1252307571.Estatica-baricentro y m. Inercia

Ing. Jorge A. Papajorge Estabilidad I – Segunda Parte

15/03/13 UNLZ – Facultad de Ingeniería

1

PPRROOPPIIEEDDAADDEESS MMEECCÁÁNNIICCAASS DDEE LLOOSS PPEERRFFIILLEESS En el cálculo de las tensiones en secciones dadas tienen suma importancia los

momentos estáticos y los momentos de inercia de las mismas respecto a un eje de referencia.

ÁÁrreeaa ddee uunnaa SSuuppeerrffiicciiee

nn

ii dAAAA

1

MMoommeennttoo EEssttááttiiccoo oo ddee PPrriimmeerr OOrrddeenn Momento estático de una superficie respecto de un eje:

Si consideramos el peso de cada dA, suponiendo que se trate de una chapa infinitamente delgada será:

A

AA

dAp

dAdp

dAdp

El conjunto de todos los pesos constituye un sistema de fuerzas paralelas cuya resultante será una fuerza p, que será el peso de toda la chapa, que en función de su peso

específico será: AdAA

Por Varignon:

SydAxAxxdAxAAGAG :

Análogamente: SxdAyAyAG :

Donde Sy y Sx los denominaremos MOMENTOS ESTÁTICOS de una superficie respecto de un eje. Y lo definimos diciendo que: es LA SUMA DE LOS PRODUCTOS DE CADA ÁREA ELEMENTAL dA POR LA DISTANCIA AL EJE DE REFERENCIA.

Sus unidades serán se longitud cúbica: []3 [mm3] · [cm3]

El Momento Estático puede ser positivo, negativo o nulo

AG dAxAxSy : Si Sy =0

dA

Espesor = 0

x

y

dAx

yh1

0

x

y

dAxG

yG

0

pp

G



2

Donde:

A (área) es una magnitud positiva y distinta de cero.

Para que sea xG · A = 0; debe cumplir que xG ó yG tratándose de Sx, deben ser cero xG = 0 ó yG = 0.

Lo que se deduce que el momento estático de una superficie respecto de un EJE ES NULO PARA CUALQUIER EJE QUE PASE POR EL BARICENTRO o dicho de otra forma:

LA ANULACIÓN DEL MOMENTO ESTÁTICO RESPECTO DE UN EJE, ES CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE EL EJE A CONSIDERAR SEA BARICÉNTRICO.

Caso I

yG

-x xG

xG=0

y

x

x

y

0 G

xG=0yG=0

Caso II

BBaarriicceennttrroo:: Si la figura plana, admite un eje de simetría sobre él estará su Baricentro (caso 1)

También llamado Centro de gravedad y si admite más de uno, en sus intersecciones se ubica el Baricentro (caso 2).

ASy

ASxY

AYSx

dAydAy

dAyyS

G

G

AYA G

SxA

A GXG

G

GX teAnalogamen

0

0

0

Sy = 0

Desde el punto de vista infinitesimal a cada elemento dA de coordenadas (x; y) le corresponde otro punto simétrico de coordenadas (-x; y). Debido a ello Sy = 0.

G

0 x

y

YG

XGxG

yG

y

x dA



3

EEJJEEMMPPLLOOSS DDEE MMOOMMEENNTTOOSS EESSTTÁÁTTIICCOOSS::

2

22

0

2

0

bhSx

ybdyyb

dybydAySx

hh

AA

Dado un perfil rectangular, para calcular el momento estático de la superficie rayada respecto del eje x, se procede:

8

242

0

bhSx

hbhSx

AySx

22

222

222

2

0

21

8

2228

2222

4

222

222

bybhSx

byhbybybhybh

bybyhbyyhh

bybhbyhSx

byhyyh

SxAySx

Se deduce que el momento estático varía de acuerdo a la superficie a tomar y al eje a considerar.

x

y

y

x

h

b

dy

dx

G

G1

x

h

b

h/4=

y 0

G

G1

x

h

b

h/2

yy0



4

MMoommeennttoo ddee IInneerrcciiaa oo ddee SSeegguunnddoo GGrraaddoo A) Axil B) Centrífugo c) Polar

AA)) AAXXIILL:: ((JJXXXX;; JJYYYY))

El momento de inercia axil de una superficie plana respecto de un eje de la misma, es la suma de los productos es cada A en que se quiere subdividir la superficie, por el cuadrado de su distancia al eje.

yejedelrespectodAxJ

xejedelrespectodAyJ

AyJ

yAyAyAJ

Ayy

Axx

n

iiixx

nnxx

2

2

1

2

2222

211 ...

