdispositivosbasadosenelfenómenodeinducción:

elmotoreléctrico,eltransformador,etc.

• Conocerelmecanismodetransportedelaenergíaeléctricadesde

lacentraldondesegenerahastaelpuntodeutilización.• Sercapazdehacerunanálisiscrítico(ventajaseinconvenientes,

incluidoelimpactoambiental)deunacentraldeproducciónde

energíaeléctricaconcretaodeunadeterminadareddedistribución.

• Obtenerunavisiónglobaldelainteracciónelectromagnéticaapartir

delasíntesisdeMaxwell.

OBJETIVOS



173


Enestetemaelalumnadosefamiliarizaconfenómenostecnológicosdeimportantes

consecuenciassociales.Sepuedeaprovecharparafomentarunaeducaciónenvalores

endiferentesaspectos.


Comomiembrosdeunasociedad,losalumnosyalumnassepuedenverimplicados

endiscusionesrelacionadasconlainstalacióndeelementosdestinadosaproducir

otransportarenergíaeléctrica.Esimportantequeseensayendebatesdonde,

bajoelprincipiodeprecaución,puedanllegaraconformarunaposturacoherente

alrespecto.


Enlosdebatesalosquesehacereferenciaenelapartadoanteriordebeestar

presenteelimpactoambientaldelasinstalaciones.Hayquetenerencuenta

impactosnegativosypositivos;porejemplo,losrelacionadosconlaaparición

denuevoshábitatsentornoaembalses,etc.

3. Educación para el consumidor

Enestetemaseexplicaelfuncionamientodealgunosdispositivosquepueden

emplearlosalumnosyalumnas.Suconocimientolesayudaráenlacorrectautilizaciónyenlaadquisicióndelmodelomásadecuadoasusnecesidades.


1. Evaluarsienunasituaciónsevaaproducironounacorrienteinducida,ycómo

vaaseresta.

2. Calcularelvalordelafuerzaelectromotrizinducidaquesegeneraenunasituación.

3. Relacionaralgunoshechosobservablesconfenómenosdeautoinducción.

4. Determinarlascaracterísticasdeuntransformadorenfuncióndelcambioquesedesea

enelvoltajeolaintensidaddelascorrientesdeentradaysalida.

5. Explicarelfuncionamientodealgúndispositivorelacionadoconlainducción

decorriente.

6. Evaluar,desdeelpuntodevistatecnológicoyambiental,unainstalación

paralageneraciónotransportedecorrienteeléctrica.




174


1. Imagina una espira en un campo magnético. Estudia cuál debeser su orientación para que:

a) Tenga un flujo positivo.

b) Tenga un flujo negativo.

c) Tenga un flujo nulo.

Elflujodelcampomagnéticoatravésdelaespirasedetermina

pormediodelaexpresión:

φ=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ

HayquerecordarqueWS esunvectorcuyomódulocoincide

conelvalordeS ysudirecciónesperpendicularalaespira.

Parasuperficiesplanas,comoladelaespira,elsentidoesarbitrario.

a) Paraqueelflujoseapositivotendráquecumplirselacondición

cosθ>0.Secumpleparaángulostalesque−90°<θ<90°.

b) Paraqueelflujoseanegativotendráquecumplirselacondición

cosθ<0.Secumpleparaángulostalesque90°<θ<270°.

c) Paraqueelflujoseanulotendráquecumplirselacondición

cosθ=0.Secumpleparaθ=90°yθ=−90°=270°.SedaestacircunstanciacuandoWB esparaleloalplanodelaespira,

yaqueentoncesWB esperpendicularaWS .

ElflujoesmáximocuandoWB esperpendicularalaespira,

yaqueentoncesWB esparaleloaWS .

2. En un campo magnético uniforme de 1,5 T se introduce una bobinade 50 espiras de 4 cm de diámetro. Determina el flujoque la atraviesa si:

a) El campo tiene la dirección del eje de la bobina.

b) El campo forma un ángulo de 30° con el eje de la bobina.

c) El campo forma un ángulo de 30° con la superficie de la primera espirade la bobina.

Calculamoselflujoqueatraviesaunabobinapormedio

delaexpresión:

φB=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S ⋅cosθ

a) Sielcampotienelamismadirecciónqueelejedelabobina,seráθ=0°,yaqueelejecoincideconelvectorWS (perpendicular

alasuperficiedelaespira).Enestecaso:

φB=N ⋅WB ⋅WS = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =N B S N B r π 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −50 1 5 0 02 0 9 42 102 2, , cos ,T m Wb2π °

b) Enestecaso,seráθ=30°:

φB=N ⋅WB ⋅WS = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =N B S N B r π 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −50 1 5 0 02 30 8 16 102 2, , cos ,T m Wb2π °



175

Solucionario

c) Deacuerdoconloexpuestoenelapartadoa),elvectorWS

esperpendicularalasuperficiedelaespira.Sielcampoforma

unángulode30°conlasuperficiedelaespira,elángulo

queformaconelejedelabobina(oconelvectorWS )

seráθ=90°−30°=60°.

φB=N ⋅WB ⋅WS = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =N B S N B r π 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −50 1 5 0 02 60 4 71 102 2, , cos ,T m Wb2π °

3. Una espira cuadrada se desplaza hacia

una zona donde hay un campo magnético uniformeperpendicular al plano de la espira, como se indicaen la figura. Deduzca de forma razonada el sentidode la corriente inducida en la espira cuando la espiraestá entrando en la zona del campo magnético.


v W B

W

DeacuerdoconlaleydeLenz,

elsentidodelacorrienteinducida

enlaespiraserátalqueseopongaalacausaquelaorigina.

Enestecaso,lacausaeslaentrada

enuncampomagnéticodirigidohacia

abajo.Amedidaquelaespirapenetra

B W

v W

Y

X

enesazona,aumentaelflujo

delcampomagnéticohaciaabajo;enlaespiraapareceráentonces

unacorrienteinducidaqueprovoqueuncampomagnéticodirigido

haciaarriba.

Lacorrienteinducidaenlaespiramientrasentraenelcampo

magnéticoserádesentidoantihorario.

4. Supongamos que la espira anterior sigue con su movimiento. Indica cuáles el sentido de la corriente inducida cuando está completamenteintroducida en el campo magnético y cuando sale por la derecha hastaque está completamente fuera del campo.

Mientraslaespirasemuevaestandocompletamenteinmersa

enelcampomagnéticonoexistevariaciónenelflujoquelaatraviesay,portanto,noapareceningunacorrienteinducida.Lacorriente

inducidaenestecasoesnula.

Cuandolaespirasemuevehacialaderechasaliendodelcampo

magnético,elcampomagnéticoentranteenelplanodelamisma

vadesapareciendo.DeacuerdoconlaleydeLenz,lacorriente

inducidaqueapareceporelcambiodelflujoqueatraviesalaespira

enestecasoserátalqueseopongaaladesaparicióndelcampo.

Elsentidodelacorrienteinducidaseráhorario.



176


5. Dos espiras, A y B, definen planosparalelos entre sí. Indica cómoes la corriente inducida en A en los siguientes casos:

a) Se cierra el interruptor en B.

A

Ba

b) Se mantiene cerrado el interruptor en B, y B se acerca a A.

c) Se mantiene cerrado el interruptor en B, y A se acerca a B.

d) Se mantiene cerrado el interruptor en B, y A y B se alejan una de la otra.

e) A y B mantienen su posición y se abre el interruptor en B.f) Con el interruptor en B abierto, A se acerca a B.

a) AlcerrarelinterruptorenBapareceunacorrienteensentido

horario.EstacorrienteproduceuncampomagnéticoenlaespiraB

ensentidoentranteenB(alejándosedelaespiraA).Estohace

quevaríeelflujomagnéticoqueatraviesaalaespiraA,yaparecerá

enellaunacorrienteinducidaqueseopongaaestecambio.

LacorrienteinducidaenAtendrásentidohorario.

A

Ba

b) SisemantieneelinterruptorenB,existeuncampomagnético

constanteenlamismadirecciónqueenelapartadoanterior.

Lavariaciónenestecasoconsisteenelacercamientodelaespira

BalaA.LacorrienteseinduciráenAdemaneraqueseoponga

aestemovimiento.

AcercarlaespiraBequivaleaacercarlacarasurdeunimán.

ElefectoenlaespiraAseráqueapareceráunacorriente

equivalenteaunacarasurenlacarasituadafrentealaespiraB

queseacercaaella.Elsentidodelacorrientecorrespondiente

eshorario.

c) Cuandoseproduceelacercamientomutuo,esindependiente

quesemuevaunaespiraolaotra.Igualqueenelapartadoanterior,lacorrienteinducidaenAserátambiéndesentidohorario.

d) Conunrazonamientosimilaraldelosapartadosanteriores,

sealejalaespiraB(equivalenteaunacarasurensusuperficie

máspróximaalaespiraA).Enestecaso,lacorrienteinducida

serátalqueseopongaaestealejamiento,porloquesuresultado

tendráqueserunacaranorteenlacaramáspróximaalaespira

B.Paraello,esnecesarioquelacorrienteinducidatengasentido

antihorario.



177

Solucionario

e) Enestecasolavariaciónconsisteenuncambio

delflujoqueatraviesalaespiradebidoauncampomagnético

quedesaparece.Paraoponersealadesaparicióndelcampo

magnético,seinduciráenlaespiraAunacorriente

ensentidoantihorarioquegeneraríauncampoigualalqueestá

desapareciendoalabrirelinterruptor.

f) ConelinterruptordeBabierto,noexisteningunacorriente

quegenerecampomagnético.Portanto,noexistetampoco

ningúnefectoquecontrarrestarynoaparecerácorrienteinducida

deningúntipo.

6. Imagina que las dos bobinas de la experiencia de Faradayse acercan o se alejan en la dirección indicada por las flechas.Explica si aparece corriente inducida en la bobina B y, si es así,di en qué sentido circula.

Ba

Elcampomagnéticoqueseoriginaenlabobinatieneladirección

deleje.(Paraunsolenoide,B = m⋅N ⋅I .)Lavariacióndelflujoy,

portanto,lacorrienteinducida,seproducecuandoambasespirasse

muevenunaconrespectoalaotraenesadirección.Enelesquema

semuestraundesplazamientoenladirecciónperpendicular

aleje,quenoprovocarácorrienteinducidaenlabobinaB.(Elcampo

quecreaunsolenoideenelexterioresprácticamentenulo.)

7. Por un hilo vertical indefinido circula una corriente eléctricade intensidad I . Si dos espiras se mueven, una con velocidad paralelaal hilo y otra con velocidad perpendicular, respectivamente, ¿se inducirácorriente eléctrica en alguna de ellas? Razona la respuesta.

(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2006)Seinducirácorrientesobrelaespira

quesemueveenhorizontal,yaqueconeste

movimientosevaríaelflujoquelaatraviesa.

Porelcontrario,aldesplazarlaespira

paralelamentealhilonoseproduce

modificaciónenelflujoquelaatraviesa

y,portanto,tampocoseinduceninguna

corrientequeseopongaalavariación.

Batería

Galvanómetro

v W

v WI



178


8. Una barra metálica de 50 cm se mueve perpendicularmente a un campomagnético uniforme con una velocidad de 4 m/s. Se observa que entrelos extremos de la barra hay una diferencia de potencial de 0,8 V.Calcula la intensidad del campo magnético en la zona.

DeacuerdoconlaleydeHenry,cuandounconductorsemueve

perpendicularmenteauncampomagnéticouniforme,

seinduceunafuerzaelectromotrizquesecorrespondecon:

∆∆

V v B L B V

v L

= = ⋅ ⋅ =

⋅

=

⋅

=ε →0 8

4 0 5

0 4,

,

,V

m/s m

T

9. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la barra metálica se mueveen la misma dirección del campo magnético.

Silabarrametálicasemueveenlamismadirecciónqueelcampo

magnético,noseinducecorriente,yaquenoapareceráninguna

fuerzamagnéticasobresuscargas.DeacuerdoconlaleydeLorentz:

WF B= q ⋅Wv ×WB = 0

10. Un anillo conductor se coloca perpendicularmente a un campomagnético uniforme B W. ¿En qué caso será mayor la fuerza electromotrizinducida en el anillo?

a) Si B disminuye linealmente con el tiempo, pasando de 0,5 T a 0 T en 1 ms.

b) Si B aumenta linealmente con el tiempo, pasando de 1 T a 1,2 T en 1 ms.


DeacuerdoconlaleydeFaraday-Lenz:

εφ

= − = −⋅

= −⋅d

dt

d B S

dt

d B S

dt

B ( ) ( )WW

Yaqueelanilloestácolocadoperpendicularmentealcampo

magnéticoy,portanto,losvectores WS yWB sonparalelos.

a) Enestecaso:

εφ

1

2 1

= − = −⋅

= −⋅

=

= −− ⋅

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

B

t

B S

t

B S

t

B B S

t

( ) ( )

( )== −

− ⋅= ⋅

( , )

,

0 0 5

0 001

500T

s

VS

S

WW

b) Ahoratenemos:

εφ

2

2 1

= − = −⋅

= −⋅

=

= −− ⋅

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

B

t

B S

t

B S

t

B B S

t

( ) ( )

( )== −

− ⋅= − ⋅

( , )

,

1 2 1

0 001200

T

sV

S S

WW

Asípues,envalorabsoluto,serámayorla feminducidaenelprimer

caso:|ε1|>|ε2|.



179

Solucionario

11. La espira cuadrada de la figura, de 20 cmde lado, es atravesada por un campomagnético uniforme B = 2 T, que entradesde arriba en dirección perpendicularal plano del papel.

Si disminuimos el campo de forma uniformehasta B = 0 en un tiempo de 1 minuto,

20cm B W

¿cuál es la fuerza electromotriz induciday el sentido de la misma?


DeacuerdoconlaleydeFaraday-Lenz:

εφ

= − = −⋅

= −⋅d

dt

d B S

dt

d B S

dt

B ( ) ( )WW

Puestoquelaespiraesatravesadaperpendicularmenteporelcampo

magnéticoy,portanto,losvectores WS yWB sonparalelos.

ε

φ

= − = −

⋅

= −

⋅

=

= −− ⋅

=

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

B

t

B S

t

B S

t

B B S

t

( ) ( )

( )2 1 −−− ⋅

= ⋅ −( ) ,,

0 2 0 2

601 33 10

23T m

sV

2

WW

Ladesaparicióndelcampomagnéticodeterminaunadisminución

delflujoentranteconeltiempo.Lacorrienteinducidatratadereponer

elflujoentrante;portanto,circularáensentidohorario.

12. Enuncie la ley de la inducción de Faraday.Una espira circular se coloca en una zona de campomagnético uniforme B W

0 perpendicular al planode la espira y dirigido hacia adentrotal como se muestra en la figura.

Determine en qué sentido circulará la corrienteinducida en la espira en los siguientes casos:

B W0

r

a) Aumentamos progresivamente el radio de la espira manteniendoel valor del campo.

b) Mantenemos el valor del radio de la espira pero vamos aumentandoprogresivamente el valor del campo.

Razone su respuesta en ambos casos.


Cuandoseintroduceunconductorcerradoenunazonadonde

hayuncampomagnético,podráaparecerenéluna fem

siseproduceunavariaciónconeltiempodelflujomagnético

queatraviesaelconductor.



180


Lacorrienteinducidaporesavariacióndelflujocircularáenunsentido

talqueseopongaalacausaquelaprodujo:

εφ θ

= − = −⋅

= −⋅ ⋅

= −⋅d

dt

d B S

dt

d B S

dt

d B S

dt

B ( ) ( cos ) ( )WW

(PorqueWS yWB sonparalelos.)

a) Elvalordelcampomagnéticonovaría,B =cte.

Alaumentarprogresivamenteelradiodelaespira,aumentará

asuvezlasuperficiequeatraviesanlaslíneasdecampo

y,conello,elflujo.

ε = − ⋅B dS

dt

Elvalordela feminducidaseránegativo,porloquesuefecto

seoponealavariacióndelflujoexistente.Estosignifica

queelsentidodelacorrienteinducidahabrádeser

antihorario.

b) Enestecasopuedeobtenersela feminducidapormedio

delaexpresión:

ε = − ⋅S dB

dt

Siaumentaprogresivamenteelvalordelcampo,elvalor

dela feminducidaseránegativo,porloquesuefecto

seoponealavariacióndelflujoexistente.

Estosignificaqueelsentidodelacorrienteinducidahabrá

deserantihorariodenuevo.

13. Una espira conductora de 10 cm de radio se encuentraen una región del espacio donde existe un campo magnéticode dirección paralela a la del eje de la espira y de módulovariable según la expresión B = 5 ⋅ sen 314 t (mT).Calcular la expresión de la fem inducida en la espira.


Enlascondicionesdelenunciado,deacuerdoconlaleydeFaraday-Lenz:

εφ

π

= − = −⋅

=

= ±⋅

= ± ⋅ ⋅

d

dt

d B S

dt

d B S

dt r

dB

dt

( )

( ) 2

WW

B W

S W

Z

X

Y

ElsentidodelvectorWS puedeserelquesemuestraeneldibujo

oelcontrario,deahíelsignodelafem.



181

Solucionario

Conociendolaexpresiónquerigelavariacióndelcampomagnético

coneltiempo:

ε π π= ± ⋅ ⋅ = ± ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅−

r dB

dt

d t

dt

2 23

0 15 10 314

,[ ( )]sen

→→

→ ε π= ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ± ⋅

−

−

0 1 5 10 314 314

4 93 10

2 3, cos( )

,

t

22314⋅ ⋅cos( )t V

14. Una espira metálica circular, de 1 cm de radio y resistencia 10-2 Ω,

gira en torno a un eje diametral con una velocidad angular de 2 rad/sen una región donde hay un campo magnético uniforme de 0,5 T dirigidosegún el sentido positivo del eje Z. Si el eje de giro de la espira tienela dirección del eje X y en el instante t = 0 la espira se encuentrasituada en el plano XY, determine:

a) La expresión de la fem inducida en la espira en función del tiempo.

b) El valor máximo de la intensidad de la corriente que recorrela espira.

(C. Madrid. Junio, 2005)a) DeacuerdoconlaleydeFaraday,la feminducidaquesecrea

enlaespiravienedadaporlaexpresión:

εφ

w θ

= − = −⋅

=

= −⋅ ⋅ ⋅ +

=

=

d

dt

d B S

dt

d B S t

dt

B ( )

[ cos( )]0

++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +B S t w w θsen ( )0

W W

B W

S W

Z

X

Y

Prescindimosdelsignodela femporqueelvectorsuperficiepuede

tenerelsentidoqueseindicaeneldibujooelcontrario.

ε π π π

ε

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅−

0 5 0 01 2 2 0

9 87 10

2

4

, , ( )

,

sen V

s

t →

→ een V( )2π ⋅ t

Sudesfaseinicialesnulo,yaquecuandolaespiraseencuentra

situadaenelplanoXY(posicióninicial),suvectordesuperficie

esparaleloalvectordecampomagnético.

b) DeacuerdoconlaleydeOhm:V =I ⋅R .

εε w w θ

= ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

I R I R

B S t

R →

sen( )0

I esunafunciónsenoidal.Suvalorserámáximocuandoelseno

delángulosea1:

I B S

R máx.

T m rad/s

m=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅=

w π π0 5 0 01 2

0 019 8

2, ,

,, 77 10 2⋅ − A



182


15. Señala las variacionesque se pueden observaren el brillo de la bombillacuando se cierra y se abreel interruptor en cada unode los circuitos de la figura.

Ladiferenciaenelbrillo

delabombillaenuno

yotrocircuitoradicaenque

enelsegundocasoexisteunabobinaenelcircuito.Acausadeesta

bobinaapareceráuna feminducidaprovocaráunacorriente

queseoponealaaparición/desaparicióndelacorrientedelcircuito

(cierre/aperturainterruptor).Hayquerecordarquealabrirycerrar

elcircuitoseprovocauncambioenelflujomagnéticoqueatraviesa

lasespirasdelabobina.

Corriente

inducida

Corriente

inducida

Lacorrienteinducidaprovocaráque,alcerrarelinterruptor,

labombillatardemásenalcanzarsubrillomáximoquesinoexistiese,yaquelacorrienteinducidaseopone

alacirculacióndelacorrienteporelcircuito.Análogamente,alabrir

elinterruptorseapagaráanteslabombillacuyocircuitonotiene

bobinaporqueenelcircuitoconbobinaapareceráunacorriente

inducidaqueseoponealefectoquehacambiadoelflujomagnético;

enestecaso,afavordelacorrientequecirculabaporelcircuito

yqueahoradesaparece.

16. Tenemos dos trozos de 5 m de hilo de cobre de 2 mm de espesor.Enrollamos uno formando espiras de 5 cm de diámetro y otro formandoespiras de 10 cm de diámetro. Determina cuál de las dos bobinasobtenidas tendrá mayor autoinducción.

Elcoeficientedeautoinduccióndeunabobinavienedado

porlaexpresión:

LN

l S = ⋅ ⋅m

2



183

Solucionario

• Característicasdelaprimerabobina:

Lasespirastienen5cmdediámetro,loquedeterminaunperímetro

delongitud:

l r espiram

0,157 m1 12 20 05

2= ⋅ = ⋅

=π π,

Elarrollamientodelos5mdecabledarálugar

aunabobinacon:

N l

l

1

5

0 157

31 83 31= = =

espira 1

m

m

espiras

,

, →

Podemosobtenerlalongitudtotaldelabobina,yaqueconocemos

elespesordelhilodecobre,como:

l N bobina m 0,062 m 6,2 cm13

13

2 10 2 10 31= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =− −

Lasuperficiedelasespirases:

S r 1 12

2

30 05

21 96 10= ⋅ = ⋅

= ⋅ −π π,

,m

m2

•

Característicasdelasegundabobina:Lasespirastienen10cmdediámetro,loquedetermina

unperímetrodelongitud:

l r espiram

0,314 m2 22 20 1

2= ⋅ = ⋅

=π π,

Elarrollamientodelos5mdecabledarálugar

aunabobinacon:

N l

l 2

5

0 314

15 92 15= = =espira 2

m

mespiras

,, →

Podemosobtenerlalongitudtotaldelabobina,yaqueconocemos

elespesordelhilodecobrecomo:

l N bobina 0,03 m 3 cm23

232 10 2 10 15= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =− −

Lasuperficiedelasespirases:

S r 2 22

2

30 1

27 85 10= ⋅ = ⋅

= ⋅ −π π,

,m

m2

Obtenemoscontodosestosdatoselcoeficientedeautoinducción

decadaunadelasbobinas:

•LN

l S 1

12

1

1

2

2

331

6 2 101 96 10 30 38= ⋅ ⋅ = ⋅

⋅⋅ ⋅ =

−−m m

,, , mm H

•LN

l S 2

22

2

2

2

2

315

3 107 85 10 58 87= ⋅ ⋅ = ⋅

⋅⋅ ⋅ =

−−m m m, , H

L2>L1.Esdecir,esmayorlaautoinduccióndelasegundabobina.



184


17. Al abrir un circuito por el que circula una corriente de 12 A se induceuna fem de 40 V. Determina el coeficiente de autoinduccióndel circuito si la corriente tarda 1 ms en anularse.

La femautoinducidavienedadaporlaexpresión:

εφ

ε

= − = − ⋅ = − ⋅

= − ⋅

d

dt L

dI

dt L

I

t

LI

t

B ∆

∆

∆

∆

→

→ = − ⋅

−

⋅

= ⋅

−

−

−1

3

1

400 12

1 10

3 33 1VA

s

( ), 00 3− H

18. Una bobina circular de 4 cm de radioy 30 vueltas se sitúa en un campo magnéticodirigido perpendicularmente al planode la bobina cuyo módulo en función del tiempoes B (t ) = 0,01 ⋅ t + 0,04 ⋅ t 2, donde t estáen segundos y B , en teslas. Determina:

B W

a) El flujo magnético en la bobina en función del tiempo.

b) La fuerza electromotriz inducida en el instante t = 5,00 s.


a) Paraunabobinasepuedeobtenerelflujoapartirdelaexpresión:

φB=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S =

= ⋅ + ⋅ ⋅ =

= ⋅ −

30 0 01 0 04 0 04

1 51 10

2 2

3

( , , ) ,

,

⋅ ⋅

⋅

t t

t

π Wb

++ ⋅ −6 04 10 3 2, ⋅ t Wb

b) Ahora:

εφ

( )( , , )

t d

dt

d t t

dt = − = −

⋅ + ⋅=

− −B 1 5 1 10 6 04 103 3 2⋅ ⋅

== − ⋅ − ⋅ ⋅− −1 5 1 10 2 6 04 103 3, , ⋅ t V

Entonces:

ε( ) , ,

,

5 1 51 10 2 6 04 10 5

0 062 10

3 3s V= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

= − ⋅

− −

−22V 62 m V= −

19. En los transformadores se produce un fenómeno de inducción mutuaentre dos bobinas con ejes paralelos. ¿Contradice esto las experienciasde inducción de Faraday?

No,yaqueesnecesarioquelasbobinasesténlosuficientemente

próximascomoparaquelavariacióndecampomagnéticocausada

porlavariacióndecorrienteenunadeellasinduzcaunacorriente

enlaotra,yviceversa.Además,ambasbobinasestán

arrolladasentornoaunnúcleodehierrodulcecomún.



185

Solucionario

20. Usamos transformadores conectados a aparatos que deben tomarla corriente de la red doméstica, una corriente alterna. ¿Podrían funcionarsi recibiesen corriente continua?

Nofuncionaría.Laentradadeltransformadordebeserunacorriente

alterna,yaquedeesemodolaintensidadvaríacontinuamente

yelcircuitoprimariodeltransformadorestáinduciendocorriente

enelsecundariodemaneracontinua,yviceversa.Silacorrientefuera

continua,noapareceríaelfenómenodeinducciónmutua,

yaquenohabríavariaciónenlacorrientequeprovocaselanecesariavariaciónenelflujomagnético.

21. ¿Puede girar una espira en un campo magnético sin que se produzcauna corriente inducida?

DeacuerdoconFaraday,seproduciráunacorrienteinducidasiempre

quevaríeelflujodecampomagnéticoqueatraviesalaespira.

Eseflujosecorrespondeconlasiguienteexpresión:

φB=W

B ⋅W

S =B ⋅S ⋅cosθSuponiendoqueelcampomagnéticoylasuperficiedelaespira

novarían,paraqueseproduzcavariaciónenelflujoesnecesario

quelaespiraroteenelcampodeformaquevaríeconeltiempo

elnúmerodelíneasdecampoquelaatraviesan.

Sitenemosunaespiracuyoplanocoincide

conelquedeterminanlaslíneasdecampo

yrotademaneraquenosalgadeeseplano,

noseproducirácorrienteinducida,

yaquenovaríaelflujoquelaatraviesa.

Estoocurriría,porejemplo,conunaespira

situadaenelplanoXY,uncampomagnéticoX

Z

Y

paraleloalejeXylaespiragirandoalrededordelejeZ.

22. En las bicicletas antiguas podía funcionar un faro cuando se pedaleaba.¿Por qué la intensidad de luz dependía del ritmo de pedaleo?

Eldispositivoqueaportalacorrientequealimentalabombilla

delfaroenlasbicicletasantiguasesunadinamo.Constadeunaespira,

conectadaalospedalesdelabicicleta,quesehacegirarenelseno

delcampomagnéticoprovocadoporunimánpermanente.Algirar

laespiraseproduceunavariaciónenelflujomagnéticoquelaatraviesa

yapareceenellaunafuerzaelectromotrizinducida.Losextremos

delaespiracontactancondossemianillosquerecogenlacorriente

producidadeacuerdoconelesquemadelapáginasiguiente.

Lacorrientequeseproduceescontinua,aunquesuintensidad

noesconstante.



186


a cB d e

ε t

Comosepuedeobservar,laintensidaddelacorrienteesfunción

delpuntodegiroenelqueseencuentreladinamo.

Alpedalearmuyrápido,sepasaráporelpuntodemáximaintensidad

muyamenudo(lafrecuenciaesalta)yseapreciamucho

brilloenlabombillaporqueseleaportacorrientealamáxima

intensidadconmuchafrecuencia.Alpedalearmásdespacio

setardarámásenpasarporlospuntosdemáximaintensidad

y,portérminomedio,elvalorefectivodelacorrienteaportada

alabombillaesmenor,porloqueelbrilloapreciadoesmenor.

εφ w

w

= − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d

dt

d N B S t

dt

N B S

B

sen

[ cos( )]

(( ) ( )w ε w⋅ = ⋅ ⋅t t máx. sen

Conε wmáx. = ⋅ ⋅ ⋅N B S .

Elvalormáximodela feminducidaserámayorcuantomayor

sealafrecuenciadepedaleo,porloquealpedalearmásrápido(aumentalafrecuencia)elvalormáximodelacorriente

queapareceenelcircuitoyquealimentaalabombillatambién

esmásalto.

23. Observa la figura que muestra la corrienteque produce una dinamo y explicaen qué sentido podemos decirque es una corriente continua

y en qué sentido no lo es.

Lacorrienteescontinua

enelsentidodequesusigno

ε

t

essiemprepositivo;notieneciclosalternosdecorrientedesigno

negativo.

Lacorrientenoescontinuaenelsentidodequeelvalor

desuintensidadnoessiempreelmismo,sinoquevaríaenfunción

delgirodelaespira.



187

Solucionario

24. La bobina de un alternador tiene 30 espiras cuadradas de 6 cm de lado.Determina el valor de la fem máxima que genera si gira en un campomagnético uniforme de 0,5 T con una frecuencia de 50 Hz.Obtén la expresión de la fem en cada instante.

Podemosobtenerla femgeneradaapartirde:

εφ w

w

= − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d

dt

d N B S t

dt

N B S

B

sen

[ cos( )]

(( ) ( )w ε w⋅ = ⋅ ⋅t t máx. sen

Con:

ε w πν

π

máx. = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

N B S N B S 2

30 0 5 0 06 2 502, , == 16,96 V

La feminstantáneapuedeobtenerseapartirde:

ε ε w ε π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅máx. máx.sen sen sen( ) ( ) ,t t 2 16 96ν (( )100π ⋅ t

25. Supón un alternador industrial con un único dipolo magnético en el rotorque gira a 50 Hz. Explica la diferencia que se observaría en la corrientede salida si el rotor tuviese tres dipolos magnéticos manteniendo la mismavelocidad de giro.

Lostresdipolosharánque,encadavuelta,seexperimente

tresveceselcambiodepolaridad.Elefectoseráanálogo

alqueproduceunsolodipologirandoaltriple

defrecuencia:150Hz.

26. La energía eléctrica que se produce en las centrales se transportaa través de líneas de alta y media tensión; la transformaciónde unos valores de tensión en otros se realiza en estacionestransformadoras que funcionan de manera similara los transformadores.

Imagina una central que produce corriente con una tensión de 36 kVy la envía a una red de alta tensión de 380 kV. Una vez aquí,pasa a una línea de media tensión de 30 kV, para reducirse finalmentea los 230 V que tenemos en nuestros domicilios. Calcula la relación entrelas intensidades de entrada y salida que tiene lugar en las oportunasestaciones de transformación.

Suponemosquelapotenciasemantieneconstante.Deacuerdo

conlaleydeOhm:

P = I ⋅ V

Obtenemoslarelaciónentrelasintensidadesdeentradaysalida

enlostransformadoresparacadacaso.



188


• Entrada:36kV,salida:380kV:

P V I P V I V

V

I

I

I

I

s

s

e e e s s se

s e

e

V

= ⋅ = = ⋅ =

=

⋅

→ →

→36 10

38

3

00 109 47 10 9 47 10

3

2 2

⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅− −

Vs e, ,→ I I

• Entrada:380kV,salida:30kV:

P V I P V I

I I

V V

e e e s s s

s

e

e

s

V

= ⋅ = = ⋅

= =

⋅

⋅

→

→ 380 1030 10

3

3 VVs e= = ⋅12 67 12 67, ,→ I I

• Entrada:30kV,salida:230V:

P V I P V I

I

I

V

V

e e e s s s

s

e

e

s

V

V

= ⋅ = = ⋅

= =

⋅

=

→

→30 10

23013

3

00 43 130 43, ,→ I I s e= ⋅

27. Si el campo eléctrico de una onda electromagnética viene expresadopor el vector:

E W =E 0 ⋅ cos 2p t

T

z -

λ

(i W + j W)

indique, justificando la respuesta, en qué dirección oscila el campomagnético.


Losvectoresdecampoeléctricoycampomagnéticodeben

serperpendicularesentresí.Portanto,laoscilaciónpedidadebeser

enunplanoperpendicularalcorrespondientealvectordelenunciado,

queoscilaenelplanoXY.Elplanocorrespondientealcampo

magnéticodebetenerundesfasede90°coneldelenunciado,

esdecir,quepuedeoscilarenelplanoXZoenelYZ.

28. Define qué es una corriente inducida y explica en qué se diferencia

de una corriente convencional.

Unacorrienteinducidaaparececomoconsecuencia

deuncambioenelflujomagnéticoqueatraviesaunconductor

cerrado.Lacorrienteinducidaquesegeneraestalqueseopone

alacausaqueproducelamodificacióndelflujodecorriente,

yúnicamenteestápresentemientraselflujoestávariando.

Sunaturalezaeslamismaqueladecualquiercorrienteconvencional;

solosediferenciaenlacausaporlaqueaparece.



189

Solucionario

29. Una corriente eléctrica consiste en un movimiento de cargas a travésde un conductor; para que se produzca es necesarioque un generador suministre energía a las cargas.Acercando un imán a un hilo de corriente cerrado se puede induciruna corriente sin que exista ningún generador.¿Es un ejemplo de generación espontánea de energía?

No,yaqueelsentidodelacorrienteinducidaestalqueseopone

almovimientodelimán(querequiereunaportedeenergía

cinéticaalsistema).Deestamanerasecumple

elprincipiodeconservacióndelaenergía:laenergíadelacorriente

inducidaesconsecuenciadelaenergíarequeridaenelmovimiento

delimán.

30. Un imán como el de la figurase aproxima a una espira conductoracon velocidad v W0. ¿Aumentao disminuye el flujo magnético

en la espira? ¿Se inducirá unacorriente en la espira?¿En qué dirección, horario

v W0

o antihorario mirando desde el imán? Justifica tus respuestas.


Alacercarlacaranortedelimánaunaespiraseproduce

unaumentodelaslíneasdelcampoquelellegan,

esdecir,unaumentodelflujo.

Enlaespiraapareceunacorrientequeoriginauncampomagnético

cuyaslíneasdecampocirculanensentidoopuesto,

afindecontrarrestarelaumentodeflujoexperimentado.

Enlacaradelaespiraqueseenfrentaalacaranorte

delimánqueseacerca,lascargascircularánensentido

antihorario;esdecir,seráunacaranorte;laopuesta

serálacarasur.

31. Si se acerca el polo norte de un imán rectilíneo al plano de una espira

plana y circular:a) Se produce en la espira una corriente inducida que circula en sentido

antihorario.

b) Se genera un par de fuerzas que hace rotar a la espira.

c) La espira es atraída por el imán.


Deacuerdoconloexpuestoenelproblemaanterior,larespuesta

correctaeslaa).



190


32. La figura muestra un hilo conductor rectilíneoy una espira conductora. Por el hilo circula una corrientecontinua. Justifica si se inducirá corriente en la espiraen los siguientes casos:

a) La espira se mueve hacia la derecha.

b) La espira se mueve hacia arriba paralelamente al hilo.

c) La espira se encuentra en reposo.

(C. Valenciana, 2002)

I

a) Silaespirasemuevehacialaderecha,semodificaelcampomagnéticoquelaatraviesay,portanto,elflujo.Enestas

condicionesseproduceunacorrienteinducidaenlamisma.

b) Moviendolaespiraparalelamentealhilonoseproduce

modificaciónenelcampomagnético.Portanto,noexistevariación

enelflujoquelaatraviesaynoapareceningunacorrienteinducida.

c) Nuevamente,lacorrienteinducidaesnulaporquenoexiste

variaciónenelflujoqueatraviesalaespira.

33. El plano de una espira circular de 15 cm de diámetro está situadoperpendicularmente a un campo magnético de 0,05 tesla.¿Cuánto vale el flujo que lo atraviesa?


Podemosobtenerelflujoapartirde:

φB=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ

Comoelvectordesuperficieesperpendicular

alasuperficiedelaespira,seráparaleloalvectordeintensidaddecampo

magnético.Portanto:

B W

S W

Z

X

Y

φ

π

B

2T m

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =−

B S B S cos

, ( , )

0

0 05 7 5 10 2 2

°

8,84⋅10−4Wb

34. Una espira circular de 15 cm de diámetro se inserta en un campomagnético uniforme de 0,05 tesla. ¿Cuánto vale el flujo que lo atraviesa

si el campo forma un ángulo de 60°

con el diámetro de la espira?Elflujovienedadoporlaexpresión:

φB=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ

Si,deacuerdoconelenunciado,elcampoformaunángulo

de60°conlasuperficiedelaespira,ydadoqueelvectordesuperficie

esperpendicularalamisma,θ=90°−60°=30°.

φ πB2T m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−B S cos , ( , ) cos30 0 05 7 5 10 302 2° °→

→→ φB Wb= ⋅ −7 66 10 4,



191

Solucionario

35. a) Explique el fenómeno de inducción electromagnética y enuncie la leyde Faraday-Henry.

b) Una espira circular se encuentra situada perpendicularmentea un campo magnético uniforme. Razone qué fuerza electromotrizse induce en la espira, al girar con velocidad angular constanteen torno a un eje, en los siguientes casos:

ii. El eje es un diámetro de la espira.

ii. El eje pasa por el centro de la espira y es perpendiculara su plano.

(Andalucía, 2007)

a) Denominamosinducciónelectromagnéticaalaproducción

decorrienteseléctricascomoconsecuenciadelavariación

delflujomagnéticoqueatraviesaunaespira.Lacorrienteeléctrica

producidaserátalqueseopongaalacausaquemotivaelcambio

enelflujo.

Enunacorriente,sellamafuerzaelectromotriz(fem,ε)alaenergía

quesecomunicaalaunidaddecarga.LaleydeFaradayestablecequecuandoseintroduce

unconductorcerradoenunazonadondeexisteuncampo

magnético,la feminducidaenélesigualydesignocontrario

alarapidezconquevaríaelflujomagnético

queloatraviesa:

εφ

= −d

dt

B

b) ii) DeacuerdoconlaleydeFaraday,la feminducidaquesecreaenlaespiravienedadaporlaexpresión:

εφ w θ

= − = −⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ +

=

= +

d

dt

d B S

dt

d B S t

dt

B ( ) [ cos ( )]0

B B S t ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +w w θsen ( )0

Loquevaríaenestecasoeselánguloformadoentrelosvectores

desuperficieycampomagnético,debidoalavelocidad

angulardegiro,w.Alvariarelánguloqueforman,varíatambién

elflujoqueatraviesaalaespirayapareceuna fem.

ii) Enestecasonovaríannilasuperficie

nielcampomagnético,nitampoco

elánguloqueformansusvectores,

yaqueelgironoproduceninguna

variaciónrelativaentreellos;

sonsiempreparalelos.

Enestacircunstancia,elflujo

esconstanteynoaparece fem.

B W

S W

Z

X

Y



192


36. Enrollamos un trozo de alambre a lo largo del ecuador de un globo esféricode 0,13 m de radio, dándole cuarenta vueltas. Además, el globo estáen una zona del espacio en la que hay un campo magnético perpendicularal plano de su ecuador y de módulo B = 0,55 T. Si inflamos el globo hastaque su radio se triplique, tardando 4,5 s, calcula la fuerza electromotrizmedia que se induce en la espira de alambre.

Supondremos, para mayor sencillez, que conforme el globo se vahinchando, la longitud del trozo de alambre va variando de tal manera queen todo momento abarca la totalidad del globo por su ecuador y siempre

da las cuarenta vueltas completas.(Castilla-La Mancha, 2000)

Elenunciadodelproblemaequivaleadecir

quesevaríalasuperficiedelasespiras

delabobina,mientrastodoslosdemás

parámetrosdelproblemapermanecen

constantes.Además,losvectorescampo

magnéticoysuperficiedelabobinaresultante

sonsiempreparalelos.

B W

S W

Z

X

Y

εφ

= − = −⋅

= −⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅d

dt

d B S

dt

d N B S

dt N B B ( ) ( cos )0° ∆S S

t ∆=

= − ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅

= −40 0 553 0 13 0 13

4 52 08

2 2

,( , ) ,

,,

π πVV

W W

37. a) ¿Qué campo magnético de los tres que se representan en las figurasdeberemos aplicar a una espira cuadrada que descansa en el plano

XY, para que se induzca en esta una fuerza electromotriz constante? Justifica la respuesta.

b) ¿Qué sentido tendrá la corriente inducida en la espira?

Nota: El campo magnético está dirigido a lo largo del eje Z.

t

B Z

t

B Z

t

B Z


a) Paraunaespirasepuedeobtenerlafuerzaelectromotrizinducida

apartirdelasiguienteexpresión:

εφ

= −d

dt

B



193

Solucionario

φB=N ⋅B ⋅S .Paraqueelresultadodela

derivadatemporaldelflujoseaunaconstante

(femconstante),esnecesarioqueelflujo

tengaunavariaciónlinealconrespecto

altiempo.Dadoqueelúnicoparámetro

variableeselcampomagnético,larespuesta

correctaserálacorrespondiente

B W

S W

Z

X

Y

aunavariaciónlinealconrespectoaltiempo:terceragráfica.

b) ElcampocrecehaciavalorespositivosdeZ.Enconsecuencia,

lacorrienteinducidadebeprovocaruncampomagnético

quecrezcaensentidoopuesto.Enlacarasuperiordelaespira

debeaparecerunacorrienteensentidohorario(carasur);

yenlacarainferior,antihorario(caranorte).

38. Una barra de 25 cm de longitud se mueve a 8 m/s en un planoperpendicular a un campo magnético de 6 ⋅ 10-2 T. Su velocidades perpendicular a la barra.a) ¿Cuál será el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza magnética

que se ejerce sobre un electrón de la barra? Haz la representación gráfica.b) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los extremos de la barra?Dato: carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.


a) Sepuedeobtenerlafuerzamagnética

ejercidasobreunelectrónapartirde:

WF B= q ⋅Wv ×WB →

→ F q v B B

C m/s T

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

− −1 6 10 8 6 10

7 68

19 2,

, 110 20−N

Representamosladirecciónysentido

delamismaeneldibujo.

b) Sepuedeobtenerladiferencia

depotencialentresusextremos

apartirde:

∆V E L v B L= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

=

−8 6 10 0 252m/s T m

0,12 V

,

39. Un coche se dirige hacia el este desplazándose en dirección este-oestea la velocidad de 90 km/h. Calcula la diferencia de potencial entrelos extremos de su eje delantero, suponiendo que es una barra metálicade 1,5 m de longitud.Dato: supón que los polos geográficos de la Tierra coinciden con suspolos magnéticos y que el campo magnético terrestre es de 0,5 ⋅ 10-4 T.

L

F WB

F WE

EF W

v W



194


Enestascondicionespodemosconsiderarqueelejedelantero

delcochedesempeñaelpapeldeunabarraconductora

moviéndosedeformaperpendicularauncampomagnético.

Bajoestesupuestopodemosobtenerladiferenciadepotencial

pedidaapartirde:

∆V E l v B l = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−90

10

1

1

36000 5 10

3km

h

m

km

h

s, 44

3

1 5

10

T m

1,875 V 1,875 mV

⋅ =

= ⋅ =−

,

40. Explica por qué no se pueden utilizar recipientes de barro en las cocinasde inducción. Explica por qué estas cocinas no queman aunque toquemossu superficie encendida con la mano.

Enlascocinasdeinducciónuncampomagnéticovariablellega

alrecipiente,quedebesermetálico.LascorrientesdeFoucault

queseoriginanensusparedescalientanloquehayensuinterior

sinquesecalientelasuperficiedelacocina.

Sielrecipienteesdebarro,materialnoconductor,

noseoriginancorrientesdeFoucault.Lamano,quetampoco

esunbuenconductor,nosecalientaaltocarlasuperficie,

quetambiénserádeunmaterialaislante.Elcampomagnético

pasaráalasiguientecapaconductoraquesepongaencimadelamisma,

peronoafectaráalosmaterialesaislantesqueseposensobreella.

41. Explica la diferencia entre los fenómenos de autoinducción y de inducción

mutua.Elfenómenodeautoinducciónconsisteenlacorrienteinducida

enunelementosobresímismo,mientrasquelainducción

mutuaconsisteeninducirunacorrientesobreotroconductor

que,asuvez,induceunacorrientesobreelprimero.

Paraobtenerunacorrienteporautoinducciónbasta

conunconductor,mientrasqueenelsegundocasosonnecesarios

dosconductores.

42. Suponiendo que la corriente que circula por una bobina está aumentando,¿podrá la fem inducida en la bobina producir un aumento mayorde la corriente? Razona la respuesta.


Silacorrientequecirculaporlabobinaestáaumentando,

elefectodela feminducidaseráoponerseaesteaumento

decorriente,yapareceráunacorrienteinducidadesentidocontrario

cuyoefectoserádisminuirlacorrientetotaldelcircuito.



195

Solucionario

43. Una bobina cuadrada, plana, con 100 espiras de lado L = 5 cm,está situada en el plano XY. Si aplicamos un campo magnéticodirigido a lo largo del eje Z que varía entre 0,5 T y 0,2 T en el intervalode 0,1 s:

a) ¿Qué fuerza electromotriz (fem) se inducirá en la bobina?

b) Si ahora el campo permanece constante de valor 0,5 T y la bobinagira en 1 s hasta colocarse sobre el plano XZ, ¿cuál será la feminducida en este caso?

c) Si en el caso b) la bobina se desplaza a lo largo del eje Z sin girar,¿cuál será la fem inducida?

(Cantabria, 2000)

a) Sepuedeobtenerla feminducidaapartirde:

εφ

= − = −⋅ ⋅d

dt

d N B S

dt

B ( )W W

Ahora:

B W

S W

Z

X

Y

εφ

= − = − ⋅⋅

=

= − ⋅⋅

= − ⋅ ⋅

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

B

t N

B S

t

N B S

t N S

B

t

( )

( )==

= − ⋅ ⋅−

= − ⋅ ⋅−

N S B B

t

2 1 2100 0 050 2 0 5

0 1∆,

( , , )

,m

T

s

2 == 0,75 V

W W

b) Conelmovimientodegirodescritoenelenunciadoresulta

queelvectordesuperficiedelabobinayeldecampomagnéticopasandeserparalelosaserperpendiculares.

Elcambioqueseproduceenelánguloqueforman

esde0°a90°.

Veamosloscálculosconunrazonamientoanálogoalapartado

anterior,peromodificandolafuentedevariaciónenelflujo,

quepasaaserelánguloentrelosvectores:

εφ

= − = − ⋅⋅

= − ⋅⋅ ⋅

=

= − ⋅

∆

∆

∆

∆

∆

∆

B

t

N B S

t

N B S

t

N S

( ) ( cos )θ

⋅⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅−

=

= − ⋅

B t

N S B t

∆

∆ ∆

(cos ) cos

,

θ θ θ2 1

100 0

cos

005 0 590 0

1

2 m Ts

0,125 V2 ⋅ ⋅

−=,

cos cos° °

W W

c) Conelmovimientopropuestoenesteapartadonoseproduce

variaciónenelflujoqueatraviesalabobina,porloquenoexiste

feminducida.



196


44. En una región del espacio existe un campo magnéticouniforme B W = B ⋅ i W. En dicha región se introduce una espira metálicacircular que rota alrededor de uno de sus diámetros con velocidadangular constante ωW = ω ⋅ j W, de modo que en el instante t = 0su vector de superficie es paralelo al campo B W. ¿Qué fem se induceen la espira si B = 0,1 T, ω = 1 rad/s y el radio de la espira es de 5 cm?

(C. Madrid, 2000)

DeacuerdoconlaleydeFaraday,la feminducidaquesecrea

enlaespiravienedadaporlaexpresión:

εφ w θ

= − = −⋅

= −⋅ ⋅ ⋅ +

=

= +

d

dt

d B S

dt

d B S t

dt

B ( ) [ cos ( )]0

B B S t ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +w w θsen ( )0

W W

Comoenelinstanteinicialelvectordesuperficieyeldecampo

magnéticosonparalelos,eldesfaseinicialseránulo(θ0=0).

ε π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅−0 1 0 05 1 1 0 7 85 102 4, , ( ) ,sen sen Vt t

45. Un campo de inducción magnética que sigue el sentido positivo del eje Xvaría con el tiempo según la ecuación B W = (0,4t - 0,3) i W T. Hallar la fuerzaelectromotriz inducida en una espira, cuya superficie es de 50 cm2,si el plano de la espira es perpendicular a las líneas de fuerza del campo B W.


Sabemosquela feminducidapuedeobtenerseapartirde:

εφ θ

= − = −⋅

= −⋅ ⋅d

dt

d B S

dt

d B S

dt

B ( ) ( cos )W W

Sielplanodelaespiraesperpendicularalvectorcampomagnético,

elvectordesuperficiedelamismaesparaleloalaslíneasdefuerza.

εφ

= − = −⋅

= − ⋅ =

= − ⋅ ⋅−

d

dt

d B S

dt S

dB

dt

d

B ( )

( ,50 10

0 44 ⋅ t t

dt

−= − ⋅ =

0 30 005 0 4 2

, ), , V mV

W W

46. Sea un solenoide de sección transversal 4 ⋅ 10-4

m2

y 100 espiras.En el instante inicial se aplica un campo magnético, perpendicular a susección transversal, cuya intensidad varía con el tiempo según B = 2 t + 1 T,que se suprime a partir del instante t = 5 s.

a) Explique qué ocurre en el solenoide y represente el flujo magnéticoa través del solenoide en función del tiempo.

b) Calcule la fuerza electromotriz inducida en el solenoide en los instantest = 3 s y t = 10 s.

(Andalucía, 2006)



197

Solucionario

a) Enelsolenoideseinduciráunafuerzaelectromotrizqueseopondrá

alcambioqueproducelavariacióndeflujoasutravés.

Comoelvectorcampomagnéticoyelvectordesuperficie

delaseccióntransversaldelabobinasonparalelos,puede

obtenerseelflujoqueatraviesalabobinadelasiguiente

manera:

φ θB( ) cos

( )

t N B S N B S N B S

t

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅100 2 1 4⋅ ⋅⋅ = ⋅ + ⋅− − −10 8 10 4 104 2 2⋅ t Wb

W W

b) Ahoratenemos:

εφ

= − = −⋅ + ⋅

= ⋅− −

−d

dt

d t

dt

BV

( )8 10 4 108 10

2 22⋅

Enelinstantet =3s:

ε = ⋅ −8 10 2V

Instantet =10s→no

existefuerzaelectromotriz

inducida,pues

yahadesaparecido

lafuentedevariación

deflujoenelinstante

t =5.

47. Una bobina circular de 4 cm de radio

y 30 vueltas se sitúa en un campomagnético dirigido perpendicularmenteal plano de la bobina cuyo móduloen función del tiempo esB (t ) = 0,01 ⋅ t + 0,04 ⋅ t 2,donde t está en segundos y B , en teslas.

Determina:

B W


b) La fuerza electromotriz inducida en el instante t = 5,00 s.


a) Comoelvectorcampomagnéticoyelvectordesuperficiedelplano

delabobinasonparalelos,puedeobtenerseelflujoqueatraviesa

labobinadelasiguientemanera:

φ θB( ) cos

( , ,

t N B S N B S N B S

t

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ +30 0 01 0⋅ 004 0 04

1 5 1 10 6 03 10

2 2

3 3 2

⋅

⋅ ⋅

t

t t

) ,

, ,

⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅− −

π

Wb

W W

0,44

0,4

0,3

0,1

0,2

0,05

t (s)

φB(Wb)



198


b) Calculamosε:

εφ

( )( , , )

t d

dt

d t t

dt = − = −

⋅ + ⋅=

− −B 1 5 1 10 6 03 103 3 2⋅ ⋅

== − ⋅ − ⋅− −1 5 1 10 12 06 103 3, , ⋅ t V

Entonces:

ε( ) , , ,t = = − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅− − −5 1 51 10 12 06 10 5 6 18 103 3 2s VV

48. Una bobina cuadrada de 5 cm de lado y 10 vueltas se sitúa en un campo

magnético cuya dirección forma un ángulo de 25° con el plano de las espirasque la forman. Su módulo varía en función del tiempo según la expresiónB (t ) = 0,5 ⋅ t 2 - 8 T, donde t es el tiempo en segundos. Determina:


b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina en el instante t = 8 s.

c) ¿En qué cambiaría el resultado si el campo magnético formaseun ángulo de 25° con el eje de la bobina?

a) Elvectordesuperficieesperpendicularalplanodelasección

delasespiras,porloqueelánguloqueformaelvectordecampomagnéticoconélseráθ=90°−25°=65°.Sepuedeobtener

elflujopedidoenelenunciadoapartirde:

φB(t )=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S ⋅cosθ =

= ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ⋅ −−

10 0 5 8 0 05 65

5 28 10 8

2 2

3 2

( , ) , cos

,

⋅

⋅

t

t

°

,,45 10 2⋅ − Wb

b) Laexpresiónquenospermiteobtenerla feminstantáneaes:

εφ

( )( , , )

t d

dt

d t

dt = − = −⋅ − ⋅

=

= −

− −B 5 28 10 8 45 103 2 2⋅

22 5 28 10 1 056 103 2⋅ ⋅ = − ⋅− −, ( ) ,⋅ ⋅t t t → ε V

Portanto:

ε( ) , ,t = = − ⋅ ⋅ = − ⋅− −8 1 056 10 8 8 45 102 2s V

c) Variaríaelresultadonumérico,yaqueenestecasoelángulo

queformanelvectorcampomagnéticoyelvectordesuperficie

nosería65°,sino25°:

φ ' ( ) ( , ) , cos

,

B t t = ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ⋅ −

10 0 5 8 0 05 25

1 13 10

2 2⋅ °22 2 18 12⋅ t − , Wb

Así:

εφ

'( )( , , )'

t d

dt

d t

dt = − = −

⋅ −=

= − ⋅

−B 1 13 10 18 12

2

2 2⋅

11 13 10 2 26 102 2, '( ) ,⋅ = − ⋅− −⋅ ⋅t t t → ε V

Portanto:ε'( ) , ,t = = − ⋅ ⋅ = −−8 2 26 10 8 18 082s V



199

Solucionario

49. La gráfica que se muestra en la figurarepresenta, en función del tiempo,el flujo magnético que atraviesacada espira de una bobina rectangularcon 50 espiras. Se pide:

a) ¿Cuánto valdrá la fem inducida?b) Sabiendo que el campo magnético

que origina el flujo tiene en todomomento la dirección y sentido

del eje Z positivo, ¿podrías indicar t (s)5

100

φB(mWb)

el sentido de la corriente inducida?

