I.E. EL AMAUTAREA MATEMTICA

Urb. El lamo UGEL 04Tercer Grado de Secundaria

Ejercicios bsicostc "Ejercicios bsicos"tc ""Completa la siguiente tabla:tc "Completa la siguiente tabla\:"tc ""

tc ""

tc ""*Completa usando los smbolos: < >.tc "*Completa usando los smbolos\: < >."tc ""

a)|-5|

_____0tc "a)|-5|

_____0"tc ""

b)-|-2006|

_____-2007tc "b)-|-2006|

_____-2007"tc ""

c)|-|

_____1 - tc "c)|-|

_____1 - "tc ""

d)|2 - |

_____ - 3tc "d)|2 - |

_____ - 3"tc ""

tc ""TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTOtc "TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO"tc ""TEOREMAtc "TEOREMA"tc "" a IR : |a| 0tc "\" a IR \: |a| 0"tc ""Demostracin:tc "Demostracin\:"

Si consideramos:tc "Si consideramos\:"tc ""

Si: a < 0 |a| = -a -|a| = a -|a|< 0 |a| > 0tc "Si\: a < 0 |a| = -a -|a| = a -|a|< 0 |a| > 0"

Si: a = 0 |a| = a = 0tc "Si\: a = 0 |a| = a = 0"

Si: a > 0 |a| = a |a| > 0 tc "Si\: a > 0 |a| = a |a| > 0 "tc ""

|a| 0tc "\ |a| 0"tc ""TEOREMAtc "TEOREMA"tc ""a IR : |a|2 = a2tc "\" a IR \: |a|2 = a2"tc ""DEMOSTRACIN:tc "DEMOSTRACIN\:"tc ""Por definicin de potencia: |a|2 = |a| |a|tc "Por definicin de potencia\: |a|2 = |a| |a|"Si: a 0 |a|2 = a . a |a|2 = a2tc "Si\: a 0 |a|2 = a . a |a|2 = a2"Si: a < 0 |a|2 = (-a)(-a) |a|2 = a2tc "Si\: a < 0 |a|2 = (-a)(-a) |a|2 = a2"tc ""

|a|2 a2tc "

\ |a|2 = a2"tc ""TEOREMAtc "TEOREMA"a IR : |a| = tc "\" a IR \: |a| = "tc ""tc ""DEMOSTRACIN:tc "DEMOSTRACIN\:"tc ""Se sabe: |a|2 = a2tc "Se sabe\: |a|2 = a2"tc ""Entonces: tc "Entonces\: "

|a| = tc " \ |a| = "tc ""TEOREMA:tc "TEOREMA\:"tc ""a IR : |a| = |-a|tc "\" a IR \: |a| = |-a|"tc ""tc ""DEMOSTRACIN:tc "DEMOSTRACIN\:"tc ""Si: a > 0 |a| = atc "Si\: a > 0 |a| = a"tc ""Por (-1) : -a < 0 |-a| = -(-a) = a |a| = |-a|tc "Por (-1) \: -a < 0 |-a| = -(-a) = a \ |a| = |-a|"tc ""Si: a = 0 |a| = 0tc "Si\: a = 0 |a| = 0"tc ""Por (-1) : -a = 0 |-a| = 0 |a| = |-a|tc "Por (-1) \: -a = 0 |-a| = 0 \ |a| = |-a|"tc ""Si: a < 0 |a| = -atc "Si\: a < 0 |a| = -a"tc ""Por (-1) : -a > 0 -a| = -a |a| = |-a|tc "Por (-1) \: -a > 0 |-a| = -a\ |a| = |-a|"tc ""TEOREMAtc "TEOREMA"tc ""a,b IR : |ab| = |a| |b|tc "\" a,b IR \: |ab| = |a| |b|"tc ""tc ""DEMOSTRACIN:tc "DEMOSTRACIN\:"tc ""Se sabe: |ab| = tc "Se sabe\: |ab| = "tc ""Teorema de potencia: |ab| = tc "Teorema de potencia\: |ab| = "tc ""Entonces: |ab| = . = |a| |b|tc "Entonces\: |ab| = . = |a| |b|"tc ""TEOREMAtc "TEOREMA"tc ""

a,b IR, b 0, entonces: tc " \" a,b IR, b 0, entonces\: "tc ""

Sea: = c =|c| ................ (i)tc "Sea\: = c =|c| ................ (i)"

Entonces: a = bc|a|=|bc|=|b||c|=|c| ... (ii)tc "Entonces\: a = bc|a|=|bc|=|b||c|=|c| ... (ii)"tc ""

Luego, de (i) y (ii): tc "Luego, de (i) y (ii) \: "tc ""TEOREMAtc "TEOREMA"tc ""a,b IR : |a+b||a|+|b| (desigualdad triangular)tc "\" a,b IR \: |a+b||a|+|b| (desigualdad triangular)"tc ""

tc ""DEMOSTRACIN:tc "DEMOSTRACIN\:"tc ""Consideremos: |a| |b| abtc "Consideremos\: |a| |b| ab"