Magnitud esencialmente positiva, pues el área es positiva y distinta de cero, la distancia también positiva pues estará elevada al cuadrado.

BB)) CCEENNTTRRÍÍFFUUGGOO ((JJXXYY))

De una superficie plana respecto de dos ejes x e y, que por sencillez consideramos ortogonales, es la suma de los productos de cada A por su distancia a los ejes.

Axy

n

iiiixy

nnnxy

dAxyJ

yxAJ

yxAyxAyxAJ

1

222111 ...

Magnitud positiva, negativa o “Nula”.

CC)) PPOOLLAARR:: ((JJPP))

De una superficie plana respecto de un punto “o” del plano, es la suma del producto de cada área A por el cuadrado de la distancia al punto.

AP

n

iiiP

nnP

dAJ

AJ

AAAJ

2

1

2

2222

211 ...

0

i yi

xi

x

y Análogamente



5

Magnitud Positiva.

RREELLAACCIIÓÓNN EENNTTRREE LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS DDEE IINNEERRCCIIAA:: JJXXXX;; JJYYYY;; JJPP

yyxxP

AAP

AP

AP

JJJ

dAydAxJ

dAyxJ

yxcomodAJ

22

22

2222

Las unidades de los Momentos de Inercia son longitud a la cuarta:

[4]; [cm4] o [mm4]

EEjjeemmppllooss ddee aannáálliissiiss ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr llooss mmoommeennttooss ddee IInneerrcciiaa::

33

33

3

0

3

022

2

3

0

3

02

02

2

bhxh

dxxhdxhx

dAxJ

hbyb

dyybdyby

dAyJ

b

h

A

Ayy

h

hhAxx

dx

dy

0x

yb

hx

y



6

12

43883

22332

32

3

3

333

33

33

2

2

3

2

2

22

2

2

2

hbJ

hbhhb

hhbhh

b

yb

dyybdyby

dAyJ

xx

h

h

h

h

h

h

Axx

Análogamente: 12

3hbJ yy

En la figura anterior el momento de Inercia centrífugo será nulo,

Jxy = 0 0 Axy dAyxJ pues a cada elemento de posición (x; y) se le opone otro de

coordenadas (-x; -y) debido que x e y son ejes de simetría. Como consecuencia podemos decir que será nulo el momento centrífugo si uno de los

ejes de referencia es eje de simetría de la sección, lo que implica que TODO EJE DE SIMETRÍA ES EJE PRINCIPAL DE INERCIA, siendo el otro perpendicular a él.

Generalmente en los perfiles utilizados en la flexión, presentan un eje de simetría y los momentos de inercia están referidos a él y a otro perpendicular, con origen en el baricentro del perfil.

G x

y

Si hacemosb=1cm yh=10cm

MAYORcmJ

bhJ

xx

xx

4

3

33,3333

100013

1

1

Si hacemosb=10cm yh=1cm

MENORcmJ

bhJ

xx

xx

4

3

33,33

1103

2

2

G x

y

Caso I Caso II

Por lo tanto el Jxx1 será máximo y el Jxx2 será mínimo.

dx

dy

x

yb

h

x

yG

(-x;-y) (x;-y)

(x;y)(-x;y)

h/2

h/2



7

Máximo Mínimo

EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA SECCIÓN DE UNA BARRA RESPECTO DE UN EJE ES UNA PROPIEDAD MECÁNICA DE ESOS ELEMENTOS, DONDE DEMUESTRA LA CAPACIDAD DE RESISTENCIA A LA DEFORMACIÓN O A LA POSIBLE ROTURA, QUE TIENEN ESAS PIEZAS RESPECTO DE UN EJE.

Elemento indispensable para el dimensionamiento de perfiles, barras o vigas, de distintos materiales, para darle a estas la fortaleza necesaria para que ello no ocurra.

CCÍÍRRCCUULLOO LLLLEENNOO

42

42

22

4

0

4

03

02

2

r

dd

dAP

r

rrA

Momento de Inercia Polar:

322

44 dJorJ PP

RRAADDIIOO DDEE GGIIRROO

Es otra propiedad mecánica de los perfiles, donde se lo define como una distancia ix, tal que si el área de una sección estuviera concentrada en su centro de gravedad, obtendríamos el mismo valor del momento de inercia que hallamos por definición.

