13 problema de redes

Objetivos del Capítulo� Conceptos y definiciones de redes.� Importancia de los modelos de redes� Modelos de programación lineal, representación en redes y

soluciones usando el computador para:* Modelos de transporte.* Modelos de transporte.

* Modelos de capacidad de transporte* Modelos de capacidad de transporte

* Modelos de asignación* Modelos de asignación

* Modelo del vendedor viajero* Modelo del vendedor viajero

* Modelos de la ruta mas corta* Modelos de la ruta mas corta

* Modelos de la rama mas corta* Modelos de la rama mas corta

Modelo de Redes

Un problema de Un problema de redes es aquel que puede es aquel que puede representarse por:representarse por:

Nodos

Arcos8

9

10

10

7

6

Funciones en los arcos

Problemas de transporte o Distribución de Mercancías

• Es un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la programación lineal.

• Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.

• Objetivo: Trata de encontrar los caminos para trasladar mercancía, desde varias plantas (orígenes) a diferentes centros de almacenamiento (destinos), de manera que se minimice el costo del transporte

• la cantidad de los bienes disponibles en cada localización (origen) es limitada y la cantidad de demanda de los bienes necesarios (destino) en cada una de las localizaciones es conocida

Problemas de transporte o Distribución de Mercancías

• Para que un problema pueda ser resuelto por el método del transporte debe cumplir:

1)La función objetivo y las restricciones deben ser lineales.

2)El total de unidades que salen en origen debe ser igual al total de unidades que entran en destino, es decir se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden generarse inventario del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas.

Problemas de Transporte

Foster Generation tiene plantas en Cleveland, Bedford, New York, la capacidad de producción para el siguiente periodo de plantación para un tipo especifico de generador es como sigue

Origen Planta Capacidad de producción (unidades)

1 Cleveland 5,000

2 Bedford 6,000

3 New York 2,500

TOTAL 13,500

La empresa distribuye sus generadores a través de 4 centros regionales de distribución localizados en Boston, Chicago, San Luís y Lexington; el pronostico de la demanda de los centros de distribución es como sigue:

Origen Centro de distribución

Pronostico demanda (unidades)

1 Boston 6,000

2 Chicago 4,000

3 San Luis 2,000

4 Lexington 1,500

TOTAL 13,500

COSTO UNITARIO DE TRANSPORTE (FOSTER)

Origen Boston Chicago San Luis Lexington

Cleveland 3 2 7 6

Bedford 7 5 2 3

New York 2 5 4 5

Los costos unitario de los orígenes hacia los destino se dan en la siguiente tabla:


La administración desea determinar cuanto de su producción deberá embarcarse desde cada una de las plantas hacia cada uno de los centros de distribución

El objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a embarcar en cada una de ellas y que den el mínimo costo de transporte total

1Cleveland

2Bedford

3New York

1Boston

2Chicago

3San Luis

4Lexington

5000

6000

2500

6000

4000

2000

1500

3

2

7

6

75

2

3

25

4

5

Plantas(Origen)

Centro Distribución(Destino)

Costotransporte

Unitario


Cleveland = 3X11 + 2X12 + 7X13 + 6X14

Bedford = 3X21 + 2X22 + 7X23 + 6X24

New York = 3X31 + 2X32 + 7X33 + 6X34

La función objetivo es minimizar el costo total de transporte de Foster Generation, para esto se debe sumar los costos de transporte de cada planta (origen)

+Restricciones de Suministro:

Suministro de Cleveland X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 5000

Suministro de Bedford X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 5000

Suministro de New York X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 5000Cada uno de los suministros tiene una demanda especifica

Restricciones de Demanda:

de Boston X11 + X21 + X31 = 6000

de Chicago X12 + X22 + X33 = 4000

de San Luís X13 + X23 + X33 = 2000Cada centro de distribución tiene una demanda para asegurar satisfacer las demandas de los destinos de Lexington X14 + X24 + X34 = 1500

Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo de programación lineal

Problemas de TransporteVariable X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34

Minimize 3 2 7 6 7 5 2 3 2 5 4 5

C1 1 1 1 1 >=500

0

C2 1 1 1 1 >=600

0

C3 1 1 1 1 >=250

0

C4 1 1 1 =600

0

C5 1 1 1 =400

0

C6 1 1 1 =200

0

C7 1 1 1 =150

0

Decision Solution Unit Cost or Total ReducedVariable Value Profit C(j) Contribution Cost

1 X11 3,500.00 3 10,500.00 02 X12 1,500.00 2 3,000.00 03 X13 0 7 0 84 X14 0 6 0 65 X21 0 7 0 16 X22 2,500.00 5 12,500.00 07 X23 2,000.00 2 4,000.00 08 X24 1,500.00 3 4,500.00 09 X31 2,500.00 2 5,000.00 0

10 X32 0 5 0 411 X33 0 4 0 612 X34 0 5 0 6

Objective Function (Min.) = 39,500.00

Problemas de Transporte (QSB)

Rango Optim

o

Análisis de Sensibilidad por WINQSBAnálisis de Sensibilidad por WINQSB

Rango de factibilidad

Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la distribuidora.

Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta.

� Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad.

* Reducción de Costos: * Reducción de Costos: - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la

ruta más económicamente atractiva. ruta más económicamente atractiva.- Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi en el costo Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi en el costo

que ello significa, por cada carga transportada , el costo total que ello significa, por cada carga transportada , el costo total aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha. aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha.

* Precios Sombra:* Precios Sombra:- Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo

de cada unidad disponible en la planta. de cada unidad disponible en la planta.- Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde

al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora. al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora.

Problemas de Transporte (Solver)

Primero Ingresar en la hoja de calculo los datos de costos de transporte, capacidad de la planta (origen) y la demanda de los centros de distribución (destino)

Segundo Identificar las celdas donde se almacenan los valores de las variables de decisión

Problemas de Transporte (Solver)Seleccione el menú Herramientas Solver (Resolver)

La solución óptima de este problema es

VARIANTES DEL PROBLEMAVARIANTES DEL PROBLEMA

1. Oferta y demanda total desiguales: a menudo el suministro total no es igual a la demanda totala) Si Oferta > demanda total: no es necesaria ninguna modificación al modelo de PL, aparecerá en la solución de la PL un suministro excedente (como una holgura)b) Si Oferta < demanda total: el modelo no tendrá solución factible. Se agrega un origen ficticio con un suministro igual a la diferencia entre la demanda total y el suministro total con costo unitario igual a cero

2. Maximización de la función objetivo: simplemente se resuelve como maximización en vez de minimización, las restricciones no cambian

3. Rutas con capacidad limitada: una o mas rutas pueden tener capacidad limitada o cantidades mínimas.

4. Rutas no aceptables o prohibidas: se hace desaparecer el arco correspondiente de la red y se elimina la variable correspondiente al modelo. O también se le asigna un costo muy alto para impedir que sea utilizada por la solución optima

Modelos de Asignación

• Asignar tareas a maquinarias, agentes a trabajos especiales, personal de ventas a territorios, contratos a licitantes

• Una característica que distingue a los problemas de asignación es que un agente se le asigna a una y solamente una tarea

• Buscamos el conjunto de asignaciones que optimizarán un objetivo dado (minimizar el tiempo o maximizar la utilidad)

• El problema de asignación es un caso especial de problema de transporte, en que todos los valores de oferta y demanda son iguales a 1, y la cantidad que se embarca en cada uno de los arcos es 0 o 1

Modelos de AsignaciónModelos de Asignación

� Definición del Problema

* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.

* Un costo unitario (o ganancia) C* Un costo unitario (o ganancia) C ij ij es asociado al trabajador i que es asociado al trabajador i que

realizara el trabajo j.realizara el trabajo j.

* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible.óptima posible.

Modelos de AsignaciónModelos de Asignación

Modelos de Asignación – Ejemplo:Modelos de Asignación – Ejemplo:Fowle Marketing Co. acaba de recibir solicitudes de inv. de mercado de 3 clientes nuevos. La empresa se enfrenta a la tarea de asignar un líder o jefe del proyecto (agente) a cada cliente (tarea). Fowle cuenta con 3 ejecutivos que están disponibles, sin embargo se da cuenta de que el tiempo requerid para terminar cada uno de los estudios dependerá de la experiencia del líder de proyecto. La administración de Fowle desea asignar lideres de proyecto para minimizar el numero total de días necesarios para completar los 3 proyectos. Si se debe asignar a un líder a un solo cliente. ¿Qué asignaciones deberán efectuarse?

Líder proyecto Cliente

1 2 3

1 Terry 10 15 9

2. Carle 9 18 5

3. McClymond 6 14 3

Tiempo estimado (días) de terminación del proyecto

Solución del problema como asignación

• Los nodos corresponden a lideres del proyecto y a clientes, y los arcos representan asignaciones posibles de líder del proyecto a cliente

• La oferta en cada nodo y la demanda en cada nodo es igual a 1• El costo de asignar un líder del proyecto a un cliente es el tiempo que le tomara

a dicho líder terminar la tarea del cliente

VARIANTES DEL PROBLEMAVARIANTES DEL PROBLEMA

1. Numero total de agentes distinto al numero total de tareasa) Si numero de agentes > Tareas: Los agentes adicionales se quedan sin asignación. b) Si numero de tareas > Agentes: el modelo no tendrá solución factible. Se agrega agentes ficticios para igualar al numero de tareas

2. Maximización de la función objetivo: simplemente se resuelve como maximización en vez de minimización, las restricciones no cambian

3. Asignaciones no aceptables : se puede eliminar la variable de decisión en la formulación del PL. Esta situación pudiera ocurrir si uno de los agentes no tuviera la experiencia necesaria para una o mas de las tareas

∑∑= =

m

1i

n

1J

CijXij Min.

∑

∑

=

=

=

≤

m

i

n

j

Xij

Xij

1

1

1

1 i = 1, 2, …, m Agentes

i = 1, 2, …, m Agentes

Modelo de Asignación

Preguntas1. Si la demanda = a la oferta total, de un problema de transporte, el

problema es:a) Balanceadob) Desbalanceadoc) Infactible

2. Si en un problema de transportes , la demanda total es mayor que la capacidad total entonces:a) Se debe agregar un origen ficticiob) Se debe agregar un destino ficticioc) Se debe agregar un origen y destino ficticio.

3. El modelo de transporte es un ejemplo de toma de decisiones con certeza o toma de decisiones con incertidumbre?. Porque

EjerciciosEjercicios: Transportes y Asignación

1. El viernes 13 de abril, Carbón del Perú SA tenia carros vacios en las siguientes localidades con las cantidades indicadas

Población Oferta de Carros

Origen 1 35

Origen 2 60

Origen 3 25

2. Para el Lunes 16 de abril, las siguientes localidades necesitaran carros de carbón, según el orden siguiente

3. El despachador construye una tabla de Km de distancia para las localidades anteriores.

Población Oferta de Carros

Destino 1 30

Destino 2 45

Destino 3 25

Destino 4 20

Población Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4

Oferta 1 50 30 60 70

Oferta 2 20 80 10 90

Oferta 3 100 40 80 30

Minimizando la distancia (Km) total que recorren, calcular el mejor envió de carros de carbón


• Una empresa fabrica acondicionadores de aire en Houston, Phoenix y Mamphis. Los aparatos se envían a distribuidores regionales localizados en Dallas, Atlanta y Denver. Los costos de envió varían y a la compañía le gustaría encontrar la forma de minimizar sus costos para satisfacer las demandas de cada uno de los distribuidores.