2 |a| |b| 2abtc "

2 |a| |b| 2ab"

a2 + b2 + 2|a| |b| a2 + b2 + 2abtc " a2 + b2 + 2|a| |b| a2 + b2 + 2ab" |a|2 + |b|2 + 2|a| |b| a2 + b2 + 2abtc " |a|2 + |b|2 + 2|a| |b| a2 + b2 + 2ab" (|a| + |b|)2 (a + b)2

tc " (|a| + |b|)2 (a + b)2

"

tc "

"

|a| + |b| |a+b|tc "

|a| + |b| |a+b|"

|a+b| |a| + |b|tc " \ |a+b| |a| + |b|"tc ""tc ""

|x+y| = |x| + |y| xy 0tc "

|x+y| = |x| + |y| xy 0"

|x+y| < |x| + |y| xy < 0tc "

|x+y| < |x| + |y| xy < 0"tc ""tc ""

tc ""tc ""ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOtc "ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO"tc ""

Los teoremas que permiten la resolucin de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:tc "Los teoremas que permiten la resolucin de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes\:"tc ""TEOREMA:tc "TEOREMA\:"tc ""

|a| = b b 0 (a = b v a = -b) tc "

|a| = b b 0 (a = b v a = -b) "tc ""tc ""DEMOSTRACIN:tc "DEMOSTRACIN\:"tc ""

Se sabe |a| 0, a IRtc "Se sabe |a| 0, \" a IR"tc ""Entonces, si: |a| = b, implica que: b 0... (i)tc "Entonces, si\: |a| = b, implica que\: b 0... (i)"tc ""Por definicin: |a| = a v |a| = -atc "Por definicin\: |a| = a v |a| = -a"tc ""Luego, si: |a| = b b = a v b = -a a = b v a=-b ...(ii)tc "Luego, si\: |a| = b b = a v b = -a a = b v a=-b ...(ii)"tc ""Por lo tanto, de (i) (ii): |a| = b (b 0) (a=b v a=-b)tc "Por lo tanto, de (i) (ii)\: |a| = b (b 0) (a=b v a=-b)"tc ""tc ""Ejemplo:tc "Ejemplo\:"tc ""

Resolver:tc "Resolver\:"tc ""*|x| = 5tc "*|x| = 5"tc ""

|x| = 5 5 0 (x = 5 v x = -5)tc "|x| = 5 5 0 (x = 5 v x = -5)"tc ""

C.S.: x {-5; 5}tc "C.S.\: x {-5; 5}"tc ""

Resolver:tc "Resolver\:"tc ""*|x + 1| = 8tc "*|x + 1| = 8"tc ""

Resolucin:tc "Resolucin\:"tc ""

|x+1| = 8 8 0 (x + 1 = 8 v x +1 = -8)tc "|x+1| = 8 8 0 (x + 1 = 8 v x +1 = -8)"

x = 7 v x = -9tc "

x = 7 v x = -9"tc ""

C.S.: x {7; -9}tc "C.S.\: x {7; -9}"tc ""

Resolver:tc "Resolver\:"tc ""*|3x+2| = 5tc "*|3x+2| = 5"tc ""

Resolucin:tc "Resolucin\:"tc ""

|3x+2| = 5 5 0 (3x + 2 = 5 v 3x + 2 = -5)tc "|3x+2| = 5 5 0 (3x + 2 = 5 v 3x + 2 = -5)"

3x = 3

3x = -7tc "

3x = 3

3x = -7"

x = 1 v x = -tc "

x = 1 v x = -"

C.S.: x {1; -}tc "C.S.\: x {1; -}"tc ""TEOREMAtc "TEOREMA"tc ""

|a| = |b| a = b v a = -btc "

|a| = |b| a = b v a = -b"tc ""tc ""DEMOSTRACINtc "DEMOSTRACIN"tc ""Consideremos dos casos: b 0 y b < 0tc "Consideremos dos casos\: b 0 y b < 0"tc ""i)Si: b 0 |b| = btc "i)Si\: b 0 |b| = b"tc ""

Luego: |a| = |b| |a| = b a = b v a = -btc "Luego\: |a| = |b| |a| = b a = b v a = -b"tc ""ii)Si: b < 0 |b| = -b > 0tc "ii)Si\: b < 0 |b| = -b > 0"tc ""

Luego: |a| = |b| |a|= -b a = -b v a = -(-b)tc "Luego\: |a| = |b| |a|= -b a = -b v a = -(-b)"tc ""

a = -b v a = btc "

a = -b v a = b"tc ""

Por lo tanto: |a| = |b| a = b v a = -btc "Por lo tanto\: |a| = |b| a = b v a = -b"