(Cantabria, 2000)

a) Apartirdelagráficaquedescribelaevolucióntemporaldelflujo

podemosobtenerlafunciónmatemática:

φB

Wb

s

Pendientede la gráfica

( )t =⋅ −100 10

5

3

⋅ + = ⋅ −t t φB 0 Wb20 10 3 ⋅

Yapartirdeestaexpresión,sedeterminala feminducida:

εφ

( )( )

t d

dt

d t

dt = − ⋅ = − ⋅

⋅=

= − ⋅ ⋅

−

50 5020 10

50 20 1

3B ⋅

00 13− = −V V

b) Lacorrienteinducidaserátalqueseopongaalcambio

queproduceunavariaciónenelflujo.Enestecaso,

comoelcambioesunaumentoenelmismo,lacorrienteinducida

seopondráalacreadaporelcampomagnético(tendrásentido

contrario).

ParaunaespiraqueestéenelplanoXY,comoelflujocrece

hacialosvalorespositivosdeZ,lacorrienteinducidacirculará

ensentidohorarioenlacaraquemirahaciaarriba.

(Verelproblema37.)

50. En el plano XY se tiene una espira circular de radio a = 2 cm.

Simultáneamente se tiene un campo magnético uniforme cuyadirección forma un ángulo de 30° con el semieje Z positivoy cuya intensidad es B = 3 ⋅ e-t /2 T, donde t es el tiempo, expresadoen segundos.

a) Calcula el flujo del campo magnético en la espira y su valor en t = 0 s.b) Calcula la fuerza electromotriz inducida en la espira en t = 0 s.c) Indica, mediante un dibujo, el sentido de la corriente inducida

en la espira. Razona la respuesta.




200


a) Elflujodelcampomagnéticoes:

φB(t )=WB ⋅WS =B ⋅S ⋅cosθ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅− − −3 0 02 30 3 265 102 2 3 2e e Wbt t / / , cos ,π °

Entonces:

φB e Wb( ) , ,t = = ⋅ ⋅ = ⋅− −0 3 265 10 3 265 103 0 3

b) La femes:

εφ

( )

( , )

,

/

t d

dt d

dt

= − =

= −⋅ ⋅

=

= + ⋅

− −

B

te3 265 10

0 5 3

3 2

,,

,

/

/

265 10

1 63 10

3 2

3 2

⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅

− −

− −

e

e V

t

t

Portanto:

ε( ) , ,t = = ⋅ ⋅ = ⋅− −0 1 63 10 1 63 103 0 3e V

c) Amedidaqueavanzaeltiempo,elcampomagnéticodesaparece.

Lacorrienteinducidaseopondráaesteefecto,porlocual

circularáensentidoantihorario.

51. Un solenoide de resistencia 3,4 ⋅ 10-3 Ω está formado por 100 espirasde hilo de cobre y se encuentra situado en un campomagnético de expresión B = 0,01 ⋅ cos (100 t ) en unidades del SI.El eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo magnético

y la sección transversal del solenoide es de 25 cm2

.Determine:

a) La expresión de la fem inducida y su valor máximo.

b) La expresión de la intensidad de la corriente que recorre el solenoidey su valor máximo.

(C. Madrid, 2005)

a) Primerocalculamoselflujodelcampomagnético:

φB(t )=N ⋅WB ⋅WS =N ⋅B ⋅S ⋅cosθ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅100 0 01 100 0 100, cos( ) cos cos( )π πt t ° Wb

Ahoracalculamosla fem:

εφ π

π( )[cos( )]

(t d

dt

d t

dt = − = −

⋅= + ⋅

B sen100

100 100ππ ⋅ t ) V

Suvalormáximoocurrirácuandoelvalordelsenoseamáximo;

esdecir,1:

ε πmáx. V= 100

B W

S W

Y

Z

X

30°



201

Solucionario

b) LaleydeOhmnospermiteobtenerlaintensidaddelacorriente:

I R

t = =

⋅ ⋅

⋅=

= ⋅ ⋅

−

ε π π100 100

3 4 10

9 24 10

3

4

sen

sen

( )

,

, (( ) ,100 9 24 104π ⋅ = ⋅t I A Amáx.→

52. Un campo magnético uniforme está confinado en una región cilíndricadel espacio, de sección circular y radio R = 5 cm, siendolas líneas del campo paralelas al eje del cilindro (esto puede conseguirse

mediante un solenoide cilíndrico por el que pasa una corrientey cuya longitud sea mucho mayor que su diámetro 2 ⋅ R ). Si la magnituddel campo varía con el tiempo según la ley B = 5 + 10 ⋅ t (dadoen unidades del SI), calcula la fuerza electromotriz inducida en un anilloconductor de radio r , cuyo plano es perpendicular a las líneas de campo,en los siguientes casos:

a) El radio del anillo es r = 3 cm y está situado de forma que el ejede simetría de la región cilíndrica, donde el campo es uniforme,pasa por el centro del anillo.

b) r = 3 cm y el centro del anillo dista 1 cm de dicho eje.c) r = 8 cm y el eje pasa por el centro del anillo.

d) r = 8 cm y el centro del anillo dista 1 cm de dicho eje.


Eneldibujoserepresentalasección

delaregióncilíndricaenlaqueestá

confinadoelcampomagnético

yladelanilloconductoren

elquesepretendeinducircorriente.

Entodosloscasoselcampo

esperpendicularalasuperficie

delanillo;portanto,WB esparaleloaWS .

a) Todalasuperficiedelaespira

estáatravesadaporelcampo

magnético:


= + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅− −

( ) , cos

, ,

5 10 0 03 0

1 41 10 2 82 10

2

2 2

t π °

⋅⋅ t Wb

b)

a)

c)

d)

5cm

1cm

r =8cm

r =8cm

r =3cmr =3cm

Entonces:

εφ

( )( , , )

,t d

dt

d t

dt = − = −

⋅ + ⋅= −

− −B 1 41 10 2 82 10

2

2 2 ⋅882 10 2⋅ −

V

b) Lasituacióneslamismaqueenelapartadoa):

ε( ) ,t = − ⋅ −2 82 10 2V



202


c) Laslíneasdecamposoloatraviesanunapartedelanilloconductorigual

alaseccióndelaregióncilíndricaenlaqueestáconfinadoelcampo:


= + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅− −( ) , · cos , ,5 10 0 05 0 3 93 10 7 85 102 2 2t π ° ⋅ t t Wb

Portanto:

εφ

( )( , , )

,t d

dt

d t

dt = − = −

⋅ + ⋅= −

− −B 3 93 10 7 85 10

72 2 ⋅

885 10 2⋅ −V

d) Lasituacióneslamismaqueenelapartadoc).

ε( ) ,t = − ⋅ −7 85 10 2 V

53. Tenemos una bobina de 500 espiras por las que circula una corrientede 2,5 A, que desaparece 12 ms después de abrir el interruptor.Determina el flujo magnético que atraviesa cada espira de la bobinacuando el interruptor está cerrado y la fem cuando se abre.Dato: coeficiente de autoinducción de la bobina: 0,1 H.

Tenemos:φB H A 0,25 Wb= ⋅ = ⋅ =L I 0 1 2 5, ,

Yentonces:

εφ

= − = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅−

=

= − ⋅

d

dt L

dI

dt L

I

t L

I I

t

∆

∆ ∆

2 1

0 1,(

H00 2 5

12 10 3

−

⋅=

−

, ) A

s20,83 V

54. a) ¿Qué es un transformador? ¿Por qué son útiles para el transporte

de energía eléctrica?b) Si el primario de un transformador tiene 1200 espiras, y el secundario,

100, ¿qué tensión habrá que aplicar al primario para tener en la salidadel secundario 6 V?


a) Untransformadoresundispositivoqueseempleaparamodificar

elvoltajeylaintensidaddeunacorrientealternasinque

seproduzcanpérdidasdeenergíasignificativas.Alnoproducir

pérdidasenelproceso,lostransformadoressonútilesparaeltransportedeenergía,realizandomodificacionesdevoltajeen

algúnpuntodeltrayectoymanteniendoconstantelapotencia.

b) Enuntransformadorsecumpleque:

V

N

V

N

V

V

1

1

2

2

1

1

= =

=

→ →

→

1200 espiras

6 V

100 espiras

6 V ⋅⋅=

1200 espiras

100 espiras72 V



203

Solucionario

55. Una espira cuadrada de 5 cmde lado situada en el plano XYse desplaza con velocidadv W = 2 ⋅ i W, penetrando en elinstante t = 0 en una regióndel espacio donde hay un campomagnético uniformeB W= -200 ⋅ k W mT, según se indica

en la figura:

v WB W

Y

X

a) Determina la fuerza electromotriz inducida y represéntala gráficamenteen función del tiempo.

b) Calcula la intensidad de la corriente en la espira si su resistenciaes de 10 Ω. Haz un esquema indicando el sentido de la corriente.


a) Existirá feminducidamientrasestévariandoelflujoqueatraviesala

espira.Esdecir,desdet =0hastaquelaespiraestécompletamente

inmersaenelcampomagnético.Podemosconocerladuración

deesteintervalo,yaquesabemoslavelocidadalaquesemuevelaespiraysulongitud.Debemoscalculareltiempoquetarda

enrecorrerunespacioequivalentealtotaldesulongitud.

t L

v = = =

5 cm

2 cm/s2,5 s

Calculamosla feminducidaconlaleydeFaraday:

εφ

= − = −⋅

= −⋅

= − ⋅ =

= − ⋅

d

dt

d B S

dt

d B S

dt B

dS

dt

B d

B ( ) ( )

(LL x

dt B L dx

dt B L v ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅)

Comoelcampoesperpendicular

alcircuito,WB ⋅WS =B ⋅S .

Sustituyendolosdatosporsus

valoresenunidadesdelSI:

ε = − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ −

B L v

0 2 0 05 0 02

2 10 4

, , ,T m m/s

V

b) DeacuerdoconlaleydeOhm:

V I R I V

R = ⋅ = =

− ⋅= − ⋅

−−

→2 10

102 10

45V

AΩ

Amedidaquelaespirapenetraenelcampo,aumentaelflujo

entranteenelpapel.Enlaespiradebeinducirseunacorriente

queprovoqueunflujomagnéticosaliente.Enconsecuencia,

lacorrienteinducidaenlaespiragiraensentidoantihorario.

2,5

t (s)

ε(V)

−2⋅10−4



204


56. La bobina de un alternador tiene 50 espiras de 4 cm de radio.Determina el valor de la fem máxima que genera si gira en un campomagnético uniforme de 0,8 T con una frecuencia de 120 Hz. Obténla expresión que permite conocer la fem que genera en cada instante.¿Qué sucedería si se duplicase la velocidad de giro de la bobina.

Podemosobtenerla femgeneradaapartirde:

εφ w

w

= − = −⋅ ⋅ ⋅

=

= + ⋅ ⋅ ⋅

d

dt

d N B S t

dt

N B S

B

sen

[ cos( )]⋅

⋅ (( ) ( )w ε w⋅ = ⋅ ⋅t t máx. senCon:

ε πν πmáx. 48,25 V= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =N B S 2 50 0 8 0 04 2 1202, ,

La feminstantáneapuedeobtenerseapartirde:

ε ε w ε πν= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅máx. máx.sen( sen sent t ) ( ) ,2 48 25 (( )240 Vπ ⋅ t

Alduplicarlavelocidaddegirodelabobinaseduplicalafrecuencia,

porloqueseduplicaelvalormáximodela femobtenida.

57. Explica por qué un campo magnético variable induce un campo eléctricovariable de dirección perpendicular.

LascorrientesinducidasmuestranqueuncampomagnéticoWB variable

originauncampoeléctricoquehacequelascargassedesplacen

alolargodelaespiraenundeterminadosentido,dependiendo

delavariaciónqueexperimenteWB .EnlaexperienciadeHenry

secompruebaqueeldesplazamientodelascargasenelconductor

provocauncampoeléctricoperpendicularalmagnético.

Deformacomplementaria,cuandounconductortransportacorriente,apareceuncampomagnéticocuyadirecciónesperpendicular

aaquellaenlaqueavanzalacorriente.Elvalordelcampomagnético

producidodependedelaintensidaddelacorriente.

LaterceraecuacióndeMaxwellestablecelarelaciónmatemáticaentre

loscamposeléctricoymagnéticomutuamenteinducidos:

$ #E d l d

dt B dS ⋅ = − ⋅W W W W

Lavariaciónconrespectoaltiempodelflujomagnéticoqueatraviesa

unasuperficiecoincide

conlacirculacióndelcampo

eléctricoresultanteentorno

alalíneaquelimitaesasuperficie.

Elcampoeléctricoinducido

queresultadeuncampomagnético

variableesnoconservativo.

B W

E W

E W

E W

E W

E W

E W

E W

E W



El movimientoarmónico simple

(MAS)

6

• Conocerlascaracterísticasfísicasqueidentificanelmovimientovibratorio

armónicosimple.• Comprenderlasecuacionesmatemáticasquedescribenelmovimiento

armónicosimple,tantodesdeelpuntodevistacinemáticocomo

dinámico.

• Sercapazdeelaborargráficasqueidentifiquenlascaracterísticas

delmovimientovibratorioarmónicosimple,identificandolospuntos

dondelaelongación,velocidadyaceleracióntomanvaloresmáximos,

mínimosynulos.

• Comprenderlasexpresionesmatemáticasquerelacionanlaenergía

deunosciladorarmónicoconsuposición.Reconocerquelaenergíamecánicatotalesconstante.

• Deducirmatemáticamentelaexpresiónquerelacionaelperiodo

deunosciladorconsuscaracterísticasfísicas.

• Comprobardeformaexperimentallarelaciónentreelperiodo

delosciladorysuscaracterísticasfísicas,particularizandoparaelcaso

delresorteydelpéndulo.

• Analizarlassituacionesenlasqueelmovimientodeunpéndulo

secorrespondeconeldeunosciladorarmónicoyaquellas

enlasqueseseparadeesemodelo.

• Elestudiodelmovimientovibratorioarmónicosimpleesunpaso

imprescindibleparaabordarelmovimientoondulatorio,quesetratará

eneltemasiguiente.Esmuyimportantequeelalumnadoreconozca

suspeculiaridades,tantodesdeelpuntodevistamatemático

comodesdeelpuntodevistafísico.Seejemplificaráelestudiodelresorteyeldelpéndulo;elprimerocomomodeloparacomprender

lasconsecuenciasdeunaperturbaciónondulatoriaenlosdistintos

puntosdelmedioenquesepropaga,yelsegundocomoejemplo

sencilloypróximoalaexperienciadelalumnado.

• Dadoqueencursosanterioressehaestudiadoelmovimiento

circularuniforme,puedeserútilemplearcomomodelomatemático

paraexplicarelmovimientovibratorioarmónicosimpleelqueresulta

delasproyeccionessobreundiámetrodelasposicionesqueocupa

unmóvilquedescribeunacircunferenciaconmovimientocircular

uniforme.Enestecaso,debeinsistirseenquesetratadedos

movimientosdiferentesysoloseempleaunocomomodelomatemático

paralacomprensióndelotro.

PRESENTACIÓN

OBJETIVOS

205



6 El movimiento armónico simple

206

• Característicasfísicasdelmovimientovibratorioarmónicosimple.

Conceptodeelongación,amplitud,longituddeonda,frecuencia,

periodo,frecuenciaangularyfuerzarecuperadora.

• Ecuacionesmatemáticasquerepresentanelmovimientovibratorio

armónicosimple.Relaciónentrelaposición,lavelocidadylaaceleración

enunpunto.

• Representacióngráficadelasecuacionesmatemáticasquerepresentan

elmovimientoarmónicosimple.Identificacióndelospuntos

dondeestasmagnitudesalcanzanvaloresmáximo,mínimoynulo,yrelaciónconlaposiciónrealdeloscilador.

• Estudiodelperiododeunresortequesemueveconmovimiento

armónicosimple.Relacióndelperiodoconsusmagnitudesfísicas.

Comprobaciónexperimental.

• Análisisdelmovimientodeunpéndulo.Discusióndelascondiciones

enlasquesepuedeconsiderarunmovimientoarmónicosimple.

• Estudiodelperiododeunpénduloquesemueveconmovimiento

armónicosimple.Relacióndelperiodoconsusmagnitudesfísicas.

Comprobaciónexperimental.

• Estudioenergéticodelosciladorarmónicosimple.Análisisde

suenergíacinética,potencialymecánicaenlosdistintospuntos

desumovimiento.

Conceptos

• Adquirirsolturaenelestudiomatemáticodeunmovimiento

apartirdelasobservacionesquedeélsepuedenrealizar.

• Habituarsearelacionarlosvaloresdelasfuncionesmatemáticas

queindicanlaposición,velocidadyaceleracióndeunmóvil

enfuncióndeltiempoconlaposiciónrealqueocupaen

sutrayectoria.

• Manejarcondestrezalasderivadaseintegralesdelasfunciones

trigonométricassimples.

• Sercapazdeidearexperienciasquepermitancomprobar

efectosfísicossencillos,comoladependenciaonodelperiodo

deunosciladordesuscaracterísticasfísicas.

• Interpretaryelaborargráficasyesquemasquedescribenunmovimientoarmónicosimple.


• Comprenderlanecesidaddemodelosmatemáticosparaestudiar

ciertosproblemasfísicosylaslimitacionesconlasquedichos

modelossepuedenaplicar.

• Desarrollarcuriosidadcientíficaquelleveaidearexperienciaspara

comprobarlasrelacionesmatemáticasquesededucen

deformateórica.

Actitudes

CONTENIDOS



(MAS)


Apesardeseresteuntemadeprofundocontenidoteórico,elmodoenquesellevan

acaboalgunosaprendizajessepuedeaprovecharparaunaeducaciónenvalores.


Paraelestudioexperimentaldelosfactoresqueinfluyenonoenelperiodo

deunosciladorarmónicosepuedenestablecergruposdediscusiónquelleven

adiseñarlasexperienciasadecuadas.

Elgrupodebecolaborarenlarealizacióndelamismayenladiscusión

delosresultados.


1. Partiendodeunadelasecuacionesdeunmovimientoarmónicosimple(posición,

velocidadoaceleraciónenfuncióndeltiempo),obtenerlasdemásecuaciones

ysusparámetroscaracterísticos.

2. Conociendolosparámetroscaracterísticosdeunmovimientovibratorioarmónico

simple,obtenersusecuacionesdelmovimiento.

3. Realizarlarepresentacióngráficadealgunadelasecuacionesdeunmovimiento

armónicosimpleeidentificarlospuntosdelatrayectoriaqueserelacionan

convaloressignificativos.

4. Obtenerelperiododeunpénduloodeunosciladorapartirdesuscaracterísticas

físicas,yviceversa.

5. Discutirexperienciasquepermitanestudiarlosfactoresquedeterminanonoelperiodo

deunpénduloodeunosciladorarmónico.

6. Comprenderlarelacióndelaenergía(cinética,potencialomecánica)deunoscilador

consuposición.Utilizarestarelaciónparadeducirlasecuacionescaracterísticas

delmovimiento.

7. Realizarunestudiomecánicoyenergéticodelmovimientodeunpéndulo.

Llevaracabounanálisisdelascondicionesenlasquesecomportacomooscilador

armónicoyaquellasenquesedesvíadedichocomportamiento.


207



208


1. Escribe la ecuación senoidal del movimiento del muelle de la figuracuya gráfica posición-tiempo es la que se indica:

x (cm)

0,3

1,3

2,3

3,3

4,3 t (s )

5

-10

Laecuacióndelmovimientodelmuellesecorresponde

conlaexpresión:

x = A ⋅ sen(w ⋅ t + f0)

Elongación Amplitud

Frecuenciaangular Faseinicial

Fase

Identificamostérminosapartirdelagráfica:

• Amplitud:A= 10cm.

• Frecuenciaangular:wπ

πn= =2

2T

.Elperiodoeseltiempoentre

dosmáximossucesivos:

T = - =2 3 0 3, ,s s 2 s →

→ wπ

π= =2

2rad/s

• Faseinicial: x A t 0 0 0= ⋅ ⋅ +sen( )w f ;parat 0= 0,x 0= 5cm:

5 10 0= ⋅ sen( )f →

→fπ

0 0 56

= =arc sen rad( , )

Portanto:

x t = ⋅ ⋅ +

0 16

, sen mππ

2. Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuaciónse suelta y se le deja oscilar libremente, de forma que da 30 oscilacionescompletas en 5 segundos.



209

Solucionario

(MAS)

Determina:

a) La ecuación de su movimiento suponiendo que empezamos a estudiarlocuando se encuentra en la posición más estirada.

b) La posición en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciadoel movimiento.

c) El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posición de equilibriodesde que está en la posición de máximo estiramiento.

a) Dadoqueenelenunciadosemencionaquelaposicióninicial

deestudio(t = 0)coincideconunmáximo,utilizaremos

laecuacióncosenoidalparadescribirelmovimiento.

Deestamanerasudesfaseinicialseránulo: x A t = ⋅ ⋅cos( )w ;para

t = 0,x = A.

Laamplituddelmuellecoincideconsuelongaciónmáxima:

A= 5cm= 0,05m.

w

π

πn π π= = = ⋅ =

22 2 12

T

30 ciclos

5 srad/s

Sustituyendo:x t = ⋅ ⋅0 05 12, cos( )π m

b) x t ( ) , cos( )= = ⋅ ⋅ = =10 s 0,05 m 5 cm0 05 12 10π .

Elmuelleseencuentraensuposicióndeelongaciónmáxima

positiva(estiradoalmáximo).

c) Enlaposicióndeequilibrox = 0:

0 0 05 12= ⋅ ⋅, cos( )π t →

→ arc cos( )0 12 2

1

2 12= ⋅ = = =π

π

t t →⋅ 0,042 s

3. Representa la gráfica posición-tiempo de un muelle cuyo movimientose describe en la actividad anterior.

x (m)0,05

-0,05

0

0,0 1,0 5,04,03,02,0 t (s )

4. ¿Cuál será la velocidad del móvil del ejemplo 2 cuando se encuentraa 2 cm del punto más bajo?

Enestecasoseencuentraenlaposiciónx = −4cm.



210


Sustituyendoigualqueenelejemplo:

v A x = ⋅ - = ⋅ ⋅ - -2 2 0 25 6 4 72 2 2 2πn π , ( (Hz cm) cm) cm/s

Esdecir,elmódulodelavelocidadeselmismoqueenlaposición

calculadaenelejemplo.(Noconfundirlavelocidad,v ,conla

frecuencia,n.)

5. En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramosuna longitud de 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la función

que permite conocer su elongación, velocidad y aceleración en funcióndel tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa gráficamentedichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocerlo que sucede en dos oscilaciones completas.

Comolaposicióninicialconsideradasecorrespondeconsuelongación

máxima,utilizaremoslaecuacióncosenoidaldelMAS.

Elongación:

Laelongaciónmáxima

esprecisamenteA = 0,04m.

Calculamosw:

w πn π π= = ⋅ =2 2 2 4Hz rad/s

Laecuacióndelaelongaciónserá:

x t = ⋅ ⋅0 04 4, cos( )π m

Velocidad:

Lavelocidadseobtienederivando

laexpresióndelaelongaciónconrespectoaltiempo:

v dx

dt A t

t

= = - ⋅ ⋅ ⋅ + =

= - ⋅ ⋅ ⋅

w w f

π π

sen

sen

( )

, ( )

0

4 0 04 4 →→

→ v t = - ⋅ ⋅0 16 4, ( )π πsen m/s

Aceleración:

Laaceleraciónseobtienederivando

laexpresióndelavelocidad

conrespectoaltiempo:

a dv

dt A t = = - ⋅ ⋅ ⋅ + =

= - ⋅ ⋅

w w f

π

20

24 0 04 4

cos( )

( ) , cos( ππ

π π

⋅

= - ⋅ ⋅ ⋅

t

a t

)

, cos( )

→

→ 0 64 42 m/s2

x (m)0,04

0,02

0

-0,02

-0,04

0 0,5 1,0t

v (m/s2)

0,6

0

-0,6

0

0,5 1,0

a (m/s2)

-8

-4

0

4

8

0 0,5 1,0



211

Solucionario

(MAS)

6. Haz la representación gráfica de las funciones x (t ), v (t ) y a (t ) paraun muelle que oscila apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento.De forma similar a la figura 6.23, indica en qué posición las magnitudes x ,v y a alcanzan sus valores máximos y mínimos.

Respuestagráfica:

x = A ⋅ sen(w ⋅ t )

v = A ⋅ w ⋅ cos(w ⋅ t )

a = -w2 ⋅ A ⋅ sen(w ⋅ t ) = -w2 ⋅ x

-w2 ⋅ A

-w ⋅ A

-A

w2 ⋅ A

w ⋅ A

A

a

v

x Máximo:T /4

Mínimo:3T /4

Máximo:0

Mínimo:T /2

Máximo:3T /4

Mínimo:T /4

T /4 T /2 3T /4 T

7. Calcula la aceleración y la velocidad en el instante inicial, t = 0 s,para un muelle cuyo movimiento viene descrito por la ecuación:

x t t ( ) , cos= ⋅ +

0 3 26π (x en cm)

Laecuacióndelaposiciónes:

x t t ( ) , cos= ⋅ +

0 3 26

π

Enelinstantet = 0:

x ( , cost = = ⋅ +

=0) 0,26 m0 3 2 0

6

⋅π

Lavelocidadseobtienederivandolaposiciónconrespectoaltiempo:

v dx

dt A t t = = - ⋅ ⋅ ⋅ + = - ⋅ ⋅ ⋅ +

w w f

πsen sen( ) ,0 2 0 3 2

6

Enelinstantet = 0:

v ( , ,t = = - ⋅ ⋅ ⋅ +

= - ⋅ ⋅0) sen s2 0 3 2 0

62 0 3

πeen 0,3 m/sπ

6

= -



212


Laaceleraciónseobtienederivandolavelocidadconrespectoaltiempo:

a dv

dt A t x = = - ⋅ ⋅ ⋅ + = -w w f w2

02cos( ) ⋅

Enelinstantet = 0:

a

x t

( ,

( )

t = = - ⋅ = -

=

0) 1,04 m/s22 0 26

2

0

8. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza

un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontalsin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz.Determine:

a) El periodo del movimiento.

b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.


a) Eldatodelafrecuencianospermiteconocerelperiodo,T :

T = = =1 1

3 3n , Hz0,303 s

b) Calculamoswapartirdeldatodelperiodo,según:

wπ π

= = =2 2

0 30320 73

T ,,

srad/s

LavelocidadmáximaenunMASes:

v Amáx. rad/s m 1,037 m/s= ⋅ = ⋅ =w 20 73 0 05, ,

LaaceleraciónmáximaenunMASes:a Amáx.

2rad/s m 21,49 m/s= ⋅ = ⋅ =w2 2 220 73 0 05, ( ) ,

9. Una partícula puntual realiza un movimiento armónico simple de amplitud8 m que responde a la ecuación a = −16x , donde x indica la posiciónde la partícula en metros y a es la aceleración del movimiento expresadaen m/s2.

a) Calcula la frecuencia y el valor máximo de la velocidad.

b) Calcula el tiempo invertido por la partícula para desplazarsedesde la posición x 1 = 2 m hasta la posición x 2 = 4 m.


a) Apartirdelaexpresiónquedeterminalaaceleracióndeuncuerpo

enunMAS:

a dv

dt

d A t

dt

A t

= =⋅ ⋅ ⋅ +

=

= - ⋅ ⋅ ⋅ +

[ cos( )]

(

w w f

w w

0

2 sen ff w02) = - ⋅ x



213

Solucionario

(MAS)

Identificando:

- ⋅ = - ⋅ = =w w w2 216 16 4x x → → rad/s

Calculamoslafrecuenciaapartirdelafrecuenciaangular:

wπ

πn nw

π π= = = = =

22

2

4

2T →

rad/s0,64 Hz

Ahorayasepuedecalcularlavelocidad:

v A t v A= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅ =w w f wcos( )0 4 8→ máx. rad/s m 32 m/s

b) Paracalculareltiempoquetardaentrasladarsedeunpuntoalotroobtendremoselvalordeltiempocuandoseencuentraencada

unadeesasposiciones.Paraestonecesitamosconocerlaecuación

querigesumovimientoyque,suponiendoquenoexistedesfase

inicial,puedeobtenersecomo:

x A t t = ⋅ ⋅ + = ⋅ +sen sen( ) ( )w f f0 08 4

Enx = 4m:

4 8 41

242 0 2 0= + = +⋅ sen sen( ) ( )t t f f→ →

→ 41

2 62 0t + =

=fπ

arc sen [1]

Enx = 2m:

2 8 41

441 0 1 0= ⋅ + = +sen sen( ) ( )t t f f→ →

→ 41

40 2531 0t + =

=f arc sen , [2]

Restandolasexpresiones[1]y[2]:

( ) ( ) ,4 46

0 2532 0 1 0t t + - + = -f fπ

→

→ 4 0 270 27

42 1 2 1⋅ - = - = =( ) ,

,t t t t → 0,0675 s

10. Un punto material pende del extremo de un muelle. Se tira de ély se le hace oscilar de manera que entre el punto más alto y el más bajo

este recorre una distancia de 20 cm y tarda 20 s en completarcinco oscilaciones. Determina la velocidad y la aceleración del móvilcuando se encuentra a 6 cm del punto más bajo.

Siladiferenciaentreelpuntomásaltoymásbajodelrecorrido

es20cm,laelongaciónmáximadelMASesA = 10cm= 0,1m.

Obtenemoslafrecuenciadelmovimiento:

n w πn ππ

= = = = ⋅ =5 ciclos

20 s0,25 Hz Hz rad/s→ 2 2 0 25

2,



214


A6cmdelpuntomásbajoelpuntoseencuentra4cmpordebajo

desuposicióndeequilibrio,esdecir,enx = −4cm.

Sepuedenobtenerlavelocidadylaaceleracióninstantánea

deunMASconlasrelaciones:

• v A x = ⋅ - = ⋅ - =wπ2 2 2 2

20 1 0 04 0 144, , , m/s

• a x = - ⋅ = -

⋅ - =w

π2

2

20 04 0 098( , ) , m/s2

11. Diseña una experiencia para comprobar que el periodo de un osciladorarmónico no depende de la amplitud de la oscilación.

Material:

• Soportedelaboratorio.

• Muelle.

• Portapesas.

• Unapesa.

• Cronómetro.

Procedimiento:

1. Colocarelmuelleenelsoportecomo

semuestraenlafigura.Poner

unportapesasensuextremoinferior.

2. Colocarenelportapesaslapesa

elegida.Estirarlademaneraque

sedesplaceunpocodesuposición

deequilibrioydejarlaoscilar.

3. Cuandoosciledemanerauniforme

(despuésdelas3o5primeras

oscilaciones),ponerelcronómetro

enmarchaymedireltiempo

quetardaendar20oscilaciones.

Anotarelresultado.

4. Repetirlospasos2y3utilizando

siemprelamismamasayvariandolaamplitudinicialdelaoscilación.

5. Deacuerdoconlaexpresión:

T

m

k = ⋅2π

alusarsiemprelamismamasam

yelmismomuelle(mismak ),

elperiodoobservado

deberíadeserconstante.

Muelle

Portapesas



215

Solucionario

(MAS)

12. Se dispone de un muelle elástico sujeto por un extremoal techo de una habitación. Si colgamos por el otro extremoun cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcule:

a) La constante elástica del muelle.

b) El periodo de las oscilaciones que realizará si se le apartade su posición de equilibrio y se le deja libremente para que ejecuteun movimiento armónico simple.


a) DeterminaremoslaconstantedeelasticidadestáticapormediodelaleydeHooke:

P m g F k x k m g

x = - ⋅ = = - ⋅ → =

⋅

=

⋅

=

6 9 8

0 2294

,

,

N

m

b) Aunquelaconstantedeelasticidadestáticaydinámicanoson

exactamenteiguales,utilizaremoseldatocalculadoenelapartado

anteriorparaobtenerelperiododelaoscilación:

T

m

k = ⋅ = ⋅ =2 2

6

294π π 0,9 s

13. Se tienen dos muelles de constantes elásticask 1 y k 2 en cuyos extremos se disponen dosmasas m 1 y m 2, respectivamente, tal quem 1 < m 2. Al oscilar, las fuerzas que actúansobre cada una de estas masas en funciónde la elongación aparecen representadas

en la figura.a) ¿Cuál es el muelle de mayor constante elástica?

b) ¿Cuál de estas masas tendrá mayor periodo de oscilación?


a) LaleydeHookeindicaqueF k x = - ⋅ ,dondek eslapendiente

delagráficaenlacualserepresentaF frenteax .Puesto

quelapendientedelagráfica1esmayorqueladelagráfica2,

podemosconcluirquek 1>k 2.

b) Elperiododeoscilacióndeunmuellevienedado

porlaexpresión:

T

m

k = ⋅2π

Elperiododeoscilacióndeunmuelleesmayorcuantomayor

seasumasaycuantomenorseasuconstanteelástica.

Ambascircunstanciasindicanqueelperiododelsegundo

oscilador(m 2)esmayorqueeldelprimero.

1

1

2x

F

2



216


14. Diseña una experiencia de laboratorio que te permita comprobarque el periodo de un péndulo armónico no depende de la amplitudde la oscilación.

Material:


• Hilodenailon.

• Bolaconganchodepesoconocido.

• Metro(paramedirlongitudes).

• Cronómetro.

Procedimiento:

1. Atarunhilodeaproximadamente

1,5mdelongitudalextremo

deunabolapequeñademasa

conocida.

2. Colocarloluegoenelsoporte

demaneraquepuedaoscilar,

comoseindicaenlafigura.

3. Medirexactamente

lalongituddelhilodesdeelextremo

delsoportehastalabola.Debe

sersiempreexactamentelamisma

longitud.Separarlabolaenelplanoverticaldemanera

quesedesplaceunpocodesuposicióndeequilibrioydejarla

oscilar.

4. Cuandoosciledemanerauniforme(despuésdelas3o5

primerasoscilaciones),ponerelcronómetroenmarcha

ymedireltiempoquetardaendar20oscilaciones.Anotar

elresultado.

5. Repetirlospasos2y3,separandolaboladiferentesángulosq

(conelloseconsiguendistintasamplitudes).Deacuerdocon:

T L

g = ⋅2π

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenidodebesersiempreelmismo.

6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:

T =Tiempo

N.º de ciclos

Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar

20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre

equivalente.

Hilo

Bola

q



217

Solucionario

(MAS)

15. Diseña una experiencia de laboratorio que te permitacomprobar que el periodo de un péndulo armónicono depende de su masa.

Material:


• Hilodenailon.

• Variasbolascongancho

depesosconocidos.

• Metro(paramedirlongitudes).

• Cronómetro.

Procedimiento:

1. Atarunhilodeaproximadamente

1,5mdelongitudalextremo

deunabolapequeñademasa

conocida.

2. Colocarloluegoenelsoporte

demaneraquepuedaoscilar,comoseindicaenlafigura.

3. Medirexactamentelalongitud

delhilodesdeelextremodelsoporte

hastalabola.Debesersiempre

exactamentelamismalongitud.Separarlaenelplanovertical

demaneraquesedesplaceunpocodesuposicióndeequilibrio

ydejarlaoscilar.

4. Cuandoosciledemanerauniforme(despuésdelas3o5primerasoscilaciones),ponerelcronómetroenmarchaymedir

eltiempoquetardaendar20oscilaciones.

Anotarelresultado.

5. Cambiarlabolaporotrademasadiferenteyrepetirlospasos2y3.

Deacuerdocon:

T L

g = ⋅2π

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenidodebesersiempreelmismo.

6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:

T =Tiempo

N.º de ciclos

Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar

20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre

equivalente.

Hilo

Bola

q



218


E W g W

b

-

16. En una catedral hay una lámpara que cuelga desdeel techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo.Se observa que oscila levemente con una frecuenciade 0,1 Hz. ¿Cuál es la altura h de la nave?

Dato: g =9,8 m/s2.


Calculamoselperiodo:

T = = =1 1

0 1n , Hz

10 s

Necesitamosobtenerlalongituddelhilodelquependelalámpara.

Paraellopodemosutilizarlaexpresión:

T L

g L g

T L= ⋅ = ⋅ = ⋅ =2

49 8

10

4

2

2

2

2π

π π→ → , m/s

s24,82 m2

2

Silalámparaseencuentraa2mdelsuelo,laalturatotalserá:

h = L+ 2m= 26,82m

17. Sea un péndulo electrostático situado en un laboratorioen la superficie de la Tierra, formado por una pequeñaesfera atada al extremo de un hilo aislantemuy delgado de 20 cm de longitud,estando el otro extremo atadoa un punto fijo.La esfera tiene 1 g de masay es portadora de −2 nC

de carga eléctrica de signonegativo y se encuentrasometida a la acción del campogravitatorio terrestre y tambiéna un campo eléctrico uniformede módulo 3,3 ⋅ 106 N/C,dirección vertical y sentidohacia abajo. Calcular el periodode oscilación del péndulo

en esas condiciones.

Dadoquelacargadelaesferaesnegativa,tendremosunafuerza

electrostáticadesentidocontrarioalcampoeléctrico

descritoenelenunciado.

Estafuerzaelectrostáticaqueactúasobrelaesfera

tendrádirecciónverticalysentidohaciaarribay,

portanto,opuestoaldelafuerzagravitatoria

quetambiénactúasobrelamisma.

h

2m



219

Solucionario

(MAS)

mg

F ⋅ cos q

F ⋅ sen q

q

q

T W

E W

Fz

st

q

WF E

Elsistemadefuerzasresultanteserá:

F W=F WE+P W=-q ⋅E W+P W

Comoelsentidodelasfuerzas

esopuesto,elmódulode

laresultanteseráigual

aladiferenciadelosmódulos

decadaunadeellas(P >|F E |):

F P F

F

= - =

= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

- -

→

→

E

10 9 8 2 10 3 3 10

3 2 10

3 9 6, ,

, --3 N

ElpéndulotieneunMAS.

Enconsecuencia:

F m a m x

F m T

L

⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

sen

sen sen

q w

qπ

q

2

2

2

2

⋅ →

→( )

Nota:suponemosqueqesmuy

pequeñoyhacemosquelacuerda

coincidaconelarco(x .q,qenradianes).

DespejamosT :

T m L

F = ⋅

⋅= ⋅

⋅

⋅=

-

-2 2

10 0 2

3 2 10

3

3π π

kg m

N1,57 s

,

,

18. Se quiere medir g a partir del periodo de oscilación de un pénduloformado por una esfera de cierta masa suspendida de un hilo. La esferatiene una carga q positiva y el péndulo se encuentra en una regióncon un campo eléctrico dirigido hacia abajo; sin embargo,el experimentador no conoce estos hechos y no los tiene en cuenta.Responda, justificando su respuesta, si el valor de la gravedadque obtiene es mayor o menor que el real.


Elvalordelagravedadqueobtieneesmayorqueelreal.Alser

unacargapositivabajouncampoeléctricodirigidoverticalmente

haciaabajo,seveafectadaporunafuerzaelectrostáticaenlamisma

direcciónysentidoquelafuerzagravitatoria.

Estosignificaquelafuerzaelectrostáticasesumaalafuerza

gravitatoriaqueproduceelMASy,portanto,lafuerzaresultante

ejerceráunaaceleraciónresultantemayorquelaejercidaúnicamente

porlafuerzagravitatoria,yaqueF =m ·a .

W



220


19. Un oscilador armónico se encuentra en un instante determinadoen una posición que es igual a un tercio de su amplitud A. Determinapara dicho instante la relación existente entre la energía cinéticay la energía potencial (E C / E P).


Utilizamoslasexpresiones:

• E k x P =

1

2

2

• E E E k A k x k A x C M P= - = - = ⋅ -

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

Obtenemoslarelaciónentreambas:

E

E

k A x

k x

A x

x

A A

A

C

P

/3

/3=

⋅ -

=

-

=

-

1

2

1

2

2 2

2

2 2

2

2 2

( )( )

( ))

( )2

2

2

18=

-

=

A

A

1/ 9

1/ 9⋅

20. Una partícula describe un movimiento vibratorio armónico de amplitud A y pulsación ω. Si duplicamos a la vez la amplitud y el periododel movimiento, ¿cambiará la energía cinética de la partícula cuandopase por el punto central de la oscilación? ¿Cambiará su energíapotencial en ese punto? Justifique la respuesta.


Enesteproblema:

• E E E k A k x k A x C M P= - = - = ⋅ -

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

• E k x P =

1

2

2

Enelpuntocentraldelaoscilación,x = 0,porloquelaenergía

potencialserásiemprenula.

Enesepunto:

E k AC =1

2

2

Paraelosciladorarmónico:

k m m T

E m T

A

k

= ⋅ = ⋅ → = ⋅w

π π2

2

2

2

2

24 1

2

4C

⋅

Siseduplicanalavezlaamplitudyelperiodo:

E m T

A E C C' = ⋅ ⋅ =

1

2

4

22

2

2

2π

( )( )

Esdecir,laenergíacinéticanovaría.



221

Solucionario

(MAS)

21. Una partícula de masa m = 0,1 kg oscila armónicamente en la formax = A ⋅ sen ωt , con amplitud A = 0,2 m y frecuencia angularω = 2π rad/s.

a) Calcula la energía mecánica de la partícula.

b) Determina y representa gráficamente las energías potencial y cinéticade m en función de la elongación x .


a) Sepuedeobtenerlaenergíamecánicadelapartículaapartir

delaexpresión:

E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

Paraunosciladorarmónico:

k m

E k A

= ⋅ = ⋅ =

= = ⋅ ⋅

w π2 2

2

0 1 2 3 95

1

2

1

2

3 95 0

, ( ) ,

,

N

m

M

→

→ ,, ,2 7 9 102 2= ⋅ -

J

b) Enestecaso:

•

• E k x k A t

E

P

P

[sen

[se

= = ⋅ ⋅ +

= ⋅

1

2

1

2

0 079

2 20

2( )]

,

w f →

→ nn( )]22π ⋅ t

Energíapotencial: Energíacinética:

P [sen= ⋅ ⋅, ( )]π C = ⋅ ⋅, [cos( )]π

0,08

0,04

050 1 2 3 4

E P(J)

t (s)

0,04

00 1 2 3 4 5

0,08

E C(J)

t (s)

E m A t

k A t

C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

= ⋅ ⋅

1

2

1

2

2 20

2

2

w w f

w

[cos( )]

[cos( ++

= ⋅ ⋅

f

π

02

20 079 2

)]

, [cos( )]

→

→ E t C



222


22. Las líneas siguientes representan la posición frente al tiempopara dos móviles con MAS. Obsérvalas y responde:

x

x

t

-x

x'

-x'

0

A

B

a) ¿Cuál de los dos móviles tarda más en completar una oscilación?

b) ¿Cuál de los dos móviles tiene mayor energía mecánica?

c) Suponiendo que los dos móviles tienen la misma masa, ¿cuál de ellosse ve sometido a una mayor fuerza de recuperación?

a) Losdosmóvilestardanelmismotiempoencompletar

unaoscilación.ElperiododelMASsecalculaapartir

delaseparaciónentredosmáximossucesivosdelagráfica.

Estaseparaciónesidénticaenamboscasos.

b) Como:

E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

resultaquelaenergíamecánicaesdirectamenteproporcionalal

cuadradodelaamplituddelMAS.Dadoquelaamplitudesmayor

enelcasodelagráficaA,tambiénserámayorsuenergíamecánica.

Laenergíamecánicatambiéndependedek .Suponemosque

secumpleloqueseindicaenelapartadoc),dedondesededuce

quek tieneelmismovalorparaambosmóviles.

c) ParaunmóvilconMAS,lafuerzaderecuperaciónesF k x = - ⋅ .

Enestecaso:

k m T

= ⋅

22

π

Silasmasassoniguales,ambosmóvilestienenlamisma

constantedeelasticidad,yaque,comohemosrazonado,

tienenelmismoperiododeoscilación.

Enlagráficasemuestraque,enunmismoinstante,elvalor

dex delmóvilBesmenorqueeldelmóvilA,porloquelafuerza

recuperadoradelmóvilAesmayorqueladelBencadainstante.



223

Solucionario

(MAS)

23. Las líneas siguientes representan la posición frente al tiempopara dos móviles con MAS. Obsérvalas y responde:

A

B

x

x

t

-x

0

a) ¿Cuál de los dos móviles tarda más en completar una oscilación?

b) ¿Cuál de los dos móviles tiene mayor energía mecánica?

c) Suponiendo que los dos móviles tienen la misma masa, ¿cuál de ellos

se ve sometido a una mayor fuerza de recuperación?

a) ElmóvilAtardamásencompletarunaoscilación,yaque

laseparaciónentremáximosconsecutivosesmayorenestecaso

queenlagráficaB.Estosignificaquesuperiododeoscilación

esmayory,portanto,tardamásencompletarunaoscilación.

b) ParaunmóvilconMAS,laenergíamecánicaes:

E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( ) [1]

Laconstantek vale:

k m T

= ⋅

22

π [2]


E m T

AM = ⋅ ⋅1

2

22

2

2( )π

Suponiendoqueambosmóvilestienenlamismamasa(como

seindicaenelapartadoc),ydadoqueambostienenlamisma

amplitud(A),laenergíamecánicaresultaserinversamente

proporcionalalcuadradodelperiodo.LamasaAtieneunperiodo

deoscilaciónmayor,loqueindicaquetieneunaenergíamecánica

menorquelamasaB.

c) ParaunmóvilconMAS,lafuerzaderecuperaciónesF k x = - ⋅ :

k m T

= ⋅

22

π



224


Sisuponemosquelasmasassoniguales,laconstantedeelasticidad

seráinversamenteproporcionalalcuadradodelperiodode

oscilación.EstosignificaquelaconstanterecuperadoradelamasaA

esmenorqueladelamasaB,yaquetieneunperiodomayor.

Paraunmismox ,lafuerzarecuperadoradelamasaAesmenor

queladelamasaB.Observandolagráficavemosque,dependiendo

delinstanteconsiderado,lax delamasaBpuedesermayor,menor

oigualqueladelamasaA.Portanto,nosepuedepredecir,con

caráctergeneral,quémasatendrámayorfuerzaderecuperación.

24. Dos partículas tienen un MAS con la misma frecuencia y amplitudy se mueven en la misma trayectoria. Si se cruzan en el centrode la trayectoria, la diferencia de fase entre ellas será:

a) π /2 radianes. d) π /4 radianes.

b) π radianes. e) π /3 radianes.

c) 3π /2 radianes.

Larespuestacorrectaeslab),yaqueenunmovimientogobernado

porunafunciónsenoidalestoequivaleaundesfasede180°(invertirelsigno)y,portanto,secruzaránenlosmismospuntos

consentidodeavanceopuesto.

25. Una partícula de masa m , que solo puede moverse a lo largo del eje OX,se sitúa inicialmente (t = 0) en la posición x = x 0 y se libera con velocidadnula. Sobre ella actúa una fuerza, dirigida según el eje OX, F = −kx ,donde k es una constante positiva.

a) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula? Describe analítica

y gráficamente cómo dependen del tiempo su posición, x (t ), y suvelocidad, v (t ).

b) Para m = 0,1 kg, k = 30 N/m y x 0= 0,5 cm, calcula las energíascinética y potencial de la partícula cuando pasa por x = 0.


a) DescribiráunMAS,unmovimientooscilatorioaamboslados

delaposicióndeequilibrio(x = 0).Lafuerzarecuperadoraserá

laqueproduzcalaoscilación,oponiéndosealavance

delapartícula.Elmovimientoessiempreenladirección

delejeX,yaquetantoelmovimientodelapartículacomo

lafuerzarecuperadoraactúanenesteeje.

Lasecuacionesquedeterminanlaposiciónylavelocidad

deunmóvilconMASson:

• x A t = ⋅ ⋅ +cos( )w f0

• v dx

dt A t = = - ⋅ ⋅ ⋅ +w w fsen( )0



225

Solucionario

(MAS)

Elenunciadoespecificaqueparat = 0,v = 0.

Portanto:

0 0 0 00 0 0= - ⋅ ⋅ + = =w f f fA sen sen( ) → →

Elongación:

-A

A

Tiempo

Velocidad:

Tiempo

0

4

v máx.

-v máx.

-0,4

Ambasgráficassonfuncionessinusoidalesconelmismoperiodo.

Lasdosgráficasestándesfasadasπ /2.

b) Laenergíapotenciales:

E k x P = = ⋅ ⋅ =1

2

1

2

30 0 02

Parat = 0,x = 0,5cm:

0,5 cm cm= ⋅ ⋅ =A Acos( ) ,w 0 0 5

1

→

Portanto:

E k A x C J= ⋅ - = ⋅ ⋅ - = ⋅ -1

2

1

230 0 005 0 3 75 10

2 2 2 4( ) ( , ) ,



226


26. Estiramos un resorte 5 cm y lo dejamos oscilar libremente, resultandoque completa una oscilación cada 0,2 s.

Determina:

a) La ecuación que nos permite conocer su posición en función del tiempo.

b) La velocidad y la aceleración a la que estará sometido su extremo librea los 15 s de iniciado el movimiento. Interpreta el resultado.

a) Elmovimientoempiezaenelpuntodemáximaelongación:A = 0,05m.

Apartirdelperiodocalculamoslafrecuenciaangular:

wπ π

π= = =2 2

0 210

T , srad/s

Contodosestosdatospodemosexpresarlaposiciónenfunción

deltiempocomo:

x A t = ⋅ ⋅ +sen( )w f0

Parat = 0,x = A:

A A= ⋅ ⋅ + =sen( )w f fπ

0

2

0 0→

Portanto:

x t = ⋅ ⋅ +

0 05 102

, sen mππ

b) Lavelocidadseobtienederivandolaexpresióndelaelongación


v dx

dt

d A t

dt

A t = =⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅ ⋅ +[ ( )]

cos( )sen w f

w w f0

0 →

→v t = ⋅ ⋅ ⋅ +

10 0 05 102

π ππ

, cos m/s

Parat = 15s:

v t ( ) , cos= = ⋅ ⋅ +

=15 1 571 10 15

2s 0 m/sπ

π

Laaceleraciónsecalculaderivandolaexpresióndelavelocidad


a dv

dt

d A t

dt A t = =

⋅ ⋅ ⋅ += - ⋅ ⋅ ⋅ +

[ cos( )](

w w fw w f0 2 sen 00 ) →

→ a t = - ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ,10 0 05 102

2π ππ

sen m/s2

Parat = 15s:

a t ( ) ( ) ,= = - ⋅ ⋅ ⋅ +

15 10 0 05 10 15

2

2s senπ ππ= -49,35 m/s2



227

Solucionario

(MAS)

Elvalordelavelocidadescero,porloqueelcuerpoestará

enalgunodelosextremos(elongaciónmáxima).Elvalor

delaaceleracióncorrespondienteeselmáximo.Como

laaceleraciónesdevalornegativo,resultaqueelresorte

estarápróximoasucompresiónmáxima.

27. Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armónico simpleen el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo,siendo la amplitud del movimiento 5 cm.

Calcula:a) La velocidad máxima que llega a alcanzar la masa que oscila.

b) La aceleración de la masa en el extremo del movimiento vibratorioarmónico.

c) La constante del muelle.


a) Calculamoslafrecuenciaangularapartirdelafrecuencia

deoscilacióndeterminadaenelenunciado.

n w π n π

w π

= = = ⋅ = ⋅

=

2 ciclos

1 s2 Hz Hz

rad/s

→ →

→

2 2 2

4

Lavelocidadmáximaalaquesemuevelamasapuedeobtenerse

apartirde:

v Amáx. = ⋅ = ⋅ =w π4 0 05 0 63rad/s m m/s, ,

b) LaaceleraciónalaquesemueveelMASsecalculaasí:

a x A= - ⋅ = - = - ⋅ = -w w π2 2 2

4 0 05⋅ ( ) ( ,rad/s) m 7,9 m/s2 2

c) Obtenemoslaconstantedelmuelle:

k m = ⋅ = ⋅ =w π2 2

0 02 4 3 16, ( ) ,N

m

28. Un objeto realiza un MAS. ¿Cuáles de las siguientes magnitudesson proporcionales entre sí?:

a) La elongación y la velocidad.b) La fuerza recuperadora y la velocidad.

c) La aceleración y la elongación.


a) LaexpresióndelavelocidadenunMASes:

v A x = ⋅ -w 2 2

Portanto,v yx nosondirectamenteproporcionales.



228


b) LaexpresióndelafuerzarecuperadoradelMASes:

F m a m x = ⋅ = ⋅ - ⋅( )w2

Portanto,lafuerzarecuperadoraylavelocidad

nosonproporcionalesentresí.

c) LaexpresióndelaaceleracióndeunMASes:

a dv

dt

d A t

dt

A t

= =⋅ ⋅ ⋅ +

=

= - ⋅ ⋅ ⋅ +

[ cos( )]

(

w w f

w w

0

2 sen ff w02) = - ⋅ x

Portanto,laaceleraciónylaelongaciónsonmagnitudes

directamenteproporcionales.

29. Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorreuna distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento, y su aceleraciónmáxima es de 48 m/s2. Calcule:

a) La frecuencia y el periodo del movimiento.

b) La velocidad máxima de la partícula.


a) LaaceleraciónmáximadeunMASsepuedeobtenerapartirde:

a A= ⋅w2 .

Siencadaciclorecorre16cm,suelongaciónmáximaesA = 8cm.

ConestopodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMAS:

a Aa

A= ⋅ = = =w w2 48

0 0824 5→

m/s

mrad/s

,,

Como:

w πn nw

π π= = = =2

2

24 5

2→

, rad/s3,9 Hz

Elperiodoes:

T = = =1 1

3 9n , Hz0,26 s

b) Lavelocidadmáximadeunapartículaes:

v A= ⋅ = ⋅ =w 24 5 0 08, ,rad/s m 1,96 m/s

30. Una partícula oscila según un movimiento armónico simple de 8 cmde amplitud y 4 s de periodo. Calcula su velocidad y aceleraciónen los siguientes casos:

a) Cuando la partícula pase por el centro de oscilación.

b) Medio segundo después de que la partícula haya pasadopor uno de los extremos de la trayectoria.




229

Solucionario

(MAS)

PodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMASconeldato

delperiodo:

wπ π π

= = =2 2

4 2T srad/s

a) Cuandolapartículapasaporelcentrodeoscilación,laelongación

esnula(x = 0):

•v A x = ⋅ - = ⋅ - = ⋅ =wπ π2 2 2 2

20 08 0

20 08, , 0,126 m/s

• a x = - ⋅ = - ⋅ =w w2 2 0 0

b) Necesitamosconocerlasexpresionesdex ,v ya enfunción

deltiempo:

x A t = ⋅ +( )cos w f0

Obtengamoslafaseinicial.Suponiendoquecomienza

sumovimientoenlaposicióndeequilibrio:t = 0,x = 0:

0 0 0

2

0 0 0= ⋅ ⋅ +( ) = =A cos cosw f f fπ

→ → rad

Entonces:

x t = ⋅ ⋅ +

0 082 2

, cosπ π

m

Derivandolaposición:

v dx

dt

d A t

dt A t = =

⋅ += - ⋅ ⋅ + =

= -

[ cos( )]( )

w fw w f0

0sen

00 082 2 2

, ⋅ ⋅ ⋅ +

π π πsen m/st

Ylaaceleraciónes:

a x t = - ⋅ = -

⋅ ⋅ ⋅ +

w

π π π2

2

20 08

2 2, cos

m/s2

Teniendoencuentaelvalordelperiodo,lapartículatarda1s

enllegardesdelaposicióndeequilibrioaunextremo.Tenemos

quecalcularx ,v ya enelinstantet = 1,5s:

• x t ( , ) , cos ,= = ⋅ ⋅ +

= -1 5 0 08

21 5

2s 0,0

π π557 m

• v t ( , ) , ,= = - ⋅ ⋅ ⋅ +

=1 5 0 08

2 21 5

2s sen

π π π00 089, m/s

• a t x t ( , ) ( , ) ( ,= = - ⋅ = -

⋅ -1 5 1 5

20

2

2

s swπ

0057) = 0,141m/s2



230


31. Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armónicamente en tornoal origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleraciónde M en función del tiempo.

10

5

0

-5

-100 0,1 0,2 0,3 0,4

t (s)

a (m/s2)

a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilación de M .

b) Determina y representa gráficamente la energía cinética de M en función del tiempo.

(Aragón. Junio, 2007)a) Lafrecuenciadeoscilacióndelamasaserálamisma

quelafrecuenciadeoscilacióndesuaceleración.

Susperiodosyfrecuenciasangularestambiénsoncoincidentes:

T = 0,2s.Portanto:

w

π π

π w πn

n

w

π

π

= = = =

= =

2 2

0 210 2

2

10

T , srad/s

rad/s

→ →

→

22π=

5 Hz

Calculamoslaamplitudconeldatodelaaceleraciónmáxima

delMAS:

a A Amáx.2m/s= ⋅ = = ⋅w π

2 210 10 10→ ( ) →

→ A = = ⋅ =-

10

101 013 10 1

2

2

( ),

π

m ,013 cm

b) LaenergíacinéticainstantáneaenunMASsecorresponde

conlasiguienteexpresión:

E mv m A t C = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

2

1

2

2 2 2 2w w[cos( )]

Identificandolostérminosconlosdatosquetenemosseobtiene

laexpresión:

E t C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-

1

20 1 10 1 013 10 10

2 2 2, ( ) ( , ) [cos( )]π π22

3 25 06 10 10

→

→ E t C J= ⋅ ⋅ ⋅-, [cos( )]π



231

Solucionario

(MAS)

Representacióngráfica:

t (s)

E C(J)

0,006

0,004

0,002

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

32. a) En un movimiento armónico simple, ¿cuál es la relaciónentre la energía total y la amplitud?

b) Un oscilador armónico se encuentra en un momento dadoen una posición igual a la mitad de su amplitud (x = A /2).¿Cuál es la relación entre la energía cinética y potencialen ese momento?


a) EnunMASlaenergíamecánicatotalencadapuntosepuede

obtenerapartirde:

E E E k A x k x k AM C P= + = ⋅ - + =1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

Portanto,laenergíamecánicatotalesfuncióndelcuadrado

delaamplitud.

b) LasenergíascinéticaypotencialenunMASsepuedencalcular

apartirde:

• E k x P =1

2

2

• E mv m A x k A x C = = ⋅ ⋅ - = ⋅ -1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2 2w ( ) ( )

Calculamoslarelaciónentreambas:

E

E

k A x

k x

A x

x

E

E

AA

C

P

C

P

=

⋅ -

= -

=

-

1

2

1

2

2

2 2

2

2 2

2

2

( )

→

→

=

⋅ -

2

2

2

2

11

4

A

A

⋅

=

A2 1

4

3



232


33. Supón un móvil que describe un MAS con una amplitud igual a 10 cmy con una frecuencia de 0,2 Hz. ¿En qué punto de su trayectorialas energías cinética y potencial coinciden?

Veamoslasexpresionesdelaenergíacinéticaypotencialenfunción

delaposicióndelMAS:

• E k x P =

1

2

2

• E mv m A x k A x C = = ⋅ ⋅ - = ⋅ -

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2 2w ( ) ( )

Queremosdeterminarenquépuntoseigualan:

E E k x k A x x A x x AP C= = ⋅ - = - =→ → → →1

2

1

22

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )

→ x A

= = = ⋅ =-

2

0 1

2

7 07 102,

,m

m 7,07 cm

34. De dos resortes con la misma constante elástica k se cuelgan sendoscuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitudque el otro. ¿El cuerpo vibrará con la misma frecuencia? Razonesu respuesta.


Tenemos:

k m m k

m = ⋅ = ⋅ =

⋅

w πn n

π

2 2

22

4( ) →

Sededucequelafrecuenciadependedelaconstanteelástica

ylamasa,peronodelalongituddelmuelle.Comolaconstantek

ylamasadeloscuerposeslamisma,lavibracióntendrálamisma

frecuenciaaunquevaríelalongituddelresorte.

35. A un muelle de constante elástica k le colocamos una masa m 0. Al estirarloun valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsación ω0,teniendo una energía cinética máxima E 0 y una velocidad máxima v 0.

Si al mismo muelle en lugar de m 0 le colocamos una masa 4m 0 y lo estiramos el mismo valor A, en función de ω0, E 0 y v 0, determinar:

a) La nueva frecuencia angular.

b) La nueva energía cinética máxima.

c) La nueva velocidad máxima.


Laexpresiónquepermitedeterminarelvalordelaconstanteelásticak

enfuncióndelosparámetrosdadosenelenunciadoes:k =m ·w2.



233

Solucionario

(MAS)

Lavelocidadmáximaesv = w·A,ylaenergíacinéticadeunMASse

obtienecomoE mv C =1

2

2 ,porloquelaenergíacinéticamáximaserá:

E mv m AC = = ⋅ ⋅1

2

1

2

2 2( )w

a) Definimoslafrecuenciaangularenfuncióndelaconstantek :

w w= =k

m

k

m → 0

0

Llamamosw'alanuevafrecuenciaangular:

w w''

= = = ⋅ = ⋅k

m

k

m

k

m 4

1

2

1

20 0

0

b) LlamamosE 'Calanuevaenergíacinética:

E m A m AC' ' '= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

2

1

24

1

2

20 0

2

( )w w == ⋅ ⋅ =1

20 0

20m A E ( )w C

Así,laenergíacinéticamáximanohavariado.

c) Llamamosv 'alanuevavelocidadmáxima,queserá:

v A A v ' '= ⋅ = ⋅ =w w1

2

1

20 0

36. Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resortede constante elástica k = 72 N ⋅ m−1. Al desplazar el bloqueverticalmente hacia abajo de su posición de equilibrio comienza a oscilar,pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m ⋅ s−1.

a) Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso.b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación.

(Andalucía, 2006)

a) Observamosloscambiosenergéticosproducidosenlaoscilacióndeun

MASproducidaporunresorte,talycomoseplanteaenelenunciado:

0Máxima

compresión Equilibrio

Máximo

estiramiento

T

4 T 2

-A

A

T

4

E C=0

E P=1

2k ⋅A2

E C=1

2k ⋅A2

E P=0

E C=0

E P=1

2k ⋅A2

3



234


Asípues,laenergíamecánicatotalesconstante,deacuerdo

conelteoremadeconservacióndelaenergíamecánica.

E C(x )+E P(x )

E P(x )

E C(x )

+A-A 0x

E

Enelpuntodeequilibriodelosciladorlaenergíapotencial

seránula,ylaenergíacinéticaserámáximaeigualalaenergía

mecánicatotal.Enlosextremosdelaoscilaciónlaenergía

cinéticaseránulaylaenergíapotencialseráigualalaenergíamecánicatotal.

b) Comosepuedeobservarenelgráficodelapartadoanterior,

alpasarporelpuntodeequilibriosetienelavelocidad

máximadelMAS,v = w·A.Porotraparte,conocemos

elvalordelaconstantedeelasticidaddelresorte,queenfunción

delafrecuenciaangularpuedeexpresarsecomok =m ·w2.

Apartirdeesteúltimodatoobtendremoselvalordelafrecuencia

angular:

w = = =k

m

72

0 5

N/m

kg12 rad/s

,

Portanto:

Av

= = =

w

6

12

m/s

rad/s0,5m

37. Un muelle se deforma 12 cm cuando se cuelga de él una partícula

de 2 kg de masa.a) Determina la constante elástica k del muelle.

b) A continuación se separa otros 10 cm de la posición de equilibrioy se deja oscilar en libertad. ¿Cuáles son la frecuenciaangular y el periodo de oscilación en estas condiciones?

c) Escribe la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo.

( g = 9,81 m/s2.)




235

Solucionario

(MAS)

a) Apartirdelpeso:

P m g F k x

k m g

x

= - ⋅ = = - ⋅

=

⋅

=

⋅

=

→

→2 9 8

0 12163

kg m/s

m

2,

,,333

N

m

b) Calculamoslafrecuencia:

k m k

m = ⋅ = = =w w

2 163 33

2→

, N/m

kg9,04 rad/s

Yelperiodo:

T m

k = ⋅ = ⋅ =2 2

2

163 33π π

kg

N/m0,695 s

,

Tantolafrecuenciaangularcomoelperiododelaoscilación

sonindependientesdelaamplituddelMAS.

c) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposición

deelongaciónmáxima.UtilizamoslaecuacióncosenoidaldelMAS,

yaquelafuncióncosenoesmáximaent = 0.

x A t t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅cos( ) , cos( , )w 0 1 9 04 m

38. Un cuerpo de 200 g de masa está en reposo y colgado de un muellecuya constante elástica es de 5 N/m. Se tira de dicho cuerpo conuna fuerza de 0,3 N y se le abandona libremente. Suponiendo ausenciade rozamiento:

a) Calcular la amplitud y la pulsación del movimiento vibratorio.

Proporcionar la expresión matemática de la ecuación del movimiento

vibratorio armónico simple (suponer que en t = 0 la constante de fasees 3π /2).

b) Determinar los valores máximos de la velocidad y de la aceleraciónde dicho movimiento vibratorio.


a)Laexpresióndelafuerzaenfuncióndelaelongaciónes:

F = −kx .Cuandosetiradelcuerpoparaluegoliberarlo,selelleva

asuelongaciónmáxima.Conociendolaconstantedelresorte

ylafuerzaquesehaaplicado(lafuerzaderecuperaciónseráequivalente,perodesentidocontrario),sepuedeobtenerla

amplitudresultante:

F k A AF

k = ⋅ = = = =→

0 3

50

, N

N/m,06 m 6 cm

Teniendoencuentaque:

k m k

m = ⋅ = = =w w

2 5

0 2→

N/m

kg5 rad/s

,



236


Conlosresultadosobtenidos:

x t = ⋅ +

0 06 53

2, sen m

π

b) Secalculanlosvaloressolicitados:

• v Amáx. rad/s m 0,3 m/s= ⋅ = ⋅ =w 5 0 06,

• a Amáx.2rad/s m 1,5 m/s= ⋅ = ⋅ =w2

25 0 06,

39. De un resorte de 40 cm de longitud se cuelga un peso de 50 g de masa

y, alcanzado el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se estiracon la mano el conjunto masa-resorte 6 cm y se suelta.

Obtener:

a) La constante del resorte.

b) La ecuación del MAS que describe el movimiento.

c) Deduce la ecuación de la energía potencial elástica.

( g = 9,8 m/s2.)

(Galicia. Septiembre, 2007)a) Comoalcolgarlamasaelconjuntosehaestirado

de40a45cm,resultaquelamasahaproducido

unaelongaciónde5cm.Conocidaesta,obtendremos

laconstantek apartirdelpeso:

P m g F k x

k m g

x

= - ⋅ = = - ⋅

=⋅

=⋅

=

→

→0 05 9 8

0 059

, ,

,

kg N/kg

m,,8 N/m

b) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposición

demáximaelongación.Describiremoselmovimientomediante

unafuncióncosenoidal,yaquelafuncióncosenoesmáxima

ent = 0:

x A t = ⋅ ⋅cos( )w

Deacuerdoconelenunciado,laelongaciónmáximaserá

A= 6cm.Calculamoslafrecuenciaangular:

k m

k

m = ⋅ = = =w w2

9 8

0 05→

,

,

N/m

kg 14 rad/s

Portanto:

x t = ⋅ ⋅0 06 14, ( )cos m

c) Laenergíapotenciales:

E k x k A t P = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅1

2

1

2

1

29 8 0 06

2 2 2 2[cos( )] , , [cw oos( )]

, [cos( )]

14

1 76 10 14

2

2 2

⋅

= ⋅ ⋅ ⋅-

t

E t

→

→ P J



237

Solucionario

(MAS)

40. Para el resorte del ejercicio anterior, determina el valor de la velocidady la aceleración cuando se encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio.Haz un estudio del signo que tendrán estas magnitudes.

Suponemosx >0pordebajodelaposicióndeequilibrio(inicio:muelle

estirado).A2cmdelaposicióndeequilibrio(pordebajo),x >0.

Velocidad:

v A x = ⋅ - = ⋅ - =w 2 2 2 214 0 06 0 02 0 79rad/s m m m/s2 2, , ,

Aceleración:

a x = - ⋅ = - ⋅ = -w2 214 0 02 3 92( , ,rad/s) m m/s2

Máxima

compresión

E C=1

2k ⋅A2

E P=0

Elsignodelavelocidadserápositivomientraselmuelle

seestéestirando,ynegativomientrasseestécomprimiendo.

Elsignodelaaceleraciónseráelcontrario:negativocuando

seestáestirandoypositivocuandoseestácomprimiendo.

41. Para medir el tiempo construimos un reloj de péndulo formadopor una bola metálica unida a una cuerda. Lo hacemos oscilar de maneraque en los extremos toque unas láminas metálicas.

a) ¿Cuál debe ser la longitud de la cuerda si queremos que de un toqueal siguiente haya un intervalo de tiempo de 1 s?

b) Con el tiempo, es muy probable que la cuerda se estire. ¿Significaesto que nuestro reloj va más rápido o más lento?

Dato: suponemos que el péndulo es ideal y que estamos en un lugaren que g = 9,8 m ⋅ s−2.

Siqueremosquedéuntoquecadasegundoylasláminassecolocan

aamboslados,elperiodototaldeoscilacióndelpénduloseráT = 2s.

Enellibrodelalumnosehadeducidoqueparaunpéndulo:

g

LL

g g

T

= = =

=

ww π π

2

2 2

2

9 8

2

2

→, m/s

s

2

= =2 2

9 80

,

πm ,993 m

Máximo

estiramiento(inicio)

E C=0

E P=1

2k ⋅A2

E C=0

E P=1

2k ⋅A2

A2cmdela

posición

deequilibrio

(x >0)

-A

0

A

Equilibrio



238


Larelaciónentrelalongituddelhiloyelperiododeoscilación

delpéndulovienedadaporlaexpresión:

T L

g = ⋅2π

SiLaumenta,aumentarátambiénT y,conesto,serámayor

laseparaciónentretoquessucesivos.Estosignificaquelavelocidad

disminuyeyelrelojvamáslento.

42. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie sin rozamientoa una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resortey queda unido a él vibrando como un oscilador armónico. Si el muelletiene una constante k = 750 N/m, determina:

a) La máxima compresión que puede alcanzar el muelle.

b) La velocidad del oscilador cuando se encuentre a la mitadde la compresión máxima.

a) Laenergíacinéticadelcuerpoquesedeslizasetransformaenenergía

potencialelásticadelresorte.Laenergíacinéticainicialcoincideconlaenergíapotencialdelresorteenestadodecompresiónmáxima.

O

1

2

k

Deacuerdoconelprincipiodeconservacióndelaenergía:

E E E E E E E E M M C P C P C P1 2 1 1 2 2 1 2= + = + =→ →

Calculamoslaenergíacinéticaqueteníaelcuerpo

ensumovimiento:

E mv C = = =1

2

1

25 3 22 5

2 2⋅ ⋅kg (m/s) J

2 ,

Estaenergíacoincideconlaenergíapotencialmáximadelresorte:

E k A AE

k P máx.

P máx. J

N/m0,2= ⋅ =

⋅=

⋅=

1

2

2 2 22 5

750

2→

,445 m

Lamáximacompresiónquepuedealcanzarelmuelle

esA= 0,245m.



239

Solucionario

(MAS)

b) Lavelocidadsepuedeexpresarasí:v A x = ⋅ -w 2 2 .Apartirdek:

k m k

m = ⋅ = = =w w2 750

512 25→

N/m

kgrad/s,

Entonces:

v A x = ⋅ - =

= ⋅ ( ) -

w 2 2

2

12 25 0 2450 245

2, ,

,rad/s m

m

=

2

2,6 m/s

43. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie cuyo coeficientede rozamiento es 0,2 a una velocidad de 3 m/s. En un momento dadoimpacta con un resorte y queda unido a él vibrando como un osciladorarmónico. Si el muelle tiene una constante k = 750 N/m, determina:

a) La máxima compresión que puede alcanzar el muelle.

b) La distancia que recorre el oscilador hasta pararse.

a) Enestecaso,laenergíacinéticadelcuerpoquesedesliza

seinvierteenenergíapotencialelásticayenvencereltrabajo

derozamientomientrassealcanzalacompresiónmáxima.

O

1

2

k

Elbalanceeselsiguiente:

E E F AC P elástica R= + ⋅ →1

2

1

2

2 2m v k A mg A⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅µ →

→1

25 3

1

2750 0 2 5 9 8

2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅A A, , →

→ 22 5 375 9 82, ,= ⋅ + ⋅ =A A A→ 0,232 m

Comovemos,debidoalrozamientolaamplitudesmenor

queenlaactividadanterior.

b) Elresorteestaráoscilandohastaquetodalaenergíacinética

inicialsehayatransformadoentrabajoderozamiento.

Calculamoselespacioqueharecorridoelcuerpo:

1

2

1

25 3 0 2 5 9 8

2 2m v mg s s s ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =µ → →, , 2,3 m



240


44. La gráfica representa la fuerzaque debe hacerse para estirarun muelle en función de sualargamiento. ¿Cuánto valela constante recuperadoradel muelle? ¿Cuánto trabajohay que hacer para estirar el muelle30 cm a partir de su longitudnatural?


200

00 40

F (N)

L(cm)

DadoqueF = kx ,siidentificamosx = Lenlagráfica,resulta

quelaconstanterecuperadoraserálapendientedelamisma:

k = =

200

0 4500

N

mN/m

,

Podemoscalculareltrabajocomoladiferenciadeenergíapotencial

entreambospuntos.Ensulongitudnatural,laenergíapotencial

esnula.A30cmdelaposicióndeequilibrio:

E k x W P N/m m 22,5 J= = ⋅ ⋅ ( ) = =

1

2

1

2500 0 3

22

,

45. Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M ), las cualessuspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeñasoscilaciones, midiendo en cada caso el periodo de oscilación (T ).El estudiante representa los resultados experimentales según se muestraen la figura.

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00 25 50 75 100 125 150 175 200

T 2

(s2

)

M (g)

Se pide:

a) Determinar la constante elástica del muelle.

b) Justificar físicamente el comportamiento observado.




241

Solucionario

(MAS)

a) Necesitamosdeterminarlapendientedelarectaresultante

delasobservaciones.

Paraello,tomamosdospuntosdelamisma,expresando

lascantidadesenunidadesdelSI:

• A(0,05,0,13).

• B(0,2,0,42).

Lapendienteserá:

a

y

x = =

-

-=

∆

∆

0 42 0 13

0 2 0 051 933

, ,

, , ,

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00 25 50 75 100 125 150 175 200

T 2(s2)

M (g)

Tenemosencuentaque:

T M

k = ⋅2π

y = ax + b

T 2=4π2

k ⋅M + 0

Queda:

1 9334 4

1 93320 42

2 2

,,

,= = =π π

k k → N/m

b) Cuandoseestiraelmuelleapareceunafuerzarecuperadora

queleobligaarealizarunmovimientoarmónicosimple.

Comosehadeducidoenellibrodelalumno,elcuadrado

delperiododeoscilaciónesdirectamenteproporcional

alamasadelresorte.



242


46. Un astronauta realiza un viaje espacial a un planeta del Sistema Solar.Durante su aproximación determina, con sus aparatos de telemetría,el radio de dicho planeta, que resulta ser R = 3,37 ⋅ 106 m. Una vezen la superficie del planeta utiliza un péndulo simple, formadopor una pequeña esfera de plomo y un hilo de 25 cm de longitud,y realiza el análisis de sus oscilaciones, variando la amplitud angularde la oscilación (θ) y midiendo, en cada caso, el tiempo (t ) correspondientea 5 oscilaciones completas del péndulo. El astronauta representalos valores experimentales según la gráfica:

q(°)

10,0

9,5

9,0

8,5

8,0

7,5

7,00 10 20 30 40 50 60 70 80 90

t (s)

a) Comentar físicamente los resultados mostrados en la figura.

b) Determinar la masa del planeta.

Dato: G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅ m2 /kg2.

(P. Asturias. Septiembre, 2006)a) Elperiododelpénduloserelacionaconsulongitudyelvalordeg

enelpuntodondeoscila:

T L

g = ⋅2π

Deacuerdoconladeducciónqueserecogeenellibrodelalumno,

elperiodoesindependientedelaamplitudangularsiempre

queestanoexcedade15º,yaque,paravaloresmásaltos,

nosecumplelasimplificaciónq.senq.

Enlagráficaseobservaqueeltiempoquetardaelpéndulo

endarcincooscilaciones(y,portanto,superiodo)aumenta

amedidaqueaumentalaamplitudangular.Paraamplitudes

mayoresde15ºelmovimientodelpéndulodejadeserarmónico.

b) Enlagráficaleemosqueelperiododelpénduloes:

T = =Tiempo

N.º de oscilaciones

8,4 s

5 oscilaciones== 1,68 s



243

Solucionario

(MAS)

Conestedatocalculamosg enlasuperficiedelplaneta:

g T

L= = ⋅ =4 4

1 680 25 3 5

2

2

2

2

π π⋅

( ,, ,

s)m m/s2

Comoseestudióeneltema2,elvalordeg enlasuperficie

delplanetaes:

g G M

R M

g R

G = ⋅ =

⋅=

⋅ ⋅

⋅=

-2

2 6 2

11

3 5 3 37 10

6 67 106→

, ( , )

,,,55 10

20⋅ kg

47. Se construye un péndulo colgando un cuerpo de 1 kg de una cuerdade 1 m. Se le hace oscilar de manera que el cuerpo llega a subir hastauna altura de medio metro en la posición más elevada. Calculala velocidad en el punto más bajo de las dos formas siguientes:

a) Utilizando el principio de conservación de la energía.

b) Considerando que describe un MAS.

c) Explica las diferencias que se obtienen entre ambos resultados.

a) Segúnelprincipiodeconservacióndelaenergía:

E E E E E E E E M A MB C A P A C B P B C A P B= + = + =→ →

TomandocomocerodeenergíapotenciallaquetienelabolaenA:

1

2

2 2 9 8 0 5

2mv mgh

v g h

A

A 3,13 m/s

=

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

→

→ , ,

b) SidescribeunMAS,enelpuntomásbajo

delatrayectoriatendráunavelocidad:

v AT

Amáx. = ⋅ = ⋅w π2

Elperiododelpénduloes:

T L

g = ⋅ = ⋅ =2 2

1

9 8π π

m

m/s2 s

2,

CalculamosApormedio

delarelacióntrigonométrica:

A = - =( ( ,1 0 5

2 2

m) m) 0,87

mEntonces:

v T

Amáx.

sm 2,73 m/s= ⋅ = ⋅ =

2 2

20 87

π π,

c) Elmovimientodeestepéndulonocorresponderealmente

aunMAS,yaquelaamplitudangularexcedeconmucholos15º

enlosqueseadmitelaequivalenciaq.senq.

cosq = 0,5/1→q = arccos0,5= 60°

L=1m

1m

A

0,5cm

0,5cm



244

NOTAS



El movimientoondulatorio.El sonido

7

• Estudiamosenestetemaelmovimientoondulatoriocomo

lapropagaciónenunmediodeunmovimientovibratorioarmónico

simple.Eslaprimeravezquesehaceunestudiosimilarenlaetapa

preuniversitaria,yhabráquehaceresfuerzosparaqueelalumnado

comprendaciertosfenómenosdesdeelpuntodevistacientífico,

almargendealgunaspreconcepcionesquederivandesuexperiencia

odeinformacionespresentadasporlosmediosdeinformación.

• Ademásdeestudiarlosfenómenosondulatoriosconcaráctergeneral,

ejemplificaremosalgunasdesusparticularidades

enelestudiodelsonido.Elalumnadoconconocimientosmusicales

encontraráenestetemaexplicaciónaalgunosfenómenos

yconceptosquemanejaenotroscampos.

PRESENTACIÓN

• Identificarelmovimientoondulatoriocomolapropagaciónenelespacio

deunmovimientovibratorioarmónico.Reconocerdistintostiposdeondas.

• Comprenderelfenómenodeltransportedeenergíasinqueseproduzca

transportedemateria.

• Comprenderelmovimientoondulatoriocomounmovimientodoblemente

periódico,conrespectoaltiempoyalespacio.• Distinguirentreaspectosrelacionadosconlapropagacióndelmovimiento

ondulatorio(porejemplo,suvelocidad)yelmovimientodelaspartículas

delmedioquesevenafectadasporlaperturbación.

• Conocerlasmagnitudesfísicasquecaracterizanunaonda.

• Interpretarlaecuaciónmatemáticacorrespondienteaunmovimiento

ondulatorioyreconocerenellalasmagnitudesfísicasquecaracterizan

laonda.

• Conocerlosefectosrelacionadosconlapropagacióndelaenergía

queacompañaaunaonda.Comprenderlavariacióndelaamplitudolaintensidaddelaondaconrelaciónasudistanciaalfoco

delaperturbación.

• ComprenderelprincipiodeHuygensyutilizarloparaexplicarlas

propiedadesdelmovimientoondulatorio,especialmenteaquellasqueno

sepuedenexplicardeotromodo,comolasinterferenciasoladifracción.

• Reconocerelsonidocomounaperturbaciónondulatoriayrelacionar

algunosfenómenosconocidosconlaspropiedadesdelmovimiento

ondulatorio.

• Reflexionaracercadelacontaminaciónacústica,causasymodosdeevitarla.

OBJETIVOS

245



246

7El movimiento ondulatorio.

• Aspectosfísicosdelmovimientoondulatorio.

Distintostiposdeondas.

• Estudiomatemáticodelmovimientoondulatorio.Ecuación

delaondaysurelaciónconlascaracterísticasdelamisma:

periodo,frecuencia,longituddeonda,velocidaddepropagación

ydesfase.

• Característicasdelmovimientodelospuntosdelmedio

quesonalcanzadosporunaondaarmónica:velocidadyaceleración

enfuncióndeltiempoydelaposición.

• Lapropagacióndeenergíaporlasondasarmónicas.Concepto

depotenciaeintensidadyrelacióndeestasmagnitudes

(juntoconlaamplituddelaonda)conladistanciaalfoco,

paradistintostiposdeondas.

• Teoríaacercadelapropagacióndelasondas.

PrincipiodeHuygens.

• Propiedadesdelasondas:reflexión,refracción,interferencias,

difracciónypolarización.Estudioespecialdelasinterferencias

queproducenondasestacionarias.

• Elsonido,unejemplodemovimientoondulatorio.

• Particularizaciónparaelsonidodelaspropiedadesdelasondas.

Aplicaciónacasosdeinstalacionessonoraseinstrumentos

musicales.

• Cualidadesdelsonido.

• Aplicacionesdelsonido.

• Contaminaciónsonora.

Conceptos

• Adquirirsolturaenelestudiomatemáticodeunmovimientoapartir

delasobservacionesquedeélsepuedenrealizar.

• Habituarseaobservarunmismofenómenodesdedosperspectivas

diferentes:temporalyespacial.

• Adquirirdestrezaenlainterpretacióndegráficasyobtenerdatos

representativosapartirdelasmismas.


• Asumirquelasumadedosfenómenosnosiempreproduce

unfenómenodemayormagnitud(comprenderlasinterferencias

constructivasydestructivas).

• Comprenderlaimportanciadelosmodelosmatemáticos

paraelconocimientodeciertosfenómenos.

• Reconocerelpapeldelafísicaenlacomprensióndefenómenos

aparentementedistantes,comolamúsica.

Actitudes

CONTENIDOS



El sonido

247



1. Partiendodelaecuacióndeunaonda,obtenersuscaracterísticas,comoperiodo,frecuencia,longituddeondaovelocidaddepropagación.

2. Conociendolosparámetroscaracterísticosdeunmovimientoondulatorio,deducir

laecuacióndelaonda.

3. Relacionarlaecuacióndeunaondaconlagráficaquelarepresenta,yviceversa.

4. Estudiarlaamplitudolaintensidaddeunaondaaunadeterminadadistancia

delfoco,paradistintostiposdeonda.

5. Identificarlaondaqueresultadelainterferenciadedosondascoherentes

aunaciertadistanciadelosfocos.Reconocercuándoseproduceunainterferencia

constructivaycuándounadestructiva.

6. Reconocerunaondaestacionariayrelacionarlaconlasondasquelaoriginan.

7. Conocerelfenómenodedifraccióneidentificarunasituaciónenlaquesepuedeproducir.

8. Estudiarunaondasonoradesdeelpuntodevistadecualquieradelosaspectos

relacionadosanteriormente.

9. Identificarlascaracterísticasdelsonido.Conocerlasunidadesdelniveldeintensidad

sonora(decibelio,dB).

10. Analizarunasituacióndondeseproduzcacontaminaciónsonorayproponer

algúnmétodoparareducirla.


Losconceptosquesemanejanenestetematienenampliarepercusiónenaspectos

noacadémicos,loquepuedeseraprovechableparaunaeducaciónenvalores.


Elsonidoesuntipodeondaqueseaprovechaparaconstruiraparatos

dereconocimientoydiagnóstico.Ademásdelosconsabidosradares,interesa

queelalumnadoconozcalaecografíacomotécnicadediagnósticoclínicoconuna

incidenciaparaelorganismomuchomenorquelasradiacioneselectromagnéticas

queseempleanenlasradiografíasconvencionales.Esteconocimientolepuede

ayudaraenfrentarsesintemoraestudiosquerequieranestaprueba.Lacostumbrerecientedeescucharmúsicauotrossonidospormediodecascos

puedeprovocarconsecuenciasnocivasparalasaludauditivadelaspersonas.

Esimportantehacerveralosalumnoslanecesidaddecontrolarellosmismoseluso

deestosaparatos,adaptandoelvolumenanivelesquenolesresultendañinos.


Losruidossuelensercausadeconflictosocial.Esimportantequeelalumnado

conozcalosmodosenquesemideelnivelderuidoysuincidenciaenlasalud.

Todoellolespuedellevarasermásrespetuososconsusconciudadanos.

3. Educación para el consumidorLasespecificacionesdemuchosaparatosquecompranlosjóvenesincluyen

magnitudescuyosignificadoseestudiaenestetema.Puedeserinteresantehacer

unarecopilacióndelasqueaparecenenunaseriedeartículosdeusofrecuente

yestudiarsusignificado.



248


1. La ecuación de una onda es: y (x , t ) = 20 ⋅ sen [2 ⋅ π ⋅ (8 ⋅ t − 0,01 ⋅ x )]

medidas x e y en centímetros y t , en segundos. Determinar la amplitud,la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación.

(Extremadura. Septiembre, 2006)

Comparamoslaecuacióndeestaondaconlaecuacióngeneral

quemuestralaelongacióndeunpuntoenfuncióndeltiempo

ysuposiciónmedidadesdesufoco:

y At

T

x = ⋅ ⋅ ±

sen 2πλ

•Amplitud:A=20cm.

Cuidado:noconfundir

ν(frecuencia)

conv (velocidad).

•Frecuencia:ν =1

T .Comparandoconlaecuacióndelaonda:

8 8t t = =ν ν⋅ → Hz

• Longituddeonda.Comparandoconlaecuacióndelaonda:

0 01, ⋅ = = =x x

λλ→ 100 cm 1 m

• Velocidaddepropagación:

v T

= = ⋅ = ⋅ =λ

λ ν 1 8m Hz 8 m/s

2. Discuta razonadamente cómo variarán, en un movimientoondulatorio, las siguientes magnitudes cuando aumentamosla frecuencia de la onda:

a) Periodo. c) Velocidad de propagación.

b) Amplitud. d) Longitud de onda.


Paraanalizarsudependenciaconlafrecuenciadebemosexpresar

cadaunadelasmagnitudesenfuncióndelamisma.

a) f T

T f

= =1 1→ .Soninversamenteproporcionales.Portanto,

alaumentarlafrecuenciadelaondadisminuiráelperiodo.

b) Laamplitudylafrecuenciasonindependientes.

c) v T

f p = = ⋅λ

λ .Sondirectamenteproporcionales.Portanto,

alaumentarlafrecuenciadelaondaaumentatambiénlavelocidad

depropagación.



249

Solucionario

El sonido

d)v T f

v

f p

p

= = ⋅ =λ

λ λ→ .Soninversamenteproporcionales.

Paraunaondaquesepropagueaunadeterminadavelocidad,

cuantomayorsealafrecuencia,menorserálalongituddeonda.

(Nota:enalgunostextosserepresentalafrecuenciaconlaletraf ,

aunquetambiéneshabitualrepresentarlaconlaletraν.Convieneque

losalumnossehabitúenaambasnotaciones.)

3. Sea una onda armónica transversal propagándose a lo largo de una cuerda,

descrita (en el SI) mediante la expresión: y (x , t ) = sen (62,8x + 314t )

a) ¿En qué dirección (sentido) viaja la onda y cuál es su velocidad?

b) Calcular su longitud de onda, su frecuencia y el desplazamientomáximo de cualquier elemento de la cuerda.


a) Dadoqueelsignoqueseutilizaeselpositivo,resultaquelaonda

viajaenelsentidonegativodelasx .Lavelocidades:

v T

p = = ⋅λ

λ ν

Engeneral:

y At

T

x = ⋅ ⋅ ±

sen 2πλ

Identificamostérminosenlaexpresióndelaonda:

• 2 3142

314π

πν⋅ = ⋅ = = = =

t

T t T

T → →0,02 s

150 Hz

• 2 62 82

62 8π

λλ

π⋅ = ⋅ = =

x x ,

,→ 0,1 m

Portanto:v p m Hz 5 m/s= ⋅ = ⋅ =λ ν 50 0 1,

b) Enfuncióndeloobtenidoenelapartadoanterior:ν=50Hz,

λ=0,1m.Y,además,A=1m(elongaciónmáximadelaonda).

4. En una cuerda se propaga una onda cuya ecuación viene dadapor y (x , t ) = 3 ⋅ sen (6t − 2x ), donde x viene en metros, y t , en segundos.Calcula:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La aceleración a los 5 s de un punto de la cuerda situado a 1 m del origen.

c) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separadosuna distancia de 2 m.




250


a) Lavelocidaddepropagacióndelaondaes:v p= λ / T .

Deduciremoslosparámetroscomparandolaexpresión

delenunciadoconlaecuacióndeunaonda:

y At

T

x = ⋅ ⋅ ±

sen 2πλ

Comparando:

• 2 62

6 3π

π π⋅ = = =

t

T t T → s

• 2 2 2

2πλ

λ π π⋅ = = =x x → m

Portanto:

v T

p 3 m/s= = =λ π

π / 3

b) Sepuedeobtenerlaaceleraciónconlaquevibranlospuntosdel

medioderivandolaexpresióndelavelocidadconrespectoaltiempo:

v

dy

dt

d A t k x

dt

A t k x

x

sen

cos

= =

⋅ + +

=

= ⋅ ⋅ +

[ ( )]

(

ω φ

ω ω

0

++ φ0) →

→ a dv

dt

d A t k x

dt

A

xx

sen

= =⋅ ⋅ ± +

=

= - ⋅ ⋅

[ cos ( )]ω ω φ

ω

0

2 (( )ω φ ωt k x y ± + = - ⋅02

Teniendoencuentaqueω=6rad/s:

a y x sen 26 m/s= - ⋅ = - ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ = -ω2 2 26 3 6 5 2 1 29( ) ,

c) Ahora:

• y x t t x 1 , 3 sen 6 2( ) ( )= ⋅ -

• y x t t x 2 2 3 sen 6 2 2( ) [ ( )]+ = ⋅ - ⋅ +,

Eldesfasees:

φ φ2 1 6 2

6 2 4 6 2

- = - ⋅ + - - =

= - - - - = -

[ ( )] ( )6 2 2t x t x

t x t x 44 rad

Lospuntosestándesfasadosunánguloφ=4rad.

5. La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es:

y (x , t ) = 0,002 ⋅ sen (4x + 300t )Calcula:a) La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda.b) La velocidad de propagación. ¿Qué sentido tiene, negativo o positivo?c) La velocidad transversal máxima de un punto cualquiera de la cuerda.d) Representa la onda en función de x para t = 0 s.(Cantabria. Septiembre, 2005)



251

Solucionario

El sonido

a) Identificaremoslostérminosapartirdelaexpresióngeneral

delaondaarmónica:

y At

T

x = ⋅ ⋅ ±

sen 2πλ

SuponemosquelasmagnitudesseexpresanenunidadesdelSI.

• Amplitud:A =0,002m.

• Periodo:

2 3002

300

ππ

⋅ = ⋅ = =t

T

t T → 0,021 s

• Frecuencia:

νπ π

= = = =-1

s

s 47,75 Hz1

T

1

2

300

300

2

• Longituddeonda:

2 42

4πλ

λπ

⋅ = = =x

x → 1,57 m

b) Dadoqueenlaecuacióndeondaseusaelsignopositivoentre

losdostérminosdelafase,elsentidodeavancedelmovimiento

serácontrarioaldeavancedelasx ;enconsecuencia,lavelocidad

seránegativa(retroceso).Calculamosv p:

v T

pm

s74,76 m/s= = =

λ 1 57

0 021

,

,

c) Lavelocidadsecalculaderivandolaposiciónconrespectoaltiempo:

v dy dt

d A t k x dt

A t k

xx sen= = ⋅ ± + =

= ⋅ ⋅ ±

[ ( )]

cos(

ω φ

ω ω

0

x x + φ0)

Portanto:

v Ax máx. rad/s m 0,6 m/s= ⋅ = ⋅ =ω 300 0 002,

d) Laexpresióndelaondaent =0es:

y x t x ( , ) , ( )= = ⋅0 0 002 4sen

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,002

0,001

0,000

-0,001

-0,002

y (m)

10x (rad)

0



252


6. En un medio indeterminado se propaga una onda transversal y plana,representada por la ecuación:

y = 0,20 ⋅ cos π(4t − x )

En unidades del SI, calcule:

a) La velocidad de propagación de la onda en el medio.

b) El módulo de la aceleración máxima de vibración de las partículasdel medio.

c) La aceleración de una partícula del medio situada a 5 cm

del foco emisor cuando el estado de vibración de la partículaes y = −0,10 m.


a) Obtenemoslavelocidaddepropagacióndelaondaapartirde:

v T

p = = ⋅λ

λ ν

Obtendremoslosparámetroscomparandolaexpresión

delenunciadoconlaecuacióndeunaonda:

y At

T

x = ⋅ ⋅ ±

cos 2πλ

Comparando:

• 2 42

4π π⋅ = = =

t

T t T → 0,5 s

• 2 2πλ

π λ⋅ = =x

x → m

Portanto:

v T

pm

s4 m/s= = =

λ 2

0 5,

b) Laaceleraciónmáximaes:

a Ax máx.2 2rad/s) m ,2 m/s= ⋅ = ⋅ =ω2 24 0 2 3( ,

c) Laaceleraciónsecalculaderivandolavelocidadconrespecto

altiempo.Primeroobtenemoslavelocidad:

v dy

dt

d A t k x

dt A t k x = =

⋅ ±= - ⋅ ⋅ ±

[ cos( )]( )

ωω ωsen

Derivandoestaexpresión:

a dv

dt

d A t k x

dt A t x

x sencos= =

- ⋅ ⋅ ±= - ⋅ ⋅ ±

[ ( )](

ω ωω ω2 k k x

y

)

( ) ( , )

=

= - ⋅ = - ⋅ - =ω2 24 0 1rad/s m 1,6 m/s2



253

Solucionario

El sonido

7. En un concierto se utiliza un altavoz que emite con una potenciade 50 W. ¿Cuál es la intensidad del sonido que se percibea 50 m del mismo? La organización quiere impedir que el públicose aproxime a una distancia menor que el doble de la correspondienteal umbral del dolor. ¿Dónde deben poner el límite de seguridad?Umbral del dolor: I = 100 W/m2.

Paraunaondatridimensional,laintensidadaunadeterminada

distanciadelfocovienedadapor:

I = =⋅

=⋅

= ⋅ -P S

P r 4

504 50

1 59 102 2

3

π πW

mW/m2

( ),

Veamosprimeroaquédistanciadelfocosealcanzaelumbral

dedolor:

r P

=⋅

=⋅

=4

50

4 1000 2

π πI

W

W/mm

2,

Portanto,ellímitedebeponersealmenosaldobledeestadistancia:

Límite m 0,4 m> ⋅ =

2 0 2,

8. Una antena de telefonía emite una radiación de 900 MHz. A 50 mde la misma, la intensidad es 5 ⋅ 10−2 W/m2. Determina:

a) La longitud de onda de la radiación.

b) La distancia que nos tenemos que acercar a la antena para recibirel doble de intensidad que tenemos a 50 m.

c) Cuánto nos podemos alejar de la antena sin que la intensidadse reduzca a la mitad de la que tenemos a 50 m.

Datos: velocidad de propagación de la radiación electromagnéticaen el aire = 3 ⋅ 108 m/s.

a) Apartirdeldatodelavelocidaddepropagacióndelaonda

electromagnéticaenelmediopodemoscalcularlalongituddeonda

delamisma:

v T

v p

p m/s

Hz0,33 m= = ⋅ = =

⋅

⋅=

λλ ν λ

ν→

3 10

900 10

8

6

b) Calculamosprimerolapotenciaderadiacióndelaondaconociendoelvalordesuintensidada50mdelfoco:

I I I = = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =-

P

S P S r → 4

4 50 5 10 1

2

2 2

π

π ( ) ,m W/m2 557 103⋅ =W 1,57 kW

Conociendolapotenciaderadiaciónpodemoscalcularladistancia

alaquesepercibeeldobledeintensidadqueantes,esdecir:

I I ' = ⋅ = ⋅ ⋅ =-2 2 5 10 2 W/m 0,1 W/m2 2



254


Entonces:

P r r P

= ⋅ =

⋅

=

⋅

⋅

=44

1 57 10

4 0 1

23

π

π π

' ' ''

I

I

→,

,

W

W/m35

2,,35 m

Enconsecuencia,nostendremosqueacercar:

50m-35,35m=14,65m

c) Conunprocedimientoanálogoalanteriorcalculamosladistancia

alaquelaintensidadsereducealamitad,esdecir:

I I '' = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅- -

1

2

1

2 5 10 2 5 10

2 2

W/m W/m

2 2

,

Ahora:

P r

r P

= ⋅

=

⋅

=

⋅

⋅ ⋅

4

4

1 57 10

4 2 5 1

2

3

π

π π

'' ''

''''

I

I

→

→,

,

W

00 2-

=

W/m70,69 m

2

Conlocualnospodremosalejarunmáximode:

70,69m-50m=20,69m

9. Al dejar caer una piedra en la superficie de agua en calma de un estanqueobtenemos una onda con A = 25 cm. Suponiendo que no hubiese rozamientoentre las partículas del medio, ¿cuál será la amplitud cuando la ondahaya avanzado 2 m desde el origen?

Nota: suponer que a 1 cm del foco la amplitud sigue siendo de 1 cm.

Laondaquesepropagaenlasuperficieencalmadeunestanque

esbidimensional.Talycomosededuceenellibrodelalumno,

suamplituddisminuyeconladistanciasegúnlarelación:A

A

r

r A A

r

r

1

2

2

1

2 11

2

= = ⋅→

Laamplitudesde25cma1cmdelfoco:

A Ar

r 2 1

1

2

250 01

2= ⋅ = ⋅ =cm

m

m1,8 cm

,

10. Dibuja el rayo reflejado si el rayo incidente tiene la dirección de la normal.Deacuerdoconlasleyes

delareflexión,elrayoincidente

formaconlanormalala

superficiedereflexiónunángulo

igualalqueformaelreflejado.

Sielrayoincidentecoincide

conlanormal,formarán

unángulode0°.

Rayoincidente

Rayoreflejado



255

Solucionario

El sonido

Elrayoreflejadotambiénformaráunángulode0°,

porloquesudireccióncoincidiráconlanormal

yconladelrayoincidente.

11. Dibuja los rayos reflejados en este caso.

Espejo

Lanormalaunasuperficie

semiesféricatienedirección

radial.Elrayoincidente

yelreflejadoformanunángulo

igualconlanormal

alasuperficiedereflexión.Losrayosgrisessonlosreflejados.

F

Lasrayaspunteadasindican

ladirecciónradialencadapunto(normal).Elrayoincidente

quecoincideconeldiámetrodelasemiesferacoincideconelrayo

reflejadocorrespondiente.Todoslosrayosreflejadoscoinciden

enunpunto:elfoco(F).

12. Dibuja la figura 7.28a si la onda pasa a un medio en el que se propaga

a mayor velocidad que en el medio de origen.

Deacuerdoconlasleyes

delarefracción,cuandoelrayo

incidentesepropagaamayor

velocidadqueelrefractado,

elángulodeincidenciaesmayor

queelánguloderefracción.

Enlafiguralavelocidad

depropagacióndelaondaenelnuevomedioesmayor

N

s

s s

i i i

s

i

queenelmedioinicial.

Enconsecuencia,elángulodeincidencia(i )esmenorqueelángulo

derefracción(s ).

sen sen

incidente refractado

i s

v v =

Siv v incidente refractado sen sen< < <→ →i s i s .



256


13. Dibuja el rayo refractado correspondiente a un rayo que incide en direcciónperpendicular a la de la superficie de refracción:

a) Si la onda se propaga a mayor velocidad en el medio incidente.

b) Si se propaga a menor velocidad en el medio incidente.

Sielrayoincideenladirecciónperpendicularalasuperficie

derefracción,elrayorefractadollevaesamismadirección,cualquiera

quesealavelocidadalaquesepropague

encadaunodelosmedios.

sen sen


inciden

i s

v v

v

= →

→0

tte refractado

sen= = =

s i s

v → 0 Refractado

Incidente

14. El sonido se propaga a unos 340 m/s en el aire y a unos1500 m/s en el agua de mar.

Determina cuáles son las características (longitud de onda y frecuencia)que percibiremos bajo el agua de un sonido de 50 Hz que emiteun altavoz en la playa.

Dadoquequeremosanalizarlascaracterísticasdelsonidodentro

delaguademar,analizaremoslaondarefractadatrasentrar

encontactoconlasuperficiedelagua.

Suponemosqueelsonidosepropagadeformaidealenambos

medios,porloquenohaypérdidadeenergíacuando

cambiademedio.Estosignificaquelafrecuenciadelaondaincidenteylafrecuenciadelaondarefractada

soniguales.

Lavariacióndelavelocidaddepropagaciónsetraduce

enunavariaciónenlalongituddeonda.

v T

v p agua

p agua

agua

m/s

Hzm= = ⋅ = = =

λλ ν λ

ν→

1500

5030

15. En una habitación tenemosdos altavoces separadosuna distancia de 5 m que emitendos señales idénticas de 80 Hzy con una amplitud de 5 cm.Determina cuál será el valorde la amplitud en los siguientespuntos de la habitación:

0,75m

1m1m 3m2m



257

Solucionario

El sonido

Necesitamosconocerladistanciaqueseparaalosmicrófonos

decadaunodelospuntos.SinosfijamosenelaltavozAyelpunto1:

d d d

d d d

A1 1O OA

A1 1O OA m m

2 2 2

2 2 22 0 75

= +

= + = +

→

→ ( ) ( , )22 = 2,136 m

Operandodemaneraanáloga

paralosotrospuntos:

•d A2 1,25 m= + =1 0 752 2,

•d A3 m= + =1 0 75 1 252 2, ,

•d A4 m= + =3 0 75 3 0922 2, ,

ParaelaltavozBlasdistancias

sonestas:

•d B1 m= + =2 4 25 4 6972 2, ,

1m1m 3m

OA→0,75m

OB→4,25m

2m

2 3 4

B

A

1

O

•d B2 m= + =1 4 25 4 3662 2, ,

•d B3 m= + =1 4 25 4 3662 2, ,

•d B4 m= + =3 4 25 5 2022 2, ,

Calculamoslafuncióndelainterferenciaqueseproducecuando

lasdosondasalcanzanunodeestospuntos:

y A k x x

t k x x

= ⋅ ⋅ ⋅-

⋅ - ⋅+

22 2

2 1 1 2cos sen ω

Laamplituddelainterferenciaes:

A A k x x

I = ⋅ ⋅ ⋅-

22

2 1cos

Necesitamosconocerelnúmerodeonda,k ,quesepuedeobtener

conociendolafrecuenciadelamismaylavelocidaddepropagación

delsonidoenelaire(340m/s).Portanto:

v T

f v

f p

p m/s

Hzm= = ⋅ = = =

λλ λ→ →

340

804 25,

→ k = = = -2 2

4 251 48 1π

λ

π

,,

mm

Laamplituddelainterferenciaencadaunolospuntosdeldibujoes:

• A A k d d

1 22

2 0 05

= ⋅ ⋅ ⋅-

=

= ⋅ ⋅

cos

, cos

A1 B1

11 482 136 4 697

20 032 3 2,

, ,, ,⋅

-

= - = -m m ccm



258


• A A k d d 2 22

2 0 05

= ⋅ ⋅ ⋅ -

=

= ⋅ ⋅

cos

, cos

A2 B2

11 481 25 4 366

20 067 6 7,

, ,, ,⋅

-

= - = -m cm

• A A k d d

3 22

2 0 05

= ⋅ ⋅ ⋅-

=

= ⋅ ⋅

cos

, cos

A3 B3

11 481 25 4 366

2

0 067 6 7,, ,

, ,⋅-

= - = -m cm

• A A k d d

4 22

2 0 05

= ⋅ ⋅ ⋅-

=

= ⋅ ⋅

cos

, cos

A4 B4

11 483 092 5 202

29 4 10 0 94,

, ,, ,⋅

-

= ⋅ =- m 44 cm

Asípues,elsonidoserámásintensoenlospuntos2y3

queenlospuntos1y4.

16. Indique, justificando cada caso, cuáles de las siguientes funciones puedenrepresentar una onda estacionaria y cuáles no:

a) sen (A x ) ⋅ cos (B x ) d) sen (Ax ) + cos (Bx )

b) sen (A x ) ⋅ cos (Bt ) e) sen (A x / λ) ⋅ cos (Bt / T )

c) cos (100t ) ⋅ sen (x ) f) sen 2π(x / λ + t / T )

(R. Murcia. Septiembre, 2007)

Comparamoscadacasoconlaexpresióngeneraldeunaondaestacionaria:

y A k x t = ⋅ ⋅ ⋅2 onda sencos( ) ( )ω

a) Norepresentaunaondaestacionaria,yaquelaexpresión

nocontienevariablesx yt .

b) Podemosrepresentarlacomo:

y Ax Bt = +2

⋅ -2

cosπ π

sen

Ysecorrespondeconunaondaestacionaria

enlaqueAonda =1/2,k =Ayω=B .

c) Nuevamentepodemostransformarlaexpresióndelenunciadoen:

y t x = -2

⋅ +2

sen cos100π π

Secorrespondeconunaondaestacionaria

enlaqueAonda =1/2,k =1yω=100.



