12 Secundaria

Tema 6:Tecnicas de estimacion de una variable

incorporando informacion secundaria

Eduardo [email protected]

Grupo de Investigacion de HidrogeologaDepartamento de Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente

Universidad Politecnica de Valencia

Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente

Geoestadstica Tema 6: Tecnicas de estimacion de una variable incorporando informacion secundaria

Contenidos

1 Introduccion.

2 Tipos de datos.

3 Krigeado por estratos.

4 Krigeado simple con media local.

5 Krigeado con una deriva externa.

6 El paradigma del cokrigeado:

7 Un ejemplo de cokrigeado ordinario.

8 Cokrigeado colocalizado.

9 Un ejemplo de cokrigeado colocalizado.

Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente 1


1 Introduccion

Algoritmos para la estimacion de una variable a partir de informacion acerca de lamisma variable.

Inclusion en el proceso de estimacion de una o mas variables que estan correlacionadascon la variable de interes.

Aprovechamiento de la correlacion cruzada entre las distintas variables con la variablede interes para mejorar el conocimiento acerca de esta ultima.



2 Tipos de datos

Informacion directa, principal o dura. Es escasa y muy costosa. Se trata de medidas con una incertidumbre nula o despreciable. Ejemplos: datos de precipitacion, transmisividad, conductividad hidraulica, concentra-

cion de un contaminante.

Informacion indirecta, secundaria o blanda. Es conocida abundantemente a un costo relativo bajo. Son medidas asociadas a una incertidumbre. Ejemplos: datos de radar, porosidad del terreno, informacion geofsica, informacion

derivada de un MDT.



3 Krigeado por estratos (KPE)

Supongamos que la informacion secundaria toma la forma de un mapa categorico deun atributo determinado sobre el area de estudio, luego el KPE comprende los pasossiguientes:

1 El area de estudio es estratificada de acuerdo a los lmites establecidos por el mapacategorico de informacion secundaria.

2 Se calcula el variograma para cada uno de los estratos establecidos.3 Las estimaciones dentro de cada estrato se llevan a cabo utilizando los datos y el

variograma pertenecientes a ese estrato.

Si no hay suficientes datos para calcular un variograma por estrato se puede calcular unovalido sobre todo el dominio de trabajo.



4 Krigeado simple con media local (KSML)

El estimador por krigeado simple es:

ZKS(u) =n=1

[Z(u)m] +m

El KSML sustituye la media estacionaria m por una variando suavemente en funcion dela informacion secundaria disponible en la localizacion estudiada, luego el estimador porKSML es:

ZKSML(u) =n=1

[Z(u)mKSML(u)] +mKSML(u)



Estimacion de media local

Informacion secundaria categorica. La media local de la variable primaria mKSML se calcula como la media aritmetica de

los datos que caen dentro de cada categora.

Informacion secundaria continua. La media local de la variable primaria mKSML puede ser una funcion (lineal o no) del

valor del atributo secundario y en cada localizacion u, esto es:

mKSML(u) = f(y(u))

La funcion f() puede ser determinada por regresion.



Sistema de KSML

Los pesos del KSML se obtienen resolviendo un sistema de krigeado simple que se escribe:n=1

CR(u u) = CR(u u), = 1, ..., n

donde CR(h) es la funcion de covarianza de la funcion aleatoria R(u), es decir de losresiduos Z(u)m(u).

La funcion de covarianza de R(u) se puede calcular a partir de los datos y de las mediaslocales.



5 Krigeado con una deriva externa (KDE)

El KDE es un caso particular del krigeado con un modelo de tendencia o krigeadouniversal en el cual la componente de tendencia m(u) es modelizada como una funcionlineal de una variable secundaria y(u) que vara suavemente (en lugar de una funcion delas coordenadas espaciales), esto es:

m(u) = a0 + a1y(u)

El estimador por KDE tiene la forma siguiente:

ZKDE(u) =n=1

Z(u)



Sistema de ecuaciones del KDE

Los coeficientes de ponderacion se obtienen resolviendo el siguiente sistema deecuaciones lineales:

n=1

CR(u u) + 0 + 1y(u) = CR(u u), = 1, ..., n

n=1

= 1

n=1

y(u) = y(u)

El sistema de KDE es un caso particular del sistema de KT donde K=1 y la componentede tendencia f1(u) en cada localizacion es identificada con el valor y(u) de una variablesecundaria.



6 El paradigma del cokrigeado

El cokrigeado (CK) permite incorporar en el proceso de estimacion de una variableinformacion secundaria que no es exhaustivamente conocida.

Desde el punto de vista de la correlacion espacial es la tecnica de estimacion mas potenteya que en la construccion del estimador intervienen los valores de la variable principal, lao las variables secundarias y todos los patrones de continuidad espacial entre variables.



