12_Sistemas_Seguimiento
-
Upload
ismael-minchala -
Category
Documents
-
view
216 -
download
0
Transcript of 12_Sistemas_Seguimiento
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
1/30
SESIÓN 12SISTEMAS DE SEGUIMIENTO
Ismael Minchala Avila
CONTROL DIGITAL
Universidad de CuencaDepartamento de Ingeniería Eléctrica,
Electrónica y Telecomunicaciones
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
2/30
AGENDA
•
Introducción
• Sistema de Seguimiento con Integrador
• Seguimiento de Trayectorias con Entrada Cero
•
Actividad en Clase
2
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
3/30
INTRODUCCIÓN(1)•
Por lo general, en el sistema de seguimiento es necesario que elsistema tenga uno o más integradores dentro del lazo cerrado.
•
A menos que la planta tenga una propiedad integradora, a fin de
eliminar el error en estado permanente a entradas escalón.
•
Una forma de introducir un integrador en el modelo matemático de
un sistema en lazo cerrado, es introduciendo un nuevo vector de
estado, que integre la diferencia entre el vector de comando R y el
vector de salida Y.
•
El controlador integral está formado por m elementos integradores,uno por cada componente de la entrada de comando.
3
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
4/30
SISTEMAS DE SEGUIMIENTO CONINTEGRADOR(1)
4
( ) ( )k k yk k k
Cx
HuGxx
=
+=+1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )11
11
111
1
++!+!=+
+!++=+
+!++=+
!+!=
k k k k k
k k k k k
k k k k
k k k k
rCHuvCGxv
HuGxCrvv
yrvv
yrvv
( ) ( ) ( )k k k vK xK u12
+!=
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
5/30
SISTEMAS DE SEGUIMIENTO CONINTEGRADOR(2)
5
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )11
11
111
111212
12
12
+++!!+!!=+
++!+!++!=+
+++!=+
k k k k k
k k k k k k k
k k k
rK vK uCHK HK xCGK GK u
rCHuvCGxK HuGxK u
vK xK u
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )11
112122
21
12
++!!+!!=+
+=
+!=
k k k k
k k k
k k k
m rK uCHK HK IxCGK GK K u
uxK vK
vK xK u
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) [ ] ( )
( )!"
#$%
&=
!"
#
$%
&+
!"
#
$%
&
!"
#
$%
&
''''=
!"
#
$%
&
+
+
k
k k
k
k
k
k
k
m
u
x0Cy
r
K
0
u
x
CHK HK ICGK GK K
HG
u
x
1121221
1
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
6/30
SISTEMAS DE SEGUIMIENTO CONINTEGRADOR(3)
6
( )
( )( )
( )( ) !"
#$%
&+!
"
#$%
&!"
#$%
&
''''=!
"
#$%
&
+
+
=
rK
0
u
x
CHK HK ICGK GK K
HG
u
x
rr
1121221
1
k
k
k
k
k
m
Estado de equilibrio: !"&'(
) &
*
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) [ ] ( )
( )!"
#$%
&''''=
!
"
#$
%
&+!
"
#$
%
&!
"
#$
%
&=!
"
#$
%
&
+
+
k
k k
k k
k
k
k
e
e
m
me
e
e
e
u
xCHK HK ICGK GK K w
wIu
x
00
HG
u
x
12122
0
1
1
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
7/30
SISTEMAS DE SEGUIMIENTO CONINTEGRADOR(4)
7
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )( ) ( )k k
k k k
k
k k
m
mmnm
mnmn
mne
e
!K w
wH!G!
CHK HK ICGK GK K K
IH
00
HGG
u
x!
ˆ
ˆˆ1
ˆ
0ˆ
ˆ
12122
!=
+=+
!!!!!=
"#
$%&
'=
"
#
$%
&
'=
"#
$%&
'=
(+
+(+
(
Se determina mediante la
técnica de ubicación de polos
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
8/30
SISTEMAS DE SEGUIMIENTO CONINTEGRADOR(5)
8
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]m
n
m
n
I0CHCG
HIGK K K
CHK HK ICGK K GK K
CHK HK CGK K GK CHCG
HIGK K
!+"#
$%&
' !=
++!+!=
++!="#
$%&
' !