• Dallas requiere 800 unidades al mes, Atlanta 600 y Denver 200.

• Houston tiene 850 unidades al mes, Phoenix 650 y Memphis 300.

• El costo de envió por unidad son

Dallas Atlanta Denver

Houston $ 8 $ 12 $ 10

Phoenix $ 10 $ 14 $ 9

Memphis $ 11 $ 8 $ 12

Cuantas unidades deberán ser enviadas de cada planta a cada centro de distribución regional. ¿Cuál es el costo total de esta operación?


• Los tres bancos de sangre de una ciudad son coordinados por la oficina central que suministra sangre a cuatro hospitales. el costo de envió de un recipiente estándar son:

Hospital 1

Hospital 2

Hospital 3

Hospital 4

Demanda

Banco 1 $ 8 $ 9 $ 11 $ 16 50

Banco 2 $ 12 $ 7 $ 5 $ 8 80

Banco 3 $ 14 $ 10 $ 6 $ 7 120

Demanda 90 70 40 50 250

¿Cuantos envíos deberán hacerse semanalmente de cada banco de sangre a cada hospital de modo que los costos de envió totales se reduzcan al mínimo

Problema de trasbordo

Problema de Trasbordo

• El problema de trasbordo es una extensión al problema de transporte, en el cual se agrega nodos intermedios conocidos como “nodos de trasbordo” por ejemplo: Almacenes

• La oferta o suministro en cada origen es limitada y en cada destino la demanda es conocida

• El problema de trasbordo permite embarcar de bienes del origen a los nodos de trasbordo y hacia los de destino

• El objetivo del problema de trasbordo es determinar cuantas unidades deberán embarcarse en cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandas – destino se satisfagan al costo de transporte mínimo posible

∑arcos los todos

CijXijMin

j destino de Nodo j Demanda

Trasbordo de Nodos 0

iOrigen de Nodos i Suministro

salida de arcosentrada de arcos

entrada de arcossalida de arcos

entrada de arcossalida de arcos

=−

=−

≤−

∑∑∑∑∑∑

XijXij

XijXij

XijXij

Sujeto aXij = numero de unidades embarcadas del nodo i al nodo jCij = Costo unitario de embarque del nodo i al nodo j

Ryan Electronic es una empresa con instalaciones de producción en Denver y en Atlanta. Los componentes de producción en cualquiera de estas instalaciones pueden ser embarcadas a cualquiera de los almacenes de la empresa que están localizadas en Kansas City y en Lousiville. De los almacenes regionales la empresa suministra a los detallistas al menudeo en Detroit, Miami, Dallas y nueva Orleáns.

Almacén

Planta Kansas City

Louisville

Denver 2 3

Atlanta 3 1

Distribución al detalle

Almacén Detroit

Miami Dallas Nueva Orleáns

Kansas City 2 6 3 6

Louisville 4 4 6 5

1Denver

2Atlanta

3Kansas

City

4Louisville

6Miami

8Nueva

Orleans

5Detroit

7Dallas

2

3

3

1

600

400

2

6

3

6

4

4

6

5

200

150

350

300

Plantas(nodo origen)

Almacenes(nodo de trasbordo)

Distribuidores al menudeo(nodo destino)

Suministros

Demandas

Rutas de distribución(arcos)

• Igual que el problema de transporte y de asignación, podemos formular un modelo de PL a partir de la representación en red.

• Supongamos que Xij denota el número de unidades embarcadas del nodo i hacia el nodo j.

• Dado que el suministro de la planta de Denver es de 600 unidades, las cantidades embarcadas desde la planta de Denver debe de ser menor que o igual a 600 X13 + X14 ≤ 600

• Similarmente, para la planta de Atlanta tenemos X23 + X24 ≤ 400

• Consideremos ahora como expresar las restricciones que corresponden a los 2 nodos de trasbordo.