Toda la superficie concentrada en el punto A que produce el mismo momento de inercia.

El radio de giro o también llamado Radio de Inercia es de mucha utilidad en Ingeniería, para el dimensionamiento estructural de secciones compuestas.

x

y

r r

o

d



8

AJ

iA

Ji

AiJ

dAyJ

yyy

xxx

xxx

Axx

2

2

RRaaddiioo ddee GGiirroo MMááxxiimmoo yy MMíínniimmoo

minimobbbhhb

AJ

i

maximohhbh

bhA

Ji

minimohbJ

maximobhJ

Inerciadesprincipaleejesyex

yyy

xxx

yy

xx

288,0121

12

288,0121

12

12

12

3

3

3

3

MMÓÓDDUULLOO RREESSIISSTTEENNTTEE

Se denomina así al cociente entre el momento de inercia respectivo y la distancia h/2 de la fibra más alejada del perfil al eje de momentos, se lo representa como Wx; Wy. Los valores Wx para los diferentes perfiles , está tabulados a los valores de su dimensionamiento.

32

62cmbh

hJW xx

x ídem 62

2hbbJ

W yyy

MMOOMMEENNTTOO RREESSIISSTTEENNTTEE

Es el producto del Módulo Resistente por la tensión de trabajo o tensión admisible.

2h

JM

WM

WM

xxxadm

admx

Las tensiones admisibles se pueden determinar en función de las tensiones elásticas o de rotura dividida por un coeficiente de seguridad que dependerá de las condiciones de trabajo de la pieza.

x

y

ix iy

dA

G

dy

y

b

y

xh/2

h/2G



9

TTRRAASSLLAACCIIÓÓNN DDEE EEJJEESS Veremos la variación del momento de Inercia cuando los ejes de referencia, se

desplazan en forma paralela, conociendo uno de ellos.

Disponemos del momento de Inercia respecto del eje x (Jxx) y podemos determinarlo respecto de otro eje x’ (Jx’x’)

Conociendo: Axx dAyJ 2

Axx dADyyJ 2

''

Desarrollando el cuadrado:

2''

2''

22''

2

2

2

ADyDySxJJ

dADydADyDyJJ

dADydAyDydAyJ

xxxx

AAxxxx

AAAxx

de igual forma 2'' 2 ADxDxSyJJ yyyy

Si el Jxx es baricentro obtenemos:

2'' ADyJJ

GG xxxx

Pues el momento estático Sx de la sección respecto de un eje baricéntrico es nulo. Llegamos así a la denominada: FÓRMULA DE STEINER.

Estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Steiner:

TTEEOORREEMM AA DDEE SSTTEEIINNEERR

El momento de Inercia respecto de un eje cualquiera es igual al momento de Inercia respecto de un eje paralelo al anterior y baricéntrico, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes.

ADxDyJJ

ADxJJ

ADyJJ

GG

GG

GG

yxyx

yyyy

xxxx

''

2''

2''

Dy

Dx

x

y

y y'

x

x'

Dy

Dxx

y

x

xG

G

yG



10

Sabiendo que:

4

3

3

22

3

3

bhJ

hbJ

bhJ

xy

yy

xx

Trasladamos a los ejes baricéntricos utilizando Steiner: 2

'' ADyJJGG xxxx

Despejando:

directa formaen nteanteriormedemotrado habíamos que Lo

12

43

23

3

33

23

2

bhJ

bhbh

hhbbh

ADyJJ

GG

GG

xx

xxxx

Ídem:

12

43233

3323

2

bhJ

hbhbbbhhb

ADxJJ

GG

GG

yy

yyyy

Centrífugo:

044

2242222

22

bhbhJ

bhhbbh

DyADxJJ

GG

GG

yx

xyyx

No es casualidad que el momento de Inercia centrífugo respecto de los ejes baricéntricos sea nulo, como hemos visto para el rectángulo o figuras simétricas los ejes xG e yG son ejes principales de Inercia 0

GG yxJ ; para los cuales los momentos de Inercia

dx

dy x

y

G

h/2

h/2=Dy

b/2=Dx b/2yG

xG

y

x



11

axiales son máximos y mínimos. Además debemos tener en cuenta que no siempre todo eje de simetría es eje principal de inercia, hay secciones que no.