1.Calcular:tc "1.Calcular\:"tc ""

a)|5| =tc "a)|5| ="

b)|-9| =tc "b)|-9| ="

c)|-4 + 3| =tc "c)|-4 + 3| ="tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""2.Calcular:tc "2.Calcular\:"

M = |-4| + |-10| - |-12|tc "M = |-4| + |-10| - |-12|"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""3.Si:|-5 + 3 - 4| = atc "3.Si\:|-5 + 3 - 4| = a"

|7 - 9 + 5| = btc "

|7 - 9 + 5| = b"

Hallar:tc "hallar\:"tc ""

a)mayor valor de: a = ___________tc "a)mayor valor de\: a = ___________"

b)menor valor de: b = ___________tc "b)menor valor de\: b = ___________"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""4.Resolver:tc "4.Resolver\:"

|x - 7| = 0tc "|x - 7| = 0"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""5.Resolver:tc "5.Resolver\:"

|x - 1| = 6tc "|x - 1| = 6"tc ""6.Resolver: |2x - 7| = 5tc "6.Resolver\: |2x - 7| = 5"

Indicar la suma de soluciones.tc "indicar la suma de soluciones."tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""7.Resolver:tc "7.Resolver\:"

||x - 2| - 1| = 0tc "||x - 2| - 1| = 0"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""8.Hallar "x" en:tc "8.Hallar \"x\" en\:"

|2x + 1| = |x - 3|tc "|2x + 1| = |x - 3|"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""9.Hallar "x" en:tc "9.Hallar \"x\" en\:"

|x + 1| = |x - 2|tc "|x + 1| = |x - 2|"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""10.Resolver:tc "10.Resolver\:" |x2 - 5x| = 6

1.Resuelve las siguientes operaciones:tc "1.Resuelve las siguientes operaciones\:"tc ""

a)|4+7|h)|-4| x 2tc "a)|4+7|h)|-4| x 2"tc ""

b)|7-9|i)|-2| |-5|tc "b)|7-9|i)|-2| |-5|"tc ""

c)|-4 - 5|j)|10| - |-5|tc "c)|-4 - 5|j)|10| - |-5|"tc ""

d)|-4| + |5|k)tc "d)|-4| + |5|k)"

e)|-7| + |7|l)

tc "e)|-7| + |7|l)

"tc ""

f)|-9| + |-10|m)| |7| - |-5| |tc "f)|-9| + |-10|m)| |7| - |-5| |"tc ""

g)|-3| - |-3|n)| |-8| - |-9| |tc "g)|-3| - |-3|n)| |-8| - |-9| |"

tc ""2.Hallar el valor de "x", si existe:tc "2.Hallar el valor de \"x\", si existe\:"tc ""

a)|x| = 219; x Z+c)|x+1| = 4; x Z+tc "a)|x| = 219; x Z+c)|x+1| = 4; x Z+"

b)|x| = 2006; xZ-d)|x - 2| = 6; x Z-tc "b)|x| = 2006; x Z-d)|x - 2| = 6; x Z-"tc ""3.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "3.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 3| = 0c)|2x + 1| = 0tc "a)|x - 3| = 0c)|2x + 1| = 0"

b)|x+1| = 0d)|3x - 2| = 0tc "b)|x+1| = 0d)|3x - 2| = 0"tc ""4.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "4.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 3| = 2c)|4x + 1| = 9tc "a)|x - 3| = 2c)|4x + 1| = 9"

b)|x+1| = 5d)|5x - 2| = 8tc "b)|x+1| = 5d)|5x - 2| = 8"tc ""5.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "5.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x2| = 0c)|3x2 - 5x| = 0tc "a)|x2| = 0c)|3x2 - 5x| = 0"

b)|x2 + 2x| = 0d)|7x2 - 6x| = 0tc "b)|x2 + 2x| = 0d)|7x2 - 6x| = 0"tc ""6.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "6.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)||x - 1| -1| = 0c)||3x - 2| - 6| = 0tc "a)||x - 1| -1| = 0c)||3x - 2| - 6| = 0"

b)||x + 1| -2| = 0d)||5x + 3| - 8| = 0tc "b)||x + 1| -2| = 0d)||5x + 3| - 8| = 0"tc ""7.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "7.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)||x - 1| -1| = 1c)||4x - 6| - 9| = 3tc "a)||x - 1| -1| = 1c)||4x - 6| - 9| = 3"

b)||x + 1| -2| = 1d)||3x - 7| - 6| = 2tc "b)||x + 1| -2| = 1d)||3x - 7| - 6| = 2"tc ""8.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "8.Resolver las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x+1| = xc)|3x - 2| = xtc "a)|x+1| = xc)|3x - 2| = x"

b)|x - 2| = xd)|2x + 5| = xtc "b)|x - 2| = xd)|2x + 5| = x"tc ""9.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "9.Resolver las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x + 2| = -xtc "a)|x + 2| = -x"