!!
!
!!
12
12122
1212212
ˆ
ˆ
[ ] [ ]( )
1
12 ˆ
!
"#
$%&
' !+=
CHCG
HIG
I0K K K
n
m!!
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
9/30
EJEMPLO SEGUIDOR – INTEGRADOR(1)
( )
( ) 321
32
12.001.01
5.0
!!!
!!
++!
+
=
z z z
z z
z U
z Y
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( )k k
k k k
xy
uxx
015.0
1
0
0
101.012.0
100
010
1
=
!!!
"
#
$$$
%
&
+
!!!
"
#
$$$
%
&
''
=+
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
10/30
EJEMPLO SEGUIDOR – INTEGRADOR(2)
10
( ) ( ) ( )
( ) ( )k k
k k k
!K w
wH!G!
ˆ
ˆˆ1
!=
+=+
!!!!
"
#
$$$$
%
&
=
!!!!
"
#
$$$$
%
&
''=!
"
#$%
&=
1
0
0
0
ˆ
0000
1101.012.0
0100
0010
ˆ H00
HGG
( ) [ ]199.013.012.0ˆˆ0
1
4
!!==
=
!
GMJK " C
T
n
z
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
11/30
EJEMPLO SEGUIDOR – INTEGRADOR(3)
11
[ ] [ ]( )
[ ] [ ]667.02323.012.0
0ˆ
015.00
1001.012.0
0110
0011
12
1
12
!=
"#
$%&
' !+=
""""
#
$
%%%%
&
'
!!
!
!
="#
$%&
' !
!
K K
CHCG
HIGIK K K
CHCG
HIG
!
!! n
m
n
[ ]2323.012.03
2
2
1
!=
=
K
K
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
12/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(1)•
Cuando el vector de estados del sistema se encuentra siguiendoexactamente el vector de referencia de estado, el error es er(k ) = 0.
Esto significa que la trayectoria de estado que se está siguiendo es
una trayectoria de la planta con entrada cero.
•
Consideremos la figura siguiente, donde el generador de comandos
produce una trayectoria de la planta con entrada cero,
correspondiente a un vector de estado inicial xz(k ).
12
E B A, C + -)()1( k k z z Axx =+)(k er )(k u )(k x )(k y
)0( z x
Generador de Comandos
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
13/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(2) •
El vector de ganancias E ha sido calculado para ubicar los valorescaracterísticos de A – BE en lugares deseados, de manera similar al
problema de regulación.
•
Vamos a analizar el desempeño del sistema y mostrar que el vector
de estados x(k ) sigue al vector xz(k ) con error de estado estableigual a cero.
13
[ ])()()(
)()()1(
)()1(
k k k u
k uk k
k k
z
z z
xxE
B!xx
Axx
!
=
+=+
=+
( ) )(
)()(
)()()1(
k
k k
k uk k
erBEA
BEerAer
BAerer
!=
!=
!=+
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
14/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(3) •
Esa ecuación del error es homogénea y los valores característicosde A – BE se ubican dentro del círculo unitario, entonces x(k ) va a
seguir el vector xz(k ) con cero error de estado estable.
•
Teorema. Dado el sistema (A, B, C) controlable y observable. Si r(k )
es una entrada de referencia con transformada z dada por
R (z)=n(z)/d(z). Las raíces del polinomio d(z) son zi, i=1,…, p. Si estas
raíces son también valores característicos de A (incluyendo polos
repetidos), entonces r(k ) puede ser seguida con error de estado
estable cero por un regulador que no necesita dinámica adicional.
Si al menos una de las raíces zi no es un valor característico de A,entonces se tiene que utilizar dinámica adicional para lograr el
objetivo de error de seguimiento cero.
