Centro de Enseñanza Técnica Industrial

Organismo Público Descentralizado Federal

ROBÓTICA

MODELO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO

ANÁLISIS DE EULER-LAGRANGE

GRUPO: 8° B

PRESENTA:

NOMBRE REGISTRO

BECERRA NIEVES, VÍCTOR PABLO ALFONSO 12310042

CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

NOMBRE DEL PROFESOR:

ESPINOZA JURADO FRANCISCO JAVIER

FECHA DE ENTREGA: VIERNES, 18 DE MARZO DE 2016.

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INTRODUCCIÓN.

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de

razonamientos, todos sencillos y fáciles.” - René Descartes (1596-1650)

El modelado matemático resulta ser una forma simplificada de entender el

comportamiento de los sistemas en función de sus variables y, a partir de ello, nos

permitirá realizar mediciones del mismo y establecer sistemas de control.

Los métodos mediante los cuales se realiza el modelado matemático son diversos,

sin embargo se basan en leyes que describen el movimiento, la temperatura, el

caudal, la corriente eléctrica, entre otras magnitudes físicas y sus unidades

derivadas o de forma resumida: la energía. En éste documento se desarrolla el

modelado matemático del péndulo invertido en su posición inestable, el cual es un

problema clásico de control de un sistema sub-actuado, mediante el análisis de

Euler-Lagrange.

La función de Lagrange o Lagrangiano de un sistema dinámico es una función

que resume la dinámica del sistema, y se define como la energía cinética (𝑇)

menos su energía potencial (V). Si se conoce la función de Lagrange de un

sistema se pueden obtener las ecuaciones de movimiento mediante la sustitución

directa de la siguiente expresión:

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞= 𝜏

Dónde:

𝑞 = Vector de coordenadas generalizadas

𝜏 = Vector de fuerzas generalizadas del sistema, vector de momentos.

La ecuación de Euler-Lagrange se utiliza para describir cualquier sistema

mecánico por medio de coordenadas generalizadas de posición y el Lagrangiano

se utiliza para los sistemas conservativos.

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OBJETIVOS.

1. Desarrollar la metodología del análisis de Euler-Lagrange, para lo cual:

1.1 Se diferenciará entre la energía potencial y cinética de los elementos

del sistema.

1.2 La energía potencial y cinética se expresarán en términos de

derivadas de las magnitudes fundamentales en función del tiempo;

para nuestro caso la velocidad y la aceleración, como primera y

segunda derivada de la posición, respectivamente.

1.3 Se calculará el Lagrangiano y las ecuaciones del movimiento.

2. Linealizar las ecuaciones del sistema mediante el método del Jacobiano,

para la obtención de su representación en espacio de estados.

3. Proponer un controlador PID para el sistema, con ello se pretende que el

sistema se mantenga en condiciones estables, con un error mínimo.

4. Simular en Matlab® (2011) y observar la respuesta del sistema respecto a

la posición angular del péndulo en función del tiempo.

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DESARROLLO

Considere el siguiente sistema, en el cual se tiene un péndulo invertido montado

sobre un carro móvil, para lo cual deberá obtener las ecuaciones que describan su

dinámica en espacio de estados.

Análisis de la energía potencial del sistema

[E1] 𝑉𝑀 = 0

[E2] 𝑉𝑚 = 𝑚𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)

[E3] 𝑉 = 𝑉𝑀+ 𝑉𝑚 = 𝑚𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)

La energía potencial del carro es

igual a cero, puesto que se encuentra

montado sobre la superficie.

La energía potencial del péndulo está

en función de su masa, su longitud y

la componente vertical de éste.

La energía potencial del sistema será

la suma de [E1] y [E2]

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Análisis de la energía cinética del sistema

La energía cinética del carro se define como un medio de su masa por el cuadrado

de su velocidad.

[E4] 𝑇𝑀 =1

2 𝑀�̇� 2

Cabe mencionar que la expresión de la velocidad será denotada cómo la primera

derivada con respecto al tiempo de la posición.

[E5] �̇� =𝑑

𝑑𝑡𝑥

La energía cinética del péndulo se establece a partir de la consideración que

posee un desplazamiento angular que cambia en función del tiempo, en otras

palabras, posee una velocidad angular.

[E6] 𝑇𝑚 =1

2 𝑚(𝑉𝑥

2 + 𝑉𝑦 2) =

1

2 𝑚(𝐶𝑥

2̇ + 𝐶𝑦 2̇ )

La notación de las distancias horizontales (x) y verticales (y) del sistema será:

[E7] 𝐶𝑥 = 𝑥 + 𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)

[E8] 𝐶𝑦 = 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Con la obtención de las derivadas de [E7] y [E8], se define la velocidad horizontal

y vertical.