El estimador general por cokrigeado

El estimador general por cokrigeado tiene la forma siguiente:

Z(1)CK (u)m1(u) =

n11=1

1[Z1(u1)m1(u1)] +

+Nvi=2

nii=1

i[Zi(ui)mi(ui)]

donde Z(1)CK (u) es el estimador de la variable principal por cokrigeado en la localizacion

(u), m1(u) y mi(ui) son los valores esperados de las variables aleatorias Z1(u) y Zi(ui)respectivamente, 1 y i son los pesos asignados a los datos primarios y secundariosrespectivamente, y n1, Nv y ni son el numero de datos de la variable principal, el numerode variables secundarias y el numero de datos de la variable secundaria que intervienenen la estimacion de la localizacion (u) respectivamente.



El estimador y la varianza por cokrigeado ordinario

El estimador por cokrigeado ordinario considerando solo una variable secundaria es:

Z(1)CKO(u) =

n11=1

1Z1(u1) +n22=1

2Z2(u2)

y la varianza de la estimacion es:

2CKO(u) = 21 1

n11=1

1C1(u1 u)n22=1

2C12(u2 u)



El sistema de cokrigeado ordinario

Los coeficientes de ponderacion 1 y 2 se obtienen resolviendo el siguiente sistemade ecuaciones lineales:

n11=1

1C1(u1 u1) +n22=1

2C12(u1 u2) + 1 =C1(u1 u), 1 = 1, ..., n1

n11=1

1C12(u1 u2) +n22=1

2C2(u2 u2) + 2 =C12(u2 u), 2 = 1, ..., n2

n11=1

1 = 1

n22=1

2 = 0



El estimador y la varianza porcokrigeado ordinario estandarizado

El estimador por cokrigeado ordinario estandarizado considerando solo una variablesecundaria es:

Z(1)CKO(u) =

n11=1

1Z1(u1) +n22=1

2[Z2(u2)m2 +m1]

y la varianza de la estimacion es:

2CKO(u) = 21 1

n11=1

1C1(u1 u)n22=1

2C12(u2 u)



El sistema de cokrigeado ordinario estandarizado

Los coeficientes de ponderacion 1 y 2 se obtienen resolviendo el siguiente sistemade ecuaciones lineales:

n11=1

1C1(u1 u1) +n22=1

2C12(u1 u2) + =C1(u1 u), 1 = 1, ..., n1

n11=1

1C12(u1 u2) +n22=1

2C2(u2 u2) + =C12(u2 u), 2 = 1, ..., n2

n11=1

1 +n22=1

2 = 1



7 Un ejemplo de cokrigeado ordinario1 Informacion disponible: 2 datos de la variable principal (U) y de 3 datos de la

variable secundaria (V) con la siguiente configuracion:

2 Modelo de continuidad espacial:U(h) = 440000 + 70000 Esf(h) + 95000 Esf(h)UV (h) = 47000 + 50000 Esf(h) + 40000 Esf(h)V (h) = 22000 + 40000 Esf(h) + 45000 Esf(h)



3 Construccion del sistema de cokrigeado:

CUU11 CUU12 C

UV13 C

UV14 C

UV15 1 0

CUU21 CUU22 C

UV23 C

UV24 C

UV25 1 0

CUV31 CUV32 C

VV33 C

VV34 C

VV35 0 1

CUV41 CUV42 C

VV43 C

VV44 C

VV45 0 1

CUV51 CUV52 C

VV53 C

VV54 C

VV55 0 1

1 1 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0

1212312

=

CUU10CUU20CUV30CUV40CUV5010

=

605000 99155 137000 49715 57615 1 099155 605000 49715 137000 45554 1 0137000 49715 107000 49623 57158 0 149715 137000 49623 107000 45164 0 157615 45554 57158 45164 107000 0 11 1 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0

1

13422910233470210526977588710



4 Solucion:

=

1234512

= C1 D =

0.5120.4880.2160.3970.666

20596313823

u0 =

n1i=1

iui +n2i=1

ivi = 398

2CKO = 681549

El estimador es igual a 398 y la varianza del error 681549.



8 Cokrigeado colocalizado

Cuando la informacion secundaria esta muy densamente muestreada el algoritmo de CKtiene los siguientes inconvenientes:

1 El contraste entre la densidad de muestreo de la variable principal y la secundaria haceque el sistema de ecuaciones de CK tienda a ser muy inestable.

2 Los datos secundarios que estan muy cerca de la localizacion de la variable principal aser estimada apantallan el efecto de los demas datos blandos.

Una solucion a estos problemas es construir un estimador de la variable principal enuna dada localizacion reteniendo solo el dato colocalizado de la variable secundaria,aproximacion conocida como cokrigeado colocalizado.