b)|x - 3| = -xtc "b)|x - 3| = -x"

c)|3x - 2| = -xtc "c)|3x - 2| = -x"

d)|2x + 5| = -xtc "d)|2x + 5| = -x"tc ""10.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "10.Resolver las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 4| = 3xtc "a)|x - 4| = 3x"

b)|x + 2| = 2xtc "b)|x + 2| = 2x"

c)|3x + 2| = -3xtc "c)|3x + 2| = -3x"

d)|5x + 1| = 7xtc "d)|5x + 1| = 7x"tc ""11.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "11.Resolver las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x + 2| = x - 3tc "a)|x + 2| = x - 3"

b)|2x + 1| = x + 2tc "b)|2x + 1| = x + 2"

c)|3x - 2| = x - 1tc "c)|3x - 2| = x - 1"

d)|4x - 3| = 2x + 1tc "d)|4x - 3| = 2x + 1"tc ""12. Hallar el conjunto solucin de:tc "12.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x + 1| = x + 1tc "a)|x + 1| = x + 1"

b)|x - 2| = x - 2tc "b)|x - 2| = x - 2"

c)|4x + 3| = 4x + 3tc "c)|4x + 3| = 4x + 3"

d)|5x - 2| = 5x - 2tc "d)|5x - 2| = 5x - 2"tc ""13.Hallar el conjunto solucin de:tc "13.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)1 - x = |x + 1|tc "a)1 - x = |x + 1|"

b)2 - x = |x + 2|tc "b)2 - x = |x + 2|"

c)3 - 4x = |4x + 3|tc "c)3 - 4x = |4x + 3|"

d)5 - 6x = |6x + 5|tc "d)5 - 6x = |6x + 5|"tc ""14.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "14.Resolver las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)||x - 2| - x| = 1tc "a)||x - 2| - x| = 1"

b)||x - 1| - x| = 2tc "b)||x - 1| - x| = 2"

c)tc "c)"

d)tc "d)"tc ""15.Resolver:tc "15.Resolver\:"tc ""|7 - x - x2 + x4| - |x2 - x4 - 7 + x| + |x2 - 16| = 0tc "|7 - x - x2 + x4| - |x2 - x4 - 7 + x| + |x2 - 16| = 0"tc ""

Hallar la suma de soluciones.tc "Hallar la suma de soluciones."tc ""

a)2b)4c)0tc "a)2b)4c)0"

d)-2e)-4tc "d)-2e)-4"

1.Realiza las siguientes operaciones:tc "1.Realiza las siguientes operaciones\:"tc ""

a)|5 + 8|f)|-10| + |-8|tc "a)|5 + 8|f)|-10| + |-8|" tc " "

b)|6 - 11|g)|-4| - |-4|tc "b)|6 - 11|g)|-4| - |-4|"tc ""

c)|-3 - 4|h)|-5| 3tc "c)|-3 - 4|h)|-5| 3"tc ""

d)|-6| + |3|i)|-7| |-3|tc "d)|-6| + |3|i)|-7| |-3|"tc ""

e)|-8| + |8|j)|-9| - |-6|tc "e)|-8| + |8|j)|-9| - |-6|"tc ""2.Halla el valor de "x", si existe:tc "2.Halla el valor de \"x\", si existe\:"tc ""

a)|x|=220; x Z+b)|x|=2007; x Z-tc "a)|x|=220; x Z+b)|x|=2007; x Z-"tc ""3.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "3.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 2| = 0b)|2x + 3| = 0tc "a)|x - 2| = 0b)|2x + 3| = 0"tc ""4.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "4.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"

tc ""

a)|x - 2| = 1b)|5x + 1| = 11

tc "a)|x - 2| = 1b)|5x + 1| = 11"5.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "5.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x2| = 0b)|x2+3x| = 0tc "a)|x2| = 0b)|x2+3x| = 0"tc ""6.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "6.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)||x - 2| - 1| = 0b)||x+1|- 3| = 0tc "a)||x - 2| - 1| = 0b)||x+1|- 3| = 0"tc ""7.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "7.Resolver las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)||x - 2| - 1| = 1b)||x+1| - 3| = 2tc "a)||x - 2| - 1| = 1b)||x+1| - 3| = 2"tc ""8.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "8.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x + 2| = xb)|2x - 3| = xtc "a)|x + 2| = xb)|2x - 3| = x"tc ""9.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "9.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 2| = -xb)|3x+4| = -xtc "a)|x - 2| = -xb)|3x+4| = -x"tc ""10.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "10.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x+4| = 3xb)|x - 2| = 2xtc "a)|x+4| = 3xb)|x - 2| = 2x"tc ""11.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "11.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 2| = x+3b)|5x+2| = 2x 3