259

Solucionario

El sonido

d) Nopuedeserunaondaestacionaria,yaquelaexpresiónnocontienevariablesx yt .

e) Reescribimoslaexpresióncomo:

y Ax Bt

T = +

2

⋅ -2

cosλ

π πsen

Seidentificaconlaexpresióndeunaondaestacionaria

enlaqueAonda =1/2,k =A / λyω=B / T .

f) Eslaexpresióndeunaondaarmónica.Noesunaonda

estacionaria.

17. Una onda estacionaria en una cuerda se puede describirpor la ecuación:

y (x , t ) = 0,02 ⋅ sen (10π x / 3) ⋅ cos (40πt )

donde y , x , t se expresan en unidades del SI.

Calcula:

a) La velocidad y la amplitud de las ondas que, por superposición, puedendan lugar a esta onda estacionaria.

b) La distancia entre dos nodos consecutivos de la cuerda.

c) La velocidad máxima que presenta el punto medio entre dos nodosconsecutivos.


a) Comparamoslostérminosconlosdelaecuacióngeneraldeondas

estacionarias:

y A k x t = ⋅ ⋅ ⋅2 cos( ) ( )sen ω

Laondadadareescritaes:

y x

t = ⋅⋅

+

⋅ ⋅ -

0 0210

3 240

2, cos

π ππ

πsen

Comparando:

• 2 0,020,02

20,01 m 1 cmA A= = = =→

• k = = = =2 10

3

6

100 6

π

λ

πλ

π

π→ , m

• ωπ

ππ

π= = = =

240

2

400 05

T T → , s

Portanto:

v T

p0,6 m

0,05 sm/s= = =

λ12



260


b) Enunaondaestacionarialadistanciaentredosnodosconsecutivos

es:

d = = =λ

2

0 6

20

, m,3 m

Elprimernodoestaráenelorigen,yaque y (x =0)=0.

Portanto,elsiguientenodoestaráenlaposición:

x =0+0,3m=0,3m

c) Lavelocidaddevibracióndecualquierpuntodelmedioes:

v dy

dt

d x

t

= =

⋅⋅

⋅ ⋅0,02 sen10

3cos 40

ππ( ))

, [

=

= ⋅⋅

⋅ -

dt

x 0 02

10

34sen

π00 40

0 810

3

π π

ππ

⋅ ⋅ =

= - ⋅⋅

sen

sen

( )]

,

t

x ⋅⋅ ⋅sen 40( )π t m/ s

Calculamoslavelocidaddelorigen,primernodo(x =0):

v x t ( ) , (= = - ⋅⋅

⋅ ⋅0 0 810 0

340π

ππsen sen )) = 0

Calculamoslavelocidaddeunpuntoqueestéa30cmdelextremo

(siguientenodo):

v x ( , ) ,,

= = - ⋅⋅

⋅0 30 0 810 0 3

3m sen senπ

π(( )

, ( )

40

0 8 40 0

π

π π π

⋅ =

= - ⋅ ⋅ ⋅ =

t

t sen sen

Calculamoslavelocidaddeunpuntoqueestéa15cm

delextremo,equidistantedeambosnodos:

v x ( , ) ,,

= = - ⋅⋅

⋅0 15 0 810 0 15

3m sen seπ

πnn

sen sen

( )

, (

40

0 82

40

π

ππ

⋅ =

= - ⋅

⋅

t m/s

ππ π π⋅ = - ⋅ ⋅ ⋅t t ) , ( )0 8 1 40sen m/s

Lavelocidadmáximaenunpuntosituadoentredosnodoses:

v máx. m/s= =0 8 2 51, ,π

18. a) ¿Qué es una onda estacionaria? Explica qué condiciones debencumplirse para que se forme una onda estacionaria en una cuerdatensa y fija por sus dos extremos.

b) Una cuerda de guitarra de longitud L = 65 cm vibra estacionariamenteen su modo fundamental a una frecuencia f = 440 Hz.



261

Solucionario

El sonido

Representa gráficamente el perfil de esta onda, indicando la posiciónde nodos y vientres, y calcula la velocidad de propagación de ondastransversales en esta cuerda.


a) Lasondasestacionariasresultandelasuperposicióndedosondas

idénticasquesepropaganenelmismomedioensentidosopuestos

yconoposicióndefase.

Paraqueseproduzcaunaondaestacionariaenunacuerdatensa

yfijaporsusdosextremos,lacuerdadebetenerunalongitud

talqueenellapuedaentrarunnúmeroenterodesemilongitudes

delaonda.

b) Enelmodofundamental:

λ νλ

ν1p p

2= ⋅ = =⋅

=Lv v

L→ 1

1

02

Queda:

λ λ= ⋅ = = ⋅v T v

f

v f pp

p→ 1

Entonces:

λ1

1

2 2 0 65

1 3 440 572

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =-

L

v

,

,

m 1,3 m

m s m/sp

→

→

L

Losnodosestánenx =0yenx =L=λ /2.

Elvientreseencontraráen:

x L

= = = =λ

4 2

0 65

2

, m0,325 m

19. En la primera cuerda de una guitarra las ondas se propagan a 422 m/s.La cuerda mide 64 cm entre sus extremos fijos.¿Cuánto vale la frecuencia de vibración (en el modo fundamental)?


Enestasituacióntenemosunacuerdafijaporsusdosextremos.

Cuandovibraensumodofundamentalresultaque:

f v v

Lf 1 0

2= =

⋅=p p

λ→

f 0422

2 0 64=

⋅=

m/s

m329,7 Hz→

,



262


20. Si pasas temporadas en la costa, te habrás dado cuentade que de noche puedes oír sonidos más lejanos que de día.

Explica este hecho teniendo en cuenta que, de día, el Sol calienta el sueloy la brisa del mar refresca nuestras caras, mientras que de noche llegauna brisa cálida al tiempo que se refresca el suelo.

Día Noche

Airemásfrío

AiremásfríoAiremáscaliente

(elsonidoviajamásrápido)

Airemáscaliente

(elsonidoviaja

másrápido)

(Pista: ten en cuenta la refracción de las ondas de sonido al moversepor un medio no homogéneo.)

Lavelocidaddelsonidoesmayorenlascapasdondelatemperatura

esmayor.Cuandoelsonidopenetraenzonasdediferentetemperatura

sufreunarefracciónquelellevaacurvarsehacialaszonas

conmenortemperatura.Estoocurreprecisamenteporquelavelocidad

depropagacióndelrayorefractadoesmenorysuánguloderefracción

seaproximaalanormal(esmenorqueelrayoincidente),

porloquesecurvahaciaestazona.

Durantelanoche,elairemásfríoseráelqueestéencontacto

conelsuelo,porloquelasondassonorassecurvaránhaciaelsueloenlugardeescaparsehacialaatmósfera,permitiendo

queseescuchenamayorlongitud(yaquenosehandesviadohacia

elaireyestántodavíaaunaalturaquepermitepercibirlas).

21. Una marca de frigoríficos establece en su publicidad que estoselectrodomésticos trabajan con un nivel de intensidad sonora máximode 40 dB. ¿Cuál es la máxima intensidad de sonido que emitenlos frigoríficos?

Dato: intensidad umbral, I0 = 10−12 W ⋅ m

−2.(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2007)

Apartirdelniveldeintensidadsonora:

β = = ⋅ =- -

10 40 1010

4100

12 12⋅ log log log

I

I

I I → → →

→ →I

I

1010 10 10 10

12

4 4 12 8

-

- -= = ⋅ =W/m

W/m W/m2

2 2



263

Solucionario

El sonido

22. a) Explique qué es una onda armónica y escriba su ecuación.b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Qué significado tiene

esa afirmación? Haga esquemas para representar ambas periodicidadesy coméntelos.

(Andalucía. 2007)

a) Unaondaarmónicaresultadelaperturbaciónprovocada

porunmovimientoondulatoriosinoexisterozamiento.

Enestecaso,laondapermaneceigualportiempoindefinido

ysellamaondaarmónica.

Suecuaciónseexpresaasí:

y At

T

x x sen= +

⋅ ⋅ ±2 0πλ

φ

b) Laondaarmónicaesperiódicaconrespectoaltiempo

yconrespectoalaposición.

Estosignificaque,siseobservalaondaenundeterminado

instantedetiempo,seobtieneunafunciónperiódicaconrespectoax .

Siseobservalaondaparaundeterminadopunto,seobtiene

unafunciónperiódicaent .Enamboscasoslasondas

periódicasobtenidastienenlamismaamplitud,longituddeonda

yperiodo.

y

A

T

v p

t

y

A

v p

x

λ

Periodicidadrespectoaltiempo.

Periodicidadrespectoalaposición.

23. Dibuje dos ondas que cumplan con las condiciones que se especifican

en los siguientes supuestos:1.º Que tengan la misma amplitud y una doble longitud

de onda que la otra.

2.º Que tengan la misma longitud de onda y una doble amplitudque la otra.

3.º Que tengan la misma amplitud y longitud de ondapero desfasadas 180°.




264


Respuestasgráficas:

• Laondagristienelongituddeondadoblequelaazul:

• Laondagristieneunaamplituddoblequelaondaazul:

• Laondagrisylaazultienenlamismaamplitudylongituddeonda,

peroestándesfasadas180°:

24. Un tren de ondas atraviesa un punto de observación. En este punto,

el tiempo transcurrido entre dos crestas consecutivas es de 0,2 s.De las afirmaciones siguientes, escoja la que sea correctay justifique la respuesta.

a) La longitud de onda es de 5 m.

b) La frecuencia es de 5 Hz.

c) El periodo es de 0,4 s.

d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.


y

x

x

x

y

y



265

Solucionario

El sonido

Lasituacióndescritaenelenunciadoequivaleadecirqueelperiodo

delaondaarmónicaesT =0,2s.

y

A

T

v p

t

ν = = =1 10 2T , s

5 Hz

Portanto,larespuestacorrectaeslab).

Lalongituddeondanoserelacionaconelperiodo,yaqueserefiere

aunaperiodicidadespacial.

25. A. Una onda armónica se propaga por una cuerda tensa. Si su frecuenciase reduce a la mitad:

a) El periodo se reduce a la mitad.b) La velocidad de propagación se duplica.c) La longitud de onda se duplica.

B. Si se trata de una onda transversal:a) En un instante dado todos los puntos de la cuerda vibran

con la misma velocidad.b) La onda se propaga a la velocidad constante de 340 m/s.c) La onda vibra en una dirección que es perpendicular

a la de propagación.


A) Veamoslarelaciónentrelafrecuenciaycadauna

delasmagnitudes:

a)T =1

ν.Alreducirlafrecuenciaalamitad,elperiodoaumentará

aldoble.Falso.

b)v

T

p = = ⋅λ

λ ν.Alreducirlafrecuenciaalamitad,lavelocidad

depropagaciónsereducetambiénalamitad.Falso.

c) v T

v p

p= = ⋅ =

λλ ν λ

ν→ .Sisemantieneconstante

lavelocidaddepropagación,alreducirlafrecuencia

alamitad,lalongituddeondaseduplica.Cierto.

B)Pordefinición,ondastransversalessonaquellasenlasque

laspartículasdelmediovibranendirecciónperpendicular

aladeavancedelaperturbación.Larespuestacorrectaeslac).



266


26. Si un teléfono móvil emite ondas electromagnéticas en la banda1700-1900 MHz, ¿cuál es la longitud de onda más corta emitida?


Sabiendoquelavelocidadalaquesepropaganlasondas

electromagnéticasesc =3⋅108m/s,podemoscalcularlalongitud

deondaapartirdelafrecuencia:

v c

p = =λ ν λν

⋅ →

Enlabandadefrecuenciaspropuestaenelenunciado:

λν

mín.

máx.

m/s

Hz0,1579 m= =

⋅

⋅=

c 3 10

1900 10

8

6

27. Una visión simplificada de los efectos de un terremoto en la superficieterrestre consiste en suponer que son ondas transversales análogasa las que se producen cuando forzamos oscilaciones verticalesen una cuerda.

En este supuesto y en el caso en que su frecuencia fuese de 0,5 Hz,calcular la amplitud que deberían tener las ondas del terremotopara que los objetos sobre la superficie terrestre empiecen a perderel contacto con el suelo.


Paraquelosobjetospierdanelcontactoconelsuelosedeben

versometidosaunafuerzahaciaarribaqueseaigualosuperior

asupropiopeso:

F m a m g = ⋅ = ⋅ [1]

Podemosobtenerlaaceleraciónconlaquevibraránloscuerpos

alcanzadosporelterremotoapartirdelaecuacióndelaonda:

y A t k x x sen= ⋅ ± +( )ω φ0

Obtenemoslavelocidadderivandolaposiciónconrespecto

altiempo:

v dy

dt

d A t k x

dt

A t k x xx sen

= =⋅ ± +

= ⋅ ⋅ ±[ ( )]

cos(ω φ

ω ω0

++ φ0)

Obtenemoslaaceleraciónderivandolavelocidadconrespecto

altiempo:

a dv

dt

d A t k x

dt

A t

xx sen

sen

= =⋅ ± +

=

= - ⋅ ⋅

[ ( )]

(

ω φ

ω ω

0

2 ±± + = - ⋅k x y φ ω02)

Esdecir:

a Ax máx. = - ⋅ω2 [2]



267

Solucionario

El sonido

Igualando[1]y[2]:

g A A

Ag

= ⋅ = ⋅ ⋅

=⋅

=⋅

ω π ν

π ν π

2 2

2

2

2

9 8

2 0 5

( )

( )

,

( ,

→

→m/s2

mm/s1 m

)2=

28. Una onda transversal se propaga por una cuerda en la dirección positivadel eje OX. La amplitud es A = 0,06 m, la frecuencia vale f = 10 Hzy su velocidad es de 15 m/s.

a) Determinar su longitud de onda.b) Escribir la ecuación de la onda.

c) Calcular la velocidad y aceleración máximas de un puntode la cuerda.


a) Calculamoslalongituddeonda:

v f v

f

pp m/s

Hz

1,5 m= ⋅ = = =λ λ→15

10

b) Laecuacióngeneraldeunaondaarmónicaes:

y At

T

x x sen= ⋅ ⋅ ±

2πλ

DadoqueT =1/ f ,tendremos:

y t x

x sen= ⋅ ⋅ ⋅ -

=0 06 2 101 5

,,

π 00 06 20 4 19, ( , )⋅ ⋅ - ⋅sen π t x

Elsignoesnegativoporquesepropagaenelsentidopositivo

delejeX.

c) Obtenemoslavelocidadderivandolaposiciónconrespecto

altiempo:

v dy

dt

d A t k x

dt A t k x x

x sen= =

⋅ ± += ⋅ ⋅ ±

[ ( )]cos(

ω φω ω0 ++ φ0)

Obtenemoslaaceleraciónderivandolavelocidadconrespecto

altiempo:

a dv

dt

d A t k x

dt

A

xx

sen

= =⋅ ⋅ ± +

=

= - ⋅ ⋅

[ cos( )]

(

ω ω φ

ω

0

2 ωω φ ωt k x y ± + = - ⋅02) x

Susvaloresmáximosparaalgúnpuntodelacuerdaserán:

•v Amáx. rad/s m 3,77 m/s= ⋅ = ⋅ ⋅ =ω π2 10 0 06,

• a Amáx.2rad/s m 236,87 m/s= = ⋅ ⋅ =ω π2 22 10 0 06⋅ ( ) ,



268


29. Un surfista observa que las olas del mar tienen 3 m de altura y rompencada 10 s en la costa. Sabiendo que la velocidad de las olas es de 35 km/h,determina la ecuación de onda de las olas.


Losdatosproporcionadosenelenunciadosecorresponden

conlossiguientesparámetros:

• A =3m(suponemosalturadesdelasuperficiedelaguaencalma).

• T =10s.

• v p=35km/h.

Conociendoelperiodoylavelocidaddepropagacióndelasolas

podemosdeterminarelvalordelalongituddeondadelasmismas,

yaque:

v T

v T p pkm

h

m

1 km

1 h

3600 ss 97,2= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

λλ→ 35

1010

3

mm

Laecuacióndeondaserá:

y At

T

x = ⋅ ⋅ ±

= ⋅ ⋅sen sen2 3 2πλ

π t t x

t

10 97 2

3 0 2

±

=

= ⋅ ⋅

,

( ,sen π ±± ⋅0,0646 x )

30. La ecuación de una onda transversal es y (t , x ) = 0,05 ⋅ cos (5t − 2x )(magnitudes SI). Calcula:

a) Los valores de t para los que un punto situado en x = 10 m tienevelocidad máxima.

b) ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la onda recorra una distanciaigual a 3λ?


a) Lavelocidaddelospuntosalcanzadosporunaonda

transversalsepuedeobtenerderivandolaposiciónconrespecto

altiempo:

v dy

dt

d A t k x

dt A t k

x

x sen= =

⋅ ± +

= - ⋅ ⋅ ±

[ cos( )](

ω φ

ω ω

0 x x + φ0

)

Lavelocidadserámáximacuando:

sen ( )ω φt k x ± + =0 1

Sustituimoslosvaloresqueconocemosdelenunciado

ydespejamoselvalordet quecumplelacondición(x =10cm).

Paraqueelsenodeunángulosea1,elángulodebeserigual

aπ /2oπ /2másunnúmeroenterodevueltas

(π /2+2⋅n ⋅π,conn =0,1,2…).



269

Solucionario

El sonido

sen sen( ) ( )ω φπ

t k x t

t

± + = ⋅ - ⋅ =

⋅ - = +

0 1 5 2 10 1

5 202

→ →

→ 22 410

2

5

410

4

104

10

n t n

t n

t

⋅ - = +⋅

= + +⋅

= +

ππ π

π π π

→ →

→ → ⋅⋅ +( )4 1n

Cuandon =0:

t = + =410

π4,31 s

b) Dadoquelasondasarmónicassepropaganavelocidad

constante:v T

p =λ

.

ωπ π

= = =2

52

5T T rad/s s→

Además,porserunavelocidaduniforme,paraqueelespacio

recorridoseaiguala3λ:

v s t

t s v T

T p

p

3,77 s= = = = = ⋅ =→ 3 3 3 25

⋅ ⋅λλ

π /

31. Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje Xen sentido positivo y tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de ondade 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine:


b) La fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación

es y = −2 cm.c) La expresión matemática que representa la onda.

d) La distancia mínima de separación entre dos partículas del eje Xque oscilan desfasadas π /3 rad.


a) Pordefinición:

v p m Hz m/s= = ⋅ ⋅ =-λ ν⋅ 4 10 8 0 322 ,

b) Laecuacióndeunaondaarmónicasecorrespondeconlaexpresión:

y At

T

x x sen= ⋅ ⋅ ±

+

2 0πλ

φ

Parax =0,t =0→ y =-2cm:

- = ⋅ ⋅ ± +

- = =

0 02 0 02 2 0 0

1

0

0 0

, , [ ( ) ]sen

sen ar

π φ

φ φ

→

→ → cc sen( )- = -12

π



270


c) Completamoslosparámetrosenlaexpresióndelapartado

anterior:

y At

T

x Ax sen se= ⋅ ⋅ ±

+

= ⋅2 0πλ

φ nn 2 0π νλ

φ⋅ ⋅ ±

+

t x

→

→ y t x

x sen= ⋅ ⋅ ⋅ -

-

0 02 2 8

0 04 2,

,π

π

=

= ⋅ ⋅ - ⋅ -

0 02 16 50

2

, sen π ππ

t x

d) Sieldesfaseesπ /3rad:

φ φ

π ππ

π

2 1

216 502

16 5

- =

= ⋅ - ⋅ -

- ⋅ -t x t 00

2 31π

π π⋅ -

=x rad →

→ →503

1

50 31 2 1 2π

π⋅ - = - =

⋅= ⋅ -( )x x x x rad m 6,7 10 m3

32. La expresión matemática que representa una onda armónicaque se propaga a lo largo de una cuerda tensa es:

y (x , t ) = 0,01 ⋅ sen (10πt + 2πx + π)

Donde x e y están dados en metros y t , en segundos. Determine:

a) El sentido y la velocidad de propagación de la onda.

b) La frecuencia y la longitud de onda.

c) La diferencia de fase de oscilación entre dos puntos de la cuerdaseparados 20 cm.

d) La velocidad y la aceleración de oscilación máximas de un puntode la cuerda.

(C. Madrid, 2007)

a) Laexpresióngeneraldeunaondaarmónicaes:

y At

T

x x sen= ⋅ ⋅ ±

+

2 0π

λ

φ

Dondeelsignopositivoentrelosdostérminosvariables

delargumentoindicaquelaondasepropagaenelsentido

negativodelejeX.

Lavelocidaddepropagacióndelaondapuededeterminarse

como:

v T

p =λ



271

Solucionario

El sonido

Obtenemoselperiodoylalongituddeondacomparando

laexpresióndeestaondaconlaexpresióngeneral:

• 102 2

10

1

50 2π

π π

π= = = =

T T → , s

• 22

1ππ

λλ= =→ m

Portanto:

v T p

1 m

0,2 s 5 m/s= = =

λ

b) Lafrecuenciaes:

ν = = =1 1

0 2T , s5 Hz

c) Parapuntosseparados20cm(0,2m):

φ φ π π π π π π

π

2 1 2 110 2 10 2

2

- = ⋅ + ⋅ + - ⋅ + ⋅ + =

= ⋅

( ) ( )

(

t x t x

x x x 2 1 2 1 2 0 2 0 4- - = ⋅ =) , ,→ φ φ π π

d) Lavelocidadseobtienederivandolaposiciónconrespecto

altiempo:

v dy

dt

d A t k x

dt A t k x x

x sen= =

⋅ ± += ⋅ ⋅ ±

[ ( )]cos(

ω φω ω0 ++ φ0)

Laaceleraciónseobtienederivandolavelocidadconrespecto

altiempo:

a dv

dt

d A t k x

dt

A

xx

sen

= =⋅ ⋅ ± +

=

= - ⋅ ⋅

[ cos( )]

(

ω ω φ

ω

0

2 ωω φ ωt k x y ± + = - ⋅02) x

Susvaloresmáximosparaalgúnpuntodelacuerdaserán:

•v Amáx. rad/s m 0 m/s= ⋅ = ⋅ ⋅ =ω π π2 5 0 01 1, ,

• a Amáx.2rad/s m m/s= ⋅ = ⋅ ⋅ =ω π π2 2 22 5 0 01( ) ,

33. Una onda de frecuencia 40 Hz se propaga a lo largo del eje X en el sentidode las x crecientes. En un cierto instante, la diferencia de fase entredos puntos separados entre sí 5 cm es π /6 rad.

¿Qué valor tiene la longitud de onda? ¿Cuál es la velocidad de propagaciónde la onda?

Escribe la función de onda sabiendo que la amplitud es 2 mm.




272


a) Calculamosλapartirdeldesfase:

πφ φ ω φ ω φ

62 1 2 1 1 2= - = - + - - + = ⋅ -( ) ( ) ( )t k x t k x k x x →

→ →π π

60 05

0 05 61 2

1= ⋅ - = ⋅ =⋅

= -k x x k k ( ) ,,

mm

10,47 m

Entonces:

k k

= = = =-

2 2 2π

λλ

π π→

10,47 m0,6 m

1

Calculamoslavelocidaddepropagaciónasí:

v p m Hz 24 m/s= ⋅ = ⋅ =λ ν 0 6 40,

b) Laexpresióngeneraldelaecuacióndeondaarmónicaes:

y At

T

x x sen= ⋅ ⋅ ±

+

2 0πλ

φ

T =1/ ν =1/40Hz=0,025s.Portanto:

y t x x sen= ⋅ ⋅ -

+

0 002 20 025 0 6

0,, ,

π φ

Elsignoqueprecedealax esnegativoporquelaondasedesplaza

enelsentidodelasx crecientes.

34. Una cuerda está unida por un extremo a una pared y está libre por el otroextremo. Hacemos vibrar el extremo libre armónicamente y se generauna onda transversal, descrita por la ecuación:

y = 4 ⋅ sen 2π (t /2 − x /4)en que la amplitud se mide en centímetros, mientras que el tiempo, t ,y la distancia, x , se miden en unidades del Sistema Internacional (SI).Calcule:

a) La velocidad de vibración de un punto de la cuerda que dista 5 mdel extremo libre, en el instante t = 3 s.

b) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda que distan 1 my 3 m de la pared, respectivamente, en un mismo instante.

c) Cuánto tardaría la vibración en llegar a la pared desde el extremo libreen que se genera, si la cuerda tuviera una longitud de 10 m.


a) Lavelocidaddevibracióndelospuntosdeunaondaarmónica

puedeobtenersesegún:

v dy

dt

d t x

xx

sen

= =

⋅ ⋅ -

4 2

2 4π

= ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅

dt t x 4 2

1

2 2⋅ π π

πcos



273

Solucionario

El sonido

Parax =5yt =3:

v x 0 m/s= ⋅ ⋅ - ⋅

=4 32

5π ππ

cos

b) Eldesfasees:

φ φ ππ

ππ

2 1 2 12 2

- = ⋅ - ⋅

- ⋅ - ⋅

t x t x

=

= ⋅ - = ⋅ - =π π

π2 2

3 11 2( ) ( )x x

c) Necesitamosconocerlavelocidaddepropagacióndelaonda,

quepodemoscalcularsegún:

v T

pm

s2 m/s= = =

λ 4

2

Silavibracióntienequerecorrer10m,comoesunavelocidad

constante:

v s

t t s

v p

p

10 m

2 m/s 5 s= = = =→

35. A una playa llegan 15 olas por minuto y se observa que tardan 5 minutosen llegar desde un barco anclado en el mar a 600 m de la playa.

a) Tomando como origen de coordenadas un punto de la playa, escribala ecuación de onda, en el Sistema Internacional de unidades,si la amplitud de las olas es de 50 cm. Considere la fase inicial nula.

b) Si sobre el agua a una distancia de 300 m de la playa existe una boyaque sube y baja según pasan las olas, calcule su velocidad en cualquierinstante de tiempo. ¿Cuál es su velocidad máxima?


Sillegan15olasporminuto,significaquelafrecuenciaserá:

ν = ⋅ =15 olas

1 min

1 min

60 s0,25 Hz

Además,silasolastardan5minutosenrecorrer600m,podemosdeterminarsuvelocidaddepropagaciónasí:

v p600 m

5 min

1 min

60 s2 m/s= ⋅ =

Conlavelocidaddepropagaciónpodemosdeterminarlalongitud

deonda:

v v

pm/s

Hz8 m= ⋅ = = =λ ν λ

ν→

2

0 25,



274


a) Laexpresióngeneraldeunaondaarmónicaes:

y At

T

x x sen= ⋅ ⋅ ±

+

2 0πλ

φ

Sielorigendecoordenadasesunpuntodelaplaya,lasondas

quepartendemaradentroyseaproximanalaplayaavanzan

enelsentidonegativodelasX,porloqueelsignoentre

lostérminosdelafaseserápositivo.Lafaseinicialesnula,

T =1/ ν =4syA =0,5m.Portanto:

y t x x sen= ⋅ ⋅ ⋅ +

=0 5 2 0 258

0, ,π ,, ( , , )5 0 5 0 25⋅ ⋅ + ⋅sen mπ πt x

b) Derivandolaexpresiónanteriorobtenemoslavelocidad:

v dy

dt

d t x

dt x

x sen= =

⋅ ⋅ + ⋅=

= ⋅

[ , ( , , )]

,

0 5 0 5 0 25

0 5

π π

00 5 0 5 0 25, cos( , , )π π π⋅ ⋅ + ⋅t x

A300mdelaplaya:

v t 300 0 5 0 5 0 5 0 25 300

0 25

m = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

=

, , cos( , , )

,

π π π

π ⋅⋅ ⋅ +cos( , )0 5 75π πt m/s

Portanto:

v 300 0 25 0 79máxima m/s m/s= =, ,π

36. Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal,en el sentido negativo del eje X, siendo 10 cm la distancia mínima entrepuntos que oscilan en fase. Sabiendo que la onda está generadapor un foco emisor que vibra con un movimiento armónico simple cuyafrecuencia es de 50 Hz y su amplitud, de 4 cm, determina:


b) La expresión matemática de la onda, si el foco emisor se encuentraen el origen de coordenadas y en t = 0 la elongación es nula.

c) La aceleración de máxima oscilación en un punto cualquierade la cuerda.


a) Calculamoslavelocidaddepropagacióndelaondaapartir

dev p=λ⋅ ν.

Delenunciado:λ=0,1myν=50Hz.Así:

v p m Hz 5 m/s= ⋅ = ⋅ =λ ν 0 1 50,

b) Laexpresióngeneraldeunaondaarmónicaes:

y At

T

x x sen= ⋅ ⋅ ±

+

2 0πλ

φ



275

Solucionario

El sonido

Sient =0laelongaciónesnula,eldesfaseinicialesnulotambién.

ComolaondasepropagaenelsentidonegativodelejeX,elsigno

entrelostérminosdelafaseserápositivo.A =0,04myT =1/ ν.

Portanto:

y t x

x = ⋅ ⋅ ⋅ +

=0 04 2 500 1

,,

sen π

== ⋅ ⋅ + ⋅0 04 100 20, ( )sen mπ πt x

37. La energía de una onda es proporcional:a) Al cuadrado de la amplitud.

b) A la inversa de la frecuencia.

c) A la longitud de onda.


Laenergíadelaondaes:

E k A=1

2

2

Dondek =m ⋅ω2.Portanto,laúnicarespuestacorrectaeslaa).

38. Supongamos que se produce una onda armónica al lanzar una piedraa la superficie en calma de un estanque. Su amplitud:

a) Disminuye con la distancia al foco.

b) Disminuye con la raíz cuadrada de la distancia al foco.

c) Disminuye con el cuadrado de la distancia al foco.d) Permanece constante.

Laondaarmónicaproducidaesbidimensional.Portanto:

A

A

r

r

1

2

2

1

=

Enestascircunstanciaslaamplituddelaondaenunpunto

esinversamenteproporcionalalaraízcuadradadeladistanciaalfoco.


39. Supongamos que un altavoz produce una onda armónica en un espacioabierto. Su intensidad:

a) Disminuye con la distancia al foco.

b) Disminuye con la raíz cuadrada de la distancia al foco.

c) Disminuye con el cuadrado de la distancia al foco.

d) Permanece constante.



276


Setratadeunaondatridimensional,porloque:

I

I

1

2

22

12

=r

r

Laintensidaddeunaondatridimensionalenunpuntoesinversamente

proporcionalalcuadradodeladistanciaalfoco.

Larespuestacorrectaeslac).

40. Una onda de 40 Hz, que se propaga a 20 m/s, llega al límite con otro

medio formando un ángulo de 45°. La onda avanza en el nuevo medioformando un ángulo de 60° con la perpendicular a la frontera entreambos. Calcula la velocidad a la que se propaga la onda en el nuevo medioy la frecuencia y la longitud de la onda en cada medio.

Elrayoincidenteyelrefractadoenelnuevomediotendránlamisma

frecuencia.Lavelocidaddepropagaciónenelmediorefractadopuede

obtenerseapartirde:

sen sen


refracta

i s

v v

v

= →

→ ddo incidentesen

sen

m/ssen

sen= ⋅ = ⋅v

s

i

20

60

45

°

°°= 24 5, m/s

Obtendremoslalongituddeondaparacadaunodelosmediossegún:

v v

pp

= ⋅ =λ ν λν

→

Entonces:

• λν

incidentep i m/s

Hz0,5 m= = =

v 20

40

• λν

refractadop r m/s

Hzm= = =

v 24 5

400 6125

,,

41. Explica cómo es posible que sonando dos altavoces en una sala vacía hayapuntos de la misma donde no se oiga ningún sonido. ¿Ocurre algo similarsi solo hay un altavoz?

Esposiblequeenundeterminadopuntolainterferenciaentre

lasondasdelosdosaltavocesresulteenunainterferenciadestructiva,

deformaquetenganlamismaamplitudperosignoopuesto

y,portanto,susumaseanula.Estonopuedeocurrirsisolo

hayunaltavoz,yaqueconsolounaondanoseproducen

interferenciasenningúnpunto.

Elúnicoefectoquesepodríaproducirconunsoloaltavoz

esunaatenuaciónenlospuntosdondelaondadirecta



277

Solucionario

El sonido

ylareflejadaenlasparedesdelasalalleguenconsignos

opuestos.Nuncasepodránanular,yaquelaondareflejadaestará

atenuaday,portanto,noserestaránamplitudesiguales,

perosísepodrádetectarunadisminuciónenelsonido

percibido.

42. Dos ondas que tienen la misma frecuencia, longitud de onday amplitud se están moviendo en la misma dirección y sentido.Si su diferencia de fase es π /2 y cada una de ellas tiene una amplitud

de 0,05 m, halle la amplitud de la onda resultante.(La Rioja. Septiembre, 2000)

Podemosobtenerlaondaresultantedelainterferenciadedosondas

armónicasapartirde:

y y y = +A B →

→ y A t k x A t k x = ⋅ - +

+ ⋅ - =sen senωπ

ω1 22

( )

== ⋅ - +

+ -

A t k x t k x sen senω π ω1 2

2( )

Utilizamoslarelacióntrigonométricarelativaalasumadelseno

dedosángulos:

sen sen sen cosα βα β α β

+ = ⋅+

⋅-

22 2

;

α ωπ

; t k x - +1

2

; β ω; t k x - 2

Entonces:

y A

t k x

= ⋅ ⋅

- +

22

1

sen

ωπ

α

+ -

⋅

- +

( )

cos

ω

ωπ

β

t k x

t k x

2

1

2

2⋅

- -

αβ

ω

( )t k x 2

2→

→ y A

t k x x

= ⋅ ⋅⋅ - ⋅ + +

⋅2

22

2

1 2

sen

ωπ

( )

ccos

( )k x x ⋅ - +

2 12

2

π

→

→ y A k x x

t k x

= ⋅ ⋅ ⋅-

+

⋅ ⋅ - ⋅22 4

2 1cos

πωsen

11 2

2 4

++

x π



278


Laamplituddeestaondaresultanteserá:

A A k x x

res. = ⋅ ⋅ ⋅-

+

22 4

2 1cosπ

Silasondassemuevenenlamismadirecciónysentido,habrápuntos

Pdelmedioqueseencuentrenalamismadistanciadelosfocos

dondeseoriginanlasondas.Paraesospuntos:

A k res. m m= ⋅ ⋅ ⋅ +

=2 0 050

2 40 071, cos ,

π

43. Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentidotienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cmy una amplitud de 0,02m. Determine la ecuación de la ondaresultante y su amplitud si las dos ondas difieren en fase:

a) En π /6. b) En π /3.


Podemosobtenerlaondaresultantedelainterferenciadedosondasarmónicassumandoambasondas:

y y y = +A B →

→ y A t k x A t k x

A t

= ⋅ - + + ⋅ - =

= ⋅

sen sen

sen

( ) ( )

[ (

ω φ ω

ω

1 2

-- + + -k x t k x 1 2φ ω) ( )]sen

Utilizamoslarelacióntrigonométricarelativaalasuma

delsenodedosángulos:


+ = ⋅+

⋅-

22 2

;

α ωπ

; t k x - +12

; β ω; t k x - 2

y At kx t kx

= ⋅ ⋅- + + -

21 2sen

( ) (ω φ ω

α

))

cos( )

β

α

ω φ

2

1

⋅

- +⋅

t kx

- -( )ωβ

t kx 2

2→

→ y At k x x k x

= ⋅ ⋅⋅ - ⋅ + +

⋅

⋅2

2

2

1 2senω φ( )

cos( 11 2

2

+ +

x ) φ→

→ y Ak x x

t k x

= ⋅ ⋅⋅ - +

⋅ ⋅ -⋅

22

2 1 1cos

( ) (φωsen

++ +

x 2

2

) φ



279

Solucionario

El sonido

Laamplituddeestaondaresultanteserá:

A Ak x x

res. = ⋅ ⋅⋅ - +

22

2 1cos( ) φ

Paraestasondas:

k = = = -2 2

0 02100 1π

λ

ππ

, mm

a) Paraφπ

=

6

:

Ax x

res. = ⋅ ⋅⋅ -

+

2 0 02100

2 12

2 1, cos( )π π

ParapuntosPqueseencuentrenalamismadistanciadeambosfocos:

Ares. m= ⋅ ⋅

= ⋅ -2 0 0212

3 86 10 2, cos ,π

b) Paraφπ

=3

:

Ax x

res. = ⋅ ⋅⋅ -

+

2 0 02100

2 6

2 1, cos( )π π

ParapuntosPqueseencuentrenalamismadistanciadeambosfocos:

Ares. m= ⋅ ⋅

= ⋅ -2 0 026

3 46 10 2, cos ,π

44. Explica por qué lo que llamamos onda estacionaria no es una onda

de propagación.Lasondasestacionariasnosonpropiamenteondas,

yaquenopropaganlaenergíaenelmediocomolohacenlasondas

armónicas.Cadapuntodelmedioquesevesometidoaunaonda

estacionariavibraconunaamplitudquedependedesuposición

[2⋅A⋅cos(kx )].Enconsecuencia,laenergíadevibración

encadapuntoesdiferente,yexistenpuntos,losnodos,

enlosqueesnula.Diremos,enconsecuencia,quelasondas

estacionariasnosonondasdepropagación.

45. Explica las diferencias entre una onda pulsante y una onda estacionaria.

Unapulsaciónesuntipodeinterferenciaqueseproducecuando

coincidenenunmedioondasconfrecuenciassimilares.

Enelresultadodelasuperposicióndedosondasquetienenlamisma

amplitudyfrecuencialigeramentediferente,hayinstantes

enlosqueundeterminadopuntodelmediovibraconunaamplitud

sumadelasdosondasyotrosenlosquevibraconamplitud0.



280


Laondaqueresultasellamapulsación,yesunaondacuyaamplitud

varíaperiódicamenteenuntiempoT mod..Lapulsaciónesunaonda

deamplitudmodulada.

Seproduceunaondaestacionariacuandointerfierendosondas

armónicasdelamismaamplitud,frecuenciaylongituddeonda

quesepropaganensentidosopuestosyconoposicióndefase.

Comoresultadodelasuperposición,cadapuntodelaondavibra

entornoalaposicióndeequilibrioconunaamplitudquedepende

desudistanciaalorigen.Laondaestacionariapresentavientres

(puntosqueoscilanconunaamplitudqueeseldobledeladelasondasquesesuperponen)ynodos(puntosqueestánsiempre

enlaposicióndeequilibrio).Dosvientressucesivosodosnodos

sucesivosestánseparadosentresíunadistanciadeλ /2,

ylaseparaciónentreunnodoyunvientresucesivoesλ /4.

46. Explica por qué se dice que una pulsación es una onda de amplitudmodulada.

Enelresultadodelasuperposicióndedosondasquetienenlamisma

amplitudyfrecuencialigeramentediferente,hayinstantes

enlosqueundeterminadopuntodelmediovibracon

unaamplitudsumadelasdosondasyotrosenlosquevibra

conamplitudnula.Laondaqueresultasellamapulsación,

yesunaondacuyaamplitudvaríaperiódicamenteenuntiempoT mod.

Lapulsaciónesunaondadeamplitudmodulada.

Sedenominadeamplitudmoduladaporquelaamplituddelaonda

varíaasuvezperiódicamente:

Onda1

Onda2

Pulsación

T mod

47. En una onda estacionaria generada por interferencia de dos ondas, se cumple:

a) La amplitud es constante.

b) La onda transporta energía.

c) La frecuencia es la misma que la de las ondas que interfieren.




281

Solucionario

El sonido

a) Falso:laondaresultantetienevientresynodos,ysuamplitud

dependedeladistanciaalorigen.

b) Falso:enunaondaestacionarianohaytransportedeenergía,

porloquenoesestrictamenteunaonda.

c) Verdadero.

48. Una onda estacionaria sobre una cuerda tiene por ecuación:

y = 0,02 ⋅ cos (π /2) x ⋅ cos 40πt

donde x e y se miden en metros, y t , en segundos.

1. Escribir funciones de onda para dos trenes de ondasque al superponerse producirán la onda estacionaria anterior.

2. Calcular la distancia que existe entre dos nodos consecutivos.3. Determinar la velocidad de un segmento de cuerda situado

en el punto x = 1 en cualquier instante.


Enunaondaestacionaria:

y y y = +A B →

→ y A t k x A t k x

A t k x

= ⋅ + + ⋅ - =

= ⋅ +

sen sen

sen

( ) ( )

[ ( )

ω ω

ω ++ -sen( )]ωt k x

Utilizamoslarelacióntrigonométricarelativaalasuma

delsenodedosángulos:


+ = ⋅+

⋅-

22 2

;

α ω

π;

t k x - +1 2 ; β ω;

t k x - 2

y At k x t k x

= ⋅ ⋅+ + -

2 sen( ) ( )ω ω

α β

2

⋅+ -

cos( )ω

α

t k x (( )ω

β

t k x -

2→

→ → y A t k x y A k x t = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 2sen sen( ) cos( ) cos( ) (ω ω ))

Reescribimosnuestraondaestacionaria:

y x t = ⋅ ⋅

⋅ ⋅( ) =

= ⋅

0 022

40

0 02

, cos

,

cos π π

ccos senπ

ππ

240

2⋅

⋅ ⋅ -

x t

Comparando:

• 2 0,020,02

20,01 mA A= = =→

• k =π /2m-1 • ω =40πrad/s



282


1) Lafuncióndeondadelasondasquesesuperponenserá:

• y t x 1 0 01 402 2

= ⋅ ⋅ + ⋅ -

, sen ππ π

• y t x 2 0 01 402 2

= ⋅ ⋅ - ⋅ -

, sen ππ π

2) Ladistanciaqueseparadosnodosconsecutivosesλ /2:

k

k

= = = = = = =2 2 2

22 2

π

λ

λπ π

π

λ→ →4 m Distancia

4 m2 m

3) Obtenemoslavelocidadderivandolaposiciónconrespecto

altiempo:

v dy

dt

d x t

xx= =

⋅ ⋅

⋅ ⋅0 022

40, cos cos(π

π ))

, cos

=

= - ⋅ ⋅ ⋅

⋅

dt

x 0 02 40 2ππ

ssen( )40π ⋅ t

Parax =1m,v =0,yaque:

cosπ

20=

49. Una cuerda tensa, fija por sus dos extremos, tiene una longitudL = 1,2 m. Cuando esta cuerda se excita transversalmentea una frecuencia ν = 80 Hz, se forma una onda estacionariacon dos vientres.

a) Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondasen esta cuerda.

b) ¿Para qué frecuencia inferior a la dada se formará otra ondaestacionaria en la cuerda? Representa esta onda.


a) Dibujamoslaonda:

Enestecaso:

λ2

2

2=

⋅= =

LL 1,2 m

Lavelocidaddepropagaciónserá:

v p Hz m 96 m/s= ⋅ = ⋅ =ν λ 80 1 2,



283

Solucionario

El sonido

b) Lafrecuenciadadasecorrespondeconelsegundo

armónico:

ν ν2 0

2

22=

⋅=

v

L

p

Lafrecuenciainmediatamenteinferiorparalaqueseproduce

unaondaarmónicaseráladelprimerarmónico(frecuencia

fundamental):

ν ν1 0

2

80

2 1 2

33 3=

⋅

= = =v

L

p m/s

m

Hz

⋅ ,

,

50. Una cuerda de 40 cm con sus dos extremos fijos vibra en un modocon 2 nodos internos.

¿Cuál es la longitud de onda de la vibración?


Dibujamoslaonda:

Lacuerdavibraensutercerarmónico.Portanto:

λ3

2

3

2 0 4

3=

⋅=

⋅=

L , m0,267 m

51. Explique por qué, cuando en una guitarra se acorta la longitudde una cuerda, el sonido resulta más agudo.

(Andalucía. 2007)

Lacuerdadeunaguitarraformaunaondaestacionariaconnodos

enlosextremos:

Enestasituación:

ν ν1 02

=⋅

=v

L

p

Alacortarlalongituddelacuerda,disminuyeLy,portanto,aumenta

lafrecuenciadevibración.Lasfrecuenciasmásaltasseperciben

comosonidosmásagudos.



284


52. La ecuación de una onda sonora que se propaga en la direccióndel eje X es: y = 4 ⋅ sen 2π(330t − x ) (SI)

Calcula:

a) La velocidad de propagación.

b) La velocidad máxima de vibración de un punto del medioen el que se transmite la onda.

c) Suponiendo que su atenuación es imperceptible hasta una distanciade 50 cm del foco, ¿cuál será la amplitud de la ondaa una distancia de 5 m del foco?


a) Lavelocidaddepropagacióndeunaondaarmónicapuede

obtenersecomov p=λ⋅f .Obtendremoslosparámetros

porcomparaciónconlaexpresióngeneraldeunaondaarmónica:

y At

T

x x sen= ⋅ ⋅ ±

+

2 0πλ

φ

Comparando:

• ν = =1

T 330 Hz

• λ=1m

Portanto:

v p m Hz 330 m/s= = ⋅ =λ ν⋅ 330 1

b) Lavelocidadalaquevibranlospuntosdelmedioseobtiene

derivandolaexpresióndelaamplitudconrespectoaltiempo:

v dy

dt

d t x

dt x

x sen= =

⋅ ⋅ ⋅ -=

= ⋅ ⋅

[ ( )]4 2 330

2 330 4

π

π ⋅⋅ ⋅ ⋅ -cos[ ( )]2 330π t x

Portanto,suvalormáximoserá:

v máx. Hz m m/s= ⋅ ⋅ = ⋅2 330 4 8 3 103π ,

c) Laondasonoraesunaondatridimensional.Portanto,laamplitud

enunpuntoesinversamenteproporcionalaladistanciaalfoco:A

A

r

r

1

2

2

1

=

Sienelpunto1,situadoaunadistanciar 1=0,5mlaamplitudes

lamismaqueenelorigen(atenuaciónimperceptible),seráA1=4

m.QueremosobtenerlaamplitudA2enelpunto2,donder 2=5m:

A

A

r

r AA1

2

2

1 2

2

4 5

0 54

0 5

5= = = ⋅ =→ →

m m

mm

m

m0,4 m

,

,



285

Solucionario

El sonido

53. Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W.Calcule:

a) La intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente.

b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonoraes de 130 dB?

Dato: Intensidad umbral de audición, I0 = 10−12 W ⋅ m−2.

(C. Madrid, 2007)

a) Elsonidoesunaondatridimensional,porloquesusfrentes

deondasonesféricos.Determinamoslaintensidad

a10mdelafuentesegún:

I I 10 m

10 m

10 mW

m0,064= =

⋅=

⋅=

P

S

P

r 4

80

4 102 2π π( ) ( )→ WW/m2

b) Veamosprimeroaquéintensidadcorrespondeelnivelindicado

enelenunciado,130dB:

β = ⋅ = ⋅ =-10 130 10 10 13012log log l

I I 130 dB 130 dB

I → →

oog

I 130 dB

10 12-→

→ →

I I

130 dB130 dB

2W/m W10

10 10 10 1012

13 13 12

-

-= = ⋅ = / /m2

Relacionándolaconlaintensidada10mdelafuentepodemos

calcularladistanciaalaquesepercibeconesaintensidad:

I

I

I

I

1

2

22

1

210

102

2= =

r

r

r

r

r

→ →

→

130 dB

m

m

130 dB

1

( )

( )

330 dB m

m

130 dB

2

2m

W/m

W/m0= ⋅ = ⋅ =r 10

1010

0 064

10

I

I

,,,8 m

54. Una pequeña fuente sonora emite en el espacio con una potenciade 10 W, uniformemente distribuida en todas las direcciones(onda esférica).

a) Calcula la intensidad del sonido a 10 m de dicha fuente, en unidades

del SI.b) La intensidad de un sonido también puede medirse en decibelios (dB).

Explica en qué consiste la escala decibélica de medida de intensidadacústica.

c) ¿Cuál es la intensidad acústica, en dB, producida por nuestra fuentea 10 m de distancia?

La intensidad umbral del oído humano es I0 = 10−12 W/m2.




286


a) Paraunaondaesférica(tridimensional):

I = =⋅

=⋅

=P

S

P

r 4

10

4 100 008

2 2π π

W

mW/m2

( ),

b) Dadoquelarespuestasubjetivadeloídohumanoalaintensidad

delsonidonoeslineal,elniveldeintensidadsonoraresultamás

significativosiserepresentaenunaescaladiferentealasunidades

naturales.Estanolinealidadimplicaqueparapoderapreciar

queelvolumendeunsonidoeseldobledelotro,suintensidad

debeserdiezvecesmayor,ynoeldoble.Larelaciónentreambosnoeslogarítmica.

Sellamaniveldeintensidaddelsonidoβalarelación:

β = ⋅100

logI

I

I eslaintensidaddelaondasonoraquellegahastanosotros

eI 0eslaintensidadumbral(I 0 = 10-12W/m2).

Elniveldeintensidaddelsonidoesunamagnitudadimensional

y,asícalculada,seexpresaendecibelios(dB).c) Hemosobtenidoeldatodelaintensidadenunidadesnaturales

enelapartadoa).Deacuerdoconloexpuestoenelapartado

anterior:

β = ⋅ = ⋅ =-

10 100 008

012

log log,I

I 1099,031 dB

55. a) ¿Qué es la intensidad de una onda y en qué unidades se mide?

b) ¿La intensidad depende de la amplitud, de la frecuencia, o de ambas?c) ¿Qué es la intensidad sonora y en qué unidades se mide?

d) ¿Cuál es la intensidad sonora de una onda cuya intensidades de 10−6 W ⋅ m−2?

Dato: intensidad umbral = 10−12 W ⋅ m−2.


a) Intensidaddeunaonda(I )eslapotenciaporunidad

delamagnitudquedefineelfrentedeonda.• Paraunaondaunidimensional,eslapotenciaquealcanza

elpunto.

• Silaondaesbidimensional,eslapotenciaporunidad

delongitud.EnelSI,laintensidaddeunaonda

bidimensionalsemideenW/m.

• Paraunaondatridimensional,eslapotenciaporunidad

desuperficie.EnelSI,laintensidaddeunaonda

tridimensionalsemideenW/m2.



287

Solucionario

El sonido

b) Comolaintensidaddependedelapotencia,analizaremos

ladependenciadeestaconlafrecuenciaylaamplitud:

P dE

dt

d m A

dt

dm T

= =

⋅ ⋅

=

⋅

1

2

1

2

22 2ωπ

⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅

2

2

2 2 22

A

dt

Adm

dt π ν

Así,resultaquelapotencia(y,portanto,laintensidad)depende

delafrecuenciaydelaamplituddelaonda.

c) Laintensidadeslacualidaddelsonidoquepermiteidentificarlo

comofuerteodébil.Estárelacionadaconlaamplituddelaonda

sonora:lossonidosfuertessecorrespondenconamplitudesaltas,

ylosdébiles,conlasbajas.SepuedemedirenW/m2,

comolaintensidaddecualquierondatridimensional,peroresulta

mássignificativomedirloenunaescalalogarítmicaendB.

Sellamaniveldeintensidaddelsonidoβalarelación:

β = ⋅100

log I

I

I eslaintensidaddelaondasonoraquellegahastanosotroseI 0

eslaintensidadumbral(I 0 = 10-12W/m2).

Elniveldeintensidaddelsonidoesunamagnitudadimensional

y,asícalculada,seexpresaendecibelios.

d) Calculamoselniveldeintensidadsonora:

β = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

-

-10 10

10

100

6

12log log

I

I 10 6 60 dB

56. En un partido de fútbol un espectador canta un gol con una sonoridadde 40 dB. ¿Cuál será la sonoridad si gritaran a la vez y con la mismaintensidad sonora los 1000 espectadores que se encuentran viendoel partido?

I0 = 10−12 W/m2.


Pasamoselniveldeintensidadsonorade40dBaintensidad

enunidadesnaturales:

β = ⋅ = ⋅-

10 40 10100

12log log

I

I

I → →

→ → →logI I

10

40

104

1010

12 12

4

- -= = =

→ I = ⋅ =- -10 10 104 12 8W/m W/m2 2



288


Laintensidadproducidaporlos1000espectadoresserá:

I I

I

T2

T2

W/m

W/m

= ⋅ = ⋅

=

-

-

1000 1000 10

10

8

5

→

→

Obtenemoselniveldeintensidadsonoracorrespondiente:

β

β

= ⋅ = ⋅

= ⋅

-

-10 10

10

10

0

5

12log log

I

I

T2

2

W/m

10 W/m→

→ 77 70 dB=

Comoseve,alunir1000vocesseconsigueaumentarelnivel

deintensidadsonoraen:

70dB-40dB=30dB

57. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuentepuntual es directamente proporcional a la distanciaa la fuente.

b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumentode la intensidad del sonido en un factor de 1000.

(C. Madrid, 2006)

a) Laondasonoraestridimensional.Enunaondatridimensional,

laintensidaddelaondaenunpuntoesinversamente

proporcionalalcuadradodeladistanciaalfoco.

Larespuestaesfalsa.

I

I 1

2

2

2

12=

r

r

b) Ahoratenemos:

ββ

β

= ⋅ = =1010

100 0 0

10log logI

I

I

I

I

I

→ →

Siβ'=β+30dB:

I

I

I

I

'

'

'

0

10

0

30

10 10

30

10 10

10

10 10 10

=

= = =

++

β

β β β

→

→

I I I

I

I / 0

10 10

30

10

0

3

⋅ = ⋅

Esdecir:

I

I

I

I

I I '

'

0 0

1000 1000= ⋅ = ⋅→

Larespuestaesverdadera.



289

Solucionario

El sonido

58. Un muro de 60 cm tiene un espesor de semiabsorción de 80 cm.a) Si al muro llega una onda de 5 W/m2, ¿qué intensidad llega

a la segunda cara del muro?

b) ¿Qué espesor debería tener para que la intensidad del sonidose reduzca en un 80%?

