INSTITUTO POLITCNICO NACIONALCENTRO DE INVESTIGACIN Y DESARROLLO DE TECNOLOGA DIGITAL

Maestra en Ciencias con Especialidad en Sistemas Digitales

Adaptacin de malla en el anlisis de dispersin en guas de onda empleando el mtodo de elemento finito (FEM)

TESISQUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIASPRESENTA:

Fernando Cervantes LeyvaBAJO LA DIRECCIN DE:

Dr. Miguel A. lvarez Cabanillas

OCTUBRE DE 2006

TIJUANA, B. C., MXICO

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A mi madre Marisela Leyva Camacho; la persona con la vida ms interesante que he conocido. A mi padre Miguel Cervantes Ojeda y a mis hermanos Flix, Miguel, Elizabeth y Constantino.

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AgradecimientosAgradezco a mis ancestros por permitirme iniciar en el punto en el que lo hice. A mi madre por su gran ejemplo y consejos visionarios. A mis padres y hermanos por ser mi motivacin, creer en m y darme su amor incondicional. A YEL por su apoyo. A Emigdio Castro Leyva y Miguel ngel Romero Leyva. Al Dr. Miguel A. lvarez Cabanillas por sus consejos y permitirme realizar este trabajo de tesis. Agradezco de forma especial al M.C. Juan J. Tapia Armenta por fungir como codirector de este trabajo y creer en el proyecto desde el primer da. A los miembros de la comisin revisora: M.C. Ernesto E. Quiroz Morones, Dr. Lus Tupak Aguilar Bustos y M.C. Jos Abel Hernndez Rueda. A los distintos autores citados en este trabajo. Al centro de investigacin y desarrollo de tecnologa digital (CITEDI-IPN). A mis compaeros de generacin del CITEDI: Alfredo Sols, No Villezcas, Bonifacio Garca, Rodrigo Medina, Berenice Ramrez, Lus Vargas y Rogelio Rodrguez. Finalmente, agradezco al Instituto Politcnico Nacional por el apoyo econmico proporcionado durante la realizacin de este trabajo.

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Tabla de contenidoAgradecimientos........................................................................................ iv Lista de figuras........................................................................................ viii Lista de tablas .......................................................................................... xii Lista de smbolos ..................................................................................... xiii

Resumen................................................................................................... xv Abstract .................................................................................................. xvi

Introduccin ........................................................................................... xvii Objetivo ................................................................................................... xx

I. Fundamentos de teora electromagntica ............................................... 1 I.1. I.2. I.3. Ecuaciones de Maxwell ................................................................................. 2 Relaciones constitutivas ................................................................................ 3 Campos estticos .......................................................................................... 5 Ecuaciones de Poisson y Laplace ........................................................... 6

I.3.1. I.4. I.5. I.6.

Campos armnicos en el tiempo.................................................................... 7 Ecuacin de onda de Helmholtz .................................................................... 8 Condiciones de frontera ................................................................................ 9 Interfase entre dos medios con conductividad finita .............................. 9 Conductor elctrico perfecto .................................................................10

I.6.1. I.6.2. I.7.

Gua de onda rectangular metlica ..............................................................11 Gua de onda de planos paralelos..........................................................12 Solucin analtica de la ecuacin de Helmholtz.....................................13 Modo transversal elctrico ....................................................................15 Modo fundamental................................................................................24

I.7.1. I.7.2. I.7.3. I.7.4.

vi I.7.5. I.7.6. I.7.7. Grficas de solucin analtica para el modo TE01 ................................25 Modo transversal magntico .................................................................26 Grficas de solucin analtica para el modo TM 01 ...............................30

II. Mtodo de elemento finito en dos dimensiones ................................... 32 II.1. II.2. II.3. II.4. Solucin numrica de la ecuacin de Helmholtz...........................................34 Discretizacin del dominio ...........................................................................37 Seleccin de las funciones de interpolacin...................................................38 Formulacin del sistema de ecuaciones ........................................................42 Deduccin de las matrices locales de elemento finito ............................42 Deduccin de las matrices de la frontera virtual...................................45 Ensamblado del sistema de ecuaciones..................................................48

II.4.1. II.4.2. II.4.3. II.5.

Aplicacin de las condiciones de frontera.....................................................55 Condicin de frontera Dirichlet-PEC....................................................56 Condicin de frontera Neumann-PEC...................................................57

II.5.1. II.5.2. II.6. II.7. II.8.

Diagrama de flujo de FEM ..........................................................................60 Resolucin de la malla .................................................................................60 Determinacin de la resolucin de la malla ..................................................64

III. Resultados numricos empleando el mtodo de elemento finito ........ 66 III.1. III.2. III.2.1. III.2.2. Amplitud de la onda.................................................................................67 Clculo numrico de las caractersticas de dispersin ...............................68 Gua de onda en forma de L .................................................................69 Gua de onda en forma de T.................................................................75

III.2.2.A. Puerto de entrada: puerto 1 .............................................................76 III.2.2.B. Puerto de entrada: puerto 3 .............................................................79 IV. Adaptacin de malla .......................................................................... 82 IV.1. IV.2. IV.2.1. Lazo de retroalimentacin de adaptacin de malla...................................85 Fundamentos de la tcnica de equidistribucin ........................................86 Formulacin del sistema de ecuaciones .................................................88

vii IV.2.2. IV.2.3. IV.3. IV.3.1. IV.3.2. IV.3.3. IV.4. Solucin del sistema de ecuaciones........................................................90 Planteamiento en una dimensin ..........................................................91 Equidistribucin en dos dimensiones ........................................................96 Sistema de ecuaciones en dos dimensiones ............................................98 Suavizado de la malla .........................................................................104 Implementacin de equidistribucin en dos dimensiones.....................106 Resultados numricos .............................................................................107

V. Conclusiones y trabajo futuro ............................................................112 V.1. V.2. Conclusiones ..............................................................................................112 Trabajo futuro ...........................................................................................114

Referencias ..............................................................................................115

A. Ecuaciones de Maxwell en forma integral ..........................................119 B. Deduccin de la formulacin dbil......................................................120 C. Distribucin del campo.......................................................................122 C.1. C.2. C.3. Gua de onda convencional ........................................................................122 Gua de onda en forma de L ......................................................................122 Gua de onda en forma de T ......................................................................122

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Lista de figurasFigura 1.1. Interfase entre dos medios........................................................................10 Figura 1.2. Gua de onda rectangular ( a : ancho, b : grueso). ....................................11 Figura 1.3. Gua de onda de planos paralelos.............................................................12 Figura 1.4. Vista lateral de una gua de onda de planos paralelos. ............................13 Figura 1.5. Gua de onda de planos paralelos con componentes del campo para el modo TE 0 n . .................................................................................................................19 Figura 1.6. Aparicin de modos TE en una gua de onda de planos paralelos conb = 4 cm .....................................................................................................................24

Figura 1.7. Parte real de la componente E z (expresin (1.77)) para el modo TE 01 . ......25 Figura 1.8. Parte real de la componente H x (expresin (1.78)) para el modo TE 01 . .....26 Figura 1.9. Parte real de la componente H y (expresin (1.79)) para el modo TE 01 . .....26 Figura 1.10. Gua de Onda de Planos Paralelos con componentes del campo para el modo TM 0 n .................................................................................................................27 Figura 1.11. Parte real de la componente E x (en (1.107)) para el modo TM 01 ............30 Figura 1.12. Parte real de la componente E y (en (1.107)) para el modo TM 01 . ..........31 Figura 1.13. Parte real de la componente H z (en (1.108)) para el modo TM 01 . ..........31 Figura 2.1. Gua de onda de planos paralelos de dos puertos con fronteras virtuales1 y 2 .......................................................................................................................34

Figura 2.2. Dominio bidimensional con interfase d . .................................................36 Figura 2.3. (a) Dominio bidimensional discretizado en 8 elementos triangulares ((1), (2)-(8)), con 9 nodos (1,2-9) y (b) Comparacin entre numeracin local y global......37 Figura 2.4. Elemento triangular: (a) lineal, (b) cuadrtico y (c) cbico [22]. .............38 Figura 2.5. Elemento triangular lineal con numeracin local......................................40

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Figura 2.6. Funciones forma para un elemento triangular lineal: (a) N1e , (b) N 2e , (c)N 3e y (d) vista superior del elemento..........................................................................41

Figura 2.7. Gua de onda de planos paralelos discretizada en elementos triangulares: (a) Elemento e con y1e y3e 1 , (b) Frontera virtual 1 , (c) Frontera virtual 2 y (d) Elemento e con y1e y2e 2 . .........................................................................................45 Figura 2.8. Dominio bidimensional discretizado en cuatro elementos triangulares

{(1) , ( 2 ) , ( 3) , ( 4 )} , con cinco nodos {1, 2, ..., 5} . ..............................................................48Figura 2.9. Elementos con vectores unitarios normales a las regiones de integracin: (a) elemento 4, (b) elemento 1 y (c) elementos 1 y 4. ................................................54 Figura 2.10. Diagrama de flujo de FEM.....................................................................59 Figura 2.11. Resolucin de malla nres = 4 para dos diferentes longitudes de onda: (a) 1 , h1 = /( 4 elementos) y (b) 2 , h2 = /(12 elementos) . ..............................................61 Figura 2.12. Gua de onda rectangular discretizada en elementos triangulares lineales. ...................................................................................................................................62 Figura 2.13. Distribucin de E z ( y ) para una f op dentro de la banda del modo TE 01 . ...................................................................................................................................62 Figura 2.14. Error entre las partes reales de la solucin analtica y solucin numrica para E z con diferentes resoluciones: (a) norma L y (b) norma L2 promediada sobre el nmero de nodos totales. ........................................................................................64 Figura 3.1. Comportamiento de la amplitud de la parte real de E z en una gua de onda de planos paralelos empleando FEM con nresg 40 , 50 , 70 y 100 . ......................68 Figura 3.2. Gua de onda homognea en forma de L con paredes PEC: (a) Representacin geomtrica y (b) Ejemplo de discretizacin en elementos triangulares. ...................................................................................................................................70 Figura 3.3. Comportamiento del SWR en una gua de onda en forma de L para el plano-H para l = 0 , l b / 3.333 y l b / 1.251 en comparacin con la Ref. [32]. .............71 Figura 3.4. Coeficientes de transmisin y reflexin en una gua de onda en forma de L para el plano-H .........................................................................................................72