[E9] 𝐶�̇� = �̇� + 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇�

[E10] 𝐶�̇� = −𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�

Ahora sustituyendo [E9] y [E10] en [E6] y desarrollando.

[E11] 𝑇𝑚 =1

2 𝑚 ((�̇� + 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇�)

2+ (−𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�)

2)

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𝑇𝑚 =1

2 𝑚(�̇� 2 + 2(�̇�𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇�) + 𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)�̇� 2 + 𝑙2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)�̇� 2)

= 1

2 𝑚(�̇� 2 + 2(�̇�𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇�) + 𝑙2�̇� 2(𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)))

[𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 1] // Consideración de entidad

Obtenemos la energía cinética del péndulo de una forma simplificada.

[E12] 𝑇𝑚 =1

2 𝑚(�̇� 2 + 2�̇�𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇� + 𝑙2�̇� 2)

La energía cinética total del sistema será la suma de la energía cinética del carro y

del péndulo ([E4] y [E12]).

[E13] 𝑇 = 𝑇𝑀 + 𝑇𝑚 =1

2𝑀�̇� 2 +

1

2 𝑚(�̇� 2 + 2�̇�𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇� + 𝑙2�̇� 2)

Análisis de Euler-Lagrange.

A continuación se define el Lagrangiano

[E14] 𝐿 = 𝑇 − 𝑉

[E15] 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑀�̇� 2 +

1

2 𝑚(�̇� 2 + 2�̇�𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇� + 𝑙2�̇� 2) − 𝑚𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)

Las ecuaciones del movimiento se obtendrán al realizar las derivadas parciales de

la función de Lagrange

[E16] 𝑑

𝑑𝑡(

𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞= 𝜏

Realizaremos en primer término la derivada de 𝐿 con respecto a �̇� y �̇� [E17] y a

continuación derivaremos con respecto del tiempo [E18] para obtener el minuendo

de [E16]

[E17] 𝜕𝐿

𝜕�̇�= [

𝜕𝐿

𝜕�̇�𝜕𝐿

𝜕�̇�

] = [𝑀�̇� + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇� + 𝑚�̇�

𝑚𝑙2�̇� + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̇�]

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[E18] 𝑑

𝑑𝑡(

𝜕𝐿

𝜕�̇�) = [

𝑀�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2 + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈� + 𝑚�̈�

𝑚𝑙2�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇��̇� + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈�]

El sustraendo de la [E16] será definido en la [E19]

[E19] 𝜕𝐿

𝜕𝑞= [

𝜕𝐿

𝜕𝑥𝜕𝐿

𝜕𝜃

] = [0

−𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇��̇� + 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)]

Ahora sustituiremos los valores de [E18] y [E19] en la ecuación [E16], nótese que

𝜏 es igualado a la entrada de nuestro sistema ( 𝑢 )

[E20] [𝑀�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2 + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈� + 𝑚�̈�

𝑚𝑙2�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇��̇� + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈� + 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇��̇� − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)] = [

𝑢0]

Ecuaciones que describen el sistema.

Las siguientes ecuaciones ([E21] y [E22]) nos describen la dinámica del sistema

en términos de �̈� y �̈� , que representan la aceleración y la aceleración angular

del péndulo invertido respectivamente.

[E21] (𝑀 + 𝑚)�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2 + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈� = 𝑢

[E22] 𝑚𝑙2�̈� + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈� − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0

Observamos que éste sistema NO es lineal, ya que los coeficientes de los

términos son funciones de otras variables, se linealizará para poder pasar a

espacio de estados mediante el método del Jacobiano.

El primer paso será expresar �̈� y �̈� como funciones de 𝜃 y �̇�, puesto que de otro

modo dependerían mutuamente entre sí y, por tanto, se realizarán los siguientes

despejes.

