1.2 Notacion Sumatoria

1.2 Notación Sumatoria

Notación Sigma

El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o

incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). La notación sigma es de la siguiente manera:

Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:

Algunos ejemplos adicionales:

Nombre: Barrón Loredo Alberto IsaíasNo. De Control: 11070706

Propiedades:

Fórmulas Interesantes:

En estadística se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben


http://2.bp.blogspot.com/_nOJ8rYrlni8/S_uvtaWbO-I/AAAAAAAAABU/ghc9xu_TQuM/s1600/111.jpg

http://1.bp.blogspot.com/_nOJ8rYrlni8/S_uwLbqW3sI/AAAAAAAAABc/RvUzUAh_QvA/s1600/2222.jpg

http://4.bp.blogspot.com/_nOJ8rYrlni8/S_uwsI-mi2I/AAAAAAAAABk/fvf8SoWQb-Y/s1600/adicional.jpg

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n.

La letra griega sigma mayúscula ( ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.

La notación se lee:

Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.

La letra debajo del operador se llama índice de la suma; en la expresión

note que el índice de la suma es i.

Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:

Notación suma abierta.- Esta notación va de una representación de sumatoria a cada

uno de los elementos que la componen, por ejemplo:


Notación suma pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación

matemática resumida, por ejemplo: .

Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11

Encontrar:

Solución:

Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1

Encontrar:

Solución:

Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12


Encontrar:

Solución:

Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebráica se necesita identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:

1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ó más términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.

Por ejemplo:

2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es


3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:

A continuación se explicara paso a paso como resolver un ejercicio de este tema.

1.- Identificar cual es el numero con el que vas a empezar a sumar. Ese número esta debajo de este signo: ∑

2.-Despues de haber identificado el número tienes que identificar otro número para saber hasta que numero vas a terminar de sumar. Ese número está arriba de este signo: ∑.

3.- Después de haber identificado los números, entonces pones los números que vas a sumar delante del signo igual que debes de poner enseguida del signo: ∑.

4.-Sumas los numero y está terminado tu ejercicio.

5.- Si hay letra debajo del símbolo de suma, sustituyes la letra por el valor numérico hasta que llegues al número que está arriba del símbolo de suma.

A continuación se te muestra un ejemplo:

1.- ∑4n=0 n=0+1+2+3+4= 10

2.- ∑7k=1 k (k +1) = 1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1)+7(7+1)= 143


Notación Sigma

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

Dada una sucesión:

Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de

sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). La notación sigma es de la siguiente manera:

La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

Ejemplos

Ejemplo # 1

Calcule la siguiente Serie:


Solución:

Ejemplo # 2

Solución:

Ejemplo # 3

Solución:


Ejemplo # 4

Solución:

Ejemplo # 5

Exprese cada suma en notación sigma:

(a)

Solución:


Ejemplo # 5

(b)

Solución:

Sin embargo, no hay forma única de escribir una suma en notación sigma también la podemos representar de la siguiente manera:

Solución

(a)

(b)


Las siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los números naturales.

Propiedades de las sumasSean las sucesiones

Y

Entonces, para todo entero positivo y todo número real , sabemos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Demostración

Para la demostración de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera:


Para obtener:

Sabemos que la suma es asociativa y conmutativa por lo que los términos se reordenan y queda de la siguiente manera:

Y sabemos que la sucesión y se puede escribir en notación sigma de la siguiente manera:

Y

Por lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad:


La demostración de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos a cabo. Para la 3 propiedad utilizaremos la propiedad distributiva de la suma:

como se mencionó antes por la distributividad de la suma sabemos que:

y por notación sigma sabemos que:

por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad:

NOTACIÓN SUMATORIAMas información:

Con frecuencia una serie se representa por medio de la notación de sumatoria de esta manera

Sn=∑k=1

n

ak=a1+a2+a3 … que se lee asi:


“la sumatoria de los a sub k cuando k varía desde 1 hasta n”Los términos de la serie que aparecen a la derecha se obtienen a parte de la expresión del centro al sustituir sucesiva mente k en a por entero positivos desde 1 hasta n.Ejemplo

La serie corresponde an= 1

2n esta dada por:

Sn=12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+…

1

2n

La serie corresponde a la sucesión an=¿ 1

2n es

∑k =1

n1

2k

Ejemplos: sin la notación de sumatoria

S8=∑k=1

n

2 K n

Sustituimos k por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 respectivamente y posterior mente sumamos, así.

2¿ 2¿

Luego= 2+8+18+32+50+72+98+128 es la forma desarrollada de la sumatoria dada.


NOTACIÓN SUMATORIA

Su símbolo es

∑

Se cambia n por k

Representa frecuentemente una serie ∑

n=1

n

¿a .n

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