x

Figura 3.5. Gua de onda en forma de L con puntos de referencia 1 y 2 ....................73 Figura 3.6. Gua de onda homognea en forma de T con paredes PEC: (a) Representacin geomtrica y (b) Ejemplo de discretizacin en elementos triangulares. ...................................................................................................................................75 Figura 3.7. Comportamiento del SWR en una gua de onda en forma de T para el plano-H: para l = 0 , l b / 5 y l b / 2.254 en comparacin con la Ref. [32]. .................77 Figura 3.8. Comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin en una gua de onda en forma de T para el plano-H......................................................................78 Figura 3.9. Comportamiento de p2/p3 , p1/p3 y p3 en una gua de onda en forma de T para el plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparacin con la Ref. [35]. ............................................................................................................................80 Figura 3.10. Comportamiento de p2/p3 , p1/p3 y p3 en una gua de onda en forma de T para el plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparacin con la Ref. [34]. ............................................................................................................................81 Figura 4.1. Diagrama de flujo del mtodo de elemento finito con adaptacin de malla [42]. ............................................................................................................................83 Figura 4.2. Lazo de retroalimentacin de adaptacin de malla. .................................85 Figura 4.3. Diagrama de flujo de la tcnica de equidistribucin.................................92 Figura 4.4. Diagrama a bloques general del proceso iterativo de la tcnica de equidistribucin. .........................................................................................................94 Figura 4.5. Diagrama de flujo de la solucin de un problema a travs de FEM empleando adaptacin de malla. ................................................................................95 Figura 4.6. Dominio bidimensional fsico f R 2 . .....................................................98 Figura 4.7. Nodos y enlaces internodales....................................................................99 Figura 4.8. Geometra de dominio en forma de L. ...............................................108 Figura 4.9. Nodos FEM (malla FEM de ( NX = 5 ) ( NY = 5 ) ) y malla de solucin interpolada ( 21 21 puntos) de la regin III del dominio en la Fig. 4.8. ..................108 Figura 4.10. Error para el caso ( NX = 10 ) ( NY = 10 ) : (a) L y (b) L2 / puntos de interp. .109 Figura 4.11. Error para el caso ( NX = 20 ) ( NY = 20 ) : (a) L y (b) L2 / puntos de interp. .109

xi

Figura 4.12. Informacin caso ( NX = 10 ) ( NY = 10 ) . .................................................110 Figura C.1. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda convencional conb = 4 cm .....................................................................................................................123

Figura C.2. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de L con l = 0 . ..................................................................................................................124 Figura C.3. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de L con l = b / 5 ................................................................................................................125 Figura C.4. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de L con l = b / 4 ................................................................................................................126 Figura C.5. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de L con l = b / 3 ................................................................................................................127 Figura C.6. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de L con l = b / 2 ................................................................................................................128 Figura C.7. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de L con l = b . ..................................................................................................................129 Figura C.8. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de T con l = 0 . ..................................................................................................................130 Figura C.9. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de T con l = b / 5 ................................................................................................................131 Figura C.10. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de T con l = b / 4 ................................................................................................................132 Figura C.11. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de T con l = b / 3 ................................................................................................................133 Figura C.12. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de T con l = b / 2 ................................................................................................................134 Figura C.13. Distribucin de la parte real de E z en una gua de onda en forma de T con puerto de entrada en puerto 3. ..........................................................................135

xii

Lista de tablasTabla 2.1. Relacin entre nodos globales y nodos locales en el dominio mostrado en la Fig. 2.8. ..................................................................................................................49 Tabla 2.2. Informacin de entrada del clculo numrico de E z (con b = 4 cm ) a travs de FEM para diferentes frecuencias de operacin con nresg 100 . ..............................65 Tabla 3.1. Datos de entrada del clculo numrico de E z (con b = 4 cm ) a travs de FEM para diferentes frecuencias de operacin. ..........................................................67 Tabla 3.2. Frecuencias de corte en los puntos de referencia 1 y 2 de la gua de onda en forma de L de la Fig. 3.5 con b = 4 cm . ..................................................................74

xiii

Lista de smbolosAe Bc

rea del elemento e . Densidad de flujo magntico. Velocidad de la luz en un medio determinado. Velocidad de la luz en el vaco. Densidad de flujo elctrico. Elemento determinado. Amplitud de E . Intensidad del campo elctrico. Frecuencia de corte. Frecuencia de operacin. Longitud de un elemento en una dimensin. Intensidad del campo magntico. Densidad de corriente. Nmero de onda o constante de propagacin. Nmero de onda de corte. Parmetro de modificacin de las guas de onda en forma de L y T. Vector unitario normal a un punto de referencia determinado. Puertos 1, 2 y 3, respectivamente. Tiempo. Solucin.

c0

De E0

Efc

f oph

H

Jk kcl

n

p1,p2,p3t

UUe

Solucin numrica en el elemento e . Parmetro de continuacin. Parmetro suavizador. Frontera del elemento e . Variable de correccin del mtodo Newton-Raphson.

e

xiv

Permitividad de un medio determinado. Permitividad del vaco. Permitividad relativa de un medio determinado. Longitud de onda de corte. Longitud de onda en la gua. Longitud de onda de operacin. Permeabilidad de un medio determinado. Permeabilidad del vaco. Permeabilidad relativa de un medio determinado. Densidad de carga. Conductividad de un medio determinado. Potencial escalar. Parmetro de relajacin. Frecuencia angular. Regin de solucin.

0 r c

gop

0 r

xv

ResumenEn este trabajo se obtienen numricamente, a travs del mtodo de elemento finito de Galerkin, las caractersticas de dispersin, para frecuencias dentro del modo fundamental, de guas de onda de planos paralelos en forma de L y en forma de T en el plano-H, en funcin de la modificacin de la estructura de dichas guas en las regiones de discontinuidad. La ecuacin de Helmholtz tiene solucin analtica, entre otros casos, para guas de onda homogneas con paredes PEC; sin embargo, en guas de onda con discontinuidades, dicha solucin es inexistente o su obtencin es imprctica. El mtodo de elemento finito es adecuado para la solucin de la ecuacin de Helmholtz en guas de onda con discontinuidades. Con el propsito de estudiar las caractersticas de dispersin de tales dispositivos, se modifica la estructura de las guas de onda en las regiones de discontinuidad. Los resultados obtenidos en este trabajo muestran considerable similitud en comparacin con informacin publicada por otros autores (calculada con tcnicas distintas). Finalmente, se presenta la formulacin de un mtodo de adaptacin de malla tipo-r que emplea el principio de equidistribucin, el cual se implementa al resolver la ecuacin de Laplace en un dominio en forma de L.

xvi

AbstractThe scattering characteristics, for several frequencies in the fundamental mode, of Hplane L-shaped and T-junction parallel-plate waveguides, are obtained using Galerkins finite element method as a function of the modification of the waveguides structure in the discontinuity regions. The Helmholtz equation can be solved analytically, among other cases, in a homogeneous PEC waveguide; however, in waveguides with discontinuities, such solution can be inexistent or impractical to obtain. The finite element method is suited for the solution of the Helmholtz equation in waveguides with discontinuities. With the purpose of studying the scattering characteristics of such devices, the structure of the waveguide in the discontinuity regions is modified. The obtained results are considerable similar to the information published by other authors (calculated with different techniques). Finally, an r-type mesh adaptation method that employs the equidistribution principle is formulated and implemented by solving the Laplace equation in an L-shaped domain.

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IntroduccinLas guas de onda son dispositivos que se emplean para la transmisin de informacin en la banda de frecuencias conocida como microondas. Debido a que en este rango de frecuencias no son vlidas ni la aplicacin de la teora de circuitos (vlida para RF) ni la teora de rayos (vlida para frecuencias pticas), en los casos donde se requiera estudiar estos dispositivos se necesita emplear la teora del campo, esto es, la solucin de las ecuaciones de Maxwell [12]. Para el estudio de microondas se utilizan diferentes mtodos numricos, siendo tres de los principales el mtodo de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) (ver [13], entre otros), el mtodo de elemento finito (FEM) (ver [15], [17], [23], entre otros) y el mtodo de momentos (MoM) (ver [14], entre otros). En una gua de onda, una discontinuidad se conoce como cualquier caracterstica que posea dicha estructura la cual altere la libre propagacin de la onda a travs de la gua. Las guas de onda en forma de L y en forma de T se pueden ver como estructuras constituidas por la unin de guas de onda convencionales. En este tipo de dispositivos, las regiones de discontinuidad son aquellas en donde se unen dichas guas convencionales. Las guas de onda rectangulares en forma de T (o unin-T) son un componente pasivo bsico en los sistemas de microondas. stos se utilizan en acopladores direccionales, divisores/mezcladores de potencia, filtros y multiplexores para radares y sistemas de comunicacin [35], [36]. A travs de los ltimos aos se han realizado diferentes estudios de las caractersticas de dispersin de discontinuidades en guas de onda homogneas (por ejemplo [32], [34]-[36], entre otros). El mtodo de elemento finito es en la actualidad uno de los mtodos numricos ms usados en la solucin de problemas de electromagnetismo. De una manera resumida, FEM consiste en subdividir la regin de solucin de un problema determinado en un nmero finito de subregiones ms pequeas conocidas como elementos. En lugar de obtener una solucin completa para todo el problema, la

xviii

solucin aproximada se compone del ensamblado de las soluciones obtenidas dentro de cada elemento. Los puntos que definen a un elemento se conocen como nodos, mientras que el ensamble de estos nodos se conoce como malla. El mtodo de elemento finito es adecuado para la solucin de problemas con geometras complejas, tales como las guas de onda en forma de L y en forma de T. El estudio de las caractersticas de dispersin (comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin) en este tipo de guas de onda, en funcin de la variacin de su estructura en la regin de discontinuidad, es uno de los casos en donde se aprovecha las ventajas del empleo de FEM con elementos triangulares. El objetivo principal de los mtodos de adaptacin de malla es el de mejorar el desempeo de los mtodos numricos. Su funcionamiento, en trminos generales, consiste en solucionar un problema con una malla predeterminada, estimar el error de aproximacin y emplear esta informacin para generar mallas que permitan obtener resultados ms precisos.