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Se despeja �̈� desde [E22]

[E23] �̈� =𝑔

𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) −

1

𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈�

En [E24] sustituimos el valor que representa �̈� de [E23] en [E21] y despejamos

para �̈� en la ecuación [E25], con ello obtenemos el objetivo que nos habíamos

planteado de expresarlo como una función de 𝜃 y �̇�

[E24] (𝑀 + 𝑚)�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2 + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃) (𝑔

𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) −

1

𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈�) = 𝑢

(𝑀 + 𝑚)�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2 + 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)�̈� = 𝑢

[(𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)]�̈� − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2 + 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑢

[E25] �̈� =𝑢

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)+

𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)−

𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

En [E26] despejamos el valor de �̈� desde [E21] y sustituimos en [E22] para

obtener la [E27]

[E26] �̈� =𝑢

𝑀+𝑚+

𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

𝑀+𝑚−

𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈�

𝑀+𝑚

[E27] 𝑚𝑙2�̈� + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃) (𝑢

𝑀+𝑚+

𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

𝑀+𝑚−

𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)�̈�

𝑀+𝑚) − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0

𝑚𝑙2�̈� +𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑀 + 𝑚+

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

𝑀 + 𝑚−

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)�̈�

𝑀 + 𝑚− 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0

(𝑚𝑙2 −𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑀 + 𝑚)�̈� +

𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑀 + 𝑚+

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

𝑀 + 𝑚− 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0

((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑀 + 𝑚) �̈� +

𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑀 + 𝑚+

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

𝑀 + 𝑚− 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0

((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

𝑀 + 𝑚) �̈� = −

𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑀 + 𝑚−

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

𝑀 + 𝑚+ 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)

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En [E28] cumplimos el objetivo de expresar �̈� como una función de 𝜃 y �̇�

[E28] �̈� = −𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)−

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)+

𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)(𝑀+𝑚)

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

En [E29] establecemos nuestras variables de estado y sus derivadas, para luego

sustituir los valores de [E25] y [E28] y representarlo en [E30]

[E29] 𝑞 = [

𝑥𝜃�̇��̇�

] → �̇� = [

�̇��̇��̈��̈�

]

[E30] 𝑑

𝑑𝑡 [

𝑥𝜃�̇��̇�

] =

[

�̇��̇�

𝑢

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)+

𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)−

𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝜃)

−𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃)

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)−

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)�̇�2

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)+

𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃)(𝑀+𝑚)

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)]

En [E31] y [E32] hacemos un cambio de variables para realizar los siguientes cálculos en

términos de 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4

[E31] 𝑥 = [𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4]𝑇 = [𝑥 𝜃 �̇� �̇�]𝑇

[E32]

𝑓(𝑥, 𝑢) =

[

𝑥3𝑥4

𝑢

(𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)+

𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑥42

(𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)−

𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

(𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)

−𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝑥2)

(𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)

−𝑚

2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑥4

2

(𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)

+𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝑥2)(𝑀 + 𝑚)

(𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)]

En [E33] se presenta la forma general de la representación en espacio de estados y en

[E34] el método general

[E33] �̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

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[E34] 𝐴 =𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑢)|𝑥=0,𝑢=0 ; 𝐵 =

𝜕

𝜕𝑢𝑓(𝑥, 𝑢)|𝑥=0,𝑢=0

En [E35] se muestra el caso particular de nuestro problema, ya que se

desarrollarán las derivadas parciales de 𝑥3, 𝑥4, 𝑥3̇, 𝑥4̇ con respecto de 𝑥1 , 𝑥2,

𝑥3, 𝑥4.

[E35] 𝐴 =

[ 𝜕𝑥3

𝜕𝑥1

𝜕𝑥3

𝜕𝑥2

𝜕𝑥3

𝜕𝑥3

𝜕𝑥3

𝜕𝑥4

𝜕𝑥4

𝜕𝑥1

𝜕𝑥4

𝜕𝑥2

𝜕𝑥4

𝜕𝑥3

𝜕𝑥4

𝜕𝑥4

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥1

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥2

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥3

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥4

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥1

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥2

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥3

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥4]

𝑥=𝑢=0

; 𝐵 =

[ 𝜕𝑥3

𝜕𝑢𝜕𝑥4

𝜕𝑢𝜕𝑥3̇

𝜕𝑢𝜕𝑥4̇

𝜕𝑢 ]

𝑥=𝑢=0

Nótese que resulta evidente que 𝜕𝑥3

𝜕𝑥1,

𝜕𝑥3

𝜕𝑥2,

𝜕𝑥3

𝜕𝑥4,

𝜕𝑥4

𝜕𝑥1,

𝜕𝑥4

𝜕𝑥2,𝜕𝑥4

𝜕𝑥3,

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥1,

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥3,

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥1,

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥3 serán

igual a cero (0), ya que son derivadas de funciones que no dependen de las

variables que serán derivadas, por tal motivo serán vistas como constantes. El

caso de 𝜕𝑥3

𝜕𝑥3 y

𝜕𝑥4

𝜕𝑥4 nos dice que éstas derivadas serán igual a uno (1). Los casos de

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥4 y

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥4 nos darán resultados tales que al evaluar en las condiciones iniciales

serán igual a cero (0), ya que se tendrá por término un 𝑠𝑒𝑛(0). Lo único que nos

queda será desarrollar 𝝏𝒙�̇�

𝝏𝒙𝟐 y

𝝏𝒙�̇�

𝝏𝒙𝟐 en [E36] y [E38]