Podemoscalcularelcoeficientedeabsorcióndelmedioapartir

deldatodelespesordesemiabsorción:

I

I

0

0 1 22

1

2

1 2

= ⋅

= - ⋅

=

- ⋅

eDβ

β

β

/

ln / → →

→

D

-- = - =ln ( , ) ln ( , )

, /

0 5 0 5

0 81 2D 0,87

Conestedatopodemosobtenerlaintensidadquellegaalasegunda

caradelmurode60cm:

I I = ⋅ = ⋅ =- ⋅ -0

0 65e e 2,97 W/m0,87 2β x · ,

Ahorabuscamoselespesorparaelquelaintensidadsereduce

al20 %delvalorinicial:

0 2 0 20 0 0 2

0 2

0 2, ln ( , )

ln

,,

,

⋅ = ⋅ = - ⋅

=

- ⋅I I e β βD D

D

→ →

→(( , )

,

0 2

0 87-= 1,85 m



290

NOTAS



La luz y la óptica8

291

• Laluzcomoproblemafísicohacaptadoelinterésdeloscientíficos

alolargodemuchosaños.Elestudiodeltema,aúnaestenivel,debe

reflejarlacontroversiaafindequeelalumnadocomprendacómo

surgieronlasdistintassolucionesycómolasevidenciasexperimentales,

olafaltadeellas,resultarondeterminantesparalaaceptación

delasteoríasvigentes.

• Eltemacomprendeloqueseconocecomoópticafísica

yópticageométrica.Enlaprimeraparteseaplicanalaluzlosprincipios

establecidoseneltemaanteriorparaelmovimientoondulatorio.

Enlasegundautilizamoslasconocimientosclásicosdelaópticageométricaparaconstruirlaimagenquelosespejos

ylaslentesformandeunobjetocuandoesteseencuentraadistintas

distanciasdeellos.

PRESENTACIÓN

• Conocerlacontroversiahistóricaacercadelanaturalezadelaluz.

Analizarlasevidenciasdesunaturalezacorpuscularydesunaturalezaondulatoriaycómolosestudiosteóricosdecantaronlacontroversia

haciaunateoríadual.

• Identificarlaluzcomounfenómenoondulatorio.Relacionar

lascaracterísticasdeunaradiaciónluminosa(longituddeonda,

frecuencia,periodoyvelocidaddepropagación)conlaecuación

delaondacorrespondiente.

• Conocerlosfenómenosrelacionadosconlapropagaciónrectilínea

delaluz(sombrasypenumbras,reflexiónyrefracción)ylasleyes

quelosgobiernan.

• Comprenderalgunosefectosexperimentalesrelacionadosconlosfenómenosanteriores,comolasilusionesópticas

relacionadasconlareflexiónylarefracción,lareflexióntotal

ylafibraóptica,laaparicióndelarcoiris,etc.

• Analizarelespectroelectromagnéticodesdeelpuntodevista

delosefectosdelasradiacionesenrelaciónconlaenergíaquetransportan.

• Conocerlosfenómenosrelacionadosconelcarácterondulatorio

delaluzycomprenderhechosquesonconsecuenciadelosmismos.

Analizardeformaespeciallasinterferenciasproducidas

porlacoincidenciaenelespacioyeneltiempodeondascoherentesyladifraccióncuandolaluzatraviesaobstáculosdepequeñotamaño

(experienciasdeYoungyFresnell).

• Entenderelconcepto«luzpolarizada»yconoceralguna

desusaplicaciones.

• Sercapazdeelaborarlaimagenqueunespejo(planoocurvo)ounalente

delgadaformandeunobjeto,dondequieraqueesteseencuentre.

Obtenerresultadosdeformagráficaymatemática.

• Comprenderelfuncionamientodealgunosinstrumentosópticos,

muyespecialmenteelojohumano.

OBJETIVOS



292

8 La luz y la óptica

• Análisishistóricodelanaturalezacorpuscularyondulatoria

delaluz.

• Laluzcomounejemplodemovimientoondulatorio.

Característicasdelaondaluminosaysurelaciónconlaecuación

delaonda.

• Fenómenosrelacionadosconlapropagaciónrectilínea

delaluz(sombrasypenumbras,reflexiónyrefracción).

Leyesquelosgobiernan.

• Estudiodelespectroelectromagnético.

• Fenómenosrelacionadosconelcarácterondulatoriodelaluz.

Interferencias(experienciadeYoung),difracción(experiencia

deFresnell)ypolarización.

• Laópticageométrica.PrincipiosbásicosynormasDIN.

• Reflexiónenespejosplanosycurvos.Obtencióndeimágenes

deformagráficayanalítica.

• Refracciónenundioptrioesférico.

• Refracciónenlentesdelgadas.Obtencióndeimágenesdeformagráficayanalítica.

• Estudiodelojoyalgunosinstrumentosópticossencillos.

Conceptos

• Habituarseadistinguirentreunefectoópticoyelfenómenoreal

queloproduce.

• Adquirirdestrezaenelestudiográficoquepermiteanalizar

laimagendeunobjetoquesepuedeobtenerpormediodeespejos

ylentesdelgadas.

• Comprenderlanecesidaddelestablecimientodenormasalestilo

delasnormasDIN.


• Reconocerlaimportanciadelaexperimentaciónparalaaceptación

deteoríascientíficas.

• Comprenderelcarácterdemocráticodelacienciaalcomprobar

quelasteoríasdeuncientíficomenosreconocidosepueden

imponeralasdeotrosdemásprestigiosihayexperiencias

quelasavalen.

• Asumirlaimportanciadelacorrectarepresentacióngráfica

delosproblemascomomedioparafacilitarsuresolución.

Actitudes

CONTENIDOS



293


Deformaanálogaaloquesucedíaeneltemaanterior,aquísemanejanconceptos

quetienenampliarepercusiónenaspectosnoacadémicos,loquesepuedeaprovechar

paraunaeducaciónenvalores.


Enlosúltimosañosseviertemuchainformaciónacercadelospeligros

deunaexposiciónincontroladaalosrayosultravioletasylanecesidaddeprotegerse

frenteasusefectos.Estosrayosformanpartedelespectroelectromagnético,

yelestudiodelmismopuedeayudaracomprenderelporquédeesanecesidad.

Asimismo,sepuedeaprovecharparacomentarelefectodeotrostipos

deradiaciones,desdelasenergéticasradiacionesionizantes,quejustificaneltemor

aunescaperadiactivo,hastalasmuchomenosinofensivasradiacionesderadio,

televisiónotelefoníamóvil.Sielprofesorloconsideraconveniente,puedeabrir

undebateparaqueelalumnadomuestresustemoresysepuedaanalizarlabase

científicadelosmismos.


Lasespecificacionesdemuchosaparatosquecompranlosjóvenesincluyen

magnitudescuyosignificadoseestudiaenestetema.Puedeserinteresantehacerunarecopilacióndelasqueaparecenenunaseriedeartículosdeusofrecuente

yestudiarsusignificado.


1. Conociendolosparámetroscaracterísticosdeunaradiaciónluminosa(periodo,

frecuencia,amplitud,longituddeondayvelocidaddepropagación),obtener

laecuacióndelaonda,yviceversa.2. Apartirdelasleyesdelareflexiónylarefracción,localizarlaimagendeunobjeto

cuandolosrayosdeluzlleganalasuperficiedeseparaciónentredosmedios

ysepropaganonoporelsegundo.

3. Determinarsienunasituaciónconcretasepuedeproducironoreflexióntotal

y,ensucaso,calcularelángulolímite.

4. Conocerelespectroelectromagnético.Sinnecesidadderecordardememoria

losdatosconcretosdelasradiaciones,relacionarsuenergíaconlosefectos

queprovocan.

5. Explicarlasseñalesqueresultandelainterferenciadedosondasdeluzcoherentes.Relacionarlosmáximosylosmínimosconsuposiciónsobreunapantallaylalongitud

deondadelaradiación,paraunainstalacióndeterminada.

6. Explicarlasfigurasqueresultandeladifraccióndeunhazdeluzmonocromática

atravésderendijasuobstáculospequeños.

7. Explicarelfenómenodepolarizacióndelaluzyconoceralgunadesusaplicaciones.

8. Sercapazdedeterminarlaimagenqueunespejo(rectoocurvo)ounalentedelgada

dandeunobjeto,dependiendodedóndeseencuentreeste.Sedebedescribir

laimagenqueresultaporprocedimientosgráficosyanalíticos.




294


1. Un rayo de luz que viaja por un medio con velocidad de 2,5 ⋅ 108

m/sincide con un ángulo de 30°, con respecto a la normal, sobreotro medio donde su velocidad es de 2 ⋅ 108 m/s.Calcula el ángulo de refracción.


Deacuerdoconlasleyesdelarefracción:

sen sen


i r

v v =

Sustituyendolosdatosdelenunciado:

sen sen sen senrefractado

incidente

r i r = ⋅ =

v

v → 330

2 10

2 5 100 4

8

8° ⋅

⋅

⋅

=

m/s

m/s,, →

→ r = =arc sen 23,6( , )0 4 °

2. La figura muestra un rayo de luz que avanzapor el aire y se encuentra con un bloque de vidrio.La luz en parte se refleja y en parte se refracta.Calcular la velocidad de la luz en este vidrioy su índice de refracción.

(n aire =1; c = 3,00 ⋅ 108 m/s.)

Aire

Vidrio

60°

70°


Elánguloqueformaelrayoreflejadoconlahorizontalnospermite

conocerelángulodeincidencia.Comoseapreciaenlaimagen:

Aire

Vidrio

60°

70°

i i

i = - =90 60 30° ° °

Tambiénapartirdelaimagenpodemoscalcularelángulo

derefracción:

r

= - =90 70 20° ° °

Calculamoslavelocidaddepropagacióndelaluzenelvidrio

apartirdelasleyesdelarefracción:

sen sen


i r

v v = →

→ v v refractado incidentesen

sen

sen

se= ⋅ =

r

i

20°

nnm/s m/s

303 10 2 05 10

8 8

°⋅ ⋅ = ⋅,



295

Solucionario

Pordefinición,sepuedecalcularelíndicederefracciónasí:

n c

v = =

⋅

⋅=

3 10

2 05 1046

8

8

m/s

m/s1

,,

3. Un rayo de luz monocromática que se propaga por el aire incidesobre una superficie de agua. Determina el ángulo de incidenciapara el cual el rayo reflejado es perpendicular al refractado.(El índice de refracción del agua vale 1,33.)

(Islas Baleares. Junio, 2006)

DeacuerdoconlaleydeSnell:

n n incidente refractadosen sen⋅ = ⋅i r

Laimagennospermiteestablecer

unarelaciónentrelosángulosincidente

yrefractado.Delenunciadosabemos

que:

a b+ = 90°

Enelesquema:

r i r i r i + + + = + + = = -a b 180 90 180 90° °→ →º º

Portanto:

n n incidente refractadosen sen sen⋅ = ⋅ ⋅ =i r i → 1 11 33 90, ( )⋅ -sen ° i

r

Comosen ( ) cos90° - =i i

:

1 1 33 1 33 1 3⋅ = ⋅ = → =sen cossen

cos

tgi i i

i

i

, , ,→ 33 53→ i = °

4. Un haz de luz monocromática incide desdeel aire sobre dos placas planas transparentesde índices de refracción n 1 = 2,30 y n 2 = 1,73

como indica la figura. Determina el ángulode refracción φ de la figura.


DeacuerdoconlaleydeSnell:

f

60°

n 1=2,30

n 2=1,73

n n ⋅ = ⋅sen sen1 2i r 1

Enelprimercambiodemediocalculamoselángulo

derefraccióndelprimermedioalsegundo.

Aire

Agua

ba

i i

r



296


Esteánguloserá,asuvez,elángulodeincidenciadelcambio

delsegundomedioaltercero( )r i 1 = 2 .

n n ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen sen1 1 1i r r 1 1 60 2 30→ →° ,

→ →sensen

0,3765 arc sen1 1r r = = =60

2 300 3765

°

,( , )) → r 1 22,12 = °

DenuevoaplicandolaleydeSnellpodemosobtenerelángulopedido:

n n

i r

1 2sen sen⋅ = ⋅ ⋅

=

i

2 2 30 0 3765

2 1

f → , , == ⋅1 73, sen f →

→ → →sen 0,5 arc sen 3f f f=⋅

= = =2 30 0 3765

1 730 5

, ,

,( , ) 00°

5. ¿Cuál es el ángulo límite para la reflexión total interna en el aguade un lago? El índice de refracción del agua es 1,33.


Localcularemosteniendoencuentaqueelánguloderefraccióncorrespondientedebeser90°.EnfuncióndelaleydeSnell,obtenemoselángulodeincidencialímiteparareflexióntotal:

n n 1 2sen sen sen sen⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅i r i → →1 33 1 90, °

sensen

0,75 sen 0,75 48i i i = = = =90

1 33

°

,arc ( )→ → ,,6°

6. El ángulo límite vidrio-agua es de 60°. Un rayo de luz, que se propaga

por el vidrio, incide sobre la superficie de separación con un ángulode 45° y se refracta dentro del agua.

a) Explique qué es el ángulo límite y determine el índice de refraccióndel vidrio.

b) Calcule el ángulo de refracción en el agua.

Dato: índice de refracción en el agua, n a = 1,33.

(Andalucía, 2006)

a) Sedenominaángulolímiteocríticoalmayoránguloquepuedeformarunrayoincidenteconlanormalparaqueseproduzcarefracción;unángulodeincidenciamayorqueelángulolímiteproducereflexióntotal.

Vidrio

Agua

Ángulolímite

i

r



297

Solucionario

b) Esteángulodeincidenciaserátalqueelánguloderefracción

seade90°.Paraunángulodeincidenciamayornohabrá

fenómenoderefracciónyseproduciráreflexióntotal.

Obtenemoselíndicederefraccióndelvidrio(medioincidente)

apartirdelaleydeSnell,teniendoencuentaqueelángulo

refractadodebeserde90°:

n n n

n

1 2 1

1

60 1 33 90⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen seni r → →

→

° , º

==⋅

=1 33 90

60

, sen

sen

1,54°

°

b) NuevamenteutilizandolaleydeSnell(medioincidente:vidrio,

mediorefractado:agua):

n n 1 2 1 54 45 1 33⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen sen

s

i r r → →

→

, ,°

eensen

0,81

arc sen

r

r

=⋅

=

=

1 54 45

1 33

0 81

,

,

( , )

°→

→ →→ r = 54°

7. Si el índice de refracción del diamante es 2,52, y el del vidrio, 1,27:

a) La luz se propaga con mayor velocidad en el diamante.

b) El ángulo límite entre el diamante y el aire es menor que entreel vidrio y el aire.

c) Cuando la luz pasa del diamante al vidrio, el ángulo de incidenciaes mayor que el ángulo de refracción.


a) Enestecaso:

n c

v v

c

n = =→

Laluzsepropagaráamayorvelocidadenelmedioconmenor

índicederefracción.Enestecasosepropagaráconmayor

velocidadenelvidrio,luegolaafirmaciónesfalsa.

b) Elángulolímiteesaquelqueproduceunánguloderefracción

de90°conlanormal.UtilizamoslaleydeSnellparadeterminar

elángulolímite:

n n

n

n

n

n

1 2

2

1

2

1

90

⋅ = ⋅

= ⋅ =

sen sen

sen sen

i r

i i

→

→ →º

límite arc sen=

n

n

2

1

Paraeldiamante:

i límite arc sen 23,38=

=1

2 52,°



298


Paraelvidrio:

i límite arc sen 51,94=

=1

1 27,°

Portanto,laafirmaciónesverdadera.

c) Cuandolaluzpasaaunmediomenosrefringente(menorn ),

sealejadelanormal.Enestecasoocurreasí,puesto

queeldiamantetienemayoríndicederefracciónqueelvidrio.

Portanto,elánguloderefracciónserámayorqueeldeincidencia.

Laafirmaciónesfalsa.

8. Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de unalámina de vidrio, de caras planas y paralelas, con un ángulo de incidenciade 30°. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5 cmy su índice de refracción es 1,5.

a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que formael rayo que emerge de la lámina con la normal.

b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.(Andalucía, 2006)

a) Podemosverenelsiguientediagramacuáleselcaminoseguido

porelrayoalincidirsobrelaláminadevidrio:

Aire

Aire

d

e

Rayo

emergente

Rayo

incidente

Vidrio

i 1

Elrayoqueemergedelaláminaformaunánguloconlanormal

igualalqueformaelrayoincidente.Sielángulo

deincidenciaesde30°,elrayoqueemergeformaráunángulo

tambiénde30°conlanormal.Locomprobamosutilizando

laleydeSnell.

• Entreelaireyelvidrio:

n n 1 1 2

1 30 1 5

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

sen sen

sen sen se

1

1

i r

r

→

→ →° , nn 1r = 0 33,

r 1

i 2



299

Solucionario

• Entreelvidrioyelaire.

Elánguloderefracciónanterior

eselángulodeincidenciaeneste

caso( )i r 2 = 1 :

n n

n

2 2 3

1 1

⋅ = ⋅

=

sen sen 2i r

→

1 5 0 33 1⋅ = ⋅ sen 2r → →, ,

→ →sen 2 2r r = =0 5 30, °

b) Ampliandolazonaquemuestra

elcaminodelaluzdentrodelvidrio

sededuce,portanto,que:

sen 1 1r r = =0 33 19 45, ,→ →°

r 1

e s r

1

r 1

1r = 0 94cos ,→

Portanto:

e s s e

= ⋅ = = =coscos ,r

r 1

5 cm5,32 cm

→

10 94

9. Sobre un prisma cúbico de índice de refracción n situado en el aire incide un rayo luminosocon un ángulo de 60°. El ángulo que forma el rayoemergente con la normal es de 45°. Determine:

a) El índice de refracción n del prisma.

b) El ángulo que forman entre sí la dirección

del rayo incidente en A con la dirección del rayo

60°

B

A

45°

emergente en B.


a) Apartirdelaley

deSnellobtenemos

elíndicederefracción

pedido:

n n n

n

1 1 2

2

2

1 60 45⋅ = ⋅

⋅ = ⋅sen sen

sen sen1i r

→

→ →

→

º °

== =sen 60

sen 451,225

°

°

b) Téngaseencuentaque

lasegundarefracciónsehace

i 2

r 2

B

A

45°

60°

sobreunacaralateraldelprisma.

i r 2 90 90 45 45= - = - =° ° °1 º

r 2

b

n 1

n 1

n 2



300


AplicamoslaleydeSnellaestasituación:

n n 2 2 1 1 225 45 1⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen sen2 2i r r → →, °

→ → →sen arc sen2 2 2r r r = = =0 866 0 866 60, ( , ) °

Elángulopedidoenelenunciadoes:

r 2 - = - =b 60 30 30° ° °

10. ¿Es posible aprovechar el fenómeno de la refracción de la luz para generarun arco iris iluminando las gotas de lluvia con un haz láser de luz roja?

Noesposible.Laradiacióndeunláserdeluzrojaesunaradiación

puraformadaporunasolafrecuenciaysepropagatoda

aunadeterminadavelocidad.Notienecomponentesdiversas

propagándoseadistintasvelocidadescomolaluzblanca.

Solosepuedesepararunaluzenunarcoiriscuandolaluzestá

formadaporradiacionesdedistintasfrecuenciasquesepropagan

juntas,perocadaunatieneunavelocidaddepropagacióndiferente

cuandopasaaotromediodistintodelaire.

11. Explica en qué consiste el fenómenode dispersión de la luz.El índice de refracción del agua varía,dentro del espectro visible, entren R = 1,330 para luz de color rojoy n V = 1,344 para luz de color violeta.Un rayo de luz blanca incidedesde el aire (n = 1) sobre la superficie

j

dV

R

en calma de una piscina, con ángulo de incidencia j = 60°. Calculala dispersión angular (ángulo δ de la figura) que se observa en la luzvisible refractada.


Sellamadispersiónoesparcimientoalprocesoquesepara

unconjuntodeentesfísicosquesepropaganjuntos.Elprisma

produceladispersióndelaluz.

Cuandolaluzdelsolatraviesaunprisma,observamos

sudescomposiciónenloscoloresdelarcoiris.Larazónestriba

enquelaluzdelsoleselresultadodeotrasradiacionesmássimples.

Enelaire,todasellassepropaganalamismavelocidad(c ),

poresoapreciamoselefectoconjuntoqueeslaluzblanca.

Peroenunmediodiferente(elvidriooelagua),cadaradiación

sedesplazaaunavelocidadpropia,loquehacequesusángulos

derefracciónseandiferentes(recordarlaleydeSnell).

Elfenómenoserepitealsalirdelasegundacara,loqueincrementa

laseparaciónentrelasradiacionesypermitequeseaprecien

loscoloresdeformadiferenciada.



301

Solucionario

Calculamoselánguloderefracciónparalaluzrojayparalavioleta.

Ladiferenciaentreestosdosángulosseráladispersiónangular

quesepide.UtilizamoslaleydeSnellencadacaso.

Luzroja:

n n 1 1 60 1 33⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen senR R Ri r r → →° ,

→ → →sensen

0,65 arc senR R Rr r r = = =60

1 330 65

°

,( , ) = 40,6

Luzvioleta:

n n 1 1 60 1 344⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅sen sen sen senV V Vi r r → →° ,

→ →sensen 60

0,644 arc sen 0,644V Vr r = = =°

1 344,( ) →→ r V 40,1 = °

Portanto:

d = - = - =r r R V 0,5 40 6 40 1, ,° ° °

12. a) Razone si tres haces de luz visible de colores azul, amarillo y rojo,

respectivamente:iii) Tienen la misma frecuencia.

iii) Tienen la misma longitud de onda.

iii) Se propagan en el vacío con la misma velocidad.

b) ¿Cambiaría alguna de estas magnitudes al propagarse en el agua?

(Andalucía, 2006)

a) Acadacolorlecorrespondenunalongituddeonda

yunafrecuenciadeterminadas.Larelaciónentrelalongitud

deondaylafrecuenciavienedadaporlavelocidaddepropagacióndelaradiaciónelectromagnéticaenesemedio.

Cuandolaluzpasadeunmedioaotro,varíasuvelocidad

depropagaciónylalongituddeonda,peronosufrecuencia,

queescaracterísticadecadacolor.

v = ⋅λ ν

Enelaire,lavelocidaddepropagacióndetodaslasradiaciones

queformanlaluzes3⋅108m/s,perosuvalorcambiaenelagua

paracadaradiación.Portanto:

iii) Falso:lafrecuenciaescaracterísticadecadacolor.

iii) Falso:cadacolortieneunalongituddeondayfrecuencia

determinadas.

iii) Verdadero:enelvacíonoseaprecianloscolorescomponentes

delaluzblancaporquesepropagantodosalamismavelocidad.

b) Alpropagarseenelagua,lavelocidaddecadacolor

ysulongituddeondavarían,mientrasquesufrecuencia

permanececonstante.



302


13. Un haz de luz roja que se propaga en el vacío tiene una longitudde onda de 650 ⋅ 10-9 m. Al incidir perpendicularmente sobrela superficie de un medio transparente la longitud de onda del hazque se propaga en el medio pasa a ser de 500 ⋅ 10-9 m.

a) Calcular el índice de refracción del medio para esa radiación.

b) Notar que un rayo de luz que se propagase en el vacío y cuya longitudde onda fuese de 500 ⋅ 10-9 m sería de color verde.¿Quiere esto decir que la luz que se propaga en el medio transparentepasa a ser de ese color?

Dato: c = 3 ⋅ 108 m/s.(P. Asturias. Junio, 2006)

a) DeacuerdoconlafórmuladePlanck:

E h h c

= ⋅ = ⋅νλ

Paraelcasodelvacíoydelmediodondelavelocidad

delaluzesv medio:

• E h h c vacío vacío

vacío

= ⋅ = ⋅νλ

• E h h v

medio mediomedio

medio

= ⋅ = ⋅νλ

Alcambiardemedio,laenergíadelosfotonesserálamisma;

portanto,será:

E E h c

h v c

vacío medio

vacío

medio

medio va

= ⋅ = ⋅→ →

λ λ λccío

medio

medio

=v

λ [1]

Porotraparte,sabemosque,pordefinición:

n c

v n

v

c = =

medio

medio→

1 [2]

Entonces,retomando[1]yusando[2]:

c

c

v

c n ⋅=

⋅= ⋅

λ λ λ λvacío

medio

medio vacío medio

→1 1 1

→→

→n = =⋅

⋅=

-

-

λ

λ

vacío

medio

m

m

650 10

500 101 3

9

9,

b) No,lacoloraciónsemantienealcambiardemedio.Cuando

laluzpasadeunmedioaotro,losfotonesquelaintegran

pasanalnuevomedioconlaenergíaquetransportan

(esconstante).Poresosemantieneelcolor.Noobstante,como

enelnuevomediosedesplazaránaunavelocidaddistinta,

cambiarálalongituddeondadelaradiación.



303

Solucionario

14. Se ilumina con un láser de helio-neón que emite una luz roja de 633 nmuna lámina en la que se han hecho dos rendijas y se recogela interferencia que resulta en una pantalla situada a 1 m de la lámina.Se observa que el centro de la tercera banda brillante está 47 mmpor encima del punto en que incidiría la luz del láser si no estuviesela lámina. Calcula:

a) La separación entre las rendijas.

b) La distancia a la que se encontrará el centro de la segunda y la cuartabanda brillante.

a) Podemosobtenerlaseparaciónentrerendijas,d ,apartir

delaexpresión:

d n L

y = ⋅ ⋅λ

Deacuerdoconlosdatosdelenunciado:

• n =3porserlatercerabanda.

• L=1m.

• y =47mm.

• λ=633nm.

Portanto:

d n L

y = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

-

-

-λ 3 633 10

1

47 104 04 10

9

3

5mm

mm,

b) Podemoscalcularlasdistanciaspedidasapartirde:

y n L

d = ⋅ ⋅λ

Segundabanda:

y L

d 2

9

5

2

2 633 101

4 04 10

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

=-

-

λ

mm

m0,0313 m

,== 31,3 mm

Cuartabanda:

y L

d

4

9

5

4

4 633 101

4 04 10

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

=-

-

λ

mm

m0,0627 m

,== 62,7 mm

15. Para determinar la longitud de onda de una radiación se la hace pasarpor un orificio de 3 mm de diámetro y se recoge el resultadoen una pantalla que se ha colocado a 1 m de distancia del orificio.En el centro se observa un disco luminoso que tiene una anchurade 4 mm. ¿Cuál es el valor de la longitud de onda?



304


Eldiscoluminosoobservadoenelcentroestádelimitadoporelprimer

mínimodedifracción:

y n L

a = + ⋅

⋅( )2 1

λ

Como n =0:

y L

a

y a

L=

⋅=

⋅=

⋅= ⋅

-λλ→

0 002 0 003

110

6, ,m m

m6 m

16. Razona acerca de la veracidad o falsedad de la frase siguiente:«El uso de gafas polarizadoras modifica la intensidad de la luz que llegaa nuestros ojos, pero no el color de los objetos que observamos».

Esverdadera.Aleliminarlascomponentesdelaondaenalguna

delasdirecciones,laintensidadtotaldelaondadisminuye,

yaqueseabsorbelaintensidadcorrespondienteaestascomponentes.

Sinembargo,entodaslasdireccioneslaluzvibraconlamisma

frecuencia,porloquesucolornovariará.

17. Dos espejos planos están colocados perpendicularmente entre sí. Un rayoque se desplaza en un plano perpendicular a ambos espejos es reflejadoprimero en uno y luego en el otro espejo. ¿Cuál es la dirección finaldel rayo con respecto a su dirección original?

(Castilla y León, 2008)

Ladirecciónfinalserá

paralelaaladirección

originaldelrayo,yaque

elánguloqueformaelrayoreflejadoconelplano

decadaespejoesigual

alángulodeincidencia.

Lovemosporgeometría

enelesquema.

Lanormalaunladoesparalelaalotrolado.Sielánguloqueforma

elrayoincidenteconlanormalalprimerladoesi ,elángulo

queformaelsegundorayoreflejadoconelsegundoladoes90°-i .

18. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de 0,5 m. Determinaanalítica y gráficamente la posición y el aumento de la imagende un objeto de 5 cm de altura situado en dos posiciones diferentes:

a) A 1 m del espejo. b) A 0,3 m del espejo.


a) ElobjetoseencuentraalaizquierdadeC:

LaimagenseformaentreCyF,esdemenortamañoeinvertida.

90°-i 90°-i

i

i



305

Solucionario

DeterminamoseltamañoylaposiciónexactosutilizandolaecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN.

Hayquerecordarqueladistanciafocalesigualalamitaddelradio

decurvaturadelespejo,f =r /2:

1 1 1 1 1 1

s s f s ' '

+ = +

-

=

-

→ →

100 cm 25 cm

→ →

→

1 1

100

1

250 03

1

0 03

s

s

'

'

= - = -

=

-

=

-

-

cm cmcm

cm

1

1

,

,--33,33 cm

s ' <0,loqueindicaquelaimagenestáalaizquierdadeO.

CObjeto

Imagen

s =1m50cm

s '=33,3cm

F

O

Aumento:

y

y

s

s

y

y

' ' '

'

= - → = --

-

= -

5

33 33

100

33 33

cm

cm

cmcm

,

,

→

→⋅⋅

= -5

1001 67

cm

cmcm,

y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertidaconrespecto

alobjeto.

b) ElobjetoseencuentraentreCyF.Laimagenseforma

alaizquierdadeC,esdemayortamañoeinvertida.

Determinamoseltamañoylaposiciónexactosutilizando

laecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN:

1 1 1 1 1 1

25s s f s ' '

+ = +

-

=

-

→ →

30 cm cm

→ →1 1

30

1

250 006

s '= - = -

-

cm cmcm 1,

→ s ' =

-

= - = --

1

0 006,

cm150 cm 1,5 m

1



306


s ' <0,loqueindicaquelaimagenestáalaizquierdadelvérticeO.

ObjetoImagen

C

s '

s 50cm

F

O

Aumento:

y

y

s

s

y

y

' ' '

'

= - = --

-

= -⋅

→ →

→

5

150

30

150 5

3

cm

cm

cm

cm cm

00 cm25 cm= -

y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertidaconrespectoalobjeto.

19. Enumere las propiedades (real o virtual, derecha o invertida, mayor o menor)de la imagen que nos devuelve una cuchara por su parte convexay por su parte cóncava. Para demostrarlas, dibuje la marchade los rayos y la imagen que se obtiene de la flecha en el espejo esféricoconvexo de la figura. El punto C es el centro de curvatura del espejo.

C C


a) ElobjetoestáentreCyF,espejocóncavo:

C F OImagenObjeto

Imagen:

• AlaizquierdadeC. • Invertida.

• Real. • Mayor.



307

Solucionario

b) Espejoconvexo:

C

Objeto ImagenFO

Imagen:

• EntreOyF. • Derecha.

• Virtual. • Menor.

20. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de 10 cm.

a) Determine la posición y el tamaño de la imagende un objeto de 5 cm de altura que se encuentra frenteal mismo, a la distancia de 15 cm.¿Cómo es la imagen obtenida? Efectúe la construccióngeométrica de dicha imagen.

b) Un segundo objeto de 1 cm de altura se sitúa delantedel espejo de manera que su imagen es del mismo tipoy tiene el mismo tamaño que la imagen del objeto anterior.Determine la posición que tiene el segundo objetorespecto al espejo.

(C. Madrid. Septiembre, 2007)a) ElobjetoseencuentraalaizquierdadeC:

LaimagenapareceentreCyF,esinvertidaydemenortamaño.

Esunaimagenreal.

C

s 10cm

s '

F

OImagen


laecuaciónfundamentaldelosespejosjuntoconlasnormasDIN.

Objeto



308


Hayquerecordarqueladistanciafocalesigualalamitaddelradio

decurvaturadelespejo:

1 1 1 1 1

15

1

5

1 1

15

1

50 1

s s f s

s

' '

'

+ = +

-

=

-

= - = -

→ →

→

cm cm

, 331

0 13

1

1

cm

cm7,5 cm-

-=

-

= -→ s ',

s ' <0,loqueindicaqueestáalaizquierdadelvérticedelespejo.

Aumento: y

y

s

s

y

y

' ' '

'

= - = --

-

= -⋅

→ →

→

5

7 5

15

7 5 5

1

cm

cm

cm

cm cm

,

,

552 5

cmcm= - ,


alobjeto.

b) Buscamosunobjetoquedéunaimageninvertidadelmismotamañoquelaanterior:

y

y

s

s

s

s s s

' ' ''= -

-= - = ⋅→ →

2 5

12 5

,,

cm

cm

Entonces:

1 1 1 1

2 5

1 1

12 5

2 52 5

1

s s f s s

s s

'

+ = + =

-

⋅

+

⋅

=

-

→ →

→

,

,,

,

⋅ 5

55 5

5 cm cm

cm7 cm

→ →

→

1 2 52 5

1

3 5

2 5

+

⋅

=

-

=- ⋅

= -

,,

,

,

s

s

Elobjetotienequeestara7cmdelvérticedelespejo.

21. Calcule las distancias focales de un dioptrio esférico cóncavo de 0,1 mde radio en el que los índices de refracción de los dos mediostransparentes son n = 1 y n ' = 1,33.


Empleamoslasexpresionesobtenidasenellibrodelalumno.

Enestecaso,comoeldioptrioescóncavo,r <0.

• Focoimagen:

f r n

n n '

'

'

= ⋅

-

= - ⋅

-

= -101 33

1 33 1cm 40 cm

,

,



309

Solucionario

• Focoobjeto:

f r n

n n = - ⋅

-= - - ⋅

-= +

'

( ),

101

1 33 130cm cm

22. ¿Cuánto vale el radio de curvatura de las superficies de una lentebiconvexa simétrica de 5 D de potencia y 1,45 de índice de refracción?


Calculamosladistanciafocalapartirdelapotenciasegún:

P f

f P

= = = =1 1 1

5'

'→

D0,2 m

Lalenteesunsistemaformadopordosdioptrios.Deacuerdo

conlaecuaciónfundamental:

( )n r r f

'

'

- ⋅ -

=11 1 1

1 2

Silalenteessimétrica,r 1=-r 2=r :

( , ) ,1 45 11 1 1

200 45

2 1

2- ⋅ -

-

= ⋅ =r r r cm

→

00

0 45 2 20 1

cm

cm 8 cm

→

→ r = ⋅ ⋅ =,

23. a) Explicar qué es una imagen virtual.

b) ¿Puede fotografiarse una imagen virtual? ¿Por qué? Pon un ejemplosencillo.

c) Si tenemos un objeto situado a la izquierda de una lente divergentetal como se muestra en la figura, determinar gráficamente la posiciónde la imagen y el tamaño.

F'

d) ¿Cuáles son las características de la imagen?(Cantabria. Junio, 2007)

a) Imagenvirtual.Esunailusiónópticaqueseobtienealprolongar

lasdireccionesdelosrayosreflejadosdivergenteshasta

quecoinciden.

b) Unaimagenvirtualproducidaporunespejopuedetomarse

enunafotografía.Lacámarafotográficacaptalamismailusión

ópticaqueelojocuandopercibelaimagenvirtual.



310


c) Característicasdelaimagen:

• EntreOyF.

• Virtual.

• Derecha.

• Menor.

Objeto

F'F O

Imagen

24. Un objeto de 1 cm de altura está situado a 50 cm de una lenteconvergente de +15 cm de distancia focal.

a) Dibuja el diagrama de rayos correspondiente y especificalas características de la imagen.

b) Calcula la posición de la imagen.c) Halla el tamaño de la imagen.


a) Elobjetoestásituadoalaizquierdade2F.

Característicasdelaimagen:

• EntreF'y2F'.

• Real.

• Invertida.• Menor.

O

15cm 15cm

s 's

Objeto

ImagenF F'

b) Tenemos:

1 1 1 1 1

50

1

15

1 1

15

1

50

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

= -

→ →

→

cm cm

cm cmm0,04 cm

0,04 cm21,4 cm

=

= =

-

-

6

1

6

1

1

→

→ s '



311

Solucionario

c) Enestecaso:

y

y

s

s y

s y

s

' ''

'= =

⋅=

⋅

-

= -→21 4 1

50

, cm cm

cm0,43 cm

y '<0,loqueindicaquelaimagenestáinvertida.

25. Dos lentes convergentes, cada una de ellas de 10 cm de distancia focal,están separadas 35 cm. Un objeto está a 20 cm a la izquierdade la primera lente.a) Hallar la posición de la imagen final utilizando un diagrama de rayos

y la ecuación de las lentes delgadas.b) ¿La imagen es real o virtual? ¿Derecha o invertida?c) ¿Cuál es la amplificación lateral total de la imagen?


a) Respuestagráfica:

35cm

Objeto

Imagen2

Imagen1

F'2

F'1

F2

s '1

s '2

F1

s 1

s 2

1 0 c m 1 0 c m

Utilizamoslaecuacióndelaslentesparaobtenerlaposiciónfinal.

Paralaprimeralenteconvergente:

1 1 1 1 1

20

1

10

1 1

10

1 1 1 1

1

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

=

→ →

→

cm cm

cm-- =

= =

-

-

1

200 05

1

0 0520

1

11

cmcm

cmcm

,

,

→

→ s '

Laimagendelaprimeralenteseformará20cmasuderecha,estoes,

15cmalaizquierdadelasegundalente(entreFy2F).Repetimosloscálculosparalasegundalente;s 2=-15cmenestecaso:

1 1 1 1 1

15

1

10

1 1

10

2 2 2 2

2

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

=

→ →

→

cm cm

cm-- =

= =

-

-

1

153

1

330

1

21

cm0,0 cm

0,0 cmcm

→

→ s '



312


Laposiciónfinaldelaimagenserá30cmaladerecha

delasegundalente.

b) Enamboscasoselobjetodecadalenteseencuentra

entreFy2F.Enestascircunstanciaslaimagen

formadaesrealeinvertida.Resultaqueelobjeto

delasegundalenteeslaimagendelaprimera

(esdecir,invertido).Alinvertirlodenuevo,laimagenfinalesreal

yderecha.

c) Paralaprimeralente:

y

y

s

s

1

1

1

1

1' '

= = -

Nohayaumentolateral.

Paralasegundalente:

y

y

s

s

2

2

2

2

30

152

' '= =

-

= -

cm

cm

Eselaumentolateraltotal.

26. El ojo humano se asemeja a un sistema óptico formado por una lenteconvergente (el cristalino) de +15 mm de distancia focal.La imagen de un objeto lejano (en el infinito) se formasobre la retina, que se considera como una pantalla perpendicularal sistema óptico.

Calcula:

a) La distancia entre la retina y el cristalino.b) La posición de la imagen de un árbol que está a 50 m del cristalino

del ojo.

c) El tamaño de la imagen de un árbol de 10 m de altura que estáa 100 m del ojo.


a) Laecuacióndelaslenteses:

1 1 1

s s f ' '- =

Sielobjetoestá

enelinfinito,s =-∞.

1 1

s f s f

' '

' '= = =→ 15 mm

Imagen

Objeto

Retina

Laimagenseformaenunapantalla(retina)as '=15mm

delalente(cristalino).



313

Solucionario

b) Aplicamosdenuevolaecuacióndelaslentes.Sielobjetoestá

ens =-50m:

1 1 1 1 1

50

1

0 015

1 1

0 015

1

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

= -

→ →

→

m m

m

,

, 550

1

1

m66,646 m

1

66,646 m0,015 004 5 m

=

= =

-

-

→

→ s ' 115 mm

c) Laecuacióndelaslenteses:

1 1 1 1 1

100

1

0 015

1 1

0 015

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

= -

→ →

→

m m

m

,

,

11

100

0 015 002

1

1

m66,656 m

1

66,656 mm

=

= =

-

-

→

→ s ' , 15 mm

Aumento:

y

y

s

s

y ' ' '= =

-

= - ⋅ = --

→

10

0 015

100m

m

m1,5 10 m 1,5 mm3,

Seobtieneunaimageninvertidade1,5mmdealto.

27. Enuncie las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz, explicando

las diferencias entre ambos fenómenos.(Andalucía, 2007)

Leyesdelareflexión:

• Elrayoincidente,lanormalyelrayoreflejadoestánenelmismo

plano.

• Elángulodeincidenciacoincideconelángulodereflexión.

Leyesdelarefracción:

• Elrayoincidente,lanormalyelrayorefractadoestánenelmismoplano.

• Elángulodeincidenciayelderefracciónserelacionan

conlavelocidaddepropagacióndelaluzenambosmedios:

sen sen


i r

v v =

Ambosfenómenosocurrencuandounrayollegaalasuperficie

deseparacióndedosmedios.



314


Enelcasodelareflexión,elánguloqueformaelrayoreflejado

conlanormaleselmismoqueeldelrayoincidente.Además,elrayo

incidenteyelreflejadosepropaganenelmismomedio.

Porelcontrario,elrayorefractadoformaunángulodistinto

aldelrayoincidente,ysepropagaporelotromedio.

28. Un rayo de luz pasa de un medio a otro más denso. Indique cómo varíanlas siguientes magnitudes: amplitud, frecuencia, longitud de onday velocidad de propagación.

(Andalucía, 2007)Suponiendoqueambosmediossonidealesynoseconsidera

elrozamientointernodesuspartículas,elvalordelaamplitud

noseveafectadaporuncambiodedensidaddelmedio.

Lafrecuenciaestádeterminadaporlaenergíadelaradiación.

Suponiendounmedioideal,nohaypérdidasdeenergía.

Portanto,lafrecuenciatampocovaríaalcambiardemedio.

Elrayorefractadoporelmediomásdensotienelamisma

frecuenciaqueelrayoincidenteenlasuperficiedeseparacióndelmedio.

Cuantomayoresladensidaddelmedio,menoreslavelocidad

depropagación.Porestemotivolalongituddeondadelrayo

refractadoenelmediomásdensovaríatambién,según:

v f v

f = =λ λ⋅ →

Silavelocidaddepropagacióndisminuyeylafrecuenciasemantiene

constante,disminuirátambiénlalongituddeondadelrayorefractado.

29. Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre el aguade un estanque formando un ángulo de 20° con la normal.

a) ¿Qué ángulo formarán entre sí los rayos reflejado y refractado?

b) Variando el ángulo de incidencia, ¿podría producirse el fenómenode reflexión total? Razone la respuesta.

n aire = 1; n agua = 1,33.

(Andalucía, 2006)a) DeacuerdoconlaleydeSnell,obtenemoselángulodelrayo

refractadoconlanormal:

n n

n

n

1 2

1

⋅ = ⋅

= ⋅ =

sen sen

sen senaire

agua

i r

r i

→

→

11 3320

0 257

,

( , )

⋅ =

= =

sen 0,257

arc sen 14,9

°

°

→

→ r



315

Solucionario

Deacuerdoconlageometría

mostradaenlafigura,elángulo

buscadoesa + b.

Deldibujosabemos:

b

a

i

r

Aire

Agua

r i

r i

+ + + =

+ = - - = -

( )

,

a b

a b

180

180 180 14 9

°

° ° °

→

→ -- + =20 145 1° °→ a b ,

b) Pordefinición,sedenominaángulolímiteocríticoalmayor

ánguloquepuedeformarunrayoincidenteconlanormal

paraqueseproduzcarefracción;unángulodeincidenciamayor

queellímiteproducereflexióntotal.

Paraquesucedaestefenómenoelrayodeluzdebepasar

deunmediomásrefringenteaotromenosrefringente,

esdecir,demayoríndicederefracciónamenor

índicederefracción.

Enestecaso,elrayopasadeunmediodemenorn

amayorn .Portanto,nopuedeproducirseelfenómenodereflexióntotal.

30. Un haz luminoso de longitud de onda 550 ⋅ 10-9 m, que viajaa través del vacío, incide sobre un material transparente.El haz incidente forma un ángulo de 40° con la normal a la superficie,mientras que el refractado forma un ángulo de 26°. Calcular el índicede refracción del material y la longitud de onda del haz que se propagaen su interior.


UtilizamoslaleydeSnellparaobtenerelíndicederefracción

delmaterial:

n n n n 1 2 2 1 140

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅sen sensen

sen

seni r

i

r

→

°

ssen1,466

262

°→ n =

Apartirdeldatodelíndicederefracciónpodemosobtener

lavelocidaddepropagaciónenelmedio:

n c

v v

c

n = =→

Porotraparte,obtendremos

lalongituddeondadeacuerdo

conlaexpresión:

Aire

Agua

b

a

i i

r

v f v

= =λ λν

⋅ →

i



316


Lafrecuenciadelrayoincidenteyelrefractadoeslamisma,

porloquepodemosobtenerlaapartirdelalongituddeonda

enelvacío:

νλ

= =⋅

-

v c

550 109 m

→

→ →

→

λν

λ

22 2

9

9

2

550 10

550 10

1 466

3

= =

⋅

=⋅

=

-

-v

c

n

c

m

m

,

,775 107

⋅- m

Lafrecuenciadelaradiaciónnovaría,perolalongituddeonda,sí.

31. Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción n 1 y n 2.Si un rayo incide desde el medio de índice n 1, razone si las siguientesafirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Si n 1 > n 2, el ángulo de refracción es menor que el ángulo

de incidencia.b) Si n 1 < n 2, a partir de un cierto ángulo de incidencia se produce

el fenómeno de reflexión total.


a) UtilizamoslaleydeSnell:

n n 1 2⋅ = ⋅sen seni r

Cuandolaluzpasaaunmediomenosrefringente(menorn ),

sealejadelanormal.

Portanto,elánguloderefracciónesmayorqueeldeincidencia.

Laafirmacióna)esfalsa.

b) Paraquesucedaestefenómenoelrayodeluzdebepasar

deunmediomásrefringenteaotromenosrefringente.

Esdecir,demayoríndicederefracciónamenor


Enestecasosepasadeunmediodemenorn aunodemayorn .

Portanto,noseproducereflexióntotal.

32. Un rayo luminoso se propaga por un medio de índice de refracciónn = 1,5 e incide sobre la frontera de separación con otro medio de índicede refracción n ' = 1. Calcular los ángulos de reflexión y refraccióndel rayo en los casos:

a) El ángulo de incidencia del rayo es 20°.

b) El ángulo de incidencia es 60°. Comentar este resultado.




317

Solucionario

a) UtilizamoslaleydeSnellparacalcularelánguloderefracción:

n i n r

r n i

n

⋅ = ⋅

=

⋅

=

=

⋅

sen sen

sensen

sen

'

'

→

→

1 5 2, 00

1

°= 0,5130 →

Elángulodereflexióneselmismoqueelángulodeincidencia.

b) UtilizamoslaleydeSnellparacalcularelánguloderefracción:

n n n

n ⋅ = ⋅ =

⋅=

=⋅

sen sen sensen

sen

i r r i

''

→

1 5 60, °°

1= 1,2990

Elsenodeunángulonopuedevalermásdeuno.Esteresultado

indicaqueseproduceelfenómenodereflexióntotal,porque

elángulodeincidenciaesmayorqueelángulolímite.Nohayrayorefractado.

Elángulodereflexióneselmismoqueelángulodeincidencia.

33. Los índices de refracción del aire y del diamante son, respectivamente,1,0 y 2,4. Explica razonadamente en qué sentido debe viajar la luz paraque se produzca el fenómeno de la reflexión total. (Es decir, ¿desdeel aire hacia el diamante o viceversa?)

(Canarias. Septiembre, 2006)Pordefinición,sedenominaángulolímiteocríticoalmayoránguloque

puedeformarunrayoincidenteconlanormalparaque

seproduzcarefracción;unángulodeincidenciamayorqueellímite

producereflexióntotal.Paraquesucedaestefenómeno,elrayo

deluzdebepasardeunmediomásrefringenteaotromenos

refringente;esdecir,demayoríndicederefracciónamenor


Portanto,elrayodebepropagarsedesdeeldiamantehaciaelaire.

34. Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1,5 y de 1 cmde espesor, situada en el vacío, incide un rayo luminoso formandoun ángulo de 30° con la normal a la cara. Calcule:

a) El ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina.Efectúe la construcción geométrica correspondiente.

b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.


b

a

i i

r

n

n '



318


a) Podemosobservarelesquema

delasituaciónplanteada

enelenunciadoeneldibujo

deladerecha:

• n =1,5.

• d =0,01m.

• θ1=30°ybuscamoselvalordeθ2.

n

θ1=30°

d θ2

AplicamoslaleydeSnellparaobtenerelvalordelángulopedido.

• Entreelaireylalámina:

n n 1 1

1 30 1 5

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ =

sen sen

sen sen sen

θ r

r r

→

→ →° , 00 33,

n

d

θ2

θ1

i

r

• Entrelaláminayelaire:

Elánguloderefracciónanterioreselángulodeincidencia,

enestecaso:

n n ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

=

sen sen sen

sen

r 2 2 2

2

1 5 0 33 1

0

θ θ

θ

→ →

→

, ,

,55 302→ θ = °

b) Calculamoselángulor ysucoseno.

sen r r r = = =0 33 19 45 0 94, , cos ,→ →°

Calculamoselespacio(s )querecorrelaluzenelvidrioteniendo

encuentaelánguloqueformaelrayoconlanormaleneste

materialyelespesordelbloque.

coscos ,

r r

= = = =

d

s s

d →

1 cm1,06 cm

0 94

35. Se tiene un prisma óptico de índice de refracción

1,5 inmerso en el aire. La sección del prismaes un triángulo rectángulo isósceles comomuestra la figura. Un rayo luminoso incideperpendicularmente sobre la cara AB del prisma.a) Explique si se produce o no reflexión total

B

A C en la cara BC del prisma.

b) Haga un esquema gráfico de la trayectoria seguida por el rayo a travésdel prisma. ¿Cuál es la dirección del rayo emergente?


r



319

Solucionario

a) Sielrayoincideconlamismadirecciónquelanormal

alacaraABdelprisma,serefractasinmodificarsudirección

yllegaalacaraBCformandounángulode45°

conlanormalaesacara.

UtilizamoslaleydeSnellparacalcularelángulo

derefracciónenlacaraBC:

n n

n

n

1 2

1

2

1 5

⋅ = ⋅

=⋅

=⋅

sen sen

sensen sen

i r

r i

→

→, 445

1

°= 1,0607

Noesposiblequeelsenodeunánguloseamayorqueuno.

Portanto,sehaproducidoreflexióntotal.

Noexisteángulorefractadohaciafueradelprisma

enestacara.

b) ElrayoincidenteenlacaraAC

delprismaeselrayoreflejado

enlacaraBCporreflexióntotal.

Esterayoformaráunángulode45°conlanormal

alladoBCeincidiráconun

ángulode0°sobreelladoAC.

Alserparaleloalanormal,

serefractasinmodificar

sudirecciónyemergedelprisma

A

B

C

perpendicularmentealrayo

queincidesobrelacaraABdesdefueradelprisma.

36. Un rayo de luz de 600 nm de longitud de onda incide desde el aire sobrela superficie perfectamente lisa de un estanque de agua, con un ángulode 45° respecto a la normal.

a) Determine el ángulo de refracción del rayo al penetrar en el agua.

b) Calcule la longitud de onda del rayo en el agua.

c) Calcule la energía que tiene un fotón de esa luz.

Datos: índice de refracción del agua = 1,33;

constante de Planck, h =

6,63⋅

10-34

J⋅

s.(R. Murcia. Septiembre, 2006)

a) UtilizamoslaleydeSnelldelarefracción:

n n

n

n

1 2

1

2

1 45

⋅ = ⋅

=⋅

=⋅

sen sen

sensen sen

i r

r i

→

→°°

°

1 33

0 5317

,

( , )

=

= =

0,5317

arc sen 32,12

→

→ r



320


b) Lavelocidadesigualalafrecuenciamultiplicadaporlalongitud

deonda:v =λ⋅ν.Lafrecuenciadelrayoincidenteyelrefractado

eslamisma:

ν νλ λ

aire agua

aire

agua

agua

= =→c v

Podemosdeterminarlavelocidaddepropagacióndelrayo

enelaguaapartirdelíndicederefracción:

n c

v

v c

n

= =

agua

agua→

ν νλ λ λ λ

aire agua

aire

agua

agua aire agu

= = =→ →c v c

c

n

aa

aguaaire m

m

→

→ λλ

= =⋅

= ⋅

--

n

600 10

1 334 51 10

97

,,

c) ConlafórmuladePlanck:

E h h c

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

-

-

νλ

6 63 103 10

600 10

348

9, J s

m/s

m== ⋅

-3 32 10

19, J

37. Si un haz de luz láser incide sobre un objeto de pequeño tamaño(del orden de su longitud de onda):

a) Detrás del objeto siempre hay oscuridad.

b) Hay zonas de luz detrás del objeto.

c) Se refleja hacia el medio de incidencia.


Larespuestacorrectaeslab),yaqueseproduceelfenómeno

dedifracción.

38. En la polarización lineal de la luz:

a) Se modifica la frecuencia de la onda.

b) El campo eléctrico oscila siempre en un mismo plano.

c) No se transporta energía.


a) Falso:lapolarizaciónnoproducevariaciónenlafrecuencia.

b) Verdadero:traslapolarizaciónlineal,elcampooscilaenuna

únicadirección.Polarizarunaondatransversaleshacerqueel



321

Solucionario

vectorquerepresentalaperturbaciónvibreenunaúnicadirección

perpendicularaladeavancedelaonda:

c) Falso:laluztransportaenergíasegún:

E h h c

= ⋅ = ⋅νλ

39. Diga si es CIERTO o FALSO y razone la respuesta: «Una imagen virtuales aquella que podemos proyectar sobre una pantalla».


Falso:sobreunapantallasolosepuedeconstruirlaimagenqueresultadelaconvergenciadelosrayosqueprocedendelobjeto,

despuésdehabersufridoreflexiónorefracción.

Laimagenvirtualnoresultadelaintersecciónderayos;

esunailusiónópticaqueseobtienealprolongarlasdirecciones

delosrayosreflejadosorefractadosqueprocedendelobjetohasta

quecoincidenenunpunto.Porello,unaimagenvirtualnosepuede

proyectarenunapantalla.