Este trabajo se compone de cinco captulos y tres apndices. En el captulo I se presenta los conceptos bsicos de la teora electromagntica, necesarios en la solucin del problema de la propagacin del campo electromagntico dentro de guas de onda de planos paralelos homogneas. En el captulo II se presenta la formulacin del mtodo de elemento finito en dos dimensiones, se resuelve numricamente la ecuacin homognea de Helmholtz en el plano-H y se realiza un anlisis de la resolucin de la malla en funcin de la longitud de onda en la gua de onda. Un estudio de la amplitud de la onda incidente, en funcin de la resolucin de la malla y la frecuencia de operacin, se presenta al inicio del captulo III. Posteriormente, en este mismo captulo, se muestran las caractersticas de dispersin, para diferentes frecuencias de operacin dentro del modo fundamental, de guas de onda en forma de L y en forma de T, en funcin de la modificacin de la estructura de dichas guas en las regiones de discontinuidad.

xix

El captulo IV se dedica a la formulacin de un mtodo de adaptacin de malla tipo-r que emplea equidistribucin el cual se implementa en la solucin de la ecuacin de Laplace en un dominio bidimensional en forma de L. En al captulo V se presentan las conclusiones de este trabajo. El apndice A presenta las ecuaciones de Maxwell en forma integral. En el apndice B se desarrolla la formulacin dbil de la integral del residuo ponderado de la ecuacin de Helmholtz en dos dimensiones. Finalmente, en el apndice C se presentan las distribuciones del campo, dentro de guas de onda convencionales, en forma de L y en forma de T, para los distintos casos analizados en el captulo III.

xx

ObjetivoEl objetivo general de este trabajo de tesis es la implementacin del mtodo de elemento finito en la solucin numrica de problemas del campo electromagntico en guas de onda de planos paralelos. Adems, la obtencin de soluciones numricas ms precisas, con respecto a las soluciones obtenidas con mallas preestablecidas, a travs del empleo de un mtodo de adaptacin de malla

Los objetivos particulares que se plantean son: La formulacin del mtodo de elemento finito en dos dimensiones. La solucin numrica de la ecuacin de Helmholtz en guas de onda de planos paralelos y el anlisis de su comportamiento, para diferentes frecuencias, en funcin de la resolucin de la malla en la direccin de propagacin. El clculo numrico de las caractersticas de dispersin (comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin) en guas de onda en forma de L y en forma de T para diferentes frecuencias, en funcin de la modificacin de la estructura de dichas guas en las regiones de discontinuidad, empleando el mtodo de elemento finito. La formulacin de un mtodo de adaptacin de malla tipo-r que emplea el principio de equidistribucin y su implementacin en la solucin de la ecuacin de Laplace en un dominio bidimensional en forma de L.

1

Captulo I Fundamentos de teora electromagnticaPocas tecnologas al inicio del siglo XXI tienen tanto impacto en la vida diaria como aquellas que hacen uso de dispositivos desarrollados a partir de la comprensin del comportamiento del campo electromagntico; desde los telfonos celulares, hasta la revolucin del Internet (impulsada en gran parte por las redes de fibra ptica). La solucin de un problema en donde se involucra el campo electromagntico es, en realidad, la solucin de las ecuaciones de Maxwell sujetas a las condiciones de frontera proporcionadas por dicho problema. Una gua de onda es un dispositivo que se utiliza para transmitir ondas electromagnticas. Las diferentes configuraciones que puede tomar el campo, al propagarse a travs de una estructura de este tipo, se conocen como modos. Estos modos dependen tanto de la geometra de la gua, como de la frecuencia de la onda (frecuencia de operacin). La evolucin de computadoras personales ha hecho posible la creciente aplicacin y desarrollo de sofisticados mtodos numricos en la solucin de problemas de electromagnetismo. Sin embargo, aunque lo anterior ha permitido que sin detallado conocimiento de la teora electromagntica sea posible disear filtros, mezcladores, lneas de transmisin de bajas prdidas, entre otros dispositivos, solo un verdadero conocimiento de la teora que rige el comportamiento del campo permite obtener el mayor provecho del empleo de estas herramientas. El objetivo de este captulo es el de proporcionar, en forma general, conceptos de la teora electromagntica fundamentales en la obtencin de soluciones prcticas a problemas de distribucin del campo en guas de onda.

2

I.1.

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell describen los fenmenos que ocurren en situaciones donde se encuentra involucrada la variacin temporal de los campos elctrico y magntico; esto es: el campo electromagntico [2]. Estas ecuaciones, tal y como se conocen el da de hoy, son un resumen de la teora propuesta por James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1864 [1] realizado de manera independiente por Heinrich Hertz (1857-1894) y Oliver Heaviside (1850-1925) [11]. Este conjunto de leyes fsicas, comprobadas experimentalmente por Hertz [6], relaciona y describe los campos vectoriales elctrico y magntico, las densidades de carga y las densidades de corriente en cualquier punto en el espacio y en cualquier instante de tiempo que se desee [3]. Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial se expresan como

E =

B t

( Ley de Faraday ) ,

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

H = J+iD = iB = 0

D t

( Ley de Ampere generalizada ) ,

( Ley de Gauss, campo elctrico ) , ( Ley de Gauss, campo magntico ) ,

dondeE= H= D= B= J= =

Intensidad del campo elctrico (volt/metro) , Intensidad del campo magntico (ampere/metro), Densidad de flujo elctrico (coulomb/metro cuadrado), Densidad de flujo magntico (weber/metro cuadrado), Densidad de corriente (ampere/metro cuadrado), Densidad de carga (coulomb/ metro cbico).

Las densidades de carga y de corriente se relacionan por la ecuacin de continuidad: = 0. t

iJ+

(1.5)

3

La expresin anterior, la cual satisface las ecuaciones de Maxwell, tambin se conoce como ecuacin de la conservacin de la carga; ya que si no se cumpliera, significara que cargas se estn creando (o destruyendo).

I.2.

Relaciones constitutivas

Con el propsito de conocer la propagacin del campo electromagntico en un medio determinado, es necesario tomar en cuenta la forma en que las propiedades del medio y el campo electromagntico se relacionan. Cuando una onda electromagntica entra en contacto con un material, las partculas cargadas existentes en dicho material interactan con el campo electromagntico produciendo corrientes y modificando la propagacin de la onda en ese medio con respecto a la propagacin en el espacio libre [3]. Las relaciones constitutivas describen, en una escala macroscpica, la relacin entre el campo electromagntico y el medio bajo estudio. Estas relaciones estn dadas porD = r 0 E = E, B = r 0 H = H ,

(1.6) (1.7)

donde

= 0 = r = = 0 = r =

Permitividad del medio, (farad/metro), Permitividad del vaco, 0 = 8.85 10-12 (farad/metro)[5], Permitividad relativa del medio, r = / 0 (adimensional). Permeabilidad del medio, (henry/metro), Permeabilidad del vaco, 0 = 4 10-7 (henry/metro)[5], Permeabilidad relativa del medio, r = / 0 (adimensional),

La permeabilidad y permitividad de un medio determinado se relacionan entre s a partir de c = 1 / , donde c es la velocidad de la luz en dicho medio. Para el caso

4

del espacio libre r = r = 1 , por lo tanto, la velocidad de la luz en el espacio libre est dada por c0 = 1/ 0 0 3 108 metro/segundo [2]. Otra relacin constitutiva es la que se cumple en un conductor de la siguiente forma:

J = E,donde es la conductividad (siemens/metro).

(1.8)

Los parmetros , y son conocidos como parmetros constitutivos y caracterizan las propiedades elctricas de determinado material. Los materiales se clasifican en funcin de los parmetros constitutivos, de acuerdo a [3], de la siguiente forma:

Materiales lineales o Materiales no lineales. Un material se conoce como linealcuando sus parmetros constitutivos no son funcin de la magnitud del campo aplicado; por el contrario se conoce como no lineal cuando s lo son.

Materiales homogneos o Materiales no homogneos. Cuando los parmetrosconstitutivos de un medio son funcin de la posicin ste se conoce como un medio no homogneo; por su parte, en el caso de que no lo sean, se conoce como un medio homogneo.

Materiales dispersivos o Materiales no dispersivos. Los materiales dispersivosson aquellos en los que los parmetros constitutivos son funcin de la frecuencia; a su vez, son materiales no dispersivos aquellos en los que los parmetros constitutivos no son funcin de la frecuencia.

Materiales

isotrpicos

o

Materiales

anisotrpicos.

S

los

parmetros

constitutivos no son funcin de la direccin del campo aplicado estos son escalares y el medio se conoce como un medio isotrpico; de manera contraria, los parmetros son tensores cuando son funcin de la direccin del campo aplicado y el medio entonces se conoce como anisotrpico.

5

Al aplicar las relaciones constitutivas a las ecuaciones de Maxwell, stas dan

E =

H , t E , t

(1.9) (1.10) (1.11) (1.12)

H = J+

( i E) = , ( i H ) = 0.

El conjunto de ecuaciones (1.9) a (1.12) muestra que, adicional a las cargas y a las corrientes, la variacin con respecto al tiempo de un campo funciona como fuente para el otro.

I.3.

Campos estticos

Cuando los campos elctrico y magntico no varan con respecto al tiempo las expresiones (1.9) y (1.10) son reescritas, respectivamente, de la siguiente manera: E = 0, H = 0.

(1.13) (1.14)

Cuando estos campos se encuentran estticos no existe interaccin entre ellos; por lo tanto, cada uno es descrito, de forma independiente, por un conjunto de ecuaciones respectivo. El comportamiento del campo electrosttico se describe por (1.11) y (1.13) mientras que las expresiones que gobiernan al campo magnetosttico son a su vez (1.12) y (1.14). En el caso esttico la expresin (1.5) se escribe como i J = 0;

(1.15)

6

lo que implica que cuando los campos no varan con respecto al tiempo no existe flujo de corriente en ningn sentido.

I.3.1.

Ecuaciones de Poisson y Laplace

Analizando (1.13) y tomando en cuenta la operacin vectorial = 0 , se puede establecer queE = ,

(1.16)

donde es una funcin escalar conocida como potencial escalar [2]. Asumiendo un medio homogneo, al sustituir (1.16) en (1.11) se obtiene la ecuacin de Poisson:

i E = 2 =

.

(1.17)

La expresin anterior relaciona la variacin del potencial en cualquier punto con la densidad de carga en cualquier punto de determinado dominio. La ecuacin de

Laplace (caso particular de (1.17) cuando = 0 ) est dada por2 = 0 .

(1.18)

La solucin de (1.17) y (1.18) en una regin determinada (y para una distribucin de carga especfica, en el caso de la ecuacin de Poisson) depende de las condiciones de frontera del dominio bajo anlisis. En otras palabras, es posible decir en forma general que para el mismo dominio existen diferentes configuraciones de que satisfacen estas ecuaciones, sin embargo, en forma particular cada una de estas soluciones es nica en relacin a una condicin de frontera especificada.

7

I.4.