14
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
15/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(4)
•
Para agregar la dinámica al sistema de seguimientocuando las condiciones del teorema anterior no son
satisfechas, hacemos lo siguiente:
•
Si R (z) tiene polos z1,…,zm que no son valorescaracterísticos de A, tenemos que formar el polinomio:
• Utilizando el polinomio anterior, definimos el sistema con
dinámica adicional :
15
)())(()( 21 m z z z z z z z !!!= !
)( z
z m
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
16/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(5)
•
Que se conecta a la planta para formar una planta dediseño como se muestra en la figura siguiente.
•
La planta de diseño aumentada va a satisfacer la
propiedad de seguimiento exacto del teorema anterior, y
entonces podremos diseñar un regulador para esa
planta aumentada que va a realizar el seguimientoexacto de la planta.
16
( )1,,, C B A aa)(k u )(k y
( )C B A ,,
)(k ya
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
17/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(6)
•
La representación en espacio de estados de la dinámicaadicional se puede obtener utilizando la forma canónica
observable:
17
[ ] )()(001)()()()1(
k uk k yk uk k
aa
aaaa
+=
+=+
x
BxAx
!
!!!!!!
"
#
$$$$$$
%
&
'
'
'
=
!!!!!!
"
#
$$$$$$
%
&
'
'
'
'
=
'
m
a
m
m
a B A
(
(
(
(
(
(
(
!
"
"
!#!!!"
"
2
1
1
2
1
,
000
100
010
001
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
18/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(7) •
La estructura general del sistema de seguimiento con dinámicaadicional se muestra en la siguiente figura, donde el vector de
ganancias E se diseña para el sistema aumentado mostrado
anteriormente (la planta de diseño).
18
E +-
)()1( k k z d z
xAx =+
)(k x
)(t y
)0( z x
)(k z x
( )1,,, C B A aa
!#
$&
x
xa
D/A Planta
A/D
)(t ya
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
19/30
SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(8) •
La descripción de espacio de estados de la planta aumentada (condinámica adicional y la planta original) se puede obtener como la
combinación en cascada de dos sistemas en espacio de estados:
•
Una vez que conocemos las condiciones bajo las cuales la entradade referencia puede ser obtenida a partir de una trayectoria de
estados de entrada cero, calculamos el vector inicial requerido:
[ ]C C B
B B
A BC
A A
d
a
d
a
a
d
0=
!"
#
$%
&=
!"
#
$%
&= ,
0
0
1
00
)1(
)1(
)0(
x
AC
AC
C
xW
!!!!
"
#
$$$$
%
&
==
!!!!
"
#
$$$$
%
&
' 'n
d d
d d
d
n
!!
(
(
(
!!!!
"
#
$$$$
%
&
'!!!!
"
#
$$$$
%
&
=
!!!!
"
#
$$$$
%
&
'
=
'
'
'
)1(
)1(
)0(
)1(
)1(
)0( 1
1
1
0 0
nn n
d d
d d
d
(
(
(
(
(
(
!!!
AC
AC
C
Wx
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
20/30
EJEMPLO SEGUIDOR(1)
•
Para el sistema digital siguiente, supongamos que tenemos unaseñal de referencia con forma de onda triangular unitaria con
período de 2 segundos.
•
Ya que esta señal no tiene una transformada de Laplace racional,
hacemos una expansión de Fourier y tomamos los primeros 2
términos:
20
[ ]01
0952.0
0048.0
9048.00
0952.01=
!"
#
$%
&=
!"
#
$%
&= C B A
!"
#$%
&'= )3(8
1)(8888.0)( t sent sent
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
21/30
EJEMPLO SEGUIDOR(2)
•
La transformada de Laplace es:
•
Los polos de esta función se encuentran en:
•
Utilizando mapeo de polos y ceros, tenemos que:
21
!"
#$%
&''(
)**+
,
+
-+
=2222 )3(
3
8
18888.0)(
.