[E36] 𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥2 (

𝑢

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)+

𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑥42

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)−

𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))

Se reescribe la función para derivarla como la suma de tres productos

𝜕

𝜕𝑥2 ( 𝑢((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))

−1+ 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑥4

2((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))−1

− 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))−1)

El desarrollo se realiza a continuación.

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𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥2 = −𝑢((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))

−2(2𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2))

− 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑥42((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))

−2(2𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2))

− 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑥42((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))

−1

+ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))−2

(2𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2))

− 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(2𝑥2) (((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))−1

)

// Entidad que facilita la derivada 𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2) =1

2 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥2)

Reordenando los términos, se tendrá:

= −𝑢2𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))2 − 𝑚𝑙𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑥4

22𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))2

−𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑥4

2

(𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)+

(2𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2))𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

((𝑀 + 𝑚) − 𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))2

−𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙𝟐)

(𝑴 + 𝒎) − 𝒎𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙𝟐)

Al evaluar en las condiciones iniciales los primeros cuatro términos de nuestra

derivada serán cero, sólo el quinto y último término se conserva, recordemos que

𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟏, por lo que resulta:

[E37]

𝜕𝑥3̇

𝜕𝑥2|𝑥=𝑢=0 = −

𝒎

𝑴𝒈

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[E38] 𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥2(−

𝑢𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝑥2)

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)−

𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑥42

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)+

𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝑥2)(𝑀+𝑚)

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))

Se factorizan las constantes de cada término y desarrollan las derivadas como la

suma de tres cocientes

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥2 = uml

𝑠𝑒𝑛(𝑥2)((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥2)(2𝑚2𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝑥2))

((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))

2

+ 𝑚2𝑙2𝑥42𝑐𝑜𝑠(2𝑥2)((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2)(2𝑚2𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝑥2))

((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))2

+ 𝑚𝑔𝑙(𝑀 + 𝑚)𝑐𝑜𝑠(𝑥2)((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)(2𝑚2𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝑥2))

((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2))2

Al evaluar en las condiciones iniciales los primeros dos términos de nuestra

derivada serán cero, sólo el tercer y último término se conserva, recordemos que

𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟏, por lo que resulta:

[E39]

𝑚𝑔𝑙(𝑀 + 𝑚)𝑐𝑜𝑠(0)((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(0)) − 𝑠𝑒𝑛(0)(2𝑚2𝑙2𝑠𝑒𝑛(0))

((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(0))2

𝑚𝑔𝑙(𝑀 + 𝑚)(𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2

((𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2)2= 𝑚𝑔𝑙(𝑀 + 𝑚)

1

(𝑀 + 𝑚)𝑚𝑙2 − 𝑚2𝑙2

𝑚𝑔𝑙(𝑀 + 𝑚)1

𝑀𝑚𝑙2 + 𝑚2𝑙2 − 𝑚2𝑙2=

𝑚𝑔𝑙(𝑀 + 𝑚)

𝑀𝑚𝑙2=

𝑴 + 𝒎

𝑴𝒍𝒈

𝜕𝑥4̇

𝜕𝑥2|𝑥=𝑢=0 =

𝑴 + 𝒎

𝑴𝒍𝒈

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Reemplazamos los resultados de nuestras derivadas parciales para definir las

matrices A y B

[E40] 𝐴 =

[ 0 0 1 00 0 0 1

0 −𝑚

𝑀𝑔 0 0

0𝑀+𝑚

𝑀𝑙𝑔 0 0]

[E41] 𝐵 =

[

001

(𝑀+𝑚)−𝑚𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)

−𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠(𝑥2)

(𝑀+𝑚)𝑚𝑙2−𝑚2𝑙2𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)]

𝑥=𝑢=0

=

[

001

𝑀

−1

𝑀𝑙]

El modelo lineal de nuestro sistema en espacio de estados es representado en

[E42] y la salida en [E43] ya que deseamos visualizar la posición angular del

péndulo.