Campos armnicos en el tiempo

En la literatura referente a electromagnetismo con enfoque a ingeniera ([2], [3], [5], entre otros) es comn encontrar que la variacin con respecto al tiempo de los campos magntico y elctrico se considera como sinusoidal (o variacin armnica). Esto permite que el campo elctrico, por ejemplo, se pueda presentar como

espacio tiempo E ( s, t ) = E ( s) Re ( e jt ) ,(1.19)

dondeE ( s ) = variacin espacial de E ( volts/metro ) ,

f opRe

= 2 f op = frecuencia angular, ( radianes/segundo ) , = frecuencia de operacin, ( hertz ) , = conjunto de los nmeros reales.

Tomando en cuenta la anterior asuncin en la variacin temporal, las ecuaciones (1.5) , (1.9) y (1.10) se reescriben respectivamente como E = j H ( s ) e jt = j H,= J + j E ,

(1.20) (1.21) (1.22)

H = J ( s ) e jt + j E ( s ) e jt

iJ

=

j ( s ) e jt

= j .

A partir de este punto, en toda ocasin en donde la cantidad compleja e jt se emplee, se asumir el hecho de que solo la parte real tiene significado fsico aunque no se incluya el acrnimo Re . Por otra parte, el inters de este trabajo es el estudio de la variacin espacial del campo, por lo tanto, en aquellos desarrollos matemticos en donde con fines de simplificacin se amerite, la parte correspondiente a la variacin temporal de ste se omitir.

8

I.5.

Ecuacin de onda de Helmholtz

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones de primer orden en las cuales los campos elctrico y magntico se encuentran acoplados, estos es, ambos campos se encuentran presentes tanto en la ley de Faraday como en la ley de Ampere. Es necesario, sin embargo, desacoplar estos campos con el fin de conocer la solucin de un problema de valores en la frontera; por ejemplo: obtener la distribucin del campo elctrico en una gua de onda. Se consideran campos armnicos en el tiempo, la ausencia de cargas ( = 0 ) y se limita a un medio sin prdidas ( = 0 J = 0 ), homogneo, isotrpico y lineal ( = 0 y = 0 ). Se inicia aplicando el rotacional a la ley de Faraday representada en (1.20), esto es, E = 2 E + ( i E ) = j ( H ) .

(1.23)

Las leyes de Ampere generalizada y Gauss para el campo elctrico sin fuentes, expresadas respectivamente como H = j E ,

(1.24) (1.25)

i E = 0,

se sustituyen en (1.23) obtenindose

2 E + k 2 E = 0 ,donde k =

(1.26)

es un parmetro constante conocido como nmero de onda.

Realizando un procedimiento similar, iniciando con el rotacional de H en la ley de Ampere generalizada, se obtiene

2 H + k 2 H = 0 .

(1.27)

9

Las ecuaciones (1.26) y (1.27) se conocen como las ecuaciones homogneas de

Helmholtz1 para los campos elctrico y magntico, respectivamente. Estas ecuacionesdiferenciales de segundo orden modelan la variacin espacial de estos campos en la ausencia de fuentes.

I.6.

Condiciones de frontera

En dominios no homogneos, los cuales contienen interfases entre medios con caractersticas elctricas distintas (cambios bruscos entre un medio y otro de , y

), es posible que la magnitud y direccin de los campos se modifiquen al atravesardichas interfases [5]. Estos comportamientos, cuya inclusin en cualquier anlisis es obligatoria, se describen por un conjunto de relaciones derivadas de las ecuaciones de Maxwell en forma integral (ver apndice A) conocidas como condiciones (o relaciones)

de frontera [7]. Desde el punto de vista matemtico, la solucin de una ecuacindiferencial en un dominio determinado, como la ecuacin de onda de Helmholtz (expresin (1.26) para campo elctrico y (1.27) para el campo magntico), no es nica a menos que se especifiquen condiciones de frontera [2].

I.6.1.

Interfase entre dos medios con conductividad finitay sin

Las relaciones de frontera que deben cumplir los campos en una interfase entre dos medios con caractersticas elctricas distintas (ver la Fig. 1.1), sin fuentes cargas, son, de acuerdo a [3], [8],

n

( E2 E1 )( H2 H1 )

= 0,

(1.28) (1.29) (1.30) (1.31)

n i ( D2 D1 ) = 0 , n =0,

n i ( B 2 B1 ) = 0 ,

1

Hermann Von Helmholtz (1821-1894), fsico alemn.

10

donde 1 y 2 son finitas, n es el vector normal a la interfase y el sufijo en todos los casos indica los diferentes medios. La expresiones (1.28) y (1.30) indican que las componentes tangenciales de los campos elctrico y magntico, respectivamente, son continuas en la interfase. A su vez, (1.29) y (1.31) indican, respectivamente, que son las componentes normales a la interfase de D y B las que deben ser continuas. Estas relaciones son vlidas tanto para campos estticos como para campos variantes en el tiempo [5] y su deduccin puede ser consultada en [2], [5], [7] (entre otros).

n

medio 1 1 , 1 , 1

medio 2 2 , 2 , 2

Figura 1.1. Interfase entre dos medios.

I.6.2.

Conductor elctrico perfecto

Un conductor elctrico perfecto (PEC) se define como un material en el cual no existe campo elctrico a ninguna frecuencia [4]. Observando la ley de Faraday (expresin (1.1)) se puede deducir que en tales materiales tampoco existe campo magntico variante en el tiempo. En la mayora de los problemas prcticos en donde la conductividad es alta (aunque no infinita), la configuracin del campo, la longitud de onda y la constante de propagacin k , entre otros parmetros, se pueden calcular con una alta precisin bajo la suposicin de una conductividad infinita [5] (suposicin de un material PEC). Partiendo de lo analizado en seccin I.6.1, s se considera al medio 1 como un PEC ( 1 = ), las condiciones de frontera para dicha interfase son, de acuerdo a [5] (tabla 10-1),

n E2 = 0 , n i B2 = 0 .

(1.32) (1.33)

11

I.7.

Gua de onda rectangular metlica

Una gua de onda es una estructura que permite que una onda electromagntica se propague a travs de sta en una direccin deseada [4]. En la prctica, es comn encontrar problemas en los cuales las condiciones de frontera se satisfacen por campos que no estn conformados por todas sus componentes vectoriales. Con base a esta ausencia (o presencia) de determinadas componentes del campo, en relacin a la direccin de propagacin de ste, se puede clasificar su solucin en tres categoras principales [2]: 1. Modo Transversal Electromagntico ( TEM ). En el modo TEM los vectores de los campos elctrico y magntico son transversales a la direccin de propagacin. 2. Modo Transversal Elctrico ( TE o H ). En el caso del modo TE el vector del campo elctrico es transversal a la direccin de propagacin. 3. Modo Transversal Magntico ( TM o E ). Los modos TM son aquellos en los que el vector del campo magntico es transversal a la direccin de propagacin.

a

yx

b

zFigura 1.2. Gua de onda rectangular ( a : ancho, b : grueso).

Considerando una propagacin en la direccin x y definiendo los campos elctrico y magntico respectivamente como

E=

(E , E , E ) ,x y z

(1.34) (1.35)

H = (Hx, H y, Hz ) ,

12

una onda TEM implica: E x = H x = 0 . Una gua de onda hueca, como la que se muestra en la Fig. 1.2, no puede propagar una onda TEM. Lo anterior, obedece a que el rotacional de un campo transversal elctrico requiere una componente axial del campo magntico (ecuacin (1.9)); de forma similar, el rotacional de un campo transversal magntico requiere ya sea una corriente axial (la cual no puede existir en dicha estructura, debido a la ausencia de un conductor axial) o una componente axial del campo elctrico (ecuacin (1.10)). En resumen, una gua de onda hueca puede propagar ondas TE y TM, pero no ondas TEM [2]. Para esta misma estructura, el modo TE implica que la componente x del campo elctrico sea cero ( E x = 0 ); mientras que el modo TM que H x = 0 . Cuando un problema se resuelve al suponer que se propaga una onda TE, ste se conoce como un problema del plano-H; de forma similar, cuando se supone que la onda que se propaga es TM, ste se conoce como un problema del plano-E.

I.7.1.

Gua de onda de planos paralelos

Una gua de onda de planos paralelos es una de las estructuras ms sencillas para el anlisis del campo. Fundamentalmente, sta se conforma de dos placas conductoras separadas por un dielctrico [4]. Se considera que los campos son los mismos a los que existieran si las placas fueran de un ancho infinito (ver Fig. 1.3), lo que significa que no se toman en cuenta las variaciones del campo en una direccin transversal.

a

yx

b

zFigura 1.3. Gua de onda de planos paralelos.

13

El objetivo en esta seccin es, primeramente, la obtencin de la ecuacin homognea de Helmholtz en dos dimensiones a partir de las ecuaciones de Maxwell y, posteriormente, su solucin analtica dentro de una gua de onda de planos paralelos para los casos TE y TM. Con base en la geometra de una gua de onda de este tipo, se utilizan coordenadas rectangulares para su anlisis. El mtodo de solucin sigue al que se utiliza en Balanis [3].

I.7.2.

Solucin analtica de la ecuacin de Helmholtz

Se considera una gua de onda de planos paralelos PEC, separados por una distanciab como la que se presenta en la Fig. 1.4. Esta gua se extiende desde hasta +

en las direcciones x y z . Se asume que el medio dentro de la gua es el espacio libre, la ausencia de fuentes, que el campo vara de forma armnica con el tiempo y que ste se propaga en la direccin + x .

Figura 1.4. Vista lateral de una gua de onda de planos paralelos.

Debido a que la estructura es independiente de z , los campos deben serlo tambin, por lo tanto E = 0. z H

(1.36)

La expresin (1.36) implica que E y H son nicamente funciones de x y y , esto es,E x = E x ( x, y ) , E y = E y ( x, y ) , E z = E z ( x, y ) ,

H x = H x ( x, y ) , H y = H y ( x, y ) , H z = H z ( x, y ) .

(1.37)

14

Se inicia con las ecuaciones de Maxwell correspondientes al rotacional de E y H : E = j H ,

(1.38) (1.39)

H =

j E.