.
.
. /
s s
s
!
!
34,3
2,1
j s
j s
±=
±=
iee z
iee z
jTs
jTs
809.05878.0
309.09511.0
)1.0(3
4,3
)1.0(
2,1
4,3
2,1
±===
±===
±
±
!
!
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
22/30
EJEMPLO SEGUIDOR(3)
•
Y el polinomio de la dinámica adicional es:
•
El sistema con la dinámica adicional nos queda:
22
))()()(()( 4321 z z z z z z z z z P !!!!=
10777.32361.40777.3 234
+!+!= z z z z
[ ] 100011
0777.3
2361.4
0777.3
0001
1000777.3
0102361.4
0010777.3
==
!!
!!
"
#
$$
$$
%
&
'
'=
!!
!!
"
#
$$
$$
%
&
'
'=
aa
aa
d C
B A
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
23/30
EJEMPLO SEGUIDOR(4)
•
El modelo de diseño resulta de la combinación en cascada delmodelo de dinámica adicional más la planta, esto es:
•
Con el vector de estados:
23
[ ]C0C
B
BB
ABC
0AA
=
!"
#$%
&=!
"
#$%
&=
d
a
d
a
a
d ,
!"
#$%
&=
)(
)(
)( k
k
k
a
d
x
x
x
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
24/30
EJEMPLO SEGUIDOR(5)
24
[ ]010000
0952.0
0048.0
10777.3
2361.4
0777.3
,
948.000000952.0
0952.010000048.0
000001001000777.3
000102361.4
000010777.3
=
!!!!!!
!!
"
#
$$$$$$
$$
%
&
'
'
=
!!!!!!
!!
"
#
$$$$$$
$$
%
&
'
'
=
d
d d
C
BA
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
25/30
EJEMPLO SEGUIDOR(6)
•
Si elegimos un tiempo de estabilización =1 seg. y mapeamos lasraíces de un polinomio de Bessel de sexto orden al plano
#
,
tenemos que:
•
El vector de ganancias de retroalimentación que ubica esas raíces,
se encuentra dado por:
25
0711.04855.0
2278.04837.0
4486.04786.0
454.11205.7
6,5
4018.42613.6
4,3
53.72169.4
2,1
±==
±==
±==
±!
±!
±!
j
j
j
e z
e z
e z
[ ]6551.12715.40732.017.01459.09673.0 !!=e
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
26/30
EJEMPLO SEGUIDOR(7)
•
Para calcular el vector de condiciones iniciales $#
%&' necesitamoslas primeras seis muestras de
%('
:
•
Para calcular el vector inicial$
#
%&'
necesitamos la matriz de
observabilidad:
26
[ ][ ]191069.068479.04168.018479.00
)5()4()3()2()1()0(
=
=
T
!!!!
"
#
$$$$
%
&
=
5
0
d d
d d
d
AC
AC
C
W!
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
27/30
EJEMPLO SEGUIDOR(8)
•
Y el vector $#
%&' nos queda:
27
!!!!!
!!!
"
#
$$$$$
$$$
%
&
'
'
==
'
6835.1
0
4961.1
7769.0
1598.7
0821.5
)0( 1
0 !Wx z
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
28/30
EJEMPLO SEGUIDOR(9)
28
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
29/30
ACTIVIDAD EN CLASE(1)
•
El modelo presentado pertenece a un motor decorriente continua con un tiempo de muestreo
de 50 ms. Diseñe un controlador integral para
éste sistema.
29
( )21
21
3448.0245.11
58.3129.26
!!
!!
+!
+
=
z z
z z z HG p
-
8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento
30/30
** Las respuestas al escalón de estos sistemas tienen un tiempo de estabilización de 1
segundo. Si se desea un tiempo diferente, se deben escalar las raíces. Para lograr unti d t bili ió d d l t l i i i d b d di idi
Raíces de polinomios Normalizadosde Bessel