[E42] �̇� = [

𝑥1̇

𝑥2̇

𝑥3̇

𝑥4̇

] =

[ 0 0 1 00 0 0 1

0 −𝑚

𝑀𝑔 0 0

0𝑀+𝑚

𝑀𝑙𝑔 0 0]

[

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

] +

[

001

𝑀

−1

𝑀𝑙]

𝑢

[E43] 𝑌 = [0 1 0 0] [

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

] = 𝑥2 = 𝜃

SIMULACIÓN EN SIMULINK

Primero definiremos las variables de nuestro modelo (M, g, l y m), ya que de ellas

depende su comportamiento.

M=3.75; % masa del carro en kilogramos

g=9.81; % aceleración gravitacional en m/seg2

l=0.65; % longitud del péndulo en metros

m=0.85; % masa del péndulo en kilogramos

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Nótese que la primera configuración que se intenta es la de lazo abierto.

La definición del espacio de estados, fue pasar la representación matricial de

nuestro sistema de la siguiente forma:

A = [0 0 1 0;0 0 0 1;0 –(m*g)/M 0 0; ((M+m)*g)/(M*l) 0 0]

B = [0;0;1/M;-1(M*l)]

C = [0 1 0 0] ; D = 0

Figura 1

Y la salida de este sistema será el mostrado en la figura 2

Figura 2

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Se opta en la figura 3 por una configuración en lazo cerrado y se muestra la

salida del sistema en la misma ilustración.

Figura 3

Se desea observar el comportamiento del sistema añadiendo ruido en el sistema,

y manteniendo lazo cerrado, en la figura 4.

Figura 4

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En seguida colocaremos los elementos finales que intervendrán en nuestra

simulación:

- La constante de referencia, la cual es cero (0) ya que se desea que el

péndulo se mantenga en equilibrio en esa designación de ángulo.

- El controlador PID, el cual hará una acción correctiva de la señal de error.

- El bloque del espacio de estados, que describe la dinámica de nuestro

sistema de modo linealizado en [E42] y [E43]

- Un generador de pulsos, quien simulará una señal externa (ruido), es decir

una fuerza que pretenderá afectar el estado estable del sistema.

- “Scopes” que nos permitirán visualizar el comportamiento de las señales a

en función del tiempo.

Figura 5

Las especificaciones del generador de pulsos son presentadas en la figura 6.

Amplitud: 5;

Periodo: 10 segundos.

Ancho de pulso: 10% del periodo.

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Figura 6

La estructura del controlador PID aparece definida en simulink y las constantes

fueron obtenidas de forma iterativa.

P = -75,

I = -25,

D = -10 y

N (coeficiente de filtrado) = 100

Figura 7

Robótica

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La siguiente imagen presenta la señal de entrada, señal de ruido y señal a la

salida del sistema (superior izquierda, superior derecha e inferior derecha

respectivamente)

Figura 8

Detalle de las señales.

Scope 2 (Superior izquierda): Referencia del sistema.

Scope 5 (Media izquierda): Suma de referencia y señal de error.

Scope 3 (Inferior izquierda): Salida del controlador PID.

Scope 1 (Superior derecha): Señal externa al sistema (ruido) simulado por un tren

de pulsos.

Scope 4 (Media derecha): Suma de salida del PID y señal de ruido.

Scope (Inferior derecha): Salida del sistema

Robótica

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CONCLUSIONES

Al finalizar éste documento podemos rescatar la importancia del modelado

matemático y pasar a su representación en espacio de estados (para lo cual en

nuestro caso fue necesario linealizar), puesto que nos permite analizar un sistema

en función de sus variables fundamentales, las cuales fueron las masas del carro y

el péndulo (M y m), la aceleración gravitacional (g) y la longitud del péndulo (l).

Fue necesario consultar en múltiples fuentes de control para comprender el

sistema, sus condiciones de equilibrio y en cuestión del método se realizaron los

desarrollos del cálculo.

Además se observó que era necesario proponer un controlador PID, ya que

era necesario tener un mecanismo que nos permitiera mantener nuestro sistema

en condiciones estables. Sin embargo, se observa que las ganancias de éste son

elevadas.

REFERENCIAS

RODRÍGUEZ L. (2003) “Diseño de un controlador de estructura variable para

el péndulo invertido” Tijuana BC, México. Instituto Politécnico Nacional.

OGATA K. (2010) “Ingeniería de Control Moderna”. Editorial: Pearson. Quinta

Edición. Madrid, España

OGATA K. (1987) “Dinámica de Sistemas”. Editorial: Prentice Hall. Primera

Edición. México, DF

OGATA K. (1996) “Sistemas de Control en Tiempo Discreto”. Editorial:

Prentice Hall. Segunda Edición. México, DF