Desarrollando (1.38) y (1.39), para cada una de las componentes de los campos, se obtiene el conjunto de ecuacionesE z E y = j H x , y z

(1.40) (1.41) (1.42)

E x E z = j H y , z xE y x E x = j H z , y

H z H y = j E x , y z

(1.43) (1.44) (1.45)

H x H z = j E y , z xH y x H x = j E z , y

Las expresiones relacionadas a la divergencia del campo ((1.11) y (1.12)) se expresan respectivamente, en coordenadas rectangulares tomando en cuenta la ausencia de cargas en el medio ( = 0 ), comoE x E y E z + + =0 x y z

(1.46)

yH x H y H z + + = 0. x y z

(1.47)

15

Aplicando la restriccin (1.36), las expresiones (1.40), (1.41), (1.43) y (1.44) se reducen aE z = j H x , y

(1.48) (1.49) (1.50) (1.51)

E z = j H y , xH z = j E x , y

H z = j E y . xEmpleando la misma restriccin, (1.46) y (1.47) se reescriben comoE x E y + =0 x y

(1.52)

yH x H y + = 0. x y

(1.53)

El conjunto de ecuaciones (1.42), (1.45), (1.48)-(1.53) es el correspondiente a las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, en coordenadas rectangulares, cuando se han aplicado las restricciones referentes a las caractersticas elctricas del medio y la variacin nula de los campos con respecto a la direccin z .

I.7.3.

Modo transversal elctrico

Para que una onda electromagntica se propague en el modo TE es necesario aplicar en el conjunto de ecuaciones (1.42), (1.45), (1.48)-(1.53) una restriccin que asegure que el vector del campo elctrico sea transversal a la direccin de propagacin. La restriccin para el modo TE implica que E z 0 y E x = E y = 0 . Aplicando lo anterior a (1.42), (1.48) y (1.49) se obtiene respectivamente

16H z = 0, Hx = j E z , y j E z . x

(1.54) (1.55) (1.56)

Hy =

Se puede observar que las expresiones (1.48) y (1.49) no son afectadas por la restriccin para el modo TE; sin embargo, stas son reescritas respectivamente como (1.55) y (1.56) con fines prcticos que se justifican a lo largo del anlisis. La restriccin para el modo TE se aplica a (1.45), (1.50) y (1.51), esto es,H y x H x = j E z , y H z = 0, y

(1.57) (1.58) (1.59)

H z = 0. x

La ecuacin del Helmholtz, para la componente E z del campo elctrico, se obtiene al sustituir la derivada con respecto a y de (1.55) y la derivada con respecto a x de (1.56) en (1.57), obteniendo as 2 Ez 2 Ez + + k 2 Ez = 0 ; x 2 y 2

(1.60)

donde k tambin se conoce como constante de propagacin para la onda al viajar en un medio sin fronteras. La solucin de (1.60) se obtiene al aplicar la tcnica de

separacin de variables [9]. Se asume que la solucin E z ( x, y ) es igual al siguienteproducto:E z ( x, y ) = E z ( x ) E z ( y ) ,

(1.61)

17

donde E z ( x ) es la solucin de (1.60) cuando E z vara respecto x . De la misma formaE z ( y ) es la parte de E z que vara, solamente, con respecto a y . Sustituyendo (1.61)

en (1.60) y dividiendo el resultado por E z ( x ) E z ( y ) se tiene 2 Ez ( x ) x 2 2 Ez ( y ) y 2

Ez ( x )

1

+

Ez ( y )

1

+ k2 = 0 ,

(1.62)

la cual se puede reescribir como2 2 Ez ( x ) 1 Ez ( y ) + = k 2 . 2 2 E z ( x ) x E z ( y ) y

1

(1.63)

Analizando (1.63) se puede observar que el primer trmino de la parte izquierda es solo funcin de x , mientras que el segundo es solo funcin de y ; por lo tanto, tomando en cuenta que k es una constante, esta ecuacin solo se puede satisfacer si cada uno de los trminos de la izquierda es igual a una constante, esto es, 2 Ez ( x ) x2

Ez ( x )

1

2 = k x

(1.64)

yEz ( y ) 1 2 Ez ( y ) y 22 = k y ,

(1.65)

donde la condicin para que (1.64) y (1.65) satisfagan (1.62) es2 2 kx + k y = k 2 .

(1.66)

Las constantes de separacin k x y k y se conocen como constantes de propagacin en la direccin x y en la direccin y , respectivamente.

18

Existen distintos tipos de solucin que pueden satisfacer (1.64) y (1.65); sin embargo, el objetivo principal de este anlisis no es el de encontrar la solucin a una ecuacin diferencial desde el punto de vista puramente matemtico, sino el de encontrar las soluciones a (1.64) y (1.65) que, desde el punto de vista fsico, modelen el comportamiento del campo electromagntico. De acuerdo a Balanis en [3], debido a que la gua de onda tiene una longitud infinita, la variacin del campo en la direccinx debe representar una onda viajera dada por

E z ( x ) = A1e jk x x + B1e + jk x x .

(1.67)

La expresin (1.67) representa ondas viajando en ambas direcciones de x , dondeA1 y B1 son constantes arbitrarias. El primer exponencial de la parte derecha

representa ondas viajando hacia + x , mientras que el segundo ondas viajando hacia x ([3], [5]). En este trabajo se considera que la fuente se coloca de tal forma que la

propagacin es en la direccin + x , por tanto, B1 = 0 y (1.67) se reescribe comoE z ( x ) = A1e jk x x .

(1.68)

Con respecto a E z ( y ) Balanis establece en [3] que, debido a que la gua de onda se encuentra delimitada en la direccin y , la forma ms apropiada para E z ( y ) debe ser

E z ( y ) = C1 cos ( k y y ) + D1 sin ( k y y ) ,

(1.69)

donde C1 y D1 son constantes arbitrarias. Al sustituir (1.68) y (1.69) en (1.61), se tiene como resultadoE z ( x, y ) = C1 cos ( k y y ) + D1 sin ( k y y ) A1e jk x x .

(1.70)

19

Hasta este punto del anlisis se puede establecer lo siguiente:

El campo electromagntico, para el modo TE en una gua de onda de planos paralelos (como la especificada al inicio de esta seccin y mostrada en la Fig. 1.4) se conforma por la componente E z del campo elctrico y las componentes H x y H y del campo magntico (ver Fig. 1.5).

La expresin (1.70) representa la solucin de la ecuacin de Helmholtz para ondas que viajan en la direccin + x y confinadas en y . Sin embargo, esta solucin contina siendo general y se necesita, entonces, especificar que tipo de medio es el que confina a la onda en la direccin de la coordenada y , esto es, las condiciones de frontera en las paredes de la gua de onda. < z < + f c ); para este caso, la constante ( k x )0 n es real y al sustituir este valor en (1.77)-(1.79) el argumento del exponencial continua siendo imaginario por lo tanto las ondas viajan sin ser atenuadas en el modo TE 0 n . b) La frecuencia de operacin es igual a la frecuencia de corte ( fop = f c ); este caso da como resultado

( k x )0n = 0

y, aplicando esto en (1.77)-(1.79), se obtienen

ondas estacionarias (no existe propagacin).c) La frecuencia de operacin es menor a la frecuencia de corte ( fop < f c ); en este ltimo caso el parmetro

( k x )0 n

es un nmero imaginario. Al sustituir este

valor en el exponencial de (1.77)-(1.79) el argumento se convierte en real negativo, lo cual da como resultado ondas evanescentes. Los campos evanescentes son campos que decaen exponencialmente y carecen de potencia real [3].

24

La aparicin de los modos en una gua de onda de planos paralelos (con b = 4 cm ) se muestra en la Fig. 1.6 en funcin de la frecuencia de operacin.

TE 010 3.75

TE02

TE03

TE0415

7.5

11.25 f op (GHz)

Figura 1.6. Aparicin de modos TE en una gua de onda de planos paralelos con b = 4 cm .

Otro parmetro que depende de la dimensin de la seccin transversal de la gua de onda es la longitud de onda en la gua ( g ), dada para el modo 0n , segn [3], por

( )

g 0n

= ( x )0 n =

op ( f c )0 n 1 f op 2

.

(1.89)

Analizando (1.89) se puede deducir que, para un modo determinado, a frecuencias de operacin mucho ms altas que la frecuencia de corte ( g )0 n op . A su vez, a medida que la frecuencia de operacin se aproxime a la frecuencia de corte ( f op ( f c )0 n ) la longitud de onda en la gua tender a infinito ( ( g )0 n ).

I.7.4.

Modo fundamental

El modo fundamental en una gua de onda determinada se define como aquel cuya frecuencia de corte es la ms baja [8]. En el caso de una gua de onda de planos paralelos el modo fundamental es el TE 01 y su frecuencia de corte se define como1 2b

( f c )01 =

.

(1.90)

25

El ancho de banda ( BW ) para el modo TE 01 se obtiene a travs de

( BW )01 = ( f c )02 ( f c )01 .

(1.91)

La expresin (1.91) indica el ancho de la banda de frecuencias en la cual solo se transmite el modo fundamental. En la gran mayora de los casos, las guas de onda empleadas en la prctica estn restringidas a operar en el modo fundamental debido a las dificultades de acoplamiento que surgen cuando ms de un modo es transmitido a travs de sta [2].

I.7.5.

Grficas de solucin analtica para el modo TE01

Se presentan las grficas de la distribucin de las componentes del campo, en una gua de onda de planos paralelos, para una frecuencia determinada dentro del modoTE 01 . Se considera una gua de onda de planos paralelos con b = 4 cm y r = r = 1 .

Las frecuencias de corte para los modos TE 01 y TE 02 , calculadas a partir de (1.85), estn dadas respectivamente por

( f c )01 = 3.75 GHz

y

( f c )02 = 7.5 GHz .

Las figuras

1.7-1.9 muestran las grficas de las soluciones analticas (1.77)-(1.79) para una frecuencia de operacin de f op = 6.32 GHz ( g 5.90 cm ).

Figura 1.7. Parte real de la componente E z (expresin (1.77)) para el modo TE 01 .

26

Figura 1.8. Parte real de la componente H x (expresin (1.78)) para el modo TE 01 .

Figura 1.9. Parte real de la componente H y (expresin (1.79)) para el modo TE 01 .

I.7.6.

Modo transversal magntico

Con el fin de obtener la ecuacin de Helmholtz para el modo TM en una gua como la mostrada en la Fig. 1.4, se necesita realizar un procedimiento similar al seguido en el caso TE. Primeramente se debe asegurar que el campo magntico sea transversal a la direccin de propagacin, por lo tanto, se fija la restriccin para el modo TM comoH z 0 y H x = H y = 0 . Aplicando la anterior restriccin a (1.42), (1.45), (1.48)-(1.53)

se obtieneE z = 0, y

(1.92) (1.93)

E z = 0, x

27

E y x

E x = j H z , yEx = j H z , y

(1.94) (1.95) (1.96) (1.97)

Ey =

j H z , x

E z = 0.