tc "a)|x - 2| = x+3b)|5x+2| = 2x - 3"tc ""12.Hallar el conjunto solucin de:tc "12.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x - 1| = x - 1b)|4x - 3| = 4x - 3tc "a)|x - 1| = x - 1b)|4x - 3| = 4x - 3"tc ""13.Hallar el conjunto solucin de:tc "13.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)-2 - x = |x+2|b)-3 - x = |x+3|tc "a)-2 - x = |x+2|b)-3 - x = |x+3|"tc ""14.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "14.Resolver las ecuaciones siguientes\:"

a)||x - 1| - x| = 1b)tc "a)||x - 1| - x| = 1b)"tc ""15.Resolver:tc "15.Resolver\:"

|3 + x - x3 - 4x7| - |4x7 + x3 - x -3| + |x2 - 25| = 0tc "

|3 + x - x3 - 4x7| - |4x7 + x3 - x -3| + |x2 - 25| = 0"

Hallar la suma de soluciones.tc "hallar la suma de soluciones."tc ""tc ""16.Resolver las ecuaciones siguientes:tc "16.Resolver las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)

b)tc "a)

b)"tc ""17.Resolver las ecuaciones:tc "17.Resolver las ecuaciones\:"tc ""

a)|x+4| = |2x+1|c)|2x+3| = |x - 4|tc "a)|x+4| = |2x+1|c)|2x+3| = |x - 4|"

b)|3x+1| = |x+3|d)|5x - 2| = |2x+1|tc "b)|3x+1| = |x+3|d)|5x - 2| = |2x+1|"tc ""18.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "18.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)x2 - 2|x| + 1 = 0b)x2 - 6 = 5|x|tc "a)x2 - 2|x| + 1 = 0b)x2 - 6 = 5|x|"tc ""19.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "19.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)x2 - 2x + |x - 1| - 1 = 0tc "a)x2 - 2x + |x - 1| - 1 = 0"

b)x2 + 4x - |x+2| - 2 = 0tc "b)x2 + 4x - |x+2| - 2 = 0"tc ""20.Resuelve las ecuaciones siguientes:tc "20.Resuelve las ecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x2 - 49| = x+7b)|9x2 - 1| = 3x - 1tc "a)|x2 - 49| = x+7b)|9x2 - 1| = 3x - 1"tc ""21.Si:|x| = + tc "21.Si\:|x| = + "

|y| = + tc "

|y| = + "tc ""

Entonces:tc "Entonces\:"tc ""

a)x+|y| < 0b)-|y| < xc)|x|-|y|>0tc "a)x+|y| < 0b)-|y| < xc)|x|-|y|>0"

d)|y| xe)Ms de una es correctatc "d)|y| xe)Ms de una es correcta"tc ""

TEOREMAtc "TEOREMA"tc ""b 0 y |a| b -b a btc "b 0 y |a| b -b a b"tc ""I.Demostraremos que si: b 0 y |a| b -b a b tc "I.Demostraremos que si\: b 0 y |a| b -b a b "tc ""

I. a IR : a |a|, por hiptesis: |a| btc "I.\" a IR \: a |a|, por hiptesis\: |a| b"

II.Por transitividad: a btc "II.Por transitividad\: a b"

III.De(I): -b - |a|tc "III.De(I)\: -b - |a|"

IV.Adems, a IR : -|a| atc "IV.Adems, \" a IR \: -|a| a"

V.De (III) y (IV) : -b a (por transitividad)tc "V.De (III) y (IV) \: -b a (por transitividad)"

VI.De (II) y (V): -b a btc "VI.De (II) y (V)\: \ -b a b"tc ""

Ejemplo:tc "Ejemplo\:"

Resuelve: |x| < 4, despus representa grficamente el conjunto solucin.tc "Resuelve\: |x| < 4, despus representa grficamente el conjunto solucin."tc ""

Solucin:tc "Solucin\:"

Las soluciones de |x| < 4 son aquellos nmeros cuya distancia a partir de 0 es menor que 4.tc "Las soluciones de |x| < 4 son aquellos nmeros cuya distancia a partir de 0 es menor que 4."

El conjunto solucin es: {x/-4 < x < 4}tc "El conjunto solucin es\: {x/-4 < x < 4}"

La grfica es la siguiente:tc "La grfica es la siguiente\:"tc ""Ejemplo:tc "Ejemplo\:"tc ""

Resuelve:

|3x - 2| < 4tc "Resuelve\:

|3x - 2| < 4"

-4 < 3x - 2 < 4tc "

-4 < 3x - 2 < 4"

-2 < 3x < 6 . . . sumando 2tc "

-2 < 3x < 6 . . . sumando 2"

-< x < 2 . . . dividiendo entre 3tc "

-< x < 2 . . . dividiendo entre 3"tc ""TEOREMA tc "TEOREMA "tc ""|a| b a b v a -b

Se tiene: |a| b . . . (I)tc "|a| b a b v a -b"tc ""

tc ""

|a| b a b v a -b tc "

|a| b a b v a -b "tc ""