Todas las formulas de distribución de tensiones en los materiales están desarrolladas para solicitaciones que coincidan con ejes principales de Inercia baricéntricos.

SSEECCCCIIÓÓNN TTRRIIAANNGGUULLAARR

b

Gg

x

g

dA

b1

dy

y (variable)

h

1/3 h

2/3 h

0

h

x

la Base de respecto Triánguloun deInercia de Momento

1243

43

43

:

333

43

04

03

0

3

0

2

0

2

0

2

11

0 12

2

bhJbhbhJ

hh

bhbJ

yh

bybJ

dyyhbdyybJ

dyyhbybJ

dyyhhbyJ

yhhbb

yhb

hbcomodybyJ

dAyJ

xxxx

xx

hhxx

hh

xx

h

xx

h

xx

h

xx

Axx

Aplicando “Steiner”

Para determinar el Jgg



12

36

181

121

181231

212

3

33323

bhJ

bhbhbhhbhbhJ

gg

gg

SSeecccciióónn ttrriiaanngguullaarr

b

Gg

x

g

dA

b1

dyy (variable)

h

1/3 h

2/3 h

x

g-g coBarocéntri eje al respectodA sección la de Inercia de Momento

32221

1

1

1

21

32

32

32

32

3

:

dyyhbdybydyyy

hbbdyybJSiendo

yhbbb

h

yhbb

hb

hyh

bcomo

ydybJ

gg

gg

Para determinar el momento de inercia total del triángulo respecto al mismo eje g-g será:



13

43

432

33

332

32

4332

32

32

4433

4

3232

32

31

32

31

32

31

32

31

32

31

hh

hb

hhbJ

yhbybJ

dyyhbdyybdyy

hbdyybJ

gg

h

h

h

hgg

h

h

h

h

h

hgg

36

8748243

32415

272

48115

3279

32

481

48116

327

3278

32

3

33343

44

33

bhJ

bhbhbhh

hbhbJ

hh

hb

hhbJ

gg

gg

gg

Aplicando “Steiner” para determinar Jxx

12

123236

3

323

bhJ

bhhbhbhJ

xx

xx

SSeecccciióónn CCiirrccuullaarr lllleennaa Jo, Momento de inercia respecto de un eje perpendicular a

la superficie circular que pasa por su centro.

y

y

x x

Rr

Odr

D



14

40

4

03

0

02

0

2

422

2

RJ

RdrrJ

drrrJ

R

R

En función del Diámetro

Reemplazando 44

0 32222DDJDR

Como: yyxx JJJ 0

Por simetría, tenemos:

440

0

6441

2

22

DRJ

JJ

JJJ

yyxx

yyxx

Momento de Inercia respecto a dos diámetros perpendiculares xx e yy.

SSeecccciióónn CCiirrccuullaarr HHuueeccaa

Como 40 2

RJ es para el círculo lleno.

El circular hueco será:

44440 322

dDrRJ

Momento de Inercia Respecto al eje central perpendicular al plano.

Como:

4444

6441 dDrRJJ xxyy

Los momento de Inercia de las secciones Normalizadas ha sido calculado por métodos exactos y catálogos que se encuentran tabulados.

d

D

y

y

r

Rx x



15

SSeecccciioonneess CCoommbbiinnaaddaass

Si los cantos Redondeados están precisados, el momento de Inercia puede ser calculado por descomposición.

10cm

40 cmxx

ch1 ch2 ch3

10cm 10cm

10 cm

10 cm

40 cm

40 cm

40 cm

x x

ch1

ch2

ch2

10 cm

4

3

000.16012

40·30

cmJ

cmcmJ

xx

xx

4

33

56012

40·15212

60·40

cmJ

cmcmcmcmJ

xx

xx

Tres chapas de 10 cm x 40 cm colocadas de diferente forma.

Importancia de las secciones Doble T, en que se obtendrán momentos de Inercia mayores con el mismo material.



