La Integral.

En la naturaleza, en la vida y en las matemticas siempre existen fenmenos o conceptos opuestos. Para corroborarlo realicemos lo siguiente:

En la tabla que se muestra a continuacin, escribe lo opuesto a las palabras que estn escritas en la primera columna:

Da Noche Fro Mujer Negro Lnea Suma Multiplicacin Potencia Logaritmo. Derivada La operacin contraria a la

derivada se llama integral.

La intencin del clculo integral consiste en hallar la funcin a la que corresponde una determinada derivada o diferencial. El procedimiento mediante el cual se encontrar la funcin a que corresponde una determinada derivada o diferencial se llama integracin, se expresa mediante el smbolo integral de, escrito delante de la derivada o diferencial.

A continuacin se presentan algunos ejemplos:

Funcin primitiva. Derivada. Integral.

f(x)=x2 d(x2)= 2x (dx) 2x dx= =x2

f(x)=4x3 d(4x3)= (4)(dx3)=(4)(3)x2(dx)=12x2(dx) 12x2 dx= = 4x3

f(x)=ex d(ex)= ex (dx) ex dx= ex f(x)=lnx d(lnx)= 1/x (dx) 1/x dx= lnx

f(x)=senx d(senx)= (dx) cosx dx= senx

De lo anterior podemos concluir que la operacin contraria a la derivada (analizar el todo en pequeos cambios) es la integral (sumar las partes en un todo), tal como se muestra en el siguiente esquema:

Existen dos tipos de integrales, las llamadas indefinidas.

La integral definida.

Newton y Leibnitz introdujeron las primeras versiones del concepto de integral. Sin embargo, fue Riemann quien aport la definicin moderna de la integral ( representa a una s alargada, el cual posiblemente se eligi para representar la rectngulos.

Los trabajos de Riemann destacan la propuesta de que el rea total bajobtenida por la sumatoria () de los rectngulos se muestra en la siguiente figura:

a=X0

a X1 X2

X

Funcin primitiva.

De lo anterior podemos concluir que la operacin contraria a la derivada (analizar el todo en integral (sumar las partes en un todo), tal como se muestra en el

Existen dos tipos de integrales, las llamadas integrales definidas

introdujeron las primeras versiones del concepto de integral. Sin quien aport la definicin moderna de la integral (

alargada, el cual posiblemente se eligi para representar la

Los trabajos de Riemann destacan la propuesta de que el rea total baj) de los rectngulos en los que se divide el intervalo [a, b], como

se muestra en la siguiente figura:

b=Xn

b

x

y f(x)

Xn-1

Diferencial Integral.

De lo anterior podemos concluir que la operacin contraria a la derivada (analizar el todo en integral (sumar las partes en un todo), tal como se muestra en el

integrales definidas y las integrales

introdujeron las primeras versiones del concepto de integral. Sin quien aport la definicin moderna de la integral ( ), este smbolo

alargada, el cual posiblemente se eligi para representar la uma de los

Los trabajos de Riemann destacan la propuesta de que el rea total bajo la curva puede ser en los que se divide el intervalo [a, b], como

Funcin primitiva.

La suma del rea de los rectngulos es una aproximacin al rea bajo la curva descrita por f(x) y limitada por las rectas X0=a, Xn=b y el eje y. Por lo anterior:

f(a)(X1 - a) + f(X1)(X2 X1) + f(X2)(X3 X2)+ f(b)(b- Xn-1) Pero la diferencia entre las abscisas de los rectngulos consecutivos es el X.

f(a)( X) + f(X1)( X) + f(X2)( X)+ f(b)( X) = (X)

Si n (se lee n tiende a infinito) y el X0 la suma se aproxima ms al rea buscada y el lmite en estas condiciones es el rea bajo la curva y tambin es su integral.

= = ! " A esta integral se le llama integral definida porque el rea bajo la curva descrita por f(x) en el intervalo [a, b] se encuentra acotada perfectamente en el intervalo comprendido entre las rectas X0=a, Xn=b . Donde a es el lmite inferior y b es el lmite superior.

Valor de una integral definida.

El valor de una integral definida en un intervalo [a, b] se puede obtener siguiendo los siguientes pasos:

1. Hallar la integral.

2- Sustituir el lmite superior en la integral obtenida.

3. Sustituir el lmite inferior en la integral obtenida.

4. Por ltimo restar el segundo resultado del primer resultado.

La Integral indefinida.

Constantes de integracin. Si partimos de una funcin primitiva, posteriormente derivamos dicha funcin, si a la derivada obtenida la integramos, deberamos de obtener nuevamente a la funcin primitiva. Analicemos los siguientes ejemplos:

Funcin primitiva.