Pensemos,comoejemplo,enlaimagenobtenidaenunespejo

plano;elojorecogelosrayosreflejadosqueprocedendecada

puntodelobjetoeinterpretalaimagencomoprocedentededetrás

delespejo,dondecoincidenlasdireccionesdeesosrayosreflejados.

a 1 a '1

a'

a 2 a '2

a

Imagenvirtual

Objeto

a '1=a 1; a '2=a 2;leydereflexión:a'=a yb'=b

Polarizador

Ondapolarizada

b'

b



322


40. ¿Qué se entiende por reflexión especular y reflexióndifusa? Enuncie las leyes de la reflexión.

Se tienen dos espejos, A y B, planos y perpendicularesentre sí. Un rayo luminoso contenido en un planoperpendicular a ambos espejos incide sobre unode ellos, por ejemplo el A, con el ángulo a mostrado en la figura. Calcule la relación entre

B

A

a

las direcciones de los rayos incidente en A y reflejado en B.


Lareflexiónespeculareslaqueseproducecuandoelrayoincidente

llegaaunasuperficiecuyasirregularidadessonmuypequeñas

enrelaciónconlalongituddeondadelaradiación;encasocontrario

tendremosunareflexióndifusa.Lareflexiónespecularpermiteobtener

unaimagen,realovirtual,delosobjetos.Lareflexióndifusa

nospermiteapreciarlosbordesdelosobjetosyconocersuforma

porobservacióndirecta.

Leyesdelareflexión:

• Elrayoincidente,lanormalyelrayoreflejado

estánenelmismoplano.

• Elángulodeincidencia

coincideconelángulo

dereflexión.

ElrayoincidenteenA

yelreflejadoenB

aa

90-a90-a

B

A

sonparalelos.Lovemosporgeometríaeneldibujo.

Lanormalaunladoesparalelaalotrolado,porloqueelánguloqueformaelrayoincidenteconlanormalalprimerlado(90°-a)

eselmismoqueelqueformaelsegundorayoreflejado

conelsegundolado(90°-a).

41. Un objeto O está situado a 60 cm del vérticede un espejo esférico, cóncavo, tal y como indicala figura. Se observa que la imagen producidapor el espejo es real e invertida, siendo su tamaño

la mitad del tamaño del objeto.a) Calcula la posición de la imagen y el radio

60cm

O

de curvatura del espejo.

b) Comprueba gráficamente los resultados mediante un trazado de rayos.


a) Sabemosque y =-2 y '.Yques =-60cm.

1 1 1 1 1

60

1

s s f s f ' '

+ = +

-

=→

cm



323

Solucionario

Apartirdelaecuacióndelaumento:

y

y

s

s

y

y

s

s

' ' '

'

= --

= -

-

=

=

-

-

→ →

→

/2

cmcm

cm

600 5

1

0 5

1,

, 1130= - cm

Entoncespodemoscalcularyaf :

1

30

1

60

1 10 05

1

0 05

1

1

-

+

-

= = -

=

-

-

-

cm cm

cm

cm

f f

f

→ →

→

,

,== -20 cm

Elradioeseldobledeladistanciafocal:

r f = ⋅ = ⋅ =2 2 20 40cm cm

b) Porlascaracterísticas

delenunciado,

debedetratarsedeunobjeto

situadoala

izquierdadeC: OFC

Imagen

Objeto

20cm

40cms

s '

42. Un estudiante afirma que puede hacer fuego orientando un espejoesférico cóncavo en dirección al Sol. Indica a qué distancia del espejohabría que situar un papelito para quemarlo. ¿Se podría hacer lo mismocon un espejo convexo? Justifica tus respuestas.


ComoelSolestámuyalejado,

podemossuponerque

losrayosquelleganalespejo

procedentesdeélson

paralelosalejedelobjeto.

Enconsecuencia,tras

reflejarseenelespejo

convergeránenelfoco.

Rayoincidente

F

Normal

EspejoC

Portanto,elpapelhayquecolocarloenelfoco.



324


Nopodríahacerselomismoconun

espejoconvexo,yaquelosrayos

quesereflejanenéldivergen.

Enconsecuencia,laenergía

quetransportannocoincideenningún

punto;elfocodelespejoconvexo

esvirtual.

CFO

43. Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores en cochesy camiones o en vigilancia de almacenes, con objeto de proporcionarmayor ángulo de visión con un espejo de tamaño razonable.a) Explique con ayuda de un esquema las características de la imagen

formada en este tipo de espejos.

b) En estos espejos se suele indicar: «Atención, los objetos estánmás cerca de lo que parece». ¿Por qué parecen estar más alejados?

(Andalucía, 2007)

a) Espejosconvexos.

Características

delaimagen:

• EntreOyF.

• Virtual.

• Derecha.

• Menor.

CFImagenObjeto O

b) Losobjetosparecenestarmásalejadosporquelaimagenvirtual

queelcerebrointerpretaesdemenortamañoqueelobjeto,

porloqueelefectoesequivalenteaunaimagenmásalejada.

44. Dado un espejo esférico de 50 cm de radio y un objeto de 5 cm de alturasituado sobre el eje óptico a una distancia de 30 cm del espejo, calculaanalítica y gráficamente la posición y tamaño de la imagen:

a) Si el espejo es cóncavo. b) Si el espejo es convexo.


a) Espejocóncavo,objetosituadoentreCyF:

F

ImagenObjeto

C

25cm

50cms '

s

O

Normal

RayoreflejadoRayo

incidente



325

Solucionario

LaimagenseformaráalaizquierdadeC,seráinvertidaydemayor

tamañoqueelobjeto.



1 1 1 1 1

30

1

25

2

s s f s

f r

' '

+ = +

-

=

-

=

→ →

cm cm

/

→ →

→

1 1

30

1

256

1

6

1

s

s

'

'

= - = -

=

-

-

cm cm

0,00 cm

0,00 cm

--

= -1

150 cm

s ' <0,loqueindicaqueestáalaizquierdadelvérticedelespejo.

Aumento: y

y

s

s

y

y

' '

'

= - = --

-

= -

⋅

'→ →

→

5

150

30

5 150

3

cm

cm

cm

cm cm

00 cm 25 cm= -


alobjeto.

b) Paraunespejo

convexo:

FImagenObjeto C

25cm50cm

s '

s



1 1 1 1 1

30

1

s s f s

f r

' '

+ = +

-

=

=

→ →

cm 25 cm

/2

1 1

30

1

253

1

s s

'

'= + = =-

cm cm0,07 cm 13,64 cm

→

s ' >0,loqueindicaqueestáaladerechadelvérticedelespejo.

O



326


Aumento:

y y

s s

y

y

' '

'

= - = -

-

=⋅

' ,

,

→ →

→

513 64

30

5 13 64

cmcm

cm

cm cmm

cm2,27 cm

30=

y '>0,loqueindicaquelaimagenesderechaconrespectoalobjeto.

45. Se tiene un espejo cóncavo de 20 cm de distancia focal.

a) ¿Dónde se debe situar un objeto para que su imagen sea real y doble

que el objeto?b) ¿Dónde se debe situar el objeto para que la imagen sea doble

que el objeto pero tenga carácter virtual?

Efectúa la construcción geométrica en ambos casos.


a) Queremosque y '=2 y ,f =20cm.Paraquelaimagenseamayor

queelobjeto,debesituarseelobjetoentreCyF.Laimagen

apareceráinvertida.Delaecuacióndelaumento:

y

y

s

s

y

y

s

s s s

' ' ''= -

-= - = - =→ →

22 2

Realizamosloscálculosaplicandolaecuacióndelosespejos:

1 1 1 1 1 1

20

1

2

1 1

20s s f s s s s s

' '

'

+ = + =

-

+ =

-

→ → →

cm cm

→ → →

→

1

2

2

2

1

20

3

2

1

20

20 3

2

s s s

s

+ =

-

=

-

=- ⋅

= -

cm cm

cm30 cmm 60 cm→ s s ' = ⋅ = -2

F OImagen

Objeto

C

s '

s 20cm

40cm



327

Solucionario

b) Paraobtenerunaimagenvirtualconunespejocóncavo,

elobjetodebecolocarseentreFyO.

Delaecuacióndelaumento:

y

y

s

s

y

y

s

s s s

' ' ''= - = - = = -→ →

22 2

Realizamosloscálculosaplicandolaecuacióndelosespejos:

1 1 1 1 1 1

20

1

2

1 1

20s s f s s s s s

' '+ = + =

- -

+ =

-

→ → →

cm cm

'

→ → →

→ →

1

2

2

2

1

20

1

2

1

20

2

-

+ =

-

=

-

= - = - ⋅

s s s

s s

cm cm

10 cm ' s s s = - ⋅ - =2 ( )10 cm 20 cm→ '

F ImagenObjetoC

s '20cm

40cm

s

46. a) La lente delgadaconvergentede la figura tieneuna focal imagenf ' = 40 cm.Calcula la posicióny el tamaño

O1 O2F F'

60cm

30cm

de la imagen de cada uno de los dos objetos indicados en la figura,O1 y O2, ambos de altura y = 2 cm.

b) Comprueba gráficamente tus resultados, mediante trazados de rayos.(Aragón. Septiembre, 2006)

• ObjetoO1:

1 1 1 1 1

60

1

40

1 1

40

1

1 1 1 1s s f s s ' ' ' '

- = -

-

= = -→ →

cm cm cm 660

31

3

11

1

cm

0,008 cm0,008 cm

120 cm

=

= = =-

-

→ s '

O



328


Aumento:

y

y

s

s

y 1

1

1

1

1

2

120

60

' ' '= =

-

→ →

cm

cm

cm

y 12 120

' = -

⋅

→cm cmm

cm4 cm

60= -

F F' Imagen1

Objeto1

s '

40cm 40cm

s

• ObjetoO2:

1 1 1 1 1

30

1

40

1 1

30

2 2 2

2

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

-

-

→ →

→

cm cm

cm==

= - = --

1

40

1 1

40

1

303

2

1

2

cm

cm cm0,008 cm

→

→ →

→

s

s

'

'

==

-

= --

1

0,008 cm 120 cm31

Aumento:

y

y

s

s

y y 2

2

2

2

22

2

120

30

2 120' ' ''= =

-

-

=

⋅

→ →

cm

cm

cm

cm cmm

cmcm

308=

F

Imagen2 Objeto2

s '40cm 40cm

s

F'



329

Solucionario

47. Mediante una lente delgada de focal f ' = 10 cm se quiere obteneruna imagen de tamaño doble que el objeto. Calcula la posición donde debe

colocarse el objeto si la imagen debe ser:

a) Real e invertida.

b) Virtual y derecha.

c) Comprueba gráficamente tus resultados, en ambos casos, mediantetrazados de rayos.


a) Queremosunaimagentalque y '=-2 y ,f =10cm.Paraquelaimagenseamayorqueelobjeto,debesituarseelobjeto

entre2FyF.Laimagenapareceráinvertida.Comoladistancia

focalimagenespositiva,lalenteesconvergente.


y

y

s

s

y

y

s

s s s

y

' ' ''

'

=

-

= = -→ →

22

Realizamosloscálculosaplicandolaecuacióndelaslentes:

1 1 1 1 1 1

10

1

2

1 1

10

1

2

s s f s s s s

s

' ' '

- = - =

-

- =

-

→ → →

→

cm cm

--

-

-

=

-

=

=

⋅

-

= -

( )2

2

1

10

3

2

1

10

3 10

215

s s

s

cm cm

cmcm

→ →

→→ s s ' = - = - ⋅ - =2 2 15 3( cm) 0 cm

F Imagen

Objeto

s '

10cm10cm

s

F'

b) Paraobtenerunaimagenvirtualde y '=2 y ,elobjetodebe

colocarseentreFyO.


y

y

s

s

y

y

s

s s s

y

' ' ''

'

= = =→ →

22



330


Realizamosloscálculos:

1 1 1 1 1 1

10

1

2

1 1

10

1

2

2

s s f s s s s

s

' ' '

- = - = - =

-

→ → →

→

cm cm

22

1

10

1

2

1

10

1 10

25 2

s s

s s s

=-

=

=- ⋅

= - =

cm cm

cmcm

→ →

→ → ' == ⋅ - = -2 5 10( )cm cm

Laimagenestásobreelfocoobjeto.

F

Imagen

Objeto

s ' 10cm

s

F'

c) Veresquemasanteriores.

48. Un objeto se coloca a 50 cm de una pantalla en la que se desea obtenersu imagen por medio de una lente convergente de +10 D.Calcula la posición donde hay que colocar la lente, entre el objeto

y la pantalla, para obtener una imagen nítida del mismo.

Apartirdelapotenciadelalenteobtenemossudistanciafocalimagen:

P f

f P

= = = = =1 1 1

10'

'→

D0,1 m 10 cm

s +s '=50cm→s '=50cm-s .Portanto:

1 1 1 1

50

1 1

10

50

50

1

1

s s f s s

s s

s s

' '

- =

-

-

-

=

+ -

⋅ -

=

→ →

→

( ) 00

50

50

1

10

500 50 50 500 02 2

→ →

→ →

s s

s s s s

⋅ -

=

= ⋅ - - + =

( )

Resolviendolaraízcuadradaseobtienendossoluciones:

• s 1=36,18cm. • s 2=13,82cm.

Losvaloresdes 'sonloscomplementarios.Asípues,

haydosposicionesposiblesparalalente.



331

Solucionario

1.aposibilidad:

• s 1=-36,18cm

• s '1=50-|s 1|=

=50cm-36,18cm=

=13,82cm

2.aposibilidad:

• s 2=-13,82cm

• s '2=50-|s 2|=

=50cm-13,82cm=

=36,18cm1.aposibilidad2.aposibilidad

Objeto

s '2

s '1

s 2

s 1

Pantalla

49. Con un banco óptico de longitud l se observa que la imagen producidapor una lente convergente siempre es virtual.¿Cómo se puede interpretar esto?


Lalongituddelbancoestalqueelobjetosiempresesitúa

entreFyO.Elbancoesdemasiadocorto.Paraobtenerunaimagen

realseríanecesariounbancomáslargoquepermitiesealejarelobjeto

másalládelpuntoF.

50. Un objeto de 3 cm de altura se coloca a 20 cm de una lente delgadade 15 cm de distancia focal; calcula analítica y gráficamente la posicióny el tamaño de la imagen:

a) Si la lente es convergente. b) Si la lente es divergente.


a) Lenteconvergente,objetosituadoentreFy2F:

s '

s

F Imagen

Objeto

15cm

15cm

F'

1 1 1 1 1

20

1

15

1 1

15

1

20

s s f s

s

' '

'

- = -

-

=

= -

→ →

→

' cm cm

cm cmm0,01 cm

0,01 cm60 cm

=

= =

-

-

6

1

6

1

1

→

→ s '



332


Aumento:

y

y

s

s

y y

' ' ''= =

-

=

⋅

-

= -→ →

3

60

20

60 3

20cm

cm

cm

cm cm

cm9 ccm

b) Lentedivergente:

s

F

ImagenObjeto

s ' 15cm15cm

F'

1 1 1 1 1

20

1

15

1 1

15

1

2

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

-

= - -

→ →

→

cm cm

cm 00

1

1

cm0,1167 cm

1

0,1167 cm8,57 cm

= -

=

-

= -

-

-

→

→ s '

Aumento:

y

y

s

s

y

y

' ' '

'

= =

-

-

=

- ⋅

-

→ →

→

3

8 57

20

8 57 3

cm

cm

cm

cm cm

,

,

220 cm1,29 cm=

51. Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas

convergentes, de distancias focales 10 cm la primera y 20 cmla segunda, separadas por una distancia de 60 cm.Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado 15 cm delantede la primera lente:

a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen finaldel sistema.

b) Efectúe la construcción geométrica de la imagen medianteel trazado de rayos correspondiente.




333

Solucionario

a) Paralaprimeralente:

1 1 1 1 1

15

1

10

1 1

10

1 1 1 1

1

s s f s

s

' ' '

'

- = -

-

=

=

→ →

→

cm cm

cm-- =

= =

-

-

1

153

3

1

11

cm0,0 cm

1

0,0 cm30 cm

→

→ s '

Laimagenseforma30cmaladerechadelaprimeralente.Comolaslentesestánseparadasentresí60cm,resultaqueesto

equivaleadecirqueseforma30cmalaizquierdadelasegunda.

Veamoseltamañodelaimagenproducidaporlaprimeralente:

y

y

s

s

y

y

1

1

1

1

1

1

0 2

30

15

30 0

' ' '

'

= =

-

=

⋅

→ →

→

,

,

cm

cm

cm

cm 22

15

cm

cm0,4 cm 4 mm= - = -

Paralasegundalente(s 2=-30cm):

1 1 1 1 1

30

1

20

1 1

20

2 2 2 2

2

s s f s

s

' ' '

- = -

-

=

= -

→ →

→

cm cm

cm

11

306

6

1

21

cm0,01 cm

1

0,01 cm60 cm

=

= =

-

-

→

→ s '

Laimagenfinalseforma60cmaladerechadelasegundalente.Veamoscuáleseltamañodelamisma( y '1= y 2):

y

y

s

s

y

y

2

2

2

2

2

2

0 4

60

30

60

' ' '

'

=

-

=

-

=

⋅

→ →

→

,

(

cm

cm

cm

cm --

-

= =

0 4

30

, cm)

cm0,8 cm 8 mm

b) Respuestagráfica:

F2F1

Objeto F'1

y '2

y '1

F'2

20cm20cm

30cm

10cm 10cm

15cm

Imagen1 Imagen2

60cm30cm

Lente1 Lente2



334


52. El ojo de la figura de abajoes miope. Dibujar el trazadode rayos en el ojo de la izquierday el punto aproximado de enfoque.

Este defecto se corrige con unade las dos lentes de la derecha.Dibujar el trazado de rayosy enfoque en la figura que corresponda.


Laspersonasmiopestienenelcristalinomásconvergente

delonormal.Porestemotivoenfocanbienlosobjetoscercanos,pero

losrayosprocedentesdelosalejadosconvergenenunpuntoanterior

alaretina,porloquelaimagenqueseformaenellaesborrosa.

Lamiopíasecorrigeconunalentedivergente(ladeabajo),quehace

queelfocodelconjuntolente+ cristalinosesitúesobrelaretina.

Objeto

Objeto

Retina

Imagen

Lentedivergente

Retina

Imagen



La física cuántica9

• ParaelalumnadoqueestudialaasignaturadeQuímicade2.º

deBachillerato,unabuenapartedelcontenidodeestetemasehabrá

abordadoenmomentosanterioresdelcurso.Esimportantequeelprofesoradotengaencuentaestehechoafindeproporcionar

lanecesariacoherenciaalosestudiosdesusalumnosyalumnas.

• Másqueprofundizarendesarrollosmatemáticos,sepondráelacento

encomprenderelalcanceylasconsecuenciasdelasexpresiones

analizadas.Esnecesarioincidirmuyespecialmenteenlaparte

deluniversoenlaquesonsignificativoslosefectoscuánticos.

Así,enmuchasocasioneslosprincipiosgeneralesnotendrán

consecuenciaenlosfenómenosqueexperimentancuerpos

macroscópicos,perosíseránsignificativoslosquesufrenpartículas

denivelsubatómicoodeunospocosdeátomos,

comolasnanopartículas.

PRESENTACIÓN

• Conocerlaexistenciadefenómenosquenosepuedenexplicar

conlosprincipiosdelafísicaclásica(laúnicaqueseconocíaafinales

delsigloXIX).

• ConocerlaleydePlanckcomoprimeraformulaciónmatemática

delacuantizacióndelaenergía.Comprenderlonovedosodelaidea.

• Estudiarelefectofotoeléctricoatravésdelasexperienciasquesellevaron

acaboysusconsecuencias.EntenderelbalanceenergéticodeEinstein

comounaaplicacióndelaideadelacuantización.

• Analizarlosespectrosatómicosycomprenderlaideadecuantización

quesubyaceenlosmismos.

• ReconocerelmodeloatómicodeBohrcomolaprimerateoríaacerca

delaconstitucióndelamateriaqueasumelaideadelacuantización.

• Comprenderelprincipiodeladualidadonda-corpúsculo

ysusconsecuenciasenfuncióndeltamañodelapartículaconsiderada.

• Conocerelprincipiodeindeterminaciónysusconsecuenciasenfunción

deltamañodelapartículaconsiderada.

• Identificarelmodelomecanocuánticodelátomoquesurge

delosdosprincipiosanteriores.

• Reconoceralgunasaplicacionesdelafísicacuánticaendispositivos

tecnológicosconocidos,comoelláser,lacélulafotoeléctrica,

lananotecnologíaoelmicroscopioelectrónico.

OBJETIVOS

335



336

9La física cuántica

• Fenómenosquenoexplicalafísicaclásica:laemisiónderadiación

porpartedeuncuerponegro.

• LaleydePlanckylaideadelacuantizacióndelaenergía.

• Elefectofotoeléctrico.InterpretacióndeEinstein.

• Elestudiodelosespectrosatómicosysurelaciónconlacuantización

delaenergía.

• ElmodeloatómicodeBohrparaelátomodehidrógeno.

• Losprincipiosbásicosdelafísicacuántica:principiodedualidadonda-corpúsculoyprincipiodeindeterminación.

• Consecuenciasdelosprincipiosdelafísicacuánticaencuerpos

macroscópicosyencuerposmicroscópicos.

• Algunasaplicacionesdelafísicacuántica:elláser,lacélula

fotoeléctrica,lananotecnologíayelmicroscopioelectrónico.

Conceptos

• Adquirirdestrezaenlainterpretacióndeunprincipioenrelaciónconeltamañodelapartículasobrelaqueseestudia.

• Mostrarcapacidadparaanalizarresultadosevaluandoórdenes

demagnitud,mejorqueresultadosnuméricosprecisos.

• Mostrarcapacidadpararelacionarundispositivotecnológico

conelprincipiofísicoquelosustenta.


• Reconocerelcaráctertentativodelacienciaanalizandohechosquenosepuedenexplicarconlosconocimientosactualesyquepueden

requerireldesarrollodeunanuevapartedelafísica.

• Comprenderlaimportanciadelosestudiosteóricos

delosquesepuedenderivarenelfuturoaplicacionestecnológicas

impensablesenelmomentodesuaparición.

Tomarcomoejemploloqueaquíseestudiadelafísica

cuánticaysusaplicaciones.

• Valorarelpapeldelacienciaennumerosasaplicaciones

queusamosadiario.

Actitudes

CONTENIDOS



337


Lafísicacuánticasepresentahabitualmentecomouncuerpodeconocimientos

muyteóricos.Noobstante,podemostomarejemplodelasdiscusionesqueacompañaron

asuestablecimientoparahacerunejerciciodeeducaciónenvalores.


Algunasdelastécnicasmásinnovadoraseninvestigaciónbiomédicaemplean

dispositivosquesebasanenlosprincipiosdelafísicacuántica,como

elmicroscopioelectrónicoyelmicroscopiodeefectotúnel.Además,

lananotecnologíasepresentacomounatécnicaesperanzadoraenlaaplicación

deterapiasfrenteacánceresyotrasenfermedadesmuyagresivas.

Sepuedenaprovecharestasideasparaquelosalumnosyalumnasaumenten

suconocimientoacercadelmundoquelesrodea,tomandocomopunto

departidauntemadegraninterés,comosonlasactuacionesrelacionadas

conlamejoraenelestadodesaluddelaspersonas.


Recordandoalgunodelosdebatescientíficosquesurgieronalrededor

delosprincipiosdelafísicacuánticaylodifícilqueresultósuaceptación

porcientíficosderenombre,sepuedeestablecerunadiscusiónenlaquelos

alumnosyalumnasanalicendistintasconsecuenciasdelosfenómenoscuánticos.Comoejemplosepuedeestudiarelmovimientodeunbalónolasconsecuencias

filosóficasdenotenercertezadellugarqueocupaunapartículaenelespacio.


Algunosdispositivosdelecturadedatosincluyenunhazláser.Lospunterosláser

sepuedenadquiririnclusoaunpreciomuybajo.Esfrecuentequecrucemos

puertasqueseabrenocierranpormediodecélulasfotoeléctricas.

Losconocimientosbásicosquesustentanestassituacionesdebenserconocidos

porlosconsumidoresconelfindequevalorenlasconsecuenciasdeadquirir

losdispositivosmásadecuadosalafunciónquedesean,sinquesumanejosupongaunriesgoparasímismosoparaotraspersonas.


1. InterpretarlaleydePlanck.Calcularlaenergíadeunaradiaciónylaenergía

quellevaundeterminadohazdefotones.

2. Analizarlosdistintosaspectosdelefectofotoeléctrico.Calcularlafrecuenciaumbral

yelpotencialdefrenadoparaunadeterminadaradiaciónincidente.

3. Reconocerfenómenoscuánticosenexperienciassignificativas,comoelefecto

fotoeléctricoolosespectrosatómicos.

4. Aplicarcuantitativamenteelprincipiodedualidadonda-corpúsculoyvalorar

susconsecuenciasparapartículasdetamañomuydiverso.

5. Aplicarcuantitativamenteelprincipiodeincertidumbreyvalorarsusconsecuencias

parapartículasdetamañomuydiverso.

6. Reconocerfenómenoscuánticosenalgunosdispositivos,comoelmicroscopio

electrónico,lacélulafotoeléctricaolasnanopartículas.




338


1. Al realizar una experiencia para estudiar el espectro de emisión térmicade un cuerpo negro encontramos que el máximo de emisión coincidecon la longitud de onda de 600 nm (color naranja). Calcula:a) La temperatura del cuerpo negro en esa experiencia.b) La intensidad de la radiación emitida.

a) DeacuerdoconlaleydedesplazamientodeWien:

λmáx. m K⋅ = ⋅ ⋅-T 2 898 10 3,

Conociendolalongituddeondadelaradiaciónpodemosobtener

latemperatura:

T =⋅ ⋅

=⋅ ⋅

⋅=

- -

-

2 898 10 2 898 10

600 10483

3 3

9

, ,m K m K

mλ00 K

b) AplicamoslafórmuladeStefan-Boltzmann:

I dE dt

S

S T

S T = =

⋅ ⋅= ⋅

/ σσ

44

Suponiendoquesetratadeuncuerponegroideal,

σ = ⋅ ⋅ ⋅- - -5 67 10 8 2 4, W m K .Portanto:

I T = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

- - -σ

4 8 2 4 45 67 10 4830

3 09 10

, ( )

,

W m K K

77 2W m⋅-

2. Un fotón de luz roja de 700 nm de longitud de onda tiene una energíaigual a 2,84 ⋅ 10-19 J. ¿Cuál es la energía de un fotón de luz verdede 550 nm?

(R. Murcia. Junio, 2006)CalculamoslaenergíadecadafotónutilizandolaexpresióndePlanck:

E h h c

= ⋅ = ⋅νλ

• E h c

roja

roja

= ⋅λ

• E h c

verde

verde

= ⋅λ

Sidividimosambasexpresiones:

E

E

hc

hc E E

roja

verde

roja

verde

verde rojar

= = ⋅λ

λ

λ→

ooja

verde

Jm

m

λ=

= ⋅ ⋅⋅

⋅=

--

-2 84 10

700 10

550 10

199

9, 33 61 10 19, ⋅

- J



339

Solucionario

3. Cuando incide sobre el potasio luz de 300 nm de longitud de onda,los fotoelectrones emitidos tienen una energía cinética máximade 2,03 eV.a) ¿Cuál es la energía del fotón incidente?b) ¿Cuál es el trabajo de extracción (función trabajo) del potasio?Datos: 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J; h = 6,625 ⋅ 10-34 J ⋅ s;c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1.


a) Calculamoslaenergíadelaradiaciónincidentedeacuerdo

conlaexpresióndePlanck:

E h h c

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅⋅

⋅

-

-

νλ

6 625 103 10

300 10

348

9, J s

m/s⋅

mmJ= ⋅

-6 625 10 19,

b) DeacuerdoconlaecuacióndeEinsteinparaelefectofotoeléctrico:

E W E W E fotón extracción C electrón extracción= + =→ f fotón C

J eVJ

1 e

- =

= ⋅ - ⋅⋅-

-

E

6 625 10 2 031 6 1019

19

, ,,

VVJ= ⋅

-3 38 10 19,

4. Al iluminar un cierto metal, cuya función de trabajo es 4,5 eV,con una fuente de 10 W de potencia que emite luz de 1015 Hz,no se produce el efecto fotoeléctrico. Conteste y razone si se producirá

el efecto si se duplica la potencia de la fuente.(R. Murcia. Junio, 2005)

Lapotenciadelafuentedeterminaelnúmerodefotonesemitidos

porunidaddetiempo.Siseduplicalapotencia,seduplicaelnúmero

defotones,peronolaenergíaquetransportan.

DeacuerdoconlaexpresióndeEinstein:

E W E h h m fotón extracción C electrón e= + ⋅ = ⋅ +→ ν ν0

1

2⋅⋅ v e

2

Portanto,seríanecesarioincrementarE fotón=h ⋅νparasobrepasar

eltrabajodeextracción(ofuncióndetrabajo)yqueseproduzca

efectofotoeléctrico.

Esinmediatoverquelaenergíadelfotónquedeberíamos

incrementardependedelafrecuenciadelaradiaciónemitida,

peroesindependientedelapotenciadelafuente.Asípues,

noseproduciráefectofotoeléctricoalduplicarlapotencia

delafuente.



340


5. El umbral fotoeléctrico del cobre viene dado por una longitud de ondaλ0 = 320 nm. Sobre una lámina de este metal incide una radiaciónultravioleta de longitud de onda λ = 240 nm. Hallar:a) El trabajo de extracción.b) La energía cinética máxima de los electrones liberados.Datos: constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; velocidad de la luz,c = 3 ⋅ 108 m/s.


a) DeacuerdoconlaexpresióndeEinstein:


1

2⋅⋅ v e

2

Calculamoseltrabajodeextracción:

W h h c

extracción

J s

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅-

νλ

0

0

348

6 63 103 10

,mm/s

m

J

320 10

6 216 109

19

⋅

= ⋅-

-,

b) Obtenemoslaenergíadelfotóndeacuerdoconlafórmula

dePlanck:

E h h c

fotón = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

-

νλ

6 63 103 10

240

348

, J sm/s

1108 288 10

9

19

-

-= ⋅

mJ,

Entonces:

E W E E E W fotón extracción C electrón C fotón ex= + = -→ ttracción

J J

=

= ⋅ - ⋅ = ⋅- -8 288 10 6 216 10 2 07219 19, , , 110 19- J

6. En una célula fotoeléctrica se ilumina el cátodo metálico con unaradiación de λ = 200 nm; en estas condiciones, el potencial de frenadopara los electrones es de 1 voltio. Cuando se usa luz de 175 nm,el potencial de frenado es de 1,86 V. Calcula:

a) El trabajo de extracción del metal y la constante de Planck, h .b) ¿Se produciría efecto fotoeléctrico si se iluminasecon luz de 250 nm?

Datos: e = 1,6 ⋅ 10-19 C; c = 3 ⋅ 108 m/s; 1 m = 109 nm.


a) DeacuerdoconlaexpresióndeEinstein:


1

2⋅⋅ v e

2



341

Solucionario

Expresadoenfuncióndelpotencialdefrenado:

h h q V ⋅ = ⋅ + ⋅ν ν0 e frenado

Planteamoslasdosecuacionesenfuncióndelosparámetros

quesecitanenelenunciado.(Comoenellibro,|q e |=e .)

• λ=200nm:

h c

h c

q V ⋅ = ⋅ + ⋅λ λ0

→e frenado

h

c

W ⋅ = +λ → extracción q q V e frenado →⋅

→ W h c

q V

h

extracción = ⋅ - ⋅ =

= ⋅⋅

λe frenado

m/s3 108

2200 101 6 10 1

9

19

⋅- ⋅ ⋅

-

-

mC V,

• λ=175nm:

W h

c

q V

h

extracción = ⋅ - ⋅ =

= ⋅⋅

λ e frenado

m/s3 10

1

8

775 101 6 10 1 86

9

19

⋅- ⋅ ⋅

-

-

mC V, ,

Entonces:

h

h

⋅⋅

⋅- ⋅ ⋅ =

= ⋅

⋅

-

-3 10

200 101 6 10 1

3 10

8

9

19

8

m/s

mC V

m

,

/ /s

m C V175 10 1 6 10 1 869

19

⋅ - ⋅ ⋅-

-

, , →

→ h h ⋅⋅

⋅= ⋅

⋅

⋅- ⋅ +

- -

-3 10

175 10

3 10

200 101 6 1 0

8

9

8

9

19, 11 6 10 1 8619, ,⋅ ⋅- →

→ →h h ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ -1 71 10 1 5 10 1 38 1015 15 19, , ,

→ →

→

h

h

⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅

=

⋅

-( , , ) ,

,

1 71 10 1 5 10 1 38 10

1 38

15 15 19

110

0 21 10 6 57 10

19

15

34-

-

⋅ = ⋅ ⋅, , J s

Calculamoseltrabajodeexpresiónconlaecuacióndeducida

anteriormente.Usamosparah elvalorquehemosobtenido:

W h extracciónm/s

mC= ⋅

⋅

⋅- ⋅ ⋅

-

-3 10

200 101 6 10

8

9

19, 11

6 57 103 10

200 101 6 1 034

8

9

V

J sm/s

m

=

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅- ⋅

-

-, , -- -

= ⋅19 198 25 10J J,



342


b) Calculamoslaenergíaaportadaporelfotónyvemossisobrepasa

eltrabajodeextracciónquehemosobtenidoenelapartadoanterior:

E h h c

fotón

J sm/s

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

-

νλ

6 42 103 10

250

348

,110

7 704 109

19

--= ⋅

mJ,

Dadoquelaenergíaesmenorqueeltrabajodeextracción,resulta

quenoseproduciríaefectofotoeléctrico.

7. Calcula la energía de la primera raya de la serie de Lyman, de la seriede Balmer y de la serie de Paschen para el átomo de hidrógeno y determinaen qué zona del espectro electromagnético se encuentra cada una.

Calcularemos,encadacaso,lalongituddeondacorrespondiente

alaradiación,yapartirdeestaobtendremoslaenergíasegún

laexpresióndePlanck:

E h h c

= ⋅ = ⋅ν

λLaseriedeLymansecorrespondecon:

1 1

1

1

2λL

= ⋅ -

R n

Ylaprimeralíneaseproduceparan =2.

18 226 106 1

λL

= ⋅ -

= ⋅ -10 967 757 11

2m

2,

Entonces:

E h c

L

L

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-

λ

6 63 10 3 10 8 226 1034 8 6, ,J s m/s m-- -= ⋅1 181 64 10, J

LaseriedeBalmersecorrespondecon:

1 1

4

1

2λB

= ⋅ -

R n

YlaprimeralíneadelaseriedeBalmerseproduceparan =3.

110 967 757

1

4

1

31 523 10

2

6 1

λB

= ⋅ -

= ⋅ -, m

Entonces:

E h c

B

B

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-

λ

6 63 10 3 10 1 523 1034 8 6, ,J s m/s m-- -= ⋅1 193 03 10, J

1/ λL



343

Solucionario

LaseriedePaschensecorrespondecon:

1 1

9

1

2λP

= ⋅ -

R n

YlaprimeralíneadelaseriedePaschenseproduceparan =4.

11 0967 757

1

9

1

45 332 10

2

5 1

λP

= ⋅ -

= ⋅ -, m

Entonces:

E h c P

P

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-

λ

6 63 10 3 10 5 332 1034 8 5, ,J s m/s m-- -= ⋅1 191 06 10, J

8. La energía del electrón del átomo de hidrógeno vale 2,174 ⋅ 10-18 Jcuando se encuentra en la primera órbita. Calcula la energía del fotónque emite el electrón cuando salta del nivel 4 al nivel 2.¿En qué serie espectral encontraremos esta raya? Compara

el valor de la energía de este fotón con la que se obtendría utilizandola fórmula de los espectroscopistas.

Cuandounelectrónseencuentraenundeterminadoniveldeenergía,

elvalordeestaesnegativo,yaqueelelectrónyelnúcleotienencarga

dedistintosigno.

Podemosobtenerlaenergíadeunelectrónenunaórbita

apartirde:

E n = -

cte.2

Paralaprimeraórbita,n =1:

E 1 2

18 18

12 18 10 2 18 10= - = - ⋅ = ⋅- -cte.

cte., ,→ J

Conociendoelvalordelaconstantepodemosdeterminarelvalor

delaenergíaenlosrestantesniveles:

• E 2 2

1819

2

2 18 10

4 5 45 10= - = -

⋅

= - ⋅

--cte. ,

,

J

J

• E 4 2

1819

4

2 18 10

161 36 10= - = -

⋅= - ⋅

--cte. ,

,J

J

Ylaenergíadelfotónqueseliberaalproducirseelcambio

entrenivelessepuedeobtenercomo:

E E E E fotón

J J

= = - =

= - ⋅ - - ⋅- -

D 4 2

19 191 36 10 5 45 10, ( , )) 4,09 10 J19= ⋅ -



344


Deacuerdoconelsiguienteesquema,estarayaseencontrará

enlaserieespectraldeBalmer.

n =1 -13,6eV

-3,40eVn =2

n =3n =4

n =5

Lyman

Balmer

Paschen

Brackett Pfundn =6

n =7

-1,51eV-0,85eV

-0,54eV-0,38eV

-0,28eV

Comparamosconelvalorqueseobtendríautilizandolafórmula

delosespectroscopistas.

Paraeltránsitoentrelosnivelesn =2yn =4:

1 1

4

1 1

4

1

42 2λ= ⋅ -

= ⋅ -

=R n

R

== ⋅ -

= ⋅-1 0967 757 m 2,0565 10 m61 1

4

1

16

--1

CalculamoslaenergíadelfotónconlafórmuladePlanck:

E h c

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅- -

λ

6 63 10 3 10 2 0565 1034 8 6, ,J s m/s m 11 194 09 10= ⋅ -, J

Elvalorcoincideconelobtenidoporelprocedimientoanterior.

9. Una de las rayas de la serie de Lyman del espectro del átomode hidrógeno aparece a una longitud de onda de 94,97 nm.Determina entre qué niveles de energía se produce el tránsito electrónico.Dato: la energía del electrón en el primer nivel energético del átomode hidrógeno es -13,6 eV (el signo menos indica que el electrónestá ligado al núcleo).



345

Solucionario

Cuandounelectrónsaltadeunaórbita(n 1)aotra(n 2)absorbeoemiteunfotóncuyaenergíacoincideconladiferenciadeenergía

entrelasórbitas:

E E E E

E E n n

fotón = = -

- = - - -

D 2 1

2 1

22

12

→

→cte. cte.

= ⋅ -

cte.

1 1

12

22n n

Porotraparte:

E h h c fotón = ⋅ = ⋅νλ


h c

n n h c ⋅ = ⋅ -

=

⋅λ λcte.

cte.1 1 1

12

22

→ ⋅⋅ -

1 1

12

22n n

Podemosobtenerelvalordelaconstanteapartirdeldato

delaenergíadelelectrónenelprimernivelenergético:

E n

= - - ⋅⋅

= --cte. cte.

ct

2

19

213 6

1 6 10

1→ →

→

,,

eVJ

1 eV

ee. = ⋅ -2 18 10 18, J

Entonces:

cte.

h c ⋅=

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

-

-

2 18 10

6 62 10 3 101

18

34 8

,

,

J

J s m/s,,097 107 1⋅ -m

Conlosdatosdelenunciadoresultaque:

1 1 1

12

22λ

=⋅

⋅ -

cte.

h c n n →

→1

94 97 101 097 10

1 1

9

7 1

12

22,

,⋅

= ⋅ ⋅ -

--

mm

n n

→

→1

94 97 10 1 097 10

1 1 1

9 7

1

2

2

2

, ,⋅ ⋅ ⋅

= = -

-

1,0418 n n

PorserunarayadelaseriedeLyman,serán 1=1.

1 1

1

11

1 10410

1

22

22

2

1,0418 1,04180= - - = =

=

n n

n

→ →

→

,

00 04104 99 5

,,= ≈

Así,eltránsitoseproduceentreelnivel5yel1.



346


10. Calcule la longitud de la onda de materia asociada a un balón de fútbolde 500 g de masa que se mueve a una velocidad de 72 km/h.Dato: constante de Planck (h ) = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s.


ExpresamoslavelocidadenunidadesdelSI:

72 20km

h

10 m

1 km

1 h

3600 sm/s

3

⋅ ⋅ =

CalculamoslalongituddeondaaplicandodirectamentelarelacióndeDeBroglie:

λ = =⋅

=⋅ ⋅

⋅= ⋅

--h

p

h

m v

6 63 10

0 5 206 63 10

34,

,,

J s

kg m/s

335 m

11. Razone si la longitud de onda de De Broglie de los protones es mayoro menor que la de los electrones en los siguientes casos:a) Ambos tienen la misma velocidad.

b) Ambos tienen la misma energía cinética.(Andalucía, 2007)

a) LalongituddeondadeDeBroglieseobtieneasí:

λ = =⋅

h

p

h

m v

Sielprotónyelelectróntienenlamismavelocidad:

• λprotónprotón

= ⋅

h

m v

• λ electrón

electrón

=⋅

h

m v

Dividiendoambas:

λ

λ

protón

electrón

protón

electrón

el=

⋅

⋅

=

h

m v

h

m v

m eectrón

protón

protón electrónelectrón

m

m

m → λ λ= ⋅

pprotón

Comolamasadelprotónesmayorquelamasadelelectrón,

lalongituddeondadelprotónserámenorqueladelelectrón.

b) Expresamoslalongituddeondaenfuncióndelaenergíacinética:

λ = =

⋅⋅

=

⋅ ⋅

h

p

h

m E

m

h

m E 2 2C C



347

Solucionario

Siambostienenlamismaenergíacinética,serámayor

lalongituddeondadelelectrón,yaquesumasaesmenor

queladelprotón.

12. a) En un microscopio electrónico se aplica una diferencia de potencialde 20 kV para acelerar los electrones. Determine la longitud de ondade los fotones de rayos X de igual energía que dichos electrones.

b) Un electrón y un neutrón tienen igual longitud de onda de De Broglie.Razone cuál de ellos tiene mayor energía.

c = 3 ⋅ 10 8 m ⋅ s-1; h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; e = 1,6 ⋅ 10-19 C;m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg; m n = 1,7 ⋅ 10- 7 kg.

(Andalucía, 2006)

a) Ladiferenciadepotencialconqueseaceleraelhazdeelectrones

nospermitecalcularlaenergíacinéticaqueadquieren:

E q V electrón e C V= = ⋅ ⋅- →⋅ ⋅1 602 10 20 1019 3,

→ E electrón J= ⋅ -3 2 10 15,

Estaeslaenergíacinéticaquellevacadaelectrón.

Losfotonesquetienenigualenergíaqueloselectronestendrán

unaenergíaque,deacuerdoconlaleydePlanck,vienedada

porlaexpresión:

E h h c

h c

E

= ⋅ = ⋅

= =⋅ -

νλ

λ

fotón

fotónelectrón

→

⋅ 6 6 10, 334 8

15

3 10

3 2 10

6 1875 10

J s m/s

J

fotón

⋅ ⋅ ⋅

⋅

= ⋅

-,

,

→

→ λ --11 m

b) Tenemosqueexpresarlaenergíacinéticaentérminosdelongitud

deonda:

E m v m v

m

p

m C = ⋅ =

⋅=

1

2

1

2

1

2

22 2( )

[1]

DelarelacióndeDeBroglie:

λλ

= =h

p p

h →

Sustituyendoenlaecuación[1]:

E p

m

h

m E

h

m C C= = ⋅

= ⋅⋅

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

λ

λ→



348


Aplicándoloalelectrónyalneutrón:

• E h

m C e

e

= ⋅⋅

1

2

2

2λ

• E h

m C n

n

= ⋅⋅

1

2

2

2λ

Dividiendoambas:

E E

h

m h

m

E E

m m

E C e

C n

e

n

C e

C n

n

e

C e=

⋅

⋅

⋅⋅

=

1

21

2

2

2

2

2

λ

λ

→ → == E m m

C n n

e

⋅

Sitienenlamismalongituddeonda,dadoquelamasa

delelectrónesmenorqueladelneutrón,resultaquesuenergía

cinéticaesmayorqueladelneutrón.

13. a) Enuncie el principio de incertidumbre y explique cuál es su origen.

b) Razone por qué no tenemos en cuenta el principio de incertidumbreen el estudio de los fenómenos ordinarios.

(Andalucía, 2006)

a) Losdosenunciadosdelprincipiodeincertidumbreson:

• Noesposibledeterminaralavezelvalorexacto

delaposiciónyelmomentolinealdeunobjetocuántico.

Ambasindeterminacionesguardanlasiguienterelación:

D Dx p

h

⋅ ≥ 4π

– Dx :indeterminaciónenlaposición.

– Dp :indeterminaciónenelmomentolineal.

• Noesposibledeterminaralavezelvalorexactodelaenergía

deunobjetocuánticoyeltiempoqueserequiereparamedirla.

Ambasindeterminacionesguardanlasiguienterelación:

D DE t h

⋅ ≥

4π– DE :indeterminaciónenlaenergía.

– Dt :indeterminacióneneltiempo.

Seoriginaalintentarrealizarmedidasanivelcuántico,donde

eldoblecaráctercorpuscularyondulatoriodelaspartículasimpide

queconozcamosconprecisiónyalavezsuposiciónymomento

lineal.Estaincertidumbreenlamedidanodependedelaprecisión

delosaparatosdemedida;esunacaracterísticaintrínsecade

lanaturaleza.



349

Solucionario

b) Enlosfenómenosordinariossetrabajaenelmundomacroscópico.Comoyasucedíaconlalongituddeondaasociada

alosobjetosenmovimiento,laindeterminaciónenobjetos

macroscópicosnotieneefectosapreciables.

ElvalordelaconstantedePlanck(delordende10-34enunidades

delSI)hacequeelerrorintrínsecoseadeltodoinapreciable.

14. Explica qué problemas causaría elegir un cuerpo que no fuese cuerponegro para estudiar la emisión térmica.

Seentiendecomocuerponegroaquelcuyasparedesabsorben

cualquierradiaciónquelesllegue,sindarlugaraningúntipo

dereflexioneshaciaelexterior.Enconsecuencia,laradiación

queemiteuncuerponegroesdebida,exclusivamente,

asuestadotérmico.

Sielcuerpoelegidonofuesenegro,podríanobtenerseradiaciones

debidasareflexionesdeotrasradiacionesqueloalcancen,

enmascarandoelresultadodelaradiaciónpuramentetérmicaemitida

porelmismo.

15. Cuando se calienta una barra de hierro al rojo vivo emite radiacióncon una longitud de onda de 724 nm. Si seguimos calentando hastaque su color es amarillo claro, la radiación emitida tiene unalongitud de onda de 580 nm. Calcula la temperatura de la barrade hierro en cada caso.

Calculamosencadacasolatemperaturaapartirdelaley

dedesplazamientodeWien:

λmáx. m K⋅ = ⋅ ⋅-T 2 898 10 3,

•T rojo

rojo

m K m K=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

⋅

- -2 898 10 2 898 10

724 1

3 3, ,

λ 004003

9-=

mK

•T amarillo

amarillo

m K=

⋅ ⋅=

⋅- -2 898 10 2 898 103 3, ,

λ

mm K

mK

⋅

⋅=

-580 104997

9

16. Tomando los datos que precises del ejercicio anterior, determinala cantidad de energía que emite en cada segundo una barra de hierrocuya superficie es de 0,5 m2 cuando se encuentra al rojo vivo.

AplicamoslaleydeStefan-Boltzmann:

dE

dt S T = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅- - -

σ4

85 67 10 0 5 4003, , (W m K m2 4 2 KK W) ,4 67 28 10= ⋅



350


17. La parte visible de la radiación electromagnética está limitadapor la radiación roja, de longitud de onda 400 nm, y la violeta,de 700 nm. Determina cuál de ellas es más energética y cuántas veceses más energética que la otra.

Relacionamoslalongituddeondaylafrecuencia:

c c

= ⋅ =λ ν νλ

→

DeacuerdoconPlanck:

E h h c

= ⋅ = ⋅νλ

Aplicandoestaexpresiónalcasodelaradiaciónvioletaylaroja

nosqueda:

• E h c

violeta

violeta

= ⋅λ

•E h

c roja

roja

= ⋅

λ

Dividiendoambas:

E

E

h c

h c

violeta

roja

violeta

roja

roja

vio

=

⋅

⋅

=λ

λ

λ

λ lleta

violeta

roja

700 nm

nm= = =

4001 75 1 75, ,→

E

E

Comolalongituddeondadelaradiaciónrojaesmenorquelalongitud

deondavioleta,serámayorlaenergíadelaradiaciónvioleta.Laenergíadeunfotónesproporcionalalafrecuencia.Ylafrecuencia

delaradiaciónvioletaesmayorqueladelaradiaciónroja.

18. La intensidad de la luz solar en la superficie terrestre es aproximadamentede 1400 W ⋅ m-2. Suponiendo que la energía media de los fotonessea de 2 eV:a) Calcula el número de fotones que inciden por minuto en una superficie

de 1 m2.b) ¿A qué longitud de onda corresponde esa energía media

de los fotones?Datos: h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.


a) Paraunasuperficiede1m2:

I P

S P I S = = ⋅ = ⋅ ⋅ =

-→ 1400 1 14002 2W m m W



351

Solucionario

Lapotenciadelaradiacióneslaenergíaemitidaporunidad

detiempo.Esaenergíalaaportantodoslosfotonesqueintegran

laradiación,esdecir,eslasumadelaenergíadetodossusfotones:

P E

t

n E

t = =

⋅radiación fotón

Encadasegundo:

E

n

E

E

radiación

radiación

fotón

J/ s

1400

=

= =

1400 →

→

JJ/ s

eVJ

1 eV

fotones/s2

1 6 10 4 38 1019

21

⋅⋅ = ⋅-, ,

Expresadoenfotones/min:

4 38 102 63 10

2123,

,⋅

⋅ = ⋅fotones

1 s

60 s

1 minfotones/ /min

b) DeacuerdoconlaexpresióndePlanck:

E h h c

h c

E

= ⋅ = ⋅

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

-

νλ

λ

→

→6 6 10 3 10

2

34 8, J s m/s

eV ⋅⋅⋅

= ⋅-

-

1 6 106 19 10

19

7

,,

J

1 eV

m

19. Un láser de longitud de onda λ = 630 nm tiene una potencia de 10 mWy un diámetro de haz de 1 mm. Calcula:

a) La intensidad del haz.b) El número de fotones por segundo que viajan con el haz.Datos: velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s; constantede Planck, h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s.


a) Conociendolapotenciadeemisiónylasuperficiedelhaz

calculamoslaintensidad:

I P S

= = ⋅

⋅ ⋅= ⋅

-

-10 10

0 5 101 27 10

3

3 2

4Wm

W/m2

π ( , ),

b) Lapotenciadelaradiacióneslaenergíaemitidaporunidad

detiempo.Esaenergíalaaportantodoslosfotonesqueintegran

laradiación,esdecir,eslasumadelaenergíadetodos

susfotones:

P E

t

n E

t = =

⋅radiación fotón



352


Calculamoslaenergíadeunfotón,conociendolalongituddeonda

delaradiación,apartirdelaexpresióndePlanck:

E h h c

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅=

-

-

νλ

6 6 103 10

630 10

348

9, J s

m/s

m33 14 10 19, ⋅

- J

Encadasegundo:

E

n E

E

radiación

radiación

fotón

J/ s= ⋅

= =

1 27 104, →

→11 27 10

3 14 104 04 10

4

19

22,

,,

⋅

⋅= ⋅

-

J/ s

Jfotones/s

20. a) Enunciar y explicar brevemente la hipótesis de Planck.b) Sobre un lado de una placa incide un haz de rayos X formado

por 100 fotones; por el otro incide un haz de luz roja. ¿Cuántos fotonestendría que tener el haz de luz roja para que la energía que recibela placa fuese la misma por ambos lados?

Datos: rayos X → ν = 3 ⋅ 1018 Hz; luz roja → ν = 4,5 ⋅ 1014 Hz.


a) Plancksupusoqueenlamateriaexistenpequeñososciladores

(átomosomoléculas)quevibrancondeterminadasfrecuencias,

absorbiendoyemitiendoenergíaenformadeondas

electromagnéticas.

Cadaosciladorsolopuedeabsorberoemitirenergía

queseaunmúltiploenterodesuenergíabásica,unaenergíaqueesdirectamenteproporcionalasufrecuencia

naturaldeoscilación.

Laenergíabásicadeunosciladores:

E h 0 = ⋅ ν

Laenergíaquepuedeabsorberoemitirunosciladores:

E n h = ⋅ ⋅ ν

Cadaosciladorsepuedeencontrarendistintosestadoscuánticos,

correspondientesalosdiversosvaloresden .Sienelprimerestadocuánticolaenergíadelosciladores:

E h 1 1= ⋅ ⋅ ν

Eneltercerestadocuánticotendráunaenergía:

E h 3 3= ⋅ ⋅ ν

Cuandoelosciladorpasadeunestadocuánticoaotroabsorbe

oemitelaenergíaqueresultadeladiferenciadeenergíaexistente

entreellos.



353

Solucionario

Poresoesaenergíasiempreesunnúmerodeveceslaenergía

básica.Estaunidaddeenergíabásicasellamacuantodeenergía

ofotón.Losátomosomoléculaspasandeunestadocuánticoaotro

absorbiendooemitiendoundeterminadonúmerodefotones.

b) Comoantes:

E n E radiación fotón= ⋅

ObtenemoslaenergíadeunfotónmediantelaexpresióndePlanck:

• E h rojo rojo= ⋅ ν

• E h rayos X rayos X= ⋅ νSiqueremosquelaenergíadeambasradiacionessealamisma:

E E n h n h rojo rayos X rojo rojo rayos X ra= ⋅ / ⋅ = ⋅ / ⋅→ ν ν yyos X →

→ →

→

n n

n

rojorayos X rayos X

rojo

rojofoton

=⋅

=

ν

ν

100 ees Hz

Hzfotones

⋅ ⋅

⋅= ⋅

3 10

4 5 106 67 10

18

14

5

,,

21. Cuando se ilumina un metal con un haz de luz monocromática se observaemisión fotoeléctrica.a) Explique, en términos energéticos, dicho proceso.b) Si se varía la intensidad del haz de luz que incide en el metal,

manteniéndose constante su longitud de onda, ¿variará la velocidadmáxima de los electrones emitidos? ¿Y el número de electronesemitidos en un segundo? Razone las respuestas.