Del conjunto de ecuaciones (1.92)-(1.97) se puede observar que el campo para el caso TM se conforma por la componente H z del campo magntico y las componentesE x y E y del campo elctrico (ver Fig. 1.10). < z < +

op 2 > ... > opn ); a partir de las cuales, tambin

respectivamente, se obtienen n diferentes longitudes de onda en la gua denotas por

g1 > g 2 > ... > gn .

(2.75)

Al fijar una resolucin en la gua de nresg constante , con base en (2.73) se establece:

nresg1 nresg2 ... nresgn constante ,

(2.76)

donde nresgi se relaciona a gi para i = 1, 2,..., n . Con el propsito de satisfacer (2.76), debido a que (2.75) es un dato fijo del problema, se debe cumplir:

hg1 > hg 2 > ... > hgn ,

(2.77)

donde hgi se relaciona a gi para i = 1, 2,..., n . Tomando en cuenta que en este trabajo se utilizan solamente mallas donde hg = h p , con base en (2.74)-(2.77) se deduce:

nresp1 < nresp2 < ... < nrespn , para hg = h p .

(2.78)

La expresin (2.78) indica, en contraste con (2.76), que nresp es menor a medida que la frecuencia de operacin disminuye. En la siguiente seccin se analiza (2.78) en funcin de la frecuencia de operacin y de diferentes valores de nresg .

64

II.8.

Determinacin de la resolucin de la malla

Se obtiene el error entre la solucin analtica de E z (expresin (1.77)) y la solucin numrica calculada a travs FEM en el modo TE, empleando mallas con diferentes valores de nresg , para diferentes frecuencias de operacin. Lo anterior se realiza en una gua de planos paralelos con b = 4 cm , en la cual las frecuencias que delimitan la banda del modo fundamental son

( f c )01 = 3.75 GHz

y

( f c )02 = 7.5 GHz .

Para el caso del error norma L [25], las mediciones se hacen a una distancia de por lo menos una longitud de onda g de las fronteras virtuales (entrada y salida). Para el caso del error norma L2 [25], se consideran todos los nodos dentro del dominio.-3

0.6 n 0.5 n n 0.4 ||error||L resg

40

4 3.5 ||error||L 2 / NodosTotales 3 2.5 2 1.5 1 0.5

x 10

n n n n

resg resg resg resg

40 50 70 100

50 resg 70 resg 100 resg

n

0.3

0.2

0.1

0

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5 1.6 fop/(fc )01

1.7

1.8

1.9

2

0

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5 1.6 fop/(fc )01

1.7

1.8

1.9

2

(a)

(b)

Figura 2.14. Error entre las partes reales de la solucin analtica y solucin numrica para E z con diferentes resoluciones: (a) norma L y (b) norma L2 promediada sobre el nmero de nodos totales.

La figura 2.14 muestra que el comportamiento del error es similar en las normas L yL2 . Para ambas normas, el error con respecto a las frecuencias disminuye a medida

nresg aumenta. Con respecto a los valores de nresg calculados, el error aumenta amedida que la frecuencia de operacin disminuye; sin embargo, para nresg 100 la

65

magnitud del error con respecto a las frecuencias evaluadas es relativamente uniforme. Adicional a lo anterior, la Tabla 2.2 muestra que para la frecuencia de operacin menor calculada ( f op 4.44 GHz op = 6.75 cm ), cuando se utiliza

nresg 100 , el valor de la resolucin en la direccin perpendicular a la propagacin es nresp 64 , la cual es sustancialmente mayor que la recomendada por Babuska et al. en[30] de nres = 10 .

Tabla 2.2. Informacin de entrada del clculo numrico de E z (con b = 4 cm ) a travs de FEM para diferentes frecuencias de operacin con nresg 100 .

op (cm)6.75 6.25 5.75 5.25 4.75 4.25

f op ( GHz ) 4.44 4.80 5.22 5.71 6.32 7.06

f op / ( f c )01 1.19 1.28 1.39 1.52 1.68 1.88

g (cm) 12.58 10.01 8.27 6.96 5.90 5.02

hg = h p (cm) 0.1250 0.1000 0.0833 0.0690 0.0588 0.0500

nresg 100.6 100.1 99.2 100.9 100.4 100.3

nresp 64 80 96 116 136 160

nodos en p

33 41 49 59 69 81

66

Captulo III

Resultados numricos empleando el mtodo de elemento finitoHasta este punto se han presentado los fundamentos de la teora electromagntica y la formulacin del mtodo de elemento finito en dos dimensiones. Con base en dicha informacin se desarrollan programas de computadora en MATLAB (ver [46]) para la obtencin de la distribucin del campo elctrico y del clculo de los coeficientes de transmisin y reflexin (caractersticas de dispersin), en el plano-H, de guas de onda de planos paralelos.

En esta seccin se presentan los resultados numricos obtenidos al aplicar FEM en el anlisis de las caractersticas de dispersin para el plano-H de guas de onda homogneas en forma de L y en forma de T.

67

III.1. Amplitud de la ondaSe analiza la amplitud del campo elctrico ( E0 ) al resolver la ecuacin de Helmholtz (ecuacin (2.1)) para U = E z (plano-H), en una gua de onda de planos paralelos como la que se muestra en la Fig. 2.1, empleando FEM. Este anlisis se realiza con diferentes frecuencias de operacin ( f op = k ( c / 2 ) ) dentro del modo fundamental (ver Tabla 3.1). Los clculos numricos en esta seccin se realizan con las siguientes consideraciones para todos los casos:

Los clculos se realizan para una onda incidente en el modo TE 01 (plano-H, dentro de la banda del modo fundamental).

Se consideran guas de onda de planos paralelos, homogneas, con un gruesob = 4 cm ( ( f c ( b ) )01 = 3.75 GHz ,

( f (b))c

02

= 7.5 GHz ).

Se utilizan mallas con hg = h p . Las mediciones en todos los casos se realizan a una distancia de por lo menos una longitud de onda ( g ) tanto de la discontinuidad como de las fronteras virtuales.

Los resultados para nresg 40 , nresg 50 , nresg 70 y nresg 100 , se presentan en la Fig. 3.1.

Tabla 3.1. Datos de entrada del clculo numrico de E z (con b = 4 cm ) a travs de FEM para diferentes frecuencias de operacin.

op (cm)6.75 6.25 5.75 5.25 4.75 4.25

f op ( GHz ) 4.44 4.80 5.22 5.71 6.32 7.06

f op / ( f c )01 1.19 1.28 1.39 1.52 1.68 1.88

g (cm) 12.58 10.01 8.27 6.96 5.90 5.02

La figura 3.1 muestra como a medida que el valor de nresg aumenta, la magnitud de la amplitud de E z , en cada una de las frecuencias evaluadas, converge a un valor

68

determinado. Para el caso nresg 100 , la diferencia entre E0 del problema evaluado con el menor valor de nresp ( f op = 4.44 GHz nresp 64 en la Tabla 2.2) y E0 del problema evaluado con el mayor valor de nresp ( f op = 7.06 GHz nresp 160 en la Tabla 2.2) es del orden de 1 104 .1.005 100 , fop=1.88(fc)01) n 1.004 n n 1.003 nresg resg resg resg

40 50 70 100

, f ) / E (n

0

resg resg op

1.002

1.001

1

E (n

0

0.999

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5 1.6 fop/(fc )01

1.7

1.8

1.9

2

Figura 3.1. Comportamiento de la amplitud de la parte real de E z en una gua de onda de planos paralelos empleando FEM con nresg 40 , 50 , 70 y 100 .

La distribucin de E z del caso nresg 100 , para cada una de las frecuencias calculadas en esta seccin, se muestra en el apndice C.

III.2. Clculo numrico de las caractersticas de dispersinEn esta seccin se obtienen numricamente las caractersticas de dispersin en guas de onda en forma de L y en forma de T. Los clculos numricos en esta seccin se realizan con las siguientes consideraciones para todos los casos:

Los clculos se realizan para una onda incidente en el modo TE 01 (plano-H, cuya frecuencia se encuentra dentro de la banda del modo fundamental).

69

Se evalan los casos que se presentan en la Tabla 3.1. Se consideran guas de onda de planos paralelos, homogneas, con un gruesob = b1 = b2 = b3 = 4 cm ( ( f c ( b ) )01 = 3.75 GHz ,

( f (b))c

02

= 7.5 GHz ).

Se utilizan mallas con hg = h p . Se utiliza una resolucin en la direccin de propagacin nresg 100 .inc Se considera como amplitud de la onda incidente ( E0 ), a la informacin

obtenida en la seccin III.1, para una gua de onda de planos paralelos convencional, con nresg 100 . Lo anterior es equivalente a colocar la frontera virtual de salida en la lnea que divide a RI y RIII en la Fig. 3.2(a); as como si sta se colocara en la lnea que divide a RI y RIV (o a RIII y RIV) en la Fig. 3.6(a)

Las mediciones en todos los casos se realizan a una distancia de por lo menos una longitud de onda ( g ) tanto de la discontinuidad como de las fronteras virtuales.

III.2.1.

Gua de onda en forma de L

Se obtienen numricamente los coeficientes de transmisin ( ) y reflexin ( ), as como la relacin de onda estacionaria ( SWR ), de la gua de onda homognea en forma de L mostrada en la Fig. 3.2, para las frecuencias de la Tabla 3.1 en el plano-

H.El ejemplo de una posible discretizacin de la malla de elemento finito se muestra en la Fig. 3.2(b). El parmetro l , en dicha figura, se emplea para modificar la estructura de la gua de onda con el objetivo de analizar el comportamiento de las caractersticas de dispersin. Para el caso de l = 0 , la estructura de la gua de onda es la que se presenta en la Fig. 3.2(a). La regin de discontinuidad de esta estructura se denota por la regin III (RIII).

70

(a)(b) Ejemplo de discretizacin en elementos triangulares.

(b)

Figura 3.2. Gua de onda homognea en forma de L con paredes PEC: (a) Representacin geomtrica y

El coeficiente de transmisin en el puerto 2 ( p2 ), denota la relacin entre latrans potencia de la seal transmitida a travs del puerto 2 ( Pp2 ) y la potencia de la seal

inc incidente que ingresa por el puerto 1 ( Pp1 ). Dicho parmetro se calcula empleando la

siguiente expresin:2 2

p2 =

trans Pp2 inc Pp1

=

RII E0 inc E0

,

(3.1)

RII donde E0 indica la amplitud de la onda en RII (seal transmitida), mientras que inc E0 la amplitud de la onda incidente. La relacin (3.1) es vlida para clculos en los

cuales la solucin del problema sea del tipo (1.77), la frecuencia de operacin se encuentre dentro del modo fundamental y la regin de solucin es homognea. Con base en la ley de la conservacin de la energa ( + = 1 ), el coeficiente de reflexin en el puerto 1 ( p1 ) se calcula a partir de

p1 = 1 p2 .