Ejemplo:tc "Ejemplo\:"tc ""*Resuelve: |x| 4. Despus, representa grficamente al conjunto solucin.tc "*Resuelve\: |x| 4. Despus, representa grficamente al conjunto solucin."tc ""

Solucin:tc "Solucin\:"tc ""

Las soluciones de |x| 4 son aquellos nmeros cuya distancia a partir de 0 es mayor o igual a 4; en otras palabras aquellos nmeros "x" tales que x -4 x 4.tc "Las soluciones de |x| 4 son aquellos nmeros cuya distancia a partir de 0 es mayor o igual a 4; en otras palabras aquellos nmeros \"x\" tales que x -4 x 4."tc ""

El conjunto solucin es: {x/x -4 v x 4}tc "El conjunto solucin es\: {x/x -4 v x 4}"

La grfica es la siguiente:

tc "La grfica es la siguiente\:"tc ""

tc ""tc ""*Resuelve:

|4x + 2| 6tc "*Resuelve\:

|4x + 2| 6"tc ""

4x + 2 -6 v 4x + 2 6tc "

4x + 2 -6 v 4x + 2 6"

4x -8 v4x 4

(sumando -2)tc "

4x -8 v4x 4

(sumando -2)"

x -2 v x 1

(multiplicando por 1/4)tc "

x -2 v x 1

(multiplicando por 1/4)"tc ""

La grfica es la siguiente:

tc "La grfica es la siguiente\:"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""

1.Resolver:tc "1.Resolver\:"tc ""

a)|x| > 5tc "a)|x| > 5"

b)|x| < 7tc "b)|x| < 7"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""2.Indicar el conjunto solucin de:tc "2.Indicar el conjunto solucin de\:"

|x - 1| 5tc "

|x - 1| 5"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""3.Resolver:tc "3.Resolver\:"

|x + 2| 3tc "|x + 2| 3"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""4.Indicar cuntos valores enteros verifican:tc "4.Indicar cuntos valores enteros verifican\:"

|x - 5| + 1 < 3tc "|x - 5| + 1 < 3"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""5.Resolver:tc "5.Resolver\:"

tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""6.Luego de resolver: |x - 3| - 4 0tc "6.Luego de resolver\: |x - 3| - 4 0"

se obtiene: x [a;b]; entonces:tc "se obtiene\: x [a;b]; entonces\:"tc ""

a)a = __________tc "a)a = __________"

b)b = __________tc "b)b = __________"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""7.Resolver: |x + 5| > |x - 7|tc "7.Resolver\: |x + 5| > |x - 7|"

Indique el intervalo solucin:tc "indique el intervalo solucin\:"tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""8.Luego de resolver:tc "8.Luego de resolver\:"

|2x - 1| |x - 8|tc "

|2x - 1| |x - 8|"

Calcule la suma de los enteros positivos que lo verifican.tc "calcule la suma de los enteros positivos que lo verifican."tc ""tc ""tc ""tc ""9.Resolver el sistema:tc "9.Resolver el sistema\:"

tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""tc ""10.Resolver:tc "10.Resolver\:" |x|2 - 3|x| - 4 < 0

tc "|x|2 - 3|x| - 4 < 0"Bloque Itc "Bloque I"tc ""1.Representa en la recta numrica los siguientes conjuntos de nmeros.tc "1.Representa en la recta numrica los siguientes conjuntos de nmeros."tc ""

a)|x| > 2b)|x| 3tc "a)|x| > 2b)|x| 3"tc ""

c)|x| < 4d)|x| 3tc "c)|x| < 4d)|x| 3"tc ""2.Expresa empleando valor absoluto.tc "2.Expresa empleando valor absoluto."tc ""

a)x c)xtc "a)x c)x "

tc ""

b)-3 < x < 3 d)y < -13 y > 13tc "b)-3 < x < 3d)y < -13 y > 13"tc ""3.Resuelve:tc "3.Resuelve\:"tc ""

a)|x+5|< 4c)3|x+9|< 18tc "a)|x+5|< 4c)3|x+9|< 18"

b)|x - 3|+2< 5d) < 6tc "b)|x - 3|+2< 5d)< 6"tc ""4.Resuelve:tc "4.Resuelve\:"tc ""

a)|x+1| 3c)3|x+6| 21tc "a)|x+1| 3c)3|x+6| 21"

b)|x - 2|+4 5d) 1tc "b)|x - 2|+4 5d) 1"tc ""5.Resuelve:tc "5.Resuelve\:"tc ""

a)|x+7| > 6c)5|x-6| > 20tc "a)|x+7| > 6c)5|x-6| > 20"

b)|x-4|+2 > 5d) > 6tc "b)|x-4|+2 > 5d) > 6"tc ""6.Resuelve:tc "6.Resuelve\:"tc ""

a)4|x - 8| 12tc "a)4|x - 8| 12"tc ""

b)|x+6| 5tc "b)|x+6| 5"

c)|x - 3|+4 8tc "c)|x - 3|+4 8"

d) 1tc "d) 1"tc ""7.Conecta con una lnea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solucin:tc "7.Conecta con una lnea las inecuaciones con sus correspondientes conjuntos solucin\:"tc ""