16

MMoommeennttoo ddee IInneerrcciiaa CCeennttrrííffuuggoo

PPRROODDUUCCTTOO DDEE IINNEERRCCIIAA

y

x

x

yA

dA

Axy

Axyy

dAyxJ

yxddJ

·

·

y

xx

b

0

yhh2

b2 dx

dy

42

2

2

·

22

0

2

0

0

hbJdyybJ

dyybbJ

dAybJ

dybdA

xyh

xy

hxy

hxy

y yg

xgh

b

b2

h2

G

x

42

2

2

22

0

2

0

0

hbJdxxhJ

dxhxhJ

dAxhJ

dxhdA

xyb

xy

bxy

bxy

El Teorema de Steiner aplicado a los momentos de Inercia Centrífugos:

044

222222

gg

gg

gg

gg

yx

yx

yxxy

yxxy

J

hbJbh

bhbhJJ

DxDyAJJ



17

MMoommeennttoo ddee IInneerrcciiaa ““CCeennttrrííffuuggoo”” ddee uunn ttrriiáánngguulloo

RREESSPPEECCTTOO DDEE LLOOSS EEJJEESS XX EE YY

Dy= b 3

b x

Dx= h 3

xgdy

b1

b12

y

h h-y

y yg

24121

2

41

32

21

2432

22

22

221

21

:

21

22

2222

2

424322

2

2

03

02

02

2

2

022

2

2

0

2

11

0210 1

11

hbJhbJ

hhbhhhhh

hbJ

dyydyyhdyyhh

bJ

dyyyhyhhbdyyyh

hbJ

yhhbb

yhb

hbcomo

dyybdybbydAbydJJ

xyxy

xy

hhhxy

hhxy

hh

AA xyxy

RREESSPPEECCTTOO DDEE LLOOSS EEJJEESS BBAARRIICCÉÉNNTTRRIICCOOSS::

Por Steiner:

781824

33224222222

22

hbJhbhbJ

bhbhJhb

DyDxAJJ

gggg

gg

gg

yxyx

yx

yxxy



18

Es negativo porque las áreas respecto del eje Baricéntrico, su definición es negativa.

+

+ -

-xg

yg

sentidode

rotación

x

yy1

x1

y1

y

x

x1

a

b

c

d

e

A

dA

adeb

odbc

odoe

adac

eboexbcacabSi

sen;sen

cos;cos

; 1

sencossencos

sencossencos

1

1

1

yxxadodx

xyyodadab

AxyAyyAxx dAyxJdAxJdAyJSi ;; 22



19

1sensencos2cos

sensencos2cos

sencos

22

2222

221

21

11

11

11

11

yyxyxxxx

AAAxx

AAxx

xx

JJJJ

dAxdAxydAyJ

dAxydAyJ

ydAdJ

2coscossen2sen

coscossen2sen

cossen)

22

2222

221

21

11

11

11

11

yyxyxxyy

AAAyy

AAyy

yy

JJJJ

dAxdAxydAyJ

dAxydAxJ

xdAdJ

3sencoscossen

cossensencoscossen

cossensencossencos

cossen·sencos

22

22

2222

11

11

11

11

11

xyyyxxxy

yyxyxyxxxy

AAAAxy

AAxy

JJJJ

JJJJJ

dAxdAxydAyxdAyJ

dAxyxydAxyJ

MMOOMMEENNTTOO DDEE IINNEERRCCIIAA RREESSPPEECCTTOO AA UUNN EEJJEE RROOTTAADDOO

Si aplicamos a las ecuaciones (1); (2) y (3) las siguientes relaciones trigonométricas:

22

2

2

sencos2cos

cossen22sen

2cos121sen

2cos121cos

22cos1cos

22cos1sen

22sencossen

2

2



20

De (1)

2

2cos122sen2

22cos1

11

yyxyxxxx JJJJ

32cos2sen2

22sen2cos22

:teAnálogamen

12sen2cos22

11

11

11

xyyyxx

yx

xyyyxxyyxx

yy

xyyyxxyyxx

xx

JJJ

J

JJJJJ

J

JJJJJ

J

Expresiones que nos dan el valor de los momentos de Inercia de los ejes girados en relación con los ejes originales.

Existen valores del ángulo para los cuales los momentos de inercia son MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Esto se deduce anulando la derivada primera de la ecuación (1).

Verificando que 01111

yyxxyyxx JJJJ (Polar)

yyxx

xy

xxyy

xy

xyxxyy

xyxxyy

xyxxyy

xyyyxxxx

JJJ

JJJ

JJJ

JJJ

JJJ

JJJ

ddJ

22tg

22tg

22tg

22cos

2sen

2cos22sen

02cos22sen22

11

Expresión que nos dará el valor del ángulo , para que los momentos de Inercia Axiles sean máximo o mínimo.