• Para el nodo 3 (almacén de Kansas City), debemos garantizar que el numero de unidades que se embarquen sea igual al numero de unidades que se hayan recibido en el almacén, es decir

Almacén de Kansas City

(Nodo 3)

Unidades embarcadas hacia fuera del nodo 3

Unidades embarcadas hacia fuera del nodo 3

X13 + X12 X35 + X36 + X37 + X38

Obtenemos

X35 + X36 + X37 + X38 = X13 + X23 - X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0

De manera similar para el nodo 4 es

X45 + X46 + X47 + X48 = X14 + X24 - X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0

Para desarrollar las restricciones asociadas con los nodos destino, reconocemos que cada nodo, la cantidad embarcada al destino debe ser igual a la demanda. Por ejemplo

X35 + X45 = 200 satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 5 X36 + X46 = 150 satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 6 X37 + X47 = 350 satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 7 X38 + X48 = 300 satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 8

La función objetivo refleja el costo total de embarque en las 12 rutas de embarque. Combinando la función objetivo y las restricciones nos lleva al modelo de PL con 12 variables y 8 restricciones del problema de trasbordo de Ryan Electronics

Min. 2X13 + 3X14 + 3X23 + 1X24 + 2X35 + 6X36 + 3X37 + 6X38 + 4X45 + 4X46 + 6X47 + 5X48

Restricciones de los nodos de origenSujeto a X13 + X14 ≤ 600Restricciones de los nodos de trasbordo X23 + X24 ≤ 400 -X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0 - X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48= 0Restricciones de los nodos de destino

X35 + X45 = 200 X36 + X46 = 150

X37 + X47 = 350 X38 + X48 = 300

Problema del vendedor viajero

� Definición del problema

– Existen m nodos

– Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j).

– El objetivo es encontrar el ciclo que minimice el costo total al visitar todos los nodos exactamente una vez.

� Se trata de un tour es un recorrido que comienza en una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo) de una cierta red, exactamente una vez y volviendo al punto de partida.

� El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde los puntos de vista de tiempo y distancia.

� Importancia- Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un - Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema de vendedor viajeroproblema de vendedor viajero

- Ejemplo- Ejemplo

* Rutas a seguir por buses escolares* Rutas a seguir por buses escolares

* Distribución de bombas militares* Distribución de bombas militares

- El problema tiene importancia teórica porque este representa - El problema tiene importancia teórica porque este representa una clase de problemas llamados NP-completos.una clase de problemas llamados NP-completos.

� ComplejidadEscribir el modelo matemático y resolverlo resulta muchas veces incómodo, ya que un problema de 20 ciudades requiere de 500,000 restricciones.

AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA� Se debe realizar una visita a cuatro oficinas locales de la AGE,

partiendo de la oficina principal y volviendo a la misma, la cual esta ubicada en Northridge, Southern California.

� Datos

Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otraTiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otraHacia la oficina

H 1 2 3 4F Of. Princ 30 45 65 80r Of. 1 30 25 50 50o Of. 2 45 25 40 40m Of. 3 65 50 40 35

Of. 4 80 50 40 35


Red que representa el problema de vendedor viajero de AGERed que representa el problema de vendedor viajero de AGE

30

25

40

35

80

6545

50

50

40

Of. Princ

1

2 3

4


� Solución - Identificación de los posibles ciclos.- Identificación de los posibles ciclos.

* Existen (m-1)! ciclos posibles* Existen (m-1)! ciclos posibles

* Solo problemas pequeños pueden ser * Solo problemas pequeños pueden ser resueltos.resueltos.

- Se utiliza una combinación de problemas de - Se utiliza una combinación de problemas de asignación con la técnica Branch and Bound asignación con la técnica Branch and Bound (ramas y (ramas y consolidados) consolidados)

- Problemas con menos de 20 nodos pueden ser - Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos en forma eficiente por este método. resueltos en forma eficiente por este método.