Derivada. Integral. Observaciones.

f(x)=2x3 d(2x3)= (2)(dx3) =(2)(3)x2(dx)

= 6x2(dx)

6x2 dx= #

= 2x3

No falta nada

f(x)=2x3+3 d(2x3+3)= (2)(dx3)+d(3) =(2)(3)x2(dx)+0=

6x2(dx)

6x2 dx= #

= 2x3

Falta el +3

f(x)=2x3+5 d(2x3+5)= (2)(dx3)+d(5) =(2)(3)x2(dx)+0=

6x2(dx)

6x2 dx= #

= 2x3

Falta el +5

f(x)=2x3-4 d(2x3-4)= (2)(dx3)-d(4) =(2)(3)x2(dx)+0=

6x2(dx)

6x2 dx= #

= 2x3

Falta el -4

De acuerdo con las observaciones, Dnde quedo el +3, el +5 y el -4 que faltan en cada caso para que despus de la integracin se obtenga nuevamente la funcin primitiva? Para que esto se cumpla ser necesario agregar al proceso de integracin una constante C. De las integrales del ejemplo anterior, se obtiene que: Si $ = & , )& = *&)& entonces:

+ * = + - Como la constante C es desconocida, la expresin f(x)+C, se llama integral indefinida, para el ejemplo mostrado, C adquiere los valores de +3, +5 -4 segn la primitiva buscada. Podemos concluir entonces que una derivada tiene un nmero infinito de integrales, las cuales difieren en una constante C, denominada constante de integracin.

Formulario de integrales. En el proceso de integracin debemos tener en cuenta dos propiedades fundamentales: Primera propiedad. La integral de la suma algebraica de diferenciales es igual a la suma de las integrales de cada diferencial. !u+v-wdx= !udx + !vdx - !wdx ---------------- Segunda propiedad. Un factor constante puede escribirse antes del signo de integral. !adx= a !dx --------------------------------------------- !dx= x+ C------------------------------------------------- !6)6 = 789 + C--------------------------------------- !:;; = -------------------------------------------- !?;)6 = @AB9 @ + >--------------------------------------- !C;)6 = C; + >---------------------------------------- !DC=6 )6 = FGD6 + >-------------------------------- !FGD6 )6 = DC= 6 + >--------------------------------- !H?=6 )6 = ln DCF 6 + >------------------------------ !FGH6 )6 = ln DC= 6 + >------------------------------- !DCF 6 )6 = lnDCF 6 + H?=6 + >------------------ !FDF 6 )6 = lnFDF 6 FGH 6 + >------------------ !DCF 6 )6 = tan 6 + >-------------------------------- !FDF 6 )6 = cot 6 + >----------------------------- !H?= 6 )6 = tan 6 6 + >-------------------------- !FGH 6 )6 = cot 6 6 + >------------------------ !DC= 6 )6 = ;

NO ;P + >---------------------------

!FGD 6 )6 = ; +NO ;

P + >--------------------------- !DCF 6 tan 6 )6 = DCF 6 + >--------------------------- !FDF 6 FGH 6 )6 = csc 6 + >----------------------- ! :;;@ =

@ H?=R

;@ + F ------------------------------------

1

2

3

4

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

5

6

7

8

22

La Integral definida problemas

Ejemplos resueltos. 1.- Hallar la integral de la funcin y=2 en el intervalo [2,5]

! 2)&T aplicando la frmula 2. ! 2)&T =2! )&T ahora aplicamos la frmula 3. ! 2)&T = U2& + FVT evaluamos. ! 2)&T = 25+c U22+cV=10+c -4 c eliminamos las constantes c. ! 2)&T =10-4=6 2.- Hallar la integral de la funcin y=x en el intervalo [-2,4]

! &)&PR aplicando la frmula 4. ! &)&PR = ]

+ F^

! &)&PR = ]

+ F^RP evaluamos.

! &)&PR = ]P

+ F^ ]

R

+ F^ = 8+ c 2 c eliminamos las constantes c. ! &)&PR =8 2=6 3.- Hallar la integral de la funcin y=3x en el intervalo [0,3]

! 3&)&a aplicando la frmula 2. ! 3&)&a = 3 ! &)&a ahora aplicamos la frmula 4. ! 3&)&a = 3 ]

^

! 3&)&a = ]a

+ F^a evaluamos.

! 3&)& a ]aa

+ F^ ]a

+ F^ = b + c 0 c eliminamos las constantes c.

! 3&)&a =b

4.- Hallar la integral de la funcin y=x2 en el intervalo [0,3]

! &)&a = aplicamos la frmula 4. ! &)&a = ]

^

! &)&a = ]c

a + F^a evaluamos.

! &)& a ]ac

a + F^ ]

c

a + F^ = 9+ c 0 c eliminamos las constantes c. ! &)&a = 9 5.- Hallar la integral de la funcin y=2x2+3x-2en el intervalo [-1,3]

! 2& + 3& 2)&aR aplicamos la frmula 1. ! 2& + 3& 2)&aR = ! 2&aR dx + ! 3&a dx -! 2)&aR aplicamos la frmula 2. ! 2& + 3& 2)&a = 2 ! &aR dx + 3 ! &aR dx - 2 ! )&aR aplicamos las frmulas 4 y 3. ! 2& + 3& 2)&aR = 2 ]

^ + 3 ]

^ - 2& simplificamos.

! 2& + 3& 2)&aR = ]c

a ^Ra + ]a ^R

- U2&VRa evaluamos los lmites. ! 2& + 3& 2)&aR =]a

ca

Rca ^ + ]

aa

aR ^ U23 21V

! 2& + 3& 2)& aR = ]TPa a^ + ]

b

a^ U6 + 2V Simplificamos.

! 2& + 3& 2)& = aR ]T#a ^ + U12V U8V ! 2& + 3& 2)& = aR 18.66+4= 22.66