Sabemos que existe eje principal de Inercia cuando el momento centrífugo equivale a

cero 0 dAxyJ xy



21

22

22

22cos

2

22sen

xyyyxx

yyxx

xyyyxx

xy

JJJ

JJ

JJJ

J

Recordando la ecuación (3) y reemplazando:

0

22

22

2cos2sen2

222211

11

xyyyxx

yyxxxy

xyyyxx

xyyyxxyx

xyyyxx

yx

JJJ

JJJ

JJJ

JJJJ

JJJ

J

Cuando x1 e y1 son ejes principales de Inercia, el momento centrífugo es nulo:

Entonces: 011yxJ Resulta:

22.mín

22.máx

421

2

421

2

11

11

xyyyxxyyxx

yy

xyyyxxyyxx

xx

JJJJJ

JJ

JJJJJ

JJ

2Jxy

Jxx-Jyy

22xyyyxx JJJ

2



22

IINNEERRCCIIAA

4

4

1550;28

114;711;18

18

cmJJcmA

cmJJcmbmmecmr

UPN

hhyy

yyxx

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAA PPOOSSIICCIIÓÓNN DDEELL BBAARRIICCEENNTTRROO DDEELL CCOONNJJUUNNTTOO

cmAA

SXcm

AASY

cmcmcmcmcmdAdAS

cmcmcmcmcmdAdAS

yE

xE

y

x

r59,842,15

75,5285,45,335,1328

76,948105,3392,2128

2121

3222241

3221231

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS DDEE IINNEERRCCIIAA RREESSPPEECCTTOO DDEELL BBAARRIICCEENNTTRROO DDEELL CCOONNJJUUNNTTOO

4

224224231

222

11,4424

5,62811742,55,33214012

cmJ

cmcmcmcmcmDAJDAIJ

HH

HHHHHh

4

224241

212

42,2702

91,428135002,45,3311712

cmJ

cmcmcmcmDAJDAIJ

VV

vvvvVV

4

24431

0

122

0

24,1636

572,52842,65,3312

cmJ

cmcmcmcmDDAJDDAJJ

HV

HVHVcentrifugo

HV

Nota: JHV2 y JHV1 son cero por ser momentos de inercia centrífugos respecto a los ejes principales de inercia.

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE JJMMÁÁXX .. YY JJMMÍÍNN..

22

22

22

22

HVVVHHVVHH

min

HVVVHHVVHH

max

JJJJJJ

JJJJJJ



23

4

22

94,5409

24,16362

42,270742,44212

42,270242,4421

cmJ

J

max

max

4

22

59,1713

24,16362

42,270742,44212

42,270242,4421

cmJ

J

max

min

"32º01458,31

291,62904,1arctg2

904,142,270211,4421

24,1636222tg 44

4

cmcm

cmJJ

J

VVHH

HV

Vemos que al variar el ángulo de giro de los ejes (ver esquema) cada una de las magnitudes JHH y JVV varía mientras que su suma permanece constante. Es decir que existe un ángulo (el hallado) tal que uno de los momentos de inercia alcanza su máximo valor mientras que el otro alcanza su mínimo valor. Al mismo tiempo el producto de inercia JHV (centrífugo) correspondiente a ese ángulo será cero.

Los ejes respecto a los cuales el JHV = 0 y JHH; JVV son máximos y mínimos se los denomina ejes principales de inercia. Los momentos axiales de inercia respecto a los ejes principales se denominan momentos principales de inercia.

Es respecto al momento de inercia máximo



24

GGUUÍÍAA DDEE TTRRAABBAAJJOO PPRRÁÁCCTTIICCOO NNºº 66

IInneerrcciiaa Hallar los ejes principales de inercia baricéntricos, gráfica y analíticamente del

siguiente esquema de perfiles conformados.

Como vemos en la figura tomamos un sistema de ejes cualesquiera x e y y referimos todos nuestros cálculos a dichos ejes (momentos estáticos y coordenadas del baricentro del conjunto).

DDAATTOOSS DDEE LLOOSS PPEERRFFIILLEESS

422

4

117;5,33

2140;93,11;20

20

cmJJcmA

cmJJcmbmmecmh

IPN

VVyy

HHxx

Reemplazamos en 7



25

222

2''

2

'' 22kJ

JJJ

JJJ xy

yyxxyx

xxyyxx

Salvo los dignos

yyxx

xy

JJJ

22tg

Nota: veamos como varían los valores de las tensiones principales en función del ángulo.

