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Tema 1Lmites1.0.Definicin de lmite de una funcin

L es el lmite de de la funcin f(x) cuando la variable x tiende (se acerca) al valor xp.

El lmite de una funcin es el valor que toma la funcincuando la x toma valores muy muy cercanos a xp, pero sin llegar a ser xp.

Nota.1: El lmite de una funcin, si existe, es nico.

Existen tambin los lmites laterales, que indican a cuanto tiende la funcin cuando nosacercamos por la izquierda o por la derecha

Lies el lmite de f(x) cuando x tiende a xp. por la izq. (valores un poco ms pequeos que xp)

Ldes el lmite de f(x) cuando x tiende a xp. por la der. (valores un poco ms grandes que xp)

Para que un lmite exista, han de coincidir los lmites laterales, entonces ese valor es el lmite.

Si Li= LdL = Li= Ld

Si LiLdLEn puntos no problemticos, ellmite coincide con el valor de la funcin en ese punto.Es decir, si xpno es problemtico entonces:

Un punto xpes problemtico: si intentamos evaluar en xpy obtenemos:

si es una funcin a trozos y justo en xpla funcin cambia de trozo

1.1.Calculo numrico de lmites por aproximacin:

Observad que aunque la funcin

no est definida en x=1,resulta que s tiene lmite ah

Cuando x1-entonces f(x)3Cuando x se acerca a 1 por la izquierda entonces f(x) se acerca a 3

Cuando x1+entonces f(x)3Cuando x se acerca a 1 por la derecha entonces f(x) se acerca a 3

f(x) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1 desde ambos lados

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Ejercicio:Calcular directamente si se puede o por aproximacin numrica (si hay problemas)

Ejemplos de lmites que no existen: Los lmites laterales no coinciden

1e) hallar si existe

1f) hallar si existe

2. Calculo analtico de lmites2.1.Puntos no problemticos(ver pg. anterior): 2.2.Caso

en el caso de cociente de polinomios.

Imaginad que tenemos y al evaluar sale

Eso es porque al factorizar f(x) hay un factor que es (x-xp)y al factorizar g(x) tambin est el factor (x-xp).

Por eso al sustituir x por xpsale ceroAl estar el mismo factor en numerador y denominador podre simplificar

para obtener una expresin equivalenteque ya no tendr problemas

y su expresin simplificada representan la misma funcin SALVO en elPTO PROBLEMTICO

no existe en el punto problemtico, tiene un hueco.

La expresin simplificada de es continua en el punto problemtico.

Calcular (Utilizar Ruffini):

Si algn polinomio no est expandido, expndelo:

Si aparece el factor cambiado de signo,hacer un doble cambio de signo:

Ejemplo: 3 = - (-3) por eso (1-x)=- (x-1)Si hay un castillo de fracciones

primero convertirlo en una nica fraccin:

Si hubiera parmetros (letras)actuar como si fueran nmeros:

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2.3.Casocon una raz cuadrada en una resta, ya sea en numerador o denominador

El problema es que esa resta da ceroLo que haremos es multiplicar y dividir por la expresin conjugada (no afecta)Entonces donde la raz aplicaremos:

Suma por diferencia = Diferencia de cuadrados (a+b)(a-b)=a2-b2

Ejemplos de expresiones conjugadas:

expresin conjugada expresin conjugada expresin conjugada expresin conjugada

Cmo se simplifica?

Consejo mo: Cuidado al cambiar el signo, mejor poned siempre parntesis.

2.3.Ejercicio: Calcular (Larson pag.64, pdf.82)

Repaso.Ejercicios fciles para vosotros:

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2.4.Caso Asntotas verticales y huecos

Vamos a calcular

x 0 0000000001 000001 001 01

f(x)=1/x 1000000000 100000 100 10

Al acercamos al 0 desde la derecha salen valores cada vez ms grandesEs decir, deducimos que No estoy diciendo que exista este lmite lateral, el infinito es un smbolo, no es un nmero

No es ningn valor en concreto, es algo inimaginablemente grande e inalcanzable

Ahora hago lo mismo con

x -01 -001 -000001 -000000001 -0000000001 0

1/x -10 -100 -100000 -100000000 -1000000000

Al acercamos al 0 desde la izquierda salen valores cada vez ms grandes pero negativos

Es decir, deducimos que Como salen distintos los lmites laterales concluimos que En general puedo concluir que si aes un n positivo

y que

NOTA: En los puntos en el que sale

los lmites laterales salen all hay una Asnt. Vertic.

es decir, si entonces x=c es una asntota verticalPROCESO PARA CALCULAR LOS HUECOS y A.V.

1Hago denominador = 0 y despejo la x obtengo xc1, xc2, xc3,

2 Hare para cada uno de los xc1,Si queda que

seguro que sale una A.V. con ecuacin x=xci

Si (donde nes un nmero)entonces en xihay un hueco de coordenadas (xi, n)

Si queda que debo seguir y hacer el lmite.