El estimador general por cokrigeado colocalizado

El estimador general por cokrigeado colocalizado tiene la forma siguiente:

Z(1)CKC(u)m1(u) =

n11=1

1 [Z1(u1)m1(u1)] +

+Nvi=2

i [Zi(u)mi(u)]

donde Z(1)CKC(u) es el estimador de la variable principal por cokrigeado colocalizado en

la localizacion (u), m1(u) y mi(u) son los valores esperados de las variables aleatoriasZ1(u) y Zi(u) respectivamente, 1 y i son los pesos asignados a los datos primarios ysecundarios respectivamente, y n1 y Nv son el numero de datos de la variable principaly el numero de variables secundarias que intervienen en la estimacion de la localizacion(u) respectivamente.



Cokrigeado colocalizado ordinario estandarizado

El estimador por cokrigeado colocalizado ordinario estandarizado considerando solo unavariable secundaria es:

Z(1)CKCO(u) =

n11=1

1 Z1(u1) + 2 [Z2(u)m2 +m1]

y el sistema de ecuaciones cuya solucion nos da los coeficientes de ponderacion es:

n11=1

1 C1(u1 u1) + 2 C12(u1 u0) = C1(u1 u), 1 = 1, ..., n1

n11=1

1 C12(u u1) + 2 C2(0) + = C12(0)n11=1

1 + 2 = 1



Cokrigeado colocalizado bajo un modelo de Markov

A traves de una aproximacion de tipo markoviana la funcion de covarianza cruzada entredos variables se puede expresar:

C12(h) wC12(0)C11(0)

C11(h) = 12(0) C11(h)

o en terminos de correlograma

12(h) w 12(0) 11(h)

o en terminos de variograma

12(h) w 12(0) 11(h)

donde 12(0) es el coeficiente de correlacion lineal entre las variables.



El estimador y el sistema de cokrigeado colocalizadobajo un modelo de Markov

El estimador y el sistema de ecuaciones del cokrigeado colocalizado bajo un modelo deMarkov en su forma estandarizada son:

Z(1)CKCSM(u)m1

1=

n11=1

1[Z1(u1)m1]

1+ 2

[Z2(u)m2]2

n11=1

1 1(u1 u1) + 2 12(0) 1(u1 u0) =1(u1 u), 1 = 1, ..., n1

n11=1

1 12(0) 1(u u1) + 2 = 12(0)

donde 12(0) es el coeficiente de correlacion lineal entre las variables.



Casos particulares

Si 12(0) = 0 entonces 2 = 0 y el dato secundario colocalizado es ignorado, esto es:

Z(1)CKCSM(u)m1

1=

n11=1

1[Z1(u1)m1]

1

Si 12(0) = 1 entonces 2 = 1 y 1 = 0 1 = 1, ..., n1, por lo que el estimadorcorresponde al dato secundario colocalizado estandarizado, esto es:

Z(1)CKCSM(u)m1

1=Z2(u)m2

2



9 Un ejemplo de cokrigeado colocalizado

Los datos estan constituidos por 3 pozos.

La variable principal es la porosidad y la variable secundaria es la amplitud ssmica.

El modelo estadstico utilizado es:

Variable Media Desviacion estandar CorrelacionPorosidad media 12.7 1.7

Amplitud 2495.0 1313.00.7

El variograma asumido para la porosidad es:

(h) = 1.0 Esf1500(h)



Un ejemplo de cokrigeado colocalizado

Porosidad

9.3

15.5

Amplitud

-527.395

6465.62

Krigeado ordinario

9.3

15.5

Cokrigeado colocalizado

9.3

15.5



Un ejemplo de cokrigeado colocalizado

Veremos de forma intuitiva como responde el cokrigeado colocalizado a los cambios enel modelo de continuidad espacial.

Estimaremos un mapa de la porosidad media para los siguientes casos:

= 0.0 = 0.5 = 0.9Efecto pepita puro case 1 case 2 case 3

Alcance corto (100 m) case 4 case 5 case 6Alcance largo (3000 m) case 7 case 8 case 9

Excepto la correlacion y el modelo de variograma, los demas parametros permanecenidenticos para los 9 casos considerados.



Modelo de continuidad espacial y campos estimados

Efecto pepita puro

Caso 1

9.3

15.5

= 0.0

Caso 2

9.3

15.5

= 0.5

Caso 3

9.3

15.5

= 0.9




Alcance = 100

Caso 4

9.3

15.5

= 0.0

Caso 5

9.3

15.5

= 0.5

Caso 6

9.3

15.5

= 0.9




Alcance = 3000

Caso 7

9.3

15.5

= 0.0

Caso 8

9.3

15.5

= 0.5

Caso 9

9.3

15.5

= 0.9



Bibliografa

Isaaks, E. y Srivastava, R. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics, OxfordUniversity Press, New York.

Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford Uni-versity Press, New York.

Froidevaux, R. (1998). Geostatistics for Petroleum Reservoir Characterization.Workshop Notes, FSS International.



Para leer en casa...

Xu, W, Tran, T, Srivastava, R. M. y Journel, A. (1992). Integrating seismic datain reservoir modeling: the collocated cokriging alternative, SPE paper 24742.(7-Lectura-Xu-etal-SPE92.pdf )


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