Analizando la fórmula 5 vemos que si aumenta, Jxx’ disminuye, por lo tanto podemos determinar que será positivo en el sentido antihorario.

yyxx

xyxyxxyyxx

xyxyxxyyxx

JJJJ

kAJJJJJ

J

kAJJJJJ

J

2211

2

2

22

2

2

11

22

22



26

RROOTTAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS EEJJEESS DDEE RREEFFEERREENNCCIIAA Veremos la variación de los Momentos de Inercia cuando los ejes rotan un ángulo

respecto de los originales.

La posición de dA referida al sistema móvil x’; y’ está dada:

sencossencos

xyyyxx

a) JP = Jxx +Jyy al girar los ejes la suma es independiente de la dirección de los ejes y solo cambia con la posición de “o”.

b) AAxx dAxydAyJ 22

'' sencos

desarrollando queda:

2''

2222

2222''

sensencos2cos

sensencos2cos

sensencos2cos

yyxyxxxx

AaAxx

JJJJ

dAxdAyxdAy

xdAxydAyJ

Reemplazando trigonométricamente:

22cos1cos

22cos1sen

22sencossen

2

2



27

2

2cos122sen2

22cos1

'

yyxyxxxx JJJJ

Aplicando distributiva.

12sen2cos22

22cos

222sen2

22cos

2

''

''

xyyyxxxyxy

xx

yyyyxyxxxxxx

jJJJJ

J

JJJJJJ

Análogamente:

32cos2sen2

22sen2cos22

''

''

xyyyxx

yx

xyyyxyxxyy

yy

JJJ

J

JJJJJ

J

estas ecuaciones nos dan los momentos de Inercia con respecto a los ejes girados en relación a los momentos de Inercia con respecto a los ejes originales.

Pueden existir valores de que originen valores máximos o mínimos en el valor de Jxx, para averiguarlo resulta anular la derivada de la ecuación (1).

42

2tg

22tg

22cos2sen

2cos22sen02cos22sen

02cos222sen2

''

xxyy

xy

xyxxyy

xyxxyy

xyxxyy

xyxxyy

xyyyxxxx

JJJ

JJJ

JJJ

JJJJJJ

JJJ

ddJ

Expresión que nos da el ángulo para el cual los momentos de Inercia Axiles son máximos o mínimos; hay dos posibilidades que difieren 90º o sea que Jmax y Jmin son perpendiculares entre sí.

Si hacemos la derivada de Jx’y’ respecto de e igualamos a cero se llega a la misma fórmula (4).



28

0

2cos

2cos2

2

2cos2cos2sen

2

2cos2sen2

''

''

''

''

''

yx

xyxyyx

xyyyxx

xyyyxxyx

xyyyxx

yx

xyyyxx

yx

JJJJ

JJJ

JJJJ

JJJ

J

JJJ

J

Esto significa que para el valor del ángulo donde Jx’x’ y Jy’y’ son máximos o mínimos obtendremos un valor de Jx’y’ = 0.

Por lo tanto podemos definir como EJES PRINCIPALES DE INERCIA a aquellos en donde el momento centrífugo se anula y los momentos de inercia axiles son máximos.

CCÍÍRRCCUULLOO DDEE MMOOHHRR Es un método gráfico, el cual nos determina los momentos de inercia principales y la

ubicación de sus respectivos ejes.

Partiendo de las formulas de Jx’x’ y Jy’y’ dadas las ecuaciones (1) y (2) vemos:

Realizando el siguiente cambio de variables:

CJ

BJJ

AJJ

yJxJ

xy

xyxx

xxyy

yxxx

2

'2

''''

Reemplazamos los valores en (1) y (3)

X = A + B cos 2 - C sen 2 (5)

Y = B sen 2 + C cos 2 (6)

Realizando un pasaje de términos y elevando ambos miembros al cuadrado en la ecuación (5) resulta:



29

kCByAx

CByAx

CCbByAx

BCCBBCCByAx

ammSCBy

CBAx

2222

1

222

1

22222

2222222222

22

22222222

22

222

2cos2sen2sen2cos

2cos2sen2sen2cos

2cos2sen22cos2sen2sen2cos22sen2cos

...2cos2sen

sen2cos



30

TTRRAASSLLAACCIIÓÓNN DDEE EEJJEESS Veremos la variación del momento de Inercia cuando los ejes de referencia, se

desplazan en forma paralela, conociendo uno de ellos.