I)|x - 1| 0a)x tc "I)|x - 1| 0a)x "

II)|x - 2| 0b)x IR - {4}tc "II)|x - 2| 0b)x IR - {4}"

III) |x - 3| < 0c) x {2}tc "III)|x - 3| < 0c) x {2}"

IV)|x - 4| > 0d)x IR

tc "IV)|x - 4| > 0d)x IR"8.Hallar el conjunto solucin de:tc "8.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x+1| > |x+2|c)|3x+1| > |2x+1|tc "a)|x+1| > |x+2|c)|3x+1| > |2x+1|"

b)|x - 1| < |x-3|d)|4x-3| < |3x-2|tc "b)|x - 1| < |x-3|d)|4x-3| < |3x-2|"tc ""9.Resuelve las inecuaciones siguientes:tc "9.Resuelve las inecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x+1| > xc)|x+3| > x + 1tc "a)|x+1| > xc)|x+3| > x + 1"

b)|x - 2| xd)|x - 4| x + 2tc "b)|x - 2| xd)|x - 4| x + 2"tc ""10.Resuelve las inecuaciones siguientes:tc "10.Resuelve las inecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x+2| < xc)|x+4| < x + 2tc "a)|x+2| < xc)|x+4| < x + 2"

b)|x-3| xd)|x-5| x + 3tc "b)|x-3| xd)|x-5| x + 3"tc ""Bloque IItc "Bloque II"tc ""11.Hallar el conjunto solucin de:tc "11.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x|>2 |x| < 4c)|x|>1 |x - 3| 4tc "a)|x|>2 |x| < 4c)|x|>1 |x - 3| 4"

b)|x+1|>3 |x| < 3d)|x+1|2 |x+3| 6tc "b)|x+1|>3 |x| < 3d)|x+1|2 |x+3| 6"tc ""12.Si: 1 < x < 2tc "12.Si\: 1 < x < 2"

Calcular: tc "Calcular\: "tc ""

a)7b)9c)16xtc "a)7b)9c)16x"

d)

e)1tc "d)

e)1"tc ""13.Si: x tc "13.Si\: x "

Determine el valor que toma la expresin:tc "Determine el valor que toma la expresin\:"

tc "

"tc ""

a)-5b)

c)tc "a)-5b)

c)"

d)4e)7xtc "d)4e)7x"tc ""14.Resolver las siguientes inecuaciones:tc "14.Resolver las siguientes inecuaciones\:"tc ""

a)||x| - 2| < 2c)||x - 1| - 2| < 3tc "a)||x| - 2| < 2c)||x - 1| - 2| < 3"

b)||x+1| - 2| 3d)||x - 3| + 2| 4tc "b)||x+1| - 2| 3d)||x - 3| + 2| 4"tc ""15.Resolver las siguientes inecuaciones:tc "15.Resolver las siguientes inecuaciones\:"

tc "

"

a)|x2 - 1| 6d)|2x2 + 5|55tc "c)|x2 - 3| > 6d)|2x2 + 5|55"tc ""16.Hallar el conjunto solucin de:tc "16.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x2 + 5x| < 6

b)|x2 + 2x| > 3tc "a)|x2 + 5x| < 6

b)|x2 + 2x| > 3"

c)|2x2 - 8x - 5| 5d)|3x2 - 7x + 2| 2

tc "c)|2x2 - 8x - 5| 5d)|3x2 - 7x + 2| 2"17.Hallar el conjunto solucin de:

tc "17.Hallar el conjunto solucin de\: "tc ""

a)|x2 - 2x - 5| > |x2 + 4x + 1|tc "a)|x2 - 2x - 5| > |x2 + 4x + 1|"

b)|3x2 - 2x + 1| 3|x2 + x - 7|tc "b)|3x2 - 2x + 1| 3|x2 + x - 7|"

c)|6x2 - 9x - 3| < |2x2 - 9x + 2|tc "c)|6x2 - 9x - 3| < |2x2 - 9x + 2|"

d)|2x2 + x - 1| |2x2 - x - 1|

1.Representa en la recta numrica los siguientes conjuntos de nmeros:tc "1.Representa en la recta numrica los siguientes conjuntos de nmeros\:"tc ""

a)|x| > 1c)|x| < 6tc "a)|x| > 1c)|x| < 6"

b)|x| 4d)|x| 7tc "b)|x| 4d)|x| 7"tc ""2.Expresa empleando valor absoluto.tc "2.Expresa empleando valor absoluto."tc ""

a)x b)-5 < x < 5 tc "a)x b)-5 < x < 5 "