(3.2)

71

Por ltimo, el SWR [31] se obtiene a partir de1 + 1 + p1 . 1 1 p1

SWR=

(3.3)

La figura 3.3 muestra una comparacin entre los resultados obtenidos para el SWR utilizando diferentes valores de l y la informacin presentada en la Ref. [32]. En esta figura se observa que los datos obtenidos en este trabajo a travs de FEM muestran excelente similitud con los presentados en dicha referencia empleando Boundary

Element Analysis.5 l l l l l l = 0 (FEM) b / 3.333 (FEM) b / 1.251 (FEM) = 0 (Ref.[ 32 ], Fig.4b) b / 3.333 (Ref.[ 32 ], Fig.4b) b / 1.251 (Ref.[ 32 ], Fig.4b)

4

3 SWR 2 1 0 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 fop/( fc)01

2

Figura 3.3. Comportamiento del SWR en una gua de onda en forma de L para el plano-H para l = 0 ,l b / 3.333 y l b / 1.251 en comparacin con la Ref. [32].

Al analizar la Fig. 3.3 se puede establecer que los mejores resultados se obtienen cuando l b /1.251 , ya que no solo es este caso el que presenta los valores ms bajos de SWR sino que tambin este parmetro se comporta con mayor uniformidad en el ancho de banda del modo fundamental. En la Fig. 3.4 se presenta el comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin para l = 0 , l b / 5 , l b / 4 , l b / 3 ,l b / 2 , l b /1.251 y l b .

721

1 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 fop/( fc )01 1.7 1.8 1.9 2 p2 (FEM) p1 (FEM) p2 (Ref.[ 33 ], Fig.4.10) p1 (Ref.[ 33], Fig.4.10) l=0Potencia Normalizada

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 f /( f )op c 01

p2 ( l b / 5 ) p1

1.7 1.8 1.9

2

(a)1 0.9 Potencia Normalizada

(b)1 0.9 0.8 Potencia Normalizada

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 fop/( fc)01 1.7 1.8 1.9 2 p2 ( l b / 4 ) p1

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

p2 ( l b / 3 ) p1

1.1 1.2 1.3

1.4 1.5 1.6 fop/( fc)01

1.7 1.8 1.9

2

(c)1 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 p2 ( l = 0 ) p2 ( l b / 5 ) p2 ( l b / 4 ) p2 ( l b / 3 ) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 f /( f )op c 01

(d)1 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 p2 ( l b / 2 ) p1

1.7 1.8 1.9

2

0

1

1.1 1.2 1.3

1.4 1.5 1.6 fop/( fc)01

1.7 1.8 1.9

2

(e)

(f)

Figura 3.4. Coeficientes de transmisin y reflexin en una gua de onda en forma de L para el plano-H: (a) l = 0 , (b) l b / 5 , (c) l b / 4 , (d) l b / 3 , (e) distintos casos, (f) l b / 2 .

73

1 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 f /( f )op c 01

1 0.9 0.8p2 ( l b / 1.251 ) p1

Potencia Normalizada

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

p2 ( l b ) p1

1.7 1.8 1.9

2

0

1

1.1 1.2 1.3

1.4 1.5 1.6 f /( f )op c 01

1.7 1.8 1.9

2

(g)

(h)

Figura 3.4 (continuacin). (g) l b / 1.251 , (h) l b .

La figura 3.4(a) muestra una comparacin entre los resultados obtenidos con FEM y los presentados en la Fig. 4.10 de la Ref. [33].

A continuacin, con la ayuda de la Fig. 3.5, se intenta explicar una posible causa parcial del comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin en distintos casos.l l 1 2 90 d2 b

d1b

Figura 3.5. Gua de onda en forma de L con puntos de referencia 1 y 2 .

La figura 3.5 muestra una gua de onda en forma de L con dos puntos de referencia ( 1 , 2 ), en donde se calculan las frecuencias de corte para los modos TE 01 y TE 02 , con base en las distancias d1 y d 2 , respectivamente; esto es,

( f (d ))c

1

01

,

( f (d ))c

1

02

,

74

( f (d ))c

2

01

y

( f (d ))c

2

02

. La Tabla 3.2 muestra la informacin de las distancias y

frecuencias de corte para los diferentes valores de l calculados.Tabla 3.2. Frecuencias de corte en los puntos de referencia 1 y 2 de la gua de onda en forma de L de la Fig. 3.5 con b = 4 cm .

casol l l l l=0 b/5 b/4 b/3 b/2

l

d1 (cm)5.66 5.12 5.00 4.81 4.47 4.08 4.00

( f c ( d1 ) )01(GHz)2.65 2.93 3.00 3.12 3.35 3.68 3.75

( f c ( d1 )) 02

d2 (cm)5.66 5.09 4.95 4.71 4.24 3.40 2.83

( f (d ))c 2

01

( f (d ))c 2

02

(cm)0 0.80 1.00 1.33 2.00 3.20 4.00

(GHz)5.30 5.86 6.00 6.24 6.70 7.35 7.50

(GHz)2.65 2.95 3.03 3.18 3.54 4.42 5.30

(GHz)5.30 5.90 6.06 6.36 7.07 8.84 10.60

l b / 1.251

lb

La figura 3.4(e) muestra como a medida que el valor de l aumenta, desde l = 0 hastal b / 3 , la magnitud del coeficiente de transmisin aumenta ligeramente para todas

las frecuencias; sin embargo, para f op = 7.06 GHz ( f op 1.88 ( f c )01 ) el coeficiente de transmisin no supera el 15% de la energa total para ninguno de estos casos. Lo anterior se podra explicar con base en que, a pesar que dicha frecuencia de operacin se encuentra dentro del modo fundamental RI y RII de la gua de onda, sta se encuentra fuera del modo fundamental de los puntos 1 y 2 para los casos presentados en dicha figura (ver Tabla 3.2 para l 0 , l b / 5 , l b / 4 y b l / 3 ); lo que podra afectar la transmisin de la energa cuando la onda viaja travs de la discontinuidad. De forma similar, se analizan las figuras 3.4(f) ( l = b / 2 ) y 3.4(g) ( l b /1.251 ), en donde la transmisin para todas las frecuencias mejora significativamente con relacin a los casos anteriores. De acuerdo a la informacin para l b / 2 en la para este caso la frecuencia de operacin Tabla 3.2,

f op = 7.06 GHz ( f op 1.88 ( f c )01 ) se

encuentra ligeramente fuera del modo fundamental del punto 1 y ligeramente dentro del modo fundamental del punto 2 ; en contraste, para l b /1.251 , la Tabla 3.2 indica que

f op = 7.06 GHz

( f op 1.88 ( f c )01 )

se

encuentra

dentro

del

modo

75

fundamental de ambos puntos de referencia, lo que podra explicar su mejora con respecto al caso de l b / 2 . Finalmente, se analiza la Fig. 3.4(h) ( l b ), donde se observa que el coeficiente de transmisin disminuye a medida que la frecuencia de operacin lo hace tambin. De acuerdo a la Tabla 3.2, para l b la frecuencia de corte

( f c )01

para el punto 2 es de

5.30 GHz ( 1.41 ( f c )01 ), por lo tanto, a pesar de que todas las frecuencias evaluadas

se encuentran dentro del modo fundamental de RI y RII de la gua de onda (y del punto 1 ya que para este caso b = d 1 ), entre ms baja sea la frecuencia de operacin con respecto a

( f (d ))c

2

01

, mayor ser la reflexin que sufra la onda que viaje a travs

de la discontinuidad. Las distribuciones de E z dentro de una gua de onda en forma de L, para los diferentes casos de f op y l analizados en esta seccin, se presentan en el apndice C.

III.2.2.

Gua de onda en forma de T

De forma similar al caso anterior, se obtienen a travs de FEM los parmetros , y SWR , para el plano-H, de la gua de onda homognea en forma de T mostrada en la Fig. 3.6.

(a)y (b) Ejemplo de discretizacin en elementos triangulares.

(b)

Figura 3.6. Gua de onda homognea en forma de T con paredes PEC: (a) Representacin geomtrica

76

Para el problema de la gua de onda en forma de T se analizan dos situaciones: A. El puerto de entrada es el puerto 1 y los puertos de salida son los puertos 2 y 3 (la onda incidente ingresa por el puerto 1). B. El puerto de entrada es el puerto 3 y los puertos de salida son los puertos 1 y 2 (la onda incidente ingresa por el puerto 3).

El parmetro l tiene la misma funcin que en la gua de onda en forma de L. En una gua de onda de este tipo la regin de discontinuidad se denota por la regin IV (RIV en la Fig. 3.6(a)). III.2.2.A. Puerto de entrada: puerto 1 Para este caso, la gua de onda en forma de T ptima es aquella que presenta la mnima reflexin en el puerto 1 a lo largo del ancho de banda ms amplio posible, mientras que la potencia en los puertos 2 y 3 se divide equitativamente. Los coeficientes de transmisin en el puerto 2 y 3, con respecto a la onda incidente a travs del puerto 1 (ver Fig. 3.6(a)), se calculan respectivamente por2 2

p2 / p1 =y

trans Pp2 inc Pp1

=

RII E0 inc E0

(3.4)

p3/ p1 =

trans Pp3 inc Pp1

=

RIII E0 inc E0

2 2

,

(3.5)

donde (3.4) y (3.5) son vlidas para problemas en los cuales la solucin sea del tipo (1.77),

(f )

op 01

y la regin de solucin es homognea.

El coeficiente de reflexin en el puerto 1 se obtiene a partir de

p1 = 1 ( p2 / p1 + p3/ p1 ) .

(3.6)

77

Primeramente, se obtiene el comportamiento del SWR para diferentes frecuencias dentro del modo fundamental. La figura 3.7 muestra los datos obtenidos comparados con la informacin presentada en la Ref. [32].

10 l l l l l l = 0 (FEM) b / 5 (FEM) b / 2.254 (FEM) = 0 (Ref.[ 32 ], Fig.5b) b / 5 (Ref.[ 32 ], Fig.5b) b / 2.254 (Ref.[ 32 ], Fig.5b)

8

6 SWR 4 2 0 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 fop/( fc)01

2

Figura 3.7. Comportamiento del SWR en una gua de onda en forma de T para el plano-H: para l = 0 ,l b / 5 y l b / 2.254 en comparacin con la Ref. [32].