Datos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSBDatos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSB

Solución de WINQSB -Una combinación de problema de asignación y la técnicaBranch and Bound

Solución de WINQSB -Una combinación de problema de asignación y la técnicaBranch and Bound

30

25

40

35

80

6545

50

50

40

Of. Princ

1

2 3

4

Problemas de la Ruta más corta• Encuentra la ruta mas corta a una serie de destinos• Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o

costo, a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.

• Definición del Problema

- - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n. en el nodo final n.

- Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias - Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, d mayores que cero, d ijij

- Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta - Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n. el nodo 1 con el nodo n.

• Por medio de la aplicación del algoritmo de este problema podemos conocer la menor distancia entre un nodo origen y un nodo destino.

Ejemplo 1:

• La administración de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las líneas telefónicas para conectar las estaciones con una longitud total mínima de cable.

• Se describirá paso a paso la solución de este problema, en base a los datos que se proporcionan en la figura siguiente. Los nodos y distancias se muestran en la red, en donde las líneas delgadas representan ligaduras potenciales.

Problemas de la Ruta más corta

RED SEERVADA PARK


Usando WinQSB

Lineas Fairway Van

Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.


Salt Lake City

1 2

3 4

5

6

7 8

9

1011

1213

1415

16

17 1819

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyenne

Reno

Sac.

Bakersfield

Las VegasDenver

Albuque.

KingmanBarstow

Los Angeles

San DiegoTucson

Phoenix

599

691497180

432 345

440

102

452

621

420

526

138

291

280

432

108

469207

155114

386403

118

425 314

Árbol de expansión mínima

• Determina la trayectoria a través de una red que conecta todos los puntos minimizando la distancia total sin formar bucles

• El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo.

• Ejemplo: conectar todas las casas a la energía eléctrica, sistema cableado telefonico, sistemas de tuberías de agua

EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO

• La ciudad de Jaen esta planificando el desarrollo de una nueva línea en sistemas de tránsito.

• El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales.

• El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos los centros a un mínimo costo.

• La red seleccionada debe permitir:

- Factibilidad de las líneas que deban ser construídas.- Factibilidad de las líneas que deban ser construídas.

- Mínimo costo posible por línea.- Mínimo costo posible por línea.


5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte Universidad

DistritoComercial

Zona EsteShoppingCenter

Zona Sur

Zona Centro

33

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

RED QUE REPRESENTAEL ARBOL EXPANDIDO.

Árbol de expansión

mínima

Solución óptima mediante WINQSB

ShoppingCenter

Bucle

5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte

Universidad

DistritoComercial

Zona Este

Zona Sur

ZonaCentror

33

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

Costo Total = $236 milliones

RED QU EREPRESENTA LASOLUCIÖN ÖPTIMA

PROBLEMA• Juan Arroyo es propietario de un establo de caballos y

planea instalar un sistema de agua que conecte todos los establos y graneros. La ubicación de las instalaciones y distancias se dan a continuación


1

2

3

4

5

7

86

Juan Arroyo, debe determinar la forma mas barata de suministrar agua a cada instalación

12

13

14

9

18

15

12

8

12

10

8

10

10


Ingreso de DatosIngreso de Datos


SoluciónSolución

Problema del flujo máximo• Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre

ciertos puntos de partida y destino en una red.

• Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermedios

• Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida

• La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.

• Nos permite conocer (calcular) la máxima cantidad de cualquier artículo o información que podemos transportar desde un origen hasta un destino.

• El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.

Problema del flujo máximo

Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones

• Maximizar el flujo a través de la red de distribución de una compañía desde sus fábricas hasta sus clientes.

• Maximizar el flujo a través de la red de suministros de una compañía de proveedores a las fábricas.

• Maximizar el flujo de petróleo por tuberías.• Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de

acueductos.• Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.

• Numero máximo de automóviles que pueden fluir por una carretera

• Maximizar el flujo a través de la red de distribución de una compañía desde sus fábricas hasta sus clientes.