c)xd)y < -11 y > 11tc "c)xd)y < -11 y > 11"tc ""3.Resuelve:tc "3.Resuelve\:"tc ""

a)|x + 3| < 5b)|x - 2| + 3 < 7tc "a)|x + 3| < 5b)|x - 2| + 3 < 7"tc ""4.Resuelve:tc "4.Resuelve\:"tc ""

a)|x - 1| 4b)|x + 4| - 2 3tc "a)|x - 1| 4b)|x + 4| - 2 3"tc ""5.Resuelve:tc "5.Resuelve\:"tc ""

a)|x - 7| > 5b)|x + 2| + 3 > 7tc "a)|x - 7| > 5b)|x + 2| + 3 > 7"tc ""6.Resuelve:tc "6.Resuelve\:"tc ""

a)|x - 6| 3b)|x + 4| - 5 2tc "a)|x - 6| 3b)|x + 4| - 5 2"tc ""tc "d)|2x2 + x - 1| |2x2 - x - 1|"tc ""7.Relaciona segn corresponda:tc "7.Relaciona segn corresponda\:"tc ""

I.|x+3| 0a)x tc "I.|x+3| 0a)x "

II.|x+4| 0b)x IRtc "II.|x+4| 0b)x IR"

III. |x+5| < 0c)x IR - {-6}tc "III.|x+5| < 0c)x IR - {-6}"

IV.|x+6| > 0d)x {-4}tc "IV.|x+6| > 0d)x {-4}"tc ""8.Hallar el conjunto solucin de:tc "8.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x + 2| > |x + 3|b)|x - 3| < |x - 5|tc "a)|x + 2| > |x + 3|b)|x - 3| < |x - 5|"tc ""9.Resuelve las inecuaciones siguientes:tc "9.Resuelve las inecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 1| > xb)|x + 2| xtc "a)|x - 1| > xb)|x + 2| x"tc ""10.Resuelve las inecuaciones siguientes:tc "10.Resuelve las inecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x - 3| < xb)|x + 4| xtc "a)|x - 3| < xb)|x + 4| x"tc ""11. Hallar el conjunto solucin de:tc "11.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x| > 3 |x| < 5b)|x + 2| > 4 |x| 0, a que intervalo pertenece:tc "Donde\: b > 0, a que intervalo pertenece\:"tc ""

tc ""

a)

b)tc "d)e)[; +>"tc ""18.Resolver las siguientes inecuaciones:tc "18.Resolver las siguientes inecuaciones\:"tc ""

a)|x2 - 3| > 1b)|x2+5| 9tc "a)|x2 - 3| > 1b)|x2+5| 9"tc ""19.Hallar el conjunto solucin de:tc "19.Hallar el conjunto solucin de\:"tc ""

a)|x2 + 6x| < 5b)|x2 + 3x| > 4tc "a)|x2 + 6x| < 5b)|x2 + 3x| > 4"tc ""20.Resuelve las inecuaciones siguientes:tc "20.Resuelve las inecuaciones siguientes\:"tc ""

a)|x2 - 3x - 6| < |x2 + 5x + 2|tc "a)|x2 - 3x - 6| < |x2 + 5x + 2|"

b)|4x2 - 3x + 1| > 4|x2 + x - 2|tc "b)|4x2 - 3x + 1| > 4|x2 + x - 2|"tc ""21.Si: x [10; +>; indicar a que intervalo pertenece "a":tc "21.Si\: x [10; +>; indicar a que intervalo pertenece \"a\"\:"|x-1|+|1-x|+|x-2|+|2-x|+ ... + |x-10|+|10-x|=a+50tc "|x-1|+|1-x|+|x-2|+|2-x|+ ... + |x-10|+|10-x|=a+50"tc ""

a)a b)a tc "a)a b)a "

c)a d)a tc "c)a d)a "

e)a [40; +>tc "e)a [40; +>"tc ""NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 1TERCER AO

OPERACIONES CON RADICALES

TALLER DE PRENDIZAJE N 01

TEMA: VALOR ABSOLUTO

TAREA DOMICILIARIA N 01

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

I CASOtc "I CASO"

tc ""

Si: a 0 |a| = a ... (II)tc "Si\: a 0 |a| = a ... (II)"

tc ""

Sustituyendo (II) en (I): a btc "Sustituyendo (II) en (I)\: a b"

tc ""

II CASOtc "II CASO"

tc ""

Si: a < 0 |a| = -a . . . (III)tc "Si\: a < 0 |a| = -a . . . (III)"

tc ""

Sustituyendo (III) en (I) : -a b a -btc "Sustituyendo (III) en (I) \: -a b a -b"

tc ""

TALLER DE APRENDIZAJE N 02

TEMA: VALOR ABSOLUTO

TAREA DOMICILIARIA N 02

PAGE Valor Absoluto

Prof. Juan Araoz Portella