Como se observa en la Fig. 3.7 los datos obtenidos empleando FEM muestran una considerable similitud con la informacin publicada por Yong-Yaogen en [32]. Puede observarse tambin que, dentro de los casos analizados, el que arroja mejores resultados es l b / 2.254 .

La Fig. 3.8 muestra el comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin, obtenidos empleando FEM, para l = 0 , l b / 5 , l b / 4 , l b / 3 y l b / 2 . La informacin para l = 0 se compara en la Fig. 3.8(a) con los datos publicados por Cho en la Ref. [36] (el cual emplea un procedimiento iterativo y funciones de Green).

781 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 fop/( fc )01 2 l=0 p2/p1 = p3/p1 (FEM) p1 (FEM) p2/p1 = p3/p1 (Ref.[ 36 ], Fig.4) p1 (Ref.[ 36 ], Fig.4)

(a)1 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 fop/( fc)01 1.7 1.8 1.9 2 p2/p1 ( l b / 5)Potencia Normalizada 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 fop/( fc)01 1.7 1.8 1.9 2 p2/p1 ( l b / 4 ) p3/p1 p1

p3/p1 p1

(b)1 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 fop/( fc)01 1.7 1.8 1.9 2 p2/p1 ( l b / 3 ) Potencia Normalizada p3/p1 p1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

(c)p2/p1 ( l b / 2 ) p3/p1 p1

1.1 1.2 1.3

1.4 1.5 1.6 fop/( fc)01

1.7 1.8 1.9

2

(d)

(e)

Figura 3.8. Comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin en una gua de onda en forma de T para el plano-H : (a) l = 0 , (b) l b / 5 , (c) l b / 4 , (d) l b / 3 y (e) l b / 2 .

79

A partir de los resultados presentados en la Fig. 3.8(a) se puede establecer para el caso l = 0 que:

Las frecuencias recomendadas para la mxima transmisin se encuentran aproximadamente entre (1.3) ( f c )01 y (1.5) ( f c )01 .

Una vez superada dicha banda de transmisin recomendada, el coeficiente de transmisin disminuye a medida que la frecuencia de operacin aumenta.

Por otra parte, comparando los cinco casos calculados se puede concluir que cuandol b / 2 (Fig. 3.8(e)) no solo se consigue el coeficiente de transmisin ms alto sino

que adems el comportamiento de ste en las diferentes frecuencias del modo fundamental es prcticamente uniforme.

Las distribuciones de E z dentro de una gua de onda en forma de T, para los diferentes casos de f op y l analizados en esta seccin, se presentan en el apndice C.

III.2.2.B. Puerto de entrada: puerto 3 En esta seccin se analiza, para l = 0 , la segunda situacin respecto a la propagacin dentro de la gua de onda en forma de T: cuando el puerto de entrada es el puerto 3 y los puertos de salida son los puertos 1 y 2 (ver Fig. 3.6). Para este caso los coeficientes de transmisin en los puertos 1 y 2 se calculan respectivamente por2 2

p1/ p3 =y

trans Pp1 inc Pp3

=

RI E0 inc E0

(3.7)

p2 / p3 =

trans Pp2 inc Pp3

=

RII E0

2

E0

inc 2

,

(3.8)

80

donde, de igual forma a los casos anteriores, (3.7) y (3.8) son vlidas para problemas cuya solucin sea del tipo (1.77),

(f )

op 01

y la regin de solucin es homognea.

Mientras tanto, el coeficiente de reflexin en el puerto 3 se obtiene de forma similar a (3.6) al emplear

p3 = 1 ( p1/ p3 + p2 / p3 ) .

(3.9)

El comportamiento de los coeficientes de transmisin y reflexin para este caso ( l = 0 ), se compara en las Figs. 3.9 y 3.10, con la informacin presentada en Liang et

al. [35] y Park-Eom [34], respectivamente. En estas figuras se puede confirmar lasimilitud de la informacin obtenida en este trabajo a travs de FEM con la calculada a travs de la tcnica Mode Matching en la Ref. [35] y con la presentada empleando una serie analtica en la Ref. [34]. A diferencia del caso anterior, en donde la onda ingresa por el puerto 1 y se divide en igual proporcin entre los puertos de salida 2 y 3, en este caso la energa que ingresa por el puerto 3 se transmite en proporciones distintas a travs del puerto 1 y 2 (ver Figs. 3.9 y 3.10).

1 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 fop / (fc)01 2 p2/p3 (FEM) p1/p3 (FEM) p3 (FEM) p2/p3 (Ref.[ 35 ], Fig.4) p1/p3 (Ref.[ 35 ], Fig.4) p3 (Ref.[ 35 ], Fig.4)

Figura 3.9. Comportamiento de

p2/p3 , p1/p3

y

p3

en una gua de onda en forma de T para el

plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparacin con la Ref. [35].

811 0.9 0.8 Potencia Normalizada 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 fop / (fc)01 2 p2/p3 (FEM) p1/p3 (FEM) p3 (FEM) p2/p3 (Ref.[ 34 ], Fig.2) p1/p3 (Ref.[ 34 ], Fig.2) p3 (Ref.[ 34 ], Fig.2)

Figura 3.10. Comportamiento de

p2/p3 , p1/p3

y

p3

en una gua de onda en forma de T para el

plano-H , para puerto de entrada: puerto 3, en comparacin con la Ref. [34].

Con base en los datos presentados se puede concluir que:

Con el propsito de obtener la mxima transmisin en ambos puertos de salida se recomienda utilizar este dispositivo en la banda aproximada de (1.3) ( f c )01 a(1.5) ( f c )01 .

En las Figs. 3.9 y 3.10 se observa que a medida que la frecuencia de operacin se aproxima a la frecuencia de corte del siguiente modo ( f op (2) ( f c )01 = ( f c )02 ) el coeficiente de transmisin en el puerto 2 se aproxima a la unidad, y en forma inversa p1/ p 3 se aproxima a cero.

82

Captulo IV Adaptacin de mallaLa solucin de un problema de electromagnetismo a travs de FEM resulta en valores aproximados del campo dentro del dominio bajo consideracin. La precisin de dicha solucin y el costo computacional empleado en su obtencin, dependen de la malla en la que el dominio es discretizado. En trminos generales, mallas uniformes ms finas producen soluciones ms precisas que mallas uniformes menos finas. Una de las caractersticas de FEM es que la solucin aproximada de un problema en determinado dominio se compone de las soluciones aproximadas dentro de cada uno de los elementos en los que se divide dicho dominio. La solucin dentro de un elemento, por lo tanto, es independiente de la solucin dentro de sus elementos vecinos. Esta caracterstica es aprovechada por los mtodos de adaptacin de malla, los cuales producen mallas con mayor concentracin de nodos en reas donde la solucin del problema vara relativamente de forma brusca y con menor concentracin en las regiones donde la solucin es relativamente ms suave. El desarrollo y la implementacin de los mtodos de adaptacin de malla cuenta con dos motivaciones principales: a) la obtencin de una precisin determinada a

priori empleando el menor costo computacional posible y b) la obtencin de la mayorprecisin posible empleando un costo computacional previamente determinado. El proceso genrico de los mtodos de adaptacin de malla, mostrado en la Fig. 4.1, consiste en solucionar, con una malla inicial, un problema con un determinado mtodo numrico (en este caso FEM), despus se realiza una estimacin del error de aproximacin y a partir de esta informacin se ajusta la malla; posteriormente se soluciona el problema con dicha malla nueva esperando obtener una solucin ms precisa. El proceso contina de forma iterativa hasta que la solucin

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alcance un nivel de precisin deseado o se agote el trabajo computacional previamente dedicado a la tarea de adaptacin.

Inicio

Generacin de malla inicial

Ajuste de la malla

Proceso de ensamblado

Estimacin del error

noSolucin del sistema de ecuaciones Convergencia?

si

Fin

FEM .

Adaptacin de malla

Figura 4.1. Diagrama de flujo del mtodo de elemento finito con adaptacin de malla [42].

Los mtodos de adaptacin de malla se diferencian entre s, principalmente, por la forma en que estiman el error de aproximacin y la tcnica que emplean para ajustar la malla. En trminos de la forma en que estiman el error de aproximacin, se tienen los mtodos que estiman el error elemento por elemento (Golias-Tsiboukis [42] y Fernades-Girdinio [43], entre otros) y los que se basan en el principio de

equidistribucin, el cual busca distribuir el error de toda la solucin de formaequitativa en cada uno de los elementos en los que se divide el dominio (por ejemplo Thompson et. al [37], Huang-Sloan [39], Chen [38] y Mackenzie [41], entre otros). En trminos de la tcnica que se emplea para ajustar la malla, los mtodos de adaptacin de malla se dividen, de acuerdo a [44], en: tipo-r, tipo-h, tipo-p y tipo-hp. En pocas palabras:

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Los mtodos tipo-r redistribuyen los nodos de la malla (cantidad de nodos fija) generando una mayor concentracin en lugares con relativa alta variacin de la solucin y una menor concentracin en donde la solucin es relativamente suave.

Los mtodos tipo-h aumentan el nmero de elementos en las regiones donde la solucin vara relativamente de forma rpida. Los tipo-p aumentan el orden del polinomio (con el que se aproxima la solucin dentro de un elemento) en las regiones de relativa alta variacin en la solucin.

Finalmente, los mtodos tipo-hp combinan las caractersticas de los mtodos tipo-h y tipo-p.

La precisin de la solucin al emplear los mtodos tipo-h, p, o hp puede ser tan alta como lo determine el usuario (y lo permita la capacidad computacional disponible), aunque su implementacin involucra un nivel de complejidad considerable. En contraste, a pesar de que los mtodos tipo-r se implementan con mayor simplicidad (cantidad de nodos fija equivale a estructuras de datos sin modificaciones), la precisin que se puede alcanzar con una malla con una cantidad de nodos fija est acotada por la distribucin ptima de sus nodos (malla ptima). Una malla ptima, en trminos de adaptacin de malla tipo-r, es aquella cuya distribucin de nodos permite obtener la mxima precisin en la solucin de un problema determinado. En este captulo se presenta la formulacin de un mtodo de adaptacin de malla tipo-r, el cual utiliza el principio de equidistribucin como estimador (o detector) del error de aproximacin. Para este propsito, se considera al mtodo numrico como un bloque, cuya informacin de entrada es una malla y cuya informacin de salida es la solucin numrica de determinado problema. Este desarrollo pretende,

principalmente, explicar con cierto