Si pero al simplificar evoluciona a

entonces hay una A.V. con ecuacin x=xci

3 Slo si piden graficar al lado de las AV, debo calcular los lmites laterales en cada A.V.

EJERCICIO: 2.4.d: Calcula las AV y huecos de . Graficar cerca de las AV

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Lmites cuando x A veces querremos saber qu pasa con f(x) cuando el valor de x se hace muy muy grande.Esto se ve calculando el siguiente lmite:

Al igual que los otros lmites, sustituimos la x por , y observamoslas siguientes reglas:

a+= donde a es cualquier n real

a= Si a>0

a= - Si a1

a= 0, si 0 a

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Conclusin:1.- Si (grado num.) = (grado den.) entonces el lmite es el cociente de los coeficientes del

trmino de mayor grado

Ejemplo:

=

2.- Si (grado num.) < (grado den.) entonces el lmite es cero

Ejemplo: = 0

3.- Si (grado num.) > (grado den.) entonces el lmite es

, segn los signos de loscoeficientes de mayor grado

(Poned explicacin de que (grado num.) > (grado den.) para que d bueno hacerlo directo

Ejemplos:

=

= -

=

Si aparecen races se hara igual, solo hay que tener cuidado que no sea la excepcin

Ejemplo:

c)

Casos en que aparezcan otras funciones. Vamos a comparar para hacernos una idea:Log10x x2 2x xx

x=1000 3 1000000 Grandsimo(ni cabe en la calculadora)

An mayor queel anterior

Conclusin: (Logaritmos)

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Propiedades para el clculo de lmites: Sea L1=lim f(x) y L2=lim g(x)

lim [f(x)+g(x)]= L1+L2 (las funciones con lmites son un subesp.vectorial).

lim f(x)g(x)=L1L2

lim

= con g(x)0 y L20

lim = con K>0lim = con L1>0

Caso 1

: Recordar que e = = Si lim =1entoncesL=

Otras equivalencias:

Infinitsimos equivalentes, (Un infinitsimo es un valor prximo a cero)

Si f(x)0 ln[1 + f(x)]f(x)

con x>-1

Si f(x)0 [1 + f(x)]n1+f(x) con x>-1

Si f(x)0 sin [f(x)]tan [f(x)] arcsen [f(x)] arctg [f(x)] f(x)

Si f(x)0 cos [f(x)]1

si hace falta: sen x = x

, cos x= 1

Si f(x)0 e

f(x)1 +f(x)

Asntotas horizontales

Son rectas horizontales a las que tiende una funcin cuando xy cuando x -

Si (n) entonces existe una A.H. por la derecha de ec: y=L1Si (n) entonces existe una A.H. por la izquierda de ec: y=L2

Cuando hay un cociente de polinomios y en el caso de que haya A.H entonces es la

misma por la izquierda que por la derecha. Ej.1: Ej.2:

+ Si es cociente de polinomios slo habr A.H. si (grado num) (grado den.)

Si hay exponenciales af(x)

en caso de que haya A.H. puede que slo sea por un lado

Si hay races en caso de que haya A.H. podra salir diferente la A.H. por la izquierda

que la AH por la derecha. Ej.1: Asntotas oblicuas

Son rectas oblicuas y=mx+b a las que tiende la funcin y=f(x) en el infinito

Las calcularemos slo en el caso de cociente de polinomios.+ En ese caso, para que existan Asint.Oblicuas: (grado num) = (grado den) + 1

- Podra hacerse como divisin largaen el caso de cociente de polinomios, pero

+ Pero tcnicamente se hacen as:

pero si m= m=entonces no habra Asnt.Oblicua

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Ejercicios adicionales

Halla

y dibuja la grfica cerca de las asntotas verticales

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Continuidad

Una funcin f(x) es continua en un punto x=c si =f(c)Lo cual implica: Existe f(c)

Existe , es decir, que existen los lmites laterales y coinciden = f(c)

Una funcin f(x) es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos.Basta con saber la continuidad de las funciones elementales

y estudiar los puntos problemticos.Podramos decir que una funcin f(x) es continua en un intervalo

si la puedo dibujar sin levantar el lpiz en ese intervalo

Discontinuidad evitable en x=c pero o bien

Discontinuidad inevitable con salto

Puede ser discontinua con salto finito o discontinua con salto infinito

Discontinuidad inevitable de segunda especieAlgn lmite lateral no existe (a un lado la funcin no existe)

No existe para valores menores de 2, en x=2 es discont. Inev. De 2 especie

Ejercicios de Continuidad.

pero

Pero =1

Ocurre con races pares y con logaritmos.

El ejemplo de la izquierda es con una raz

Ver al final el repaso de los logaritmos

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Funciones trigonomtricas

f(x) = sen x Dom[f] = = (-,) Recorrido=[-1,1] (acotada) Peridica con periodo T =2 Imparporque sen(-x) = -sen(x)

f(x) = cos x Dom[f] = = (-,) Recorrido=[-1,1] (acotada) Peridica con periodo T =2 Parporque cos(-x) = cos(x)

f(x) = tan x =

Dom[f] = -

Recorrido(-,) Peridica con periodo T = Imparporque tan(-x) = -tan(x)

Si x0 sin xtan x arcsen x arctg x x

Si f(x)0 sin f(x)tan f(x) arcsen f(x) arctg x f(x)

Si x0 cos x= 1 -

Si f(x)0 cos f(x)= 1

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f(x) = arctan x Dom[f] = AHdery=

Recorrido=[-1,1] AHizqy=

Imparporque arctan(-x) = -arctan(x)

Comparar una funcin racional con su equivalente simplificado

Qu diferencia hay entre f(x) =

y la versin simplificada fs(x) = x-3?Es casi lo mismo, slo que f(x) no est definida en x=-3 pero fs(x) s que est definidaPor tanto son iguales salvo en x=-3, donde f(x) tiene un huequito, pero fs(x) es continua.

Funciones exponenciales

f(x) = ax, Dom[f] = = (-,) Recorrido=(0,)Si a>1,

por tanto Asnt. Horiz. por la izquierdade ecuacin y=0

Si a1, Discontinua inevitable de 2 especie en x=0

por tanto Asnt. Vertical de ecuacin x=0