Disponemos del momento de Inercia respecto del eje x (Jxx) y podemos determinarlo respecto de otro eje x’ (Jx’x’)

Conociendo: Axx dAyJ 2

Axx dADyyJ 2

''

Desarrollando el cuadrado:

2''

2''

22''

2

2

2

ADyDySxJJ

dADydADyDyJJ

dADydAyDydAyJ

xxxx

AAxxxx

AAAxx

de igual forma 2'' 2 ADxDxSyJJ yyyy

Si el Jxx es baricentro obtenemos:

2'' ADyJJ

GG xxxx

Pues el momento estático Sx de la sección respecto de un eje baricéntrico es nulo: llegamos así a la denominada: FÓRMULA DE STEINER.

Estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Steiner:

TTEEOORREEMMAA DDEE SSTTEEIINNEERR

El momento de Inercia respecto de un eje cualquiera es igual al momento de Inercia respecto de un eje paralelo al anterior y baricéntrico, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes.

ADxDyJJ

ADxJJ

ADyJJ

GG

GG

GG

yxyx

yyyy

xxxx

''

2''

2''

Dy

Dx

x

y

y y'

x

x'

Dy

Dxx

y

x

xG

G

yG



31

EEjjeemmppllooss ddee aannáálliissiiss ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr llooss mmoommeennttooss ddee IInneerrcciiaa::

33

33

3

0

3

022

2

3

0

3

02

02

2

bhxh

dxxhdxhx

dAxJ

hbyb

dyybdyby

dAyJ

b

h

A

Ayy

h

hhAxx

12

43883

22332

32

3

3

333

3333

2

2

3

2

2

22

2

2

2

hbJ

hbhhb

hhbhhb

yb

dyybdyby

dAyJ

xx

h

h

h

h

h

h

Axx

Análogamente: 12

3hbJ yy

En la figura anterior el momento de Inercia centrífugo será nulo,

Jxy = 0 0 Axy dAyxJ pues a cada elemento de posición (x; y) se le opone otro de

coordenadas (-x; -y) debido que x e y son ejes de simetría.

Como consecuencia podemos decir que será nulo el momento centrífugo si uno de los ejes de referencia es eje de simetría de la sección, lo que implica que TODO EJE DE SIMETRÍA ES EJE PRINCIPAL DE INERCIA, siendo el otro perpendicular a él.

dx

dy

0x

yb

hx

y

dx

dy

x

yb

h

x

yG

(-x;-y) (x;-y)

(x;y)(-x;y)

h/2

h/2



32

Generalmente en los perfiles utilizados en la flexión, presentan un eje de simetría y los momentos de inercia están referidos a él y a otro perpendicular, con origen en el baricentro del perfil.

Sabiendo que:

4

3

3

22

3

3

bhJ

hbJ

bhJ

xy

yy

xx

Trasladamos a los ejes baricéntricos utilizando Steiner: 2

'' ADyJJGG xxxx

Despejando:

directa formaen nteanteriormedemotrado habíamos que Lo

12

43

23

3

33

23

2

bhJ

bhbh

hhbbh

ADyJJ

GG

GG

xx

xxxx

Ídem:

12

233

23

2

bhJ

bbhhb

ADxJJ

GG

GG

yy

yyyy

Centrífugo:

044

2242222

22

bhbhJ

bhhbbh

DyADxJJ

GG

GG

yx

xyyx

No es casualidad que el momento de Inercia centrífugo respecto de los ejes baricéntricos sea nulo, como hemos visto para el rectángulo o figuras simétricas los ejes xG e

dx

dy x

y

G

h/2

h/2=Dy

b/2=Dx b/2yG

xG

y

x



33

yG son ejes principales de Inercia 0GG yxJ ; para los cuales los momentos de Inercia

axiales son máximos y mínimos. Además debemos tener en cuenta que no siempre todo eje de simetría es eje principal de inercia, hay secciones que no.

Todas las formulas de distribución de tensiones en los materiales están desarrolladas para solicitaciones que coincidan con ejes principales de Inercia baricéntricos.

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