(Andalucía, 2007)a) Laradiaciónluminosaesunacorrientedefotones,

cadaunodeloscualestieneunaenergíaquecoincide

conlaenergíadelaradiaciónque,deacuerdoconlaexpresión

dePlanck,esE = h ⋅ν.

Cuandolaradiaciónluminosaalcanzaelmetal,cadafotón

interaccionaconunodesuselectronesy,sitieneenergíasuficiente

(superioraltrabajodeextracción),loarranca.

Cadafotóninteraccionaconunelectrón.Silaenergíadelfotónsuperaeltrabajodeextracción,laintensidaddelacorriente

producidadependedelaintensidaddelaradiaciónluminosa,

yaqueelnúmerodeelectronesarrancadoscoincidirá

conelnúmerodefotonesquelleganalmetal.

Cuandolaenergíadelfotónsuperaeltrabajodeextracción,

elexcesodeenergíasetransformaenenergíacinéticadelelectrón.


1

2⋅⋅ v e

2



354


b) Alvariarlaintensidaddelhazdeluz,variaráelnúmerodefotones

queincidenenelmetalporunidaddetiempo.Dadoquecadafotón

interaccionaconunelectrón,seproduciránmásinteracciones

porunidaddetiempo,seemitiránmáselectronesporsegundo,

perocadaunosemoverádeformaequivalentealcasoanterior

(suvelocidadnovariará).

22. Define el trabajo de extracción de los electrones de un metal cuandorecibe radiación electromagnética. Explica de qué magnitudes depende

la energía máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico.(C. Valenciana. Septiembre, 2006)

Sellamatrabajodeextracción(ofuncióndetrabajo),W extracción,

alaenergíamínimaquedebentenerlosfotonesdelaradiación

queprovocaefectofotoeléctrico.Coincideconlaenergíaquemantiene

ligadoalelectrónalátomo.Lafrecuenciadeesaradiacióncoincide

conlafrecuenciaumbral(ν0),ysuvalordependedelmaterial.


1

2

⋅⋅ v e2

Portanto,laenergíacinéticamáximadeloselectronesarrancados

dependedelafrecuenciadelosfotonesdelaradiaciónincidente

ydelafrecuenciaumbraldelmaterial.

23. Un metal emite electrones por efecto fotoeléctrico cuando se iluminacon luz azul, pero no lo hace cuando la luz es amarilla. Sabiendo quela longitud de onda de la luz roja es mayor que la de la amarilla,¿qué ocurrirá al iluminar el metal con luz roja? Razona la respuesta.


Paraqueseemitanelectroneslaradiaciónincidentedebetener

energíamayorqueeltrabajodeextracción.Laenergíaincidente

esinversamenteproporcionalalalongituddeondadelaradiación.

Porestemotivo,silaradiacióndeunadeterminadalongituddeonda

esinsuficiente,tambiénloseráladeunalongituddeondamayor.

Sinoseproduceefectofotoeléctricoaliluminarconluzamarilla,

tampocoseproduciráconluzroja(cuyalongituddeondaesmayor).

E h h c

= ⋅ = ⋅νλ

24. a) Explique la conservación de la energía en el proceso de emisiónde electrones por una superficie metálica al ser iluminadacon luz adecuada.

b) Razone qué cambios cabría esperar en la emisión fotoeléctricade una superficie metálica:



355

Solucionario

iii) Al aumentar la intensidad de la luz incidente.iii) Al aumentar el tiempo de iluminación.iii) Al disminuir la frecuencia de la luz.

(Andalucía, 2006)

a) Enelprocesodelefectofotoeléctricosetieneelsiguientebalance

energético:E W E fotón extracción C electrón= +

Asípues,todalaenergíadelaradiaciónincidentequeexceda

deltrabajodeextracciónseconvertiráenenergíacinéticadeloselectronesarrancados.

b) Loscambiosserán:

i) Alaumentarlaintensidaddelaluzincidenteaumentan

losfotonesemitidosporunidaddetiempo,porloqueaumentará

tambiénlacorrientedeelectronesemitidaporsegundo.

Aumentarálaintensidaddecorrientequeseproduce.

ii) Siaumentaeltiempodeiluminación,elefectofotoeléctrico

durarámástiempoylacantidadtotaldeelectronesemitidos

serámayor.

iii) Aldisminuirlafrecuenciadelaluzdisminuyetambién

laenergíadelosfotonesqueincidenenlasuperficie.

Silaenergíaessuficienteparasobrepasareltrabajo

deextracción,elefectoseráunadisminución

enlaenergíacinéticadeloselectronesemitidos.

Siladisminucióndefrecuenciahacequelosfotonestengan

unaenergíainferioraltrabajodeextracción,noseproducirá


25. Un metal cuyo trabajo de extracción es de 4,25 eV se ilumina con fotonesde 5,5 eV. ¿Cuál es la energía máxima de los fotoelectrones emitidos?a) 5,5 eV b) 1,25 eV c) 9,75 eV


Deacuerdoconelbalanceenergético:

E W E

E E

fotón extracción C electrón

C máx. fotó

= +

=

→

→ nn extracción eV eV eV- = - =W 5 5 4 25 1 25, , ,


26. ¿Se produce corriente fotoeléctrica cuando la luz de 400 nm incidesobre un metal con una función de trabajo de 2,3 eV?Datos: 1 eV = 1,60 ⋅ 10-19 J; h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s;c = 3,00 ⋅ 108 m ⋅ s-1; 1 nm = 10-9 m.




356


Calculamosprimerolaenergíadelhazincidentedeacuerdoconlaley

dePlanck:

E h c

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅=

-

-λ6 63 10

3 10

400 104 9734

8

9, ,J s

m/s

m⋅⋅

-10 19 J

ExpresadoeneV:

E = ⋅ ⋅⋅

=-

-4 97 10

1 6 10

19

19,

,J

1 eV

J3,11 eV

Dadoquelaenergíadelhazesmayorquelafuncióndetrabajodelmetal,seproducirácorrientefotoeléctrica:

E W E fotón extracción C electrón= +

27. Un haz de luz monocromática de 6,5 ⋅ 1014 Hz ilumina una superficiemetálica que emite electrones con una energía cinéticade 1,5 ⋅ 10-19 J. Calcular:

a) La frecuencia de cada fotón.

b) El trabajo de extracción del metal.c) El valor de la frecuencia umbral.

Constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; velocidadde la luz en el vacío y en el aire, c = 3 ⋅ 108 m/s.

(País Vasco. Julio, 2006)

a) Lafrecuenciadecadafotóncoincideconlafrecuenciaderadiación

delhazdeluz:6,5⋅1014Hz.

b) Obtenemoseltrabajodeextracciónapartirdelsiguientebalanceenergético:

E W E

W


extracción

= +

=

→

→ E E E h E fotón C electrón C electrón- = ⋅ - =

= ⋅-

ν

6 63 10, 334 19 196 5 10 1 5 10 2 81 10J s Hz J J⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅- -, , ,

c) Calculamoslafrecuenciaumbral:

W h

W

h

extracción

extracción

= ⋅

= =⋅ -

ν

ν

0

0

12 81 10

→

→, 99

34

14

6 63 104 24 10

J

J sHz

,,

⋅ ⋅= ⋅

-

28. Al iluminar la superficie de un metal con luz de longitud de onda280 nm, la emisión de fotoelectrones cesa para un potencialde frenado de 1,3 V.a) Determine la función trabajo del metal y la frecuencia umbral

de emisión fotoeléctrica.



357

Solucionario

b) Cuando la superficie del metal se ha oxidado, el potencial de frenadopara la misma luz incidente es de 0,7 V. Razone cómo cambian,debido a la oxidación del metal:

iii) La energía cinética máxima de los fotoelectrones.iii) La frecuencia umbral de emisión.iii) La función de trabajo.

c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1 ; h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s ; e = 1,6 ⋅ 10-19 C.

(Andalucía, 2006)

a) Determinamoslafuncióndetrabajoapartirdelbalanceenergético

delefectofotoeléctrico:

E W q V

W

fotón extracción e frenado

extracci

= + ⋅ →

→ óón fotón e frenado e frenado= - ⋅ = ⋅ - ⋅E q V h c

q V λ

==

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅- ⋅

-

-

-6 6 10 3 10

280 101 6 10

34 8

9

19,,

J s m/s

mCC V J⋅ = ⋅ -1 3 5 10 19,

Sabemosque:

W h

W

h

extracción

extracción J

= ⋅

= =⋅

-

ν

ν

0

0

195 10

6

→

→,,

,6 10

7 58 1034

14

⋅ ⋅= ⋅

- J sHz

b) i. Laenergíacinéticamáximaesdirectamenteproporcional

alpotencialdefrenado( )E q V C e frenado= ⋅ .Sielpotencial

defrenadodisminuye,tambiénloharálaenergía

cinéticadelosfotoelectrones.

ii. Silaenergíacinéticadisminuye,elbalanceenergético

indicaquelafuncióndetrabajoaumenta:

( )W E q V extracción fotón e frenado= - ⋅ .

iii. Siaumentalafuncióndetrabajo,aumentalafrecuenciaumbral

deemisión( )W h extracción = ⋅ ν0 .

29. Se ilumina una superficie metálica con luz cuya longitud de onda

es de 300 nm, siendo el trabajo de extracción del metal de 2,46 eV.Calcule:

a) La energía cinética máxima de los electrones emitidos por el metal.

b) La longitud de onda umbral para el metal.Datos: constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s;velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s; valor absolutode la carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.

(C. Madrid, 2006)



358


a) Deacuerdoconelbalanceenergético:

E W E E E fotón extracción C electrón C máx. fotón= + =→ -- =

= ⋅ - =⋅

-

W

h c

W

extracción

extracciónJ

λ

6 63 10 34, ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅+

- ⋅⋅

-

-

s m/s

m

eVJ

eV

3 10

300 10

2 461 6 10

1

8

9

19

,,

== ⋅-2 69 10 19, J

b) Calculamoslalongituddeondaumbral,λ0:

W h h c hc

W extracción

extracción

= ⋅ = ⋅ = =

=

νλ

λ0

0

0

6

→

,663 10 3 10

2 46 1 6 105 05 1

34 8

19

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

-

-

J s m/s

J, ,, 00 7- m

30. Si iluminamos la superficie de un metal con luz de λ = 512 nm, la energíacinética máxima de los electrones emitidos es 8,65 ⋅ 10-20 J.¿Cuál será la máxima energía cinética de los electrones emitidossi incidimos sobre el mismo metal con luz de λ = 365 nm?Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1.


Obtenemosprimeroeltrabajodeextraccióncaracterísticodelmetal:

E W E

W


extracción

= +

=

→

→ E E E h c

E fotón C C

J s m/s

- = ⋅ - =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

-

λ

6 63 10 3 10

5

34 8,

112 108 65 10 3 02 10

9

20 19

⋅- ⋅ = ⋅

-

- -

mJ J, ,

Y,conociendoeltrabajodeextracción,podemosdeterminarlaenergía

cinéticaenelsegundocaso:

E E W h c

W C máx. fotón extracción extracción= - = ⋅ - =λ

==

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ - ⋅

-

-

-6 63 10 3 10

365 10 3 02 10

34 8

9

1,

,

J s m/s

m

99 19

2 43 10J J= ⋅-

,

31. Sobre una superficie de sodio metálico inciden simultáneamentedos radiaciones monocromáticas de longitudes de ondaλ1 = 500 nm y λ2 = 560 nm. El trabajo de extracción del sodioes 2,3 eV.

a) Determine la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico y razonesi habría emisión fotoeléctrica para las dos radiaciones indicadas.



359

Solucionario

b) Explique las transformaciones energéticas en el procesode fotoemisión y calcule la velocidad máxima de los electronesemitidos.

c = 3 ⋅10 8 m ⋅ s-1; h = 6,6 ⋅10-34 J ⋅ s; e = 1,6 ⋅ 10-19 C;m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg.

(Andalucía, 2007)

a) Conociendoeltrabajodeextraccióndeterminamoslafrecuencia

umbral:

W h

W

h

extracción

extracción

eV

= ⋅

= =

⋅

ν

ν

0

0

2 31 6

→

→

,, ⋅⋅

⋅ ⋅= ⋅

-

-

10

6 6 105 58 10

19

34

14

J

1 eV

J sHz

,,

Paracadacasoobtenemoslaenergíadeunfotóndelaradiación.

Siestaesmayorqueeltrabajodeextracción,seproduciráemisión

fotoeléctrica.

• E h c

1

1

34

8

96 6 103 10

500 103 9= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅=-

-λ

, ,J sm/s

m66 10 19⋅ - J

• E h c

2

2

348

96 6 10

3 10

560 103 5= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅=

-

-λ

, ,J sm/s

m44 10 19

⋅- J

Yexpresamoseltrabajodeextracciónenjuliosparapoder

compararlasmagnitudes:

W extracción eVJ

1 eV

J= ⋅⋅

= ⋅

--2 3

1 6 103 68 10

1919,

,,

ComoE 1>W extracción,seproduciráefectofotoeléctrico

paralaprimeradelasradiaciones.

PeroE 2<W extracción,porloquenoseproduciráefectofotoeléctrico

paralasegundadelasradiaciones.

b) Laradiaciónluminosaesunacorrientedefotones,cada

unodeloscualestieneunaenergíaquecoincideconlaenergía

delaradiaciónque,deacuerdoconlaexpresióndePlanck,

esE =h ⋅ν.Cuandolaradiaciónluminosaalcanzaelmetal,cadafotón

interaccionaconunodesuselectronesy,sitieneenergía

suficiente(superioraltrabajodeextracción),loarranca.

Cadafotóninteraccionaconunelectrón.Silaenergía

delfotónsuperaeltrabajodeextracción,laintensidadde

lacorrienteproducidadependedelaintensidaddelaradiación

luminosa,yaqueelnúmerodeelectronesarrancadoscoincidirá

conelnúmerodefotonesquelleganalmetal.



360


Cuandolaenergíadelfotónsuperaeltrabajodeextracción,

elexcesodeenergíasetransformaenenergíacinéticadelelectrón.

E W E E W fotón extracción C electrón fotón extra= + =→ ccción e e

efotón extracción

+ ⋅

=⋅ -

1

2

2

2m v

v E W

m

→

→( )

ee

J J

kg

=

=⋅ ⋅ - ⋅

⋅=

- -

-

2 3 96 10 3 68 10

9 1 1 0

19 19

31

( , , )

,22 48 105, ⋅ m/s

32. Se hace incidir luz monocromática de un láser He-Ne de 3 mWde intensidad y de longitud de onda λ = 632 nm sobre una superficiede potasio, cuyo trabajo de extracción es 2,22 eV.a) ¿Se producirá emisión fotoeléctrica?b) ¿Qué ocurrirá si aumentamos la intensidad del láser He-Ne?

Justifica tus respuestas.Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; c = 3,00 ⋅ 108 m/s;

1 eV = 1,602 ⋅ 10-19 J; 1 nm = 10-9 m.(Castilla-La Mancha. Septiembre, 2007)

a) Veamoscuáleslaenergíadelosfotonesdelaradiación:

E h h c

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅=

-

-

νλ

6 6 103 10

632 10

348

9, J s

m/s

m33 13 10 19, ⋅

- J

YloexpresamoseneVparapodercompararloconeltrabajodeextraccióntalycomoseproporcionaenelenunciado:

E = ⋅ ⋅⋅

=-

-3 13 10

1 6 101 9619

19,

,,J

1 eV

JeV

Dadoquelaenergíadelfotón,E ,esmenorqueeltrabajo

deextracción,elfotónnotieneenergíasuficienteparaproducir


b) Tampocoseproduciráefectofotoeléctricoalaumentarlaintensidad

delláser.Alhaceresto,seaumentalacantidaddefotonesporunidaddetiempoquealcanzanelmetal,perocadaunodeellos

interaccionaconunelectrónconenergíainsuficienteparaarrancarlo.

33. a) Explique, en términos de energía, el proceso de emisión de fotonespor los átomos en un estado excitado.

b) Razone por qué un átomo solo absorbe y emite fotones de ciertasfrecuencias.

(Andalucía, 2007)



361

Solucionario

a) Losátomosenestadoexcitadotienenalgúnelectrónenunnivel

energéticomásaltodelquetendríaensuestadofundamental.

Elátomovolveráalestadofundamentalcuandoelelectrónpase

delnivelmásaltodeenergíaalnivelmásbajoqueleseaposible.

Enestetránsito,losátomosemitenfotonescuyaenergíacoincide

conladiferenciadeenergíascorrespondientealosnivelesexcitado

yfundamentalentrelosquesehaproducidoeltránsitoelectrónico.

E E E E fotón = = -D 2 1

b) LosestudiosdeBohr

yposterioresjustifican

queelelectrón

nosepuedeencontrar

encualquierlugar

delátomo.Solopuede

estarendeterminadas

regionesdelespacio

(orbitales)encada

unadelascualestiene

unadeterminadaenergía.

Elelectrónsolopuede

pasardeunnivel

Electrón

Fotónemitido

Núcleo

Estadofundamental

Estadoexcitado

E 1

E 2

-

-

+

deenergíapermitidoaotroabsorbiendooemitiendounfotón

cuyaenergíacoincideconladiferenciadeenergíaentre

losnivelesdepartidaydellegada.

LoscálculosdeBohryaestablecíanquelaenergíadeunelectrón

enunniveldependedesunúmerocuánticon :

E n

= - cte.2

Así:

E E n n

2 1

22

12

1- = - - -

= ⋅

cte. cte.cte.

n n n 12

22

1-

[1]

Porotrolado:

E h h

c fotón = ⋅ = ⋅ν λ [2]


E E E h c

n n 2 1

12

22

1 1- = ⋅ = ⋅ -

fotón →

λcte.

=⋅

⋅ -

→

→1 1 1

12

22λ

cte.

h c n n



362


Enconclusión,elátomosoloabsorbeoemitefotones

dedeterminadalongituddeonda,ylosfotones

queabsorbealproducirseuntránsitotendránlamismaenergía

quelosqueemitealproducirseeltránsitoinverso.

34. La energía del electrón en el primer nivel energético del átomode hidrógeno es -13,6 eV. Teniendo en cuenta este dato,calcula la longitud de onda de la tercera raya de la seriede Balmer del espectro de emisión del átomo de hidrógeno.Compárala con lo que se muestra en la figura 9.13de la página 314.

Cuandounelectrónpasadeunnivelenergéticoaotro

máspróximoalnúcleoemiteunaradiacióncuyaenergía

coincideconladiferenciadeenergíaentrelosnivelesdepartida

ydellegada.

LoscálculosdeBohrestablecenquelaenergíadeunelectrón

enunniveldependedesunúmerocuánticon :

E n

= - cte.2

Eldatodelaenergíaparaelprimernivelnospermiteconocer

elvalordelaconstante.Laenergíadeunelectrónenunátomo

tienesignonegativo,pueselelectrónyelnúcleotienencarga

dedistintosigno:

- ⋅⋅

= - = ⋅-

-13 61 6 10

12 18 10

19

2,

,,eV

J

1 eV

cte.cte.→ 118 J

Deacuerdoconlainformaciónquesemuestraenlaspáginasdeteoría

dellibrodelalumno,latercerarayadelaseriedeBalmercorresponde

auntránsitoentrelosnivelesn 1= 5an 2=2.

DE E E n n

= - = - - -

=2 1

22

12

cte. cte.cte.. ⋅ -

1 1

12

22n n

→

→ DE = ⋅ ⋅ -

=-2 18 10

1

2

1

5418

2 2, ,J 558 10 19⋅ - J

UtilizamoslaleydePlanckparacalcularlalongituddeonda:

E E h c

h c

E

fotón

J sm

= = ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅-

D

D

λ

λ

→

→ 6 6 103 1034

8

,/ /s

Jm

4 58 104 33 10

19

7

,,

⋅= ⋅

--

(Estevaloresmuysimilaralqueapareceenlafiguraquesecita

enlaspáginasdeteoría,de434nm.)



363

Solucionario

35. Enuncia y comenta la hipótesis propuesta por Louis de Broglie en 1924respecto a la dualidad onda-corpúsculo. ¿Qué hecho experimentalconfirmó por primera vez esa hipótesis?


Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaonda

cuyalongituddeondavienedadaporlaexpresión:

λ =h

p

Conestaexpresiónmatemáticasepodíaadmitirladoble

naturalezacorpuscularyondulatoriadelaluz

y,engeneral,detodaslaspartículascuyalongituddeonda

seadeuntamañotalquepuedadarunpatróndedifracción

alatravesarunarejilla.Esteefectonoseobservaenelmundo

macroscópico.

Elhechoexperimentalqueconfirmóporprimeravezesahipótesis

fueladifraccióndeunhazdeelectrones.Elmicroscopioelectrónico

esunaaplicacióndeestehecho.

36. Enuncia la hipótesis de De Broglie. Calcula la longitud de ondade De Broglie de un electrón que se mueve con una velocidad de 107 m/s.Datos: m e = 9,11 ⋅ 10-31 kg; h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s.


Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaondacuya

longituddeondavienedadaporlaexpresión:

λ =h

p

Enelcasopropuestoenelenunciado:

λ = =⋅=

⋅ ⋅

⋅ ⋅=

-

-

h

p

h

m v

6 63 10

9 11 10 10

34

31 7

,

,

J s

kg m/s77 28 10 11, ⋅

- m

37. Calcula la longitud de onda asociada a un fotón cuya energía es 3 keV.

Datos: h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J; c = 3 ⋅ 108 m/s.

SegúnlaexpresióndePlanck:

E h h c

h c

E

= ⋅ = ⋅

=⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

-

νλ

λ

→

→6 6 10 3 10

3 1

34 8, J s m/s

001 6 10

4 125 10

319

10

eVJ

1 eV

m

⋅⋅

= ⋅-

-

,,



364


38. a) Explica brevemente la hipótesis de De Broglie.b) ¿Qué dice el principio de indeterminación?c) Calcula la longitud de onda asociada a una pelota de golf de 50 g

de masa que se mueve a una velocidad de 500 km/h.Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s.


a) Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaonda


λ =h

p

Conestaexpresiónmatemáticasepodíaadmitirladoblenaturaleza

corpuscularyondulatoriadelaluzy,engeneral,detodas

laspartículascuyalongituddeondaseadeuntamañoquepueda

darunpatróndedifracciónalatravesarunarejilla.Esteefecto

noseobservaenelmundomacroscópico.

b) Elprincipiodeindeterminacióndicequenoesposibledeterminar

alavezelvalorexactodelaposiciónyelmomentolinealdeunobjetocuántico.Deformaequivalente,susegunda

formulaciónindicaquenoesposibledeterminaralavezelvalor

exactodelaenergíadeunobjetocuánticoyeltiempo

queserequiereparamedirla.

c) EnfuncióndelprincipiodeDeBroglie:

λ = =⋅

=

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

-

-

h

p

h

m v

6 63 10

50 10 50010

34

3

, J s

kgkm

h

33 m

1 km

1 h

3600 s

9,54 10 m35

⋅

= ⋅-

39. a) Escribe la ecuación de De Broglie. Comenta su significadoy su importancia física.

b) Un electrón que parte del reposo es acelerado mediante un campoeléctrico entre dos puntos con una diferencia de potencial

∆V = 2000 V. Calcula el momento lineal final del electróny su longitud de onda asociada.h = 6,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s; e = 1,6 ⋅ 10-19 C; m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg.(Aragón. Septiembre, 2006)

a) Todapartículamaterialquesemuevallevaasociadaunaonda


λ =h

p



365

Solucionario

Conestaexpresiónmatemáticasepodíaadmitirladoblenaturaleza

corpuscularyondulatoriadelaluzy,engeneral,detodas

laspartículascuyalongituddeondaseadeuntamañoquepueda

darunpatróndedifracciónalatravesarunarejilla.Esteefecto

noseobservaenelmundomacroscópico.

b) Laenergíaconqueseaceleraelhazdeelectronesnospermite

calcularlavelocidadqueadquiereny,conello,pormedio

delaexpresióndeDeBroglie,podremoscalcular

lalongituddelaondaasociada:

E E q V C P= = ⋅ D

Entonces:

E m v v E

m

E

m

q V

m C

C P= ⋅ =

⋅=

⋅=

⋅ ⋅

=⋅ ⋅

1

2

2 2 2

2 1 6 10

2 → D

, --

-

⋅ ⋅

⋅= ⋅

19 3

31

72 10

9 1 1 02 652 10

C V

kgm/s

,,

DelarelacióndeDeBrogliededucimos:

λ = =⋅

=

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

-

-

h

p

h

m v

6 6 10

9 1 1 0 2 652 10

34

31

,

, ,

J s

kg 77

112 734 10m/s

m= ⋅-,

40. Una superficie de wolframio tiene una frecuencia umbralde 1,3 ⋅ 1015 Hertz [Hz].

a) Se ilumina dicha superficie con luz de 1400 Å de longitud de onda(1 Å = 10-10 m). ¿Se emiten electrones? Justifica brevementela respuesta.

b) ¿Cuál debe ser la longitud de onda de la luz para que los electronesemitidos tengan una velocidad de 4 ⋅ 105 m/s?

c) Calcula la longitud de onda de De Broglie asociada a los electronesemitidos con la velocidad de 4 ⋅ 105 m/s.

Datos: h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s; c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1;m e = 9,11 ⋅ 10-31 kg; 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J; q e = 1,6 ⋅ 10-19 C.


a) Seemitiránelectronessilaenergíadelhazesmayorqueeltrabajo

deextraccióndelmaterial.

Calculamoseltrabajodeextracciónapartirdelafrecuenciaumbral

queseindicaenelenunciado:

W h extracción J s Hz 8= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =-

ν034 156 63 10 1 3 10, , ,,62 10 J19

⋅-



366


Obtenemoslaenergíadecadafotóndelhazdeluz:

E h c

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅=

-

-λ6 63 10

3 10

1400 10

348

10, J s

m/s

m1,442 10 J18

⋅-

Dadoquelaenergíadelfotónesmayorqueeltrabajo

deextracción,efectivamenteseemitenelectronesporefecto

fotoeléctrico.

b) Planteamoselbalanceenergéticodelefectofotoeléctrico:

E W E h

c

W fotón extracción C electrón extracc= + ⋅ =→ λ iión e e+ ⋅

1

2

2

m v →

→ λ =⋅

+ ⋅

=

=⋅ ⋅ ⋅

-

h c

W m v extracción e e

J s

1

2

6 63 10 3

2

34, ⋅⋅

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅- -

10

8 62 101

29 11 10 4 10

8

19 31 5

m/s

J kg m, , ( / /s

2 10 m7

)

,

2

13

=

= ⋅-

c) AplicamoslaexpresióndeDeBroglie:

λ = =⋅

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

-

-

h

p

h

m v

6 63 10

9 11 10 4 10

34

31 5

,

,

J s

kg m/ssm= ⋅

-1 82 10 9,

41. En un experimento de efecto fotoeléctrico un haz de luz de 500 nmde longitud de onda incide sobre un metal cuya función de trabajo

(o trabajo de extracción) es de 2,1 eV. Analice la veracidad o falsedadde las siguientes afirmaciones:a) Los electrones arrancados pueden tener longitudes de onda

de De Broglie menores que 10-9 m.b) La frecuencia umbral del metal es mayor que 1014 Hz.Datos: constante de Planck, h = 6,63 ⋅ 10-34 J ⋅ s;velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s;masa del electrón, m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg; valor absoluto de la cargadel electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.

(C. Madrid, 2008)

a) Pararesponderaestacuestiónnecesitamosconocerlavelocidad

conlaquesalenloselectronesarrancados.

Planteamoselbalanceenergéticodelefectofotoeléctrico:

E W E fotón extracción C electrón= + →

h c

W extracc⋅ =→

λiión e e+ ⋅

1

2

2m v



367

Solucionario

Portanto:

v

h c

W

m e

extracción

e

=

⋅ ⋅ -

=

=

⋅ ⋅

2

2 6 63

λ

, 1103 10

500 102 1

1 6 1 0348

9

19-

-

-

⋅ ⋅⋅

⋅- ⋅

⋅J s

m/s

meV,

, CC

1 eV

kg

m/s

⋅=

= ⋅

-9 1 1 0

3 7 10

31

5

,

,

LaexpresióndeDeBroglienospermitecalcularlalongituddeonda

asociadaaestoselectrones:

λ = =⋅

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

-

-

h

p

h

m v

6 63 10

9 1 10 3 7 10

34

31 5

,

, ,

J s

kg m / /sm= ⋅ -

1 97 10 9,

Conclusión:laafirmacióna)esfalsa,puesloselectrones

arrancadosnotienenlongitudesdeondamenoresque10-9nm.

Loselectronesarrancadostienenunavelocidadmáximade3,7⋅105m/s,loqueindicaquesulongituddeonda

mínimaes1,97⋅10-9m.

b) Enestecaso:

W h

W

h

extracción

extracción

eV

= ⋅

= =

⋅

ν

ν

0

0

2 11 6

→

→

,, ⋅⋅

⋅ ⋅= ⋅

-

-

10

6 63 10

19

34

J

1 eV

J s5,07 10 Hz23

,

Portanto,laafirmaciónb)esverdadera.



368

NOTAS



Relatividad.Física nuclear10

• Nuevamenteestamosenuntemacuyoscontenidossepresentanporprimeravezalalumnado.Recogedosaspectosfundamentales

delafísicadelúltimosiglo:porunaparte,lateoríadelarelatividad,

consunovedosoplanteamientoconceptual;yporotro,lafísica

delnúcleoatómico,degranactualidadporloquerespecta

alasexperienciasenelCERN.

• Consideramosmuyimportanteponerelacentoenlosaspectos

conceptualesyenlasconsecuenciasquesupusieronlosavances

teóricosyexperimentalesenestasramasdelafísica.Laideadeciencia

enconstrucciónquedetodoellosedesprendepuederesultar

muymotivadoraparaelalumnado.

PRESENTACIÓN

• Conocerlosenunciadosdelosprincipiosquesustentanlateoría

delarelatividadespecial.

• Comprenderlaideadelarelatividaddelespacioydeltiempo.

• Utilizarlosconceptosanterioresparacomprenderexperienciasteóricas,comolaparadojadelosgemelos,ohechoscomolapresencia

demuonesenlasproximidadesdelaTierra.

• Comprenderelconceptodeenergíarelativistaylainterconversión

masa-energía.

• Conocerelorigendelaenergíanuclearysercapazdeevaluarla

paraunnúclidoconcreto.

• Comprenderlosprocesosradiactivos(naturalesyartificiales)analizando

laspartículasqueintervienen.

• Analizaryevaluarlaenergíaasociadaaundeterminadoprocesonuclear.• Manejarconsolturalasleyesquerigenlacinética

delasdesintegracionesradiactivas.Aplicarlasaestudiosdedatación

yparacomprenderelproblemadelasemisionesylosresiduos

radiactivos.

• Evaluardeformacríticaalgunasaplicacionespacíficasdelaenergía

nuclear.

• Conocerlaspartículaselementalesqueformanlamateriaysurelación

conotraspartículasconocidasporelalumnado,comolosprotones,

losneutronesyloselectrones.

OBJETIVOS

369



370

10Relatividad. Física nuclear

• Laconstanciadelavelocidaddelaluzylanecesidaddeunanueva

teoríafísicaquelaexplique.

• Lateoríadelarelatividadespecialysusconsecuencias:ladilatación

deltiempoylacontraccióndelalongitud.

• Lamasaylaenergíarelativistas.Lainterconversiónmasa-energía.

• Laspartículasqueformanlamateriaysuubicaciónenlosátomos

ofueradeellos.

• Laenergíadelosnúcleos.Estudiodesuestabilidad.

• Laradiactividadnaturalylasleyesdeldesplazamientoradiactivo.• Lacinéticadelasdesintegracionesnucleares.Periodode

semidesintegracióndeunamuestrayvidamediadeunnúclido.

• Laradiactividadartificial.Procesosdefisiónyfusiónnuclear.

Conceptos

• Aprenderadeterminarelvalordemagnitudescaracterísticas

deuncuerpo(sumasa,energía,tamaño,otiempodeduraciónde

unsuceso)enrelaciónconsuvelocidad.

• Evaluarlaestabilidaddelosnúcleosyrelacionarlaconlaspartículas

quelointegran.• Completarreaccionesnuclearesanalizandolaspartículas

queintervienen.

• Calcularlaenergíaasociadaaunprocesonuclear.

• Evaluarlaactividadnucleardeunamuestraradiactiva

endistintosmomentos.


Loscontenidosquetrataestetemasonespecialmentesensiblesparaunaeducación

envalores.

Soloporejemplificarcomentamosalgunasdelasposibilidades.


Lacapacidaddestructivadelosprocesosnuclearespuedeseranalizada

ensudoblevertiente.

• Elefectopositivo:suutilizaciónparaeliminarcélulascancerosas.

• Elefectonegativo:lacapacidaddedestrucciónindiscriminada

quesepuedeproducircomoresultadodeunescaperadiactivo.

Poreldesarrolloquehaalcanzadoenlosúltimostiempos,interesacomentar

lautilizacióndeisótoposradiactivosenprocesosdiagnósticos.


• Comprenderlaimportanciadelacienciaparaconocerycontrolar

fenómenosnaturales,comolosradiactivos.

• Asumirquesepuedendaraplicacionessaludablesyperniciosasdeunmismoconocimientocientífico.

Actitudes

CONTENIDOS



371


2. Educación para la paz

Comentarlosdevastadoresefectosdelasarmasnuclearessepuedeconvertir

enunrecursoinestimableparaqueelalumnadosemanifiesteafavor

delapaz.Eldebatepuedeorientarseenelsentidoenquesebusque

lapazporsusefectospositivos,másalládeevitarlosdesastresqueconllevan

lasguerrasyotrassituacionesconflictivas.


Eltemadelaenergíanucleardapieamúltiplesdebatesenlosqueconviene

analizarprosycontrasdecadaunadesusaplicaciones.Esmuyprobable

quealolargodesuvidaunabuenapartedelalumnadosetengaquemanifestar

alrespectodeunainstalaciónnuclearodeuncentrodegestiónderesiduos.

Conviene,portanto,ensayarestetipodedebatesafindequesepongan

demanifiestolosdistintosaspectosquedebemosvalorar,másalládedar

unaopiniónvisceralypocodocumentada.


Cuandosevivecercadeunainstalaciónnuclear,elmedioambientesufre

unimpactoconsiderable.Serequierenmedidasdeprotecciónquecambian

elusodelsuelocircundante,yelaguaycualquieremisiónrequierencontrolesquegaranticensuinocuidad.Asimismo,debenestablecerseplanes

deevacuaciónqueminimicenlosefectosderivadosdeunaccidenteenlainstalación.

Debemossermuyrespetuososconestasactuaciones;unaactuaciónnuestra

irresponsablepuedeprovocardañosmedioambientalesirreparables.


Lascrecientesnecesidadesenergéticasllevanalospaísesaplantearselaenergía

nuclearcomounmodorelativamentebaratodesatisfacersusnecesidades.

Comprenderlosriesgosquecomportanlasinstalacionesnuclearespuedemotivar

unconsumoresponsabledelaenergía.

1. Utilizarlateoríaespecialdelarelatividadparaexplicarexperimentosteóricos

(comolaparadojadelosgemelos)ohechosreales(comolapresenciademuones

enlasproximidadesdelaTierra).

2. Calcularlasmagnitudesquecaracterizanuncuerpo(masa,energía,velocidad,longitud

otiempodeduracióndeunsuceso)cuandosemueveconvelocidadespróximasalasdelaluz.

3. Calcularlaenergíaqueestabilizaunnúcleo.

4. Analizarlaestabilidaddevariosnúcleosevaluandolaenergíapornucleón.

5. Completarreaccionesnuclearesenlasquefaltaalgunadelaspartículas.

6. Calcularlaenergíaasociadaaunareacciónnuclear.

7. Relacionar(medianteelcálculooportuno)laactividaddeunamuestraradiactiva

olacantidaddemuestrapresenteconeltiempoquesehaestadodesintegrando.

8. Analizarprosycontrasdeunaaplicaciónenlaqueintervenganlosprocesosnucleares.




372


1. Un coche A se mueve por una carretera recta a la velocidad de 75 km/hy otro coche B circula, por la misma carretera, a 60 km/h. En un momentodado, ambos coches están separados una distancia de 30 km. Calcula:

a) Cuánto tarda A en alcanzar a B si ambos coches circulan en sentidosopuestos y cuánto si A persigue a B.

b) Suponiendo que A no tuviese ninguna otra referencia externa,¿a qué velocidad percibe que se mueve B en cada uno de los dos casoscontemplados en el apartado anterior?

a) Caso1:AyBseacercanelunoalotro.

A B30-x x

30km

75km/h 60km/h

Enelmomentodelencuentrolosdossehabránmovidoelmismo

tiempo.

t t d v

d v

x x A BA

A

B

B

= = = -→ → →

75

30

60km/hkm

km/h

→ → →

→

x x x x

x x

75

30

60 60 75 60

1

2

60 751

260 7

= - + =

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ 55 16 67→ x = , km

VeamoseltiempoquetardaAenllegaralpuntodeencuentro,

situadoenx =

16,67km:

t = = =16,67 km

75 km/hh s0 2 13 20, min

)

Caso2:ApersigueaB.

30+x x

30km

75km/h 60km/h

A B

t t d

v

d

v

x x ' '

' 'A B

A

A

B

B

= =+

=→ → →30

75 60

km

km/h km/h

→ → →

→

30

75 75 60 60 75

30

75

75 60 30 60

+ = - =

⋅ - ⋅ = ⋅

x x x x

x x →→ x = 120 km



373

Solucionario

VeamoseltiempoquetardaAenllegarelpuntodeencuentro,

situadoa120km+30km=150kmdesuposicióninicial:

t ' = =150 km

75 km/h2 h

b) Sinotieneningunareferenciaexterna,elsistemadereferencia

deAsemueveasumismavelocidad.

• Caso1.LavelocidadpercibidadeBserá:

v v v 'B B A km/h km/h km/h= - = - - = -60 75 135

ApercibequeBseleacercaaunavelocidadde135km/h.

• Caso2.LavelocidadpercibidadeBserá:

v v v 'B B A km/h km/h km/h= - = - = -60 75 15

ApercibequeBseleacercaaunavelocidadde15km/h.

2. Dos vehículos, A y B, se mueven con velocidad constante por una carreterarecta. Cuando B persigue a A, este siente que se le acerca a una velocidad

de 30 km/h, pero cuando van uno al encuentro del otro, A percibeque B se le acerca a una velocidad que es siete veces la anterior.¿A qué velocidad se mueven A y B?

ElsistemadereferenciasemoveráconA.Planteamos

lasecuacionescorrespondientesacadacasoparalavelocidad

percibidaporAdeB:

• Caso1.BpersigueaA:

v v v 'B B A km/h= - = 30

• Caso2.ByAseacercanelunoalotro:

v v v v v 'B B A B A km/h km/h= - - = + = ⋅ =( ) 7 30 210

Resolvemoselsistemadeecuaciones:

v v

v v

B A

B A

km/h

km/h

- =

+ =

30

210

Despejamosv Bdelaprimeraecuaciónylosustituimos

enlasegunda:v v v v B A B Akm/h km/h- = = +30 30→ →

→ → →v v v v B A A Akm/h km/h km/h+ = + + =210 30 210( )

→ v Akm/h km/h

90 km/h=-

=210 30

2

Portanto:

v v v B A Bkm/h km/h km/h 120 km/h= + = + =30 90 30→



374


3. Mortimer es un gran aficionado a los viajes espaciales.Su mayor ilusión sería llegar a algún lugar de Alfa Centauro,el sistema estelar más próximo al Sol y que se encuentra a 4,36 años luzde distancia.

a) ¿A qué velocidad debe viajar la nave espacial para que su hijade diez años pueda ver regresar a su padre el día que ella cumplesetenta años?

b) Si el padre tenía 30 años el día que inició el viaje, ¿cuántos tendráa su regreso?

c) A la vista del resultado, discute la posibilidad real de realizar viajesinterestelares.

a) Desdeelpuntodevistadelaniña,eltiempoquetardarásupadre

encompletarelrecorridoseráDt .Lavelocidaddelanavees:

v t

=⋅2 distancia

D

Queremosgarantizarquelahijaloveráregresarcuandocumpla

70años;parasusistemadereferenciahabránpasado60años.

v c

c =⋅ ⋅

= ⋅2 4 36

600 145

,,

años

años

b) Calculamoslaedaddelpadrecuandoregrese.Teniendoencuenta

larelaciónrelativistaentrelosintervalosdetiempo:

DD

D

D D

t t

v c

t

t t v

c

=

-

= ⋅

= ⋅ - = ⋅ -

''

'

1

1 60 10 14

2

2

2

2

g →

→, 55

2 2

2

⋅=

c

c 59,36 años

Alfinalizarelviaje:

• LahijaquesequedaenlaTierratendrá:

10años+60años=70años

• Elpadrequeviajaenlanave,tendrá:

30años+59,36años=89,36años

c) Deacuerdoconlosresultadosobtenidos,realizarviajes

intergalácticosseríaunaposibilidadfactible.Enefecto,aunque

lasdistanciasexistentesentregalaxiassonenormes

yemplearíamosmuchotiempo,aunviajandoavelocidades

cercanasaladelaluz,existeelefectoañadidodequeunviajero

moviéndoseenunanaveespacialconunavelocidadcercana

aladealluzsufreelefectodeladilatacióndeltiempo.



375

Solucionario

Esdecir,paraéleltiempopasamuchomásdespacioquepara

unobservadorexterior,porloqueaunquefueradelanavepasen

cientosomillonesdeaños,silavelocidaddelanave

escercanaaladelaluz,eltiempoqueexperimenta

elviajeroesmuchomenor.

4. La Tierra gira alrededor del Sol, una estrella perteneciente a la galaxia VíaLáctea. Nuestro Sistema Solar se encuentra lejos del centro de la galaxia,a unos 30000 años luz de distancia. Imagina que una nave espacialque viaja a una velocidad que es el 80% de la velocidad de la luz decideir desde la Tierra hasta el centro de la galaxia. ¿Cuánto tiempo tardaríadesde el punto de vista de la nave?

DesdeunsistemadereferenciaasociadoalaTierra:

v t

t c

c = =

⋅

⋅=

distanciaaños

DD→

30 000

0 837 500

años

,

Veámosloahoraparaunsistemadereferenciaasociadoalanave

espacial.

Teniendoencuentalarelaciónrelativistaentrelosintervalosdetiempoparaambossistemas:

DD

D

D D

t t

v

c

t

t t v

c

=

-

= ⋅

= ⋅ - = ⋅ -

''

'

1

1 37 500 10

2

2

2

2

g →

→,,8

22 500

2 2

2

⋅=

c

c años

5. Sobre el mapa, la distancia Madrid-Sevilla es de 470 km,que son recorridos por el AVE a una velocidad media de unos 300 km/h.Utilizando la corrección relativista, determina la distanciaMadrid-Sevilla que percibe un pasajero de dicho tren.

Aplicamoslarelaciónrelativistaentredistancias:

Lv

c

L' = - ⋅ =

= -

⋅ ⋅

1

1

300 1000

2

2

km

h

m

km

1 h

3600 s

⋅

⋅ -

2

8 23 10

9 10 16

( )m/s

∼

⋅ 470 470km km

Lacorrecciónenladistanciaquehabríaquehaceresmuy,

muypequeña.



376


6. Supón una bombilla encendida en un tren que viaja a una velocidadde 80 km/h. Un viajero espacial pasa cerca de él a una velocidad iguala c . Calcula la velocidad de la luz que percibirá el viajero si avanzaacercándose al tren o si lo hace alejándose del mismo.

Laluzsemueveenelvacíoconvelocidadc cualquieraquesea

elmovimientorelativoentredossistemasinerciales;esdecir,tanto

sielmovimientoesdelafuenteluminosacomosiesdelobservador.

Deacuerdoconesto,lavelocidaddelaluzpercibidaporelviajero

serásiemprec .

7. Supón una nave espacial que viaja a la velocidad de la luz en cuyo interiorhay un foco de luz encendido. Los pasajeros de un tren que viajaa la velocidad de 80 km/h ven la luz de ese foco. Calcula la velocidadde la luz que percibirán los viajeros del tren si este viajaacercándose a la nave o si el tren viaja alejándose de la misma.

Laluzsemueveenelvacíoconvelocidadc cualquieraquesea

elmovimientorelativoentredossistemasinerciales;esdecir,tanto

sielmovimientoesdelafuenteluminosacomosiesdelobservador.

Deacuerdoconesto,lavelocidaddelaluzpercibidaporlosviajeros

serásiemprec .

8. Calcula la energía relativista de un cuerpo cuya masa en reposo es m 0 cuando se mueve con una velocidad v << c .

Enestecaso:

E m c m c m c m c C = ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ - ⋅g 02

02 2

02

• LlamamosE =m ⋅ c 2alaenergíarelativistatotaldeuncuerpo.

Suvalordependedelavelocidadalaquesedesplace.

• LlamamosE 0=m 0 ⋅ c 2alaenergíaenreposodelapartícula.

Laenergíatotaleslaenergíacinéticamáslaenergíaenreposo:

E E E = +C 0

Podemosescribirasílaenergíatotal:

E m c = ⋅ ⋅g 02

Calculamosgcuandoelcuerposemueveconv <<c :

g =

-

= -

+

-1

1

1 11

22

2

2

2

1 2 2

2

v

c

v

c

v

c

/

Enestecaso:

E v

c m c m c m v = +

⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅1

1

2

1

2

2

20

20

20

2



377

Solucionario

Siv << c ,podemosdespreciarelsegundotérminodelaexpresión

anterior,puesm 0 ⋅ c 2>>

1

2m 0 ⋅ v

2,yqueda:

E m c = ⋅02

9. Un electrón tiene una energía en reposo de 0,51 MeV. Si el electrónse mueve con una velocidad de 0,8c , se pide determinar su masarelativista, su cantidad de movimiento y su energía total.

Datos: carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10-19 C.

Velocidad de la luz, c = 3 ⋅ 108 m/s.(C. Valenciana, 2000)

Obtenemoslamasaenreposoapartirdeldatodesuenergía

enreposo:

E m c

m E

c

0 02

00

2

619

0 51 101 6 10

= ⋅

= =

⋅ ⋅⋅

-

→

→

,,

(

eVJ

1 eV

33 10

9 07 10

8 2

031

⋅

= ⋅-

m/s

kg

)

,

→

→ m

Masarelativista:

m m m

v

c

c

c

= ⋅ =

-

=

=⋅

-⋅

=

-

g 00

2

2

31

2

2

1

9 07 10

10 8

9,

( , )

kg ,,

,

,

07 10

1 0 8

1 51 10

31

2

30

⋅

-

= ⋅

-

-

kg

kg

→

→ m

Cantidaddemovimiento:

p m v p m v

p

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

-

→

→

→

1 51 10 0 8 3 10

3

30 8, ,kg m/s

,,624 1022

⋅ ⋅- kg m/s

W W

Energíatotal:

E m c = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

-

-

2 30 8 2

1

1 51 10 3 10

1 359 10

, ( )

,

kg m/s

33

191 6 10

0 85

J1 eV

J

eV

⋅⋅

=

-,

,

→

→ E



378


10. Un fotón cuya energía es 1,32 ⋅ 10-12

J se materializa en un parelectrón-positrón. Calcula la energía cinética en julios del par resultante.

(Datos: masa del electrón, m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg; c = 3 ⋅ 108 m/s.)

Nota: un fotón es una partícula de energía cuya masa en reposo es cero.

(P. Asturias, 2006)

Podemosrepresentarelprocesomediantelaecuación:

g→e-+e+

Deacuerdoconelprincipiodeconservacióndelaenergíarelativista:

E E inicial final=

Comoelfotónproduceunparelectrón-positrón,laenergíainicial

delfotónseráigualalaenergíaenreposodelelectrónmáslaenergía

enreposodelpositrónmáslaenergíacinéticadelelectrón

máslaenergíacinéticadelpositrón:

E m c m c E

E E m c

fotón e e C

C fotón e

= ⋅ + ⋅ +

= - ⋅ +

- +

-

2 2

2

→

→ ( m m c E m c e fotón e+ -⋅ = - ⋅2 22) ⋅

Esdecir,laenergíacinéticadelparserá:

E C J

J kg

= ⋅ =

= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅

-

- -

1 32 10

1 64 10 2 9 11 10

12

13 31

,

, , (( ) ,3 10 1 156 108 2 12⋅ = ⋅ -m/s J

Sielelectrónyelpositrónsellevanlamismacantidaddeenergía

cinética,cadaunosellevarálamitaddeestacantidad,esdecir:

5 78 1013, ⋅ -

J

11. Considera los núcleos de carbono12

C y13

C de masas 12,0000 umay 13,0034 uma, respectivamente, siendo 6 el número atómico de estosdos isótopos. Calcula para ambos núcleos:

a) El defecto de masa en kilogramos y en unidades de masa atómica.

b) La energía de enlace.

c) La energía de enlace por nucleón.

Datos: 1 uma = 1,66 ⋅ 10-27 kg; 1 uma = 931 MeV; 1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J;m (p)= 1,0073 uma; m (n)= 1,0087 uma; c = 3 ⋅ 108 m/s.

[Ten en cuenta que 1 uma = 1 u.]

(Canarias, 2005)

a) Setratadecalcularladiferenciaentrelamasadelosnucleones

(protonesyneutrones)ydelnúclidodecadaisótopodecarbono.

Elnúclidodelcarbono-12tiene:

• Protones:Z =6. • Neutrones:A-Z =12-6=6.

Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =

= ⋅ + ⋅

( ) ( )

( , ,

6 6

6 1 0073 6 1 0087

p n12C

u u)) ,- =12 0 096u u



379

Solucionario

Esdecir:

Dm = ⋅⋅

= ⋅-

-0 096

1 66 101 5936 10

2728,

,,u

kg

1 ukg

Elnúclidodelcarbono-13tiene:

• Protones:Z =6.

• Neutrones:A-Z =13-6=7.

Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =

= ⋅ + ⋅

( ) ( )

( , ,

6 7

6 1 0073 7 1 0087

13p n C

u u)) , ,- =13 0034 0 1013u u

Esdecir:

Dm = ⋅⋅

= ⋅-

-0 1013

1 66 101 6816 10

2728,

,,u

kg

1 ukg

b) Paraelisótopo12C:

E m c enlace

kg m/s

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =-

D 2

28 8 21 5936 10 3 10 1, ( ) ,,4342 10

11⋅ -J

Paraelisótopo13

C:E m c enlace

kg m/s

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =-

D 2

28 8 21 6816 10 3 10 1, ( ) ,,5134 10

11⋅ -J

c) Paraelisótopo12C:

E enlace

nucleón

J

12 nucleones=

⋅=

-1 4342 10

1 1

11,, 9952 10

12⋅ - J

nucleón

Paraelisótopo13C:

E enlace

nucleón

J

13 nucleones=

⋅=

-1 5134 10

1 1

11,, 6642 10

12⋅ - J

nucleón

Laenergíadeenlacepornucleónesmayorenel12C,

queserámásestablequeel13C.

12. La fuerza nuclear fuerte es la responsable de mantener estable un núcleode helio. Estima el módulo de dicha fuerza teniendo en cuenta que debe

contrarrestar la repulsión electrostática que existe entre sus dos protonesque están separados por una distancia de aproximadamente 10-15 m.

Datos: K = 9,00 ⋅ 109 N ⋅ m2 /C2; q protón = 1,602 ⋅ 10-19 C.


Debeserigualalmódulodelafuerzaelectrostáticaderepulsiónentre

losprotones:

F K q

d = ⋅ = ⋅

⋅⋅

⋅ -protón

2

2

N m

C

C2

2

919 2

9 101 602 10( , )

(110230 097

15 2-=

mN

),



380


13. Si un núcleo atómico emite una partícula a y dos partículas b, su númeroatómico:a) Disminuye en dos unidades. b) Aumenta en dos unidades. c) No varía.


Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaα,sunúmeroatómico

desciende2unidades.

Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaβ,sunúmeroatómico

aumentaen1unidad→alemitirdos,aumentaráen2unidades.

Sumandolosefectosdecadafenómeno,resultaquelarespuestacorrectaeslac):novaría.

14. Hallar el número atómico y el número másico del elemento producidoa partir del 218

84Po, después de emitir 4 partículas a y 2 b-.


Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaα,sunúmeroatómico

desciende2unidades,ysunúmeromásico,en4.Alemitir

4partículasα,resultaráqueelnúmeroatómicodesciende

en8unidadesyelnúmeromásicodesciendeen16unidades.

Cuandounnúcleoatómicoemiteunapartículaβ,sunúmeroatómico

aumentaen1unidadyelnúmeromásiconovaría.Alemitir

dospartículas,aumentaráelnúmeroatómicoen2unidades.

Elefectototalseráquesedesciendeelnúmeroatómicoen6unidades

yelnúmeromásico,en16unidades:

• Númeromásicofinal:A'=218-16=202.

• Númeroatómicofinal:Z '=84-8+2=78.

Elprocesoresultantees:

84

218

78

2024 2P X→ α β+ +

15. El periodo de semidesintegración del 226Ra es de 1620 años.

a) Explique qué es la actividad y determine su valor para 1 g de 226Ra.

b) Calcule el tiempo necesario para que la actividad de una muestrade 226Ra quede reducida a un dieciseisavo de su valor original.

N A = 6,02 ⋅ 1023 mol-1.