• Maximizar el flujo a través de la red de suministros de una compañía de proveedores a las fábricas.

• Maximizar el flujo de petróleo por tuberías.• Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de

acueductos.• Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.• Numero máximo de automóviles que pueden fluir por una

carretera

Definición del Problema

• Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan.flujos emanan.

• Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.todos los flujos de la red son depositados.

• Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.

• La capacidad CLa capacidad C ij ij que transita del nodo i al nodo j, y la que transita del nodo i al nodo j, y la

capacidad Ccapacidad C jiji para la dirección opuesta. para la dirección opuesta.


Ejemplo 1: Ejemplo 1: Problema de flujo máximo de Seervada Park

O

A D

B

C E

T

5

3

7

4

4

2

4

5

9

6

1

1

Tiene varias fábricas y múltiples clientes. Se trata de aumentar la red original que incluya una fuente ficticia y un destino ficticio y algunos arcos nuevos.

Maximal Flow Problem

SOLUCION WINQSB

Ejemplo 2

• Encontrar el flujo máximo, en la red,, dado que la capacidad a través del arco que va del nodo i al nodo j es el número más cercano al nodo i del arco entre estos nodos.

6

3

4

1

1

4

9

4

43

I

A

B

C

T

D

E

Origen

Final

Solución WinQSB


Solución final

I A

B

TD

E

C


EJEMPLO 3: COMPAÑÍA QUIMICA UNIDA

• Química unida produce pesticidas y otros productos de control agrícola.

• El veneno químico necesario para la producción es depositado en grandes tambores.

• Una red de tubos y válvulas regula el flujo del químico de los tambores a las diferentes áreas de producción.

• El departamento de seguridad debe diseñar un procedimiento que vacíe los tambores de la forma más rápida posible dentro de los tubos del área de depósito, usando la misma red de tubos y válvulas.

• El procedimiento debe determinar:

- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse

- Estimar el tiempo total de descarga.- Estimar el tiempo total de descarga.


� DatosDatos

Tambores con químico

Tubo de Seg.

1 7

4

2

3

6

5

10

0

80

0

0

0

0

0

0

10

6

1

12

14

42

2 8

3

3

7

2

El máximo flujo de 2 a 4 es 8

No se permite flujo de 4 a 2.

El máximo flujo obtenido por WINQSB El máximo flujo obtenido por WINQSB

Tambores con químico

Tubo de Seg.

1 7

4

2

3

6

5

8

8

2

77

10

7

8

2

Flujo Máximo= 17

PROBLEMA• PetroChem, una refinería de petróleo esta diseñando una nueva planta

para producir combustible Diesel. La siguiente figura muestra la red de los centros de procesamiento principales, junto con su velocidad de flujo existente (en miles de galones). A la administración de PetroChem le gustaría determinar la cantidad máxima de combustible que puede fluir a través de la planta, del nodo 1 al nodo 7


1

2

3

4

6

75

2

6

9

0

2

10

4

4

0

0

5

8

1

1

3

3

3 4

3

1

015

3

EvaluaciónEvaluación1. Que técnica se utiliza para conectar todos los puntos de una red al

mismo tiempo que se minimiza la distancia entre ellosa) Flujo máximo

b) Flujo mínimo

c) Árbol de expansión mínima

d) Ruta mas corta

e) Distancia mas larga

1. En que técnica se conecta el nodo mas cercano a la solución existente que actualmente no esta conectada

a) Árbol mínimo

b) Ruta mas corta


d) Flujo máximo

e) Flujo mínimo

EvaluaciónEvaluación3. En la técnica de la ruta mas corta, el objetivo es determinar la ruta

de un origen a un destino que pase por el menor numero de otros nodos

a) Verdadero

b) Falso

3. En cual técnica los números de capacidad de flujo en una trayectoria es un paso importante

a) Árbol mínimo

b) Ruta mas corta


d) Flujo máximo

e) Flujo mínimo

13 problema de redes

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