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Ficha de Trabalho - Matemática A -12º B MAT12B - Ficha 4R

 Análise Combinatória – Arranjos e Combinações

1- 

Com os elementos do conjunto A={1,2,3,4} quantos números de 5 algarismos se podemescrever:

1.1.  de forma a não figurar o algarismo 3?

1.2. 

De forma a figurar pelo menos uma vez o algarismo 3?

Arranjos com repetição:

1.1. 

Se não figurar o 3 dispomos de três algarismos, {1,2,4},para 5 “lugares”:

3A'5 = 35=243

1.2. 

Os números que têm pelo menos um algarismo 3 são todos os números de 5

algarismos excepto os da alínea anterior (aqueles em que não figura nenhum 3):

4A'5 -3A'5  = 4

5 – 35 = 781

2. 

Quantos são os números inferiores a 3000 que se podem escrever com os elementos do

conjunto {1,2,3}?

Números de um algarismo : 3A'1 = 3Números de dois algarismos : 3A'2 = 3

2 = 9Números de três algarismos : 3A'3 = 3

3 = 27Números de quatro algarismos : como só interessam os números inferiores a 3000, teremos queexcluir, do número total de números de quatro algarismos, aqueles em que o algarismo dos

milhares é 3 :3

A'

4 -3

A'

3 = 54Conclusão:3+9+27+54= 93

3. 

Considere o conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Sem repetir algarismos, quantos números sepodem formar:3.1.

 

De dois algarismos?

3.2. 

De três algarismos, sendo 5 o das centenas?

3.3. 

De quatro algarismos, sendo 3 o algarismo dos milhares e 9 o das unidades?

3.1. O conjunto tem 9 elementos. Podem formar-se 9A2 = 72

3.2. 5 __ __   8A2 = 56

3.3. 3 __ __ 9   7A2 = 42

4. 

No sistema decimal, quantos números de 5 algarismos diferentes podemos escrever de modo

que os algarismos 0, 2, e 4 fiquem juntos?

1º : Os algarismos 0, 2 e 4 podem permutar entre si de 3! maneiras diferentes. 

2º  2 0 4 __ __   3!   8A2 - 2!  8A2 

subtraiu-se os começados por zero (0 2 4 __ __ ) ; (0 4 2 __ __ );… 

 __ 2 0 4 __   3!   7A2 

 __ __ 2 0 4   3!  7

A2 

R.: (3!   8A2 - 2!  8A2 ) + 3!  

7A2 + 3!  7A2 = 672 

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5. 

No sistema decimal quantos são

5.1. 

Os números de dois algarismos diferentes?

5.2. 

Os números de cinco algarismos diferentes que contêm os algarismos 4 e 7?

5.3. 

Os números de cinco algarismos diferentes em que aparecem os algarismos 4 e 7 juntos

e por esta ordem?

5.4. 

Os números pares, de algarismos diferentes, inferiores a 2000?

5.1. Dispomos de 10 algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Os números de dois algarismos são:10A2 - 9A1 = 90 – 9 = 81 (o zero não pode ser o algarismo das dezenas)

5.2.4 __ __ __ __  4A1  

8A3 7 __ __ __ __  4A1  

8A3 1 4 __ 7 __ ; 1 4 7  __ __ ; __ __ __ __ __ etc …  4A2  

7A2 

R.: 2  4A1  8A3  + 7  

4A2  7A2 = 6216

5.3. 4 7 __ __ __  8A3 __ 4 7 __ __  8A3 -

7A2  __ __ 4 7 __  8A3 -

7A2  __ __ __ 4 7  8A3 -

7A2 

R.: 8A3 +3  (8A3 -

7A2) = 1218

5.4.  Números pares: algarismo das unidades: 0,2,4,6,8Nºs de um algarismo : 4Nºs de dois algarismos : terminados em 0: __ 0  9A1 

terminados em 2: __ 2terminados em 4: __ 4  4  8A1 terminados em 6: __ 6terminados em 8: __ 8

Nºs de três algarismos : terminados em 0: __ __ 0  9A2 

terminados em 2: __ __ 2terminados em 4: __ __ 4   4  (9A2  8A1)

terminados em 6: __ __ 6terminados em 8: __ __ 8

Nºs de quatro algarismos : terminados em 0: 1 __ __ 0terminados em 2: 1 __ __ 2terminados em 4: 1 __ __ 4   5  8A2 terminados em 6: 1 __ __ 6terminados em 8: 1 __ __ 8

R.: 4 + 9A1 + 4  8A1+

9A2  + 4  (9A2  

8A1) +5  8A2 = 653

6.  Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos de 1

a 9. Destes, quantos têm exatamente um algarismo 4?

O 4 pode ocupar qualquer posição das seis.As restantes 5 posições podem ser ocupadas por 8 algarismos que podem repetir-se.

R.: 6  85 

7. 

Considere todos os números pares com cinco algarismos. Quantos destes números têm

quatro algarismos ímpares?

Para o algarismo das unidades há cinco hipóteses : 0,2,4,6,8.Para os restantes algarismos, que deverão ser ímpares há 5 hipóteses : 1,3,5,7,9

R.: 55 

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8. 

Um saco contém cinco cartões, numerados de 1 a 5.

A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cartões do saco e alinha-os, da

esquerda para a direita, pela ordem de saída, de maneira a formar um número de cinco

algarismos.

Qual a probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também

par?

A = {1,2,3,4,5}Com os elementos de A é possível formar 5! Números de 5 algarismos.Casos possíveis = 5!

Desses números, interessam os pares (algarismo das unidades 2 ou 4) e com o algarismo dasdezenas também par (2ou 4), os restantes 3 algarismos podem ocupar uma das três posiçõesrestantes.Casos favoráveis: 2!  

R.:

 

9. 

Quantas são as diagonais de um cubo se incluirmos as das faces?

9.1. 

Quantas são as diagonais espaciais?

Atendendo a que o cubo tem oito vértices e que as arestas não contam:8C2 –(4-4-4) =16

9.1. 16 -12 =4

10. 

Prove que a expressão que permite determinar o número de diagonais de um polígono de n

lados é :

 

O número de segmentos de reta que se podem obter com n vértices de um polígonoé:nC2.Como uma diagonal une dois vértices não consecutivos, o número total de diagonaisserá:

nC2 – n =

 

11. 

Dados 10 pontos dos quais 4 são colineares:

11.1. 

Quantas retas distintas podemos definir com eles?

11.2. 

E quantos triângulos?

11.1. Dois pontos não colineares definem uma reta. Portanto, se não existissem os 4pontos colineares seria 10C2 . Assim será

10C2 – 4C2 +1 = 40

11.2. 1ºcaso: Com os seis pontos não colineares : 6C3 2º caso : um vértice num dos 4 pontos colineares. 4 . 6C2 3º caso : dois vértices entre os 4 pontos colineares : 6. 4C2

R: 6C3 +4 .

6C2 +6.4C2