(Andalucía, 2006)a) Llamamosactividadradiactiva (A)alnúmerodenúclidos

quesedesintegranporunidaddetiempo.Suvalordepende

deltipodenúclidoydelnúmerodenúclidospresentes(N ):

AdN

dt N = - = ⋅λ

Elsignomenos(-)sedebeaqueelnúmerodenúclidospresentes

disminuyeconeltiempo.λeslaconstantededesintegración.



381

Solucionario

Obtenemoselvalordelaconstantededesintegraciónapartir

deldatodelperiododesemidesintegración:

T T

1 2

1 2

42 2 2

16204 27 10 /

/

ln ln ln,= = = = ⋅ -

λλ→

añosañoos-1

Obtenemoslacantidaddeátomosenlamuestraapartir

delnúmerodeAvogadro:

N =⋅

⋅ = ⋅6 02 10

1 2 66 10

2321,

,núclidos

226 gg núclidoss

Portanto:

AdN

dt N = - = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅-

λ

4 27 10 2 66 104 21, , ·

átomos

año

1 aaño

s

átomos

sB

365 24 3600

3 6 10 3 6 1010 10

⋅ ⋅=

= ⋅ = ⋅, , qq

b) Deacuerdoconlaleydedesintegraciónradiactiva:

N N = ⋅ - ⋅0 e tλ

ParaN =1/16⋅N 0:

N N

0

04 27 10

16

1

16

1

164 2

4

= ⋅ =

= -

- ⋅ - ⋅ ⋅-

e λ t te

Ln

→ →

→

,

, 77 10

1

16

4 27 10

4

4⋅ ⋅ =

- ⋅=-

-t t →

Ln

6493,18 años,

16. La actividad de una sustancia disminuye en un factor 5 en el transcursode 7 días.

a) Calcula la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración.

b) Si cuando han transcurrido 2 días, la actividad de la sustanciaes de 1018 desintegraciones/minuto, ¿cuántos átomos teníamosinicialmente?

c) ¿Cuál será la actividad de esa sustancia si en lugar de 2 díastranscurren 200?

(Cantabria, 2006)

a) Estadoinicial:

A N 0 0= λ ·

Estadotras7días:

A N A N

N N

= = = / =/

λλ

λλ

··

··0 0 0

5 5 5→



382


Portanto,queda:

N N

N N

= ⋅ = =

=

- ⋅ - ⋅

+ ⋅

00

0 7

7

5 5

1

5

5

→ → →

→

e e

e

t días

días

λ λ

λλ λ λ→ →lnln

,5 75

70 23

1= + ⋅ = = -días

díasdías

Conociendolaconstantededesintegraciónpodemosobtener

elperiododesemidesintegración:

T 1 21

2 2

0 23

3 01 / ln ln

,

,= = =-λ días

días

b) Tenemos:

A N N = ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅λ λ λ0 e t

→

→ 10

0

18 desintegraciones

min

60 min

1 h

24 h

1 día⋅ ⋅ =

= ,, ,, ·23 9 92 10

10

0 23 20

1

días e días días- -⋅ ⋅ =

-

N N → ⋅221 átomos

c) Sitranscurren200días:A N N = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅

- ⋅

- -

λ λλ

0

1 21 00 23 9 92 10

e

días e

t

, , ,223 2001días días

24 desintegraciones/día-

⋅=

17. El periodo de semidesintegración del radón-222 es de 3,9 días;si inicialmente se dispone de 20 microgramos de radón-222,¿cuánto queda después de 7,6 días?


Apartirdelperiododesemidesintegración:

T T

1 2

1 2

12 2 2

3 90 178 /

/

ln ln ln

,,= = = =

-

λλ→

díasdías

Elnúmerodeátomosylamasasondirectamenteproporcionales:

m m = ⋅ = ⋅ ⋅ =- ⋅ - - ⋅

-

06 0 178 7 6

20 10 51

e g et días díasλ , , ,,17 106

⋅- g

18. Se han encontrado unos restos arqueológicos de edad desconocida.Entre ellos apareció una muestra de carbono que contenía una octavaparte del isótopo del carbono 14C que se encuentra en la materia viva(solo queda 1/8 del 14C original). Teniendo en cuenta que el periodode semidesintegración del 14C es de 5730 años:

a) Hallar la edad de dichos restos.

b) Si en la actualidad en la muestra tenemos 1012 átomos de 14C,¿cuál será la actividad de la muestra?

(Cantabria, 2005)



383

Solucionario

a) Obtenemosλapartirdelperiododesemidesintegración:

T 1 2

2 /

ln=

λ→

T 1 2

42 2

57301 21 10

/

ln ln,= = = ⋅ -λ→

añosañoos-1

Entonces:

N N N

N = ⋅ = ⋅

=

- ⋅ - ⋅ ⋅- -

0

0

01 21 10

81

8

4 1

e e

e

t años tλ→ →

→

,

-- ⋅ - -- -

= - ⋅1 21 10 4 14 1 1

81 21 10

, · ln , ·años t años→ t →→

→ t =-

-=

- -

ln

, ·

8

1 21 104 1años

17 185 años

b) Laactividaddelamuestraes:

A N = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅

- -

λ

1 21 10 10 1 21 104 1 12 8

, ,año desintegrraciones/año

19. Entre los materiales gaseosos que pueden escapar de un reactor nuclearse encuentra el 131

53 I, que es muy peligroso por la facilidad con que se fijael yodo en la glándula tiroides.

a) Escribe la reacción de desintegración sabiendo que se tratade un emisor b-.

b) Calcula, en unidades del SI, la energía total liberada por el nucleido

al desintegrarse.Datos: masa (131I) = 130,906 12 uma; masa (131Xe) = 130,905 08 uma;masa (b-) = 5,4891 ⋅ 10-4 uma; 1 uma [1 u] = 1,6605 ⋅ 10-27 kg;c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1.

(P. Asturias, 2007)

a) Lareacciónquetienelugares:

53

131

1

0

54

131I Xe→ - +β

b) Lavariacióndemasaes:Dm m m m = - +

=

=

-( ) ( ) ( )

,

53

131

54

131 0I Xe1

130

β

9906 12 130 905 08 5 489 1 10

4 911 10

4u u- + ⋅ =

= ⋅

-

-

( , , )

, 44 u

Entonces:

D DE m c = ⋅ =

= ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅--

2

427

4 911 101 6605 10

3 1,,

(ukg

1 u00 7 34 10

8 2 14m/s J) ,= ⋅ -



384


20. Complete las siguientes reacciones nucleares:• 11

2312

1124Na H Na …+ +→ • 15

301430P Si …→ +

• 1327

24

1530Al He P …+ +→ • 4

96

1201Be … C n …+ +→


Lasreaccionescompletasson:

•11

23

1

2

11

24

1

1Na H Na p+ +→ •15

30

14

30

1

0P Si→ + ++β

• 13

27

2

4

15

30

0

1

Al He P n+ +→ • 4

9

2

4

6

12

0

1

Be C n+ +α →

21. En una reacción nuclear hay una pérdida de masa de 8,31 ⋅ 10-10 kg.¿Cuánta energía se libera en el proceso? Expresa el resultado en J y en kWh.

(c = 3,00 ⋅ 108 m/s.)


Laenergíaliberadaes:

D DE m c = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

-2 10 8 2

7

8 31 10 3 10

7 48 10

, ( )

,

kg m/s

JJ W s= ⋅ ⋅7 48 107,

ExpresándoloenkWh:

7 48 10 7 48 107 7, ,⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =J W s

1 kW

1000 W

1 h

3600 s20,788 kWh

22. a) Explica brevemente la fusión y la fisión nuclear y en qué se utilizan

dichos procesos.b) ¿Cuál de los procesos anteriores utiliza el Sol?

c) El Sol radia unos 1034 J/año. ¿Cuánto varía la masa del Sol cada año[por este motivo]?

(Cantabria, 2006)

a) Lafisiónnuclearesunprocesoenelqueunnúclido,generalmente

demasaelevada,serompeendosfraccionesmáspequeñas.

Adíadehoy,ademásdesuutilizaciónenlafabricacióndearmas

dedestrucción,tienemúltiplesaplicacionesciviles,comolaobtencióndeenergíapormediodelascentralesnucleares

odepotentesyduraderosgeneradoresdeenergíaenlugares

dedifícilabastecimiento,comoenlossubmarinosorompehielos.

Lafusiónnuclearesunprocesoenelquedosnúclidosdemasa

bajaseunendandounnúclidodemasamásalta.

Lamasadelosproductosdelafusiónesligeramente

inferioralamasadelosreactivos,loquedeterminalaliberación

delacantidadequivalentedeenergía.



385

Solucionario

Siselograserealizarlafusiónatemperaturasaccesibles,

tendríamoselmétodoidealparaobtenergrandescantidades

deenergíadeunamaneramuypococontaminante.

b) EnelSol(yengeneral,enlasestrellas)seproducefusiónnuclear.

LasaltastemperaturasquesedanenelSolyenotrasestrellas

favorecenlosprocesosdenucleosíntesisenlosquenúcleos

demasabajaseunenparaformarotrosdemasamayor.

ElhelioesunodeloselementosmásabundantesdelSol,

dondeseformaporcombinacióndenúcleosdehidrógeno.

c) Calculamoslavariacióndemasaapartirdelaenergíaradiada:

D D

DD

E m c

m E

c

= ⋅

= =⋅

=

2

2

34

8 2

10

3 101 11

→

→J/año

m/s( ), ⋅⋅ 10

17 kg/año

Aunqueesunamasamuygrande,espequeñacomparada

conlamasadelSol(2⋅1033kg).

23. ¿Por qué los isótopos empleados en medicina tienen una vida media corta,en general?

Parapoderobtenerresultadosenunespaciodetiemporeducido.

24. Da una respuesta razonada que justifique el hecho de que el métododel carbono-14 no pueda usarse en restosarqueológicos de centenas de miles de años de antigüedad.

Debidoalperiododesemidesintegracióndelcarbono-14,

queesdeunospocosmilesdeaños,alcabodecentenas

demilesdeañosdeantigüedadprácticamentetodo

elcarbono-14delamuestravivasehabrádesintegrado,

porloqueelerrorestimadoenlamedidaserámuyalto.

25. Un vehículo espacial se aparta de la Tierra con una velocidad de 0,5c .Desde la Tierra se envía una señal cuya velocidad es medidapor la tripulación, obteniendo un valor de:

a) 1,5c . b) c .

c) 0,5c .

(Galicia, 2007)

Larespuestacorrectaeslab),yaquelaluzsemueveenelvacío

convelocidadc cualquieraqueseaelmovimientorelativoentre

dossistemasinerciales,esdecir,tantosielmovimientoesdelafuente

luminosacomosiesdelobservador.



386


26. Se hacen girar partículas subatómicas en un acelerador de partículasy se observa que el tiempo de vida medio es t 1 = 4,2 ⋅ 10-8 s.Por otra parte, se sabe que el tiempo de vida medio de dichas partículas,en reposo, es t 0 = 2,6 ⋅ 10-8 s. ¿A qué velocidad giran las partículasen el acelerador? Razona la respuesta.

Dato: velocidad de la luz en el vacío, c = 3 ⋅ 108 m/s.


Teniendoencuentalarelaciónrelativistaentreelintervalodetiempo

enreposoyparalaspartículasenelacelerador:

DD

D D D

D D

t t

v

c

t t t v

c

t t

=

-

= ⋅ = ⋅ -

= ⋅

'' '

'

1

12

2

2

2

2 2

g → →

→ 11

2

2-

v

c →

→ v c t t

c = ⋅ - = - ⋅⋅

=-

-1 1 2 6 104 2 10

0

2

2

8 2

8 2DD

'⋅ ( , )

( , ),,79 ⋅ c

27. ¿Cuál debe ser la velocidad de una varilla para que su longitudsea la tercera parte que en reposo?

(La Rioja, 2006)

Deacuerdoconlateoríadelarelatividadespecial:

L L L

v

c

L L v c

L= ⋅ =

-

= = - ⋅g ''

'

13

12

2

2

2→ →

→ →1

91 1

1

90 94

2

2= - = ⋅ - = ⋅

v

c v c c ,

28. Nuestra experiencia nos dice que cuando un cuerpo se ve sometidoa la acción de una fuerza durante un tiempo, su energía cinéticaaumenta, ya que aumenta su velocidad. Supongamos que la fuerza actúadurante un tiempo indefinido, ¿podemos decir que su energía cinéticaaumenta de forma indefinida porque su velocidad aumentade la misma manera?

Desdeelpuntodevistaclásiconoexisteningúnlímiteaestehecho,

loqueindicaquesilafuerzatieneelvaloradecuadoyactúa

duranteeltiemposuficiente,laenergíadelcuerpopodríacrecer

indefinidamente.



387

Solucionario

Larelatividadespecialjustificaquelavelocidaddelcuerpo

nopuederebasarlavelocidaddelaluz,porloquedebemos

pensarque,enesascircunstancias,lamasadelcuerpo

nopermanececonstante,sinoqueaumentaenlamedida

enquelohacesuenergía.

Encontradeloquesuponíalafísicaclásica,lamasa

deloscuerposvaríaenfuncióndesuvelocidad,yasí

hablamosdeunamasarelativistam. (Aunquehabitualmente

seempleaeltérminomasa parareferirnosalamasa

enreposodeunapartícula.)

29. La energía total relativista de un cuerpo ¿puede ser mayorque su energía en reposo? ¿Puede ser igual? ¿Puede ser menor?Razona en qué condiciones se debe encontrar el cuerpo para que se denla respuesta o respuestas adecuadas.

Recordamoslaecuaciónvistaenestaunidad:

E m c m c m c m c C = ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ - ⋅g 02

02 2

02

• LlamamosE =m ⋅ c 2alaenergíarelativistatotaldeuncuerpo.

Suvalordependedelavelocidadalaquesedesplace.

• LlamamosE 0=m 0 ⋅ c 2alaenergíaenreposodelapartícula.

Laenergíarelativistatotaldeuncuerpoeslasumadesuenergía

cinéticaysuenergíaenreposo:

E E E = +C 0

Laenergíatotalrelativistasiempreesmayorquesuenergía

enreposocuandoelcuerposeencuentraenmovimiento,

yaque,almoverseaunadeterminadavelocidad,suenergíacinética

esmayorquecero.

30. La ecuación de Einstein E = m ⋅ c 2 implica que:

a) Una determinada masa m necesita una energía E para ponerseen movimiento.

b) La energía E es la que tiene una masa m que se mueve a la velocidadde la luz.

c) E es la energía equivalente a una determinada masa.(Galicia, 2005)

Enlosprocesosnucleareselconjuntodelassustancias

quesetransformasuelenexperimentarunadeterminada

pérdidademasaqueseconvierteenenergía.Deacuerdo

conlaecuacióndemasa,laenergíaequivalenteaunapérdida

demasam vienedadaporlaexpresiónE =m ⋅ c 2.Larespuesta

correctaeslac).



388


31. La energía del Sol llega a la Tierra con una potencia de 1,4 kW/m2

.Considerando que la Tierra está a 1,5 ⋅ 1011 m del Sol, calcula la cantidadde masa que pierde diariamente el Sol para poder aportar la energíaque emite.

LapotenciadelaenergíasolarquellegaalaTierraporunidad

desuperficiepermitecalcularlapotenciaemitidaporelSol:

P P S P

R S

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

S2

W

mm→ 1 4 10 4 1 5 10

3 11 2

42

, ( , )π

π

= ⋅3 958 10

26, W

Eldatodelapotenciapermitecalcularlaenergíaemitida

porelSolenundía:

P E

t E P t = = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅= ⋅→ 3 958 10

24 36003 42 1

26, ,J

s

s

1 día00

31 J

día

Admitiendoqueestaenergíaprocededelapérdidademasa

delSolyteniendoencuentalarelacióndeEinstein:

E m c m E

c = ⋅ = = ⋅

⋅=D D2

2

31

8 2

3 42 10

3 103→

,

( ),

J/día

m/s88 1014⋅ kg

Aunqueesunamasagrandeentérminosterrestres,espequeña

silacomparamosconlamasadelSol(2⋅1030kg).

32. Calcula cuánta energía hay que comunicar a un electrón que se encuentraen reposo para que se mueva a una velocidad que sea el 80%de la velocidad de la luz.

Datos: masa del electrón, 9,11⋅

10-31

kg; velocidad de la luz,c = 3 ⋅ 108 m/s.

Alelectrónhayquecomunicarleunaenergíaigualalaenergíacinética

quedebeadquirir:

E E E

m c m c m c m c m

C = - =

= ⋅ - ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = - ⋅ ⋅

0

20

20

20

201g g( ) c c 2 →

→ E v

c

m c C =

-

-

⋅ ⋅1

1

12

2

0 22 →

→ E

c

c

C kg m/s=

-⋅

- ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-1

10 8

1 9 11 10 3 10

2 2

2

31 8 2

,

, ( ) ==

= ⋅ -5 47 10

14, J



389

Solucionario

33. La masa en reposo de un protón es 1,67 ⋅ 10-27

kg y se muevea una velocidad que es 0,8 ⋅ c . Calcula:

a) Su energía total. c) Su cantidad de movimiento.

b) Su energía cinética.

a) E =m ⋅ c 2,donde:

m m m

v

c

c

c

= ⋅ =

-

=⋅

-⋅

=

-

g 00

2

2

27

2 2

2

1

1 67 10

10 8

2 7,

,

,kg

88 1027

⋅- kg

Portanto:

E m c = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅- -2 27 8 2 10

2 78 10 3 10 2 502 10, ( ) ,kg m/s JJ

b) Energíacinética:

E E E m c m c m m c C

kg

= - = ⋅ - ⋅ = - ⋅ =

= ⋅-

02

02

02

272 78 10

( )

( , -- ⋅ ⋅ ⋅- -

1 67 10 3 10 1027 8 2 10, ) ( )kg m/s J

c) Cantidaddemovimiento:

p m v m c = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =-

0 8

2 78 10 0 8 3 10 627 8

,

, , ,kg m/s 6672 1019

⋅ ⋅- kg m/s

34. ¿Con qué velocidad se mueve una partícula si su energía total es el tripleque su energía en reposo?

LlamamosE =m ⋅ c 2alaenergíarelativistatotaldeuncuerpo.

Suvalordependedelavelocidadalaquesedesplaza.

LlamamosE 0=m 0 ⋅ c 2

alaenergíaenreposodelapartícula.Larelaciónentreambasequivalealarelaciónentrelamasarelativista

ylamasaenreposodelapartícula.

m m m

v

c

= ⋅ =

-

g 00

2

21

Portanto:

3

11

10 0

0

2

2

0 2

2

= = =

-

=

-

E

E

m

m

m

v

c

m v

c

→

→ → →91

1

11

91

1

90 94

2

2

2

2=

-

- = = ⋅ - = ⋅

v

c

v

c v c c ,



390


35. En un experimento realizado en un acelerador de partículas se hacenchocar dos haces de protones que avanzan a la misma velocidad.Como resultado de la colisión se genera un par protón-antiprotón(el antiprotón es una partícula con la misma masa que el protón, p+,pero con carga opuesta, p-). Calcula:

a) La mínima energía relativista que debe tener cada protón paraque se produzca ese hecho.

b) La masa relativista de cada protón.

c) La energía cinética de cada protón.

d) La velocidad del protón.

Datos: masa (p+) = masa (p-) = 1,67 ⋅ 10-27 kg; velocidad de la luz,c = 3 ⋅ 108 m/s.

Podemosrepresentarelprocesomediantelaecuación:

(p++p+)*→(p++p+)+(p++p-)

a) Lamínimaenergíarelativistaesaquellaquepermitequeelpar

deprotonesdespuésdelchoqueyelparprotón-antiprotón

quesegeneraesténenreposo:E E E E E = + =C mínima0 0→

Deacuerdoconelprincipiodeconservacióndelaenergía

relativista:

E E m m c m c inicial final p p p= = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅

+ - +( )3 4

4

2 2

11 67 10 3 10 6 012 1027 8 2 10, ( ) ,⋅ ⋅ ⋅ = ⋅- -kg m/s J

Laenergíainicialeslaenergíarelativistadecadauno

delosprotonesquechocan:

E E E E

inicial p pinicial J

= ⋅ = =⋅

=+ +

-

22

6 012 10

2

10

→,

33 1010

⋅ -J

b) Paracalcularlamasarelativistadecadaprotóntendremos

encuentalaecuación:

E m c m E

c = ⋅ = =

⋅

⋅= ⋅

--2

2

10

8 2

273 10

3 103 33 10→

J

m/s( ), kkg

c) Calculamoslaenergíacinéticaapartirdeladiferenciademasaqueexperimentaelprotón:

E m c m m c C O

kg

= ⋅ = - ⋅ =

= ⋅ - ⋅- -

D 2 2

27 23 33 10 1 67 10

( )

( , , 77 8 2 103 10 1 49 10kg m/s J) ( ) ,⋅ ⋅ = ⋅ -

d) Paracalcularlavelocidadtendremosencuentalarelación

entrelamasaenreposoylamasarelativistaparacadaprotón

(aestasvelocidadeslarelaciónE mv C =1

2

2noesválida).



391

Solucionario

Portanto:

m m m

v

c

v

c

m

m

v

c

m

m

= ⋅ =

-

- =

- =

g 00

2

2

2

2

0

2

2

0

1

1

1

→ →

→

= -

= ⋅ -

2

2

2

0

2

0

1 1

→

→ →

v

c

m

m v c

m

m

2

Sustituyendo:

v c = ⋅ -⋅

⋅

-

-1

1 67 10

3 33 10

27

27

,

,

kg

kg

22

0 865= ⋅, c

36. ¿Con qué rapidez debe convertirse masa en energía para producir 20 MW?

Dato: velocidad de la luz, c = 3 ⋅ 108 m/s.(C. Valenciana, 2000)

20MWcorrespondena20⋅106Jenunsegundo.Deacuerdo

conlaecuacióndeEinstein:

E m c m = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅D D2 6 8 220 10 3 10→ →J/s m/s( )

→ Dm =⋅

⋅= ⋅ -20 10

3 102 22 10

6

8 2

10J/s

m/skg

( ),

Estaeslamasaquedebeconvertirseenenergía

encadasegundo.

37. Estudia los siguientes núclidos y establece entre ellos todaslas relaciones que puedas. Señala los que pertenecen al mismoelemento químico:

1631

1530

1731

1633

1734X; Y; Z; W; P

• 16

31

17

31

X y Zsonisóbaros(tienenelmismonúmeromásico).

• 16

31

16

33X y Wsonisótopos(tienenelmismonúmeroatómico).

Pertenecenalmismoelementoquímico.

• 17

31

17

34Z y Psonisótopos(tienenelmismonúmeroatómico).

Pertenecenalmismoelementoquímico.

• 16

31

15

30X y Ysonisótonos(tienenlamismacantidaddeneutrones).

• 16

33

17

34W y Psonisótonos(tienenlamismacantidaddeneutrones).



392


38. ¿Por qué la masa de un núclido estable es más pequeña que la sumade las masas de sus nucleones? ¿Cómo se llama esta diferencia?

(Islas Baleares. Septiembre, 2005)

Ladiferenciaentrelasmismasseexplicaconsiderandoqueeste

defectodemasaseconvierteenenergíaenelprocesodeconstitución

delnúcleoapartirdesusnucleones.Estaenergíasedenomina

energíadeenlacedelnúclido.

39. El 88226

Ra emite partículas alfa dando lugar a Rn.a) Escriba la ecuación de la reacción nuclear y determine la energía

liberada en el proceso.

b) Calcule la energía de enlace por nucleón del Ra y del Rn y discutacuál de ellos es más estable.

Datos: c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s-1; m Ra = 226,0254 06 u;m Rn = 222,017 574 u; m p = 1,007 95 u; m n = 1,008 98 u;m a = 4,002 603 u; 1 u = 1,66 ⋅ 10-27 kg.

(Andalucía, 2006)a) Lareacciónes: 88

226

2

4

86

222Ra Rn→ α +

Defectodemasa:

Dm m m m = - + =

=

( ) [ ( ) ( )]

,

88

226

2

4

86

222Ra Rnα

226 025 4006 4 002 603 222 017 574 5 229 103u u u u- + = ⋅ -( , , ) ,

Entonces:

D DE m c

= ⋅ =

= ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅--

2

327

85 229 10

1 66 103 10,

,(u

kg

1 umm/s J) ,2 13

7 812 10= ⋅ -

b) ElnúclidodeRntiene:


Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =

= ⋅

( ) ( )

( ,

86 136

86 1 007 95

286

222p n

u

Rn

++ ⋅ - =

=

136 1 008 98 222 017 574

1 887 406

, ) ,

,

u u

u

Esdecir:

Dm = ⋅⋅

= ⋅

--

1 887 4061 6606 10

3 1342 10

2727,

,,u

kg

1 ukgg

Entonces:

E m c enlace Rn

kg m/s

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅-

D 2

27 8 23 1342 10 3 10, ( ) == ⋅ -

2 82 1010, J



393

Solucionario

Yqueda:

E E enlace Rn enlace Rn

nucleón nucleones= =

222

2 82, ⋅⋅=

= ⋅

-

-

10

222

1 27 10

10

12

J

nucleones

J

nucleón,

ElnúclidodeRatiene:


Dm m m m = ⋅ + ⋅ - == ⋅

( ) ( )( ,

88 138

88 1 007 95

288

226

p n

uRa

++ ⋅ - =

=

138 1 008 98 226 025 406

1 913 43

, ) ,

,

u u

u →

→ Dm = ⋅⋅

= ⋅

--

1 913 431 6606 10

3 1774 10

2727,

,,u

kg

1 ukgg

Entonces:

E m c enlace Ra

kg m/s

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅-

D 2

27 8 23 1774 10 3 10, ( ) == ⋅ -

2 86 1010, J→

→

E E enlace Ra enlace Ra

nucleón nucleones= =

226

2 8, 66 10

226

1 26 10

10

12

⋅=

= ⋅

-

-

nucleones

J

nucleón,

Resumiendo:

• E enlace Rn

nucleónJ

nucleón= ⋅ -

1 27 1012,

•E enlace Ra

nucleón

J

nucleón= ⋅ -

1 26 1012,

SerámásestableelnúclidodeRn,yaquesuenergíadeenlace

pornucleónesmayor.

40. Calcula:

a) La energía media de enlace por nucleón de un átomo de 2040Ca

expresada en MeV.

b) La cantidad de energía necesaria para disociar completamente 1 gde 20

40Ca, expresando dicha energía en J.

Datos: masa atómica del 2040Ca = 39,975 45 u; masa atómica

del neutrón = 1,0087 u; masa atómica del protón = 1,0073 u;N A = 6,022 ⋅ 1023 átomos/mol; 1 u = 1,66 ⋅ 10-27 kg.




394


a) ElnúclidodeCatiene:

• Protones:Z =20.

• Neutrones:A-Z =40-20=20.

Eldefectodemasaes:

Dm m m m = ⋅ + ⋅ - =

= ⋅ +

( ) ( )

( , ,

20 20

20 1 0073 1 0

20

39p n Ca

u 0087 39 975 45 0 344 55u u u) , ,- =

Esdecir:

Dm = ⋅ ⋅ = ⋅- -

0 344 55 1 66 10 5 71953 1027 28, , ,u kg

1 ukg

Portanto:

E m c enlace Ca

kg m/s

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅-

D 2

28 85 719 53 10 3 10, ( )22 11

5 14758 10= ⋅ -, J

Yqueda:

E enlace Ca

nucleónJ

40 nucleones= ⋅ =

-

5 14758 10

11

, 11 28689 10 12, ⋅ - J/nucleón

EnMeV:

E enlace Ca

nucleónJ

1 eV= ⋅ ⋅

⋅

-

-1 286 89 10

1 6 1 0

12

1,

, 99 610J

1 MeV

eV8,043MeV⋅ =

b) Calculamoslacantidaddenúclidosquehayen1gdemuestra.

UtilizamoselnúmerodeAvogadroparacalcularlosátomos

quehayenlamuestra:

N N

m = =

⋅⋅ = ⋅

A núclidos

40 gg núc

6 022 101 1 51 10

2322,

, llidos

Laenergíadedisociaciónserá:

E N E disociacion enlace Ca= ⋅ =

= ⋅ ⋅1 51 10 5 1475822, , ⋅⋅ = ⋅-

10 7 75 1011 11

J J,

41. Calcula la masa de deuterio que requeriría cada día una hipotéticacentral de fusión de 500 MW de potencia eléctrica en la que la energíase obtuviese del proceso 2 1

224H He→ suponiendo un rendimiento

del 30 %.

Datos: masa atómica del deuterio = 2,014 74 u;masa atómica del helio = 4,003 87 u;1 u = 1,66 ⋅ 10-27 kg; N A = 6,02 ⋅ 1023 átomos /mol.




395

Solucionario

Calculamoslapérdidademasaylaenergíacorrespondiente

alprocesoindicado:

Dm m m = - = ⋅ - =

= ⋅

2 2 2 014 74 4 003 87

0 025 611

D He u u

u

, ,

,,666 10

4 25 10

2729⋅

= ⋅

--kg

1 ukg,

Laenergíaqueresultadeestapérdidademasa,teniendoencuenta

elrendimiento,es:

E m c = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅-30

100

30

1004 25 10 3 10

2 29 8

D , ( )kg m/s22

12 1230

1003 825 10 1 15 10

=

= ⋅ ⋅ = ⋅- -, ,J J

Calculamoslaenergíaquedebedardiariamentelacentral:

P E

t

E P t

=

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

→

→ 500 10 243600

4 32 106 1J

s

hs

1h

, 33 J

día

Calculamoselnúmerodevecesquesetienequeproducir

diariamentelareacciónseñaladaparaobteneresacantidad

deenergía:

4 32 10

1 15 103 76 10

13

12

25,

,,

⋅

⋅= ⋅

-

J/día

J/procesopprocesos/día

Encadaprocesointervienen2átomosdedeuterio.Sumasa

nospermitecalcularlamasadeesteelementoquedebeutilizardiariamentelacentral:

m m = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅

N.º procesos D

átomos de D

d

2

3 76 10 225

( )

,í ía

u

átomo de D

kg

1 u⋅ ⋅

⋅

=

-2 014 74 1 66 10

0 25

27, ,

,

→

→ m kkg de D

día

42. Sabiendo que en la siguiente reacción nuclear: ZAX H He+ 1

1242→

se liberan 11,47 MeV de energía:

a) Escribe el isótopo ZAX que falta en la reacción.

b) Calcula la masa atómica de dicho isótopo.

Datos: masa atómica del hidrógeno = 1,0078 u;masa atómica del 4He = 4,0026 u; 1 u = 931 MeV.

(P. Asturias, 2001)



396


a) Enlasreaccionesnuclearesseconservanlacargaeléctrica

yelnúmerodenucleones.Enconsecuencia:

• Z =2⋅2-1=3

• A=2⋅4-1=7

Elisótopoquefaltaes:

Z

A X X=3

7 →litio:3

7Li

b) ElnúcleodeHestáformadoporunsoloprotón,mientras

queelhelioestáformadopordosprotonesydosneutrones.

Estehechonospermitirádeterminarlamasadeunneutrón:MasanúcleoHe=2⋅masaprotón+2⋅masaneutrón→

→ →

→

4 0026 2 1 0078 2, ,u u masa neutrón

masa neutr

= ⋅ + ⋅

óónu

u u= - =4 0026

21 0078 0 9935

,, ,

Portanto:

m m

c c

m ( ) ( ) , (3

7

2

42 11 47Li He

MeV 1 u

931 MeV/

2 2= ⋅ + ⋅ -

11

1

3

7

2 4 0026 0 012 32 1 0078

H

u u u

Li

)

, , ,

( )

=

= ⋅ + -

=

→

→ m 77 009 72 6526, u MeV/ 2= c

43. En la desintegración b:

a) El número atómico aumenta en una unidad.

b) El número másico aumenta en una unidad.

c) Ambos permanecen constantes.(Galicia. Junio, 2005)

Laspartículasβsonelectrones.Cuandounnúclidoemite

unapartículaβsetransformaenotronúclidocuyonúmero

atómicoaumentaenunaunidadysunúmerodemasanovaría.

Larespuestacorrectaeslaa).

44. Un isótopo inestable del astato 85217At emite una partícula a

y se transforma en un elemento X, el cual emiteuna partícula b y da lugar al elemento Y. Establece los númerosmásico y atómico de X e Y.


Cuandounnúclidoemiteunapartículaαsetransformaenotronúclido

cuyonúmeroatómicodesciendeendosunidades,ysunúmero

demasa,encuatro.

85

217

2

4

85 2

217 4

83

213At X X→ ⇒α + --



397

Solucionario

Cuandounnúclidoemiteunapartículaβsetransformaenotronúclido

cuyonúmeroatómicoaumentaenunaunidadysunúmerodemasa

novaría.

83

213

1

0

83 1

213

84

213X Y Y→ ⇒- ++β

45. a) ¿Cómo se puede explicar que un núcleo emita partículas b si en él soloexisten neutrones y protones?

b) El 90232Th se desintegra, emitiendo 6 partículas a y 4 partículas b,

dando lugar a un isótopo estable del plomo. Determine el númeromásico y el número atómico de dicho isótopo.

(Andalucía, 2006)

a) Lapartículaqueseliberaenestadesintegraciónbeta

esunelectrón,sibienprocededelnúcleodelátomocomo

resultadodeladesintegracióndeunneutrón;notiene

queverconloselectronesqueexistenenlacorteza

delosátomos.

Hayquerecordarqueelmecanismodeladesintegraciónbetaes:

0

1

1

1

1

0n p e e→ + +- ν ; --

-=1

0

1

0β e

b) Alemitirlas6partículasαseobtendráunnúclidocuyonúmero

atómicodesciendeen12unidadesysunúmeromásicodesciende

en24unidades.Elefectodelaemisióndelas4partículasβ

seráunnúclidocuyonúmeroatómicoaumentaen4unidades.

Entotaltendremosunnúclidocuyonúmeroatómico

desciendeen8unidades(12-4)ysunúmeromásicodesciende

en24unidades:

90

232

2

4

1

0

90 8

232 24

90

232

2

46 4 6Th X ; Th→ →α β α+ +- -

- ++ +-41

0

82

208β Pb

46. a) Defina las siguientes magnitudes asociadas a los procesosde desintegración radiactiva: actividad radiactiva (A),periodo de semidesintegración (T ) y vida media (τ).

b) Se tiene un mol de 214Pb, isótopo radiactivo cuyo periodode semidesintegración es de 27 minutos. ¿Al cabo de cuánto tiempo

quedará solo el 10% del material inicial? ¿Qué actividad A tienela muestra en ese momento?

(Aragón, 2007)

a) Llamamosactividadradiactiva (A)alnúmerodenúclidos

quesedesintegranporunidaddetiempo.Suvalordepende

deltipodenúclidoydelnúmerodenúclidospresentes(N ):

AdN

dt N = - = ⋅λ



398


Sedenominaperiododesemidesintegración(T 1/2)altiempo

quetardaendesintegrarselamitaddelosnúcleosquehabía

enlamuestra.Eneseinstante:N =N 0 /2.

ln/

lnln

/ / / N

N T T T

0

0

1 2 1 2 1 2

22

2= - ⋅ - = - ⋅ =λ λ

λ→ →

Sedenominavidamedia(τ)deunnúclidoaltiempoquedura

unnúclidoportérminomedio.

Esunconceptoestadísticocomparablealoqueconocemos

como«esperanzadevida»enlaspoblacioneshumanas.Serelacionaconelperiododesemidesintegraciónpormedio

delaexpresión:

τλ

= =1

2

1 2T /

ln

b) SiqueremosdeterminareltiempoenelqueN =0,1⋅N 0:

N N N N = ⋅ ⋅ = ⋅- ⋅ - ⋅

0 0 00 1e et tλ λ→ ,

Calculamoslaconstantededesintegraciónapartirdeldatodelperiododesemidesintegración:

T T

1 2

1 2

22 2 2

272 567 10 /

/

ln ln ln

min, min= = = = ⋅

- -

λλ→

11

Portanto:

0 1 0 10 02 567 10

2 1

, ,

ln

,⋅ = ⋅ =

- ⋅ - ⋅ ⋅- -

N N e et min tλ→ →

→ 00 1 2 567 10

0 1

2 567 10

2 1

2

, ,

ln ,

,

= - ⋅ ⋅

=- ⋅

- -

-

min t

t

→

→

mmin89,7 minutos

-=

1

Laactividaddelamuestraenesemomentoes:

AdN

dt N = - = ⋅λ

N correspondealadécimapartedeunmol.

N =⋅

= ⋅6 022 10

106 022 10

2322,

,núclidos

núclidos

Así:

A N = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

=

- -λ 2 567 10 6 022 10

1

2 1 22, min , núclidos

,, ,55 10 1 55 1022 22

⋅ = ⋅núclidos/minnúclidos

min⋅

11min

60 s

Bq

=

= ⋅2 58 1020,



399

Solucionario

47. Se tienen 200 g de una muestra radiactiva cuya velocidadde desintegración es tal que al cabo de un día le quedasolo el 75% de la misma. Calcula:

a) La constante de desintegración.

b) La masa que quedará después de 22 días.


a) Calculamosλ:

N N N

N = ⋅ = =

= - ⋅

- ⋅ - ⋅

0

0

1

0 75

0 75 1

e e

día

λ λ

λ λ

t→ →

→ →

,

ln , == - = =-ln ,

,0 75

16 9

día0,287 68 día 1 h

b) CalculamosN .Comolamasaesproporcionalalnúmero

departículas:

m m m m = = =- ⋅ - ⋅

-

0 00 287 68 22

1

1 78⋅ ⋅e et días díasλ→

, , ⋅⋅

= ⋅ ⋅ =

-

-

103

→ m 1,78 10 200 g 0,356 g3

48. El periodo T 1/2 del elemento radiactivo 2760Co es 5,3 años y se desintegra

emitiendo partículas b.

Calcula:

a) El tiempo que tarda la muestra en convertirse en el 70% del original.

b) ¿Cuántas partículas b emite por segundo una muestra de 10-6 gramosde 27

60Co?

Dato: N A = 6,02 ⋅ 1023 mol-1.


a) Tenemos:

N N = ⋅- ⋅

0 e tλ

SiqueremosdeterminareltiempoenelqueN =0,7⋅N 0:

0 7 0 0, ⋅ = ⋅- ⋅N N e tλ

Calculamoslaconstantededesintegraciónapartirdeldato

delperiododesemidesintegración:

T T

1 2

1 2

12 2 2

5 30 1308 /

/

ln ln ln

,,= = = =

-

λλ→

añosaños

Entonces:

0 7 0 7 0 7 0 13080 1308, , ln , ,,

= = = -- ⋅ - ⋅e e at años tλ

→ → ñños

años2,7269 años

⋅

= - =

t

t

→

→ln ,

,

0 7

0 1308



400


b) CadaátomodeCoemiteunapartículabeta.Calculamoselnúmero

deátomosquehayenlamuestrayesaserálaN quenospermite

calcularlaactividady,portanto,elnúmerodepartículasbeta

queseemitencadasegundo:

N = ⋅⋅

= ⋅-10

6 02 10

601 10

623

16gátomos

gátomos

,

Portanto:

A N = ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅

-λ 0 1308 1 10

1 308 10

1 16,

,

años núclidos

115 7

365 24 36004 15 10núclidos

año1 año

sBq⋅

⋅ ⋅= ⋅,

49. Cuando se bombardea nitrógeno 147N con partículas alfa se generan

el isótopo 178O y otras partículas. La reacción es:

a)7

1424

817N O p+ +a →

b)7

1424

817N O n+ + +a b→

c) 714 24 817N O p n+ + + +a γ→


Larespuestacorrectaeslaa),yaqueeslaúnicaconlaquesecumplen

elequilibriodenucleonesydecargasaamboslados.

50. ¿Cuál de las siguientes reacciones nucleares representa el resultadode la fisión del 235

92U cuando absorbe un neutrón?

a)82

209 5 3 4Pb p n+ + +a

b)3890

54140 6Sr Xe n+ + + b

c)56

1413692 3Ba Kr n+ +


Enlasreaccionesnuclearesseconservalacargayelnúmero

totaldenucleones.Cuandoeluranioabsorbeunneutrón,elnúmero

denucleoneses:

92

235

0

1U n+

• Z =92

• A=235+1→A=236

Hacemosunbalancesimilarencadaunadelasposibilidades

quesenosofrecen:

a) Z ' =82+5⋅2+3=95;A' =209+5⋅4+3+4=236→

→Incorrecto.

b) Z ' =38+54-1=91;A' =90+140+6=236→Incorrecto.

c) Z ' =56+36=92;A' =141+92+3=236→Correcto.



401

Solucionario

51. En noviembre de 2006, el ex espía A. Litvinenko murió por intoxicaciónradiactiva al haber inhalado o ingerido 84210Po. El 84

210Po es inestabley emite una partícula a transformándose en Pb.

a) Escribe la ecuación de desintegración correspondientey determina los números másico y atómico del isótopodel Pb resultante.

b) Explica por qué el 21084Po es letal por irradiación interna (inhalación

o ingestión) y no por irradiación externa.

(Castilla-La Mancha, 2007)a) Lareacciónes:

84

210

2

4

82

206Po Pb→ α +

b) Larazónestáenelpoderdepenetracióndelaspartículasα.

Sonpartículasmuyenergéticas,peroconpocopoder

depenetración,loquehacequenoatraviesenlapiel.

52. a) Define los isótopos radiactivos.b) Enumera las partículas o radiaciones emitidas.

c) Indica los efectos de las radiaciones en los seres vivos.

d) Comenta las principales aplicaciones de dos isótopos radiactivosimportantes.

(P. Asturias, 2006)

a) Isótopos:sonátomosquecoincidenenelnúmeroatómico(Z )

ysediferencianenelnúmeromásico(A).Losátomos

delosnúclidosisótopospertenecenalmismoelementoquímico.

Enalgunoscasossoninestables,loquedetermina

queevolucionentratandodealcanzarunestadoenergéticamente

másfavorable.Paralograrlo,producenemisionesradiactivas.

b) • Rayosα:sonpartículaspositivasformadaspordosportones

ydosneutrones:2

4α.SelesconsideranúcleosdeHe.

Formanunaradiaciónionizante(escapazdearrancarpartículas

cargadasalamateria)quetienemuypocopoderdepenetración;

unpapelolapielhumanalapuedendetener.• Rayosβ:sonpartículasnegativasidénticasaloselectrones.

Supoderdepenetraciónesmayorqueeldelaspartículasα,

perosonretenidasporunaláminadelgadademetal;

porejemplo,aluminio.

• Rayosg:esradiaciónelectromagnética,poresonosedesvía

alatravesaruncampoeléctrico.Tieneungranpoder

depenetración,másquelosrayosX;paradetenerlaespreciso

utilizargruesascapasdehormigón.



402


Poderdepenetraciónydesviación:

Radiaciónα Rayog

Radiaciónβ

RayosX

Radiacióng

Aluminio

Plomo Hormigón

Mineraldeuranio

Bloquedeplomo

Placaseléctricas

Partículaβ

Partículaα

Papel

-

+

c) Lasradiacionesquealcanzanlostejidosdelosseresvivostienen

unefectodestructorsobresuscélulas,deahíqueseempleenen

tratamientosanticancerígenos.Silostejidossanossonalcanzados

porunaradiaciónradiactiva,puedensufrirgravesdestrozos

osufriralteracionessignificativaseneldesarrollodesuscélulas

queprovoquenlaaparicióndecánceres,comoleucemias.

Algunosisótoposradiactivossefijandeformaselectivaadeterminados

tiposdecélulas,loquepermitequeseutilicenendiagnósticoclínico.

d) Algunosisótoposradiactivosseempleanparaobtenergrandes

cantidadesdeenergíaquesepuedenutilizarparafinespacíficos,comolascentralesnuclearesolosreactoresnucleares

quepermitenlanavegacióndesubmarinos;oconfines

destructivos,comolasbombasolosmisilesnucleares.

Otrosisótoposradiactivosseusanentratamientosmédicos

quebuscanladestrucciónselectivadecélulasmalignas,

comolasdelcáncer,oeneldiagnósticodeenfermedades.

Tambiénseutilizanlosisótoposradiactivosparadatarrestos

arqueológicos(datacióncon14C),yentareasdeanálisis

oinvestigación,enlasqueseempleancomotrazadores.

53. El siguiente esquema indica los núclidos de la desaparecida seriedel neptunio. Complétala señalando el número atómico de cada núclidoy las partículas que se emiten cada vez que uno se transforma en elsiguiente. Comprueba que estos núclidos cumplen la regla de A = 4n + 1.

α

α

β-

β-

237Np

233U

229 Th

225Ra

221Fr

217At

209 Ti

217Rn

209Pb

209Bi



403

Solucionario

Solución:

0-1β

0-1β

0-1β

0-1β

0-1β

0-1β

42α

42α

42α

4

2α4

2α4

2α4

2α

42α

42α

n = 59 n = 58

n = 58 n = 57

n = 56

n = 56

n = 55 n = 54 n = 53 n = 52

n = 53n = 54 n = 52

n = 52

23793Np

23391Pa

23392U

22990 Th

22588Ra

22589Ac

22187Fr

21785At

21383Bi

20981 Tl

21786Rn

21384Po 209

82Pb

20983Bi

Comoseapreciaenelesquema,todoslosnúclidostienenunnúmero

másicoAtalqueA=4n +1,donden esunnúmeroentero.



404

140,158

CeCerio

140,959

PrPraseodimio

144,260

NdNeodimio

(145)61

PmPrometio

150,462

SmSamario

I A

LANTÁNIDOS

ACTÍNIDOS

183,874

WWolframio

(266)106

SgSeaborgio

1,01

HHidrógeno

6,93

LiLitio

9,04

BeBerilio

23,011

NaSodio

24,312

MgMagnesio

39,119

KPotasio

40,120

CaCalcio

45,021

ScEscandio

47,922

TiTitanio

50,923

VVanadio

52,024

CrCromo

54,925

MnManganeso

55,826

FeHierro

85,537

RbRubidio

87,638

SrEstroncio

88,939

YItrio

91,240

ZrCirconio

92,941

NbNiobio

95,9

42

MoMolibdeno

(97,9)43

TcTecnecio

101,144

RuRutenio

132,955

CsCesio

137,356

BaBario

138,957

LaLantano

178,572

HfHafnio

180,973

TaTántalo

186,275

ReRenio

190,276

OsOsmio

(223)87

FrFrancio

(226)88

RaRadio

(227)89

AcActinio

(261)104

RfRutherfordio

(262)105

DbDubnio

(264)107

BhBohrio

(277)108

HsHassio

232,090

ThTorio

231,091

PaProtactinio

238,092

UUranio

(237)93

NpNeptunio

(244)94

PuPlutonio

II A

7

6

F

F

Configuraciónelectrónica s1 s2 d1 d2 d3 d4 d5 d6

GRUPO 2 3 4 5 6 7 81

f1 f2 f3 f4 f5

III B IV B V B VI B VII B

P E R I O

D O

3

4

5

6

7

1

2

ORBITALES

5s 4d

5p

6s 4f

5d 6p

7s 5f

6d 7p

1s

2s 2p

4s 3d

4p

3s 3p

40,120

CaCalcio

Masa atómica (u)

Símbolo

Nombre

Número atómico

Anexo I. Sistema periódico de los elementos



405

157,264

GdGadolinio

158,965

TbTerbio

162,566

DyDisprosio

168,969

TmTulio

173,070

YbIterbio

175,071

LuLutecio

27,013

AlAluminio

28,114

SiSilicio

31,015

PFósforo

32,116

SAzufre

35,517

ClCloro

39,918

ArArgón

10,85

BBoro

12,06

CCarbono

14,07

NNitrógeno

16,08

OOxígeno

19,09

FFlúor

20,210

NeNeón

4,02

HeHelio

58,927

CoCobalto

58,728

NiNíquel

63,529

CuCobre

65,430

ZnCinc

69,731

GaGalio

72,632

GeGermanio

74,933

AsArsénico

79,034

SeSelenio

79,935

BrBromo

83,836

KrCriptón

102,945

RhRodio

106,446

PdPaladio

107,947

AgPlata

112,448

CdCadmio

114,849

InIndio

118,750

SnEstaño

121,851

SbAntimonio

127,652

TeTeluro

126,953

IYodo

131,354

XeXenón

192,277

IrIridio

195,178

PtPlatino

197,079

AuOro

200,680

HgMercurio

204,481

TlTalio

207,282

PbPlomo

(289)114

UubUnunquadio

209,083

BiBismuto

(209,0)84

PoPolonio

(292)116

UubUnunhexio

(210,0)85

AtAstato

(222,0)86

RnRadón

(268)109

MtMeitnerio

(271)110

DsDarmstadtio

(272)111

RgRoentgenio

(285)112

UubUnunbio

(247)96

CmCurio

(247)97

BkBerkelio

(251)98

CfCalifornio

(258)101

MdMendelevio

(259)102

NoNobelio

(262)103

LrLaurencio

III A IV A V A VI A VII A

VIII A

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

d7 d8 d9 d10 p1 p2 p3 p4 p5 p6

f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14

152,063

EuEuropio

(243)95

AmAmericio

164,967

HoHolmio

(252)99

EsEinstenio

167,368

ErErbio

(257)100

FmFermio

VIII I B II B

NO METALES

METALES

GASES NOBLES



406

Cantidad Valor

Velocidad de la luz en el vacío (c) 299 792 458

Carga elemental (e) 1,602 176 53 ⋅ 10-19

Constante de Newton de la gravitación (G) 6,6742 ⋅ 10-11

Constante de Planck (h) 6,626 0693 ⋅ 10-34

Constante de Stefan-Boltzmann (s) 5,670 400 ⋅ 10-8

Constante de la ley de desplazamiento de Wien (l) 2,897 7685 ⋅ 10-3

Permitividad del vacío (e0) 8,854 187 817 ⋅ 10-12

Constante de Coulomb en el vacío (K ) 8,988 ⋅ 109

Permeabilidad magnética del vacío (m0) 4p ⋅ 10-7

Constante de estructura fina (a) 7,297 352 568 ⋅ 10-3

Constante de Rydberg (R) 1,097 373 156 852 7 ⋅ 10-7

Radio de Bohr (a0) 0,529 177 2108 ⋅ 10-10

Masa del electrón 9,109 3826 ⋅ 10-31

Masa del electrón (en u) 5,485 799 0945 ⋅ 10-4

Energía equivalente a la masa del electrón 8,187 1047 ⋅ 10-14

Energía equivalente a la masa del electrón (en MeV) 0,510 998 918

Relación masa electrón-protón 5,446 170 2173 ⋅ 10-4

Relación masa electrón-neutrón 5,438 673 4481 ⋅ 10-4

Radio clásico del electrón 2,817 940 325 ⋅ 10-15

Masa del muón 1,883 531 40 ⋅ 10-28

Masa del tauón 3,167 77 ⋅ 10-27

Masa del protón (en u) 1,007 276 466 88

Energía equivalente a la masa del protón 1,503 277 43 ⋅ 10-10

Energía equivalente a la masa del protón (en MeV) 938,272 029

Relación masa protón-electrón 1836,152 672 61

Relación masa protón-neutrón 0,998 623 478 72

Masa del neutrón 1,674 927 28 ⋅ 10-27

Masa del neutrón (en u) 1,008 664 915 60

Energía equivalente a la masa del neutrón 1,505 349 57 ⋅ 10-10

Energía equivalente a la masa del neutrón (en MeV) 939,565 360

Masa de partícula a 6,644 6565 ⋅ 10-27

Masa de partícula a (en u) 4,001 506 179 149

Energía equivalente a la masa de partícula a 5,971 9194 ⋅ 10-10

Energía equivalente a la masa de partícula a (en MeV) 3727,379 17

Constante de Avogadro (N A) 6,022 1415 ⋅ 1023

Constante de masa atómica (1 u) 1,660 538 86 ⋅ 10-27

Energía equivalente a constante de masa atómica 1,492 417 90 ⋅ 10-10

Energía equivalente a constante de masa atómica (en MeV) 931,494 043

Constante de Faraday (F ) 96 485,3383

Constante molar de los gases (R) 8,314 472

Constante de Boltzmann (K ) 1,380 6505 ⋅ 10-23

Constante de Boltzmann (K ) (en eV/K) 8,617 343 ⋅ 10-5

Volumen molar del gas ideal (273,15 K, 100 kPa) 22,710 981 ⋅ 10-3

Masa molar del carbono-12 12 ⋅ 10-3

Atmósfera estándar (atm) 101 325

Aceleración estándar de la gravedad ( g) 9,806 65

Anexo II. Tabla de constantes físicas y químicas



Incertidumbre Unidad

(exacto) m ⋅ s-1

0,000 000 14 ⋅ 10-19 C

0,0010 ⋅ 10-11 N ⋅ m2 ⋅ kg-2

0,000 0011 ⋅ 10-34

J ⋅ s0,000 040 ⋅ 10-8 W ⋅ m-2 ⋅ K-4

0,000 0051 ⋅ 10-3 m ⋅ K

Exacto C2 ⋅ N-1 ⋅ m-2

N ⋅ m2 ⋅ C-2

Exacto N ⋅ A-2

0,000 000 024 ⋅ 10-3

0,000 073 m-1

0,000 000 0018 ⋅ 10-10 m

0,000 0016 ⋅ 10-31 kg

0,000 000 0024 ⋅ 10-4 u

0,000 0014 ⋅ 10-14 J

0,000 000 044 MeV

0,000 000 0025 ⋅ 10-4

0,000 000 0038 ⋅ 10-4

0,000 000 028 ⋅ 10-15 m

0,000 000 33 ⋅ 10-28 kg

0,000 52 ⋅ 10-27 kg

0,000 000 000 13 u

0,000 000 26 ⋅ 10-10 J

0,000 080 MeV

0,000 000 85

0,000 000 000 58

0,000 000 29 ⋅ 10-27 kg

0,000 000 000 55 u

0,000 000 26 ⋅ 10-10

J

0,000 081 MeV

0,000 0011 ⋅ 10-27 kg

0,000 000 000 056 u

0,000 0010 ⋅ 10-10 J

0,000 32 MeV

0 000 0010 1023 mol-1

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